Orice val de formă complexă poate fi reprezentat ca o sumă de unde simple.

Joseph Fourier a fost foarte dornic să descrie în termeni matematici modul în care căldura trece prin obiectele solide ( cm. Schimb de caldura). Interesul lui pentru căldură s-ar putea să fi fost stârnit în timp ce se afla în Africa de Nord: Fourier l-a însoțit pe Napoleon în expediția franceză în Egipt și a locuit acolo de ceva timp. Pentru a-și atinge scopul, Fourier a trebuit să dezvolte noi metode matematice. Rezultatele cercetării sale au fost publicate în 1822 în lucrarea „Teoria analitică a căldurii” ( Theorie analytique de la chaleur), unde a explicat cum să analizăm problemele fizice complexe prin descompunerea lor într-o serie de altele mai simple.

Metoda de analiză s-a bazat pe așa-numita Seria Fourier. În conformitate cu principiul interferenței, seria începe cu descompunerea unei forme complexe în forme simple - de exemplu, o schimbare a suprafeței pământului este explicată printr-un cutremur, o schimbare a orbitei unei comete este explicată prin influență. a atracției mai multor planete, o modificare a fluxului de căldură se datorează trecerii acesteia printr-un obstacol de formă neregulată din material termoizolant. Fourier a arătat că o formă de undă complexă poate fi reprezentată ca o sumă de unde simple. De regulă, ecuațiile care descriu sistemele clasice pot fi rezolvate cu ușurință pentru fiecare dintre aceste unde simple. Mai mult, Fourier a arătat cum acestea solutii simple poate fi rezumat pentru a obține o soluție a întregului sarcină dificilăîn general. (Matematic vorbind, o serie Fourier este o metodă de reprezentare a unei funcții ca o sumă de armonici - unde sinusoidale și cosinus, motiv pentru care analiza Fourier a fost cunoscută și sub numele de „analiza armonică”).

Înainte de apariția computerelor la mijlocul secolului al XX-lea, metodele Fourier și genul lor erau cele mai bune arme din arsenalul științific atunci când atacau complexitățile naturii. De la apariția metodelor complexe Fourier, oamenii de știință au putut să le folosească pentru a rezolva nu numai probleme simple care pot fi rezolvate prin aplicarea directă a legilor mecanicii lui Newton și a altor ecuații fundamentale. Multe dintre marile realizări ale științei newtoniene în secolul al XIX-lea ar fi fost de fapt imposibile fără utilizarea metodelor introduse de Fourier. Ulterior, aceste metode au fost folosite pentru a rezolva probleme din diverse domenii - de la astronomie la inginerie mecanică.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

matematician francez. Născut în Auxerre; la nouă ani a rămas orfan. Deja de mic a dat dovadă de aptitudini pentru matematică. Fourier a fost educat la o școală bisericească și la o școală militară, apoi a lucrat ca profesor de matematică. De-a lungul vieții a fost implicat activ în politică; a fost arestat în 1794 pentru apărarea victimelor terorii. După moartea lui Robespierre a fost eliberat din închisoare; a participat la crearea celebrei Școli Politehnice (Ecole Polytechnique) la Paris; poziția sa i-a oferit o trambulină pentru avansarea sub regimul lui Napoleon. L-a însoțit pe Napoleon în Egipt și a fost numit guvernator al Egiptului de Jos. La întoarcerea în Franța în 1801, a fost numit guvernator al uneia dintre provincii. În 1822 a devenit secretar permanent al Academiei Franceze de Științe, o poziție influentă în lumea științifică franceză.

Secțiunea Prezentare generală introductivă discută două foarte exemple simple(preluat din Shumway, 1988) pentru a ilustra natura analizei spectrale și a interpretării rezultatelor. Dacă nu sunteți familiarizat cu această metodă, este recomandat să vă uitați mai întâi aceasta sectiune acest capitol.

Revizuire și fișier de date. Fișierul Sunspot.sta conține o parte din numerele cunoscute ale petelor solare (Wolfer) din 1749 până în 1924 (Anderson, 1971). Mai jos este o listă cu primele câteva date din fișierul exemplu.

Se presupune că numărul de pete solare afectează vremea de pe pământ, precum și agricultura, telecomunicațiile etc. Folosind această analiză, se poate încerca să afle dacă activitatea petelor solare este cu adevărat ciclică în natură (de fapt, aceste date sunt discutate pe larg în literatură; vezi, de exemplu, Bloomfield, 1976 sau Shumway, 1988).

Definiţia analizei. După rularea analizei, deschideți fișierul de date Sunspot.sta. Faceți clic pe butonul Variabile și selectați variabila Spots (rețineți că, dacă fișierul de date Sunspot.sta este cel curent deschide fișierul date, iar variabila Spots este singura variabilă din acest fișier, apoi când se deschide caseta de dialog Analiza serii temporale, Spots va fi selectat automat). Acum faceți clic pe butonul de analiză Fourier (spectrală) pentru a deschide caseta de dialog de analiză Fourier (spectrală).

Înainte de a aplica analiza spectrală, trasați mai întâi numărul de pete solare. Rețineți că fișierul Sunspot.sta conține anii corespunzători ca nume de observație. Pentru a utiliza aceste nume în grafice cu linii, faceți clic pe fila Vizualizare serie și selectați Nume cazuri în secțiunea Puncte de etichetare. De asemenea, selectați Setează manual scara axei X și Min. = 1 și Pasul = 10. Apoi faceți clic pe butonul Grafic de lângă butonul Vizualizare selecție. variabil.

Numărul de pete solare pare să urmeze un model ciclic. Tendința nu este vizibilă, așa că reveniți la fereastra Analiză spectrală și deselectați opțiunea Eliminare tendință liniară din grupul Transform Source Series.

Este evident că media seriei este mai mare decât 0 (zero). Prin urmare, lăsați opțiunea Scădere medie selectată [altfel parodograma va fi „înfundată” cu un vârf foarte mare la frecvența 0 (zero)].

Acum sunteți gata să începeți analiza. Acum faceți clic pe OK (Analiza Fourier unidimensională) pentru a afișa caseta de dialog Rezultatele analizei spectrale Fourier.

Vezi rezultate. Secțiunea de informații din partea de sus a casetei de dialog arată câteva statistici rezumate pentru serie. De asemenea, arată cele cinci vârfuri cele mai mari ale parodogramei (după frecvență). Cele mai mari trei vârfuri sunt la frecvențele 0,0852, 0,0909 și 0,0114. Aceste informații sunt adesea utile atunci când se analizează serii foarte mari (de exemplu, cu mai mult de 100.000 de observații) care nu sunt ușor de reprezentat pe un singur grafic. În acest caz, însă, este ușor să vezi valorile parogramei; făcând clic pe butonul Periodogramă din secțiunea Periodogramă și grafice de densitate spectrală.

Graficul parodogramei arată două vârfuri clare. Maximul este la o frecvență de aproximativ 0,9. Reveniți la fereastra Rezultatele analizei spectrale și faceți clic pe butonul Rezumat pentru a vedea toate valorile periodogramei (și alte rezultate) în tabelul cu rezultate. Mai jos este o porțiune din tabelul de rezultate cu cel mai mare vârf identificat din periodogramă.

