تمام سیستم های شماره گذاری موقعیتی برابر هستند، اما بسته به وظایفی که فرد را حل می کند استفاده از اعداد را می توان از پایگاه های مختلف با پایگاه های مختلف استفاده کرد.
به طور معمول استفاده می شود سیستم شماره دهدهی، I.E. سیستم شماره، الفبای که شامل ده رقم است (0.1،2،3،4،5،6،7،8،9،9) و بر این اساس، پایه ده است. استفاده گسترده از این سیستم شماره به راحتی توضیح داده شده است. اول، ضبط تعداد در سیستم شماره دهدهی کاملا جمع و جور است، دوم، سیستم شماره دهدهی توسط بشریت برای چند قرن استفاده می شود. در این زمان، مردم در حال حاضر به اعداد عادت کرده اند، و به رکورد اعداد، و به تلفظ اعداد در یک سیستم شماره دهدهی، به عنوان مثال، "15" رکورد به هر فرد روشن است و آن را به عنوان پانزده خوانده خواهد شد ، اما همان تعداد ثبت شده در سیستم شماره دوتایی "1111"، حداقل یک ناامیدی جزئی را ایجاد می کند، اما نحوه خواندن این شماره.
و با این حال، به وضوح به این باور است که سیستم شماره دهدهی است انتخاب بهینه بشریت برای کار با اعداد غیرممکن است. ما آن را با چند نمونه ثابت می کنیم.
همه شما جدول ضرب را به یاد می آورید و البته به یاد داشته باشید که چقدر تلاش برای پیوستن به یادگیری این جدول دارید. ما در اینجا یک جدول ضرب در یک سیستم شماره دهدهی نمی دهیم، اما برای مقایسه، ما جدول ضرب را در سیستم شماره دودویی ارائه می دهیم:
همانطور که می بینید، جدول ضرب در سیستم شماره باینری بسیار ساده تر از دهدهی است.
فشرده سازی تعداد اعداد در سیستم شماره دهدهی، همان چیزی است که بالاترین آن نیست، در تمام سیستم های شماره گذاری شده با پایه ای برای بیش از ده عدد، به عنوان مثال، شماره "15" را ضبط می کند سیستم هگزادسیمال این شماره به عنوان "F" ثبت می شود.
همانطور که قبلا در بند 5 ذکر شده، یک سیستم شماره دوتایی برای ثبت اعداد در AUM به تصویب رسیده است. در این پاراگراف، ما باید بفهمانیم، اما تعداد آنها در حافظه کامپیوتر، به اندازه کافی برای درک قوانین برای انتقال اعداد اعشاری به یک سیستم شماره دودویی کافی خواهد بود.
در عمل، انتقال اعداد از سیستم شماره با پایه ده تا تعداد ساعت با پایه دو، از قانون زیر استفاده کنید:
1. 1، ثبت شده در سیستم شماره با پایه ده، با بقایای دو (پایه سیستم جدید شماره) ضبط شده توسط تعداد تعداد شمارش ده ( سیستم قدیمی توجه داشته باشید)، تا زمانی که در خصوصی آن کار نمی کند 0.
2.OSTACKS به دست آمده از بخش های ثبت شده در به صورت برعکس، یک عدد را در یک سیستم شماره جدید با پایه ای از دو عدد تشکیل دهید.
راحت تر از این قانون برای انتقال اعداد از یک سیستم شماره دهدهی استفاده می شود. برای ترجمه معکوس، در یک سیستم عدد دهدهی راحت تر از استفاده از به اصطلاح استفاده می شود schema Gorner.
1. پیوستن به موقعیت های در شماره، در سمت راست به سمت چپ، شروع از صفر؛
2. ایجاد یک عدد نشان دهنده مقدار تعداد اعداد اعداد بر اساس سیستم شماره قدیمی ثبت شده توسط تعداد سیستم شماره جدید، به درجه برابر تعداد برابر تعداد موقعیت در میان تعداد تنظیم شده است؛
3. اولیه مجموع ردیف.
ما این قوانین را در نمونه های خاص تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
مثال 1: رکورد عدد اعشاری 121 در یک سیستم شماره دوتایی.
121 | 2 121 d \u003d 1111001 b
120 60 | 2
1 60 30 | 2
0 30 15 | 2
0 14 7 | 2
1 6 3 | 2
هدف از کاربررسی روش ها و آزمایش مهارت های تحول از یک سیستم موقعیت یابی برای دیگری به دیگری.
تعداد اعداد مختلف مورد استفاده در سیستم موقعیتی، نام سیستم شماره را تعیین می کند و نامیده می شود پایه
سیستم شماره
هر شماره n در یک سیستم موقعیت یابی با پایه 
می تواند به عنوان چندجملهای از پایه نشان داده شود 
:
جایی که 
- عدد، 
- تعداد اعداد (ضرایب در درجه 
),
- پایه سیستم شماره ( 
>1).
