Nemcsak a teáskannákon segít, hanem még azoknak is, akik először hallották a „determináns” szót. Két év telt el azóta, hogy az oldal mindössze tíz oldalt tartalmazott, és most, a matan világába vezető hosszú-hosszú utazásom után, minden visszatér a régi kerékvágásba.
Képzelje el, hogy ki kell számítania egy harmadrendű determinánst úgy, hogy kibontja azt sor (oszlop) elemre. Bár mit képzelni - kell =) Ülhetsz felette 5 percig, vagy ülhetsz 2-3 percig. Vagy akár egy perc környékén. Az eltöltött idő nemcsak a tapasztalataitól függ, hanem a meghatározó tényezők tulajdonságainak ismeretétől is. Nem ritka, hogy a megoldás folyamata pillanatok alatt lerövidül, és néha rögtön látszik is az eredmény! „Olyan hülyeség, miért spórolnánk a meccseken, és így mindent mi döntünk” – mondják egyesek. Valljuk be. És nem ismerjük el a mulasztásokat ;-) De mi a helyzet a gyakorlatban eléggé elterjedt 4. rend meghatározójával? 10-20 percet vesz igénybe a paprika elleni küzdelem. És ez még csak nem is csata lesz, hanem mészárlás, hiszen nagyon nagy a valószínűsége annak, hogy számítási hibára kerüljön sor, ami a döntés második körébe "becsomagolja". És ha az ötödik rend meghatározója? Csak a determináns sorrendjének csökkentése ment meg. Igen, a tesztlapokban is találunk ilyen példákat.
Az ezen az oldalon található anyagok jelentősen javítják a determinánsok megoldásának technikáját, és leegyszerűsítik a magasabb matematika további elsajátítását.
Hatékony módszerek a determináns kiszámítására
Először is nem a determináns tulajdonságaira térünk ki, hanem csak a racionális számítási módszereire. Ezek a döntési módszerek a felszínen fekszenek és sokak számára érthetőek, de ennek ellenére térjünk rájuk részletesebben. Feltételezhető, hogy az olvasó már egészen magabiztosan felfedi a harmadik rend meghatározóját. Mint tudják, ez a meghatározó tényezõ felfedhetõ 6 szabványos módokon: bármely sorban vagy oszlopban. Úgy tűnik, ez nem számít, mert a válasz ugyanaz lesz. De vajon minden módszer egyformán egyszerű? Nem. A legtöbb esetben van kevésbé jövedelmező módokés jövedelmezőbb módszerek megoldásokat.
Nézzük az azonosítót, amelyet az első leckében bőségesen borítottam tetoválásokkal. Ebben a cikkben részletesen, képekkel, az első sor mentén fektettük le. Az első vonal jó és akadémikus, de lehet-e gyorsabban elérni az eredményt? A determinánsban van egy nulla, amelyet a második sorral vagy a második oszloppal bővítve a számítások érezhetően csökkennek!
Bővítsük ki a determinánst a második oszloppal: 
A gyakorlatban a nulla elemet figyelmen kívül hagyják, és a megoldást tömörebb formában írják le:
1. Feladat
A második sorban bontsa ki a megadott minősítőt a rövidített jelöléssel.
Megoldás az óra végén.
Ha két nulla van egy sorban (vagy oszlopban), akkor ez általában igazi ajándék. Tekintsük a meghatározót. A harmadik sorban két nulla található, amelyek mentén bővítjük:
Ez az egész megoldás!
Speciális eset, amikor a determináns ún lépett vagy háromszög nézet, például: - ilyen determinánsban az összes alábbi szám főátló egyenlők nullával.
Bővítsük ki az első oszlopban: 
A gyakorlati gyakorlatok során célszerű betartani a következő szabályt - a lépcsős determináns egyenlő a főátlója számainak szorzatával:
Hasonló elv érvényes más sorrendek lépéshatározóira is, például: 
A lineáris algebra egyes problémáiban megjelennek a háromszögdeterminánsok, amelyek megoldása leggyakrabban így fogalmazódik meg.
És ha a determináns sora (oszlopa) tartalmazza csak nullák? A válasz szerintem egyértelmű. Erre a kérdésre a determináns tulajdonságainál térünk vissza.
Most képzeljük el, hogy a régóta várt bagel nem szerepel az újévi ajándékban. Szóval kibelezzük a rossz Mikulást!
Itt nincsenek nullák, de még mindig van mód arra, hogy megkönnyítsd az életed. Optimálisabb ezt a determinánst a harmadik oszlopban bővíteni, mivel ott vannak a legkisebb számok. Ebben az esetben a döntési jegyzőkönyv nagyon lakonikus formát ölt:
Összefoglalva a bekezdést, megfogalmazzuk a számítás aranyszabályát:
Kifizetődőbb a determinánst AZZAL a sorral (oszloppal) megnyitni, ahol:
1) több nulla;
2) kisebb számok.
Természetesen ez igaz a magasabb rendű meghatározókra is.
Egy kis példa az anyag rögzítésére:
2. feladat
Számítsa ki a determinánst, sorra vagy oszlopra bővítve, a legracionálisabb módon
Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra, optimális megoldásés a válasz a lecke végén található.
És még egy fontos tanács: ne komplexálj! Nem kell "rágódni" a hagyományos dekompozíción az első sor vagy az első oszlop alapján. Bármilyen rövid, döntsön!
Meghatározó tulajdonságok
Tekintsük az első lecke régi ismerőseit: a mátrixot 
és annak meghatározója 
.
Minden esetre megismétlem a fogalmak közötti alapvető különbséget: A mátrix az elemek táblázata, a a determináns egy szám.
Egy mátrix transzponálásakor a determináns értéke nem változik
Transzponálja a mátrixot: 
A tulajdonság szerint a transzponált mátrix determinánsa azonos értékkel egyenlő: 
... Aki szeretné, ezt saját maga is ellenőrizheti.
