Visas pozicionālās numerācijas sistēmas ir vienādas, bet atkarībā no uzdevumiem, ko persona atrisina skaitļu izmantošanu, tas var izmantot dažādus bāzes ar dažādiem bāzēm.
Visbiežāk izmantotā decimālskaitļa sistēma, t.I. Numura sistēma, kura alfabēts sastāv no desmit cipariem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), un attiecīgi bāze ir desmit. Šīs numuru sistēmas plašā izmantošana ir viegli izskaidrojama. Pirmkārt, skaita ierakstīšana decimālskaitļa sistēmā ir diezgan kompakts, otrkārt, cilvēces cilvēces decimālo skaitļu sistēmu izmanto vairākus gadsimtus. Šajā laikā cilvēki jau ir pieraduši uz skaitļiem un skaitļu ierakstu, kā arī skaitļu izrunu decimālskaitļa sistēmā, piemēram, "15" ieraksts ir skaidrs jebkurai personai, un tā to izlasīs kā piecpadsmit , Bet tas pats numurs, kas reģistrēts binārā numuru sistēmā "1111", rada vismaz nelielu apjukumu, bet kā izlasīt šo numuru.
Un tomēr ir nepārprotami apgalvot, ka decimālās numuru sistēma ir optimālā izvēle Cilvēce strādāt ar cipariem nav iespējams. Mēs to pierādām ar vairākiem piemēriem.
Visi jūs atceraties reizināšanas tabulu un, protams, atcerieties, cik daudz pūļu jums bija jāpievieno, lai uzzinātu šo tabulu. Mēs šeit nesniegsim reizināšanas tabulu decimālskaitļa sistēmā, bet salīdzināšanai mēs sniedzam reizināšanas tabulu binārā numuru sistēmā:
Kā redzat, reizināšanas tabula binārā numuru sistēmā izskatās daudz vieglāk nekā decimāldaļā.
Ciparu skaita skaita kompaktums, tas pats nav augstākais, visās numerācijas sistēmās ar bāzi vairāk nekā desmit numuriem, tiks reģistrēts kompaktāks, piemēram, numurs "15", in heksadecimālā sistēma Numurs tiek ierakstīts kā "F".
Kā jau minēts 5. punktā, binārā numuru sistēma ir pieņemta, lai ierakstītu numurus AUM. Šajā punktā mums ir jāizdomā, bet kā ir skaitļi datora atmiņā, tas būs pietiekami, lai izprastu noteikumus par decimālo skaitļu nodošanu binārā numuru sistēmā.
Praksē, lai pārsūtītu numurus no numuru sistēmas ar bāzi desmit līdz stundu skaitu ar bāzi no diviem, izmantojiet šādu noteikumu:
1. 1, kas ierakstīta numuru sistēmā ar desmitiem, ir sadalīts ar atlikumu diviem (bāze) jauna sistēma Numurs), kas ierakstīts skaitu skaitu skaitīšanas desmit ( vecā sistēma Piezīme), ja vien privātā tā nedarbojas 0.
2. Instracks, kas iegūti no nodaļām, kas ierakstītas apgrieztā secībā, veidojiet numuru jaunā numura sistēmā ar divu pamatu.
Tas ir ērtāk izmantot šo noteikumu, lai pārsūtītu numurus no decimālskaitļa sistēmas. Attiecībā uz reverso tulkojumu decimālskaitļa sistēmā ir ērtāka izmantot tā saukto shēmas gorneris.
1. Atkārtoti pievienojiet pozīcijas numurā, pa labi uz kreiso pusi, sākot ar nulli;
2. Izveidojiet skaitli, kas atspoguļo skaita skaita skaita skaita skaitu, pamatojoties uz veco numuru sistēmu, ko reģistrē jaunās numuru sistēmas numuri, uzcēla līdzvērtīgam skaitam pozīciju skaita skaitam;
3. IESĒJIET rindas summu.
Mēs analizēsim šos noteikumus par konkrētiem piemēriem.
1. piemērs.: Ieraksts decimālskaitlis 121 Binārā numuru sistēmā.
121 | 2 121 d \u003d 1111001 b
120 60 | 2
1 60 30 | 2
0 30 15 | 2
0 14 7 | 2
1 6 3 | 2
Darba mērķis.Metodes un testēšana transformācijas prasmēm no vienas pozicionēšanas sistēmas citai citai citai.
Dažādu skaitļu skaits, ko izmanto pozicionālajā sistēmā, nosaka numura sistēmas nosaukumu un to sauc par bāze
Numuru sistēma.
