Uma função irracional de uma variável é uma função que é formada de uma variável e constantes arbitrárias usando um número finito de operações de adição, subtração, multiplicação (aumento para uma potência inteira), divisão e extração de raízes. Uma função irracional difere de uma função racional porque a função irracional contém operações para extrair raízes.

Existem três tipos principais funções irracionais, cujas integrais indefinidas são reduzidas a integrais de funções racionais. Esses são integrais contendo raízes de graus inteiros arbitrários de uma função linear-fracionária (as raízes podem ser de diferentes graus, mas da mesma função linear-fracionária); integrais de binômio diferencial e integrais com raiz quadrada de um trinômio quadrado.

Nota importante. As raízes são ambíguas!

Ao calcular integrais contendo raízes, expressões da forma são freqüentemente encontradas, onde está alguma função da variável de integração. Deve-se ter isso em mente. Ou seja, para t> 0, | t | = t... Em t< 0, | t | = - t. Portanto, ao calcular tais integrais, é necessário considerar separadamente os casos t> 0 e T< 0 ... Isso pode ser feito escrevendo sinais ou quando necessário. Supondo que o sinal superior se refere ao caso t> 0 , e o inferior - para o caso t< 0 ... Após uma transformação posterior, esses sinais, via de regra, se anulam.

A segunda abordagem também é possível, em que o integrando e o resultado da integração podem ser considerados como funções complexas em variáveis ​​complexas. Então você não pode seguir os sinais em expressões radicais. Essa abordagem é aplicável se o integrando for analítico, ou seja, uma função diferenciável de uma variável complexa. Nesse caso, tanto o integrando quanto a integral dele são funções multivaloradas. Portanto, após a integração, ao substituir valores numéricos, é necessário selecionar um ramo de valor único (superfície de Riemann) do integrando, e para ele escolher o ramo correspondente do resultado da integração.

Irracionalidade Linear Fracionária

Estes são integrais com raízes da mesma função fracionária linear:
,
onde R é uma função racional, são números racionais, m 1, n 1, ..., m s, n s são inteiros, α, β, γ, δ são números reais.
Essas integrais são reduzidas a uma integral de uma função racional por substituição:
, onde n é o denominador comum dos números r 1, ..., r s.

As raízes podem não ser necessariamente de uma função fracionária linear, mas também de uma linear (γ = 0, δ = 1), ou na variável de integração x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Aqui estão alguns exemplos de tais integrais:
, .

Integrais de binômios diferenciais

Integrais de binômios diferenciais são:
,
onde m, n, p são números racionais, a, b são números reais.
Tais integrais reduzem-se a integrais de funções racionais em três casos.

1) Se p for um número inteiro. Substituição x = t N, onde N é o denominador comum das frações m e n.
2) Se - inteiro. Substituição a x n + b = t M, onde M é o denominador de p.
3) Se - inteiro. Substituição a + b x - n = t M, onde M é o denominador de p.

Em outros casos, tais integrais não são expressos em termos de funções elementares.

Às vezes, tais integrais podem ser simplificados usando fórmulas de redução:
;
.

Integrais contendo a raiz quadrada de um trinômio quadrado

Essas integrais são da forma:
,
onde R é uma função racional. Existem vários métodos de solução para cada integral.
1) Com a ajuda de transformações, leve a integrais mais simples.
2) Aplique substituições trigonométricas ou hiperbólicas.
3) Aplique substituições de Euler.

Vamos examinar mais de perto esses métodos.

1) Transformação do integrando

Aplicando a fórmula e realizando transformações algébricas, trazemos o integrando à forma:
,
onde φ (x), ω (x) são funções racionais.

Tipo I

Integral do formulário:
,
onde P n (x) é um polinômio de grau n.

Tais integrais são encontrados pelo método de coeficientes indefinidos usando a identidade:

.
Diferenciando esta equação e igualando os lados esquerdo e direito, encontramos os coeficientes A i.

Tipo II

Integral do formulário:
,
onde P m (x) é um polinômio de grau m.

Substituição t = (x - α) -1 esta integral é reduzida ao tipo anterior. Se m ≥ n, então toda a parte da fração deve ser selecionada.

Tipo III

Aqui fazemos a substituição:
.
Depois disso, a integral assumirá a forma:
.
Além disso, as constantes α, β devem ser escolhidas de modo que os coeficientes em t no denominador desapareçam:
B = 0, B 1 = 0.
Em seguida, a integral se decompõe na soma das integrais de dois tipos:
,
,
que são integrados por substituições:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Substituições trigonométricas e hiperbólicas

Para integrais da forma, um > 0 ,
temos três substituições principais:
;
;
;

Para integrais, um > 0 ,
temos as seguintes substituições:
;
;
;

E, finalmente, para integrais, um > 0 ,
as substituições são as seguintes:
;
;
;

3) Substituições de Euler

Além disso, integrais podem ser reduzidas a integrais de funções racionais de uma das três substituições de Euler:
, para um> 0;
, para c> 0;
, onde x 1 é a raiz da equação a x 2 + b x + c = 0. Se esta equação tem raízes reais.

Integrais elípticos

Em conclusão, considere as integrais da forma:
,
onde R é uma função racional ,. Essas integrais são chamadas de elípticas. Em geral, eles não são expressos em termos de funções elementares. No entanto, há casos em que existem relações entre os coeficientes A, B, C, D, E em que tais integrais são expressos em termos de funções elementares.

Abaixo está um exemplo relacionado a polinômios de retorno. O cálculo de tais integrais é realizado usando substituições:
.

Exemplo

Calcule o integral:
.

Solução

Fazemos uma substituição.

