MATEMATICKÁ SCHÉMATA PRO MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ

ZÁKLADNÍ PŘÍSTUPY KE KONSTRUKCI MATEMATICKÝCH MODELŮ SYSTÉMŮ

Výchozí informací při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a provozních podmínkách zkoumaného (navrhovaného) systému. S... Tyto informace definují hlavní účel modelování systému. S a umožňuje formulovat požadavky na vyvinutý matematický model M. Navíc úroveň abstrakce závisí na rozsahu těch otázek, na které chce systémový výzkumník pomocí modelu získat odpověď, a do jisté míry určuje výběr matematického schématu.

Matematická schémata. Zavedení pojmu matematické schéma umožňuje uvažovat o matematice nikoli jako o metodě výpočtu, ale jako o metodě myšlení, jako o prostředku formulování pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu systému k formální reprezentace procesu jeho fungování ve formě nějakého matematického modelu (analytického nebo imitačního). Při použití matematického schématu by se v prvé řadě měla výzkumníka systému S zajímat o otázku adekvátnosti zobrazení v podobě konkrétních schémat reálných procesů ve zkoumaném systému, nikoli o možnost získat tzv. odpověď (výsledek řešení) na konkrétní výzkumnou otázku. Například znázornění procesu fungování kolektivního informačního výpočetního systému ve formě sítě frontových schémat umožňuje dobře popsat procesy probíhající v systému, ale se složitými zákony příchozích toků a toků služeb je neumožňuje získat výsledky v explicitní formě.

Matematické schéma lze definovat jako vazbu při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému zohledňujícího vliv vnějšího prostředí, to znamená, že existuje řetězec „popisný model – matematické schéma – matematický (analytický a / nebo imitace) modelu“.

Každý konkrétní systém S je charakterizován souborem vlastností, které jsou chápány jako hodnoty, které odrážejí chování modelovaného objektu (reálného systému) a zohledňují podmínky jeho fungování v interakci s vnějším prostředím (systémem) E. Při konstrukci matematického modelu systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelu je regulována především volbou hraničního „systému S - prostředí E» . Také by měl být vyřešen problém zjednodušení modelu, což pomáhá zvýraznit hlavní vlastnosti systému a vyřadit ty sekundární. Přiřazení vlastností systému hlavnímu nebo vedlejšímu navíc v podstatě závisí na účelu modelování systému (například analýza pravděpodobnostně-časových charakteristik procesu fungování systému, syntéza struktura systému atd.).

Formální model objektu. Model objektu modelování, tedy systém S, lze reprezentovat jako soubor veličin, které popisují proces fungování reálného systému a obecně tvoří následující podmnožiny: vstupní akce na systém

;

agregát vlivy prostředí

;

agregát vnitřní, (vlastní) parametry systémy

;

agregát výstupní charakteristiky systémy

.

Kromě toho lze v uvedených podmnožinách rozlišit spravované a nespravované proměnné. Obecně , , , jsou prvky disjunktních podmnožin a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Při modelování systému S, vstupní akce, vlivy vnějšího prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislé (exogenní) proměnné, které ve vektorové podobě mají tvar,,, a výstupní charakteristiky systému jsou závislé (endogenní) proměnné a ve vektorové podobě mají tvar).

Proces fungování systému S je operátorem včas popsán F s , který v obecném případě transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy formy

. (1)

Množina závislostí výstupních charakteristik systému na čase y j (t) pro všechny druhy
volala výstupní trajektorie
. Závislost (1) se nazývá zákon o fungování systémuS a označeny F s . V obecném případě zákon fungování systému F s mohou být specifikovány ve formě funkce, funkcionálních, logických podmínek, v algoritmické a tabulkové formě nebo ve formě slovního párovacího pravidla.

Velmi důležitý pro popis a studium systému S je koncept algoritmus fungováníA s , což je chápáno jako způsob získávání výstupních charakteristik s přihlédnutím ke vstupním vlivům
, vlivy prostředí
a vlastní parametry systému
. Je zřejmé, že stejný zákon fungování F s systém S může být implementován různými způsoby, tj. pomocí mnoha různých algoritmů pro fungování A s .

Vztahy (1) jsou matematickým popisem chování objektu (systému) modelování v čase t, to znamená, že odrážejí jeho dynamické vlastnosti. Proto se obvykle nazývají matematické modely tohoto typu dynamické modely(systémy).

Pro statické modely matematický model (1) je mapování mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y a { X, PROTI, H), které ve vektorové podobě lze zapsat jako

. (2)

Vztahy (1) a (2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. Takové vztahy lze v některých případech získat prostřednictvím vlastností systému S v konkrétních časech, tzv. státy. Stav systému S je charakterizován vektory

a
,

kde
,
, …,
momentálně
;
,
, …,
momentálně
atd.,
.

Uvažujeme-li proces fungování systému S jako sekvenční změnu stavů
, pak je lze interpretovat jako souřadnice bodu v Na-rozměrný fázový prostor. Navíc každá implementace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii. Sbírka všech možných hodnot stavů volala státní prostor objekt modelování Z, navíc
.

Stavy systému S v čase t 0 < t*T jsou zcela určeny výchozími podmínkami
[kde
,
, …,
], vstupní vlivy
, vlastní systémové parametry
a vlivy prostředí
, které probíhaly v určitém časovém období t*- t 0 , S pomocí dvou vektorových rovnic

; (3)

. (4)

První rovnice pro počáteční stav a exogenních proměnných
definuje vektorovou funkci
, a druhý podle získané hodnoty stavů
- endogenních proměnných na výstupu systému
. Řetězec rovnic objektu „vstup-stav-výstup“ vám tedy umožňuje určit vlastnosti systému

. (5)

V obecném případě lze čas v modelu systému S uvažovat na intervalu modelování (0, T) spojité i diskrétní, tj. kvantované do segmentů délky
časové jednotky pokaždé, když
, kde
- počet vzorkovacích intervalů.

Tedy pod matematický model objektu(skutečný systém) pochopit konečnou podmnožinu proměnných (
} spolu s matematickými vztahy mezi nimi a charakteristikami
.

Pokud matematický popis objektu modelování neobsahuje prvky náhodnosti nebo nejsou brány v úvahu, tedy pokud lze předpokládat, že v tomto případě stochastické vlivy vnějšího prostředí
a stochastické vnitřní parametry
chybí, pak se zavolá model deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupy

. (6)

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Typická schémata. Uvedené matematické vztahy představují obecná matematická schémata a umožňují popsat širokou třídu systémů. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy v počátečních fázích systémového výzkumu je však racionálnější použít typická matematická schémata: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě atd.

Typická matematická schémata, která nemají takový stupeň obecnosti jako uvažované modely, mají výhody jednoduchosti a přehlednosti, avšak s výrazným zúžením možností aplikace. Diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice se používají k reprezentaci systémů pracujících ve spojitém čase jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory a pro reprezentaci systémů fungujících v diskrétní čas.... Pravděpodobnostní automaty se používají jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) pro reprezentaci systémů s diskrétním časem a systémy pro fronty se používají pro reprezentaci systémů se spojitým časem atd.

Uvedená typická matematická schémata samozřejmě nemohou předstírat, že na jejich základě dokážou popsat všechny procesy probíhající ve velkých systémech správy informací. Pro takové systémy je v některých případech perspektivnější použití agregovaných modelů.

Agregátní modely (systémy) umožňují popsat širokou škálu výzkumných objektů s odrazem systémového charakteru těchto objektů. Právě souhrnným popisem je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišovat tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické (například diferenciální rovnice); diskrétně-deterministické (konečné automaty); diskrétní stochastické (pravděpodobnostní automaty); kontinuálně-stochastické (systémy řazení); zobecněné nebo univerzální (agregátní systémy).

MODELY KONTINUÁLNÍHO STANOVENÍ (OBVODY D)

Podívejme se na rysy spojitě-deterministického přístupu na příkladu použití diferenciálních rovnic jako matematických modelů. Diferenciální rovnice nazýváme takové rovnice, ve kterých jsou funkce jedné nebo více proměnných neznámé a rovnice zahrnuje nejen funkce, ale i jejich derivace různých řádů. Jsou-li neznámé funkcemi více proměnných, pak se rovnice nazývají parciální diferenciální rovnice, v opačném případě, při uvažování funkcí pouze jedné nezávisle proměnné, se rovnice nazývají obyčejné diferenciální rovnice.

Základní vztahy. Obvykle se v takových matematických modelech čas používá jako nezávislá proměnná, na které závisí neznámé hledané funkce t. Potom bude matematický vztah pro deterministické systémy (6) v obecném tvaru

, (7)

kde
,
a
- P-rozměrné vektory;
- vektorová funkce, která je definována na některých ( P+1) -rozměrný
nastaveno a je nepřetržité.

Protože matematická schémata tohoto typu odrážejí dynamiku zkoumaného systému, tedy jeho chování v čase, jsou tzv. D- schémata(angl. dynamický).

V nejjednodušším případě má obyčejná diferenciální rovnice tvar

. (8)

Nejdůležitější aplikace pro systémové inženýrství D-systém jako matematický aparát v teorii automatického řízení. Abychom ilustrovali rysy konstrukce a použití D-obvodů, uvažujme nejjednodušší příklad formalizace procesu fungování dvou základních systémů různé fyzikální povahy: mechanické S M (oscilace kyvadla, obr. 1, a) a elektrické S K (oscilační obvod, obr. 1, b).

Rýže. 1. Elementární systémy

Proces malých kmitů kyvadla popisuje obyčejná diferenciální rovnice

kde
- hmotnost a délku závěsu kyvadla; G - zrychlení volného pádu;
- úhel vychýlení kyvadla v časovém okamžiku t.

Z této rovnice volného kmitání kyvadla lze nalézt odhady sledovaných charakteristik. Například období výkyvu kyvadla

.

Podobně jsou procesy v elektrickém oscilačním obvodu popsány obyčejnou diferenciální rovnicí

kde L Na , S Na - indukčnost a kapacita kondenzátoru; q(t) - nabíjení kondenzátoru v čase t.

Z této rovnice můžete získat různé odhady charakteristik procesu v oscilačním obvodu. Například perioda elektrických oscilací

.

Pochopitelně zavedení notace
,
, ,
, získáme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu popisující chování tohoto systému s uzavřenou smyčkou:

kde
- systémové parametry; z(t) - stav systému v čase t.

Chování těchto dvou objektů lze tedy zkoumat na základě obecného matematického modelu (9). Kromě toho je třeba poznamenat, že chování jednoho ze systémů lze analyzovat pomocí druhého. Například chování kyvadla (systém S M) lze studovat pomocí elektrického oscilačního obvodu (systém S K).

Pokud je studovaný systém S, tedy kyvadlo nebo obrys, interaguje s vnějším prostředím E, poté se objeví vstupní akce X(t) (vnější síla pro kyvadlo a zdroj energie pro obvod) a spojitě-deterministický model takového systému bude mít tvar

Z hlediska obecného schématu matematického modelu X(t) je vstupní (řídicí) akce a stav systému S lze v tomto případě považovat za výstupní charakteristiku, tj. předpokládejme, že výstupní proměnná se shoduje se stavem systému v daném čase y =z.

Možné aplikace. Při řešení problémů systémového inženýrství mají velký význam problémy řízení velkých systémů. Věnujte pozornost systémům automatické ovládání- popsaný speciální případ dynamických systémů D- schémata a zvýrazněny v samostatné třídě modelů vzhledem k jejich praktickým specifikům.

Při popisu procesů automatického řízení se většinou drží prezentace reálného objektu v podobě dvou systémů: řídícího a řízeného (řídicí objekt). Struktura obecného vícerozměrného automatického řídicího systému je znázorněna na Obr. 2, kde jsou určeny endogenních proměnných:
- vektor vstupních (master) vlivů;
- vektor rušivých vlivů;
- vektor chybových signálů;
- vektor řídících akcí; exogenních proměnných:
- vektor stavů soustavy S;
je obvykle vektor výstupních proměnných
=
.