Jebkurš numurs n pozicionēšanas sistēmā ar bāzi 
var pārstāvēt kā polinomu no bāzes 
:
kur 
- numurs, 
- skaitļu numuri (koeficienti grādos 
),
- numuru sistēmas bāze ( 
>1).
Numuri tiek ierakstīti kā numuru secība:
.
Punkts secībā atdala visu daļu no skaita no frakcionētiem (koeficientiem negatīviem grādiem, no koeficientiem ar negatīviem grādiem). Punkts tiek nolaists, ja numurs ir vesels skaitlis (nav negatīvu grādu).
Datoru sistēmās ir pozicionālās numerācijas sistēmas ar nedifruālu bāzi: binārs, oktāls, heksadecimāls.
Aparatūras pamatā dators ir divu pozīciju elementi, kas var būt tikai divās valstīs; Viens no tiem ir apzīmēts ar 0, un otrs - 1. Tāpēc aritmētiskais un loģiskais galvenais dators ir binārā numuru sistēma.
Binārā numuru sistēma. Tiek izmantoti divi cipari: 0 un 1. Binārajā sistēmā jebkurš numurs var tikt pārstāvēts kā: 
.
kur 
0 vai 1.
Šis ieraksts atbilst skaitļa 2. līmeņa summai, kas ņemta ar norādītajiem koeficientiem:
Oktāla numuru sistēma. Tiek izmantoti astoņi cipari: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Izmanto datorā kā palīgpakalpojumu, kas ieraksta informāciju saīsinātā formā. Lai pārstāvētu octal sistēmas ciparu, tiek izmantotas trīs bināras izplūdes (triāde) (sk. 1. tabulu).
Hex numuru sistēma. Attiecībā uz skaitļu tēlu tiek izmantoti 16 cipari. Pirmie desmit cipari šīs sistēmas apzīmē ar cipariem no 0 līdz 9, un vecāki seši cipari ir latīņu burti: A (10), (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Heksadecimālā sistēma, kā arī oktāla, tiek izmantota, lai ierakstītu informāciju saīsinātā formā. Lai pārstāvētu vienu heksadecimālās numuru sistēmas ciparu, tiek izmantotas četras bināras izlādes (tetrad) (sk. 1. tabulu).
1. tabula.
Pozicionēšanas sistēmu alfabēti (SS)
|
Binārie ss (Bāze 2) |
Oktenis (Bāze 8) |
Decimāldaļskaitlis (Bāze 10) |
Heksadecimāls (Pamatne 16) |
||
|
Binārs |
Binārie tetradi |
||||
1. uzdevums.Tulkot numurus no norādītajām numerācijas sistēmām līdz decimāldaļai sistēmai.
Metodiskās instrukcijas.
Numuru tulkošana decimālskaitlī ir sistematizēta, sastādot jaudas sērijas daudzumu ar sistēmas bāzi, no kuras tiek tulkots numurs. Tad tiek aprēķināta šīs summas vērtība.
Piemēri.
a) Tulkot S.S.
.
b) Tulkot 
s.S.
c) Tulkot 
s.S.
2. uzdevums.Tulkot visus numurus no decimāldiska sistēmas oktālā, heksadecimālā un binārajā sistēmā.
Metodiskās instrukcijas.
Visu decimālo skaitļu pārnešana oktālā, heksadecimālā un binārajā sistēmā ir derīga decimālā numura secīgajam sadalījumam, pamatojoties uz sistēmu, kurā tas ir tulkots, līdz izrādīsies privāts vienāds ar nulli. Numurs jaunajā sistēmā tiek ierakstīts bilances veidā no sadalīšanas, sākot ar pēdējo.
Piemēri.
a) Tulkot 
s.S.
181: 8 \u003d 22 (atlikums 5)
22: 8 \u003d 2 (atlikums 6)
2: 8 \u003d 0 (Atlikums 2)
Atbilde: 
.
b) Tulkot 
s.S.
Tabulā redzams sadalījums:
622: 16 \u003d 38 (Atlikums 14 10 \u003d E 16)
38: 16 \u003d 2 (atlikums 6)
2: 16 \u003d 0 (Atlikums 2)
Atbilde: 
.
3. uzdevums.Tulkot pareizās ciparus frakcijas no decimālās sistēmas oktālā, heksadecimālā un binārajā sistēmā.
Izmantojot šo tiešsaistes kalkulatoru, jūs varat tulkot visu un frakcionētus numurus no vienas numuru sistēmas uz citu. Detalizēts risinājums tiek sniegts ar paskaidrojumiem. Lai tulkotu, ievadiet sākotnējo numuru, iestatiet avota numuru sistēmas bāzi, iestatiet numuru sistēmas sistēmu, uz kuru vēlaties tulkot numuru un noklikšķiniet uz pogas "Tulkot". Teorētiskā daļa un skaitliskie piemēri skat. Zemāk.