.
Aqui, por x> 0 (u> 0 ) tomamos o sinal superior ′ + ′. Por x< 0 (você< 0 ) - diminuir ' - '.

.

Responder

Referências:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Coleção de problemas em matemática superior, "Lan", 2003.

Uma função F (x) diferenciável em um determinado intervalo X é chamada antiderivada para função f (x), ou uma integral de f (x), se para qualquer x ∈X a seguinte igualdade for válida:

F "(x) = f (x). (8.1)

Encontrar todas as antiderivadas para uma determinada função é chamado de integração. Integral indefinido de uma função f (x) em um dado intervalo X é o conjunto de todas as antiderivadas para a função f (x); designação -

Se F (x) é algum primitivo para a função f (x), então ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)

onde C é uma constante arbitrária.

Mesa integral

Diretamente da definição, obtemos as propriedades básicas de não integral definida e uma lista de integrais de tabela:

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) ∫df (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Lista de integrais de mesa

1.∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sen x + C

7. = arctan x + C

8. = arco seno x + C

10. = - ctg x + C

Substituição de variável

Para integrar muitas funções, use o método de alteração da variável ou substituições, permitindo reduzir integrais à forma tabular.

Se a função f (z) é contínua em [α, β], a função z = g (x) tem uma derivada contínua e α ≤ g (x) ≤ β, então

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8,3)

além disso, após a integração, a substituição z = g (x) deve ser feita do lado direito.

Para a prova, basta escrever a integral original na forma:

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).

Por exemplo:

Integração por partes

Sejam u = f (x) ev = g (x) funções contínuas. Então, de acordo com o trabalho,

d (uv)) = udv + vdu ou udv = d (uv) - vdu.

Para a expressão d (uv), a antiderivada será obviamente uv, então a seguinte fórmula é válida:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Esta fórmula expressa a regra Integração por partes... Traz a integração da expressão udv = uv "dx para a integração da expressão vdu = vu" dx.

Deixe, por exemplo, é necessário encontrar ∫xcosx dx. Coloque u = x, dv = cosxdx, então du = dx, v = sinx. Então

∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sen x - ∫sin x dx = x sen x + cosx + C.

A regra de integração por partes tem um escopo mais limitado do que a substituição de variáveis. Mas existem classes inteiras de integrais, por exemplo,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax e outros, que são calculados usando integração por partes.

Integral definida

O conceito de integral definida é introduzido como segue. Deixe a função f (x) ser definida no segmento. Dividimos o segmento [a, b] em n partes por pontos a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Uma soma da forma f (ξ i) Δ x i é chamada soma integral, e seu limite como λ = maxΔx i → 0, se ele existe e é finito, é chamado integral definida função f (x) de uma antes da b e é indicado por:

F (ξ i) Δx i (8,5).

A função f (x) neste caso é chamada integrável no segmento, os números aeb são chamados o limite inferior e superior do integral.

As seguintes propriedades são válidas para uma integral definida:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

A última propriedade é chamada teorema do valor médio.

Seja f (x) contínuo. Então, neste segmento, há uma integral indefinida

∫f (x) dx = F (x) + C

e acontece Fórmula de Newton-Leibniz, conectando uma integral definida com uma indefinida:

F (b) - F (a). (8,6)

Interpretação geométrica: a integral definida é a área de um trapézio curvo delimitado de cima pela curva y = f (x), linhas retas x = a e x = be um segmento de eixo Boi.

Integrais impróprios

Integrais com limites infinitos e integrais de funções descontínuas (ilimitadas) são chamados impróprio. Integrais impróprios de primeiro tipo - estes são integrais ao longo de um intervalo infinito, definidos da seguinte forma:

(8.7)

Se esse limite existe e é finito, ele é chamado integral imprópria convergente de f (x) no intervalo [a, + ∞), e a função f (x) é chamada integrável em um intervalo infinito[a, + ∞). Caso contrário, diz-se que a integral é não existe ou diverge.

Integrais impróprios nos intervalos (-∞, b] e (-∞, + ∞) são definidos de forma semelhante:

Vamos definir o conceito de integral de uma função ilimitada. Se f (x) é contínuo para todos os valores x segmento, exceto para o ponto c, no qual f (x) tem uma descontinuidade infinita, então integral imprópria do segundo tipo de f (x) variando de a a b chamou a quantia:

se esses limites existem e são finitos. Designação:

Exemplos de cálculo de integrais

Exemplo 3.30. Calcule ∫dx / (x + 2).

Solução. Denotamos t = x + 2, então dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C.

Exemplo 3.31... Encontre ∫ tgxdx.

Solução.∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Seja t = cosx, então ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | t | + C = -ln | cosx | + C.

Exemplo3.32 ... Encontre ∫dx / sinx

Solução.

Exemplo3.33. Encontrar .

Solução. = .

Exemplo3.34 ... Encontre ∫arctgxdx.

Solução. Integramos por partes. Definimos u = arctgx, dv = dx. Então du = dx / (x 2 +1), v = x, donde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; Como
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.

Exemplo3.35 ... Calcule ∫lnxdx.

Solução. Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos:
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Então ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

Exemplo3.36 ... Avalie ∫e x sinxdx.

Solução. Denotamos u = e x, dv = senxdx, então du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x senxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. A integral ∫e x cosxdx também é integrável por partes: u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Nós temos:
∫ e x cosxdx = e x senx - ∫ e x senxdx. Temos a relação ∫e x senxdx = - e x cosx + e x senx - ∫ e x senxdx, de onde 2 whe x senxdx = - e x cosx + e x senx + С.

Exemplo 3.37. Calcule J = ∫cos (lnx) dx / x.

Solução. Como dx / x = dlnx, então J = ∫cos (lnx) d (lnx). Substituindo lnx por t, chegamos ao integral tabular J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

Exemplo 3.38 ... Calcule J =.

