Neoddeliteľnú odmocninu. Metódy integrácie iracionálnych funkcií (korene)

Iracionálna funkcia z premennej je funkcia, ktorá je vytvorená z variabilných a ľubovoľných konštánt s použitím konečného počtu operácií pridávania, odčítania, násobenia (erekcia v celom stupni), rozdelenie a extrahovanie koreňov. Iracionálna funkcia sa líši od racionálneho v tom, že iracionálna funkcia obsahuje operácie uzatvárania koreňov.

Existujú tri hlavné typy iracionálnych funkcií, neisté integrály, z ktorých sú dané integrály z racionálnych funkcií. Jedná sa o integrály obsahujúce korene ľubovoľného celé stupne z frakčnej lineárnej funkcie (korene môžu byť rôzne stupne, ale z tej istej, frakčnej lineárnej funkcie); Integrály z diferenciálneho binómu a integrály s odmocninou štvorcových troch snímok.

Dôležitá poznámka. Korene sú zmysluplné!

Pri výpočte integrálov obsahujúcich korene sa často nachádzajú druhy formulára, kde je nejaká funkcia z premennej integrácie. Treba mať na pamäti. To je s t\u003e 0, | t \u003d T. . S T.< 0, | t \u003d - t. Preto pri výpočte takýchto integrálov potrebujete samostatne zvážiť prípady t\u003e 0 a T.< 0 . Toto je možné vykonať, ak píšete príznaky alebo kde je to potrebné. Znamená, že horná značka označuje prípad t\u003e 0 a dno - v prípade t< 0 . S ďalšou konverziou sa tieto príznaky zvyčajne vzájomne znižujú.

Druhý prístup je možný, v ktorom integrovaná funkcia a výsledok integrácie možno považovať za zložité funkcie z komplexných premenných. Potom nemôžete sledovať príznaky v oddelených výrazoch. Tento prístup je použiteľný, ak je integrovaná funkcia analytická, to znamená diferencovanú funkciu z komplexnej premennej. V tomto prípade sú integrovaná funkcia a integrál z nich viacúčelové funkcie. Preto po integrácii, keď nahradí numerické hodnoty, je potrebné zvoliť jednoznačnú vetvu (Riemannian Povrch) funkcie integrandu a vybrať príslušnú vetvu výsledku integrácie.

Lineárna iracionálna

Toto sú integrály s koreňmi z tej istej frakčnej lineárnej funkcie:
,
Tam, kde R je racionálna funkcia - racionálne čísla, m 1, n 1, ..., M s, n s sú celé čísla, α, β, y, δ - platné čísla.
Takéto integrály sa redukujú na integrál z funkcie racionálneho funkcie:
kde n je spoločný menovateľ čísel r 1, ..., R s.

Korene nemusia byť nevyhnutne z frakčnej lineárnej funkcie, ale aj z lineárneho (y \u003d 0, δ \u003d 1) alebo z premennej integrácie x (α \u003d 1, β \u003d 0, y \u003d 0, δ \u003d 1).

Tu sú príklady takýchto integrálov:
, .

Integrály z diferenciálnych binómov

Integrály z diferenciálnych binómov majú formu:
,
Kde m, n, p je racionálne čísla, a, b - platné čísla.
Takéto integrály sa znižujú na integrály z racionálnych funkcií v troch prípadoch.

1) Ak p je celé číslo. Substitúcia X \u003d T N, kde n je celkový menovateľ frakcií M a N.
2) Ak - celok. Substitúcia A X N + B \u003d T M, kde m je počet čísel p.
3) Ak - celok. Substitúcia A + B x - n \u003d t m, kde m je menovateľ čísla P.

V iných prípadoch nie sú takéto integrály vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií.

Niekedy takéto integrály môžu byť zjednodušené pomocou vzorcov:
;
.

Integrály obsahujúce druhá odmocniny štvorcových tri

Takéto integrály sú:
,
kde r je racionálna funkcia. Pre každý takýto integrálny existuje niekoľko metód riešenia.
1) Pomocou transformácií, aby ste viedli k jednoduchším integrálom.
2) Aplikujte trigonometrické alebo hyperbolické substitúcie.
3) Použite substitúcie EULER.

Tieto metódy podrobnejšie zvážte.

1) Konverzia funkcie integrandu

Použitie vzorca a vykonávanie algebraických transformácií priniesť na mysli opätovnú funkciu:
,
kde φ (x), ω (x) je racionálne funkcie.

I písať

Integrál formulára:
,
kde p n (x) je polynómový stupeň n.

Takéto integrály sú metódou neistých koeficientov pomocou identity:

.
Rozlišovanie tejto rovnice a zodpovedajúcej ľavej a pravej časti, nájdeme koeficienty a i.

II

Integrál formulára:
,
kde p m (x) je polynómný stupeň m.

Substitúcia t \u003d. (X - α) -1 Tento integrál je poháňaný na predchádzajúci typ. Ak m ≥ n, potom sa frakcia mala prideliť na celú časť.

III Typ

Tu robíme substitúciu:
.
Potom bude integrálny formulár:
.
Ďalej, trvalý α, β, musíte si vybrať tak, že v denominátoroch koeficienty v t otočili na nulu:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Potom sa integrálny rozpadá suma integrálov dvoch typov:
,
,
ktoré sú integrované substitúciami:
u 2 \u003d A 1 t 2 + C1,
v 2 \u003d A 1 + C1 T -2.

2) trigonometrické a hyperbolické substitúcie

Pre integrály formulára, a > 0 ,
Máme tri hlavné substitúcie:
;
;
;

Pre integrály, a > 0 ,
Máme tieto substitúcie:
;
;
;

A konečne pre integrály, a > 0 ,
Substitúcie sú nasledovné:
;
;
;

3) substitúcie EULER

Tiež integrály sa môžu znížiť na integrály z racionálnych funkcií jednej z troch substitúcií EULER:
s\u003e 0;
, s c\u003e 0;
kde x 1 je koreň rovnice A X 2 + B x + C \u003d 0. Ak má táto rovnica platné korene.

Eliptické integrály

Na záver zvážte integrály formulára:
,
kde r je racionálna funkcia ,. Takéto integrály sa nazývajú eliptická. Vo všeobecnosti nie sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií. Existujú však prípady, keď existujú vzťahy medzi koeficientmi A, B, C, D, E, s takýmito integrály sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií.

Nižšie je príklad spojený s vratnými polynómami. Výpočet takýchto integrálov sa vykonáva pomocou substitúcií:
.

Príklad

Vypočítajte integrál:
.

Rozhodnutie

Podať náhradu.

.
Tu na x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Vezmeme top znamenie '+'. S X.< 0 (U.< 0 ) - nižšie '-'.

Odpoveď

Referencie:
N.M. GUNTER, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh na vyššej matematike, "LAN", 2003.

V piatom storočí pred naším letopočtom na Bc, staroveký grécky filozof Zenon Elayky formuloval svoje slávne, z ktorých najslávnejšie je Achilles a Turtle Aritia. Takto to znie:

Predpokladajme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka, a je za ním vo vzdialenosti tisíc krokov. Pre čas, pre ktorý je Achilles prebiehať cez túto vzdialenosť, sto krokov sa zrúti na tej istej strane. Keď Achilles beží sto krokov, korytnačka sa prejde asi desať krokov, a tak ďalej. Proces bude pokračovať v nekonečno, Achilles nikdy chytí korytnačku.