Rezultāts jau ir saņemts!
Visu un frakcionētu skaitļu tulkošana no vienas numura sistēmas uz jebkuru citu - teoriju, piemēriem un risinājumiem
Ir pozicionētas un nav pozicionālās numuru sistēmas. Arābu numuru sistēma, ko mēs izmantojam ikdienas dzīvē, ir pozicionāls, un romiešu - nē. Iebildums pozicionēšanas sistēmas Numura pozicionēšana unikāli nosaka numuru skaitu. Apsveriet to par numuru 6372 decimālskaitļa sistēmā. Numurs šis numurs pa labi pa kreisi kopš nulles:
Tad numuru 6372 var pārstāvēt šādi:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Numurs 10 definē numuru sistēmu (In Šis gadījums Tas ir 10). Kā grādi, tiek pieņemti šā numura skaita pozīcijas.
Apsveriet reālu decimālo skaitli 1287.923. Numuru, kas sākas no nulles stāvokļa numuru no decimāldaļas līdz pa kreisi un pa labi:
Tad numurs 1287.923 var pārstāvēt kā:
1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.
Kopumā formulu var pārstāvēt šādi:
C n · s. N + c n-1 · s. N-1 + ... + C 1 · s. 1 + C 0 · S 0 + D -1 · S -1 + D -2 · S -2 + ... + D -K · S -K
kur c n ir numurs pozīcijā n., D -k - frakcionēts skaits pozīcijā (-k), s. - numuru sistēma.
Daži vārdi par numuru sistēmām. Decimālo skaitļu sistēmas numurs sastāv no skaitļu daudzuma (0,1,2,3,4,5,5,7,8,8,9), octaous numuru sistēmā - no daudzveidības numuru (0,1, 2,3,4,5,6,7), binārā skaita sistēmā - no skaitļu daudzuma (0,1), heksadecimālā numura sistēmā - no skaitļu daudzuma (0,1,2 , 3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), kur A, B, C, D, E, F atbilst skaitlim 10,11,12, 13,14,15. Galda tabulā.1 prezentēja numurus B. dažādas sistēmas Piezīme.
| 1. tabula | |||
|---|---|---|---|
| Apzīmējums | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A. |
| 11 | 1011 | 13 | B. |
| 12 | 1100 | 14 | C. |
| 13 | 1101 | 15 | D. |
| 14 | 1110 | 16 | E. | 15 | 1111 | 17 | F. |
Skaitļu tulkošana no vienas numuru sistēmas uz citu
Lai pārsūtītu numurus no viena numura uz citu uz citu, vienkāršākais veids, kā vispirms iztulkot numuru decimālskaitļa sistēmā, un pēc tam no decimālās numura sistēmas tulkot vēlamo numuru sistēmu.
Skaitļu tulkošana no jebkuras numuru sistēmas decimālskaitļa sistēmā
Izmantojot formulu (1), jūs varat tulkot numurus no jebkuras numuru sistēmas līdz decimālskaitļa sistēmai.
Piemērs 1. Tulkot numuru 1011101.001 no binārās numuru sistēmas (SS) decimāldaļā SS. Lēmums:
1 · 2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125
Piemērs2. Tulkot numuru 1011101.001 no oktāvas numuru sistēmas (SS) decimāldaļā SS. Lēmums:
Piemērs 3 . Tulkot numuru AB572.cdf no heksadecimālo numuru sistēmas decimāldaļā SS. Lēmums:
Šeit A. - uz 10, \\ t B. - par 11, \\ t C.- par 12, \\ t F. - par 15.
Numuru tulkošana no decimālskaitļa sistēmas uz citu numuru sistēmu
Lai pārsūtītu numurus no decimālās numerācijas sistēmas uz citu numuru sistēmu, ir nepieciešams tulkot atsevišķi ar skaitļa skaitu skaita un skaita skaita.
Skaita skaitļa daļa tiek tulkota no decimāldaļas SS uz citu numuru sistēmu - secīgu sadalījumu visai numuram, pamatojoties uz numuru sistēmas (par bināro CC - līdz 2, 8 rakstzīmju SS - Līdz 8, 16-dūmu-16 utt.) Pirms visu atlikumu iegūšanas, mazāk nekā SS bāze.
