Integrais complexos

Este artigo completa o tópico de integrais indefinidas e inclui integrais que considero bastante difíceis. A aula foi criada a partir dos repetidos pedidos dos visitantes que manifestaram o desejo de que exemplos mais difíceis também fossem analisados ​​no site.

Pressupõe-se que o leitor deste texto esteja bem preparado e saiba aplicar as técnicas básicas de integração. Idiotas e pessoas que não estão muito confiantes sobre integrais devem consultar a primeira lição - Integral indefinida. Exemplos de soluções, onde você pode dominar o assunto praticamente do zero. Os alunos mais experientes podem se familiarizar com as técnicas e métodos de integração que ainda não foram encontrados em meus artigos.

Quais integrais serão consideradas?

Primeiro, vamos considerar integrais com raízes, para a solução das quais usamos sucessivamente substituição de variável e Integração por partes... Ou seja, em um exemplo, duas técnicas são combinadas ao mesmo tempo. E ainda mais.

Então, vamos nos familiarizar com um interessante e original o método de reduzir o integral a si mesmo... Não são poucos os integrais resolvidos dessa maneira.

O terceiro número do programa irá para integrais de frações complexas, que ultrapassaram a bilheteria em artigos anteriores.

Quarto, integrais adicionais de funções trigonométricas serão analisadas. Em particular, existem métodos que evitam a substituição trigonométrica universal demorada.

(2) No integrando, dividimos o numerador pelo denominador termo por termo.

(3) Usamos a propriedade de linearidade da integral indefinida. Na última integral, imediatamente trazemos a função sob o signo diferencial.

(4) Pegue as integrais restantes. Observe que os parênteses podem ser usados ​​no logaritmo, não no módulo, desde então.

(5) Efetuamos a substituição reversa, expressando a partir da substituição direta "te":

Os alunos masoquistas podem diferenciar a resposta e obter o integrando original como eu acabei de fazer. Não, não, eu fiz a verificação no sentido correto =)

Como você pode ver, no decorrer da solução, ainda mais do que dois métodos de solução tiveram que ser usados, portanto, para lidar com tais integrais, são necessárias habilidades de integração confiáveis ​​e não a menor experiência.

Na prática, é claro, a raiz quadrada é mais comum, aqui estão três exemplos de uma solução independente:

Exemplo 2

Achar integral indefinida

Exemplo 3

Encontre a integral indefinida

Exemplo 4

Encontre a integral indefinida

Esses exemplos são do mesmo tipo, então a solução completa no final do artigo será apenas para o Exemplo 2, nos Exemplos 3-4 - uma resposta. Qual substituição usar no início das soluções, eu acho, é óbvia. Por que peguei exemplos do mesmo tipo? Freqüentemente, eles se encontram em seu papel. Mais frequentemente, talvez, apenas algo como .

Mas nem sempre, quando a raiz de uma função linear é encontrada sob o arco-tangente, seno, cosseno, expoente e outras funções, vários métodos devem ser aplicados ao mesmo tempo. Em vários casos, é possível "sair facilmente", ou seja, imediatamente após a substituição, obtém-se uma integral simples, que é tomada elementarmente. A mais fácil das tarefas propostas acima é o Exemplo 4, no qual, após a substituição, uma integral relativamente simples é obtida.

Reduzindo a integral a si mesma

Um método engenhoso e bonito. Vamos dar uma olhada nos clássicos do gênero imediatamente:

Exemplo 5

Encontre a integral indefinida

Existe um binômio quadrado embaixo da raiz e, ao tentar integrar este exemplo, a chaleira pode sofrer por horas. Tal integral é tomada peça por peça e reduzida a si mesma. Em princípio, não é difícil. Se você sabe como.

Vamos denotar a integral em consideração por uma letra latina e começar a solução:

Integramos peça por peça:

(1) Prepare uma função integrando para divisão de termos.

(2) Dividimos o integrando por termo. Talvez nem todos entendam, vou escrever com mais detalhes:

(3) Usamos a propriedade de linearidade da integral indefinida.

(4) Pegue a última integral (logaritmo "longo").

