Zvažte rozdělení beta, vypočítejte jeho matematické očekávání, rozptyl a režim. Pomocí funkce MS EXCEL BETA.DIST () vyneseme grafy distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti. Pojďme vygenerovat pole náhodných čísel a vyhodnotit distribuční parametry.
Beta distribuceBeta-
rozdělení)
závisí na 2 parametrech: α ( alfa) > 0(určuje tvar rozvodu) a b (beta)> 0(určuje měřítko).
Na rozdíl od mnoha jiných spojitých distribucí, rozsah variace náhodné proměnné má Beta distribuce, je omezena segmentem. Mimo tento segment hustota distribuce rovná se 0. Hranice tohoto segmentu jsou stanoveny výzkumníkem v závislosti na problému. Pokud A = 0 a B = 1, pak takové Beta distribuce nazývaný standardní.
Beta distribuce má označení Beta(alfa; beta).
Poznámka: Pokud parametry alfa a beta= 1, tedy Beta distribuce promění v, tzn. Beta (1; 1; A; B) = U (A; B).
Obecně distribuční funkce nelze vyjádřit v elementárních funkcích, proto se počítá numerickými metodami např. pomocí funkce MS EXCEL BETA.DIST ().
Poznámka: Pro usnadnění zápisu vzorců do vzorového souboru pro distribuční parametry alfa a beta odpovídající.
Vzorový soubor obsahuje také grafy hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce s vyznačenými hodnotami střední, a .
Generování náhodných čísel a odhad parametrů
Použitím inverzní distribuční funkce(nebo kvantilové hodnoty ( p-
kvantil),
viz) můžete generovat hodnoty náhodné proměnné Beta distribuce... Chcete-li to provést, musíte použít vzorec:
BETA.OBR (RAND (); alfa; beta; A; B)
RADA: Protože náhodná čísla jsou generována pomocí funkce RAND () a poté stisknutím klávesy F9 je možné získat pokaždé nový vzorek a tím i nový odhad parametrů.
Funkce RAND () generuje od 0 do 1, což přesně odpovídá rozsahu variace pravděpodobnosti (viz. příklad generování listu souboru).
Nyní máme pole náhodných čísel vygenerovaných s danými distribučními parametry alfa a beta(ať je jich 200), odhadněme distribuční parametry.
Odhad parametrů alfa a beta lze vyřídit s metoda momentů(předpokládá se, že parametry A a B jsou známé):
Správný odkaz na tento článek:
Oleinikova S.A. - Aproximace zákona o rozdělení součtu náhodných veličin rozdělených podle zákona beta // Kybernetika a programování. - 2015. - Č. 6. - S. 35 - 54. DOI: 10.7256 / 2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225
Aproximace zákona o rozdělení součtu náhodných veličin rozdělených podle zákona beta
| Oleiniková Světlana Alexandrovna Doktor technických věd Docent, Voroněžská státní technická univerzita 394026, Rusko, Voroněž, Moskovskij prospekt, 14 Oleiniková Světlana Aleksandrovna Doktor technických věd Docent, Katedra automatizovaných a výpočetních systémů, Voroněžská státní technická univerzita 394026, Rusko, g. Voroněž, Moskovskij prospekt, 14 Datum odeslání článku do redakce: 14-12-2015
Datum recenze článku: 15-12-2015
Anotace. Předmětem zkoumání v této práci je hustota rozdělení náhodné veličiny, která je součtem konečného počtu hodnot beta, z nichž každá je rozložena ve vlastním intervalu s vlastními parametry. Tento zákon je rozšířený v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice, protože jej lze použít k popisu dostatečně velkého počtu náhodných jevů, pokud jsou hodnoty odpovídající spojité náhodné proměnné soustředěny v určitém intervalu. Protože hledaný součet hodnot beta nelze vyjádřit žádným ze známých zákonů, vzniká problém odhadnout hustotu jeho distribuce. Cílem práce je najít takovou aproximaci pro hustotu rozdělení součtu hodnot beta, která by se lišila v nejmenší chybě. K dosažení tohoto cíle byl proveden výpočtový experiment, v jehož důsledku byla pro daný počet hodnot beta porovnána číselná hodnota hustoty distribuce s aproximací požadované hustoty. Jako aproximace byly použity normální a beta distribuce. Jako výsledek experimentální analýzy byly získány výsledky, které naznačují, že je vhodné aproximovat hledaný distribuční zákon zákonem beta. Jako jedna z oblastí aplikace získaných výsledků je uvažována problematika projektového řízení s náhodnou délkou trvání, kde klíčovou roli hraje odhad doby realizace projektu, který vzhledem ke specifikům předmětné oblasti, resp. lze popsat pomocí součtu hodnot beta.
