یکی از راه های حل معادلات دیفرانسیل (سیستم معادلات) با ضرایب ثابت، روش تبدیل های انتگرالی است که اجازه می دهد تابعی از یک متغیر واقعی (تابع اصلی) با تابعی از یک متغیر مختلط (تصویر یک تابع) جایگزین شود. ). در نتیجه عملیات تمایز و ادغام در فضای توابع اصلی به ضرب و تقسیم جبری در فضای توابع تصویر تبدیل می شود. یکی از نمایندگان روش تبدیل انتگرال تبدیل لاپلاس است.
تبدیل لاپلاس پیوسته- یک تبدیل انتگرالی که تابعی از یک متغیر مختلط (تصویر یک تابع) را با تابعی از یک متغیر واقعی (اصلی یک تابع) پیوند می دهد. در این حالت، تابع یک متغیر واقعی باید شرایط زیر را برآورده کند:
تابع در کل نیم محور مثبت یک متغیر واقعی تعریف شده و قابل تمایز است (این تابع شرایط دیریکله را برآورده می کند).
مقدار تابع تا لحظه اولیه برابر با صفر است 
;
رشد تابع توسط تابع نمایی محدود می شود، یعنی. برای تابعی از یک متغیر واقعی، چنین اعداد مثبتی وجود دارد م
و با
، چی 
در، کجا ج
- آبسیسا همگرایی مطلق (عدد مثبت).
تبدیل لاپلاس (تبدیل انتگرال مستقیم)تابع یک متغیر واقعی تابعی از شکل زیر (تابع متغیر مختلط) نامیده می شود:
تابع را اصل تابع و تابع را تصویر آن می نامند. متغیر پیچیده 
عملگر لاپلاس نامیده می شود، جایی که فرکانس زاویه ای، یک عدد ثابت مثبت است.
به عنوان مثال اول، تصویری را برای یک تابع ثابت تعریف می کنیم 
به عنوان مثال دوم، یک تصویر برای تابع کسینوس تعریف می کنیم 
... با در نظر گرفتن فرمول اویلر، تابع کسینوس را می توان به صورت مجموع دو نمایی نشان داد. 
.
در عمل، برای انجام تبدیل لاپلاس مستقیم، از جداول تبدیل استفاده می شود که در آنها اصل و تصاویر توابع معمولی ارائه می شود. برخی از این توابع در زیر ارائه شده است.
اصلی و تصویر برای تابع نمایی
اصل و تصویر برای تابع کسینوس
اصلی و تصویر برای تابع سینوسی
اصل و تصویر برای کسینوس در حال فروپاشی نمایی
اصل و تصویر برای سینوس در حال پوسیدگی نمایی
لازم به ذکر است که تابع یک تابع Heaviside است که برای مقادیر منفی آرگومان مقدار صفر و برای مقادیر مثبت آرگومان مقداری برابر با یک می گیرد.
خواص تبدیل لاپلاس
قضیه خطی بودن
تبدیل لاپلاس خطی است، یعنی. هر رابطه خطی بین نسخه های اصلی یک تابع برای تصاویر این توابع معتبر است.
خاصیت خطی یافتن اصلی تصاویر پیچیده را آسان‌تر می‌کند، زیرا اجازه می‌دهد تصویر یک تابع به صورت مجموع عبارت‌های ساده نمایش داده شود و سپس اصل هر عبارت نشان‌داده‌شده پیدا شود.
قضیه تمایز اصل کارکرد
تمایز تابع اصلی مطابقت دارد ضرب
برای شرایط اولیه غیر صفر:
با شرایط اولیه صفر (مورد خاص):
بنابراین، عملیات تمایز تابع با یک عملیات حسابی در فضای تصویر تابع جایگزین می شود.
قضیه ادغام اصل کارکرد
ادغام تابع اصلی مطابقت دارد تقسیمتصاویر تابع بر روی عملگر لاپلاس.
بنابراین، عملیات یکپارچه سازی تابع با یک عملیات حسابی در فضای تصویر تابع جایگزین می شود.
قضیه تشابه
تغییر آرگومان تابع (فشرده سازی یا گسترش سیگنال) در حوزه زمان منجر به تغییر معکوس در آرگومان و ترتیب تصویر تابع می شود.
افزایش مدت زمان پالس باعث فشرده شدن تابع طیفی آن و کاهش دامنه اجزای هارمونیک طیف می شود.
قضیه تاخیر
تأخیر (تغییر، جابجایی) سیگنال توسط آرگومان تابع اصلی با بازه منجر به تغییر در تابع فرکانس فاز طیف (زاویه فاز همه هارمونیک ها) به میزان معینی بدون تغییر مدول (دامنه) می شود. تابع) از طیف.
عبارت حاصل برای هر یک معتبر است
قضیه جابجایی
تأخیر (تغییر، شیفت) سیگنال توسط آرگومان تصویر تابع منجر به ضرب تابع اصلی در یک ضریب نمایی می شود.
از نقطه نظر عملی، قضیه جابجایی برای تعیین تصاویر توابع نمایی استفاده می شود.
قضیه پیچیدگی
پیچیدگی یک عملیات ریاضی است که روی دو تابع اعمال می‌شود و تابع سوم را در پی دارد. به عبارت دیگر، با داشتن پاسخ یک سیستم خطی خاص به یک ضربه، می توانید از کانولوشن برای محاسبه پاسخ سیستم به کل سیگنال استفاده کنید.
بنابراین، پیچیدگی اصلی دو تابع را می توان به عنوان محصولی از تصاویر این توابع نشان داد. قضیه آشتی هنگام در نظر گرفتن توابع انتقال استفاده می شود، زمانی که پاسخ سیستم (سیگنال خروجی از یک شبکه چهار پورت) تعیین می شود زمانی که یک سیگنال به ورودی یک شبکه چهار پورت با یک پاسخ گذرا ضربه ای اعمال می شود.
چهارقطبی خطی
تبدیل لاپلاس معکوس
تبدیل لاپلاس برگشت پذیر است، یعنی. تابع یک متغیر واقعی به طور منحصر به فرد از تابع یک متغیر مختلط تعیین می شود . برای این منظور از فرمول تبدیل لاپلاس معکوس استفاده می شود(فرمول ملین، انتگرال برومویچ) که به شکل زیر است:
در این فرمول، حدود انتگرال به این معنی است که ادغام در امتداد یک خط مستقیم بی نهایت می رود که موازی با محور فرضی است و محور واقعی را در نقطه ای قطع می کند. با توجه به اینکه عبارت اخیر را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
در عمل برای انجام تبدیل لاپلاس معکوس، تصویر تابع با روش ضرایب نامشخص به مجموع ساده ترین کسرها تجزیه می شود و برای هر کسری (مطابق با خاصیت خطی) اصل تابع تعیین می شود. ، از جمله در نظر گرفتن جدول توابع معمولی. این روش برای نمایش تابعی که یک کسر گویا صحیح است معتبر است. لازم به ذکر است که بسته به نوع ریشه های مخرج ساده ترین کسر را می توان به صورت حاصل ضرب ضرایب خطی و درجه دوم با ضرایب واقعی نشان داد:
اگر یک ریشه در مخرج صفر باشد، تابع به کسری مانند:
اگر یک ریشه n برابر صفر در مخرج وجود داشته باشد، تابع به کسری از نوع تجزیه می شود: 
اگر یک ریشه واقعی در مخرج وجود داشته باشد، تابع به کسری مانند:
اگر در مخرج یک ریشه n چندگانه واقعی وجود داشته باشد، تابع به کسری مانند: 
اگر یک ریشه فرضی در مخرج وجود داشته باشد، تابع به کسری مانند: 
در مورد ریشه های مزدوج پیچیده 
در مخرج تابع به کسری مانند: 
∙ به طور کلیاگر تصویر تابع یک کسر گویا منتظم باشد (درجه صورتگر کمتر از درجه مخرج کسر گویا است)، آنگاه می‌توان آن را به مجموع ساده‌ترین کسرها گسترش داد.
∙ در یک مورد خاصاگر مخرج تصویر تابع فقط به ریشه های ساده معادله تجزیه شود، می توان تصویر تابع را به صورت زیر به مجموع ساده ترین کسرها تجزیه کرد:
ضرایب ناشناخته را می توان با استفاده از روش ضریب تعریف نشده یا به روش ساده با استفاده از فرمول زیر تعیین کرد:
مقدار تابع در نقطه؛
مقدار مشتق تابع در یک نقطه.
رونوشت
1 تبدیل لاپلاس اطلاعات مختصر تبدیل لاپلاس، که به طور گسترده در نظریه مدار استفاده می شود، تبدیل انتگرالی است که برای توابع زمانی f برابر با صفر در< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >می توان ثابت کرد که اگر انتگرال لاپلاس برای مقداری s همگرا شود، آنگاه تابع F را تعریف می کند که در کل نیم صفحه تحلیلی است> s تابع F که به این ترتیب تعریف شده می تواند به صورت تحلیلی به کل صفحه متغیر مختلط ادامه یابد = +، به استثنای نقاط منفرد منفرد. اغلب این ادامه با گسترش فرمول به دست آمده از محاسبه انتگرال به کل صفحه متغیر مختلط انجام می شود. تابع F که به صورت تحلیلی به کل صفحه مختلط ادامه می یابد، تصویر لاپلاس تابع زمان f یا به سادگی تصویر نامیده می شود. تابع f نسبت به تصویر خود F اصلی نامیده می شود. اگر تصویر F شناخته شده باشد، می توان با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس f F d برای آن، تصویر اصلی را پیدا کرد. > انتگرال در سمت راست یک انتگرال کانتور در امتداد یک خط مستقیم موازی با محور مختصات است. تبدیل لاپلاس معکوس هستند و با نماد f L (F) L 7 نشان داده می شوند
2 برخی از خصوصیات تبدیل لاپلاس را در نظر بگیرید خطی بودن این ویژگی را می توان به عنوان برابری L (ff) L (f) L (f) تبدیل لاپلاس مشتق یک تابع df L () d df d F fdf 3 تبدیل لاپلاس از انتگرال: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd ساده ترین کاربرد تبدیل لاپلاس را در نظریه مدار در نظر بگیرید شکل ساده ترین عناصر مدارها را نشان می دهد: مقاومت، اندوکتانس و ظرفیت افت ولتاژ لحظه ای در مقاومت برابری است که هنوز دارد. شکل قانون اهم، اما از قبل برای تصاویر ولتاژ و جریان برای ولتاژ لحظه ای در طول اندوکتانس، رابطه diu L، d، یعنی هیچ تناسب مستقیمی وجود ندارد، قانون اهم در اینجا برقرار نیست پس از تبدیل لاپلاس، U به دست می آوریم. = LI LI +
3 اگر همانطور که اغلب اتفاق می افتد، I + =، آنگاه رابطه به شکل U = LI می شود، بنابراین، برای تصاویر ولتاژ و جریان، قانون اهم دوباره معتبر است. نقش مقاومت توسط کمیت L ایفا می شود که مقاومت القایی نامیده می شود برای ظرفیت خازن، رابطه بین مقادیر لحظه ای ولتاژ و اندوکتانس uid C پس از تبدیل لاپلاس، این نسبت به شکل UI می شود، C te به شکل قانون اهم است و مقاومت خازنی برابر است. برابر با C بیایید جدولی از تبدیل لاپلاس مستقیم و معکوس توابع ابتدایی موجود در تئوری مدار بسازیم. یک گام واحد با برابری ها تعیین می شود: در تبدیل لاپلاس این تابع L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) خواهد بود 9
4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L اکنون تبدیل معکوس کسر گویا را در نظر بگیرید، یعنی تبدیل تصویر bbbb BF nnnnmmmm اجازه دهید m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим
5 3 راه بیایید تصویر را به کسرهای ساده تجزیه کرده و در آن ضرب کنیم: nn KKKKB اجازه دهید اکنون تلاش کنیم سپس فقط K در سمت راست باقی می‌ماند: lim BK در سمت راست یک عدم قطعیت شکل داریم که مطابق با L'Hôpital گسترش می‌یابد. قانون: "با جایگزینی BK، دریافت می کنیم" n BB تبدیل معکوس یک کسر ساده شناخته شده است: L بنابراین، "n BBL Interest یک مورد خاص است که یکی از ریشه های مخرج برابر با صفر باشد: BF در این حالت، تجزیه از F به کسرهای ساده به شکل زیر خواهد بود، "n BBB و B هیچ ریشه در صفر ندارند.