După cum sa discutat în secțiunea de revizuire introductivă, frecvența este numărul de cicluri pe unitatea de timp (unde fiecare observație este o unitate de timp). Astfel, Frecvența 0,0909 corespunde valorii a 11 Perioade (numărul de unități de timp necesare pentru un ciclu complet). Deoarece datele privind petele solare din Sunspot.sta reprezintă observații anuale, se poate concluziona că există un ciclu distinct de 11 ani (poate puțin mai lung decât 11 ani) în activitatea petelor solare.

Densitatea spectrală. De obicei, pentru a calcula estimările densității spectrale, parodograma este netezită pentru a elimina fluctuațiile aleatorii. Tipul mediei mobile ponderate și lățimea ferestrei pot fi selectate în secțiunea Ferestre spectrale. Secțiunea Prezentare generală introductivă discută aceste opțiuni în detaliu. Pentru exemplul nostru, să lăsăm fereastra implicită selectată (lățimea Hamming 5) și să selectăm graficul Densitate spectrală.

Cele două vârfuri sunt acum și mai distincte. Să ne uităm la valorile periodogramei în funcție de perioadă. Selectați câmpul Perioadă din secțiunea Program. Acum selectați graficul densității spectrale.

Din nou se poate observa că există un ciclu pronunțat de 11 ani în activitatea petelor solare; Mai mult, există semne ale existenței unui ciclu mai lung, de aproximativ 80-90 de ani.

TRANSFORMA FOURIER SI ANALIZA SPECTRALA DIGITALA CLASICA.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Introducere

Analiza spectrală este una dintre metodele de procesare a semnalului care vă permite să caracterizați compoziția de frecvență a semnalului măsurat. Transformarea Fourier este un cadru matematic care leagă un semnal temporal sau spațial (sau un model al acelui semnal) cu reprezentarea în domeniul frecvenței sale. Metodele statistice joacă un rol important în analiza spectrală, deoarece semnalele, de regulă, sunt aleatorii sau zgomotoase în timpul propagării sau măsurării. Dacă caracteristicile statistice de bază ale unui semnal ar fi cunoscute cu precizie sau ar putea fi determinate dintr-un interval finit al acestui semnal, atunci analiza spectrală ar reprezenta o ramură a „științei exacte”. Cu toate acestea, în realitate, dintr-un segment de semnal se poate obține doar o estimare a spectrului său. Prin urmare, practica analizei spectrale este un fel de meșteșug (sau artă?) de natură destul de subiectivă. Diferența dintre estimările spectrale obținute ca urmare a procesării aceluiași segment de semnal metode diferite, poate fi explicată prin diferite ipoteze făcute cu privire la date, căi diferite mediere etc. Dacă caracteristicile semnalului nu sunt cunoscute a priori, este imposibil de spus care dintre estimări este mai bună.

Transformată Fourier - baza matematică a analizei spectrale
Să discutăm pe scurt tipuri diferite Transformată Fourier (pentru mai multe detalii, vezi).
Să începem cu transformata Fourier a unui semnal continuu în timp

, (1)

care identifică frecvențele și amplitudinile acelor sinusoide complexe (exponenți) în care se descompune o oarecare oscilație arbitrară.
Conversie inversă

. (2)

Existența transformărilor Fourier directe și inverse (pe care le vom numi în continuare transformată Fourier în timp continuu - CTFT) este determinată de o serie de condiții. Suficient - integrabilitate absolută a semnalului

. (3)

O condiție suficientă mai puțin restrictivă este caracterul finit al energiei semnalului

. (4)

Să prezentăm mai jos o serie de proprietăți de bază ale transformării Fourier și funcțiile utilizate, observând că o fereastră dreptunghiulară este definită de expresia

(5)

iar funcţia sinc este expresia

(6)

Funcția de eșantionare în domeniul timp este dată de

(7)

Această funcție este uneori numită și funcție de continuare periodică.

Tabelul 1. Principalele proprietăți ale NVPF și funcții

Proprietate, funcție	Funcţie	Conversie
Liniaritate	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Schimbare de timp	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Schimbarea de frecvență (modulație)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Scalare	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Teorema de convoluție în domeniul timpului	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Teorema de convoluție în domeniul frecvenței	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Funcția de fereastră	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
Funcția Sinc	2AFsinc(2ft)	Aw(f/F)
Funcția puls	Anunț(t)
Funcția de numărare	T(f)	FF(f), F=1/T

O altă proprietate importantă este stabilită de teorema lui Parseval pentru două funcții g(t) și h(t):

. (8)

Dacă punem g(t) = h(t), atunci teorema lui Parseval se reduce la teorema energiei

. (9)

Expresia (9) este, în esență, pur și simplu o formulare a legii conservării energiei în două domenii (timp și frecvență). În (9) din stânga este energia totală a semnalului, deci funcția

(10)

descrie distribuția de frecvență a energiei pentru un semnal determinist h(t) și de aceea se numește densitate de energie spectrală (SED). Utilizarea expresiilor

(11)

spectrele de amplitudine și fază ale semnalului h(t) pot fi calculate.

Operații de prelevare și ponderare

În secțiunea următoare vom introduce seria Fourier în timp discret (DTSF) sau, altfel, transformata Fourier discretă (DFT) ca caz special Transformată Fourier în timp continuu (CTFT) folosind două operații de bază de procesare a semnalului - prelevarea de eșantioane ( prelevarea de probe) Și cântărind folosind o fereastră. Aici luăm în considerare influența acestor operații asupra semnalului și transformarea acestuia. Tabelul 2 enumeră funcțiile care efectuează ponderare și eșantionare.

Pentru citiri uniforme cu un interval de T secunde, frecvența de eșantionare F este egală cu 1/T Hz. Rețineți că funcția de ponderare și funcția de eșantionare în domeniul timpului sunt desemnate TW (eșantionare în timp) și, respectiv, TS (eșantionare în timp), iar în domeniul frecvenței - FW (eșantionare în frecvență) și FS (eșantionare în frecvență).

Tabelul 2. Funcții de ponderare și eșantionare

Operațiune	Funcția de timp	Conversie
Ponderarea domeniului temporal (lățimea ferestrei NT sec)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Ponderea domeniului de frecvență (lățimea ferestrei 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Numărarea în timp (interval T sec)	TS=T T(t)
Eșantionare în frecvență (la intervale de 1/NT Hz)

Să presupunem că sunt luate mostre ale unui semnal real continuu x(t) cu un spectru limitat, a cărui frecvență superioară este egală cu F0. NVFT a unui semnal real este întotdeauna o funcție simetrică cu o lățime completă de 2F0, vezi Fig. 1.
Eșantioane ale semnalului x(t) pot fi obținute prin înmulțirea acestui semnal cu funcția de eșantionare:

(12)

Fig. 1 - ilustrare a teoremei de eșantionare în domeniul timpului pentru un semnal real cu spectru limitat:
a - funcția de timp inițială și transformata sa Fourier;
b - funcţia probelor în timp şi transformarea ei Fourier;
eșantioane în timp ale funcției inițiale și transformatei Fourier continuate periodic pentru cazul lui Fo<1/2T;
d - fereastra de frecvență (filtru trece-jos ideal) și transformarea sa Fourier (funcția sinc);
d - funcția de timp inițială restabilită prin operația de convoluție cu funcția sinc.

