Peterburi Riiklik Polütehniline Ülikool

Tehnilise küberneetika teaduskond

Automatiseerimise ja arvutitehnika osakond

ARUANNE

laboritööle nr 3

Korduvate digitaalsete filtreerimisalgoritmide uurimine

signaale keskmistamise meetodil.

Lõpetanud üliõpilane gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Kontrollis: V.D. Yarmiychuk

Peterburi

1. Töö eesmärgid

Töö eesmärk on tutvuda erinevate algoritmidega signaalide digitaalseks filtreerimiseks keskmistamismeetodil ja uurida nende töö efektiivsust tingimustes, mil kasulikule signaalile on peale pandud nulli matemaatilise ootusega "valge müra" tüüpi müra. ja

kontrollitud dispersioon.

2. Uurimistöö metoodika

Uuritakse järgmistel algoritmidel põhinevaid filtreid:

üks). Korduv keskmistamisalgoritm lõpmatu mäluga.

Filtri eesmärk on isoleerida kasuliku signaali konstantne komponent häirete taustal.

Selle väljend korduval kujul:

Kui ta annab .

2). Korduv keskmistamisalgoritm konstantse parandusteguriga.

Filtri eesmärk on isoleerida sisend kasuliku signaali madalsageduslikud komponendid müra taustal.

Kui nõustute, saate selle võrrandi kirjutada järgmisel kujul:

Kust pidevale ajale üleminekul saame filtri ülekandefunktsiooni:

See tähendab, et selle algoritmi järgi konstrueeritud filter on väikeste väärtuste puhul samaväärne

esimese järgu analoog madalpääsfilter.

3). Korduv piiratud mälu keskmistamisalgoritm.

Filtri eesmärk on esile tuua sisendsignaali madalsageduslikud komponendid

kasutades vaid piiratud arvu viimaste mõõtmiste keskmistamist.

Digitaalse filtreerimise efektiivsust, st filtri väljundi mürataseme vähendamise mõõdet võrreldes sisendi müratasemega, hinnatakse järgmiselt:

Kus: - mürasignaal filtri sisendis

Kasulik signaal filtri sisendis

Filtri väljundsignaal

Kasulik signaal filtri väljundis

3. Katse skeem (vt 1. lisa)

4. Katse tulemused

4.1. Korduv keskmistamisalgoritm lõpmatu mäluga

Uuringud viidi läbi konstantse proovivõtuperioodiga, mis võrdub 100 ms.

Mõelge, kuidas muutub filtri efektiivsus konstantse sisendsignaali (X) suurusest.

Algoritmid analüütiliseks gradatsiooniks, digitaalseks filtreerimiseks eksponentsiaalse silumise ja liikuva keskmise meetodil. Tugevad kõrgpääs-, ribapääs- ja sälkfiltrid. Mõõdetud väärtuste diskreetne diferentseerimine, integreerimine ja keskmistamine.

Filter on süsteem või võrk, mis muudab valikuliselt signaali kuju (amplituud-sagedus või faasisagedusreaktsioon). Filtreerimise põhieesmärgid on signaali kvaliteedi parandamine (näiteks häirete kõrvaldamine või vähendamine), signaalidest informatsiooni eraldamine või mitme varem kombineeritud signaali eraldamine, näiteks olemasoleva sidekanali efektiivseks kasutamiseks.

Digitaalne filter – mis tahes filter, mis töötleb digitaalset signaali, et isoleerida ja/või summutada selle signaali teatud sagedusi.

Erinevalt digitaalfiltrist tegeleb analoogfilter analoogsignaaliga, selle omadused on mittediskreetsed (pidevad), vastavalt edastusfunktsioon sõltub selle koostiselementide sisemistest omadustest.

Analoogsisendi ja -väljundiga reaalajas digitaalfiltri lihtsustatud plokkskeem on näidatud joonisel fig. 8a. Kitsasriba analoogsignaali diskreeditakse perioodiliselt ja teisendatakse digitaalnäidiste komplektiks, x (n), n = 0,1. Digitaalne protsessor filtreerib, vastendades sisendjada x (n) väljundiga y (n) vastavalt arvutusfiltrile. algoritm. DAC teisendab digitaalselt filtreeritud väljundi analoogväärtusteks, mis seejärel analoogfiltritakse, et siluda ja eemaldada soovimatud kõrgsageduslikud komponendid.

Riis. 8a. Digitaalse filtri lihtsustatud plokkskeem

Digitaalsete filtrite töö tagatakse peamiselt tarkvaraliste vahenditega, mistõttu osutuvad need analoogfiltriga võrreldes rakenduslikult palju paindlikumaks. Digitaalsete filtrite abil on võimalik realiseerida selliseid edastusfunktsioone, mida tavapäraste meetoditega on väga raske saada. Digitaalsed filtrid ei saa aga veel kõigis olukordades analoogfiltreid asendada, seega jääb vajadus kõige populaarsemate analoogfiltrite järele.

Digitaalse filtreerimise olemuse mõistmiseks on kõigepealt vaja kindlaks määrata matemaatilised toimingud, mida digitaalse filtreerimise (DF) signaalidega tehakse. Selleks on kasulik meeles pidada analoogfiltri määratlust.

Lineaarne analoogfilter on nelja pordiga võrk, milles realiseeritakse sisendsignaali lineaarne teisendamine väljundsignaaliks. Matemaatiliselt kirjeldab seda teisendust tavaline lineaar diferentsiaalvõrrand N- järjekorras

kus ja on koefitsiendid, mis on kas aja konstandid või funktsioonid t; - filtri järjekord.

Lineaarne diskreetfilter on analoogse lineaarfiltri diskreetne versioon, milles kvantifitseeritud (sampled) on sõltumatu muutuja - aeg (on diskreetsamm). Sel juhul võib täisarvulist muutujat pidada "diskreetseks ajaks" ja signaale "diskreetse aja" funktsioonideks (nn võrefunktsioonid).

Matemaatiliselt kirjeldatakse lineaarse diskreetfiltri funktsiooni lineaarsega erinevuse võrrand omalaadne

kus ja on vastavalt sisend- ja väljundsignaalide näidud; ja - filtreerimisalgoritmi koefitsiendid, mis on kas "diskreetse aja" konstandid või funktsioonid n.

