კომპლექსური ინტეგრალები

ეს სტატია ასრულებს გაურკვეველი ინტეგრალების საგანი და მასში ინტეგრალები, რომლებიც საკმაოდ რთული ვარ, შედის. გაკვეთილი შეიქმნა ვიზიტორთა განმეორებითი მოთხოვნით, რომლებმაც გამოთქვეს სურვილები, რათა უფრო რთული მაგალითები დემონტაჟდება საიტზე.

ვარაუდობენ, რომ ამ ტექსტის მკითხველი კარგად არის მომზადებული და იცის, თუ როგორ უნდა გამოიყენოს ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები. Teapots და ადამიანები, რომლებიც არ არის ძალიან დამაჯერებლად განხილული ინტეგრალები უნდა მოხსენიებული პირველი გაკვეთილი - გაურკვეველი განუყოფელი. გადაწყვეტილებების მაგალითებისადაც თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლონ თემას თითქმის ნულოვანი. უფრო გამოცდილი სტუდენტებს შეუძლიათ გაეცნონ ტექნიკას და ინტეგრაციის მეთოდებს, რომლებიც ჩემს სტატიებში ჯერ არ შეხვდნენ.

რა ინტეგრალები განიხილება?

პირველი, ჩვენ განვიხილავთ ინტეგრალებს ფესვებს, რომ გადაწყვიტოს, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეცვლის ცვლადი და ინტეგრაცია ნაწილებში. ანუ, ერთ მაგალითში, ორი მიღება კომბინირებულია. და კიდევ უფრო.

მაშინ გაეცნობით საინტერესო და ორიგინალს მეთოდი ინფორმაცია განუყოფელი საკუთარ თავს. ეს მეთოდი გადაწყდება არც ისე ცოტა ინტეგრალს.

პროგრამის მესამე რიცხვი ხელს შეუწყობს კომპლექსურ ფრაქციებს, რომლებიც წინა სტატიებში წარსულში ფულადი რეესტრშია.

მეოთხე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამატებითი ინტეგრალები დაიშლება. კერძოდ, არსებობს მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ თავიდან იქნას აცილებული უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების დრო.

(2) Integrand ფუნქცია, მრიცხველის დენომინატორი.

(3) გამოიყენეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ხაზოვანი ქონება. ბოლო ინტეგრალში დაუყოვნებლივ sweep ფუნქცია ქვეშ ნიშანი დიფერენციალური.

(4) მიიღოს დანარჩენი ინტეგრალები. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ლოგარითმში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილებში, არ არის მოდული, რადგან.

(5) ჩვენ ვაგროვებთ ჩანაცვლებას, გამოხატავს პირდაპირ ჩანაცვლებას "TE":

Masochian სტუდენტებს შეუძლიათ გულგრილობა პასუხი და მიიღეთ ორიგინალური ინტეგრაციის ფუნქცია, როგორც მე უბრალოდ გავაკეთე. არა, არა, მე შევასრულე გადამოწმება სწორი აზრით \u003d)

როგორც ხედავთ, გადაწყვეტილების მიღებისას მე უნდა გამოვიყენო ხსნარის ორი გადაწყვეტილება, ასე რომ მსგავსი ინტეგრალების რეპრესიების გამო, საჭიროა დარწმუნებული ინტეგრაციის უნარი და არა პატარა გამოცდილება.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, კვადრატული ფესვი უფრო ხშირია, აქ არის დამოუკიდებელი გამოსავლის სამი მაგალითი:

მაგალითი 2.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგალითი 3.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგალითი 4.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ამგვარი ტიპის ეს მაგალითები, ამიტომ სტატიის დასასრულს სრული გამოსავალი მხოლოდ 2-ისთვის იქნება, მაგალითად, 3-4 - ერთი პასუხი. რა შეცვლის გადაწყვეტილებების დასაწყისში, მე ვფიქრობ, აშკარად. რატომ შევიძინე იგივე ტიპის მაგალითები? ხშირად გვხვდება თქვენი როლი. უფრო ხშირად, ალბათ, რაღაც მსგავსი .

მაგრამ არა ყოველთვის, როდესაც Arctgennes, Sinus, Cosine, Exponential და ა.შ. მახასიათებლები არიან ხაზოვანი ფუნქციის ფესვი, რამდენიმე მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული. ზოგიერთ შემთხვევაში, შესაძლებელია "მოშორება", რომელიც, მაშინვე ჩანაცვლების შემდეგ, მარტივი განუყოფელია, რომელიც არის ელემენტარული. შემოთავაზებული ამოცანების მარტივია 4, მასში ჩანაცვლების შემდეგ, შედარებით შედარებით ხდება დახვეწილი განუყოფელი.

მეთოდი ინფორმაცია განუყოფელი საკუთარ თავს

მახინჯი და ლამაზი მეთოდი. დაუყოვნებლივ განიხილეთ ჟანრის კლასიკა:

მაგალითი 5.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ბუტიანი და ამ მაგალითის ინტეგრირებისას, კეტტე შეიძლება განიცადოს საათობით. ასეთი განუყოფელი ნაწილია ნაწილებში და მოდის ქვემოთ. პრინციპში, ეს არ არის რთული. თუ იცით, როგორ.

მიუთითეთ ლათინური წერილის განუყოფელი ინტეგრირებული და დაიწყე გამოსავალი:

ჩვენ ინტეგრირება ნაწილებში:

(1) ჩვენ მოვამზადებთ ნიადაგის განყოფილების ჩანაცვლებას.

(2) ჩვენ გაყოფა შეცვლის ფუნქციას. ალბათ, არ არის ნათლად, მე დაწერე უფრო დეტალურად:

(3) გამოიყენეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ხაზოვანი ქონება.

(4) მიიღოს ბოლო განუყოფელი ("ხანგრძლივი" ლოგარითმი).

ახლა ჩვენ ვუყურებთ გადაწყვეტილების დასაწყისს:

და ბოლოს:

Რა მოხდა? ჩვენი მანიპულაციების შედეგად, განუყოფელი იყო თავად!

ჩვენ ვამატებთ დასაწყისს და ბოლოს:

ჩვენ გადავიტანთ მარცხენა მხარეს ნიშანი ნიშანი:

და დემო დემონტაჟს მარჯვენა მხარეს. Როგორც შედეგი:

მუდმივი, მკაცრად ლაპარაკი, უნდა დაემატოს ადრე, მაგრამ ბოლოს მიეწერება. მე მკაცრად ვურჩევ, რა არის აქ მკაცრი:

Შენიშვნა: უფრო მკაცრი საბოლოო ეტაპი გამოსავალი გამოიყურება:

Ამგვარად:

მუდმივი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მეშვეობით. რატომ შეგიძლია ხელახლა? იმიტომ, რომ ის მაინც იღებს რომელიმე ღირებულებები, და ამ თვალსაზრისით შორის მუდმივები და არ არსებობს განსხვავება.
Როგორც შედეგი:

ასეთი შეასრულა მუდმივი მუდმივი ფართოდ გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებები. და იქ იქნება მკაცრი. და აქ ასეთი თავისუფლება დასაშვებია მხოლოდ ჩემთვის მხოლოდ იმისათვის, რომ არ გაურკვეველი იყოს ზედმეტი რამ და ფოკუსირება ინტეგრაციის მეთოდით.

მაგალითი 6.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

თვითმმართველობის გადაწყვეტილებების კიდევ ერთი ტიპიური განუყოფელი. გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხი. წინა მაგალითის რეაგირების განსხვავება იქნება!

თუ კვადრატული ფესვი არის მოედანზე სამმაგი, მაშინ გამოსავალი ნებისმიერ შემთხვევაში შემცირდა ორი disassembled მაგალითები.

მაგალითად, განიხილეთ განუყოფელი . ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ, აირჩიეთ სრული მოედანი:
.
შემდეგი, წრფივი ჩანაცვლება ხორციელდება, რაც ხარჯავს "ყოველგვარი შედეგების გარეშე":
შედეგად, განუყოფელია მიღებული. რაღაც ნაცნობი, არა?

ან ასეთი მაგალითი, მოედანთან ერთად:
ჩვენ ხაზს ვუსვამთ სრულ კვადრატს:
და, მას შემდეგ, რაც წრფივი ჩანაცვლება, ჩვენ გვაქვს განუყოფელი, რომელიც ასევე მოგვარდება ალგორითმი უკვე განიხილება.

განვიხილოთ კიდევ ორი ტიპიური მაგალითი მიღებაზე ინფორმაციის ინტეგრაციის შესახებ:
- საექსპლუატაციო გამოფენაზე განუყოფელი სინუსური გამრავლებული;
- ექსკლუზიური ინტეგრალი გამრავლდა კოსინით.