Conform teoremei de convoluție în domeniul frecvenței, FTFT a semnalului x(t) este pur și simplu convoluția spectrului semnalului x(t) și transformarea Fourier a funcției eșantionului de timp (TS):

. (13)

Convoluția lui X(f) cu transformata Fourier a funcției eșantionului F (TS)=Y1/T(f) continuă pur și simplu periodic X(f) cu un interval de frecvență de 1/T Hz. Prin urmare, XS(f) este un spectru extins periodic al lui X(f). În general, eșantioanele dintr-un domeniu (de exemplu, timp) conduc la continuarea periodică în domeniul transformării (de exemplu, frecvența). Dacă rata de eșantionare este selectată suficient de scăzută (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Pentru a restabili semnalul de timp inițial din mostrele sale, de ex. pentru a interpola un anumit continuum de valori între aceste eșantioane, puteți trece datele eșantionate printr-un filtru trece-jos ideal cu un răspuns de frecvență dreptunghiular (Fig. 1d)

. (14)

Ca rezultat (vezi Fig. 1 d), transformata Fourier originală este restaurată. Folosind teoreme de convoluție în domeniile timp și frecvență, obținem

. (15)

Expresia (15) este o notație matematică teoreme de eșantionare în domeniul timpului(teorema lui Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH), care afirmă că folosind formula de interpolare (15) un semnal real cu un spectru limitat poate fi restabilit cu precizie prin număr infinit eșantioane de timp cunoscute prelevate cu frecvența F = 2F0. Dualul la Teorema (15) este teorema eșantioane din domeniul frecvenței pentru semnale cu durată limitată.
Operațiile din domeniul timpului, similare cu (14), sunt descrise de expresie

, (16)

iar transformările corespunzătoare sunt expresii

Astfel, NVPF X(f) al unui semnal cu o durată limitată poate fi restabilit fără ambiguitate din eșantioane echidistante ale spectrului unui astfel de semnal dacă intervalul de eșantionare a frecvenței selectat satisface condiția F1/2T 0 Hz, unde T 0 este semnalul. durată.

Relații între transformări continue și discrete

O pereche de transformări pentru definiția convențională a transformării Fourier discrete în N puncte (DFT) succesiune temporală x[n] și punctul N corespunzător Secvențe de transformată Fourier X[k] este dat de expresiile

, (18)
. (19)

Pentru a obține estimări spectrale din eșantioane de date în unitățile corespunzătoare de energie sau putere, scriem o serie Fourier în timp discret (DTFS), care poate fi considerată ca o aproximare a transformării Fourier în timp continuu (CTFT), bazată pe utilizarea unui număr finit de eșantioane de date:

Pentru a arăta natura conformității cu DVRF ( discret funcții atât în ​​domeniile timp cât și în frecvență) și CVDF-uri (funcții continue în domeniile timp și frecvență), avem nevoie de o succesiune de patru operații comutative liniare: ponderare în domeniile timp și frecvență și prelevare sau prelevare de probe atât în ​​domeniul timpului cât și al frecvenței. Dacă în una dintre aceste regiuni se efectuează o operație de ponderare, atunci, conform teoremei de convoluție, aceasta va corespunde unei operații de filtrare (convoluție) într-o altă regiune cu funcția sinc. În mod similar, dacă discretizarea este efectuată într-o regiune, atunci se efectuează o operație de continuare periodică în alta. Deoarece cântărirea și prelevarea probelor sunt operații liniare și comutative, sunt posibile diverse moduri de ordonare a acestora, dând același rezultat final cu rezultate intermediare diferite. Figura 2 prezintă două secvențe posibile pentru efectuarea acestor patru operații.

Orez. 2. Două secvențe posibile de două operații de cântărire și două operații de eșantionare, care conectează NVPF și DVRF: FW - aplicarea unei ferestre în domeniul frecvenței; TW - aplicarea unei ferestre în domeniul timpului; FS - prelevarea de probe în domeniul frecvenței; TS - prelevarea de mostre în domeniul timpului.
1 - transformată Fourier în timp continuu, ecuația (1);
4 - transformată Fourier în timp discret, ecuația (22);
5 - Seria Fourier cu timp continuu, ecuația (25);
8 - Seria Fourier cu timp discret, ecuația (27)

Ca rezultat al efectuării operațiilor de cântărire și eșantionare la nodurile 1, 4, 5 și 8, vor apărea patru tipuri diferite de relații Fourier. Nodurile în care se află funcția domeniul de frecvență este continuu, a se referi la transformări Fourier și nodurile la care funcția se află în domeniul frecvenței discret a se referi la Seria Fourier(pentru mai multe detalii vezi).
Astfel, în nodul 4 se generează ponderarea în domeniul frecvenței și eșantionarea în domeniul timpului conversie discretă în timp Transformată Fourier (FTFT), care este caracterizată printr-o funcție periodică a spectrului în domeniul frecvenței cu o perioadă de 1/T Hz:

(22)

(23)

Rețineți că expresia (22) definește o anumită funcție periodică care coincide cu funcția transformată originală specificată în nodul 1 numai în intervalul de frecvență de la -1/2T la 1/2T Hz. Expresia (22) este legată de transformarea Z a secvenței discrete x[n] prin relația

(24)

Deci DVFT este pur și simplu transformarea Z calculată pe cercul unitar și înmulțită cu T.
Dacă trecem de la nodul 1 la nodul 8 din fig. 2 de-a lungul ramurii inferioare, în nodul 5 operațiile de ponderare în domeniul timp (restrângerea duratei semnalului) și eșantionare în domeniul frecvență generează o serie Fourier în timp continuu (CFTS). ). Folosind proprietățile și definițiile funcțiilor date în tabelele 1 și 2, obținem următoarea pereche de transformări
(25)
(26)

Rețineți că expresia (26) definește o anumită funcție periodică, care coincide cu cea originală (la nodul 1) numai în intervalul de timp de la 0 la NT.
Indiferent de care dintre cele două secvențe de patru operații este aleasă, rezultatul final la nodul 8 va fi același - seria Fourier în timp discret, care corespunde următoarei perechi de transformări obținute folosind proprietățile indicate în tabelul 1.