Rýže. 2. Struktura systému automatického řízení

Moderní řídicí systém je soubor softwarových a hardwarových nástrojů, které zajišťují dosažení konkrétního cíle řídicím objektem. Jak přesně řídicí objekt dosáhne daného cíle, lze u jednorozměrného systému posoudit podle souřadnic stavu na (t). Rozdíl mezi daným na zadek (t) a platné na (t) zákon změny regulované veličiny je regulační chybou . Pokud předepsaný zákon změny řízené veličiny odpovídá zákonu změny vstupní (master) akce, tzn.
, pak
.

Systémy, které řídí chyby
v každé době se nazývají ideální. V praxi je implementace ideálních systémů nemožná. Takže chyba h"(t) - nezbytný prvek automatického řízení založeného na principu záporné zpětné vazby, neboť pro uvedení výstupní veličiny do souladu y(t) jeho zadaná hodnota využívá informaci o odchylce mezi nimi. Úkolem automatického řídicího systému je měnit proměnnou y(t) podle daného zákona s určitou přesností (s přijatelnou chybou). Při návrhu a provozu systémů automatického řízení je nutné zvolit následující parametry systému S, která by zajistila požadovanou přesnost řízení a také stabilitu systému v přechodném procesu.

Je-li soustava stabilní, pak je praktické chování soustavy v čase, maximální odchylka regulované veličiny je na (t) v přechodném procesu, doba přechodného procesu atd. Závěry o vlastnostech systémů automatického řízení různých tříd lze učinit ve formě diferenciálních rovnic, které přibližně popisují procesy v systémech. Pořadí diferenciální rovnice a hodnoty jejích koeficientů jsou zcela určeny statickými a dynamickými parametry systému. S.

Takže pomocí D-systém umožňuje formalizovat proces fungování spojitě-deterministických systémů S a vyhodnotit jejich hlavní charakteristiky pomocí analytického nebo simulačního přístupu implementovaného ve formě vhodného jazyka pro modelování spojitých systémů nebo pomocí analogových a hybridních výpočetních prostředků.

Klasifikace v jakékoli oblasti odbornosti je nezbytná. Umožňuje zobecnit nasbírané zkušenosti, zefektivnit koncepty předmětné oblasti. Rychlý rozvoj metod matematického modelování a rozmanitost oblastí jejich použití vedly ke vzniku velkého množství modelů různých typů a k nutnosti zařazovat modely do těch kategorií, které jsou univerzální pro všechny modely nebo jsou v oboru nezbytné. konstruovaného modelu, například. Uveďme příklad některých kategorií: oblast použití; zohlednění časového faktoru (dynamiky) v modelu; obor vědění; způsob prezentace modelů; přítomnost nebo nepřítomnost náhodných (nebo nejistých) faktorů; typ kritéria účinnosti a uložená omezení atd.

Analýzou matematické literatury jsme identifikovali nejběžnější znaky klasifikace:

1. Podle způsobu implementace (včetně formálního jazyka) lze rozdělit všechny matematické modely na analytické a algoritmické.

Analytické – modely, které používají standardní matematický jazyk. Simulace - modely, ve kterých je použit speciální modelovací jazyk nebo univerzální programovací jazyk.

Analytické modely lze psát ve formě analytických výrazů, tzn. ve formě výrazů obsahujících spočetný počet aritmetických operací a přechodů do limity, například:. Algebraický výraz je speciální případ analytického výrazu, ve výsledku poskytuje přesný význam. Existují i ​​konstrukce, které umožňují najít výslednou hodnotu s danou přesností (například rozšíření elementární funkce v mocninné řadě). Modely využívající tuto techniku ​​se nazývají přibližné.

Analytické modely jsou zase rozčleněny na teoretické a empirické modely. Teoretické modely odrážejí skutečné struktury a procesy ve studovaných objektech, to znamená, že vycházejí z teorie jejich práce. Empirické modely jsou budovány na základě studia reakcí objektu na změny podmínek prostředí. V tomto případě se nebere v úvahu teorie fungování objektu, samotný objekt je tzv. „černá skříňka“ a model je určitá interpolační závislost. Empirické modely lze sestavit z experimentálních dat. Tato data jsou získávána přímo na studovaných objektech nebo pomocí jejich fyzikálních modelů.

Pokud proces nelze popsat ve formě analytického modelu, je popsán pomocí speciálního algoritmu nebo programu. Tento model je algoritmický. Při konstrukci algoritmických modelů se používají numerické nebo simulační přístupy. V numerickém přístupu je množina matematických vztahů nahrazena konečnorozměrnou analogií (např. přechod z funkce spojitého argumentu k funkci diskrétního argumentu). Poté je zkonstruován výpočetní algoritmus, tj. posloupnosti aritmetických a logických operací. Nalezené řešení diskrétního analogu je bráno jako přibližné řešení původního problému. V simulačním přístupu je samotný modelovací objekt diskretizován a jsou sestavovány modely jednotlivých prvků systému.

2. Podle formy prezentace matematických modelů se rozlišují:

1) Invariantní model je matematický model, který je reprezentován soustavou rovnic (diferenciálních, algebraických) bez zohlednění metod řešení těchto rovnic.

2) Algebraický model - poměr modelů je spojen se zvolenou numerickou metodou řešení a zapsán ve formě algoritmu (sekvence výpočtů).

3) Analytický model - je explicitní závislost požadovaných proměnných na daných hodnotách. Takové modely jsou získávány na základě fyzikálních zákonů nebo jako výsledek přímé integrace původních diferenciálních rovnic pomocí tabulkových integrálů. Zahrnují také regresní modely získané na základě experimentálních výsledků.

4) Grafický model je prezentován ve formě grafů, náhradních obvodů, schémat a podobně. Pro použití grafických modelů musí existovat pravidlo jednoznačné korespondence podmíněných obrazů prvků grafiky a složek invariantního matematického modelu.

3. V závislosti na typu kritéria účinnosti a uložených omezení se modely dále dělí na lineární a nelineární. V lineárních modelech jsou kritériem účinnosti a uloženými omezeními lineární funkce proměnných modelu (jinak nelineární modely). Předpoklad o lineární závislosti kritéria účinnosti a množiny uložených omezení na modelových proměnných je v praxi vcelku přijatelný. To umožňuje používat pro rozhodování dobře vyvinutý lineární programovací aparát.

4. S přihlédnutím k faktoru času a oblasti použití se rozlišují statické a dynamické modely... Pokud všechny veličiny zahrnuté v modelu nezávisí na čase, pak máme statický model objektu nebo procesu (jednorázový výsek informací o objektu). Tito. statický model je model, ve kterém čas není proměnná. Dynamický model umožňuje vidět změny v objektu v průběhu času.

5. V závislosti na počtu stran, které se rozhodují, existují dva typy matematických modelů: deskriptivní a normativní... V deskriptivním modelu nejsou žádné osoby s rozhodovací pravomocí. Formálně je počet takových stran v popisném modelu nula. Typickým příkladem takových modelů je model systému řazení do front. Teorie spolehlivosti, teorie grafů, teorie pravděpodobnosti, statistická testovací metoda (metoda Monte Carlo) může být také použita k sestavení deskriptivních modelů.

Normativní model má mnoho aspektů. V zásadě lze rozlišit dva typy normativních modelů: optimalizační modely a herně teoretické modely. V optimalizačních modelech je hlavní úkol vývoje řešení technicky redukován na striktní maximalizaci nebo minimalizaci kritéria účinnosti, tzn. jsou určeny takové hodnoty regulovaných veličin, při kterých kritérium účinnosti dosáhne extrémní hodnoty (maximum nebo minimum).

Pro vývoj řešení zobrazovaných optimalizačními modely se vedle klasických i nových variačních metod (extrémní vyhledávání) nejvíce používají metody matematického programování (lineární, nelineární, dynamické). Herně-teoretický model se vyznačuje násobností počtu stran (alespoň dvě). Pokud existují dvě strany s opačnými zájmy, pak se používá teorie her, pokud je počet stran více než dvě a koalice a kompromisy mezi nimi nejsou možné, pak se používá teorie nekoaličních her n osob.

6. V závislosti na přítomnosti nebo nepřítomnosti náhodných (nebo nejistých) faktorů existují deterministické a stochastické matematické modely. V deterministických modelech jsou všechny vztahy, proměnné a konstanty přesně specifikovány, což vede k jednoznačné definici výsledné funkce. Deterministický model je konstruován v případech, kdy faktory ovlivňující výsledek operace umožňují dostatečně přesné měření nebo hodnocení a náhodné faktory buď chybí, nebo je lze zanedbat.

Pokud některé nebo všechny parametry zahrnuté v modelu jsou ze své podstaty náhodné proměnné nebo náhodné funkce, pak model patří do třídy stochastických modelů. Ve stochastických modelech jsou nastaveny distribuční zákony náhodných veličin, což vede k pravděpodobnostnímu odhadu výsledné funkce a realita je zobrazena jako určitý náhodný proces, jehož průběh a výsledek popisují určité charakteristiky náhodných veličin: matematická očekávání , rozptyly, distribuční funkce atd. Konstrukce takového modelu je možná, pokud existuje dostatek faktografického materiálu pro posouzení potřebných rozdělení pravděpodobnosti nebo pokud teorie uvažovaného jevu umožňuje tato rozdělení teoreticky určit (na základě vzorců teorie pravděpodobnosti, limitních vět atd.). .).

7. V závislosti na cílech modelování existují popis, optimalizace a řízení modely. V deskriptivních (z latinského descriptio - popis) modelech se zkoumají zákonitosti změny parametrů modelu. Například model pohybu hmotného bodu pod vlivem působících sil na základě druhého Newtonova zákona:. Zadáním polohy a zrychlení bodu v daném časovém okamžiku (vstupní parametry), hmotnosti (vnitřní parametr) a zákona o změnách působících sil (vnější vlivy) je možné určit souřadnice bodu a rychlost v každém okamžiku (výstupní data).

Optimalizační modely slouží k určení toho nejlepšího (optimálního), na základě určitého kritéria, parametrů simulovaného objektu nebo způsobů řízení tohoto objektu. Optimalizační modely jsou sestaveny pomocí jednoho nebo více popisných modelů a mají několik kritérií pro určení optimality. Na rozsah hodnot vstupních parametrů lze uložit omezení ve formě rovností nebo nerovností souvisejících s vlastnostmi uvažovaného objektu nebo procesu. Příkladem optimalizačního modelu je sestavení krmné dávky v určité dietě (jako vstupní data působí kalorický obsah produktu, cenové hodnoty nákladů atd.).

Modely řízení se používají k rozhodování v různých oblastech cílevědomé lidské činnosti, kdy je z celého souboru alternativ vybráno více alternativ a obecný rozhodovací proces je sledem takových alternativ. Například výběr zprávy pro propagaci z několika připravených studenty. Složitost problému spočívá jak v nejistotě ohledně vstupních dat (zpráva byla zpracována samostatně nebo byla použita cizí práce), tak v cílech (vědecká povaha práce a její struktura, úroveň prezentace a úroveň školení student, výsledky experimentu a získané závěry). Vzhledem k tomu, že optimalita rozhodnutí učiněného ve stejné situaci může být interpretována různými způsoby, není forma kritéria optimality v modelech řízení předem pevně stanovena. Metody tvorby kritérií optimality v závislosti na typu nejistoty jsou uvažovány v teorii volby a rozhodování, založené na teorii her a operačním výzkumu.

8.Rozlišení podle výzkumné metody analytické, numerické a simulační modely. Analytický model je formalizovaný popis systému, který umožňuje získat explicitní řešení rovnice pomocí dobře známého matematického aparátu. Numerický model se vyznačuje závislostí, která umožňuje pouze dílčí numerická řešení pro konkrétní počáteční podmínky a kvantitativní parametry modelu. Simulační model je soubor popisů systému a vnějších vlivů, algoritmů pro fungování systému nebo pravidel pro změnu stavu systému pod vlivem vnějších a vnitřních poruch. Tyto algoritmy a pravidla neumožňují využít dostupné matematické metody analytického a numerického řešení, ale umožňují simulovat proces fungování systému a fixovat zájmové charakteristiky. Dále budou podrobněji zváženy některé analytické a simulační modely, studium těchto typů modelů je spojeno se specifiky profesní činnosti studentů v naznačeném směru výcviku.

