O método de determinação do extremo condicional começa com a construção de uma função auxiliar de Lagrange, que, na região das soluções viáveis, atinge um máximo para os mesmos valores das variáveis. x 1 , x 2 , ..., x n como a função objetivo z ... Deixe o problema de determinar o extremo condicional da função ser resolvido z = f (X) com restrições φ eu ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, eu = 1, 2, ..., m , m < n

Vamos compor a função

que é chamado a função Lagrange. X , - fatores constantes ( Multiplicadores de Lagrange) Observe que os multiplicadores de Lagrange podem receber um significado econômico. Se f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - renda consistente com o plano X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) e a função φ eu (x 1 , x 2 , ..., x n ) - os custos do i-ésimo recurso correspondente a este plano, então X , é o preço (estimativa) do i-ésimo recurso, que caracteriza a mudança no valor extremo da função objetivo em função da mudança no tamanho do i-ésimo recurso (estimativa marginal). L (X) - função n + m variáveis (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) ... Determinar os pontos estacionários desta função leva à resolução do sistema de equações

É fácil ver que ... Assim, o problema de encontrar o extremo condicional da função z = f (X) é reduzido a encontrar o extremo local da função L (X) ... Se um ponto estacionário for encontrado, então a questão da existência de um extremo nos casos mais simples é resolvida com base em condições suficientes para um extremo - uma investigação do sinal do segundo diferencial d 2 L (X) em um ponto estacionário, desde que os incrementos de variável Δx eu - são relacionados pelas relações

obtido pela diferenciação das equações de comunicação.

Resolvendo um sistema de equações não lineares em duas incógnitas usando a ferramenta Encontrar solução

Costumização Encontrando uma solução permite que você encontre uma solução para um sistema de equações não lineares com duas incógnitas:

Onde
- função não linear de variáveis x e y ,
é uma constante arbitrária.

Sabe-se que o par ( x , y ) é uma solução para o sistema de equações (10) se e somente se for uma solução para a seguinte equação com duas incógnitas:

COM por outro lado, a solução para o sistema (10) são os pontos de interseção de duas curvas: f ] (x, y) = C e f 2 (x, y) = C 2 na superfície NSY.

Isso implica um método para encontrar as raízes do sistema. equações não lineares:

Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo de existência de uma solução para o sistema de equações (10) ou equação (11). Aqui é necessário levar em consideração a forma das equações incluídas no sistema, o domínio de definição de cada uma de suas equações, etc. Às vezes, a seleção da aproximação inicial da solução é usada;

Tabule a solução da equação (11) nas variáveis ​​xey no intervalo selecionado, ou construa gráficos de funções f 1 (x, y) = C, e f 2 (x, y) = C 2 (sistema (10)).

Localize as raízes assumidas do sistema de equações - encontre vários valores mínimos da tabela tabulando as raízes da equação (11) ou determine os pontos de intersecção das curvas incluídas no sistema (10).

4. Encontre as raízes para o sistema de equações (10) usando o add-in Procure uma solução.

Classificação de problemas de programação matemática

PROGRAMAÇÃO

MÉTODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS NÃO LINEARES

Perguntas de segurança para a seção 4

Esquema de solução de problemas de transporte

Vamos listar as principais etapas da solução do problema de transporte.

1. Verifique a condição fechada. Se a tarefa estiver aberta, a tabela de transporte será complementada com uma coluna de ponto de consumo fictícia ou uma linha de fornecedor fictícia.

2. Construa um plano de referência.

3. Verifique o plano de referência para não degenerescência. Se não houver célula ocupada suficiente para satisfazer a condição de não degeneração, uma das células da tabela de transporte é preenchida com uma entrega igual a zero. Se necessário, é permitido registrar entregas zero em várias células.

4. O plano é verificado quanto à otimização.

5. Se as condições de otimização não forem atendidas, prossiga para o próximo plano redistribuindo os suprimentos. O processo computacional é repetido até que o plano ótimo seja obtido.