6 3 بنابراین، تبدیل لاپلاس معکوس تابع F به شکل زیر خواهد بود: n B B B "L حالت دیگری را در نظر بگیرید که چند جمله ای در مخرج B دارای چندین ریشه باشد.< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l
7 برخی از خصوصیات کلی مدارها اجازه دهید یک مدار پیچیده شامل شاخه‌های P و گره‌های Q باشد سپس با توجه به قانون اول و دوم کیرشهوف، می‌توان معادلات P + Q را برای جریان‌های P در شاخه‌ها و پتانسیل‌های گره Q یکی از پتانسیل‌های گره Q ایجاد کرد. صفر در نظر گرفته می شود اما تعداد معادلات را می توان در Q کاهش داد، اگر از جریان های حلقه به عنوان جریان متناوب استفاده کنیم، در این حالت، اولین قانون کیرشهوف به طور خودکار انجام می شود، زیرا هر جریانی وارد گره می شود و از آن خارج می شود، یعنی می دهد. یک جریان کل برابر با صفر، و علاوه بر این، Q از پتانسیل های گره از طریق جریان های حلقه بیان می شود. اگر جریان های حلقه به عنوان مجهول در نظر گرفته شوند. a به طور کلی، مقاومت انشعاب برابر با i R i C i L است که در آن i، =، n، n تعداد مدارهای مستقل است. معادلات جریان حلقه به شرح زیر است: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i، در اینجا E i مجموع تمام EMF های موجود در مدار i است. کانتورهای i مقاومت ii نشان دهنده مجموع مقاومت های موجود در کانتور i است. مقاومت i بخشی از مقاومت i-th 33 شکل مثالی از خطوط مستقل
8 معادله مدار m به این شکل خواهد بود: مداری که در مدار ام نیز قرار می گیرد واضح است که برای مدار غیرفعال برابری i = i درست است در نظر بگیرید که چگونه معادلات جریان مدار برای مدارهای فعال حاوی ترانزیستورها اصلاح می شوند، شکل mi mi mn I n Em I i با انتقال عبارت دوم از سمت راست به سمت چپ، این معادله را به صورت زیر تبدیل می کنیم: mi mi I i mn I n Em مجهولات، پتانسیل های گرهی عبارتند از همچنین از پتانسیل یکی از گره ها شمارش می شود و به عنوان صفر در نظر گرفته می شود. U Y nu n I، Y Y Y Y n
9 سیستم معادلات پتانسیل های گرهی به شکل Y U YU Y nu n I است. YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n که در آن منابع جریان وابسته وجود دارد اجازه دهید حل معادلات مدار را در نظر بگیریم. همان عامل تعیین کننده ای که در آن ستون i با نیروهای الکتروموتور از سمت راست E, E, E n جایگزین می شود. معادلات باید طوری ترکیب شوند که فقط یک جریان مدار از شاخه مورد نظر ما عبور کند، شکل 4 سپس جریان ورودی برابر با IE است، جایی که تعیین کننده مکمل جبری مربوطه i شکل 4 مدار با EMF در مدار ورودی 35
10 نسبت EI مقاومت ورودی نامیده می شود. در مقابل، این مقاومت تأثیر همه مدارها را در نظر می گیرد برای مدار خروجی دوم، I 36 E خواهیم داشت، که در آن اضافه جبری مربوطه رابطه TIE مقاومت انتقال نامیده می شود. از مدار اول به مدار دوم 5 شکل 5 مداری با منبع جریان در ورودی "UI" I, Y "Y" و رسانایی انتقال از اولین گره به گره دوم: U "I" IYT، YT "" جایی که I جریانی است که به گره اول داده می شود، ولتاژ U و U که در گره های اول و دوم به دست می آید، "تعیین کننده اصلی سیستم معادلات پتانسیل های گرهی است، و" i مکمل جبری مربوطه بین و Y است. یک رابطه Y است برای یک زنجیره غیرفعال، داشتیم = بنابراین، تعیین کننده اصلی سیستم متقارن است، بنابراین متمم های جبری برابر هستند: = بنابراین، برابر هستند و مقاومت انتقال T = T این ویژگی را ویژگی عمل متقابل همانطور که می بینیم، این تقارن ماتریس مقاومت است. خاصیت متقابل به صورت زیر در شکل 6 فرموله شده است: اگر EMF واقع در مدار ورودی مقداری جریان در مدار خروجی ایجاد کند، همان EMF موجود در مدار خروجی باعث می شود در مدار ورودی،
11 جریان با همان بزرگی به طور خلاصه، این ویژگی گاهی اوقات به صورت زیر فرموله می شود: EMF در مدار ورودی و آمپرمتر در مدار خروجی را می توان تعویض کرد، در حالی که قرائت آمپرمتر تغییر نمی کند شکل 6 رفتار یک مدار با ویژگی متقابل یکی از توابع مدار، ضریب انتقال ولتاژ KU است. ; K n E T E; I T U n به طور مشابه، ضریب انتقال جریان را می توان تعیین کرد I K I شکل 8: I بنابراین I U Yn I. Y; K n I YT I U Y T I شکل. 8 نسبت انتقال جریان Yn Y T T 37
12 3 بیشتر در مورد خصوصیات کلی توابع مدار توابع مدار توابعی از یک متغیر هستند که با حل معادلات به دست می آیند، به عنوان مثال، مقاومت رسانایی ورودی، مقاومت هدایت انتقال و غیره. برای مدارهایی با پارامترهای توده ای، هر تابع مدار با توجه به متغیر و کسری است m Ф B bnmnbmmnn 38 bb و ضرایب واقعی هستند، در غیر این صورت، می توان آن را به شکل Ф bmnm، "" "where، m،"، "," n ریشه معادلات mbnmnbmnm، nbb نمایش داد. =، m را صفرهای تابع Ф، و مقادیر = "،"، "n را قطب Φ می نامند بدیهی است که دو تابع گویا که صفر و قطب آنها بر هم منطبق هستند، فقط می توانند با عوامل ثابت متفاوت باشند. به عبارت دیگر، ماهیت وابستگی پارامترهای زنجیره به فرکانس به طور کامل توسط صفرها و قطب های تابع زنجیره تعیین می شود. آی تی اگر یک ریشه مختلط وجود داشته باشد، آنگاه یک ریشه نیز خواهد بود، بنابراین، صفرها و قطب های تابع زنجیره می توانند واقعی باشند یا جفت های مزدوج پیچیده تشکیل دهند، اجازه دهید Ф تابع زنجیره باشد مقادیر آن را در =: Ф در نظر بگیرید. Ф Ф از آنجایی که ضرایب در صورت و مخرج Ф واقعی هستند، پس Ф Ф n،
13 No Ф Ф Ф, Ф Ф Ф با مقایسه این تساوی ها با در نظر گرفتن تساوی داده شده در بالا، به این نتیجه می رسیم که Ф Ф, Ф Ф، یعنی قسمت واقعی تابع مدار یک تابع زوج فرکانس و فرد خیالی است. تابع فرکانس 3 ثبات و امکان سنجی فیزیکی برابری را در نظر بگیرید که جریان مقاومت ورودی ناشی از ولتاژ U را تعیین می کند: UIB اجازه دهید U یک گام واحد باشد و سپس I، B که در آن و B چند جمله ای هستند با استفاده از فرمول انبساط، ما می توان i BB را دریافت کرد که در آن صفرهای چند جمله ای B و بنابراین، صفرهای تابع مقاومت و صفرهای تعیین کننده اصلی: = اگر حداقل یک صفر دارای قسمت واقعی مثبت باشد، من به طور نامحدود افزایش می یابد. مقاومت، که حداقل یک صفر آن در نیم صفحه سمت راست است، مربوط به یک سیستم ناپایدار است، 39
14 me همین نتیجه را می توان در مورد مقاومت انتقال T، رسانایی ورودی Y، رسانایی انتقال YT انجام داد. دارای دامنه ای است که با افزایش نامحدود زنجیره ای که در تعریف مشخص شده است پایدار نامیده می شود. نیم صفحه متغیر یا روی محور فرکانس های واقعی. اگر دو یا چند صفر بر چندین ریشه منطبق باشند، جواب های مربوطه شکل می گیرند: M که M چند جمله ای درجه m است، m تعدد ریشه است اگر، در همان زمان، =، و m>، سپس راه حل مربوطه به طور نامحدود افزایش می یابد ضریب o انتقال e، سپس هر آنچه در بالا گفته شد به صفرها اشاره نمی کند، بلکه به قطب های تابع مدار ضریب انتقال اشاره دارد.در واقع: n K صفرهای T قطب های تابع K هستند و مقاومت بار غیرفعال است. صفرهای آن مطمئناً در صفحه سمت راست قرار دارند.از موارد فوق، نتیجه می‌شود که توابع فیزیکی قابل تحقق زنجیره دارای ویژگی‌های زیر هستند: در حالی که صفرها و قطبهای تابع زنجیره یا واقعی هستند یا جفت‌های مزدوج پیچیده را تشکیل می‌دهند. b بخش های واقعی و خیالی تابع زنجیره در فرکانس های واقعی به ترتیب تابع فرکانس زوج و فرد هستند. در صفرهای تعیین کننده اصلی، و در نتیجه، مقاومت رسانایی و مقاومت رسانایی انتقال نمی توانند در نیم صفحه سمت راست قرار گیرند، و صفرهای متعدد نه در نیم صفحه سمت راست و نه در محور فرکانس های واقعی T 4 قرار دارند.