ჩამოთვლილი ინტეგრალებში ნაწილები უნდა იყოს ინტეგრირებული ორჯერ:

მაგალითი 7.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

Integrand ფუნქცია არის გამოფენა გამრავლებული sinus.

ჩვენ ორჯერ ინტეგრირდება ნაწილებად და განუყოფელ საკუთარ თავს:

ნაწილების ორჯერ ინტეგრაციის შედეგად, განუყოფელმა თავად მიიღო. ჩვენ ვამატებთ დასაწყისს და დამთავრებულ გადაწყვეტილებებს:

ჩვენ გადავიტანთ მარცხენა მხარეს ნიშანი და გამოვხატოთ ჩვენი განუყოფელი:

მზად არის. ასევე, სასურველია ბრძოლის მარჯვენა მხარეს, I.E. იმისათვის, რომ ფრჩხილებში გააფართოვოს, და ფრჩხილებში, რათა სინუსი "ლამაზი" წესით.

ახლა მოდით დავუბრუნდეთ მაგალითს, უფრო სწორად - ნაწილობრივ ინტეგრაციას:

ჩვენთვის ექსპოზიტორისთვის. კითხვა ჩნდება, ყოველთვის აუცილებელია ექსპონენტისთვის? Არ არის საჭირო. სინამდვილეში, განხილული განუყოფელი პრინციპი განსხვავების გარეშერა უნდა მიუთითოთ, შესაძლებელი იყო სხვა გზით წასვლა:

რატომ არის შესაძლებელი? იმის გამო, რომ ექსპოზიტორი თავისთავად (და დიფერენცირების დროს და ინტეგრაციის დროს), სინუსს, რომელიც კოსიკასთან არის ერთმანეთთან (ისევ - როგორც დიფერენცირების დროს და ინტეგრაციის დროს).

ანუ, ტრიგონომეტრიული ფუნქცია შეიძლება აღინიშნოს. მაგრამ, გამოკვლეულ მაგალითში, ნაკლებად რაციონალურია, რადგან ფრაქციები გამოჩნდება. თუ გსურთ, შეგიძლიათ სცადოთ ამ მაგალითის მოგვარება მეორე გზით, პასუხი უნდა დაემთხვეს.

მაგალითი 8.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის. ამ შემთხვევაში, ამ შემთხვევაში უფრო მომგებიანია, ამ შემთხვევაში უფრო მომგებიანი ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციაა? გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხი.

და, რა თქმა უნდა, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ გაკვეთილის პასუხების უმრავლესობა საკმაოდ მარტივია, დიფერენცირების შემოწმება!

მაგალითები არ იყო ყველაზე რთული. პრაქტიკაში, ინტეგრალები უფრო ხშირად გვხვდება, სადაც მუდმივი მაჩვენებელია და ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტში, მაგალითად: ფიქრობდა, რომ მსგავსი ინტეგრალური მოუწევს ბევრს, მე ხშირად აღრეული ვარ. ფაქტია, რომ ფრაქციების წარმოქმნის ალბათობის მოგვარებაში და ძალიან უბრალოდ რაღაც ინტენსიურია. გარდა ამისა, ნიშნების შეცდომების ალბათობა დიდია, გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ექსპონენტულ მაჩვენებელში მინუს ნიშანი არსებობს და ეს დამატებით სირთულეს იღებს.

საბოლოო ეტაპზე, დაახლოებით ხშირად მოიპოვება:

გადაწყვეტილების დასასრულსაც კი უნდა იყოს ძალიან ყურადღებიანი და ფრაქციებით კომპეტენტურად გაუმკლავდეს:

ინტეგრაცია კომპლექსური ფრაქციები

ნელა ჩვენ გაკვეთილის ეკვატორს მივიღებთ და ფრაქციიდან ინტეგრალების განხილვა დაიწყება. კიდევ ერთხელ, ყველა მათგანი არ არის superswit, მხოლოდ ერთი მიზეზით ან სხვა მაგალითები იყო ცოტა "არა თემაზე" სხვა სტატიებში.

ჩვენ ვაგრძელებთ ფესვების თემას

მაგალითი 9.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

დენომინატორში, ფესვთა ქვეშ არის კვადრატი სამგანზომილებიანი პლუს ფესვის "გაუმჯობესების" სახით "IKSA". ამ ტიპის განუყოფელია სტანდარტული ჩანაცვლების გამოყენებით.

Ჩვენ ვწყვეტთ:

ჩანაცვლება აქ არის მარტივი:

ჩანაცვლების შემდეგ ჩვენ ვუყურებთ ცხოვრებას:

(1) ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვაძლევთ საერთო დენომინატორის პირობებს ფესვთა ქვეშ.
(2) ჩვენ ვცდილობთ root.
(3) მრიცხველი და დენომინატორი ამცირებს. ამავდროულად, ფესვთა ქვეშ, მე გადავწყვიტე კომპონენტები კომფორტულ წესრიგში. გარკვეული ექსპერიმენტით, ნაბიჯები (1), (2) შეიძლება გამოტოვოთ შესრულებული ქმედებები ზეპირად.
(4) შედეგად განუყოფელი, როგორც გახსოვთ გაკვეთილიდან ინტეგრირება ზოგიერთი ფრაქციები, გადაწყვეტს სრული კვადრატის გამოყოფის მეთოდი. აირჩიეთ სრული კვადრატი.
(5) ინტეგრაცია ჩვენ მაქსიმალურად "დიდხანს" ლოგარითს მივიღებთ.
(6) ჩაატაროს ჩანაცვლება. თუ თავდაპირველად, მაშინ უკან:.
(7) საბოლოო ქმედება მიზნად ისახავს შედეგების თმის ვარცხნილობას: ფესვთა ქვეშ, ისინი კვლავ მოუტანს კომპონენტებს საერთო მნიშვნელობრივად და ძირს უთხრის.

მაგალითი 10.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის. აქ მუდმივი დაემატა მარტოხელა "ICSU" და ჩანაცვლება თითქმის იგივეა:

ერთადერთი, რაც თქვენ უნდა დამატებით გავაკეთოთ, არის ექსპრესი "X" ჩანაცვლება:

გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხი.

ზოგჯერ ასეთი განუყოფელი ფესვი ქვეშ შეიძლება იყოს კვადრატული Bicker, ის არ შეცვლის გადაწყვეტა გადაჭრას, ეს კიდევ უფრო ადვილი იქნება. Იგრძენი განსხვავება:

მაგალითი 11.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგალითი 12.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მოკლე გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს. უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითი 11 არის ზუსტად binomial ინტეგრალური, რომლის გადაწყვეტილებაც გაკვეთილში განიხილებოდა ირაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები.

ინტეგრალიდან მე -2 ხარისხის ინდივიდუალური პოლინომურიდან

(Polynomial in Denominator)

უფრო იშვიათი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, შეხვედრა პრაქტიკული მაგალითები განუყოფელი ტიპის.

მაგალითი 13.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგრამ დაბრუნდით მაგალითად ბედნიერი ნომერი 13 (პატიოსნად, არ შეესაბამება). ეს განუყოფელი ასევე არის კატეგორიის იმ, რომლითაც თქვენ შეიძლება საკმაოდ საკმარისი, თუ არ იცით, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოს.

გადაწყვეტილება იწყება ხელოვნური ტრანსფორმაციისთვის:

როგორ გავყოთ მრიცხველის დენომინატორს, ვფიქრობ ყველაფერი გაგებული.

შედეგად განუყოფელია ნაწილები:

სანახავად განუყოფელი (- ბუნებრივი ნომერი) ამოღებულ იქნა ჩვეულუმენტული ხარისხის შემცირების ფორმულა:
სად - ინტეგრალური ხარისხი ქვედა.

მე დარწმუნებული ვარ, რომ ამ ფორმულის იუსტიციის წინასწარმეტყველური ინტეგრალური.
ამ შემთხვევაში:, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

როგორც ხედავთ, პასუხებს ემთხვევა.

მაგალითი 14.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის. გამოსავლის ნიმუშში, აღნიშნული ფორმულა ორჯერ იყო.