Agora olhamos para o início da solução:

E no final:

O que aconteceu? Como resultado de nossas manipulações, a integral se reduziu a si mesma!

Vamos igualar o início e o fim:

Mova para a esquerda com uma mudança de sinal:

E carregamos o diabo para o lado direito. Como resultado:

A constante, estritamente falando, deveria ter sido adicionada antes, mas adicionada no final. Eu recomendo fortemente que você leia o que é estrito aqui:

Observação: Mais estritamente, o estágio final da solução é assim:

Assim:

A constante pode ser redesignada como. Por que você pode redesignar? Porque ainda aceita algum valores, e neste sentido não há diferença entre constantes e.
Como resultado:

Um truque de redesignação constante semelhante é amplamente usado em equações diferenciais... E lá serei rigoroso. E aqui essa liberdade é permitida por mim apenas para não confundi-lo com coisas desnecessárias e para focar no próprio método de integração.

Exemplo 6

Encontre a integral indefinida

Outra integral típica para uma solução independente. Solução completa e resposta no final do tutorial. A diferença com a resposta do exemplo anterior será!

Se sob raiz quadrada um trinômio quadrado é encontrado, então a solução em qualquer caso é reduzida a dois exemplos analisados.

Por exemplo, considere o integral ... Tudo que você precisa fazer é antecipar selecione um quadrado completo:
.
Além disso, é realizada uma substituição linear, que é dispensada "sem quaisquer consequências":
, resultando em uma integral. Algo familiar, certo?

Ou um exemplo, com um binômio quadrado:
Selecione um quadrado completo:
E, após uma substituição linear, obtemos uma integral, que também é resolvida de acordo com o algoritmo já considerado.

Considere mais dois exemplos típicos para receber a redução do integral para si:
- integral do expoente multiplicado pelo seno;
- a integral do expoente multiplicada pelo cosseno.

Nos integrais listados por partes, teremos que integrar já duas vezes:

Exemplo 7

Encontre a integral indefinida

O integrando é o expoente multiplicado pelo seno.

Nós integramos por partes duas vezes e reduzimos o integral a si mesmo:

Como resultado da dupla integração por partes, o integral se reduziu a si mesmo. Vamos igualar o início e o fim da solução:

Mova para a esquerda com uma mudança de sinal e expresse nossa integral:

Preparar. Ao longo do caminho, é aconselhável pentear o lado direito, ou seja, coloque o expoente fora dos colchetes e, entre os colchetes, organize o seno e o cosseno em uma ordem "boa".

Agora vamos voltar ao início do exemplo, ou melhor, à integração por partes:

Pois designamos o expositor. Surge a questão: exatamente o expoente deve sempre ser denotado por? Não é necessário. Na verdade, na integral considerada fundamentalmente não importa O que denotar, era possível seguir o outro caminho:

Por que isso é possível? Como o expoente se transforma em si mesmo (tanto na diferenciação quanto na integração), o seno e o cosseno se transformam mutuamente (novamente, tanto na diferenciação quanto na integração).

Ou seja, você também pode designar uma função trigonométrica. Mas, no exemplo considerado, isso é menos racional, pois as frações aparecerão. Se desejar, você pode tentar resolver este exemplo da segunda maneira, as respostas devem ser as mesmas.

Exemplo 8

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". Antes de decidir, pense sobre o que é mais lucrativo, neste caso, designar para expoente ou função trigonométrica? Solução completa e resposta no final do tutorial.

E, claro, lembre-se de que a maioria das respostas nesta lição são fáceis de diferenciar!

Os exemplos não foram considerados os mais difíceis. Na prática, os integrais são mais comuns, onde a constante está tanto no expoente quanto no argumento da função trigonométrica, por exemplo :. Muitas pessoas terão que se perder em tal integral, e eu mesmo frequentemente fico confuso. O fato é que existe uma grande probabilidade do aparecimento de frações na solução, e é muito fácil perder algo por desatenção. Além disso, há uma alta probabilidade de erro nos sinais, observe que o expoente tem um sinal de menos, e isso introduz dificuldade adicional.