Toto uvažovanie sa stalo logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristotle, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Všetci z nich nejako považovali APRIOLÓGU ZENONU. Šok sa ukázal byť tak silný, že " ... Diskusie Pokračujte a v súčasnosti, aby sa dostali k všeobecnému stanovisku o podstate paradoxov do vedeckej komunity ešte nebolo možné ... Matematická analýza, teória sady, nové fyzické a filozofické prístupy sa zapojili do štúdium problému; Nikto z nich sa nestalo všeobecne uznávaným problémom problému ..."[Wikipedia," Yenon Aprliya "]. Každý chápe, že sú zablokovaní, ale nikto nerozumie, čo podvod je.

Z hľadiska matematiky Zeno v jeho aprorerii jasne preukázal prechod z hodnoty do. Tento prechod znamená aplikáciu namiesto konštantnej. Pokiaľ idem rozumiem, matematické prístroje používania premenných jednotiek merania sa ešte ešte nevyvinulo, alebo nebolo aplikované na svedčenie Zenónu. Použitie našej bežnej logiky nás vedie k pasci. My, pri zotrvaní myslenia, používame meniča s trvalým časovým meraním. Z fyzického hľadiska vyzerá ako spomalenie času na jeho úplnú zastávku v okamihu, keď je Achilles plnené korytnačkou. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôžete predbehnúť korytnačku.

Ak obrátite logickú logiku, všetko sa stane na mieste. Achilly beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. V súlade s tým, čas strávený na jeho prekonávaní, desaťkrát menej ako predchádzajúci. Ak aplikujete koncepciu "nekonečna" v tejto situácii, bude správne povedať "Achilles nekonečne rýchlo dohnať korytnačku."

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasce? Zostaňte v permanentných jednotkách merania času a nepohybujte sa na reverzné hodnoty. V jazyku Zenonu to vyzerá takto:

Pre túto dobu, pre ktoré Achilles beží tisíc krokov, sto krokov praskne korytnačku na tú istú stranu. Na najbližší časový interval, rovný prvému, Achilles budú spúšťať ďalšie tisíc krokov, a korytnačka praskne sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup primerane opisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je kompletné riešenie problému. Na Zenoniáni Agrác Achillov a korytnačky je veľmi podobný výpisu Einstein o neodolateľnosti rýchlosti svetla. Stále musíme tento problém študovať, prehodnotíme a riešiť. A rozhodnutie by sa malo hľadať v nekonečne veľkého počtu, ale v jednotkách merania.

Ďalšie zaujímavé Yenon Aproreria rozpráva o lietajúcich šípoch:

Lietajúca šípka je stále, pretože v každom okamihu, keď spočíva, a keďže spočíva v každom okamihu času, vždy spočíva.

V tomto kaštieľ je logický paradox veľmi jednoduchý - stačí objasniť, že v každom okamihu sa lietajúca šípka odpočíva v rôznych miestach priestoru, čo je v skutočnosti hnutie. Tu potrebujete všimnúť ďalšiu chvíľu. Podľa jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť skutočnosť jeho pohybu, ani na to. Ak chcete určiť skutočnosť pohybu vozidla, potrebujete dve fotografie vyrobené z jedného bodu na rôznych miestach v čase, ale nie je možné určiť vzdialenosť. Na určenie vzdialenosti od auta, dve fotografie z rôznych bodov priestoru v jednom okamihu, ale nie je možné určiť skutočnosť pohybu (prirodzene, ďalšie údaje sú stále potrebné na výpočty, trigonometry, ktoré vám pomôžu). To, čo chcem venovať osobitnú pozornosť, je, že dva body v čase a dva body v priestore sú rôzne veci, ktoré by nemali byť zmätené, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.

streda, 4. júla 2018

Veľmi dobré rozdiely medzi mnohými a multisetmi sú opísané v Wikipédii. Pozeráme sa.

Ako vidíte, "nemôže existovať dva identické prvky v sade", ale ak sú identické prvky v súbore, takáto sada sa nazýva "mix". Podobná logika absurdných rozumných bytostí nikdy nerozumie. Toto je úroveň rozprávaných papagájov a vyškolených opice, ktoré chýbajú zo slova "vôbec". Matematika pôsobí ako obyčajní školitelia, kázajú naše absurdné nápady.

Akonáhle inžinieri, ktorí vybudovali most počas testov mosta, boli v lodi pod mostom. Ak sa most zrútil, inžinier talentless zomrel pod vlakom jeho stvorenia. Ak most odolal zaťaženie, talentovaný inžinier vybudoval iné mosty.

Keďže matematika sa nepovažovala za výraz "chur, som v dome", presnejšie, "matematika štúdie abstraktné koncepty," je tu jedna pupočníková šnúra, ktorá ich neoddeliteľne viaže s realitou. Táto pupočníková šnúra je peniaze. Platiť matematická teória Sami na matematiku.

Učili sme matematiku veľmi dobre a teraz sedíme pri pokladni, vydávame plat. To prichádza k nám matematik za vaše peniaze. Spoliehame sa na to celú sumu a položíme na téme na rôznych zásobníkoch, v ktorých pridáme účty jednej dôstojnosti. Potom si vezmeme z každého zásobníka na jeden účet a odovzdajte matematiku svojho "matematického sady platu". Vysvetlite matematiku, ktorú zvyšok účtov dostane len vtedy, keď dokazuje, že sada bez toho, aby sa rovnaké prvky nemali rovnať nastavenej s rovnakými prvkami. Tu začne najzaujímavejšie.

Po prvé, logika poslancov bude fungovať: "Je možné ho aplikovať na iní, ku mne - nízke!". Tam budú ďalšie záruky nás, že existujú rôzne čísla na účtoch rovnakej dôstojnosti, čo znamená, že nemožno považovať za rovnaké prvky. No, počítajte platu s mincami - na minciach nie sú žiadne čísla. Tu matematik začne nepáči fyziku: na rôznych mincí existuje iná množstvo nečistôt, kryštálovú štruktúru a umiestnenie atómov Každá minca je jedinečná ...

A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: Kde je riadok, za ktorým sa prvky multisamentu zmenili na prvky súboru a naopak? Takáto tvár neexistuje - každý rieši šalám, vedu tu a nie ležať blízko.

HĽADAJTE. Berieme futbalové štadióny s rovnakou oblasťou poľa. Plocha terénu je rovnaká - to znamená, že máme multipart. Ale ak považujeme mená tých istých štadiónov - máme veľa, pretože mená sú odlišné. Ako vidíte, rovnaký súbor prvkov je nastavený aj multiset. Ako správne? A tu matematik-Shaman-Shuller vytiahne Trump Ace z rukávu a začína nám povedať ani o množstve alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí o jej pravici.

Ak chcete pochopiť, ako moderné šamanov prevádzkujú teóriu súborov, kravatu ju na reality, stačí odpovedať na jednu otázku: Ako sa prvky jednej sady líšia od prvkov inej sady? Ukážem vám, bez toho, aby ste "predstavili ako jeden celok" alebo "nie je premyslený ako celok".

nedeľa, 18. marca 2018

Množstvo čísel je tanec šamanov s tamburínom, ktorý nemá žiadny vzťah k matematike. Áno, v lekciách matematiky, učíme sa nájsť množstvo počtu čísel a používať ho, ale sú šamanmi trénovať svojich potomkov k ich zručnostiam a múdrosti, inak sa šalám jednoducho vyčistia.

