ՄՈԴԵԼԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՍԽԵՄԵՐՆԵՐ

ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼՆԵՐԻ ԿԱՌՈՒՑՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄՈՏԵՑՈՒՄՆԵՐԸ.

Համակարգերի գործունեության գործընթացների մաթեմատիկական մոդելների կառուցման սկզբնական տեղեկատվությունը հետազոտվող (նախագծված) համակարգի նպատակի և գործառնական պայմանների վերաբերյալ տվյալներն են: Ս... Այս տեղեկատվությունը սահմանում է համակարգի մոդելավորման հիմնական նպատակը: Սև թույլ է տալիս ձևակերպել մշակված մաթեմատիկական մոդելի պահանջները Մ.Ավելին, աբստրակցիայի մակարդակը կախված է այն հարցերի շրջանակից, որոնց համակարգային հետազոտողը ցանկանում է մոդելի միջոցով ստանալ պատասխան և որոշ չափով որոշում է մաթեմատիկական սխեմայի ընտրությունը:

Մաթեմատիկական սխեմաներ.Մաթեմատիկական սխեմայի հայեցակարգի ներդրումը թույլ է տալիս մաթեմատիկան դիտարկել ոչ թե որպես հաշվարկման մեթոդ, այլ որպես մտածողության մեթոդ, որպես հասկացությունների ձևակերպման միջոց, որն ամենակարևորն է համակարգի բանավոր նկարագրությունից դեպի անցում կատարելիս։ դրա գործունեության գործընթացի պաշտոնական ներկայացում մաթեմատիկական որոշ մոդելի տեսքով (վերլուծական կամ իմիտացիոն): Մաթեմատիկական սխեման օգտագործելիս, առաջին հերթին, S համակարգի հետազոտողին պետք է հետաքրքրի ուսումնասիրվող համակարգում իրական գործընթացների կոնկրետ սխեմաների տեսքով քարտեզագրման համարժեքության հարցը, և ոչ թե ստանալու հնարավորությունը: պատասխանել (լուծման արդյունք) կոնկրետ հետազոտական ​​հարցին: Օրինակ, կոլեկտիվ տեղեկատվական հաշվողական համակարգի գործունեության գործընթացի ներկայացումը հերթագրման սխեմաների ցանցի տեսքով հնարավորություն է տալիս լավ նկարագրել համակարգում տեղի ունեցող գործընթացները, սակայն մուտքային հոսքերի և սպասարկման հոսքերի բարդ օրենքներով այն. հնարավորություն չի տալիս հստակ ձևով արդյունքներ ստանալ:

Մաթեմատիկական սխեմակարող է սահմանվել որպես համակարգի գործունեության գործընթացի իմաստալից դեպի պաշտոնական նկարագրության անցման օղակ՝ հաշվի առնելով արտաքին միջավայրի ազդեցությունը, այսինքն՝ գոյություն ունի շղթա «նկարագրական մոդել - մաթեմատիկական սխեման - մաթեմատիկական (վերլուծական և / կամ իմիտացիա) մոդել»։

Յուրաքանչյուր հատուկ համակարգ S բնութագրվում է մի շարք հատկություններով, որոնք հասկացվում են որպես արժեքներ, որոնք արտացոլում են մոդելավորված օբյեկտի (իրական համակարգի) վարքագիծը և հաշվի են առնում դրա գործելու պայմանները արտաքին միջավայրի (համակարգի) հետ փոխազդեցության մեջ: Ե.Համակարգի մաթեմատիկական մոդելը կառուցելիս անհրաժեշտ է լուծել դրա ամբողջականության հարցը։ Մոդելի ամբողջականությունը հիմնականում կարգավորվում է սահմանային «համակարգի S - միջավայրի ընտրությամբ Ե» . Նաև պետք է լուծվի մոդելի պարզեցման խնդիրը, որն օգնում է ընդգծել համակարգի հիմնական հատկությունները՝ դեն նետելով երկրորդականները։ Ավելին, համակարգի հատկությունների վերագրումը հիմնականին կամ երկրորդին էապես կախված է համակարգի մոդելավորման նպատակից (օրինակ՝ համակարգի գործելու գործընթացի հավանական-ժամանակային բնութագրերի վերլուծությունը, սինթեզը. համակարգի կառուցվածքը և այլն):

Օբյեկտի պաշտոնական մոդելը.Մոդելավորման օբյեկտի մոդելը, այսինքն՝ S համակարգը, կարող է ներկայացվել որպես մեծությունների մի շարք, որոնք նկարագրում են իրական համակարգի գործելու գործընթացը և ընդհանուր առմամբ կազմում են հետևյալ ենթաբազմությունները. մուտքագրման գործողություններմեկ համակարգի համար

;

ագրեգատ շրջակա միջավայրի ազդեցությունները

;

ագրեգատ ներքին, (սեփական) պարամետրերհամակարգեր

;

ագրեգատ ելքային բնութագրերըհամակարգեր

.

Ավելին, թվարկված ենթաբազմություններում կարելի է առանձնացնել կառավարվող և չկառավարվող փոփոխականները։ Ընդհանուր առմամբ , , , տարանջատված ենթաբազմությունների տարրեր են և պարունակում են ինչպես դետերմինիստական, այնպես էլ ստոխաստիկ բաղադրիչներ:

S համակարգը մոդելավորելիս մուտքային ազդեցությունները, արտաքին միջավայրի ազդեցությունները Եիսկ համակարգի ներքին պարամետրերն են անկախ (էկզոգեն) փոփոխականներ,որոնք վեկտորի տեսքով ունեն ձևը,,, իսկ համակարգի ելքային բնութագրերն են կախված (էնդոգեն) փոփոխականներիսկ վեկտորի տեսքով ունեն ձևը):

S համակարգի գործարկման գործընթացը օպերատորի կողմից ժամանակին նկարագրված է Ֆ ս , որը ընդհանուր դեպքում էկզոգեն փոփոխականները ձևափոխում է էնդոգենների՝ ձևի հարաբերություններին համապատասխան

. (1)

Համակարգի ելքային բնութագրերի ժամանակից կախվածության ամբողջությունը y ժ (տ) բոլոր տեսակի համար
կանչեց ելքային հետագիծ
. Կախվածությունը (1) կոչվում է համակարգի գործող օրենքՍ և նշվում է Ֆ ս . Ընդհանուր դեպքում՝ համակարգի գործունեության օրենքը Ֆ ս կարող է սահմանվել ֆունկցիայի, ֆունկցիոնալ, տրամաբանական պայմանների տեսքով, ալգորիթմական և աղյուսակային ձևերով կամ բառային համապատասխանության կանոնի տեսքով։

Համակարգի նկարագրության և ուսումնասիրության համար շատ կարևոր է Ս հասկացությունը գործելու ալգորիթմԱ ս , որը հասկացվում է որպես ելքային բնութագրերի ստացման մեթոդ՝ հաշվի առնելով մուտքային ազդեցությունները
, շրջակա միջավայրի ազդեցությունները
և համակարգի սեփական պարամետրերը
. Ակնհայտ է, որ գործելու նույն օրենքը Ֆ ս S համակարգը կարող է իրականացվել տարբեր ձևերով, այսինքն՝ օգտագործելով բազմաթիվ տարբեր ալգորիթմներ գործելու համար Ա ս .

Հարաբերությունները (1) մոդելավորման օբյեկտի (համակարգի) վարքագծի մաթեմատիկական նկարագրությունն են ժամանակի մեջ. տ, այսինքն՝ արտացոլում են նրա դինամիկ հատկությունները։ Հետեւաբար, այս տեսակի մաթեմատիկական մոդելները սովորաբար կոչվում են դինամիկ մոդելներ(համակարգեր):

Համար ստատիկ մոդելներմաթեմատիկական մոդելը (1) մոդելավորված օբյեկտի հատկությունների երկու ենթաբազմությունների քարտեզագրումն է Յ և { X, Վ, Հ),որը վեկտորային ձևով կարելի է գրել

. (2)

(1) և (2) հարաբերությունները կարող են սահմանվել տարբեր ձևերով՝ վերլուծական (օգտագործելով բանաձևեր), գրաֆիկական, աղյուսակային և այլն: Նման հարաբերությունները որոշ դեպքերում կարելի է ձեռք բերել S համակարգի հատկությունների միջոցով որոշակի ժամանակներում, որոնք կոչվում են. պետությունները։ S համակարգի վիճակը բնութագրվում է վեկտորներով

և
,

որտեղ
,
, …,
այս պահին
;
,
, …,
այս պահին
և այլն,
.

Եթե ​​S համակարգի գործելու գործընթացը դիտարկենք որպես վիճակների հաջորդական փոփոխություն
, ապա դրանք կարող են մեկնաբանվել որպես կետի կոորդինատներ Դեպի- ծավալային փուլային տարածություն. Ավելին, գործընթացի յուրաքանչյուր իրականացում կհամապատասխանի որոշակի փուլային հետագծի: Պետությունների բոլոր հնարավոր արժեքների հավաքածուն կանչեց պետական ​​տարածքմոդելավորման օբյեկտ Զ, ընդ որում
.

S համակարգի վիճակները ժամանակի պահին տ 0 < տ*Տ ամբողջությամբ որոշվում են նախնական պայմաններով
[որտեղ
,
, …,
], մուտքային ազդեցություններ
, սեփական համակարգի պարամետրերը
և շրջակա միջավայրի ազդեցությունները
, որը տեղի է ունեցել որոշակի ժամանակահատվածում տ*- տ 0 , Հետօգտագործելով երկու վեկտորային հավասարումներ

; (3)

. (4)

Նախնական վիճակի առաջին հավասարումը և էկզոգեն փոփոխականներ
սահմանում է վեկտորային ֆունկցիա
, իսկ երկրորդը՝ ըստ պետությունների ստացված արժեքի
- էնդոգեն փոփոխականներ համակարգի ելքում
. Այսպիսով, օբյեկտի «մուտք-վիճակ-ելք» հավասարումների շղթան թույլ է տալիս որոշել համակարգի բնութագրերը.

. (5)

Ընդհանուր դեպքում S համակարգի մոդելում ժամանակը կարելի է դիտարկել մոդելավորման միջակայքում (0, T)ինչպես շարունակական, այնպես էլ դիսկրետ, այսինքն՝ քվանտացված երկարության հատվածների
ժամանակի միավորներ յուրաքանչյուր երբ
, որտեղ
- նմուշառման ընդմիջումների քանակը.

Այսպիսով, տակ օբյեկտի մաթեմատիկական մոդելը(իրական համակարգ) հասկանալ փոփոխականների վերջավոր ենթաբազմություն (
} նրանց և բնութագրերի միջև մաթեմատիկական հարաբերությունների հետ միասին
.

Եթե ​​մոդելավորման օբյեկտի մաթեմատիկական նկարագրությունը չի պարունակում պատահականության տարրեր կամ դրանք հաշվի չեն առնվում, այսինքն՝ եթե կարելի է ենթադրել, որ այս դեպքում արտաքին միջավայրի ստոխաստիկ ազդեցությունները.
և ստոխաստիկ ներքին պարամետրեր
բացակայում են, ապա մոդելը կոչվում է դետերմինիստականայն իմաստով, որ բնութագրերը եզակիորեն որոշվում են դետերմինիստական ​​մուտքերով

. (6)

Ակնհայտ է, որ դետերմինիստական ​​մոդելը ստոխաստիկ մոդելի հատուկ դեպք է:

Տիպիկ սխեմաներ.Տրված մաթեմատիկական հարաբերությունները ներկայացնում են ընդհանուր մաթեմատիկական սխեմաներ և թույլ են տալիս նկարագրել համակարգերի լայն դաս։ Այնուամենայնիվ, համակարգերի ճարտարագիտության և համակարգերի վերլուծության ոլորտում օբյեկտների մոդելավորման պրակտիկայում համակարգի հետազոտության սկզբնական փուլերում ավելի ռացիոնալ է օգտագործել. բնորոշ մաթեմատիկական սխեմաներ.դիֆերենցիալ հավասարումներ, վերջավոր և հավանականական ավտոմատներ, հերթագրման համակարգեր, Պետրի ցանցեր և այլն։

Չունենալով ընդհանրության այնպիսի աստիճան, ինչպիսին դիտարկվող մոդելներն են, բնորոշ մաթեմատիկական սխեմաներն ունեն պարզության և պարզության առավելություններ, սակայն կիրառման հնարավորությունների զգալի նեղացումով: Դիֆերենցիալ, ինտեգրալ, ինտեգրո-դիֆերենցիալ և այլ հավասարումներ օգտագործվում են շարունակական ժամանակում գործող համակարգերը որպես դետերմինիստական ​​մոդելներ ներկայացնելու համար, երբ ուսումնասիրության մեջ պատահական գործոնները հաշվի չեն առնվում, և վերջավոր ավտոմատներ և վերջավոր տարբերություններ սխեմաներ են օգտագործվում՝ ներկայացնելու համար գործող համակարգերը: դիսկրետ ժամանակ.... Հավանական ավտոմատներն օգտագործվում են որպես ստոխաստիկ մոդելներ (հաշվի առնելով պատահական գործոնները)՝ դիսկրետ ժամանակով համակարգերը ներկայացնելու համար, իսկ հերթային համակարգերը՝ շարունակական ժամանակով համակարգերը և այլն:

Թվարկված տիպիկ մաթեմատիկական սխեմաները, իհարկե, չեն կարող հավակնել, թե կարող են իրենց հիման վրա նկարագրել տեղեկատվական կառավարման խոշոր համակարգերում տեղի ունեցող բոլոր գործընթացները: Նման համակարգերի համար որոշ դեպքերում ավելի խոստումնալից է ագրեգատային մոդելների օգտագործումը:

Համախառն մոդելները (համակարգերը) հնարավորություն են տալիս նկարագրել հետազոտական ​​օբյեկտների լայն շրջանակ՝ այդ օբյեկտների համակարգային բնույթի արտացոլմամբ: Հենց համախառն նկարագրությամբ է, որ բարդ օբյեկտը (համակարգը) բաժանվում է վերջավոր թվով մասերի (ենթահամակարգերի)՝ միաժամանակ պահպանելով մասերի փոխազդեցությունն ապահովող կապերը։

Այսպիսով, համակարգերի գործունեության գործընթացների մաթեմատիկական մոդելներ կառուցելիս կարելի է առանձնացնել հետևյալ հիմնական մոտեցումները՝ շարունակական-դետերմինիստական ​​(օրինակ՝ դիֆերենցիալ հավասարումներ); դիսկրետ-դետերմինիստական ​​(վերջավոր ավտոմատներ); դիսկրետ ստոխաստիկ (հավանական ավտոմատներ); շարունակական-ստոխաստիկ (հերթային համակարգեր); ընդհանրացված կամ ունիվերսալ (ագրեգատային համակարգեր):

ՇԱՐՈՒՆԱԿԱԿԱՆ ՈՐՈՇՄԱՆ ՄՈԴԵԼՆԵՐ (D-CIRCUITS)

Դիտարկենք շարունակական-դետերմինիստական ​​մոտեցման առանձնահատկությունները դիֆերենցիալ հավասարումները որպես մաթեմատիկական մոդելներ օգտագործելու օրինակով։ Դիֆերենցիալ հավասարումներկոչվում են այնպիսի հավասարումներ, որոնցում մեկ կամ մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաները անհայտ են, և հավասարումը ներառում է ոչ միայն ֆունկցիաներ, այլև դրանց տարբեր կարգերի ածանցյալներ։ Եթե ​​անհայտները մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ են, ապա հավասարումները կոչվում են մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ, հակառակ դեպքում՝ միայն մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիաները դիտարկելիս հավասարումները կոչվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ։

Հիմնական հարաբերություններ.Սովորաբար նման մաթեմատիկական մոդելներում ժամանակը օգտագործվում է որպես անկախ փոփոխական, որից կախված են անհայտ փնտրվող ֆունկցիաները։ տ. Այնուհետև դետերմինիստական ​​համակարգերի մաթեմատիկական կապը (6) ընդհանուր ձևով կլինի

, (7)

որտեղ
,
և
- Պ- ծավալային վեկտորներ;
- վեկտոր-ֆունկցիա, որը սահմանված է որոշ ( Պ+1) - ծավալային
սահմանված է և շարունակական է։

Քանի որ այս տեսակի մաթեմատիկական սխեմաները արտացոլում են ուսումնասիրվող համակարգի դինամիկան, այսինքն՝ ժամանակի ընթացքում դրա վարքագիծը, դրանք կոչվում են. Դ- սխեմաներ(անգլ. դինամիկ).

Ամենապարզ դեպքում սովորական դիֆերենցիալ հավասարումն ունի ձև

. (8)

Համակարգային ճարտարագիտության ամենակարևոր հավելվածը Դ- սխեմանորպես մաթեմատիկական ապարատ ավտոմատ կառավարման տեսության մեջ։ D- սխեմաների կառուցման և կիրառման առանձնահատկությունները ցույց տալու համար դիտարկենք տարբեր ֆիզիկական բնույթի երկու տարրական համակարգերի գործարկման գործընթացի պաշտոնականացման ամենապարզ օրինակը՝ մեխանիկական. Ս Մ (ճոճանակի տատանումներ, Նկ. 1, ա) և էլեկտրական S K (տատանողական միացում, Նկ. 1, բ):

Բրինձ. 1. Տարրական համակարգեր

Ճոճանակի փոքր տատանումների գործընթացը նկարագրվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարմամբ

որտեղ
- ճոճանակի կախոցի զանգվածը և երկարությունը. է - ազատ անկման արագացում;
- ճոճանակի շեղման անկյունը ժամանակի պահին տ.

Ճոճանակի ազատ տատանումների այս հավասարումից կարելի է գտնել հետաքրքրություն ներկայացնող բնութագրերի գնահատականները: Օրինակ՝ ճոճանակի ճոճանակի շրջանը

.

Նմանապես, էլեկտրական տատանողական սխեմայի գործընթացները նկարագրվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարմամբ

որտեղ Լ Դեպի , ՀԵՏ Դեպի - կոնդենսատորի ինդուկտիվություն և հզորություն; ք(տ) - կոնդենսատորի լիցքավորումը ժամանակին տ.

Այս հավասարումից դուք կարող եք ստանալ տարբեր գնահատականներ տատանողական շղթայում գործընթացի բնութագրերի վերաբերյալ: Օրինակ՝ էլեկտրական տատանումների ժամանակաշրջանը

.

Ակնհայտորեն, ներկայացնելով նշումը
,
, ,
, մենք ստանում ենք սովորական երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը նկարագրում է այս փակ հանգույցի համակարգի վարքը.

որտեղ
- համակարգի պարամետրեր; զ(տ) - համակարգի վիճակը ժամանակին տ.

Այսպիսով, այս երկու օբյեկտների վարքագիծը կարելի է ուսումնասիրել ընդհանուր մաթեմատիկական մոդելի հիման վրա (9): Բացի այդ, հարկ է նշել, որ համակարգերից մեկի վարքագիծը կարելի է վերլուծել՝ օգտագործելով մյուսը: Օրինակ՝ ճոճանակի վարքագիծը (համակարգ Ս Մ) կարելի է ուսումնասիրել էլեկտրական տատանողական սխեմայի (համակարգ Ս Կ).

Եթե ​​ուսումնասիրվող համակարգը Ս, այսինքն՝ ճոճանակը կամ եզրագիծը, փոխազդում է արտաքին միջավայրի հետ Ե,ապա մուտքագրման գործողություն է հայտնվում X(տ) (ճոճանակի արտաքին ուժը և շղթայի էներգիայի աղբյուրը) և նման համակարգի շարունակական-դետերմինիստական ​​մոդելը կունենա ձև.

Մաթեմատիկական մոդելի ընդհանուր սխեմայի տեսանկյունից X(տ) մուտքային (կառավարման) գործողությունն է, և S համակարգի վիճակը այս դեպքում կարելի է համարել ելքային հատկանիշ, այսինքն՝ ենթադրել, որ ելքային փոփոխականը համընկնում է տվյալ պահին համակարգի վիճակի հետ։ y =զ.

