A função irracional da variável é uma função que é formada a partir de constantes variáveis \u200b\u200be arbitrárias usando um número finito de operações de adição, subtração, multiplicação (ereção em um grau inteiro), divisão e extrair raízes. A função irracional difere de racional em que a função irracional contém operações de extração raiz.
Existem três tipos principais de funções irracionais, integralmente incertas dos quais são dados a integrais de funções racionais. Estas são integrais contendo as raízes de graus inteiros arbitrários da função linear fracionária (as raízes podem ser de vários graus, mas da mesma função linear fracionária); Integrais de binoma diferencial e integrais com raiz quadrada de três tiros quadrados.
Observação importante. Raízes são significativas!
Ao calcular as integrais contendo raízes, as espécies do formulário são freqüentemente encontradas, onde há alguma função da variável de integração. Deve-se ter em mente isso. Isto é, com t\u003e 0, | t | \u003d T. . Com T.< 0, | t | \u003d - t. Portanto, ao calcular tais integrais, você precisa considerar casos separadamente T\u003e 0 e T.< 0 . Isso pode ser feito se você escrever sinais ou onde for necessário. Implicando que o sinal superior se refere ao caso T\u003e 0 e o fundo - ao caso t< 0 . Com mais conversão, esses sinais são geralmente mutuamente reduzidos.
Uma segunda abordagem é possível, na qual a função integrada e o resultado da integração podem ser consideradas como funções complexas de variáveis \u200b\u200bcomplexas. Então você não pode seguir os sinais nas expressões destacadas. Essa abordagem é aplicável se a função integrada for analítica, ou seja, uma função diferenciada de uma variável complexa. Nesse caso, a função integrada e a integral são funções multi-valor. Portanto, após a integração, ao substituir valores numéricos, é necessário selecionar o ramo inequívoco (superfície do riemannian) da função Integrand e para escolher o ramo apropriado do resultado de integração.
Irracionalidade linear
Estas são as integrais com raízes da mesma função linear fracionária:
,
Onde r é uma função racional - números racionais, m 1, n 1, ..., M S, n s são números inteiros, α, β, γ, δ - válidos.
Essas integrais são reduzidas para a integral da função de recurso racional:
onde n é um denominador comum de números R1, ..., r s.
Raízes não podem necessariamente ser de uma função linear fracionária, mas também de linear (γ \u003d 0, Δ \u003d 1), ou da variável de integração x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).
Aqui estão exemplos de tais integrais:
,
.
Integrais de binomas diferenciais
Integrais de binomas diferenciais têm a forma:
,
Onde m, N, P é números racionais, A, B - números válidos.
Essas integrais são reduzidas a integrais de funções racionais em três casos.
1) Se p é um inteiro. A substituição x \u003d t n, onde n é o denominador total das frações m e n.
2) se - o todo. Substituição A X N + B \u003d T M, onde m é o número de números p.
3) se - um todo. Substituição A + B X - N \u003d T M, Onde M é o denominador do número P.
Em outros casos, essas integrais não são expressas através de funções elementares.
Às vezes, essas integrais podem ser simplificadas usando fórmulas:
;
.
Integrais contendo raiz quadrada do quadrado três
Tais integrais são:
,
onde r é uma função racional. Para cada uma tal integral, existem vários métodos de solução.
1)
Usando transformações para levar a integrais mais simples.
2)
Aplicar substituições trigonométricas ou hiperbólicas.
3)
Aplicar substituições de Euler.
Considere esses métodos em mais detalhes.
1) Conversão da função Integrand
Usando a fórmula e realizando transformações algébricas, traga uma função de reintrodução à mente:
,
onde φ (x), ω (x) é funções racionais.
Eu digito
A integral da forma:
,
onde p n (x) é um grau polinomial n.
Tais integrais são o método de coeficientes incertos usando identidade:
.
Diferenciando esta equação e equacionando as partes esquerda e direita, encontramos os coeficientes que eu.
II Type.
A integral da forma:
,
onde p m (x) é um grau polinomial m.
Substituição t \u003d. (X - α) -1 Esta integral é acionada para o tipo anterior. Se m ≥ n, a fração deve ser alocada para toda a parte.
III Type.
Aqui fazemos uma substituição:
.
Depois do qual a integral assumirá a forma:
.
Em seguida, permanente α, β, você precisa escolher tal que no denominador os coeficientes em t se virou para zero:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Em seguida, a integral desintegra a soma das integrais de dois tipos:
,
,
que são integrados por substituições:
u 2 \u003d A 1 T 2 + C 1,
v 2 \u003d A 1 + C 1 T -2.
2) substituições trigonométricas e hiperbólicas
Para integrais da forma, um > 0
,
Temos três substituições principais:
;
;
;
Para integrais, um > 0
,
Temos as seguintes substituições:
;
;
;
E finalmente para integrais, um > 0
,
Substituições são as seguintes:
;
;
;
3) substituições de Euler
Também integrações podem ser reduzidas a integrais de funções racionais de uma das três substituições de Euler:
, com um\u003e 0;
, com c\u003e 0;
onde x 1 é a raiz da equação a x 2 + b x + c \u003d 0. Se esta equação tiver raízes válidas.