Potrebujete dôkazy? Otvorte Wikipédiu a pokúste sa nájsť počet stránok čísel. Neexistuje. V matematike nie je žiadny vzorec, na ktorom môžete nájsť množstvo počtu ľubovoľného čísla. Koniec koncov, čísla sú grafické symboly, s ktorými píšeme čísla a v jazyku matematiky, úloha znie takto: "Nájdite súčet grafických znakov zobrazujúcich ľubovoľné číslo". Matematika nemôže túto úlohu vyriešiť, ale Šamani sú elementárne.

Poďme sa zaoberať tým, čo a ako robíme, aby sme našli množstvo čísla zadaného čísla. A tak máme číslo 12345. Čo by sa malo urobiť, aby ste našli množstvo čísel tohto čísla? Zvážte všetky kroky v poriadku.

1. Zaznamenajte číslo na kus papiera. Čo sme urobili? Transformovali sme číslo do grafického symbolu čísla. Toto nie je matematické akcie.

2. Znížili sme jeden obrázok získaný do niekoľkých obrázkov obsahujúcich jednotlivé čísla. Rezné obrázky nie sú matematické akcie.

3. Konvertujeme jednotlivé grafické znaky v číslach. Toto nie je matematické akcie.

4. Skladujeme čísla. Toto je už matematika.

Množstvo čísel 12345 je 15. Toto sú "frézy a šitie kurzov" od šamanov aplikujú matematici. Ale to nie je všetko.

Z hľadiska matematiky nezáleží na tom, ktorý číselný systém napíšeme číslo. Tak, v rôzne systémy Počet počtu čísel rovnakého čísla bude iný. V matematike je číselný systém uvedený vo forme nižšieho indexu vpravo od čísla. S veľkým počtom 12345, nechcem oklamať hlavu, zvážte číslo 26 článku o. Toto číslo píšeme do binárnych, okomálnych, desatinných a hexadecimálnych číselných systémov. Nebudeme zvážiť každý krok pod mikroskopom, už sme to urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych systémových systémoch sa získa množstvo čísla rovnakého čísla inak. Tento výsledok pre matematiku nemá nič spoločné. Je to ako určenie oblasti obdĺžnika v metroch a centimetroch, ktorú by ste dostali úplne iné výsledky.

Zero vo všetkých odvolacích systémoch vyzerá rovnako a množstvo čísel nemá. Toto je ďalší argument v prospech toho, čo. Otázka matematikov: Ako sa uvádza v matematike, že nie je číslo? Čo, pre matematikov, nič iné ako čísla neexistuje? Pre šamanov môžem byť povolený, ale pre vedcov - nie. Realita sa skladá nielen z čísel.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné systémy sú jednotky čísel. Koniec koncov, nemôžeme porovnať čísla rôzne jednotky Merania. Ak rovnaká akcia s rôznymi jednotkami merania rovnakej hodnoty vedie k rôznym výsledkom po porovnaní, znamená to, že nemá nič spoločné s matematikou.

Aká je skutočná matematika? Toto je, keď výsledok matematického akcie nezávisí od hodnoty čísla používanej jednotkou merania a na to, kto vykonáva túto akciu.

Doska na dverách Otvorí dvere a hovorí:

Oh! Nie je to ženská toaleta?
- Dievča! Toto je laboratórium na štúdium neefektívnej svätosti duší v vzostupu do neba! Nimbi zhora a šípka hore. Čo je to toaleta?

Žena ... Nimbi zhora a arogantné - je to muž.

Ak ste pred vašimi očami niekoľkokrát denne bliká, že je to práca dizajnérskeho umenia,

Potom nie je prekvapujúce, že vo vašom aute zrazu nájdete podivnú ikonu:

Osobne robím úsilie na seba, aby som bol v panovičnej osobe (jeden obraz), aby ste videli mínus štyri stupne (zloženie niekoľkých obrázkov: mínus podpísať, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že toto dievča je blázon, ktorý nepozná fyziku. Je to jednoducho oblúkový stereotyp vnímania grafických obrázkov. A matematika, ktorú sme neustále učili. Tu je príklad.

1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jeden A". Toto je "manželka" alebo číslo "dvadsaťšesť" v hexadecimálny systém Poznámka. Títo ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto systéme, automaticky vnímajú obrázok a písmeno ako jeden grafický symbol.

Komplexné integrály

Tento článok dopĺňa predmet neistých integrálov av ňom sú zahrnuté integrály, ktoré považujem za dosť komplikované. Lekcia bola vytvorená na opakovaných požiadavkách návštevníkov, ktorí prejavili želania, aby sa na stránke demontovali zložitejšie príklady.

Predpokladá sa, že čitateľ tohto textu je dobre pripravený a vie, ako aplikovať hlavné techniky integrácie. Čajová kanvica a ľudia, ktorí nie sú veľmi s dôverisťou integrálom, by mali byť označované na prvú lekciu - Neistý integrál. Príklady riešeníKde môžete zvládnuť tému takmer nulu. Skúsení študenti sa môžu oboznámiť s technikami a metódami integrácie, ktoré v mojich článkoch ešte neboli splnené.

Aké integrály sa budú zvážiť?

Po prvé, zvážime integrály s koreňmi, vyriešiť, ktorý je dôsledne používaný výmena premennej a integrácia do častí. To znamená, že v jednom príklade sa kombinujú dve recepcie. A ešte viac.

Potom sa oboznámeme so zaujímavým a originálnym informácie o metóde integrálu. Táto metóda sa rieši tak málo integrálov.

Tretí počet programov pôjde integrály z komplexných frakcií, ktoré letel za registre hotovosti v predchádzajúcich článkoch.

Po štvrté, ďalšie integrály z trigonometrických funkcií budú rozobraté. Konkrétne existujú metódy, ktoré vám umožňujú vyhnúť sa časovo náročnému trigonometrickému substitúcii.

(2) V funkcii IntegRand, čitateľ na denominátor.

(3) Použitie vlastnosti linearity nie je určitý integrálny. V poslednom integrálnom integrále funkciu zametajte pod znakom diferenciálu.

(4) Zostávajú zostávajúce integrály. Upozorňujeme, že v logaritme môžete použiť konzoly, nie modul, pretože.

(5) Dodržiavame náhradu, vyjadrujeme z priameho náhrady "TE":

Masochskí študenti môžu indiferencovať odpoveď a získať pôvodnú funkciu integrandu, ako som urobil. Nie, nie, splnil som overenie v správnom zmysle \u003d)

Ako vidíte, počas rozhodnutia som musel použiť ešte viac ako dve rozhodnutia riešenia, takže pre represálie s podobnými integráciami potrebujete sivejúce integračné zručnosti a nie najmenšie skúsenosti.

V praxi, samozrejme, že druhá odmocnina je častejšia, tu sú tri príklady pre nezávislé riešenie:

Príklad 2.

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 3.

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 4.