Հնարավոր հավելվածներ.Համակարգային ճարտարագիտության խնդիրները լուծելիս մեծ նշանակություն ունեն խոշոր համակարգերի կառավարման խնդիրները։ Ուշադրություն դարձրեք համակարգերին ավտոմատ կառավարում- նկարագրված դինամիկ համակարգերի հատուկ դեպք Դ- սխեմաներև ընդգծված մոդելների առանձին դասում՝ իրենց գործնական առանձնահատկությունների պատճառով:

Ավտոմատ կառավարման գործընթացները նկարագրելիս նրանք սովորաբար հավատարիմ են մնում իրական օբյեկտի ներկայացմանը երկու համակարգերի տեսքով՝ հսկիչ և վերահսկվող (վերահսկման օբյեկտ): Ընդհանուր բազմաչափ ավտոմատ կառավարման համակարգի կառուցվածքը ներկայացված է Նկ. 2, որտեղ են նշանակված էնդոգեն փոփոխականներ:
- մուտքային (հիմնական) ազդեցությունների վեկտոր;
- անհանգստացնող ազդեցությունների վեկտոր;
- սխալի ազդանշանների վեկտոր;
- հսկողության գործողությունների վեկտոր; էկզոգեն փոփոխականներ:
- S համակարգի վիճակների վեկտորը;
սովորաբար ելքային փոփոխականների վեկտոր է
=
.

Բրինձ. 2. Ավտոմատ կառավարման համակարգի կառուցվածքը

Ժամանակակից կառավարման համակարգը ծրագրային և ապարատային գործիքների մի շարք է, որոնք ապահովում են վերահսկողության օբյեկտի կողմից որոշակի նպատակի իրագործումը: Թե որքանով է ճշգրիտ հսկիչ օբյեկտը հասնում տվյալ նպատակին, կարելի է դատել միաչափ համակարգի համար պետական ​​կոորդինատով: ժամը (տ). Տրվածի տարբերությունը ժամը հետույքը (տ) և վավերական ժամը (տ) Վերահսկվող փոփոխականի փոփոխության օրենքը վերահսկման սխալ է . Եթե ​​վերահսկվող մեծության փոփոխության սահմանված օրենքը համապատասխանում է մուտքային (հիմնական) գործողության փոփոխության օրենքին, այսինքն.
, ապա
.

Համակարգեր, որոնց վերահսկման սխալները
բոլոր ժամանակներում կոչվում են իդեալական: Գործնականում իդեալական համակարգերի ներդրումն անհնար է։ Այսպիսով, սխալը հ"(տ) - ավտոմատ կառավարման անհրաժեշտ տարր, որը հիմնված է բացասական արձագանքի սկզբունքի վրա, քանի որ ելքային փոփոխականը համապատասխանեցնելու համար y(տ) դրա նշված արժեքը օգտագործում է տեղեկատվություն դրանց միջև եղած շեղումների մասին: Ավտոմատ կառավարման համակարգի խնդիրն է փոխել փոփոխականը y(տ) տվյալ օրենքի համաձայն՝ որոշակի ճշգրտությամբ (ընդունելի սխալով)։ Ավտոմատ կառավարման համակարգերի նախագծման և շահագործման ժամանակ անհրաժեշտ է ընտրել համակարգի հետևյալ պարամետրերը Ս, որը կապահովի կառավարման պահանջվող ճշգրտությունը, ինչպես նաև համակարգի կայունությունը անցողիկ գործընթացում։

Եթե ​​համակարգը կայուն է, ապա համակարգի վարքագիծը ժամանակին գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում, վերահսկվող փոփոխականի առավելագույն շեղումը ժամը (տ) անցողիկ գործընթացում, անցողիկ գործընթացի ժամանակը և այլն: Եզրակացություններ տարբեր դասերի ավտոմատ կառավարման համակարգերի հատկությունների մասին կարելի է անել դիֆերենցիալ հավասարումների տեսքով, որոնք մոտավորապես նկարագրում են համակարգերի գործընթացները: Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը և դրա գործակիցների արժեքները լիովին որոշվում են համակարգի ստատիկ և դինամիկ պարամետրերով: Ս.

Այսպիսով, օգտագործելով Դ- սխեմանթույլ է տալիս պաշտոնականացնել շարունակական-դետերմինիստական ​​համակարգերի գործելու գործընթացը Սև գնահատել դրանց հիմնական բնութագրերը՝ օգտագործելով վերլուծական կամ սիմուլյացիոն մոտեցում, որն իրականացվում է համապատասխան լեզվի տեսքով՝ շարունակական համակարգերի մոդելավորման կամ անալոգային և հիբրիդային հաշվողական սարքերի օգտագործման համար:

Դասակարգումը փորձագիտական ​​ցանկացած ոլորտում էական է: Այն թույլ է տալիս ընդհանրացնել կուտակված փորձը, պարզեցնել առարկայական ոլորտի հասկացությունները: Մաթեմատիկական մոդելավորման մեթոդների արագ զարգացումը և դրանց կիրառման ոլորտների բազմազանությունը հանգեցրին տարբեր տեսակների մեծ թվով մոդելների առաջացման և մոդելները դասակարգելու անհրաժեշտության այն կատեգորիաների, որոնք համընդհանուր են բոլոր մոդելների համար կամ անհրաժեշտ են ոլորտում: կառուցված մոդելի, օրինակ. Եկեք օրինակ բերենք որոշ կատեգորիաների. օգտագործման տարածք; հաշվի առնելով մոդելի ժամանակի գործոնը (դինամիկան); գիտելիքի ճյուղ; մոդելների ներկայացման ձևը; պատահական (կամ անորոշ) գործոնների առկայությունը կամ բացակայությունը. արդյունավետության չափանիշի տեսակը և սահմանված սահմանափակումները և այլն։

Վերլուծելով մաթեմատիկական գրականությունը՝ մենք առանձնացրել ենք դասակարգման ամենատարածված նշանները.

1. Համաձայն իրականացման մեթոդի (ներառյալ ֆորմալ լեզուն) բոլոր մաթեմատիկական մոդելները կարելի է բաժանել. վերլուծական և ալգորիթմական:

Վերլուծական - մոդելներ, որոնք օգտագործում են ստանդարտ մաթեմատիկական լեզու: Մոդելավորում - մոդելներ, որոնցում օգտագործվում է հատուկ մոդելավորման լեզու կամ ունիվերսալ ծրագրավորման լեզու:

Վերլուծական մոդելները կարող են գրվել վերլուծական արտահայտությունների տեսքով, այսինքն. թվաբանական գործողություններ պարունակող մի շարք թվաբանական գործողություններ պարունակող արտահայտությունների և սահմանի անցումներ, օրինակ՝. Հանրահաշվական արտահայտությունը վերլուծական արտահայտության հատուկ դեպք է, արդյունքում տալիս է ճշգրիտ նշանակություն։ Կան նաև կոնստրուկցիաներ, որոնք թույլ են տալիս գտնել ստացված արժեքը տվյալ ճշտությամբ (օրինակ՝ տարրական ֆունկցիայի ընդլայնում ուժային շարքում)։ Այս տեխնիկան օգտագործող մոդելները կոչվում են մոտավոր:

Իր հերթին, վերլուծական մոդելները բաժանվում են տեսական և էմպիրիկմոդելներ. Տեսական մոդելներն արտացոլում են իրական կառուցվածքներն ու գործընթացները ուսումնասիրվող օբյեկտներում, այսինքն՝ հիմնված են իրենց աշխատանքի տեսության վրա։ Էմպիրիկ մոդելները կառուցված են շրջակա միջավայրի պայմանների փոփոխության նկատմամբ օբյեկտի ռեակցիաների ուսումնասիրության հիման վրա: Այս դեպքում օբյեկտի գործողության տեսությունը չի դիտարկվում, օբյեկտն ինքնին այսպես կոչված «սև արկղ» է, իսկ մոդելը որոշակի ինտերպոլացիոն կախվածություն է։ Էմպիրիկ մոդելները կարող են կառուցվել փորձարարական տվյալների հիման վրա: Այս տվյալները ստացվում են անմիջապես ուսումնասիրվող օբյեկտների վրա կամ դրանց ֆիզիկական մոդելների օգնությամբ։

Եթե ​​գործընթացը հնարավոր չէ նկարագրել վերլուծական մոդելի տեսքով, այն նկարագրվում է հատուկ ալգորիթմի կամ ծրագրի միջոցով: Այս մոդելը ալգորիթմական է: Ալգորիթմական մոդելներ կառուցելիս օգտագործվում են թվային կամ սիմուլյացիոն մոտեցումներ։ Թվային մոտեցման մեջ մաթեմատիկական հարաբերությունների բազմությունը փոխարինվում է վերջավոր անալոգով (օրինակ՝ շարունակական արգումենտի ֆունկցիայից անցում դիսկրետ արգումենտի ֆունկցիայի)։ Այնուհետև կառուցվում է հաշվողական ալգորիթմ, այսինքն. թվաբանական և տրամաբանական գործողությունների հաջորդականություն. Դիսկրետ անալոգի հայտնաբերված լուծումը վերցված է որպես սկզբնական խնդրի մոտավոր լուծում։ Մոդելավորման մոտեցման դեպքում մոդելավորման օբյեկտն ինքնին դիսկրետացված է, և կառուցվում են համակարգի առանձին տարրերի մոդելներ:

2. Ըստ մաթեմատիկական մոդելների ներկայացման ձևի՝ առանձնանում են.

1) Ինվարիանտ մոդելը մաթեմատիկական մոդել է, որը ներկայացված է հավասարումների համակարգով (դիֆերենցիալ, հանրահաշվական)՝ առանց այդ հավասարումների լուծման մեթոդները հաշվի առնելու։

2) Հանրահաշվական մոդել - մոդելների հարաբերակցությունը կապված է ընտրված թվային լուծման մեթոդի հետ և գրվում է ալգորիթմի (հաշվարկների հաջորդականության) տեսքով:

3) Վերլուծական մոդել - ցանկալի փոփոխականների բացահայտ կախվածությունն է տվյալ արժեքներից: Նման մոդելները ստացվում են ֆիզիկական օրենքների հիման վրա կամ սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումների ուղղակի ինտեգրման արդյունքում՝ օգտագործելով աղյուսակային ինտեգրալներ։ Դրանք ներառում են նաև փորձարարական արդյունքների հիման վրա ստացված ռեգրեսիոն մոդելներ։

4) Գրաֆիկական մոդելը ներկայացված է գրաֆիկների, համարժեք սխեմաների, գծապատկերների և այլնի տեսքով. Գրաֆիկական մոդելներ օգտագործելու համար պետք է լինի գրաֆիկի տարրերի պայմանական պատկերների և անփոփոխ մաթեմատիկական մոդելի բաղադրիչների միանշանակ համապատասխանության կանոն։

3. Կախված արդյունավետության չափանիշի տեսակից և սահմանված սահմանափակումներից՝ մոդելները բաժանվում են. գծային և ոչ գծային:Գծային մոդելներում արդյունավետության չափանիշը և պարտադրված սահմանափակումները մոդելի փոփոխականների գծային ֆունկցիաներն են (հակառակ դեպքում՝ ոչ գծային մոդելներ): Գործնականում միանգամայն ընդունելի է արդյունավետության չափանիշի և մոդելային փոփոխականների վրա պարտադրված սահմանափակումների գծային կախվածության մասին ենթադրությունը: Սա հնարավորություն է տալիս որոշումներ կայացնելու համար օգտագործել լավ զարգացած գծային ծրագրավորման ապարատ:

4. Հաշվի առնելով օգտագործման ժամանակի և տարածքի գործոնը՝ առանձնացնում են ստատիկ և դինամիկ մոդելներ... Եթե ​​մոդելում ներառված բոլոր մեծությունները կախված չեն ժամանակից, ապա մենք ունենք օբյեկտի կամ գործընթացի ստատիկ մոդել (օբյեկտի վերաբերյալ տեղեկատվության մեկանգամյա հատված): Նրանք. ստատիկ մոդելը այն մոդելն է, որտեղ ժամանակը փոփոխական չէ: Դինամիկ մոդելը թույլ է տալիս ժամանակի ընթացքում տեսնել օբյեկտի փոփոխությունները:

5. Կախված որոշում կայացնող կողմերի թվից՝ առանձնանում են մաթեմատիկական մոդելների երկու տեսակ. նկարագրական և նորմատիվ... Նկարագրական մոդելում որոշում կայացնողներ չկան: Ֆորմալ կերպով նկարագրական մոդելում նման կողմերի թիվը զրո է: Նման մոդելների բնորոշ օրինակ է հերթագրման համակարգի մոդելը։ Հուսալիության տեսությունը, գրաֆիկների տեսությունը, հավանականության տեսությունը, վիճակագրական փորձարկման մեթոդը (Մոնտե Կառլոյի մեթոդ) կարող են օգտագործվել նաև նկարագրական մոդելներ կառուցելու համար։

Նորմատիվ մոդելի բազմաթիվ ասպեկտներ կան: Սկզբունքորեն կարելի է առանձնացնել նորմատիվ մոդելների երկու տեսակ՝ օպտիմալացման մոդելներ և խաղերի տեսական մոդելներ։ Օպտիմալացման մոդելներում լուծումների մշակման հիմնական խնդիրը տեխնիկապես կրճատվում է մինչև արդյունավետության չափանիշի խիստ առավելագույնի հասցնել կամ նվազագույնի հասցնել, այսինքն. Որոշվում են վերահսկվող փոփոխականների այնպիսի արժեքներ, որոնց դեպքում արդյունավետության չափանիշը հասնում է ծայրահեղ արժեքի (առավելագույն կամ նվազագույն):

Օպտիմալացման մոդելներով ցուցադրվող լուծումների մշակման համար դասական և նոր փոփոխական մեթոդների հետ միասին (ծայրահեղ որոնում) առավել լայնորեն կիրառվում են մաթեմատիկական ծրագրավորման մեթոդները (գծային, ոչ գծային, դինամիկ): Խաղ-տեսական մոդելը բնութագրվում է կողմերի քանակի (առնվազն երկու) բազմակիությամբ: Եթե ​​կան երկու հակադիր շահեր ունեցող կուսակցություններ, ապա կիրառվում է խաղերի տեսությունը, եթե կուսակցությունների թիվը երկուսից ավելի է, և նրանց միջև կոալիցիաներն ու փոխզիջումները անհնարին են, ապա կիրառվում է ոչ կոալիցիոն խաղերի տեսությունը։ nանձինք.

6. Կախված պատահական (կամ անորոշ) գործոնների առկայությունից կամ բացակայությունից՝ կան որոշիչ և ստոխաստիկմաթեմատիկական մոդելներ. Դետերմինիստական ​​մոդելներում բոլոր հարաբերությունները, փոփոխականները և հաստատունները ճշգրտորեն նշվում են, ինչը հանգեցնում է ստացված ֆունկցիայի միանշանակ սահմանմանը: Դետերմինիստական ​​մոդելը կառուցվում է այն դեպքերում, երբ գործողության արդյունքի վրա ազդող գործոններն իրենց թույլ են տալիս բավականաչափ ճշգրիտ չափումներ կամ գնահատումներ կատարել, իսկ պատահական գործոնները կա՛մ բացակայում են, կա՛մ կարող են անտեսվել:

Եթե ​​մոդելում ներառված որոշ պարամետրեր կամ բոլորն իրենց բնույթով պատահական փոփոխականներ են կամ պատահական ֆունկցիաներ, ապա մոդելը պատկանում է ստոխաստիկ մոդելների դասին: Ստոխաստիկ մոդելներում սահմանվում են պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքները, ինչը հանգեցնում է ստացված ֆունկցիայի հավանականական գնահատմանը, իսկ իրականությունը ցուցադրվում է որպես որոշակի պատահական գործընթաց, որի ընթացքը և արդյունքը նկարագրվում են պատահական փոփոխականների որոշակի բնութագրերով՝ մաթեմատիկական ակնկալիքներով։ , շեղումներ, բաշխման ֆունկցիաներ և այլն։ Նման մոդելի կառուցումը հնարավոր է, եթե առկա է բավարար փաստական ​​նյութ՝ անհրաժեշտ հավանականության բաշխումները գնահատելու համար, կամ եթե դիտարկվող երևույթի տեսությունը թույլ է տալիս տեսականորեն որոշել այդ բաշխումները (հավանականության տեսության, սահմանային թեորեմների և այլնի բանաձևերի հիման վրա): .).

7. Կախված մոդելավորման նպատակներից՝ կան նկարագրական, օպտիմալացում և կառավարումմոդելներ. Նկարագրական (լատիներեն descriptio - նկարագրությունից) մոդելներում ուսումնասիրվում են մոդելի պարամետրերի փոփոխության օրենքները։ Օրինակ՝ նյութական կետի շարժման մոդելը կիրառական ուժերի ազդեցության տակ՝ հիմնված Նյուտոնի երկրորդ օրենքի վրա. Նշելով կետի դիրքը և արագացումը ժամանակի տվյալ պահին (մուտքագրման պարամետրեր), զանգվածը (ներքին պարամետր) և կիրառվող ուժերի փոփոխության օրենքը (արտաքին ազդեցությունները), հնարավոր է որոշել կետի կոորդինատները և արագությունը ժամանակի ցանկացած պահի (ելքային տվյալներ):

Օպտիմալացման մոդելները օգտագործվում են որոշ չափանիշի հիման վրա լավագույնը (օպտիմալը) մոդելավորված օբյեկտի պարամետրերը կամ այս օբյեկտը կառավարելու մեթոդները որոշելու համար: Օպտիմալացման մոդելները կառուցված են մեկ կամ մի քանի նկարագրական մոդելների միջոցով և ունեն օպտիմալությունը որոշելու մի քանի չափանիշներ: Սահմանափակումներ հավասարությունների կամ անհավասարությունների տեսքով, որոնք կապված են դիտարկվող օբյեկտի կամ գործընթացի առանձնահատկությունների հետ, կարող են կիրառվել մուտքային պարամետրերի արժեքների միջակայքում: Օպտիմալացման մոդելի օրինակ է սննդի չափաբաժնի կազմումը որոշակի սննդակարգում (ապրանքի կալորիական պարունակությունը, ինքնարժեքի գնային արժեքները և այլն, գործում են որպես մուտքային տվյալներ):

Կառավարման մոդելներն օգտագործվում են մարդկային նպատակային գործունեության տարբեր ոլորտներում որոշումներ կայացնելու համար, երբ այլընտրանքների ամբողջ շարքից ընտրվում են մի քանի այլընտրանքներ, և որոշումների կայացման ընդհանուր գործընթացը նման այլընտրանքների հաջորդականությունն է: Օրինակ՝ ուսանողների կողմից պատրաստված մի քանի զեկույցի առաջխաղացման համար զեկույցի ընտրությունը: Խնդրի բարդությունը կայանում է ինչպես մուտքային տվյալների անորոշության մեջ (զեկույցը պատրաստվել է ինքնուրույն կամ օգտագործվել է ուրիշի աշխատանքը), այնպես էլ նպատակները (աշխատանքի գիտական ​​բնույթը և կառուցվածքը, ներկայացման մակարդակը և պատրաստվածության մակարդակը): ուսանողը, փորձի արդյունքները և ստացված եզրակացությունները): Քանի որ նույն իրավիճակում ընդունված որոշման օպտիմալությունը կարող է տարբեր կերպ մեկնաբանվել, կառավարման մոդելներում օպտիմալության չափանիշի ձևը նախապես ամրագրված չէ: Օպտիմալության չափանիշների ձևավորման մեթոդները՝ կախված անորոշության տեսակից, դիտարկվում են ընտրության և որոշումների կայացման տեսության մեջ՝ հիմնված խաղերի տեսության և գործառնությունների հետազոտության վրա:

8.Տարբերել հետազոտության մեթոդով վերլուծական, թվային և մոդելավորումմոդելներ. Վերլուծական մոդելը համակարգի պաշտոնական նկարագրություն է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավասարման հստակ լուծում՝ օգտագործելով հայտնի մաթեմատիկական ապարատը: Թվային մոդելը բնութագրվում է կախվածությամբ, որը թույլ է տալիս միայն մասնակի թվային լուծումներ կոնկրետ սկզբնական պայմանների և մոդելի քանակական պարամետրերի համար: Սիմուլյացիոն մոդելը համակարգի և արտաքին ազդեցությունների, համակարգի գործունեության ալգորիթմների կամ արտաքին և ներքին խանգարումների ազդեցության տակ համակարգի վիճակը փոխելու կանոնների մի շարք է: Այս ալգորիթմներն ու կանոնները հնարավորություն չեն տալիս օգտագործել վերլուծական և թվային լուծման առկա մաթեմատիկական մեթոդները, սակայն թույլ են տալիս մոդելավորել համակարգի գործունեության գործընթացը և ամրագրել հետաքրքրության բնութագրերը: Ավելին, որոշ վերլուծական և սիմուլյացիոն մոդելներ կքննարկվեն ավելի մանրամասն, այս տեսակի մոդելների ուսումնասիրությունը կապված է ուսուցման նշված ուղղությամբ ուսանողների մասնագիտական ​​գործունեության առանձնահատկությունների հետ:

1.4. Մաթեմատիկական մոդելների գրաֆիկական ներկայացում

Մաթեմատիկայի մեջ մեծությունների միջև կապի ձևերը կարող են ներկայացվել անկախ փոփոխականի (փաստարկի) ձևի հավասարումներով. y- կախված փոփոխական (գործառույթ): Մաթեմատիկական մոդելավորման տեսության մեջ անկախ փոփոխականը կոչվում է գործոն, իսկ կախյալ փոփոխականը՝ պատասխան։ Ավելին, կախված մաթեմատիկական մոդելի կառուցման տարածքից, տերմինաբանությունը որոշակիորեն փոփոխվում է: Գործոնի և արձագանքի սահմանումների որոշ օրինակներ՝ կախված ուսումնասիրության ոլորտից, ներկայացված են Աղյուսակ 1-ում:

Աղյուսակ 1. «գործոն» և «արձագանք» հասկացությունների որոշ սահմանումներ.