1.4. Grafické znázornění matematických modelů

V matematice lze formy souvislostí mezi veličinami reprezentovat rovnicemi tvaru nezávisle proměnné (argumentu), y- závislá proměnná (funkce). V teorii matematického modelování se nezávislá proměnná nazývá faktor a závislá proměnná se nazývá odezva. Navíc v závislosti na oblasti konstrukce matematického modelu je terminologie poněkud upravena. Některé příklady definic faktoru a odezvy v závislosti na oboru studie jsou uvedeny v tabulce 1.

Tabulka 1. Některé definice pojmů „faktor“ a „odpověď“

Při grafickém znázornění matematického modelu budeme faktory a odezvy uvažovat jako proměnné, jejichž hodnoty patří do množiny reálných čísel.

Grafické znázornění matematického modelu je nějaká odezvová plocha odpovídající uspořádání bodů v k- prostor dimenzionálního faktoru X... Vizualizovat lze pouze jednorozměrné a dvourozměrné povrchy odezvy. V prvním případě se jedná o množinu bodů na reálné rovině a v druhém o množinu bodů, které tvoří plochu v prostoru (k reprezentaci takových bodů je vhodné použít úrovňové čáry - způsob, jak znázornit povrchový reliéf prostoru vybudovaného ve dvourozměrném faktorovém prostoru X(obr. 8).

Oblast, ve které je definována plocha odezvy, se nazývá doména definice X *. Tato oblast je zpravidla pouze částí celkového faktorového prostoru. X(X*Ì X) a je alokován pomocí omezení uložených na řídicí proměnné x i psáno jako rovnost:

x i = Ci , i = 1,…, m;

f j(X) = C j, j = 1,…, l

nebo nerovnosti:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(X) £ C j, j = 1,…, n,

V tomto případě funkce f j(X) může záviset současně na všech proměnných i na některé z nich.

Omezení, jako jsou nerovnosti, charakterizují buď fyzická omezení procesů ve studovaném objektu (například teplotní omezení), nebo technická omezení spojená s provozními podmínkami zařízení (například omezující řezná rychlost, omezení zásob surovin) .

Možnosti studia modelů v podstatě závisí na vlastnostech (reliéfu) plochy odezvy, zejména na počtu na ní dostupných „vrcholů“ a na jejím kontrastu. Počet vrcholů (údolí) určuje modalita reakční plochy. Pokud je v oblasti definice na povrchu odezvy jeden vrchol (údolí), je zavolán model unimodální.

Charakter změny funkce v tomto případě může být různý (obr. 9).

Model může mít body zlomu prvního druhu (obr. 9 (a)), body zlomu druhého druhu (obr. 9 (b)). Obrázek 9 (c) ukazuje spojitě diferencovatelný unimodální model.

Pro všechny tři případy uvedené na obrázku 9 je splněn obecný požadavek na unimodalitu:

je-li W (x *) extrémem W, pak z podmínky x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) následuje po W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), je-li extrém minimum, to znamená, jak se vzdálenost od extrémního bodu zvětšuje, hodnota funkce W (x) plynule klesá (roste).

Spolu s unimodálními modely jsou uvažovány modely polymodální (obr. 10).

Další důležitou vlastností plochy odezvy je její kontrast, který ukazuje citlivost výsledné funkce na změny faktorů. Kontrast je charakterizován hodnotami derivátů. Ukažme si kontrastní charakteristiky na příkladu dvourozměrné odezvové plochy (obr. 11).

Tečka A umístěný na "svahu" charakterizujícím stejný kontrast pro všechny proměnné x i (i= 1,2), bod b se nachází v „rokli“, ve které různý kontrast pro různé proměnné (máme špatnou podmíněnost funkce), bod S se nachází na „náhorní plošině“, kde je kontrast pro všechny proměnné nízký x i označuje blízkost extrému.

1.5. Základní metody konstrukce matematických modelů

Uveďme klasifikaci metod formalizované reprezentace modelovaných systémů Volkova V.N. a Denisova AA Autoři vyzdvihují metody analytické, statistické, množinově teoretické, lingvistické, logické, grafické. Základní terminologie, příklady teorií rozvíjejících se na základě popsaných tříd metod, jakož i rozsah a možnosti jejich aplikace jsou navrženy v příloze 1.

V praxi modelování systémů se nejvíce používají analytické a statistické metody.

1) Analytické metody pro konstrukci matematických modelů.

Terminologický aparát analytických metod pro konstrukci matematických modelů vychází z pojmů klasické matematiky (vzorec, funkce, rovnice a soustava rovnic, nerovnice, derivace, integrál atd.). Tyto metody se vyznačují srozumitelností a platností terminologie využívající jazyk klasické matematiky.

Na základě analytických koncepcí vznikly a rozvíjely se takové matematické teorie, jako je klasická matematická analýza (například metody pro studium funkcí), moderní základy matematického programování a teorie her. Matematické programování (lineární, nelineární, dynamické, celočíselné atd.) navíc obsahuje jak prostředky zadání problému, tak rozšiřuje možnosti dokazování adekvátnosti modelu na rozdíl od řady jiných oblastí matematiky. Nápady optimálního matematického programování pro řešení ekonomických (zejména řešení problému optimálního řezání překližkové desky) problémů navrhl L.V. Kantorovič.

Vysvětleme vlastnosti metody na příkladu.

Příklad. Předpokládejme, že pro výrobu dvou typů výrobků A a PROTI musíte použít tři druhy surovin. Současně pro výrobu jednotky výroby typu A Jsou spotřebovány 4 jednotky. suroviny prvního typu, 2 jednotky. 2. a 3. jednotka 3. typ. Pro výrobu výrobní jednotky typu PROTI Jsou spotřebovány 2 jednotky. suroviny 1. druhu, 5 ks. 2. typ a 4 jednotky. 3. druh surovin. V továrním skladu je 35 jednotek. suroviny 1. druhu, 43 - 2., 40 - 3. druhu. Z prodeje jednotky výroby typu A továrna má zisk 5 tisíc rublů az prodeje jednotky výroby formy PROTI zisk je 9 tisíc rublů. Je nutné sestavit matematický model problému, který zajistí maximální zisk.

Míry spotřeby každého druhu suroviny pro výrobu jednotky tohoto typu výrobku jsou uvedeny v tabulce. Udává také zisk z prodeje každého druhu výrobku a celkové množství surovin tohoto typu, které může podnik využít.

Označme podle x 1 a x 2 objem vyrobených produktů A a PROTI resp. Náklady na materiál první třídy pro plán budou 4x 1 + 2x 2, a neměly by překročit zásoby, tzn. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Omezení pro materiál druhého stupně jsou podobná:

2x 1 + 5x 2 43,

a na látku třetí třídy

3x 1 + 4x 2 40.

Zisk z prodeje x 1 jednotky výroby A a x 2 jednotky výroby B budou z = 5x 1+ 9x 2(Objektivní funkce).

Máme model problému:

Grafické řešení problému je znázorněno na obrázku 11.

Optimální (nejlepší, tj. maximum funkce z) řešení úlohy je v bodě A (řešení je vysvětleno v kapitole 5).

Mám to x 1=4,x 2= 7, funkční hodnota z v bodě A:.

Hodnota maximálního zisku je tedy 83 tisíc rublů.

Kromě grafického existuje i řada speciálních metod řešení problému (například simplexová metoda) nebo se používají aplikované softwarové balíky, které je realizují. Podle typu účelové funkce se rozlišuje lineární a nelineární programování, podle charakteru proměnných se rozlišuje celočíselné programování.

Obecné rysy matematického programování lze rozlišit:

1) zavedení konceptu objektivní funkce a omezení jsou prostředky k nastavení problému;

2) v jednom modelu je možné kombinovat různá kritéria (různé dimenze, v příkladu - zásoby surovin a zisk);

3) matematický programovací model umožňuje přejít na hranici rozsahu přípustných hodnot proměnných;

4) možnost implementace krokového algoritmu pro získávání výsledků (krokové přibližování k optimálnímu řešení);

5) jasnost, dosažená geometrickou interpretací problému, která pomáhá v případech, kdy není možné problém formálně vyřešit.

2) Statistické metody pro konstrukci matematických modelů.

Statistické metody pro konstrukci matematických modelů se rozšířily a začaly být široce používány s rozvojem teorie pravděpodobnosti v 19. století. Jsou založeny na pravděpodobnostních zákonech náhodných (stochastických) událostí, odrážejících skutečné jevy. Pojem „stochastický“ je objasněním pojmu „náhodný“, označuje předem stanovené, určité důvody ovlivňující proces a pojem „náhodný“ je charakterizován nezávislostí na dopadu nebo nepřítomností takových důvodů.

Statistické vzory jsou prezentovány ve formě diskrétních náhodných proměnných a vzorců vzhledu jejich hodnot nebo ve formě spojitých závislostí rozložení událostí (procesů). Teoretické základy budování stochastických modelů jsou podrobně popsány v kapitole 2.

Kontrolní otázky

1. Formulujte hlavní problém matematického modelování.

2. Uveďte definici matematického modelu.

3. Uveďte hlavní nevýhody experimentálního přístupu ve studii.

4. Uveďte hlavní fáze stavby modelu.

5. Vyjmenujte typy matematických modelů.

6. Uveďte stručný popis typů modelů.

7. Jakou formu má matematický model, když je prezentován geometricky?

8. Jak jsou specifikovány matematické modely analytického typu?

Úkoly

1. Vytvořte matematický model pro řešení problému a klasifikujte jej:

1) Určete maximální kapacitu válcového kbelíku, jehož povrch (bez víka) je S.

2) Podnik zajišťuje pravidelnou výrobu s bezproblémovou dodávkou komponentů od dvou subdodavatelů. Pravděpodobnost odmítnutí dodávky od prvního ze subdodavatelů -, od druhého -. Najděte pravděpodobnost selhání podniku.

2. Malthusův model (1798) popisuje reprodukci populace rychlostí úměrnou její velikosti. V diskrétní formě je tento zákon geometrickou progresí:; nebo Zákon, napsaný ve formě diferenciální rovnice, je modelem exponenciálního růstu populace a dobře popisuje růst buněčných populací bez jakéhokoli omezení:. Nastavte počáteční podmínky a předveďte, jak model funguje.

Výchozími informacemi při konstrukci MM procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a provozních podmínkách zkoumaného (projektovaného) systému S. Tyto informace určují hlavní cíl modelování, požadavky na MM, úroveň abstrakce. a výběr schématu matematického modelování.

Pojem matematické schéma umožňuje považovat matematiku nikoli za metodu výpočtu, ale za metodu myšlení, prostředek formulování pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu k formalizovanému zobrazení procesu jejího fungování v podobě nějaký MM.

Při použití podložky. schéma, v prvé řadě by se měl řešitel systému zajímat o otázku adekvátnosti zobrazení v podobě konkrétních schémat reálných procesů ve zkoumaném systému, nikoli o možnost získání odpovědi (výsledku řešení) na konkrétní výzkumnou otázku.

Například znázornění procesu fungování ICS pro kolektivní použití ve formě sítě řadicích schémat umožňuje dobře popsat procesy probíhající v systému, ale se složitými zákony příchozích toků a toků služeb to neumožňuje získat výsledky v explicitní formě.

Matematické schéma lze definovat jako vazbu při přechodu od smysluplného k formalizovanému popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí. Tito. existuje řetězec: deskriptivní model - matematické schéma - simulační model.

Každý konkrétní systém S je charakterizován souborem vlastností, které jsou chápány jako hodnoty, které odrážejí chování modelovaného objektu (reálného systému) a podmínky jeho fungování v interakci s vnějším prostředím (systémem) E.

Při konstrukci MM systému S je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelování je regulována především volbou hranic "Systém S - prostředí E". Také by měl být vyřešen problém zjednodušení MM, což pomáhá zvýraznit hlavní vlastnosti systému a odhodit sekundární cíle modelování.

MM objektu simulace, tzn. systému S lze reprezentovat jako množinu veličin popisujících proces fungování reálného systému a v obecném případě tvořící následující podmnožiny:

Množina X - vstupních vlivů na Sх i Х, i = 1… n x;

Souhrn vlivů vnějšího prostředí v l V, l = 1… n v;

Množina vnitřních (vlastních) parametrů systému h k H, k = 1… n h;

Množina výstupních charakteristik systému y j Y, j = 1… n y.

