Iracionálna funkcia premennej je funkcia, ktorá je vytvorená z premenných a ľubovoľných konštánt pomocou konečného počtu operácií sčítania, odčítania, násobenia (zvyšovania na celočíselnú mocninu), delenia a extrakcie koreňov. Iracionálna funkcia sa líši od racionálnej funkcie v tom, že iracionálna funkcia obsahuje operácie na extrakciu koreňov.
Existujú tri hlavné typy iracionálne funkcie, ktorých neurčité integrály sa redukujú na integrály racionálnych funkcií. Sú to integrály obsahujúce korene ľubovoľných celých stupňov od lineárnej zlomkovej funkcie (korene môžu byť rôzneho stupňa, ale od rovnakej lineárnej zlomkovej funkcie); integrály diferenciálneho binomia a integrály s druhou odmocninou druhej odmocniny.
Dôležitá poznámka. Korene sú nejednoznačné!
Pri výpočte integrálov obsahujúcich korene sa často stretávame s výrazmi formy, kde je nejaká funkcia premennej integrácie. Je potrebné mať na pamäti, že. To znamená, že pre t> 0, | t | = t... V t< 0, | t | = - t. Pri výpočte takýchto integrálov je preto potrebné osobitne zvážiť prípady t> 0 a t< 0 ... To je možné vykonať napísaním značiek alebo, ak je to potrebné. Za predpokladu, že horné znamienko odkazuje na prípad t> 0 , a spodný - k prípadu t< 0 ... Pri ďalšej transformácii sa tieto znaky spravidla navzájom rušia.
Možný je aj druhý prístup, pri ktorom možno považovať integrand a výsledok integrácie za komplexné funkcie na komplexných premenných. Potom nemôžete nasledovať znaky v radikálnom vyjadrení. Tento prístup je použiteľný, ak je integrand analytické, to znamená diferencovateľná funkcia komplexnej premennej. V tomto prípade je integrand aj jeho integrál funkciou s viacerými hodnotami. Preto po integrácii je pri nahradení číselných hodnôt potrebné zvoliť vetvu s jednou hodnotou (Riemannov povrch) integrandu a pre ňu zvoliť zodpovedajúcu vetvu výsledku integrácie.
Frakčná lineárna iracionalita
Toto sú integrály s koreňmi rovnakej lineárnej zlomkovej funkcie:
,
kde R je racionálna funkcia, sú racionálne čísla, m 1, n 1, ..., m s, n s sú celé čísla, α, β, γ, δ sú skutočné čísla.
Takéto integrály sa redukujú na integrál racionálnej funkcie substitúciou:
, kde n je spoločný menovateľ čísel r 1, ..., r s.
Korene nemusia byť nevyhnutne z lineárnej frakčnej funkcie, ale aj z lineárnej (γ = 0, 5 = 1) alebo na premennej integrácie x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Tu sú príklady takýchto integrálov:
,
.
Integrály diferenciálnych dvojčlenov
Integrály diferenciálnych dvojčlenov sú:
,
kde m, n, p sú racionálne čísla, a, b sú reálne čísla.
Takéto integrály sa redukujú na integrály racionálnych funkcií v troch prípadoch.
1) Ak p je celé číslo. Substitúcia x = t N, kde N je spoločný menovateľ zlomkov m a n.
2) Ak - celý. Substitúcia a x n + b = t M, kde M je menovateľ p.
3) Ak - celé. Substitúcia a + b x - n = t M, kde M je menovateľ p.
V iných prípadoch nie sú tieto integrály vyjadrené v zmysle elementárnych funkcií.
Niekedy sa dajú takéto integrály zjednodušiť pomocou redukčných vzorcov:
;
.
Integrály obsahujúce druhú odmocninu druhej odmocniny
Takéto integrály majú formu:
,
kde R je racionálna funkcia. Pre každý takýto integrál existuje niekoľko metód riešenia.
1)
Pomocou transformácií viesť k jednoduchším integrálom.
2)
Aplikujte trigonometrické alebo hyperbolické substitúcie.
3)
Použite zámeny Euler.
Pozrime sa bližšie na tieto metódy.
1) Transformácia celého čísla
Použitím vzorca a vykonaním algebraických transformácií prenesieme integrand do formulára:
,
kde φ (x), ω (x) sú racionálne funkcie.
Typ I.
Integrál formulára:
,
kde P n (x) je polynóm stupňa n.
Takéto integrály sa nachádzajú metódou nedefinovaných koeficientov pomocou identity:
.
Diferencovaním tejto rovnice a vyrovnaním ľavej a pravej strany nájdeme koeficienty A i.
Typu II
Integrál formulára:
,
kde P m (x) je polynóm stupňa m.
Substitúcia t = (x - a) -1 tento integrál sa redukuje na predchádzajúci typ. Ak m ≥ n, potom by mala byť vybraná celá časť zlomku.
Typ III
Tu robíme substitúciu:
.
Potom bude mať integrál formu:
.
Ďalej konštanty α, β musia byť vybrané tak, aby koeficienty t v menovateli zmizli:
B = 0, B 1 = 0.