Մաթեմատիկական մոդելը գրաֆիկորեն ներկայացնելով՝ մենք գործոններն ու պատասխանները կդիտարկենք որպես փոփոխականներ, որոնց արժեքները պատկանում են իրական թվերի բազմությանը։

Մաթեմատիկական մոդելի գրաֆիկական ներկայացումորոշակի արձագանքման մակերես է, որը համապատասխանում է ներսում գտնվող կետերի դասավորությանը k-ծավալային գործոնի տարածություն X... Միայն միաչափ և երկչափ արձագանքման մակերեսները կարելի է պատկերացնել: Առաջին դեպքում, սա իրական հարթության վրա գտնվող կետերի հավաքածու է, իսկ երկրորդում, մի շարք կետեր, որոնք մակերես են կազմում տարածության մեջ (նման կետերը ներկայացնելու համար հարմար է օգտագործել մակարդակի գծերը. երկչափ գործոնային տարածության մեջ կառուցված տարածության մակերեսային ռելիեֆ X(նկ. 8):

Այն տարածքը, որտեղ սահմանվում է արձագանքման մակերեսը, կոչվում է X * սահմանման տիրույթը.Այս տարածքը, որպես կանոն, ընդհանուր գործոնային տարածության միայն մի մասն է։ X(X*Ì X) և բաշխվում է՝ օգտագործելով հսկիչ փոփոխականների վրա դրված սահմանափակումները x iգրված է որպես հավասարումներ.

x i = C i , ես = 1,…, մ;

զ ժ(x) = Գ ժ, j = 1,…, լ

կամ անհավասարություններ.

x i min £ x i£ x iառավելագույնը, ես= 1,…, կ;

զ ժ(x) £ Գ ժ, j = 1,…, n,

Այս դեպքում գործառույթները զ ժ(x) կարող է կախված լինել ինչպես բոլոր փոփոխականներից, այնպես էլ դրանց որոշ մասից միաժամանակ:

Սահմանափակումները, ինչպիսիք են անհավասարությունները, բնութագրում են կա՛մ ուսումնասիրվող օբյեկտի գործընթացների ֆիզիկական սահմանափակումները (օրինակ՝ ջերմաստիճանի սահմանափակումները), կա՛մ տեխնիկական սահմանափակումները՝ կապված օբյեկտի շահագործման պայմանների հետ (օրինակ՝ սահմանափակող կտրման արագությունը, հումքի պաշարների սահմանափակումները): .

Մոդելների ուսումնասիրման հնարավորությունները էապես կախված են արձագանքման մակերեսի հատկություններից (ռելիեֆից), մասնավորապես, դրա վրա առկա «գագաթների» քանակից և դրա հակադրությունից: Գագաթների (հովիտների) թիվը որոշում է եղանակարձագանքման մակերեսներ. Եթե ​​պատասխանի մակերեսի վրա սահմանման տիրույթում կա մեկ գագաթ (հովիտ), ապա մոդելը կոչվում է միամոդալ.

Ֆունկցիայի փոփոխության բնույթն այս դեպքում կարող է տարբեր լինել (նկ. 9):

Մոդելը կարող է ունենալ առաջին տեսակի ընդմիջման կետեր (նկ. 9 (ա)), երկրորդ տեսակի ընդմիջման կետեր (նկ. 9 (բ)): Նկար 9 (գ) ցույց է տալիս շարունակաբար տարբերվող միամոդալ մոդելը:

Նկար 9-ում ներկայացված բոլոր երեք դեպքերի համար բավարարված է միակողմանիության ընդհանուր պահանջը.

եթե W (x *) W-ի ծայրահեղությունն է, ապա x 1 պայմանից< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) հետևում է W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), եթե էքստրեմումը նվազագույն է, այսինքն, երբ հեռավորությունը էքստրեմալ կետից մեծանում է, W (x) ֆունկցիայի արժեքը շարունակաբար նվազում է (մեծանում է)։

Միամոդալ մոդելների հետ մեկտեղ դիտարկվում են բազմամոդալ մոդելներ (նկ. 10):

Արձագանքման մակերեսի մեկ այլ կարևոր հատկություն նրա հակադրությունն է, որը ցույց է տալիս ստացված ֆունկցիայի զգայունությունը գործոնների փոփոխությունների նկատմամբ։ Հակադրությունը բնութագրվում է ածանցյալների արժեքներով: Եկեք ցույց տանք կոնտրաստային բնութագրերը՝ օգտագործելով երկչափ արձագանքման մակերեսի օրինակը (նկ. 11):

Կետ ագտնվում է «լանջի» վրա, որը բնութագրում է հավասար հակադրությունը բոլոր փոփոխականների համար x i (ես= 1,2), կետ բգտնվում է «կիրճում», որտեղ տարբեր փոփոխականների համար տարբեր հակադրություն (մենք ունենք ֆունկցիայի վատ պայմանականություն), կետ. Հետգտնվում է «սարահարթի» վրա, որտեղ հակադրությունը ցածր է բոլոր փոփոխականների համար x iցույց է տալիս էքստրեմի մոտիկությունը։

1.5. Մաթեմատիկական մոդելների կառուցման հիմնական մեթոդները

Եկեք տանք մոդելավորված համակարգերի պաշտոնական ներկայացման մեթոդների դասակարգումը Վոլկովա Վ.Ն. և Դենիսովա Ա.Ա.. Հեղինակները առանձնացնում են վերլուծական, վիճակագրական, բազմատեսական, լեզվաբանական, տրամաբանական, գրաֆիկական մեթոդները: Հիմնական տերմինաբանությունը, մեթոդների նկարագրված դասերի հիման վրա մշակվող տեսությունների օրինակները, ինչպես նաև դրանց կիրառման շրջանակն ու հնարավորությունները ներկայացված են Հավելված 1-ում:

Մոդելավորման համակարգերի պրակտիկայում առավել լայնորեն կիրառվում են վերլուծական և վիճակագրական մեթոդները:

1) մաթեմատիկական մոդելների կառուցման վերլուծական մեթոդներ.

Մաթեմատիկական մոդելների կառուցման վերլուծական մեթոդների տերմինաբանական ապարատը հիմնված է դասական մաթեմատիկայի հասկացությունների վրա (բանաձև, ֆունկցիա, հավասարում և հավասարումների համակարգ, անհավասարություն, ածանցյալ, ինտեգրալ և այլն)։ Այս մեթոդները բնութագրվում են դասական մաթեմատիկայի լեզվով օգտագործվող տերմինաբանության հստակությամբ և վավերականությամբ:

Վերլուծական հասկացությունների հիման վրա առաջացել և զարգացել են այնպիսի մաթեմատիկական տեսություններ, ինչպիսիք են դասական մաթեմատիկական վերլուծությունը (օրինակ՝ ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեթոդները), մաթեմատիկական ծրագրավորման և խաղերի տեսության ժամանակակից հիմքերը։ Բացի այդ, մաթեմատիկական ծրագրավորումը (գծային, ոչ գծային, դինամիկ, ամբողջ թիվ և այլն) պարունակում է և՛ խնդրի տեղադրման միջոցներ, և՛ ընդլայնում է մոդելի համարժեքությունն ապացուցելու հնարավորությունները՝ ի տարբերություն մաթեմատիկայի մի շարք այլ ոլորտների։ Օպտիմալ մաթեմատիկական ծրագրավորման գաղափարներ՝ տնտեսական (մասնավորապես, նրբատախտակի թերթիկի օպտիմալ կտրման խնդրի լուծում) խնդիրների լուծման համար առաջարկվել են Լ.Վ. Կանտորովիչ.

Եկեք բացատրենք մեթոդի առանձնահատկությունները օրինակով:

Օրինակ.Ենթադրենք, որ երկու տեսակի արտադրանքի արտադրության համար Աև Վդուք պետք է օգտագործեք երեք տեսակի հումք. Միևնույն ժամանակ, տիպի արտադրության միավորի արտադրության համար ԱՍպառվում է 4 միավոր։ հումք առաջին տեսակի 2 հատ. 2-րդ և 3-րդ միավորներ 3-րդ տեսակ. տեսակի արտադրության միավորի արտադրության համար ՎՍպառվում է 2 միավոր։ 1-ին տեսակի հումք 5 հատ. 2-րդ տեսակ և 4 միավոր. 3-րդ տեսակի հումք. Գործարանի պահեստում կա 35 միավոր։ 1-ին տեսակի հումք, 43-ը՝ 2-րդ, 40-ը՝ 3-րդ տեսակի։ տեսակի արտադրության միավորի վաճառքից Ագործարանն ունի 5 հազար ռուբլի շահույթ, իսկ ձևաթղթի արտադրության միավորի վաճառքից Վշահույթը 9 հազար ռուբլի է: Անհրաժեշտ է կազմել խնդրի մաթեմատիկական մոդել, որն ապահովում է առավելագույն շահույթ։

Այս տեսակի արտադրանքի միավորի արտադրության համար հումքի յուրաքանչյուր տեսակի սպառման ցուցանիշները տրված են աղյուսակում: Այն նաև ցույց է տալիս յուրաքանչյուր տեսակի ապրանքի վաճառքից ստացված շահույթը և այս տեսակի հումքի ընդհանուր քանակը, որը կարող է օգտագործվել ձեռնարկության կողմից:

Նշենք ըստ x 1և x 2արտադրված ապրանքների ծավալը Աև Վհամապատասխանաբար. Պլանի համար առաջին դասարանի նյութի արժեքը կլինի 4 x 1 + 2x 2, և դրանք չպետք է գերազանցեն պաշարները, այսինքն. 35 կգ:

4x 1 + 2x 2 35.

Երկրորդ դասարանի նյութերի սահմանափակումները նման են.

2x 1 + 5x 2 43,

եւ երրորդ դասարանի նյութի վրա

3x 1 + 4x 2 40.

Շահույթ վաճառքից x 1արտադրության միավորներ Ա և x 2արտադրության միավորները B կլինեն զ = 5x 1+ 9x 2(օբյեկտիվ ֆունկցիա):

Մենք ստացել ենք խնդրի մոդելը.

Խնդրի գրաֆիկական լուծումը ներկայացված է Նկար 11-ում:

Օպտիմալ (լավագույնը, այսինքն՝ ֆունկցիայի առավելագույնը զ) խնդրի լուծումը գտնվում է Ա կետում (լուծումը բացատրված է 5-րդ գլխում):

Դա հասկացա x 1=4,x 2= 7, ֆունկցիայի արժեքը զ A կետում:

Այսպիսով, առավելագույն շահույթի արժեքը կազմում է 83 հազար ռուբլի:

Բացի գրաֆիկականից, կան նաև խնդրի լուծման մի շարք հատուկ մեթոդներ (օրինակ՝ սիմպլեքս մեթոդը) կամ օգտագործվում են դրանք իրականացնող կիրառական ծրագրային փաթեթներ։ Կախված նպատակային ֆունկցիայի տեսակից՝ առանձնացնում են գծային և ոչ գծային ծրագրավորումը, կախված փոփոխականների բնույթից՝ ամբողջ թվային ծրագրավորումը։

Մաթեմատիկական ծրագրավորման ընդհանուր առանձնահատկությունները կարելի է առանձնացնել.

1) օբյեկտիվ ֆունկցիա հասկացության ներդրումը և սահմանափակումները խնդրի առաջադրման միջոց են.

2) հնարավոր է միավորել տարբեր չափորոշիչներ մեկ մոդելում (տարբեր չափսեր, օրինակում՝ հումքի պաշարներ և շահույթ).

3) մաթեմատիկական ծրագրավորման մոդելը թույլ է տալիս անցնել փոփոխականների թույլատրելի արժեքների միջակայքի սահմանին.

4) արդյունքների ստացման քայլ առ քայլ ալգորիթմի ներդրման հնարավորությունը (օպտիմալ լուծման քայլ առ քայլ մոտարկում).

5) պարզություն, որը ձեռք է բերվում խնդրի երկրաչափական մեկնաբանության միջոցով, որն օգնում է այն դեպքերում, երբ անհնար է խնդիրը ձևականորեն լուծել:

2) մաթեմատիկական մոդելների կառուցման վիճակագրական մեթոդներ.

Մաթեմատիկական մոդելների կառուցման վիճակագրական մեթոդները լայն տարածում գտան և սկսեցին լայնորեն կիրառվել 19-րդ դարում հավանականությունների տեսության զարգացմամբ։ Դրանք հիմնված են պատահական (ստոխաստիկ) իրադարձությունների հավանականական օրենքների վրա՝ արտացոլելով իրական երևույթները։ «Ստոխաստիկ» տերմինը «պատահական» հասկացության պարզաբանումն է, ցույց է տալիս գործընթացի վրա ազդող կանխորոշված, որոշակի պատճառներ, իսկ «պատահական» հասկացությունը բնութագրվում է նման պատճառների ազդեցությունից կամ բացակայությամբ:

Վիճակագրական օրինաչափությունները ներկայացված են դիսկրետ պատահական փոփոխականների և դրանց արժեքների արտաքին տեսքի օրինաչափությունների կամ իրադարձությունների (գործընթացների) բաշխման շարունակական կախվածության տեսքով: Ստոխաստիկ մոդելների կառուցման տեսական հիմքերը մանրամասն նկարագրված են 2-րդ գլխում:

Վերահսկիչ հարցեր

1. Ձևակերպել մաթեմատիկական մոդելավորման հիմնական խնդիրը.

2. Տրե՛ք մաթեմատիկական մոդելի սահմանումը:

3. Թվարկե՛ք հետազոտության մեջ փորձարարական մոտեցման հիմնական թերությունները:

4. Թվարկե՛ք մոդելի կառուցման հիմնական փուլերը:

5. Թվարկե՛ք մաթեմատիկական մոդելների տեսակները:

6. Տվեք մոդելների տեսակների համառոտ նկարագրությունը:

7. Ի՞նչ ձև է ստանում մաթեմատիկական մոդելը, երբ ներկայացված է երկրաչափական ձևով:

8. Ինչպե՞ս են ճշտվում անալիտիկ տիպի մաթեմատիկական մոդելները:

Առաջադրանքներ

1. Կազմե՛ք խնդրի լուծման մաթեմատիկական մոդել և դասակարգե՛ք մոդելը.

1) Որոշեք գլանաձեւ դույլի առավելագույն տարողությունը, որի մակերեսը (առանց կափարիչի) Ս.

2) ձեռնարկությունն ապահովում է կանոնավոր արտադրություն երկու ենթակապալառուներից բաղադրամասերի անխափան մատակարարմամբ. Առաքումից հրաժարվելու հավանականությունը ենթակապալառուներից առաջինից, երկրորդից՝. Գտեք ձեռնարկության ձախողման հավանականությունը:

2. Մալթուսի մոդելը (1798 թ.) նկարագրում է բնակչության վերարտադրությունը նրա չափին համաչափ: Դիսկրետ ձևով այս օրենքը երկրաչափական պրոգրեսիա է. կամ Օրենքը, որը գրված է դիֆերենցիալ հավասարման տեսքով, բնակչության էքսպոնենցիալ աճի մոդել է և լավ նկարագրում է բջիջների պոպուլյացիայի աճը որևէ սահմանափակման բացակայության դեպքում. Սահմանեք նախնական պայմանները և ցույց տվեք, թե ինչպես է աշխատում մոդելը:

Համակարգերի գործարկման գործընթացների ՄՄ-ի կառուցման սկզբնական տեղեկատվությունը տվյալներ են հետազոտվող (նախագծված) համակարգի S-ի նպատակի և գործառնական պայմանների մասին: Այս տեղեկատվությունը որոշում է մոդելավորման հիմնական նպատակը, ՄՄ-ի պահանջները, աբստրակցիայի մակարդակը: , և մաթեմատիկական մոդելավորման սխեմայի ընտրությունը։

Հայեցակարգ մաթեմատիկական սխեմանթույլ է տալիս մեզ մաթեմատիկան դիտարկել ոչ թե որպես հաշվարկման մեթոդ, այլ որպես մտածողության մեթոդ, հասկացությունների ձևակերպման միջոց, որն ամենակարևորն է բանավոր նկարագրությունից անցում կատարելու գործընթացի պաշտոնական ներկայացման ձևով: որոշ Մ.Մ.

գորգ օգտագործելիս. սխեմայով, նախևառաջ, համակարգի հետազոտողին պետք է հետաքրքրի հետազոտվող համակարգում իրական գործընթացների կոնկրետ սխեմաների տեսքով ցուցադրման համարժեքության հարցը, այլ ոչ թե պատասխան ստանալու հնարավորությունը (լուծման արդյունք) կոնկրետ հետազոտական ​​հարցին:

Օրինակ, կոլեկտիվ օգտագործման ICS-ի գործունեության գործընթացի ներկայացումը հերթագրման սխեմաների ցանցի տեսքով հնարավորություն է տալիս լավ նկարագրել համակարգում տեղի ունեցող գործընթացները, սակայն մուտքային հոսքերի և սպասարկման հոսքերի բարդ օրենքներով այն. հնարավորություն չի տալիս հստակ ձևով արդյունքներ ստանալ:

Մաթեմատիկական սխեմակարող է սահմանվել որպես համակարգի գործունեության գործընթացի իմաստալից դեպի պաշտոնական նկարագրության անցման օղակ՝ հաշվի առնելով արտաքին միջավայրի ազդեցությունը: Նրանք. կա մի շղթա՝ նկարագրական մոդել - մաթեմատիկական սխեմա - սիմուլյացիոն մոդել:

Յուրաքանչյուր հատուկ համակարգ S բնութագրվում է մի շարք հատկություններով, որոնք հասկացվում են որպես քանակություններ, որոնք արտացոլում են մոդելավորված օբյեկտի (իրական համակարգի) վարքագիծը և նրա գործելու պայմանները արտաքին միջավայրի (համակարգի) հետ փոխազդեցության մեջ:

S համակարգի ՄՄ-ն կառուցելիս անհրաժեշտ է լուծել դրա ամբողջականության հարցը։ Մոդելավորման ամբողջականությունը կարգավորվում է հիմնականում «System S - միջավայր E» սահմանների ընտրությամբ: Նաև պետք է լուծվի ՄՄ-ի պարզեցման խնդիրը, որն օգնում է ընդգծել համակարգի հիմնական հատկությունները՝ հրաժարվելով մոդելավորման երկրորդական նպատակներից։

Մոդելավորման օբյեկտի MM, այսինքն. համակարգի S-ը կարող է ներկայացվել որպես իրական համակարգի գործունեության գործընթացը նկարագրող մեծությունների մի շարք և ընդհանուր դեպքում ձևավորելով հետևյալ ենթաբազմությունները.

