Todos os sistemas de numeração posicional são iguais, mas dependendo das tarefas que a pessoa resolve o uso de números que pode usar bases diferentes com bases diferentes.
O sistema de números decimal mais comumente usado, ou seja, O sistema numérico, cujo alfabeto consiste em dez dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e, em conformidade, a base é dez. A ampla utilização deste sistema numérica é facilmente explicada. Primeiro, a gravação do número no sistema de números decimais é bastante compacta, em segundo lugar, o sistema de número decimal é usado pela humanidade por vários séculos. Durante este tempo, as pessoas já estão acostumadas a números, e ao registro de números e à pronúncia de números em um sistema de números decimais, por exemplo, o registro "15" é claro para qualquer pessoa e ele lê-lo como quinze , mas o mesmo número registrado no sistema número binário "1111" causa pelo menos uma pequena desordem, mas como ler esse número.
E ainda assim é inequivocamente afirmar que o sistema de números decimais é a escolha ideal A humanidade para trabalhar com números é impossível. Nós provamos isso com vários exemplos.
Todos vocês se lembram da tabela de multiplicação e, claro, lembram quanto esforço você teve que se anexar para aprender esta tabela. Não vamos dar aqui uma tabela de multiplicação em um sistema de números decimais, mas para comparação, damos a tabela de multiplicação no sistema número binário:
Como você pode ver, a tabela de multiplicação no sistema número binário parece muito mais fácil do que no decimal.
A compactividade do número de números no sistema de números decimais, o mesmo não é o mais alto, em todos os sistemas de numeração com uma base para mais de dez números será registrado mais compacto, por exemplo, o número "15", em sistema hexadecimal O número é gravado como "f".
Como já mencionado no parágrafo 5, foi adotado um sistema numérico binário para registrar números no AUM. Neste parágrafo, devemos descobrir, mas como os números estão na memória do computador, serão suficientes para entender as regras para a transferência de números decimais em um sistema de números binários.
Na prática, para transferir números do sistema numérico com uma base de dez para o número de horas com uma base de dois, use a seguinte regra:
1. O 1, registrado no sistema numérico com a base dez, é dividido com o resíduo para dois (base novo sistema Número) registrados por números do número de contagem de dez ( sistema antigo. Nota), contanto que em particular não funcione 0.
2.OSTACKS obtidos de divisões registradas em ordem reversa, forme um número em um novo sistema numérico com uma base de dois.
É mais conveniente usar essa regra para transferir números de um sistema de números decimal. Para a tradução reversa, em um sistema de números decimal é mais conveniente para usar o chamado esquema gorner..
1. Reconecte posições no número, à direita para a esquerda, começando com zero;
2. Crie um número representando o valor do número de números de números com base no sistema de números antigos registrados pelos números do novo sistema numérico, erigido ao nível igual número de números de posição;
3. Init a soma da linha.
Analisaremos essas regras em exemplos específicos.
Exemplo 1.: Registro número decimal 121 em um sistema numérico binário.
121 | 2 121 D \u003d 1111001 B
120 60 | 2
1 60 30 | 2
0 30 15 | 2
0 14 7 | 2
1 6 3 | 2
Finalidade do trabalho.Estudando métodos e testes das habilidades de transformação de um sistema de posicionamento para outro para outro.
O número de números diferentes usados \u200b\u200bno sistema posicional determina o nome do sistema numérico e é chamado base
O sistema numérico.
Qualquer número n em um sistema de posicionamento com uma base 
pode ser representado como polinômio da base 
:
onde 
- número, 
- Números de números (coeficientes em graus 
),
- base do sistema numérico ( 
>1).
Os números são registrados como uma seqüência de números:
.
O ponto na sequência separa toda a parte do número de fracionais (coeficientes para graus não negativos, de coeficientes com graus negativos). O ponto é reduzido se o número for inteiro (sem graus negativos).
Em sistemas informáticos, existem sistemas de numeração posicional com base não definida: binário, octal, hexadecimal.
Em base de hardware, o computador é elementos de duas posições que podem ser apenas em dois estados; Um dos quais é denotado por 0, e o outro - 1. Portanto, o computador principal aritmético e lógico é um sistema numérico binário.
Sistema numérico binário. Dois dígitos são usados: 0 e 1. No sistema binário, qualquer número pode ser representado como: 
.
Onde 
0 ou 1.
Esta entrada corresponde à soma dos graus do número 2, tirada com os coeficientes especificados:
Sistema de número octal. Oito dígitos são usados: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. usado no computador como auxiliar para registrar informações em forma abreviada. Para representar um dígito do sistema octal, três descargas binárias são usadas (Triad) (ver Tabela 1).