1. Qual é o significado da função objetivo no modelo matemático do problema de transporte?

2. Qual é o significado das restrições no modelo matemático do problema de transporte?

3. É possível aplicar o método dos potenciais para resolver um problema de transporte aberto (não fechado)?

4. Quais alterações devem ser feitas na mesa de transporte original para que o problema possa ser resolvido pelo método potencial?

5. Qual é a essência do método do elemento mínimo? Qual etapa da solução do problema de transporte será concluída como resultado da aplicação deste método?

6. Como você sabe se o plano de transporte é o ideal?

7. Quando e como é necessário redistribuir os suprimentos em termos de transporte?

8. Suponha que o plano de transporte construído seja degenerado. É possível continuar resolvendo o problema pelo método dos potenciais e o que precisa ser feito para isso?

O problema geral de programação matemática foi formulado na Seção 1.1. Dependendo do tipo de funções incluídas no modelo (1.1) - (1.3), o problema é referido a um ou outro tipo de programação matemática. Faça a distinção entre programação linear (todas as funções são lineares), inteira (a solução é representada por números inteiros), quadrática (a função objetivo é uma forma quadrática), não linear (pelo menos uma das funções do problema é não linear) e programação estocástica ( parâmetros de natureza probabilística).

A classe de problemas de programação não linear é mais ampla do que a classe de modelos lineares. Por exemplo, os custos de produção na maioria dos casos não são proporcionais ao volume de produção, mas dependem dele de forma não linear, a receita da venda de produtos de produção acaba sendo uma função não linear dos preços, etc. Os critérios para problemas de planejamento ideais são geralmente o lucro máximo, o custo mínimo e os dispêndios de capital mínimos. Os volumes de produção de vários tipos de produtos são usados ​​como variáveis. O número de restrições inclui funções de produção que caracterizam a relação entre a produção do produto e o custo da mão-de-obra e recursos materiais, cujo volume é limitado.

Ao contrário da programação linear, que utiliza um método de solução universal (método simplex), para a resolução de problemas não lineares existe toda uma gama de métodos, dependendo da forma das funções incluídas no modelo. De toda a variedade de métodos, consideraremos apenas dois: o método de Lagrange e o método de programação dinâmica.

COM A essência do método de Lagrange é reduzir o problema de um extremo condicional para resolver o problema de um extremo incondicional. Considere um modelo de programação não linear:

(5.2)

Onde - funções conhecidas,

mas - coeficientes dados.

Note que nesta formulação do problema, as restrições são dadas por igualdades, não havendo condição para a não negatividade das variáveis. Além disso, assumimos que as funções são contínuos com suas primeiras derivadas parciais.

Transformamos as condições (5.2) de modo que nos lados esquerdo ou direito das igualdades haja zero:

(5.3)

Vamos compor a função de Lagrange. Inclui a função objetivo (5.1) e os lados direitos das restrições (5.3), tomadas respectivamente com os coeficientes ... Haverá tantos coeficientes de Lagrange quantas restrições houver no problema.

Os pontos extremos da função (5.4) são pontos extremos do problema original e vice-versa: o plano ótimo do problema (5.1) - (5.2) é o ponto extremo global da função de Lagrange.

Na verdade, deixe a solução ser encontrada do problema (5.1) - (5.2), então as condições (5.3) são satisfeitas. Substitua o plano na função (5.4) e verificar a validade da igualdade (5.5).

Assim, para encontrar o plano ótimo do problema original, é necessário investigar a função de Lagrange para extremos. A função tem valores extremos nos pontos onde suas derivadas parciais são iguais zero... Esses pontos são chamados estacionário.

Vamos definir as derivadas parciais da função (5.4)

,

.