Piemērs 4 . Mēs tulkojam decimāldaļas numuru 159 binārajos SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kā redzams no attēla. 1, numurs 159 divīzijas laikā pēc 2 dod privāto 79 un atlikumu 1. Nākamais, skaits 79 sadalīšanas laikā pēc 2 dod privātu 39 un atlikumu 1, utt. Tā rezultātā, veidojot numuru no sadalījumu atlikumiem (pa labi uz kreiso), mēs iegūstam numuru binārajos SS: 10011111 . Līdz ar to jūs varat rakstīt:
159 10 =10011111 2 .
Piemērs 5 . Mēs pārvēršam decimāldaļu numuru 615 oktālajā SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kad numurs no decimāldalas SS oktālajā SS, ir nepieciešams secīgi sadalīt numuru 8, līdz viss atlikums ir mazāks par 8. Kā rezultātā, veidojot numuru no atlikumiem sadalīšanas (tiesības uz kreiso), mēs Iegūstiet numuru oktānā SS: 1147 (Sk. 2. att.). Līdz ar to jūs varat rakstīt:
615 10 =1147 8 .
Piemērs 6 . Mēs pārsūtīsim numuru 19673 no decimālskaitļa sistēmas uz heksadecimālo SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kā redzams no attēla.
Lai pārsūtītu pareizās decimāldaļas (reālais numurs ar nulles veselu skaitli) līdz N bāzes sistēmas līmenim Šis numurs Konsekventi reizināts ar s līdz daļai, līdz daļai nav tīra nulle, vai mēs nesaņemsim nepieciešamo skaitu izplūdes. Ja saņemat numuru ar visu daļu, atšķiras no nulles, tad šī daļa nav ņemta vērā (tie ir konsekventi uzņemti rezultātā).
Apsveriet iepriekš minēto piemēru.
Piemērs 7 . Mēs pārsūtīsim numuru 0.214 no decimālās numuru sistēmas uz bināro SS.
| 0.214 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kā redzams no 4. attēla, skaitlis 0.214 tiek reizināts ar 2. Ja reizinājums tiek iegūts ar visu daļu, kas atšķiras no nulles, tad vesela skaitļa daļa ir rakstīta atsevišķi (pa kreisi no numura), un skaitu ir rakstīts uz nulles veselu skaitli. Ja, reizinot, tiek iegūts numurs ar nulles veselu skaitli, tad nulle ir rakstīts pa kreisi. Reizināšanas process turpinās, līdz daļēja daļa nesaņem tīru nulli vai nesaņemiet nepieciešamo noplūdes skaitu. Tauku skaitļu ierakstīšana (4. attēls) No augšas uz leju, mēs iegūstam vēlamo numuru binārā numuru sistēmā: 0. 0011011 .
Līdz ar to jūs varat rakstīt:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Piemērs 8 . Mēs pārvēršam numuru 0.125 no decimālās numuru sistēmas uz bināro SS.
| 0.125 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Lai panāktu skaitu 0,125 no decimāldaļas uz bināro, šis skaitlis tiek reizināts ar 2. Trešajā posmā tas izrādījās 0. tādēļ šādu rezultātu izrādījās:
0.125 10 =0.001 2 .
Piemērs 9 . Mēs pārvēršam numuru 0.214 no decimālskaitļa sistēmas uz heksadecimālo SS.
| 0.214 | ||
| x. | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x. | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x. | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x. | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x. | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x. | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Pēc piemēriem 4 un 5, mēs iegūstam skaitļus 3, 6, 12, 8, 11, 4. bet heksadecimālajā CC, skaitļi 12 un 11 atbilst skaitam C un B. Tāpēc mums ir:
0.214 10 \u003d 0.36C8B4 16.
Piemērs 10 . Mēs pārvēršam numuru 0.512 no decimālskaitļa sistēmā oktālajā SS.
| 0.512 | ||
| x. | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x. | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x. | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Saņemts:
0.512 10 =0.406111 8 .
Piemērs 11 . Mēs pārvēršam numuru 159.125 no decimālskaitļa sistēmas uz bināro SS. Lai to izdarītu, mēs tulkot atsevišķi veselu skaitļu daļu (4. piemērs) un skaitļu daļu (8. piemērs). Pēc tam mēs saņemam šo rezultātu apvienošanu:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Piemērs 12 . Mēs pārsūtīsim numuru 19673.214 no decimālskaitļa sistēmas uz heksadecimālu. Lai to izdarītu, mēs pārvēršam atsevišķi veselu skaitļa daļu (6. piemērs) un skaitļa daļēju daļu (9. piemērs). Pēc tam mēs saņemam apvienojot rezultātus.