Filtreerimisalgoritmi (2.2) saab realiseerida analoog- või digitaaltehnoloogia abil. Esimesel juhul ei kvantitata sisend- ja väljundsignaalide näitu taseme järgi ja need võivad võtta mis tahes väärtusi nende varieerumise vahemikus (st neil on kontiinumi võimsus). Teisel juhul kvantifitseeritakse signaalide valimid taseme järgi ja seetõttu saavad nad võtta ainult "lubatud" väärtusi, mis on määratud digitaalseadmete bitisügavusega. Lisaks on kvantiseeritud signaali näidised kodeeritud, mistõttu avaldises (2.2) sooritatavad aritmeetilised toimingud sooritatakse mitte signaalide endi, vaid nende kahendkoodidega. Kvantimise tõttu signaali taseme ja, aga ka koefitsientide ja võrdsuse tõttu algoritmis (2.2) ei saa olla täpne ja see on täidetud vaid ligikaudselt.

Seega on lineaarne digitaalfilter digitaalseade, mis rakendab ligikaudu filtreerimisalgoritmi (2.2).

Analoog- ja diskreetfiltrite peamine puudus on see, et töötingimuste muutumisel (temperatuur, rõhk, niiskus, toitepinged, elementide vananemine jne) muutuvad nende parameetrid. See viib kontrollimatu väljundsignaali vead, st. madala töötlemise täpsusega.

Väljundsignaali viga digitaalses filtris ei sõltu töötingimustest (temperatuur, rõhk, niiskus, toitepinged jne), vaid selle määrab ainult signaali kvantimise samm ja filtri enda algoritm, s.t. sisemised põhjused. See viga on kontrollitud, saab seda vähendada, suurendades digitaalsete signaalide näidisteks olevate bittide arvu. Just see asjaolu määrab digitaalsete filtrite peamised eelised analoog- ja diskreetsete filtrite ees (signaali töötlemise kõrge täpsus ja DF-i omaduste stabiilsus).

DF-id signaalitöötlusalgoritmi tüübi järgi jagunevad järgmisteks osadeks statsionaarne ja mittestatsionaarne, korduv ja mitterekursiivne, lineaarne ja mittelineaarne.

CF-i peamine omadus on filtreerimisalgoritm, mille kohaselt toimub ÜF rakendamine. Filtreerimisalgoritm kirjeldab mis tahes klassi CF-de tööd piiranguteta, samas kui teistel karakteristikutel on CF-de klassile piirangud, näiteks mõned neist sobivad ainult statsionaarsete lineaarsete CF-de kirjeldamiseks.

Riis. 11. CF klassifikatsioon

Joonisel fig. 11 näitab digitaalfiltrite klassifikatsiooni (DF). Klassifikatsiooni aluseks on funktsionaalne põhimõte, s.o. Digitaalsed filtrid jagatakse alajaotisteks nende rakendatud algoritmide alusel, võtmata arvesse vooluahela funktsioone.

Sageduse valiku DF. See on kõige tuntum, paremini uuritud ja praktikas testitud CF tüüp. Algoritmilisest vaatenurgast lahendavad sageduse valiku DF-d järgmised probleemid:

· Ühe a priori kindlaksmääratud sagedusala eraldamine (supressioon); olenevalt sellest, millised sagedused on summutatud ja millised mitte, eristatakse madalpääsfiltrit (LPF), kõrgpääsfiltrit (HPF), ribapääsfiltrit (PF) ja sälkufiltrit (RF);

· Signaali spektraalkomponentide eraldamine joonspektriga eraldi sageduskanalitel, võrdselt ja ühtlaselt kogu sagedusvahemikus; eristada CF-sid ajaliselt ja sageduselt kümnendiga; ja kuna riistvarakulude vähendamise peamiseks meetodiks on algsetest PF-ide komplektidest madalama selektiivsusega kaskaad, nimetati selle tulemusel saadud mitmeastmelist püramiidstruktuuri "eelvalija-valija" DF-ks;

· Signaali spektraalkomponentide eraldamine eraldi sageduskanaliteks, mille spekter koosneb erineva laiusega alamribadest, mis on filtri tööpiirkonnas ebaühtlaselt jaotunud.

Eristatakse lõpliku impulssreaktsiooni filtrit (FIR filter) või lõpmatu impulssreaktsiooni filtrit (IIR filter).

Optimaalsed (kvaasioptimaalsed) CF-d. Seda tüüpi filtreid kasutatakse siis, kui on vaja hinnata teatud füüsikalisi suurusi, mis iseloomustavad juhuslike häirete all oleva süsteemi olekut. Praegune trend on optimaalse filtreerimise teooria saavutuste kasutamine ja hinnanguvea keskmist ruutu minimeerivate seadmete rakendamine. Need jagunevad lineaarseteks ja mittelineaarseteks, olenevalt sellest, millised võrrandid kirjeldavad süsteemi olekut.

Kui olekuvõrrandid on lineaarsed, siis rakendatakse optimaalset Kalmani CF-d, kui süsteemi olekuvõrrandid on mittelineaarsed, siis kasutatakse erinevaid mitmekanalilisi CF-e, mille kvaliteet paraneb kanalite arvu suurenedes.

On erinevaid erijuhtumeid, mil optimaalsete (kvaasioptimaalsete) CF-de abil realiseeritud algoritme saab lihtsustada ilma olulise täpsuse kadumiseta: see on esiteks lineaarse statsionaarse süsteemi puhul, mis viib tuntud Wieneri CF-ni; teiseks, vaatlused ainult ühel kindlal ajahetkel, mille tulemuseks on DF, mis on optimaalne maksimaalse signaali-müra suhte (SNR) kriteeriumi järgi; kolmandaks lineaarsele lähedaste süsteemi olekuvõrrandite juhtum, mis viib esimest ja teist järku mittelineaarsete filtriteni jne.

Oluliseks probleemiks on ka kõigi ülaltoodud algoritmide tundlikkuse tagamine süsteemi statistiliste karakteristikute kõrvalekallete suhtes etteantud omadustest; selliste DF-ide süntees, mida nimetatakse robustseks.