Potom sa integrál rozpadne na súčet integrálov dvoch typov:
,
,
ktoré sú integrované substitúciami:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.
2) Trigonometrické a hyperbolické substitúcie
Pre integrály formulára, a > 0
,
máme tri hlavné zámeny:
;
;
;
Pre integrály, a > 0
,
máme nasledujúce substitúcie:
;
;
;
A nakoniec pre integrály, a > 0
,
substitúcie sú nasledovné:
;
;
;
3) Striedania Eulera
Integrály je tiež možné redukovať na integrály racionálnych funkcií jednej z troch Eulerových substitúcií:
, pre a> 0;
, pre c> 0;
, kde x 1 je koreň rovnice a x 2 + b x + c = 0. Ak má táto rovnica skutočné korene.
Eliptické integrály
Na záver zvážime integrály formulára:
,
kde R je racionálna funkcia ,. Takéto integrály sa nazývajú eliptické. Spravidla nie sú vyjadrené v zmysle elementárnych funkcií. Existujú však prípady, keď existujú vzťahy medzi koeficientmi A, B, C, D, E, v ktorých sú tieto integrály vyjadrené pomocou elementárnych funkcií.
Ďalej uvádzame príklad súvisiaci s návratovými polynómami. Výpočet takýchto integrálov sa vykonáva pomocou substitúcií:
.
Príklad
Vypočítajte integrál:
.
Rozhodnutie
Robíme striedanie.
.
Tu pre x> 0
(u> 0
) vezmeme horné znamienko ′ + ′. Za x< 0
(u< 0
) - nižšie ′ - ′.
.
Odpoveď
Referencie:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.
Volá sa funkcia F (x) diferencovateľná v danom intervale X primitívne pre funkciu f (x) alebo integrál f (x), ak pre každé x ∈X platí táto rovnosť:
F "(x) = f (x). (8,1)
Nájsť všetky primitívne funkcie pre danú funkciu sa nazýva jej integrácia. Neurčitý integrál funkcie f (x) na danom intervale X je množina všetkých primitívov pre funkciu f (x); označenie -
Ak je F (x) nejaký primitív pre funkciu f (x), potom ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)
kde C je ľubovoľná konštanta.
Integrálna tabuľka
Priamo z definície získame základné vlastnosti nie určitý integrál a zoznam integrálov tabuliek:
1) d∫f (x) dx = f (x)
2) ∫df (x) = f (x) + C
3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = konšt)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Zoznam integrálov tabuliek
L, x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arktán x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Variabilná náhrada
Na integráciu mnohých funkcií použite metódu zmeny premennej alebo zámeny, umožňuje redukovať integrály do tabuľkovej formy.
Ak je funkcia f (z) spojitá na [α, β], má funkcia z = g (x) spojitú deriváciu a α ≤ g (x) ≤ β, potom
∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8,3)
po integrácii by sa navyše mala nahradiť substitúcia z = g (x) na pravej strane.
Pre dôkaz stačí napísať pôvodný integrál vo forme:
∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).
Napríklad:
Integrácia po častiach
Nech u = f (x) a v = g (x) sú funkcie, ktoré sú spojité. Potom podľa práce
d (uv)) = udv + vdu alebo udv = d (uv) - vdu.
Pre výraz d (uv) bude samozrejme primitívom uv, takže platí nasledujúci vzorec:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Tento vzorec vyjadruje pravidlo integrácia po častiach... Prináša integráciu výrazu udv = uv "dx do integrácie výrazu vdu = vu" dx.
Dovolíme si napríklad nájsť ∫xcosx dx. Dali sme u = x, dv = cosxdx, takže du = dx, v = sinx. Potom
∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Pravidlo integrácie po častiach má obmedzenejší rozsah ako variabilná substitúcia. Existujú ale celé triedy integrálov, napríklad
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax a ďalšie, ktoré sa počítajú pomocou integrácie po častiach.
Určite integrál
Koncept určitého integrálu je predstavený nasledovne. Nech je na segmente definovaná funkcia f (x). Segment [a, b] sme rozdelili na n diely podľa bodov a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Volá sa súčet tvaru f (ξ i) Δ x i integrálny súčet a volá sa jej limit ako λ = maxΔx i → 0, ak existuje a je konečný určitý integrál funkcia f (x) z a predtým b a je označený:
F (ξ i) Δx i (8,5).
Funkcia f (x) sa v tomto prípade volá integrovateľné v danom segmente sa volajú čísla a a b dolná a horná hranica integrálu.
Nasledujúce vlastnosti sú platné pre určitý integrál:
4), (k = konšt, k∈R);
5)
6)
7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).
Posledná vlastnosť sa volá veta o strednej hodnote.
Nech f (x) bude súvislé. Potom v tomto segmente existuje neurčitý integrál
∫f (x) dx = F (x) + C
a koná sa Newton-Leibnizov vzorec, spájajúci určitý integrál s neurčitým:
F (b) - F (a). (8,6)
Geometrická interpretácia: určitým integrálom je oblasť zakriveného lichobežníka ohraničená zhora krivkou y = f (x), priamkami x = a a x = ba segmentom osi. Vôl.