V uvedených sestavách lze rozlišit řízené a neřízené veličiny. Obecně platí, že X, V, H, Y jsou disjunktní množiny obsahující jak deterministickou, tak stochastickou složku. Vstupní akce E a vnitřní parametry S jsou nezávislé (exogenní) proměnné.Výstupní charakteristiky - závislé proměnné (endogenní)... Operační proces S je popsán operátorem F S:

(1)

Výstupní trajektorie F S - zákon fungování S.F S může být funkce, funkcionál, logické podmínky, algoritmus, tabulka nebo slovní popis pravidel.

Algoritmus fungování A S - metoda pro získání výstupních charakteristik zohledňující vstupní vlivy Je zřejmé, že stejný FS může být implementován různými způsoby, tzn. pomocí mnoha různých AS.

Vztah (1) je matematický popis chování objektu S modelování v čase t, tzn. odráží to dynamické vlastnosti... (1) je dynamický model systému S. Pro statické podmínky MM existují zobrazení X, V, H do Y, tzn. (2)

Vztahy (1), (2) lze specifikovat pomocí vzorců, tabulek atd.

Vztahy lze také v některých případech získat prostřednictvím vlastností systému v konkrétních okamžicích, nazývaných stavy.

Stavy systému S jsou charakterizovány vektory:

a , kde v tuto chvíli t l  (t 0, T)

v okamžiku t ll  (t 0, T) atd. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) jsou souřadnice bodu v k-rozměrném fázovém prostoru. Každá implementace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii.

Množina všech možných hodnot stavů () se nazývá stavový prostor objektu modelování Z, az k Z.

Stav systému S v časovém intervalu t 0 , kde vstup, vnitřní parametry a vlivy vnějšího prostředí, které proběhly v časovém intervalu t * - t 0 pomocí 2 vektorových rovnic:

; (3)

v opačném případě: . (5)

Čas v mod. S lze uvažovat na simulačním intervalu (t 0, T) spojitý i diskrétní, tzn. kvantovaný na segmentu délky t.

Pod MM objektu tedy rozumíme konečnou množinu proměnných () spolu s matematickými souvislostmi mezi nimi a charakteristikami.

Modelování se nazývá deterministické, jsou-li operátory F, Ф deterministické, tzn. pro konkrétní vstup je výstup deterministický. Deterministické modelování je speciální případ stochastického modelování. V praxi je při modelování objektů v oblasti systémové analýzy v primárních fázích výzkumu racionálnější používat standardní matematická schémata: diff. rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, QS atd.

Ne posedlý. takový stupeň obecnosti jako modely (3), (4), typický matematická schémata mají výhodu jednoduchosti a přehlednosti, avšak s výrazným zúžením rozsahu použití.

Tak jako deterministický modely, kdy se při studiu nebere v úvahu náhodný fakt, se používají diferenciální, integrální a jiné rovnice pro reprezentaci systémů pracujících ve spojitém čase a pro reprezentaci systémů pracujících v diskrétním čase se používají konečné automaty a schémata konečných diferencí.

Na začátku stochastických modelů (s přihlédnutím k náhodnému faktoru) se pro reprezentaci systémů s diskrétním časem používají pravděpodobnostní automaty a pro reprezentaci systémů se spojitým časem se používají systémy front (QS). Takzvaný agregát modely.

Agregátní modely (systémy) umožňují popsat širokou škálu výzkumných objektů s odrazem systémového charakteru těchto objektů. Právě pomocí souhrnného popisu je komplexní objekt rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány souvislosti, zajišťující interakci částí.

16 Matematická schémata pro modelování systémů.

Hlavní přístupy ke konstrukci matematických modelů systému. Kontinuálně deterministické modely. Diskrétně-deterministické modely. Diskrétní stochastické modely. Spojité stochastické modely. Síťové modely. Kombinované modely.

Hlavní přístupy ke konstrukci matematických modelů systému.

Výchozí informací při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a provozních podmínkách zkoumaného (navrhovaného) systému. S.

Matematická schémata

Reálné procesy jsou zobrazeny ve formě konkrétních diagramů. Rohož. schémata - přechod od smysluplného popisu k formálnímu popisu systému s přihlédnutím k vlivu prostředí.

Formální objektový model

Model simulačního objektu,

tedy systémy S, může být reprezentován jako soubor množství,

popisující proces fungování reálného systému a generování

obecně následující podmnožiny:

Agregát vstupní akce na systém

Xi, ex, (E- postava patří)i=1; nx

Agregát vlivy prostředí

protil ePROTIl = 1, nv

Agregát vnitřní (vlastní) parametry systémy

hkeHk = 1, nh

Agregát výstupní charakteristiky systémy

yJeYj = 1;

Můžete rozlišovat mezi spravovanými a nespravovanými proměnnými.

Při modelování systémů obsahují vstupní vlivy, vlivy prostředí a vnitřní parametry jak deterministické, tak stochastické složky.

vstupní vlivy, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislé (exogenní) proměnné.

Proces provozu systému S popsaný včas operátorem fs, který v obecném případě transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy tvaru:

y(t) = Fs (X, v, h, t) - vše s vektori.

Zákon fungování systému Fs může být specifikován ve formě funkce, funkcionálu, logických podmínek, v algoritmické a tabulkové formě nebo ve formě verbálního korespondenčního pravidla.

Koncept funkčního algoritmu As - metoda pro získání výstupních charakteristik zohledňující vstupní akce, vlivy vnějšího prostředí a vnitřní parametry systému.

Představeny jsou také stavy systému - vlastnosti systému v konkrétních okamžicích.

Souhrn všech možných hodnot stavů tvoří stavový prostor objektu.

Řetězec rovnic objektu "vstup - stavy - výstup" vám tedy umožňuje určit vlastnosti systému:

Tedy pod matematický model objektu(reálný systém) rozumět konečné podmnožině proměnných (x (t), v (t), h(t)) spolu s matematickými vztahy mezi nimi a charakteristikami y (t).

Typická schémata

V počátečních fázích studie se používají standardní schémata. : diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě atd.

Diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice se používají k reprezentaci systémů pracujících ve spojitém čase jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory a pro reprezentaci systémů fungujících v diskrétní čas....

Pravděpodobnostní automaty se používají jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) pro reprezentaci systémů s diskrétním časem a systémy pro fronty se používají pro reprezentaci systémů se spojitým časem atd.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišovat tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické (například diferenciální rovnice); diskrétně-deterministické (konečné automaty); diskrétní stochastické (pravděpodobnostní automaty); kontinuálně-stochastické (systémy řazení); zobecněné, nebo univerzální (agregátní systémy).

Kontinuálně deterministické modely

Podívejme se na rysy spojitě deterministického přístupu na příkladu s použitím Mat. modely diferenciální rovnice.

Diferenciální rovnice jsou takové rovnice, ve kterých funkce jedné proměnné nebo více proměnných jsou neznámé a rovnice zahrnuje nejen jejich funkce, ale také jejich derivace různých řádů.

Pokud jsou neznámé funkcemi několika proměnných, pak se rovnice nazývají - parciální diferenciální rovnice. Jestliže neznámé funkce jedné nezávislé proměnné, pak obyčejné diferenciální rovnice.

Obecný matematický vztah pro deterministické systémy:

Diskrétně-deterministické modely.

DDM podléhají kontrole teorie automatů (TA)... TA je část teoretické kybernetiky, která studuje zařízení, která zpracovávají diskrétní informace a mění své vnitřní stavy pouze v přijatelných časech.

Státní stroj se nazývá automat, ve kterém množina vnitřních stavů a ​​vstupních signálů (a následně množina výstupních signálů) jsou konečné množiny.

Konečný automat má mnoho vnitřních stavů a ​​vstupních signálů, což jsou konečné množiny. Stroj dáno F-schémem: F = ,

kde z, x, y jsou v tomto pořadí konečné množiny vstupních a výstupních signálů (abecedy) a konečná množina vnitřních stavů (abeceda). z0ÎZ - počáteční stav; j (z, x) - přechodová funkce; y (z, x) - výstupní funkce.

Automat pracuje v diskrétním čase automatu, jehož momenty jsou cykly, to znamená vedle sebe stejné časové intervaly, z nichž každý odpovídá konstantním hodnotám vstupního, výstupního signálu a vnitřního stavu. Abstraktní automat má jeden vstupní a jeden výstupní kanál.

Pro definici F - automatu je nutné popsat všechny prvky množiny F = , tedy vstupní, interní a výstupní abecedy a také přechodové a výstupní funkce. Pro nastavení práce F - automatů se nejčastěji používají tabulkové, grafické a maticové metody.

V tabulkovém způsobu nastavení se používají přechodové a výstupní tabulky, jejichž řádky odpovídají vstupním signálům automatu a sloupce - jeho stavům.

Popis práce F- Samopal Miles tabulky přechodů j a výstupů y znázorňuje tabulka (1) a popis F - Mooreova automatu - znázorňuje tabulka přechodů (2).

stůl 1

Přechody
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tabulka 2

…………………………………………………………

Příklady tabulkového způsobu zadání F - automat Mealy F1 se třemi stavy, dvěma vstupními a dvěma výstupními signály jsou uvedeny v tabulce 3 a pro F - automat Moore F2 - v tabulce 4.

Tabulka 3

Přechody

Tabulka 4

Další způsob definice konečného automatu využívá koncept orientovaného grafu. Graf automatu je množina vrcholů odpovídajících různým stavům automatu a spojujících vrcholy oblouků grafu odpovídající určitým přechodům automatu. Pokud vstupní signál xk způsobí přechod ze stavu zi do stavu zj, pak je na grafu automatu oblouk spojující vrchol zi s vrcholem zj označen xk. Aby bylo možné nastavit přechodovou funkci, musí být oblouky grafu označeny odpovídajícími výstupními signály.

Rýže. 1. Grafy automatů Mealyho (a) a Moorea (b).

Při řešení úloh modelování je často vhodnější maticová definice konečného automatu. V tomto případě je maticí spojení automatu čtvercová matice C = || cij ||, jehož řádky odpovídají počátečním stavům a sloupce přechodovým stavům.

Příklad. Pro dříve uvažovaný Mooreův automat F2 zapíšeme stavovou matici a výstupní vektor:

;

Diskrétní stochastické modely

Nechť Ф je množina všech možných dvojic tvaru (zk, yi), kde уi je prvek výstupu

podmnožina Y. Požadujeme, aby jakýkoli prvek množiny G indukoval

na množině Ф nějaký distribuční zákon následujícího tvaru:

Prvky z Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Informační sítě "href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" záložka "> zpracování počítačových informací ze vzdálených terminálů atd.

Přitom typické pro

provoz takových objektů je náhodný vzhled aplikací (požadavek) pro

služby a ukončení služby v náhodných časech,

tedy stochastický charakter procesu jejich fungování.

QS je chápán jako dynamický systém navržený pro efektivní obsluhu náhodného toku aplikací s omezenými systémovými zdroji. Zobecněná struktura QS je znázorněna na obrázku 3.1.

Rýže. 3.1. schéma SMO.

Homogenní pohledávky přicházející na vstup QS jsou rozděleny do typů, podle vyvolávající příčiny je intenzita toku reklamací typu i (i = 1 ... M) označena li. Souhrn aplikací všech typů je vstupním tokem QS.

Provádí se servis aplikací m kanály.

Rozlišujte mezi univerzálními a specializovanými servisními kanály. Pro univerzální kanál typu j jsou distribuční funkce Fji (t) doby trvání vyřizování reklamací libovolného typu považovány za známé. U specializovaných kanálů nejsou definovány distribuční funkce pro dobu trvání služby kanálů určitých typů nároků, přiřazení těchto nároků tomuto kanálu.

Q - obvody lze zkoumat analyticky i pomocí simulačních modelů. Poslední jmenovaný poskytuje velkou všestrannost.

Podívejme se na koncept fronty.

V každém základním servisním úkonu lze rozlišit dvě hlavní složky: očekávání služby reklamací a skutečné vyřízení reklamace. To lze zobrazit ve formě nějakého i-tého servisního zařízení Pi, sestávajícího z akumulátoru reklamace, ve kterém mohou být současně reklamace li = 0 ... LiH, kde LiH je kapacita i-tého akumulátoru, a kanál reklamační služby, ki.