klíčová slova:
náhodná veličina, beta rozdělení, hustota rozdělení, zákon normálního rozdělení, součet náhodných veličin, výpočtový experiment, rekurzivní algoritmus, aproximace, chyba, PERT
10.7256/2306-4196.2015.6.17225
Datum zveřejnění: 19-01-2016
Abstraktní. Předmětem výzkumu v tomto příspěvku je funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) náhodné veličiny, která je součtem konečného počtu hodnot beta. Tento zákon je rozšířen v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice, protože jeho použití lze popsat dostatečně velkým počtem náhodných událostí, pokud se hodnota odpovídající spojité náhodné veličiny soustředí v určitém rozmezí. Vzhledem k tomu, že požadovaný součet hodnot beta nelze vyjádřit žádným ze známých zákonů, vzniká problém odhadnout rozložení jeho hustoty. Cílem je najít pro PDF takovou aproximaci součtu beta-hodnot, která by měla nejmenší chybu. K dosažení tohoto cíle byl proveden výpočtový experiment, ve kterém se pro daný počet beta hodnot porovnávala číselná hodnota PDF s aproximací požadované hustoty. Jako aproximace bylo použito normální a beta rozdělení. Závěrem experimentální analýzy byly získány výsledky naznačující vhodnost aproximace požadovaného zákona pomocí beta rozdělení. Jako jedna z oblastí aplikace výsledků je zvažován problém projektového řízení s náhodným trváním prací. Zde je klíčovou otázkou vyhodnocení doby realizace projektu, kterou lze vzhledem ke specifické tematické oblasti popsat součtem hodnot beta.
klíčová slova: Náhodná hodnota, beta rozdělení, funkce hustoty, normální rozdělení, součet náhodných veličin, výpočtový experiment, rekurzivní algoritmus, aproximace, chyba, PERT Úvod Zvažuje se problém odhadu distribučního zákona součtu beta-hodnot. Toto je univerzální zákon, který lze použít k popisu většiny náhodných jevů se zákonem spojitého rozdělení. Zejména v drtivém počtu případů zkoumání náhodných jevů, které lze popsat unimodálními spojitými náhodnými veličinami ležícími v určitém rozsahu hodnot, lze takovou hodnotu aproximovat zákonem beta. V tomto ohledu je problém nalezení distribučního zákona pro součet beta-hodnot nejen vědecké povahy, ale také určitého praktického zájmu. Navíc, na rozdíl od většiny distribučních zákonů, zákon beta nemá jedinečné vlastnosti, které umožňují analytický popis požadovaného množství. Specifičnost tohoto zákona je navíc taková, že je extrémně obtížné extrahovat násobný určitý integrál nutný pro určení hustoty součtu náhodných proměnných a výsledkem je poněkud těžkopádný výraz i pro n = 2 a s nárůstem v počtu termínů se složitost výsledného výrazu mnohonásobně zvyšuje. V tomto ohledu vyvstává problém aproximace hustoty distribuce součtu hodnot beta s minimální chybou.
Tento článek představuje přístup k nalezení aproximace pro požadovaný zákon pomocí výpočetního experimentu, který umožňuje pro každý konkrétní případ porovnat chybu získanou odhadem hustoty zájmu pomocí nejvhodnějších zákonů: normálního a beta. V důsledku toho se dospělo k závěru, že je vhodné odhadnout součet hodnot beta pomocí distribuce beta. 1. Stanovení problému a jeho vlastnosti Obecně platí, že zákon beta je určen hustotou specifikovanou v intervalu takto:
`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`
Prakticky zajímavé jsou však hodnoty beta zpravidla stanovené v libovolném intervalu. Je to dáno především tím, že škála praktických problémů je v tomto případě mnohem širší, a za druhé při hledání řešení pro obecnější případ nebude možné získat výsledek pro konkrétní případ, který být určen náhodnou veličinou (1) nepředstavuje žádné potíže. Proto v následujícím budeme uvažovat náhodné proměnné definované na libovolném intervalu. V tomto případě lze problém formulovat následovně.
Zvažujeme problém odhadu distribučního zákona náhodné veličiny, která je součtem náhodných veličin `xi_ (i),` i = 1, ..., n, z nichž každý je rozdělen podle zákona beta v intervalu s parametry p i a q i. Hustota distribuce jednotlivých členů bude určena vzorcem:
Problém nalezení zákona součtu hodnot beta byl částečně vyřešen dříve. Konkrétně byly získány vzorce pro odhad součtu dvou hodnot beta, z nichž každá je určena pomocí (1). V navrhovaném přístupu k hledání součtu dvou náhodných veličin s distribučním zákonem (2).