Nesprávne integrály
Integrály s nekonečnými limitmi a integrály diskontinuálnych (neobmedzených) funkcií sa nazývajú nesprávny. Nesprávne integrály prvého druhu - sú to integrály v nekonečnom intervale definované takto:
(8.7)
Ak tento limit existuje a je konečný, potom sa volá konvergentný nesprávny integrál f (x) na intervale [a, + ∞) a volá sa funkcia f (x) integrovateľný na nekonečnom intervale[a, + ∞). Inak sa hovorí o integrále neexistuje alebo sa rozchádza.
Nesprávne integrály na intervaloch (-∞, b] a (-∞, + ∞) sú definované podobne:
Definujme pojem integrál neobmedzenej funkcie. Ak je f (x) spojité pre všetky hodnoty X segment, s výnimkou bodu c, v ktorom má f (x) nekonečnú diskontinuitu nesprávny integrál druhého druhu f (x) v rozmedzí od a do b sumu nazval:
ak tieto limity existujú a sú konečné. Označenie:
Príklady výpočtu integrálov
Príklad 3.30. Vypočítajte ∫dx / (x + 2).
Rozhodnutie. Označíme t = x + 2, potom dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C.
Príklad 3.31... Nájdite súbor g tgxdx.
Rozhodnutie.∫ tgxdx = insinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Nech t = cosx, potom ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | t | + C = -ln | cosx | + C.
Príklad3.32 ... Nájdite ∫dx / sinxRozhodnutie.
Príklad3.33. Nájsť .
Rozhodnutie. = .
Príklad3.34 ... Nájdite ∫arctgxdx.
Rozhodnutie. Integrujeme po častiach. Nastavíme u = arctgx, dv = dx. Potom du = dx / (x 2 +1), v = x, odkiaľ ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; ako
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.
Príklad3.35 ... Vypočítajte ∫lnxdx.
Rozhodnutie. Ak použijeme vzorec na integráciu po častiach, dostaneme:
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Potom ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.
Príklad3.36 ... Vyhodnoťte ∫e x sinxdx.
Rozhodnutie. Označíme u = e x, dv = sinxdx, potom du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integrál ∫e x cosxdx je tiež integrovateľný pomocou častí: u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Máme:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dostali sme vzťah ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odkiaľ 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.
Príklad 3.37. Vypočítajte J = ∫cos (lnx) dx / x.
Rozhodnutie. Pretože dx / x = dlnx, potom J = ∫cos (lnx) d (lnx). Keď nahradíme lnx t, dostaneme sa k tabuľkovému integrálu J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.
Príklad 3.38 ... Vypočítajte J =.
Rozhodnutie. Ak uvážime, že = d (lnx), dosadíme lnx = t. Potom J = 
.
Príklad 3.39
... Vypočítajte integrál J = 
.
Rozhodnutie. Máme: 
... Preto =
=
=. zadané ako tento sqrt (tan (x / 2)).
A ak kliknete na Zobraziť kroky v pravom hornom rohu v okne výsledku, získate podrobné riešenie.
Komplexné integrály
Tento článok dokončuje tému neurčitých integrálov a obsahuje integrály, ktoré považujem za dosť ťažké. Hodina bola vytvorená na základe opakovaných žiadostí návštevníkov, ktorí vyjadrili želanie, aby sa na stránke analyzovali aj zložitejšie príklady.
Predpokladá sa, že čitateľ tohto textu je dobre pripravený a vie, ako aplikovať základné techniky integrácie. Atrapy a ľudia, ktorí si nie sú príliš istí integrálmi, by sa mali obrátiť na úplne prvú lekciu - Neurčitý integrál. Príklady riešení, kde môžete tému zvládnuť prakticky od nuly. Skúsenejší študenti sa môžu oboznámiť s technikami a metódami integrácie, ktoré v mojich článkoch ešte neboli splnené.
O ktorých integráloch sa bude uvažovať?
Najskôr zvážime integrály s koreňmi, ktorých riešenie postupne používame variabilná náhrada a integrácia po častiach... To znamená, že v jednom príklade sú kombinované dve techniky naraz. A ešte viac.
Potom sa oboznámime so zaujímavým a originálnym metóda redukcie integrálu na seba... Takto nie je vyriešených tak málo integrálov.
Tretie číslo programu pôjde na integrály zložitých zlomkov, ktoré v minulých článkoch preleteli okolo pokladne.
Po štvrté, budú sa analyzovať ďalšie integrály trigonometrických funkcií. Existujú najmä metódy, ktoré sa vyhýbajú časovo náročnej univerzálnej trigonometrickej substitúcii.
(2) V integrande vydelíme čitateľa číslom menovateľa termínom.
(3) Použijeme vlastnosť linearity neurčitého integrálu. V poslednom integrále okamžite privedieme funkciu pod znak diferenciálu.
(4) Vezmite zostávajúce integrály. Upozorňujeme, že zátvorky sa dajú použiť v logaritme, nie v module.