Ennek a tulajdonságnak egy egyszerűbb megfogalmazása is használatos: ha a determinánst transzponáljuk, akkor az értéke nem változik.
Mindkét determinánst felírjuk egymás mellé, és az egyiket elemezzük fontos pont:
Az átültetés eredményeként az első sorból az első, a második sorból a második, a harmadik sorból a harmadik oszlop lett. A sorok oszlopokká váltak, és az eredmény nem változott. Ebből egy fontos tény következik: a determináns sorai és oszlopai egyenlőek... Más szóval, ha valamilyen tulajdonság igaz egy sorra, akkor ugyanaz a tulajdonság igaz egy oszlopra is! Tulajdonképpen már régóta szembesülünk ezzel - elvégre a determináns bővíthető soronként, tehát egyenlően és oszloponként is.
Nem szereted a számokat karakterláncokban? Transzponálja a determinánst! Csak egy kérdés van, miért? A figyelembe vett tulajdonság gyakorlati jelentése kicsi, de hasznos a tudás poggyászába dobni, hogy jobban megértsük a felsőbb matematika egyéb problémáit. Például azonnal világossá válik, hogy miért vektorok tanulmányozása a koplanaritás érdekében koordinátáikat mind az azonosító sorokba, mind az oszlopokba írhatjuk.
Ha a determináns két sora (vagy két oszlopa) felcserélődik,
akkor a determináns előjelet vált
! Emlékezik , determinánsról beszélünk! Magában a mátrixban semmit nem lehet átrendezni!
Játsszunk Rubik-kockát determinánssal 
.
Cseréljük fel az első és a harmadik sort: 
Az azonosító jele megváltozott.
Most a kapott determinánsban cseréljük fel a második és a harmadik sort: 
Az azonosító ismét előjelét változtatta.
Cseréljük fel a második és a harmadik oszlopot: 
vagyis sorok (oszlopok) páronkénti permutációja a determináns előjelének az ellenkezőjére való változását vonja maga után.
A játékok játék, de a gyakorlatban az ilyen akciók jobbak ne használja... Nem sok értelme van belőlük, de nem nehéz összezavarodni és hibázni. Mindazonáltal megemlítem azon kevés helyzetek egyikét, ahol ennek valóban van értelme. Tegyük fel, hogy valamilyen példa megoldása során egy mínuszjelű determinánst rajzoltunk:
Bővítsük ki, mondjuk, az első sor mentén:
A nyilvánvaló kényelmetlenség az, hogy fölösleges duruzsolást kellett végrehajtanom – fogadni nagy zárójelek, majd nyilvánosságra hozza őket (egyébként nem javaslom az ilyen műveletek "egy ülésben" szóbeli végrehajtását).
A mínusztól való megszabaduláshoz ésszerűbb bármely két sort vagy két oszlopot felcserélni. Rendezzük át például az első és a második sort: 
Stílusosnak tűnik, de a legtöbb esetben célszerűbb egy negatív előjelet más módon kezelni (olvass tovább).
A fenti művelet ismét segít például egyes tulajdonságok jobb megértésében vektorok vektorszorzata vagy vektorok vegyes szorzata.
De ez érdekesebb:
A determináns sorából (oszlopából) kivehető a közös tényező
!!! Figyelem! A szabály kb EGY sor vagy kb EGY meghatározó oszlop. Kérem, ne keverje össze mátrixok, a mátrixban a faktort kihozzuk / behozzuk at MINDEN számokat egyszerre.
Kezdjük a szabály egy speciális esetével – a „mínusz egy” vagy egyszerűen a „mínusz” létrehozásával.
Találkozunk egy másik pácienssel:.
Túl sok a hátránya ennek a meghatározónak, és jó lenne csökkenteni a számukat.
Vegye ki az -1-et az első sorból: 
Vagy rövidebben: 
A selejtező előtti mínusz, amint azt már bemutattuk, nem kényelmes megenni. Megnézzük a determináns második sorát, és észrevesszük, hogy túl sok a mínusz.
Vegyük ki a "mínuszt" a második sorból: 
Mi mást tudnál tenni? A második oszlopban szereplő összes szám maradék nélkül osztható 4-gyel. Vigyünk ki 4-et a második oszlopból: 
A fordított szabály is igaz - szorzó lehet nem csak elviselni, hanem elviselni is készítsenek, sőt a determináns BÁRMELY sorában vagy BÁRMELY oszlopában.
A móka kedvéért szorozzuk meg a determináns harmadik sorát 4-gyel: 
Az aprólékos elmék meggyőződhetnek az eredeti és a kapott determináns egyenlőségéről (helyes válasz: –216).
A gyakorlatban gyakran előfordul a mínusz bevezetése. Tekintsük a meghatározót. A minősítő előtti negatív előjel BÁRMELY sorban vagy BÁRMELY oszlopban írható be. A legjobb jelölt a harmadik oszlop, amihez egy mínuszt adunk: 
Azt is észrevesszük, hogy az első oszlopban lévő összes szám osztható 2-vel maradék nélkül, de érdemes elvégezni a "kettőt"? Ha csökkenteni akarja a selejtezők sorrendjét (amiről az utolsó részben lesz szó), akkor mindenképpen meg kell tennie. De ha soronként (oszloponként) bővíti a determinánst, akkor az előtte lévő "kettő" csak meghosszabbítja a megoldás rekordját.
Viszont ha nagy a faktor, pl 13, 17 stb, akkor persze úgyis kifizetődőbb kivenni. Ismerkedjünk meg a kis szörnyeteggel:. Az első sorból kivesszük a –11-et, a második sorból –7-et:
Azt mondod, már olyan gyorsan kattannak a számítások egy normál számológépen? Ez igaz. De először is előfordulhat, hogy nincs kéznél, másodszor pedig, ha a 3. vagy 4. rendű determináns nagy számokkal van megadva, akkor nem igazán akar majd kopogtatni a gombokon.
3. feladat
A determináns kiszámítása sorok és oszlopok figyelembevételével
Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra.