V obecném případě však původní problém nebyl vyřešen. To je způsobeno především specifičností vzorce (2), který neumožňuje získat kompaktní a pohodlné vzorce pro nalezení hustoty ze součtu náhodných veličin. Vlastně na dvě množství `xi_1` a` xi_2` požadovaná hustota se určí takto:
`f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)`
V případě sečtení n náhodných veličin získáme násobný integrál. Zároveň s tímto problémem existují potíže spojené se specifiky beta distribuce. Zejména i pro n = 2 vede použití vzorce (3) k poněkud těžkopádnému výsledku, který je definován z hlediska hypergeometrických funkcí. Převzetí integrálu získané hustoty, které je nutné provést již při n = 3 a vyšší, je extrémně obtížné. Zároveň nejsou vyloučeny chyby, které při zaokrouhlování a výpočtu takto složitého výrazu nevyhnutelně vzniknou. V tomto ohledu je nutné hledat aproximaci pro vzorec (3), který umožňuje aplikovat známé vzorce s minimální chybou.
2. Výpočtový experiment k přiblížení hustoty součtu hodnot beta Pro analýzu specifik požadované hustoty distribuce byl proveden experiment, který umožňuje sběr statistických informací o náhodné veličině, která je součtem předem určeného počtu náhodných veličin s beta rozdělením s danými parametry. Experimentální uspořádání bylo podrobněji popsáno v. Změnou parametrů jednotlivých hodnot beta, jakož i jejich počtu, jsme v důsledku velkého počtu provedených experimentů došli k následujícím závěrům.
1. Pokud jednotlivé náhodné veličiny zahrnuté v součtu mají symetrické hustoty, pak má histogram konečného rozdělení tvar blízký normálu. Blíží se jim také normální zákon vyhodnocování číselných charakteristik výsledné hodnoty (matematické očekávání, rozptyl, asymetrie a špičatost).
2. Pokud jsou jednotlivé náhodné veličiny asymetrické (s kladnou i zápornou asymetrií), ale celková asymetrie je 0, pak z hlediska grafického znázornění a numerických charakteristik je získaný distribuční zákon také blízký normálu.
3. V ostatních případech se hledaný zákon vizuálně blíží zákonu beta. Konkrétně součet pěti asymetrických náhodných proměnných je znázorněn na obrázku 1.
Obrázek 1 - Součet pěti stejně asymetrických náhodných proměnných
Na základě provedeného experimentu je tedy možné předložit hypotézu o možné aproximaci hustoty součtu hodnot beta normálním nebo beta rozdělením.
Abychom tuto hypotézu potvrdili a zvolili jediný zákon pro aproximaci, provedeme následující experiment. Po udání počtu náhodných veličin s beta rozdělením a jejich parametrů najdeme číselnou hodnotu požadované hustoty a porovnáme ji s hustotou odpovídajícího normálního nebo beta rozdělení. To bude vyžadovat:
1) vyvinout algoritmus, který vám umožní numericky odhadnout hustotu součtu hodnot beta;
2) s danými parametry a počtem počátečních hodnot určit parametry konečného rozdělení za předpokladu normálního nebo beta rozdělení;
3) určete chybu aproximace normálním rozdělením nebo beta rozdělením.
Podívejme se na tyto úkoly podrobněji. Numerický algoritmus pro zjištění hustoty součtu hodnot beta je založen na rekurzi. Součet n libovolných náhodných proměnných lze určit takto:
„eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)“ , (4)
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)` . (5)
Podobně můžete popsat hustotu distribuce náhodné proměnné `eta_ (n-1)`:
„eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1)“ , (6)
Pokud budeme pokračovat v podobné úvaze a použijeme vzorec (3), dostaneme:
`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-) 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2)) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) "
Tyto úvahy, stejně jako specifika stanovení hustoty pro veličiny s beta rozdělením, jsou podrobněji uvedeny v.
Parametry konečného distribučního zákona jsou určeny na základě předpokladu nezávislosti náhodných veličin. V tomto případě bude matematické očekávání a rozptyl jejich součtu určen pomocí vzorců:
"Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)"
Pro normální zákon budou parametry a a `sigma` přímo určeny vzorci (8) a (9). Pro beta distribuci musíte nejprve vypočítat dolní a horní hranici. Mohou být definovány následovně:` `
`a = součet_ (i = 1) ^ na_ (i)`; (10)
,,, b = součet_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (jedenáct)
Zde a i a b i jsou hranice intervalů jednotlivých členů. Dále sestavíme systém rovnic, který bude obsahovat vzorce pro matematické očekávání a rozptyl hodnoty beta:
`((Mxi = a + (ba) p / (p + q)), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) :) (12) "
Zde je `xi` náhodná proměnná popisující požadovaný součet. Jeho matematické očekávání a rozptyl jsou určeny vzorci (8) a (9); parametry aab jsou dány vzorci (10) a (11). Po vyřešení systému (12) s ohledem na parametry p a q budeme mít:
`p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a))“ . (13)
`q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))“ . (14)
`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) "
Zde `hatf (x)` je aproximací součtu hodnot beta; `f_ (eta) (x)` - distribuční zákon součtu hodnot beta.