, (27)

unde k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

unde n=0, . . . ,N-1,
Teorema energiei pentru acest DVRF este:

, (29)

și caracterizează energia unei secvențe de N eșantioane de date. Ambele secvențe x[n] și X[k] sunt periodice modulo N, deci (28) poate fi scrisă sub forma

, (30)

unde 0 n N. Factorul T din (27) - (30) este necesar astfel încât (27) și (28) să fie de fapt o aproximare a transformării integrale în domeniul integrării

.(31)

Zero umplutură

Printr-un proces numit umplutură cu zerouri, seria Fourier în timp discret poate fi modificată pentru a interpola între N valori ale transformării originale. Fie ca eșantioanele de date disponibile x,...,x să fie completate cu valori zero x[N],...X. DVRF-ul acestei secvențe de date cu 2N puncte va fi dat de

(32)

unde limita superioară a sumei din dreapta este modificată pentru a găzdui prezența datelor nule. Fie k=2m, deci

, (33)

unde m=0,1,...,N-1, definește valorile pare ale lui X[k]. Acest lucru arată că pentru valorile pare ale indicelui k, seria Fourier în timp discret în 2N puncte este redusă la o serie în timp discret în N puncte. Valorile impare ale indicelui k corespund valorilor DVRF interpolate situate între valorile DVRF-ului original în N-puncte. Pe măsură ce se adaugă tot mai multe zerouri la secvența originală cu N puncte, pot fi obținute și mai multe date interpolate. În cazul limită al unui număr infinit de zerouri de intrare, DVRF poate fi considerată ca o transformată Fourier în timp discret a unei secvențe de date în N puncte:

. (34)

Transformarea (34) corespunde nodului 6 din Fig. 2.
Există o concepție greșită că umplutura zero îmbunătățește rezoluția, deoarece crește lungimea secvenței de date. Cu toate acestea, după cum urmează din Fig. 3, umplutură cu zerouri nu se îmbunătățește rezoluția transformării obținute dintr-o secvență de date finită dată. Zero padding permite pur și simplu o conversie interpolată formă mai netezită. În plus, elimină incertitudinile cauzate de prezența componentelor semnalului de bandă îngustă ale căror frecvențe se află între cele N puncte corespunzătoare frecvențelor estimate ale DVRF-ului original. La completarea cu zerouri, acuratețea estimării frecvenței vârfurilor spectrale crește, de asemenea. Prin termenul de rezoluție spectrală vom înțelege capacitatea de a distinge între răspunsurile spectrale ale două semnale armonice. O regulă general acceptată, adesea folosită în analiza spectrală, este că separarea de frecvență a sinusoidelor distinse nu poate fi mai mică de lățime echivalentă a ferestrei, prin care se observă segmente (secțiuni) acestor sinusoide.

Fig.3. Interpolare folosind zero padding:
a - modul DVRF pentru înregistrarea datelor în 16 puncte care conține trei sinusoide fără umplutură cu zerouri (sunt vizibile incertitudinile: este imposibil de spus câte sinusoide sunt în semnal - două, trei sau patru);
b - modul DVRF din aceeași secvență după dublarea numărului de eșantioane ale acestuia datorită adunării a 16 zerouri (incertitudinile sunt rezolvate, deoarece toate cele trei sinusoide sunt distinse;
c - Modul DVRF din aceeași secvență după o creștere de patru ori a numărului de eșantioane din cauza adunării zerourilor.

Lățimea de bandă echivalentă a ferestrei poate fi definită ca
unde W(f) este transformata Fourier în timp discret a funcției ferestre, de exemplu, dreptunghiulară (5). În mod similar, puteți intra durata echivalentă a ferestrei

Se poate arăta că durata echivalentă a unei ferestre (sau a oricărui alt semnal) și lățimea de bandă echivalentă a transformării acesteia sunt mărimi reciproc inverse: TeBe=1.

Transformare rapidă Fourier

Transformarea Fourier rapidă (FFT) nu este un alt tip de transformată Fourier, ci numele unui număr de efective algoritmi, conceput pentru calcularea rapidă a seriilor Fourier în timp discret. Principala problemă care apare în implementarea practică a DVRF constă în numărul mare de operații de calcul proporțional cu N2. Deși cu mult înainte de apariția computerelor au fost propuse mai multe scheme de calcul eficiente care ar putea reduce semnificativ numărul de operații de calcul, o adevărată revoluție s-a făcut prin publicarea în 1965 a unui articol de Cooly și Tukey cu un algoritm practic pentru rapid (număr de operații). Nlog 2 N) calcule ale DVRF . După aceasta, au fost dezvoltate multe variante, îmbunătățiri și completări la ideea de bază, formând o clasă de algoritmi cunoscută sub numele de transformată Fourier rapidă. Ideea de bază a FFT este de a împărți un DVRF în N-puncte în două sau mai multe DVRF-uri mai mici, fiecare dintre acestea putând fi calculate separat și apoi însumate liniar cu celelalte pentru a obține DVRF-ul secvenței originale de N-puncte.
Să reprezentăm transformata Fourier discretă (DFFT) sub forma

, (35)

unde valoarea W N =exp(-j2 /N) se numește factor de întoarcere (în continuare în această secțiune, perioada de eșantionare este T=1). Să selectăm elemente cu numere pare și impare din șirul x[n]

. (36)

Dar de atunci
. Prin urmare, (36) poate fi scris sub forma

, (37)

unde fiecare termen este o transformare de lungime N/2

(38)

Rețineți că secvența (WN/2) nk este periodică în k cu perioada N/2. Prin urmare, deși numărul k din expresia (37) ia valori de la 0 la N-1, fiecare dintre sume este calculată pentru valorile lui k de la 0 la N/2-1. Este posibil să se estimeze numărul de operații complexe de înmulțire și adunare necesare pentru a calcula transformata Fourier în conformitate cu algoritmul (37)-(38). Două transformări Fourier în N/2 puncte conform formulelor (38) implică efectuarea a 2(N/2) 2 înmulțiri și aproximativ același număr de adunări. Combinarea a două transformări în N/2 puncte folosind formula (37) necesită încă N înmulțiri și N adunări. Prin urmare, pentru a calcula transformata Fourier pentru toate N valorile lui k, este necesar să se efectueze N+N 2 /2 înmulțiri și adunări. În același timp, calculul direct folosind formula (35) necesită înmulțiri și adunări N 2. Deja pentru N>2 inegalitatea N+N 2 /2 este satisfăcută< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа operatii matematice comparativ cu calculul direct al transformării Fourier folosind formula (35). Deoarece calcularea unei transformări Fourier în N/2 puncte duce la economii de calcul, fiecare dintre DFT-urile în N/2 puncte ar trebui să fie calculată prin reducerea lor la transformări în N/4 puncte:

, (39)
(40)

În acest caz, datorită periodicității secvenței W nk N/4 în k cu perioada N/4, sumele (40) trebuie calculate numai pentru valorile lui k de la 0 la N/4-1. Prin urmare, calcularea secvenței X[k] folosind formulele (37), (39) și (40) necesită, așa cum este ușor de calculat, deja 2N+N 2 /4 operații de înmulțire și adunare.
Urmând această cale, cantitatea de calcul X[k] poate fi redusă din ce în ce mai mult. După m=log 2 N expansiuni ajungem la transformări Fourier în două puncte de forma

(41)

unde „transformările într-un punct” X 1 sunt pur și simplu mostre ale semnalului x[n]:

X1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Ca rezultat, putem scrie algoritmul FFT, care din motive evidente este numit algoritm de subțiere a timpului :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

unde k=0,1, p=0,1,...,N/2-1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

unde k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

unde k=0,1,...,N-1

La fiecare etapă a calculelor se efectuează N înmulțiri și adunări complexe. Și deoarece numărul de descompunere a secvenței inițiale în subsecvențe de jumătate de lungime este egal cu log 2 N, atunci numărul total de operații de înmulțire-adunare din algoritmul FFT este egal cu Nlog 2 N. Pentru N mare, există o valoare semnificativă. economisirea operațiunilor de calcul în comparație cu calculele directe DFT. De exemplu, când N = 2 10 = 1024 numărul de operații este redus de 117 ori.
Algoritmul FFT decimat în timp pe care l-am considerat se bazează pe calcularea transformării Fourier prin formarea subsecvențelor secvenței de intrare x[n]. Cu toate acestea, este de asemenea posibil să se utilizeze o descompunere ulterioară a transformării Fourier X[k]. Algoritmul FFT bazat pe această procedură se numește c subțierea frecvenței. Puteți citi mai multe despre transformarea Fourier rapidă, de exemplu, în.