Még néhány hasznos szabály:
Ha a determináns két sora (oszlopa) arányos
(speciális esetként megegyeznek), akkor ez a determináns egyenlő nullával
Itt az első és a második sor megfelelő elemei arányosak:
Néha azt mondják, hogy minősítő sorok lineárisan függő... Mivel a determináns értéke a transzpozíció során nem változik, a sorok lineáris függőségéből az oszlopok lineáris függése is következik.
A példában geometriai jelentést adhatunk - ha feltételezzük, hogy a vonalak koordinátákat tartalmaznak vektorok térben, akkor az első két arányos koordinátájú vektor kollineáris lesz, ami azt jelenti, hogy mindhárom vektor - lineárisan függő, azaz egysíkú.
A következő példában három oszlop arányos (és mellesleg három sor is): 
Itt a második és a harmadik oszlop megegyezik, ez egy speciális eset - amikor az arányossági együttható eggyel egyenlő
A felsorolt tulajdonságok a gyakorlatban is használhatók. De ne feledd, a megnövekedett tudásszint néha büntetendő ;-) Ezért lehet, hogy jobb lenne az ilyen minősítőket a szokásos módon felfedni (előre tudva, hogy nulla lesz).
Megjegyzendő ennek fordítva általában nem igaz- ha a determináns nulla, akkor ebből még nem hogy sorai (oszlopai) arányosak. Vagyis előfordulhat, hogy a sorok/oszlopok lineáris kapcsolata nem egyértelmű.
Van egy nyilvánvalóbb tünet is, amikor azonnal azt mondhatjuk, hogy a determináns nulla:
A nulla sorral (oszloppal) rendelkező determináns egyenlő nullával
Az "amatőr" ellenőrzés elemi, nyissuk meg az első oszlop determinánsát: 
Az eredmény azonban nem változik, ha kibontja bármelyik sor vagy oszlop minősítőjét.
Nyomja ki a második pohár narancslevet:
A determinánsok milyen tulajdonságait érdemes tudni?
1) A determináns értéke nem változik transzponáláskor... Emlékszünk az ingatlanra.
2) A sorok (oszlopok) páronkénti permutációja megfordítja a determináns előjelét... Emlékezzünk az ingatlanra is, és igyekszünk nem használni, hogy elkerüljük a félreértést.
3) A determináns sorából (oszlopából) kiveheti a faktort (és visszaadhatja)... Ott használjuk, ahol megtérül.
4) Ha a determináns sorai (oszlopai) arányosak, akkor az egyenlő nullával. A nulla sorral (oszloppal) rendelkező determináns nulla.
Az óra során ismételten megfigyeltek egy elemi mintát - minél több nulla van egy sorban (oszlopban), annál könnyebb a determináns kiszámítása. Felmerül a kérdés, hogy lehet-e szándékosan nullákat rendezni valamilyen transzformáció segítségével? Tud! Ismerkedjünk meg egy másik nagyon erős tulajdonsággal:
A determináns sorrendjének csökkentése
Nagyon jó, ha már rájöttél Gauss módszerés van tapasztalata a megoldásban lineáris egyenletrendszerek ebben az értelemben. Valójában az alábbiakban megfogalmazott tulajdonság megduplázza az egyiket elemi átalakulások.
Étvágyunk felhajtására törjünk össze egy kis békát: 
A meghatározó karakterlánchoz hozzáadhat egy másik, nullától eltérő számmal megszorzott karakterláncot. Ebben az esetben a determináns értéke nem változik
Példa: a determinánsban nullát kapunk a bal felső sarokban.
Erre a második sor mentálisan vagy huzaton szorozzuk meg 3-mal: (–3, 6) és az első sorhoz add hozzá a második sort 3-mal szorozva:
Megírjuk az eredményt az első sorhoz:
Vizsgálat: 
Most ugyanabban a determinánsban a jobb alsó sarokban nullát kapunk. Ezért a második sorhoz adja hozzá az első sort, megszorozva (mentálisan) –2-vel):
Megírjuk az eredményt a második sorba:
jegyzet: elemi átalakítással, változásokkal TA a karakterlánc, amelyhez hozzáadásával UT.
Fogalmazzunk meg egy tükrözött szabályt az oszlopokra:
Egy másik oszlop hozzáadható a determináns oszlophoz, megszorozva egy nem nulla számmal. Ebben az esetben a determináns értéke nem változik
Vegyünk egy állatot a lábánál fogva, és ezzel a transzformációval nullát kapunk a bal felső sarokban. Ehhez gondolatban vagy piszkozaton megszorozzuk a második oszlopot –3-mal: és adja hozzá a második oszlopot az első oszlophoz, szorozva -3-mal:
Megírjuk az eredményt az első oszlophoz:
És végül a determinánsban nullát kapunk a jobb alsó sarokban. Ezért a második oszlophoz hozzáadjuk az első oszlopot, megszorozva (mentálisan) 2-vel(Nézd meg és számolj jobbról balra):
Elhelyezzük az eredményt a második oszlopba:
Egy elemi átalakulással, változásokkal HOGY az oszlop, amelyhez hozzáadásával UT.
Próbálja meg minőségileg megemészteni a következő példát.
Küldjük a kifejlett kétéltűt a levesbe:
A kihívás az, hogy elemi transzformációkkal csökkentjük a determináns sorrendjét egészen a második rendig.
Hol kezdjem? Először is ki kell választania a célszámot a determinánsban. A cél szinte mindig egy vagy –1. Nézzük a meghatározót, és észrevesszük, hogy itt még választási lehetőség is van. Legyen az elem a célszám: 
jegyzet : a dupla alsó indexek jelentése megtalálható a cikkben Cramer szabálya. Mátrix módszer... V ebben az esetben az elemindexek azt jelzik, hogy a második sorban, a harmadik oszlopban található.