(5) Vykonávame reverzné substitúcie, vyjadrujúce z priameho substitúcie „te“:
Masochistickí študenti môžu rozlíšiť odpoveď a získať pôvodné celé číslo tak, ako som to urobil práve ja. Nie, nie, kontrolu som vykonal v správnom zmysle =)
Ako vidíte, v priebehu riešenia museli byť použité dokonca viac ako dve metódy riešenia, aby bolo možné zvládnuť tieto integrály, sú potrebné sebavedomé integračné schopnosti a nie najmenšie skúsenosti.
V praxi je samozrejme druhá odmocnina bežnejšia, tu sú tri príklady nezávislého riešenia:
Príklad 2
Nájdite neurčitý integrál
Príklad 3
Nájdite neurčitý integrál
Príklad 4
Nájdite neurčitý integrál
Tieto príklady sú rovnakého typu, preto úplné riešenie na konci článku bude iba pre príklad 2, v príkladoch 3–4 - jedna odpoveď. Myslím, že je zrejmé, ktorú substitúciu použiť na začiatku riešení. Prečo som vyzdvihol príklady rovnakého typu? Často sa stretávajú vo svojich rolách. Častejšie možno iba niečo podobné 
.
Ale nie vždy, keď sa koreň lineárnej funkcie nachádza pod arkustangensom, sínusom, kosínusom, exponentom a ďalšími funkciami, musí sa použiť niekoľko metód naraz. V mnohých prípadoch je možné „ľahko vystúpiť“, to znamená, že ihneď po výmene sa získa jednoduchý integrál, ktorý sa berie elementárne. Najjednoduchšou z vyššie navrhovaných úloh je príklad 4, v ktorom sa po výmene získa pomerne jednoduchý integrál.
Znížením integrálu k sebe samému
Geniálna a krásna metóda. Poďme sa okamžite pozrieť na klasiku žánru:
Príklad 5
Nájdite neurčitý integrál
Pod koreňom je štvorcový dvojčlen, a keď sa pokúsime integrovať tento príklad, kanvica môže trpieť celé hodiny. Takýto integrál sa berie kúsok po kúsku a redukuje sa na seba. V zásade nie ťažké. Ak vieš ako.
Označme uvažovaný integrál latinským písmenom a začnime riešenie: 
Integrujeme kúsok po kúsku: 
(1) Pripravte funkciu integrand na rozdelenie výrazov.
(2) Celé meno vydelíme termínom. Možno nie každý rozumie, napíšem podrobnejšie:
(3) Používame vlastnosť linearity neurčitého integrálu.
(4) Vezmite posledný integrál („dlhý“ logaritmus).
Teraz sa pozrieme na úplný začiatok riešenia: 
A na záver: 
Čo sa stalo? Výsledkom našich manipulácií bol integrál zredukovaný na seba!
Zrovnajme začiatok a koniec: 
Posun doľava so zmenou znamienka: 
A dvojku nesieme na pravú stranu. Ako výsledok: 
Konštanta, prísne povedané, mala byť pridaná skôr, ale bola pridaná na koniec. Dôrazne vám odporúčam prečítať si, čo je prísne, tu:
Poznámka:
Prísnejšie, konečná fáza riešenia vyzerá takto:
Touto cestou:
Konštanciu možno zmeniť na. Prečo môžete zmeniť označenie? Pretože stále prijíma akýkoľvek hodnôt, a v tomto zmysle nie je rozdiel medzi konštantami a.
Ako výsledok:
Podobný trik s neustálou redesignáciou sa často používa v diferenciálne rovnice... A tam budem prísny. A tu mi takúto slobodu pripúšťa iba preto, aby som vás nemýlil s nepotrebnými vecami a zameral sa na samotný spôsob integrácie.
Príklad 6
Nájdite neurčitý integrál
Ďalší typický integrál pre nezávislé riešenie. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Rozdiel s odpoveďou z predchádzajúceho príkladu bude!
Ak je pod druhou odmocninou druhá odmocnina, potom sa riešenie v každom prípade zníži na dva analyzované príklady.
Zvážte napríklad integrál 
... Všetko, čo musíte urobiť, je vopred vyberte celý štvorec:
.
Ďalej sa vykonáva lineárna výmena, ktorá nemá žiadne dôsledky:
, ktorého výsledkom je integrál. Niečo známe, však?
Alebo taký príklad so štvorcovým dvojčlenom:
Vyberte celý štvorec:
A po lineárnej výmene dostaneme integrál, ktorý sa tiež vyrieši podľa už uvažovaného algoritmu.
Zvážte ďalšie dva typické príklady toho, ako znížiť integrál sám o sebe:
- integrál exponenta vynásobený sínusom;
- integrál exponenta vynásobený kosínom.
V uvedených integráloch po častiach budeme musieť integrovať už dvakrát:
Príklad 7
Nájdite neurčitý integrál
Celé číslo je exponent vynásobený sínusom.