Pro odhad chyb budeme postupně měnit parametry jednotlivých beta hodnot. Zejména budou zajímavé následující otázky:
1) jak rychle součet hodnot beta konverguje k normálnímu rozdělení a je možné odhadnout součet podle jiného zákona, který bude mít minimální chybu vzhledem ke skutečnému zákonu rozdělení součtu hodnot beta;
2) jak moc se chyba zvětšuje s nárůstem asymetrie beta-hodnot;
3) jak se chyba změní, pokud se změní distribuční intervaly hodnot beta.
Obecné schéma experimentálního algoritmu pro každou jednotlivou hodnotu beta-hodnot lze znázornit následovně (obrázek 2).
Obrázek 2 - Obecné schéma experimentálního algoritmu
PogBeta - chyba vyplývající z aproximace konečného zákona pomocí beta rozdělení v intervalu;
PogNorm - chyba vyplývající z aproximace konečného zákona normálním rozdělením v intervalu;
ItogBeta - konečná hodnota chyby vyplývající z aproximace konečného rozdělení zákonem beta;
ItogNorm - celková hodnota chyby vyplývající z aproximace konečného rozdělení normálním zákonem. 3. Experimentální výsledky Pojďme analyzovat výsledky experimentu popsaného výše.
Dynamika poklesu chyb s nárůstem počtu členů je znázorněna na obrázku 3. Na vodorovné ose je počet členů a na svislé ose velikost chyby. Dále řada "Norm" ukazuje změnu chyby normálním rozdělením, řada "Beta" - rozdělení beta.
Obrázek 3 - Redukce chyb se snížením počtu termínů
Jak je vidět z tohoto obrázku, pro dva členy je chyba aproximace zákonem beta asi 4krát nižší než chyba aproximace zákonem normálního rozdělení. Je zřejmé, že jak se členy zvyšují, aproximační chyba normálního zákona klesá mnohem rychleji než zákon beta. Lze také předpokládat, že pro velmi velký počet členů bude mít aproximace normálním zákonem menší chybu než aproximace beta rozdělení. S přihlédnutím k velikosti chyby v tomto případě však lze usoudit, že z hlediska počtu termínů je výhodnější beta rozdělení.
Obrázek 4 ukazuje dynamiku změn chyb s nárůstem asymetrie náhodných veličin. Bez ztráty obecnosti byl parametr p všech počátečních hodnot beta fixován na hodnotu 2 a dynamika změny parametru q + 1 je zobrazena na ose x. Ordinátní osa v grafech ukazuje chybu aproximace. Výsledky experimentu s jinými hodnotami parametrů jsou obecně podobné.
V tomto případě je také zřejmé, že je vhodnější aproximovat součet beta hodnot pomocí beta distribuce.
Obrázek 4 - Změna aproximačních chyb s rostoucí asymetrií veličin
Dále jsme analyzovali změnu chyb při změně rozsahu počátečních hodnot beta. Obrázek 5 ukazuje výsledky měření chyby pro součet čtyř hodnot beta, z nichž tři jsou rozloženy v intervalu a rozsah čtvrté se postupně zvyšuje (je vyneseno na úsečce).
Obrázek 5 - Změna chyb při změně intervalů rozdělení náhodných veličin
Na základě grafických ilustrací na obrázcích 3-5, jakož i s přihlédnutím k údajům získaným jako výsledek experimentu, lze dojít k závěru, že je vhodné použít rozdělení beta k přiblížení součtu hodnot beta.
Jak ukazují získané výsledky, v 98 % případů bude chyba při aproximaci zkoumané hodnoty zákonem beta nižší než při aproximaci normálního rozdělení. Průměrná hodnota chyby aproximace beta bude záviset především na šířce intervalů, ve kterých je každý člen rozložen. V tomto případě tento odhad (na rozdíl od normálního zákona) velmi málo závisí na symetrii náhodných veličin a také na počtu členů. 4. Aplikace Jednou z oblastí uplatnění získaných výsledků je úkol projektového řízení. Projekt je sada vzájemně závislých sériově-paralelních úloh s náhodným trváním služby. V tomto případě bude doba trvání projektu náhodná hodnota. Je zřejmé, že posouzení distribučního zákona této veličiny je zajímavé nejen ve fázích plánování, ale také při analýze možných situací spojených s předčasným dokončením všech prací. Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že zpoždění projektu může vést k celé řadě nepříznivých situací, včetně pokut, jeví se odhad distribučního zákona náhodné veličiny popisující dobu trvání projektu jako mimořádně důležitý praktický úkol.