თუ ხარისხი მდებარეობს დამოუკიდებელი მულტიპლიკატორები მოედანზე სამჯერ, მაშინ გამოსავალი მოდის ქვემოთ bicked მიერ ხაზს უსვამს სრული მოედანი, მაგალითად:

რა მოხდება, თუ დამატებით ხარ მრიცხველს, არის პოლინომია? ამ შემთხვევაში, განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი გამოიყენება და ინტეგრირებული ფუნქცია აღწერილია ფრაქციების ოდენობით. მაგრამ ჩემი პრაქტიკაში ასეთი მაგალითი მე არ შევხვდი, ასე რომ, მე გაშვებული ეს საქმე სტატიაში ფრაქციული რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალებიმენატრები და ახლა. თუ ასეთი განუყოფელი კვლავ ხვდება, ვხედავ სახელმძღვანელოს - ყველაფერი მარტივია. მე არ მიმაჩნია, რომ მიზანშეწონილია მასალა (თუნდაც მარტივი), შეხვედრის ალბათობა, რომელთანაც იგი ცდილობს ნულოვანისთვის.

კომპლექსური ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრაცია

ზედსართავი "კომპლექსი" საუკეთესო მაგალითები მრავალფეროვნებაა. დავიწყოთ tangents და kotangenes მაღალი ხარისხი. თვალსაზრისით tangent და kotangent მეთოდების თვალსაზრისით, თითქმის იგივე, ასე რომ მე ვსაუბრობ უფრო მეტად შესახებ tangent, რაც გულისხმობს, რომ დემონსტრირებული მიღება განუყოფელი განუყოფელი არის სამართლიანი და cotangent ძალიან.

ზემოხსენებულ გაკვეთილზე, ჩვენ განვიხილეთ უნივერსალური Trigonometric ჩანაცვლება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონკრეტული ტიპის ინტეგრალების გადაჭრა. უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ნაკლებობა ისაა, რომ როდესაც ის გამოიყენება, რთული გათვლები ხშირად ხდება. და ზოგიერთი საყოველთაო ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ზოგიერთ შემთხვევაში თავიდან უნდა იქნას აცილებული!

განვიხილოთ კიდევ ერთი კანონიკური მაგალითი, ერთეულის განუყოფელია სინუსი:

მაგალითი 17.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება და მიიღეთ პასუხი, მაგრამ უფრო რაციონალური გზაა. თითოეულ ნაბიჯზე კომენტარებთან სრული გადაწყვეტილება მოგცემთ:

(1) გამოიყენეთ ორმაგი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფორმულა.
(2) ჩვენ ვატარებთ ხელოვნურ ტრანსფორმაციას: დენომინატორში ჩვენ გავყავთ და გავამრავლებთ.
(3) ცნობილი ფორმულის მიხედვით, დენომინატორში, ჩვენ დავბრუნდებით ფრაქციაში.
(4) Sweep ფუნქცია ქვეშ ნიშანი დიფერენციალური.
(5) მიიღოს განუყოფელი.

ორი მარტივი მაგალითები თვითმმართველობის გადაწყვეტილებები:

მაგალითი 18.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

შენიშვნა: ყველაზე პირველი ქმედება უნდა იქნას გამოყენებული ფორმულა და ყურადღებით განახორციელოს მსგავსი წინა მაგალითად.

მაგალითი 19.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

კარგად, ეს ძალიან მარტივი მაგალითია.

გაკვეთილის დასასრულს სრული გადაწყვეტილებები და პასუხები.

მე ვფიქრობ, ახლა არავის აქვს პრობლემები ინტეგრალებით:
და ა.შ.

რა არის მეთოდის იდეა? იდეა ის არის, რომ ტრანსფორმაციის, ტრიგონომეტრიული ფორმულების დახმარებით, ორგანიზებას უწევს მხოლოდ tangents და tangent derivative. ანუ, ეს არის შეცვლის: . 17-19 მაგალითებში, ჩვენ რეალურად მივმართეთ ამ ჩანაცვლებას, მაგრამ ინტეგრალები იმდენად მარტივია, რომ ეს ეკვივალენტური ეფექტია - ფუნქციის შეჯამება დიფერენციალური ნიშნით.

მსგავსი არგუმენტები, როგორც უკვე განპირობებული, შეგიძლიათ გაატაროთ cotangent.

ზემოთ მოყვანილი ჩანაცვლების გამოყენების ფორმალური წინაპირობაა:

Cosine და Sinus- ის ხარისხი მთლიანი უარყოფითი რიცხვია, მაგალითად:

განუყოფელი - მთელი უარყოფითი რიცხვი.

! შენიშვნა : თუ ინტეგრირებული ფუნქცია შეიცავს მხოლოდ სინუსს ან მხოლოდ კოსტას, მაშინ განუყოფელია უარყოფითი უცნაური ხარისხით (უმარტივესი შემთხვევები №11, 18).

განვიხილოთ ამ წესის რამდენიმე საინფორმაციო ამოცანა:

მაგალითი 20.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

სინუსი და კოსინების ხარისხი: 2 - 6 \u003d -4 არის მთელი რიგი უარყოფითი რიცხვი, რაც იმას ნიშნავს, რომ განუყოფელი შეიძლება შემცირდეს tangents და მისი derivative:

(1) ჩვენ გარდაქმნას დენომინატორი.
(2) ცნობილი ფორმულის მიხედვით, ჩვენ მივიღებთ.
(3) ჩვენ გარდაქმნას დენომინატორი.
(4) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას .
(5) გადანაწილება ფუნქცია დიფერენცირების ნიშანზე.
(6) ჩვენ შევცვლით. უფრო გამოცდილი სტუდენტი არ შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ მაინც უკეთესია, რომ შეცვალოს tangent ერთი წერილით - ნაკლებად რისკი დაბნეულია.

მაგალითი 21.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის.

გამართავს, ჩემპიონის რაუნდები დაიწყება \u003d)

ხშირად ინტეგრაციის ფუნქციაში "სოლიკა":

მაგალითი 22.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ამ განუყოფელში, tangent თავდაპირველად იმყოფება, რომელიც დაუყოვნებლივ ატარებს უკვე ნაცნობი აზრს:

ხელოვნური ტრანსფორმაცია თავიდანვე და დარჩენილი დარჩენილი ნაბიჯები კომენტარის გარეშე, რადგან ყველაფერი ზემოთ აღინიშნა.

წყვილი შემოქმედებითი მაგალითები დამოუკიდებელი გამოსავალი:

მაგალითი 23.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგალითი 24.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

დიახ, მათში, რა თქმა უნდა, შესაძლებელია სინუსური, კოსინის ხარისხი, გამოიყენოს უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება, მაგრამ გადაწყვეტილება ბევრად უფრო ეფექტური და მოკლეა, თუ იგი ხორციელდება tangents. გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხები

BC- ის მეხუთე საუკუნეში, უძველესი ბერძენი ფილოსოფოსი Zenon Elayky- მა თავისი ცნობილი apiorials ჩამოაყალიბა, რომელთა ყველაზე ცნობილია, რომლისგანაც აქილევსია და კუს არტიია. ეს ასეა:

დავუშვათ, რომ აქილევსს ათი ჯერ უფრო სწრაფად, ვიდრე კუს, და უკან ათასი ნაბიჯების მანძილზეა. იმ დროისთვის, რისთვისაც აქილევსმა ამ მანძილზე გადის, ასი ნაბიჯია ავარიული იმავე მხარეს. როდესაც აქილელები ასი ნაბიჯით გადის, კუს ათი ნაბიჯების შესახებ, და ასე შემდეგ. პროცესი გაგრძელდება უსასრულობას, აქილევსს არასდროს არ დაიჭერს კუსზე.

ეს მსჯელობა გახდა ლოგიკური შოკი ყველა მომდევნო თაობისთვის. Aristotle, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... ყველა მათგანი რატომღაც განიხილა zenon. შოკი აღმოჩნდა იმდენად ძლიერი, რომ " ... დისკუსიები გაგრძელდება და ამჟამად, სამეცნიერო საზოგადოების პარადოქსების არსიზე ზოგადი აზრით, ჯერ კიდევ არ არის შესაძლებელი ... მათემატიკური ანალიზი, კომპლექტის თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები ჩართული იყო საკითხის შესწავლა; არცერთი მათგანი არ გახდა ზოგადად მიღებული საკითხი საკითხი ..."[ვიკიპედია," იენონ აპრიას "]. ყველას ესმის, რომ ისინი დაბლოკილია, მაგრამ არავის არ ესმის რა მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, zeno თავის aproria ნათლად აჩვენა გადასვლის ღირებულება. ეს გარდამავალი მუდმივი ნაცვლად განაცხადს გულისხმობს. რამდენადაც მესმის, გაზომვის ერთეულების ცვლადების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ჯერ კიდევ არ არის განვითარებული, ან არ იყო გამოყენებული ზენონის აღფრთოვანება. ჩვენი ჩვეულებრივი ლოგიკის გამოყენება მივყავართ ხაფანგში. ჩვენ, ინერციით აზროვნების, გამოიყენოთ მუდმივი დრო გაზომვის ერთეული ინვერტორული. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დროთა განმავლობაში მისი სრული გაჩერების მომენტში, როდესაც აქილელები კუსთან ერთად ფუნქციონირებს. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსს აღარ შეუძლია კუს.