Procese aleatorii și densitate spectrală de putere

Un proces aleator discret x poate fi considerat ca o anumită mulțime, sau ansamblu, de secvențe de timp (sau spațiale) discrete reale sau complexe, fiecare dintre acestea putând fi observată ca rezultat al unui experiment (n este indicele de timp, i este numărul de observație). Secvența obținută ca urmare a uneia dintre observații va fi notată cu x[n]. Operația de mediere asupra ansamblului (adică mediere statistică) vor fi notate de operator<>. Prin urmare, - valoarea medie a procesului aleator x[n] la momentul n. Autocorelare proces aleatoriu la doi timpi diferiți n1 și n2 este determinat de expresia r xx = .

Un proces aleatoriu se numește staționar în în sens larg, dacă valoarea medie a acestuia este constantă (independentă de timp), iar autocorelația depinde doar de diferența de indici de timp m=n1-n2 (decalare în timp sau întârziere între eșantioane). Astfel, un proces aleator discret staționar x[n] este caracterizat de o valoare medie constantă =Și secvență de autocorelare(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Să remarcăm următoarele proprietăți ale transmisiei automate:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

care sunt valabile pentru toate m.
Densitatea spectrală de putere (PSD) este definită ca transformată Fourier în timp discret (DTFT) a unei secvențe de autocorelare

. (46)

PSD, a cărui lățime este limitat de valori±1/2T Hz, este o funcție periodică a frecvenței cu o perioadă de 1/T Hz. Funcția PSD descrie distribuția de frecvență a puterii unui proces aleatoriu. Pentru a confirma numele ales pentru acesta, luați în considerare DVFT invers

(47)

calculat la m=0

(48)

Autocorelația la deplasarea zero caracterizează putere medie proces aleatoriu. Conform (48), aria de sub curba P xx (f) caracterizează puterea medie, deci P xx (f) este o funcție de densitate (putere pe unitate de frecvență) care caracterizează distribuția de frecvență a puterii. Perechea de transformări (46) și (47) sunt adesea numite Teorema Wiener-Khinchin pentru cazul timpului discret. Deoarece r xx [-m]=r* xx [m], atunci PSD trebuie să fie o funcție pozitivă strict reală. Dacă ACP este o funcție strict reală, atunci r xx [-m]=r xx [m] și PSD poate fi scris sub forma transformării cosinus Fourier

,

ceea ce înseamnă, de asemenea, că P xx (f) = P xx (-f), adică. SPM este o funcție uniformă.
Până acum, la determinarea valorii medii, a corelației și a densității spectrale de putere a unui proces aleatoriu, am folosit medierea statistică asupra ansamblului. Cu toate acestea, în practică, de obicei, nu este posibil să se obțină un ansamblu de implementări ale procesului necesar din care să poată fi calculate aceste caracteristici statistice. Este recomandabil să se evalueze toate proprietățile statistice folosind un eșantion de realizare x(t), înlocuind y medierea ansamblului medierea timpului. Proprietatea care permite efectuarea unei astfel de înlocuiri se numește ergodicitate. Se spune că un proces aleatoriu este ergodic dacă, cu o probabilitate egală cu unu, toate caracteristicile sale statistice pot fi prezise dintr-o implementare din ansamblu folosind media timpului. Cu alte cuvinte, mediile de timp ale aproape tuturor implementărilor posibile ale procesului converg cu probabilitatea unu la aceeași valoare constantă - media ansamblului

. (49)

Această limită, dacă există, converge către media adevărată dacă și numai dacă variația de timp a mediei tinde spre zero, ceea ce înseamnă că este valabilă următoarea condiție:

. (50)

Aici c xx [m] este valoarea adevărată a covarianței procesului x[n].
În mod similar, observând valoarea produsului probelor de proces x[n] în două momente în timp, se poate aștepta ca valoarea medie să fie egală cu

(51)

Ipoteza ergodicității ne permite nu numai să introducem, prin medierea în timp, definițiile pentru medie și autocorelare, ci și să oferim o definiție similară pentru densitatea spectrală de putere.

. (52)

Această formă echivalentă a PSD se obține prin media statistică a modulului DVFT al setului de date ponderat împărțit la lungimea înregistrării de date, pentru cazul în care numărul de eșantioane crește la infinit. O medie statistică este necesară aici deoarece DVFT în sine este variabilă aleatorie, modificându-se pentru fiecare realizare a lui x[n]. Pentru a arăta că (52) este echivalentă cu teorema Wiener-Khinchin, reprezentăm pătratul modulului DVFT ca produs a două serii și schimbăm ordinea operațiilor de însumare și mediere statistică:

(53)

Folosind faimoasa expresie

, (54)

relația (53) poate fi redusă la următoarele:

(55)

Rețineți că la ultima etapă a derivației (55) s-a folosit ipoteza că secvența de autocorelație „decade”, astfel încât

. (56)

Relația dintre cele două definiții ale PSD (46) și (52) este prezentată clar de diagrama prezentată în Figura 4.
Dacă în expresia (52) nu luăm în considerare operația de așteptare matematică, obținem estimarea SPM

, (57)

Care e numit spectrul eșantionului.