15 3 فرآیندهای گذرا در تقویت‌کننده‌ها حل سیستم معادلات مدار تصویری از سیگنال خروجی برای یک ورودی مشخص می‌دهد U = KE تابع مدار در حوزه زمان را می‌توان با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس u L (KE) پیدا کرد. بیشترین علاقه فرآیند گذرا با سیگنال ورودی به صورت مرحله ای است واکنش پاسخ سیستم به یک مرحله واحد تابع انتقال نامیده می شود.با دانستن تابع انتقال، می توان پاسخ سیستم را به سیگنال ورودی دلخواه پیدا کرد. شکل.تصویر یک پله منفرد شکل دارد، بنابراین، پاسخ سیستم به یک پله منفرد این است: K h L تبدیل لاپلاس معکوس را می توان به صورت زیر نوشت: h LKK 4 d در همان زمان>، زیرا مسیر ادغام باید در سمت راست قطب قرار داشته باشد = تعریف بسیار جالب است شکل 3 کانتور تابع گذرا تقویت کننده با توجه به نوع ادغام آن با پاسخ فرکانس برای این منظور، مسیر محاسبه ادغام گذرا باید باشد. ترکیب با محور تابع فرکانس های واقعی = قطب در t نقطه = در این مورد، باید به دور دایره ای با شعاع r کوچک بچرخید شکل 3: h r K d K r r K r d d r r
16 4 بیایید به حد r برویم سپس d KVKK d KV h داریم در اینجا، عبارت V با انتگرال به معنای مقدار اصلی این انتگرال است. فرمول حاصل به شما امکان می دهد تابع انتقال را از طریق پاسخ فرکانسی بهره در بر اساس این فرمول، می توان چند نتیجه کلی گرفت.متغیر در h را با: d KVK h جایگزین کنید، اما h، همانطور که از اصل علیت به شرح زیر است، زیرا سیگنال در > تابع بهره K پیچیده است و می تواند به صورت نمایش داده شود. مجموع اجزای واقعی و موهومی: K = K + K r با جایگزین کردن عبارت h، d KKVK r را با تمایز نسبت به، به دست می آوریم d KK r یا cos sin sin cos d KKKK rr.
17 قسمت خیالی انتگرال تابعی از فرکانس است، بنابراین انتگرال آن برابر با صفر است. از آنجایی که قسمت واقعی تابعی زوج از فرکانس است، شرطی که ضریب انتقال فیزیکی قابل تحقق باید برآورده شود، به این شکل است: cos K sin dr at این شرط، همانطور که دیدیم، از اصل علیت ناشی می شود، می توان نشان داد که سیستمی که ضریب انتقال آن را می توان به عنوان نسبت چندجمله ای های K, B نوشت، به این معنا که همه صفرهای چند جمله ای پایدار است. B در نیم صفحه سمت چپ قرار دارد، اصل علیت را برآورده می کند. برای انجام این کار، K hd انتگرال را بررسی می کنیم.< и >اجازه دهید دو کانتور بسته و B را که در شکل 3 نشان داده شده است، معرفی کنیم. شکل 3 خطوط یکپارچه سازی: در< ; B при > 43
18 44 تابعی را در نظر بگیرید که در آن انتگرال بر روی یک کانتور بسته گرفته می شود. به دلیل قضیه انتگرال کوشی، انتگرال برابر با صفر است، زیرا در نیم صفحه سمت راست انتگرال با شرط تحلیلی است. انتگرال را می توان به صورت یک نوشتار کرد. مجموع انتگرال ها بر روی بخش های منفرد کانتور ادغام: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h از آنجایی که cos> در /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >h B h را برای R نگه می دارد بنابراین: R h، برای>
19 باقیمانده با توجه به یک قطب ساده برابر است با RB "که قبلاً K lim داشتیم، 45 lim B مثال، طرح زنجیره یکپارچه نشان داده شده در شکل 33 را در نظر بگیرید، برای این زنجیره، ضریب انتقال و فرضی و واقعی آن را در نظر بگیرید. اجزاء به شکل: K؛ K؛ K r، که در آن RC، ثابت کنیم که با توجه به شرط علیت داده شده در بالا، تساوی باید برآورده شود. d با ضرب دو طرف چپ و راست این برابری در، به دست می آید: sin d، شکل 33 طرح مدار یکپارچه که از آن تساوی که باید ثابت شود به دست می آید با داشتن تابع گذرا سیستم، می توان پاسخ آن را به هر ورودی پیدا کرد. سیگنال برای این کار، سیگنال ورودی را تقریباً به صورت مجموع مراحل واحد نمایش می دهیم. شکل 34
20 شکل 34 نمایش سیگنال ورودی این نمایش را می توان به صورت زیر نوشت: uuu بعدی uu "پاسخ به یک مرحله واحد برابر با h خواهد بود بنابراین، سیگنال خروجی را می توان تقریباً به صورت: uuhu" h عبور از حد مجاز در ، به جای مجموع، انتگرال uuhu "hd" را به دست می آوریم. این یکی از اشکال انتگرال دوهامل است که با انتگرال با قطعات، می توانیم شکل دیگری از انتگرال دوهامل را بدست آوریم: uuhuh "d و در نهایت با تغییر متغیر =". ، می توانیم دو شکل دیگر از انتگرال دوهامل بدست آوریم: uuhu "hd; u u h u h "d 46
21 4 برخی از خصوصیات مدارهای دو قطبی 4 ویژگی های کلی تابع مقاومت هدایت ورودی شبکه های دو ترمینالی کاملاً با عملکرد مقاومت هدایت ورودی مشخص می شوند. روی محور فرکانس های واقعی از آنجایی که Y، پس صفرهای Y با قطب ها مطابقت دارد و بالعکس، تابع مقاومت هدایت ورودی نمی تواند دارای قطب در نیم صفحه سمت راست و قطب های متعدد در محور فرکانس های واقعی منفعل دو- باشد. شبکه‌های پایانه همیشه پایدار هستند، زیرا حاوی منابع انرژی نیستند. عبارت مقاومت ورودی ورودی به این شکل است: mbnmnbmn 47 mnbb در یک نقطه بی‌نهایت دور در محور فرکانسهای واقعی برای برابری مجانبی زیر صادق است: bm mn از آنجایی که روی محور فرکانس های واقعی نباید چندین صفر و قطب وجود داشته باشد، نتیجه می شود که mn te توان چندجمله ای های صورت و مخرج نمی تواند بیش از یک متفاوت باشد.با توجه به رفتار wb lisi = به طور مشابه، می توان نشان داد که کوچکترین نماهای صورت و مخرج نمی توانند بیش از یک با هم تفاوت داشته باشند. معنای فیزیکی این عبارات این است که در فرکانس های بسیار بالا و بسیار پایین، یک دستگاه دو قطبی غیرفعال باید مانند یک عمل کند. ظرفیت یا اندوکتانس یا مقاومت فعال n، 4 توابع انرژی یک شبکه دو ترمینالی فرض کنید که یک شبکه دو ترمینالی یک مدار پیچیده معین است که حاوی مقاومت‌های فعال، خازن‌ها و القایی است.
اگر یک ولتاژ سینوسی به پایانه های یک شبکه دو ترمینالی اعمال شود، آنگاه مقداری توان در شبکه دو ترمینالی تلف می شود که مقدار متوسط آن P مشخص کننده اتلاف انرژی است. انرژی الکتریکی و مغناطیسی در خازن ها و سلف ها ذخیره می شود. مقادیر متوسطی که با WE و WH نشان داده می شوند، اجازه دهید این مقادیر را با استفاده از معادلات جریان های حلقه محاسبه کنیم، عبارات مقادیر فوق را مستقیماً با قیاس با ساده ترین موارد می نویسیم، بنابراین، برای مقاومت R، مقدار میانگین توان تلف شده برابر با PRII است به طور مشابه، برای مداری که چندین شاخه دارد، توان متوسط را می توان از طریق جریان های حلقه بیان کرد: P i R i I i I میانگین انرژی ذخیره شده در اندوکتانس، برابر است با WHLII برای یک مدار پیچیده، ما این مقدار را از طریق جریان های حلقه بیان کنید: WH 4 i L i I میانگین انرژی ذخیره شده در خازن است اما بنابراین، WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48
23 بر اساس این نسبت، می توانید یک عبارت برای میانگین کل انرژی الکتریکی بنویسید: WE 4 Ii i Ci بیایید بفهمیم که چگونه این کمیت ها با ولتاژها و جریان های ورودی مرتبط هستند برای انجام این کار، معادلات جریان های حلقه را یادداشت کنید. IRILIE; C I i R i I Li I; Ci هر یک از معادلات را در جریان متناظر 49 Ii ضرب کنید و تمام I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i Ci اگر R i = R i را جمع کنید. L i = L i; C i = C i، یعنی مدار اصل تقابل را برآورده می کند و هیچ عنصر فعالی وجود ندارد، سپس: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W با جایگزینی برابری بالا، توابع E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE را بدست می آوریم.
24 قضیه Telledzhen به شما امکان می دهد عباراتی را برای مقاومت و رسانایی Y بر حسب توابع انرژی بیابید: EIEIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE برخی از نتایج را می توان از عبارات به دست آمده برای و Y از نظر توابع انرژی استخراج کرد. مقاومت ورودی و رسانایی یک مدار غیرفعال دارای یک قسمت واقعی غیر منفی در محور فرکانس های واقعی است. فقط در صورتی که اتلاف انرژی در مدار نباشد صفر است. شرایط پایداری ایجاب می کند که Y نیز صفر و قطب در نیمه سمت راست نداشته باشد. صفحه. عدم وجود قطب به این معنی است که Y توابع تحلیلی در نیم صفحه سمت راست هستند که اگر تابعی در فلان ناحیه تحلیلی باشد، اجزای واقعی و خیالی آن در مرز ناحیه به کوچکترین و بزرگترین مقادیر خود می رسند. از آنجایی که توابع مقاومت ورودی و رسانایی در نیم صفحه سمت راست تحلیلی هستند، پس بخش واقعی آنها در مرز این ناحیه در محور فرکانس های واقعی به کوچکترین مقدار می رسد اما در محور فرکانس های واقعی قسمت واقعی غیر منفی است، بنابراین در کل نیم صفحه سمت راست مثبت است، علاوه بر این، توابع و Y مقادیر واقعی می گیرند. برای مقادیر واقعی، از آنجایی که آنها ضریب تقسیم چندجمله ای ها با ضرایب واقعی هستند، تابعی که مقادیر واقعی را به صورت واقعی می گیرد و در نیم صفحه سمت راست قسمت واقعی مثبت دارد، تابع حقیقی مثبت نامیده می شود. مقاومت ورودی. و توابع رسانایی توابع واقعی مثبت هستند. تابع یک تابع واقعی مثبت بود.