Az ötlet az, hogy a harmadik oszlopban két nullát kapjunk: 
Vagy írjon két nullát a második sorban: 
A második sor kisebb számokat tartalmaz (ne felejtsük el az aranyszabályt), így jövedelmezőbb ezt venni. És a harmadik oszlop a "cél" számmal változatlan marad: 
Adja hozzá a harmadik oszlopot a második oszlophoz:
Nem kellett szaporítani semmit.
Az eredményt a második oszlopba írjuk: 
Adja hozzá a harmadik oszlopot az első oszlophoz, szorozva (mentálisan) –2-vel:
Az eredményt az első oszlopba írjuk, a második sor mentén bontsa ki a determinánst: 
Hogyan csökkentettük a selejtező sorrendjét? A második sorban két nullát kaptunk.
Oldjuk meg a példát a második módon, rendezzük el a nullákat a harmadik oszlopban: 
A második sor a célszámmal változatlan marad: 
Az első sorhoz adja hozzá a második sort, megszorozva (mentálisan) –4-gyel: 
A harmadik sorhoz adja hozzá a második sort (mentálisan) megszorozva 3-mal (nézd és számold alulról felfelé):
Az eredményt a harmadik sorba írjuk, a determinánst a harmadik oszloppal bővítjük: 
Vegye figyelembe, hogy nincs szükség sorok vagy oszlopok átrendezésére... Az elemi átalakítások remekül működnek balról jobbra és jobbról balra egyaránt. Mind fentről lefelé, mind alulról felfelé.
4. feladat
Számítsa ki ugyanazt a determinánst, válasszon egy elemet „cél” számként. Kétféleképpen csökkentheti a sorrendjét: úgy, hogy a második sorban nullákat, a második oszlopban pedig nullákat kap.
Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra. Teljes megoldás és rövid megjegyzések az oktatóprogram végén.
Néha az azonosítóból hiányzik egy egység vagy –1, például:. Ebben az esetben a „célpontot” egy további elemi transzformációval kell megszervezni. Ezt leggyakrabban többféleképpen lehet megtenni. Például: az első sorhoz adja hozzá a második sort -1-gyel szorozva: 
Az eredményt az első sorba írjuk: 
! Figyelem : NINCS SZÜKSÉG az első sorból kivonni a második sor, ez nagyban növeli a hiba esélyét. Csak add össze! Ezért az első sorhoz hozzáadjuk a második sort -1-gyel szorozva. Pontosan!
Az egységet megkapták, aminek az eléréséhez kellett. Ekkor kaphat két nullát az első sorban vagy az első oszlopban. Az érdeklődők utánajárhatnak a megoldásnak (helyes válasz: –176).
Megjegyzendő, hogy az eredeti determinánsban leggyakrabban egy kész „célpont” van jelen, és egy 4. és magasabb rendű determináns esetében rendkívül valószínűtlen a további transzformáció.
Aprítsunk fel néhány nagy varangyot gulyásra:
Feladat
Rendszer megoldása lineáris egyenletek Cramer képleteivel 
Nem baj, ha nem volt időd megismerkedni Cramer módszere, ebben az esetben egyszerűen láthatja, hogyan csökken a „négyszer négy” determináns sorrendje. Maga a szabály pedig akkor válik világossá, ha egy kicsit jobban belemélyed a döntés menetébe.
Megoldás: először számold ki fő meghatározó rendszerek: 
Lehetséges a szokásos úton haladni, ezt a determinánst soronként vagy oszloponként bővíteni. Felidézve az első óra algoritmusát, és az általam kitalált jelmátrixot felhasználva feltárjuk a determinánst, például a "klasszikus" első sor szerint:
Nem látom a lelkesedésedet =) Természetesen leülhetsz tíz percig, és óvatosan és óvatosan megszülheted a helyes választ. De az a baj, hogy a jövőben még 4 negyedrendű determinánst kell kiszámítani. Ezért az egyetlen ésszerű kiút a determináns sorrendjének csökkentése.
A determinánsban sok egység van, a mi feladatunk a választás a legjobb mód... Emlékeztetünk az aranyszabályra: több nulla legyen egy sorban (oszlopban), és kevesebb szám legyen. Emiatt a második sor vagy a negyedik oszlop megfelelő. A negyedik oszlop vonzóbbnak tűnik, ráadásul két egység van. Kijelöljük az elemet "célként": 
Az első sor nem változik. És a második is - már megvan a szükséges nulla: 
Adja hozzá a harmadik sorhoz az első sort -1-gyel szorozva (nézd és számold alulról felfelé):
! Ismét figyelem : Nincs szükség a harmadik sorból kivonni első sor. Csak add össze!
Az eredményt a harmadik sorba írjuk: 
Adja hozzá az első sort 3-mal szorozva a negyedik sorhoz (nézd és számold alulról felfelé):
Az eredményt a negyedik sorba írjuk: 
(1) Bontsa ki a negyedik oszlop determinánsát. Ne felejtse el, hogy hozzá kell adnia egy "mínuszt" az elemhez (lásd a jelek mátrixát).
(2) A selejtező sorrendje 3-ra csökken. Elvileg soronként (oszloponként) bontható, de jobb a determináns tulajdonságait kidolgozni. A második sorhoz mínuszt adunk.
(3) Adja hozzá az első sort 3-mal szorozva a második sorhoz. Adja hozzá az első sort 7-tel szorozva a harmadik sorhoz.
(4) Bontsa ki a determinánst a második oszloppal, ezzel tovább csökkentve a sorrendjét kettőre.
Figyeld meg, hogyan zsugorodott a megoldás! A lényeg az, hogy az elemi átalakulásokon "egy kicsit kézre kerítsünk", és egy ilyen lehetőség most meg fog jelenni. Ezenkívül rendelkezésére áll egy számológép, amely kiszámítja a determinánsokat (különösen az oldalon található Matematikai képletek és táblázatok). A számológép segítségével könnyen ellenőrizhető az elvégzett műveletek. Van egy selejtező 
az első lépésben - és azonnal ellenőrizte, hogy megegyezik-e az eredeti determinánssal.
(1) Bontsa ki a determinánst a harmadik sorral. A selejtezők sorrendje háromra csökkent.