Integrais elípticas
Em conclusão, considere as integrais da forma:
,
onde r é uma função racional. Tais integrais são chamadas elípticas. Em geral, eles não são expressos através de funções elementares. No entanto, há casos em que há relações entre os coeficientes A, B, C, D, E, com tais integrais são expressas através de funções elementares.
Abaixo está um exemplo associado a polinômios de retorno. O cálculo dessas integrais é realizado usando substituições:
.
Exemplo
Calcule a integral:
.
Decisão
Faça uma substituição.
.
Aqui em x\u003e 0
(U\u003e. 0
) Nós tomamos o sinal superior '+'. Com X.< 0
(VOCÊ.< 0
) - Diminuir '-'.
.
Responder
Referências:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, coleção de tarefas em maior matemática, "LAN", 2003.
Suponha que Aquiles funcione dez vezes mais rápido que a tartaruga, e está por trás dela a uma distância de mil etapas. Por enquanto, para o qual Aquiles está correndo através dessa distância, cem etapas cairá no mesmo lado. Quando Aquiles corre cem degraus, a tartaruga vai rastejar cerca de dez passos e assim por diante. O processo continuará ao infinito, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.
Este raciocínio tornou-se um choque lógico para todas as gerações subseqüentes. Aristóteles, Diógen, Kant, Hegel, Hilbert ... Todos eles de alguma forma consideraram a apriologia do Zenon. Choque acabou por ser tão forte que " ... Discussões continuam e atualmente, para chegar à opinião geral sobre a essência dos paradoxos à comunidade científica ainda não foi possível ... uma análise matemática, a teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas envolvidas no estudo da questão; Nenhum deles se tornou uma questão geralmente aceita da questão ..."[Wikipedia", Yenon Apriya "]. Todos entendem que estão bloqueados, mas ninguém entende o que é engano.
Do ponto de vista da matemática, Zeno em sua Aproria demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicativo em vez de constante. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático do uso de variáveis \u200b\u200bde unidades de medição ainda não é desenvolvido, ou não foi aplicado à aforição de Zenon. O uso da nossa lógica comum nos leva a uma armadilha. Nós, por inércia de pensar, usamos unidades de medição de tempo permanente para o inversor. De um ponto de vista físico, parece uma desaceleração no tempo até a sua parada completa no momento em que Aquiles é recheado com uma tartaruga. Se o tempo parar, o Aquiles não poderão mais ultrapassar a tartaruga.
Se você girar a lógica geralmente, tudo se torna no lugar. Aquiles funciona a uma velocidade constante. Cada segmento subseqüente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto em sua superação, dez vezes menos do que o anterior. Se você aplicar o conceito de "infinito" nesta situação, ele dirá corretamente "Aquiles infinitamente recuperarão rapidamente a tartaruga".
Como evitar essa armadilha lógica? Fique em unidades de medição de tempo permanente e não se mova para os valores reversos. Na linguagem do Zenon, parece que esta:
Por esse tempo, para o qual Aquiles corre mil passos, cem passos quebrarão a tartaruga para o mesmo lado. Para o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dirigirá mais milhares de passos, e a tartaruga vai rachar cem degraus. Agora Aquiles é um oitocentos degraus à frente da tartaruga.
Essa abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. No Zenonian Agrac de Aquiles e Tartaruga é muito semelhante à declaração de Einstein sobre a irresistibilidade da velocidade da luz. Ainda temos que estudar este problema, repensar e resolver. E a decisão deve não ser buscada em números infinitamente grandes, mas em unidades de medição.
Outro Yenon interessante Aproria conta sobre as flechas voadoras:
A flecha voadora ainda é, já que a cada momento ela descansa, e já que descansa a cada momento, sempre descansa.
Nesta mansão, o paradoxo lógico é muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora está descansando em diferentes pontos de espaço, que, na verdade, é o movimento. Aqui você precisa notar outro momento. De acordo com uma foto do carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento, nem a distância para isso. Para determinar o fato do movimento do carro, você precisa de duas fotos feitas de um ponto em diferentes pontos no tempo, mas é impossível determinar a distância. Para determinar a distância para o carro, duas fotos feitas de diferentes pontos de espaço em um ponto no tempo, mas é impossível determinar o fato do movimento (naturalmente, os dados adicionais ainda são necessários para cálculos, trigonometria para ajudá-lo). O que eu quero prestar especial atenção é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confusas, porque fornecem diferentes oportunidades de pesquisa.
quarta-feira, 4 de julho de 2018
Muitas diferenças entre muitos e multisset são descritas na Wikipedia. Nós olhamos.