No estágio final, geralmente acontece algo como o seguinte:

Mesmo no final da solução, você deve ser extremamente cuidadoso e lidar competentemente com as frações:

Integração de frações compostas

Aos poucos, estamos nos aproximando do equador da lição e começamos a considerar as integrais das frações. Novamente, nem todos eles são supercomplicados, apenas por uma razão ou outra, os exemplos foram um pouco "fora do tópico" em outros artigos.

Continuando o tema das raízes

Exemplo 9

Encontre a integral indefinida

No denominador abaixo da raiz está o trinômio quadrado mais fora da raiz "apêndice" na forma de "x". Uma integral desse tipo é resolvida usando uma substituição padrão.

Nós decidimos:

A substituição é simples:

Nós olhamos para a vida após a substituição:

(1) Após a substituição, trazemos os termos sob a raiz a um denominador comum.
(2) Tiramos da raiz.
(3) Reduza o numerador e o denominador em. Ao mesmo tempo, na raiz, reorganizei os termos em uma ordem conveniente. Com alguma experiência, as etapas (1), (2) podem ser ignoradas executando as ações comentadas verbalmente.
(4) A integral resultante, como você se lembra da lição Integração de algumas frações, resolvido método de seleção de quadrado completo... Selecione um quadrado completo.
(5) Por integração, obtemos um logaritmo "longo" comum.
(6) Efetuamos a substituição reversa. Se inicialmente, então de volta :.
(7) A ação final visa o penteado do resultado: sob a raiz, novamente trazemos os termos a um denominador comum e os retiramos de debaixo da raiz.

Exemplo 10

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". Aqui, uma constante foi adicionada ao X solitário e a substituição é quase a mesma:

A única coisa que precisa ser feita adicionalmente é expressar o "x" da substituição:

Solução completa e resposta no final do tutorial.

Às vezes, em tal integral, pode haver um binômio quadrado sob a raiz, isso não muda a solução, será ainda mais simples. Sinta a diferença:

Exemplo 11

Encontre a integral indefinida

Exemplo 12

Encontre a integral indefinida

Respostas e soluções breves no final da lição. Deve-se notar que o Exemplo 11 é exatamente binomial integral, cujo método de solução foi considerado na lição Integrais de funções irracionais.

Integral de um polinômio indecomponível de grau 2 em grau

(polinômio no denominador)

Mais raro, mas mesmo assim encontrado em exemplos práticos forma integral.

Exemplo 13

Encontre a integral indefinida

Mas voltando ao exemplo com número da sorte 13 (honestamente, não achei certo). Essa integral também pertence à categoria daquelas com as quais você pode se atormentar se não souber como resolvê-las.

A solução começa com uma transformação artificial:

Acho que todo mundo já sabe como dividir o numerador pelo denominador termo a termo.

A integral resultante é obtida peça por peça:

Para uma integral da forma (é um número natural), derivamos recorrente Fórmula de redução de grau:
, Onde - integral de um grau inferior.

Vamos verificar a validade desta fórmula para a integral resolvida.
Neste caso: ,, usamos a fórmula:

Como você pode ver, as respostas são as mesmas.

Exemplo 14

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". A solução de amostra usa a fórmula acima duas vezes em sucessão.

Se sob o grau há indecomponível trinômio quadrado, então a solução é reduzida a um binômio selecionando um quadrado completo, por exemplo:

E se houver um polinômio adicional no numerador? Nesse caso, o método dos coeficientes indefinidos é usado e o integrando é expandido na soma das frações. Mas na minha prática de tal exemplo nunca conheceu então eu perdi este caso no artigo Integrais de uma função racional fracionária, Vou pular agora. Se tal integral ainda ocorrer, consulte o livro - tudo é simples lá. Não considero apropriado incluir materiais (mesmo os mais simples), cuja probabilidade de encontro tende a zero.

Integração de funções trigonométricas complexas

O adjetivo “difícil” para a maioria dos exemplos é, novamente, amplamente condicional. Vamos começar com tangentes e cotangentes em alto grau. Do ponto de vista dos métodos usados ​​para resolver a tangente e a cotangente, eles são quase a mesma coisa, então falarei mais sobre a tangente, o que implica que o método demonstrado para resolver a integral também é válido para a cotangente. .