Rýže. 3.2. Schematické schéma zařízení CMO

Každý prvek servisního zařízení Pi přijímá proudy událostí: proud nároků wi do akumulátoru Hi a proud servisního ui do kanálu ki.

Tokem událostí(PS) je sled událostí, které se vyskytují jedna po druhé v určitých náhodných okamžicích. Rozlišujte proudy homogenních a heterogenních událostí. Homogenní PS je charakterizován pouze okamžiky příchodu těchto událostí (způsobující momenty) a je dán posloupností (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), kde tn je okamžik příchodu n-tého událost - nezáporné reálné číslo. TSA lze také specifikovat jako sekvenci časových intervalů mezi n-tou a n-1-tou událostí (tn).

Heterogenní PS se nazývá posloupnost (tn, fn), kde tn - způsobující momenty; fn - sada atributů události. Například může být přiřazen k jednomu nebo jinému zdroji nároků, přítomnost priority, schopnost obsluhovat jeden nebo jiný typ kanálu atd.

Nároky obsluhované kanálem ki a nároky, které opustily server Pi z různých důvodů neobsluhovány, tvoří výstupní proud yiÎY.

Proces fungování obslužného zařízení Pi lze znázornit jako proces změny stavů jeho prvků v čase Zi (t). Přechod do nového stavu pro Pi znamená změnu počtu požadavků, které se v něm nacházejí (v kanálu ki a akumulátoru Hi). Že. vektor stavů pro Pi má tvar:, kde jsou stavy disku, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height = " 28 "> = 1 - v úložišti je jeden požadavek ..., = - úložiště je plně obsazeno; - stav kanálu ki (= 0 - kanál je volný, = 1 kanál je obsazený).

Q-diagramy reálných objektů jsou tvořeny složením mnoha elementárních obslužných zařízení Pi. Pokud jsou ki různá servisní zařízení zapojena paralelně, pak existuje vícekanálová služba (multikanálový Q-obvod), a pokud jsou zařízení Pi a jejich paralelní složení zapojena do série, pak existuje vícefázová služba (vícefázový Q-obvod).

Pro definici Q-schéma je také nutné popsat algoritmy pro jeho fungování, které určují pravidla pro chování reklamací v různých nejednoznačných situacích.

V závislosti na místě výskytu takových situací existují algoritmy (disciplíny) pro čekání na reklamace v akumulátoru Нi a pro obsluhu reklamací na kanálu ki. Heterogenita toku aplikací je zohledněna zavedením prioritní třídy – relativní a absolutní priority.

Že. Q-schéma popisující proces fungování QS jakékoli složitosti je jednoznačně definována jako množina množin: Q = .

Síťové modely.

Pro formální popis struktury a interakce paralelních systémů a procesů, jakož i pro analýzu vztahů příčina-následek ve složitých systémech se používají Petriho sítě, nazývané N-schéma.

Formálně je N-schéma dáno čtyřnásobkem tvaru

N = ,

kde B je konečná množina symbolů nazývaných pozice, B ≠ O;

D je konečná množina symbolů nazývaných přechody D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - vstupní funkce (funkce přímého dopadu)

I: B x D -> (0, 1); О - výstupní funkce (funkce inverzního dopadu),

О: B × D → (0, 1). Vstupní funkce I tedy mapuje přechod dj na

množina vstupních pozic bj I (dj) a výstupní funkce O mapuje

přechod dj do množiny výstupních poloh bj О (dj). Pro každý přechod

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Podobně jsou pro každou pozici bi B zavedeny definice

sada vstupních přechodů polohy I (bi) a výstupních přechodů

pozice O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Petriho síť je bipartitní orientovaný graf skládající se ze dvou typů vrcholů - pozic a přechodů, spojených oblouky, vrcholy stejného typu nelze spojovat přímo.

Příklad Petriho sítě. Bílé kruhy označují pozice, pruhy - přechody, černé kruhy - popisky.

Orientační oblouky spojují pozice a přechody, přičemž každý oblouk směřuje z prvku jedné sady (pozice nebo přechod) k prvku jiné sady

(přechod nebo poloha). N-design graf je multigraf, protože to

připouští existenci více oblouků z jednoho vrcholu do druhého.

Dekompozice "href =" / text / category / dekompozitciya / "rel =" záložka "> dekompozice komplexní systém je reprezentován jako víceúrovňová struktura vzájemně propojených prvků spojených do subsystémů různých úrovní.

Agregát funguje jako prvek A-diagramu a spojení mezi agregáty (uvnitř systému S a s vnějším prostředím E) se provádí pomocí konjugačního operátoru R.

Každá jednotka je charakterizována následujícími množinami: časy T, vstupní signály X a výstupní Y, stavy Z v každém časovém okamžiku t. Stav jednotky v čase tT je označen jako z (t) Z,

a vstupní a výstupní signály jako x (t) X a y (t) Y, v tomto pořadí.

Budeme předpokládat, že k přechodu agregátu ze stavu z (t1) do stavu z (t2) ≠ z (t1) dojde v krátkém časovém intervalu, tj. dojde ke skoku δz.

Přechody jednotky ze stavu z (t1) do z (t2) jsou určeny vlastními (vnitřními) parametry samotné jednotky h (t) H a vstupními signály x (t) X.

V počátečním časovém okamžiku t0 mají stavy z hodnoty rovné z0, tj. z0 = z (t0), dané distribučním zákonem procesu z (t) v čase t0, konkrétně J. Předpokládejme, že proces fungování jednotky v případě akčního vstupního signálu xn popisuje náhodný operátor V. Poté, v okamžiku, kdy vstupní signál dorazí na jednotku tnT

xn můžete určit stav

z (tn + 0) = V.

Poločasový interval označujeme t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Kolekce náhodných operátorů V a U je považována za operátor přechodů agregátu do nových stavů. Proces fungování jednotky sestává v tomto případě ze skoků stavů δz v okamžicích příchodu vstupních signálů x (operátor V) a změn stavů mezi těmito momenty tn a tn + 1 (operátor U). Na operátor U nejsou uvalena žádná omezení, proto jsou přípustné skoky stavů δz v časech, které nejsou časy příchodu vstupních signálů x. V následujícím textu budou momenty skoků δz nazývány speciálními okamžiky času tδ a stavy z (tδ) - speciální stavy A-schéma. Pro popis skoků stavů δz ve speciálních časech tδ použijeme náhodný operátor W, což je speciální případ operátoru U, tzn.

z (t5 + 0) = W.

V množině stavů Z se rozlišuje podmnožina Z (Y) tak, že pokud z (tδ) dosáhne Z (Y), pak tento stav je okamžikem vydání výstupního signálu určeného výstupním operátorem.

y = G.

Agregátem tedy rozumíme jakýkoli objekt definovaný uspořádaným souborem uvažovaných množin T, X, Y, Z, Z (Y), H a náhodných operátorů V, U, W, G.

Posloupnost vstupních signálů, uspořádaná v pořadí jejich příchodu do A-schéma, bude nazývána vstupní zprávou nebo zprávou x. Sekvence výstupních signálů, seřazená podle času vydání, se bude nazývat výstupní zpráva nebo zpráva y.

POKUD KRÁTCE

Spojitě deterministické modely (D-schéma)

Používají se ke studiu systémů pracujících v nepřetržitém čase. K popisu takových systémů se používají hlavně diferenciální, integrální, integro-diferenciální rovnice. V obyčejných diferenciálních rovnicích se uvažuje funkce pouze jedné nezávisle proměnné a v parciálních diferenciálních rovnicích funkce více proměnných.

Jako příklad aplikace D-modelů lze uvést studium činnosti mechanického kyvadla nebo elektrického oscilačního obvodu. Technický základ D-modelů tvoří analogové počítače (AVM) nebo v současnosti rychle se rozvíjející hybridní počítače (GVM). Jak víte, základním principem výzkumu na počítači je, že podle daných rovnic výzkumník (uživatel AVM) sestaví obvod ze samostatných typických uzlů - operačních zesilovačů se zahrnutím obvodů pro škálování, tlumení, aproximaci, atd.

Struktura ABM se mění v souladu s tvarem reprodukovatelných rovnic.

V digitálním počítači zůstává struktura nezměněna, ale pořadí provozu jeho uzlů se mění v souladu s programem, který je v něm stanoven. Srovnání AVM a digitálního počítače jasně ukazuje rozdíl mezi simulací a statistickým modelováním.

ABM implementuje simulační model, ale zpravidla nepoužívá principy statistického modelování. V digitálních počítačích je většina simulačních modelů založena na studiu náhodných čísel, procesů, tedy na statistickém modelování. Spojitě-deterministické modely jsou široce používány ve strojírenství při studiu systémů automatického řízení, volbě systémů tlumení, identifikaci rezonančních jevů a oscilací v technologii.
atd.

Diskrétně deterministické modely (F-obvody)

Pracujte s diskrétním časem. Tyto modely jsou základem pro studium provozu dnes extrémně důležité a rozšířené třídy diskrétních automatizačních systémů. Pro účely jejich výzkumu byl vyvinut samostatný matematický aparát teorie automatů. Na základě této teorie je systém považován za automat, který zpracovává diskrétní informace a mění v závislosti na výsledcích jejich zpracování své vnitřní stavy.

Tento model je založen na principech minimalizace počtu prvků a uzlů v obvodu, zařízení, optimalizace zařízení jako celku a posloupnosti činnosti jeho uzlů. Spolu s elektronickými obvody je nápadným zástupcem automatů popsaných tímto modelem robot, který řídí (podle daného programu) technologické procesy v dané deterministické sekvenci.

Tento model také popisuje stroj s číslicovým řízením. Volba sekvence zpracování dílů na tomto stroji se provádí nastavením řídicí jednotky (řadiče), která v určitých okamžicích generuje řídicí signály /4/.

Teorie automatů využívá matematický aparát booleovských funkcí, které pracují se dvěma možnými hodnotami signálů, 0 a 1.

Automaty se dělí na automaty bez paměti, automaty s pamětí. Popis jejich práce se provádí pomocí tabulek, matic, grafů, které zobrazují přechody stroje z jednoho stavu do druhého. Analytická hodnocení pro jakýkoli druh popisu činnosti stroje jsou velmi těžkopádná a i při relativně malém počtu prvků, uzlů, které zařízení tvoří, jsou prakticky neproveditelná. Proto je studium složitých obvodů automatů, mezi které nepochybně patří i robotická zařízení, prováděno pomocí simulace.

Diskrétní stochastické modely (P-schémata)

Používají se ke studiu práce pravděpodobnostních automatů. V automatech tohoto typu se přechody z jednoho stavu do druhého provádějí pod vlivem vnějších signálů a s přihlédnutím k vnitřnímu stavu automatu. Na rozdíl od T-automatů však tyto přechody nejsou striktně deterministické, ale mohou nastat s určitou pravděpodobností.

Příkladem takového modelu je diskrétní Markovův řetězec s konečnou množinou stavů. Analýza F-schémat je založena na zpracování a transformaci matic pravděpodobnosti přechodu a analýze pravděpodobnostních grafů. Již pro analýzu relativně jednoduchých zařízení, jejichž chování je popsáno F-obvody, je vhodné použít simulaci. Příklad takové simulace je uveden v článku 2.4.

Spojité stochastické modely (Q-schémata)

Používají se při analýze široké třídy systémů považovaných za systémy hromadné obsluhy. Jako servisní proces lze reprezentovat procesy, které se liší svou fyzickou povahou: toky dodávek produktů do podniku, toky zakázkově vyrobených komponent a produktů, toky dílů na montážní lince, toky kontrolních akcí z řídicího centra ACS na pracoviště a vracet žádosti o zpracování informací v počítači atd.

Tyto toky obvykle závisí na mnoha faktorech a konkrétních situacích. Proto jsou tyto toky ve většině případů náhodné v čase s možností kdykoliv změny. Analýza těchto schémat se provádí na základě matematického aparátu teorie hromadné obsluhy. Patří mezi ně souvislý Markovův řetězec. Navzdory významnému pokroku dosaženému ve vývoji analytických metod, teorie řazení do fronty, lze analýzu Q-schémat analytickými metodami provádět pouze s významnými zjednodušujícími předpoklady a předpoklady. Detailní studium většiny těchto schémat, zejména tak složitých, jako jsou systémy řízení procesů, robotické systémy, lze provést pouze pomocí simulace.