Sistema de número hexadecimal. Para a imagem de números, 16 dígitos são usados. Os primeiros dez dígitos deste sistema são denotados por números de 0 a 9, e os seis dígitos mais antigos são letras latinas: a (10), em (11), c (12), D (13), E (14), F (15). Sistema hexadecimal, bem como octal, é usado para registrar informações em forma abreviada. Para representar um dígito de um sistema de números hexadecimais, são usados \u200b\u200bquatro descarga binária (tetrad) (consulte a Tabela 1).
Tabela 1.
Alfabetos de sistemas de posicionamento (SS)
|
Ss binário (Base 2) |
Octal (Base 8) |
Decimal (Base 10) |
Hexadecimal (Base 16) |
||
|
Binário |
Tetrads binários |
||||
Exercício 1.Traduzir números de sistemas de numeração especificados para um sistema decimal.
Instruções metódicas.
A tradução dos números no sistema decimal é sistematizada pela elaboração do valor da série de energia com a base do sistema, a partir do qual o número é traduzido. Então o valor desse valor é então calculado.
Exemplos.
a) Traduzir S.S. .
.
b) Traduzir. 
wL.
c) Traduzir. 
wL.
Tarefa 2.Traduza números inteiros de um sistema decimal em um sistema octal, hexadecimal e binário.
Instruções metódicas.
A transferência de números decimais inteiros em um sistema octal, hexadecimal e binário é válido para a divisão sequencial do número decimal com base no sistema em que é traduzido, até que fique fora igual a zero. O número no novo sistema é registrado sob a forma de balanço da divisão, começando com o último.
Exemplos.
a) Traduzir. 
wL.
181: 8 \u003d 22 (resíduo 5)
22: 8 \u003d 2 (resíduo 6)
2: 8 \u003d 0 (resíduo 2)
Responder: 
.
b) Traduzir. 
wL.
A tabela mostra a divisão:
622: 16 \u003d 38 (resíduo 14 10 \u003d E 16)
38: 16 \u003d 2 (resíduo 6)
2: 16 \u003d 0 (resíduo 2)
Responder: 
.
Tarefa 3.Traduza as frações decimais certas do sistema decimal em um sistema octal, hexadecimal e binário.
Com a ajuda desta calculadora on-line, você pode traduzir números inteiros e fracionários de um sistema numérico para outro. Uma solução detalhada é dada com explicações. Para traduzir, insira o número original, defina a base do sistema de número de origem, defina a base do sistema numérico ao qual você deseja traduzir o número e clique no botão "Traduzir". Parte teórica e exemplos numéricos vêem abaixo.
O resultado já é recebido!
Tradução de números inteiros e fracionários de um sistema numérico para qualquer outra teoria, exemplos e soluções
Existem sistemas de números posicionais e não posicionais. Sistema de número árabe, que usamos na vida cotidiana é um posicional e romano - não. DENTRO sistemas posicionais O posicionamento do número determina exclusivamente o número de números. Considere isso sobre o exemplo do número 6372 em um sistema de números decimal. Numere esse número à esquerda desde o risco:
Então o número 6372 pode ser representado da seguinte forma:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
O número 10 define o sistema numérico (em este caso Isso é 10). Como graus, as posições do número desse número são tiradas.
Considere um verdadeiro número decimal 1287.923. Número, começando a partir do arranhão a posição do número do ponto decimal para a esquerda e à direita:
Então o número 1287.923 pode ser representado como:
1287,923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.
Em geral, a fórmula pode ser representada da seguinte forma:
C n · s. N + c n-1 · s. N-1 + ... + C 1 · s. 1 + C 0 · S 0 + D -1 · S -1 + D -2 · S -2 + ... + D -K · S -K
onde c n é um número na posição n., D - número fracionário na posição (-k), s. - sistema numérico.
Algumas palavras sobre os sistemas numéricos. O número no sistema de números decimais consiste em uma pluralidade de números (0,1,2,3,4,5,6,7,9), em um sistema de número octas - de uma pluralidade de números (0,1, 2,3,4,5,6,7), num sistema numérico binário - de uma pluralidade de números (0,1), num sistema de números hexadecimal - de uma pluralidade de números (0,1,2 3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), onde A, B, C, D, E, F correspondem ao número 10,11,12, 13,14,15. Na tabela Tabela.1 Números apresentados B. sistemas diferentes. Observação.
| tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notação | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UMA. |
| 11 | 1011 | 13 | B. |
| 12 | 1100 | 14 | C. |
| 13 | 1101 | 15 | D. |
| 14 | 1110 | 16 | E. | 15 | 1111 | 17 | F. |
Tradução de números de um sistema numérico para outro
Para transferir números de um número para outro para outro, a maneira mais fácil de traduzir primeiro o número para um sistema de número decimal e, a partir do sistema de números decimal para traduzir para o sistema de números desejado.
Tradução de números de qualquer sistema numérico em um sistema de números decimal
Usando a fórmula (1), você pode traduzir números de qualquer sistema de números para um sistema de números decimal.