Depois de igualar zero derivados, obtemos o sistema m + n equações com m + n desconhecido

, (5.6)

No caso geral, o sistema (5.6) - (5.7) terá várias soluções, que incluirão todos os máximos e mínimos da função de Lagrange. Para destacar o máximo ou mínimo global, os valores da função objetivo são calculados em todos os pontos encontrados. O maior desses valores será o máximo global e o menor será o mínimo global. Em alguns casos, acontece possível uso condições suficientes para um extremo estrito funções contínuas (consulte o Problema 5.2 abaixo):

deixe a função ser contínua e duas vezes diferenciável em alguma vizinhança de seu ponto estacionário (ou seja). Então:

mas) E se ,(5.8)

então é o ponto de máximo estrito da função;

b) E se ,(5.9)

então é o ponto de mínimo estrito da função;

G ) E se ,

então a questão da presença de um extremo permanece em aberto.

Além disso, algumas soluções do sistema (5.6) - (5.7) podem ser negativas. O que é inconsistente com o significado econômico das variáveis. Nesse caso, você deve considerar a possibilidade de substituir os valores negativos por zero.

Significado econômico dos multiplicadores de Lagrange. Valor multiplicador ideal mostra o quanto o valor do critério mudará Z ao aumentar ou diminuir o recurso j por uma unidade, desde

O método de Lagrange também pode ser aplicado quando as restrições são desigualdades. Então, encontrando o extremo da função sob condições

,

atuar em várias etapas:

1. Determine os pontos estacionários da função objetivo, para os quais eles resolvem o sistema de equações

.

2. Dos pontos estacionários, selecione aqueles cujas coordenadas satisfaçam as condições

3. O método de Lagrange é usado para resolver o problema com restrições de igualdade (5.1) - (5.2).

4. Explore os pontos encontrados no segundo e terceiro estágios para o máximo global: compare os valores da função objetivo nesses pontos - o valor mais alto corresponde ao plano ótimo.

Tarefa 5.1 Vamos resolver o Problema 1.3, considerado na primeira seção, pelo método de Lagrange. A distribuição ótima dos recursos hídricos é descrita por um modelo matemático

.

Vamos compor a função Lagrange

Vamos encontrar o máximo incondicional desta função. Para fazer isso, calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero

,

Assim, obtivemos um sistema de equações lineares da forma

A solução do sistema de equações representa o plano ótimo para a distribuição dos recursos hídricos nas áreas irrigadas.

Os valores são medidos em centenas de milhares de metros cúbicos. - o valor da receita líquida por cem mil metros cúbicos de água de irrigação. Portanto, o preço marginal de 1 m 3 de água de irrigação é igual a den. unidades

A renda líquida adicional máxima da irrigação será

160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =

172391,02 (unidades monetárias)

Tarefa 5.2 Resolva um problema de programação não linear

Representamos a restrição na forma:

.

Vamos compor a função de Lagrange e definir suas derivadas parciais

.

Para determinar os pontos estacionários da função de Lagrange, suas derivadas parciais devem ser igualadas a zero. Como resultado, obtemos o sistema de equações

COM A essência do método de Lagrange é reduzir o problema de um extremo condicional para resolver o problema de um extremo incondicional. Considere um modelo de programação não linear:

(5.2)

Onde
- funções conhecidas,

mas
- coeficientes dados.

Note que nesta formulação do problema, as restrições são dadas por igualdades, não havendo condição para a não negatividade das variáveis. Além disso, assumimos que as funções
são contínuos com suas primeiras derivadas parciais.

Transformamos as condições (5.2) de modo que nos lados esquerdo ou direito das igualdades haja zero:

(5.3)

Vamos compor a função de Lagrange. Inclui a função objetivo (5.1) e os lados direitos das restrições (5.3), tomadas respectivamente com os coeficientes
... Haverá tantos coeficientes de Lagrange quantas restrições houver no problema.

Os pontos extremos da função (5.4) são pontos extremos do problema original e vice-versa: o plano ótimo do problema (5.1) - (5.2) é o ponto extremo global da função de Lagrange.

Na verdade, deixe a solução ser encontrada
do problema (5.1) - (5.2), então as condições (5.3) são satisfeitas. Substitua o plano
na função (5.4) e verifique a validade da igualdade (5.5).