Adaptiivsed CF-d. Adaptiivse digitaalse filtreerimise olemus on järgmine: sisendsignaali töötlemiseks (tavaliselt on adaptiivsed DF-id ehitatud ühe kanaliga) kasutatakse tavalist FIR-filtrit; aga selle filtri IR ei jää lõplikult seadistatuks, nagu see oli sageduse valiku DF kaalumisel; see ei muutu ka vastavalt a priori antud seadusele, nagu see oli Kalmani CF-i käsitlemisel; Neid korrigeeritakse iga uue proovi saabumisel selliselt, et minimeerida filtreerimise ruutkeskmine viga antud etapis. Adaptiivset algoritmi mõistetakse korduva protseduurina IH-proovide vektori ümberarvutamiseks eelmises etapis järgmise etapi jaoks "uute" IH-proovide vektoriks.

Heuristilised CF-d. Võimalikud on olukorrad, kus matemaatiliselt õigete töötlemisprotseduuride kasutamine ei ole otstarbekas, kuna see toob kaasa põhjendamatult suuri riistvarakulusid. Heuristiline lähenemine on (kreeka ja lat. Evrica- "otsides", "avastades") teadmiste kasutamisel, inimese loomingulise, alateadliku mõtlemise uurimisel. Heuristikat seostatakse psühholoogia, kõrgema närvitegevuse füsioloogia, küberneetika ja teiste teadustega. Heuristiline lähenemine on "genereeritud" arendajate soovist vähendada riistvarakulusid ja on muutunud laialt levinud hoolimata range matemaatilise põhjenduse puudumisest. Tegemist on autori skeemilahendustega nn CF-dega, üks kuulsamaid näiteid on nn. mediaanfilter.

Füüsiliselt teostatavad reaalajas töötavad digitaalfiltrid võivad kasutada väljundsignaali genereerimiseks diskreetsel ajahetkel järgmisi andmeid: a) sisendsignaali väärtus diskreetse võtmise hetkel, samuti teatud arv "minevikku" sisend sämplib teatud arv eelmisi näidiseid väljundsignaalist Täisarvud, mille tüüp määrab CF järjekorra. CF-de klassifitseerimine toimub erineval viisil, sõltuvalt sellest, kuidas kasutatakse teavet süsteemi varasemate olekute kohta.

Transversaalsed CF-d.

Nii nimetatakse filtreid, mis töötavad vastavalt algoritmile.

kus on koefitsientide jada.

Arv on transversaalse digitaalfiltri järjekord. Nagu valemist (15.58) näha, teostab põikfilter sisendsignaali eelmiste valimite kaalutud liitmise ja ei kasuta väljundsignaali varasemaid valimeid. Rakendades z-teisendust avaldise (15.58) mõlemale poolele, veendume selles

Sellest järeldub, et süsteem toimib

on murdosaline ratsionaalfunktsioon z, millel on mitu poolust punktis ja nullides, mille koordinaadid on määratud filtri koefitsientidega.

Ristsuunalise DF-i toimimise algoritmi illustreerib joonisel fig. 15.7.

Riis. 15.7. Transversaalse digitaalfiltri konstrueerimise skeem

Filtri põhielemendid on ühe diskreetimisintervalli valimiväärtuste viivitusplokid (sümbolitega ristkülikud), samuti skaalaplokid, mis teostavad digitaalset korrutamist vastavate koefitsientidega. Skaalaplokkide väljunditest lähevad signaalid liitjasse, kus need kokku liites moodustavad väljundsignaali valimi.

Siin esitatud diagrammi vorm selgitab mõiste "põiki filter" (inglise keelest transverse - põiki) tähendust.

Transversaalse digitaalfunktsiooni tarkvaraline juurutamine.

Tuleb meeles pidada, et joonisel fig. 15.7 ei ole elektriahela skemaatiline diagramm, vaid see on ainult signaalitöötlusalgoritmi graafiline esitus. FORTRAN keele vahendeid kasutades vaatleme põiksuunalist digitaalset filtreerimist rakendava programmi fragmenti.

Olgu arvuti RAM-is moodustatud kaks ühedimensioonilist M-lahtri massiivi: massiiv nimega X, mis salvestab sisendsignaali väärtused, ja massiiv nimega A, mis sisaldab lahtri väärtusi. filtri koefitsiendid.

Massiivi X lahtrite sisu muudetakse iga kord, kui võetakse vastu uus sisendsignaali näidis.

Oletame, et see massiiv on täidetud sisendjada eelmiste näidistega ja vaatleme olukorda, mis tekib järgmise valimi saabumise hetkel, mis saab programmis nimeks S. See valim peaks asuma lahtri numbris 1, kuid alles pärast seda, kui eelmine rekord on nihutatud ühe positsiooni võrra paremale, see tähendab mahajäänud poole poole.

Sel viisil moodustatud massiivi X elemendid korrutatakse termini haaval massiivi A elementidega ja tulemus sisestatakse lahtrisse nimega Y, kuhu kogutakse väljundsignaali näidisväärtus. Allpool on transversaalse digitaalse filtreerimisprogrammi tekst:

Impulssreaktsioon. Pöördume tagasi valemi (15.59) juurde ja arvutame ristsuunalise CF-i impulssreaktsiooni, sooritades pöörd-z-teise. On lihtne näha, et funktsiooni iga liige annab vastava koefitsiendiga võrdse panuse, mida nihutatakse positsioonide kaupa viivituse suunas. Nii et siin

Sellele järeldusele võib jõuda otse, kui võtta arvesse filtri plokkskeemi (vt. joon. 15.7) ja eeldades, et selle sisendisse antakse "üksikimpulss".

Oluline on märkida, et põikfiltri impulssreaktsioon sisaldab lõplikku arvu termineid.

Sagedusreaktsioon.

Kui muuta muutujat valemis (15,59), siis saame sageduse ülekandeteguri

Antud diskreetimisetapis A saab filtrite kaalude sobiva valimise abil realiseerida laias valikus sageduskarakteristiku vorme.