Solução. Considerando que = d (lnx), substituímos lnx = t. Então J = .

Exemplo 3.39 ... Calcule a integral J = .

Solução. Nós temos: ... Portanto =
=
= inserido como este sqrt (tan (x / 2)).

E se você clicar em Mostrar etapas no canto superior direito da janela de resultados, você obterá uma solução detalhada.

Aplicativo

Integrais online ao site para a consolidação do material repassado por alunos e escolares. E treinando suas habilidades práticas. Uma solução completa de integrais online para você em questão de instantes irá ajudá-lo a determinar todas as etapas do processo. Cada vez, assim que você começa a resolver uma integral online, você precisa identificar seu tipo, sem isso você não pode aplique qualquer método, exceto para o tabular integral. Nem toda integral tabular é claramente visível no exemplo dado; às vezes, você precisa transformar a função original para encontrar a antiderivada. Na prática, a solução das integrais se reduz a interpretar o problema de encontrar o original, ou seja, a antiderivada de uma família infinita de funções, mas se os limites de integração são dados, então de acordo com a fórmula de Newton-Leibniz, há apenas uma única função para a qual os cálculos são aplicados. Integrais online - integral indefinida online e integral definida online. A integral de uma função online é a soma de quaisquer números destinados a integrá-los. Portanto, informalmente, a integral online é a área entre o gráfico da função e a abscissa dentro da integração. Exemplos de resolução de problemas com integrais. Vamos calcular uma integral complexa sobre uma variável e relacionar sua resposta à solução posterior do problema. É possível, como dizem, encontrar a integral do integrando na testa. Qualquer integral com alta precisão determina a área limitada pelas linhas da figura. Este é um de seus significados geométricos. Este método torna mais fácil para os alunos. Várias etapas, na verdade, não terão muito impacto na análise vetorial. A função integral online é o conceito básico do cálculo integral. Solução de integrais indefinidos. De acordo com o principal teorema de análise, integração é uma operação inversa à diferenciação, que ajuda a resolver equações diferenciais. Existem várias definições diferentes de uma operação de integração, diferindo em detalhes técnicos. No entanto, são todos compatíveis, ou seja, quaisquer dois métodos de integração, se puderem ser aplicados a uma determinada função, darão o mesmo resultado. O mais simples é a integral de Riemann - uma integral definida ou uma integral indefinida. Informalmente, a integral de uma função de uma variável pode ser inserida como a área sob o gráfico (a figura incluída entre o gráfico da função e o eixo das abcissas). Qualquer subproblema pode justificar que o cálculo da integral será extremamente necessário no início de uma abordagem importante. Não se esqueça disso! Tentando encontrar esta área, podemos considerar figuras, constituídas por um certo número de retângulos verticais, cujas bases juntas formam o segmento de integração e são obtidas pela divisão do segmento no número correspondente de pequenos segmentos. Solução de integrais online. Integral online - integral indefinido online e integral definido online. Solução de integrais online: integral indefinida online e integral definida online. A calculadora resolve os integrais com a descrição das ações em detalhes e de graça! A integral indefinida online para uma função é a coleção de todas as antiderivadas de uma determinada função. Se uma função é definida e contínua em um intervalo, então há uma função antiderivada (ou uma família de antiderivadas) para ela. A integral define apenas uma expressão, as condições para as quais são definidas por você na ocorrência de tal necessidade. É melhor abordar esse assunto com cuidado e sentir satisfação interior com o trabalho realizado. Mas calcular a integral de uma maneira diferente da clássica às vezes leva a resultados inesperados e não podemos nos surpreender com isso. Fico feliz que o fato de ter uma resposta positiva ao que está acontecendo. Lista de integrais definidos e indefinidos de integrais com solução passo a passo detalhada completa. Todos os integrais com uma solução detalhada online. Integral indefinida. Encontrar a integral indefinida online é uma tarefa muito comum na matemática superior e em outros ramos técnicos da ciência. Métodos básicos de integração. Definição de integral, integral definida e indefinida, tabela de integrais, fórmula de Newton-Leibniz. E, novamente, você pode encontrar sua integral usando a tabela de expressões de integral, mas ainda precisa chegar a isso, já que nem tudo é tão simples quanto pode parecer à primeira vista. Pense em edifícios concluídos antes de encontrar erros. Integral definido e métodos para seu cálculo. Integral definido online com limite superior variável. Solução integral online. Qualquer exemplo que ajude a calcular a integral usando fórmulas tabulares será um guia útil de ação para alunos de todos os níveis de habilidade. O passo mais importante para a resposta correta. Integrais online. Integrais indefinidos contendo funções exponenciais e logarítmicas. Solução integral online - você receberá uma solução detalhada para diferentes tipos de integrais: indefinidos, definidos, impróprios. A Calculadora de Integrais Definidos calcula a integral definida online de uma função em um intervalo usando integração numérica. A integral de uma função é um análogo da soma de uma sequência. Falando informalmente, a integral definida é a área da parte do gráfico da função. Solução integral online. A integral online é uma integral indefinida online e uma integral definida online. Freqüentemente, essa integral determina o quanto um corpo é mais pesado do que um objeto da mesma densidade em comparação a ele, e não importa a forma que tenha, porque a superfície não absorve água. Solução de integrais online. Integrais online - integral indefinida online e integral definida online. Todo aluno júnior sabe como encontrar o integral online. Com base no currículo escolar, esta seção da matemática também é estudada, mas não em detalhes, mas apenas os fundamentos de um tópico tão complexo e importante. Na maioria dos casos, os alunos iniciam o estudo das integrais a partir de uma teoria extensa, que é precedida por tópicos também importantes, como a derivada e a passagem ao limite - também são limites. A solução de integrais gradualmente começa com os exemplos mais