اعداد به عنوان دنباله ای از اعداد ثبت می شوند:
.
نقطه در دنباله، کل قسمت از تعداد از کسری (ضرایب برای درجه های غیر منفی، از ضرایب با درجه منفی) را جدا می کند. نقطه کاهش می یابد اگر تعداد عدد صحیح باشد (بدون درجه منفی).
در سیستم های کامپیوتری، سیستم های شماره گذاری موقعیتی با پایه غیر قطعی وجود دارد: باینری، اکتال، هگزادسیمال.
در سخت افزار، کامپیوتر عناصر دو موقعیتی است که می تواند تنها در دو حالت باشد؛ یکی از آنها توسط 0، و دیگری نشان داده شده است. 1. بنابراین، کامپیوتر اصلی ریاضی و منطقی یک سیستم شماره دودویی است.
سیستم شماره دودویی دو رقم استفاده می شود: 0 و 1. در سیستم باینری، هر عدد را می توان به عنوان: 
.
جایی که 
یا 0 یا 1.
این مطلب مربوط به مجموع درجه شماره 2 است که با ضرایب مشخص شده گرفته شده است:
سیستم شماره OCTAL. هشت رقم استفاده می شود: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7. در کامپیوتر به عنوان یک کمکی برای ضبط اطلاعات در فرم اختصاری استفاده می شود. برای نشان دادن یک رقم از سیستم هشتم، سه تخلیه دودویی استفاده می شود (Triad) (جدول 1 را ببینید).
سیستم شماره HEX. برای تصویر اعداد، 16 رقم استفاده می شود. ده رقم اول این سیستم با اعداد از 0 تا 9 نشان داده می شود و شش رقم قدیمی تر نامه های لاتین هستند: a (10)، در (11)، c (12)، d (13)، e (14) f (15). سیستم هگزادسیمال، و همچنین اکتال، برای ضبط اطلاعات در فرم اختصاری استفاده می شود. برای نشان دادن یک رقم از یک سیستم شماره هگزادسیمال، چهار تخلیه دودویی (Tetrad) استفاده می شود (جدول 1 را ببینید).
میز 1.
الفبای سیستم های موقعیتیابی (SS)
|
دودویی SS (پایه 2) |
اسهال (پایه 8) |
دهدهی (پایه 10) |
هگزادسیمال (پایه 16) |
||
|
دودویی |
tetrads باینری |
||||
تمرین 1.اعداد را از سیستم های شماره مشخص شده به یک سیستم دهدهی ترجمه کنید.
دستورالعمل های متداول
ترجمه اعداد به سیستم اعشاری با تهیه مقدار سری قدرت با پایه سیستم، که از آن تعداد ترجمه شده است، مرتب شده است. سپس مقدار این مقدار محاسبه می شود.
مثال ها.
a) ترجمه S.S.
.
ب) ترجمه 
s.S.
ج) ترجمه 
s.S.
وظیفه 2ترجمه تمام اعداد از یک سیستم دهدهی در یک سیستم هشتم، هگزادسیمال و دودویی.
دستورالعمل های متداول
انتقال کل اعداد اعشاری به یک سیستم هشتم، هگزادسیمال و باینری برای تقسیم متوالی شماره دهدهی بر اساس سیستم که ترجمه شده است، معتبر است، تا زمانی که یک فرد برابر با صفر به حساب می آید. شماره در سیستم جدید به صورت تعادل از بخش ثبت شده است، از دومی شروع می شود.
مثال ها.
الف) ترجمه 
s.S.
181: 8 \u003d 22 (باقی مانده 5)
22: 8 \u003d 2 (باقی مانده 6)
2: 8 \u003d 0 (باقی مانده 2)
پاسخ: 
.
ب) ترجمه 
s.S.
جدول نشان می دهد بخش:
622: 16 \u003d 38 (باقی مانده 14 10 \u003d E 16)
38: 16 \u003d 2 (باقی مانده 6)
2: 16 \u003d 0 (باقی مانده 2)
پاسخ: 
.
وظیفه 3بخش های دهدهی راست را از سیستم اعشاری در سیستم هشتم، هگزادسیمال و دودویی ترجمه کنید.
با کمک این ماشین حساب آنلاین، می توانید تعداد کل و کسری را از یک سیستم شماره به دیگری ترجمه کنید. یک راه حل دقیق با توضیحات ارائه شده است. برای ترجمه، شماره اصلی را وارد کنید، پایگاه سیستم شماره منبع را تنظیم کنید، پایه سیستم شماره را تنظیم کنید که می خواهید شماره را ترجمه کنید و روی دکمه «ترجمه» کلیک کنید. بخش نظری و نمونه های عددی زیر را ببینید.