25 انرژی الکتریکی در یک شبکه دو ترمینالی یکسان است. فرکانسی که در آن انجام می شود فرکانس تشدید نامیده می شود. لازم به ذکر است که هنگام استخراج نسبت های انرژی برای و Y، اساساً از خاصیت متقابل عدم وجود منابع وابسته استفاده می شود. برای مدارهایی که اصل متقابل را برآورده نمی کنند. و حاوی منابع وابسته باشد، ممکن است این فرمول نادرست باشد.شکل 4 نمودار یک مدار رزونانس سری را نشان می دهد بیایید ببینیم فرمول انرژی در این ساده ترین حالت چه می دهد. توان تلف شده در مقاومت R در هنگام جریان I برابر با میانگین PIR است. ذخایر انرژی های الکتریکی و مغناطیسی برابر است: WHLICU; W E ولتاژ U در سرتاسر خازن وقتی جریان I جاری است از اینجا W E I U C I C با جایگزین کردن فرمول انرژی برای، ما L I I R I را دریافت می کنیم.
26 در اینجا E C C S I S E R R RC RC C C اجازه دهید، S >> C به طوری که عبارت اول در پرانتز می تواند نادیده گرفته شود شیب S لامپ سپس امپدانس ورودی خواهد بود S I E RC E RC I S S RC که در آن Req; Leq SS شکل 4 مقاومت الکترونیکی RC SR eq L eq، بدیهی است که محاسبه مقاومت ورودی با استفاده از توابع انرژی در این مورد نتیجه نادرستی به دست می دهد در واقع، هیچ ذخیره انرژی مغناطیسی در این مدار وجود ندارد که اندوکتانس را تعیین می کند. دلیل نامناسب بودن فرمول انرژی این مدار وجود منبع وابسته در مدار است با انتخاب شیفت فاز مورد نیاز در مدار شبکه کنترل لامپ می توان فاز القایی یا خازنی به دست آورد. تغییر بین ولتاژ و جریان در ورودی و بر این اساس، ماهیت القایی یا خازنی مقاومت ورودی. مقاومت یا رسانایی مدار غیرفعال در محور فرکانسهای واقعی غیرمنفی است و برای هر فرکانس می‌تواند برابر با صفر باشد. تنها در صورتی که تمام عناصر مدار تلفات نداشته باشند، یعنی کاملاً واکنش پذیر باشند، اما حتی در صورت وجود تلفات، بخش واقعی مقاومت یا رسانایی می تواند ناپدید شدن در برخی از فرکانس ها 5
27 اگر در هیچ نقطه ای از محور فرضی ناپدید نشود، می توان یک مقدار ثابت را از تابع مقاومت یا رسانایی کم کرد بدون اینکه شرایط امکان سنجی فیزیکی نقض شود، به طوری که بخش واقعی، غیرمنفی باقی بماند، در فرکانس خاصی به صفر تبدیل شود. از قطب ها در نیم صفحه سمت راست متغیر، یعنی در این ناحیه تحلیلی است، سپس قسمت واقعی آن در مرز خود، یعنی روی محور فرضی، دارای یک مقدار کمینه است، بنابراین، با تفریق این مقدار حداقل مقدار را ترک می کنیم. قسمت واقعی مثبت در نیم صفحه سمت راست تابع مقاومت رسانش ورودی تابعی از حداقل نوع - مقاومت فعال رسانش نامیده می شود، اگر قسمت واقعی آن بر روی محور فرکانس های واقعی ناپدید شود، به طوری که این مقدار کاهش یابد. جزء بدون نقض شرایط انفعال غیر ممکن است. سپس صفر قسمت واقعی روی محور فرکانسهای واقعی، دارای چند دست‌کم c و نوع غیر حداقل فعال d در شکل 43 است، و مدار دارای مقاومت ورودی از نوع غیر حداقل فعال است، زیرا بخش واقعی مقاومت در هیچ فرکانس واقعی ناپدید نمی شود در همان زمان، بخش واقعی رسانایی در فرکانس ناپدید می شود = بنابراین، مدار مداری با حداقل رسانایی فعال است در شکل 43، b، مدار یک مدار است. حداقل مقاومت فعال، زیرا بخش واقعی مقاومت در فرکانس بی نهایت 53 ناپدید می شود
28 در شکل 43، مدار مداری با حداقل مقاومت فعال R = در فرکانس تشدید مدار سری است. مدار در مدار سوم دارای مقاومت محدود در فرکانس تشدید است. شکل 44 دستگاه‌های دو ترمینالی: a با منبع EMF، b با افزودن مقاومت R مقاومت‌های رسانایی ورودی اکتیو، بر خلاف دستگاه‌های دو ترمینالی غیرفعال، عملکرد مثبتی ندارند و بنابراین چنین شبکه‌های دو ترمینالی تحت شرایط خاصی می‌توانند ناپایدار باشید.امکانات موجود در اینجا را در نظر بگیرید.مقاومت دارای صفر در نیم صفحه سمت راست متغیر است، اما قطبی در آن وجود ندارد. مدار نشان داده شده در شکل 44 را در نظر بگیرید و راه حل های افزایش نمایی، یعنی دو قطبی را قرار دهید. نیک زمانی که از منبع EMF تغذیه می شود، یا در غیر این صورت، هنگامی که پایانه های آن اتصال کوتاه دارند ناپایدار است. از طرف دیگر، از آنجایی که در نیمه صفحه سمت راست هیچ قطبی ندارد، یک تابع تحلیلی در این نیمه صفحه است. نتیجه این است که قسمت واقعی در مرز نیم صفحه سمت راست به حداقل می رسد، یعنی محورهای فرکانس های واقعی این حداقل منفی است، زیرا در حالت مخالف یک تابع واقعی مثبت خواهد بود و نمی تواند در سمت راست صفر داشته باشد. نیم صفحه. حداقل قسمت واقعی در محور فرکانس واقعی را می توان با افزودن یک مقاومت واقعی مثبت به صفر رساند. مقاومت R در طول یک اتصال کوتاه پایدار خواهد بود شکل 44، b.
29 رسانایی Y دارای صفر در نیم صفحه سمت راست است، اما هیچ قطبی در آن وجود ندارد. این حالت برعکس مورد قبلی است، زیرا به این معنی است که = / Y دارای قطب هایی در نیم صفحه سمت راست است، اما در آنجا صفر ندارد. در این حالت، پایداری در مداری با منبع جریان بررسی می‌شود شکل 45، a اگر Y در نیم صفحه سمت راست صفر داشته باشد، شبکه دو ترمینالی در حین عملیات بدون بار ناپایدار است. از آنجایی که Y هیچ قطبی در نیم صفحه سمت راست ندارد، تابع Y را می توان با افزودن یک رسانایی واقعی مثبت G Gmin به یک تابع مثبت واقعی تبدیل کرد. صفرها در نیم صفحه سمت راست، اما فاقد قطب در آنجا هستند، می توانند با افزودن یک رسانایی واقعی به اندازه کافی بزرگ، پایدار شوند. از منبع ولتاژ 3 این تابع دارای صفر و قطب در نیم صفحه راست است. در این مورد، برای حل مسئله پایداری مستلزم توجه ویژه است، بنابراین، می‌توان نتیجه‌گیری‌های زیر را گرفت: اگر یک شبکه دو پایانه فعال هنگامی که از منبع جریان تغذیه می‌شود، پایدار باشد، در نیم صفحه سمت راست هیچ قطبی نداشته باشد، می‌توان آن را پایدار کرد. هنگامی که از منبع ولتاژ با اتصال سری مقداری مقاومت مثبت مواد تغذیه می شود. اگر یک دستگاه دو ترمینالی فعال هنگامی که از منبع ولتاژ تغذیه می شود پایدار باشد Y در نیمه صفحه سمت راست قطب نداشته باشد، آنگاه می توان آن را هنگامی که از منبع جریان تغذیه می شود با اتصال یک رسانایی واقعی به اندازه کافی بزرگ به صورت موازی پایدار کرد. مثال در نظر بگیرید. اتصال موازی یک مقاومت منفی R با ظرفیت C شکل. 46 RCR در اینجا R RC CI 55 Y b G شکل. 45 شبکه های دو قطبی: a با منبع جریان. b با افزودن رسانایی Y Y شکل 46 دو قطبی با مقاومت منفی I
30 همانطور که می بینید، در نیم صفحه سمت راست صفر ندارد، بنابراین چنین مداری هنگامی که از منبع ولتاژ تغذیه می شود پایدار است اما در حالت بی باری ناپایدار است اجازه دهید اندوکتانس L را به صورت سری اضافه کنیم سپس شکل 47 مدار معادل از یک دیود تونلی RRL LCR L RC RC این تابع دارای صفر در نیمه صفحه سمت راست است: , RC 4 RC LC بنابراین، مدار زمانی که از منبع ولتاژ تغذیه می شود ناپایدار است اما همچنین دارای یک قطب در نیمه صفحه سمت راست است. سعی کنید آن را با افزودن مقداری مقاومت در سری R پایدار کنید شکل 47 سپس R LCR RRC LRRLR RC RC شرط پایداری عبارت است از عدم وجود صفرهای اعطاگر در نیم صفحه سمت راست برای این کار، تمام ضرایب سه جمله ای در صورتگر باید مثبت باشد: RR CL; RR این دو نابرابری را می توان به صورت زیر نوشت: L CR RR بدیهی است که اگر LLR یا R RC C R تحت شرایط R باشد، چنین نابرابری هایی امکان پذیر است. مدار در شکل 47 معادل مدار C دیود تونل است.