elementares de funções simples e termina com a aplicação de muitas abordagens e regras propostas no século passado e até muito antes. O cálculo integral é para fins informativos em liceus e escolas, ou seja, em instituições de ensino médio. Nosso site irá sempre ajudá-lo e resolver integrais online se tornará uma rotina para você e, o mais importante, uma tarefa compreensível. Com base neste recurso, você pode facilmente alcançar a excelência nesta seção matemática. Entendendo passo a passo as regras aprendidas, por exemplo, como a integração, em partes ou a aplicação do método Chebyshev, você pode resolver facilmente qualquer teste para o número máximo de pontos. Então como, afinal, podemos calcular a integral usando a conhecida tabela de integrais, mas de forma que a solução seja correta, correta e com o máximo de resposta exata possível? Como aprender isso e é possível para um calouro comum fazê-lo no menor tempo possível? Responderemos a esta pergunta afirmativamente - você pode! Ao mesmo tempo, você não só conseguirá resolver qualquer exemplo, mas também chegar ao nível de um engenheiro de primeira classe. O segredo está mais simples do que nunca - você precisa fazer o máximo esforço e dedicar a quantidade necessária de tempo à preparação. Infelizmente, ninguém ainda encontrou outra maneira! Mas nem tudo é tão turvo quanto parece à primeira vista. Se contactar o nosso site de serviço com esta questão, facilitaremos a sua vida, porque o nosso site consegue calcular integrais online detalhadamente, com uma velocidade altíssima e uma resposta impecavelmente precisa. Em essência, a integral não determina como a proporção de argumentos afeta a estabilidade do sistema como um todo. Se tudo estivesse equilibrado. Junto com como você aprenderá o básico deste tópico matemático, o serviço pode encontrar a integral de qualquer integrando, se esta integral puder ser resolvida em funções elementares. Caso contrário, para integrais não tomados em funções elementares, na prática não é necessário encontrar uma resposta de forma analítica ou, em outras palavras, de forma explícita. Todos os cálculos de integrais são reduzidos para determinar a antiderivada de um determinado integrando. Para fazer isso, primeiro calcule a integral indefinida sobre todas as leis da matemática online. então, se necessário, os valores superior e inferior da integral são substituídos. Se não for necessário determinar ou calcular o valor numérico de uma integral indefinida, uma constante é adicionada à função antiderivada resultante, definindo assim uma família de funções antiderivadas. Um lugar especial na ciência e geralmente em qualquer campo da engenharia, incluindo a mecânica de meios contínuos, a integração descreve sistemas mecânicos inteiros, seus movimentos e muito mais. Em muitos casos, a integral compilada determina a lei do movimento de um ponto material. É uma ferramenta muito importante no estudo das ciências aplicadas. Com base nisso, não se pode deixar de falar sobre cálculos em grande escala para determinar as leis da existência e do comportamento dos sistemas mecânicos. A calculadora online para resolver integrais no site é uma ferramenta poderosa para engenheiros profissionais. Nós definitivamente garantimos isso para você, mas podemos calcular sua integral somente depois que você inserir a expressão correta no domínio do integrando. Não tenha medo de cometer um erro, tudo é corrigível neste caso! Normalmente, a solução de integrais é reduzida ao uso de funções de tabela de livros ou enciclopédias bem conhecidos. Como qualquer outra integral indefinida, ela será calculada usando a fórmula padrão sem muitas críticas grosseiras. Com facilidade e naturalidade, os alunos do primeiro ano compreendem o material estudado na hora e, às vezes, não demoram mais do que dois minutos para encontrar a integral para eles. E se um aluno aprendeu a tabela de integrais, então, em geral, ele pode determinar as respostas em sua cabeça. Expandir funções em variáveis ​​com respeito a superfícies significa inicialmente a direção correta do vetor em algum ponto da abscissa. O comportamento imprevisível das linhas de superfície toma integrais definidas como base em uma fonte recíproca de funções matemáticas. A borda esquerda da bola não toca o cilindro em que o círculo está inscrito, quando vista em um plano. A soma de pequenas áreas divididas em centenas de funções contínuas por partes é uma integral online de uma determinada função. O significado mecânico da integral está em muitos problemas aplicados, isto é, a determinação do volume dos corpos e o cálculo da massa corporal. Integrais triplos e duplos estão envolvidos apenas nesses cálculos. Insistimos que a solução online de integrais seja realizada apenas sob a supervisão de professores experientes e através de inúmeras verificações.Muitas vezes somos questionados sobre o progresso dos alunos que não frequentam as aulas, pulam sem motivo, como conseguem encontrar os integrais próprios. Respondemos que os alunos são pessoas livres e podem muito bem ser treinados como alunos externos, preparando-se para uma prova ou exame em um ambiente familiar confortável. Em questão de segundos, nosso serviço ajudará a todos que desejam calcular a integral de qualquer função em relação a uma variável. Verifique o resultado obtido tomando a derivada da função antiderivada. Nesse caso, a constante da solução da integral desaparece. Essa regra é óbvia para todos. Como as operações multidirecionais são justificadas, a integral indefinida é freqüentemente reduzida a dividir a região em pequenas partes. No entanto, alguns alunos e crianças em idade escolar negligenciam esse requisito. Como sempre, os integrais online podem ser resolvidos detalhadamente pelo nosso site de atendimento e não há restrições quanto ao número de solicitações, tudo é gratuito e está disponível para todos. Não existem muitos desses sites que fornecem uma resposta passo a passo em questão de segundos e, o mais importante, com alta precisão e de forma conveniente. No último exemplo, na quinta página do dever de casa, havia um que mostra a necessidade de calcular a integral passo a passo. Mas não se esqueça de como é possível encontrar uma integral usando um serviço pronto, testado e testado em milhares de exemplos resolvidos online. Como tal integral determina o movimento do sistema é clara e claramente evidenciado pela natureza do movimento de um fluido viscoso, que é descrito por este sistema de equações.