თუ ლოგიკას ჩვეულებრივ, ყველაფერი ხდება, ყველაფერი ხდება. აქილელები მუდმივ სიჩქარით გადის. მისი გზების ყოველი მომდევნო სეგმენტი ათჯერ უფრო მოკლეა, ვიდრე წინა. შესაბამისად, მისი გადალახვის დრო, ათი ჯერ ნაკლებია, ვიდრე წინა. თუ ამ სიტუაციაში "უსასრულობის" კონცეფციას ვრცელდება, სწორად იტყვის "აქილევსის უსასრულოდ სწრაფად დაიჭერს კუს".

როგორ თავიდან ავიცილოთ ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით მუდმივ დროში გაზომვის ერთეულებში და არ გადაიტანოთ ფასეულობებზე. Zenon- ის ენაზე, ასე გამოიყურება:

ამ დროისთვის, რისთვისაც აქილელები ათას ნაბიჯს გადის, ასი ნაბიჯები იმავე მხარეს კუს კბილებს კბილებს. მომდევნო დროის ინტერვალით, პირველ რიგში, აქილევსს კიდევ ერთი ათასი ნაბიჯი გადადგამს და კუს ასი ნაბიჯს გაივლის. ახლა აქილევსს რვაას ნაბიჯია კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის სრული გადაწყვეტა პრობლემის შესახებ. Achilles- ისა და კუსზე Zenonian Agrac- ზე არის ძალიან ჰგავს აინშტაინის განცხადებას სინათლის სიჩქარის irresistication. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ ეს პრობლემა, გადახედვა და გადაჭრა. და გადაწყვეტილება უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, მაგრამ გაზომვის ერთეულში.

კიდევ ერთი საინტერესო Yenon Aproria მოგვითხრობს საფრენი ისრებით:

საფრენი ისარი ჯერ კიდევ, რადგან ყოველ მომენტში იგი ეკისრება, და რადგან ის ყველა მომენტში იმყოფება, ის ყოველთვის ეკისრება.

ამ Manor- ში, ლოგიკური პარადოქსი ძალიან მარტივია - საკმარისია იმის გასარკვევად, რომ ყოველ მომენტში საფრენი ისარი არის სივრცის სხვადასხვა წერტილებში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ თქვენ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი მომენტი. ავტოსატრანსპორტო საშუალების ერთი ფოტოით, შეუძლებელია მისი მოძრაობის ფაქტი და არც მანძილი. ავტომობილის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად, თქვენ გჭირდებათ ორი ფოტო, რომელიც ერთ წერტილს სხვადასხვა წერტილში, მაგრამ შეუძლებელია მანძილის დასადგენად. ავტომანქანის მანძილის დასადგენად, ორ ფოტოზე განსხვავებული წერტილიდან ერთ მომენტში, მაგრამ შეუძლებელია გადაადგილების ფაქტი (ბუნებრივია, დამატებითი მონაცემები კვლავ საჭიროა გათვლებისთვის, ტრიგონომეტრია, რათა დაგეხმაროთ). რაც მე მინდა განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციოთ იმას, რომ ორ წერტილს დროში და ორი ქულა სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა იყოს დაბნეული, რადგან ისინი კვლევისთვის სხვადასხვა შესაძლებლობებს წარმოადგენენ.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018

ბევრი და მრავალსართულიანი განსხვავებები ვიკიპედიაში აღწერილია. ჩვენ ვხედავთ.

როგორც ხედავთ, "არ შეიძლება იყოს ორი იდენტური ელემენტი კომპლექტი", მაგრამ თუ იდენტური ელემენტები არიან კომპლექტში, არის ასეთი კომპლექტი "აურიეთ". აბსურდული გონივრული ვაჭრობის მსგავსი ლოგიკა არასოდეს მესმის. ეს არის თუთიყუში საუბრის დონე და მომზადებული მაიმუნი, რომლებიც არ არიან "საერთოდ". მათემატიკა მოქმედებს როგორც ჩვეულებრივი ტრენერები, ქადაგებს ჩვენს აბსურდულ იდეებს.

ხიდის ხიდის ტესტების დროს აშენებული ინჟინრები, რომლებიც ხიდის ტესტების დროს აშენებდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, ნიჭიერი ინჟინერი გარდაიცვალა მისი შექმნისას. თუ ხიდი გაუძლო დატვირთვა, ნიჭიერი ინჟინერი აშენდა სხვა ხიდები.

როგორც მათემატიკის არ მალავენ ფრაზა "Chur, მე სახლში", უფრო სწორად, "მათემატიკის კვლევები აბსტრაქტული კონცეფციები," არსებობს ერთი umbilical კაბელი, რომელიც inextricably ამტკიცებს მათ რეალობას. ეს umbilical კაბელი არის ფული. გამოყენება მათემატიკური თეორია ადგენს მათემატიკას.

ჩვენ ძალიან კარგად ვასწავლით მათემატიკას და ახლა ჩვენ გადავწყვიტეთ გადახდაზე, ჩვენ ხელფასს ვცემთ. ეს მოდის ჩვენს მათემატიკოსს თქვენს ფულს. ჩვენ ითვლიან მთელ თანხას და თქვენს მაგიდასთან სხვადასხვა სტეკებზე, რომელშიც ჩვენ დავამატებთ ერთ ღირსებას. შემდეგ ჩვენ ვიღებთ თითოეული დასტისგან ერთ კანონპროექტს და გადასცემს მისი "მათემატიკური კომპლექტის" მათემატიკას ". ახსენით მათემატიკა, რომ დანარჩენი გადასახადები მიიღებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ის ადასტურებს, რომ იგივე ელემენტების გარეშე კომპლექტი არ არის თანაბარი ელემენტებით. აქ ყველაზე საინტერესო იქნება.

უპირველეს ყოვლისა, მოადგილეების ლოგიკა იმუშავებს: "შესაძლებელია სხვებისთვის გამოყენება, ჩემთვის - დაბალი!". იქნება შემდგომი გარანტიები, რომ არსებობს სხვადასხვა ნომრები თანაბარი ღირსების გადასახადებზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იგივე ელემენტებით. კარგად, ითვლიან ხელფასი მონეტები - არ არსებობს ნომრები მონეტები. აქ მათემატიკოსი იწყებს ფიზიკის მოსწონებას: სხვადასხვა მონეტებზე არსებობს სხვადასხვა მოცულობა ჭუჭყიანი, ბროლის სტრუქტურა და ატომების მდებარეობა თითოეული მონეტა უნიკალურია ...

და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის ხაზი, რომლის მიხედვითაც მულტი-ის ელემენტები მოჰყვება კომპლექტის ელემენტებს და პირიქით? ასეთი სახე არ არსებობს - ყველას წყვეტს shamans, მეცნიერების აქ და არ ცრუობს ახლოს.

აქ ეძებს. ჩვენ ფეხბურთის სტადიონებს ვიღებთ იმავე სფეროში. საველე ტერიტორია იგივეა - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მრავალპარტიული. მაგრამ თუ ჩვენ განვიხილავთ იგივე სტადიონების სახელებს - ჩვენ ბევრი გვაქვს, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, იგივე ელემენტები ორივე კომპლექტი და მრავალსართულიანია. რამდენად სწორია? და აქ მათემატიკოსი-შამანი-შულერი ყდის ტუზს ყდისგან გამოდის და იწყებს გვითხრათ ან მულტისტის შესახებ. ნებისმიერ შემთხვევაში, ის დარწმუნდება, რომ მისი უფლება.

იმის გაგება, თუ რამდენად თანამედროვე shamans ფუნქციონირებს თეორია კომპლექტი, გვაკავშირებს მას რეალობა, საკმარისია პასუხის გაცემა ერთი შეკითხვა: როგორ არის ელემენტები ერთი კომპლექტი განსხვავდება ელემენტები სხვა კომპლექტი? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი "წარმოსახვითი არ არის, როგორც არა მარტო" ან "მთლიანად არ გააზრებული".

კვირა, 18 მარტი, 2018

რიცხვების რაოდენობა არის შამანის ცეკვის ცეკვა, რომელსაც მათემატიკას არ აქვს რაიმე ურთიერთობა. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებში, ჩვენ ასწავლიან, რომ იპოვოთ ნომრები ნომრები და გამოიყენოთ ეს, მაგრამ ისინი შამანები არიან თქვენი შთამომავლების მომზადება მათი უნარებისა და სიბრძნისთვის, წინააღმდეგ შემთხვევაში, შამანები უბრალოდ გაწმენდილია.