X-ի մի շարք - մուտքային ազդեցություններ Sх i Х, i = 1… n x;

Արտաքին միջավայրի ամբողջությունը ազդում է v l V, l = 1… n v;

Համակարգի ներքին (ներքին) պարամետրերի բազմությունը h k H, k = 1… n h;

Համակարգի ելքային բնութագրերի բազմությունը y j Y, j = 1… n y:

Թվարկված հավաքածուներում կարելի է առանձնացնել վերահսկվող և չվերահսկվող քանակությունները։ Ընդհանուր առմամբ, X, V, H, Y-ը տարանջատված բազմություններ են, որոնք պարունակում են ինչպես որոշիչ, այնպես էլ ստոխաստիկ բաղադրիչներ: Ներածման գործողությունները E և ներքին պարամետրերը S են անկախ (էկզոգեն) փոփոխականներ.Ելքի բնութագրերը. կախված փոփոխականներ (էնդոգեն)... S գործառնական գործընթացը նկարագրված է F S օպերատորի կողմից.

(1)

Ելքային հետագիծ F S - S.F S գործող օրենքը կարող է լինել ֆունկցիա, ֆունկցիոնալ, տրամաբանական պայմաններ, ալգորիթմ, աղյուսակ կամ կանոնների բանավոր նկարագրություն:

Գործողության ալգորիթմ A S - ելքային բնութագրերի ստացման մեթոդ՝ հաշվի առնելով մուտքային ազդեցությունները Ակնհայտ է, որ նույն FS-ը կարող է իրականացվել տարբեր ձևերով, այսինքն. օգտագործելով շատ տարբեր A S.

Հարաբերությունը (1) t ժամանակում S մոդելավորման օբյեկտի վարքագծի մաթեմատիկական նկարագրությունն է, այսինքն. արտացոլում է այն դինամիկ հատկություններ... (1) համակարգի դինամիկ մոդելն է Ս. ՄՄ ստատիկ պայմանների համար կան X, V, H քարտեզագրումներ Y-ի մեջ, այսինքն. (2)

Հարաբերությունները (1), (2) կարելի է ճշտել բանաձևերով, աղյուսակներով և այլն։

Նաև հարաբերությունները որոշ դեպքերում կարելի է ձեռք բերել համակարգի հատկությունների միջոցով ժամանակի որոշակի կետերում, որոնք կոչվում են վիճակներ:

S համակարգի վիճակները բնութագրվում են վեկտորներով.

և , որտեղ t l  պահին (t 0, T)

պահին t ll  (t 0, T) և այլն: k = 1 ... n Զ.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) կետի կոորդինատներն են k-չափ փուլային տարածության մեջ: Գործընթացի յուրաքանչյուր իրականացում կհամապատասխանի որոշակի փուլային հետագծի:

Վիճակների բոլոր հնարավոր արժեքների բազմությունը () կոչվում է Z մոդելավորման օբյեկտի վիճակի տարածություն, իսկ z k Z:

Համակարգի վիճակը S ժամանակային միջակայքում t 0 , որտեղ մուտքագրումը, ներքին պարամետրերը և արտաքին միջավայրի ազդեցությունները, որոնք տեղի են ունեցել t * - t 0 ժամանակային միջակայքում, օգտագործելով 2 վեկտորային հավասարումներ.

; (3)

հակառակ դեպքում: (5)

Ժամանակը ռեժիմում: S-ը կարելի է դիտարկել սիմուլյացիայի միջակայքում (t 0, T) ինչպես շարունակական, այնպես էլ դիսկրետ, այսինքն. քվանտացված t երկարությամբ հատվածի վրա։

Այսպիսով, օբյեկտի MM-ի տակ մենք նկատի ունենք փոփոխականների () վերջավոր հավաքածու՝ դրանց և բնութագրերի միջև մաթեմատիկական կապերի հետ միասին:

Մոդելավորումը կոչվում է դետերմինիստական, եթե F, Ф օպերատորները դետերմինիստական ​​են, այսինքն. կոնկրետ մուտքագրման համար ելքը դետերմինիստական ​​է: Դետերմինիստական ​​մոդելավորումը ստոխաստիկ մոդելավորման հատուկ դեպք է։ Գործնականում, հետազոտության սկզբնական փուլերում համակարգի վերլուծության ոլորտում օբյեկտների մոդելավորումն ավելի ռացիոնալ է ստանդարտ մաթեմատիկական սխեմաների օգտագործման համար. հավասարումներ, վերջավոր և հավանական ավտոմատներ, QS և այլն:

Տիրապետված չէ: ընդհանրության այնպիսի աստիճան, ինչպիսին են մոդելները (3), (4), բնորոշ մաթեմատիկական սխեմաներունեն պարզության և պարզության առավելություն, սակայն կիրառման շրջանակի զգալի նեղացումով:

Ինչպես դետերմինիստականմոդելներ, երբ ուսումնասիրության ժամանակ պատահական փաստը հաշվի չի առնվում, դիֆերենցիալ, ինտեգրալ և այլ հավասարումներ են օգտագործվում շարունակական ժամանակում գործող համակարգերը ներկայացնելու համար, իսկ վերջավոր ավտոմատները և վերջավոր տարբերությունները՝ դիսկրետ ժամանակում գործող համակարգերը ներկայացնելու համար:

Ստոխաստիկ մոդելների սկզբում (հաշվի առնելով պատահական գործոնը) հավանականական ավտոմատներն օգտագործվում են դիսկրետ ժամանակով համակարգերը ներկայացնելու համար, իսկ հերթագրման համակարգերը (QS)՝ շարունակական ժամանակով համակարգերը ներկայացնելու համար։ Այսպես կոչված ագրեգատմոդելներ.

Համախառն մոդելները (համակարգերը) հնարավորություն են տալիս նկարագրել հետազոտական ​​օբյեկտների լայն շրջանակ՝ այդ օբյեկտների համակարգային բնույթի արտացոլմամբ: Հենց ագրեգատ նկարագրությամբ է, որ բարդ օբյեկտը բաժանվում է վերջավոր թվով մասերի (ենթահամակարգերի)՝ միաժամանակ պահպանելով կապերը՝ ապահովելով մասերի փոխազդեցությունը։

16 Մաթեմատիկական սխեմաներ մոդելավորման համակարգերի համար.

Համակարգի մաթեմատիկական մոդելների կառուցման հիմնական մոտեցումները. Անընդհատ դետերմինիստական ​​մոդելներ. Դիսկրետ-դետերմինիստական ​​մոդելներ. Դիսկրետ ստոխաստիկ մոդելներ. Շարունակական ստոխաստիկ մոդելներ. Ցանցային մոդելներ. Համակցված մոդելներ.

Համակարգի մաթեմատիկական մոդելների կառուցման հիմնական մոտեցումները.

Համակարգերի գործունեության գործընթացների մաթեմատիկական մոդելների կառուցման սկզբնական տեղեկատվությունը հետազոտվող (նախագծված) համակարգի նպատակի և գործառնական պայմանների վերաբերյալ տվյալներն են: Ս.

Մաթեմատիկական սխեմաներ

Իրական գործընթացները ցուցադրվում են հատուկ դիագրամների տեսքով: Մատթ. սխեմաներ - անցում բովանդակալից նկարագրությունից դեպի համակարգի պաշտոնական նկարագրություն՝ հաշվի առնելով շրջակա միջավայրի ազդեցությունը:

Ֆորմալ օբյեկտի մոդել

Սիմուլյացիոն օբյեկտի մոդել,

այսինքն համակարգեր Ս,կարող է ներկայացվել որպես քանակությունների մի շարք,

նկարագրելով իրական համակարգի գործունեության գործընթացը և առաջացնել

ընդհանուր առմամբ հետևյալ ենթաբազմությունները.

Ագրեգատ մուտքագրման գործողություններմեկ համակարգի համար

Xես, նախկին, (ե- կերպարը պատկանում է)ես=1; nx

Ագրեգատ շրջակա միջավայրի ազդեցությունները

vլ էլՎl = 1; nv

Ագրեգատ ներքին (սեփական) պարամետրերհամակարգեր

հկեՀk = 1; nh

Ագրեգատ ելքային բնութագրերըհամակարգեր

yJeYj = 1; ny

Դուք կարող եք տարբերակել կառավարվող և չկառավարվող փոփոխականները:

Համակարգերը մոդելավորելիս մուտքային ազդեցությունները, շրջակա միջավայրի ազդեցությունները և ներքին պարամետրերը պարունակում են ինչպես դետերմինիստական, այնպես էլ ստոխաստիկ բաղադրիչներ:

մուտքային ազդեցություններ, շրջակա միջավայրի ազդեցություններ Եիսկ համակարգի ներքին պարամետրերն են անկախ (էկզոգեն) փոփոխականներ.

Համակարգի շահագործման գործընթացը Սժամանակին նկարագրված օպերատորի կողմից Fs,որը ընդհանուր դեպքում էկզոգեն փոփոխականները փոխակերպում է էնդոգենների՝ համաձայն ձևի հարաբերությունների.

y(t) = Fs (x, վ, հ, տ) - բոլորը վեովկթորի.

F-ների համակարգի գործելու օրենքը կարող է սահմանվել ֆունկցիայի, ֆունկցիոնալ, տրամաբանական պայմանների տեսքով, ալգորիթմական և աղյուսակային ձևերով կամ բանավոր համապատասխանության կանոնի տեսքով։

Գործող ալգորիթմի հայեցակարգը As -ելքային բնութագրերի ստացման մեթոդ՝ հաշվի առնելով մուտքային գործողությունները, արտաքին միջավայրի ազդեցությունները և համակարգի ներքին պարամետրերը։

Ներկայացված են նաև համակարգի վիճակները՝ համակարգի հատկությունները ժամանակի որոշակի կետերում:

Պետությունների բոլոր հնարավոր արժեքների ամբողջությունը կազմում է օբյեկտի վիճակի տարածությունը:

Այսպիսով, օբյեկտի «մուտք - վիճակներ - ելք» հավասարումների շղթան թույլ է տալիս որոշել համակարգի բնութագրերը.

Այսպիսով, տակ օբյեկտի մաթեմատիկական մոդելը(իրական համակարգ) հասկանալ փոփոխականների վերջավոր ենթաբազմություն (x (t), v (t), h(t)) նրանց և բնութագրերի միջև մաթեմատիկական հարաբերությունների հետ միասին y (t).

Տիպիկ սխեմաներ

Ուսումնասիրության սկզբնական փուլերում օգտագործվում են ստանդարտ սխեմաներ: : դիֆերենցիալ հավասարումներ, վերջավոր և հավանականական ավտոմատներ, հերթագրման համակարգեր, Պետրի ցանցեր և այլն։

Դիֆերենցիալ, ինտեգրալ, ինտեգրո-դիֆերենցիալ և այլ հավասարումներ օգտագործվում են շարունակական ժամանակում գործող համակարգերը որպես դետերմինիստական ​​մոդելներ ներկայացնելու համար, երբ ուսումնասիրության մեջ պատահական գործոնները հաշվի չեն առնվում, և վերջավոր ավտոմատներ և վերջավոր տարբերություններ սխեմաներ են օգտագործվում՝ ներկայացնելու համար գործող համակարգերը: դիսկրետ ժամանակ....

Հավանական ավտոմատներն օգտագործվում են որպես ստոխաստիկ մոդելներ (հաշվի առնելով պատահական գործոնները)՝ դիսկրետ ժամանակով համակարգերը ներկայացնելու համար, իսկ հերթային համակարգերը՝ շարունակական ժամանակով համակարգերը և այլն:

Այսպիսով, համակարգերի գործունեության գործընթացների մաթեմատիկական մոդելներ կառուցելիս կարելի է առանձնացնել հետևյալ հիմնական մոտեցումները՝ շարունակական-դետերմինիստական ​​(օրինակ՝ դիֆերենցիալ հավասարումներ); դիսկրետ-դետերմինիստական ​​(վերջավոր ավտոմատներ); դիսկրետ ստոխաստիկ (հավանական ավտոմատներ); շարունակական-ստոխաստիկ (հերթային համակարգեր); ընդհանրացված կամ ունիվերսալ (համախառն համակարգեր):

Անընդհատ դետերմինիստական ​​մոդելներ

Դիտարկենք շարունակական դետերմինիստական ​​մոտեցման առանձնահատկությունները՝ օգտագործելով օրինակ՝ օգտագործելով Mat. մոդելներ դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ են այն հավասարումները, որոնցում մեկ կամ մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաները անհայտ են, և հավասարումը ներառում է ոչ միայն դրանց ֆունկցիաները, այլև դրանց տարբեր կարգերի ածանցյալները:

Եթե ​​անհայտները մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ են, ապա հավասարումները կոչվում են. մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ.Եթե ​​մեկ անկախ փոփոխականի անհայտ ֆունկցիաներ, ապա սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Ընդհանուր մաթեմատիկական հարաբերություններ դետերմինիստական ​​համակարգերի համար.

Դիսկրետ-դետերմինիստական ​​մոդելներ.

DDM-ները ենթակա են վերանայման ավտոմատների տեսություն (TA)... TA-ն տեսական կիբեռնետիկայի բաժին է, որն ուսումնասիրում է սարքերը, որոնք մշակում են դիսկրետ տեղեկատվություն և փոխում իրենց ներքին վիճակը միայն ընդունելի ժամանակներում:

Պետական ​​մեքենա կոչվում է ավտոմատ, որտեղ ներքին վիճակների և մուտքային ազդանշանների բազմությունը (և հետևաբար՝ ելքային ազդանշանների բազմությունը) վերջավոր բազմություններ են։

Վերջավոր վիճակի մեքենաունի բազմաթիվ ներքին վիճակներ և մուտքային ազդանշաններ, որոնք վերջավոր բազմություններ են: Մեքենատրված է F սխեմայով. F = ,

որտեղ z, x, y-ը, համապատասխանաբար, մուտքային և ելքային ազդանշանների (այբուբենների) վերջավոր խմբեր են և ներքին վիճակների (այբուբեն) վերջավոր մի շարք: z0ÎZ - սկզբնական վիճակ; j (z, x) - անցումային ֆունկցիա; y (z, x) - ելքի գործառույթ:

Ավտոմատը գործում է դիսկրետ ավտոմատ ժամանակում, որի մոմենտները ցիկլեր են, այսինքն՝ միմյանց կից հավասար ժամանակային ընդմիջումներով, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է մուտքի, ելքային ազդանշանի և ներքին վիճակի հաստատուն արժեքներին: Աբստրակտ ավտոմատն ունի մեկ մուտքային և մեկ ելքային ալիք:

F - ավտոմատ սահմանելու համար անհրաժեշտ է նկարագրել F = բազմության բոլոր տարրերը , այսինքն՝ մուտքային, ներքին և ելքային այբուբեններ, ինչպես նաև անցումային և ելքային ֆունկցիաներ։ F-ավտոմատների աշխատանքը կարգավորելու համար առավել հաճախ օգտագործվում են աղյուսակային, գրաֆիկական և մատրիցային մեթոդները։

Կարգավորման աղյուսակային ձևով օգտագործվում են անցումային և ելքային աղյուսակներ, որոնց տողերը համապատասխանում են ավտոմատի մուտքային ազդանշաններին, իսկ սյունակները՝ նրա վիճակներին։

Աշխատանքի նկարագրություն Ֆ- Մայլս ավտոմատ j անցումների և y արդյունքների աղյուսակները պատկերված են աղյուսակով (1), իսկ F-ի նկարագրությունը՝ Մուրի ավտոմատը, պատկերված է անցումների աղյուսակով (2):

Աղյուսակ 1

Անցումներ
…………………………………………………………
…………………………………………………………

աղյուսակ 2

…………………………………………………………

F-ը նշելու աղյուսակային եղանակի օրինակներ՝ Mealy ավտոմատ F1 երեք վիճակներով, երկու մուտքային և երկու ելքային ազդանշաններով, տրված են աղյուսակ 3-ում, իսկ F-ի համար՝ Moore ավտոմատ F2-ը՝ աղյուսակ 4-ում:

Աղյուսակ 3

Անցումներ

Աղյուսակ 4

Վերջավոր վիճակի մեքենայի սահմանման մեկ այլ եղանակ օգտագործում է ուղղորդված գրաֆիկի հասկացությունը: Ավտոմատ գրաֆիկը ավտոմատի տարբեր վիճակներին համապատասխանող և ավտոմատի որոշակի անցումներին համապատասխանող գրաֆիկական աղեղների գագաթները միացնող գագաթների մի շարք է։ Եթե ​​xk մուտքային ազդանշանը zi վիճակից անցում է կատարում zj վիճակին, ապա ավտոմատ գրաֆիկի վրա zi գագաթը zj գագաթին միացնող աղեղը նշվում է xk-ով: Անցումային ֆունկցիան սահմանելու համար գրաֆիկական աղեղները պետք է նշվեն համապատասխան ելքային ազդանշաններով։

Բրինձ. 1. Mealy (a) և Moore (b) ավտոմատների գրաֆիկները:

Մոդելավորման խնդիրներ լուծելիս վերջավոր վիճակի մեքենայի մատրիցային սահմանումը հաճախ ավելի հարմար ձև է: Այս դեպքում ավտոմատի միացումների մատրիցը C = || քառակուսի մատրից է cij ||, որոնց տողերը համապատասխանում են սկզբնական վիճակներին, իսկ սյունակները՝ անցումային վիճակներին։

Օրինակ. Նախկինում դիտարկված Moore ավտոմատ F2-ի համար մենք գրում ենք վիճակի մատրիցը և ելքային վեկտորը.

;

Դիսկրետ ստոխաստիկ մոդելներ

Թող Ф-ը ձևի բոլոր հնարավոր զույգերի բազմությունն է (zk, yi), որտեղ уi-ն ելքի տարր է:

Y ենթաբազմություն. Մենք պահանջում ենք, որ G բազմության ցանկացած տարր դրդում է

Ֆ բազմության վրա հետևյալ ձևի բաշխման որոշ օրենք.

Տարրեր Ф-ից (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Տեղեկատվական ցանցեր «href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> համակարգչային տեղեկատվության մշակում հեռավոր տերմինալներից և այլն:

Միևնույն ժամանակ, բնորոշ է

Նման օբյեկտների շահագործումը դիմումների (պահանջների) պատահական տեսքն է

սպասարկում և ծառայության դադարեցում պատահական ժամանակներում,

այսինքն՝ դրանց գործելու գործընթացի ստոխաստիկ բնույթը։

QS-ը հասկացվում է որպես դինամիկ համակարգ, որը նախատեսված է սահմանափակ համակարգային ռեսուրսներով հավելվածների պատահական հոսքի արդյունավետ սպասարկման համար: QS-ի ընդհանրացված կառուցվածքը ներկայացված է Նկար 3.1-ում:

Բրինձ. 3.1. SMO սխեմա.

QS-ի մուտքին հասնող միատարր պնդումները բաժանվում են տեսակների, կախված գեներացնող պատճառից, i (i = 1 ... M) տիպի պահանջների հոսքի ինտենսիվությունը նշվում է li-ով: Բոլոր տեսակի հայտերի ամբողջությունը QS-ի մուտքային հոսքն է:

Դիմումների սպասարկումն իրականացվում է մալիքներ.