Como você pode ver, "não pode haver dois elementos idênticos em um conjunto", mas se os elementos idênticos estiverem no conjunto, existem, esse conjunto é chamado "Mix". Uma lógica similar de seres razoáveis \u200b\u200babsurdos nunca entende. Este é o nível de papagaios de fala e macacos treinados, que estão faltando na palavra "em tudo". Matemática atuam como treinadores comuns, pregando nossas idéias absurdas.
Uma vez que os engenheiros que construíram a ponte durante os testes da ponte estavam no barco sob a ponte. Se a ponte desmoronar, o engenheiro sem talento morreu sob os destroços de sua criação. Se a ponte resistiu a carga, um engenheiro talentoso construiu outras pontes.
Como matemática não se escondei atrás da frase "Chur, eu estou em uma casa", com mais precisão ", conceitos abstratos de estudos de matemática," há um cordão umbilical, que inextricavelmente os liga com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Aplicar teoria Matemática Conjuntos para a matemática.
Ensinamos muito bem a matemática e agora nos sentamos no checkout, emitimos um salário. Isso vem para nós o matemático pelo seu dinheiro. Contamos com toda a quantidade e deitamos em sua mesa em pilhas diferentes, na qual adicionamos contas de uma dignidade. Então tomamos de cada pilha em uma conta e entregamos a matemática de seu "conjunto matemático de salário". Explique a matemática que o resto das contas receberá somente quando isso prova que o conjunto sem os mesmos elementos não é igual ao conjunto com os mesmos elementos. Aqui o mais interessante começará.
Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "É possível aplicá-lo a outros, para mim - baixo!". Haverá mais garantias de nós que existem diferentes números em contas de igual dignidade, o que significa que eles não podem ser considerados os mesmos elementos. Bem, conte o salário com moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático começará a não gostar da física: em moedas diferentes, há uma quantidade diferente de sujeira, a estrutura cristalina e a localização dos átomos, cada moeda é única ...
E agora eu tenho a questão mais interessante: onde está a linha, atrás da qual os elementos do multissament se transformam em elementos do set e vice-versa? Tal rosto não existe - todos resolvem os xamãs, a ciência aqui e não deitada perto.
Aqui estão olhando. Nós tomamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área de campo é a mesma - significa que temos uma multipart. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios - temos muitos, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é ambos definidos e multisset. Quão correto? E aqui o matemático-xamã-shiller retira o trump ace da manga e começa a nos dizer sobre o conjunto ou sobre o multisset. Em qualquer caso, ele nos convencerá da direita.
Para entender como os xamãs modernos operam a teoria dos conjuntos, amarrá-lo à realidade, é suficiente para responder a uma pergunta: Como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Eu vou te mostrar, sem qualquer "imaginável como um todo" ou "não pensativo como um todo".
domingo, 18 de março de 2018
A quantidade de números é uma dança de xamãs com um pandeiro, que não tem relação com a matemática. Sim, nas lições da matemática, somos ensinados a encontrar a quantidade de números de números e usá-lo, mas eles são xamãs para treinar seus descendentes para suas habilidades e sabedoria, caso contrário, os xamãs serão simplesmente limpos.
Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar o número de números da página. Isso não existe. Não há fórmula em matemática na qual você pode encontrar a quantidade de números de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos, com os quais escrevemos números e na linguagem matemática, a tarefa parece assim: "Encontre a soma de caracteres gráficos retratando qualquer número". A matemática não pode resolver esta tarefa, mas os xamãs são elementares.
Vamos lidar com o que e como fazemos para encontrar o valor dos números do número especificado. E assim, vamos ter um número de 12345. O que deve ser feito para encontrar a quantidade de números desse número? Considere todas as etapas em ordem.
1. Registre o número no pedaço de papel. O que nós fizemos? Nós transformamos o número no símbolo gráfico do número. Esta não é uma ação matemática.
2. Nós cortamos uma imagem obtida em várias imagens contendo números individuais. As fotos de corte não é uma ação matemática.
3. Conversamos caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma ação matemática.
4. Nós dobramos os números. Isso já é matemática.
A quantidade de números de 12345 é 15. Estes são os "cortadores e cursos de costura" dos xamãs aplicam matemáticos. Mas isso não é tudo.
Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema número escrevemos o número. Então, em. sistemas diferentes. Número de números de números do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado na forma do menor índice à direita do número. Com um grande número de 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Escrevemos este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não vamos considerar cada passo sob o microscópio, já fizemos. Vamos ver o resultado.
Como você pode ver, em diferentes sistemas de números, a soma dos números do mesmo número é obtida diferente. Este resultado para a matemática não tem nada a ver. É como determinar a área do retângulo em metros e centímetros você teria resultados completamente diferentes.
Zero em todos os sistemas de surtos parece o mesmo e a quantidade de números não possui. Este é outro argumento em favor do que. Pergunta para matemáticos: Como na matemática é indicado que não é um número? O que, para matemáticos, nada além de números não existem? Para xamãs, posso ser permitido, mas para cientistas - não. A realidade consiste não apenas de números.