Integrais complexos

Este artigo completa o tópico de integrais indefinidas e inclui integrais que considero bastante difíceis. A aula foi criada a partir dos repetidos pedidos dos visitantes que manifestaram o desejo de que exemplos mais difíceis também fossem analisados ​​no site.

Pressupõe-se que o leitor deste texto esteja bem preparado e saiba aplicar as técnicas básicas de integração. Idiotas e pessoas que não estão muito confiantes sobre integrais devem consultar a primeira lição - Integral indefinida. Exemplos de soluções, onde você pode dominar o assunto praticamente do zero. Alunos mais experientes podem se familiarizar com as técnicas e métodos de integração que ainda não foram encontrados em meus artigos.

Quais integrais serão consideradas?

Primeiro, vamos considerar integrais com raízes, para a solução das quais usamos sucessivamente substituição de variável e Integração por partes... Ou seja, em um exemplo, duas técnicas são combinadas ao mesmo tempo. E ainda mais.

Então, vamos nos familiarizar com um interessante e original o método de reduzir o integral para si mesmo... Não são poucos os integrais que são resolvidos dessa maneira.

O terceiro número do programa irá para integrais de frações complexas, que ultrapassaram a bilheteria em artigos anteriores.

Quarto, integrais adicionais de funções trigonométricas serão analisadas. Em particular, existem métodos que evitam a substituição trigonométrica universal demorada.

(2) No integrando, dividimos o numerador pelo denominador termo por termo.

(3) Usamos a propriedade de linearidade da integral indefinida. Na última integral imediatamente trazemos a função sob o signo diferencial.

(4) Pegue as integrais restantes. Observe que os parênteses podem ser usados ​​no logaritmo, não no módulo, desde então.

(5) Efetuamos a substituição reversa, expressando a partir da substituição direta "te":

Os alunos masoquistas podem diferenciar a resposta e obter o integrando original como eu acabei de fazer. Não, não, eu fiz a verificação no sentido correto =)

Como você pode ver, durante a solução, até mais de dois métodos de solução tiveram que ser usados, portanto, para lidar com tais integrais, você precisa de habilidades de integração confiáveis ​​e não a menor experiência.

Na prática, é claro, a raiz quadrada é mais comum, aqui estão três exemplos de uma solução independente:

Exemplo 2

Encontre a integral indefinida

Exemplo 3

Encontre a integral indefinida

Exemplo 4

Encontre a integral indefinida

Esses exemplos são do mesmo tipo, então a solução completa no final do artigo será apenas para o Exemplo 2, nos Exemplos 3-4 - uma resposta. Qual substituição usar no início das soluções, eu acho, é óbvia. Por que peguei exemplos do mesmo tipo? Freqüentemente, eles se encontram em seu papel. Mais frequentemente, talvez, apenas algo como .

Mas nem sempre, quando a raiz de uma função linear é encontrada sob o arco-tangente, seno, cosseno, expoente e outras funções, vários métodos devem ser aplicados ao mesmo tempo. Em vários casos, é possível "sair facilmente", ou seja, imediatamente após a substituição, obtém-se uma integral simples, que é tomada elementarmente. A mais fácil das tarefas propostas acima é o Exemplo 4, no qual, após a substituição, uma integral relativamente simples é obtida.

Reduzindo a integral a si mesma

Um método engenhoso e bonito. Vamos dar uma olhada nos clássicos do gênero imediatamente:

Exemplo 5

Encontre a integral indefinida

Existe um binômio quadrado embaixo da raiz, e ao tentar integrar este exemplo, a chaleira pode sofrer por horas. Tal integral é tomada peça por peça e reduzida a si mesma. Em princípio, não é difícil. Se você sabe como.

Vamos denotar a integral em consideração por uma letra latina e iniciar a solução:

Integramos peça por peça:

(1) Prepare uma função integrando para divisão de termos.

(2) Dividimos o integrando por termo. Talvez nem todos entendam, vou escrever com mais detalhes:

(3) Usamos a propriedade de linearidade da integral indefinida.

(4) Faça a última integral (logaritmo "longo").

Agora, olhamos para o início da solução:

E no final:

O que aconteceu? Como resultado de nossas manipulações, a integral se reduziu a si mesma!

Vamos igualar o início e o fim:

Mova para a esquerda com uma mudança de sinal:

E carregamos o diabo para o lado direito. Como resultado:

A constante, estritamente falando, deveria ter sido adicionada antes, mas adicionada no final. Eu recomendo fortemente que você leia o que é estrito aqui:

Observação: Mais estritamente, o estágio final da solução é assim:

Desse modo:

A constante pode ser redesignada como. Por que você pode redesignar? Porque ainda aceita algum valores, e neste sentido não há diferença entre constantes e.
Como resultado:

Um truque de redesignação constante semelhante é amplamente usado em equações diferenciais... E lá serei rigoroso. E aqui tal liberdade é permitida por mim apenas para não te confundir com coisas desnecessárias e para focar no próprio método de integração.

Exemplo 6

Encontre a integral indefinida

Outra integral típica para uma solução independente. Solução completa e resposta no final do tutorial. A diferença com a resposta do exemplo anterior será!

Se houver um trinômio quadrado sob a raiz quadrada, a solução em qualquer caso é reduzida a dois exemplos analisados.