Orez. 4. Relația dintre două metode de estimare a densității spectrale de putere

Metoda periodogramei de estimare spectrală

Mai sus am introdus două metode echivalente formale pentru determinarea densității spectrale de putere (PSD). Metoda indirectă se bazează pe utilizarea unei secvențe infinite de date pentru a calcula o secvență de autocorelare, a cărei transformată Fourier dă PSD-ul dorit. Metoda directă pentru determinarea PSD se bazează pe calcularea modulului pătrat al transformării Fourier pentru o secvență infinită de date folosind o medie statistică adecvată. PSD obținut fără o astfel de mediere se dovedește a fi nesatisfăcător, deoarece eroarea pătratică medie a unei astfel de estimări este comparabilă cu valoarea medie a acesteia. Acum vom lua în considerare metodele de mediere care oferă estimări spectrale netede și stabile statistic pentru un număr finit de eșantioane. Estimările SPD bazate pe transformarea directă a datelor și media ulterioară se numesc periodograme. Se numesc estimări PSD, pentru care estimările de corelație sunt mai întâi formate din datele inițiale corelogramă. Când folosește orice metodă de estimare PSD, utilizatorul trebuie să ia multe decizii de compromis pentru a obține estimări spectrale stabile statistic cu cea mai mare rezoluție posibilă dintr-un număr finit de eșantioane. Aceste compromisuri includ, dar nu se limitează la, alegerea ferestrei pentru ponderarea datelor și estimările de corelare și parametrii de mediere în domeniul timp și în domeniul frecvenței care echilibrează cerințele de reducere a lobilor laterali datorită ponderării, efectuarea unei medieri eficiente și furnizarea rezoluție spectrală acceptabilă. În fig. Figura 5 prezintă o diagramă care prezintă etapele principale parodogramă metodă

Orez. 5. Principalele etape ale estimării PSD prin metoda parogramei

Aplicarea metodei începe cu colectarea a N eșantioane de date, care sunt prelevate la un interval de T secunde per probă, urmate (opțional) de un pas de detendință. Pentru a obține o estimare spectrală stabilă din punct de vedere statistic, datele disponibile trebuie împărțite în segmente suprapuse (dacă este posibil) și apoi mediatizat spectrele eșantionului obținut pentru fiecare astfel de segment. Parametrii acestei medieri sunt modificați prin selectarea adecvată a numărului de eșantioane pe segment (NSAMP) și a numărului de eșantioane cu care trebuie deplasat începutul următorului segment (NSHIFT), vezi Fig. 6. Numărul de segmente este selectat în funcție de gradul de netezime (dispersie) necesar al estimării spectrale și de rezoluția spectrală necesară. O valoare mică pentru parametrul NSAMP are ca rezultat mai multe segmente peste care se va efectua medierea și, prin urmare, se vor obține estimări cu varianță mai mică, dar și rezoluție de frecvență mai mică. Creșterea lungimii segmentului (parametrul NSAMP) crește rezoluția, în mod natural datorită creșterii varianței estimării datorită unui număr mai mic de medii. Săgeata de întoarcere din Fig. 5 indică necesitatea mai multor treceri repetate prin date la lungimi și numere diferite de segmente, ceea ce ne permite să obținem mai multe informații despre procesul studiat.

Fig.6. Împărțirea datelor în segmente pentru a calcula o periodogramă

Fereastră

Una dintre problemele importante care este comună tuturor metodelor clasice de estimare spectrală este legată de ponderarea datelor. Windowing este folosit pentru a controla efectele lobilor laterali în estimările spectrale. Rețineți că este convenabil să luați în considerare înregistrarea de date finite existente ca o parte a secvenței infinite corespunzătoare, vizibilă prin fereastra aplicată. Astfel, secvența de date observate x 0 [n] din N eșantioane poate fi scrisă matematic ca produsul unei secvențe infinite x[n] și o funcție de fereastră dreptunghiulară

X 0 [n]=x[n] rect[n].
Acest lucru face ipoteza evidentă că toate eșantioanele neobservate sunt egale cu zero, indiferent dacă acesta este de fapt cazul. Transformarea Fourier în timp discret a unei secvențe ponderate este egală cu convoluția transformărilor secvenței x[n] și fereastra dreptunghiulară rect[n]

X0(f)=X(f)*DN(f), unde
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funcția D N (f), numită funcție sinc discretă, sau nucleu Dirichlet, este un DCFT al unei funcții dreptunghiulare. Transformarea unei secvențe finite observate este o versiune distorsionată a transformării unei secvențe infinite. Efectul unei ferestre dreptunghiulare asupra unei sinusoide în timp discret cu frecvența f 0 este ilustrat în Fig. 7.

Fig.7. Ilustrare a polarizării transformării Fourier în timp discret din cauza scurgerilor din cauza ponderării datelor: a, b - secvențe originale și ponderate; b, d - transformatele lor Fourier.

Din figură se poate observa că vârfurile spectrale ascuțite ale DTFT ale secvenței infinite de undă sinusoidală sunt extinse datorită convoluției cu transformarea ferestrei. Astfel, lățimea minimă a vârfurilor spectrale ale unei secvențe ponderate în fereastră este determinată de lățimea lobului principal de transformare al acelei ferestre și este independentă de date. Lobii laterali Transformările ferestrelor vor schimba amplitudinile vârfurilor spectrale adiacente (uneori numite bleed-through). Deoarece DVFT este o funcție periodică, suprapunerea lobilor laterali din perioadele învecinate poate duce la o părtinire suplimentară. Creșterea ratei de eșantionare reduce efectul de aliasing al lobilor laterali. Distorsiuni similare vor fi observate în mod natural în cazul semnalelor nesinusoidale. Sângerarea nu numai că introduce erori de amplitudine în spectrele semnalelor discrete, dar poate și masca prezența semnalelor slabe. Există o serie de alte caracteristici ale ferestrei care pot fi oferite care pot reduce lobii laterali în comparație cu o fereastră dreptunghiulară. Reducerea nivelului lobilor laterali va reduce deplasarea estimării spectrale, dar aceasta vine cu prețul extinderii lobului principal al spectrului ferestrei, ceea ce duce în mod natural la o deteriorare a rezoluției. În consecință, și aici trebuie ales un anumit compromis între lățimea lobului principal și nivelul lobilor laterali. Mai mulți parametri sunt utilizați pentru a evalua calitatea ferestrelor. Indicatorul tradițional este lățimea de bandă a lobului principal la jumătate de putere. Al doilea indicator este lățimea de bandă echivalentă introdusă mai sus. Doi indicatori sunt, de asemenea, utilizați pentru a evalua caracteristicile lobilor laterali. Primul este nivelul lor maxim, al doilea este rata de dezintegrare, care caracterizează viteza cu care lobii laterali scad odată cu distanța de lobul principal. Tabelul 3 prezintă definițiile unor funcții de fereastră de timp discret utilizate în mod obișnuit, iar Tabelul 4 prezintă caracteristicile acestora.
Tabelul 3. Definiții tipice ferestrelor de timp discret în N puncteMax. nivelul lobului lateral, dB -31,5

. (46)

Metoda corelogramei estimarea PSD este pur și simplu substituirea în expresia (46) a unei secvențe finite de valori pentru estimarea de autocorelație ( corelograme) în loc de o succesiune infinită de valori de autocorelare adevărate necunoscute. Mai multe informații despre metoda corelogramelor de estimare spectrală pot fi găsite în.

Literatură

1. Rabiner L., Gould B. Teoria și aplicarea procesării semnalelor digitale. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Analiza spectrală digitală și aplicațiile sale: Transl. din engleza -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Procesarea digitală a semnalului. - M.: Radio și comunicații, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Analiza aplicată a seriilor temporale.- M.: Mir, 1982.

transformata Fourier este o familie de metode matematice bazate pe descompunerea unei funcții inițiale continue a timpului într-un set de funcții armonice de bază (care sunt funcții sinusoidale) de diferite frecvențe, amplitudini și faze. Din definiție este clar că ideea principală a transformării este că orice funcție poate fi reprezentată ca o sumă infinită de sinusoide, fiecare dintre acestea fiind caracterizată prin amplitudinea, frecvența și faza inițială.