გჭირდებათ მტკიცებულება? ღია ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ ნომრის გვერდის ნომერი. ეს არ არსებობს. არ არსებობს ფორმულა მათემატიკაში, სადაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის რაოდენობის რაოდენობა. ყოველივე ამის შემდეგ, ნომრები გრაფიკული სიმბოლოებია, რომელთანაც ჩვენ დავთმობთ ნომრებს და მათემატიკურ ენას, ამოცანა ჟღერს ეს: "იპოვეთ ნებისმიერი რიცხვის ამსახველი გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი". მათემატიკა ვერ გადაჭრის ამ ამოცანას, მაგრამ shamans არის ელემენტარული.

მოდით გაუმკლავდეთ რა და როგორ გავაკეთოთ იმისათვის, რომ მოვძებნოთ რიცხვის ნომრების რაოდენობა. ასე რომ, მოდით გვქონდეს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ იპოვოთ ამ ნომრის რაოდენობა? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი იმისათვის.

1. ნომრის ჩანაწერი ქაღალდზე. რას ვაკეთებდით? ჩვენ გარდაიქმნება რიცხვი რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოში. ეს არ არის მათემატიკური აქცია.

2. ჩვენ დავჭრათ ერთი სურათი, რომელიც მოპოვებულია ინდივიდუალური ნომრების შემცველი რამდენიმე სურათზე. ჭრის სურათები არ არის მათემატიკური აქცია.

3. ჩვენ კონვერტირება ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების ნომრებზე. ეს არ არის მათემატიკური აქცია.

4. ჩვენ გვყავს ნომრები. ეს უკვე მათემატიკაა.

12345-ის ნომრების რაოდენობა 15 წლისაა. ეს არის შამანების "საჭრელები და სამკერვალო კურსები" მათემატიკოსებს. მაგრამ ეს არ არის ყველა.

მათემატიკის თვალსაზრისით, არ აქვს მნიშვნელობა, თუ რომელი რიცხვი სისტემაში ჩვენ ვწერთ რიცხვს. ასე რომ, შემოსული სხვადასხვა სისტემები იგივე რიცხვების ნომრების რაოდენობა განსხვავდება. მათემატიკაში, რიცხვის სისტემა მითითებულია ქვედა ინდექსის სახით ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, მე არ მინდა, რომ სულელი ჩემი უფროსი, განიხილოს ნომერი 26 სტატია შესახებ. ჩვენ დავწერთ ამ ნომერს ორობითი, octal, decimal და hexadecimal ნომრის სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ მიკროსკოპით ყოველ ნაბიჯს, ჩვენ უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა ნომერ სისტემებში, იმავე რაოდენობის ნომრების ჯამი განსხვავდება. მათემატიკის ეს შედეგი არაფერი აქვს. მეტრისა და სანტიმეტრი მართლმსაჯულების ტერიტორიის განსაზღვრის მსგავსად, სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მიიღებთ.

ნულოვანი ყველა ტალღის სისტემაში გამოიყურება იგივე და რაოდენობის ნომრები არ არის. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი, რაც სასარგებლოდ არის. კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ მიუთითებს მათემატიკაში, რომელიც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებს, არაფერს, მაგრამ რიცხვები არ არსებობს? შამანებისთვის, მე შემიძლია დასაშვებია, მაგრამ მეცნიერებისთვის - არა. რეალობა შედგება არა მხოლოდ ნომრებზე.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს იმ მტკიცებულებად, რომ ნომრის სისტემები ნომრების ერთეულია. ყოველივე ამის შემდეგ, ჩვენ არ შეგვიძლია შევადაროთ ნომრები სხვადასხვა ერთეული გაზომვები. თუ იმავე ღირებულების გაზომვის სხვადასხვა ერთეულების იგივე ქმედება, მათი შედარების შემდეგ განსხვავებულ შედეგებს იწვევს, ეს იმას ნიშნავს, რომ მათემატიკასთან არაფერი აქვთ.

რა არის რეალური მათემატიკა? ეს არის მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული გაზომვის ობიექტის მიერ გამოყენებული რიცხვის ღირებულებაზე და ვინ ასრულებს ამ ქმედებას.

ფირფიტა კარებზე ხსნის კარი და ამბობს:

ოჰ! არ არის ის, რომ ქალი ტუალეტი?
- გოგო! ეს არის ლაბორატორია სულის სიწმინდის შესწავლისთვის ზეცაში ზეცაში! Nimbi ზემოდან და ისარი. რა ტუალეტი?

ქალი ... Nimbi ზემოთ და ამპარტავანი ქვემოთ - ეს კაცი.

თუ თქვენს თვალწინ თქვენს თვალწინ რამდენჯერმე ციმციმები ეს არის დიზაინერის ხელოვნების ნაწარმოები,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ თქვენს მანქანაში მოულოდნელად იპოვით უცნაურ ხატულას:

პირადად, მე ვაკეთებ ძალისხმევას, რომ იყოს cuffing პირი (ერთი სურათი), სანახავად მინუს ოთხი გრადუსი (შემადგენლობა რამდენიმე სურათები: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, აღნიშვნა ხარისხი). და მე არ მგონია, რომ ეს გოგო არის სულელი, რომელიც არ იცის ფიზიკა. ეს არის უბრალოდ Arc სტერეოტიპი გრაფიკული გამოსახულებების აღქმაზე. და მათემატიკა ჩვენ მუდმივად ასწავლიან. აქ არის მაგალითი.

1 არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი". ეს არის "Cuffing Person" ან "ოცდაექვსი" რიცხვი ჰექსადეციალური ნომრის სისტემაში. ეს ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ ნომერში, ავტომატურად აღიქვამენ ფიგურას და წერილს, როგორც ერთი გრაფიკული სიმბოლო.