Näide 15.4. Uurige teise järgu põiksuunalise digitaalfiltri sageduskarakteristikuid, mis arvutab valemi järgi keskmise sisendsignaali ja kahe eelneva näidise praeguse väärtuse

Selle filtri süsteemifunktsioon

Riis. 15.8. Põiksuunalise DF sageduskarakteristikud näitest 15.4: a - sageduskarakteristik; b - PFC

kust leiame sageduse ülekandeteguri

Elementaarsed teisendused viivad selle süsteemi faasireaktsiooni sagedusreaktsiooni järgmiste avaldisteni:

Vastavad graafikud on näidatud joonisel fig. 15.8, a, b, kus väärtus on joonistatud piki horisontaaltelge - diskreetimisvahemiku faasinurk praeguse sageduse väärtuse juures.

Oletame näiteks, et harmoonilise sisendi võnkumise ühe perioodi kohta on kuus näidist. Sel juhul on sisestusjärjestusel vorm

(proovide absoluutväärtused ei oma tähtsust, kuna filter on lineaarne). Kasutades algoritmi (15.62), leiame väljundjada:

On näha, et sellele vastab sisendiga sama sagedusega harmooniline väljundsignaal, mille amplituud on võrdne sisendvõnkumise amplituudiga ja mille algfaas on nihutatud 60 ° võrra viivituse suunas.

Rekursiivsed DF-id.

Seda tüüpi digitaalseid filtreid iseloomustab asjaolu, et väljundvalimi moodustamiseks kasutatakse mitte ainult sisend- ja väljundsignaalide eelmisi väärtusi:

(15.63)

pealegi ei ole filtreerimisalgoritmi rekursiivse osa määravad koefitsiendid samal ajal võrdsed nulliga. Et rõhutada kahte tüüpi digitaalfiltrite struktuuride erinevust, nimetatakse põikfiltreid ka mitterekursiivseteks filtriteks.

Rekursiivse digitaalfunktsiooni süsteemifunktsioon.

Kordusseose (15.63) mõlema poole z-teisendusel leiame, et süsteemi funktsioon

kirjeldades rekursiivse CF sagedusomadusi, omab poolusi z-tasandil. Kui algoritmi rekursiivse osa koefitsiendid on reaalsed, siis asuvad need poolused kas reaalteljel või moodustavad kompleksseid konjugaatpaare.

Rekursiivse digitaalfiltri struktuuriskeem.

Joonisel fig. 15.9 näitab valemi (15.63) kohaselt teostatud arvutuste algoritmi diagrammi. Plokkskeemi ülemine osa vastab filtreerimisalgoritmi põiksuunalisele (mitterekursiivsele) osale. Selle rakendamiseks on üldjuhul vaja suuremahulisi plokke (korrutamisoperatsioone) ja mälurakke, milles salvestatakse sisendnäidised.

Plokkskeemi alumine osa vastab algoritmi rekursiivsele osale. See kasutab järjestikuseid väljundväärtusi, mida nihutatakse filtri töötamise ajal lahtrist lahtrisse.

Riis. 15.9. Rekursiivse digitaalfiltri struktuuriskeem

Riis. 15.10. 2. järku kanoonilise rekursiivse digitaalfiltri struktuuriskeem

Selle teostuspõhimõtte puuduseks on vajadus suure hulga mälurakkude järele, eraldi rekursiivse ja mitterekursiivse osa jaoks. Täiuslikumad on rekursiivsete digitaalfunktsioonide kanoonilised skeemid, milles kasutatakse minimaalset võimalikku mälurakkude arvu, mis on võrdne arvudest suurimaga. Näiteks joonis fig. 15.10 näitab süsteemi funktsioonile vastava teist järku kanoonilise rekursiivse filtri plokkskeemi

Veendumaks, et see süsteem rakendab antud funktsiooni, kaaluge lisaseadme 1 väljundis olevat diskreetset lisasignaali ja kirjutage üles kaks ilmset võrrandit:

(15.67)

Sooritades võrrandi (15.66) -teisendust, leiame, et

Teisest küljest vastavalt avaldisele (15.67)

Seoseid (15.68) ja (15.69) kombineerides jõuame antud süsteemifunktsioonini (15.65).

Rekursiivsete digitaalfunktsioonide stabiilsus.

Rekursiivne digitaalfunktsioon on dünaamilise tagasiside süsteemi diskreetne analoog, kuna selle eelmiste olekute väärtused salvestatakse mälurakkudesse. Kui on antud mingid algtingimused ehk väärtuste hulk, siis sisendsignaali puudumisel moodustab filter lõpmatu jada elemendid, mis mängivad vabade võnkumiste rolli.

Digitaalset filtrit nimetatakse stabiilseks, kui selles tekkiv vaba protsess on mittekasvav jada, st väärtused juures ei ületa teatud positiivset arvu M, olenemata algtingimuste valikust.

Vabavõnkumised rekursiivses digitaalfunktsioonis, mis põhineb algoritmil (15.63) on lineaarse erinevuse võrrandi lahendus

Analoogiliselt lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamise põhimõttega otsime (15.70) lahendit eksponentsiaalfunktsiooni kujul

seni teadmata väärtusega. Asendades (15.71) väärtusega (15.70) ja tühistades ühise teguriga, näeme, et a on karakteristiku võrrandi juur

Lähtudes (15.64), langeb see võrrand täpselt kokku võrrandiga, mida rahuldavad rekursiivse CF süsteemifunktsiooni poolused.

Olgu võrrandi (15.72) juursüsteem leitud. Siis saab diferentsiaalvõrrandi (15.70) üldlahend kuju

Koefitsiendid tuleks valida nii, et algtingimused oleksid täidetud.

Kui süsteemi kõik poolused funktsioneerivad, st arvud ei ületa absoluutväärtuses ühte, asudes punktis tsentreeritud ühikringi sees, siis (15.73) alusel kirjeldatakse CF-s mis tahes vaba protsessi geomeetriliste progressioonide vähenemise termineid ja filter on stabiilne. On selge, et praktiliselt saab rakendada ainult stabiilseid digitaalfiltreid.