Nájdite neurčitý integrál

Tieto príklady toho istého typu, takže kompletné riešenie na konci článku bude len napríklad 2, v príkladoch 3-4 - Jedno odpovede. Aká výmena aplikovať na začiatku rozhodnutí, myslím, že zjavne. Prečo som si vyzdvihol rovnaký typ príkladov? Často sa nachádza vo vašej úlohe. Častejšie, možno, len niečo podobné .

Ale nie vždy, keď pod ArctGennes, Sinus, Cosine, exponenciálne atď. Vlastnosti sú koreňom lineárnej funkcie, musí sa použiť niekoľko metód. V niektorých prípadoch je možné "zbaviť sa", to znamená, že ihneď po výmene sa získa jednoduchý integrál, ktorý je základný. Najjednoduchšie navrhovaných úloh je príklad 4 po výmene, upozorňuje na relatívne jednoduchú integrálnu.

Informácie o metóde integrálu

Vtipná a krásna metóda. Okamžite zvážte klasiku žánru:

Príklad 5.

Nájdite neurčitý integrál

Pod koreňom je štvorcový bikkoník a pri pokuse o integráciu tohto príkladu môže kanvica trpieť celými hodinami. Takýto integrálny sa prijíma v častiach a prichádza k sebe. V zásade nie je to ťažké. Ak viete, ako.

Označuje zváženým integrálom latinského listu a začnite riešenie:

Integrujeme do častí:

(1) Pripravujeme náhradnú funkciu pre divíziu pôdy.

(2) Rozdeľujeme výhradnú funkciu. Možno nie na všetkých jasne, budem písať podrobnejšie:

(3) Použitie vlastnosti linearity neistý integrálny.

(4) Urobte posledný integrálny ("dlhý" logaritmus).

Teraz sa pozrieme na začiatok rozhodnutia:

A na konci:

Čo sa stalo? V dôsledku našich manipulácií sa integrálny dostal na seba!

Vyrovnávame na začiatok a koniec:

Prenesieme na ľavú stranu so zmenou znamenia:

A demo demolózu na pravej strane. Ako výsledok:

Konštantná, prísne povedané, musela byť pridaná skôr, ale na konci ho pripisovala. Dôrazne odporúčam, aby som čítal, čo je tu pre prísnosť:

Poznámka: Prísnejšia konečná fáza riešenia vyzerá takto:

Touto cestou:

Konštanta môže byť znovu použitá. Prečo si môžete vyhodiť? Pretože stále trvá akýkoľvek Hodnoty av tomto zmysle medzi konštantami a neexistuje žiadny rozdiel.
Ako výsledok:

Taký trik s opätovnou konštantnou konštantnou je široko používaný diferenciálne rovnice. A tam budem prísny. A tu taká sloboda je povolená len preto, aby som vás nemala zmiasť s nadbytočnými vecami a zamerať sa na samotnú integračnú metódu.

Príklad 6.

Nájdite neurčitý integrál

Ďalší typický integrálny pre seba-rozhodnutia. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Rozdiel s odpoveďou predchádzajúceho príkladu bude!

Ak je druhá odmocnina je štvorcový trojitý, potom sa roztok v každom prípade zníži na dva demontované príklady.

Zvážte napríklad integrál . Všetko, čo musíte urobiť, je pred- vyberte celé námestie:
.
Ďalej sa vykonáva lineárna výmena, ktorá stojí "bez akýchkoľvek následkov":
V dôsledku toho sa získa integrálny. Niečo známe, že?

Alebo taký príklad, s námestím odrazom:
Zvýrazňujeme celé námestie:
A po lineárnej výmene dostaneme integrál, ktorý je tiež vyriešený algoritmom už uvažovaným.

Zvážte ďalšie dve typický príklad Informácie o recepcii Integrál na seba:
- integrál od expozície vynásobeného sinusom;
- Integrál z exponátu vynásobeného Cosine.

V uvedených integráloch sa bude musieť dvakrát integrovať:

Príklad 7.

Nájdite neurčitý integrál

Funkcia Integrand je vystavovateľ vynásobená sínusom.

Dvakrát sa integrujeme v častiach a priniesť integrál na seba:

V dôsledku dvojnásobnej integrácie v častí sa integrál dostal do seba. Riešime počiatočné a koncové riešenia:

Prejdeme na ľavú stranu so zmenou znamenia a vyjadriť náš integrál:

Pripravený. Tiež je žiaduce bojovať proti pravej strane, t.j. Ak chcete urobiť exponent pre zátvorky, a v zátvorkách, aby ležali sinus s Cosine v "Krásnej" objednávky.

Teraz sa vráťme na začiatok príkladu, alebo skôr - k integrácii v častiach:

Lebo sme vymenovali vystavovateľa. Vzniká otázka, vždy je potrebné odkazovať na vystavovateľ? Nie je potrebné. V skutočnosti, v preskúmanom integrále zásada žiadny rozdielČo sa týka, bolo možné ísť na iný spôsob:

Prečo je to možné? Vzhľadom k tomu, vystavovateľ sa premení do seba (a počas diferenciácie a počas integrácie) sa sínus s kosínom navzájom stáva navzájom (opäť - obaja počas diferenciácie a počas integrácie).

To znamená, že trigonometrická funkcia môže byť označená. Ale v skúšanom príklade je to menej racionálne, pretože sa objavia frakcie. Ak si želáte, môžete sa pokúsiť vyriešiť tento príklad druhým spôsobom, odpovede musia byť zhodné.

Príklad 8.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Pred rozhodnutím, premýšľajte o tom je v tomto prípade výhodnejšie na označenie, exponent alebo trigonometrickú funkciu? Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A samozrejme nezabudnite, že väčšina odpovedí tejto lekcie je pomerne ľahká kontrola diferenciácie!

Príklady neboli považované za najťažšie. V praxi sa integrály častejšie nachádzajú, kde existuje konštanta na exponentnom indikátore av argumente trigonometrickej funkcie, napríklad:. Myslel som, že v podobnom integrále bude musieť urobiť veľa, často ma opýtam. Faktom je, že pri riešení pravdepodobnosti vzhľadu frakcií a je veľmi jednoducho niečo intenzívne stratiť. Okrem toho, pravdepodobnosť chýb v značkách je skvelá, uviedli na vedomie, že na ukazovateli Exponent je znak mínus, a to robí ďalšie ťažkosti.

V konečnej fáze sa často získava približne nasledujúce:

Dokonca aj na konci rozhodnutia by mali byť mimoriadne pozorné a kompetentne riešiť frakcie:

Integrujúce zložité frakcie

Pomaly sa dostaneme k lekcii rovník a začnite zvážiť integrály z frakcií. Opäť nie všetky z nich sú superwit, len z jedného dôvodu alebo iné príklady boli trochu "nie v téme" v iných výrobkoch.

Pokračujeme v téme koreňov

Príklad 9.

Nájdite neurčitý integrál

V denominátore, pod koreňom je štvorcový troj-stalny plus mimo koreň "Zlepšiť" vo forme "IKSA". Integrál tohto typu sa rieši pomocou štandardnej náhrady.