(2) Az első oszlopba beírunk egy "mínuszt".
(3) Adja hozzá az első sort 3-mal szorozva a második sorhoz. Adja hozzá az első sort 5-tel szorozva a harmadik sorhoz.
(4) Bontsa ki a determinánst a második oszloppal, csökkentve a determináns sorrendjét kettőre.
Nálunk csodálatosnak bizonyul összetett ebéd és itt a desszert ideje: 
Ez már nem is varangy, hanem maga Godzilla. Vegyünk egy előkészített pohár narancslevet, és nézzük meg, hogyan csökken a determináns sorrendje. Az algoritmus szerintem egyértelmű: az ötödik sorrendről a negyedikre, a negyedikről a harmadikra és a harmadikról a másodikra redukálunk:
(1) Adja hozzá a második sort az első, harmadik, negyedik és ötödik sorhoz.
(2) Bontsa ki a 3. oszlop determinánsát. A selejtezők sorrendje négyre csökkent.
(3) A 4. oszlopból kiveszünk 2. Az első sort megszorozzuk -1-gyel, és hogy a determináns ne változzon, "mínuszt" teszünk elé. Ezt az átalakulást a további számítások egyszerűsítése érdekében.
(4) Adja hozzá az első sort a második és a harmadik sorhoz. Adja hozzá az első sort 3-mal szorozva a negyedik sorhoz.
(5) Bontsa ki a 4. oszlop determinánsát. A sorrend háromra csökkent.
(6) Bontsa ki a 2. oszlop determinánsát. A sorrend kettőre csökkent.
(7) Az 1. oszlopból kivesszük a "mínuszt".
Minden könnyebbnek bizonyult, mint amilyennek látszott, minden szörnyetegnek vannak gyenge pontjai!
A fáradhatatlan olvasók megpróbálhatják máshogyan is megoldani az ötödik rend meghatározóját, szerencsére csak kevesen vannak benne.
A második oszlopot hozzáadtuk az első oszlophoz, megszorozva 2-vel. A második oszlopot hozzáadtuk a harmadik oszlophoz. A selejtező a második vonalon bővült.
Csökkentsük a determináns sorrendjét, így a második oszlopban nullákat kapunk:
A második sort –2-vel szorozva hozzáadtuk az első sorhoz. A második sort hozzáadtuk a harmadik sorhoz, megszorozva 2-vel. A kulcs a második oszlopban nyílt meg.
5. feladat: Megoldás:
(1) Adja hozzá a harmadik sort 3-mal szorozva az első sorhoz. Adja hozzá a harmadik sort 5-tel szorozva a második sorhoz. Adja hozzá a harmadik sort 2-vel szorozva a 4. sorhoz.
(2) Bontsa ki a determinánst az első oszloppal.
(3) Adja hozzá a harmadik oszlop 9-szeresét a második oszlophoz. Adja hozzá a harmadik oszlopot az első oszlophoz.
(4) Bontsa ki a determinánst a harmadik sorral.
(1) Adja hozzá a második oszlopot az első oszlophoz. Adja hozzá a második oszlopot a harmadik oszlophoz
(2) Bontsa ki a determinánst a harmadik sorral.
(3) Az első sorba "mínuszt" teszünk.
(4) Adja hozzá az első sort 6-tal szorozva a második sorhoz. Adja hozzá az első sort a harmadikhoz
(5) Bontsa ki az első oszlop determinánsát.
Általános esetben a $ n $ -edik sorrend determinánsainak kiszámításának szabálya meglehetősen körülményes. A másod- és harmadrendű determinánsok esetében vannak racionális számítási módszerek.
Másodrendű determinánsok számítása
Egy másodrendű mátrix determinánsának kiszámításához vonjuk ki a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ vége (tömb) \ jobbra | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$
Példa
Gyakorlat. Számítsa ki a $ \ left | másodrendű determinánst \ kezdődik (tömb) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ vége (tömb) \ jobbra | $
Megoldás.$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ vége (tömb) \ jobbra | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 $
Válasz.$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ vége (tömb) \ jobbra | = 69 $
Harmadrendű determinánsok számítási módszerei
A harmadik rendű determinánsok kiszámításához vannak ilyen szabályok.
Háromszög szabály
Sematikusan ez a szabály a következőképpen ábrázolható:
Az első determinánsban lévő egyenesekkel összekötött elemek szorzatát pluszjellel vesszük; hasonlóképpen a második determinánsnál a megfelelő szorzatokat mínuszjellel vesszük, azaz.
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ vége (tömb) \ jobbra | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $ $
$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$
Példa
Gyakorlat. A determináns kiszámítása $ \ bal | \ kezdődik (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ vége (tömb) \ right | $ a háromszög módszerrel.
Megoldás.$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ vége (tömb) \ jobb | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $
$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$
Válasz.
Sarrus uralkodik
A determinánstól jobbra hozzáadjuk az első két oszlopot, és a főátlón és a vele párhuzamos átlókon lévő elemek szorzatait pluszjellel vesszük; valamint az oldalátló és a vele párhuzamos átlók elemeinek szorzata mínuszjellel:
$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$
Példa
Gyakorlat. A determináns kiszámítása $ \ bal | \ kezdődik (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ vége (tömb) \ right | $ Sarrus szabályt használva.
Megoldás. 
$$ + (-1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 $$
Válasz.$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ vége (tömb) \ jobbra | = 54 $
Egy determináns bontása soronként vagy oszloponként
A determináns egyenlő a determináns karakterlánc elemeinek algebrai komplementereinek szorzatával. Általában válassza ki azt a sort/oszlopot, amelyben nullák vannak. Azt a vonalat vagy oszlopot, amely mentén a bontást végrehajtják, nyíllal jelöljük.
Példa
Gyakorlat. Az első sort kibontva számítsuk ki a $ \ left | determinánst \ kezdődik (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ vége (tömb) \ jobbra | $
Megoldás.$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ vége (tömb) \ jobbra | \ balra nyíl = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $
$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ vége (tömb) \ jobbra | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ vége (tömb) \ jobbra | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ vége (tömb) \ jobbra | = -3 + 12-9 = 0 $
Válasz.