Assim, para encontrar o plano ótimo do problema original, é necessário investigar a função de Lagrange para extremos. A função tem valores extremos nos pontos onde suas derivadas parciais são iguais zero... Esses pontos são chamados estacionário.

Vamos definir as derivadas parciais da função (5.4)

,

.

Depois de igualar zero derivados, obtemos o sistema m + n equações com m + n desconhecido

,(5.6)

No caso geral, o sistema (5.6) - (5.7) terá várias soluções, que incluirão todos os máximos e mínimos da função de Lagrange. Para destacar o máximo ou mínimo global, os valores da função objetivo são calculados em todos os pontos encontrados. O maior desses valores será o máximo global e o menor será o mínimo global. Em alguns casos, é possível usar condições suficientes para um extremo estrito funções contínuas (consulte o Problema 5.2 abaixo):

deixe a função
contínua e duas vezes diferenciável em alguma vizinhança de seu ponto estacionário (Essa.
)). Então:

mas ) E se
, (5.8)

então É o ponto de máximo estrito da função
;

b) E se
, (5.9)

então É o ponto de mínimo estrito da função
;

G ) E se
,

então a questão da presença de um extremo permanece em aberto.

Além disso, algumas soluções do sistema (5.6) - (5.7) podem ser negativas. O que é inconsistente com o significado econômico das variáveis. Nesse caso, você deve considerar a possibilidade de substituir os valores negativos por zero.

Significado econômico dos multiplicadores de Lagrange. Valor multiplicador ideal
mostra o quanto o valor do critério mudará Z ao aumentar ou diminuir o recurso j por uma unidade, desde

O método de Lagrange também pode ser aplicado quando as restrições são desigualdades. Então, encontrando o extremo da função
sob condições

,

atuar em várias etapas:

1. Determine os pontos estacionários da função objetivo, para os quais eles resolvem o sistema de equações

.

2. Dos pontos estacionários, selecione aqueles cujas coordenadas satisfaçam as condições

3. O método de Lagrange é usado para resolver o problema com restrições de igualdade (5.1) - (5.2).

4. Explore os pontos encontrados no segundo e terceiro estágios para o máximo global: compare os valores da função objetivo nesses pontos - o valor mais alto corresponde ao plano ótimo.

Tarefa 5.1 Vamos resolver o Problema 1.3, considerado na primeira seção, pelo método de Lagrange. A distribuição ótima dos recursos hídricos é descrita por um modelo matemático

.

Vamos compor a função Lagrange

Vamos encontrar o máximo incondicional desta função. Para fazer isso, calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero

,

Assim, obtivemos um sistema de equações lineares da forma

A solução do sistema de equações representa o plano ótimo para a distribuição dos recursos hídricos nas áreas irrigadas.

, .

As quantidades
medido em centenas de milhares de metros cúbicos.
- o valor da receita líquida por cem mil metros cúbicos de água de irrigação. Portanto, o preço marginal de 1 m 3 de água de irrigação é igual a
den. unidades

A renda líquida adicional máxima da irrigação será

160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =

172391,02 (unidades monetárias)

Tarefa 5.2 Resolva um problema de programação não linear

Representamos a restrição na forma:

.

Vamos compor a função de Lagrange e definir suas derivadas parciais

.

Para determinar os pontos estacionários da função de Lagrange, suas derivadas parciais devem ser igualadas a zero. Como resultado, obtemos o sistema de equações

.

Da primeira equação segue-se

. (5.10)

Expressão substituir na segunda equação

,

de onde seguem duas soluções para :

e
. (5.11)

Substituindo essas soluções na terceira equação, obtemos

,
.

Os valores do multiplicador de Lagrange e o desconhecido calculamos por expressões (5.10) - (5.11):

,
,
,
.

Assim, obtivemos dois pontos extremos:

;
.