Näide 15.5. Uurige süsteemifunktsiooniga rekursiivse 2. järku digitaalfiltri stabiilsust

Iseloomulik võrrand

on juured

Koefitsiendi tasapinnal oleva võrrandiga kirjeldatud kõver on piir, millest kõrgemal on süsteemi funktsiooni poolused reaalsed ja millest allpool on nad komplekskonjugeeritud.

Seetõttu on komplekskonjugeeritud pooluste puhul üks stabiilsuspiirkonna piiridest sirgjoon 1.

Riis. 15.11. 2. järku rekursiivse filtri stabiilsuspiirkond (filtri poolused on värvikoodiga piirkonnas keerukad konjugaadid)

Arvestades tegelikke pooluseid, on vormis stabiilsustingimus

Füüsiliselt teostatavad digitaalsed filtrid, mis töötavad reaalajas, saavad i-ndal diskreetsel ajahetkel väljundsignaali genereerimiseks kasutada järgmisi andmeid: a) sisendsignaali väärtus i-nda valimi hetkel, kui samuti teatud arv "minevikku" sisendnäidiseid; b) teatud arv eelnevaid väljundsignaali valimeid Täisarvud m ja n määravad CF järjekorra. CF-de klassifitseerimine toimub erineval viisil, sõltuvalt sellest, kuidas kasutatakse teavet süsteemi varasemate olekute kohta.

Traisverse CF. Nii nimetatakse filtreid, mis töötavad vastavalt algoritmile.

kus -koefitsientide jada.

Number T on transversaalse digitaalfiltri järjekord. Nagu valemist (2.138) näha, teostab põikfilter sisendsignaali eelmiste valimite kaalutud liitmise ja ei kasuta väljundsignaali varasemaid valimeid. Rakendades z-teisendust avaldise (2.138) mõlemale poolele, näeme, et

Sellest järeldub, et süsteem toimib

on murdosaline ratsionaalne funktsioon z , mille m-kordne poolus z = 0 ja T nullid, mille koordinaadid on määratud filtri koefitsientidega.

Ristsuunalise DF-i toimimise algoritmi illustreerib joonisel fig. 2.17.

Riis. 2.17. Transversaalse digitaalfiltri konstrueerimise skeem

Filtri põhielemendid on ühe diskreetimisintervalli valimiväärtuste viivitusplokid (ristkülikud sümbolitega z -1), samuti skaalaplokid, mis teostavad digitaalset korrutamist vastavate koefitsientidega. Skaalaplokkide väljunditest lähevad signaalid liitjasse, kus need kokku liites moodustavad väljundsignaali valimi.

Siin esitatud diagrammi vorm selgitab termini "ristifilter" (inglise keelest transverse) tähendust.

Impulssreaktsioon. Pöördume tagasi valemi (2.139) juurde ja arvutame pöörd-z-teisendusega ristsuunalise CF impulssreaktsiooni. On lihtne näha, et funktsiooni H (z) iga liige annab vastava koefitsiendiga võrdse panuse , poolt ümberasustatud P positsioonid mahajäänud poole suunas. Nii et siin

Sellele järeldusele võib jõuda otse, kui võtta arvesse filtri plokkskeemi (vt joonis 2.17) ja eeldades, et selle sisendisse antakse "üksikimpulss" (1, 0, 0, 0, ...).

Oluline on märkida, et põikfiltri impulssreaktsioon sisaldab lõplikku arvu termineid.

Sagedusreaktsioon. Kui valemis (2.139) muudame muutujat , siis saame sageduse ülekandeteguri

Antud proovivõtu etapi jaoks A on võimalik realiseerida väga erinevaid sageduskarakteristiku vorme, valides sobiva filtri kaalu.

Digitaalsete filtrite sünteesimeetodid. Digitaalse filtri sünteesi praktikas on kõige levinumad kolm allpool kirjeldatud meetodit.

Invariantsete impulssreaktsioonide meetod.

See meetod põhineb eeldusel, et sünteesitud digitaalfiltril peaks olema impulssreaktsioon, mis on vastava analoogfiltri prototüübi impulssreaktsiooni diskreedimise tulemus. See tähendab füüsiliselt realiseeritavate süsteemide sünteesi, mille puhul impulssreaktsioon kaob t<0 , saame CF impulssreaktsiooni jaoks järgmise avaldise:

kus T ajaproovi võtmise etapp.

Tuleb märkida, et üksikute terminite arv CF impulssreaktsiooni avaldises võib olla kas lõplik või lõpmatu. See määrab sünteesitud filtri struktuuri: põikfilter vastab impulssreaktsioonile piiratud arvu valimitega, samas kui lõpmatult pika impulssreaktsiooni rakendamiseks on vaja rekursiivset DF-i.

Impulssreaktsiooni koefitsiendi ja DF struktuuri vaheline seos on põikfiltri puhul eriti lihtne. Üldjuhul toimub filtri struktuuri süntees pealekandmise teel z-teisendamine ülaltoodud vormi jadaks. Süsteemi funktsiooni leidmisega H (z) filter, peaksite seda võrdlema üldavaldisega ja määrama põik- ja rekursiivse osa koefitsiendid. Sünteesitud digitaalfiltri amplituud-sageduskarakteristiku lähendusaste analoogprototüübi karakteristikule sõltub valitud diskreetimisastmest. Vajadusel tuleks süsteemifunktsiooni täites arvutada digitaalfiltri sageduse ülekandekoefitsient H (z) muutuja muutmine valemiga
ja seejärel võrrelda tulemust analoogahela sagedusvõimendusega.

DF süntees, mis põhineb diferentsiaalvõrrandi diskretiseerimisel

analoogskeem.