Ez a módszer lehetővé teszi, hogy egy determináns kiszámítását egy alacsonyabb rendű determináns kiszámítására redukáljuk.
Példa
Gyakorlat. A determináns kiszámítása $ \ bal | \ kezdődik (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ vége (tömb) \ jobbra | $
Megoldás. Végezzük el a következő transzformációkat a determináns sorain: vonjuk ki a második sorból az első négyet, a harmadikból pedig az első sort szorozzuk héttel, ennek eredményeként a determináns tulajdonságainak megfelelően megkapjuk a determinánst, amely egyenlő az adott.
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ vége (tömb) \ jobbra | = \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ end (tömb) \ right | = $$
$$ = \ maradt | \ kezdődik (tömb) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ vége (tömb) \ right | = \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ end (tömb) \ right | = 0 $$
A determináns nulla, mert a második és a harmadik sor arányos.
Válasz.$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ vége (tömb) \ jobbra | = 0 $
A negyedrendű és magasabb determinánsok kiszámításához vagy sor/oszlop kiterjesztést, háromszög alakra redukálást, vagy Laplace-tételt alkalmazunk.
Egy determináns bontása sor- vagy oszlopelemek szerint
Példa
Gyakorlat. A determináns kiszámítása $ \ bal | \ kezdődik (tömb) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (tömb) \ right | $, kibővítve valamelyik sor vagy oszlop elemeire.
Megoldás. Először hajtsunk végre elemi transzformációkat a determináns sorain úgy, hogy a lehető legtöbb nulla legyen akár a sorban, akár az oszlopban. Ehhez először vonjunk le kilencharmadot az első sorból, ötharmadot a másodikból és három harmadik sort a negyedikből, így kapjuk:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ vége (tömb) \ jobbra | = \ balra | \ kezdődik (tömb) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ vége (tömb) \ jobbra | = \ balra | \ kezdődik (tömb) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ vége (tömb) \ jobbra | $$
A kapott determinánst az első oszlop elemei bontják:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ vége (tömb) \ jobbra | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ left | \ kezdődik (tömb) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ vége (tömb) \ jobbra | + 0 $$
A kapott harmadrendű determinánst a sor- és oszlopelemek tekintetében is kibővítjük, miután korábban például az első oszlopban nullákat kaptunk. Ehhez vonja ki a második két sort az első sorból, és a másodikat a harmadikból:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ vége (tömb) \ right | = \ left | \ kezdődik (tömb) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ vége ( tömb) \ jobb | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ bal | \ kezdődik (tömb) (ll) (2) & (4) \\ (4) & (8) \ vége (tömb) \ jobbra | = $$
$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$
Válasz.$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ vége (tömb) \ jobbra | = 0 $
Megjegyzés
Az utolsó és az utolsó előtti determinánst nem lehetett volna kiszámítani, de azonnal arra a következtetésre jutottak, hogy egyenlők nullával, mivel arányos karakterláncokat tartalmaznak.
A determináns redukálása háromszög alakúra
Sorok vagy oszlopok feletti elemi transzformációk segítségével a determinánst háromszög alakúra redukáljuk, majd értéke a determináns tulajdonságai szerint megegyezik a főátlón lévő elemek szorzatával.
Példa
Gyakorlat. Számítsa ki a $ \ Delta = \ left | determinánst \ kezdődik (tömb) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ vége (tömb) \ right | $ háromszög alakúvá tételével.
Megoldás. Először a főátló alatti első oszlopban nullákat készítünk. Minden transzformáció könnyebb lesz, ha a $ a_ (11) $ elem egyenlő 1-gyel. Ehhez felcseréljük a determináns első és második oszlopát, ami a determináns tulajdonságainak megfelelően arra vezet, hogy hogy a jelét az ellenkezőjére változtatja:
$$ \ Delta = \ balra | \ kezdődik (tömb) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ vége (tömb) \ jobb | = - \ bal | \ kezdődik (tömb) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ vége (tömb) \ jobbra | $$
$$ \ Delta = - \ balra | \ kezdődik (tömb) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ vége (tömb) \ jobbra | $$
Ezután a második oszlopban nullákat kapunk a főátló alatti elemek helyére. Ismét, ha az átlós elem egyenlő $ \ pm 1 $, akkor a számítások egyszerűbbek lesznek. Ehhez felcseréljük a második és harmadik sort (és ezzel egyidejűleg a determináns ellenkező előjelére váltunk):
$$ \ Delta = \ balra | \ kezdődik (tömb) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ vége (tömb) \ jobbra | $$
TULAJDONSÁG 1. A determináns értéke nem változik, ha minden sorát oszlopra cseréljük, és minden sort egy azonos számú oszlopra cserélünk, azaz
TULAJDONSÁG 2. Egy determináns két oszlopának vagy két sorának permutációja egyenértékű annak -1-gyel való szorzásával. Például,
.
TULAJDONSÁG 3. Ha a determinánsnak két egyforma oszlopa vagy két egyforma sora van, akkor az egyenlő nullával.
TULAJDONSÁG 4. A determináns egy oszlopának vagy egy sorának minden elemét megszorozzuk tetszőleges k számmal, megegyezik a determináns ezzel a k számmal való szorzásával. Például,
.
TULAJDONSÁG 5. Ha valamelyik oszlop vagy sor minden eleme nulla, akkor maga a determináns is nulla. Ez az ingatlan különleges eset az előző (k = 0 esetén).
TULAJDONSÁG 6. Ha egy determináns két oszlopának vagy két sorának megfelelő elemei arányosak, akkor a determináns nulla.