V současné době se pro toto hodnocení používá metoda PERT. Podle jeho předpokladů je trvání projektu normálně rozdělená náhodná veličina `eta` s parametry:
`a = součet_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)`, (16)
`sigma = sqrt (součet_ (i = 1) ^ k D eta_ (i))` . (17)
Zde k je počet úloh na kritické cestě projektu; `eta_ (1)`, ..., `eta_ (k)` - doba trvání těchto prací.
Zvažme korekci metody PERT s přihlédnutím k získaným výsledkům. V tomto případě budeme předpokládat, že doba trvání projektu je rozložena podle zákona beta s parametry (13) a (14).
Pojďme si získané výsledky vyzkoušet v praxi. Zvažte projekt definovaný síťovým diagramem znázorněným na obrázku 6.
Obrázek 6 - Příklad síťového diagramu
Okraje grafu zde označují úlohy, váhy hran udávají počty zakázek; vrcholy ve čtvercích - události, které znamenají začátek nebo konec práce. Nechť jsou práce dány trváními uvedenými v tabulce 1.
Stůl 1 - Časová charakteristika projektových prací
| Práce č. |
min |
max |
Rohož. pohotovostní |
| 1
|
5
|
10
|
9
|
| 2
|
3
|
6
|
4
|
| 3
|
6
|
8
|
7
|
| 4
|
4
|
7
|
6
|
| 5
|
4
|
7
|
7
|
| 6
|
2
|
5
|
3
|
| 7
|
4
|
8
|
6
|
| 8
|
4
|
6
|
5
|
| 9
|
6
|
8
|
7
|
| 10
|
2
|
6
|
4
|
| 11
|
9
|
13
|
12
|
| 12
|
2
|
6
|
3
|
| 13
|
5
|
7
|
6
|
Ve výše uvedené tabulce je min nejkratší doba, za kterou lze tuto práci dokončit; max - nejdelší čas; Rohož. pohotovostní je matematické očekávání distribuce beta, které ukazuje očekávaný čas dokončení dané úlohy.
Proces realizace projektu budeme simulovat pomocí speciálně vyvinutého simulačního modelovacího systému. Podrobněji je to popsáno v. Jako výstup musíte získat:
Histogramy projektů;
Vyhodnocení pravděpodobností realizace projektu v daném intervalu na základě statistických dat simulačního systému;
Odhad pravděpodobností pomocí normálního a beta rozdělení.
Během 10 000x simulace realizace projektu byl získán vzorek doby trvání služby, jehož histogram je na obrázku 7.
Obrázek 7 - Histogram doby trvání projektu
Je zřejmé, že vzhled histogramu na obrázku 7 se liší od grafu hustoty zákona normálního rozdělení.
K nalezení konečného matematického očekávání a rozptylu použijeme vzorce (8) a (9). Dostaneme:
'Meta = 27; Deta = 1,3889
Pravděpodobnost dosažení daného intervalu se vypočítá pomocí známého vzorce:
`P (l (18)
kde „f_ (eta) (x)“ je distribuční zákon náhodné proměnné „eta“, l a r- hranice zájmového intervalu.
Pojďme si spočítat parametry pro finální beta distribuci. K tomu použijeme vzorce (13) a (14). Dostaneme:
p = 13,83; q = 4,61.
Hranice distribuce beta jsou určeny vzorci (10) a (11). Budu mít:
Výsledky studie jsou uvedeny v tabulce 2. Bez ztráty na obecnosti zvolme počet běhů modelu rovný 10000. Ve sloupci "Statistika" je vypočtena pravděpodobnost získaná na základě statistických dat. Sloupec "Normální" ukazuje pravděpodobnost vypočtenou podle zákona o normálním rozdělení, který se nyní používá k řešení úlohy. Sloupec Beta obsahuje hodnotu pravděpodobnosti vypočítanou z rozdělení beta.
Tabulka 2 - Výsledky pravděpodobnostních odhadů
Na základě výsledků uvedených v tabulce 2, jakož i obdobných výsledků získaných v průběhu modelování procesu provádění jiných projektů, lze usuzovat, že získané odhady aproximace součtu náhodných veličin (2) pomocí beta distribuce umožňují získat řešení tohoto problému s větší přesností ve srovnání se stávajícími protějšky. Cílem této práce bylo najít takovou aproximaci zákona o rozdělení součtu hodnot beta, která by se lišila co nejmenší chybou ve srovnání s jinými analogy. Byly získány následující výsledky.
1. Experimentálně byla předložena hypotéza o možnosti aproximace součtu hodnot beta pomocí rozdělení beta.
2. Byl vyvinut softwarový nástroj, který umožňuje získat číselnou hodnotu chyby vyplývající z aproximace požadované hustoty zákonem normálního rozdělení a zákonem beta. Tento program je založen na rekurzivním algoritmu, který vám umožňuje numericky určit hustotu součtu hodnot beta s danou hustotou, která je podrobněji popsána v.