Տարբերակել ունիվերսալ և մասնագիտացված սպասարկման ալիքները: j տիպի ունիվերսալ կապուղու համար հայտնի են համարվում կամայական տիպի պահանջների սպասարկման տևողության Fji (t) բաշխման ֆունկցիաները: Մասնագիտացված ալիքների համար որոշակի տեսակի պահանջների կապուղիների սպասարկման տևողության բաշխման գործառույթները որոշված ​​չեն, այդ պահանջների վերագրումն այս ալիքին:

Q - սխեմաները կարող են հետազոտվել վերլուծական և սիմուլյացիոն մոդելների միջոցով: Վերջինս ապահովում է մեծ բազմակողմանիություն։

Դիտարկենք հերթագրման հայեցակարգը:

Սպասարկման ցանկացած տարրական ակտում կարելի է առանձնացնել երկու հիմնական բաղադրիչ՝ հայցի կողմից սպասարկման ակնկալիք և պահանջի իրական սպասարկում: Սա կարող է ցուցադրվել որոշ i-րդ սպասարկման սարքի Pi տեսքով, որը բաղկացած է պահանջների կուտակիչից, որում կարող են լինել միաժամանակ li = 0 ... LiH պնդումներ, որտեղ LiH-ը i-րդ կուտակիչի հզորությունն է, և պահանջի սպասարկման ալիք, կի.

Բրինձ. 3.2. CMO սարքի սխեմատիկ դիագրամ

Pi սպասարկող սարքի յուրաքանչյուր տարր ստանում է իրադարձությունների հոսքեր՝ Wi-ի պահանջների հոսքը դեպի կուտակիչ Hi, և սպասարկման UI-ի հոսք դեպի ալիք ki:

Իրադարձությունների հոսքով(PS) իրադարձությունների հաջորդականություն է, որոնք տեղի են ունենում մեկը մյուսի հետևից ժամանակի որոշ պատահական պահերին: Տարբերակել միատարր և տարասեռ իրադարձությունների հոսքերը: Միատարր PS-ը բնութագրվում է միայն այս իրադարձությունների ժամանման պահերով (պահեր առաջացնող) և տրվում է հաջորդականությամբ (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), որտեղ tn-ը n-րդի ժամանման պահն է։ իրադարձություն - ոչ բացասական իրական թիվ: TSA-ն կարող է նաև սահմանվել որպես n-րդ և n-1-րդ իրադարձությունների միջև ժամանակային ընդմիջումների հաջորդականություն (tn):

Տարասեռ PS կոչվում է հաջորդականություն (tn, fn), որտեղ tn - առաջացնող պահեր; fn - իրադարձության ատրիբուտների մի շարք: Օրինակ, այն կարող է վերագրվել պահանջների այս կամ այն ​​աղբյուրին, առաջնահերթության առկայությանը, այս կամ այն ​​տեսակի ալիքին սպասարկելու հնարավորությանը և այլն:

Ki ալիքի կողմից մատուցված պահանջները և Pi սերվերից տարբեր պատճառներով չսպասարկված պահանջները կազմում են ելքային հոսքը yiÎY:

Pi սպասարկող սարքի գործարկման գործընթացը կարող է ներկայացվել որպես Zi (t) ժամանակում դրա տարրերի վիճակների փոփոխման գործընթաց: Pi-ի համար նոր վիճակի անցումը նշանակում է դրա մեջ եղած հարցումների քանակի փոփոխություն (ki ալիքում և Hi կուտակիչում): Դա. վիճակների վեկտորը Pi-ի համար ունի հետևյալ ձևը՝ որտեղ են դրայվի վիճակները, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28" height = " 28 "> = 1 - պահեստում կա մեկ հարցում ..., = - պահեստը լիովին զբաղված է; - ալիքի վիճակը ki (= 0 - ալիքն ազատ է, = 1 ալիքը զբաղված է):

Իրական օբյեկտների Q-դիագրամները ձևավորվում են բազմաթիվ տարրական սպասարկման սարքերի կազմով Pi. Եթե ​​ki-ի տարբեր սպասարկման սարքեր միացված են զուգահեռ, ապա կա բազմալիք ծառայություն (բազմալիք Q-շղթա), իսկ եթե Pi սարքերը և դրանց զուգահեռ կոմպոզիցիաները միացված են սերիական, ապա կա բազմաֆազ ծառայություն (բազմաֆազ Q-շղթա):

Q-սխեման սահմանելու համար անհրաժեշտ է նաև նկարագրել դրա գործողության ալգորիթմները, որոնք որոշում են տարբեր երկիմաստ իրավիճակներում պահանջների վարքագծի կանոնները:

Կախված նման իրավիճակների առաջացման վայրից, կան ալգորիթմներ (դիսցիպլիններ)՝ Нi կուտակիչում պահանջներ սպասելու և ki ալիքի վրա պահանջները սպասարկելու համար: Դիմումների հոսքի տարասեռությունը հաշվի է առնվում առաջնահերթության դասի ներմուծմամբ՝ հարաբերական և բացարձակ առաջնահերթություններ։

Դա. Q-սխեման, որը նկարագրում է ցանկացած բարդության QS-ի գործելու գործընթացը, եզակիորեն սահմանվում է որպես բազմությունների մի շարք. Q = .

Ցանցային մոդելներ.

Զուգահեռ համակարգերի և գործընթացների կառուցվածքի և փոխազդեցության պաշտոնական նկարագրության, ինչպես նաև բարդ համակարգերում պատճառահետևանքային կապերի վերլուծության համար օգտագործվում են Պետրի ցանցերը, որոնք կոչվում են N-սխեմաներ:

Ձևականորեն N-սխեման տրվում է ձևի քառապատիկով

N = ,

որտեղ B-ն նշանների վերջավոր բազմություն է, որը կոչվում է դիրքեր, B ≠ O;

D-ն խորհրդանիշների վերջավոր բազմություն է, որը կոչվում է անցումներ D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - մուտքագրման ֆունկցիա (ուղղակի պատահականության ֆունկցիա)

I: B × D → (0, 1); О - ելքային ֆունկցիա (հակադարձ անկման ֆունկցիա),

О: B × D → (0, 1): Այսպիսով, I մուտքագրման ֆունկցիան քարտեզագրում է անցումը dj-ին

մուտքագրման դիրքերի բազմությունը bj I (dj), և ելքային O ֆունկցիայի քարտեզները

անցում dj դեպի ելքային դիրքերի բազմություն bj О (dj): Յուրաքանչյուր անցման համար

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, մ; n = | B |, m = | Դ |.

Նմանապես, յուրաքանչյուր bi B դիրքի համար ներկայացվում են սահմանումները

I (bi) դիրքի մուտքային անցումների և ելքային անցումների հավաքածու

դիրք O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1):

Petri ցանցը երկկողմանի ուղղորդված գրաֆիկ է, որը բաղկացած է երկու տեսակի գագաթներից՝ դիրքերից և անցումներից, որոնք միացված են աղեղներով, նույն տիպի գագաթները չեն կարող ուղղակիորեն միացվել:

Petri ցանցի օրինակ. Սպիտակ շրջանակները ցույց են տալիս դիրքերը, շերտերը՝ անցումներ, սև շրջանակները՝ պիտակներ:

Կողմնորոշիչ աղեղները կապում են դիրքերն ու անցումները, ընդ որում յուրաքանչյուր աղեղ ուղղված է մի բազմության տարրից (դիրք կամ անցում) մեկ այլ բազմության տարր:

(անցում կամ դիրք): N-նախագծման գրաֆիկը բազմագրաֆ է, քանի որ այն

ընդունում է մի գագաթից մյուսը մի քանի աղեղների առկայությունը:

«href =" / text / category / dekompozitciya / "rel =" bookmark "> տարրալուծում բարդ համակարգը ներկայացված է որպես փոխկապակցված տարրերի բազմամակարդակ կառուցվածք՝ միավորված տարբեր մակարդակների ենթահամակարգերի մեջ:

Ագրեգատը հանդես է գալիս որպես A-դիագրամի տարր, իսկ ագրեգատների միջև կապը (S համակարգի ներսում և E արտաքին միջավայրի հետ) իրականացվում է R-ի կոնյուգացիոն օպերատորի միջոցով։

Ցանկացած միավոր բնութագրվում է հետևյալ բազմություններով՝ T անգամներ, X մուտքային և ելքային Y ազդանշաններ, Z վիճակներ t յուրաքանչյուր ժամանակային պահին: Միավորի վիճակը tT ժամանակում նշվում է որպես z (t) Z,

իսկ մուտքային և ելքային ազդանշանները համապատասխանաբար որպես x (t) X և y (t) Y:

Մենք կենթադրենք, որ ագրեգատի անցումը z (t1) վիճակից z (t2) ≠ z (t1) վիճակին տեղի է ունենում կարճ ժամանակային միջակայքում, այսինքն՝ առկա է ցատկ δz։

Միավորի անցումները z (t1) վիճակից z (t2) որոշվում են բուն միավորի h (t) H և մուտքային ազդանշաններով x (t) X-ի ներքին (ներքին) պարամետրերով:

Սկզբնական ժամանակային պահին t0, z վիճակներն ունեն z0-ին հավասար արժեքներ, այսինքն՝ z0 = z (t0), որը տրված է z (t) գործընթացի բաշխման օրենքով t0 պահին, մասնավորապես՝ J: Ենթադրենք, որ գործընթացը Գործողության մուտքային ազդանշանի xn-ի դեպքում միավորի աշխատանքը նկարագրվում է պատահական V օպերատորի կողմից: Այնուհետև, այն պահին, երբ մուտքային ազդանշանը հասնում է tnT միավորին:

xn կարող եք որոշել վիճակը

z (tn + 0) = V.

Նշում ենք t1 ընդմիջման միջակայքը< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

V և U պատահական օպերատորների հավաքածուն համարվում է ագրեգատի նոր վիճակների անցման օպերատոր: Այս դեպքում միավորի գործարկման գործընթացը բաղկացած է δz վիճակների թռիչքներից x մուտքային ազդանշանների ժամանման պահերին (օպերատոր V) և վիճակների փոփոխություններից tn և tn + 1 (օպերատոր U) մոմենտների միջև։ U օպերատորի վրա սահմանափակումներ չեն դրվում, հետևաբար, δz վիճակների ցատկերը այն ժամանակներում, որոնք մուտքային ազդանշանների ժամանման ժամանակներ չեն, թույլատրելի են: Հետևյալում δz ցատկերի պահերը կկոչվեն tδ ժամանակի հատուկ պահեր, իսկ z (tδ) վիճակները՝ A-ի սխեմայի հատուկ վիճակներ։ tδ հատուկ ժամանակներում δz վիճակների թռիչքները նկարագրելու համար մենք կօգտագործենք W պատահական օպերատորը, որը U օպերատորի հատուկ դեպքն է, այսինքն.

z (tδ + 0) = Վ.

Z վիճակների բազմությունում Z (Y) ենթաբազմություն առանձնանում է այնպես, որ եթե z (tδ) հասնում է Z (Y), ապա այս վիճակը ելքային ազդանշանի թողարկման պահն է, որը որոշվում է ելքային օպերատորի կողմից։

y = Գ.

Այսպիսով, ագրեգատ ասելով մենք հասկանում ենք ցանկացած օբյեկտ, որը սահմանված է դիտարկված բազմությունների՝ T, X, Y, Z, Z (Y), H և պատահական V, U, W, G բազմությունների պատվիրված հավաքածուով։

Մուտքային ազդանշանների հաջորդականությունը, որը դասավորված է A-սխեմայում դրանց ժամանման հերթականությամբ, կկոչվի մուտքային հաղորդագրություն կամ x-հաղորդագրություն: Ելքային ազդանշանների հաջորդականությունը, որը պատվիրված է թողարկման ժամանակի հետ կապված, կկոչվի ելքային հաղորդագրություն կամ y-հաղորդագրություն:

ԵԹԵ ՀԱՄԱՐՏ

Շարունակական դետերմինիստական ​​մոդելներ (D-սխեմաներ)

Դրանք օգտագործվում են շարունակական ժամանակում գործող համակարգերը ուսումնասիրելու համար: Նման համակարգերը նկարագրելու համար հիմնականում օգտագործվում են դիֆերենցիալ, ինտեգրալ, ինտեգրո-դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների դեպքում դիտարկվում է միայն մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիա, իսկ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների դեպքում՝ մի քանի փոփոխականի ֆունկցիա։

Որպես D-մոդելների կիրառման օրինակ կարելի է բերել մեխանիկական ճոճանակի կամ էլեկտրական տատանողական շղթայի աշխատանքի ուսումնասիրությունը։ D-մոդելների տեխնիկական հիմքը կազմված է անալոգային համակարգիչներից (AVM) կամ ներկայումս արագ զարգացող հիբրիդային համակարգիչներից (GVM): Ինչպես գիտեք, համակարգչի վրա հետազոտության հիմնական սկզբունքն այն է, որ ըստ տրված հավասարումների, հետազոտողը (AVM-ի օգտագործողը) առանձին տիպիկ հանգույցներից հավաքում է սխեման՝ գործառնական ուժեղացուցիչներ՝ ներառելով սխեմաներ՝ մասշտաբման, խամրման, մոտարկման համար։ և այլն:

ABM-ի կառուցվածքը փոխվում է վերարտադրելի հավասարումների ձևին համապատասխան:

Թվային համակարգչում կառուցվածքը մնում է անփոփոխ, բայց դրա հանգույցների աշխատանքի հաջորդականությունը փոխվում է դրանում սահմանված ծրագրին համապատասխան: AVM-ի և թվային համակարգչի համեմատությունը հստակ ցույց է տալիս սիմուլյացիայի և վիճակագրական մոդելավորման տարբերությունը:

ABM-ն իրականացնում է մոդելավորման մոդել, սակայն, որպես կանոն, չի օգտագործում վիճակագրական մոդելավորման սկզբունքներ։ Թվային համակարգիչներում մոդելավորման մոդելների մեծ մասը հիմնված է պատահական թվերի, գործընթացների ուսումնասիրության վրա, այսինքն՝ վիճակագրական մոդելավորման վրա: Շարունակական-դետերմինիստական ​​մոդելները լայնորեն կիրառվում են մեքենաշինության մեջ՝ ավտոմատ կառավարման համակարգերի ուսումնասիրության, խափանման համակարգերի ընտրության, ռեզոնանսային երևույթների և տեխնոլոգիայի տատանումների նույնականացման համար:
և այլն:

Դիսկրետ-դետերմինիստական ​​մոդելներ (F-շղթաներ)

Գործեք դիսկրետ ժամանակով: Այս մոդելները հիմք են հանդիսանում այսօր դիսկրետ ավտոմատ համակարգերի չափազանց կարևոր և տարածված դասի գործունեությունը ուսումնասիրելու համար: Նրանց հետազոտության նպատակով մշակվել է ավտոմատների տեսության անկախ մաթեմատիկական ապարատ։ Այս տեսության հիման վրա համակարգը համարվում է ավտոմատ, որը մշակում է դիսկրետ տեղեկատվություն և փոփոխություններ՝ կախված դրա մշակման արդյունքներից, ներքին վիճակներից։

Այս մոդելը հիմնված է սխեմայի, սարքի տարրերի և հանգույցների քանակը նվազագույնի հասցնելու սկզբունքների վրա, ամբողջ սարքի օպտիմալացման և դրա հանգույցների աշխատանքի հաջորդականության վրա: Էլեկտրոնային սխեմաների հետ մեկտեղ, այս մոդելով նկարագրված ավտոմատների վառ ներկայացուցիչը ռոբոտն է, որը վերահսկում է (ըստ տվյալ ծրագրի) տեխնոլոգիական գործընթացները տվյալ դետերմինիստական ​​հաջորդականությամբ։

Թվային կառավարման մեքենան նույնպես նկարագրված է այս մոդելով: Այս մեքենայի վրա մշակվող մասերի հաջորդականության ընտրությունն իրականացվում է կառավարման միավորի (վերահսկիչի) տեղադրմամբ, որը ժամանակի որոշակի կետերում հսկիչ ազդանշաններ է առաջացնում /4/:

Ավտոմատների տեսությունը օգտագործում է բուլյան ֆունկցիաների մաթեմատիկական ապարատը, որը գործում է ազդանշանների երկու հնարավոր արժեքներով՝ 0 և 1:

Ավտոմատները բաժանվում են ավտոմատների՝ առանց հիշողության, ավտոմատների՝ հիշողությամբ։ Նրանց աշխատանքի նկարագրությունը կատարվում է օգտագործելով աղյուսակներ, մատրիցներ, գրաֆիկներ, որոնք ցուցադրում են մեքենայի անցումները մի վիճակից մյուսը: Մեքենայի աշխատանքի ցանկացած նկարագրության վերլուծական գնահատականները շատ ծանր են և նույնիսկ համեմատաբար փոքր թվով տարրերի, հանգույցների դեպքում, որոնք կազմում են սարքը, դրանք գործնականում անիրագործելի են: Ուստի ավտոմատների բարդ սխեմաների ուսումնասիրությունը, որոնք անկասկած ներառում են ռոբոտային սարքեր, իրականացվում է սիմուլյացիայի միջոցով։

Դիսկրետ ստոխաստիկ մոդելներ (P-սխեմաներ)

Դրանք օգտագործվում են հավանականական ավտոմատների աշխատանքը ուսումնասիրելու համար։ Այս տեսակի ավտոմատներում անցումները մի վիճակից մյուսին կատարվում են արտաքին ազդանշանների ազդեցության տակ և հաշվի առնելով ավտոմատի ներքին վիճակը։ Այնուամենայնիվ, ի տարբերություն T-ավտոմատների, այս անցումները խիստ դետերմինիստական ​​չեն, բայց կարող են տեղի ունենալ որոշակի հավանականություններով:

Նման մոդելի օրինակ է դիսկրետ Մարկովյան շղթան՝ վիճակների վերջավոր բազմությամբ: F-սխեմաների վերլուծությունը հիմնված է անցումային հավանականության մատրիցների մշակման և փոխակերպման և հավանականության գրաֆիկների վերլուծության վրա։ Արդեն համեմատաբար պարզ սարքերի վերլուծության համար, որոնց վարքագիծը նկարագրված է F սխեմաներով, նպատակահարմար է օգտագործել սիմուլյացիա։ Նման մոդելավորման օրինակ տրված է 2.4 կետում:

Շարունակական ստոխաստիկ մոդելներ (Q-սխեմաներ)

Դրանք օգտագործվում են համակարգերի լայն դասի վերլուծության մեջ, որոնք համարվում են հերթագրման համակարգեր: Որպես սպասարկման գործընթաց, գործընթացները, որոնք տարբերվում են իրենց ֆիզիկական բնույթից, կարող են ներկայացվել. ACS-ը աշխատատեղեր և համակարգչով տեղեկատվության մշակման հարցումներ և այլն:

Սովորաբար, այդ հոսքերը կախված են բազմաթիվ գործոններից և կոնկրետ իրավիճակներից: Հետևաբար, շատ դեպքերում այդ հոսքերը ժամանակի ընթացքում պատահական են՝ ցանկացած պահի փոփոխությունների հնարավորությամբ: Նման սխեմաների վերլուծությունը կատարվում է հերթերի տեսության մաթեմատիկական ապարատի հիման վրա։ Դրանք ներառում են շարունակական Մարկովյան շղթա: Չնայած վերլուծական մեթոդների մշակման զգալի առաջընթացին, հերթերի տեսությունը, Q-սխեմաների վերլուծությունը վերլուծական մեթոդներով կարող է իրականացվել միայն զգալի պարզեցնող ենթադրություններով և ենթադրություններով: Այս սխեմաների մեծ մասի մանրամասն ուսումնասիրությունը, հատկապես այնպիսի բարդ, ինչպիսին են գործընթացների կառավարման համակարգերը, ռոբոտային համակարգերը, կարող է իրականացվել միայն սիմուլյացիայի միջոցով:

Ընդհանրացված մոդելներ (A-դիագրամներ)

Համախառն մեթոդի վրա հիմնված ցանկացած համակարգերի գործարկման գործընթացների նկարագրության հիման վրա: Համախառն նկարագրությամբ համակարգը բաժանվում է առանձին ենթահամակարգերի, որոնք կարելի է հարմար համարել մաթեմատիկական նկարագրության համար։ Նման բաժանման (քայքայման) արդյունքում բազմաստիճան համակարգի տեսքով ներկայացվում է բարդ համակարգ, որի առանձին մակարդակները (ագրեգատները) ենթակա են վերլուծության։ Առանձին ագրեգատների վերլուծության հիման վրա և հաշվի առնելով այդ ագրեգատների փոխկապակցման օրենքները, հնարավոր է իրականացնել ամբողջ համակարգի համապարփակ ուսումնասիրություն:

, Յակովլևյան համակարգեր. 4-րդ հրատ. - Մ .: Բարձրագույն դպրոց, 2005 .-- S. 45-82.