نتیجه قبلا دریافت شده است!
ترجمه تعداد کل و کسری از یک سیستم شماره به هر نوع دیگر - نظریه، نمونه ها و راه حل ها
سیستم های موقعیتی موضعی و نه موقعیتی وجود ندارد. سیستم شماره عربی، که ما در زندگی روزمره استفاده می کنیم، موقعیتی است و رومی - نه. که در سیستم های موقعیتی موقعیت شماره منحصر به فرد تعداد اعداد را تعیین می کند. این را در مثال شماره 6372 در یک سیستم شماره دهدهی قرار دهید. شماره این شماره در سمت راست چپ از ابتدا:
سپس شماره 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
شماره 10 سیستم شماره را تعریف می کند (در این مورد این 10 است) به عنوان درجه، موقعیت تعداد این تعداد گرفته شده است.
شماره دهدهی واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. شماره آن شروع از خراش موقعیت شماره از نقطه اعشار به سمت چپ و راست:
سپس شماره 1287.923 را می توان به عنوان:
1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3
به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:
c n · s. n + c n-1 · s. N-1 + ... + C 1 · s. 1 + C 0 · s 0 + d -1 · s -1 + d -2 · s -2 + ... + d -k · s -k
جایی که C N یک عدد در موقعیت است n.، d -k - تعداد کسری در موقعیت (-k)، s. - سیستم شماره
چند کلمه در مورد سیستم های شماره. شماره در سیستم شماره دهدهی شامل تعدادی از تعداد (0.1،2،3،4،5،6،7،8،9)، در یک سیستم شماره OCTALOUS - از چندگانه از اعداد (0.1، 2،3،4،5،6،7)، در یک سیستم شماره باینری - از چند عدد (0.1)، در یک سیستم تعداد هگزادسیمال - از چند عدد (0،1،2 ، 3،4،5،6، 7،8،9، A، B، C، D، E، F)، جایی که A، B، C، D، E، F مربوط به شماره 10،11،12، 13،14،15 در جدول جدول 1 شماره های ارائه شده B. سیستم های مختلف توجه داشته باشید.
| میز 1 | |||
|---|---|---|---|
| نشانه گذاری | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | آ. |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | C. |
| 13 | 1101 | 15 | D. |
| 14 | 1110 | 16 | E. | 15 | 1111 | 17 | F. |
ترجمه اعداد از یک سیستم شماره به دیگری
برای انتقال اعداد از یک عدد به دیگری به دیگری، ساده ترین راه برای اولین بار ترجمه شماره به یک سیستم شماره دهدهی، و سپس، از سیستم شماره دهدهی برای ترجمه به سیستم شماره مورد نظر.
ترجمه اعداد از هر سیستم شماره در سیستم شماره دهدهی
با استفاده از فرمول (1)، شما می توانید اعداد را از هر سیستم شماره به یک سیستم شماره دهدهی ترجمه کنید.
مثال 1. ترجمه شماره 1011101.001 از سیستم شماره دودویی (SS) در یک SS دهدهی. تصمیم گیری:
1 · 2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125
مثال2. ترجمه شماره 1011101.001 از سیستم شماره OCTAOUS (SS) در یک SS دهدهی. تصمیم گیری:
مثال 3 . ترجمه شماره AB572.CDF از یک سیستم شماره هگزادسیمال در یک SS دهدهی. تصمیم گیری:
اینجا آ. - در هر 10، ب - 11، C.- توسط 12، F. - توسط 15
ترجمه اعداد از سیستم شماره دهدهی به سیستم شماره دیگر
برای انتقال اعداد از یک سیستم شماره دهی اعشار به سیستم شماره دیگر، لازم است به طور جداگانه توسط قسمت عدد صحیح تعداد و بخش کسری از تعداد ترجمه شود.
یک قسمت عدد صحیح از SS اعشاری به یک سیستم شماره دیگر ترجمه می شود - یک بخش متوالی از یک بخش کامل از تعداد بر پایه سیستم شماره (برای CC باینری - توسط 2، برای SS 8 کاراکتر - تا 8، برای 16-دود-16، و غیره) قبل از گرفتن کل باقی مانده، کمتر از پایه SS.
مثال 4 . ما شماره 159 SS اعشاری را به SS Binary ترجمه می کنیم:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
همانطور که در شکل دیده میشود. 1، شماره 159 در طول بخش توسط 2 به خصوصی 79 و باقی مانده 1. بعدی، شماره 79 در طول بخش توسط 2 به خصوصی 39 و باقی مانده 1 و غیره به عنوان یک نتیجه، با ساخت یک عدد از توازن تقسیمات (راست به سمت چپ) ما یک عدد در SS دودویی دریافت می کنیم: 10011111 . در نتیجه، می توانید بنویسید:
159 10 =10011111 2 .