Integrujeme po častiach dvakrát a redukujeme integrál na seba: 
V dôsledku dvojitej integrácie po častiach sa integrál znížil sám na seba. Dajme na začiatok začiatok a koniec riešenia:
Prejdite doľava so zmenou znamienka a vyjadrite náš integrál: 
Hotový. Po ceste je vhodné česať pravú stranu, t.j. dajte exponent mimo zátvorky a v zátvorkách usporiadajte sínus a kosínus v „peknom“ poradí.
Vráťme sa teraz na začiatok príkladu, respektíve k integrácii po častiach: 
Pretože sme určili vystavovateľa. Vyvstáva otázka, čím presne by exponent mal byť vždy označený? Nie je to potrebné. V skutočnosti v uvažovanom integrále zásadne žiadny rozdielČo treba označiť, bolo možné ísť inou cestou: 
Prečo je to možné? Pretože exponent sa mení na seba (počas diferenciácie aj integrácie), sínus a kosínus sa navzájom transformujú (opäť počas diferenciácie aj integrácie).
To znamená, že môžete určiť aj trigonometrickú funkciu. Ale v uvažovanom príklade je to menej racionálne, pretože sa objavia zlomky. Ak chcete, môžete sa pokúsiť vyriešiť tento príklad druhým spôsobom, odpovede musia byť rovnaké.
Príklad 8
Nájdite neurčitý integrál
Toto je príklad samostatného riešenia. Pred rozhodnutím sa zamyslite nad tým, čo je v tomto prípade výnosnejšie určiť pre exponentovú alebo trigonometrickú funkciu? Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.
A samozrejme nezabudnite, že väčšina odpovedí v tejto lekcii je dosť ľahká na to, aby ste ich rozlíšili!
Príklady sa nepovažovali za najťažšie. V praxi sú integrály bežnejšie, keď konštanta je v exponente aj v argumente trigonometrickej funkcie, napríklad :. Mnoho ľudí sa bude musieť v takom integrále stratiť a ja sám som často zmätený. Pravda je, že v roztoku je vysoká pravdepodobnosť výskytu zlomkov a je veľmi ľahké nepozornosťou niečo stratiť. Okrem toho je veľká pravdepodobnosť chyby v znamienkach. Všimnite si, že exponent má znamienko mínus, čo prináša ďalšie ťažkosti.
V konečnej fáze sa často ukáže niečo ako toto:
Aj na konci riešenia by ste mali byť mimoriadne opatrní a kompetentní zaobchádzať s frakciami: 
Integrácia zložených frakcií
Pomaly sa blížime k rovníku lekcie a začíname uvažovať o integráloch zlomkov. Nie všetky sú opäť superkomplikované, len z jedného alebo druhého dôvodu boli príklady v iných článkoch trochu „mimo témy“.
Pokračovanie témy koreňov
Príklad 9
Nájdite neurčitý integrál
V menovateli pod koreňom je druhá mocnina plus mimo koreňa „prívesok“ vo forme „x“. Integrál tohto druhu sa rieši štandardnou substitúciou.
Rozhodujeme sa: 
Výmena je jednoduchá: 
Pozeráme sa na život po výmene: 
(1) Po substitúcii dostávame výrazy pod koreňom k spoločnému menovateľovi.
(2) Vyberáme spod koreňa.
(3) Zmenšiť čitateľa a menovateľa o. Zároveň som pod koreňom preusporiadal podmienky v príhodnom poradí. S určitými skúsenosťami možno kroky (1), (2) preskočiť vykonaním slovných poznámok.
(4) Výsledný integrál, ako si pamätáte z hodiny Integrácia niektorých frakcií, vyriešené metóda výberu celého štvorca... Vyberte celý štvorec.
(5) Integráciou dostaneme obyčajný „dlhý“ logaritmus.
(6) Vykonávame spätnú výmenu. Ak spočiatku, tak späť :.
(7) Výsledná akcia je zameraná na účes výsledku: pod koreňom znova dáme výrazy spoločnému menovateľovi a vyberieme ich spod koreňa.
Príklad 10
Nájdite neurčitý integrál 
Toto je príklad samostatného riešenia. Tu bola do osamelého X pridaná konštanta a náhrada je takmer rovnaká: 
Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť dodatočne, je vyjadriť „x“ z náhrady: 
Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.
Niekedy v takom integrále môže byť pod koreňom štvorcový dvojčlen, toto riešenie nezmení, bude to ešte jednoduchšie. Cítiť rozdiel:
Príklad 11
Nájdite neurčitý integrál
Príklad 12
Nájdite neurčitý integrál
Stručné riešenia a odpovede na konci hodiny. Je potrebné poznamenať, že príklad 11 je úplne rovnaký binomický integrál, ktorého metóda riešenia bola v lekcii zvážená Integrály iracionálnych funkcií.
Integrál nerozložiteľného polynómu stupňa 2 v stupni
(polynóm v menovateli)
Vzácnejšia, ale napriek tomu sa v praktických príkladoch stretla s formou integrálu.
Príklad 13
Nájdite neurčitý integrál
Ale späť k príkladu so šťastným číslom 13 (úprimne, nehádal som správne). Tento integrál je tiež z kategórie tých, s ktorými sa môžete pekne potrápiť, ak neviete, ako to vyriešiť.
