10.7256/2306-4196.2015.6.17225

Dátum zverejnenia:

19-01-2016

Abstraktné.

Predmetom výskumu v tomto príspevku je funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) náhodnej premennej, ktorá je súčtom konečného počtu hodnôt beta. Tento zákon je rozšírený v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože jeho použitím možno opísať dostatočne veľký počet náhodných udalostí, ak sa hodnota zodpovedajúcej spojitej náhodnej premennej sústredí v určitom rozsahu. Keďže požadovaný súčet hodnôt beta nie je možné vyjadriť žiadnym zo známych zákonov, vzniká problém odhadnúť jeho rozloženie hustoty. Cieľom je nájsť pre PDF takú aproximáciu súčtu beta hodnôt, ktorá by mala najmenšiu chybu. Na dosiahnutie tohto cieľa bol vykonaný výpočtový experiment, v ktorom sa pre daný počet beta hodnôt porovnávala číselná hodnota PDF s aproximáciou požadovanej hustoty. Ako aproximácie boli použité normálne a beta rozdelenie. Ako záver experimentálnej analýzy boli získané výsledky, ktoré naznačujú vhodnosť aproximácie požadovaného zákona pomocou beta rozdelenia. Za jednu z oblastí aplikácie výsledkov sa považuje problém projektového manažmentu s náhodným trvaním prác. Tu je kľúčovou otázkou vyhodnotenie doby realizácie projektu, ktorú vzhľadom na špecifickú tematickú oblasť možno opísať súčtom hodnôt beta.

Kľúčové slová:

Náhodná hodnota, beta rozdelenie, funkcia hustoty, normálne rozdelenie, súčet náhodných premenných, výpočtový experiment, rekurzívny algoritmus, aproximácia, chyba, PERT

Úvod

Zvažuje sa problém odhadu distribučného zákona súčtu beta hodnôt. Toto je univerzálny zákon, ktorý možno použiť na opis väčšiny náhodných javov so zákonom o spojitom rozdelení. Najmä v drvivom počte prípadov skúmania náhodných javov, ktoré možno opísať unimodálnymi spojitými náhodnými veličinami ležiacimi v určitom rozsahu hodnôt, môže byť takáto hodnota aproximovaná zákonom beta. V tomto ohľade je problém nájdenia distribučného zákona pre súčet beta hodnôt nielen vedeckého charakteru, ale má aj určitý praktický význam. Navyše, na rozdiel od väčšiny distribučných zákonov, beta zákon nemá jedinečné vlastnosti, ktoré umožňujú analytický popis požadovaného množstva. Špecifickosť tohto zákona je navyše taká, že je mimoriadne ťažké extrahovať násobný určitý integrál potrebný na určenie hustoty súčtu náhodných premenných a výsledkom je pomerne ťažkopádny výraz aj pre n = 2 a so zvýšením v počte pojmov sa mnohonásobne zvyšuje zložitosť výsledného výrazu. V tomto ohľade vzniká problém aproximácie hustoty distribúcie súčtu hodnôt beta s minimálnou chybou.

Tento článok predstavuje prístup k nájdeniu aproximácie pre požadovaný zákon pomocou výpočtového experimentu, ktorý umožňuje pre každý konkrétny prípad porovnať chybu získanú odhadom hustoty záujmu pomocou najvhodnejších zákonov: normálneho a beta. V dôsledku toho sa dospelo k záveru, že je vhodné odhadnúť súčet hodnôt beta pomocou distribúcie beta.

1. Vyjadrenie problému a jeho vlastnosti

Vo všeobecnosti je zákon beta určený hustotou špecifikovanou v intervale takto:

`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`

Prakticky zaujímavé sú však hodnoty beta spravidla stanovené v ľubovoľnom intervale. Dôvodom je predovšetkým skutočnosť, že rozsah praktických problémov je v tomto prípade oveľa širší a po druhé, pri hľadaní riešenia pre všeobecnejší prípad nebude možné získať výsledok pre konkrétny prípad, ktorý by byť určený náhodnou premennou (1). nepredstavuje žiadne ťažkosti. Preto v nasledujúcom budeme uvažovať o náhodných premenných definovaných na ľubovoľnom intervale. V tomto prípade môže byť problém formulovaný nasledovne.

Zvažujeme problém odhadu distribučného zákona náhodnej premennej, ktorá je súčtom náhodných premenných `xi_ (i),` i = 1, ..., n, z ktorých každý je rozdelený podľa zákona beta v intervale s parametrami p i a q i. Hustota distribúcie jednotlivých členov bude určená vzorcom:

Problém nájdenia zákona súčtu hodnôt beta bol čiastočne vyriešený skôr. Predovšetkým boli získané vzorce na odhadnutie súčtu dvoch hodnôt beta, z ktorých každá je určená pomocou (1). V navrhovanom prístupe k hľadaniu súčtu dvoch náhodných veličín s distribučným zákonom (2).

Vo všeobecnosti však pôvodný problém nebol vyriešený. Je to predovšetkým kvôli špecifickosti vzorca (2), ktorý neumožňuje získať kompaktné a pohodlné vzorce na nájdenie hustoty zo súčtu náhodných premenných. Vlastne na dve množstvá„xi_1“ a „xi_2“. požadovaná hustota sa určí takto:

`f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)“

V prípade sčítania n náhodných premenných dostaneme násobný integrál. Zároveň s týmto problémom existujú ťažkosti spojené so špecifikami distribúcie beta. Najmä aj pre n = 2 vedie použitie vzorca (3) k dosť ťažkopádnemu výsledku, ktorý je definovaný z hľadiska hypergeometrických funkcií. Opätovné prevzatie integrálu získanej hustoty, ktoré sa musí vykonať už pri n = 3 a vyššom, je mimoriadne ťažké. Zároveň nie sú vylúčené chyby, ktoré nevyhnutne vzniknú pri zaokrúhľovaní a výpočte takéhoto zložitého výrazu. V tejto súvislosti je potrebné hľadať aproximáciu pre vzorec (3), ktorý umožňuje použiť dobre známe vzorce s minimálnou chybou.

2. Výpočtový experiment na aproximáciu hustoty súčtu hodnôt beta

Na analýzu špecifík požadovanej hustoty distribúcie sa uskutočnil experiment, ktorý umožňuje zbierať štatistické informácie o náhodnej premennej, ktorá je súčtom vopred určeného počtu náhodných premenných s beta distribúciou s danými parametrami. Experimentálne usporiadanie bolo podrobnejšie popísané v. Zmenou parametrov jednotlivých hodnôt beta, ako aj ich počtu, sme v dôsledku veľkého počtu uskutočnených experimentov dospeli k nasledujúcim záverom.

1. Ak jednotlivé náhodné premenné zahrnuté do súčtu majú symetrické hustoty, potom má histogram konečného rozdelenia tvar blízky normálu. Sú tiež blízke normálnemu zákonu hodnotenia číselných charakteristík výslednej hodnoty (matematické očakávanie, rozptyl, asymetria a špičatosť).

2. Ak sú jednotlivé náhodné veličiny asymetrické (s pozitívnou aj negatívnou asymetriou), ale celková asymetria je 0, potom z hľadiska grafického znázornenia a číselných charakteristík je získaný distribučný zákon tiež blízky normálu.

3. V ostatných prípadoch je hľadaný zákon vizuálne blízky zákonu beta. Konkrétne súčet piatich asymetrických náhodných premenných je znázornený na obrázku 1.

Obrázok 1 - Súčet piatich rovnako asymetrických náhodných premenných

Na základe vykonaného experimentu je teda možné predložiť hypotézu o možnej aproximácii hustoty súčtu hodnôt beta normálnym alebo beta rozdelením.

Na potvrdenie tejto hypotézy a výber jediného zákona na aproximáciu vykonáme nasledujúci experiment. Po zadaní počtu náhodných premenných s beta rozdelením, ako aj ich parametrov, nájdeme číselnú hodnotu požadovanej hustoty a porovnáme ju s hustotou zodpovedajúceho normálneho alebo beta rozdelenia. To si bude vyžadovať:

1) vyvinúť algoritmus, ktorý vám umožní numericky odhadnúť hustotu súčtu hodnôt beta;

2) s danými parametrami a počtom počiatočných hodnôt určiť parametre konečného rozdelenia za predpokladu normálneho alebo beta rozdelenia;

3) určiť chybu aproximácie pomocou normálneho rozdelenia alebo beta rozdelenia.

Pozrime sa na tieto úlohy podrobnejšie. Numerický algoritmus na nájdenie hustoty súčtu hodnôt beta je založený na rekurzii. Súčet n ľubovoľných náhodných premenných možno určiť takto:

„eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)“ , (4)

„eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)“ . (5)

Podobne môžete opísať hustotu distribúcie náhodnej premennej „eta_ (n-1)“:

„eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1)“ , (6)

Ak budeme pokračovať v podobnej úvahe a použijeme vzorec (3), dostaneme:

`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-) 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2)) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) „

Tieto úvahy, ako aj špecifiká určovania hustoty pre veličiny s beta distribúciou, sú podrobnejšie uvedené v.

Parametre zákona o konečnom rozdelení sú určené na základe predpokladu nezávislosti náhodných veličín. V tomto prípade budú matematické očakávania a rozptyl ich súčtu určené vzorcami:

"Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)"

Pre normálny zákon budú parametre a a "sigma" priamo určené vzorcami (8) a (9). Pre beta distribúciu musíte najprv vypočítať spodnú a hornú hranicu. Môžu byť definované nasledovne:` `

`a = súčet_ (i = 1) ^ na_ (i)`; (10)

,,, b = súčet_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (jedenásť)

Tu a i a b i sú hranice intervalov jednotlivých členov. Ďalej zostavíme systém rovníc, ktorý obsahuje vzorce pre matematické očakávania a rozptyl hodnoty beta:

`((Mxi = a + (ba) p / (p + q)), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) :) (12)“.

Tu je „xi“ náhodná premenná popisujúca požadovaný súčet. Jeho matematické očakávanie a rozptyl sú určené vzorcami (8) a (9); parametre a a b sú dané vzorcami (10) a (11). Po vyriešení systému (12) vzhľadom na parametre p a q budeme mať:

`p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a))“ . (13)

`q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))“ . (14)

`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) "

Tu je „hatf (x)“ aproximáciou súčtu hodnôt beta; `f_ (eta) (x)` - distribučný zákon súčtu hodnôt beta.

Postupne budeme meniť parametre jednotlivých beta hodnôt, aby sme odhadli chyby. Zaujímavé budú najmä tieto otázky:

1) ako rýchlo sa súčet hodnôt beta približuje k normálnemu rozdeleniu a či je možné odhadnúť súčet podľa iného zákona, ktorý bude mať minimálnu chybu v porovnaní so skutočným zákonom o rozdelení súčtu hodnôt beta;

2) o koľko sa chyba zvyšuje so zvyšovaním asymetrie beta hodnôt;

3) ako sa chyba zmení, ak sa intervaly distribúcie hodnôt beta líšia.

Všeobecná schéma experimentálneho algoritmu pre každú jednotlivú hodnotu beta hodnôt môže byť znázornená nasledovne (obrázok 2).

Obrázok 2 - Všeobecná schéma experimentálneho algoritmu

PogBeta - chyba vyplývajúca z aproximácie konečného zákona distribúciou beta v intervale;

PogNorm - chyba vyplývajúca z aproximácie konečného zákona normálnym rozdelením v intervale;

ItogBeta - konečná hodnota chyby vyplývajúcej z aproximácie konečného rozdelenia zákonom beta;

ItogNorm - celková hodnota chyby vyplývajúcej z aproximácie konečného rozdelenia podľa normálneho zákona.

3. Experimentálne výsledky

Poďme analyzovať výsledky experimentu opísaného vyššie.

Dynamika poklesu chýb s nárastom počtu členov je znázornená na obrázku 3. Na vodorovnej osi je počet členov a na osi y je veľkosť chyby. Séria "Norm" ďalej zobrazuje zmenu chyby podľa normálneho rozdelenia, séria "Beta" - beta - rozdelenie.

Obrázok 3 - Zníženie chybovosti s poklesom počtu termínov

Ako je možné vidieť z tohto obrázku, pre dva členy je chyba aproximácie podľa zákona beta asi 4-krát nižšia ako chyba aproximácie podľa zákona normálneho rozdelenia. Je zrejmé, že ako sa výrazy zvyšujú, chyba aproximácie podľa normálneho zákona klesá oveľa rýchlejšie ako podľa zákona beta. Dá sa tiež predpokladať, že pre veľmi veľký počet členov bude mať aproximácia podľa normálneho zákona menšiu chybu ako aproximácia podľa beta rozdelenia. S prihliadnutím na veľkosť chyby v tomto prípade však možno usúdiť, že z hľadiska počtu výrazov je výhodnejšie beta rozdelenie.

Obrázok 4 zobrazuje dynamiku zmien chýb so zvýšením asymetrie náhodných premenných. Bez straty všeobecnosti bol parameter p všetkých počiatočných hodnôt beta fixovaný na hodnotu 2 a dynamika zmeny parametra q + 1 je znázornená na osi x. Zvislá os v grafoch ukazuje chybu aproximácie. Výsledky experimentu s inými hodnotami parametrov sú vo všeobecnosti podobné.

V tomto prípade je tiež zrejmé, že je lepšie aproximovať súčet hodnôt beta pomocou beta distribúcie.

Obrázok 4 - Zmena aproximačných chýb so zvyšujúcou sa asymetriou veličín

Ďalej sme analyzovali zmenu v chybách pri zmene rozsahu počiatočných beta hodnôt. Obrázok 5 ukazuje výsledky merania chyby pre súčet štyroch hodnôt beta, z ktorých tri sú rozdelené v intervale a rozsah štvrtej sa postupne zvyšuje (je vynesený na osi x).

Obrázok 5 - Zmena chýb pri zmene intervalov rozdelenia náhodných veličín

Na základe grafických ilustrácií znázornených na obrázkoch 3-5, ako aj s prihliadnutím na údaje získané ako výsledok experimentu, možno dospieť k záveru, že je vhodné použiť rozdelenie beta na aproximáciu súčtu hodnôt beta.

Ako ukazujú získané výsledky, v 98% prípadov bude chyba pri aproximácii skúmanej hodnoty zákonom beta nižšia ako pri aproximácii normálneho rozdelenia. Priemerná hodnota chyby aproximácie beta bude závisieť predovšetkým od šírky intervalov, v ktorých je každý člen rozdelený. V tomto prípade tento odhad (na rozdiel od normálneho zákona) veľmi málo závisí od symetrie náhodných premenných, ako aj od počtu členov.

4. Aplikácie

Jednou z oblastí použitia získaných výsledkov je úloha projektového manažmentu. Projekt je súbor vzájomne závislých sériovo-paralelných úloh s náhodným trvaním služby. V tomto prípade bude trvanie projektu náhodná hodnota. Je zrejmé, že posúdenie distribučného zákona tohto množstva je zaujímavé nielen vo fáze plánovania, ale aj pri analýze možných situácií spojených s predčasným dokončením všetkých prác. Vzhľadom na skutočnosť, že oneskorenie projektu môže viesť k rôznym nepriaznivým situáciám vrátane pokút, odhad distribučného zákona náhodnej premennej opisujúcej trvanie projektu sa javí ako mimoriadne dôležitá praktická úloha.

V súčasnosti sa na toto hodnotenie používa metóda PERT. Podľa jeho predpokladov je trvanie projektu normálne rozložená náhodná premenná „eta“ s parametrami:

`a = súčet_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)`, (16)

"sigma = sqrt (súčet_ (i = 1) ^ k D eta_ (i))" . (17)

Tu k je počet úloh na kritickej ceste projektu; `eta_ (1)`, ..., `eta_ (k)` - trvanie týchto prác.

Uvažujme o korekcii metódy PERT, berúc do úvahy získané výsledky. V tomto prípade budeme predpokladať, že trvanie projektu je rozdelené podľa zákona beta s parametrami (13) a (14).

Vyskúšajme si získané výsledky v praxi. Zvážte projekt definovaný sieťovým diagramom znázorneným na obrázku 6.

Obrázok 6 - Príklad sieťovej schémy

Okraje grafu tu označujú úlohy, váhy okrajov označujú počty úloh; vrcholy v štvorcoch - udalosti, ktoré znamenajú začiatok alebo koniec práce. Nech sú diela dané trvaním uvedeným v tabuľke 1.

Stôl 1 - Časová charakteristika projektových prác

Vo vyššie uvedenej tabuľke je min najkratší čas, za ktorý je možné túto prácu dokončiť; max - najdlhší čas; Mat. pohotovostný režim je matematické očakávanie distribúcie beta, ktoré ukazuje očakávaný čas na dokončenie danej úlohy.

Proces realizácie projektu budeme simulovať pomocou špeciálne vyvinutého simulačného modelovacieho systému. Bližšie je to popísané v. Ako výstup musíte získať:

Histogramy projektov;

Vyhodnotenie pravdepodobnosti realizácie projektu v danom intervale na základe štatistických údajov simulačného systému;

Odhad pravdepodobností pomocou normálneho a beta rozdelenia.

Počas 10 000-násobnej simulácie realizácie projektu bola získaná vzorka trvania služby, ktorej histogram je znázornený na obrázku 7.

Obrázok 7 - Histogram trvania projektu

Je zrejmé, že vzhľad histogramu znázorneného na obrázku 7 sa líši od grafu hustoty podľa zákona normálneho rozdelenia.

Na zistenie konečného matematického očakávania a rozptylu použijeme vzorce (8) a (9). Dostaneme:

'Meta = 27; D eta = 1,3889

Pravdepodobnosť dosiahnutia daného intervalu sa vypočíta pomocou dobre známeho vzorca:

`P (l (18)

kde „f_ (eta) (x)“ je distribučný zákon náhodnej premennej „eta“, l a r- hranice záujmového intervalu.

Poďme si vypočítať parametre pre finálnu beta distribúciu. Na to používame vzorce (13) a (14). Dostaneme:

p = 13,83; q = 4,61.

Hranice distribúcie beta sú určené vzorcami (10) a (11). Bude mať:

Výsledky štúdie sú uvedené v tabuľke 2. Bez straty na všeobecnosti zvoľme počet cyklov modelu rovný 10 000. V stĺpci „Štatistika“ je vypočítaná pravdepodobnosť získaná na základe štatistických údajov. Stĺpec "Normálne" zobrazuje pravdepodobnosť vypočítanú podľa zákona o normálnom rozdelení, ktorý sa teraz používa na riešenie problému. Stĺpec Beta obsahuje hodnotu pravdepodobnosti vypočítanú z rozdelenia beta.

Tabuľka 2 - Výsledky pravdepodobnostných odhadov

Na základe výsledkov prezentovaných v tabuľke 2, ako aj podobných výsledkov získaných v priebehu modelovania procesu vykonávania iných projektov možno konštatovať, že získané odhady aproximácie súčtu náhodných premenných (2) beta distribúcie umožňujú získať riešenie tohto problému s väčšou presnosťou v porovnaní s existujúcimi náprotivkami.

Cieľom tejto práce bolo nájsť takú aproximáciu zákona o rozdelení súčtu hodnôt beta, ktorá by sa líšila v najmenšej chybe v porovnaní s inými analógmi. Získali sa nasledujúce výsledky.

1. Experimentálne bola predložená hypotéza o možnosti aproximácie súčtu beta hodnôt pomocou beta distribúcie.

2. Bol vyvinutý softvérový nástroj, ktorý umožňuje získať číselnú hodnotu chyby vyplývajúcej z aproximácie požadovanej hustoty pomocou zákona normálneho rozdelenia a zákona beta. Tento program je založený na rekurzívnom algoritme, ktorý vám umožňuje numericky určiť hustotu súčtu hodnôt beta s danou hustotou, ktorá je podrobnejšie popísaná v.

3. Bol zostavený výpočtový experiment, ktorého účelom bolo určiť najlepšiu aproximáciu pomocou porovnávacej analýzy chýb v rôznych podmienkach. Experimentálne výsledky ukázali uskutočniteľnosť použitia beta distribúcie ako najlepšej aproximácie hustoty distribúcie súčtu hodnôt beta.

4. Uvádza sa príklad, v ktorom získané výsledky majú praktický význam. Ide o úlohy projektového manažmentu s náhodnými časmi vykonávania pre jednotlivé úlohy. Dôležitým problémom pri takýchto úlohách je posúdenie rizík spojených s neskorým dokončením projektu. Získané výsledky umožňujú získať presnejšie odhady požadovaných pravdepodobností a v dôsledku toho znížiť pravdepodobnosť chýb v plánovaní.

Bibliografia