Para saber se esses pontos são pontos máximos ou mínimos, usamos as condições suficientes para um extremo estrito (5,8) - (5,9). Pré-expressão para , obtido a partir da restrição do modelo matemático, substituímos na função objetivo

,

. (5.12)

Para verificar as condições de um extremo estrito, deve-se determinar o sinal da segunda derivada da função (5.11) nos pontos extremos que encontramos
e
.

,
;

.

Desse modo, (·)
é o ponto mínimo do problema original (
), mas (·)
- o ponto máximo.

Plano ótimo:

,
,
,

.

• Tutorial

Bom dia a todos. Neste artigo, quero mostrar um dos métodos gráficos construindo modelos matemáticos para sistemas dinâmicos, que é chamado Gráfico de ligação("Bond" - links, "gráfico" - gráfico). Na literatura russa, encontrei descrições desse método apenas no Textbook of the Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin "MODELAGEM DE SISTEMAS MECATRÔNICOS" 2008 Também mostra o método clássico através da equação de Lagrange de segundo tipo.

Método de Lagrange

Não vou descrever a teoria, vou mostrar as etapas dos cálculos e com alguns comentários. Pessoalmente, acho mais fácil aprender com exemplos do que ler a teoria 10 vezes. Como me pareceu, na literatura russa, a explicação desse método, e de fato a matemática ou a física em geral, está repleta de fórmulas complexas, o que, portanto, requer uma formação matemática séria. Enquanto estudava o método de Lagrange (estudo na Universidade Politécnica de Torino, Itália), estudei literatura russa para comparar os métodos de cálculo, e era difícil para mim acompanhar o andamento da solução desse método. Mesmo lembrando dos cursos de modelagem no Instituto de Aviação de Kharkov, a derivação de tais métodos era muito complicada e ninguém se preocupou em tentar entender essa questão. Foi o que resolvi escrever, um manual para a construção de modelos matemáticos segundo Lagrange, pois descobri que não era nada difícil, bastava saber calcular as derivadas do tempo e as derivadas parciais. Para modelos mais complexos, matrizes de rotação são adicionadas, mas também não são complicadas.

Características dos métodos de modelagem:

• Newton-Euler: equações vetoriais baseadas em equilíbrio dinâmico força e momentos
• Lagrange: equações escalares baseadas em funções de estado associadas à cinética e potencial energia (energias)
• Bond Earl: método baseado na corrente potência entre os elementos do sistema

Vamos começar com exemplo simples... Peso com mola e amortecedor. Nós negligenciamos a força da gravidade.

Figura 1... Peso com mola e amortecedor

Em primeiro lugar, designamos:

• sistema de coordenadas inicial(NSK) ou sk fixo R0 (i0, j0, k0)... Onde? Você pode apontar o dedo para o céu, mas puxando as pontas dos neurônios do cérebro, a ideia é colocar o NSC na linha de movimento do corpo M1.
• sistemas de coordenadas para cada corpo com massa(temos M1 R1 (i1, j1, k1)), a orientação pode ser arbitrária, mas por que complicar nossa vida, colocamos com o mínimo de diferença do NSC
• coordenadas generalizadas q_i(o número mínimo de variáveis ​​pelas quais o movimento pode ser descrito), neste exemplo, uma coordenada generalizada, movimento apenas ao longo do eixo j

Figura 2... Atribuímos sistemas de coordenadas e coordenadas generalizadas

Fig 3... Posição e velocidade do corpo M1

Em seguida, encontramos as energias cinética (C) e potencial (P) e a função dissipativa (D) para o amortecedor pelas fórmulas:

Fig 4... Fórmula de energia cinética completa

Em nosso exemplo, não há rotação, o segundo componente é 0.

Fig 5... Cálculo da cinética, energia potencial e função dissipativa

A equação de Lagrange tem a seguinte forma:

Fig. 6... Equação de Lagrange e Lagrange

Delta W_i este trabalho virtual perfeito pelas forças e momentos aplicados. Vamos encontrar:

Fig 7... Calculando trabalho virtual

Onde delta q_1 movimento virtual.