Generalizované modely (A-diagramy)

Na základě popisu procesů fungování libovolných systémů založených na agregované metodě. Souhrnným popisem je systém rozdělen na samostatné podsystémy, které lze považovat za vhodné pro matematický popis. Výsledkem takového rozdělení (dekompozice) je komplexní systém prezentován ve formě víceúrovňového systému, jehož jednotlivé úrovně (agregáty) jsou analyzovatelné. Na základě analýzy jednotlivých agregátů a zohlednění zákonitostí vzájemného propojení těchto agregátů je možné provést komplexní studii celého systému.

, Yakovlev Systems. 4. vyd. - M .: Vyšší škola, 2005 .-- S. 45-82.

Matematická schémata pro modelování systémů

Klady a zápory simulace

Hlavní důstojnost simulace při studiu složitých systémů:

· Schopnost prozkoumat vlastnosti procesu fungování systému S za jakýchkoli podmínek;

· Díky použití počítače je doba trvání testů výrazně zkrácena ve srovnání s experimentem v plném rozsahu;

· Pro simulaci lze použít výsledky testů v plném rozsahu reálného systému nebo jeho částí;

· Flexibilita variace struktury, algoritmů a parametrů modelovaného systému při hledání optimální verze systému;

· U komplexních systémů - je to jediná prakticky realizovatelná metoda pro studium procesu fungování systémů.

Hlavní omezení simulační modelování:

· Pro úplnou analýzu charakteristik procesu fungování systémů a hledání optimální možnosti je nutné simulační experiment mnohokrát reprodukovat, přičemž se počáteční data problému mění;

· Velké výdaje na počítačový čas.

Efektivita strojového modelování. Při simulaci je nutné zajistit maximální efektivitu modelu systému. Účinnost obvykle definován jako nějaký rozdíl mezi nějakou mírou hodnoty výsledků získaných při provozu modelu a náklady, které byly investovány do jeho vývoje a tvorby.

Efektivitu simulačního modelování lze hodnotit podle řady kritérií:

přesnost a spolehlivost výsledků simulace,

Doba stavby a práce s modelem M,

Náklady na strojové zdroje (čas a paměť),

· Náklady na vývoj a provoz modelu.

Nejlepším měřítkem účinnosti je porovnání získaných výsledků se skutečnými studiemi. Pomocí statistického přístupu se s určitou mírou přesnosti (v závislosti na počtu realizací strojového experimentu) získávají zprůměrované charakteristiky chování systému.

Celkové náklady na počítačový čas se skládají z času pro vstup a výstup pro každý simulační algoritmus, času pro provádění výpočetních operací, s přihlédnutím k přístupu k RAM a externím zařízením, jakož i ke složitosti každého modelovacího algoritmu a plánování experimentů.

Matematická schémata.Matematický model Je souborem matematických objektů (čísla, proměnné, množiny, vektory, matice atd.) a vztahů mezi nimi, který adekvátně odráží fyzikální vlastnosti vytvářeného technického objektu. Proces vytváření matematického modelu a jeho použití pro analýzu a syntézu se nazývá matematické modelování.

Při konstrukci matematického modelu systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelu je regulována především volbou hraničního „systému S- Středa E". Také by měl být vyřešen problém zjednodušení modelu, což pomáhá zvýraznit, v závislosti na účelu modelování, hlavní vlastnosti systému a vyřadit sekundární.

Při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí uplatňovat matematické schéma jako článek v řetězci "deskriptivní model - matematické schéma - matematický (analytický a/nebo simulační) model".

Formální model objektu. Objektový model (systémy S) lze reprezentovat jako soubor veličin, které popisují proces fungování reálného systému:

Sada vstupních vlivů na systém

x i = X,i =;

Soubor vlivů prostředí

proti j = PROTI, j= ;

Soubor vnitřních (vnitřních) parametrů systémů

h k = H, k =;

Sada výstupních charakteristik systému

y j = Y, j =.

Obecně x i, v j, h k, y j jsou prvky disjunktních podmnožin a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Vstupní vlivy, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislý (exogenní) proměnné, které ve vektorovém tvaru mají odpovídající tvar ( t) = (X 1 (t), X 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (proti 1 (t), proti 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)) a výstupní charakteristiky jsou závislý (endogenní) proměnné a ve vektorovém tvaru mají tvar: ( t) = (na 1 (t), na 2 (t), …, v nY(t)). Můžete rozlišovat mezi spravovanými a nespravovanými proměnnými.

Proces provozu systému S popsaný včas operátorem F S, který transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy formy

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Množina závislostí výstupních charakteristik systému na čase y j(t) pro všechny typy j = volala výstupní trajektorie (t). Nazývá se závislost (2.1). zákon o fungování systému F S, který je specifikován ve formě funkce, funkcionálních, logických podmínek, v algoritmické, tabulkové formě nebo ve formě slovního párovacího pravidla. Algoritmus fungování A S se nazývá metoda získávání výstupních charakteristik s přihlédnutím ke vstupním vlivům ( t), vlivy prostředí ( t) a vlastní parametry systému ( t). Stejný zákon fungování F S systémy S lze realizovat různými způsoby, tzn. pomocí mnoha různých algoritmů fungování TAK JAKO.

Matematické modely jsou tzv dynamický(2.1) pokud matematické vztahy popisují chování objektu (systému) modelování v čase t, tj. odráží dynamické vlastnosti.

Pro statický modely, matematický model je mapování mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y a ( X, V, H) v určitém okamžiku, který ve vektorové podobě lze zapsat jako

= F(, , ). (2.2)

Vztahy (2.1) a (2.2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. Tyto vztahy lze získat prostřednictvím vlastností systému S v konkrétních okamžicích, nazývaných stavy. Stav systému S charakterizované vektory

" = (z" 1, z " 2, …, Z "k) a "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

kde z" 1 = z 1 (t"), z" 2 = z 2 (t"), …, z "k= z k(t") v tuto chvíli t"Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") v tuto chvíli t ""Î ( t 0 , T) atd. k =.

Pokud vezmeme v úvahu proces fungování systému S jako sekvenční změna stavů z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), pak je lze interpretovat jako souřadnice bodu v k-dimenzionální fázový prostor... Navíc každá implementace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii. Zavolá se množina všech možných hodnot stavů (). státní prostor objekt modelování Z, a
z kÎ Z.

Stavy systému S momentálně t 0 < t * £ T jsou zcela určeny počátečními podmínkami 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [kde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], vstupní akce ( t), vnitřní parametry ( t) a vlivy vnějšího prostředí ( t), který se odehrál v časovém intervalu t * – t 0 pomocí dvou vektorových rovnic

(t) = Ф (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

První rovnice pro počáteční stav 0 a exogenní proměnné,, určuje vektorovou funkci ( t), a druhý podle získané hodnoty stavů ( t) Jsou endogenní proměnné na výstupu systému ( t). Řetězec rovnic objektu „vstup – stavy – výstup“ tedy umožňuje určit charakteristiky systému

(t) = F [Ф (0,,,, t)]. (2.5)

Obecně platí, že čas v modelu systému S lze uvažovat o intervalu simulace (0, T) spojité i diskrétní, tzn. kvantované do segmentů délky D tčasové jednotky pokaždé, když T = m D t, kde m = - počet vzorkovacích intervalů.

Tedy pod matematický model objekt (reálný systém) rozumí konečné podmnožině proměnných (( t), (t), (t)) spolu s matematickými souvislostmi mezi nimi a charakteristikami ( t).

Pokud matematický popis modelovacího objektu neobsahuje náhodné prvky nebo se s nimi nepočítá, tzn. pokud můžeme předpokládat, že v tomto případě stochastické vlivy vnějšího prostředí ( t) a stochastické vnitřní parametry ( t) chybí, pak je zavolán model deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupy

(t) = F(, t). (2.6)

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Typická matematická schémata. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy v počátečních fázích systémového výzkumu je racionálnější použít typická matematická schémata: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě, agregační systémy atd.

Typická matematická schémata mají výhodu jednoduchosti a srozumitelnosti. Diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice se používají k reprezentaci systémů pracujících ve spojitém čase jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory a pro reprezentaci systémů fungujících v diskrétní čas. Pravděpodobnostní automaty se používají jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) pro reprezentaci systémů s diskrétním časem a systémy pro fronty se používají pro reprezentaci systémů se spojitým časem. Petriho sítě se používají k analýze vztahů příčina-následek ve složitých systémech, kde paralelně probíhá několik procesů současně. K popisu chování spojitých a diskrétních, deterministických a stochastických systémů (například ASOIU) lze použít zobecněný (univerzální) přístup založený na agregovaném systému. V souhrnném popisu je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišit tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické ( D-systém); diskrétně deterministický ( F-systém); diskrétní stochastický ( R-systém); spojitý-stochastický ( Q-systém); síť ( N-systém); zobecněné nebo univerzální ( A-systém).

2.2. Kontinuálně deterministické modely ( D-systém)

Základní vztahy... Podívejme se na rysy spojitě-deterministického přístupu na příkladu použití diferenciálních rovnic jako matematických modelů. Diferenciální rovnice se nazývají rovnice, ve kterých jsou funkce jedné nebo více proměnných neznámé a rovnice zahrnuje nejen funkce, ale i jejich derivace různých řádů. Jestliže neznámé funkce více proměnných, pak se nazývají rovnice parciální diferenciální rovnice, jinak se při uvažování funkce jedné nezávisle proměnné volají rovnice obyčejné diferenciální rovnice.

Obecný matematický vztah pro deterministické systémy (2.6) bude

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

kde " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) a = ( F 1 , F 2 , …, f n) – n-rozměrné vektory; (, t) Je vektorová funkce, která je definována na nějakém ( n+1) -rozměrný (, t) nastaven a je nepřetržitý.

Matematická schémata tohoto druhu se nazývají D-obvody(angl. dynamic), odrážejí dynamiku zkoumaného systému a čas obvykle slouží jako nezávislá proměnná, na které závisí neznámé neznámé funkce t.

V nejjednodušším případě má obyčejná diferenciální rovnice tvar:

y"(t) = F(y, t). (2.8)

Zvažte nejjednodušší příklad formalizace procesu fungování dvou elementárních obvodů různé povahy: mechanického S M (kývnutí kyvadla, obr. 2.1, A) a elektrické S K (oscilační obvod, obr. 2.1, b).

Rýže. 2.1. Elementární systémy

Proces malých kmitů kyvadla popisuje obyčejná diferenciální rovnice

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

kde m M, l M je hmotnost a délka závěsu kyvadla; G- gravitační zrychlení; F(t) Je úhel vychýlení kyvadla v časovém okamžiku t.

Z této rovnice volného kmitání kyvadla lze nalézt odhady sledovaných charakteristik. Například období výkyvu kyvadla

T M = 2p.

Podobně jsou procesy v elektrickém oscilačním obvodu popsány obyčejnou diferenciální rovnicí

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

kde L K, C K - indukčnost a kapacita kondenzátoru; q(t) Je nabití kondenzátoru v okamžiku času t.

Z této rovnice můžete získat různé odhady charakteristik procesu v oscilačním obvodu. Například perioda elektrických oscilací

T M = 2p.

Pochopitelně zavedení notace h 2 = m M l M2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), získáme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu popisující chování tohoto systému s uzavřenou smyčkou:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

kde h 0 , h 1 , h 2 - systémové parametry; z(t) Je aktuální stav systému
čas t.

Chování těchto dvou objektů lze tedy zkoumat na základě obecného matematického modelu (2.9). Kromě toho je třeba poznamenat, že chování kyvadla (systém S M) lze studovat pomocí elektrického oscilačního obvodu (systém S NA).

Pokud je studovaný systém S(kyvadlo nebo obrys) interaguje s vnějším prostředím E, poté se objeví vstupní akce X(t) (vnější síla pro kyvadlo a zdroj energie pro obvod) a spojitě-deterministický model takového systému bude mít tvar:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = X(t). (2.10)

Z hlediska obecného matematického modelu (viz odstavec 2.1) X(t) je vstupní (řídicí) akce a stav systému S v tomto případě lze považovat za výstupní charakteristiku, tzn. výstupní proměnná odpovídá stavu systému v daném čase y = z.

Možné aplikace D-systém... Pro popis lineárních řídicích systémů, jako každý dynamický systém, mají nehomogenní diferenciální rovnice konstantní koeficienty

kde,,…, - neznámá funkce času a její derivace; a jsou to známé funkce.

Pomocí např. softwarového balíku VisSim určeného pro simulaci procesů v řídicích systémech, které lze popsat diferenciálními rovnicemi, simulujeme řešení obyčejné nehomogenní diferenciální rovnice

kde je nějaká požadovaná funkce času na intervalu s nulovými počátečními podmínkami, vezmeme h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Znázorněním dané rovnice vzhledem k nejvyšší z derivací dostaneme rovnici

které lze modelovat pomocí sady stavebních bloků balíčku VisSim: aritmetické bloky - Gain (násobení konstantou), Summing-Junction (sčítání); integrační bloky - Integrátor (numerická integrace), Transfer Function (nastavení rovnice reprezentované jako přenosová funkce); bloky pro nastavení signálů - Const (konstanta), Step (funkce jednotky ve tvaru "kroku"), Ramp (lineárně rostoucí signál); bloky-přijímače signálů - Plot (zobrazení v časové oblasti signálů, které jsou analyzovány výzkumníkem během simulace).

Na Obr. 2.2 ukazuje grafické znázornění této diferenciální rovnice. Vstup integrátoru nejvíce vlevo odpovídá proměnné, vstup prostředního integrátoru - a vstup integrátoru nejvíce vpravo -. Výstup integrátoru nejvíce vpravo odpovídá proměnné y.

Popsaný konkrétní případ dynamických systémů D- schémata jsou automatické řídicí systémy(SPG)a regulace(SAR). Reálný objekt je prezentován ve formě dvou systémů: řídícího a řízeného (řídicí objekt). Struktura obecného vícerozměrného automatického řídicího systému je znázorněna na Obr. 2.3, kde je uvedeno endogenní proměnné: ( t) Je vektor vstupních (master) vlivů; ( t) Je vektorem rušivých vlivů; " (t) Je vektor chybových signálů; "" (t) - vektor řídících akcí; exogenní proměnné: ( t) Je stavový vektor systému S; (t) Je vektor výstupních proměnných, obvykle ( t) = (t).

Rýže. 2.2. Grafické znázornění rovnice

Řídicí systém je soubor softwarových a hardwarových nástrojů, které zajišťují dosažení konkrétního cíle řídicím objektem. Jak přesně objekt dosáhne daného cíle, lze (pro jednorozměrný systém) posoudit podle souřadnic stavu y(t). Rozdíl mezi daným y zadek ( t) a platné y(t) zákon změny regulované veličiny je regulační chybou " (t) = y zadek ( t) – y(t). Pokud předepsaný zákon změny řízené veličiny odpovídá zákonu změny vstupní (master) akce, tzn. X(t) = y zadek ( t), pak " (t) = X(t) – y(t).

Systémy, které řídí chyby " (t) = 0 jsou vždy volány ideál... V praxi je implementace ideálních systémů nemožná. Úkolem automatického řídicího systému je měnit proměnnou y(t) podle daného zákona s určitou přesností (s přijatelnou chybou). Parametry systému musí zajistit požadovanou přesnost regulace a také stabilitu systému v přechodném procesu. Pokud je systém stabilní, pak analyzujte chování systému v čase, maximální odchylku regulované veličiny y(t) v přechodném procesu, doba přechodného procesu atd. Řád diferenciální rovnice a hodnota jejích koeficientů jsou zcela určeny statickými a dynamickými parametry systému.

Rýže. 2.3. Struktura automatického řídicího systému:

УC - řídicí systém; OU - kontrolní objekt

Takže pomocí D-schemes umožňuje formalizovat proces fungování spojitě deterministických systémů S a vyhodnotit jejich hlavní charakteristiky pomocí analytického nebo simulačního přístupu implementovaného ve formě vhodného jazyka pro modelování spojitých systémů nebo pomocí analogových a hybridních výpočetních prostředků.

2.3. Diskrétně-deterministické modely ( F-systém)

Základní vztahy... Uvažujme o rysech diskrétně-deterministického přístupu na příkladu použití teorie automatů jako matematického aparátu. Systém je reprezentován ve formě automatu jako zařízení se vstupními a výstupními signály, které zpracovává diskrétní informace a mění své vnitřní stavy pouze v přijatelných časech. Státní stroj nazývá se automat, ve kterém množiny vnitřních stavů, vstupních a výstupních signálů jsou konečné množiny.

Abstraktně konečné automaty lze reprezentovat jako matematické schéma ( F-schéma), vyznačující se šesti prvky: konečnou množinou X vstupní signály (vstupní abeceda); konečná množina Y výstupní signály (výstupní abeceda); konečná množina Z vnitřní stavy (vnitřní abeceda nebo abeceda států); výchozí stav z 0 , z 0 Î Z; přechodová funkce j ( z, X); výstupní funkce y ( z, X). Sada automatického stroje F-systém: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, pracuje v diskrétním čase, jehož momenty jsou hodiny, z nichž každý odpovídá konstantním hodnotám vstupních a výstupních signálů a vnitřním stavům. Označujeme stav, jakož i vstupní a výstupní signály odpovídající t-té hodiny v t= 0, 1, 2, ..., přes z(t), X(t), y(t). Navíc podle podmínek z(0) = z 0 a z(t)Î Z, X(t)Î X, y(t)Î Y.

Abstraktní stavový automat má jeden vstupní a jeden výstupní kanál. V každém okamžiku t= 0, 1, 2, ... diskrétní čas F- stroj je v určitém stavu z(t) ze sady Z stavy automatu a v počátečním okamžiku t= 0 je vždy v počátečním stavu z(0) = z 0 V tuto chvíli t být schopen z(t), je automat schopen vnímat signál na vstupním kanálu X(t)Î X a výstup signálu na výstupní kanál y(t) = y [ z(t),X(t)], přecházející do stavu z ( t+1) = j [ z(t), X(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... Abstraktní konečný automat implementuje určité mapování množiny slov vstupní abecedy X na spoustu víkendových slov
abeceda Y... Jinými slovy, pokud je vstup stavového automatu nastaven do výchozího stavu z 0, zadejte písmena vstupní abecedy v určitém pořadí X(0), X(1), X(2), ..., tzn. vstupní slovo, pak se na výstupu stroje postupně objeví písmena výstupní abecedy y(0), y(1), y(2),…, tvořící výstupní slovo.

Práce stavového automatu tedy probíhá podle následujícího schématu: v každém t-té hodiny na vstup stroje ve stavu z(t), je dán nějaký signál X(t), na kterou reaguje přechodem ( t+1) hodin do nového stavu z(t+1) a dává nějaký výstupní signál. Výše uvedené lze popsat následujícími rovnicemi: pro F-automat prvního druhu, zvaný též automatické míle,

z(t+1) = j [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

pro F-automat druhého druhu

z(t+1) = j [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y [ z(t), X(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Automat druhého druhu, pro který

y(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

ty. výstupní funkce je nezávislá na vstupní proměnné X(t) je nazýván Mooreova útočná puška.

Tedy rovnice (2.15) - (2.19), které zcela definují
F-automat jsou speciálním případem rovnic (2.3) a (2.4), kdy
Systém S- deterministický a na jeho jediný vstup přichází diskrétní signál X.

Podle počtu stavů se rozlišují konečné automaty s pamětí a bez paměti. Automaty s pamětí mají více než jeden stav a automaty bez paměti (kombinační nebo logické obvody) mají pouze jeden stav. V tomto případě podle (2.16) funguje kombinační obvod tak, že přiřazuje každému vstupnímu signálu X(t) určitý výstupní signál y(t), tj. implementuje logickou funkci formuláře

y(t) = y [ X(t)], t= 0, 1, 2, … .

Tato funkce se nazývá booleovská abeceda X a Y ke kterému patří hodnoty signálu X a y, skládají se ze dvou písmen.

Podle povahy počítání diskrétního času se konečné automaty dělí na synchronní a asynchronní. V synchronním F-automaty časy, ve kterých automat "čte" vstupní signály, jsou určeny povinnými synchronizačními signály. Po dalším synchronizačním signálu, s přihlédnutím k "čtení" a v souladu s rovnicemi (2.15) - (2.19), dojde k přechodu do nového stavu a na výstupu je vydán signál, po kterém může stroj vnímat další hodnotu vstupního signálu. Reakce stroje na každou hodnotu vstupního signálu tak končí v jednom cyklu, jehož trvání je určeno intervalem mezi sousedními synchronizačními signály. Asynchronní F- stroj čte vstupní signál nepřetržitě, a proto reaguje na dostatečně dlouhý vstupní signál konstantní hodnoty X, může, jak vyplývá z (2.15) - (2.19), několikrát změnit stav s odpovídajícím počtem výstupních signálů, dokud nepřejde do stabilního stavu, který již nelze tímto vstupním signálem měnit.

Možné aplikace F-systém. K nastavení finále F-automat, je nutné popsat všechny prvky sestavy F= <Z, X, Y, y, j, z 0>, tzn. vstupní, vnitřní a výstupní abecedy a také funkce přechodů a výstupů a mezi množinou stavů je nutné vyčlenit stav z 0, ve kterém je automat ve stavu t= 0. Existuje několik způsobů, jak nastavit úlohu F-automaty, ale nejčastěji se používají tabulkové, grafické a maticové.

V tabulkové metodě jsou nastaveny tabulky přechodů a výstupů, jejichž řádky odpovídají vstupním signálům automatu a sloupce - jeho stavům. První sloupec vlevo odpovídá výchozímu stavu z 0 Na křižovatce iřádek a k-tý sloupec tabulky přechodů, odpovídající hodnota j ( z k, x i) funkce přechodů a v tabulce výstupů - odpovídající hodnota y ( z k, x i) výstupní funkce. Pro F- Mooreův automat obě tabulky lze kombinovat.

Popis práce F-automaton Míle s tabulkami přechodů j a výstupy y jsou znázorněny v tabulce. 2.1 a popis F-Moreův automat - podle přechodové tabulky (tabulka 2.2).

Tabulka 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Přechody
X 1	j ( z 0 , X 1)	j ( z 1 , X 1)	…	j ( z k,X 1)
X 2	j ( z 0 , X 2)	j ( z 1 , X 2)	…	j ( z k,X 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
Výstupy
X 1	y ( z 0 , X 1)	y ( z 1 , X 1)	…	y ( z k, X 1)
X 2	y ( z 0 , X 2)	y ( z 1 , X 2)	…	y ( z k, X 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

Tabulka 2.2

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
X 1	j ( z 0 , X 1)	j ( z 1 , X 1)	…	j ( z k, X 1)
X 2	j ( z 0 , X 2)	j ( z 1 , X 2)	…	j ( z k, X 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Příklady tabulkového způsobu nastavení F-automatické míle F 1 jsou uvedeny v tabulce. 2.3 a pro F-moore stroj F 2 - v tabulce. 2.4.

Tabulka 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Přechody
X 1	z 2	z 0	z 0
X 2	z 0	z 2	z 1
Výstupy
X 1	y 1	y 1	y 2
X 2	y 1	y 2	y 1

Tabulka 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
X 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
X 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

V grafickém způsobu definování konečného automatu se používá koncept orientovaného grafu. Graf automatu je množina vrcholů odpovídajících různým stavům automatu a spojujících vrcholy oblouků grafu odpovídající určitým přechodům automatu. Pokud je vstupní signál x k způsobí přechod od stavu z i ve státě z j, pak na grafu automatu je oblouk spojující vrchol z i s vrcholem z j, označené x k... Aby bylo možné nastavit funkci výstupů, musí být oblouky grafu označeny odpovídajícími výstupními signály. U strojů Miles se toto značení provádí následovně: je-li vstupní signál x k působí na stát z i, pak dostaneme oblouk vycházející z z i a označené x k; tento oblouk je navíc označen výstupním signálem y= y ( z i, x k). U Moorova automatu je podobné značení grafu následující: je-li vstupní signál x k, působící na určitý stav automatu, způsobí přechod do stavu z j, pak oblouk směřuje k z i a označené x k, dodatečně oslavit víkend
signál y= y ( z j, x k).

Na Obr. 2.4. A, b uvedeno výše v tabulkách F-Míle stroje F 1 a Moore F 2 resp.

Rýže. 2.4. Automatové grafy a - Miles a b - Moore

Pro maticové přiřazení konečného automatu je matice spojení automatu čtvercová S=||s ij||, řádky odpovídají počátečním stavům a sloupce odpovídají přechodovým stavům. Živel s ij = x k/y s stojící na křižovatce
iřádek a j-tý sloupec, v případě automatu Miles odpovídá vstupnímu signálu x k způsobující přechod od státu z i ve státě z j a výstupní signál y s generované tímto přechodem. Pro stroj Miles F 1, uvažováno výše, matrice sloučenin má tvar:

X 2 /y 1 – X 1 /y 1

C 1 = X 1 /y 1 – X 2 /y 2 .

X 1 /y 2 X 2 /y 1 –

Pokud přechod ze stavu z i ve státě z j dochází při působení několika signálů, prvku matice c ij je soubor vstupně-výstupních párů pro tento přechod, spojených znaménkem disjunkce.

Pro F-moore strojový prvek s ij se rovná množině vstupních signálů na přechodu ( z i, z j) a výstup je popsán vektorem výstupů

= y ( z k) ,

i-tá složka je výstupní signál indikující stav z i.

Pro výše uvedené F-moore stroj F2 matice spojení a vektor výstupů mají tvar:

–X 1 –X 2 –na 1

–X 2 – –X 1 na 1

C 2 = –X 2 – –X 1 ; = y 3

X 2 –X 1 – –na 2

X 2 –X 1 – –na 3

U deterministických automatů je splněna podmínka jednoznačnosti přechodů: automat v určitém stavu nemůže přejít do více než jednoho stavu působením libovolného vstupního signálu. Aplikováno na grafický způsob nastavení F-automat, to znamená, že v grafu automatu dvě nebo více hran označených stejným vstupním signálem nemůže vyjít z žádného vrcholu. A to v matici spojů stroje Sžádný vstupní signál se nesmí na každém řádku objevit více než jednou.

Pro F- automatický stav z k volala udržitelného, pokud pro jakýkoli vstup x i ÎX pro které j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. F-stroj se nazývá asynchronní, kdyby každý stát z k ÎZ stabilní.

Koncept v diskrétně-deterministickém přístupu ke studiu vlastností objektů na modelech je tedy matematickou abstrakcí vhodnou pro popis široké třídy procesů fungování reálných objektů v automatizovaných řídicích systémech. Přes F- automatu je možné popsat objekty, které se vyznačují přítomností diskrétních stavů, a diskrétní povahou práce v čase - jsou to prvky a uzly počítače, řídicí, regulační a řídicí zařízení, systémy časových a prostorových přechod v technologii výměny informací atd.

2.4. Diskrétní stochastické modely ( R-systém)

Základní vztahy... Podívejme se na rysy konstruování matematických schémat s diskrétně-stochastickým přístupem na pravděpodobnostních (stochastických) automatech. Obecně pravděpodobnostní automat
R-schémata(anglicky probabijistic automat) lze definovat jako diskrétní řádkový převodník informace s pamětí, jehož fungování v každém cyklu závisí pouze na stavu paměti v něm a lze jej statisticky popsat.

Pojďme si představit matematický pojem R-automat, s použitím pojmů zavedených pro F-automat. Zvažte sadu G, jehož prvky jsou všechny možné dvojice ( x i, z s), kde x i a z s- prvky vstupní podmnožiny X a podmnožiny stavů Z, resp. Pokud existují dvě takové funkce j a y, jsou použity k provádění mapování G®Z a G®Y, pak to říkají F = X, Y, j, y> definuje automat deterministického typu.

Podívejme se na obecnější matematické schéma. Nechat
Ф - sada všech možných dvojic formuláře ( z k, y i), kde i- prvek výstupní podmnožiny Y... Požadujeme, aby jakýkoli prvek sady G indukovaný na množině Ф nějaký distribuční zákon následujícího tvaru:

V čem b kj= 1, kde b kj- pravděpodobnosti přechodu automatu do stavu z k a vzhled signálu na výstupu y j kdyby byl schopen z s a na jeho vstupu v tomto okamžiku byl signál přijat x i... Počet takových distribucí prezentovaných ve formě tabulek se rovná počtu prvků sady G... Množinu těchto tabulek označíme B. Potom čtyři prvky P = nazývaný pravděpodobnostní automat
(R-automat).

Možné aplikace P-systém. Nechte prvky sady G vyvolat některé distribuční zákony na podmnožiny Y a Z, který může být reprezentován ve tvaru:

V čem z k = 1 a q j = 1, kde z k a q j - pravděpodobnosti přechodu
R-automat ve stavu z k a vzhled výstupního signálu y k pokud
R z s a jeho vstup přijal vstupní signál x i.

Pokud pro všechny k a j vztah platí q j z k = b kj, pak takové
R-stroj se nazývá Milesův pravděpodobnostní automat... Tento požadavek znamená pro nový stát splnění podmínky nezávislosti rozvodů R-automatické zařízení a jeho výstupní signál.

Nyní se podívejme na definici výstupního signálu R- automat závisí pouze na stavu, ve kterém se automat v daném cyklu práce nachází. Jinými slovy, nechejte každý prvek výstupní podmnožiny Y indukuje rozdělení pravděpodobnosti výstupů, které má následující podobu:

Tady s i = 1, kde s i- pravděpodobnost výskytu výstupního signálu y i na na slova a to R- stroj byl ve stavu z k.

Pokud pro všechny k a i vztah platí z k s i =b ki pak takové
R-stroj se nazývá Moorův pravděpodobnostní automat. Pojem
R-Miley a Mooreův automat je zaveden analogicky s deterministickým
F-automat. Konkrétní případ R- automat definovaný jako P=X, Y, B> jsou automaty, u kterých je deterministicky určen buď přechod do nového stavu, nebo výstupní signál. Pokud je výstupní signál
R-automat je určen deterministicky, pak se takový automat nazývá
Y-... Rovněž,
Z-deterministický pravděpodobnostní automat volala R- automat, ve kterém je volba nového stavu deterministická.

Příklad 2.1. Ať je dáno Y-deterministický P-stroj

Na Obr. 2.5 ukazuje graf orientovaného přechodu tohoto automatu. Vrcholy grafu jsou spojeny se stavy automatu a oblouky jsou spojeny s možnými přechody z jednoho stavu do druhého. Oblouky mají váhy odpovídající pravděpodobnostem přechodu p ij a hodnoty výstupních signálů indukovaných těmito stavy jsou zapsány blízko vrcholů grafu. Je nutné odhadnout celkovou konečnou pravděpodobnost setrvání tohoto P-automat ve státech z 2 a z 3 .

Rýže. 2.5. Pravděpodobnostní automat graf

Pomocí analytického přístupu lze zapsat známé vztahy z teorie Markovových řetězců a získat soustavu rovnic pro stanovení konečných pravděpodobností. V tomto případě výchozí stav z 0 lze ignorovat, protože počáteční rozdělení neovlivňuje hodnoty konečných pravděpodobností. Pak máme

kde s k- konečná pravděpodobnost pobytu R-Automatické zařízení ve stavu z k.

Dostaneme soustavu rovnic

K těmto rovnicím přidáme podmínku normalizace S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 1. Pak řešením soustavy rovnic dostaneme S 1 = 5/23, S 2 = 8/23, S 3 = 5/23,
S 4 = 5/23. Takto, S 2 + S 3 = 13/23 = 0,5652. Jinými slovy, s nekonečnou prací uvedenou v tomto příkladu Y-deterministický
R-automat na jeho výstupu se vytvoří binární sekvence s pravděpodobností výskytu jedna rovna 0,5652.

Podobný R-automaty lze použít jako generátory Markovových sekvencí, které jsou nezbytné při konstrukci a implementaci procesů pro fungování systémů S nebo vlivy prostředí E.

2.5. Spojité stochastické modely ( Q-systém)

Základní vztahy... Budeme uvažovat o rysech spojitého-stochastického přístupu na příkladu typické matematiky Q- schémata - řadicí systémy(Anglický systém řazení do fronty).

Jako servisní proces mohou být reprezentovány různé fyzikální procesy fungování ekonomických, výrobních, technických a jiných systémů, například: toky dodávek výrobků do určitého podniku, toky dílů a komponentů na montážní lince podniku. dílna, požadavky na zpracování počítačových informací ze vzdálených terminálů atd. Charakteristickým znakem provozu takových objektů je v tomto případě nahodilý výskyt nároků (požadavků) na obsluhu a dokončování servisu v náhodných časech, tzn. stochastický charakter procesu jejich fungování.

Tokem událostí se nazývá sled událostí, které nastávají jedna po druhé v určitých náhodných okamžicích v čase. Rozlišujte proudy homogenních a heterogenních událostí. Proud událostí volala homogenní, pokud je charakterizován pouze okamžiky příchodu těchto událostí (způsobující momenty) a je dán posloupností ( t n} = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n£ … }, kde t n - okamžik příjezdu P- událost je nezáporné reálné číslo. Homogenní proud událostí může být také specifikován jako sekvence časových intervalů mezi nimi P- m a (n - 1) události (t n), který je jednoznačně spojen se sledem náročných momentů ( t n} , kde t n = t n– t n -1 ,P³ 1, t 0 = 0, ty. t 1 = t 1 . Proud heterogenních událostí se nazývá sekvence ( t n, f n} , kde t n - náročné okamžiky; f n - sada příznaků událostí. Například ve vztahu k procesu obsluhy pro nejednotný tok nároků může být přiřazena příslušnost ke konkrétnímu zdroji nároků, přítomnost priority, schopnost obsluhovat jeden nebo jiný typ kanálu.

V každém základním servisním úkonu lze rozlišit dvě hlavní složky: očekávání služby reklamací a skutečné vyřízení reklamace. To lze znázornit formou některých i- servisní zařízení P i(obr. 2.6), skládající se z akumulátoru objednávek H já, což může být současně j i= aplikace kde L i H– kapacita
i-go úložiště a kanál pro obsluhu požadavků (nebo jen kanál) K i. Pro každý prvek servisního zařízení P i proudy událostí přicházejí: do pohonu H i tok aplikací w i, na kanál K i - tok služeb a já.

Rýže. 2.6. Aplikační servisní zařízení

Aplikace obsluhované kanálem K i, a požadavky, které opustily zařízení P i z různých důvodů neobsluhována (například kvůli přetečení disku H i), tvoří výstupní proud y i Î Y, ty. časové intervaly mezi okamžiky výstupu zakázek tvoří podmnožinu výstupních proměnných.

Obvykle tok aplikací w i ÎW, ty. časové intervaly mezi okamžiky výskytu objednávek u vchodu K i, tvoří podmnožinu nespravovaných proměnných a toku služeb u i ОU, ty. časové intervaly mezi začátkem a koncem servisu reklamace tvoří podmnožinu řízených proměnných.

Proces provozu servisního zařízení P i lze znázornit jako proces změny stavů jeho prvků času z i(t). Přechod do nového stavu pro P i znamená změnu v počtu aplikací, které se v něm nacházejí (v kanálu K i a v pohonu H i). Tedy vektor stavů pro P i vypadá jako: , kde z i H- stav pohonu H i (z i H= 0 - disk je prázdný, z i H= 1 - v úložišti je jeden požadavek, ..., z i H = L i H – disk je zcela plný); L i H - kapacita skladu H já, měřeno počtem aplikací, které se do něj vejdou; z i k - stav kanálu K i(z i k = 0 – kanál je zdarma, z i k= 1 - kanál je obsazený).

Možné aplikace Q- schémata. V praxi modelování systémů se složitějšími strukturními vztahy a algoritmy chování se pro formalizaci nepoužívají samostatná servisní zařízení, ale
Q- systém , tvořený složením mnoha elementárních obslužných zařízení P i. Pokud kanály K i různá servisní zařízení jsou připojena paralelně, pak probíhá vícekanálová služba ( vícekanálový Q- systém) , a pokud zařízení P i a jejich paralelní kompozice jsou zapojeny do série, pak existuje vícefázová služba ( vícefázový Q- systém) . Takže za práci Q- schéma musí používat konjugovaný operátor R, odrážející vzájemné propojení prvků struktury (kanály a úložná zařízení).