Մաթեմատիկական սխեմաներ մոդելավորման համակարգերի համար

Սիմուլյացիայի դրական և բացասական կողմերը

Գլխավոր հիմնական արժանապատվությունըմոդելավորում բարդ համակարգերի ուսումնասիրության մեջ.

· Ցանկացած պայմաններում S համակարգի գործունեության գործընթացի առանձնահատկությունները ուսումնասիրելու ունակություն.

· Համակարգչի օգտագործման շնորհիվ թեստերի տեւողությունը զգալիորեն կրճատվում է լայնածավալ փորձի համեմատ.

· Իրական համակարգի կամ դրա մասերի լայնածավալ թեստերի արդյունքները կարող են օգտագործվել մոդելավորման համար;

· Համակարգի օպտիմալ տարբերակի որոնման ժամանակ մոդելավորված համակարգի կառուցվածքի, ալգորիթմների և պարամետրերի փոփոխման ճկունություն;

· Բարդ համակարգերի համար՝ սա համակարգերի գործունեության գործընթացն ուսումնասիրելու միակ գործնականում իրագործելի մեթոդն է:

Գլխավոր հիմնական սահմանափակումներսիմուլյացիոն մոդելավորում.

· Համակարգերի գործող գործընթացի բնութագրերի ամբողջական վերլուծության և օպտիմալ տարբերակի որոնման համար անհրաժեշտ է բազմիցս վերարտադրել սիմուլյացիոն փորձը՝ փոփոխելով խնդրի սկզբնական տվյալները.

· Համակարգչային ժամանակի մեծ ծախսեր.

Մեքենաների մոդելավորման արդյունավետությունը.Մոդելավորելիս անհրաժեշտ է ապահովել համակարգի մոդելի առավելագույն արդյունավետությունը։ Արդյունավետությունսովորաբար սահմանվում է որպես մոդելի շահագործման ընթացքում ձեռք բերված արդյունքների արժեքի որոշ չափումների և դրա մշակման և ստեղծման համար ներդրված ծախսերի որոշ տարբերություն:

Սիմուլյացիոն մոդելավորման արդյունավետությունը կարելի է գնահատել մի շարք չափանիշներով.

Մոդելավորման արդյունքների ճշգրտությունը և հուսալիությունը,

Մոդելի կառուցման և աշխատանքի ժամանակը Մ,

Մեքենայի ռեսուրսների ծախսերը (ժամանակ և հիշողություն),

· Մոդելի մշակման և շահագործման արժեքը:

Արդյունավետության լավագույն չափանիշը ստացված արդյունքների համեմատությունն է իրական ուսումնասիրությունների հետ: Վիճակագրական մոտեցման կիրառմամբ, որոշակի ճշգրտությամբ (կախված մեքենայական փորձի իրագործումների քանակից) ստացվում են համակարգի վարքագծի միջինացված բնութագրերը։

Համակարգչային ժամանակի ընդհանուր ծախսերը կազմված են յուրաքանչյուր մոդելավորման ալգորիթմի համար մուտքագրման և ելքի ժամանակից, հաշվողական գործողություններ կատարելու ժամանակից՝ հաշվի առնելով RAM-ի և արտաքին սարքերի հասանելիությունը, ինչպես նաև յուրաքանչյուր մոդելավորման ալգորիթմի բարդությունը: փորձերի պլանավորում։

Մաթեմատիկական սխեմաներ.Մաթեմատիկական մոդելՄաթեմատիկական առարկաների (թվեր, փոփոխականներ, բազմություններ, վեկտորներ, մատրիցներ և այլն) և նրանց միջև հարաբերությունների հավաքածու է, որը համարժեք կերպով արտացոլում է ստեղծված տեխնիկական օբյեկտի ֆիզիկական հատկությունները: Մաթեմատիկական մոդելի ձևավորման և վերլուծության և սինթեզի համար օգտագործելու գործընթացը կոչվում է մաթեմատիկական մոդելավորում.

Համակարգի մաթեմատիկական մոդելը կառուցելիս անհրաժեշտ է լուծել դրա ամբողջականության հարցը։ Մոդելի ամբողջականությունը կարգավորվում է հիմնականում սահմանային «համակարգի» ընտրությամբ Ս- Չորեքշաբթի Ե«. Նաև պետք է լուծվի մոդելի պարզեցման խնդիրը, որն օգնում է, կախված մոդելավորման նպատակից, լուսաբանել համակարգի հիմնական հատկությունները՝ դեն նետելով երկրորդականները։

Համակարգի գործունեության գործընթացի իմաստալից դեպի պաշտոնական նկարագրության անցնելիս՝ հաշվի առնելով արտաքին միջավայրի ազդեցությունը, կիրառել մաթեմատիկական սխեմանորպես «նկարագրական մոդել - մաթեմատիկական սխեմա - մաթեմատիկական (վերլուծական և/կամ սիմուլյացիոն) մոդել» շղթայի օղակ:

Օբյեկտի պաշտոնական մոդելը.Օբյեկտի մոդել (համակարգեր Ս) կարող է ներկայացվել որպես մեծությունների մի շարք, որոնք նկարագրում են իրական համակարգի գործունեության գործընթացը.

Համակարգի վրա մուտքային ազդեցությունների մի շարք

x i = X,ես =;

Բնապահպանական ազդեցությունների մի շարք

v ժ = Վ, ժ= ;

Համակարգերի ներքին (ներքին) պարամետրերի մի շարք

h k = H, k =;

Համակարգի ելքային բնութագրերի հավաքածու

y j = Y, j =.

Ընդհանուր առմամբ x i, v j, h k, y jտարանջատված ենթաբազմությունների տարրեր են և պարունակում են ինչպես դետերմինիստական, այնպես էլ ստոխաստիկ բաղադրիչներ:

Ներածման ազդեցությունները, շրջակա միջավայրի ազդեցությունները Եիսկ համակարգի ներքին պարամետրերն են անկախ (էկզոգեն) փոփոխականներ, որոնք վեկտորային ձևով ունեն համապատասխանաբար ձևը ( տ) = (x 1 (տ), x 2 (տ), …, x nX(տ)); (տ) = (v 1 (տ), v 2 (տ), …, v nV(տ)); (տ) = (հ 1 (տ), հ 2 (տ), …, h nН(տ)), իսկ ելքային բնութագրերն են կախյալ (էնդոգեն) փոփոխականները և վեկտորային ձևով ունեն հետևյալ ձևը. տ) = (ժամը 1 (տ), ժամը 2 (տ), …, ժամը nY(տ)): Դուք կարող եք տարբերակել կառավարվող և չկառավարվող փոփոխականները:

Համակարգի շահագործման գործընթացը Սժամանակին նկարագրված օպերատորի կողմից Ֆ Ս, որը էկզոգեն փոփոխականները փոխակերպում է էնդոգենների՝ ձևի հարաբերություններին համապատասխան

(տ) = Ֆ Ս(,,, տ). (2.1)

Համակարգի ելքային բնութագրերի ժամանակից կախվածության ամբողջությունը y j(տ) բոլոր տեսակների համար j =կանչեց ելքային հետագիծ (տ): Կախվածությունը (2.1) կոչվում է համակարգի գործող օրենքը Ֆ Ս, որը նշված է ֆունկցիայի, ֆունկցիոնալ, տրամաբանական պայմանների տեսքով, ալգորիթմական, աղյուսակային կամ բառային համապատասխանության կանոնի տեսքով։ Գործելու ալգորիթմ Ա Սկոչվում է ելքային բնութագրերի ստացման մեթոդ՝ հաշվի առնելով մուտքային ազդեցությունները ( տ), շրջակա միջավայրի ազդեցությունը ( տ) և համակարգի սեփական պարամետրերը ( տ): Գործելու նույն օրենքը Ֆ Սհամակարգեր Սկարող է իրականացվել տարբեր ձևերով, այսինքն. օգտագործելով տարբեր գործողության ալգորիթմներ Ա Ս.

Մաթեմատիկական մոդելները կոչվում են դինամիկ(2.1) եթե մաթեմատիկական հարաբերությունները նկարագրում են մոդելավորման օբյեկտի (համակարգի) վարքագիծը ժամանակի ընթացքում տ, այսինքն. արտացոլում են դինամիկ հատկությունները.

Համար ստատիկմոդելներ, մաթեմատիկական մոդելը քարտեզագրում է մոդելավորված օբյեկտի հատկությունների երկու ենթաբազմությունների միջև Յև ( X, V, Հ) որոշակի պահի, որը վեկտորային ձևով կարելի է գրել որպես

= զ(, , ). (2.2)

Հարաբերությունները (2.1) և (2.2) կարող են սահմանվել տարբեր ձևերով՝ վերլուծական (օգտագործելով բանաձևեր), գրաֆիկական, աղյուսակային և այլն: Այս հարաբերությունները կարելի է ձեռք բերել համակարգի հատկությունների միջոցով Սժամանակի որոշակի կետերում, որոնք կոչվում են վիճակներ: Համակարգի վիճակը Սբնութագրվում է վեկտորներով

" = (z" 1, զ " 2, …, Զ «կ) և "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Զ «» կ),

որտեղ z" 1 = զ 1 (տ»), z" 2 = զ 2 (տ»), …, զ «կ= z k(տ») այդ պահին տ»Î ( տ 0 , Տ); z "" 1 = զ 1 (t ""), z "" 2 = զ 2 (t ""), …, զ «» կ = z k(t "") այդ պահին t ""Î ( տ 0 , Տ) և այլն: k =.

Եթե ​​դիտարկենք համակարգի գործունեության ընթացքը Սորպես վիճակների հաջորդական փոփոխություն զ 1 (տ), զ 2 (տ), …, z k(տ), ապա դրանք կարող են մեկնաբանվել որպես կետի կոորդինատներ կ- ծավալային փուլային տարածություն... Ավելին, գործընթացի յուրաքանչյուր իրականացում կհամապատասխանի որոշակի փուլային հետագծի: Կոչվում է վիճակների բոլոր հնարավոր արժեքների բազմությունը () պետական ​​տարածքմոդելավորման օբյեկտ Զ, և
z kÎ Զ.

Համակարգային վիճակներ Սայս պահին տ 0 < տ * £ Տամբողջությամբ որոշվում են սկզբնական պայմաններով 0 = ( զ 0 1 , զ 0 2 , …, զ 0 կ) [որտեղ զ 0 1 = զ 1 (տ 0),
զ 0 2 = զ 2 (տ 0), …, զ 0 կ = z k(տ 0)], մուտքագրման գործողություններ ( տ), ներքին պարամետրերը ( տ) և արտաքին միջավայրի ազդեցությունը ( տ) որը տեղի է ունեցել ժամանակային միջակայքում տ * – տ 0, օգտագործելով երկու վեկտորային հավասարումներ

(տ) = Ф (0,,,, տ); (2.3)

(տ) = F (, տ). (2.4)

Նախնական վիճակի 0-ի և էկզոգեն փոփոխականների առաջին հավասարումը որոշում է վեկտորի ֆունկցիան ( տ), իսկ երկրորդը՝ ըստ վիճակների ստացված արժեքի ( տ) Արդյո՞ք էնդոգեն փոփոխականներ համակարգի ելքում ( տ): Այսպիսով, օբյեկտի «մուտք - վիճակներ - ելք» հավասարումների շղթան թույլ է տալիս որոշել համակարգի բնութագրերը.

(տ) = F [Ф (0,,,, տ)]. (2.5)

Ընդհանուր առմամբ, ժամանակը համակարգի մոդելում Սկարելի է դիտարկել սիմուլյացիայի միջակայքում (0, Տ) և՛ շարունակական, և՛ դիսկրետ, այսինքն. քվանտացված D երկարությամբ հատվածների տժամանակի միավորներ յուրաքանչյուր երբ Տ = մԴ տ, որտեղ մ = - նմուշառման ընդմիջումների քանակը.

Այսպիսով, տակ մաթեմատիկական մոդելօբյեկտ (իրական համակարգ) հասկանում է փոփոխականների վերջավոր ենթաբազմություն (( տ), (տ), (տ)) նրանց և բնութագրերի միջև մաթեմատիկական կապերի հետ միասին ( տ).

Եթե ​​մոդելավորման օբյեկտի մաթեմատիկական նկարագրությունը չի պարունակում պատահական տարրեր կամ դրանք հաշվի չեն առնվում, այսինքն. եթե կարելի է ենթադրել, որ այս դեպքում արտաքին միջավայրի ստոխաստիկ ազդեցությունները ( տ) և ստոխաստիկ ներքին պարամետրերը ( տ) բացակայում են, ապա մոդելը կոչվում է դետերմինիստականայն իմաստով, որ բնութագրերը եզակիորեն որոշվում են դետերմինիստական ​​մուտքերով

(տ) = զ(, տ). (2.6)

Ակնհայտ է, որ դետերմինիստական ​​մոդելը ստոխաստիկ մոդելի հատուկ դեպք է:

Տիպիկ մաթեմատիկական սխեմաներ.Համակարգային ճարտարագիտության և համակարգերի վերլուծության ոլորտում օբյեկտների մոդելավորման պրակտիկայում համակարգային հետազոտության սկզբնական փուլերում ավելի ռացիոնալ է օգտագործել. բնորոշ մաթեմատիկական սխեմաներդիֆերենցիալ հավասարումներ, վերջավոր և հավանական ավտոմատներ, հերթագրման համակարգեր, Պետրի ցանցեր, ագրեգատ համակարգեր և այլն:

Տիպիկ մաթեմատիկական սխեմաներն ունեն պարզության և պարզության առավելություններ: Դիֆերենցիալ, ինտեգրալ, ինտեգրո-դիֆերենցիալ և այլ հավասարումներ օգտագործվում են շարունակական ժամանակում գործող համակարգերը որպես դետերմինիստական ​​մոդելներ ներկայացնելու համար, երբ ուսումնասիրության մեջ պատահական գործոնները հաշվի չեն առնվում, և վերջավոր ավտոմատներ և վերջավոր տարբերություններ սխեմաներ են օգտագործվում՝ ներկայացնելու համար գործող համակարգերը: դիսկրետ ժամանակ. Հավանական ավտոմատներն օգտագործվում են որպես ստոխաստիկ մոդելներ (հաշվի առնելով պատահական գործոնները)՝ դիսկրետ ժամանակով համակարգերը ներկայացնելու համար, իսկ հերթային համակարգերը՝ շարունակական ժամանակով համակարգերը ներկայացնելու համար։ Պետրի ցանցերն օգտագործվում են բարդ համակարգերում պատճառահետևանքային կապերը վերլուծելու համար, որտեղ մի քանի գործընթացներ տեղի են ունենում միաժամանակ՝ զուգահեռաբար: Շարունակական և դիսկրետ, դետերմինիստական ​​և ստոխաստիկ համակարգերի (օրինակ՝ ASOIU) վարքագիծը նկարագրելու համար կարող է կիրառվել ագրեգատային համակարգի վրա հիմնված ընդհանրացված (ունիվերսալ) մոտեցում: Համախառն նկարագրության մեջ բարդ օբյեկտը (համակարգը) բաժանվում է վերջավոր թվով մասերի (ենթահամակարգերի)՝ միաժամանակ պահպանելով մասերի փոխազդեցությունն ապահովող կապերը։

Այսպիսով, համակարգերի գործունեության գործընթացների մաթեմատիկական մոդելներ կառուցելիս կարելի է առանձնացնել հետևյալ հիմնական մոտեցումները՝ շարունակական-դետերմինիստական ​​( Դ- սխեման); դիսկրետ-դետերմինիստական ​​( Ֆ- սխեման); դիսկրետ ստոխաստիկ ( Ռ- սխեման); շարունակական-ստոխաստիկ ( Ք- սխեման); ցանց ( Ն- սխեման); ընդհանրացված կամ համընդհանուր ( ա- սխեման):

2.2. Շարունակական դետերմինիստական ​​մոդելներ ( Դ- սխեման)

Հիմնական հարաբերություններ... Դիտարկենք շարունակական-դետերմինիստական ​​մոտեցման առանձնահատկությունները դիֆերենցիալ հավասարումները որպես մաթեմատիկական մոդելներ օգտագործելու օրինակով։ Դիֆերենցիալ հավասարումներկոչվում են հավասարումներ, որոնցում մեկ կամ մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաները անհայտ են, և հավասարումը ներառում է ոչ միայն ֆունկցիաներ, այլև դրանց տարբեր կարգերի ածանցյալներ։ Եթե ​​մի քանի փոփոխականների անհայտ ֆունկցիաներ, ապա կոչվում են հավասարումներ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ, հակառակ դեպքում մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիա դիտարկելիս հավասարումները կոչվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դետերմինիստական ​​համակարգերի ընդհանուր մաթեմատիկական կապը (2.6) կլինի

" (տ) = (, տ); (տ 0) = 0 , (2.7)

որտեղ " = դ/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) և = ( զ 1 , զ 2 , …, f n) – n- ծավալային վեկտորներ; (, տ) Վեկտորային ֆունկցիա է, որը սահմանված է որոշ ( n+1) - ծավալային (, տ) սահմանված է և շարունակական է։

Այս տեսակի մաթեմատիկական սխեմաները կոչվում են D- սխեմաներ(անգլ. դինամիկ), դրանք արտացոլում են ուսումնասիրվող համակարգի դինամիկան, իսկ ժամանակը սովորաբար ծառայում է որպես անկախ փոփոխական, որից կախված են անհայտ անհայտ ֆունկցիաները։ տ.

Ամենապարզ դեպքում սովորական դիֆերենցիալ հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

y"(տ) = զ(y, տ). (2.8)

Դիտարկենք տարբեր բնույթի երկու տարրական սխեմաների գործարկման գործընթացի պաշտոնականացման ամենապարզ օրինակը՝ մեխանիկական Ս M (ճոճանակի ճոճանակ, նկ. 2.1, ա) և էլեկտրական Ս K (տատանողական միացում, Նկար 2.1, բ).

Բրինձ. 2.1. Տարրական համակարգեր

Ճոճանակի փոքր տատանումների գործընթացը նկարագրվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարմամբ

մՄ լ M 2 ( դ 2 Ֆ(տ)/ դտ 2) + մՄ գլՄ Ֆ(տ) = 0,

որտեղ մՄ, լ M-ը ճոճանակի կախոցի զանգվածն ու երկարությունն է. է- ձգողականության արագացում; Ֆ(տ) Ճոճանակի շեղման անկյունն է ժամանակի պահին տ.

Ճոճանակի ազատ տատանումների այս հավասարումից կարելի է գտնել հետաքրքրություն ներկայացնող բնութագրերի գնահատականները: Օրինակ՝ ճոճանակի ճոճանակի շրջանը

Տ M = 2p.

Նմանապես, էլեկտրական տատանողական սխեմայի գործընթացները նկարագրվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարմամբ

ԼԿ ( դ 2 ք(տ)/dt 2) + (ք(տ)/Գ K) = 0,

որտեղ ԼԿ, Գ K - կոնդենսատորի ինդուկտիվություն և հզորություն; ք(տ) Արդյո՞ք կոնդենսատորի լիցքը տվյալ պահին տ.

Այս հավասարումից դուք կարող եք ստանալ տարբեր գնահատականներ տատանողական շղթայում գործընթացի բնութագրերի վերաբերյալ: Օրինակ՝ էլեկտրական տատանումների ժամանակաշրջանը

Տ M = 2p.