Transformata Fourier este fondatorul analizei spectrale. Analiza spectrală este o metodă de procesare a semnalului care vă permite să caracterizați compoziția de frecvență a semnalului măsurat. În funcție de modul în care este reprezentat semnalul, sunt utilizate diferite transformate Fourier. Există mai multe tipuri de transformată Fourier:

– Transformată Fourier continuă (în literatura engleză Continue Time Fourier Transform – CTFT sau, pe scurt, F.T.);

– Transformată Fourier discretă (în literatura engleză Transformată Fourier discretă – DFT);

– Fast Fourier transform (în literatura engleză Fast Fourier transform – FFT).

Transformată Fourier continuă

Transformata Fourier este un instrument matematic folosit în diferite domenii științifice. În unele cazuri, poate fi folosit ca mijloc de rezolvare a ecuațiilor complexe care descriu procese dinamice care apar sub influența energiei electrice, termice sau luminoase. În alte cazuri, permite izolarea componentelor regulate într-un semnal vibrațional complex, ceea ce face posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale în astronomie, medicină și chimie. Transformarea continuă este de fapt o generalizare a seriei Fourier, cu condiția ca perioada funcției extinse să tinde spre infinit. Astfel, transformata Fourier clasică se ocupă de spectrul semnalului preluat pe întreaga gamă de existență a variabilei.

Există mai multe tipuri de înregistrare a transformării Fourier continue, care diferă unele de altele prin valoarea coeficientului în fața integralei (două forme de înregistrare):

sau

unde și este transformata Fourier a unei funcții sau spectrul de frecvență al unei funcții;

- frecventa circulara.

Trebuie remarcat faptul că diferite tipuri de înregistrare se găsesc în diferite domenii ale științei și tehnologiei. Factorul de normalizare este necesar pentru scalarea corectă a semnalului din domeniul frecvenței în domeniul timpului. Factorul de normalizare reduce amplitudinea semnalului la ieșirea conversiei inverse, astfel încât să se potrivească cu amplitudinea semnalului original. În literatura de specialitate, transformatele Fourier directe și inverse sunt înmulțite cu un factor, în timp ce în fizică cel mai adesea transformarea directă nu include un factor, dar transformarea inversă folosește un factor. Dacă calculați secvențial transformarea Fourier directă a unui anumit semnal și apoi luați transformarea Fourier inversă, atunci rezultatul transformării inverse trebuie să coincidă complet cu semnalul original.

Dacă funcția este impară pe intervalul (−∞, +∞), atunci transformata Fourier poate fi reprezentată prin funcția sinus:

Dacă funcția este pară pe intervalul (−∞, +∞), atunci transformata Fourier poate fi reprezentată prin funcția cosinus:

Astfel, transformata Fourier continuă ne permite să reprezentăm o funcție neperiodică sub forma unei integrale a unei funcții care reprezintă în fiecare punct coeficientul seriei Fourier pentru funcția neperiodică.

Transformarea Fourier este inversabilă, adică dacă transformarea sa Fourier a fost calculată dintr-o funcție, atunci funcția originală poate fi restaurată în mod unic din transformarea Fourier. Prin transformată Fourier inversă înțelegem o integrală a formei (două forme de notație):

sau

unde este transformata Fourier a unei funcții sau spectrul de frecvență al unei funcții;

- frecventa circulara.

Dacă funcția este impară pe intervalul (−∞, +∞), atunci transformata Fourier inversă poate fi reprezentată prin funcția sinus:

Dacă funcția este pară pe intervalul (−∞, +∞), atunci transformata Fourier inversă poate fi reprezentată prin funcția cosinus:

Ca exemplu, luați în considerare următoarea funcție . Graficul funcției exponențiale studiate este prezentat mai jos.

Deoarece funcția este o funcție pară, transformata Fourier continuă va fi definită după cum urmează:

Ca rezultat, am obținut dependența modificării funcției exponențiale studiate de intervalul de frecvență (vezi mai jos).

Transformata Fourier continuă este utilizată, de regulă, în teorie atunci când se consideră semnale care se modifică în conformitate cu funcții date, dar în practică se ocupă de obicei cu rezultate de măsurare care reprezintă date discrete. Rezultatele măsurătorilor sunt înregistrate la intervale regulate cu o anumită frecvență de eșantionare, de exemplu, 16000 Hz sau 22000 Hz. Cu toate acestea, în cazul general, citirile discrete pot fi inegale, dar acest lucru complică aparatul matematic de analiză și, prin urmare, nu este de obicei folosit în practică.

Există o teoremă importantă a lui Kotelnikov (în literatura străină se găsește denumirea de „teorema Nyquist-Shannon”, „teorema de eșantionare”) care afirmă că un semnal periodic analogic având un spectru finit (limitat în lățime) (0...fmax ) pot fi restaurate în mod unic fără distorsiuni și pierderi în eșantioanele lor discrete prelevate cu o frecvență mai mare sau egală cu de două ori frecvența superioară a spectrului - frecvența de eșantionare (fsample >= 2*fmax). Cu alte cuvinte, la o rată de eșantionare de 1000 Hz din analog semnal periodic este posibil să se reconstituie un semnal cu o frecvență de până la 500 Hz. Trebuie remarcat faptul că discretizarea unei funcții în timp duce la periodizarea spectrului acesteia, iar discretizarea spectrului în funcție de frecvență duce la periodizarea funcției.

Aceasta este una dintre transformările Fourier utilizate pe scară largă în algoritmii de procesare a semnalului digital.

Transformata Fourier discretă directă asociază o funcție de timp, care este definită de N-puncte de măsurare pe un interval de timp dat, cu o altă funcție, care este definită pe un interval de frecvență. Trebuie remarcat faptul că funcția în domeniul timpului este specificată folosind N-eșantioane, iar funcția pe domeniul frecvenței este specificată folosind spectrul K-fold.

k ˗ indicele de frecvenţă.

Frecvența semnalului k-lea este determinată de expresie

unde T este perioada de timp în care au fost preluate datele de intrare.

Transformarea discretă directă poate fi rescrisă în termeni de componente reale și imaginare. Componenta reală este o matrice care conține valorile componentelor cosinus, iar componenta imaginară este o matrice care conține valorile componentelor sinusului.

Din ultimele expresii reiese clar că transformarea descompune semnalul în componente sinusoidale (care se numesc armonice) cu frecvențe de la o oscilație pe perioadă la N oscilații pe perioadă.

Transformata Fourier discretă are o caracteristică specială, deoarece o secvență discretă poate fi obținută printr-o sumă de funcții cu compoziții diferite ale semnalului armonic. Cu alte cuvinte, o secvență discretă este descompusă în variabile armonice - ambiguă. Prin urmare, atunci când extindeți o funcție discretă folosind o transformată Fourier discretă, în a doua jumătate a spectrului apar componente de înaltă frecvență care nu erau în semnalul original. Acest spectru de înaltă frecvență este o imagine în oglindă a primei părți a spectrului (în termeni de frecvență, fază și amplitudine). De obicei, a doua jumătate a spectrului nu este luată în considerare, iar amplitudinile semnalului primei părți a spectrului sunt dublate.

