Komplexné integrály

Tento článok dopĺňa predmet neistých integrálov av ňom sú zahrnuté integrály, ktoré považujem za dosť komplikované. Lekcia bola vytvorená na opakovaných požiadavkách návštevníkov, ktorí prejavili želania, aby sa na stránke demontovali zložitejšie príklady.

Predpokladá sa, že čitateľ tohto textu je dobre pripravený a vie, ako aplikovať hlavné techniky integrácie. Čajová kanvica a ľudia, ktorí nie sú veľmi s dôverisťou integrálom, by mali byť označované na prvú lekciu - Neistý integrál. Príklady riešeníKde môžete zvládnuť tému takmer nulu. Skúsení študenti sa môžu oboznámiť s technikami a metódami integrácie, ktoré v mojich článkoch ešte neboli splnené.

Aké integrály sa budú zvážiť?

Po prvé, zvážime integrály s koreňmi, vyriešiť, ktorý je dôsledne používaný výmena premennej a integrácia do častí. To znamená, že v jednom príklade sa kombinujú dve recepcie. A ešte viac.

Potom sa oboznámeme so zaujímavým a originálnym informácie o metóde integrálu. Táto metóda sa rieši tak málo integrálov.

Tretí počet programov pôjde integrály z komplexných frakcií, ktoré letel za registre hotovosti v predchádzajúcich článkoch.

Po štvrté, ďalšie integrály z trigonometrických funkcií budú rozobraté. Konkrétne existujú metódy, ktoré vám umožňujú vyhnúť sa časovo náročnému trigonometrickému substitúcii.

(2) V funkcii IntegRand, čitateľ na denominátor.

(3) Použite vlastnosť linearity neurčitého integrálu. V poslednom integrálnom integrále funkciu zametajte pod znakom diferenciálu.

(4) Zostávajú zostávajúce integrály. Upozorňujeme, že v logaritme môžete použiť konzoly, nie modul, pretože.

(5) Dodržiavame náhradu, vyjadrujeme z priameho náhrady "TE":

Masochskí študenti môžu indiferencovať odpoveď a získať pôvodnú funkciu integrandu, ako som urobil. Nie, nie, splnil som overenie v správnom zmysle \u003d)

Ako vidíte, počas rozhodnutia som musel použiť ešte viac ako dve rozhodnutia riešenia, takže pre represálie s podobnými integráciami potrebujete sivejúce integračné zručnosti a nie najmenšie skúsenosti.

V praxi, samozrejme, že druhá odmocnina je častejšia, tu sú tri príklady pre nezávislé riešenie:

Príklad 2.

Nájsť neistý integrálny

Príklad 3.

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 4.

Nájdite neurčitý integrál

Tieto príklady toho istého typu, takže kompletné riešenie na konci článku bude len napríklad 2, v príkladoch 3-4 - Jedno odpovede. Aká výmena aplikovať na začiatku rozhodnutí, myslím, že zjavne. Prečo som si vyzdvihol rovnaký typ príkladov? Často sa nachádza vo vašej úlohe. Častejšie, možno, len niečo podobné .

Ale nie vždy, keď pod ArctGennes, Sinus, Cosine, exponenciálne atď. Vlastnosti sú koreňom lineárnej funkcie, musí sa použiť niekoľko metód. V niektorých prípadoch je možné "zbaviť sa", to znamená, že ihneď po výmene sa získa jednoduchý integrál, ktorý je základný. Najjednoduchšie navrhovaných úloh je príklad 4 po výmene, upozorňuje na relatívne jednoduchú integrálnu.

Informácie o metóde integrálu

Vtipná a krásna metóda. Okamžite zvážte klasiku žánru:

Príklad 5.

Nájdite neurčitý integrál

Pod koreňom je štvorcový bikkoník a pri pokuse o integráciu tohto príkladu môže kanvica trpieť celými hodinami. Takýto integrálny sa prijíma v častiach a prichádza k sebe. V zásade nie je to ťažké. Ak viete, ako.

Označuje zváženým integrálom latinského listu a začnite riešenie:

Integrujeme do častí:

(1) Pripravujeme náhradnú funkciu pre divíziu pôdy.