O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de números. Afinal, não podemos comparar os números com unidades diferentes Medidas. Se a mesma ação com diferentes unidades de medição do mesmo valor levam a resultados diferentes após sua comparação, isso significa que não tem nada a ver com a matemática.
O que é matemática real? Isto é quando o resultado da ação matemática não depende do valor do número usado pela unidade de medição e sobre quem realiza essa ação.
Oh! Isso não é uma vaso sanitário?
- Menina! Este é um laboratório para o estudo da santidade íntima das almas em ascensão ao céu! Nimbi de cima e flecha. O que mais banheiro?
Feminino ... Nimbi de cima e arrogante para baixo - é um homem.
Se você na frente dos seus olhos várias vezes por dia pisca esta é a obra da arte designer,
Então não é surpreendente que em seu carro você de repente encontre um ícone estranho:
Pessoalmente, estou fazendo um esforço em mim mesmo em uma pessoa algemando (uma foto), para ver os menos quatro graus (uma composição de várias fotos: um sinal de menos, um número quatro, designação de graus). E eu não acho que essa garota é um tolo que não conhece a física. É simplesmente um estereótipo de arco da percepção de imagens gráficas. E matemática somos constantemente ensinados. Aqui está um exemplo.
1a não é "menos quatro graus" ou "um a". Esta é uma "pessoa de algemar" ou o número de "vinte e seis" em sistema hexadecimal Observação. Essas pessoas que trabalham constantemente neste sistema número percebem automaticamente a figura e a carta como um símbolo gráfico.
Integrais complexas
Este artigo conclui o assunto de integrais incertos e, nele, as integrais que considero bastante complicadas estão incluídas. A lição foi criada nas repetidas solicitações de visitantes que expressaram os desejos para que exemplos mais difíceis sejam desmontados no site.
Supõe-se que o leitor deste texto esteja bem preparado e saiba como aplicar as principais técnicas de integração. Bules e pessoas que não são muito confiantemente tratadas com integrais devem ser encaminhadas para a primeira lição - Integral incerto. Exemplos de soluçõesonde você pode dominar o tópico com quase zero. Os alunos mais experientes podem se familiarizar com as técnicas e métodos de integração, que em meus artigos ainda não se encontraram.
Quais integrais serão consideradas?
Primeiro, consideraremos integralmente com raízes, para resolver, que é consistentemente usado substituindo a variável e integração em partes. Ou seja, em um exemplo, duas recepções são combinadas. E ainda mais.
Então vamos nos familiarizar com interessante e original informações do método Integral para você mesmo. Este método é resolvido não tão poucas integrais.
O terceiro número do programa irá integrações de frações complexas que passavam por registros de caixa nos artigos anteriores.
Em quarto lugar, integrais adicionais de funções trigonométricas serão desmontadas. Em particular, existem métodos que permitem evitar o tempo consumidor de uma substituição trigonométrica universal.
(2) Na função Integrand, o numerador no denominador.
(3) Usar a propriedade linearidade não é certa integral. Na última integral imediatamente varrer a função sob o sinal do diferencial.
(4) Pegue as integrais restantes. Por favor, note que no logaritmo você pode usar colchetes, não um módulo, já que.
(5) Nós mantemos uma substituição, expressando a partir do substituto direto "TE":
Alunos masochianos podem indiferenciar a resposta e obter a função Integrand original como acabei de fazer. Não, não, eu cumpri a verificação no sentido certo \u003d)
Como você pode ver, durante a decisão, tive que usar ainda mais de duas decisões da solução, portanto, para represálias com integrais semelhantes, você precisa de habilidades de integração confiantes e não a menor experiência.
Na prática, é claro, a raiz quadrada é mais comum, aqui estão três exemplos para uma solução independente:
Exemplo 2.
Encontre uma integral indefinida
Exemplo 3.
Encontre uma integral indefinida
Exemplo 4.
Encontre uma integral indefinida
Esses exemplos do mesmo tipo, portanto, a solução completa no final do artigo será apenas por exemplo 2, nos exemplos 3-4 - uma respostas. Que substituição aplicar no início das decisões, acho que obviamente. Por que eu pego o mesmo tipo de exemplos? Muitas vezes encontrado em seu papel. Mais frequentemente, talvez, apenas algo como 
.
Mas nem sempre, quando sob arctgennes, sinusite, cosseno, exponencial, etc. Os recursos são a raiz de uma função linear, vários métodos devem ser aplicados. Em alguns casos, é possível "se livrar", isto é, imediatamente após a substituição, é obtida uma simples integral, que é leva elementar. A mais fácil das tarefas propostas é o Exemplo 4, após a substituição, isso acaba por uma integral relativamente simples.
Informações do método Integral para você mesmo
Um método espirituoso e bonito. Considere imediatamente os clássicos do gênero:
Exemplo 5.
Encontre uma integral indefinida
Sob a raiz há um biccoon quadrado, e ao tentar integrar este exemplo, a chaleira pode sofrer por horas. Tal integral é tomada em partes e se resume a si mesma. Em princípio, não é difícil. Se você sabe como.