Exemplo 1. Traduza o Número 1011101.001 Do sistema de números binários (SS) em um decimal SS. Decisão:
1 · 2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125
Exemplo2. Traduzir o número 1011101.001 do sistema de números octas (SS) em um decimal SS. Decisão:
Exemplo 3 . Traduza o Número AB572.CDF de um sistema de números hexadecimal em um decimal SS. Decisão:
Aqui UMA. - por 10, B. - por 11, C.- por 12, F. - por 15.
Tradução de números de um sistema de números decimal para outro sistema numérico
Para transferir números de um sistema de numeração decimal para outro sistema numérico, é necessário traduzir separadamente pela parte inteira do número e parte fracionária do número.
Uma parte inteira do número é traduzida de um SS decimal para outro sistema numérico - uma divisão seqüencial de toda parte do número na base do sistema numérico (para um CC binário - por 2, para um SS de 8 caracteres - por 8, para 16 fumo-16, etc.) antes de obter um resíduo inteiro, menos que a base do SS.
Exemplo 4 . Nós traduzimos o número 159 do SS decimal para o SS binário:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Como pode ser visto a partir da fig. 1, o número 159 durante a divisão por 2 dá aos 79 privados e o resíduo 1. Em seguida, o número 79 durante a divisão por 2 fornece 39 privado e o resíduo 1, etc. Como resultado, construindo um número dos saldos das divisões (direito à esquerda), obtemos um número em ss binário: 10011111 . Consequentemente, você pode escrever:
159 10 =10011111 2 .
Exemplo 5 . Nós traduzimos o número 615 do SS decimal para o octal ss.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Quando o número da SS decimal no SS octal, é necessário dividir sequencialmente o número em 8 até que todo o resíduo seja menor que 8. Como resultado, construindo um número dos saldos da divisão (direita para a esquerda), Obter um número no Octane SS: 1147 (Veja a Fig. 2). Consequentemente, você pode escrever:
615 10 =1147 8 .
Exemplo 6 . Nós transferimos o número 19673 do sistema de números decimais para Hexadecimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Como pode ser visto a partir da fig.
Para transferir as frações decimais certas (número real com um inteiro zero) para o nível do sistema N Base este número Consistentemente multiplicado por s até que a parte fracionária não seja pura zero, ou não obteremos o número necessário de descargas. Se você conseguir um número com uma peça inteira, diferente de zero, toda essa parte não levará em conta (elas estão consistentemente inscritas no resultado).
Considere o precedente nos exemplos.
Exemplo 7 . Nós transferimos o número 0.214 do sistema de números decimais para ss binário.
| 0.214 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Como pode ser visto da Fig. 4, o número 0.214 é multiplicado por 2. Se a multiplicação for obtida com uma peça inteira, diferente de zero, então a parte inteira é escrita separadamente (à esquerda do número), e o número é escrito para o inteiro zero. Se, ao se multiplicar, um número com um inteiro zero é obtido, então zero é gravado para a esquerda. O processo de multiplicação continua até que a parte fracionária não seja pura zero ou não obtenha o número necessário de descargas. Gravando números gordurosos (Fig. 4) de cima para baixo, obtemos o número desejado no sistema número binário: 0. 0011011 .
Consequentemente, você pode escrever:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemplo 8 . Nós traduzimos o número 0.125 do sistema de números decimais para ss binário.
| 0.125 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Para trazer o número de 0,125 da SS decimal em um binário, esse número é multiplicado por 2. No terceiro estágio, resultou em 0. Portanto, o resultado a seguir acabou:
0.125 10 =0.001 2 .
Exemplo 9 . Nós traduzimos o número 0.214 do sistema de números decimais para Hexadecimal SS.
| 0.214 | ||
| x. | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x. | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x. | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x. | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x. | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x. | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Seguindo exemplos 4 e 5, obtemos números 3, 6, 12, 8, 11, 4. mas em CC hexadecimal, os números 12 e 11 correspondem ao número C e B. Portanto, temos:
0,214 10 \u003d 0,36c8b4 16.
Exemplo 10 . Nós traduzimos o número 0.512 de um sistema de numérico decimal no OCTAL SS.
| 0.512 | ||
| x. | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x. | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x. | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Recebido:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemplo 11 . Nós traduzimos o número 159.125 de um sistema de números decimal para ss binário. Para fazer isso, traduzimos separadamente uma parte inteira do número (exemplo 4) e a parte fracionária do número (Exemplo 8). Em seguida, obtemos a fusão desses resultados:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemplo 12 . Nós transferimos o número 19673.214 de um sistema de número decimal para hexadecimal. Para fazer isso, traduzimos separadamente uma parte inteira do número (exemplo 6) e a parte fracionária do número (Exemplo 9). Em seguida, recebemos os resultados da combinação.