Digitaalse filtri struktuuri, mis ligikaudu vastab teadaolevale analoogskeemile, saab saavutada analoogprototüüpi kirjeldava diferentsiaalvõrrandi diskretiseerimisega. Vaatleme selle meetodi kasutamise näitena teist järku võnkesüsteemile vastava CF sünteesi, mille puhul on seos väljundvõnkumise vahel. y (t) ja sisendi kõikumine x (t) määratakse diferentsiaalvõrrandiga

(2.142)

Oletame, et proovivõtu etapp on  t ja kaaluge diskreetsete proovide kogumist  juures 1  ja  X 1  ... Kui tuletised valemis asendada nende lõplike erinevuste avaldistega, muutub diferentsiaalvõrrand diferentsiaalvõrrandiks

Tingimusi ümber korraldades saame:

(2.144)

Erinevusvõrrand määratleb 2. järku rekursiivse filtri algoritmi, mis simuleerib analoogvõnkesüsteemi ja mida nimetatakse digitaalseks resonaatoriks. Asjakohase koefitsientide valiku korral võib digitaalresonaator toimida sageduselektiivfiltrina sarnaselt võnkeahelale.

Invariantsete sageduskarakteristikute meetod .

Põhimõtteliselt on võimatu luua digitaalset filtrit, mille sageduskarakteristik kordaks täpselt mõne analoogahela sageduskarakteristikut. Põhjus on selles, et nagu teate, on DF-i sageduse ülekandekoefitsient sageduse perioodiline funktsioon, mille periood on määratud diskreetimisetapiga.

Rääkides analoog- ja digitaalfiltrite sageduskarakteristikute sarnasusest (invariantsusest), saame ainult nõuda, et kogu analoogsüsteemiga seotud lõpmatu sageduste intervall ω a teisendataks digitaalfiltri sagedussegmendiks ω q. ebavõrdsuse rahuldamine
säilitades samal ajal üldise ülevaate sageduskarakteristikust.

Lase K a (R) analoogfiltri ülekandefunktsioon, mis on määratud murdarvulise ratsionaalavaldisega astmetes lk... Kui kasutate muutujate vahelist seost z ja p, siis saame kirjutada:

. (2.145)

Selle seadusega suhe lk ja z on võimatu saada füüsiliselt teostatavat süsteemifiltri funktsiooni, kuna avaldisesse on asendus K a (R) annab süsteemifunktsiooni, mida ei väljendata kahe polünoomi jagatisena. Seetõttu madalpääsfiltrite sünteesiks vormi ühendus

, (2.146)

mis ühtlasi kaardistab z-tasandi ühikringi punktid mõttelise telje punktidega p-tasandil. Siis

, (2.147)

millest järgneb seos sagedusmuutujate  analoog- ja digitaalsüsteemide vahel:

. (2.148)

Kui diskreetimissagedus on piisavalt kõrge ( c T<<1), siis, nagu on kergesti näha valemist (2.147),  a  c... Seega on madalatel sagedustel analoog- ja digitaalfiltrite omadused praktiliselt samad. Üldiselt on vaja arvestada skaala teisendust piki digitaalfiltri sagedustelge.

Praktikas on CF sünteesimise protseduur see, mis on funktsioonis K a (R) analooglülitus asendatakse muutujaga valemi (2.145) järgi. Saadud DF-i süsteemifunktsioon osutub murdratsionaalseks ja võimaldab seetõttu digitaalse filtreerimisalgoritmi otse üles kirjutada.

Enesekontrolli küsimused

Millist filtrit nimetatakse sobitatud.

Mis on filtri impulssreaktsioon.

Mis on signaal sobitatud filtri väljundis.

Milliseid filtreid nimetatakse digitaalseks.

Mille poolest erinevad rekursiivse ja transversaalse filtri töö algoritmid?

Millised on peamised meetodid digitaalsete filtrite sünteesimiseks? .

Millised on diskreetse Fourier' teisenduse peamised omadused.

LABORITÖÖD

SIGNAALIDE FILTRIMISE ALGORITMIDProtsessi juhtimissüsteemis

Sihtmärk. Tutvumine protsessijuhtimissüsteemis enimlevinud mõõdetud juhuslike signaalide filtreerimise algoritmidega ning nende täpsuse ja teostusomaduste võrdlev analüüs arvutis.

Harjutus

1) arvutage juhuslike signaalide antud karakteristikute jaoks optimaalsed filtriparameetrid,

2) simuleerida arvutis filtreerimissüsteemi ja arvutada iga vaadeldava meetodi filtreerimisviga,

3) viia läbi vaadeldavate algoritmide efektiivsuse võrdlev analüüs.

Põhisätted. 1 Optimaalse filtreerimisprobleemi avaldus. Mõõteseadmete signaalid sisaldavad sageli juhuslikku viga - häireid. Filtreerimise ülesanne on eraldada kasulik signaalikomponent ühel või teisel määral häiretest. Reeglina eeldatakse, et nii kasulik signaal kui ka interferents on statsionaarsed juhuslikud protsessid, mille statistilised omadused on teada: matemaatiline ootus, dispersioon, korrelatsioonifunktsioon, spektri tihedus. Neid omadusi teades on vaja leida filter lineaarsete dünaamiliste süsteemide klassist või antud struktuuriga kitsamast lineaarsete süsteemide klassist, et filtri väljundis olev signaal erineks võimalikult vähe kasulikust signaalist.

Joonis 1. Filtreerimisprobleemi avalduse kohta

Tutvustame tähistust ja sõnastame filtreerimisprobleemi täpsemalt. Laske impulssreaktsiooniga filtri sisend To(t) ja vastav (Fourieri teisenduse tõttu) 0

AFH W(iω) võetakse vastu kasulikke signaale x(t) ja häired, mis ei ole sellega korrelatsioonis z(t) (joon. 1). Kasuliku signaali ja interferentsi korrelatsioonifunktsioonid ja spektraaltihedused on tähistatud tähisega R x (t), S x (t), R z (t) ja S z (t) ... On vaja leida filtri k (t) või W (t) karakteristikud, et erinevuse efektiivväärtus oleks ε filtri väljundis oleva signaali ja kasuliku signaali x vahel oli minimaalne. Kui filtri karakteristikud on teada ühe või mitme parameetri täpsusega, tuleb valida nende parameetrite optimaalsed väärtused.

Viga ε sisaldab kahte komponenti. Esimene ( ε 1 ) on seotud sellega, et mingi osa mürast läheb ikka läbi filtri ja teine ​​( ε 2 ) - nii et kasuliku signaali kuju muutub filtri läbimisel. Seega on filtri optimaalse karakteristiku määramine kompromisslahenduse otsimine, mis minimeerib koguvea.