Trebuie remarcat faptul că descompunerea unei funcții continue nu duce la apariția unui efect de oglindă, deoarece o funcție continuă este descompusă în mod unic în variabile armonice.

Amplitudinea componentei DC este valoarea medie a funcției pe o perioadă de timp selectată și este determinată după cum urmează:

Amplitudinile și fazele componentelor de frecvență ale semnalului sunt determinate de următoarele relații:

Valorile rezultate ale amplitudinii și fazei se numesc notație polară. Vectorul semnal rezultat va fi determinat după cum urmează:

Să considerăm un algoritm pentru transformarea unei funcții date discret pe un interval dat (pe o perioadă dată) cu numărul de puncte inițiale

Transformată Fourier sclipitoare D

Ca urmare a transformării, obținem valoarea reală și imaginară a funcției, care este definită pe domeniul de frecvență.

Transformata Fourier discretă inversă asociază o funcție de frecvență, care este definită de spectrul K-fold pe intervalul de frecvență, cu o altă funcție, care este definită pe intervalul de timp.

N ˗ numărul de valori ale semnalului măsurate pe o perioadă, precum și multiplicitatea spectrului de frecvență;

k ˗ indicele de frecvenţă.

După cum sa menționat deja, transformata Fourier discretă a N-puncte semnal discret potrivește eșantioane spectrale N-complexe ale semnalului. Pentru a calcula o probă spectrală, sunt necesare N operații complexe de înmulțire și adunare. Astfel, complexitatea de calcul a algoritmului de transformare Fourier discretă este pătratică, cu alte cuvinte, sunt necesare operații complexe de înmulțire și adunare.

1

Camerele de supraveghere video sunt utilizate pe scară largă pentru a monitoriza condițiile de trafic pe autostrăzile cu volume mari de trafic. Informațiile primite de la camerele video conțin date privind modificările temporare ale poziției spațiale a vehiculelor în câmpul vizual al sistemului. Prelucrarea acestor informații pe baza algoritmilor utilizați în sistemele de măsurare a televiziunii (TIS) face posibilă determinarea vitezei vehiculelor și asigurarea managementului fluxului de trafic. Acești factori explică interesul tot mai mare pentru monitorizarea televizată a autostrăzilor de transport.

Pentru a dezvolta metode de filtrare a imaginilor vehiculelor pe un fundal de zgomot, este necesar să se cunoască parametrii și caracteristicile de bază ale acestora. Anterior, autorii au efectuat un studiu al spectrelor Fourier și wavelet ale mediilor naturale și urbane. Această lucrare este dedicată studiului spectrelor similare ale vehiculelor.

• Folosind o cameră digitală, a fost creată o bancă de fișiere sursă .bmp cu imagini monocrome ale vehiculelor tipuri variate(mașini și camioane, autobuze, pentru fiecare grupă numărul de imagini a fost de 20-40 la diferite unghiuri și condiții de iluminare); imaginile aveau dimensiuni de 400 pixeli pe orizontală și 300 pixeli pe verticală; interval de luminozitate de la 0 la 255 de unități;
• întrucât imaginile conțineau și o componentă de fundal în plus față de vehicul, aceasta a fost suprimată artificial la un nivel zero pentru a preveni influențarea rezultatului;
• Caracteristicile imaginilor vehiculelor au fost analizate folosind metode de analiză Fourier și wavelet.

Programul dezvoltat în mediul MATLAB vă permite să calculați luminozitatea medie (adică așteptările matematice ale luminozității imaginii), dispersia luminozității, spectrul Fourier al liniilor individuale și totale ale imaginii, spectrogramele, precum și spectrele wavelet folosind diverse wavelet-uri binecunoscute. (Haar, Daubechies, Simleta etc.). Rezultatele analizei sunt reflectate sub formă de spectre de imagini bidimensionale și 3D.

Pe baza rezultatelor cercetării se pot trage următoarele concluzii:

• caracteristicile de luminozitate medie (luminozitate medie, dispersie) ale imaginilor diferitelor vehicule au valori similare pentru toate tipurile; Stralucirea soarelui de pe geam și suprafețele mașinii are un impact semnificativ asupra caracteristicilor de luminozitate; în funcție de intensitatea și direcția iluminării, mașinile negre pot avea caracteristici de luminozitate similare mașinilor de culoare deschisă;
• Indiferent de tipul vehiculului, spectrele Fourier și wavelet au o structură similară;
• lățimea Fourier a spectrului vehiculului depinde puțin de tipul de mașină; spectrul are o structură semnificativ neuniformă, schimbându-se odată cu schimbările de iluminare și orientarea vehiculului; spectrul în plan orizontal are o structură mai neuniformă decât în ​​plan vertical; caracteristicile spectrale ale semi-camioanelor și autobuzelor sunt foarte influențate de desene și inscripții (reclame) pe suprafețele sale;
• la întoarcerea mașinilor, există o schimbare semnificativă a spectrelor imaginilor în plan orizontal, spectrul în plan vertical rămâne destul de stabil; acest lucru este vizibil în mod deosebit în spectrele wavelet;
• analiza spectrelor unui vehicul individual și a unui vehicul pe un fundal de interferență arată că acestea diferă în nivelurile de amplitudine ale componentelor spectrale; în absența unui fundal, spectrul vertical este semnificativ mai uniform; pentru imaginile cu mașini fără fundal, există o probabilitate mai mare de scăderi profunde în spectru (denivelare mai mare), învelișul spectrului de imagini cu fundal este mai uniform decât fără fundal;
• studiile efectuate au arătat că, datorită influenței puternice a unui număr mare de factori, caracteristicile spectrale ale vehiculelor (atât obținute prin analiza Fourier, cât și prin analiza wavelet) nu ne permit să identificăm caracteristicile spectrale stabile ale imaginilor vehiculelor; aceasta reduce eficacitatea filtrării imaginilor spectrale efectuate pentru a suprima fundalul;
• V sisteme automatizate controlul traficului, pentru a identifica mașinile pe un fundal de zgomot, este necesar să se utilizeze un set de caracteristici, cum ar fi culoarea, spectrul, parametrii geometrici ai obiectelor (dimensiuni și raporturi de aspect) și caracteristici dinamice.

BIBLIOGRAFIE

1. Makaretsky E.A., Nguyen L.H. Studiul caracteristicilor imaginilor de fundal natural și urban // Izv. Tulsk Stat Univ. Inginerie radio și optică radio. - Tula, 2005. - T. 7.- P.97-104.

Link bibliografic

Makaretsky E.A. STUDIUL SPECTRELOR FOURIER ȘI WAVELET ALE IMAGINILOR VEHICULELOR // Cercetare fundamentală. – 2006. – Nr. 12. – P. 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (data acces: 15/01/2020). Vă aducem în atenție reviste apărute la editura „Academia de Științe ale Naturii”