Denote pela integral considerada da carta latina e inicie a solução: 
Nós integramos em partes: 
(1) Nós preparamos uma função de substituição para a divisão do solo.
(2) Nós dividimos a função de substituição. Talvez não para todos claramente, escreverei mais detalhes:
(3) Usando a propriedade linearidade integral incerto.
(4) Pegue a última integral (logaritmo "longo").
Agora olhamos o início da decisão: 
E no final: 
O que aconteceu? Como resultado de nossas manipulações, a integral chegou a si mesmo!
Nós equiparamos o começo e o fim: 
Nós transferimos para o lado esquerdo com a mudança de sinal: 
E demo demolose para o lado direito. Como resultado: 
A constante, estritamente falando, tinha que ser adicionada mais cedo, mas atribuiu no final. Eu recomendo fortemente ler o que está aqui para um rigor:
Observação:
Um estágio final mais estrito da solução é assim:
Desta maneira:
Constante pode ser reutilizado. Por que você pode reeder? Porque ainda é preciso algum Valores, e nesse sentido entre as constantes e não há diferença.
Como resultado:
Tal truque com constante reeditado é amplamente utilizado em equações diferenciais. E lá eu serei rigoroso. E aqui uma liberdade é permitida por mim apenas para não confundir você com coisas supérfluas e focar no próprio método de integração.
Exemplo 6.
Encontre uma integral indefinida
Outra integral típica de auto-decisões. Solução completa e resposta no final da lição. A diferença com a resposta do exemplo anterior será!
Se a raiz quadrada é um triplo quadrado, então a solução em qualquer caso é reduzida para dois exemplos desmontados.
Por exemplo, considere a integral 
. Tudo que você precisa fazer é selecione o quadrado completo:
.
Em seguida, uma substituição linear é realizada, que custa "sem quaisquer consequências":
Como resultado, a integral é obtida. Algo familiar, certo?
Ou tal exemplo, com quadrado saltou:
Destacamos um quadrado completo:
E, depois de uma substituição linear, obtemos uma integral, que também é resolvida pelo algoritmo já considerado.
Considere mais dois exemplo típico Nas informações da recepção integral para si mesmo:
- Integral da exposição multiplicada pelo seio;
- Integral da exposição multiplicada por cosseno.
Nas integrais listadas em partes terão que ser integradas duas vezes:
Exemplo 7.
Encontre uma integral indefinida
A função Integrand é um expositor multiplicado pelo sinus.
Nós integramos duas vezes em partes e trazemos a integral para si mesmo: 
Como resultado da integração duas vezes em partes, a integral se tornou a si mesma. Nós equiparamos as soluções iniciais e terminais:
Nós transferimos para o lado esquerdo com a mudança do sinal e expressamos nossa integral: 
Preparar. Além disso, é desejável combater o lado direito, isto é. Para fazer um expoente para colchetes, e entre parênteses para colocar o seio com cosseno na ordem "linda".
Agora vamos voltar ao começo do exemplo, ou melhor - à integração em partes: 
Pois nós designamos o expositor. A questão surge, é sempre necessário referir-se ao expositor para? Não é necessário. De fato, na parte integrante examinada princípio sem diferençaO que se referir, foi possível ir para outra maneira: 
Por que é possível? Porque o expositor se transforma em si (e durante a diferenciação, e durante a integração), o seio com cosseno está se tornando mutuamente (novamente - tanto durante a diferenciação e durante a integração).
Ou seja, a função trigonométrica pode ser denotada. Mas, no exemplo examinado, é menos racional, uma vez que as frações aparecerão. Se desejar, você pode tentar resolver este exemplo no segundo caminho, as respostas devem ser coincididas.
Exemplo 8.
Encontre uma integral indefinida
Este é um exemplo para uma solução independente. Antes de decidir, pense sobre isso é mais lucrativo neste caso para designar, expoente ou função trigonométrica? Solução completa e resposta no final da lição.
E, claro, não se esqueça que a maioria das respostas desta lição é bastante fácil de verificar a diferenciação!
Exemplos não foram considerados os mais difíceis. Na prática, as integrais são mais frequentemente encontradas, onde há uma constante no indicador exponente e no argumento de uma função trigonométrica, por exemplo:. Pensamento em uma integral semelhante terá que fazer muitos, muitas vezes me confundi. O fato é que, ao resolver a probabilidade da aparência das frações, e é muito simplesmente algo intenso perder. Além disso, a probabilidade de erros em sinais é ótima, observe que no indicador do Expoente há um sinal de menos, e isso faz com dificuldade adicional.
Na fase final, aproximadamente o seguinte é frequentemente obtido:
Mesmo no final da decisão, deve ser extremamente atenta e lidar com competência com frações: 
Integração de frações complexas
Lentamente chegamos ao equador de aula e começamos a considerar integrais de frações. Mais uma vez, nem todos eles são superswit, apenas por uma razão ou outros exemplos foram um pouco "não no tópico" em outros artigos.