Na lição acima, vimos substituição trigonométrica universal para resolver um certo tipo de integrais de funções trigonométricas. A desvantagem da substituição trigonométrica universal é que, ao usá-la, muitas vezes surgem integrais complicadas com cálculos difíceis. E em alguns casos, a substituição trigonométrica universal pode ser evitada!

Considere outro exemplo canônico, a integral de unidade dividida por seno:

Exemplo 17

Encontre a integral indefinida

Aqui você pode usar a substituição trigonométrica genérica e obter a resposta, mas há uma maneira mais racional. Fornecerei uma solução completa com comentários para cada etapa:

(1) Usamos a fórmula trigonométrica seno de ângulo duplo.
(2) Realizamos uma transformação artificial: No denominador, divida e multiplique por.
(3) De acordo com a fórmula bem conhecida do denominador, transformamos a fração em tangente.
(4) Trazemos a função sob o signo do diferencial.
(5) Faça a integral.

Par exemplos simples para uma solução independente:

Exemplo 18

Encontre a integral indefinida

Nota: O primeiro passo é usar a fórmula de elenco e execute cuidadosamente as ações semelhantes ao exemplo anterior.

Exemplo 19

Encontre a integral indefinida

Bem, este é um exemplo muito simples.

Soluções e respostas completas no final da lição.

Acho que agora ninguém terá problemas com integrais:
etc.

Qual é a ideia por trás do método? A ideia é organizar apenas as tangentes e a derivada da tangente no integrando por meio de transformações, fórmulas trigonométricas. Ou seja, estamos falando sobre a substituição: ... Nos Exemplos 17-19, nós realmente aplicamos essa substituição, mas as integrais eram tão simples que o assunto foi tratado com uma ação equivalente - colocando a função sob o sinal diferencial.

Raciocínio semelhante, como já mencionei, pode ser realizado para a cotangente.

Há também um pré-requisito formal para aplicar a substituição acima:

A soma das potências do cosseno e do seno é um número PAR inteiro negativo, por exemplo:

para um integral - um número PAR inteiro negativo.

! Observação : se o integrando contém APENAS um seno ou APENAS um cosseno, então a integral também é considerada como um grau ímpar negativo (os casos mais simples estão nos Exemplos nº 17, 18).

Considere algumas tarefas mais significativas para esta regra:

Exemplo 20

Encontre a integral indefinida

A soma das potências do seno e cosseno: 2 - 6 = –4 é um número PAR inteiro negativo, o que significa que a integral pode ser reduzida a tangentes e sua derivada:

(1) Transforme o denominador.
(2) De acordo com a fórmula bem conhecida, obtemos.
(3) Transforme o denominador.
(4) Usamos a fórmula .
(5) Trazemos a função sob o signo do diferencial.
(6) Efetuamos uma substituição. Alunos mais experientes podem não realizar a substituição, mas ainda é melhor substituir a tangente por uma letra - há menos risco de confusão.

Exemplo 21

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo".

Espere, as rodadas dos campeões começam =)

Freqüentemente, no integrando, há uma "confusão":

Exemplo 22

Encontre a integral indefinida

Esta integral contém inicialmente uma tangente, que imediatamente desperta um pensamento já familiar:

A transformação artificial logo no início e o resto das etapas vou deixar sem comentários, uma vez que tudo já foi discutido acima.

Alguns exemplos criativos para auto-solução:

Exemplo 23

Encontre a integral indefinida

Exemplo 24

Encontre a integral indefinida

Sim, nelas, claro, você pode baixar os graus do seno, cosseno, usar a substituição trigonométrica universal, mas a solução será muito mais eficiente e curta se for feita pelas tangentes. Solução completa e respostas no final da lição

Principais Integrais que Todo Aluno Deve Saber

Os integrais listados são a base, a base dos fundamentos. Essas fórmulas, é claro, devem ser lembradas. Ao calcular integrais mais complexos, você terá que usá-los o tempo todo.