Ակնհայտորեն, ներկայացնելով նշումը հ 2 = մՄ լ M 2 = ԼԿ, հ 1 = 0,
հ 0 = մՄ գլ M = 1 / ԳԿ, Ֆ(տ) = ք(տ) = զ(տ), մենք ստանում ենք սովորական երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը նկարագրում է փակ հանգույցի այս համակարգի վարքը.

հ 2 (դ 2 զ(տ)/dt 2) + հ 1 (ձ(տ)/dt) + հ 0 զ(տ) = 0, (2.9)

որտեղ հ 0 , հ 1 , հ 2 - համակարգի պարամետրեր; զ(տ) Համակարգի վիճակն է այս պահին
ժամանակ տ.

Այսպիսով, այս երկու օբյեկտների վարքագիծը կարելի է ուսումնասիրել ընդհանուր մաթեմատիկական մոդելի հիման վրա (2.9): Բացի այդ, հարկ է նշել, որ ճոճանակի վարքագիծը (համակարգ ՍՄ) կարելի է ուսումնասիրել էլեկտրական տատանողական սխեմայի (համակարգ Ս TO):

Եթե ​​ուսումնասիրվող համակարգը Ս(ճոճանակ կամ եզրագիծ) փոխազդում է արտաքին միջավայրի հետ Ե, ապա մուտքագրման գործողությունը հայտնվում է x(տ) (արտաքին ուժ ճոճանակի և էներգիայի աղբյուր շղթայի համար), իսկ նման համակարգի շարունակական-դետերմինիստական ​​մոդելը կունենա ձև.

հ 2 (դ 2 զ(տ)/dt 2) + հ 1 (ձ(տ)/dt) + հ 0 զ(տ) = x(տ). (2.10)

Ընդհանուր մաթեմատիկական մոդելի տեսանկյունից (տես կետ 2.1) x(տ) մուտքային (վերահսկման) գործողությունն է և համակարգի վիճակը Սայս դեպքում այն ​​կարելի է դիտարկել որպես ելքային հատկանիշ, այսինքն. ելքային փոփոխականը համապատասխանում է տվյալ պահին համակարգի վիճակին y = զ.

Հնարավոր հավելվածներ Դ- սխեման... Գծային կառավարման համակարգերը նկարագրելու համար, ինչպես ցանկացած դինամիկ համակարգ, անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումները ունեն հաստատուն գործակիցներ

որտեղ,,…, - ժամանակի և դրա ածանցյալների անհայտ ֆունկցիա; և հայտնի գործառույթներ են:

Օգտագործելով, օրինակ, VisSim ծրագրային փաթեթը, որը նախատեսված է կառավարման համակարգերում գործընթացների մոդելավորման համար, որոնք կարելի է նկարագրել դիֆերենցիալ հավասարումներով, մենք մոդելավորում ենք սովորական անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը:

որտեղ ժամանակի որոշ պահանջվող ֆունկցիա է զրոյական սկզբնական պայմաններով ինտերվալի վրա, մենք վերցնում ենք հ 3 =1, հ 2 =3, հ 1 =1, հ 0 =3:

Ներկայացնելով տրված հավասարումը ածանցյալներից ամենաբարձրի նկատմամբ՝ ստանում ենք հավասարումը

որը կարելի է մոդելավորել VisSim փաթեթի կառուցողական բլոկների հավաքածուի միջոցով՝ թվաբանական բլոկներ - Gain (բազմապատկում հաստատունով), Summing-Junction (հավաքող); Ինտեգրման բլոկներ - Ինտեգրատոր (թվային ինտեգրում), Փոխանցման ֆունկցիա (հավասարման սահմանում, որը ներկայացված է որպես փոխանցման ֆունկցիա); ազդանշանների տեղադրման բլոկներ - Const (հաստատուն), Step (միավոր գործառույթը «քայլի» տեսքով), Ramp (գծային աճող ազդանշան); ազդանշանների բլոկ-ընդունիչներ - Հողամաս (ցուցադրվում է ազդանշանների ժամանակային տիրույթում, որոնք վերլուծվում են հետազոտողի կողմից սիմուլյացիայի ընթացքում):

Նկ. 2.2-ը ցույց է տալիս այս դիֆերենցիալ հավասարման գրաֆիկական ներկայացումը: Ձախ ինտեգրատորի մուտքագրումը համապատասխանում է փոփոխականին, միջին ինտեգրատորի մուտքագրումը -, իսկ ամենաաջ ինտեգրատորի մուտքագրումը -: Ամենաաջ ինտեգրատորի ելքը համապատասխանում է փոփոխականին y.

Նկարագրված դինամիկ համակարգերի կոնկրետ դեպք Դ- սխեմաներն են ավտոմատ կառավարման համակարգեր(SPG)և կարգավորումը(SAR): Իրական օբյեկտը ներկայացված է երկու համակարգերի տեսքով՝ հսկիչ և կառավարվող (վերահսկման օբյեկտ): Ընդհանուր բազմաչափ ավտոմատ կառավարման համակարգի կառուցվածքը ներկայացված է Նկ. 2.3, որտեղ նշված է էնդոգենփոփոխականներ: ( տ) Մուտքային (հիմնական) ազդեցությունների վեկտորն է. ( տ) Անհանգստացնող ազդեցությունների վեկտորն է. " (տ) սխալի ազդանշանների վեկտորն է. "" (տ) - հսկողության գործողությունների վեկտոր; էկզոգենփոփոխականներ: ( տ) համակարգի վիճակի վեկտորն է Ս; (տ) ելքային փոփոխականների վեկտոր է, սովորաբար ( տ) = (տ).

Բրինձ. 2.2. Հավասարման գրաֆիկական ներկայացում

Կառավարման համակարգը ծրագրային և ապարատային գործիքների մի շարք է, որոնք ապահովում են վերահսկողության օբյեկտի կողմից որոշակի նպատակի իրագործումը: Թե որքանով է օբյեկտը հասնում տվյալ նպատակին ճշգրիտ, կարելի է դատել (միաչափ համակարգի համար) պետական ​​կոորդինատով. y(տ): Տրվածի տարբերությունը yէշ ( տ) և վավեր y(տ) վերահսկվող փոփոխականի փոփոխության օրենքը վերահսկման սխալ է " (տ) = yէշ ( տ) – y(տ): Եթե ​​վերահսկվող մեծության փոփոխության սահմանված օրենքը համապատասխանում է մուտքային (հիմնական) գործողության փոփոխության օրենքին, այսինքն. x(տ) = yէշ ( տ), ապա " (տ) = x(տ) – y(տ).

Համակարգեր, որոնց վերահսկման սխալները " (տ) = 0 բոլոր ժամանակներում կոչվում են իդեալական... Գործնականում իդեալական համակարգերի ներդրումն անհնար է։ Ավտոմատ կառավարման համակարգի խնդիրն է փոխել փոփոխականը y(տ) ըստ տվյալ օրենքի որոշակի ճշգրտությամբ (ընդունելի սխալով). Համակարգի պարամետրերը պետք է ապահովեն կառավարման պահանջվող ճշգրտությունը, ինչպես նաև համակարգի կայունությունը անցողիկ գործընթացում: Եթե ​​համակարգը կայուն է, ապա ժամանակին վերլուծեք համակարգի վարքագիծը, վերահսկվող փոփոխականի առավելագույն շեղումը. y(տ) անցողիկ գործընթացում, անցողիկ ընթացքի ժամանակը և այլն: Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը և դրա գործակիցների արժեքը լիովին որոշվում են համակարգի ստատիկ և դինամիկ պարամետրերով:

Բրինձ. 2.3. Ավտոմատ կառավարման համակարգի կառուցվածքը.

UC - կառավարման համակարգ; OU - հսկողության օբյեկտ

Այսպիսով, օգտագործելով Դ-սխեմաները թույլ են տալիս պաշտոնականացնել անընդհատ դետերմինիստական ​​համակարգերի գործարկման գործընթացը Սև գնահատել դրանց հիմնական բնութագրերը՝ օգտագործելով վերլուծական կամ սիմուլյացիոն մոտեցում, որն իրականացվում է համապատասխան լեզվի տեսքով՝ շարունակական համակարգերի մոդելավորման կամ անալոգային և հիբրիդային հաշվողական սարքերի օգտագործման համար:

2.3. Դիսկրետ-դետերմինիստական ​​մոդելներ ( Ֆ- սխեման)

Հիմնական հարաբերություններ... Դիտարկենք դիսկրետ-դետերմինիստական ​​մոտեցման առանձնահատկությունները ավտոմատների տեսությունը որպես մաթեմատիկական ապարատ օգտագործելու օրինակով։ Համակարգը ներկայացված է ավտոմատի տեսքով՝ որպես մուտքային և ելքային ազդանշաններով սարք, որը մշակում է դիսկրետ տեղեկատվություն և փոխում դրա ներքին վիճակները միայն ընդունելի ժամանակներում: Պետական ​​մեքենակոչվում է ավտոմատ, որում ներքին վիճակների, մուտքային և ելքային ազդանշանների բազմությունները վերջավոր բազմություններ են։

Վերացական վերջավոր ավտոմատները կարող են ներկայացվել որպես մաթեմատիկական սխեմա ( Ֆ-սխեման), բնութագրվում է վեց տարրով՝ վերջավոր բազմություն Xմուտքային ազդանշաններ (մուտքագրման այբուբեն); վերջավոր հավաքածու Յելքային ազդանշաններ (ելքային այբուբեն); վերջավոր հավաքածու Զներքին վիճակներ (ներքին այբուբեն կամ պետությունների այբուբեն); սկզբնական վիճակ զ 0 , զ 0 Î Զ; անցումային ֆունկցիա j ( զ, x); ելքային ֆունկցիա y ( զ, x): Ավտոմատ մեքենաների հավաքածու Ֆ- սխեման: Ֆ = á Զ, X, Յ, y, ժ, զ 0 ñ, գործում է դիսկրետ ժամանակում, որի պահերը ժամացույցներ են, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է մուտքային և ելքային ազդանշանների և ներքին վիճակների հաստատուն արժեքներին: Մենք նշում ենք վիճակը, ինչպես նաև համապատասխան մուտքային և ելքային ազդանշանները տ-րդ ժամացույցը ժամը տ= 0, 1, 2, ..., միջոցով զ(տ), x(տ), յ(տ): Ընդ որում, պայմանով զ(0) = զ 0, և զ(տ)Î Զ, x(տ)Î X, y(տ)Î Յ.

Վերացական վիճակի մեքենան ունի մեկ մուտքային և մեկ ելքային ալիք: Ամեն պահի տ= 0, 1, 2, ... դիսկրետ ժամանակ Ֆ- մեքենան գտնվում է որոշակի վիճակում զ(տ) հավաքածուից Զավտոմատի վիճակները և ժամանակի սկզբնական պահին տ= 0 այն միշտ գտնվում է սկզբնական վիճակում զ(0) = զ 0. Այդ պահին տի վիճակի լինել զ(տ), ավտոմատը կարողանում է ընկալել ազդանշանը մուտքային ալիքի վրա x(տ)Î Xև ազդանշանը թողարկեք ելքային ալիքի վրա y(տ) = y [ զ(տ),x(տ)], անցնելով z վիճակին ( տ+1) = j [ զ(տ), x(տ)], զ(տ)Î Զ, y(տ)Î Յ... Վերացական վերջավոր վիճակի մեքենան իրականացնում է մուտքային այբուբենի բառերի բազմության որոշ քարտեզագրում Xհանգստյան օրերի շատ խոսքերի վրա
Այբուբեն Յ... Այլ կերպ ասած, եթե պետական ​​մեքենայի մուտքագրումը դրվի սկզբնական վիճակի զ 0, մուտքագրեք այբուբենի տառերը որոշակի հաջորդականությամբ x(0), x(1), x(2), ..., այսինքն. մուտքագրեք բառը, այնուհետև ելքային այբուբենի տառերը հաջորդաբար կհայտնվեն մեքենայի ելքի վրա y(0), y(1), y(2),…, կազմելով ելքային բառ:

Այսպիսով, պետական ​​մեքենայի աշխատանքը տեղի է ունենում հետևյալ սխեմայի համաձայն՝ յուրաքանչյուրում տ-րդ ժամացույցը մեքենայի մուտքագրման վիճակում զ(տ), որոշ ազդանշան է տրվում x(տ), որին այն արձագանքում է անցումով ( տ+1) ժամացույցի նոր վիճակին զ(տ+1) և տալով որոշակի ելքային ազդանշան: Վերը նշվածը կարելի է նկարագրել հետևյալ հավասարումներով՝ համար Ֆ-Առաջին տեսակի ավտոմատ, որը նաև կոչվում է ավտոմատ մղոններ,

զ(տ+1) = j [ զ(տ), x(տ)], տ= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(տ) = y [ զ(տ), x(տ)], տ= 0, 1, 2, …; (2.16)

համար Ֆ- երկրորդ տեսակի ավտոմատ

զ(տ+1) = j [ զ(տ), x(տ)], տ= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(տ) = y [ զ(տ), x(t - 1)], տ= 1, 2, 3,…. (2.18)

Երկրորդ տեսակի ավտոմատ, որի համար

y(տ) = y [ զ(տ)], տ= 0, 1, 2, …, (2.19)

դրանք. ելքի ֆունկցիան անկախ է մուտքային փոփոխականից x(տ) կոչվում է Մուրի գրոհային հրացանը.

Այսպիսով, (2.15) - (2.19) հավասարումները, որոնք ամբողջությամբ սահմանում են
Ֆ-ավտոմատները (2.3) և (2.4) հավասարումների հատուկ դեպք են, երբ
համակարգ Ս- որոշիչ և դիսկրետ ազդանշան է հասնում իր միակ մուտքին X.

Վիճակների քանակով առանձնանում են հիշողությամբ և առանց հիշողության վերջավոր վիճակի մեքենաներ։ Հիշողությամբ ավտոմատներն ունեն մեկից ավելի վիճակ, իսկ առանց հիշողության ավտոմատները (համակցված կամ տրամաբանական սխեմաներ) ունեն միայն մեկ վիճակ։ Այս դեպքում, համաձայն (2.16), կոմբինացիոն սխեմայի գործողությունն այն է, որ այն վերագրում է յուրաքանչյուր մուտքային ազդանշանին. x(տ) որոշակի ելքային ազդանշան y(տ), այսինքն. իրականացնում է ձևի տրամաբանական ֆունկցիա

y(տ) = y [ x(տ)], տ= 0, 1, 2, … .

Այս ֆունկցիան կոչվում է բուլյան, եթե այբուբենը Xև Յորին պատկանում են ազդանշանային արժեքները xև y, բաղկացած է երկու տառից։

Դիսկրետ ժամանակի հաշվման բնույթով վերջավոր վիճակի մեքենաները բաժանվում են սինխրոնի և ասինխրոնի։ Համաժամանակյա Ֆ- ավտոմատացնում է այն ժամանակները, երբ ավտոմատը «կարդում» է մուտքային ազդանշանները, որոշվում են պարտադիր համաժամացման ազդանշաններով: Հաջորդ համաժամացման ազդանշանից հետո, հաշվի առնելով «կարդալը» և (2.15) - (2.19) հավասարումների համաձայն, տեղի է ունենում անցում նոր վիճակի և ազդանշան է թողարկվում ելքի վրա, որից հետո մեքենան կարող է ընկալել հաջորդ արժեքը: մուտքային ազդանշանից. Այսպիսով, մեքենայի արձագանքը մուտքային ազդանշանի յուրաքանչյուր արժեքին ավարտվում է մեկ ցիկլով, որի տեւողությունը որոշվում է հարակից սինխրոնիզացնող ազդանշանների միջակայքով: Ասինխրոն Ֆ- մեքենան անընդհատ կարդում է մուտքային ազդանշանը և, հետևաբար, արձագանքում է կայուն արժեքի բավական երկար մուտքային ազդանշանին x, այն կարող է, ինչպես հետևում է (2.15) - (2.19)-ից, մի քանի անգամ փոխել վիճակը՝ տալով համապատասխան թվով ելքային ազդանշաններ, մինչև այն անցնի կայուն, որն այլևս չի կարող փոխվել այս մուտքային ազդանշանով։

Հնարավոր հավելվածներ Ֆ- սխեման.Եզրափակիչը սահմանելու համար Ֆ-ավտոմատ, անհրաժեշտ է նկարագրել հավաքածուի բոլոր տարրերը Ֆ= <Զ, X, Յ, y, ժ, զ 0>, այսինքն. մուտքային, ներքին և ելքային այբուբենները, ինչպես նաև անցումների և ելքերի գործառույթները, իսկ վիճակների շարքից անհրաժեշտ է առանձնացնել վիճակը. զ 0, որում ավտոմատը գտնվում է վիճակում տ= 0. Աշխատանքը սահմանելու մի քանի եղանակ կա Ֆ-ավտոմատներ, բայց առավել հաճախ օգտագործվում են աղյուսակային, գրաֆիկական և մատրիցային:

Աղյուսակային մեթոդով սահմանվում են անցումների և ելքերի աղյուսակներ, որոնց տողերը համապատասխանում են ավտոմատի մուտքային ազդանշաններին, իսկ սյունակները՝ նրա վիճակներին։ Ձախ կողմի առաջին սյունակը համապատասխանում է սկզբնական վիճակին զ 0. Խաչմերուկում եսրդ գիծը և կ- անցումային աղյուսակի-րդ սյունակ, համապատասխան արժեքը j ( z k, x i) անցումների ֆունկցիան, իսկ ելքերի աղյուսակում՝ y-ի համապատասխան արժեքը ( z k, x i) ելքային գործառույթներ. Համար Ֆ- Moore's automaton երկու սեղանները կարող են համակցվել:

Աշխատանքի նկարագրություն Ֆ-ավտոմատ Miles j անցումների աղյուսակներով և y արդյունքներով պատկերված է Աղյուսակում: 2.1 և նկարագրությունը Ֆ- More's automaton - անցումային աղյուսակով (Աղյուսակ 2.2):

Աղյուսակ 2.1

X i	z k
զ 0	զ 1	…	z k
Անցումներ
x 1	ժ ( զ 0 , x 1)	ժ ( զ 1 , x 1)	…	ժ ( z k,x 1)
x 2	ժ ( զ 0 , x 2)	ժ ( զ 1 , x 2)	…	ժ ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x i	ժ ( զ 0 , x i)	ժ ( զ 1 , x i)	…	ժ ( z k,x i)
Արդյունքներ
x 1	y ( զ 0 , x 1)	y ( զ 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( զ 0 , x 2)	y ( զ 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( զ 0 , x i)	y ( զ 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

Աղյուսակ 2.2

x i	y ( z k)
y ( զ 0)	y ( զ 1)	…	y ( z k)
զ 0	զ 1	…	z k
x 1	ժ ( զ 0 , x 1)	ժ ( զ 1 , x 1)	…	ժ ( z k, x 1)
x 2	ժ ( զ 0 , x 2)	ժ ( զ 1 , x 2)	…	ժ ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	ժ ( զ 0 , x i)	ժ ( զ 1 , x i)	…	ժ ( z k, x i)

Կարգավորման աղյուսակային եղանակի օրինակներ Ֆ- Ավտոմատ մղոններ Ֆ 1-ը տրված է աղյուսակում: 2.3 և համար Ֆ- Moore մեքենա Ֆ 2 - աղյուսակում: 2.4.