(2) Rozdeľujeme výhradnú funkciu. Možno nie na všetkých jasne, budem písať podrobnejšie:

(3) Použite vlastnosť linearity neurčitého integrálu.

(4) Urobte posledný integrálny ("dlhý" logaritmus).

Teraz sa pozrieme na začiatok rozhodnutia:

A na konci:

Čo sa stalo? V dôsledku našich manipulácií sa integrálny dostal na seba!

Vyrovnávame na začiatok a koniec:

Prenesieme na ľavú stranu so zmenou znamenia:

A demo demolózu na pravej strane. Ako výsledok:

Konštantná, prísne povedané, musela byť pridaná skôr, ale na konci ho pripisovala. Dôrazne odporúčam, aby som čítal, čo je tu pre prísnosť:

Poznámka: Prísnejšia konečná fáza riešenia vyzerá takto:

Touto cestou:

Konštanta môže byť znovu použitá. Prečo si môžete vyhodiť? Pretože stále trvá akýkoľvek Hodnoty av tomto zmysle medzi konštantami a neexistuje žiadny rozdiel.
Ako výsledok:

Taký trik s opätovnou konštantnou konštantnou je široko používaný diferenciálne rovnice. A tam budem prísny. A tu taká sloboda je povolená len preto, aby som vás nemala zmiasť s nadbytočnými vecami a zamerať sa na samotnú integračnú metódu.

Príklad 6.

Nájdite neurčitý integrál

Ďalší typický integrálny pre seba-rozhodnutia. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Rozdiel s odpoveďou predchádzajúceho príkladu bude!

Ak pod odmocnina Tam je štvorcový trojposteľový, roztok v každom prípade sa redukuje na dva demontované príklady.

Zvážte napríklad integrál . Všetko, čo musíte urobiť, je pred- vyberte celé námestie:
.
Ďalej sa vykonáva lineárna výmena, ktorá stojí "bez akýchkoľvek následkov":
V dôsledku toho sa získa integrálny. Niečo známe, že?

Alebo taký príklad, s námestím odrazom:
Zvýrazňujeme celé námestie:
A po lineárnej výmene dostaneme integrál, ktorý je tiež vyriešený algoritmom už uvažovaným.

Zvážte ďalšie dve typický príklad Informácie o recepcii Integrál na seba:
- integrál od expozície vynásobeného sinusom;
- Integrál z exponátu vynásobeného Cosine.

V uvedených integráloch sa bude musieť dvakrát integrovať:

Príklad 7.

Nájdite neurčitý integrál

Funkcia Integrand je vystavovateľ vynásobená sínusom.

Dvakrát sa integrujeme v častiach a priniesť integrál na seba:

V dôsledku dvojnásobnej integrácie v častí sa integrál dostal do seba. Riešime počiatočné a koncové riešenia:

Prejdeme na ľavú stranu so zmenou znamenia a vyjadriť náš integrál:

Pripravený. Tiež je žiaduce bojovať proti pravej strane, t.j. Ak chcete urobiť exponent pre zátvorky, a v zátvorkách, aby ležali sinus s Cosine v "Krásnej" objednávky.

Teraz sa vráťme na začiatok príkladu, alebo skôr - k integrácii v častiach:

Lebo sme vymenovali vystavovateľa. Vzniká otázka, vždy je potrebné odkazovať na vystavovateľ? Nie je potrebné. V skutočnosti, v preskúmanom integrále zásada žiadny rozdielČo sa týka, bolo možné ísť na iný spôsob:

Prečo je to možné? Vzhľadom k tomu, vystavovateľ sa premení do seba (a počas diferenciácie a počas integrácie) sa sínus s kosínom navzájom stáva navzájom (opäť - obaja počas diferenciácie a počas integrácie).

To znamená, že trigonometrická funkcia môže byť označená. Ale v skúšanom príklade je to menej racionálne, pretože sa objavia frakcie. Ak si želáte, môžete sa pokúsiť vyriešiť tento príklad druhým spôsobom, odpovede musia byť zhodné.

Príklad 8.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Pred rozhodnutím, premýšľajte o tom je v tomto prípade výhodnejšie na označenie, exponent alebo trigonometrickú funkciu? Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A samozrejme nezabudnite, že väčšina odpovedí tejto lekcie je pomerne ľahká kontrola diferenciácie!

Príklady neboli považované za najťažšie. V praxi sa integrály častejšie nachádzajú, kde existuje konštanta na exponentnom indikátore av argumente trigonometrickej funkcie, napríklad:. Myslel som, že v podobnom integrále bude musieť urobiť veľa, často ma opýtam. Faktom je, že pri riešení pravdepodobnosti vzhľadu frakcií a je veľmi jednoducho niečo intenzívne stratiť. Okrem toho, pravdepodobnosť chýb v značkách je skvelá, uviedli na vedomie, že na ukazovateli Exponent je znak mínus, a to robí ďalšie ťažkosti.

V konečnej fáze sa často získava približne nasledujúce:

Dokonca aj na konci rozhodnutia by mali byť mimoriadne pozorné a kompetentne riešiť frakcie:

Integrujúce zložité frakcie

Pomaly sa dostaneme k lekcii rovník a začnite zvážiť integrály z frakcií. Opäť nie všetky z nich sú superwit, len z jedného dôvodu alebo iné príklady boli trochu "nie v téme" v iných výrobkoch.

Pokračujeme v téme koreňov

Príklad 9.

Nájdite neurčitý integrál

V denominátore, pod koreňom je štvorcový troj-stalny plus mimo koreň "Zlepšiť" vo forme "IKSA". Integrál tohto typu sa rieši pomocou štandardnej náhrady.

Rozhodneme sa:

Výmena je jednoduchá:

Pozeráme sa na život po výmene:

(1) Po substitúcii dávame celkovému menovizuálne podmienky pod koreňom.
(2) Vytrhneme z koreňa.
(3) čitateľ a menovateľ, ktorý sa znižuje. Zároveň, pod koreňom, som usporiadal komponenty v pohodlnom poradí. S určitým experimentom, kroky (1), (2) môžu byť preskočené vykonaním komentovaných akcií ústne.
(4) Výsledný integrál, ako si spomeniete na lekciu Integrujúce niektoré frakcierozhoduje metóda pridelenia úplného námestia. Vyberte celé námestie.
(5) Integrácia dostaneme maximálny "dlhý" logaritmus.
(6) Vykonávajte náhradu. Ak sa spočiatku, potom späť :.
(7) Záverečná činnosť je zameraná na účes výsledku: pod koreňom, opäť prinášajú komponenty na celkový menovateľ a vydržať z koreňa.

Príklad 10.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Tu bola konštanta pridaná do osamelého "ICSU" a náhrada je takmer rovnaká:

Jediná vec, ktorú potrebujete na dodatočne, je expresné "x" z výmeny:

Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Niekedy v takomto integrále pod koreňom môže byť štvorcový bicker, nemení riešenie na riešenie, bude to ešte jednoduchšie. Cítiť rozdiel:

Príklad 11.

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 12.

Nájdite neurčitý integrál

Stručné rozhodnutia a odpovede na konci hodiny. Treba poznamenať, že príklad 11 je presne binomiálny integrál, ktorých rozhodnutie bolo zvážené v lekcii Integrály z iracionálnych funkcií.

Integrál z nepatrného polynómu 2. stupňa do mieru

(polynóm v denominátoroch)

Zriedkavé, ale napriek tomu stretnutie praktické príklady Typ integrálu.

Príklad 13.

Nájdite neurčitý integrál

Ale vráťte sa napríklad s Šťastné číslo 13 (úprimne, nezodpovedal). Tento integrál je tiež z kategórie tých, s ktorými môžete byť dosť, ak neviete, ako riešiť.

Rozhodnutie začína umelou transformáciou:

Ako rozdeliť Numerátora na denominátor, myslím, že všetko je chápané.

Výsledný integrálny sa prijíma v častiach: \\ t

Pre zobrazenie integrál (- prirodzené číslo) odstránené opakujúci Vzorec redukcie stupňa:
kde - Nižšie.

Budem presvedčený o spravodlivosti tohto vzorca pre prorockú integrál.
V tomto prípade: Používame vzorec:

Ako vidíte, odpovede sa zhodujú.

Príklad 14.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Vo vzorke roztoku bol uvedený vyššie uvedený vzorca dvakrát.

Ak sa nachádza v stupni nezávislé na multiplikátoroch Štvorcový trojnásobok, potom sa riešenie dostane na sfarbené zvýraznením úplného štvorca, napríklad:

Čo ak ste navyše v nuterátori, je polynóm? V tomto prípade sa použije metóda neurčitých koeficientov a integrovaná funkcia je opísaná v množstve frakcií. Ale v mojej praxi takého príkladu nesplnil som sa, tak som zmeškal tento prípad v článku Integrály z frakčnej racionálnej funkcieChýba mi a teraz. Ak sa takáto integrálna stále stretáva, pozri učebnicu - všetko je jednoduché. Nepovažujem to za účelné zahrnutie materiálu (dokonca jednoduché), pravdepodobnosť stretnutia, s ktorou sa usiluje o nulu.

Integrácia komplexných trigonometrických funkcií

Prídavné meno "komplex" pre väčšinu príkladov je v mnohých smeroch podmienené. Začnime s dotyčnosťami a kotangény vo vysokých stupňoch. Z hľadiska metód riešenia dotyčnice a kotangentu, takmer to isté, tak budem hovoriť viac o Tangent, čo znamená, že demonštrovaný príjem riešenia integrálu je spravodlivý a pre kotagent.

Na vyššie uvedenej lekcii sme uvažovali univerzálna trigonometrická substitúcia Vyriešiť špecifický typ integrálov z trigonometrických funkcií. Nedostatok univerzálnej trigonometrickej substitúcie je, že keď sa používa, objemné integrály s ťažkými výpočtami sa často vyskytujú. A v niektorých prípadoch univerzálnej trigonometrickej substitúcie sa môže vyhnúť!

Zvážte ďalší kanonický príklad, integrál z jednotky rozdelený na sínus:

Príklad 17.

Nájdite neurčitý integrál

Tu môžete použiť univerzálnu trigonometrickú substitúciu a získať odpoveď, ale je tu racionálnejšia cesta. Dám vám kompletné riešenie s komentármi pre každý krok:

(1) Použite trigonometrický vzorec dvojitého uhla síny.
(2) Vykonávame umelú transformáciu: V denominátoráte sa rozdelíme a vynásobíme.
(3) Podľa známeho vzorca v denominátori, otočíme frakciu v tangent.
(4) Funkciu zametajte pod znakom diferenciálu.
(5) Vezmite integrál.

Pár jednoduché príklady Pre vlastné riešenia:

Príklad 18.

Nájdite neurčitý integrál

POZNÁMKA: Najviac prvá činnosť by mala použiť vzorca A opatrne vykonávať podobné predchádzajúcemu príkladu akcie.

Príklad 19.

Nájdite neurčitý integrál

Je to veľmi jednoduchý príklad.

Úplné riešenia a odpovede na konci hodiny.

Myslím, že teraz nikto nemá problémy s integrálmi:
atď.

Aká je myšlienka metódy? Myšlienkou je, že s pomocou transformácií, trigonometrické vzorce organizovať v integrand len dotyčniciach a dotyčnicovým derivátom. To znamená, že je to o výmene: . V príkladoch 17-19 sme skutočne aplikovali túto náhradu, ale integrály boli také jednoduché, že stálo ekvivalentný účinok - zhrnúť funkciu pod označením diferenciálu.

Podobné argumenty, ako som už uviedol, môžete stráviť na cotangent.

Pre použitie vyššie uvedeného výmeny existuje formálny predpoklad:

Súčet stupňov Cosine a Sinus je celé záporné číslo, napr.:

pre integrál - celé negatívne číslo.

! Poznámka : Ak funkcia Integrand obsahuje iba sínus alebo len Cosine, potom sa integrál berie do negatívneho zvláštneho stupňa (najjednoduchšie prípady v príkladoch č. 11, 18).

Zvážte niekoľko ďalších informatívnych úloh pre toto pravidlo:

Príklad 20.

Nájdite neurčitý integrál

Súčet stupňov sinusu a kosínutého: 2 - 6 \u003d -4 je celé záporné číslo, čo znamená, že integrálny môže byť znížený na dotyčnice a jeho derivát:

(1) Transformujeme denominátor.
(2) Podľa slávneho vzorca dostaneme.
(3) Transformujeme denominátor.
(4) Používame vzorec .
(5) Odovzdajte funkciu pod označením diferenciálu.
(6) Nahradíme. Skúsenejší študenti nemožno vymeniť, ale stále je lepšie nahradiť dotyčnicu s jedným listom - menej riziko je zmätené.

Príklad 21.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie.

Držať, šampión's kolá začínajú \u003d)

Často v funkcii integrandu je "Solyanka":

Príklad 22.

Nájdite neurčitý integrál

V tomto integrálnom je dotyčnica pôvodne prítomná, ktorá okamžite sleduje pri už známej myšlienke:

Umelá transformácia na samom začiatku a zostávajúcich zostávajúcich krokov bez komentára, pretože všetko bolo uvedené vyššie.

Pár kreatívnych príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 23.

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 24.

Nájdite neurčitý integrál

Áno, v nich, samozrejme, je možné znížiť stupeň sínusu, kosínu, použiť univerzálnu trigonometrickú substitúciu, ale rozhodnutie bude oveľa efektívnejšie a kratšie, ak sa vykonáva cez tangás. Kompletné riešenie a odpovede na konci hodiny

Hlavné integrály, ktoré by mal každý študent vedieť

Uvedené integrály sú základom základnej základne. Tieto vzorce by sa mali pripomenúť. Pri výpočte zložitejších integrálov ich budete musieť neustále používať.

Venujte osobitnú pozornosť vzorcom (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Nezabudnite pri integrácii pridať odpoveď ľubovoľnú konštantu!

Integrál z Constanta

∫ A D X \u003d A X + C (1)

Integrácia funkcie napájania

V skutočnosti bolo možné obmedziť len vzorcami (5) a (7), ale zvyšok integrálov z tejto skupiny sa stretávajú tak často, že stojí za to, aby im bola za to zaplatiť.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1) (7)

Integrály z indikatívnej funkcie a hyperbolických funkcií

Samozrejme, vzorca (8) (možno najvýhodnejšie na zapamätanie) možno považovať za súkromný prípad Vzorce (9). Formuláry (10) a (11) pre integrály z hyperbolického sínusu a hyperbolickej kosínu sú ľahko odvodené zo vzorca (8), ale je lepšie si pamätať tieto vzťahy.

∫ e x d x \u003d e x + c (8)
∫ A X D X \u003d A X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1) (9)
∫ S H x d x \u003d CH x + C (10)
∫ CH x d x \u003d s H x + C (11)

Základné integrály z trigonometrických funkcií

Chyba, ktorú študenti často robí: zamiešané značky vo vzorcoch (12) a (13). Spomieňou na to, že derivát sinus je rovný kosínutiu, mnohí z nejakého dôvodu sa domnievajú, že integrál z funkcie Sinx je COSX. To nie je pravda! Integrál sine sa rovná "mínus cosine", ale integrál z Cosx je "Just Sinus":

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ COS X D X \u003d SIN X + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 SIN 2 x d x \u003d - c t g x + c (15)

Integrály sa zmenšili na inverzné trigonometrické funkcie

Vzorec (16), čo vedie k arctgent, prirodzene, je špeciálny prípad vzorca (17) pri A \u003d 1. Podobne (18) - osobitný prípad (19).

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a Rc t g x + c \u003d - a r c c t g x + c (16)
∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A R C t g x A + C (A ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x \u003d arcsin x + c \u003d - arccos x + c (18)
∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Komplexnejšie integrály

Tieto vzorce sú tiež žiaduce zapamätať si. Používajú sa aj pomerne často a ich záver je celkom únavný.