TULAJDONSÁG 7. Ha a determináns n-edik oszlopának vagy n-edik sorának minden eleme két tag összege, akkor a determináns két determináns összegeként ábrázolható, amelyek közül az egyik az n-edik oszlopban, ill. , illetve az n-edik sorban van az első az említett feltételek közül, a másik pedig a második; a többi helyen lévő elemek megegyeznek a három meghatározó mérföldköveinél. Például,
TULAJDONSÁG 8. Ha valamelyik oszlop (vagy valamelyik sor) elemeihez hozzáadjuk egy másik oszlop (vagy másik sor) megfelelő elemeit, bármilyen közös tényezővel megszorozva, akkor a determináns értéke nem változik. Például,
.
A determinánsok további tulajdonságai az algebrai komplement és a moll fogalmához kapcsolódnak. Egy bizonyos elem mollja egy adott elemből egy olyan sor és egy oszlop törlésével kapott determináns, amelynek metszéspontjában ez az elem található.
A determináns bármely elemének algebrai komplementere egyenlő ennek az elemnek a saját előjelével vett molljával, ha annak a sornak és oszlopnak a számainak összege, amelynek metszéspontjában az elem található, páros szám, és ellenkező előjellel, ha ez a szám páratlan.
Egy elem algebrai kiegészítését egy olyan nagybetűvel fogjuk jelölni, amelynek neve és száma megegyezik azzal a betűvel, amely magát az elemet jelöli.
TULAJDONSÁG 9. Meghatározó
egyenlő bármely oszlop (vagy sor) elemeinek algebrai komplementereinek szorzatával.
Más szavakkal, a következő egyenlőségek teljesülnek:
, ,
, .
6) Minorok és algebrai kiegészítések.
Meghatározás. A determináns mellékeleme a th rendelés hívják döntő- th sorrendben, amelyet az adott döntő a -edik sor és -edik oszlop áthúzásával, amelyek metszéspontjában az elem áll.
Kijelölés:.
Meghatározás. A sorrenddetermináns elemének algebrai kiegészítését minornak nevezzük, páros szám esetén pluszjellel, egyébként mínuszjellel.
Kijelölés:.
Tétel. (A determináns kiterjesztéséről.)
A determináns egyenlő a determináns bármely sorának (vagy oszlopának) elemeinek algebrai komplementereinek szorzatával:
7) Inverz mátrix- ilyen mátrix A −1 , mellyel szorozva az eredeti mátrix A eredmények identitásmátrix E:
Négyzetes mátrix akkor és csak akkor visszafordítható, ha nem degenerált, vagyis annak döntő nem nulla. A nem négyzetes mátrixokhoz ill degenerált mátrixok nincsenek inverz mátrixok. Lehetséges azonban ezt a koncepciót általánosítani és bevezetni pszeudoinverz mátrixok, sok tulajdonságban hasonló az inverzhez.
8)Mátrix rang- a rendelések közül a legmagasabb kiskorúak ennek a nem nulla mátrixnak
Általában egy mátrix rangját () vagy jelöli. Mindkét megnevezés idegen nyelvből került hozzánk, ezért mindkettő használható.
Tulajdonságok
Tétel (az alapmollról): Legyen r = rang A M az A mátrix alapmollja, akkor:
az alapsorok és az alaposzlopok lineárisan függetlenek;
az A mátrix bármely sora (oszlopa) alapvető sorok (oszlopok) lineáris kombinációja.
Itt vannak azok a tulajdonságok, amelyeket általában a determinánsok kiszámításához használnak egy szabványos felsőfokú matematika kurzusban. Ez egy kiegészítő téma, amelyre szükség szerint hivatkozunk a többi részből.
Tehát legyen egy bizonyos négyzetmátrix $ A_ (n \ x n) = \ left (\ start (tömb) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ lpontok & a_ (2n) \\ \ lpontok & \ lpontok & \ lpontok & \ lpontok \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ lpontok & a_ (nn) \\ \ vége ( tömb) \ jobbra) $. Minden négyzetmátrixnak van egy jellemzője, amelyet determinánsnak (vagy determinánsnak) neveznek. Ennek a koncepciónak a lényegére itt nem térek ki. Ha pontosításra szorul, akkor megkérlek, hogy iratkozz le róla a fórumon, majd megérintem ez a probléma részletesebben.
A $ A $ mátrix determinánsát a következővel jelöljük: $ \ Delta A $, $ | A | $ vagy $ \ det A $. Meghatározó sorrend egyenlő a benne lévő sorok (oszlopok) számával.
- A determináns értéke nem változik, ha sorait a megfelelő oszlopokra cseréljük, pl. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.
mutat elrejt
Cseréljük ki a benne lévő sorokat oszlopokra a következő elv szerint: "volt az első sor - az első oszlop lett", "volt a második sor - a második oszlop lett":
Számítsuk ki a kapott determinánst: $ \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ end (tömb) \ right | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. Amint látható, a determináns értéke nem változott a helyettesítés óta.
- Ha a determináns két sorát (oszlopát) felcseréljük, akkor a determináns előjele az ellenkezőjére változik.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Tekintsük a $ \ left | determinánst \ kezdődik (tömb) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (tömb) \ right | $. Keressük meg az értékét az # 1 képlet segítségével a másod- és harmadrendű determinánsok kiszámítása témakörből:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (tömb) \ right | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$
Most cseréljük fel az első és a második sort. Megkapjuk a $ \ left | determinánst \ kezdődik (tömb) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (tömb) \ right | $. Számítsuk ki a kapott determinánst: $ \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (tömb) \ right | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. Tehát az eredeti determináns értéke (-37), a megváltozott sorrendű determináns értéke pedig $ - (- 37) = 37 $. Az azonosító jel az ellenkezőjére változott.
- Az a determináns, amelyben egy sor (oszlop) minden eleme nulla, egyenlő nullával.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Mivel a determinánsban $ \ balra | \ begin (tömb) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (tömb) \ right | $ a harmadik oszlop minden eleme nulla, akkor a determináns egyenlő nullával, azaz. $ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (tömb) \ right | = 0 $.