3. Byl vytvořen výpočtový experiment, jehož účelem bylo určit nejlepší aproximaci srovnávací analýzou chyb v různých podmínkách. Experimentální výsledky ukázaly proveditelnost použití beta distribuce jako nejlepší aproximace hustoty distribuce součtu hodnot beta.
4. Je uveden příklad, ve kterém mají získané výsledky praktický význam. Jedná se o úlohy projektového řízení s náhodnými časy provádění pro jednotlivé zakázky. Důležitým problémem pro takové úkoly je posouzení rizik spojených s pozdním dokončením projektu. Získané výsledky umožňují získat přesnější odhady požadovaných pravděpodobností a v důsledku toho snížit pravděpodobnost chyb v plánování.
Bibliografie
|
|
Nejsi otrok!
Uzavřený vzdělávací kurz pro děti elity: "Skutečné uspořádání světa."
http://noslave.org
z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Beta distribuce
Hustota pravděpodobnosti
Funkce hustoty pravděpodobnosti pro rozdělení beta |
Distribuční funkce
Funkce kumulativního rozdělení pro rozdělení beta |
| Označení
|
texvc nenalezeno; Nápovědu k nastavení najdete v matematice / README.): \ Text (Be) (\ alpha, \ beta)
|
| Parametry
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math / README - reference ladění.): \ Alpha> 0
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu ke konfiguraci najdete v matematice / README.): \ Beta> 0
|
| Dopravce
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu ke konfiguraci viz math / README.): X \ in
|
| Hustota pravděpodobnosti
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math / README pro nápovědu k nastavení.): \ Frac (x ^ (\ alpha-1) (1-x) ^ (\ beta-1)) (\ mathrm (B) (\ alpha, \ beta))
|
| Distribuční funkce
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu ke konfiguraci najdete v matematice / README.): I_x (\ alpha, \ beta)
|
| Očekávaná hodnota
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu k ladění najdete v matematice / README.): \ Frac (\ alpha) (\ alpha + \ beta)
|
| Medián
|
|
| Móda
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu k ladění najdete v matematice / README.): \ Frac (\ alpha-1) (\ alpha + \ beta-2) pro Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu k ladění najdete v matematice / README.): \ Alpha> 1, \ beta> 1
|
| Disperze
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu k nastavení najdete v matematice / README.): \ Frac (\ alpha \ beta) ((\ alpha + \ beta) ^ 2 (\ alpha + \ beta + 1))
|
| Koeficient asymetrie
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu k nastavení najdete v matematice / README.): \ Frac (2 \, (\ beta- \ alpha) \ sqrt (\ alpha + \ beta + 1)) ((\ alpha + \ beta + 2) \ sqrt (\ alpha \ beta))
|
| Kurtózní koeficient
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Nápovědu k nastavení najdete v matematice / README.): 6 \, \ frac (\ alpha ^ 3- \ alpha ^ 2 (2 \ beta-1) + \ beta ^ 2 (\ beta + 1) -2 \ alpha \ beta ( \ beta + 2)) (\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta + 2) (\ alpha + \ beta + 3))
|
| Diferenciální entropie
|
|
| Generující funkce momentů
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math / README pro nápovědu k nastavení.): 1 + \ sum_ (k = 1) ^ (\ infty) \ left (\ prod_ (r = 0) ^ (k-1) \ frac (\ alpha + r) (\ alfa + \ beta + r) \ vpravo) \ frac (t ^ k) (k
!}
|
| Charakteristická funkce
|
Nelze analyzovat výraz (Spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math / README pro nápovědu k nastavení.): () _1F_1 (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t)
|
Beta distribuce v teorii pravděpodobnosti a statistice dvouparametrová rodina absolutně spojitých rozdělení. Používá se k popisu náhodných proměnných, jejichž hodnoty jsou omezeny na konečný interval.
Definice
|
| 90 pixelů |
Rozdělení pravděpodobnosti |
|---|
| Jednorozměrný |
Multidimenzionální |
|---|
| Oddělený:
|
Bernoulli | Binomický | Geometrické | Hypergeometrické | Logaritmický | Záporný binomický | Poisson | Diskrétní uniforma |
Multinomický |
|---|
| Absolutně kontinuální:
|
Beta| Weibulla | Gama | Hyperexponenciální | Gompertz Distribuce | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormální | | | Kopula |
|---|
Výňatek charakterizující distribuci Beta
V očích se mi leskly slzy... A vůbec jsem se za to nestyděl. Dal bych hodně za to, abych jednoho z nich potkal naživu! .. Zvláště Magdalenu. Jaká podivuhodná, prastará magie hořela v duši této úžasné ženy, když vytvořila své magické království?! Království, ve kterém vládlo Poznání a Porozumění a jehož páteří byla Láska. Jen ne láska, o které křičela „svatá“ církev, když jsem toto podivuhodné slovo opotřebovala do té míry, že jsem je už nechtěl slyšet, ale ta krásná a čistá, skutečná a odvážná, jediná a úžasná LÁSKA, s níž jménem se zrodily síly... a s jehož jménem se starověcí válečníci vrhli do bitvy ... s jehož jménem se zrodil nový život ... podle jehož jména se náš svět změnil a stal se lepším ... Tuto lásku nesli Zlatá Marie. A právě před touto Marií bych se chtěl poklonit... Za vše, co nesla, za její čistý, jasný ŽIVOT, za její odvahu a odvahu a za Lásku.