Continuamos o tema das raízes
Exemplo 9.
Encontre uma integral indefinida
No denominador, sob a raiz há um quadrado de três estrelas, além da raiz "melhorar" na forma de "IKSA". A integral desse tipo é resolvida usando substituição padrão.
Nós decidimos: 
Substituição aqui é simples: 
Nós olhamos para a vida após a substituição: 
(1) Após a substituição, damos aos termos gerais do denominador sob a raiz.
(2) Nós suportamos da raiz.
(3) numerador e denominador reduzindo. Ao mesmo tempo, sob a raiz, eu reorganizei os componentes em uma ordem confortável. Com um certo experimento, os passos (1), (2) podem ser ignorados executando ações comentadas por via oral.
(4) a integral resultante, como você se lembra da lição Integrando algumas fraçõesdecide método de alocação de um quadrado completo. Selecione um quadrado completo.
(5) Integração Recebemos um máximo de logaritmo "longo".
(6) Realizar uma substituição. Se inicialmente, depois de volta :.
(7) A ação final é destinada ao penteado do resultado: sob a raiz, eles novamente trazem os componentes para o denominador geral e suportam a partir da raiz.
Exemplo 10.
Encontre uma integral indefinida 
Este é um exemplo para uma solução independente. Aqui a constante foi adicionada ao "ICSU" solitário, e a substituição é quase o mesmo: 
A única coisa que você precisa adicionalmente é expressar "x" da substituição: 
Solução completa e resposta no final da lição.
Às vezes, em tal integral sob a raiz, pode haver um Bicker Quadrado, ele não muda a solução para resolver, será ainda mais fácil. Sinta a diferença:
Exemplo 11.
Encontre uma integral indefinida
Exemplo 12.
Encontre uma integral indefinida
Breves decisões e respostas no final da lição. Deve-se notar que o Exemplo 11 é exatamente integral binomial, cuja decisão foi considerada na lição Integrais de funções irracionais.
Integral de um polinômio indecomponível de 2º grau em grau
(polinômio no denominador)
Mais raro, mas, no entanto, reunião em exemplos práticos Tipo de integral.
Exemplo 13.
Encontre uma integral indefinida
Mas volte, por exemplo, com nÚMERO FELIZ. 13 (honestamente, não se encaixou). Esta integral também é da categoria daqueles com os quais você pode ser bastante bastante se você não souber como resolver.
A decisão começa com a transformação artificial: 
Como dividir o numerador para o denominador, acho que tudo é entendido.
A integral resultante é tomada em partes: 
Para a vista integral (- Número Natural) removido recorrente Fórmula de redução de grau:
Onde 
- grau integral inferior.
Eu serei convencido da justiça desta fórmula para a integral profeta.
Neste caso, nós usamos a fórmula: 
Como você pode ver, as respostas coincidem.
Exemplo 14.
Encontre uma integral indefinida
Este é um exemplo para uma solução independente. Na amostra da solução, a fórmula acima mencionada foi duas vezes.
Se sob o grau estiver localizado independente em multiplicadores Quadrado triplo, então a solução se resume a pegos, destacando um quadrado completo, por exemplo:
E se você estiver adicionalmente no numerador, há um polinômio? Nesse caso, o método de coeficientes indefinidos é usado e a função integrada é descrita na quantidade de frações. Mas na minha prática de tal exemplo eu não me encontrei, então eu perdi este caso no artigo Integrais da função racional fracionáriaEu sinto falta e agora. Se tal integral ainda se reúna, veja o livro didático - tudo é simples lá. Eu não considero que o expediente inclua o material (mesmo simples), a probabilidade de encontrar com que ela se esforça para zero.
Integração de funções trigonométricas complexas
O adjetivo "complexo" para a maioria dos exemplos é de muitas maneiras condicionais. Vamos começar com tangentes e kotangenes em alto graus. Do ponto de vista dos métodos de resolver tangente e kotangent, quase a mesma coisa, então vou falar mais sobre tangente, implicando que a recepção demonstrada da solução da integral é justa e para o cotangente também.
Na lição acima, consideramos substituição Trigonométrica Universal. Para resolver um tipo específico de integrais de funções trigonométricas. A falta de uma substituição trigonométrica universal é que, quando é usado, as integrais volumosas com cálculos difíceis ocorrem frequentemente. E em alguns casos de uma substituição trigonométrica universal pode ser evitada!
Considere outro exemplo canônico, a integral da unidade dividida em sinusite:
Exemplo 17.
Encontre uma integral indefinida
Aqui você pode usar uma substituição trigonométrica universal e obter uma resposta, mas há um caminho mais racional. Eu darei uma solução completa com comentários para cada etapa:
(1) Use a fórmula trigonométrica do senoidal do ângulo duplo.
(2) Realizamos uma transformação artificial: no denominador que dividimos e multiplicamos.
(3) De acordo com a fórmula conhecida no denominador, voltamos a fração na tangente.
(4) Varre a função sob o sinal do diferencial.