31 امکان تثبیت حالت عملکرد یک دیود تونلی با استفاده از مقاومت خارجی مثال یک مدار LC با مقاومت منفی متصل موازی را در نظر بگیرید شکل 48 شرایط پایداری مدار بدون بار را بیابید برای انجام این کار، رسانایی را محاسبه کنید: R یا R> R o هنگامی که نابرابری معکوس برآورده می شود، خود نوسانات در مدار در فرکانس مدار تشدید 45 حد معین بدون نقض شرایط انفعال تحریک می شوند. اضافه یا حذف یک مقاومت فعال واقعی، به طور ایده آل مستقل از فرکانس تغییر در مولفه راکتیو تابع مقاومت n رسانایی با یک مقدار ثابت غیرقابل قبول است، زیرا این شرایط عجیب و غریب بودن مولفه خیالی تابع مدار را نقض می کند، این امر با این واقعیت توضیح داده می شود که هیچ عنصری با مقاومت رسانایی مستقل از فرکانس واکنشی خالص وجود ندارد. تغییر در مولفه راکتیو بدون تغییر در مولفه فعال در شرایطی امکان پذیر است که مقاومت رسانایی دارای قطب هایی در محور فرکانس های واقعی باشد.با توجه به شرایط فیزیکی، این قطب ها باید مزدوج ساده و پیچیده باشند.
32 بگذارید مقاومت دارای قطب در فرکانس باشد سپس می توانیم کسرهای ساده را تشخیص دهیم MNBB به راحتی می توان دید که NNMMN r MB r 58 B * M, MM رفتار یکی از کسری ها را در نظر بگیرید، به عنوان مثال، M / نزدیک = سپس MMM r M r M در نزدیکی فرکانس، مولفه واقعی تغییر علامت می دهد، که با شرایط تحقق فیزیکی در تضاد است، بنابراین، M r = N r = سپس M = N علاوه بر این، می توان نشان داد که M = N> در واقع، ما = قرار می دهیم. + و> سپس کسری مقدار M / را به خود می گیرد، که باید بزرگتر از صفر باشد، زیرا کسر باید در نیم صفحه سمت راست یک تابع مثبت واقعی باشد، بنابراین، M = N> بنابراین، اگر دارای مختلط - مزدوج باشد. قطب ها در محور فرکانس های واقعی، پس می توان آن را به شکل: MM، B نشان داد و شرایط امکان سنجی فیزیکی را برآورده می کند، اگر واقعاً راضی باشند، هیچ قطبی در نیم صفحه سمت راست ندارد، زیرا در آنجا قطب ندارد. بنابراین، یک تابع تحلیلی در نیم صفحه سمت راست است. از طرف دیگر، جمله اول به خود می گیرد. محورهای فرکانس های واقعی مقادیر کاملاً تخیلی هستند، بنابراین، آنها دارای قطعات واقعی یکسان در محورهای فرکانس های واقعی هستند. صفحه نیز یک تابع مثبت r است
33 علاوه بر این، مقادیر واقعی واقعی را در نیم صفحه سمت راست برای مقادیر واقعی می گیرد، در نتیجه، یک تابع مثبت واقعی است. : M "Y, YM" که در آن عبارت نشان دهنده رسانایی مدار رزونانس سری است: YCLLCL علاوه بر قطب ها در نقاط ±، یعنی در فرکانس های محدود، قطب ها در فرکانس های صفر و بی نهایت امکان پذیر است. این قطب ها مطابق با عبارات :, L, Y, YC, CL t با ظرفیت یا اندوکتانس مطابقت ندارد گزاره زیر درست است امپدانس ورودی رسانایی مدار غیرفعال همچنان شرایط امکان فیزیکی را برآورده می کند اگر 59
34 راکتانس رسانایی مربوط به قطبهای واقع در محور فرکانسهای واقعی را از آن کم کنید.قطبهای مقاومت و رسانایی بدون فرکانس واقعی وجود چنین قطبهایی به معنای امکان وجود نوسانات آزاد در آنها بدون میرایی است اما در بسیاری از آنها در مواردی که با تقریب خوب می توان از تلفات عناصر راکتیو چشم پوشی کرد. برای یافتن خواص مدارهای بدون تلفات و همچنین کشف اینکه در چه شرایطی می توان تلفات را نادیده گرفت. فرض کنید که تمام عناصر مدار کاملاً واکنشی هستند به راحتی می توان نشان داد که در این مورد در محور فرکانس های واقعی، مقاومت و رسانایی Y مقادیر خیالی می گیرند، در واقع، در این حالت قدرت تلفات برابر با صفر است، بنابراین: W I 6 H WE W Y E WE؛ از آنجایی که قسمت فرضی مقاومت یا رسانایی تابعی از مدار است، پس در این حالت = بنابراین در حالت کلی تر = شرایط امکان سنجی فیزیکی ایجاب می کند که در نیم صفحه سمت راست صفر و قطب نداشته باشد. اما از آنجا که =، پس در نیم صفحه سمت چپ نیز نباید صفر و قطب وجود داشته باشد، بنابراین، H
35 تابع و Y فقط روی محور فرکانس های واقعی می توانند صفر و قطب داشته باشند. از نظر فیزیکی، این قابل درک است، زیرا در یک مدار بدون تلفات، نوسانات آزاد میرایی نمی کنند. نتیجه این است که با استفاده از روش شناسایی قطب های واقع در محور. از فرکانس های واقعی، می توان توابع و Y را به شکل زیر کاهش داد: bnbnb Y به عبارت دیگر، یک دستگاه دو قطبی با مقاومت را می توان به صورت نمودار زیر در شکل 49 از فرم فاستر نشان داد:; شکل 49 اولین شکل فاستر بر این اساس، Y را می توان به شکل -امین شکل فاستر نشان داد. شکل 4 شکل. ساده، سپس نزدیک به صفر تابع را می توان به شکل M o نشان داد، جایی که o مقداری از مرتبه بالاتر کوچکی در مقایسه با نزدیک در نیم صفحه سمت راست است، کمیت واقعی باید مثبت باشد، و این فقط در صورتی امکان پذیر است که M واقعی است 6
36 یک قدر است و M> بنابراین، نزدیک به صفر = جزء خیالی فقط با یک مشتق مثبت می تواند تغییر کند، تغییر علامت از "+" باید یک ناپیوستگی وجود داشته باشد، که برای مدارهایی با عناصر توده ای فقط می تواند یک قطب باشد All که گفته شد در مورد رسانایی Y نیز صدق می کند. صفرها نقاط تشدید نامیده می شوند و قطب ها نقاط ضد تشدید نامیده می شوند بنابراین رزونانس ها همیشه با آنتی رزونانس ها متناوب می شوند. در نقاط تشدید و در نقاط ضد تشدید، میانگین ذخایر انرژی الکتریکی و مغناطیسی با یکدیگر برابر است، در واقع، در نقاط تشدید =، یعنی WHWE = در نقاط ضد رزونانس Y =، بنابراین، WEWH = اجازه دهید اکنون نشان می‌دهیم که در مورد مدارهای بدون تلفات، فرمول‌های زیر صورت می‌گیرد، من می‌دهم وابستگی مقاومت و رسانایی به فرکانس اجازه دهید مقاومت و رسانایی را به شکل: X, Y B نشان دهیم سپس: dx WH W d I db WH WE d E برای اثبات، تعریف مقاومت E I 6 E را در نظر بگیرید. اجازه دهید E = منفی را با فرکانس متمایز کنیم: d E di d I d فرض کنید E یک مقدار واقعی است سپس برای یک مدار بدون تلفات I یک مقدار کاملاً خیالی است در این مورد d E d I di d I و
37 حال اجازه دهید به سیستم معادلات برای جریان های حلقه n 4 بپردازیم: I Li I Ei, i, n C با فرض اینکه فقط E، هر یک از معادلات را در ضرب کرده و همه معادلات را جمع کنیم: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, سپس به رابطه به دست آمده در p 4 برای مدارهای بدون تلفات می پردازیم: i, L i I Ii ii, IIC ii E با تمایز بر اساس فرکانس در E = منفی، دریافت می کنیم: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di ، از آنجایی که E یک مقدار واقعی بر اساس فرض است، همچنین از موارد فوق نتیجه می گیرد که: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63
38 با جایگزین کردن به کل، به دست می‌آییم: di, L i I Ii i, IIC ii E di E با کاهش عبارت‌های مشابه در سمت چپ و راست، می‌بینیم: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E بود در بخش n 4، برابر با i، L i I Ii، Ii IC i 4 WHWE di با جایگزین کردن مشتق تابع مقاومت در عبارت، دریافت می کنیم: d E di WH W d I d I به طور مشابه، می توانید ثابت کنید تساوی دوم dy W d E WE از این فرمول ها به دست می آید که با افزایش فرکانس، راکتانس و رسانایی مداری از عناصر کاملا راکتیو فقط می تواند افزایش یابد. بسته به وجود صفرها و قطب ها در فرکانس های صفر و بی نهایت، نمودار وابستگی X و B می تواند یکی از انواع زیر را داشته باشد که در شکل 4 نشان داده شده است. در نهایت، ما سعی خواهیم کرد دریابیم که چگونه وجود تلفات کوچک بر مقاومت مداری متشکل از عناصر راکتیو تأثیر می گذارد.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64
39 تضعیف می تواند برای قطب های مختلف متفاوت باشد بنابراین، توصیه می شود رفتار تابع مقاومت در نزدیکی یکی از قطب ها را در نظر بگیرید.
40 از آنجایی که ما به مقادیر روی محور فرکانس های واقعی علاقه مند هستیم، باید با در عددگر جایگزین شود، می توانیم در مقایسه با شرط کوچک را کنار بگذاریم: این عبارت را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:، Qx "where ؛ Q؛ x؛ کمیت Q >> ضریب کیفیت نامیده می شود، کمیت x را تنظیم نسبی رزونانس نزدیک می گویند. در نظر بگیرید که چگونه بخش های واقعی و خیالی مقاومت نزدیک به تشدید به فرکانس بستگی دارد: QQ x R؛ Im Q x Q x 66
41 رزونانس نزدیک Im افزایش می‌یابد، اما در تشدید با مشتق منفی از صفر می‌گذرد. منحنی تشدید R به ضریب Q بستگی ندارد با افزایش ضریب Q عرض منحنی کاهش می یابد اما ارتفاع افزایش می یابد به طوری که مساحت بدون تغییر باقی می ماند Qx >> قسمت واقعی به سرعت کاهش می یابد و قسمت خیالی برابر با Im x 67 است، یعنی به همان شکلی که در مورد یک کانتور بدون تلفات تغییر می کند.
بنابراین، وابستگی به فرکانس با وارد کردن تلفات کوچک در فرکانس‌هایی که از فرکانس تشدید فاصله دارند کمی تغییر می‌کند. در نزدیکی فرکانس، مسیر به طور قابل توجهی تغییر می‌کند. مربوط به یک رابطه شبیه به قطب: که در آن Q; gq Y، Qx g هدایت مشخصه. L x صفر مربوط به قطب رسانایی Y نزدیک به صفر است، بنابراین، مقاومت را می توان بر روی محور فرکانس های واقعی به صورت زیر نشان داد: Qx x، Y gq Q که در آن = / g به همان شکل قبل از 68 نزدیک به صفر تغییر می کند.