Esitame filtri sageduskarakteristiku kujul:

W (iω) = A (ω) eksp.

Kasutades valemeid, mis ühendavad lineaarse süsteemi sisendis ja väljundis esinevate juhuslike protsesside spektraaltihedusi selle sageduskarakteristikuga, arvutame välja iga veakomponendi spektraaltihedused.

Müra vahelejätmisega seotud vea kohta saame

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Kasuliku signaali moonutamisega seotud vea spektraalne tihedus on

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W(iω)| 2

Nende komponentide summal S ε on spektraalne tihedus

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Võttes seda arvesse

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) patt 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) – 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Ruutkeskmine viga on avaldise abil seotud spektraaltihedusega

Minimeerides S ε (ω ) peal f(ω) ja A (ω), jõuame võrranditeni

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

Optimaalse filtri leitud karakteristikud vastavad spektraalvea tihedusele

Minimaalne ruutkeskmine viga

(3)

Kahjuks ei ole leitud filter realiseeritav, kuna nulliga võrdsuse tingimus kõigil faasisagedusreaktsiooni sagedustel tähendab, et filtri impulssreaktsioon on paarisfunktsioon, see ei ole null mitte ainult t>0 , aga ka kl t(Joonis 2, a).

Iga füüsiliselt teostatava filtri puhul kehtib järgmine nõue: To(t) = 0 juures t (joonis 2, b). See nõue tuleks lisada probleemipüstitusse. Loomulikult saavutatav viga σ samal ajal suureneks. Lahendatud on füüsikalist teostatavust arvestades optimaalse filtreerimise probleem.

Riis. 2. Mitterealiseeritavate (a) ja realiseeritavate (b) filtrite impulsi omadused

Riis. 3. Kasuliku signaali spektraaltihedusedS x (ω) ja müraS z (ω) ja optimaalse filtri A amplituud-sageduskarakteristik * (ω) mittekattuv (a) ja kattuv (b)S x (ω) jaS z (ω)

N. Viiner. Selle lahendus on ülaltoodust palju keerulisem, seetõttu otsime selles töös füüsiliselt realiseeritavaid filtreid ainult selliste filtrite klassist, mille omadused on määratud täpselt parameetrite väärtustega. Kogus arvutatuna valemiga (3) võib olla saavutatava filtreerimisvea madalam hinnang.

Seose (2, b) füüsikaline tähendus on illustreeritud joonisel fig. 3. Kui kasuliku signaali ja häirete spektrid ei kattu, siis A (ω) peaks olema võrdne nulliga, kui häirete spektraaltihedus erineb nullist, ja võrdne ühega kõigi sageduste puhul, millel S x (ω)>0 ... Joonisel fig. 3, b näitab iseloomu A * (ω) juhul, kui signaali ja interferentsi spektraaltihedused kattuvad.

Antud struktuuriga filtritest on levinumad liikuval keskmisel operatsioonil põhinevad filtrid, samuti eksponentsiaalfilter ja nn nulljärku statistiline filter. Eksponentfilter on esimest järku aperioodiline filter ja nulljärku statistiline filter on võimenduslüli. Vaatleme kõiki mainitud filtreid üksikasjalikumalt.

Liikuv keskmine filter. Filtri väljund on selle sisendiga seotud suhtega

Filtri impulsi siirdefunktsioon on näidatud joonisel 4, a. Sagedusomadused on võrdsed

Impulssreaktsiooni saab väljendada Heaviside funktsiooniga 1(t)

k(t) = k.

Reguleeritavad filtri parameetrid on võimendus k ja mälu T.

Eksponentsiaalne filter(Joon. 4, b). Väljundsignaal määratakse diferentsiaalvõrrandiga

y/ γ + y = kg

Impulssreaktsioon on järgmine:

Sagedusomadused

Filtri parameetrid on võimendus k ja ajakonstant pöördväärtusega γ .

Riis. 4. Impulsi siirdefunktsioonidk(t) ja tüüpiliste filtrite amplituud-sageduskarakteristikud А (ω): а - voolu keskmine; b - eksponentsiaalne; c) staatiline nulljärk

Nulljärku statistiline filter. See filter, nagu eespool mainitud, on võimendav link. Selle omadused

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Loetletud filtrite kaal ei võimalda saavutada ideaalset filtreerimist isegi mitteühendatud signaali- ja interferentsispektrite korral. Minimeerige viga σ ε saate parameetreid valida k, T, γ... See nõuab filtri omadusi A (ω) ja f(ω) sageduse ja parameetrite funktsioonina asendage valemis (1), võtke saadud avaldise integraal, mis on filtri parameetrite funktsioon, ja leidke parameetrite kohal selle integraali miinimum.

Näiteks Coulombi järgu statistilise filtri korral on vea spektraaltihedus järgmine:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integraalne S ε võrdub häire dispersiooniga, mis on korrutatud π ... Saame

Võtkem arvesse, et selle võrrandi paremal küljel olevad integraalid on võrdsed kasuliku signaali ja müra dispersioonidega, nii et

Selle avaldise miinimumi tingimus k viib võrdsuseni

Pärast leitud väärtuse asendamist k vea dispersiooni avaldisesse saame:

Hetke keskmise ja eksponentsiaali filtritel on kummalgi kaks reguleeritavat parameetrit ja nende optimaalseid väärtusi ei saa nii lihtsalt väljendada kasuliku signaali ja müra karakteristikute kaudu, kuid need väärtused on leitavad numbriliste meetoditega. funktsiooni miinimum kahes muutujas.

Joonis 5 Juhusliku signaali filtreerimissüsteemi arvutisimulatsiooni plokkskeem

2. Simuleeritud süsteemi kirjeldus. Töö teostatakse järgmistest plokkidest koosneva süsteemi modelleerimisega arvutis (joonis 5).