Por exemplo, considere o integral ... Tudo que você precisa fazer é antecipar selecione um quadrado completo:
.
Além disso, é realizada uma substituição linear, que é dispensada "sem quaisquer consequências":
, resultando em uma integral. Algo familiar, certo?

Ou um exemplo, com um binômio quadrado:
Selecione um quadrado completo:
E, após uma substituição linear, obtemos uma integral, que também é resolvida de acordo com o algoritmo já considerado.

Considere mais dois exemplos típicos de como reduzir uma integral a si mesma:
- integral do expoente multiplicado pelo seno;
É a integral do expoente multiplicada pelo cosseno.

Nos integrais listados por partes, teremos que integrar já duas vezes:

Exemplo 7

Encontre a integral indefinida

O integrando é o expoente vezes o seno.

Nós integramos por partes duas vezes e reduzimos o integral a si mesmo:

Como resultado da dupla integração por partes, o integral se reduziu a si mesmo. Vamos igualar o início e o fim da solução:

Mova para a esquerda com uma mudança de sinal e expresse nossa integral:

Preparar. Ao longo do caminho, é aconselhável pentear o lado direito, ou seja, coloque o expoente fora dos colchetes e, entre os colchetes, organize o seno e o cosseno em uma ordem "boa".

Agora vamos voltar ao início do exemplo, ou melhor, à integração por partes:

Pois designamos o expositor. Surge a questão: exatamente o expoente deve sempre ser denotado por? Não é necessário. Na verdade, na integral considerada fundamentalmente Não importa O que denotar, era possível seguir o outro caminho:

Por que isso é possível? Como o expoente se transforma em si mesmo (durante a diferenciação e integração), seno e cosseno se transformam mutuamente (novamente, durante a diferenciação e integração).

Ou seja, você também pode designar uma função trigonométrica. Mas, no exemplo considerado, isso é menos racional, pois as frações aparecerão. Se desejar, você pode tentar resolver este exemplo da segunda maneira, as respostas devem ser as mesmas.

Exemplo 8

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". Antes de decidir, pense sobre o que é mais lucrativo, neste caso, designar para expoente ou função trigonométrica? Solução completa e resposta no final do tutorial.

E, claro, não se esqueça de que a maioria das respostas nesta lição são fáceis de diferenciar!

Os exemplos não foram considerados os mais difíceis. Na prática, integrais são mais comuns, onde a constante está tanto no expoente quanto no argumento da função trigonométrica, por exemplo :. Muitas pessoas terão que se perder nessa integral, e eu mesmo frequentemente fico confuso. O fato é que existe uma grande probabilidade do aparecimento de frações na solução, e é muito fácil perder algo por desatenção. Além disso, há uma alta probabilidade de erro nos sinais, observe que o expoente tem um sinal de menos, e isso introduz dificuldade adicional.

No estágio final, geralmente acontece algo como o seguinte:

Mesmo no final da solução, você deve ser extremamente cuidadoso e lidar competentemente com as frações:

Integração de frações compostas

Aos poucos, estamos nos aproximando do equador da lição e começamos a considerar as integrais das frações. Novamente, nem todos eles são supercomplicados, apenas por uma razão ou outra, os exemplos foram um pouco "fora do tópico" em outros artigos.

Continuando o tema das raízes

Exemplo 9

Encontre a integral indefinida

No denominador abaixo da raiz está o trinômio quadrado mais fora da raiz "apêndice" na forma de "x". Uma integral desse tipo é resolvida usando uma substituição padrão.

Nós decidimos:

A substituição é simples:

Nós olhamos para a vida após a substituição:

(1) Após a substituição, trazemos os termos sob a raiz a um denominador comum.
(2) Tiramos da raiz.
(3) Reduza o numerador e o denominador em. Ao mesmo tempo, na raiz, reorganizei os termos em uma ordem conveniente. Com alguma experiência, as etapas (1), (2) podem ser ignoradas executando as ações comentadas verbalmente.
(4) A integral resultante, como você se lembra da lição Integração de algumas frações, resolvido método de seleção de quadrado completo... Selecione um quadrado completo.
(5) Por integração, obtemos um logaritmo "longo" comum.
(6) Efetuamos a substituição reversa. Se inicialmente, então de volta :.
(7) A ação final visa o penteado do resultado: sob a raiz, novamente trazemos os termos a um denominador comum e os retiramos de debaixo da raiz.

Exemplo 10

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo faça você mesmo. Aqui, uma constante foi adicionada ao X solitário e a substituição é quase a mesma:

A única coisa que precisa ser feita adicionalmente é expressar o "x" da substituição:

Solução completa e resposta no final do tutorial.

Às vezes, em tal integral, pode haver um binômio quadrado sob a raiz, isso não muda a solução, será ainda mais simples. Sinta a diferença:

Exemplo 11

Encontre a integral indefinida

Exemplo 12

Encontre a integral indefinida

Respostas e soluções breves no final da lição. Deve-se notar que o Exemplo 11 é exatamente integral binomial, cujo método de solução foi considerado na lição Integrais de funções irracionais.

Integral de um polinômio indecomponível de grau 2 em grau

(polinômio no denominador)

Mais raro, mas, no entanto, encontrado em exemplos práticos, a forma do integral.

Exemplo 13

Encontre a integral indefinida

Mas voltando ao exemplo com o número 13 da sorte (honestamente, não achei certo). Essa integral também pertence à categoria daquelas com as quais você pode se atormentar se não souber como resolvê-las.

A solução começa com uma transformação artificial:

Acho que todo mundo já sabe como dividir o numerador pelo denominador termo a termo.

A integral resultante é obtida peça por peça:

Para uma integral da forma (é um número natural), derivamos recorrente Fórmula de redução de grau:
, Onde - integral de um grau inferior.