გამოყენება

ონლაინ ინტეგრალები ადგილზე სტუდენტებისა და მოსწავლეების მიერ კონსოლიდირებისთვის. და თქვენი პრაქტიკული უნარების მომზადება. სრულფასოვანი განუყოფელი გადაწყვეტა ონლაინში რამდენიმე წუთში დაეხმარება პროცესის ყველა ეტაპზე. ითვლიან განუყოფელ მაგიდას. არ არის ყველა tabular ინტეგრალური აშკარად ჩანს კონკრეტული მაგალითიდან, ზოგჯერ თქვენ უნდა გადაიყვანოთ წყარო ფუნქცია, რათა იპოვოს პრიმიტიული. პრაქტიკაში, ინტეგრალების გადაწყვეტა მცირდება პირველადი პრობლემის ინტერპრეტაციისთვის, რომელიც არის ფუნქციების უსასრულო ოჯახის პრიმიტიული, მაგრამ თუ ინტეგრაციის ლიმიტები მითითებულია, მაშინ მხოლოდ ერთი ფუნქცია რჩება ლაბორატორიული ფორმულის გამოყენებით რომელი გათვლები. ინტეგრალები ონლაინ - განუსაზღვრელი ინტეგრირებული ონლაინ და კონკრეტული ინტეგრალური ხაზზე. ონლაინ განუყოფელი ფუნქცია არის მათი ინტეგრაციისთვის განკუთვნილი ნებისმიერი რიცხვის ოდენობა. აქედან გამომდინარე, არაფორმალურად, გარკვეული ინტეგრალური ონლაინ არის ფუნქციის გრაფიკისა და ინტეგრაციის ფარგლებში ფუნქციის გრაფიკისა და Abscissa ღერძის ფართობი. ინტეგრალების ამოცანების გადაჭრის მაგალითები. მოდით გამოვთვალოთ კომპლექსური განუყოფელი ერთ ცვლადი და პრობლემის შემდგომი გადაწყვეტილების მიღება. შესაძლებელია, რომ ისინი ამბობენ, რომ შუბლზე მოიპოვოს ინტეგრირებული ფუნქციის განუყოფელი. მაღალი სიზუსტით ნებისმიერი ინტეგრალი განსაზღვრავს ფიგურის შეზღუდულ ხაზებს. ეს არის ერთ-ერთი გეომეტრიული მნიშვნელობა. ეს მეთოდი ხელს უწყობს სტუდენტების პოზიციას. რამდენიმე ეტაპი, ფაქტობრივად, ვექტორულ ანალიზზე ბევრად მეტი გავლენა არ ექნება. ინტეგრირებული ონლაინ ფუნქცია არის განუყოფელი კალკულუსის ძირითადი კონცეფცია .. გაურკვეველი ინტეგრალების გადაწყვეტა. ძირითადი ანალიზის თეორიის მიხედვით, ინტეგრაცია არის ოპერაცია, ინვერსიული დიფერენციაცია, რომელიც ეხმარება გადაჭრას დიფერენციალური განტოლებები . ინტეგრაციის ოპერაციის რამდენიმე განსხვავებული განმარტება არსებობს, რომელიც ტექნიკურ დეტალებში განსხვავდება. თუმცა, ყველა მათგანი თავსებადია, ანუ, ნებისმიერი ორი გზა ინტეგრირება, თუ ისინი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ფუნქციასთან, იგივე შედეგს მისცემს. ყველაზე მარტივია Riemann- ის განუყოფელი - კონკრეტული განუყოფელი ან განუსაზღვრელი განუყოფელი. ერთი ცვლადის ფუნქციის არაფორმალური განუყოფელი შეიძლება გაეცნოს გრაფის ფარგლებში (ფუნქციის გრაფიკისა და Abscissa Axis- ს შორის გაფორმებული მოღვაწეები). ნებისმიერი ასეთი subtask შეუძლია იმას, რომ განუყოფელი იქნება ძალიან აუცილებელი მნიშვნელოვანი მიდგომის დასაწყისში. ნუ დაგავიწყდებათ! ამ ტერიტორიის მოძიების მცდელობა, შეგიძლიათ განიხილოთ ფორმები, რომლებიც შედგება გარკვეულ ვერტიკალური მართკუთხედების, რომელთა საფუძვლები ერთად არის ინტეგრაციის სეგმენტი და მიიღება მცირე სეგმენტების შესაბამისი რაოდენობის სეგმენტის გაყოფისას. გადაჭრის ინტეგრალები ონლაინში .. ონლაინ ინტეგრალური - განუსაზღვრელი ინტეგრირებული ონლაინ და კონკრეტული ინტეგრალური ონლაინ. გადაჭრის ინტეგრალები Online: განუსაზღვრელი ინტეგრირებული ონლაინ და კონკრეტული ინტეგრალური ხაზზე. კალკულატორი წყვეტს ინტეგრალს სამოქმედო დეტალებით და უფასოდ! ფუნქციისთვის გაურკვეველი განუყოფელი ინტერნეტია ყველა ძირითადი ფუნქციის კომბინაცია. თუ ფუნქცია განისაზღვრება და უწყვეტი ინტერვალით, მაშინ მას აქვს პრიმიტიული ფუნქცია (ან პირველადი ოჯახი). განუყოფელი მხოლოდ განსაზღვრავს გამოხატვას, პირობებს, რომელთათვისაც თქვენ სთხოვეთ ასეთი საჭიროების წარმოქმნას. უმჯობესია ყურადღებით მივუდგეთ ამ საქმეს და განიცდიან შიდა კმაყოფილებას სამუშაოდან. მაგრამ კლასიკოსგან განსხვავებული განუყოფელი მეთოდის გამოთვლა, ზოგჯერ მოულოდნელ შედეგებს იწვევს და შეუძლებელია გაოცება. მოხარული ვარ, რომ ის ფაქტი, რომ დადებითი რეზონანსი ექნება, რა ხდება. კონკრეტული ინტეგრალებისა და გაურკვეველი ინტეგრალური ინტეგრალების ჩამონათვალი სრული დეტალური ნაბიჯ-ნაბიჯ გადაწყვეტებით. ყველა ინტეგრალი დეტალური ონლაინ რეჟიმში. გაურკვეველი განუყოფელი. განუსაზღვრელი ინტეგრირებული ონლაინების მოძიება ძალიან ხშირი ამოცანაა უმაღლესი მათემატიკისა და მეცნიერების სხვა ტექნიკურ მონაკვეთებზე. ძირითადი ინტეგრაციის მეთოდები. განუყოფელი, კონკრეტული და განუსაზღვრელი ინტეგრალური, განუყოფელი მაგიდა, ნიუტონის ლაბორატორიის ფორმულა. და კიდევ ერთხელ, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ თქვენი განუყოფელი მაგიდა განუყოფელი გამონათქვამები, თუმცა, ჯერ კიდევ აუცილებელია მოვა, რადგან ყველაფერი ასე არ არის მარტივი, როგორც ჩანს, ერთი შეხედვით. დაფიქრდით ადრე, ვიდრე შეცდომები. გარკვეული განუყოფელი და მეთოდები მისი გაანგარიშებისათვის. კონკრეტული ინტეგრალური ონლაინ ცვლადი ზედა ზღვარი. გადაჭრის ინტეგრალები ხაზზე. ნებისმიერი მაგალითი, რომელიც ხელს შეუწყობს მაგიდის ფორმულებზე განუყოფელების გამოთვლას, სასარგებლო იქნება ნებისმიერი მომზადების ნებისმიერი დონის სტუდენტებისათვის სასარგებლო ხელმძღვანელობა. ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაბიჯი სწორი პასუხი .. ინტეგრალები ხაზზე. გაურკვეველი ინტეგრალები შემცველი ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები. გადაჭრის ინტეგრალები ონლაინ - თქვენ მიიღებთ დეტალური გადაწყვეტა Განსხვავებული ტიპები ინტეგრალები: გაურკვეველი, განსაზღვრული, შიდა. გარკვეული ინტეგრალების კალკულატორი ითვლის ფუნქციის ფუნქციის კონკრეტულ ინტეგრირებას რიცხვითი ინტეგრაციის გამოყენებით. ფუნქციის ინტეგრალი არის თანმიმდევრული თანხის ანალოგი. არაფორმალური საუბარი, კონკრეტული ინტეგრალი არის ფუნქციის ფუნქციის ნაწილის ნაწილი. ონლაინ ინტეგრალური გადაწყვეტა .. ონლაინ ინტეგრალური - განუსაზღვრელი ინტეგრირებული ონლაინ და კონკრეტული განუყოფელი ონლაინ. ხშირად, ასეთი განუყოფელი განსაზღვრავს, თუ რამდენად სხეულს უფრო რთული აქვს ის, რაც მასთან იგივე სიმჭიდროვის ობიექტია, და არ აქვს მნიშვნელობა, რა სახის ფორმაა, რადგან ზედაპირზე არ აღიქვამს წყალს. გადაჭრის ინტეგრალების ონლაინ .. ონლაინ ინტეგრალები - განუსაზღვრელი ინტეგრირებული ონლაინ და კონკრეტული ინტეგრალური ხაზზე. როგორ მოვძებნოთ ონლაინ ინტეგრალმა იცის უმცროსი კურსების ყველა სტუდენტი. სკოლის პროგრამის საფუძველზე მათემატიკის ეს მონაკვეთიც სწავლობდა, მაგრამ არა დეტალურად, მაგრამ მხოლოდ ასეთი რთული და მნიშვნელოვანი თემაა. უმეტეს შემთხვევაში, მოსწავლეები გააგრძელებენ ინტეგრაციის შესწავლას ფართო თეორიასთან, რომელიც ასევე წინ უძღვის მნიშვნელოვან თემებს, როგორიცაა წარმოებული და ლიმიტი გადასვლები - ისინი ზღუდავენ. ინტეგრალების გადაწყვეტა ეტაპობრივად იწყება მარტივი ფუნქციებისგან ყველაზე