Riešenie začína umelou transformáciou: 
Myslím, že už každý rozumie tomu, ako rozdeliť čitateľa termínom menovateľa po termíne.
Výsledný integrál sa berie kúsok po kúsku: 
Pre integrál tvaru (je to prirodzené číslo) sme odvodili opakujúci Vzorec na zníženie stupňa:
kde 
- integrál o stupeň nižší.
Overme si platnosť tohto vzorca pre riešený integrál.
V tomto prípade: ,, použijeme vzorec: 
Ako vidíte, odpovede sú rovnaké.
Príklad 14
Nájdite neurčitý integrál
Toto je príklad samostatného riešenia. Roztok vzorky používa vyššie uvedený vzorec dvakrát za sebou.
Ak pod stupňom je nerozložiteľnýštvorcový trojuholník, potom sa roztok zníži na dvojčlen výberom celého štvorca, napríklad:
Čo ak je v čitateľovi ďalší polynóm? V tomto prípade sa použije metóda nedefinovaných koeficientov a celé číslo sa rozšíri na súčet zlomkov. Ale v mojej praxi takéhoto príkladu nikdy nestretol, tak som tento prípad v článku preskočil Integrály zlomkovej racionálnej funkcie, Teraz to preskočím. Ak sa takýto integrál stále vyskytuje, prečítajte si učebnicu - tam je všetko jednoduché. Nepovažujem za vhodné zahrnúť materiál (aj jednoduchý), ktorého pravdepodobnosť stretnutia má sklon k nule.
Integrácia komplexných trigonometrických funkcií
Pre väčšinu príkladov je prídavné meno „ťažké“ opäť do značnej miery podmienené. Začnime s dotyčnicami a kotangensami vo vysokých stupňoch. Z hľadiska metód použitých na riešenie dotyčnice a kotangensu sú takmer to isté, preto budem hovoriť viac o dotyčnici, z čoho vyplýva, že demonštrovaná metóda riešenia integrálu platí aj pre kotangens.
Vo vyššie uvedenej lekcii sme sa pozreli na univerzálna trigonometrická substitúcia na riešenie určitého druhu integrálov trigonometrických funkcií. Nevýhodou univerzálnej trigonometrickej substitúcie je, že pri jej použití často vznikajú ťažkopádne integrály s náročnými výpočtami. A v niektorých prípadoch sa dá vyhnúť univerzálnej trigonometrickej substitúcii!
Zvážte ďalší kanonický príklad, integrál jednoty vydelený sínusom:
Príklad 17
Nájdite neurčitý integrál
Tu môžete použiť všeobecnú trigonometrickú substitúciu a získať odpoveď, ale existuje racionálnejší spôsob. Ku každému kroku poskytnem kompletné riešenie s komentármi:
(1) Používame sinusový trigonometrický vzorec s dvojitým uhlom.
(2) Vykonávame umelú premenu: V menovateli vydelíme a vynásobíme.
(3) Podľa známeho vzorca v menovateli transformujeme zlomok na dotyčnicu.
(4) Funkciu privedieme pod znamienko diferenciálu.
(5) Vezmite integrál.
Niekoľko jednoduchých príkladov nezávislého riešenia:
Príklad 18
Nájdite neurčitý integrál
Poznámka: Úplne prvým krokom je použitie hereckého vzorca 
a opatrne vykonajte činnosti podobné predchádzajúcemu príkladu.
Príklad 19
Nájdite neurčitý integrál
Toto je veľmi jednoduchý príklad.
Kompletné riešenia a odpovede na konci hodiny.
Myslím, že teraz už nebude mať nikto problém s integrálmi: 
atď.
Aká je myšlienka tejto metódy? Cieľom je usporiadať iba tangenty a deriváty tangenty v integrante pomocou transformácií, trigonometrických vzorcov. To znamená, že hovoríme o nahradení: 
... V príkladoch 17-19 sme skutočne použili túto náhradu, ale integrály boli také jednoduché, že hmota bola ošetrená ekvivalentnou akciou - čím sa funkcia dostala pod znak rozdielu.
Podobné úvahy, ako som už spomenul, možno vykonať pre kotangens.
Existuje aj formálny predpoklad na uplatnenie vyššie uvedenej náhrady:
Súčet mocností kosínu a sínusu je záporné celé číslo AJ číslo, napr .:
pre integrál - záporné celé číslo AJ číslo.
! Poznámka : ak integrand obsahuje IBA sínus alebo IBA kosínus, potom sa integrál berie aj pre záporný nepárny stupeň (najjednoduchšie prípady sú v príkladoch č. 17, 18).
Zvážte niekoľko zmysluplnejších úloh pre toto pravidlo:
Príklad 20
Nájdite neurčitý integrál
Súčet výkonov sínusu a kosínusu: 2 - 6 = –4 je záporné celé číslo AJ číslo, čo znamená, že integrál je možné redukovať na dotyčnice a ich deriváciu: 
(1) Transformujte menovateľa.
(2) Podľa známeho vzorca dostaneme.
(3) Transformujte menovateľa.
(4) Používame vzorec 
.