Ale bohužel to nebylo možné... Žila před staletími. A nemohl jsem být tím, kdo ji znal. Hlavou se mi najednou přehnal neuvěřitelně hluboký lehký smutek a tekly hořké slzy...
- No, co jsi, příteli! .. Čekají tě jiné strasti! - vykřikl Sever překvapeně. - Prosím, uklidni se ...
Jemně se dotkl mé ruky a postupně smutek zmizel. Zůstala jen hořkost, jako bych ztratil něco lehkého a drahého ...
- Nemůžeš se uvolnit... Čeká tě válka, Isidoro.
- Řekni mi, Severe, říkalo se učení katarů Učení lásky kvůli Magdaleně?
- Nemáš tak docela pravdu, Isidoro. Nezasvěcení mu říkali Učení lásky. Pro ty, kteří pochopili, to mělo úplně jiný význam. Poslouchej zvuk těch slov, Isidoro: láska ve francouzštině zní - amor - že? A nyní toto slovo svlékněte, oddělte od něj písmeno "a"... Ukáže se a'mor ("mort) - bez smrti... To je pravý význam Magdalenina učení - Učení o Nesmrtelní Jak už jsem ti řekl - všechno jednoduše, Isidoro, jen aby ses správně díval a poslouchal... No, a pro ty, kteří neslyší - ať to zůstane Učením Lásce ... to je také krásné.
Stál jsem úplně ohromeně. Učení nesmrtelných! .. Daariya ... Takže, jaké bylo učení Radomira a Magdaleny! .. Sever mě mnohokrát překvapil, ale nikdy předtím jsem se necítil tak šokován! .. Učení katarů mě přitahovalo jeho mocná, magická síla a nemohl jsem si odpustit, že jsem o tom se Severem předtím nemluvil.
- Řekni mi, Severe, zbylo něco z katarských záznamů? Něco muselo přežít, ne? I když ne sami Dokonalí, tak alespoň jen učedníci? Mám na mysli něco o jejich skutečném životě a učení?
- Bohužel - ne, Isidoro. Inkvizice zničila všechno, všude. Její vazalové byli na příkaz papeže dokonce posláni do jiných zemí, aby zničili každý rukopis, každý zbývající kousek březové kůry, který našli... Hledali jsme alespoň něco, ale nepodařilo se nám nic zachránit.
- No a co samotní lidé? Nemohlo by tu zůstat něco pro lidi, kteří by to uchovali po staletí?
- Nevím, Isidoro... Myslím, že i kdyby měl někdo nějakou nahrávku, časem se to změnilo. Je přece přirozené, že si člověk vše přetváří po svém... A hlavně bez pochopení. Je tedy nepravděpodobné, že by se něco zachovalo tak, jak to bylo. Je to škoda... Pravda, zachovali jsme deníky Radomíra a Magdalény, ale to bylo ještě před vytvořením kataru. I když si myslím, že výuka se nezměnila.
- Promiň, za mé zmatené myšlenky a otázky, Severe. Vidím, že jsem hodně ztratil, aniž bych k tobě přišel. Ale přesto jsem stále naživu. A když dýchám, můžu se tě ještě zeptat, ne? Můžete mi říct, jak skončil Svetodarův život? Promiňte, že ruším.
Sever se upřímně usmál. Líbila se mu moje netrpělivost a moje žízeň „mít čas“ to zjistit. A s radostí pokračoval.
Po svém návratu Svetodar žil a učil v Okcitánii pouze dva roky, Isidora. Ale tato léta se stala nejdražšími a nejšťastnějšími roky jeho toulavého života. Jeho dny, osvětlené veselým smíchem Beloyara, ubíhaly v jeho milovaném Montseguru, obklopeném Dokonalými, kterým se Svetodar poctivě a upřímně snažil předat to, co ho vzdálený Tulák učil mnoho let.
- Bernoulliho vzorec.
Sám rozdělení
se nazývají binomický.
Parametry binomického rozdělení jsou pravděpodobnost úspěchu p (q = 1 - p) a počet pokusů n. Binomické rozdělení je užitečné pro popis rozdělení binomických událostí, jako je počet mužů a žen v náhodně vybraných společnosti. Zvláště důležité je použití binomického rozdělení v herních úlohách.