Substituímos tudo na equação de Lagrange:

Fig 8... O modelo de massa resultante com uma mola e um amortecedor

É aqui que o método de Lagrange terminou. Como você pode ver, não é tão difícil, mas ainda é um exemplo muito simples, para o qual o método de Newton-Euler provavelmente seria ainda mais simples. Para sistemas mais complexos, onde haverá vários corpos girados em relação uns aos outros em ângulos diferentes, o método de Lagrange será mais fácil.

Método de gráfico de ligação

Vou mostrar imediatamente que é assim que o modelo se parece no gráfico de ligação para um exemplo com a massa de uma mola e um amortecedor:

Fig 9... Massas Bond-Graph com mola e amortecedor

Aqui você tem que contar um pouco de teoria, que é o suficiente para construir modelos simples... Se alguém estiver interessado, você pode ler o livro ( Metodologia de Bond Graph) ou ( Voronin A.V. Modelagem de sistemas mecatrônicos: um tutorial. - Tomsk: Editora da Tomsk Polytechnic University, 2008).

Vamos primeiro definir que sistemas complexos consistem em vários domínios. Por exemplo, um motor elétrico é composto de partes ou domínios elétricos e mecânicos.

Gráfico de ligação com base na troca de poder entre esses domínios, subsistemas. Observe que a troca de poder, de qualquer forma, é sempre determinada por duas variáveis ​​( poder variável) com a ajuda do qual, podemos estudar a interação de vários subsistemas como parte de um sistema dinâmico (ver tabela).

Como você pode ver na tabela, a expressão de poder é quase a mesma em todos os lugares. Resumindo, Poder- Este trabalho " fluxo - f" no " esforço - e».

Um esforço(eng. esforço) no domínio elétrico é a tensão (e), no domínio mecânico, força (F) ou momento (T), e na hidráulica, pressão (p).

Fluxo(eng. fluxo) no domínio elétrico, é a corrente (i), no domínio mecânico, a velocidade (v) ou velocidade angular (ômega), na hidráulica, o fluxo ou vazão do fluido (Q).

Tomando essas designações, obtemos uma expressão para o poder:

Fig 10... Fórmula de potência em termos de variáveis ​​de potência

Na linguagem do gráfico de ligações, a conexão entre dois subsistemas que trocam energia é representada por uma ligação (eng. ligação) É por isso que é chamado este método gráfico de títulos ou r raf-conexões, gráfico conectado... Considerar diagrama de bloco conexões em um modelo com um motor elétrico (este ainda não é um gráfico de ligação):

Fig 11... Bloco diaram do fluxo de poder entre os domínios

Se tivermos uma fonte de tensão, então, consequentemente, ela gera tensão e a entrega ao motor para desenrolar (pois a flecha está direcionada para o motor), dependendo da resistência do enrolamento, surge uma corrente de acordo com a lei de Ohm (direcionada do motor para a fonte). Assim, uma variável é uma entrada para o subsistema, e a segunda deve ser saída do subsistema. Aqui a voltagem ( esforço) - entrada, corrente ( fluxo) - saída.

Se você usar uma fonte atual, como o diagrama mudará? Certo. A corrente será direcionada para o motor e a tensão para a fonte. Então o atual ( fluxo) - entrada, tensão ( esforço) - saída.

Considere um exemplo em mecânica. Força agindo em massa.

Fig 12... Força aplicada à massa

O Diagrama de Bloco será o seguinte:

Fig 13... Diagrama de bloco

Neste exemplo, Força ( esforço) É a variável de entrada para massa. (Força aplicada à massa)
De acordo com a segunda lei de Newton:

Massa encontra velocidade:

Neste exemplo, se uma variável ( potência - esforço) é um Entrada em um domínio mecânico, então outra variável de potência ( Rapidez - fluxo) - torna-se automaticamente saída.