ელემენტარული მაგალითებით და მთავრდება გასული საუკუნის განმავლობაში შემოთავაზებული მრავალი მიდგომისა და წესების გამოყენებისას და კიდევ უფრო ადრე. ინტეგრალური კალკულუსი გაეცნობა ლიცეუმებსა და სკოლებს, რაც, საშუალოა საგანმანათლებო ინსტიტუტები. ჩვენი საიტის საიტი ყოველთვის დაგეხმარებათ და ონლაინ ინტეგრალური გადაწყვეტა გახდება ჩვეულებრივი თქვენთვის, და რაც მთავარია გასაგები ოკუპაცია. ბაზაზე ამ რესურსის თქვენ შეგიძლიათ მარტივად მიაღწიოთ ამ მათემატიკურ განყოფილებაში სრულყოფას. წესების შესაბამისად ეტაპობრივად შევსება, მაგალითად, როგორიცაა ინტეგრაცია, ნაწილების ან ჩიქსიშევის მეთოდის გამოყენებისას, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გადაწყვიტოთ მაქსიმალური რაოდენობა ნებისმიერი ტესტი. ასე რომ, როგორ შეგვიძლია კვლავ გამოვთვალოთ განუყოფელი, განუყოფელი ინტეგრალური მაგიდის გამოყენება, მაგრამ ისე, რომ გამოსავალი არის სწორი, სწორი და მაქსიმალური პასუხისთვის? როგორ უნდა ვისწავლოთ ეს და შესაძლებელია თუ არა ეს ჩვეულებრივი Freshman მოკლე დროში? ამ კითხვას უპასუხებთ - შეგიძლია! ამავე დროს, თქვენ არა მარტო მაგალითს გადაჭარბებთ, არამედ მაღალი კლასის ინჟინრის დონეს. საიდუმლო მარტივია, როგორც არასდროს - აუცილებელია მაქსიმალური ძალისხმევა, რათა საჭირო დროის მომზადების დრო. სამწუხაროდ, არავინ არ მოდის სხვადასხვა გზით! მაგრამ ყველაფერი არ არის იმდენად მოღრუბლული, როგორც ჩანს ერთი შეხედვით. თუ ამ კითხვაზე ჩვენი სერვისის საიტზე მიუთითებთ, ჩვენ ხელს შეუწყობს თქვენს ცხოვრებას, რადგან ჩვენს ვებ-გვერდზე შეგვიძლია გამოვთვალოთ ინტეგრალები ონლაინში დეტალურად, ძალიან Მაღალი სიჩქარე და flawlessly ზუსტი პასუხი. არსებითად, განუყოფელი არ განსაზღვრავს, თუ როგორ არგუმენტები არგუმენტები სისტემაში სტაბილურობის შესახებ. თუ მხოლოდ ყველაფერი დაბალანსებული იყო. ამ მათემატიკური თემის საფუძვლებთან ერთად, სერვისს შეუძლია იპოვოთ ნებისმიერი ინტეგრირებული ფუნქციის განუყოფელი, თუ ეს განუყოფელი შეიძლება იყოს ელემენტარული ფუნქციებში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, პრაქტიკაში ინტეგრალები პრაქტიკაში არ არის საჭირო პრაქტიკაში ელემენტარული ფუნქციებში, არ არის აუცილებელი, რომ პასუხი გაეცნოთ ანალიტიკურ ან სხვა სიტყვებით, მკაფიოდ. ყველა გათვლები ინტეგრალს მცირდება პრიმიტიული ფუნქციის განსაზღვრისათვის მოცემული ინტეგრირებული ფუნქციისგან. ამისათვის ისინი პირველად გამოითვლება განუსაზღვრელი განუყოფელი მათემატიკის ყველა კანონში. მაშინ, საჭიროების შემთხვევაში, შემცვლელი ზედა და ქვედა ღირებულებები განუყოფელი. თუ არ გჭირდებათ განუსაზღვრელი ინტეგრალის რიცხვითი მნიშვნელობის განსაზღვრა ან გამოთვლა, მაშინ მუდმივი ემატება წინასწარ ფორმის ფუნქციას, რითაც განსაზღვრავს პრიმიტიული ფუნქციების ოჯახს. სპეციალური ადგილი მეცნიერებაში და ზოგადად ნებისმიერ საინჟინრო რეგიონში, მათ შორის მყარი მედიის მექანიკის, ინტეგრაციის აღწერს მთელი მექანიკური სისტემები, მათი მოძრაობები და მრავალი სხვა. ხშირ შემთხვევაში, განუყოფელი განსაზღვრავს მატერიალური თვალსაზრისის მოძრაობის კანონს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტი სწავლის გამოყენების მეცნიერებებში. აქედან გამომდინარე, შეუძლებელია არ თქვა მექანიკური სისტემების არსებობისა და ქცევის შესახებ ფართომასშტაბიანი გათვლების შესახებ. კალკულატორი გადაწყვეტილებები ინტეგრალების ონლაინ ონლაინ საიტი არის ძლიერი ინსტრუმენტი პროფესიული ინჟინრები. ჩვენ აუცილებლად გვეხმარება, მაგრამ გამოვთვალოთ თქვენი განუყოფელი მხოლოდ მას შემდეგ, რაც თქვენ შეხვალთ წინასწარი გამოხატვის სფეროში ინტეგრირებული ფუნქციის სფეროში. არ შეგეშინდეთ შეცდომების გაკეთება, ყველაფერი ამ საკითხზეა! როგორც წესი, ინტეგრალების ხსნარი მცირდება ცნობილ სახელმძღვანელოების ან ენციკლოპედიდან მაგიდის ფუნქციების გამოყენებაზე. როგორც ნებისმიერი სხვა, განუსაზღვრელი ინტეგრალი გამოითვლება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით სპეციალური უხეში საჩივრების გარეშე. მარტივი და მარტივად, პირველი კურსების მოსწავლეები სწავლობენ მასალას, რომლებიც სწავლობენ მასალას და მათთვის განუყოფელია, ზოგჯერ არა უმეტეს ორი წუთი. და თუ სტუდენტმა ისწავლა განუყოფელი მაგიდა, მაშინ ზოგადად შეიძლება იყოს გათვალისწინებული, რათა დადგინდეს პასუხი. ზედაპირების შედარებით ცვლადების ფუნქციების განთავსება თავდაპირველად ნიშნავს აბსცისის გარკვეულ მომენტში სწორი ვექტორული მიმართულებით. ზედაპირული ხაზების არაპროგნოზირებადი ქცევა გარკვეულ ინტეგრალს იღებს მათემატიკური ფუნქციების საპასუხო წყაროს საფუძველზე. ბურთის მარცხენა ზღვარი არ ეხება ცილინდერს, რომელშიც წრე ჩაწერილია, თუ თვითმფრინავში დაჭერით. მცირე ზომის სფეროს ჯამი, ასობით piecewise უწყვეტი ფუნქციებით, მოცემული ფუნქციის განუყოფელია. ინტეგრალის მექანიკური მნიშვნელობა არის ბევრი გამოყენებული ამოცანები, ეს არის სხეულის წონის გაანგარიშებისა და სხეულის წონის გაანგარიშება. სამმაგი და ორმაგი ინტეგრალები მონაწილეობენ მხოლოდ ამ გათვლებით. ჩვენ ვთვლით, რომ ინტეგრალების გადაწყვეტა მხოლოდ გამოცდილი მასწავლებლების ზედამხედველობით შესრულდა და მრავალრიცხოვანი ამოწმებს. განუყოფელი თავად. ჩვენ ვუპასუხებთ, რომ მოსწავლეები თავისუფალია და კარგად გაივლიან ტრენინგს, ტესტის ან გამოცდისთვის ემზადებიან კომფორტულ სახლში. წამში, ჩვენი სერვისი ხელს შეუწყობს თითოეულ სურვილს ცვლადში ნებისმიერი მითითებული ფუნქციის განუყოფელი. შეამოწმეთ შედეგად მიღებული შედეგების მიღება პრიმიტიული ფუნქციისგან. ამავდროულად, განუყოფელი განუყოფელია ნულოვანი. ეს წესი ყველასთვის აშკარად არის. როგორც ეს ამართლებს მულტიდირსულ ოპერაციებს, განუსაზღვრელი ინტეგრალი ხშირად მცირდება ტერიტორიის გაყოფაზე მცირე ნაწილებში. თუმცა, ზოგიერთი სტუდენტი და მოსწავლეები უგულებელყოფენ ამ მოთხოვნას. როგორც ყოველთვის ონლაინ ინტეგრალს შეუძლია გადაჭრას ჩვენი სერვისის საიტი და არ არსებობს შეზღუდვები რაოდენობის მოთხოვნით, ყველაფერი არის თავისუფალი და ხელმისაწვდომი ყველასთვის. არ არსებობს მრავალი ასეთი უბანი, რომ წამში წამოიწყოს ნაბიჯ-ნაბიჯ რეაგირება და რაც მთავარია მაღალი სიზუსტით და მოსახერხებელი ფორმით. საშინაო დავალების მეხუთე გვერდზე ბოლო მაგალითში იგი შეხვდა, რომელიც გვიჩვენებს, რომ ეტაპობრივად განუყოფელია. მაგრამ არ არის აუცილებელი, რომ დაივიწყოს იმაზე, თუ რამდენად შესაძლებელია ინტეგრაციის მოძიება მზა სამსახურში, გამოცდილი და ტესტირება ათასობით მყარი მაგალითებით. როგორც ასეთი განუყოფელია განსაზღვრავს სისტემის გადაადგილებას, ჩვენთვის საკმაოდ ნათელია და ამის შესახებ ნათლად მიუთითებს ბლანტი სითხის გადაადგილების ბუნებაზე, რომელიც აღწერილია განტოლების ამ სისტემით.