Přesný vzorec pro pravděpodobnost m úspěchů v n pokusech je napsán takto:
kde p je pravděpodobnost úspěchu; q je 1-p, q> = 0, p + q = 1; n - počet testů, m = 0,1 ... m
Hlavní charakteristiky binomického rozdělení:
6. Poissonův vzorec a Poissonovo rozdělení.
Nechť je počet pokusů n velký, pravděpodobnost p malá a
np je malý. Pak lze přibližně určit pravděpodobnost m úspěchů v n pokusech Poissonův vzorec:
.
Náhodná veličina s distribuční řadou m,
má Poissonovo rozdělení. Čím více n, tím přesnější je Poissonův vzorec. Pro hrubé výpočty se používá vzorec pro n = 10,
0-2, pro n = 100
0 - 3. V technických výpočtech se vzorec použije, když n = 20,
0–3, n = 100,
0 - 7. Pro přesné výpočty se použije vzorec, když n = 100,
0–7, n = 1000,
0
– 15.
Vypočítejme matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením.
Hlavní charakteristiky Poissonovy náhodné veličiny:
Poissonův distribuční graf:
7. Geometrické rozložení.
Zvažte Bernoulliho schéma. Označme X - počet pokusů před prvním úspěchem, je-li pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu p. Pokud je první test úspěšný, pak X = 0.
... Pokud X = 1, tzn. první test je neúspěšný a druhý je úspěšný, pak podle věty o násobení
... Podobně, je-li X = n, pak jsou všechny testy až do n-tého testu neúspěšné a
... Sestavme řadu rozdělení náhodné veličiny X
Náhodná veličina s takovou distribuční řadou má geometrické rozložení.
Zkontrolujeme stav normalizace:
8. Hypergeometrické rozdělení.
Toto je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X nabývající celočíselných hodnot m = 0, 1,2, ..., n s pravděpodobnostmi:
kde N, M a n jsou nezáporná celá čísla a M< N, n < N.
Matematické očekávání hypergeometrického rozdělení nezávisí na N a shoduje se s matematickým očekáváním µ = np odpovídajícího binomického rozdělení.
Disperze hypergeometrického rozdělení 
nepřesahuje rozptyl binomického rozdělení npq. Případy jakéhokoli řádu hypergeometrického rozdělení mají tendenci k odpovídajícím hodnotám momentů binomického rozdělení.
9. Beta distribuce.
Distribuce beta má hustotu tvaru:
Standardní distribuce beta je soustředěna v rozsahu od 0 do 1. Aplikací lineárních transformací lze hodnotu beta transformovat tak, že bude nabývat hodnot v jakémkoli rozsahu.
Hlavní číselné charakteristiky veličiny s beta rozdělením:
Podstatné jméno., Počet synonym: 1 distribuce (62) Slovník synonym ASIS. V.N. Trishin. 2013... Slovník synonym
beta distribuce- 1,45. beta rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení spojité náhodné veličiny X, která může nabývat libovolných hodnot od 0 do 1 včetně hranic a jejíž hustota rozdělení je při 0 £ x £ 1 a parametry m1> 0, m2> 0, kde Г .. .... Slovník-příručka termínů normativní a technické dokumentace
beta distribuce- Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny nabývající hodnot na segmentu, jehož hustota je dána vzorcem, kde a, b> 0 a je funkce gama. Poznámka. Jeho speciální pouzdra jsou široce používána ... ... Slovník sociologické statistiky
Viz plán... Slovník synonym
V teorii pravděpodobnosti a matematické statistice je Dirichletovo rozdělení (pojmenované po Johannu Peteru Gustave Lejeune Dirichletovi) často označované Dir (α) rodinou spojitých vícerozměrných rozdělení pravděpodobnosti parametrizovaných vektorem α ... ... Wikipedia
Beta: Wikislovník má položku „beta“ Beta (písmeno) (β) je druhé písmeno řecké abecedy. Beta testování Koeficient beta Funkce beta (matematika) Rozdělení beta (teorie pravděpodobnosti ... Wikipedie
Hustota pravděpodobnosti ... Wikipedie
Rozdělení pravděpodobností je zákon, který popisuje rozsah hodnot náhodné veličiny a pravděpodobnost jejich přijetí. Obsah 1 Definice 2 Způsoby definování distribucí ... Wikipedie
Rozdělení. Pearsonovo rozdělení Hustota pravděpodobnosti ... Wikipedie
knihy
- Srovnání přijetí do vzdělávacích programů na vysoké škole na základě výsledků olympiád a USE skóre, O. V. Poldin. V článku se pro srovnání kvality přijetí na vysoké školy pro různé vzdělávací programy navrhuje použít upravené křivky poptávky získané z výsledků VYUŽITÍ zapsaných do ...