1. Sisendsignaali generaator I, sealhulgas juhusliku signaali generaator (GSS) ja kaks määratletud omadustega kujundamisfiltrit W x (iω) ja W z (iω) , mille väljundis võetakse vastu kasulik signaal x(t) ja takistuseks z(t) ... Juhusliku signaali generaatori ja kujundava filtri vahel W z sisaldas viivituslüli Δ, mis tagab kahe kuni kolme taktitsükli nihke. Sel juhul ei ole häireid tekitava filtri sisend ja kasuliku signaali moodustava filtri sisend omavahel korrelatsioonis.

2. Plokk korrelatsioonifunktsioonide arvutamiseks
.

3. Filtreerimisseade (II), sealhulgas tegelik filter
ja plokk filtreerimisvea arvutamiseks
.

Süsteemis genereeritud kasulik signaal x(t) ja takistuseks z(t) on statsionaarsed juhuslikud protsessid, mille korrelatsioonifunktsioone saab ligikaudselt aproksimeerida vormi eksponentide abil (joonis 6)

(6)

kus

Signaali dispersiooni hinnangud ja arvutatakse ploki abil (at τ = 0); parameetrid α ja α z määrab õpetaja.

3. Pidevate filtrite diskreetne rakendamine. Kasutame ülalkirjeldatud pidevate filtrite diskreetseid teostusi. Diskreetsuse samm t o võtta oluliselt vähem kui kasuliku signaali ja müra korrelatsioonifunktsioonide vaibumisaeg. Seetõttu saab diskreetsel juhul kasutada ülaltoodud avaldisi (1) σ ε arvutamiseks sisendsignaali ja müra spektraalkarakteristikute kaudu.

Leiame esmalt diskreetsed analoogid filtritele, mis moodustavad GSS-ilt saadud signaalist korrelatsioonifunktsioonidega juhuslikke protsesse (6). Nendele korrelatsioonifunktsioonidele vastavatel spektritihedustel on vorm

(7)

Kujundusfiltrite ülekandefunktsioonid juhul, kui signaali dispersioon GSS-i väljundis on võrdne ühega, on

Seda pole raske näha

Kui iga kujundava filtri sisendis olev signaal on tähistatud tähisega ξ , siis on ülalkirjeldatud ülekandefunktsioonidele vastavad diferentsiaalvõrrandid kujul

Vastavad erinevuse analoogid kirjutatakse vormile;

Seega on kasuliku signaali moodustava filtri töö algoritm järgmine:

(8a)

Samamoodi müra kujundava filtri puhul

(8b)

Häirete eraldamiseks mõeldud pidevate filtrite analoogid on järgmised:

liikuva keskmise filtri jaoks

(9)

kus väärtus l valida tingimuse hulgast (l + 1) t O = T;

eksponentsiaalse filtri jaoks

(10)

nulljärku statistilise filtri jaoks

juures i = kg i (11)

Täitmise korraldus. 1. Looge ja siluge ploki alamprogrammid jooksva teabe filtreerimiseks ja filtreerimisvigade arvutamiseks.

2. Hankige vormimisfiltrite väljundis juhuslike protsesside realisatsioonid ja kasutage neid kasuliku signaali ja müra dispersioonide ning korrelatsioonifunktsioonide hinnangute leidmiseks. R x (τ) ja R z (τ) ... Ligikaudu määratleda α X ja α z ja võrrelda arvutatutega.

3. Arvutage S x (ω) ja S z (ω) analüütiliselt või arvutis alumine piir efektiivfiltri vea jaoks.

4. Leia valemi (4) abil nulljärku statistilise filtri optimaalne võimendus ja vastav väärtus millega võrrelda.

5. Kasutan üht tuntud meetodit kahe muutuja funktsiooni miinimumi leidmiseks ja eelnevalt koostatud programmi, et leida libiseva keskmise ja eksponentsiaalfiltri optimaalsed parameetrid ning filtreerimise ruutkeskmised vead. Sel juhul vastab spektraalvea tihedusele konkreetne filtriparameetrite kombinatsioon S ε (ω) määratletud valemiga (1) ja leida sellest väärtus pärast numbrilist integreerimist.

6. Sisestage filtreerimisprogramm arvutisse, määrake eksperimentaalselt optimaalsete ja mitteoptimaalsete filtriparameetrite ruutjuurviga, võrrelge tulemusi arvutatutega.

7. Viia läbi erinevate filtreerimisalgoritmide efektiivsuse võrdlev analüüs järgmiste näitajate puhul: a) minimaalne saavutatav ruutkeskmine viga; b) vajalik kogus RAM-i; c) arvuti lugemise aeg.

Aruanne peaks sisaldama: 1) süsteemi plokkskeem (vt joonis 5);

2) kujundamise ja sünteesitud filtrite alamprogrammid;

3) filtrite optimaalsete parameetrite ja vastavate ruutvea väärtuste arvutamine;

4) vaadeldud algoritmide analüüsi tulemused ja järeldused.

Boks 6.2. Projekti loomine 6.3. Uuring APCS koolitusel laboris... teatud eesmärgid nende tegevust. Eesmärgid tegevused...

I.O. Perekonnanimi "" 20 g

Dokument

Režiim tööd) ;. … […) [Režiimi nimi tööd] ... vastavalt laboris analüüsid; 5) ... nõuded APCS... Tehnoloogilised protsessid ... teabe töötlemine ja analüüs ( signaalid, sõnumid, dokumendid jne ... algoritmid filtreerimine ja algoritmid kõrvaldada müra eesmärk ...

Intelligentne automatiseerimine termini- ja diplomiprojektides

abstraktne

Juhe. sihtmärk... toode... signaal HART süsteemidesse integreerimiseks APCS ... filtreerimine Tolmuandureid on erinevat tüüpi. DT400G töötavad ... algoritm... keemiatööstus. Tehnilised vahendid ja laboris tööd/ G.I. Lapšenkov, L.M. ...

Distsipliini "Tehnoloogiliste protsesside automatiseerimine" tööprogramm

Tööprogramm

... EESMÄRGID JA DISTSIPLIINI ÕPPIMISE EESMÄRGID Eesmärk... põhikomponendid APCS- kontrollerid ... vaated signaalid c ... veaparandused, filtreerimine sõnumid,... algoritmid ja programmid, arutelud, kontrolli teostamine töötab. Laboratoorium klassid. Laboratoorium ...