Rozhodneme sa:

Výmena je jednoduchá:

Pozeráme sa na život po výmene:

(1) Po substitúcii dávame celkovému menovizuálne podmienky pod koreňom.
(2) Vytrhneme z koreňa.
(3) čitateľ a menovateľ, ktorý sa znižuje. Zároveň, pod koreňom, som usporiadal komponenty v pohodlnom poradí. S určitým experimentom, kroky (1), (2) môžu byť preskočené vykonaním komentovaných akcií ústne.
(4) Výsledný integrál, ako si spomeniete na lekciu Integrujúce niektoré frakcierozhoduje metóda pridelenia úplného námestia. Vyberte celé námestie.
(5) Integrácia dostaneme maximálny "dlhý" logaritmus.
(6) Vykonávajte náhradu. Ak sa spočiatku, potom späť :.
(7) Záverečná činnosť je zameraná na účes výsledku: pod koreňom, opäť prinášajú komponenty na celkový menovateľ a vydržať z koreňa.

Príklad 10.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Tu bola konštanta pridaná do osamelého "ICSU" a náhrada je takmer rovnaká:

Jediná vec, ktorú potrebujete na dodatočne, je expresné "x" z výmeny:

Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Niekedy v takomto integrále pod koreňom môže byť štvorcový bicker, nemení riešenie na riešenie, bude to ešte jednoduchšie. Cítiť rozdiel:

Príklad 11.

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 12.

Nájdite neurčitý integrál

Stručné rozhodnutia a odpovede na konci hodiny. Treba poznamenať, že príklad 11 je presne binomiálny integrál, ktorých rozhodnutie bolo zvážené v lekcii Integrály z iracionálnych funkcií.

Integrál z nepatrného polynómu 2. stupňa do mieru

(polynóm v denominátoroch)

Zriedkavé, ale napriek tomu stretnutie praktické príklady Typ integrálu.

Príklad 13.

Nájdite neurčitý integrál

Ale vráťte sa napríklad s Šťastné číslo 13 (úprimne, nezodpovedal). Tento integrál je tiež z kategórie tých, s ktorými môžete byť dosť, ak neviete, ako riešiť.

Rozhodnutie začína umelou transformáciou:

Ako rozdeliť Numerátora na denominátor, myslím, že všetko je chápané.

Výsledný integrálny sa prijíma v častiach: \\ t

Pre zobrazenie integrál (- prirodzené číslo) odstránené opakujúci Vzorec redukcie stupňa:
kde - Nižšie.

Budem presvedčený o spravodlivosti tohto vzorca pre prorockú integrál.
V tomto prípade: Používame vzorec:

Ako vidíte, odpovede sa zhodujú.

Príklad 14.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Vo vzorke roztoku bol uvedený vyššie uvedený vzorca dvakrát.

Ak sa nachádza v stupni nezávislé na multiplikátoroch Štvorcový trojnásobok, potom sa riešenie dostane na sfarbené zvýraznením úplného štvorca, napríklad:

Čo ak ste navyše v nuterátori, je polynóm? V tomto prípade sa použije metóda neurčitých koeficientov a integrovaná funkcia je opísaná v množstve frakcií. Ale v mojej praxi takého príkladu nesplnil som sa, tak som zmeškal tento prípad v článku Integrály z frakčnej racionálnej funkcieChýba mi a teraz. Ak sa takáto integrálna stále stretáva, pozri učebnicu - všetko je jednoduché. Nepovažujem to za účelné zahrnutie materiálu (dokonca jednoduché), pravdepodobnosť stretnutia, s ktorou sa usiluje o nulu.

Integrácia komplexných trigonometrických funkcií

Prídavné meno "komplex" pre väčšinu príkladov je v mnohých smeroch podmienené. Začnime s dotyčnosťami a kotangény vo vysokých stupňoch. Z hľadiska metód riešenia dotyčnice a kotangentu, takmer to isté, tak budem hovoriť viac o Tangent, čo znamená, že demonštrovaný príjem riešenia integrálu je spravodlivý a pre kotagent.

Na vyššie uvedenej lekcii sme uvažovali univerzálna trigonometrická substitúcia Vyriešiť špecifický typ integrálov z trigonometrických funkcií. Nedostatok univerzálnej trigonometrickej substitúcie je, že keď sa používa, objemné integrály s ťažkými výpočtami sa často vyskytujú. A v niektorých prípadoch univerzálnej trigonometrickej substitúcie sa môže vyhnúť!

Zvážte ďalší kanonický príklad, integrál z jednotky rozdelený na sínus:

Príklad 17.

Nájdite neurčitý integrál

Tu môžete použiť univerzálnu trigonometrickú substitúciu a získať odpoveď, ale je tu racionálnejšia cesta. Dám vám kompletné riešenie s komentármi pre každý krok:

(1) Použite trigonometrický vzorec dvojitého uhla síny.
(2) Vykonávame umelú transformáciu: V denominátoráte sa rozdelíme a vynásobíme.
(3) Podľa známeho vzorca v denominátori, otočíme frakciu v tangent.
(4) Funkciu zametajte pod znakom diferenciálu.
(5) Vezmite integrál.

Pár jednoduché príklady Pre vlastné riešenia:

Príklad 18.

Nájdite neurčitý integrál

POZNÁMKA: Najviac prvá činnosť by mala použiť vzorca A opatrne vykonávať podobné predchádzajúcemu príkladu akcie.

Príklad 19.

Nájdite neurčitý integrál

Je to úplne jednoduchý príklad.

Úplné riešenia a odpovede na konci hodiny.

Myslím, že teraz nikto nemá problémy s integrálmi:
atď.

Aká je myšlienka metódy? Myšlienkou je, že s pomocou transformácií, trigonometrické vzorce organizovať v integrand len dotyčniciach a dotyčnicovým derivátom. To znamená, že je to o výmene: . V príkladoch 17-19 sme skutočne aplikovali túto náhradu, ale integrály boli také jednoduché, že stálo ekvivalentný účinok - zhrnúť funkciu pod označením diferenciálu.

Podobné argumenty, ako som už uviedol, môžete stráviť na cotangent.

Pre použitie vyššie uvedeného výmeny existuje formálny predpoklad:

Súčet stupňov Cosine a Sinus je celé záporné číslo, napr.:

pre integrál - celé negatívne číslo.

! Poznámka : Ak funkcia Integrand obsahuje iba sínus alebo len Cosine, potom sa integrál berie do negatívneho zvláštneho stupňa (najjednoduchšie prípady v príkladoch č. 11, 18).

Zvážte niekoľko ďalších informatívnych úloh pre toto pravidlo:

Príklad 20.

Nájdite neurčitý integrál

Súčet stupňov sinusu a kosínutého: 2 - 6 \u003d -4 je celé záporné číslo, čo znamená, že integrálny môže byť znížený na dotyčnice a jeho derivát:

(1) Transformujeme denominátor.
(2) Podľa slávneho vzorca dostaneme.
(3) Transformujeme denominátor.
(4) Používame vzorec .
(5) Odovzdajte funkciu pod označením diferenciálu.
(6) Nahradíme. Skúsenejší študenti nemožno vymeniť, ale stále je lepšie nahradiť dotyčnicu s jedným listom - menej riziko je zmätené.

Príklad 21.

Nájdite neurčitý integrál

Toto je príklad pre nezávislé riešenie.

Držať, šampión's kolá začínajú \u003d)

Často v funkcii integrandu je "Solyanka":

Príklad 22.