ცვლადის ირაციონალური ფუნქცია ფუნქციაა, რომელიც ჩამოყალიბებულია ცვლადი და თვითნებური კონსტანტებისგან, რომელიც იყენებს დამატებით, სუბტრაქციის, გამრავლების (ერექციის დონის) ოპერაციების გამოყენებით, განყოფილებას და ფესვების მოპოვებას. ირაციონალური ფუნქცია განსხვავდება რაციონალური, რომ ირაციონალური ფუნქცია შეიცავს root მოპოვების ოპერაციებს.

არსებობს სამი ძირითადი ტიპი ირაციონალური ფუნქციები, გაურკვეველი ინტეგრალები საიდანაც მოცემულია რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები. ეს არის ფრაქციული ხაზოვანი ფუნქციისგან თვითნებური რიცხვის ფესვების შემცველი ინტეგრალები (ფესვები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ხარისხით, მაგრამ იგივე, ფრაქციული ხაზოვანი ფუნქციისგან); ინტეგრირებული ბინომა და ინტეგრალები კვადრატული კვადრატული ფესვიდან სამ-დარტყმადან.

მნიშვნელოვანი შენიშვნა. ფესვები მნიშვნელოვანია!

ფესვების შემცველი ინტეგრალების გაანგარიშებისას, ფორმის სახეობები ხშირად გვხვდება, სადაც არის ინტეგრაციის ცვლადი ფუნქცია. ეს უნდა იყოს გათვალისწინებული, რომ. ეს არის t\u003e 0, | T | \u003d თ. . ერთად T.< 0, | T | \u003d - t. აქედან გამომდინარე, ამგვარი ინტეგრალების გაანგარიშებისას, თქვენ უნდა ცალკე განიხილონ შემთხვევები t\u003e 0 და თ.< 0 . ეს შეიძლება გაკეთდეს, თუ ჩაწერეთ ნიშნები ან სად არის საჭირო. გულისხმობს, რომ ზედა ნიშანი ეხება შემთხვევაში t\u003e 0 , და ქვედა - საქმე t< 0 . შემდგომი კონვერტაციის შედეგად, ეს ნიშნები, როგორც წესი, ორმხრივად შემცირდა.

მეორე მიდგომა შესაძლებელია, რომელშიც ინტეგრირებული ფუნქცია და ინტეგრაციის შედეგი შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსური ცვლადებისგან კომპლექსური ფუნქციებით. მაშინ არ შეიძლება დაიცვას ნიშნები დაშორებულ გამონათქვამებში. ეს მიდგომა გამოიყენება იმ შემთხვევაში, თუ ინტეგრირებული ფუნქცია ანალიტიკურია, რომელიც არის კომპლექსური ცვლადის დიფერენცირებული ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, ინტეგრირებული ფუნქცია და განუყოფელია მრავალფუნქციური ფუნქციები. აქედან გამომდინარე, ინტეგრაციის შემდეგ, რიცხვითი ღირებულებების შემცვლელად, აუცილებელია ინტეგრირებული ფუნქციის ცალსახად ფილიალის (Riemannian Surface) შერჩევა და ინტეგრაციის შედეგების შესაბამისი ფილიალი აირჩიოს.

ხაზოვანი irrationality

ეს არის ინტეგრალების ფესვები იგივე ფრაქციული ხაზოვანი ფუნქციისგან:
,
სად არის რაციონალური ფუნქცია - რაციონალური რიცხვები, m 1, n 1, ..., m s, n s არიან რიცხვებით, α, β, γ, δ - სწორი ნომრები.
ასეთი ინტეგრალები შემცირდება რაციონალური ფუნქციის ფუნქციის განუყოფელში:
სადაც n არის რიცხვების R 1-ის საერთო მნიშვნელი, ..., r s.

ფესვები არ შეიძლება აუცილებლად იყოს ფრაქციული ხაზოვანი ფუნქციისგან, არამედ ხაზოვანი (γ \u003d 0, δ \u003d 1) ან ინტეგრაციის ცვლადი X (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

აქ არის ასეთი ინტეგრალების მაგალითები:
, .

ინტეგრალები დიფერენციალური binomes

დიფერენციალური binomes- ის ინტეგრალს აქვს ფორმა:
,
სადაც M, N, P არის რაციონალური ნომრები, A, B - Valid ნომრები.
ასეთი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციებისგან სამ შემთხვევაში.

1) თუ P არის მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება x \u003d t n, სადაც n არის ფრაქციის მთლიანი დენომინატორი M და N.
2) თუ - მთელი. ჩანაცვლება x n + b \u003d t m, სადაც M არის რიცხვების რაოდენობა გვ.
3) თუ - მთელი. ჩანაცვლება A + B X - n \u003d t მ, სადაც მ არის ნომრის დენომინატორი P.

სხვა შემთხვევებში, ასეთი ინტეგრალები არ გამოხატულია ელემენტარული ფუნქციები.

ზოგჯერ ასეთი ინტეგრალები შეიძლება გამარტივდეს ფორმულების გამოყენებით:
;
.

მოედანზე კვადრატული ფესვის ინტეგრალები

ასეთი ინტეგრალები არიან:
,
სადაც არის რაციონალური ფუნქცია. თითოეული ასეთი განუყოფელია რამდენიმე გამოსავალი მეთოდი.
1) გამოყენებით ტრანსფორმაციის გამოიწვიოს მარტივი ინტეგრალები.
2) ვრცელდება ტრიგონომეტრიული ან ჰიპერბოლური ცვლილებები.
3) გამოიყენეთ euler substitutions.

განვიხილოთ ეს მეთოდები უფრო დეტალურად.

1) ინტეგრაციის ფუნქციის კონვერტაცია

ფორმულის გამოყენება და ალგებრული ტრანსფორმაციის შესრულება, რეინტრტროდუქციის ფუნქციის გათვალისწინებით:
,
სადაც φ (x), ω (x) არის რაციონალური ფუნქციები.

მე აკრიფოთ

ფორმის განუყოფელი:
,
სადაც p n (x) არის polynomial ხარისხი n.

ასეთი ინტეგრალები იდენტურობის გამოყენებით გაურკვეველი კოეფიციენტების მეთოდია:

.
ამ განტოლების დიფერენცირება და მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების გათვალისწინება, ჩვენ ვიპოვეთ კოეფიციენტები i.

II ტიპის

ფორმის განუყოფელი:
,
სადაც p m (x) არის polynomial ხარისხი მ.

ჩანაცვლება t \u003d. (X - α) -1 ეს განუყოფელია წინა ტიპისთვის. თუ M ≥ n, მაშინ ფრაქცია უნდა იყოს გამოყოფილი მთელი ნაწილი.

III ტიპის

აქ ჩვენ ჩანაცვლება:
.
რის შემდეგაც ინტეგრალი მიიღებს ფორმას:
.
შემდეგი, მუდმივი α, β, თქვენ უნდა აირჩიოთ ისეთი, რომ დენომინატორში კოეფიციენტები T- ზე ნულოვანია:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
შემდეგ განუყოფელი განუყოფელია ორი ტიპის ინტეგრალის ჯამი:
,
,
რომლებიც ინტეგრირებულია ცვლილებებით:
u 2 \u003d a 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d 1 + c 1 t-2.

2) ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ცვლილებები

ფორმის ინტეგრალებისთვის, ა > 0 ,
ჩვენ გვაქვს სამი ძირითადი ცვლილება:
;
;
;

ინტეგრალებისთვის, > 0 ,
ჩვენ გვაქვს შემდეგი ცვლილებები:
;
;
;

და საბოლოოდ ინტეგრალებისთვის, > 0 ,
შემცვლელები ასეთია:
;
;
;

3) Euler Substitutions

ასევე ინტეგრალს შეიძლება შემცირდეს Euler- ის სამი შემცველობის რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები:
, ერთად\u003e 0;
, ერთად c\u003e 0;
სადაც x 1 არის განტოლების ფესვი x 2 + b x + c \u003d 0. თუ ეს განტოლება მოქმედებს ფესვები.

ელიფტიკური ინტეგრალები

დასასრულს, განიხილეთ ფორმის ინტეგრალები:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია ,. ასეთი ინტეგრალები ეწოდება ელიფსს. ზოგადად, ისინი არ არიან გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით. თუმცა, არსებობს შემთხვევები, როდესაც არსებობს ურთიერთობები კოეფიციენტებს შორის A, B, C, D, E, ამგვარი ინტეგრალებით გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით.

ქვემოთ არის მაგალითი ასოცირებული დაბრუნების polynomials. ასეთი ინტეგრალების გაანგარიშება ხორციელდება ცვლილებების გამოყენებით:
.

მაგალითი

გამოთვალეთ განუყოფელი:
.

გადაწყვეტილება

გააკეთეთ ჩანაცვლება.

.
აქ x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) ჩვენ მივიღებთ ზედა ნიშანი "+". X.< 0 (U.< 0 ) - ქვედა "- '.

.

პასუხის გაცემა

ლიტერატურა:
N.m. Gunter, R.o. Kuzmin, უმაღლესი მათემატიკის, "LAN", 2003 წლის ამოცანების შეგროვება.