Para distinguir onde está a entrada e onde está a saída, uma linha vertical é usada no final da seta (conexão) entre os elementos, esta linha é chamada sinal de causalidade ou causalidade (causalidade) Acontece que a força aplicada é a causa e a velocidade é o efeito. Este sinal é muito importante para a correta construção de um modelo do sistema, uma vez que a causalidade é uma consequência do comportamento físico e da troca de poderes de dois subsistemas, portanto, a escolha da localização do sinal de causalidade não pode ser arbitrária.

Fig 14... Notação causal

Esta linha vertical mostra qual subsistema recebe o esforço ( esforço) e, como consequência, produzir um fluxo ( fluxo) No exemplo com massa será assim:

Fig 14... Relação causal para a força atuante sobre a massa

É claro pela seta que na entrada para a massa - potência e a saída é Rapidez... Isso é feito para não entupir o diagrama com setas e sistematizar a construção do modelo.

Próximo ponto importante. Impulso generalizado(quantidade de movimento) e em movimento(variáveis ​​de energia).

Tabela de variáveis ​​de potência e energia em diferentes domínios

A tabela acima apresenta duas grandezas físicas adicionais usadas no método de gráfico de títulos. Eles são chamados impulso generalizado (R) e movimento generalizado (q) ou variáveis ​​de energia, e podem ser obtidas integrando as variáveis ​​de energia ao longo do tempo:

Fig 15... Relação entre variáveis ​​de potência e energia

No domínio elétrico :

Com base na lei de Faraday, Tensão nas extremidades de um condutor é igual à derivada do fluxo magnético através deste condutor.

MAS Força atual- uma quantidade física igual à razão entre a quantidade de carga Q, que passou por algum tempo t através da seção transversal do condutor, com o valor desse intervalo de tempo.

Domínio mecânico:

Das 2 Leis de Newton, Poder- tempo derivado do impulso

E correspondentemente, Rapidez- derivada temporal do deslocamento:

Vamos resumir:

Elementos básicos

Todos os elementos em sistemas dinâmicos podem ser divididos em componentes bipolares e quadripolares.
Considerar componentes bipolares:

Fontes de
As fontes vêm com esforço e fluxo. Uma analogia no domínio elétrico: fonte de esforço – fonte de voltagem, fonte de fluxo – fonte atual... Os sinais causais para as fontes devem ser exatamente assim.

Fig 16... Relações causais e designação de fontes

Componente R - elemento dissipativo

Componente I - elemento inercial

Componente C - elemento capacitivo

Como você pode ver nas figuras, diferentes elementos do mesmo tipo R, C, I descrito pelas mesmas equações. Existe SOMENTE uma diferença para capacidade elétrica, você só precisa se lembrar!

Componentes quadrupolo:

Considere os dois componentes um transformador e um girador.

Os últimos componentes importantes no método do gráfico de títulos são as conexões. Existem dois tipos de nós:

Isso completa os componentes.

As principais etapas para estabelecer relações causais após a construção de um gráfico de ligação:

1. Dê causa a todos origens
2. Passe por todos os nós e coloque relações causais após o ponto 1
3. Para componentes I atribuir uma relação causal de entrada (o esforço está incluído neste componente), para componentes C atribuir a causalidade de saída (o esforço vem deste componente)
4. Repita o passo 2
5. Forneça links causais para componentes R

Isso conclui o minicurso de teoria. Agora temos tudo de que precisamos para construir nossos modelos.
Vamos resolver alguns exemplos. Vamos começar com circuito elétrico, é melhor entender a analogia da construção de um gráfico de ligações.

Exemplo 1

Vamos começar a construir um gráfico de ligação com uma fonte de tensão. Basta escrever Se e colocar uma flecha.

Você vê que tudo é simples! Olhamos além, R e L estão conectados em série, o que significa que a mesma corrente flui neles, se falarmos em variáveis ​​de potência - o mesmo fluxo. Qual nó tem o mesmo fluxo? A resposta correta é 1 nó. Conectamos a fonte, a resistência (componente - R) e a indutância (componente - I) ao nó 1.

Em seguida, temos capacitância e resistência em paralelo, o que significa que têm a mesma tensão ou esforço. Um nó 0 fará o trabalho como nenhum outro. Conectamos a capacitância (componente C) e a resistência (componente R) ao nó 0.