Nájdite neurčitý integrál

V tomto integrálnom je dotyčnica pôvodne prítomná, ktorá okamžite sleduje pri už známej myšlienke:

Umelá transformácia na samom začiatku a zostávajúcich zostávajúcich krokov bez komentára, pretože všetko bolo uvedené vyššie.

Pár kreatívnych príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 23.

Nájdite neurčitý integrál

Príklad 24.

Nájdite neurčitý integrál

Áno, v nich, samozrejme, je možné znížiť stupeň sínusu, kosínu, použiť univerzálnu trigonometrickú substitúciu, ale rozhodnutie bude oveľa efektívnejšie a kratšie, ak sa vykonáva cez tangás. Kompletné riešenie a odpovede na konci hodiny

žiadosť

Online integrály na mieste pre konsolidáciu študentov a školákov cez ten materiál. A školenie vašich praktických zručností. Plnohodnotné integrálne riešenie online pre vás za pár minút pomôže určiť všetky fázy procesu .. Kedykoľvek sa začne vyriešiť integrál online, musíte ho identifikovať, bez tejto metódy nie je možné použiť, ak nie počítajte integrovaný stôl. Nie každý tabuľkový integrál je jasne viditeľný zo zadaného príkladu, niekedy musíte previesť zdrojovú funkciu, aby ste našli primitívne. V praxi sa riešenie integrálov zníži na interpretáciu problému na nájdenie počiatočného, \u200b\u200bto znamená primitívnosť nekonečnej skupiny funkcií, ale ak sú špecifikované hranice integrácie, potom len jedna funkcia zostáva pomocou laboratórneho vzorca ktoré výpočty. Integrály online - neurčitý integrálny online a špecifický integrál online. Integrálna funkcia on-line je množstvo akýchkoľvek čísel určených na ich integráciu. Neformálne je teda určitá integrálna online oblasť medzi funkčným harmonogramom a osou Abscisy v rámci integrácie. Príklady riešenia úloh s integrálmi. Vypočítajme komplexný integrál v jednej premennej a spájajú svoju odpoveď s ďalším riešením problému. Je možné, že hovoria, v čele nájsť integrál z funkcie Integrand. Akýkoľvek integrál s vysokou presnosťou určuje obručenú plochu. Toto je jeden z jeho geometrických významov. Táto metóda uľahčuje postavenie študentov. Niekoľko stupňov, v skutočnosti, nebude mať veľký vplyv na vektorovú analýzu. Integrovaná online funkcia je hlavnou koncepciou integrálneho počítača .. riešenie neistých integrálov. Podľa hlavnej analýzy teorem je integrácia operáciou, inverznou diferenciáciou, ktorá pomáha riešiť diferenciálne rovnice . Existuje niekoľko rôznych definícií integračnej operácie, ktorá sa líši v technických detailoch. Všetky z nich sú však kompatibilné, to znamená, že všetky dva spôsoby integrácie, ak sa môžu aplikovať na túto funkciu, poskytnú rovnaký výsledok. Najjednoduchšie je neoddeliteľnou súčasťou Riemann - špecifického integrálu alebo neurčitého integrálu. Neformálna integrálna funkcia jednej premennej môže byť zavedená ako oblasť pod grafom (údaje uzatvorené medzi funkčným harmonogramom a osou ABSCISSA). Akákoľvek takávróm je schopná zdôvodniť, že integrál bude extrémne nevyhnutný na samom začiatku dôležitého prístupu. Nezabudni na to! Snažíte sa nájsť túto oblasť, môžete zvážiť tvary pozostávajúce z určitého počtu zvislých obdĺžnikov, ktorých základne sú usporiadané segment integrácie a získavajú sa pri rozdeľovaní segmentu na zodpovedajúci počet malých segmentov. Riešenie integrálov online .. integrál online - neurčitý integrálny online a špecifický integrálny online. Riešenie integrálov online: neurčitý integrálny online a špecifický integrálny online. Kalkulačka rieši integrály s popisom detailu akcie a zadarmo! Neistý integrál online pre funkciu je kombináciou všetkých primárnych tejto funkcie. Ak je funkcia určená a kontinuálna v intervale, potom má primitívnu funkciu (alebo primárnu rodinu). Integrál definuje len výraz, pre ktoré ste požiadaní o vznik takejto potreby. Je lepšie starostlivo priblížiť tento prípad a skúsenosti s vnútornou spokojnosťou z práce. Ale na výpočet integrovanej metódy odlišnej od klasického, niekedy vedie k neočakávaným výsledkom a nie je možné ho prekvapiť. Som rád, že skutočnosť, že bude mať pozitívnu rezonanciu o tom, čo sa deje. Zoznam špecifických integrálov a neistých integrálnych integráloch s úplným podrobným riešením krok za krokom. Všetky integrály s podrobným online režimom online. Neistý integrál. Nájdenie neurčitého integrálu online je veľmi častá úloha vo vyššej matematike a ďalších technických sekciách vedy. Základné integračné metódy. Definícia integrálu, špecifického a neurčitého integrálu, integrálneho stola, receptúra \u200b\u200bNewton-Lavičky. A opäť, môžete nájsť svoj integrálny na tabuľke integrálnych výrazov, je však stále potrebné prísť, pretože všetko nie je také jednoduché, ako sa to môže zdať na prvý pohľad. Premýšľajte o budovách vykonaných skôr, ako sú chyby. Určité integrálne a metódy pre jeho výpočet. Špecifický integrál online s premenlivou hornou hranicou. Riešenie integrálov online. Každý príklad, ktorý pomôže vypočítať integrál na tabuľkových vzorcoch, bude užitočným vedením konať pre študentov akejkoľvek úrovne prípravy. Najdôležitejší krok smerom k správnej odpovedi. Neisté integrály obsahujúce exponenciálne a logaritmické funkcie. Riešenie integrálov online - dostanete podrobné riešenie odlišné typy Integrály: neisté, definované, interné. Kalkulačka určitých integrálov vypočíta špecifický integrálny online z funkcie v intervale pomocou numerickej integrácie. Funkčný integrál je analógom sekvenčnej sumy. Neformálne povedané, špecifická integrálna je oblasťou časti funkčnej grafiky. Online integrálne riešenie .. Online integrál - neurčitý integrálny online a špecifický integrálny online. Často, takýto integrálny určuje, koľko je telo ťažšie v porovnaní s ním je predmetom rovnakej hustoty, a nezáleží na tom, aký druh formy je, pretože povrch neabsorbuje vodu. Riešenie integrálov online .. Online integrály - neurčitý integrálny online a špecifický integrálny online. Ako nájsť online integrál pozná každý študent juniorských kurzov. Na základe školského programu sa tiež študuje táto časť matematiky, ale nie podrobne, ale iba zadok takejto zložitej a dôležitú tému. Vo väčšine prípadov študenti pristúpia k štúdiu integrálov s rozsiahlou teóriou, ktorú predchádzajú dôležitými témami, ako sú prechody derivátov a limitov - sú to limity. Riešenie integrálov postupne začína najzákladnejšími príkladmi z jednoduchých funkcií a končí s použitím mnohých prístupov a pravidiel navrhnutých v minulom storočí a dokonca oveľa skôr. Integrovaný kalkul je oboznámený v Lyceums a školách, to znamená v priemere vzdelávacie inštitúcie. Naše stránky stránky vám vždy pomôžu a online integrálne riešenie bude pre vás obyčajné, a najdôležitejšie pochopiteľné zamestnanie. Na základni tohto zdroja Môžete ľahko dosiahnuť dokonalosť v tejto matematickej časti. Naplnenie krok za krokom podľa pravidiel, napríklad, ako je integrácia, v častiach alebo použitie metódy Chebyshev, môžete ľahko rozhodnúť o maximálnom počte bodov akejkoľvek skúšky. Ako teda stále vypočítavame integrálnu, aplikovanie integrálne známeho integrovaného stola, ale aby riešenie bolo správne, správne a s najvyššou možnou odpoveďou? Ako sa naučiť a je možné, aby bol konvenčný prvák v čo najkratšom čase? Túto otázku odpoviete pozitívny - môžete! Zároveň budete môcť každý príklad vyriešiť, ale tiež dosiahnuť úroveň špičkového inžiniera. Tajomstvo je jednoduché ako kedykoľvek predtým - je potrebné urobiť maximálne úsilie, aby sa dosiahol požadovaný čas na vlastnú prípravu. Bohužiaľ, nikto neprišiel s iným spôsobom! Ale nie všetko je tak zamračené, ako sa zdá na prvý pohľad. Ak sa odkazujete na naše stránky s touto otázkou, uľahčíme váš život, pretože naše webové stránky môžu podrobne vypočítať integrály online, s veľmi vysoká rýchlosť A bezchybne presná odpoveď. V podstate integrál neurčuje, ako je ovplyvnený pomer argumentov o stabilite systému ako celku. Ak bolo len všetko vyvážené. Spolu s tým, ako sa dozviete základy tejto matematickej témy, služba môže nájsť integrál z ľubovoľnej funkcie integrandu, ak tento integrál môže umožniť základné funkcie . V opačnom prípade sa v praxi nevyžaduje integrály v praxi, nie je potrebné nájsť odpoveď v analytickom alebo inými slovami, explicitne. Všetky výpočty integrovaných sú znížené na definíciu primitívnej funkcie z danej funkcie integrandu. Aby to urobili, najprv vypočítajú neurčitý integrál vo všetkých zákonoch matematiky online. Potom, ak je to potrebné, nahradiť horné a nižšie hodnoty integrálu. Ak nemusíte určiť alebo vypočítať číselnú hodnotu neurčitého integrálu, potom sa konštanta pridáva do predvstupovanej funkcie, čím sa určuje rodina primitívnych funkcií. Osobitné miesto vo vede a vo všeobecnosti v akomkoľvek inžinierskom regióne, vrátane mechaniky pevných médií, integrácia popisuje celé mechanické systémy, ich pohyby a oveľa viac. V mnohých prípadoch, integrál určuje zákon o pohybe materiálu. Je to veľmi dôležitý nástroj v oblasti vzdelávania aplikovaných vied. Odizolovanie z toho nie je možné nehovoriť o rozsiahlych výpočtoch na určenie zákonov existencie a správania mechanických systémov. Kalkulačné riešenia Integrals Online online webová stránka je výkonným nástrojom pre profesionálnych inžinierov. Určite vám zaručujeme, ale pre výpočet integrálu môžeme zadať až po zadaní predchádzajúceho vyjadrenia do oblasti funkcie IntegRand. Nebojte sa robiť chyby, všetko je v tejto veci fixovateľné! Obvykle sa riešenie integrálov zníži na aplikáciu tabuľkových funkcií z známych učebníc alebo encyklopédie. Ako ktorýkoľvek iný, neurčitý integrálny bude vypočítaný podľa štandardného vzorca bez špeciálnych hrubých sťažností. Jednoduché a ľahko, študenti prvého kurzov chytia položený materiál študovaný a pre nich nájsť integrál niekedy trvá najviac dve minúty. A ak sa študent naučil integrálnu tabuľku, potom vo všeobecnosti môže mať na pamäti, aby ste určili odpovede. Nasaďte funkcie pomocou premenných v porovnaní s povrchmi spočiatku znamená správny smer vektora v určitom bode osi. Nepredvídateľné správanie povrchových potrubí berie určité integrály na základe zdroja odozvy matematických funkcií. Ľavá hrana lopty sa netýka valca, v ktorom je kruh napísaný, ak sa pozerá na plátok v rovine. Súčet malých oblastí, rozdelených na stovky po častiach priebežných funkcií, je integrálna online z danej funkcie. Mechanický význam integrálu je mnoho aplikovaných úloh, je to stanovenie objemových telies a výpočet telesnej hmotnosti. Trojité a dvojité integrály sa zúčastňujú na tieto výpočty. Trváme na tom, že riešenie integrálov online bolo vykonané len pod dohľadom skúsených učiteľov a prostredníctvom mnohých kontrol. integrálne. Odpovedáme, že študenti sú slobodní a môžu podstúpiť tréning externo, pripraviť sa na test alebo skúšku v pohodlnom dome. V priebehu niekoľkých sekúnd, naša služba pomôže každej túžbe vypočítať integrál z akejkoľvek špecifikovanej funkcie v premennej. Skontrolujte, že výsledný výsledok by sa mal brať derivátom z primitívnej funkcie. Súčasne sa konštantná z roztoku integrálu nakreslí na nulu. Toto pravidlo je samozrejme pre každého. Keďže odôvodňuje multidrizurové operácie, neurčitý integrál sa často znižuje na rozdelenie oblasti do malých častí. Avšak niektorí študenti a školáci zanedbávajú túto požiadavku. Ako vždy online integrály môžu vyriešiť naše služby a neexistujú žiadne obmedzenia na počtu požiadaviek, všetko je slobodné a prístupné pre každého. Nie je veľa takýchto miest, ktoré v priebehu niekoľkých sekúnd poskytujú krok za krokom odozvu, a čo je najdôležitejšie s vysokou presnosťou a vhodnou formou. V poslednom príklade na piatej stránke domácej úlohy bolo splnené, čo ukazuje potrebu vypočítať integrál v etapách. Nie je však potrebné zabudnúť na to, ako je možné nájsť integrál s pomocou hotovej služby, testované a testované na tisíce solídnych príkladov online. Ako takýto integrál určuje pohyb systému, je celkom jasné, a jasne o tom označuje povahu pohybu viskóznej tekutiny, ktorá je opísaná v tomto systéme rovníc.