Preste atenção especial às fórmulas (5), (7), (9), (12), (13), (17) e (19). Não se esqueça de adicionar uma constante arbitrária C à sua resposta ao integrar!

Integral de uma constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integração de função de energia

Na verdade, era possível restringir-se apenas às fórmulas (5) e (7), mas o restante das integrais desse grupo ocorrem com tanta frequência que vale a pena prestar atenção nelas.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Integrais de função exponencial e funções hiperbólicas

Claro, a fórmula (8) (talvez a mais conveniente para memorização) pode ser considerada como caso especial fórmulas (9). As fórmulas (10) e (11) para integrais de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são facilmente derivadas da fórmula (8), mas é melhor simplesmente lembrar essas relações.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrais básicos de funções trigonométricas

Um erro que os alunos muitas vezes cometem: eles confundem os sinais nas fórmulas (12) e (13). Lembrando que a derivada do seno é igual ao cosseno, muitos por algum motivo acreditam que a integral da função senx é igual a cosx. Isso não é verdade! A integral do seno é igual a "menos o cosseno", mas a integral do cosx é igual a "apenas o seno":

∫ sen x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sen 2 x d x = - c t g x + C (15)

Redução de integrais para funções trigonométricas inversas

A fórmula (16), que leva ao arco tangente, é naturalmente um caso especial da fórmula (17) com a = 1. Da mesma forma, (18) é um caso especial de (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arco seno x a + C = - arco x a + C (a> 0) (19)

Integrais mais complexos

Também é aconselhável lembrar essas fórmulas. Eles também são usados ​​com bastante frequência e sua saída é bastante tediosa.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0) (24)

Regras gerais de integração

1) A integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais correspondentes: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) A integral da diferença de duas funções é igual à diferença das integrais correspondentes: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) A constante pode ser tomada fora do sinal integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

É fácil ver que a propriedade (26) é simplesmente uma combinação das propriedades (25) e (27).

4) Integral de uma função composta se a função interna for linear: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aqui F (x) é a antiderivada para a função f (x). Observação: esta fórmula só é adequada para o caso em que a função interna é Ax + B.

Importante: não existe uma fórmula universal para a integral do produto de duas funções, bem como para a integral de uma fração:

∫ f (x) g (x) d x =? ∫ f (x) g (x) d x =? (trinta)

Isso não significa, é claro, que uma fração ou um produto não possa ser integrado. Só que toda vez que você vê uma integral como (30), você tem que inventar uma maneira de "lidar" com ela. Em alguns casos, a integração por partes irá ajudá-lo, em algum lugar você terá que alterar uma variável, e às vezes até fórmulas "escolares"álgebra ou trigonometria.

Um exemplo simples para calcular uma integral indefinida

Exemplo 1. Encontre o integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

Usamos as fórmulas (25) e (26) (a integral da soma ou diferença das funções é igual à soma ou diferença das integrais correspondentes. Obtemos: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx - ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Lembre-se de que a constante pode ser obtida fora do sinal de integral (fórmula (27)). A expressão é convertida para a forma

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sen x d x - 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Agora vamos apenas usar a tabela de integrais básicos. Precisamos aplicar as fórmulas (3), (12), (8) e (1). Vamos integrar a função de potência, seno, expoente e constante 1. Não vamos esquecer de adicionar uma constante arbitrária C no final:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Após as transformações elementares, obtemos a resposta final:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Teste-se com diferenciação: pegue derivada da função resultante e certifique-se de que é igual ao integrando original.

Tabela dinâmica de integrais

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | + C

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sen x d x = - cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sen 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arco seno x a + C = - arco x a + C (a> 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C

∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0)

Baixe a tabela de integrais (parte II) deste link

Se você estiver estudando em uma universidade, se tiver dificuldades com matemática superior (análise matemática, álgebra linear, teoria da probabilidade, estatística), se precisar dos serviços de um professor qualificado, vá para a página tutor em matemática superior... Resolveremos seus problemas juntos!

Você também pode estar interessado em