Também conectamos os nós 1 e 0 entre si. A direção das setas é escolhida arbitrariamente, a direção da relação afeta apenas o sinal nas equações.

Obtenha o seguinte gráfico de links:

Agora você precisa colocar links causais. Seguindo as instruções para a seqüência de sua afixação, comecemos pela fonte.

1. Temos uma fonte de tensão (esforço), tal fonte tem apenas uma opção de causalidade - a saída. Nós colocamos.
2. Depois tem o componente I, veja o que é recomendado. Nós colocamos
3. Colocamos para baixo para 1 nó. Há
4. Um nó 0 deve ter uma relação causal de entrada e todas as saídas. Temos um dia de folga até agora. Procuramos os componentes C ou I. Encontrados. Nós colocamos
5. Nós colocamos o que sobrou

Isso é tudo. O gráfico de ligação é construído. Viva, camaradas!

A única coisa que resta a fazer é escrever as equações que descrevem nosso sistema. Para fazer isso, vamos criar uma tabela com 3 colunas. O primeiro conterá todos os componentes do sistema, o segundo conterá uma variável de entrada para cada elemento e o terceiro conterá uma variável de saída para o mesmo componente. Já definimos a entrada e a saída por causalidade. Portanto, não deve haver problemas.

Iremos numerar cada conexão para a conveniência de registrar os níveis. As equações para cada elemento são retiradas da lista de componentes C, R, I.

Tendo compilado uma tabela, definimos as variáveis ​​de estado, neste exemplo são 2, p3 e q5. Em seguida, você precisa escrever as equações de estado:

Isso é tudo que o modelo está pronto.

Exemplo 2. Imediatamente quero me desculpar pela qualidade da foto, o principal é que você pode ler

Vamos resolver mais um exemplo de sistema mecânico, o mesmo que resolvemos pelo método de Lagrange. Vou mostrar a solução sem comentários. Vamos verificar qual desses métodos é mais simples, mais fácil.

No matbal, foram compilados os dois modelos de esteira com os mesmos parâmetros, obtidos pelo método de Lagrange e bond-graph. Resultado abaixo: Adicionar rótulos

Nome do parâmetro	Significado
Tópico do artigo:	Método de Lagrange.
Categoria (categoria temática)	Matemática

Encontrar um polinômio significa determinar os valores de seu coeficiente ... Para fazer isso, usando a condição de interpolação, você pode formar um sistema de equações algébricas lineares (SLAE).

O determinante deste SLAE é normalmente denominado determinante de Vandermonde. O determinante de Vandermonde é diferente de zero para, ou seja, quando não há nós correspondentes na tabela de pesquisa. Portanto, pode-se argumentar que o SLAE tem uma solução e essa solução é única. Resolvendo o SLAE e determinando os coeficientes desconhecidos você pode construir um polinômio de interpolação.

Um polinômio que satisfaça as condições de interpolação, quando interpolado pelo método de Lagrange, é construído na forma de uma combinação linear de polinômios de enésimo grau:

Polinômios são geralmente chamados básico polinômios. Para Polinômio de Lagrange satisfaça as condições de interpolação, é extremamente importante que as seguintes condições sejam satisfeitas para seus polinômios de base:

para .

Se essas condições forem atendidas, temos:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, o cumprimento das condições especificadas para os polinômios básicos significa que as condições de interpolação também são satisfeitas.

Vamos determinar a forma dos polinômios básicos com base nas restrições que lhes são impostas.

1ª condição: no .

2ª condição: .

Finalmente, para o polinômio básico, você pode escrever:

Então, substituindo a expressão obtida pelos polinômios básicos no polinômio original, obtemos a forma final do polinômio de Lagrange:

A forma particular do polinômio de Lagrange em é geralmente chamada de fórmula de interpolação linear:

.

O polinômio de Lagrange considerado é geralmente chamado de fórmula de interpolação quadrática:

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