(5) Tome a parte integrante.
Casal exemplos simples Para soluções auto:
Exemplo 18.
Encontre uma integral indefinida
Nota: A primeira primeira ação deve ser usada pela fórmula 
E cuidadosamente realizado semelhante ao exemplo anterior de ação.
Exemplo 19.
Encontre uma integral indefinida
Bem, este é um exemplo completamente simples.
Soluções completas e respostas no final da lição.
Eu acho que agora ninguém tem problemas com integrais: 
etc.
Qual é a ideia do método? A ideia é que, com a ajuda de transformações, fórmulas trigonométricas para organizar na integração e apenas tangentes e uma derivada tangente. Isto é, é sobre substituir: 
. Nos exemplos 17-19, aplicamos essa substituição, mas as integrais eram tão simples que custou um efeito equivalente - para resumir a função sob o sinal do diferencial.
Argumentos semelhantes, como já estipulei, você pode gastar por cotangente.
Há um pré-requisito formal para o uso da substituição acima:
A soma dos graus de cosseno e sinus é um número negativo inteiro, por exemplo:
para o integral - um número negativo inteiro.
! Observação : Se a função Integrand contiver apenas um seio ou apenas cosseno, a integral é tomada em um grau ímpar negativo (os casos mais simples dos Exemplos nº 11, 18).
Considere um par de tarefas mais informativas para esta regra:
Exemplo 20.
Encontre uma integral indefinida
A soma dos graus de sinus e cosseno: 2 - 6 \u003d -4 é um número negativo inteiro, o que significa que a integral pode ser reduzida às tangentes e sua derivada: 
(1) Nós transformamos o denominador.
(2) De acordo com a fórmula famosa, chegamos.
(3) Nós transformamos o denominador.
(4) Nós usamos a fórmula 
.
(5) Entregue a função sob o sinal do diferencial.
(6) Nós substituímos. Os alunos mais experientes não podem ser substituídos, mas ainda é melhor substituir a tangente por uma letra - menos risco é confuso.
Exemplo 21.
Encontre uma integral indefinida
Este é um exemplo para uma solução independente.
Segure, as rodadas de campeão começam \u003d)
Muitas vezes na função Integrand é "Solyanka":
Exemplo 22.
Encontre uma integral indefinida 
Nesta parte, a tangente é inicialmente presente, que imediatamente persegue no pensamento já familiar:
Transformação artificial no início e permanecendo os passos restantes sem comentário, já que tudo foi mencionado acima.
Um par de exemplos criativos para uma solução independente:
Exemplo 23.
Encontre uma integral indefinida 
Exemplo 24.
Encontre uma integral indefinida 
Sim, nele, é claro, é possível abaixar o grau de seio, cosseno, usar uma substituição trigonométrica universal, mas a decisão será muito mais eficiente e mais curta se for levada a cabo através das tangentes. Solução completa e respostas no final da lição
Função f (x), diferenciável nesta lacuna, é chamado perfeito para função F (x), ou pela integral de f (x), se para qualquer X ∈X, a igualdade é verdadeira:
F "(x) \u003d f (x). (8.1)
Encontrar todos os primários para este recurso é chamado integração. Função Integral incertaf (x) nesta lacuna é chamado de conjunto de todas as funções primitivas para a função f (x); Designação -
Se f (x) é algum tipo de função funcional f (x), então ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)
onde há uma constante arbitrária.
Integrais de mesa
Diretamente da definição, obtemos as propriedades básicas de uma integral incerta e uma lista de integrais tabulares:
1) d∫f (x) dx \u003d f (x)
2) ∫df (x) \u003d f (x) + c
3) ∫af (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Lista de integrais tabulares
1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + c; (m ≠ -1)
3.∫a x dx \u003d um x / ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)
4.∫E x dx \u003d e x + c
5.∫SIN X DX \u003d COSX + C
6.∫cos x dx \u003d - pecado x + c
7. \u003d ARCTG X + C
8. \u003d Arcsin X + C
10. \u003d - CTG X + C
Substituindo a variável
Para a integração de muitas funções, o método de substituição de uma variável ou substituiçõespermitindo trazer integralmente a forma tabular.
Se a função f (z) for contínua a [α, β], a função z \u003d g (x) tem um derivado contínuo e α ≤ g (x) ≤ β, então
∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)
além disso, após a integração, a substituição z \u003d g (x) deve ser feita na parte direita.
Para provar, basta escrever a integral da fonte na forma:
∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).
Por exemplo:
Método de integração em partes
Deixe u \u003d f (x) e v \u003d g (x) ser funções contínuas. Então, pelo trabalho,
d (UV)) \u003d UDV + VDU ou UDV \u003d D (UV) - VDU.
Para a expressão d (UV), o primeiro, obviamente, será UV, então a fórmula é:
∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)
Esta fórmula expressa a regra integração em partes. Resulta na integração da expressão UDV \u003d UV "DX para integrar a expressão VDU \u200b\u200b\u003d VU" DX.