Աղյուսակ 2.3

x i	z k
զ 0	զ 1	զ 2
Անցումներ
x 1	զ 2	զ 0	զ 0
x 2	զ 0	զ 2	զ 1
Արդյունքներ
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Աղյուսակ 2.4

	Յ
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	զ 0	զ 1	զ 2	զ 3	զ 4
x 1	զ 1	զ 4	զ 4	զ 2	զ 2
x 2	զ 3	զ 1	զ 1	զ 0	զ 0

Վերջավոր վիճակի մեքենայի սահմանման գրաֆիկական եղանակով օգտագործվում է ուղղորդված գրաֆիկ հասկացությունը։ Ավտոմատ գրաֆիկը ավտոմատի տարբեր վիճակներին համապատասխանող և ավտոմատի որոշակի անցումներին համապատասխանող գրաֆիկական աղեղների գագաթները միացնող գագաթների մի շարք է։ Եթե ​​մուտքային ազդանշանը x kառաջացնում է անցում պետությունից z iմի վիճակում զ ժ, ապա ավտոմատի գրաֆիկի վրա կա գագաթը միացնող աղեղ z iգագաթով զ ժ, նշվում է x k... Արդյունքների գործառույթը սահմանելու համար գրաֆիկական աղեղները պետք է նշվեն համապատասխան ելքային ազդանշաններով։ Miles մեքենաների համար այս նշումը կատարվում է հետևյալ կերպ. եթե մուտքային ազդանշանը x kգործում է պետության վրա z i, ապա մենք ստանում ենք ելքային աղեղ z iև նշվել x k; այս աղեղը լրացուցիչ նշվում է ելքային ազդանշանով y= y ( z i, x k): Moore ավտոմատի համար գրաֆիկի նմանատիպ նշումը հետևյալն է. եթե մուտքային ազդանշանը x k, գործելով ավտոմատի որոշակի վիճակի վրա, առաջացնում է անցում դեպի վիճակ զ ժ, ապա աղեղն ուղղված է z iև նշվել x k, հավելյալ նշեք շաբաթավերջը
ազդանշան y= y ( զ ժ, x k).

Նկ. 2.4. ա, բավելի վաղ տրված աղյուսակներում Ֆ- մղոն մեքենաներ Ֆ 1 և Մուր Ֆ 2 համապատասխանաբար:

Բրինձ. 2.4. Ավտոմատ գրաֆիկներ a - Miles և b - Moore

Վերջավոր ավտոմատի մատրիցային նշանակման համար ավտոմատի միացումների մատրիցը քառակուսի է. ՀԵՏ=||հետ ij||, տողերը համապատասխանում են սկզբնական վիճակներին, իսկ սյունակները` անցումային վիճակներին: Տարր հետ ij = x k/y սկանգնած խաչմերուկում
եսրդ գիծը և ժ-րդ սյունակը, Miles ավտոմատի դեպքում համապատասխանում է մուտքային ազդանշանին x kպետությունից անցում առաջացնելով z iմի վիճակում զ ժ, և ելքային ազդանշանը y սառաջացած այս անցման արդյունքում: Miles մեքենայի համար Ֆ 1, վերևում դիտարկված, միացությունների մատրիցն ունի ձև.

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

Գ 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Եթե ​​անցումը պետությունից z iմի վիճակում զ ժտեղի է ունենում մի քանի ազդանշանների, մատրիցայի տարրի ազդեցության ներքո գ ijայս անցման համար մուտքային-ելքային զույգերի մի շարք է, որոնք միացված են անջատման նշանով:

Համար Ֆ- Moore մեքենայի տարր հետ ijհավասար է անցման ժամանակ մուտքային ազդանշանների բազմությանը ( զ ի, զ ժ), իսկ ելքը նկարագրվում է ելքերի վեկտորով

= y ( z k) ,

ես-որի բաղադրիչը ելքային ազդանշանն է, որը ցույց է տալիս վիճակը z i.

Վերոնշյալի համար Ֆ- Moore մեքենա F2կապերի մատրիցը և ելքերի վեկտորը ունեն հետևյալ ձևը.

–x 1 –x 2 –ժամը 1

–x 2 – –x 1 ժամը 1

Գ 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –ժամը 2

x 2 –x 1 – –ժամը 3

Դետերմինիստական ​​ավտոմատների համար անցումների եզակիության պայմանը բավարարված է. որոշակի վիճակում գտնվող ավտոմատը չի կարող անցնել մեկից ավելի վիճակի ցանկացած մուտքային ազդանշանի ազդեցությամբ։ Կիրառվում է պարամետրերի գրաֆիկական եղանակին Ֆ-ավտոմատ, սա նշանակում է, որ ավտոմատ գրաֆիկում նույն մուտքային ազդանշանով նշված երկու կամ ավելի եզրեր չեն կարող դուրս գալ որևէ գագաթից: Իսկ մեքենայի միացումների մատրիցայում ՀԵՏցանկացած մուտքային ազդանշան չպետք է լինի մեկից ավելի յուրաքանչյուր տողում:

Համար Ֆ- ավտոմատ վիճակ z kկանչեց կայուն,եթե որևէ ներդրման համար x i ÎXորի համար j ( z k, x i) = z k,ժ ( z k,x i) = y k. Ֆ- մեքենան կոչվում է ասինխրոն,եթե յուրաքանչյուր պետություն z k ÎZկայուն.

Այսպիսով, մոդելների վրա օբյեկտների հատկությունների ուսումնասիրման դիսկրետ-դետերմինիստական ​​մոտեցման հայեցակարգը մաթեմատիկական աբստրակցիա է, որը հարմար է ավտոմատացված կառավարման համակարգերում իրական օբյեկտների գործունեության գործընթացների լայն դասի նկարագրության համար: Միջոցով Զ-Ավտոմատի միջոցով կարելի է նկարագրել առարկաներ, որոնք բնութագրվում են դիսկրետ վիճակների առկայությամբ և ժամանակի աշխատանքի դիսկրետ բնույթով. դրանք համակարգչի տարրեր և հանգույցներ են, կառավարման, կարգավորման և կառավարման սարքեր, ժամանակային և տարածական համակարգեր: տեղեկատվության փոխանակման տեխնոլոգիաների անցում և այլն:

2.4. Դիսկրետ ստոխաստիկ մոդելներ ( Ռ- սխեման)

Հիմնական հարաբերություններ... Դիտարկենք հավանականական (ստոխաստիկ) ավտոմատների վրա դիսկրետ-ստոխաստիկ մոտեցմամբ մաթեմատիկական սխեմաների կառուցման առանձնահատկությունները։ Ընդհանուր առմամբ հավանական ավտոմատ
R- սխեմաներ(Անգլերեն probabijistic automat) կարելի է սահմանել որպես հիշողությամբ տեղեկատվության դիսկրետ տողից տող փոխարկիչ, որի գործունեությունը յուրաքանչյուր ցիկլում կախված է միայն դրանում հիշողության վիճակից և կարող է նկարագրվել վիճակագրորեն:

Ներկայացնենք մաթեմատիկական հասկացությունը Ռ-ավտոմատ, օգտագործելով ներմուծված հասկացությունները Ֆ- ավտոմատ. Հաշվի առեք հավաքածուն Գ, որի տարրերը բոլոր հնարավոր զույգերն են ( x i, z s), որտեղ x iև զ ս- մուտքային ենթաբազմության տարրեր Xև համապատասխանաբար Z վիճակների ենթաբազմությունները։ Եթե ​​կան երկու նման j և y ֆունկցիաներ, ապա դրանք օգտագործվում են քարտեզագրումներն իրականացնելու համար Գ®Z և G®Y,հետո ասում են Ֆ = X, Y, j, y>-ը սահմանում է դետերմինիստական ​​տիպի ավտոմատ:

Դիտարկենք ավելի ընդհանուր մաթեմատիկական սխեմա. Թող
Ф - ձևի բոլոր հնարավոր զույգերի հավաքածու ( z k, y i), որտեղ ես- ելքային ենթաբազմության տարր Յ... Մենք պահանջում ենք, որ հավաքածուի ցանկացած տարր ԳՖ բազմության վրա առաջացրել է հետևյալ ձևի բաշխման որոշ օրենքը.

Որտեղ բ կջ= 1, որտեղ բ կջ- ավտոմատի վիճակին անցնելու հավանականությունները z kև ազդանշանի տեսքը ելքի վրա y jեթե կարողանար զ սև դրա մուտքագրման ժամանակ ազդանշանն ստացվել է այս պահին x i... Աղյուսակների տեսքով ներկայացված նման բաշխումների թիվը հավասար է բազմության տարրերի քանակին Գ... Այս աղյուսակների բազմությունը նշում ենք B-ով: Այնուհետև չորս տարրերը P = կոչվում է հավանականական ավտոմատ
(Ռ- ավտոմատ):

Հնարավոր հավելվածներ Պ- սխեման.Թող հավաքածուի տարրերը Գդրդել ենթաբազմությունների վրա բաշխման որոշ օրենքներ Յև Զ, որը կարող է ներկայացվել, համապատասխանաբար, ձևով.

Որտեղ z k = 1 և q j = 1, որտեղ z kև q j -անցումային հավանականությունները
Ռ-Ավտոմատ մեքենա պետական ​​վիճակում z kև ելքային ազդանշանի տեսքը y kպայմանով, որ
Ռ զ սև դրա մուտքը մուտքային ազդանշան է ստացել x i.

Եթե ​​բոլորի համար կև ժհարաբերությունը պահպանվում է q j z k = b kj,ապա այդպիսին
Ռ- մեքենան կոչվում է Մայլսի հավանականական ավտոմատը... Այս պահանջը նշանակում է նոր պետության համար բաշխումների անկախության պայմանի կատարում Ռ- ավտոմատ սարքը և դրա ելքային ազդանշանը:

Այժմ թողեք ելքային ազդանշանի սահմանումը R-ավտոմատը կախված է միայն այն վիճակից, որում ավտոմատը գտնվում է աշխատանքի տվյալ ցիկլում: Այլ կերպ ասած, թող ելքային ենթաբազմության յուրաքանչյուր տարր Յառաջացնում է ելքերի հավանականության բաշխում, որն ունի հետևյալ ձևը.

Այստեղ s i = 1, որտեղ s i- ելքային ազդանշանի հայտնվելու հավանականությունը y iժամը ժամըբառեր և դա Ռ-Մեքենան գտնվում էր վիճակում z k.

Եթե ​​բոլորի համար կև եսհարաբերությունը պահպանվում է z k s i =բ կիապա այդպիսին
Ռ- մեքենան կոչվում է Մուրի հավանականական ավտոմատը.Հայեցակարգ
Ռ-Մայլիի և Մուրի ավտոմատը ներկայացվում է դետերմինիստականի անալոգիայով
Ֆ- ավտոմատ. Կոնկրետ դեպք R-ավտոմատ սահմանված է որպես Պ=X, Y, Բ> ավտոմատներ են, որոնցում կամ անցումը նոր վիճակի, կամ ելքային ազդանշանը որոշվում են դետերմինիստորեն: Եթե ​​ելքային ազդանշանը
Ռ-ավտոմատը որոշվում է դետերմինիստորեն, ապա կոչվում է այդպիսի ավտոմատ
Յ-... Նմանապես,
Զ-որոշիչ հավանականական ավտոմատկանչեց Ռ- ավտոմատ, որում նոր վիճակի ընտրությունը դետերմինիստական ​​է:

Օրինակ 2.1.Թող տրվի Յ-դետերմինիստական Պ- մեքենա

Նկ. 2.5-ը ցույց է տալիս այս ավտոմատի ուղղորդված անցումային գրաֆիկը: Գրաֆիկի գագաթները կապված են ավտոմատի վիճակների հետ, իսկ աղեղները՝ մի վիճակից մյուսը հնարավոր անցումների հետ։ Աղեղները ունեն անցումային հավանականություններին համապատասխան կշիռներ p ij, և այս վիճակներով առաջացած ելքային ազդանշանների արժեքները գրվում են գրաֆիկի գագաթների մոտ։ Պահանջվում է գնահատել դրա մնալու ընդհանուր վերջնական հավանականությունը Պ- ավտոմատ նահանգներում զ 2 և զ 3 .

Բրինձ. 2.5. Հավանականության ավտոմատ գրաֆիկ

Օգտագործելով վերլուծական մոտեցումը, կարելի է գրել Մարկովյան շղթաների տեսությունից հայտնի հարաբերությունները և ստանալ վերջնական հավանականությունների որոշման հավասարումների համակարգ։ Այս դեպքում նախնական վիճակը զ 0-ը կարելի է անտեսել, քանի որ նախնական բաշխումը չի ազդում վերջնական հավանականությունների արժեքների վրա: Հետո մենք ունենք

որտեղ կ–ի հետ- մնալու վերջնական հավանականությունը Ռ-Ավտոմատ սարքը վիճակում է z k.

Մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգը

Այս հավասարումներին ավելացնում ենք նորմալացման պայմանը Հետ 1 + Հետ 2 + Հետ 3 + Հետ 4 = 1. Այնուհետև, լուծելով հավասարումների համակարգը, ստանում ենք Հետ 1 = 5/23, Հետ 2 = 8/23, Հետ 3 = 5/23,
Հետ 4 = 5/23: Այս կերպ, Հետ 2 + Հետ 3 = 13/23 = 0,5652: Այսինքն՝ այս օրինակում տրված անվերջ աշխատանքով Յ-դետերմինիստական
Ռ-ավտոմատ իր ելքում ձևավորվում է երկուական հաջորդականություն՝ մեկի առաջացման հավանականությամբ, որը հավասար է 0,5652-ի:

Նմանատիպ Ռ- ավտոմատները կարող են օգտագործվել որպես մարկովյան հաջորդականությունների գեներատորներ, որոնք անհրաժեշտ են համակարգերի գործարկման գործընթացների կառուցման և իրականացման համար: Սկամ շրջակա միջավայրի ազդեցությունը Ե.

2.5. Շարունակական ստոխաստիկ մոդելներ ( Ք- սխեման)

Հիմնական հարաբերություններ... Մենք կդիտարկենք շարունակական-ստոխաստիկ մոտեցման առանձնահատկությունները՝ օգտագործելով բնորոշ մաթեմատիկական օրինակը Q-սխեմաներ - հերթագրման համակարգեր(անգլերեն հերթերի համակարգ):

Որպես սպասարկման գործընթաց, իրենց ֆիզիկական բնույթով տարբեր տնտեսական, արտադրական, տեխնիկական և այլ համակարգերի գործունեության գործընթացներ կարող են ներկայացվել, օրինակ. սեմինար, համակարգչային տեղեկատվության մշակման հարցումներ հեռավոր տերմինալներից և այլն: Այս դեպքում նման օբյեկտների շահագործման բնորոշ հատկանիշը պատահական ժամանակներում սպասարկման և սպասարկման ավարտի պահանջների (պահանջների) պատահական տեսքն է, այսինքն. դրանց գործունեության գործընթացի ստոխաստիկ բնույթը.

Իրադարձությունների հոսքովկոչվում է իրադարձությունների հաջորդականություն, որոնք տեղի են ունենում մեկը մյուսի հետևից ժամանակի որոշ պատահական պահերին: Տարբերակել միատարր և տարասեռ իրադարձությունների հոսքերը: Իրադարձությունների հոսքկանչեց միատարր,եթե այն բնութագրվում է միայն այս իրադարձությունների ժամանման պահերով (պահեր առաջացնող) և տրվում է հաջորդականությամբ ( t n} = {0 £ տ£ 1 տ 2 ... £ t n£ … }, որտեղ t n -ժամանման պահը Պ-Իրադարձությունը ոչ բացասական իրական թիվ է: Իրադարձությունների միատարր հոսքը կարող է նաև սահմանվել որպես միջև ժամանակային ընդմիջումների հաջորդականություն Պ-մ և (n - 1) իրադարձությունները (t n), որը միանշանակորեն կապված է դժվար պահերի հաջորդականության հետ ( t n} , որտեղ տ n = t n– t n -1 ,Պ³ 1, տ 0 = 0, դրանք. t 1 = տ 1 . Տարասեռ իրադարձությունների հոսքկոչվում է հաջորդականություն ( t n, f n} , որտեղ t n -դժվար պահեր; f n -իրադարձությունների նշանների հավաքածու. Օրինակ, սպասարկման գործընթացի հետ կապված, պահանջների ոչ միասնական հոսքի համար կարող է նշվել պահանջների որոշակի աղբյուրի անդամակցությունը, առաջնահերթության առկայությունը և այս կամ այն ​​տեսակի կապուղու սպասարկման հնարավորությունը:

Սպասարկման ցանկացած տարրական ակտում կարելի է առանձնացնել երկու հիմնական բաղադրիչ՝ հայցի կողմից սպասարկման ակնկալիք և պահանջի իրական սպասարկում: Սա կարելի է պատկերել ոմանց տեսքով ես-րդ սպասարկման սարքը P i(նկ. 2.6), որը բաղկացած է պատվերների կուտակիչից Ողջու՜յն,որը կարող է միաժամանակ լինել j i= հավելվածներ, որտեղ Լ ի Հ– հզորությունը
ես- անցեք պահեստ և ալիք՝ խնդրանքների սպասարկման համար (կամ պարզապես ալիք) Կի.Սպասարկման սարքի յուրաքանչյուր տարրի համար P iԻրադարձությունների հոսքեր են հասնում՝ դեպի քշել Ողջու՜յնդիմումների հոսքը ես,մեկ ալիքով Կի -սպասարկման հոսք եւ ես.

Բրինձ. 2.6. Դիմումների սպասարկման սարք

Հայտերը սպասարկվում են ալիքի կողմից Կի,և հարցումները, որոնք թողել են սարքը P iչսպասարկվել տարբեր պատճառներով (օրինակ՝ սկավառակի վարարման պատճառով Ողջու՜յն), ձևավորել ելքային հոսք y, y,դրանք. Պատվերների ելքի պահերի միջև եղած ժամանակային ընդմիջումները կազմում են ելքային փոփոխականների ենթաբազմություն:

Սովորաբար, դիմումների հոսքը w i ÎW,դրանք. ժամանակային ընդմիջումներ մուտքի մոտ պատվերների հայտնվելու պահերի միջև Կի, կազմում է չկառավարվող փոփոխականների ենթաբազմություն, և ծառայության հոսքը դու ես ՈՒ,դրանք. Հայցի սպասարկման սկզբի և ավարտի միջև ընկած ժամանակային ընդմիջումները կազմում են վերահսկվող փոփոխականների ենթախումբ:

Սպասարկման սարքի շահագործման գործընթացը P iկարող է ներկայացվել որպես իր ժամանակի տարրերի վիճակների փոփոխման գործընթաց z i(տ). Անցում նոր վիճակի համար P iնշանակում է դրանում գտնվող հավելվածների քանակի փոփոխություն (ալիքում Կիև շարժման մեջ Ողջու՜յն): Այսպիսով, վիճակների վեկտորը համար P iնման է: , որտեղ զ ի Հ- քշել վիճակը Ողջու՜յն (զ ի Հ= 0 - սկավառակը դատարկ է, զ ի Հ= 1 - պահեստում կա մեկ հարցում, ..., զ ի Հ = L i H – սկավառակը լիովին լցված է); L i H -պահեստավորման հզորություն Ողջու՜յն,չափվում է հավելվածների քանակով, որոնք կարող են տեղավորվել դրա մեջ. z i k -ալիքի վիճակը Կի(z i k = 0 – ալիքն անվճար է, z i k= 1 - ալիքը զբաղված է):

Հնարավոր հավելվածներ Q-սխեմաներ.Ավելի բարդ կառուցվածքային հարաբերություններով և վարքի ալգորիթմներով համակարգերի մոդելավորման պրակտիկայում պաշտոնականացման համար օգտագործվում են ոչ թե առանձին սպասարկման սարքեր, այլ.
Q-սխեման , ձևավորվել է բազմաթիվ տարրական սպասարկման սարքերի բաղադրությամբ P i.Եթե ​​ալիքները ԿիԶուգահեռաբար միացված են տարբեր սպասարկման սարքեր, այնուհետև տեղի է ունենում բազմալիք սպասարկում ( բազմալիք Q-սխեման) , իսկ եթե սարքերը P iև դրանց զուգահեռ կոմպոզիցիաները միացված են շարքով, այնուհետև կա բազմաֆազ ծառայություն ( բազմաֆազ Q-սխեման) . Այսպիսով, աշխատանքի համար Q-սխեման պետք է օգտագործի կոնյուգացիոն օպերատորը Ռ, արտացոլելով կառուցվածքի տարրերի (ալիքների և պահեստավորման սարքերի) փոխկապակցումը միմյանց հետ: