Jedním ze způsobů řešení diferenciálních rovnic (systémů rovnic) s konstantními koeficienty je metoda integrálních transformací, která umožňuje nahradit funkci reálné proměnné (původní funkce) funkcí komplexní proměnné (obraz funkce ). V důsledku toho se operace derivace a integrace v prostoru původních funkcí transformují na algebraické násobení a dělení v prostoru obrazových funkcí. Jedním z představitelů metody integrálních transformací je Laplaceova transformace.

Spojitá Laplaceova transformace- integrální transformace spojující funkci komplexní proměnné (obrazu funkce) s funkcí reálné proměnné (originál funkce). V tomto případě musí funkce reálné proměnné splňovat následující podmínky:

Funkce je definována a diferencovatelná na celé kladné poloose reálné proměnné (funkce splňuje Dirichletovy podmínky);

Hodnota funkce do počátečního okamžiku se rovná nule ;

Růst funkce je omezen exponenciální funkcí, tzn. pro funkci reálné proměnné existují taková kladná čísla M a S , co kde C - úsečka absolutní konvergence (nějaké kladné číslo).

Laplaceova transformace (přímá integrální transformace) funkce reálné proměnné se nazývá funkce následujícího tvaru (funkce komplexní proměnné):

Funkce se nazývá originál funkce a funkce se nazývá její obraz. Komplexní proměnná se nazývá Laplaceův operátor, kde je úhlová frekvence, je nějaké kladné konstantní číslo.

Jako první příklad definujeme obrázek pro konstantní funkci

Jako druhý příklad definujeme obrázek pro funkci kosinus ... Vezmeme-li v úvahu Eulerův vzorec, lze funkci kosinus reprezentovat jako součet dvou exponenciál .

V praxi se k provádění přímé Laplaceovy transformace používají transformační tabulky, ve kterých jsou prezentovány originály a obrázky typických funkcí. Některé z těchto funkcí jsou uvedeny níže.

Originál a obrázek pro exponenciální funkci

Originál a obrázek pro funkci kosinus

Originál a obrázek pro funkci sinus

Originál a obrázek pro exponenciálně se rozkládající kosinus

Originál a obrázek pro exponenciálně klesající sinus

Je třeba poznamenat, že funkce je funkce Heaviside, která má hodnotu nula pro záporné hodnoty argumentu a má hodnotu rovnou jedné pro kladné hodnoty argumentu.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Věta o linearitě

Laplaceova transformace je lineární, tzn. jakýkoli lineární vztah mezi originály funkce je platný pro obrazy těchto funkcí.

Vlastnost linearity usnadňuje nalezení originálů komplexních obrázků, protože umožňuje, aby byl obraz funkce reprezentován jako součet jednoduchých termínů, a poté najít originály každého reprezentovaného termínu.

Diferenciační teorém originálu funkcí

Diferenciace původní funkce se shoduje násobení

Pro nenulové počáteční podmínky:

S nulovými počátečními podmínkami (zvláštní případ):

Operace derivování funkce je tedy nahrazena aritmetickou operací v obrazovém prostoru funkce.

Integrační teorém originálu funkcí

Integrace původní funkce odpovídá divize funkční obrázky na Laplaceův operátor.

Operace integrace funkce je tedy nahrazena aritmetickou operací v obrazovém prostoru funkce.

Věta o podobnosti

Změna argumentu funkce (komprese nebo expanze signálu) v časové oblasti vede k opačné změně argumentu a pořadnice obrazu funkce.

Prodloužení doby trvání pulzu způsobí kompresi jeho spektrální funkce a snížení amplitud harmonických složek spektra.

Věta o zpoždění

Zpoždění (posun, posun) signálu argumentem původní funkce intervalem vede ke změně fázově-frekvenční funkce spektra (fázový úhel všech harmonických) o danou hodnotu bez změny modulu (amplitudy funkce) spektra.

Výsledný výraz je platný pro všechny

Věta o posunutí

Zpoždění (posun, posun) signálu argumentem obrazu funkce vede k vynásobení původní funkce exponenciálním faktorem

Z praktického hlediska se pro určení obrazů exponenciálních funkcí používá teorém o posunutí.

Konvoluční teorém

Konvoluce je matematická operace aplikovaná na dvě funkce a výsledkem je třetí funkce. Jinými slovy, když máte odezvu určitého lineárního systému na impuls, můžete použít konvoluci k výpočtu odezvy systému na celý signál.

Konvoluci originálů dvou funkcí lze tedy reprezentovat jako produkt obrazů těchto funkcí. Reconciliation teorém se používá při uvažování přenosových funkcí, kdy se odezva systému (výstupní signál ze čtyřbranové sítě) určuje, když je signál přiveden na vstup čtyřbranové sítě s impulsní přechodovou odezvou.

Lineární kvadrupól

Inverzní Laplaceova transformace

Laplaceova transformace je vratná, tzn. funkce reálné proměnné je jednoznačně určena z funkce komplexní proměnné . K tomu se používá vzorec inverzní Laplaceovy transformace(Mellinův vzorec, Bromwichův integrál), který má následující tvar:

V tomto vzorci hranice integrace znamenají, že integrace probíhá po nekonečné přímce, která je rovnoběžná s imaginární osou a protíná skutečnou osu v bodě. Vzhledem k tomu, že druhý výraz lze přepsat takto:

V praxi se pro provedení inverzní Laplaceovy transformace obraz funkce rozloží na součet nejjednodušších zlomků metodou nedefinovaných koeficientů a pro každý zlomek (v souladu s vlastností linearity) se určí originál funkce, vč. s přihlédnutím k tabulce typických funkcí. Tato metoda je platná pro zobrazení funkce, která je správným racionálním zlomkem. Je třeba poznamenat, že nejjednodušší zlomek může být reprezentován jako součin lineárních a kvadratických faktorů s reálnými koeficienty v závislosti na typu kořenů jmenovatele:

Pokud je ve jmenovateli nulový kořen, funkce se rozloží na zlomek jako:

Pokud je ve jmenovateli nulový n-násobný kořen, funkce se rozloží na zlomek typu:

Pokud je ve jmenovateli skutečný kořen, funkce se rozloží na zlomek jako:

Pokud je ve jmenovateli skutečný n-násobný kořen, funkce se rozloží na zlomek jako:

Pokud je ve jmenovateli imaginární kořen, funkce se rozloží na zlomek jako:

V případě komplexně konjugovaných kořenů ve jmenovateli se funkce rozloží na zlomek jako:

∙ Obecně je-li obrazem funkce pravidelný racionální zlomek (stupeň v čitateli je menší než stupeň ve jmenovateli racionálního zlomku), lze jej rozšířit na součet nejjednodušších zlomků.

∙ V konkrétním případě pokud je jmenovatel obrazu funkce rozložen pouze na jednoduché kořeny rovnice, pak lze obraz funkce rozložit na součet nejjednodušších zlomků takto:

Neznámé koeficienty lze určit pomocí metody nedefinovaných koeficientů nebo zjednodušeně pomocí následujícího vzorce:

Hodnota funkce v bodě;

Hodnota derivace funkce v bodě.

Přepis

1 Laplaceova transformace Stručná informace Laplaceova transformace, která je široce používána v teorii obvodů, je integrální transformace aplikovaná na časové funkce f rovné nule při< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Lze dokázat, že konverguje-li Laplaceův integrál pro nějakou hodnotu s, pak definuje funkci F, která je analytická v celé polorovině> s Takto definovanou funkci F lze analyticky pokračovat do celé roviny komplexní proměnné = +, s výjimkou jednotlivých singulárních bodů. Nejčastěji se toto pokračování provádí rozšířením vzorce získaného výpočtem integrálu na celou rovinu komplexní proměnné.Funkce F, která analyticky pokračuje do celé komplexní roviny, je nazývaný Laplaceův obraz časové funkce f nebo jednoduše obraz. Funkce f ve vztahu k jejímu obrazu F se nazývá originál. Je-li obraz F znám, pak lze originál najít pomocí inverzní Laplaceovy transformace f F d pro > Integrál vpravo je obrysový integrál podél přímky rovnoběžné s osou pořadnice Hodnota je zvolena tak, aby v polorovině R> nebyly žádné singulární body funkce F. jsou inverzní Laplaceova transformace a jsou označeny symbolem f L (F) L 7

2 Uvažujme některé vlastnosti Laplaceovy transformace Linearita Tuto vlastnost lze zapsat jako rovnost L (ff) L (f) L (f) Laplaceova transformace derivace funkce df L () d df d F fdf 3 Laplaceova transformace funkce integrál: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Zvažte nejjednodušší aplikaci Laplaceovy transformace v teorii obvodů Obrázek ukazuje nejjednodušší prvky obvodů: odpor, indukčnost a kapacitu Okamžitý úbytek napětí na odporu je rovnost, kterou stále platí tvar Ohmova zákona, ale již pro obrazy napětí a proudu Pro okamžité napětí na indukčnosti platí vztah diu L, d tj. není zde přímá úměrnost, zde Ohmův zákon neplatí Po Laplaceově transformaci získáme U. = LI LI +

3 Jestliže, jak tomu často bývá, I + =, pak má vztah tvar U = LI Pro obrazy napětí a proudu tedy opět platí Ohmův zákon Roli odporu hraje veličina L, která se nazývá indukční odpor Pro kapacitu máme vztah mezi okamžitými hodnotami napětí a indukčnosti uid C Po Laplaceově transformaci má tento poměr tvar UI, C te má tvar Ohmova zákona a kapacitní odpor je rovná se C Sestavme tabulku přímých a inverzních Laplaceových transformací elementárních funkcí nalezených v teorii obvodů jednotkový krok je určen rovnostmi: at; při Laplaceově transformaci této funkce bude L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (hřích) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Nyní zvažte inverzní transformaci racionálního zlomku, konkrétně transformaci image bbbb BF nnnnmmmm Let m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 způsob Rozšiřme obrázek na jednoduché zlomky a vynásobme: nn KKKKB Nyní usilujme Pak na pravé straně zůstane pouze K: lim BK Vpravo máme neurčitost tvaru, který je rozšířen podle L' Hôpitalovo pravidlo: "BK Dosazením, dostaneme" n BB Inverzní transformace jednoduchého zlomku známého: L Proto "n BBL Úrok je speciální případ, kdy je jeden z kořenů jmenovatele roven nule: BF V tomto případě je rozklad F na jednoduché zlomky bude mít tvar, jak vyplývá z předchozího," n BBB a B nemá kořeny v nule

6 3 Inverzní Laplaceova transformace funkce F tedy bude mít tvar: n B B B "L Uvažujme jiný případ, kdy má polynom ve jmenovateli B více kořenů. Nechť m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Některé obecné vlastnosti obvodů Nechť složitý obvod obsahuje P větví a Q uzly Pak lze podle prvního a druhého Kirchhoffova zákona sestavit rovnice P + Q pro P proudy ve větvích a Q uzlové potenciály Jeden z Q uzlových potenciálů se považuje za nulu Ale počet rovnic lze snížit na Q, pokud použijeme smyčkové proudy jako střídavé proudy V tomto případě je automaticky splněn první Kirchhoffův zákon, protože každý proud vstupuje do uzlu a vystupuje z něj, to znamená, že dává celkový proud rovný nule a navíc Q uzlových potenciálů jsou vyjádřeny proudy smyčky Celkový počet rovnic, a tedy nezávislých smyček se rovná P + QQ = PQ + Nezávislé rovnice lze psát přímo pokud jsou smyčkové proudy brány jako neznámé jedna z dalších vrstevnic Obr Pro každou z vrstevnic jsou sestaveny rovnice podle druhého Kirchhoffova zákona a Obecně je odpor větve roven i R i C i L kde i, =, n, n je počet nezávislých obvodů Rovnice smyčkových proudů jsou následující: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Zde E i je součet všech EMF zahrnutých v i-tém obvodu i-té obrysy Odpory ii představují součet odporů zahrnutých v i-tém obrysu Odpor i je součástí odpor i-tého 33 Obr Příklad nezávislých vrstevnic

8 Rovnice pro m-tý obvod bude mít tvar: obvod, který je zařazen i do tého obvodu Je zřejmé, že pro pasivní obvod platí rovnost i = i Uvažujme, jak rovnice obvodových proudů pro aktivní obvody obsahující tranzistory jsou upraveny, obr mi mi mn I n Em I i Přenesením druhého členu z pravé strany na levou stranu transformujeme tuto rovnici takto: mi mi I i mn I n Em neznámé, uzlové potenciály jsou používá se také, počítáno z potenciálu jednoho z uzlů, braný jako nula Y který lze přepsat následovně: kde Obr Ekvivalentní obvod tranzistoru ve složitém obvodu U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Soustava rovnic pro uzlové potenciály má tvar Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Ve kterém obsahuje závislé zdroje proudu Uvažujme nyní řešení obvodových rovnic Řešení soustavy rovnic smyčkových proudů má tvar pro tý proud: I, kde hlavní determinant systému je stejný determinant, ve kterém je i-tý sloupec nahrazen elektromotorickými silami z pravých stran E, E, E n Předpokládejme, že v obvodu je pouze jedno EMF E, zahrnuté ve vstupním obvodu, kterému je přiřazeno první číslo. rovnice by měly být sestaveny tak, aby pro nás zájmovou větví procházel pouze jeden obvodový proud, obr. 4 Potom je vstupní proud roven IE, kde je odpovídající determinant algebraického doplňku i obr. 4 Obvod s EMF ve vstupním obvodu 35

10 Poměr EI se nazývá vstupní odpor. Naproti tomu tento odpor zohledňuje vliv všech obvodů Pro druhý výstupní obvod budeme mít I 36 E, kde odpovídající algebraické sčítání Vztah TIE se nazývá přenosový odpor z prvního obvodu do druhého. 5 Obr. 5 Obvod se zdrojem proudu na vstupu "UI" I, Y "Y" a přenosovou vodivostí z prvního uzlu do druhého: U "I" IYT, YT "" kde I je proud přiváděný do prvního uzlu, U a U jsou napětí získané v prvním a druhém uzlu, „hlavní determinant soustavy rovnic uzlových potenciálů, a“ i je odpovídající algebraický doplněk mezi a Y tam je vztah Y Pro pasivní obvod jsme měli = Hlavní determinant systému je tedy symetrický Z toho plyne, že algebraické doplňky se rovnají: = Proto jsou rovny a přenosový odpor T = T Tato vlastnost se nazývá vlastnost vzájemnost. To je, jak vidíme, symetrie matice odporu. Vlastnost reciprocity je na obr. 6 formulována následovně: pokud EMF umístěný ve vstupním obvodu způsobuje nějaký proud ve výstupním obvodu, pak stejný EMF zahrnutý v výstupní obvod způsobí ve vstupním obvodu,

11 reproud stejné hodnoty Stručně, tato vlastnost je někdy formulována následovně: EMF ve vstupním obvodu a ampérmetr ve výstupním obvodu lze zaměnit, přičemž údaj ampérmetru se nezmění Obr. 6 Chování obvodu s vlastností Obr. reciprocity 7 UE Obr. 7 Koeficient přenosu napětí pak Jak vyplývá z diagramu na obr. 7: UUI n; ; K n E TE; I T U n Obdobně lze určit koeficient přenosu proudu I K I Obr. 8: I Proto I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I obr. 8 Proudový přenosový poměr Yn Y T T 37

12 3 Více o obecných vlastnostech obvodových funkcí Obvodové funkce jsou funkce proměnné získané řešením rovnic, například vstupní vodivostní odpor, přenosový vodivostní odpor atd. Pro obvody se soustředěnými parametry je jakákoli obvodová funkce racionální s ohledem na proměnná a je zlomkem m Ф B bnmnbmmnn 38 bb a koeficienty jsou reálné Jinak ji lze reprezentovat ve tvaru Ф bmnm, "" "kde, m,", "," n kořeny rovnic mbnmnbmnm, nbb Hodnoty ​​=, m se nazývají nuly funkce Ф a hodnoty = ",", "n se nazývají póly Φ Je zřejmé, že dvě racionální funkce, jejichž nuly a póly se shodují, se mohou lišit pouze konstantními faktory. jinými slovy, povaha závislosti parametrů řetězce na frekvenci je zcela určena nulami a póly funkce řetězce polynom nabývá konjugované hodnoty * = * a B * = B * Z toho plyne, že pokud polynom to Pokud existuje komplexní kořen, bude to také kořen. Nuly a póly funkce řetězce tedy mohou být buď skutečné, nebo mohou tvořit komplexní sdružené páry Nechť Ф je funkcí řetězce Uvažujme jeho hodnoty v =: Ф Ф Ф Protože koeficienty v čitateli a jmenovateli Ф jsou reálné, pak Ф Ф n,

13 Ne Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Porovnáním těchto rovností s přihlédnutím k rovnosti uvedené výše dostaneme, že Ф Ф, Ф Ф, tedy skutečná část obvodové funkce je sudá funkce frekvence a imaginární lichá funkce frekvence 3 Stabilita a fyzikální proveditelnost Uvažujme rovnost, která určuje proud ve vstupním odporu způsobený napětím U: UIB Nechť U je jednotkový krok a pak I, B kde a B jsou polynomy z Pomocí expanzního vzorce může dostat i BB "kde nuly polynomu B, a tedy nuly funkce odporu a nuly hlavního determinantu: = Pokud alespoň jedna nula má kladnou reálnou část, pak i poroste donekonečna. odpor, z nichž alespoň jedna nula je v pravé polorovině, odpovídá nestabilnímu systému, 39

14 me Stejný závěr lze učinit, pokud jde o přenosový odpor T, vstupní vodivost Y, přenosovou vodivost YT Definice Obvodová funkce se nazývá fyzikálně proveditelná, pokud odpovídá obvodu sestávajícímu ze skutečných prvků a žádná z jeho přirozených vibrací má amplitudu, která se neomezeně zvětšuje s Řetězec specifikovaný v definici se nazývá stabilní Nuly hlavního determinantu fyzikálně realizovatelné stabilní funkce řetězce a tedy nuly funkcí odporu a vodivosti by měly být umístěny pouze vlevo polorovině proměnné nebo na ose reálných frekvencí Pokud se dvě nebo více nul shoduje s více kořeny, pak odpovídající řešení mají tvar: M, kde M je polynom stupně m, m je násobnost kořene If, současně =, a m>, pak odpovídající řešení neomezeně roste o koeficient e přenosu, pak se vše, co bylo řečeno výše, nevztahuje na nuly, ale na póly funkce obvodu koeficientu přenosu Ve skutečnosti: n K Nuly z T jsou póly funkce K a zátěžový odpor je pasivní; její nuly jistě leží ve správné rovině Z výše uvedeného vyplývá, že fyzikálně realizovatelné funkce řetězce mají následující vlastnosti: zatímco nuly a póly funkce řetězce jsou buď reálné, nebo tvoří komplexní konjugované páry; b skutečná a imaginární část funkce řetězce jsou při skutečných frekvencích sudá a lichá frekvenční funkce; v nulách hlavního determinantu, a tudíž vodivostní odpor a přenosový vodivostní odpor nemohou ležet v pravé polorovině a vícenásobné nuly ani v pravé polorovině ani na ose reálných frekvencí T 4

15 3 Přechodové děje v zesilovačích Řešení soustavy rovnic obvodu dává obraz výstupního signálu pro daný vstup U = KE Funkci obvodu v časové oblasti lze zjistit pomocí inverzní Laplaceovy transformace u L (KE) Nejzajímavější je přechodový proces se vstupním signálem ve formě kroku Reakce Odezva systému na jeden krok se nazývá přechodová funkce.Při znalosti přechodové funkce lze nalézt odezvu systému na libovolný vstupní signál. obrazec.Obraz jednoho kroku má tvar, proto je odezva systému na jeden krok: K h L Inverzní Laplaceovu transformaci lze zapsat jako: h LKK 4 d Současně>, protože cesta integrace by měla ležet napravo od pólu = velmi zajímavá je definice Obr. 3 Obrys přechodové funkce zesilovače podle typu jeho integrace s frekvenční charakteristikou K tomu by měla být cesta výpočtu integrace přechodných jevů kombinovaná s osou funkce reálných frekvencí = Pól v t bod = v tomto případě byste měli obejít kružnici o malém poloměru r Obr. 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Pojďme na limitu r Pak máme d KVKK d KV h Zde výraz V s integrálem znamená hlavní hodnotu tohoto integrálu Výsledný vzorec umožňuje najít přechodovou funkci přes frekvenční charakteristiku zesílení Na na základě tohoto vzorce lze vyvodit některé obecné závěry Nahraďte proměnnou v h za: d KVK h Ale h, jak vyplývá z principu kauzality, protože signál se objevuje na> Funkce zesílení K je komplexní a lze ji reprezentovat jako součet reálné a imaginární části: K = K + K r Dosazením do výrazu pro h získáme d KKVK r Diferencováním vzhledem k získáme d KK r nebo cos sin sin cos d KKKK rr

17 Imaginární část integrandu je lichou funkcí frekvence, proto je její integrál roven nule. Protože reálná část je sudá funkce frekvence, podmínka, kterou musí splňovat fyzikálně realizovatelný koeficient přenosu, má tvar: K cos K sin dr at Tato podmínka, jak jsme viděli, vyplývá z principu kauzality Lze ukázat, že systém, jehož přenosový koeficient lze zapsat jako poměr polynomů K, B, je stabilní v tom smyslu, že všechny nuly polynomu B leží v levé polorovině, splňuje princip kauzality. K tomu zkoumáme integrál K hd pro< и >Uveďme dva uzavřené obrysy a B, znázorněné na obr. 3 Obr. 3 Integrační obrysy: at< ; B при > 43

18 44 Uvažujme funkci, kde integrál přebírá uzavřenou konturu Díky Cauchyově integrální větě je integrál roven nule, protože v pravé polorovině je integrand analytický podle podmínky. Integrál lze zapsat jako součet integrálů přes jednotlivé úseky integračního obrysu: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Od cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >platí h B h pro R Tedy: R h, pro>

19 Zbytek vzhledem k jednoduchému pólu je roven RB "který jsme měli již dříve K lim, 45 lim B Příklad Uvažujme schéma integračního řetězce znázorněného na obr. 33 Pro tento řetězec je přenosový koeficient a jeho imaginární a reálný části mají tvar: K; K; K r, kde RC Dokažme, že podle výše uvedené podmínky kauzality musí být rovnost splněna Rovnost je známa cos sin d cos d Pravou a levou stranu odlišíme: sin d Vynásobením levé a pravé strany této rovnosti dostaneme: sin d, obr. 33 Schéma integračního obvodu, ze kterého vyplývá rovnost, která je požadována k prokázání Díky přechodné funkci systému lze najít její odezvu na libovolný vstup. signál K tomu přibližně znázorníme vstupní signál jako součet jednotkových kroků obr. 34

20 Obr. 34 Znázornění vstupního signálu Toto znázornění lze zapsat jako: uuu Další uu "Odezva na jednotkový krok bude rovna h Výstupní signál lze tedy přibližně znázornit jako: uuhu" h Překročení limitu v , místo součtu získáme integrál uuhu "hd Tato jedna z forem Duhamelova integrálu Integrací po částech můžeme získat další tvar Duhamelova integrálu: uuhuh "d A nakonec změnou proměnné =" , můžeme získat další dvě formy Duhamelova integrálu: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 Některé vlastnosti dvoupólových obvodů 4 Obecné vlastnosti funkce odporu vstupního vedení Dvousvorkové sítě jsou zcela charakterizovány funkcí odporu vstupního vedení Tato funkce nemůže mít nuly v pravé polorovině, stejně jako více nul na ose reálných frekvencí Protože Y, pak nuly Y odpovídají pólům a naopak.funkce vstupního vodivostního odporu nemůže mít póly v pravé polorovině a více pólů na ose reálných frekvencí.následující platí asymptotická rovnost: bm mn Protože by na ose reálných frekvencí nemělo být více nul a pólů, vyplývá z toho, že mn te se mocniny polynomů v čitateli a jmenovateli nemohou lišit o více než jedna. lisi = podobně lze prokázat, že nejmenší exponenty v čitateli a jmenovateli se nemohou lišit o více než jeden. Fyzikální význam těchto tvrzení je, že při velmi vysokých a velmi nízkých frekvencích by se pasivní dvoupólové zařízení mělo chovat jako kapacita nebo indukčnost nebo činný odpor n, 4 Energetické funkce dvousvorkové sítě Předpokládejme, že dvousvorková síť je složitý obvod obsahující činné odpory, kapacity a indukční

Přivede-li se na svorky dvousvorky sinusové napětí, pak se ve dvou svorce ztratí nějaký výkon, jehož průměrná hodnota P charakterizuje ztrátu energie Elektrická a magnetická energie je uložena v kondenzátorech a induktorech, průměr jejichž hodnoty budeme označovat WE a WH Tyto hodnoty vypočítáme pomocí rovnic smyčkových proudů Zapíšeme přímo výrazy pro výše uvedené veličiny analogicky s nejjednoduššími případy Takže pro odpor R je průměrný disipovaný výkon je rovna PRII Podobně pro obvod obsahující několik větví lze průměrný výkon vyjádřit proudy smyčky: P i R i I i I Průměrná energie uložená v indukčnosti, rovna WHLII U složitého obvodu tuto hodnotu vyjádříme pomocí proudy smyčky: WH 4 i L i I Průměrná energie uložená v kondenzátoru je Ale proto, WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Na základě tohoto poměru můžete napsat výraz pro celkovou průměrnou elektrickou energii: WE 4 Ii I i Ci Zjistíme, jak tyto veličiny souvisí se vstupními napětími a proudy K tomu si zapište rovnice smyčkových proudů. IRILIE; C I i R i I Li I; Ci Vynásobte každou z rovnic odpovídajícím proudem 49 Ii a sečtěte všechny I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Jestliže R i = R i; Li = Li; C i = C i, to znamená, že obvod vyhovuje principu reciprocity a nejsou zde žádné aktivní prvky, pak: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Dosazením do výše uvedené rovnosti získáme E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE funkce

24 Telledzhenův teorém umožňuje najít výrazy pro odpor a vodivost Y z hlediska energetických funkcí: EIEIIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Z výrazů získaných pro a Y z hlediska energetických funkcí lze vyvodit některé závěry. Vstupní odpor a vodivost pasivního obvodu má nezápornou reálnou část na ose reálných frekvencí Je shodná je nulová, pouze pokud v obvodu nedochází ke ztrátám energie Podmínky stability vyžadují, aby Y také neměl nuly a póly v pravé polovině- rovina. Absence pólů znamená, že Y jsou analytické funkce v pravé polorovině. že pokud je funkce v nějaké oblasti analytická, pak její reálné a imaginární části dosahují svých nejmenších a největších hodnot na hranici oblasti. Protože funkce vstupního odporu a vodivosti jsou analytické v pravé polorovině, pak jejich reálná část na hranici této oblasti na ose reálných frekvencí dosahuje nejmenší hodnoty, ale na ose reálných frekvencí je reálná část nezáporná, proto je kladná v celé pravé polorovině. Navíc funkce a Y nabývají reálných hodnot ​pro reálné hodnoty, protože jsou podílem dělení polynomů s reálnými koeficienty Funkce, která nabývá reálných hodnot a má kladnou reálnou část v pravé polorovině, se nazývá kladná reálná funkce. Vstupní odpor a vodivostní funkce jsou kladné reálné funkce.funkce byla kladnou reálnou funkcí 3 Imaginární část na reálné frekvenční ose je rovna nule, pokud dvousvorkové zařízení neobsahuje reaktivní prvky nebo průměrné zásoby magnetických a EE;

25 elektrických energií ve dvoukoncové síti je stejných To je případ rezonance; kmitočet, na kterém k tomu dochází, se nazývá rezonanční kmitočet. Je třeba poznamenat, že při odvozování energetických poměrů pro a Y byla v podstatě použita vlastnost reciprocity nepřítomnosti závislých zdrojů.Pro obvody, které nesplňují princip reciprocity a obsahují závislé zdroje, tento vzorec se může ukázat jako nesprávný Obrázek 4 ukazuje schéma sériového rezonančního obvodu Podívejme se, co dává energetický vzorec v tomto nejjednodušším případě Výkon rozptýlený v odporu R, když protéká proud I, je roven PIR Průměr zásoby elektrické a magnetické energie jsou stejné: WHLICU; W E Napětí U na kondenzátoru, když teče proud I, je odtud W E I U C I C Dosazením do energetického vzorce za dostaneme L I I R I

26 Zde E E C C S I S E R R RC RC C C Nechť, S >> C, aby se první člen v závorce mohl zanedbat S sklon lampy Pak vstupní impedance bude S I E RC E RC I S S RC kde Požad.; Leq SS obr. 4 Elektronický odpor RC SR eq L eq, Je zřejmé, že výpočet vstupního odporu pomocí energetických funkcí v tomto případě poskytne nesprávný výsledek V tomto obvodu skutečně není žádná magnetická rezerva energie, která určuje indukčnost Důvodem nevhodnosti energetického vzorce pro tento obvod je přítomnost v obvodu závislého zdroje Volbou požadovaného fázového posunu v obvodu řídicí mřížky svítidla je možné získat indukční nebo kapacitní fázi. posun mezi napětím a proudem na vstupu a podle toho i induktivní nebo kapacitní charakter vstupního odporu odpor nebo vodivost pasivního obvodu je nezáporná na ose reálných frekvencí Může se rovnat nule shodně pro jakékoli frekvence pouze pokud všechny prvky obvodu nemají žádné ztráty, to znamená, že jsou čistě reaktivní, ale i v případě ztrát může skutečná část odporu nebo vodivosti mizí na některých frekvencích 5

27 Pokud nikde na pomyslné ose nezmizí, pak lze od funkce odporu nebo vodivosti odečíst konstantní hodnotu, aniž by byly porušeny podmínky fyzikální proveditelnosti, takže skutečná část, která zůstane nezáporná, se při určité frekvenci změní na nulu. pólů v pravé polorovině proměnné, to znamená, že je v této oblasti analytická, pak její reálná část má minimální hodnotu na její hranici, tedy na imaginární ose. Odečtením této minimální hodnoty tedy zůstane reálná část kladná v pravé polorovině Funkce vstupního vodivého odporu se nazývá funkce typu minimum -aktivní vodivostní odpor, pokud její reálná část zaniká na ose reálných frekvencí tak, že pokles této složky je nemožné bez porušení podmínek pasivity. pak nula reálné části na ose reálných frekvencí má násobnost alespoň , c a neminimálně aktivního typu d Na obr. 43 a obvod má vstupní odpor neminimálně aktivního typu, jelikož skutečná část odporu nezaniká při žádné reálné frekvenci Současně reálná část vodivosti zaniká při frekvenci = Obvod je tedy obvod s minimální aktivní vodivostí Na obr. 43, b je obvod obvodem minimálního aktivního odporu, protože skutečná část odporu mizí s nekonečnou frekvencí 53

28 Na obr. 43 je obvod obvod o minimálním činném odporu R = na rezonančním kmitočtu sériového obvodu obvod ve 3. obvodu má konečný odpor na rezonančním kmitočtu 44 Vstupní vodivostní odpory aktivních dvoukoncových sítí Obr. 44 Dvousvorková zařízení: a se zdrojem EMF, b s přidáním odporu R Odpory vstupní vodivosti aktivních na rozdíl od pasivních dvousvorkových zařízení nejsou kladnými funkcemi, a proto takovéto dvoukoncové sítě za určitých podmínek mohou být nestabilní. Zvažte zde dostupné možnosti. Odpor má nuly v pravé polorovině proměnné, ale nemá tam póly. Uvažujme obvod znázorněný na obr. 44 a umístěte exponenciálně rostoucí řešení, tj. dvoupólová nick je nestabilní, když je napájen ze zdroje EMF, nebo jinak, když jsou jeho svorky zkratovány. Na druhou stranu, protože nemá žádné póly v pravé polorovině, je to analytická funkce v této polorovině. vyplývá, že reálná část dosahuje minima na hranici pravé poloroviny, tj. os reálných frekvencí Toto minimum je záporné, protože v opačném případě by šlo o kladnou reálnou funkci a nemohla by mít nuly vpravo. polorovina.Minimum reálné části na reálné frekvenční ose lze zvýšit na nulu přidáním kladného reálného odporu V tomto případě se z funkce + R stává kladná reálná funkce Proto dvoukoncová síť s přídavkem odpor R bude při zkratu stabilní Obr. 44, b. Obr.

29 Vodivost Y má nuly v pravé polorovině, ale nemá tam žádné póly. To je opačný případ než předchozí, protože to znamená, že = / Y má póly v pravé polorovině, ale nemá tam nuly .V tomto případě se stabilita vyšetřuje v obvodu se zdrojem proudu obr. 45, a Má-li Y v pravé polorovině nuly, pak je dvousvorková síť při chodu naprázdno nestabilní. argumenty uvedené výše. Protože Y nemá žádné póly v pravé polorovině, lze z funkce Y udělat skutečnou kladnou funkci přidáním kladné reálné vodivosti G Gmin. nuly v pravé polorovině, ale nemá tam póly, lze ustálit přidáním dostatečně velké reálné vodivosti.ze zdroje napětí 3 Funkce má nuly a póly v pravé polorovině.V tomto případě pro řešení otázky stability vyžaduje zvláštní pozornost Takže můžeme vyvodit následující závěry: pokud je aktivní dvoukoncová síť stabilní při napájení ze zdroje proudu, nemá žádné póly v pravé polorovině, lze ji stabilizovat při napájení ze zdroje napětí sériovým zapojením určitého kladného odporu materiálu; pokud je aktivní dvousvorkové zařízení stabilní při napájení ze zdroje napětí Y nemá póly v pravé polorovině, pak jej lze stabilizovat při napájení z proudového zdroje paralelním připojením dostatečně velké reálné vodivosti Příklad Uvažovat paralelní zapojení záporného odporu R s kapacitou C Obr. 46 RCR Zde R RC CI 55 Y b G Obr. 45 Dvoupólové sítě: a se zdrojem proudu; b s přídavkem vodivosti Y Y obr. 46 Dvoupólový se záporným odporem I

30 Jak je vidět, v pravé polorovině nemá nuly, proto je takový obvod stabilní při napájení ze zdroje napětí Je ale nestabilní naprázdno Sečteme indukčnost L v sérii Pak Obr. 47 Ekvivalentní obvod Obr. tunelové diody RRL LCR L RC RC Tato funkce má nuly v pravé polorovině: , RC 4 RC LC Obvod je tedy nestabilní při napájení ze zdroje napětí Ale má i pól v pravé polorovině Pojďme zkuste to stabilizovat přidáním odporu v sérii R obr. 47 Potom R LCR RRC LRRLR RC RC Podmínka stability spočívá v nepřítomnosti nul v čitateli v pravé polorovině K tomu musí všechny koeficienty trinomu v čitateli být pozitivní: RR CL; RR Tyto dvě nerovnosti lze zapsat jako: L CR RR Je zřejmé, že takové nerovnosti jsou možné, pokud LLR nebo R RC C R za podmínky R Obvod na obr. 47 je ekvivalentní obvodu C tunelové diody.

31 možnosti stabilizace režimu činnosti tunelové diody pomocí vnějšího odporu Příklad Uvažujme LC obvod s paralelně zapojeným záporným odporem obr. 48 Najděte podmínky stability obvodu naprázdno K tomu spočítejte vodivost: Obr. th R nebo R> R o Při splnění zpětné nerovnosti jsou v obvodu buzeny vlastní kmity na frekvenci rezonančního obvodu 45 určité meze bez porušení podmínek pasivity Fyzikálně je tato změna reálné složky o konstantní hodnotu. znamená přidání nebo vyloučení skutečného aktivního odporu, ideálně nezávislého na frekvenci Změna jalové složky funkce odporu n vodivosti o konstantní hodnotu je nepřijatelné, protože to porušuje podmínky fyzické realizovatelnosti podivnost imaginární složky funkce obvodu Fyzicky se to vysvětluje tím, že neexistují žádné prvky s čistě reaktivním frekvenčně nezávislým vodivostním odporem. změna jalové složky bez změny aktivní složky možná v případě, kdy vodivostní odpor má póly na ose reálných frekvencí.Vzhledem k podmínkám fyzikální proveditelnosti by takové póly měly být jednoduché a složitě konjugované

32 Nechť má odpor póly na frekvencích Pak můžeme rozlišit jednoduché zlomky MNBB Je snadné vidět, že NNMMN r MB r 58 B * M, MM Uvažujme chování jednoho ze zlomků, například M / blízko = Potom MMM r M r M V blízkosti frekvence mění skutečná složka znaménko, což odporuje podmínkám fyzikální realizovatelnosti Proto M r = N r = Pak M = N Navíc lze ukázat, že M = N> Skutečně položíme = +, a> Pak zlomek nabývá hodnoty M /, která musí být větší než nula, protože zlomek musí být v pravé polorovině skutečná kladná funkce Takže, M = N> Pokud má tedy komplexně sdruženou póly na ose reálných frekvencí, pak to může být reprezentováno ve tvaru: MM, B a splňuje podmínky fyzikální proveditelnosti, pokud jsou splněny Opravdu , nemá žádné póly v pravé polorovině, protože tam póly nemá .Je to tedy analytická funkce v pravé polorovině. Na druhou stranu první člen nabývá osy reálných frekvencí jsou čistě imaginární hodnoty Proto mají stejné reálné části na osách reálných frekvencí Oddělení prvního členu nemá vliv na reálnou část na osách reálných frekvencí Z toho vyplývá, že v pravé polovině- rovina je také kladná funkce r

33 Navíc pro skutečné hodnoty bere skutečné reálné hodnoty v pravé polorovině V důsledku toho jde o skutečnou kladnou funkci M Odpor má paralelní rezonanční obvod beze ztrát: LCCC, LC LC a LC a MC : M "Y, YM" kde výraz představuje vodivost sériového rezonančního obvodu: YCLLCL Kromě pólů v bodech ±, tedy na konečných frekvencích, jsou možné póly na nulových a nekonečných frekvencích.Tyto póly odpovídají výrazy :, L, Y, YC, CL t neodpovídají kapacitě nebo indukčnosti Následující tvrzení je pravdivé Vstupní impedance vodivost pasivního obvodu nadále splňuje podmínky fyzické proveditelnosti, pokud 59

34 odečtěte od něj vodivostní reaktanci odpovídající pólům umístěným na ose reálných frekvencí odpor a vodivost póly při žádných reálných frekvencích Přítomnost takových pólů by znamenala možnost existence volných kmitů v nich bez tlumení Ale v mnoha případech , při dobré aproximaci lze ztráty v reaktivních prvcích zanedbat 46 Vlastnosti obvodů složených z čistě reaktivních prvků Často se stává, že obvod je složen z prvků s malými ztrátami V tomto případě lze někdy vliv ztrát zanedbat Jedná se o zájem zjistit vlastnosti obvodů beze ztrát a také zjistit, za jakých podmínek lze ztráty zanedbat Předpokládejme, že všechny prvky obvodu jsou čistě reaktivní Je snadné ukázat, že v tomto případě odpor a vodivost Y nabývají imaginárních hodnot na ose reálných frekvencí. V tomto případě je ztrátový výkon rovna nule, tedy: W I 6 H WE W Y E WE; Protože pomyslná část odporu nebo vodivosti je lichou funkcí obvodu, pak v tomto případě = Tedy v obecnějším případě = Podmínky fyzikální proveditelnosti vyžadují, aby neměl nuly a póly v pravé polorovině. Ale protože =, pak by také neměly být žádné nuly a póly v levé polorovině. Proto H

35 funkcí a Y může mít nuly a póly pouze na ose reálných frekvencí. Fyzikálně je to pochopitelné, protože v obvodu beze ztrát volné kmity netlumí.Z toho plyne, že pomocí metody identifikace pólů ležících na ose reálných frekvencí je možné redukovat funkce a Y do následující podoby: bnbnb Y Jinými slovy, dvoupólové zařízení s odporem lze znázornit jako následující schéma na obr. 49 Fosterova formuláře:; Obr. 49 První Fosterova forma Podle toho může být Y reprezentováno ve formě -té Fosterovy formy Obr. 4 Obr. 4 Druhá Fosterova forma Lze ukázat, že nuly a póly na ose reálných frekvencí by se měly střídat pouze jednoduché, pak blízko nuly lze funkci reprezentovat ve tvaru M o, kde o je veličina vyššího řádu malosti oproti Near v pravé polorovině, skutečná veličina musí být kladná, a to je možné pouze tehdy, když M je skutečný 6

36 je velikost a M> Proto blízko nuly = imaginární složka se může měnit pouze s kladnou derivací, při změně znaménka z na "+" musí být nespojitost, která u obvodů se soustředěnými prvky může být pouze pól Vše to, co bylo řečeno, platí i pro vodivost Y Nuly se nazývají body rezonancí, póly jsou body antirezonancí Proto se rezonance vždy střídají s antirezonancemi Pro vodivost Y odpovídají rezonance pólům a antirezonance nulám Je snadné vidět, že jak v bodech rezonancí, tak v bodech antirezonancí jsou průměrné zásoby elektrické a magnetické energie navzájem stejné Opravdu, v bodech rezonancí =, tj. WHWE = V bodech antirezonancí Y =, tedy WEWH = Ukažme si nyní, že v případě obvodů bez ztrát probíhají následující vzorce, uvádím závislost odporu a vodivosti na frekvenci Reprezentujme odpor a vodivost ve tvaru: X, Y B Potom: dx WH W d I db WH WE d E Pro důkaz uvažujme definici odporu E I 6 E; Nechť E = zápory Rozlišujme podle frekvence: d E di d I d Předpokládejme, že E je skutečná hodnota Pak pro obvod bez ztrát je I čistě imaginární hodnota V tomto případě d E d I di d I I a

37 Přejděme nyní k soustavě rovnic pro smyčkové proudy n 4: I Li I Ei, i, n C Za předpokladu, že pouze E, každou z rovnic vynásobíme a sečteme všechny rovnice: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Dále se obrátíme na vztah získaný také v p 4 pro bezztrátové obvody: i, L i I Ii ii, IIC ii E Derivováním podle frekvence při E = kons, dostaneme: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , jelikož E je skutečná hodnota za předpokladu Z výše uvedeného také vyplývá, že: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Dosazením do součtu dostaneme: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Redukcí podobných členů zleva a zprava zjistíme: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E bylo nalezený v sekci n 4, rovná se i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Dosazením ve výrazu pro derivaci funkce odporu dostaneme: d E di WH W d I d I Podobně můžete dokázat druhá rovnost dy W d E WE Z těchto vzorců vyplývá, že s rostoucí frekvencí se může reaktance a vodivost obvodu čistě reaktivních prvků pouze zvyšovat.V závislosti na přítomnosti nul a pólů na nulových a nekonečných frekvencích se graf závislost X a B může mít jeden z následujících typů, znázorněných na obr. 4 Nakonec se pokusíme zjistit, jak přítomnost malých ztrát ovlivňuje odpor obvodu složeného z reaktivních prvků.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Útlum může být pro různé póly různý Proto je vhodné zvážit chování odporové funkce v blízkosti jednoho z pólů.

40 Protože nás zajímají hodnoty na ose reálných frekvencí, mělo by být nahrazeno V čitateli můžeme vyřadit, malé ve srovnání s podmínkou: Tento výraz lze transformovat následovně :, Qx "kde Q; x; Veličina Q >> se nazývá činitel jakosti, veličina x se nazývá relativní rozladění Blízká rezonance Kromě toho máme: Hodnota C x QQ;; QQCC se nazývá charakteristická impedance rezonančního obvodu. Zvažte, jak závisí skutečná a imaginární část odporu v blízkosti rezonance na frekvenci: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Blízká rezonance Im roste, ale při rezonanci prochází nulou se zápornou derivací Reálná část R při rezonanci má maximum Grafy Im a R v závislosti na frekvenci jsou znázorněny na obr. 4. rezonanční křivka R nezávisí na faktoru Q. S rostoucím faktorem Q se šířka křivky zmenšuje, ale výška se zvětšuje, takže plocha zůstává nezměněna Qx >> reálná část rychle klesá a imaginární část je rovna Im x 67, to znamená, že se mění stejným způsobem jako v případě bezeztrátové kontury

42 Takže závislost na frekvenci se zavedením malých ztrát se málo mění na frekvencích vzdálených od rezonanční frekvence o množství >> V blízkosti frekvence se průběh výrazně mění Vodivostní pól Y, tedy vodivost sériového rezonančního obvodu odpovídá vztahu podobnému pólu: kde Q; gq Y, Qx g charakteristická vodivost; L x Nula odpovídá vodivostnímu pólu Y Blízko nule, proto lze odpor reprezentovat na ose reálných frekvencí následovně: Qx x, Y gq Q kde = / g se mění blízko nuly stejným způsobem jako dříve 68

43 5 Čtyřpóly 5 Základní rovnice čtyřpólu Čtyřpól je obvod, který má dva páry vývodů: vstup, na který je připojen zdroj signálu a výstup, na který je připojena zátěž přenosový odpor Za těchto podmínek odpor el. zdroj signálu n a zatěžovací odpor n jsou zahrnuty v T Když se mění, a T se mění Je žádoucí mít rovnice a parametry, které charakterizují samotnou čtyřbranovou síť Koeficient je převrácená hodnota přenosové vodivosti při nečinnosti na výstupu pár svorek: 69 II; obr. 5 Zapnutí čtyřbranové sítě I Zde jsou U a U napětí na vstupních a výstupních svorkách, I a I jsou proudy tekoucí vstupními a výstupními svorkami směrem do čtyřbranové sítě, viz obr. 5 Koeficienty soustava rovnic spojujících napětí a proudy má jednoduchý význam. Hodnota je součinitel úměrnosti mezi I a U při proudu na výstupních svorkách I =, tj. naprázdno na výstupních svorkách; jinými slovy, toto je vstupní odpor naprázdno na výstupu = x Podobně je to vstupní odpor ze strany výstupních svorek naprázdno na prvním páru svorek = x Koeficient má význam hodnota opačná k přenosové vodivosti naprázdno na první dvojici svorek, tj. na nulovém proudu vstupních svorek U a IYT x YT x

44 I U; YT x YT x Všimněte si, že pro pasivní čtyřportovou síť jsou obě přenosové vodivosti navzájem shodné díky principu reciprocity.Proto = = / Y Tx Výše ​​uvedený systém rovnic lze zapsat jako: IU x I ; YT x IU x I YT x I, protože proud je v tomto případě směrován ze čtyřportové sítě, to znamená v opačném směru než ve výše uvedeném Dosazením U do druhé rovnice dostaneme odkud I, I n I x I YTx IY x Tx Dosazením I do první rovnice dostaneme UI x Y Tx n Odtud zjistíme vstupní impedanci v nx U x IY Analogicky můžete také napsat výraz pro výstupní odpor a prohodit indexy a: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Charakteristické parametry čtyřpólového zařízení Značně zajímavý je případ, kdy generátor a zátěž jsou současně přizpůsobeny, tj. když n = c a n = c, vztah in = c a out = c probíhá Dosazením ve výrazech pro in a out dostaneme rovnice, které nám umožní najít c a c: cc x x YT x YT x 7 cc Tento systém je řešen následovně Z první rovnice najdeme: odkud cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Všimněte si, že zkrat a zkrat jsou vstupní odpory ze strany prvního a druhého páru svorek v případě zkratu na druhém páru svorek. Zatížení rovné charakteristické impedanci c se nazývá přizpůsobené Při libovolném počtu takto připojených čtyřportových sítí je shoda zachována v libovolném průřezu. UI c I c ln I c U cg ln U Skutečná část charakteristického koeficientu prostupu pro reálné frekvence se nazývá charakteristický útlum a imaginární část se nazývá charakteristická fázová konstanta získat také poměr: I g I; U c g U U U I I

47 Charakteristický koeficient přenosu je výhodný v tom, že při přizpůsobeném kaskádovém zapojení dvouportových sítí je výsledný koeficient přenosu roven součtu koeficientů přenosu jednotlivých čtyřportových sítí. Charakteristický koeficient přenosu lze zjistit ze vztahů : gc kz c kz xx c xx cc kz c kz xx c xx c Charakteristické impedance cac obecně závisí na frekvenci. Proto není použití charakteristických parametrů vždy vhodné pro vyjádření přenosového odporu T. koncová síť na konstantní reálné zatížení R s čistě aktivním odporem generátoru R obr. 53 V tomto případě je přenos určen pomocí provozního koeficientu přenosu UI ln, UI kde U "a I" jsou a proud, který je generátor schopen vyvinout při odporu rovném vnitřnímu odporu generátoru, tj.: EU, IE, R 73 EUI, 4R U a I napětí a proud zátěže V tomto případě U = IR Nahrazení získat pro provozní koeficient přenosu ln Odtud dostaneme 4R ERI ln ERRTIRR

48 Hodnota je funkcí komplexní proměnné Pro reálné frekvence =: = + B, kde provozní útlum, B je fázová konstanta Provozní útlum je roven ln TRR 74 ln PP mx, jelikož P mx je maximální výkon, který generátor může dát na vstup čtyřportové sítě a P je výkon, přidělený na zátěži RP mx EPIR 4R Ukažme, že skutečná kladná funkce Skutečně, protože T nemá v pravé polorovině žádné nuly, funkce je analytická v pravé polorovině.Proto je jí úměrná analytická funkce také v pravé polorovině.analyticita, v tomto případě na ose reálných frekvencí Převrácená hodnota dosahuje nejmenší hodnoty na této ose For pasivní čtyřbran na ose reálných frekvencí, proto R> v celé pravé polorovině Dále T ln 4R R Funkce T je podíl dělení dvou polynomů reálnými koeficienty a T má reálný klad e hodnoty pro reálné Proto je také reálné pro reálné hodnoty Takže můžeme usoudit, že skutečná pozitivní funkce Problém syntézy čtyřportové sítě s daným provozním přenosovým koeficientem v obecném případě je nejlépe vyřešen pomocí tzv. zkřížené čtyřportové sítě, která má za určitých podmínek T

4.11. Vlastnosti Laplaceovy transformace. 1) Korespondence jedna ku jedné: s (S И (2) Linearita Laplaceovy transformace: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (a také 3) Analytika S И (): pokud s (vyhovuje)

4 Přednáška 5 ANALÝZA DYNAMICKÝCH OBVODŮ Plán Stavové rovnice elektrických obvodů Algoritmus pro tvorbu stavových rovnic 3 Příklady sestavení stavových rovnic 4 Závěry Stavové rovnice el.

4 .. Vlastnosti Laplaceovy transformace.) Korespondence jedna ku jedné: S И () 2) Linearita Laplaceovy transformace: s (s () И () И 2 S S2 (), a také 3) Analyticita S И (): pokud splňuje podmínku

64 Přednáška 6 PROVOZNÍ METODA ANALÝZY ELEKTRICKÝCH OBVODŮ Plán Laplaceova transformace Vlastnosti Laplaceovy transformace 3 Operátorská metoda analýzy elektrických obvodů 4 Určení originálu známým

2.2. Operátorová metoda pro výpočet přechodových jevů. Teoretické informace. Výpočet přechodových dějů ve složitých obvodech klasickou metodou je velmi často obtížné najít integrační konstanty.

70 Přednáška 7 OPERÁTORSKÉ FUNKCE OBVODŮ Plán Operátorské vstupní a přenosové funkce Póly a nuly obvodových funkcí 3 Závěr Operátorské vstupní a přenosové funkce Operátorská funkce obvodu je tzv.

Sinusový proud „na dlani“ Většina elektrické energie je generována ve formě EMF, která se v čase mění podle zákona harmonické (sinusové) funkce. Zdroje harmonického EMF jsou

4 Přednáška REZONANČNÍ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY ELEKTRICKÝCH OBVODŮ Rezonance a její význam v radioelektronice Složité přenosové funkce 3 Logaritmické frekvenční charakteristiky 4 Závěry Rezonance a

Přechodné procesy „na dlani“. Už znáte metody pro výpočet obvodu, který je v ustáleném stavu, tedy v takovém, kdy jsou proudy, stejně jako poklesy napětí na jednotlivých prvcích, v čase konstantní.

Rezonance ve vaší dlani. Rezonance je režim pasivní dvoukoncové sítě obsahující indukční a kapacitní prvky, ve které je její reaktance nulová. Rezonanční stav

Vynucené elektrické vibrace. Střídavý proud Uvažujme elektrické kmitání, ke kterému dochází, když je v obvodu generátor, jehož elektromotorická síla se periodicky mění.

Kapitola 3 Střídavý proud Teoretické informace Většina elektrické energie je generována ve formě EMF, která se v čase mění podle zákona harmonické (sinusové) funkce.

Přednáška 3. Srážky. Hlavní věta o zbytcích Reziduum funkce f () v izolovaném singulárním bodě a je komplexní číslo rovné hodnotě integrálu f () 2 braného v kladném směru i podél kružnice

Elektromagnetické kmity Kvazistacionární proudy Procesy v oscilačním obvodu Oscilační obvod obvod sestávající z indukčních cívek zapojených do série, kondenzátoru o kapacitě C a rezistoru

1 5 Elektrické kmity 51 Oscilační obvod Oscilacemi se ve fyzice nazývají nejen periodické pohyby těles, ale také jakýkoli periodický nebo téměř periodický proces, ve kterém jsou hodnoty jedné resp.

Pasivní obvody Úvod Problémy se týkají výpočtu amplitudově-frekvenčních, fázově-frekvenčních a přechodových charakteristik v pasivních obvodech. Chcete-li vypočítat pojmenované charakteristiky, musíte vědět

STUDIE VOLNÝCH A VYNUCENÝCH VIBRACÍ V OSCILAČNÍM OBVODU Volné elektrické vibrace v oscilačním obvodu Uvažujme oscilační obvod sestávající ze sériově zapojených kondenzátorů

Přednáška 3 Téma Oscilační soustavy Sekvenční oscilační obvod. Rezonance napětí Sériový oscilační obvod je obvod, ve kterém jsou cívka a kondenzátor zapojeny do série

Moskevská státní univerzita Fyzikální fakulta MV Lomonosova Katedra obecné fyziky

Materiály pro samostudium v ​​oboru "Teorie elektrických obvodů" pro studenty oborů: -6 4 s "Průmyslová elektronika" (část), -9 s "Modelování a počítačový design

Komplexní amplitudová metoda Harmonické kolísání napětí na svorkách prvků R nebo způsobuje tok harmonického proudu stejné frekvence. Diferenciace, integrace a sčítání funkcí

Příloha 4 Vynucené elektrické oscilace Střídavý proud Následující teoretické informace mohou být užitečné při přípravě na laboratorní práci 6, 7, 8 v laboratoři "Elektřina a magnetismus"

54 Přednáška 5 Fourierova transformace a spektrální metoda pro analýzu elektrických obvodů Plán Spektra aperiodických funkcí a Fourierova transformace Některé vlastnosti Fourierovy transformace 3 Spektrální metoda

Zkouška Rezonance napětí (pokračování) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Jmenovatel je minimální při frekvenci ω 0, takže ω0 = 0 => ω0 ω 0 = tato frekvence se nazývá rezonanční

Kapitola 2. Metody výpočtu přechodných procesů. 2.1. Klasická metoda výpočtu. Teoretické informace. V první kapitole byly zvažovány metody pro výpočet obvodu v ustáleném stavu, tzn

Yastrebov NI KPI RTF oddělení TOP wwwystrevkievu Funkce okruhu

4.9. Přechodová odezva obvodu, její vztah k impulsní odezvě. Uvažujme funkci K j K j j> S j j K j S 2 Předpokládejme, že K jω má Fourierovu transformaci h K j Pokud existuje IH k K j, pak

Přednáška 9 Linearizace diferenciálních rovnic Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů Homogenní rovnice vlastnosti jejich řešení Vlastnosti řešení nehomogenních rovnic Definice 9 Lineární

Metodický rozvoj Řešení problémů pomocí TFKP Komplexní čísla Operace s komplexními čísly Komplexní rovina Komplexní číslo lze znázornit v algebraické a trigonometrické exponenciály

Obsah ÚVOD Sekce KLASICKÁ METODA VÝPOČTU PŘECHODNÝCH JEDNOTEK Sekce VÝPOČET PŘECHODOVÝCH JEDNOTEK S NÁHODNÝMI VSTUPY POMOCÍ PŘEKRYTÍCH INTEGRÁLŮ 9 PROBLÉMY ŘÍZENÍ7

4 ELEKTROMAGNETICKÉ VIBRACE A VLNY Oscilační obvod je elektrický obvod složený z kondenzátorů a cívek, ve kterém je možný oscilační proces dobíjení kondenzátoru.

3.5. Složitý paralelní oscilační obvod I Obvod, ve kterém alespoň jedna paralelní větev obsahuje reaktivity obou znaků. I С С I I Mezi a není žádné magnetické spojení. Rezonanční stav

PŘEDNÁŠKA N38. Chování analytické funkce v nekonečnu. Speciální body. Zbytky funkce ... okolí nekonečně vzdáleného bodu ... Laurentova expanze v okolí nekonečně vzdáleného bodu .... 3. Chování

4 Přednáška 3 FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY ELEKTRICKÝCH OBVODŮ Komplexní přenosové funkce Logaritmické frekvenční charakteristiky 3 Závěr Komplexní přenosové funkce (komplexní frekvenční charakteristiky)

Výkyvy. Přednáška 3 Alternátor Abychom vysvětlili princip činnosti alternátoru, uvažujme nejprve, co se stane, když se plochý závit drátu otáčí v rovnoměrném magnetickém

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Obecné pojmy

Výpočet zdroje harmonických kmitů (GCI) Zajistěte počáteční obvod GCI vzhledem k primárnímu vinutí transformátoru ekvivalentním zdrojem napětí Určete jeho parametry (EMF a vnitřní

Práce 11 STUDIUM NUCENÝCH KMITU A JEVŮ REZONANCE V KMITACÍM OBVODU V obvodu obsahujícím induktor a kondenzátor může docházet k elektrickým oscilacím. Práce se studuje

Téma 4 .. Střídavé obvody Tématické otázky .. Střídavý obvod s indukčností .. Střídavý obvod s indukčností a činným odporem. 3. Střídavý obvod s kapacitou. 4. Řetězová proměnná

4 Přednáška ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ Plán Úkol analýzy elektrických obvodů Kirchhoffovy zákony Příklady analýzy odporových obvodů 3 Ekvivalentní transformace úseku obvodu 4 Závěry Úkol analýzy elektrických obvodů

Varianta 708 V elektrickém obvodu pracuje zdroj sinusového EMF e (ωt) sin (ωt ψ). Schéma zapojení na obr.. Efektivní hodnota zdroje EMF E, počáteční fáze a hodnota parametrů obvodu

Počáteční údaje R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Kirgoffovy zákony (konstantní napětí) 1. Hledání uzlů Uzel bod , ve kterém jsou zapojeny tři (nebo více) vodiče

PŘEDNÁŠKA Oscilace. Vynucené kmity Obr Zdroj kmitů M athcale napájí sériový oscilační obvod skládající se z odporu R, tlumivky L a kondenzátoru o kapacitě

Zkouška Rezonance napětí (pokračování) Předpokládejme, že napětí na jednom obvodu je napětí na celém oscilačním obvodu a napětí na výstupu obvodu je napětí na kondenzátoru Then Amplitude

Podzimní semestr akademického roku Téma 3 HARMONICKÁ ANALÝZA NEPERIODICKÝCH SIGNÁLŮ Přímé a inverzní Fourierovy transformace Spektrální charakteristika signálu Amplitudo-frekvenční a fázově-frekvenční spektra

Přednáška 6. Klasifikace klidových bodů lineární soustavy dvou rovnic s konstantními reálnými koeficienty. Uvažujme systém dvou lineárních diferenciálních rovnic s konstantou reál

54 Přednáška 5 Fourierova transformace a spektrální metoda pro analýzu elektrických obvodů Plán Spektra aperiodických funkcí a Fourierova transformace 2 Některé vlastnosti Fourierovy transformace 3 Spektrální metoda

Téma: Zákony střídavého proudu Elektrický proud je uspořádaný pohyb nabitých částic nebo makroskopických těles. Proměnná je proud, který v čase mění svou hodnotu

Impedance zkoušky Impedance Impedance nebo komplexní impedance je podle definice rovna poměru komplexního napětí ke komplexnímu proudu: Z ɶ Všimněte si, že impedance je také rovna poměru

Obsah Úvod. Základní pojmy .... 4 1. Integrální rovnice Volterry ... 5 Varianty domácího úkolu .... 8 2. Řešení integrální rovnice Volterry. 10 možností domácího úkolu ... 11

Kapitola II Integrály Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F () se nazývá primitivní funkce spojité funkce f () na intervalu a b, jestliže F () f (), a; b (;) Například pro funkci f () primitivní funkce

Klasická metoda. 1- počáteční schéma elektrického obvodu Parametry obvodu: E = 129 (V) w = 10000 (rad/s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Reaktance indukčnosti:

Metody výpočtu složitých lineárních elektrických obvodů Základ: schopnost skládat a řešit soustavy lineárních algebraických rovnic - sestavené buď pro stejnosměrný obvod, nebo po symbolizaci

KONKRÉTNÍ INTEGRÁL. Integrální součty a definovaný integrál Nechť je dána funkce y = f () definovaná na intervalu [, b], kde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Přednáška 7 OPERÁTORSKÉ FUNKCE OBVODŮ Operátorské vstupní a přenosové funkce Póly a nuly obvodových funkcí 3 Závěry Operátorské vstupní a přenosové funkce Operátorská funkce řetězce je vztah

68 Přednáška 7 PŘECHODOVÉ PROCESY V OBVODech PRVNÍHO ŘÁDU Plán 1 Přechodové děje v RC-obvodech 1. řádu 2 Přechodové děje v R-obvodech 1. řádu 3 Příklady výpočtu přechodových dějů v okruzích

4 LINEÁRNÍ ELEKTRICKÉ OBVODY AC SINUSOIDNÍHO PROUDU A ZPŮSOBY JEJICH VÝPOČTU 4.1 ELEKTRICKÉ STROJE. PRINCIP SINUSOIDNÍHO GENEROVÁNÍ PROUDU 4.1.012. Sinusový proud se nazývá okamžitý

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání "KUBÁNSKÁ STÁTNÍ UNIVERZITA" Fyzikálně-technologická fakulta Katedra optoelektroniky

~ ~ FKP Derivace funkce komplexní proměnné FKP Cauchy - Riemannova podmínka pojem pravidelnosti FKP Obraz a tvar komplexního čísla Forma FKP: kde reálná funkce dvou proměnných je reálná

Toto je název dalšího typu integrálních transformací, které jsou spolu s Fourierovou transformací široce používány v radiotechnice k řešení celé řady problémů souvisejících se studiem signálů.

Komplexní koncepce frekvence.

Spektrální metody, jak je již známo, jsou založeny na tom, že zkoumaný signál je reprezentován jako součet nekonečně velkého počtu elementárních členů, z nichž každý se periodicky mění v čase podle zákona.

Přirozené zobecnění tohoto principu spočívá v tom, že místo komplexních exponenciálních signálů s čistě imaginárními ukazateli se uvažují exponenciální signály tvaru, kde je komplexní číslo: nazývané komplexní frekvence.

Dva takové komplexní signály lze použít ke složení skutečného signálu, například podle následujícího pravidla:

kde je komplexně konjugovaná hodnota.

Opravdu, v tomto případě

V závislosti na volbě skutečné a imaginární části komplexní frekvence lze získat různé reálné signály. Takže, jestliže, ale dostanete obvyklé harmonické kmity tvaru If, pak v závislosti na znaménku získáte buď rostoucí nebo klesající exponenciální kmity v čase. Takové signály získávají složitější podobu, když. Zde multiplikátor popisuje obálku, která se v čase exponenciálně mění. Některé typické signály jsou znázorněny na Obr. 2.10.

Koncept komplexní frekvence se ukazuje jako velmi užitečný především proto, že umožňuje bez použití zobecněných funkcí získat spektrální reprezentace signálů, jejichž matematické modely nejsou integrovatelné.

Rýže. 2.10. Reálné signály odpovídající různým hodnotám komplexní frekvence

Podstatná je také další úvaha: exponenciální signály tvaru (2.53) slouží jako "přirozený" prostředek pro studium oscilací v různých lineárních systémech. Tyto otázky budou prozkoumány v Ch. osm.

Je třeba poznamenat, že skutečná fyzická frekvence je imaginární částí komplexní frekvence. Pro skutečnou část komplexní frekvence neexistuje žádný speciální termín.

Základní vztahy.

Nechť je nějaký signál, skutečný nebo komplexní, definovaný v t> 0 a rovný nule při záporných hodnotách času. Laplaceova transformace tohoto signálu je funkcí komplexní proměnné dané integrálem:

Signál se nazývá originál a funkce se nazývá jeho Laplaceův obrázek (zkráceně jen obrázek).

Podmínka, která zajišťuje existenci integrálu (2.54) je následující: signál nesmí mít více než exponenciální rychlost růstu, tj. musí splňovat nerovnost, kde jsou kladná čísla.

Když je tato nerovnost splněna, funkce existuje v tom smyslu, že integrál (2.54) konverguje absolutně pro všechna komplexní čísla, pro která se Číslo a nazývá úsečka absolutní konvergence.

Proměnnou v hlavním vzorci (2.54) lze ztotožnit s komplexní frekvencí Ve skutečnosti na čistě imaginární komplexní frekvenci, když se vzorec (2.54) změní ve vzorec (2.16), který určuje Fourierovu transformaci signálu, která je nulová Lze tedy uvažovat o Laplaceově transformaci

Stejně jako se to dělá v teorii Fourierovy transformace, je možné se znalostí obrazu obnovit originál. K tomu ve vzorci inverzní Fourierovy transformace

mělo by být provedeno analytické pokračování přechodem od imaginární proměnné ke komplexnímu argumentu a. V rovině komplexní frekvence se integrace provádí podél nekonečně dlouhé vertikální osy umístěné vpravo od úsečky absolutní konvergence. Protože at je diferenciál, vzorec pro inverzní Laplaceovu transformaci má tvar

V teorii funkcí komplexní proměnné je dokázáno, že Laplaceovy obrazy mají z hlediska hladkosti „dobré“ vlastnosti: takové obrazy ve všech bodech komplexní roviny, s výjimkou spočetné množiny tzv. singulární body, jsou analytické funkce. Singulární body jsou zpravidla póly, jednoduché nebo vícenásobné. Pro výpočet integrálů tvaru (2.55) lze tedy použít flexibilní metody teorie reziduí.

V praxi se hojně používají Laplaceovy transformační tabulky, které shromažďují informace o shodě mezi originály. a obrázky. Přítomnost tabulek učinila metodu Laplaceovy transformace oblíbenou jak v teoretických studiích, tak v technických výpočtech radiotechnických zařízení a systémů. V Dodatcích k je taková tabulka, která umožňuje řešit poměrně širokou škálu problémů.

Příklady výpočtu Laplaceovy transformace.

Metody výpočtu obrazu mají mnoho společného s tím, co již bylo studováno ve vztahu k Fourierově transformaci. Podívejme se na nejtypičtější případy.

Příklad 2.4, Obrázek zobecněné exponenciální hybnosti.

Nechť, kde je pevné komplexní číslo. Přítomnost -funkce určuje rovnost na Pomocí vzorce (2.54) máme

Pokud pak čitatel zmizí, když je horní limit nahrazen. V důsledku toho získáme korespondenci

Jako speciální případ vzorce (2.56) můžete najít obrázek skutečného exponenciálního video pulsu:

a komplexní exponenciální signál:

Nakonec po vložení (2.57) najdeme obrázek funkce Heaviside:

Příklad 2.5. Obrázek funkce delta.

Dříve jsme uvažovali o integrální Fourierově transformaci s jádrem K (t, О = е Fourierova transformace je nepohodlná v tom, že musí být splněna podmínka absolutní integrability funkce f (t) na celé ose t. Laplaceova transformace nám umožňuje abychom se zbavili tohoto omezení. Definice 1. Funkce originál bude znamenat jakoukoli komplexní funkci f (t) reálného argumentu t, která splňuje následující podmínky: takových bodů může být pouze konečný počet v konečném intervalu osy *; 2. funkce f (t) je rovna nule pro záporné hodnoty t, f (t) = 0 pro 3. s rostoucím t se modul f (t) nezvyšuje rychleji než exponenciální funkce, tj. existují čísla M> 0 a s taková, že pro všechna t Je jasné, že platí-li nerovnost (1) pro nějaké s = aj, pak bude platit i pro LIBOVOLNÉ 82> 8]. = infs pro kterou nerovnost (1) ) , se nazývá rychlost růstu funkce f (t). Komentář. V obecném případě nerovnost neplatí, ale odhad platí tam, kde e> 0 je libovolné. Funkce má tedy exponent růstu в0 = Pro ni neplatí nerovnost \ t \ ^ M V * ^ 0, ale nerovnost | f | ^ Mei. Podmínka (1) je mnohem méně omezující než podmínka (*). Příklad 1. funkce nesplňuje podmínku ("), ale podmínka (1) je splněna pro libovolné s> I a A /> I; rychlost růstu 5o = Toto je tedy původní funkce. Na druhou stranu funkce není původní funkcí: má nekonečný řád růstu, „o = + oo. Nejjednodušší původní funkcí je tzv. jednotková funkce Pokud některá funkce splňuje podmínky 1 a 3 z definice 1, ale nesplňuje podmínku 2, pak je součin již původní funkcí. Pro jednoduchost zápisu zpravidla vynecháme faktor rj (t), když se dohodneme, že všechny funkce, které budeme uvažovat, se rovnají nule pro záporné t, takže pokud mluvíme o nějaké funkci f (t), například o sin ty cos t, el atd., pak jsou vždy implikovány následující funkce (obr. 2): n = n (0 obr. 1 Definice 2. Nechť f (t) je původní funkce. Obrázek funkce f (t ) podle Laplacea je funkce F (p) komplexní proměnné definovaná vzorcem LAPLACE TRANSFORM Základní definice Vlastnosti Konvoluce funkcí Věta o násobení Nalezení originálu z obrázku Použití inverzní věty pro operační počet Duhamelův vzorec Integrace soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty Řešení integrálních rovnic, kde integrál přebírá kladnou poloosu t. Funkce F (p) se také nazývá Laplaceova transformace funkce / (/); jádro transformace K (t) p) = e ~ pt. To, že funkce má svůj obraz F (p), napíšeme Příklad 2. Najděte obraz jednotkové funkce r) (t). Funkce je původní funkcí s rychlostí růstu 0 - 0. Podle vzorce (2) bude obrazem funkce rj (t) funkce If then for, integrál na pravé straně poslední rovnost bude konvergovat a dostaneme tak, že obrazem funkce rj (t) bude funkce £. Jak jsme se dohodli, napíšeme, že rj (t) = 1, a získaný výsledek pak zapíšeme následovně: Věta 1. Pro libovolnou původní funkci f (t) s růstovým exponentem z0 je definován obraz F (p). v polorovině R ep = s > s0 a je analytickou funkcí v této polorovině (obr. 3). Nechť K prokázání existence obrazu F (p) v naznačené polorovině stačí stanovit, že nevlastní integrál (2) konverguje absolutně pro a> Pomocí (3) dostaneme, které dokazuje absolutní konvergenci integrálu (2). Zároveň jsme získali odhad pro Laplaceovu transformaci F (p) v polorovině konvergence Diferencováním výrazu (2) formálně pod znaménkem integrálu vzhledem k p zjistíme, že existence integrálu (5) je stanovena stejným způsobem, jako byla stanovena existence integrálu (2). Aplikací integrace po částech pro F "(p) získáme odhad, který implikuje absolutní konvergenci integrálu (5). (Neintegrální člen, 0., - má limitu rovnou nule pro t + oo). integrál (5) konverguje rovnoměrně vzhledem k p, protože je majorizován konvergentním integrálem nezávislým na p. V důsledku toho je derivace podle p legální a platí rovnost (5). Protože existuje derivace F "(p), Laplaceova transformace F (p) všude v polorovině Rep = 5> 5® je analytická funkce. Nerovnost (4) implikuje důsledek. Jestliže tenké p tíhne k nekonečnu tak, že Re p = s roste donekonečna, pak Příklad 3. Nalezněme také obraz funkce libovolného komplexního čísla. Exponent funkce / (() je roven a. > a, ale také ve všech bodech p, kromě bodu p = a, kde má tento obrázek jednoduchý pól. V budoucnu se budeme opakovaně setkávat s podobným situace, kdy je obraz F(p) analytickou funkcí v celé rovině komplexní proměnné p, pro vyloučení izolovaných singulárních bodů. S větou 1 není žádný rozpor. Ten pouze tvrdí, že v polorovině Rep> «o nemá funkce F (p) žádné singulární body: ukázalo se, že všechny leží buď nalevo od přímky Rep = so, nebo na této přímce samotné. Všimněte si, že ne. V operačním počtu se někdy používá Heavisideův obraz funkce f (f), který je definován rovností a liší se od Laplaceova obrazu faktorem p. §2. Vlastnosti Laplaceovy transformace V následujícím budeme označovat původní funkce a prostřednictvím - jejich obrazy podle Laplacea, Z definice obrazu vyplývá, že pokud Věta 2 (jednota * mosty) £ biw dee jsou spojité funkce) mají stejný obraz, pak jsou identicky stejné. Teopewa 3 (n "yeyiost * transformující Laplace). Jsou-li funkce původní, pak pro všechny komplexní konstanty vzduchu platnost tvrzení vyplývá z vlastnosti linearity integrálu, která určuje obraz:, jsou rychlosti růstu funkcí, v tomto pořadí). Na základě této vlastnosti získáme Podobně zjistíme, že a dále Věta 4 (podobnosti). Jestliže f (t) je původní funkce a F (p) je její Laplaceův obraz, pak pro libovolnou konstantu a> 0 Při = m máme Pomocí této věty ze vzorců (5) a (6) získáme větu 5 (o odlišení originálu). Nechť je původní funkce s obrázkem F (p) a nechť - jsou také původní funkce a kde je rychlost růstu funkce Potom a obecně Zde máme na mysli správnou mezní hodnotu Let. Najdeme obrázek Máme Integraci po částech, dostaneme Neceločlen na pravé straně (10) zaniká v k. Pro Rc p = s> h máme substituci t = Odet - / (0 ). Druhý člen vpravo v (10) je roven pF (p). Vztah (10) tedy nabývá tvaru a vzorec (8) je dokázán. Konkrétně, jestliže K nalezení obrazu f (n \ t) napíšeme odkud, integrováním n krát po částech dostaneme Příklad 4. Pomocí věty o derivaci originálu najděte obraz funkce f (t) = hřích2 t. Nechť Proto Věta 5 zakládá pozoruhodnou vlastnost Laplaceovy integrální transformace: převádí (stejně jako Fourierova transformace) operaci derivování na algebraickou operaci násobení pomocí p. Vzorec pro zařazení. Pokud se jedná o původní funkce, pak skutečně, na základě důsledků věty 1 má každý obrázek tendenci k nule jako. Odtud tedy plyne inkluzní vzorec (Věta 6 (o diferenciaci obrazu). Diferenciace obrazu je redukována na násobení originálem, Protože funkce F (p) v polorovině je analytická, může být diferencovaný vzhledem k p. Máme to druhé znamená, že Příklad 5. Pomocí Věty 6 najděte obraz funkce 4 Jak víte, Z toho důvodu (Opět použitím Věty 6 najdeme obecně Větu 7 (integrace originálu). Integrace originálu se redukuje na dělení obrazu tím, že pokud existuje původní funkce, pak to bude navíc funkce původní. Příklad 6. Najděte obraz funkce M V tomto případě tak, že Proto Věta 8 (integrace obrazu) Pokud integrál také konverguje, pak slouží jako obraz funkce ^: LAPLACE TRANSFORM Základní definice Vlastnosti Konvoluce funkcí Věta o násobení Nalezení originálu podle obrázku Použití věty o inverzi pro operační počet Duhamelův vzorec Integrace soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty Řešení integrálních rovnic Skutečně, za předpokladu, že cesta integra ležet na polorovině, takže můžeme změnit pořadí integrace Poslední rovnost znamená, že jde o obraz funkce Příklad 7. Najděte obraz funkce M Jak známo,. Proto, protože klademe, dostáváme £ = 0, for. Vztah (16) má tedy tvar Příklad. Najděte obraz funkce f (t), daný graficky (obr. 5). Zapišme výraz pro funkci f (t) takto: Tento výraz lze získat následovně. Zvažte funkci a odečtěte ji od ní. Rozdíl bude roven jedné pro. K výslednému rozdílu přičteme funkci a získáme tak funkci f (t) (obr. 6 c), takže pomocí věty o zpoždění najdeme větu 10 (posun). pak pro libovolné komplexní číslo p0 Věta skutečně umožňuje ze známých obrazů funkcí najít obrazy stejných funkcí vynásobené exponenciální funkcí, například 2,1. Konvoluce funkcí. Věta o násobení Nechť jsou funkce f (t) u definované a spojité pro všechna t. Konvoluce těchto funkcí je novou funkcí t definovanou rovností (pokud tento integrál existuje). U původních funkcí je operace vždy skládací a (17) 4 Součin původních funkcí jako funkce m je totiž konečná funkce, tzn. zmizí mimo nějaký konečný interval (v tomto případě mimo interval. Pro konečné spojité funkce je operace konvoluce splnitelná a získáme vzorec Snadno si ověříme, že operace konvoluce je komutativní, Věta 11 (násobení). Pokud tedy konvoluce t) má obraz Lze snadno ověřit, že konvoluce (z původních funkcí je původní funkce s růstovým exponentem "kde jsou růstové exponenty funkcí, resp. taková operace je legální) a uplatněním opožděné věty získáme Z (18) a (19) tedy zjistíme, že násobení obrázků odpovídá skládání originálů, Prter 9. Najděte obraz funkce A funkce V (0 je konvoluce Funkce Na základě věty o násobení Problém Nechť f (t) je periodická funkce s periodou T. Ukažte, že její Laplaceův obraz F (p) je dán vzorcem 3. Nalezení originálu z obrázku Problém je položen následovně : vzhledem k funkci F (p), musíme najít funkci / (<)>jehož obraz je F (p). Formulujme podmínky postačující k tomu, aby funkce F (p) komplexní proměnné p sloužila jako obraz. Věta 12. Jestliže funkce F (p) 1) analytická v polorovině tak inklinuje k nule pro v jakékoli polorovině R s0 rovnoměrně vzhledem k arg p; 2) integrál konverguje absolutně, pak F (p) je obrazem nějaké původní funkce Úloha. Může funkce F (p) = sloužit jako obraz nějaké původní funkce? Zde je několik způsobů, jak najít originál z obrázku. 3.1. Nalezení originálu pomocí obrazových tabulek Nejprve se vyplatí funkci F (p) převést do jednodušší, „tabulkové“ podoby. Například v případě, kdy F (p) je zlomková racionální funkce argumentu p, rozloží se na elementární zlomky a použijí se příslušné vlastnosti Laplaceovy transformace. Příklad 1. Najděte originál pro Zapišme funkci F (p) ve tvaru Pomocí věty o posunutí a vlastnosti linearity Laplaceovy transformace získáme Příklad 2. Najděte originál pro funkci 4 Napište F (p ) jako tedy 3.2. Využití inverzní věty a její důsledky Věta 13 (inverze). Je-li funkce fit) původní funkcí s růstovým exponentem s0 a F (p) je jejím obrazem, pak v libovolném bodě spojitosti funkce f (t) platí vztah, kde je integrál vzat podél libovolné přímky a je chápán ve smyslu hlavní hodnoty, tj. jako vzorec (1) se nazývá inverzní vzorec Laplaceovy transformace, neboli Mellinův vzorec. Předpokládejme například, že f (t) je po částech hladký na každém konečném segmentu (\ displaystyle F (s) = \ varphi), tak φ (z 1, z 2,…, z n) (\ styl zobrazení \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analyticky o každém z k (\ styl zobrazení z_ (k)) a rovná se nule pro z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ styl zobrazení z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), a F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ styl zobrazení F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ dvojtečka k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), pak existuje inverzní transformace a odpovídající dopředná transformace má úsečku absolutní konvergence.

Poznámka: to jsou dostatečné podmínky pro existenci.

• Konvoluční teorém

Hlavní článek: Konvoluční teorém

• Odlišení a integrace originálu

Laplaceův obraz první derivace originálu vzhledem k argumentu je součinem obrazu argumentem druhého mínus originál na nule vpravo:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Věty o počáteční a konečné hodnotě (limitní věty):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ styl zobrazení f (\ infty) = \ lim _ (s \ až 0) sF (s)) pokud všechny póly funkce s F (s) (\ styl zobrazení sF (s)) jsou v levé polorovině.

Věta o konečné hodnotě je velmi užitečná, protože popisuje chování originálu v nekonečnu pomocí jednoduchého vztahu. To se například používá k analýze stability trajektorie dynamického systému.

• Další vlastnosti

Linearita:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ styl zobrazení (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Násobení číslem:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ styl zobrazení (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ vlevo ((\ frac (s) (a)) \ vpravo).)

Přímá a inverzní Laplaceova transformace některých funkcí

Níže je tabulka Laplaceovy transformace pro některé funkce.

№	Funkce	Časová doména x (t) = L - 1 (X (s)) (\ styl zobrazení x (t) = (\ mathcal (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Frekvenční doména X (s) = L (x (t)) (\ styl zobrazení X (s) = (\ matematické (L)) \ (x (t) \))	Konvergenční region pro kauzální systémy
1	dokonalé zpoždění	δ (t - τ) (\ styl zobrazení \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ styl zobrazení e ^ (- \ tau s) \)
1a	jediný impuls	δ (t) (\ styl zobrazení \ delta (t) \)	1 (\ styl zobrazení 1 \)	∀ s (\ styl zobrazení \ pro všechny s \)
2	zpoždění n (\ styl zobrazení n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ styl zobrazení (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ styl zobrazení (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
2a	usedlý n (\ styl zobrazení n)-tý řád	t n n! ⋅ H (t) (\ styl zobrazení (\ frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ styl zobrazení (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
2a.1	usedlý q (\ styl zobrazení q)-tý řád	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení (\ frac (t ^ (q)) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ styl zobrazení (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
2a.2	funkce jednotky	H (t) (\ styl zobrazení H (t) \)	1 s (\ styl zobrazení (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
2b	funkce lag jednotky	H (t - τ) (\ styl zobrazení H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ styl zobrazení (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
2c	Rychlostní krok	t ⋅ H (t) (\ styl zobrazení t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ styl zobrazení (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
2d	n (\ styl zobrazení n)-tý řád s frekvenčním posunem	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ styl zobrazení (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ styl zobrazení (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ styl zobrazení s> - \ alpha)
2d.1	exponenciální rozpad	e - α t ⋅ H (t) (\ styl zobrazení e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ styl zobrazení (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ styl zobrazení s> - \ alpha \)
3	exponenciální aproximace	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ styl zobrazení (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0 \)
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ styl zobrazení (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0 \)
5	kosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ styl zobrazení (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0 \)
6	hyperbolický sinus	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ styl zobrazení (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
7	hyperbolický kosinus	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ styl zobrazení (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
8	exponenciálně chátrá sinus	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ styl zobrazení (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ styl zobrazení s> - \ alpha \)
9	exponenciálně chátrá kosinus	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení e ^ (- \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ styl zobrazení (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ styl zobrazení s> - \ alpha \)
10	vykořenit n (\ styl zobrazení n)-tý řád	t n ⋅ H (t) (\ styl zobrazení (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ styl zobrazení s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ vlevo (1 + (\ frac (1) (n) ) \ že jo))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
11	přirozený logaritmus	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení \ ln \ vlevo ((\ frac (t) (t_ (0))) \ vpravo) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ styl zobrazení - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gama])	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
12	Besselova funkce první druh objednat n (\ styl zobrazení n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ styl zobrazení (\ frac (\ omega ^ (n) \ vlevo (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2) ) )) \ vpravo) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0 \) (n> - 1) (\ styl zobrazení (n> -1) \)
13	první druh objednat n (\ styl zobrazení n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ styl zobrazení (\ frac (\ omega ^ (n) \ vlevo (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2) ) )) \ vpravo) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Besselova funkce druhý druh nulový řád	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha) ^ (2))))))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0 \)
15	upravená Besselova funkce druhý druh, nulový řád	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ styl zobrazení K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	chybová funkce	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ styl zobrazení (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ styl zobrazení s> 0)
Poznámky k tabulce: H (t) (\ styl zobrazení H (t) \); α (\ styl zobrazení \ alfa \), β (\ styl zobrazení \ beta \), τ (\ styl zobrazení \ tau \) a ω (\ styl zobrazení \ omega \) - Vztah k jiným transformacím Základní souvislosti Mellinova transformace Mellinova transformace a inverzní Mellinova transformace souvisí s oboustrannou Laplaceovou transformací jednoduchou změnou proměnných. Pokud v Mellinově transformaci G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ styl zobrazení G (s) = (\ mathcal (M)) \ vlevo \ (g (\ theta) \ vpravo \) = \ int \ limity _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) dát θ = e - x (\ styl zobrazení \ theta = e ^ (- x)), pak dostaneme oboustrannou Laplaceovu transformaci. Z-transformace Z (\ styl zobrazení Z)-transform je Laplaceova transformace mřížkové funkce, vytvořená změnou proměnných: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) Borel transformace Integrální forma Borelovy transformace je shodná s Laplaceovou transformací, existuje i zobecněná Borelova transformace, s jejíž pomocí se použití Laplaceovy transformace rozšiřuje na širší třídu funkcí. Bibliografie Van der Pol B., Bremer H. Operační počet založený na oboustranné Laplaceově transformaci. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1952. - 507 s. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integrální transformace a operační počet. - M.: Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury nakladatelství "Nauka", 1974. - 544 s. Ditkin V.A., Kuzněcov P.I. Příručka pro operační počet: Základy teorie a tabulky vzorců. - M.: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1951. - 256 s. Carslow H., Jaeger D. Operační metody v aplikované matematice. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1948. - 294 s. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourierovy řady a integrály. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplace transformuje. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 s. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Operační počet. Stabilita pohybu. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 s. Mikušinský Y. Operátorský kalkul. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1956. - 367 s. Romanovský P.I. Fourierova řada. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplace transformuje. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 s.