Deixe, por exemplo, você precisa encontrar ∫xcosx dx. Coloque u \u003d x, dv \u003d cosxdx, para que du \u003d dx, v \u003d sinx. Então
∫xcosxdx \u003d ∫x d (pecado x) \u003d x pecado x - ∫sin x dx \u003d x pecado x + cosx + c.
A regra de integração em partes tem um escopo mais limitado do que a substituição da variável. Mas existem classes inteiras de integrais, por exemplo,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e machado e outros que são calculados usando a integração em partes.
Certa integral
O conceito de uma integral específica é aprimorado da seguinte forma. Deixe a função F (x) definir no segmento. Nós quebramos o segmento [a, b] em n. peças pontos a \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ X I \u003d X I - X I-1. A soma da forma f (ξ i) δ x eu é chamado soma integrale seu limite em λ \u003d maxx i → 0, se existir e é finito, chamado Certa integralfunções f (x) de uMA. antes b. E indicado:
F (ξ i) Δx I (8.5).
Função f (x) neste caso é chamado integralizado no corte, números A e B são chamados Limite integral inferior e superior.
Para uma integral específica, as seguintes propriedades são válidas:
4), (k \u003d const, k∈ cr);
5)
6)
7) F (ξ) (B - A) (∈∈).
A última propriedade é chamada Mais do significado médio.
Deixe f (x) ser contínuo em. Então há uma integral indefinida neste segmento
∫f (x) dx \u003d f (x) + c
e acontece fórmula Newton Labitsa., ligando uma integral específica com incerta:
F (b) - f (a). (8.6)
Interpretação geométrica: uma certa integral é uma área de trapézio curvilíneo, limitada de cima da curva y \u003d f (x), reta x \u003d a e x \u003d b e o segmento do eixo BOI..
Integrais inválidas
Integrais com limites infinitos e integrais de funções descontínuas (ilimitadas) são chamadas incompatível. Integrais incompatíveis de eu gentil - Estas são integrais em uma lacuna infinita definida da seguinte forma:
(8.7)
Se este limite existir e é finito, então chamado convergente integral incompleta de f (x) No intervalo [a, + ∞), e a função f (x) é chamada integrado em um intervalo infinito[A, + ∞). Caso contrário, sobre a integral diz que ele não existe ou diverte.
Da mesma forma, integrais incompreensíveis nos intervalos (-∞, b] e (-∞, + ∞) são determinados:
Nós definimos o conceito de integral da função ilimitada. Se f (x) é contínuo para todos os valores x. Corte, exceto pelo ponto C, em que f (x) tem uma lacuna sem fim, então gênero integral incompatível de f (x) Na faixa de A a B O valor é chamado:
se esses limites existirem e são finitos. Designação:
Exemplos de cálculo de integrais
Exemplo 3.30. Calcular ∫dx / (x + 2).
Decisão. Denotação por t \u003d x + 2, depois dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + C.
Exemplo 3.31.. Encontrar ∫ tgxdx.
Decisão.∫ TGXDX \u003d ∫SINX / COSXDX \u003d - ∫DCOSX / COSX. Deixe t \u003d cosx, depois ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -ln | cosx | + C.
Exemplo3.32 . Encontrar ∫dx / sinxDecisão.
Exemplo3.33. Encontrar .
Decisão. = .
Exemplo3.34 . Encontre ∫arctgxdx.
Decisão. Nós integramos em partes. Denotar u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Então du \u003d DX / (x 2 +1), v \u003d x, de onde ∫arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; como
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫D (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.
Exemplo3.35 . Calcular ∫lnxdx.
Decisão. Usando a fórmula de integração em partes, recebemos:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Então ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + C.
Exemplo3.36 . Calcular ∫e x sinxdx.
Decisão. Denotar u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, então du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - COSX → ∫ E X SINXDX \u003d - E X COSX + ∫ E X COSXDX. A integral ∫E X COSXDX também integra-se em partes: U \u003d E X, DV \u003d COSXDX, DU \u003d E X DX, V \u003d SINX. Nós temos:
∫ E X COSXDX \u003d E X SINX - ∫ E X SINXDX. Recebido ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, de onde 2∫E x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s
Exemplo 3.37. Calcular j \u003d ∫co (lnx) dx / x.
Decisão.Desde dx / x \u003d dlnx, então j \u003d ∫co (lnx) d (lnx). Substituindo a LNX através de T, chegamos à tabela integral j \u003d ∫ Costdt \u003d Sint + C \u003d SIN (LNX) + C.
Exemplo 3.38 . Calcular j \u003d.
Decisão. Considerando que \u003d D (LNX), nós produzimos a substituição do LNX \u003d T. Então j \u003d. 
.
Exemplo 3.39
. Calcular a integral j \u003d 
.
Decisão.Nós temos: 
. Portanto \u003d.
=
\u003d. É inserido tão sqrt (TAN (X / 2)).
E se você clicar nas etapas Mostrar no canto superior direito, consiga uma solução detalhada.