43 5 چهار قطبی 5 معادلات اساسی چهار قطبی چهار قطبی مداری است که دارای دو جفت پایانه است: ورودی که منبع سیگنال به آن وصل است و خروجی که بار به آن متصل است. مقاومت انتقال در این شرایط، مقاومت منبع سیگنال n و مقاومت بار n در T گنجانده می شود وقتی آنها تغییر می کنند و T تغییر می کند مطلوب است که معادلات و پارامترهایی داشته باشیم که خود شبکه چهار پورت را مشخص می کند. جفت پایانه: 69 II; شکل 5 روشن کردن شبکه چهار پورت I در اینجا U و U ولتاژهای پایانه های ورودی و خروجی هستند، I و I جریان هایی هستند که از طریق پایانه های ورودی و خروجی به سمت شبکه چهار پورت جریان می یابند، به شکل 5 مراجعه کنید. ضرایب سیستم معادلات اتصال ولتاژ و جریان معنی ساده ای دارد. مقدار ضریب تناسب بین I و U در جریان در پایانه های خروجی I =، یعنی بدون بار در پایانه های خروجی است. به عبارت دیگر، این مقاومت ورودی در حالت بی باری در خروجی است = x به طور مشابه، این مقاومت ورودی از سمت پایانه های خروجی در حالت بی باری در اولین جفت پایانه است = x ضریب به معنای مقدار مخالف رسانایی انتقال در حالت آماده به کار در اولین جفت پایانه ها، یعنی در پایانه های ورودی جریان صفر U و IYT x YT x
44 I U; YT x YT x توجه داشته باشید که برای یک شبکه چهار پورت غیرفعال، هر دو رسانایی انتقال به دلیل اصل متقابل با یکدیگر برابر هستند بنابراین، = = / Y Tx سیستم معادلات داده شده در بالا را می توان به صورت: IU x I نوشت. ; YT x IU x I YT x I، از آنجایی که جریان در این مورد از یک شبکه چهار پورت هدایت می شود، یعنی در جهت مخالف در مقایسه با مسیر اتخاذ شده در بالا، جایگزین کردن U در معادله دوم، از آنجا I, I دریافت می کنیم. n I x I YTx IY x Tx با جایگزینی I به معادله اول، UI x Y Tx n را بدست می آوریم از اینجا امپدانس ورودی را در nx U x IY می یابیم بر اساس قیاس، می توانید یک عبارت برای مقاومت خروجی نیز بنویسید، با تعویض عدد شاخص ها و: T xnx 7
45 out x YT xnx 5 پارامترهای مشخصه یک دستگاه چهار قطب مورد توجه قابل توجهی است زمانی که ژنراتور و بار به طور همزمان مطابقت داشته باشند، به عنوان مثال، زمانی که n = c و n = c، رابطه در = c و out = c انجام می شود با جایگزینی در عبارت های in و out، معادلاتی را به دست می آوریم که به ما امکان می دهد c و c را پیدا کنیم: cc x x YT x YT x 7 cc این سیستم به صورت زیر حل می شود از اولین معادله ای که پیدا می کنیم: از کجا cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x
46 توجه داشته باشید که اتصال کوتاه و اتصال کوتاه به ترتیب مقاومت های ورودی از طرف جفت ترمینال اول و دوم در صورت اتصال کوتاه روی جفت ترمینال های دیگر هستند. بار برابر با امپدانس مشخصه c را منطبق می گویند. با هر تعداد شبکه چهار پورت که به این روش روشن شود، تطابق در هر مقطعی حفظ می شود. UI c I c ln I c U cg ln U بخش واقعی ضریب انتقال مشخصه برای فرکانس های واقعی را تضعیف مشخصه می نامند و قسمت خیالی را ثابت فاز مشخصه می گویند همچنین نسبت: I g I; U c g U U U I I
47 ضریب انتقال مشخصه از این نظر راحت است که با اتصال آبشاری منطبق از شبکه های دو پورت، ضریب انتقال حاصل برابر با مجموع ضرایب انتقال شبکه های چهار پورت جداگانه است. ضریب انتقال مشخصه را می توان از روابط پیدا کرد. : امپدانس های مشخصه c و c، به طور کلی، به فرکانس بستگی دارند بنابراین، استفاده از پارامترهای مشخصه همیشه برای نشان دادن مقاومت انتقال T راحت نیست. یک شبکه چهار پایانه به یک بار واقعی ثابت R با مقاومت کاملاً فعال ژنراتور R شکل 53 در این مورد، انتقال با استفاده از ضریب انتقال عملیاتی UI ln، UI که در آن U "و I" هستند تعیین می شود. و جریانی که ژنراتور قادر است در مقاومتی برابر با مقاومت داخلی ژنراتور ایجاد کند، یعنی: EU, IE, R 73 EUI, 4R U و I ولتاژ و جریان بار در این حالت جایگزینی U = IR، ما به دست آوردن ضریب انتقال عملیاتی ln از اینجا 4R ERI ln ERRTIRR بدست می آید
48 مقدار تابعی از یک متغیر مختلط است برای فرکانس های واقعی =: = + B، که در آن تضعیف عملیاتی، B ثابت فاز است. تضعیف عملیاتی برابر با ln TRR 74 ln PP mx است، زیرا P mx حداکثر توانی است که ژنراتور می تواند به ورودی شبکه چهار پورت بدهد و P توان تخصیص داده شده بر روی بار RP mx EPIR 4R است. تابع در نیم صفحه سمت راست تحلیلی است بنابراین تابع تحلیلی متناسب با آن نیز در نیمه صفحه سمت راست قرار دارد. شبکه چهار پورت بر روی محور فرکانس های واقعی، بنابراین R> در کل نیم صفحه سمت راست، بیشتر T ln 4R R تابع T ضریب تقسیم دو چند جمله ای با ضرایب واقعی است، و T مثبت واقعی می شود. مقادیر e برای واقعی بنابراین، برای مقادیر واقعی نیز واقعی است، بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که تابع مثبت واقعی مشکل سنتز یک شبکه چهار پورت با یک ضریب انتقال عملیاتی معین در حالت کلی به بهترین وجه حل می‌شود. با کمک به اصطلاح شبکه چهار پورت متقاطع که تحت شرایط خاص، تی
4.11. خواص تبدیل لاپلاس 1) تناظر یک به یک: s (S И (2) خطی بودن تبدیل لاپلاس: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (و همچنین 3) تحلیلی S И (): اگر s (راضی کننده باشد
4 سخنرانی 5 تجزیه و تحلیل مدارهای دینامیک طرح معادلات حالت مدارهای الکتریکی الگوریتم تشکیل معادلات حالت 3 نمونه هایی از ترسیم معادلات حالت 4 نتیجه گیری معادلات حالت الکتریکی
4 .. خواص تبدیل لاپلاس.) مطابقت یک به یک: S И () 2) خطی بودن تبدیل لاپلاس: s (s () И () И 2 S S2 () و همچنین 3) تحلیلی S И (): اگر شرایط را برآورده کند
64 سخنرانی 6 روش عملیاتی تجزیه و تحلیل مدارهای الکتریکی پلان تبدیل لاپلاس ویژگی های تبدیل لاپلاس 3 روش اپراتور برای تجزیه و تحلیل مدارهای الکتریکی 4 تعیین اصلی توسط معلوم
2.2. روش عملگر برای محاسبه گذرا. اطلاعات نظری محاسبه فرآیندهای گذرا در مدارهای پیچیده با روش کلاسیک اغلب برای یافتن ثابت های یکپارچه سازی دشوار است.
70 سخنرانی 7 توابع مدارهای اپراتور طرح توابع ورودی و انتقال اپراتور قطب ها و صفرهای توابع مدار 3 نتیجه گیری توابع ورودی و انتقال اپراتور یک تابع اپراتور از مدار نامیده می شود.
جریان سینوسی "در کف دست" بیشتر انرژی الکتریکی به شکل EMF تولید می شود که در طول زمان مطابق با قانون یک تابع هارمونیک (سینوسی) تغییر می کند. منابع EMF هارمونیک هستند
4 ویژگی های فرکانس رزونانس مدارهای الکتریکی رزونانس و اهمیت آن در الکترونیک رادیویی توابع انتقال پیچیده 3 ویژگی های فرکانس لگاریتمی 4 نتیجه گیری رزونانس و
فرآیندهای گذرا "در کف دست شما". شما قبلاً روشهای محاسبه مداری را می‌شناسید که در حالت ثابت است، یعنی مداری که در آن جریان‌ها مانند افت ولتاژ روی عناصر جداگانه در طول زمان ثابت است.
طنین در کف دست شما. تشدید حالت یک شبکه دو ترمینالی غیرفعال حاوی عناصر القایی و خازنی است که در آن راکتانس آن صفر است. شرایط رزونانس
ارتعاشات الکتریکی اجباری جریان متناوب نوسانات الکتریکی را در نظر بگیرید که وقتی یک ژنراتور در مدار وجود دارد که نیروی الکتروموتور آن به طور متناوب تغییر می کند، رخ می دهد.
فصل 3 جریان متناوب اطلاعات نظری بیشتر انرژی الکتریکی به شکل EMF تولید می شود که در طول زمان بر اساس قانون تابع هارمونیک (سینوسی) تغییر می کند.
سخنرانی 3. کسورات. قضیه اصلی در مورد باقیمانده ها باقیمانده تابع f () در یک نقطه منفرد جدا شده a یک عدد مختلط برابر با مقدار انتگرال f () 2 است که در جهت مثبت i در امتداد دایره گرفته شده است.
نوسانات الکترومغناطیسی جریان های شبه ایستا فرآیندها در مدار نوسانی مدار نوسانی مداری متشکل از سیم پیچ های القایی متصل به صورت سری، خازن با ظرفیت C و یک مقاومت
1 5 نوسانات الکتریکی 51 مدار نوسانی نوسانات در فیزیک نه تنها به حرکات تناوبی اجسام، بلکه به هر فرآیند تناوبی یا تقریباً دوره ای که در آن مقادیر یک یا
مدارهای غیرفعال مقدمه مشکلات محاسبه دامنه فرکانس، فرکانس فاز و مشخصه های گذرا در مدارهای غیرفعال را در نظر می گیرند. برای محاسبه ویژگی های نام برده شده، باید بدانید
مطالعه ارتعاشات آزاد و اجباری در یک مدار نوسانی ارتعاشات الکتریکی آزاد در یک مدار نوسانی مدار نوسانی متشکل از خازن های سری متصل را در نظر بگیرید.