- Az a determináns, amelyben egy bizonyos sor (oszlop) minden eleme egyenlő egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeivel, egyenlő nullával.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Mivel a determinánsban $ \ balra | \ begin (tömb) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (tömb) \ right | $ Az első sor minden eleme megegyezik a megfelelő a második sor elemei, akkor a determináns nulla, azaz. $ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (tömb) \ right | = 0 $.
- Ha egy determinánsban egy sor (oszlop) minden eleme arányos egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeivel, akkor az ilyen determináns egyenlő nullával.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Mivel a determinánsban $ \ balra | \ kezdődik (tömb) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (tömb) \ right | $ a második és a harmadik sor arányos, azaz. $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $, akkor a determináns nulla, azaz. $ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (tömb) \ right | = 0 $.
- Ha egy sor (oszlop) minden elemének van közös tényezője, akkor ez a tényező kivehető a determináns előjeléből.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Tekintsük a $ \ left | determinánst \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (tömb) \ right | $. Figyeljük meg, hogy a második sor minden eleme osztható 3-mal:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (tömb) \ right | = \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (tömb) \ jobbra | $$
A 3-as szám a második sor összes elemének közös tényezője. Vegyük ki a hármat a meghatározó jelből:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (tömb) \ right | = \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (tömb) \ right | = 3 \ cdot \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \ end (tömb) \ jobb | $$
- A determináns nem változik, ha egy adott sor (oszlop) minden eleméhez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit tetszőleges számmal megszorozva.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Tekintsük a $ \ left | determinánst \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (tömb) \ right | $. Adjuk hozzá a második sor elemeihez a harmadik sor megfelelő elemeit, megszorozva 5-tel. Ezt a műveletet a következőképpen írjuk le: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. A második sor módosul, a többi sor változatlan marad.
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (tömb) \ jobb | \ kezdődik (tömb) (l) \ fantom (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ fantom (0) \ end (tömb) = \ balra | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (tömb) \ right | = \ left | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ end (tömb) \ right |. $$
- Ha a determináns egy bizonyos sora (oszlopa) más sorok (oszlopok) lineáris kombinációját tartalmazza, akkor a determináns nulla.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Hadd magyarázzam el azonnal, mit jelent a "lineáris kombináció" kifejezés. Tegyük fel, hogy van s sorunk (vagy oszlopunk): $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $. Kifejezés
$$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s, $$
ahol $ k_i \ R $-ban a $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $ sorok (oszlopok) lineáris kombinációjának nevezzük.
Vegyük például a következő meghatározót:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ vége (tömb) \ jobb | $$
Ebben a minősítőben a negyedik sor az első három sor lineáris kombinációjaként fejezhető ki:
$$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$
Ezért a vizsgált determináns nulla.
- Ha a determináns egy bizonyos k. sorának (k. oszlopának) minden eleme egyenlő két tag összegével, akkor az ilyen determináns egyenlő azoknak a determinánsoknak az összegével, amelyek közül az első a k. sorban ( kth oszlop) tartalmazza az első tagokat, a második determináns pedig a második tagokat a k-adik sorban (k. oszlop). Ezeknek a minősítőknek a többi eleme ugyanaz.
Példa a tulajdonság használatára: show \ hide
Tekintsük a $ \ left | determinánst \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (tömb) \ right | $. Írjuk fel a második oszlop elemeit így: $ \ left | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (tömb) \ right | $. Ekkor egy ilyen determináns egyenlő két determináns összegével:
$$ \ maradt | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (tömb) \ right | = \ left | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (tömb) \ right | = \ left | \ kezdődik (tömb) (cccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ end (tömb) \ right | + \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ end (tömb) \ jobb | $$
- Két azonos rendű négyzetmátrix szorzatának determinánsa egyenlő ezen mátrixok determinánsainak szorzatával, azaz. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. Ebből a szabályból a következő képletet kaphatja: $ \ det \ left (A ^ n \ right) = \ left (\ det A \ right) ^ n $.
- Ha a $ A $ mátrix nem degenerált (azaz a determinánsa nem nulla), akkor $ \ det \ left (A ^ (- 1) \ right) = \ frac (1) (\ det A) $.
Képletek a determinánsok kiszámításához
A második és harmadik rend determinánsaira a következő képletek érvényesek:
\ kezdődik (egyenlet) \ Delta A = \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ vége (tömb) \ jobbra | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ end (egyenlet) \ begin (egyenlet) \ begin (igazított) & \ Delta A = \ left | \ kezdődik (tömb) (cc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ end (tömb) \ jobb | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21) ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33) ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ end (igazított) \ end (egyenlet)
Példák az (1) és (2) képletek használatára a "Képletek másod- és harmadrendű determinánsok kiszámításához. Példák a determinánsok kiszámítására" témakörben.
A $ A_ (n \ x n) $ mátrix determinánsa a következőkkel bővíthető i-edik sor a következő képlet segítségével:
\ kezdődik (egyenlet) \ Delta A = \ summa \ limits_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (in) A_ (in) \ end (egyenlet)
Ennek a képletnek analógja az oszlopokhoz is létezik. A j-edik oszlopban lévő determináns kiterjesztésének képlete a következő:
\ kezdődik (egyenlet) \ Delta A = \ summa \ limits_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ end (egyenlet)
A (3) és (4) képletekkel kifejezett szabályokat a Determináns sorrendjének csökkentése témakörben példákkal részletesen szemléltetjük és kifejtjük. A determináns bontása soronként (oszloponként).
Adjunk meg még egy képletet a felső háromszög és az alsó háromszög mátrixok determinánsainak kiszámításához (e fogalmak magyarázatát lásd a "Mátrixok. Mátrixok típusai. Alapfogalmak" témakörben). Egy ilyen mátrix determinánsa megegyezik a főátlón lévő elemek szorzatával. Példák:
\ kezdődik (igazítva) & \ balra | \ kezdődik (tömb) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ end (tömb) \ jobb | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \\ & \ bal | \ kezdődik (tömb) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ end (tömb) \ jobbra | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. \ vége (igazítva)