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | X + X 2 + A 2 + C (20)
∫ 1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + X 2 - A 2 | + C (21)
∫ A 2 - X2 D X \u003d X2 A 2 - X2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | X + X 2 + A 2 + C (A\u003e 0) (23)
∫ X 2 - A 2 D X \u003d X 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + X 2 - A 2 | + C (A\u003e 0) (24)

Všeobecné pravidlá integrácie

1) Integrál zo súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu zodpovedajúcich integrálov: ∫ (F (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25 )

2) Integrál rozdielu dvoch funkcií sa rovná rozdielu medzi zodpovedajúcimi integrálmi: ∫ (F (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) Konštanta môže byť vyňatá z integrálneho znaku: ∫ C f (x) d x \u003d c ∫ f (x) d x (27)

Je ľahké si všimnúť, že majetok (26) je len kombináciou vlastností (25) a (27).

4) Integrál z komplexnej funkcie, ak je vnútorná funkcia lineárna: ∫ f (X + b) D x \u003d 1 A F (A X + B) + C (A ≠ 0) (28)

Tu f (x) je primitívny pre funkciu F (X). Poznámka: Tento vzorec je vhodný len pre prípad, keď má vnútorná funkcia zobrazenie AX + B.

DÔLEŽITÉ: Neexistuje žiadny univerzálny vzorec pre integrál z produktu dvoch funkcií, ako aj pre integrál z frakcie:

∫ f (x) g (x) d x \u003d? ∫ f (x) g (x) d x \u003d? (tridsať)

To neznamená, samozrejme, že frakcia alebo práca nemožno integrovať. Len zakaždým, keď vidíte integrovaný typ (30), budete musieť vymyslieť spôsob "bojov" s ním. V niektorých prípadoch budete môcť integrovať do častí, niekde bude musieť nahradiť premennú a niekedy môže pomôcť "Škola" vzorce Algebra alebo trigonometria.

Jednoduchý príklad výpočtu neistého integrálu

Príklad 1. Nájdite integrál: ∫ (3 x 2 + 2 SIN X - 7 E X + 12) D X

Používame vzorce (25) a (26) (integrál sumy alebo rozdielu funkcií sa rovná sume alebo rozdielu zodpovedajúcich integrál. Získame: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 SIN X D X - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Pripomeňme, že konštanta môže byť vykonaná cez integrovaný znak (vzorec (27)). Expresia prevedená na myseľ

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ SIN X D X - 7 ∫ E X D X + 12 ∫ 1 D X

A teraz jednoducho použite tabuľku hlavných integrálov. Budeme musieť použiť vzorce (3), (12), (8) a (1). Integráciu funkcie napájania, sínus, exponent a konštantu 1. Nezabudnite pridať do konca ľubovoľnej konštanty s:

3 x 3 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Po základných transformáciách získame konečnú odpoveď:

X 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Skontrolujte sa diferenciáciou: derivát z funkcie A uistite sa, že sa rovná počiatočným spôsobom vyjadriť.

Súhrn integrál

∫ A D X \u003d A X + C

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + c

∫ A X D X \u003d A X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)

∫ s H x d x \u003d c h x + c

∫ c h x d x \u003d s h x + c

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C

∫ cos x d x \u003d hriech x + c

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 hriech 2 x d x \u003d - c t g x + c

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a Rc t g x + c \u003d - a r c c t g x + c

∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A R C T G x A + C (A ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x \u003d arcsin x + c \u003d - arccos x + c

∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | X + X 2 + A 2 + C.

∫ 1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + X 2 - A 2 | + C.

∫ A 2 - X2 D X \u003d X2 A 2 - X2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | X + X 2 + A 2 + C (A\u003e 0)

∫ X 2 - A 2 D X \u003d X 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + X 2 - A 2 | + C (A\u003e 0)

Stiahnite si integrovaný stôl (časť II) na tomto odkaz

Ak študujete na univerzite, ak máte problémy s najvyššou matematikou (matematická analýza, lineárna algebra, pravdepodobnostná teória, štatistiky), ak potrebujete kvalifikované služby učiteľa, prejdite na stránku Školu v najvyššej matematike . Riešime vaše problémy spolu!

Možno vás zaujíma