مثال 5 . ما شماره 615 از SS اعشاری را به SS اکتال ترجمه می کنیم.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
هنگامی که تعداد از SS اعشاری در اس اس هشت اکتال ضروری است، لازم است به طور پیوسته تعداد 8 را تا زمانی که کل باقی مانده کمتر از 8 است، تقسیم کنید. در نتیجه، ساخت یک عدد از توازن تقسیم (راست به سمت چپ)، ما دریافت یک عدد در اکتان SS: 1147 (نگاه کنید به شکل 2). در نتیجه، می توانید بنویسید:
615 10 =1147 8 .
مثال 6 . ما شماره 19673 را از سیستم شماره دهدهی به SS هگزادسیمال انتقال می دهیم.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
همانطور که در شکل دیده میشود.
برای انتقال بخش های اعشاری راست (شماره واقعی با عدد صحیح صفر) به سطح سیستم پایه N این شماره به طور مداوم با S ضرب می شود تا زمانی که بخش کسری صفر خالص نیست، یا ما تعداد مورد نیاز تخلیه را دریافت نخواهیم کرد. اگر شما یک عدد را با یک قسمت کامل دریافت کنید، از صفر متفاوت است، این کل بخش به حساب نمی آید (آنها به طور مداوم در نتیجه ثبت نام می شوند).
موارد زیر را در نظر بگیرید.
مثال 7 . ما شماره 0.214 را از سیستم شماره دهدهی به SS باینری انتقال می دهیم.
| 0.214 | ||
| ایکس. | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| ایکس. | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| ایکس. | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| ایکس. | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| ایکس. | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| ایکس. | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| ایکس. | 2 | |
| 1 | 0.392 |
همانطور که از شکل 4 دیده می شود، شماره 0.214 با 2 برابر می شود. 2. اگر ضرب با یک بخش کامل، متفاوت از صفر باشد، قسمت عدد صحیح به طور جداگانه نوشته شده است (به سمت چپ شماره) و شماره به عدد صحیح صفر نوشته شده است. اگر، هنگامی که ضرب، یک عدد با عدد صحیح صفر به دست می آید، صفر به سمت چپ نوشته شده است. فرآیند ضرب ادامه می یابد تا زمانی که بخش کسری صفر خالص نباشد یا تعداد مورد نیاز تخلیه ها را دریافت نکنید. ضبط تعداد چربی (شکل 4) از بالا به پایین ما شماره مورد نظر را در سیستم شماره باینری به دست می آوریم: 0. 0011011 .
در نتیجه، می توانید بنویسید:
0.214 10 =0.0011011 2 .
مثال 8 . ما شماره 0.125 را از سیستم شماره دهدهی به SS Binary ترجمه می کنیم.
| 0.125 | ||
| ایکس. | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| ایکس. | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| ایکس. | 2 | |
| 1 | 0.0 |
برای به دست آوردن تعداد 0.125 از SS اعشاری به یک باینری، این تعداد توسط 2 ضرب می شود. 2. در مرحله سوم معلوم شد 0 نتیجه، نتیجه زیر معلوم شد:
0.125 10 =0.001 2 .
مثال 9 . ما شماره 0.214 را از سیستم شماره دهدهی به SS هگزادسیمال ترجمه می کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس. | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| ایکس. | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| ایکس. | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| ایکس. | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| ایکس. | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| ایکس. | 16 | |
| 4 | 0.224 |
به دنبال نمونه هایی از 4 و 5، ما اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4. اما در Hexadecimal CC، اعداد 12 و 11 به تعداد C و B مربوط می شود. بنابراین، ما داریم:
0.214 10 \u003d 0.36C8B4 16.
مثال 10 . ما شماره 0.512 را از یک سیستم شماره دهدهی در SS Octal ترجمه می کنیم.
| 0.512 | ||
| ایکس. | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| ایکس. | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| ایکس. | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| ایکس. | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| ایکس. | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| ایکس. | 8 | |
| 1 | 0.728 |
اخذ شده:
0.512 10 =0.406111 8 .
مثال 11 . ما شماره 159.125 را از سیستم شماره دهدهی به SS Binary ترجمه می کنیم. برای انجام این کار، ما به طور جداگانه یک قسمت عدد صحیح از عدد (مثال 4) و بخش کوچکی از شماره را ترجمه می کنیم (مثال 8). بعد، ما ادغام این نتایج را دریافت می کنیم:
159.125 10 =10011111.001 2 .
مثال 12 . ما شماره 19673.214 را از یک سیستم عدد دهدهی به هگزادسیمال انتقال می دهیم. برای انجام این کار، ما به طور جداگانه یک قسمت عدد صحیح از تعداد (مثال 6) و بخش کوچکی از شماره را ترجمه می کنیم (مثال 9). بعد، ما نتایج ترکیب را دریافت می کنیم.