درس 3 موضوع سیستم های نوسانی مدار نوسانی ترتیبی. رزونانس ولتاژها مدار نوسانی سری مداری است که در آن یک سیم پیچ و یک خازن به صورت سری به هم متصل می شوند.
دانشگاه دولتی مسکو MV Lomonosov دانشکده فیزیک گروه فیزیک عمومی
مواد برای خودآموزی در رشته "تئوری مدارهای الکتریکی" برای دانشجویان رشته های تخصصی: -6 4 s "الکترونیک صنعتی" (بخش)، -9 s "مدل سازی و طراحی کامپیوتری".
روش دامنه پیچیده نوسانات ولتاژ هارمونیک در پایانه های عناصر R یا باعث ایجاد جریان هارمونیک با همان فرکانس می شود. تمایز، ادغام و اضافه کردن توابع
پیوست 4 نوسانات الکتریکی اجباری جریان متناوب اطلاعات نظری زیر ممکن است برای آماده سازی برای کارهای آزمایشگاهی 6، 7، 8 در آزمایشگاه "الکتریسیته و مغناطیس" مفید باشد.
54 سخنرانی 5 تبدیل فوریه و روش طیفی برای تجزیه و تحلیل مدارهای الکتریکی طرح طیف توابع غیر تناوبی و تبدیل فوریه برخی از خواص تبدیل فوریه 3 روش طیفی
امتحان تشدید تنش ها (ادامه) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω مخرج در فرکانس ω 0 حداقل است، به طوری که ω0 = 0 => ω0 ω 0 = به این فرکانس رزونانس می گویند
فصل 2. روش های محاسبه فرآیندهای گذرا. 2.1. روش کلاسیک محاسبه اطلاعات نظری در فصل اول روش هایی برای محاسبه مدار در حالت ثابت در نظر گرفته شد، یعنی
Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu توابع شماتیک دستگاه توابع مدار هم برای تجزیه و تحلیل مدارها در جریان مستقیم و هم هارمونیک و هم برای یک نوع تأثیر دلخواه در حالت پایدار قابل استفاده است.
4.9. پاسخ گذرا مدار، رابطه آن با پاسخ ضربه. تابع K j K j j > S j j K j S را در نظر بگیرید 2 فرض کنید K jω دارای تبدیل فوریه h K j باشد اگر IH k K j وجود داشته باشد، پس
سخنرانی 9 خطی سازی معادلات دیفرانسیل معادلات دیفرانسیل خطی درجه های بالاتر معادلات همگن خواص راه حل های آنها ویژگی های حل معادلات ناهمگن تعریف 9 خطی
توسعه روشی حل مسئله توسط TFKP اعداد مختلط عملیات روی اعداد مختلط صفحه مختلط یک عدد مختلط را می توان به صورت نمایی جبری و مثلثاتی نشان داد.
فهرست مطالب بخش مقدمه روش کلاسیک برای محاسبه گذرا بخش محاسبه گذرا با ورودی های تصادفی با استفاده از انتگرال های همپوشانی 9 مسائل کنترلی7
4 ارتعاشات و امواج الکترومغناطیسی مدار نوسانی یک مدار الکتریکی متشکل از خازن ها و سیم پیچ ها است که در آن فرآیند نوسانی شارژ مجدد خازن امکان پذیر است.
3.5. مدار نوسانی موازی پیچیده I مداری که در آن حداقل یک شاخه موازی دارای واکنش پذیری هر دو علامت است. I С С I I هیچ ارتباط مغناطیسی بین و وجود ندارد. شرایط رزونانس
سخنرانی N38. رفتار یک تابع تحلیلی در بی نهایت نکات ویژه باقی مانده های یک تابع ... همسایگی یک نقطه بی نهایت دور ... یک بسط لوران در همسایگی یک نقطه بی نهایت دور .... 3. رفتار
4 سخنرانی 3 ویژگی های فرکانس مدارهای الکتریکی توابع انتقال پیچیده ویژگی های فرکانس لگاریتمی 3 نتیجه گیری توابع انتقال پیچیده (ویژگی های فرکانس پیچیده)
نوسانات. درس 3 دینام برای توضیح اصل عملکرد یک دینام، اجازه دهید ابتدا در نظر بگیریم که چه اتفاقی می افتد زمانی که یک چرخش مسطح یک سیم به صورت یکنواخت مغناطیسی می چرخد.
معادلات دیفرانسیل مفاهیم کلی
محاسبه منبع نوسانات هارمونیک (GCI) مدار اولیه GCI نسبت به سیم پیچ اولیه ترانسفورماتور را با منبع ولتاژ معادل ارائه دهید پارامترهای آن (EMF و داخلی) را تعیین کنید.
کار 11 مطالعه ارتعاشات اجباری و پدیده رزونانس در یک مدار نوسانی در مداری که یک سلف و یک خازن دارد، نوسانات الکتریکی می تواند رخ دهد. کار در حال مطالعه است
مبحث 4 .. مدارهای AC سوالات مبحث .. مدار AC با اندوکتانس .. مدار AC با اندوکتانس و مقاومت فعال. 3. مدار AC با ظرفیت. 4. متغیر زنجیره ای
4 سخنرانی تجزیه و تحلیل مدارهای مقاومتی طرح وظیفه تجزیه و تحلیل مدارهای الکتریکی قوانین Kirchhoff نمونه هایی از تجزیه و تحلیل مدارهای مقاومتی 3 تبدیل معادل یک مدار بخش 4 نتیجه گیری وظیفه تجزیه و تحلیل الکتریکی
نوع 708 منبع EMF سینوسی e (ωt) sin (ωt ψ) در مدار الکتریکی کار می کند. نمودار مدار نشان داده شده در شکل .. مقدار موثر منبع EMF E، فاز اولیه و مقدار پارامترهای مدار
داده های اولیه R1 = 10 اهم R2 = 8 اهم R3 = 15 اهم R4 = 5 اهم R5 = 4 اهم R6 = 2 اهم E1 = 10 ولت E2 = 15 ولت E3 = 20 ولت قوانین Kirgoff (ولتاژ ثابت) 1. به دنبال گره گره نقطه، که در آن سه (یا بیشتر) هادی به هم متصل هستند
سخنرانی نوسان. نوسانات اجباری شکل منبع نوسان M athcale یک مدار نوسانی سری متشکل از یک مقاومت R، یک سلف L و یک خازن با ظرفیت را تغذیه می کند.
امتحان تشدید ولتاژها (ادامه) فرض می کنیم ولتاژ دو طرف یک مدار ولتاژ کل مدار نوسانی است و ولتاژ خروجی مدار ولتاژ دو طرف خازن و سپس دامنه است.
ترم پاییز سال تحصیلی مبحث 3 تحلیل هارمونیک سیگنال های غیر پریودیک تبدیل فوریه مستقیم و معکوس مشخصه طیفی سیگنال طیف فرکانس دامنه و فاز فرکانس
سخنرانی 6. طبقه بندی نقاط استراحت یک سیستم خطی دو معادله با ضرایب واقعی ثابت. سیستمی متشکل از دو معادله دیفرانسیل خطی با واقعی ثابت را در نظر بگیرید
54 سخنرانی 5 تبدیل فوریه و روش طیفی برای تجزیه و تحلیل مدارهای الکتریکی طرح طیف توابع غیر تناوبی و تبدیل فوریه 2 برخی از خواص تبدیل فوریه 3 روش طیفی
موضوع: قوانین جریان متناوب جریان الکتریکی حرکت منظم ذرات باردار یا اجسام ماکروسکوپی است. متغیر جریانی است که مقدار آن در طول زمان تغییر می کند.
امپدانس امتحان امپدانس امپدانس یا امپدانس مختلط طبق تعریف برابر است با نسبت ولتاژ مختلط به جریان مختلط: Z ɶ توجه داشته باشید که امپدانس نیز برابر با نسبت است.
فهرست مطالب مقدمه. مفاهیم پایه .... 4 1. معادلات انتگرال ولترا ... 5 انواع تکالیف .... 8 2. حل کننده معادله انتگرال ولترا. 10 گزینه تکلیف ... 11
فصل دوم انتگرال ها تابع ضد مشتق و خواص آن تابع F () پاد مشتق تابع پیوسته f () در بازه a b نامیده می شود، اگر F () f ()، a. b (;) به عنوان مثال، برای تابع f () ضد مشتقات
روش کلاسیک. شکل 1- نمودار اولیه مدار الکتریکی پارامترهای مدار: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (اهم) R2 = 29 (اهم) R3 = 27 (اهم) L = 21 ( mgn) C = 0.97 (μF) راکتانس القایی:
روشهای محاسبه مدارهای الکتریکی خطی پیچیده اساس: توانایی ترکیب و حل سیستم‌های معادلات جبری خطی - که برای مدار جریان مستقیم یا پس از نمادسازی جمع‌آوری شده است.
یک انتگرال خاص مجموع انتگرال و یک انتگرال تعریف شده اجازه دهید یک تابع y = f () در بازه [، b] تعریف شود، جایی که< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
8 سخنرانی 7 توابع اپراتور مدارها توابع ورودی و انتقال اپراتور قطب ها و صفرهای توابع مدار 3 نتیجه گیری توابع ورودی و انتقال اپراتور یک تابع عملگر یک زنجیره یک رابطه است
68 سخنرانی 7 فرآیندهای انتقال در مدارهای مرتبه اول طرح 1 فرآیندهای گذرا در مدارهای RC مرتبه اول 2 فرآیندهای گذرا در مدارهای R مرتبه اول 3 نمونه هایی از محاسبه فرآیندهای گذرا در مدارها
4 مدارهای الکتریکی خطی جریان سینوسی AC و روش های محاسبه آنها 4.1 ماشین های الکتریکی. اصل تولید جریان سینوسی 4.1.012. جریان سینوسی را آنی می گویند
آژانس فدرال آموزش و پرورش موسسه آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه دولتی کوبان" دانشکده فیزیک و فناوری گروه اپتوالکترونیک
~ ~ FKP مشتق تابع یک متغیر مختلط FKP شرط کوشی - شرط ریمان مفهوم منظم بودن FKP تصویر و شکل یک عدد مختلط شکل FKP: که در آن تابع واقعی دو متغیر واقعی است.
این نام نوع دیگری از تبدیل های انتگرال است که همراه با تبدیل فوریه، به طور گسترده در مهندسی رادیو برای حل طیف گسترده ای از مسائل مربوط به مطالعه سیگنال ها استفاده می شود.