Funkcia F (x), diferencovateľná v tejto medzere, sa nazýva ideálne pre funkciu F (x), alebo integrál z F (x), ak pre všetky X ∈x, rovnosť je pravdivá:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Nájdenie všetkých primárnych pre túto funkciu sa nazýva integrácie. Neistú integrálnu funkciuf (x) v tejto medzere sa nazýva súbor všetkých primitívnych funkcií pre funkciu F (x); Určenie -

Ak f (x) je nejaký druh funkčnej funkcie f (x), potom ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)

tam, kde existuje ľubovoľná konštanta.

Integrály tabuľky

Priamo z definície získavame základné vlastnosti neistého integrálu a zoznam tabuľkových integrálov:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + c

3) ∫AF (X) DX \u003d A∫F (X) DX (A \u003d CONST)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Zoznam tabuľkových integrálov

1. ∫X M DX \u003d X M + 1 / (M + 1) + C; (m ≠ -1)

3.∫A X DX \u003d A X / LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)

4.∫ X DX \u003d E X + C

5.∫sin x dx \u003d cosx + c

6.∫COS X DX \u003d - SIN X + C

7. \u003d ARCTG X + C

8. \u003d Arcsin X + C

10. \u003d - CTG X + C

Výmena premennej

Pre integráciu mnohých funkcií spôsob výmeny premennej alebo striedanieumožňuje priniesť integrály na tabuľu.

Ak je funkcia F (Z) kontinuálna na [α, p], funkcia Z \u003d g (x) má kontinuálny derivát a α ≤ g (x) ≤ p, potom

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)

okrem toho, po integrácii by sa substitúcia z \u003d g (x) mala vykonať v pravej časti.

Ak chcete dokázať, stačí písať zdrojový integrál vo formulári:

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) DG (X).

Napríklad:

Integračná metóda v častiach

Nech u \u003d f (x) a v \u003d g (x), ktoré sú kontinuálne. Potom, podľa práce,

d (UV)) \u003d UDV + VDU alebo UDV \u003d D (UV) - VDU.

Pre výraz D (UV), prvý, samozrejme, bude UV, takže vzorec je:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Tento vzorec vyjadruje pravidlo integrácia do častí. Výsledkom je integrácia expresie UDV \u003d UV "DX na integráciu expresie VDU \u003d VU" DX.

Nechajte, napríklad, musíte nájsť ∫xcosx dx. Dajte U \u003d X, DV \u003d COSXDX, takže DU \u003d DX, V \u003d SINX. Potom

∫xcosxdx \u003d ∫x D (SIN X) \u003d X SIN X - ∫SIN X DX \u003d X SIN X + COSX + C.

Pravidlo integrácie v častí má obmedzenejší rozsah ako nahradenie premennej. Existujú však celé triedy integrálov, napríklad

∫x K LN M XDX, ∫x K SINBXDX, ∫ X K COSBXDX, ∫X K E COSBXDX, ∫X K E AXU A OTÁZKA, KTORÉ SA POUŽÍVAŤ INTERGATRÁCIU V ČASTI.

Určitý integrálny

Koncepcia špecifického integrálu je posilnená nasledovne. Nechajte funkciu F (x) definovať na segmente. Rozbijeme segment [A, B] n. Diely DOTS A \u003d X 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x I \u003d X I - X I-1. Súčet formulára f (ξ i) δ x I integrálna sumaa jeho limit na λ \u003d maxδx I → 0, ak existuje a je konečný, nazývaný Určitý integrálnyfunkcie f (x) z a. predtým b. A indikované:

F (ξ i) Δx I (8.5).

Funkcia F (X) V tomto prípade sa volá integrovateľný na rezu, čísla A a B sa nazývajú Nižší a horný integrálny limit.

Pre špecifický integrálny sú platné tieto vlastnosti:

4), (K \u003d CONST, KB);

7) F (ξ) (B - A) (∈∈).

Posledná vlastnosť sa volá TAKEOR NA Priemernom význame.

Nech f (x) buďte kontinuálne. Potom je v tomto segmente neurčitý integrálny

∫f (x) dx \u003d f (x) + c

a prebieha vzorec Newton Labitsa, viazanie špecifického integrálu s neistým:

F (b) - f (A). (8.6)

Geometrický výklad: Určitý integrál je oblasť zakriveného lichobežníka, obmedzená z nad krivkou y \u003d f (x), rovno X \u003d A a X \u003d B a segment osi VÔL..

Neplatné integrály

Integrály s nekonečnými limitmi a integrály z diskontinuálnych (neobmedzených) funkcií sa nazývajú Nekompatibilné. Nekompatibilné integrály I LIEKU - Ide o integrály v nekonečnej medzere definovanej nasledovne:

(8.7)

Ak existuje tento limit a je konečný, potom zavolal konverzia neúplného integrálu z f (x) v intervale [A, + ∞) a funkcia F (x) sa nazýva integrovaný v nekonečnom intervale[A, + ∞). Inak o integrále povedať, že neexistuje alebo rozbieha.

Rovnakým spôsobom sa určili nezrozumiteľné integrály v intervaloch (-∞, b] a (-∞, + ∞):

Definujeme koncepciu integrálu z neobmedzenej funkcie. Ak je F (x) kontinuálne pre všetky hodnoty x. Rezané, s výnimkou bodu c, v ktorom f (x) má nekonečnú medzeru Nekompatibilný integrálny ii rodu z F (x) V rozsahu od A do B Suma sa nazýva:

ak existujú tieto limity a sú konečné. Označenie:

Príklady výpočtu integrálov

Príklad 3.30. Vypočítajte ∫DX / (X + 2).

Rozhodnutie. Označujú t \u003d x + 2, potom DX \u003d DT, ∫DX / (X + 2) \u003d ∫DT / T \u003d LN | T | + C \u003d LN | X + 2 | + C.

Príklad 3.31. Nájsť ∫ tgxdx.

Rozhodnutie.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Nech T \u003d COSX, potom ∫ TGXDX \u003d -∫ DT / T \u003d - LN | T | + C \u003d -LN | COSX | + C.

Príklad3.32 . Nájsť ∫DX / SINX

Rozhodnutie.

Príklad3.33. Nájsť .

Rozhodnutie. = .

Príklad3.34 . Nájsť ∫arctgxdx.

Rozhodnutie. Integrujeme do častí. DEZE U \u003d ARCTGX, DV \u003d DX. Potom du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d X, od miesta, kde ∫arctgxdx \u003d XARCTGX - ∫ XDX / (x 2 +1) \u003d XARCTGX + 1/2 LN (x 2 +1) + C; ako
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

Príklad3.35 . Vypočítajte ∫LNXDX.

Rozhodnutie. Pomocou integračného vzorca v častiach získame:
U \u003d LNX, DV \u003d DX, DU \u003d 1 / X DX, V \u003d X. Potom ∫lnxdx \u003d XLNX - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d XLNX - ∫DX + C \u003d XLNX - X + C.

Príklad3.36 . Vypočítajte ∫E X SINXDX.

Rozhodnutie. Označte U \u003d E X, DV \u003d SINXDX, potom DU \u003d E X DX, V \u003d ∫SINXDX \u003d - COSX → ∫ E X SINXDX \u003d - E X COSX + ∫ E X COSXDX. Integrovaný ∫E X COSXDX sa tiež integruje v častiach: U \u003d E X, DV \u003d COSXDX, DU \u003d E X DX, V \u003d SINX. Máme:
∫ E X COSXDX \u003d E X SINX - ∫ E X SINXDX. Prijaté ∫E X SINXDX \u003d - E X COSX + E X SINX - ∫ E X SINXDX, odkiaľ 2∫E X SINX DX \u003d - E X COSX + E X SINX + S

Príklad 3.37. Vypočítajte J \u003d ∫cos (LNX) DX / X.

Rozhodnutie.Pretože DX / X \u003d DLNX, potom J \u003d ∫cos (LNX) D (LNX). Výmena LNX až t, dospejeme k stolu Integral J \u003d ∫ Costdt \u003d Sint + C \u003d SIN (LNX) + C.

Príklad 3.38 . Vypočítať j \u003d.

Rozhodnutie. Vzhľadom k tomu, že \u003d D (LNX), vyrábame LNX \u003d T substitúcia. Potom j \u003d. .