Vamos verificar a validade desta fórmula para a integral resolvida.
Neste caso: ,, usamos a fórmula:

Como você pode ver, as respostas são as mesmas.

Exemplo 14

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". A solução de amostra usa a fórmula acima duas vezes em sucessão.

Se sob o grau há indecomponível trinômio quadrado, então a solução é reduzida a um binômio selecionando um quadrado completo, por exemplo:

E se houver um polinômio adicional no numerador? Neste caso, o método dos coeficientes indefinidos é usado, e o integrando é expandido na soma das frações. Mas na minha prática de tal exemplo nunca conheceu, então pulei este caso no artigo Integrais de uma função racional fracionária, Vou pular agora. Se tal integral ainda ocorrer, consulte o livro - tudo é simples lá. Não considero apropriado incluir materiais (mesmo os mais simples), cuja probabilidade de encontro tende a zero.

Integração de funções trigonométricas complexas

O adjetivo “difícil” para a maioria dos exemplos é, novamente, amplamente condicional. Vamos começar com tangentes e cotangentes em alto grau. Do ponto de vista dos métodos usados ​​para resolver a tangente e a cotangente, eles são quase iguais, então falarei mais sobre a tangente, o que implica que o método demonstrado para resolver a integral também é válido para a cotangente.

Na lição acima, vimos substituição trigonométrica universal para resolver um certo tipo de integrais de funções trigonométricas. A desvantagem da substituição trigonométrica universal é que, ao usá-la, muitas vezes surgem integrais complicadas com cálculos difíceis. E em alguns casos, a substituição trigonométrica universal pode ser evitada!

Considere outro exemplo canônico, a integral de unidade dividida por seno:

Exemplo 17

Encontre a integral indefinida

Aqui você pode usar a substituição trigonométrica genérica e obter a resposta, mas há uma maneira mais racional. Fornecerei uma solução completa com comentários para cada etapa:

(1) Usamos a fórmula trigonométrica seno de ângulo duplo.
(2) Realizamos uma transformação artificial: No denominador, divida e multiplique por.
(3) De acordo com a fórmula bem conhecida do denominador, transformamos a fração em tangente.
(4) Trazemos a função sob o signo do diferencial.
(5) Faça a integral.

Alguns exemplos simples para uma solução independente:

Exemplo 18

Encontre a integral indefinida

Nota: o primeiro passo é usar a fórmula de elenco e execute cuidadosamente as ações semelhantes ao exemplo anterior.

Exemplo 19

Encontre a integral indefinida

Bem, este é um exemplo muito simples.

Soluções e respostas completas no final da lição.

Acho que agora ninguém terá problemas com integrais:
etc.

Qual é a ideia por trás do método? A ideia é organizar apenas as tangentes e a derivada da tangente no integrando por meio de transformações, fórmulas trigonométricas. Ou seja, estamos falando sobre a substituição: ... Nos Exemplos 17-19, nós realmente aplicamos essa substituição, mas as integrais eram tão simples que o assunto foi tratado com uma ação equivalente - colocando a função sob o sinal diferencial.

Raciocínio semelhante, como já mencionei, pode ser realizado para a cotangente.

Há também um pré-requisito formal para aplicar a substituição acima:

A soma das potências do cosseno e do seno é um número PAR inteiro negativo, Por exemplo:

para um integral - um número PAR inteiro negativo.

! Observação : se o integrando contém APENAS um seno ou APENAS um cosseno, então a integral também é considerada como um grau ímpar negativo (os casos mais simples estão nos Exemplos nº 17, 18).

Considere algumas tarefas mais significativas para esta regra:

Exemplo 20

Encontre a integral indefinida

A soma das potências do seno e cosseno: 2 - 6 = –4 é um número PAR inteiro negativo, o que significa que a integral pode ser reduzida a tangentes e sua derivada:

(1) Transforme o denominador.
(2) De acordo com a fórmula bem conhecida, obtemos.
(3) Transforme o denominador.
(4) Usamos a fórmula .
(5) Trazemos a função sob o signo do diferencial.
(6) Efetuamos uma substituição. Alunos mais experientes podem não realizar a substituição, mas ainda é melhor substituir a tangente por uma letra - há menos risco de confusão.

Exemplo 21

Encontre a integral indefinida

Este é um exemplo de solução do tipo faça você mesmo.

Espere, as rodadas dos campeões começam =)

Freqüentemente, no integrando, há uma "confusão":

Exemplo 22

Encontre a integral indefinida

Esta integral contém inicialmente uma tangente, que imediatamente desperta um pensamento já familiar:

A transformação artificial logo no início e o resto das etapas vou deixar sem comentários, uma vez que tudo já foi discutido acima.

Alguns exemplos criativos para auto-solução:

Exemplo 23

Encontre a integral indefinida

Exemplo 24

Encontre a integral indefinida

Sim, neles, claro, você pode diminuir os graus do seno, cosseno, usar a substituição trigonométrica universal, mas a solução será muito mais eficiente e mais curta se você desenhá-la pelas tangentes. Solução completa e respostas no final da lição

No século V aC, o antigo filósofo grego Zenão de Elea formulou suas famosas aporias, das quais a mais famosa é a aporia "Aquiles e a tartaruga". É assim que parece:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido do que uma tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo que Aquiles leva para percorrer essa distância, a tartaruga engatinhará cem passos na mesma direção. Quando Aquiles der cem passos, a tartaruga engatinhará mais dez passos e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio foi um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam na atualidade, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução geralmente aceita para a questão ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende o que é o engano.

Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição da magnitude para. Essa transição implica em aplicação em vez de constantes. Até onde eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades variáveis ​​de medida ou ainda não foi desenvolvido, ou não foi aplicado à aporia de Zenão. Aplicar nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, por inércia de pensamento, aplicamos unidades constantes de medida de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, parece uma dilatação do tempo até parar completamente no momento em que Aquiles está ao nível da tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não poderá mais ultrapassar a tartaruga.

Se mudarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixará. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto do que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles alcançará infinitamente rapidamente a tartaruga".

Como você pode evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não retroceda. No idioma de Zeno, é assim:

Durante o tempo em que Aquiles dará mil passos, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. No próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos, e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a insuperabilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante que Zeno fala sobre uma flecha voadora:

A flecha voadora está imóvel, pois a cada momento está em repouso e, como está em repouso a cada momento, está sempre em repouso.

Nessa aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento uma flecha voadora pousa em diferentes pontos do espaço, que, na verdade, é movimento. Outro ponto deve ser observado aqui. É impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele a partir de uma única fotografia de um carro na estrada. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias, tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas a distância deles não pode ser determinada. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotos tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas elas não podem determinar o fato do movimento (é claro, dados adicionais ainda são necessários para cálculos, a trigonometria o ajudará). O que quero chamar a atenção especial é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, porque fornecem oportunidades diferentes para a pesquisa.

Quarta-feira, 4 de julho de 2018

A distinção entre conjunto e multiset é muito bem descrita na Wikipedia. Nós olhamos.

Como você pode ver, "não pode haver dois elementos idênticos em um conjunto", mas se houver elementos idênticos em um conjunto, tal conjunto é chamado de "multiset". Essa lógica do absurdo nunca será entendida por seres racionais. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, que carecem de inteligência na palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas idéias absurdas para nós.

Certa vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco sob a ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabou, o engenheiro incompetente morreu sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, um engenheiro talentoso construiria outras pontes.

Não importa o quanto os matemáticos se escondam atrás da frase "chur, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", existe um cordão umbilical que inextricavelmente os conecta com a realidade. Esse cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria matemática dos conjuntos aos próprios matemáticos.

Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, distribuindo salários. Aí vem um matemático por seu dinheiro. Contamos toda a quantia para ele e colocamos em nossa mesa em diferentes pilhas, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e entregamos ao matemático seu “conjunto matemático de salário”. Explicamos a matemática que ele receberá o resto das contas somente quando provar que um conjunto sem elementos idênticos não é igual a um conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.

Antes de mais nada, funcionará a lógica dos deputados: "Você pode aplicar nos outros, não pode aplicar a mim!" Além disso, começaremos a nos assegurar que existem números de denominação diferentes em cédulas da mesma denominação, o que significa que não podem ser considerados os mesmos elementos. Ok, vamos contar o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático começará a se lembrar freneticamente da física: diferentes moedas têm diferentes quantidades de sujeira, a estrutura cristalina e a disposição dos átomos em cada moeda é única ...

E agora tenho a pergunta mais interessante: onde está a linha além da qual os elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Essa linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência não estava em nenhum lugar perto daqui.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com o mesmo campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, ganhamos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como isso está correto? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um trunfo da manga e começa a nos contar sobre o conjunto ou sobre o multiset. Em qualquer caso, ele nos convencerá de que tem razão.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, amarrando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem qualquer "pensável como não um único todo" ou "não pensável como um todo".

Domingo, 18 de março de 2018

A soma dos algarismos do número é uma dança de xamãs com pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas é por isso que eles são xamãs para ensinar aos seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário, os xamãs simplesmente morrerão.

Precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página da Soma dos Dígitos de um Número. Não existe. Não existe uma fórmula matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos, com a ajuda dos quais escrevemos números e na linguagem da matemática a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número." Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs - é elementar.

Vamos ver o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E então, vamos ter o número 12345. O que fazer para encontrar a soma dos dígitos deste número? Vamos percorrer todas as etapas em ordem.

1. Anotamos o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número para o símbolo gráfico do número. Esta não é uma operação matemática.

2. Cortamos uma imagem resultante em várias imagens contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.

3. Converta símbolos gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.

4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.

A soma dos dígitos de 12345 é 15. Esses são os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados ​​pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.

Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Portanto, em sistemas numéricos diferentes, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. Com um grande número 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não vamos olhar cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vamos ver o resultado.

Como você pode ver, em sistemas numéricos diferentes, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como se você obtivesse resultados completamente diferentes ao determinar a área de um retângulo em metros e centímetros.

Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento para o fato de que. Uma pergunta para os matemáticos: como algo que não é um número é designado em matemática? O que, para os matemáticos, não existe nada além de números? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas - não. A realidade não se resume a números.

O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes após sua comparação, isso não tem nada a ver com matemática.

O que é matemática real? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.

Cadastre-se na porta Abre a porta e diz:

Ai! Este não é um banheiro feminino?
- Mulher jovem! Este é um laboratório para o estudo da santidade indiscriminada das almas durante a ascensão ao céu! Halo na seta para cima e para cima. Que outro banheiro?

Fêmea ... O nimbo acima e a seta para baixo são masculinos.

Se uma peça de arte de design como esta piscar diante de seus olhos várias vezes ao dia,

Então, não é surpreendente que em seu carro você de repente encontre um ícone estranho:

Pessoalmente, me esforço para que, em uma pessoa que faz cocô (uma foto), eu possa ver quatro graus negativos (uma composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E não acho que essa garota seja uma idiota que não conhece física. Ela só tem um estereótipo de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos constantemente nos ensinam isso. Aqui está um exemplo.

1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "homem fazendo cocô" ou o número "vinte e seis" em notação hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente neste sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.