(5) Funkciu privedieme pod znamienko diferenciálu.
(6) Vykonávame výmenu. Skúsenejší študenti nemusia vykonať výmenu, ale stále je lepšie nahradiť dotyčnicu jedným písmenom - existuje menšie riziko zámeny.
Príklad 21
Nájdite neurčitý integrál
Toto je príklad samostatného riešenia.
Držte sa, kolá šampiónov začínajú =)
V integrante je často „hodgepodge“:
Príklad 22
Nájdite neurčitý integrál 
Tento integrál spočiatku obsahuje dotyčnicu, ktorá okamžite vyvolá už známu myšlienku:
Umelá transformácia na samom začiatku a ostatné kroky ponechám bez komentára, pretože o všetkom sa už hovorilo vyššie.
Niekoľko kreatívnych príkladov vlastného riešenia:
Príklad 23
Nájdite neurčitý integrál 
Príklad 24
Nájdite neurčitý integrál 
Áno, v nich samozrejme môžete znížiť stupne sínusu, kosínusu, použiť univerzálnu trigonometrickú substitúciu, ale riešenie bude oveľa efektívnejšie a kratšie, ak sa uskutoční cez tangenty. Kompletné riešenie a odpovede na konci hodiny
V piatom storočí pred naším letopočtom sformuloval starogrécky filozof Zeno z Eleje svoje slávne aporie, z ktorých najslávnejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ním tisíc krokov. Za čas, ktorý Achillovi ubehne túto vzdialenosť, korytnačka prelezie sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka prelezie ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedobehne.
Toto zdôvodnenie bolo logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Všetci, tak či onak, považovali Zenove aporie. Šok bol taký silný, že “ ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vedecká komunita zatiaľ nedokázala dospieť k spoločnému názoru na podstatu paradoxov ... do štúdia problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadny z nich sa nestal všeobecne akceptovaným riešením otázky ...„[Wikipedia, Zeno's Aporia“]. Každý chápe, že sa nechá oklamať, ale nikto nechápe, o čo ide.
Z hľadiska matematiky Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od magnitúdy k. Tento prechod predpokladá použitie namiesto konštánt. Pokiaľ chápem, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónovu apóriu. Aplikácia našej obvyklej logiky nás vedie do pasce. Zotrvačnosťou myslenia aplikujeme na recipročné konštantné jednotky merania času. Z fyzického hľadiska to vyzerá ako dilatácia času, kým sa úplne nezastaví v okamihu, keď je Achilles vyrovnaný s korytnačkou. Ak sa zastaví čas, Achilles už nemôže korytnačku predbehnúť.
Ak prevrátime logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Podľa toho je čas strávený na jeho prekonanie desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme koncept „nekonečna“, bolo by správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo dobehne korytnačku“.
Ako sa môžete vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných časových jednotkách a neďte dozadu. V Zenovom jazyku to vyzerá takto:
Za čas, počas ktorého Achilles prebehne tisíc krokov, korytnačka prelezie sto krokov rovnakým smerom. V ďalšom časovom intervale, ktorý sa rovná prvému, urobí Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka sa bude plaziť sto krokov. Teraz je Achilles o osemsto krokov pred korytnačkou.
Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Nejde však o úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zeno aporia „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte preštudovať, premyslieť a vyriešiť. Riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkom počte, ale v jednotkách merania.
Ďalšia zaujímavá apória Zeno hovorí o lietajúcom šípe:
Lietajúci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji a keďže je v pokoji v každom okamihu, je vždy v pokoji.
V tejto apórii sa logický paradox prekonáva veľmi jednoducho - stačí si ujasniť, že v každej chvíli spočíva letiaci šíp v rôznych bodoch vesmíru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie automobilu na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť od neho. Na zistenie skutočnosti, že sa vozidlo pohybuje, sú potrebné dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznom čase, ktoré však nemožno použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od automobilu potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov vesmíru súčasne, ale nie je možné z nich určiť skutočnosť pohybu (pre výpočty sú samozrejme stále potrebné ďalšie údaje, pomôže trigonometria vy). Na čo by som chcel osobitne upozorniť, je to, že dva časové body a dva vesmírne body sú rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.
Streda 4. júla 2018
Rozdiel medzi množinou a multisetom je veľmi dobre opísaný na Wikipédii. Pozeráme.
Ako vidíte, „v sade nemôžu byť dva identické prvky“, ale ak sú v sade rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Takáto logika absurdity nikdy nebude pochopená racionálnymi bytosťami. To je úroveň hovoriacich papagájov a trénovaných opíc, ktorým chýba inteligencia od slova „úplne“. Matematici pôsobia ako obyčajní tréneri a hlásajú nám svoje absurdné nápady.
Kedysi boli inžinieri, ktorí most postavili, na lodi pod mostom počas skúšok mosta. Ak sa most zrútil, neschopný inžinier zomrel pod troskami svojho stvorenia. Keby most uniesol záťaž, talentovaný inžinier by postavil ďalšie mosty.
Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za slovné spojenie „chur, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich neoddeliteľne spája s realitou. Touto pupočnou šnúrou sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.
Veľmi dobre sme študovali matematiku a teraz sedíme pri pokladni a rozdávame platy. Prichádza matematik za svoje peniaze. Počítame mu celú sumu a rozložíme na náš stôl na rôzne kôpky, do ktorých dáme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej hromady vyberieme jeden účet a odovzdáme matematikovi jeho „matematický súbor platov“. Vysvetlime si matematiku, že zvyšok účtov dostane, iba keď preukáže, že množina bez identických prvkov sa nerovná množine s identickými prvkami. Tu sa zábava začína.
V prvom rade bude fungovať logika poslancov: „Môžete to uplatniť na ostatných, nemôžete to uplatniť na mňa!“ Ďalej nás začneme ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za rovnaké prvky. Dobre, počítajme plat v minciach - na minciach nie sú žiadne čísla. Matematik si tu začne zúrivo pamätať fyziku: rôzne mince majú rozdielne množstvo nečistôt, kryštalická štruktúra a usporiadanie atómov v každej minci sú jedinečné ...
A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: kde je hranica, za ktorou sa prvky multisetu zmenia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nikde ležala.
Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakým ihriskom. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že sme dostali multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme toho veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, rovnaká množina prvkov je množina aj multiset súčasne. Ako je to správne? A tu matematik-šaman-shuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.
Aby sme pochopili, ako moderní šamani fungujú s teóriou množín, ktorá ju spája s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: v čom sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem ti to bez toho, aby sme boli „mysliteľní ako jeden celok“ alebo „nemysliteľní ako celok“.
Nedeľa 18. marca 2018
Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky sa nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale preto sú to šamani, aby svojich potomkov naučili svoje zručnosti a múdrosť, inak šamani jednoducho vymrú.
Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipédiu a pokúste sa nájsť stránku Súčet číslic čísla. Neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, podľa ktorého nájdete súčet číslic ľubovoľného čísla. Čísla sú napokon grafické symboly, pomocou ktorých píšeme čísla a v jazyku matematiky znie úloha asi takto: „Nájdite súčet grafických symbolov predstavujúcich ľubovoľné číslo“. Matematici nemôžu vyriešiť tento problém, ale šamani - je to elementárne.
Pozrime sa, čo a ako robíme, aby sme zistili súčet číslic daného čísla. Takže poďme mať číslo 12345. Čo by sa malo robiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Prejdime všetky kroky v poriadku.
1. Číslo si zapíšeme na kúsok papiera. Čo sme urobili? Číslo sme previedli na grafický symbol čísla. Toto nie je matematická operácia.
2. Jeden výsledný obrázok sme nakrájali na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Strihanie obrázka nie je matematická operácia.
3. Jednotlivé grafické symboly preveďte na čísla. Toto nie je matematická operácia.
4. Sčítajte výsledné čísla. Teraz je to matematika.
Súčet číslic 12345 je 15. Toto sú „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. Ale to nie je všetko.
Z pohľadu matematiky nezáleží na tom, v ktorej číselnej sústave číslo napíšeme. Takže v rôznych číselných systémoch bude súčet číslic rovnakého čísla odlišný. V matematike je číselný systém označený ako dolný index napravo od čísla. S veľkým číslom 12345 si nechcem klamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Poďme toto číslo napísať do binárnych, osmičkových, desatinných a hexadecimálnych číselných systémov. Nebudeme sa pozerať na každý krok pod mikroskopom, už sme to dokázali. Uvidíme výsledok.
Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic rovnakého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to to isté, ako keby ste dosiahli úplne iné výsledky, ak by ste určili plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch.
Nula vo všetkých číselných systémoch vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument pre skutočnosť, že. Otázka pre matematikov: ako je v matematike označované niečo, čo nie je číslom? Čo pre matematikov nič iné ako čísla neexistuje? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov - nie. Realita nie je všetko len o číslach.
Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz toho, že číselné systémy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania tej istej veličiny vedú po ich porovnaní k iným výsledkom, nemá to nič spoločné s matematikou.
Čo je to skutočná matematika? To je prípad, keď výsledok matematickej akcie nezávisí od hodnoty čísla, použitej jednotky merania a od toho, kto túto akciu vykoná.
Och! Nie je to dámsky záchod?
- Dievča! Toto je laboratórium na štúdium nerozlišovacej svätosti duší počas výstupu na nebo! Halo na šípke hore a hore. Aká iná toaleta?
Žena ... Nimbus hore a šípka nadol je mužský.
Ak vám umelecké dielo ako toto bliká pred očami niekoľkokrát denne,
Potom nie je prekvapujúce, že vo svojom aute zrazu nájdete zvláštnu ikonu:
Osobne sa na sebe snažím, aby som u hovienka (jeden obrázok) videl mínus štyri stupne (zloženie niekoľkých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že toto dievča je hlupák, ktorý nevie fyziku. Proste má stereotyp vnímania grafických obrázkov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.
1A nie je „mínus štyri stupne“ alebo „jeden a“. Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v hexadecimálnom formáte. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.