مفهوم فرکانس پیچیده
روشهای طیفی، همانطور که قبلاً شناخته شده است، بر این اساس استوار است که سیگنال مورد بررسی به عنوان مجموع تعداد بی نهایت زیادی از اصطلاحات ابتدایی نشان داده می شود که هر یک طبق قانون به طور دوره ای در زمان تغییر می کند.
تعمیم طبیعی این اصل در این واقعیت نهفته است که به جای سیگنال های نمایی پیچیده با شاخص های کاملاً تخیلی، سیگنال های نمایی شکل در نظر گرفته می شود که در آن عدد مختلط است: به نام فرکانس مختلط.
دو سیگنال پیچیده از این قبیل را می توان برای ایجاد یک سیگنال واقعی استفاده کرد، به عنوان مثال، طبق قانون زیر:
مقدار مزدوج مختلط کجاست
در واقع، در این مورد
بسته به انتخاب قسمت های واقعی و خیالی فرکانس مختلط می توان سیگنال های واقعی مختلفی را بدست آورد. بنابراین، اگر، اما نوسانات هارمونیک معمول شکل If را دریافت می کنید، سپس، بسته به علامت، نوسانات نمایی افزایش یا کاهش در زمان را دریافت می کنید. چنین سیگنال هایی شکل پیچیده تری پیدا می کنند که. در اینجا، ضریب یک پاکت را توصیف می کند که به طور تصاعدی در طول زمان تغییر می کند. برخی از سیگنال های معمولی در شکل نشان داده شده است. 2.10.
مفهوم فرکانس پیچیده، اول از همه، بسیار مفید است، زیرا بدون توسل به توابع تعمیم یافته، به دست آوردن نمایش های طیفی سیگنال هایی که مدل های ریاضی آنها قابل ادغام نیستند، امکان پذیر می شود.
برنج. 2.10. سیگنال های واقعی مربوط به مقادیر مختلف فرکانس پیچیده
ملاحظات دیگری نیز ضروری است: سیگنال های نمایی شکل (2.53) به عنوان یک وسیله "طبیعی" برای مطالعه نوسانات در سیستم های خطی مختلف عمل می کنند. این سؤالات در فصل اول بررسی خواهند شد. هشت
لازم به ذکر است که فرکانس فیزیکی واقعی قسمت خیالی فرکانس پیچیده است. هیچ اصطلاح خاصی برای بخش واقعی فرکانس پیچیده وجود ندارد.
روابط اساسی
اجازه دهید مقداری سیگنال، واقعی یا مختلط، تعریف شده در t> 0 و برابر با صفر در مقادیر زمانی منفی باشد. تبدیل لاپلاس این سیگنال تابعی از یک متغیر مختلط است که توسط یک انتگرال داده می شود:
سیگنال را اصلی و تابع را تصویر لاپلاس آن می نامند (به طور خلاصه، فقط تصویر).
شرطی که وجود انتگرال (2.54) را تضمین می کند به شرح زیر است: سیگنال نباید بیش از یک نرخ رشد نمایی داشته باشد، یعنی باید نابرابری را در جایی که اعداد مثبت هستند برآورده کند.
هنگامی که این نابرابری برآورده شود، تابع به این معنا وجود دارد که انتگرال (2.54) مطلقاً برای همه اعداد مختلط همگرا می شود که عدد a برای آنها آبسیسا همگرایی مطلق نامیده می شود.
متغیر در فرمول اصلی (2.54) را می توان با فرکانس مختلط شناسایی کرد، در واقع، در یک فرکانس مختلط کاملاً خیالی، زمانی که فرمول (2.54) به فرمول (2.16) تبدیل می شود، که تبدیل فوریه سیگنال را تعیین می کند، که در صفر است. بنابراین، تبدیل لاپلاس را می توان در نظر گرفت
همانطور که در نظریه تبدیل فوریه انجام می شود، با دانستن تصویر، می توان تصویر اصلی را بازیابی کرد. برای این، در فرمول تبدیل فوریه معکوس
یک ادامه تحلیلی باید انجام شود، از متغیر خیالی به آرگومان مختلط a. a. در صفحه فرکانس مختلط، ادغام در امتداد یک محور عمودی بی‌نهایت طولانی واقع در سمت راست ابسیسا همگرایی مطلق انجام می‌شود. از آنجایی که at دیفرانسیل است، فرمول تبدیل لاپلاس معکوس شکل می گیرد
در تئوری توابع یک متغیر مختلط، ثابت شده است که تصاویر لاپلاس از نقطه نظر صاف بودن دارای ویژگی های "خوب" هستند: چنین تصاویری در تمام نقاط صفحه مختلط، به استثنای مجموعه ای قابل شمارش به اصطلاح. نقاط منفرد، توابع تحلیلی هستند. نقاط مفرد، به عنوان یک قاعده، قطب، تک یا چندگانه هستند. بنابراین برای محاسبه انتگرال های فرم (2.55) می توان از روش های انعطاف پذیر تئوری باقیمانده ها استفاده کرد.
در عمل، جداول تبدیل لاپلاس به طور گسترده استفاده می شود که اطلاعات مربوط به مطابقت بین نسخه های اصلی را جمع آوری می کند. و تصاویر وجود جداول روش تبدیل لاپلاس را هم در مطالعات نظری و هم در محاسبات مهندسی دستگاه‌ها و سیستم‌های مهندسی رادیو محبوب کرد. در ضمائم چنین جدولی وجود دارد که به شما امکان می دهد طیف نسبتاً گسترده ای از مشکلات را حل کنید.
نمونه هایی از محاسبه تبدیل لاپلاس.
روشهای محاسبات تصویری با آنچه قبلاً در رابطه با تبدیل فوریه مورد مطالعه قرار گرفته است، مشترک هستند. بیایید معمول ترین موارد را در نظر بگیریم.
مثال 2.4، تصویر تکانه نمایی تعمیم یافته.
اجازه دهید، که در آن یک عدد مختلط ثابت است. وجود تابع - برابری را در استفاده از فرمول (2.54) تعیین می کند
اگر پس از جایگزینی حد بالا، شمارنده ناپدید می شود. در نتیجه، مکاتبات را دریافت می کنیم
به عنوان یک مورد خاص از فرمول (2.56)، می توانید تصویر یک پالس ویدئویی نمایی واقعی را پیدا کنید:
و یک سیگنال نمایی پیچیده:
در نهایت، با قرار دادن (2.57)، تصویر تابع Heaviside را پیدا می کنیم:
مثال 2.5. تصویر تابع دلتا
قبلاً تبدیل فوریه انتگرال را با هسته K در نظر گرفتیم (t, О = е تبدیل فوریه ناخوشایند است زیرا شرط یکپارچگی مطلق تابع f (t) در کل محور t باید برآورده شود. تبدیل لاپلاس به ما اجازه می دهد. برای خلاص شدن از شر این محدودیت تعریف 1. تابع an اصلی به معنای هر تابع با ارزش مختلط f (t) از یک آرگومان واقعی t است که شرایط زیر را برآورده می کند: یک فاصله محدود از محورها * از چنین نقاطی می تواند فقط یک عدد محدود باشد. 2. تابع f (t) برای مقادیر منفی t برابر است با صفر، f (t) = 0 برای 3. با افزایش t، مدول f (t) سریعتر از یک تابع نمایی افزایش نمی یابد، یعنی وجود دارد. اعداد M> 0 و s وجود دارند به طوری که برای همه t مشخص است که اگر نابرابری (1) برای برخی s = aj برقرار باشد، برای هر 82> 8] نیز برقرار خواهد بود. = infs برای کدام نابرابری (1) ، نرخ رشد تابع f (t) نامیده می شود. اظهار نظر. در حالت کلی، نابرابری برقرار نیست، اما تخمین در جایی معتبر است که e> 0 هر کدام باشد. بنابراین، تابع دارای توان رشد v0 = برای آن، نابرابری \ t \ ^ M V * ^ 0 برقرار نیست، اما نابرابری | f | ^ می. شرط (1) بسیار کمتر از شرط (*) محدود کننده است. مثال 1. تابع شرط (") را برآورده نمی کند، اما شرط (1) برای هر s> I و A /> I ارضا می شود. نرخ رشد 5o = بنابراین این تابع اصلی است. از سوی دیگر، تابع یک تابع اصلی نیست: دارای نظم رشد نامتناهی است، "o = + oo. ساده ترین تابع اصلی به اصطلاح تابع واحد است.اگر تابعی شرایط 1 و 3 تعریف 1 را برآورده کند، اما شرط 2 را برآورده نکند، آنگاه محصول از قبل یک تابع اصلی است. برای سادگی نمادگذاری، به عنوان یک قاعده، عامل rj (t) را حذف می کنیم، زیرا توافق کرده ایم که تمام توابعی که در نظر خواهیم گرفت برای t منفی برابر با صفر هستند، بنابراین اگر در مورد تابع f (t) صحبت می کنیم، به عنوان مثال، o sin ty cos t، el، و غیره، سپس توابع زیر همیشه دلالت دارند (شکل 2): n = n (0 شکل. 1 تعریف 2. بگذارید f (t) تابع اصلی باشد. تصویر تابع f (t ) توسط لاپلاس، تابع F (p) یک متغیر مختلط است که با فرمول LAPLACE TRANSFORM تعریف شده است. سیستم معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت حل معادلات انتگرال که در آن انتگرال بر نیم محور مثبت t گرفته می شود. تابع F (p) نیز تبدیل لاپلاس تابع / (/) نامیده می شود. هسته تبدیل K (t) p) = e ~ pt. این واقعیت که تابع دارای تصویر F (p) است، مثال 2 را می نویسیم. تصویر تابع واحد r) (t) را پیدا کنید. تابع یک تابع اصلی با نرخ رشد 0 - 0 است. بر اساس فرمول (2)، تصویر تابع rj (t) تابع If سپس for، انتگرال در سمت راست خواهد بود. آخرین برابری همگرا می شود و به این نتیجه می رسیم که تصویر تابع rj (t) تابع £ خواهد بود. همانطور که توافق کردیم، می نویسیم که rj (t) = 1، و سپس نتیجه به دست آمده به صورت زیر نوشته می شود: قضیه 1. برای هر تابع اصلی f (t) با توان رشد z0، تصویر F (p) تعریف می شود. در نیم صفحه R ep = s > s0 و یک تابع تحلیلی در این نیم صفحه است (شکل 3). اجازه دهید برای اثبات وجود تصویر F (p) در نیم صفحه نشان داده شده، کافی است ثابت کنیم که انتگرال نامناسب (2) به طور مطلق برای a همگرا می شود> با استفاده از (3)، به دست می آوریم که همگرایی مطلق را ثابت می کند. انتگرال (2). در همان زمان، ما تخمینی برای تبدیل لاپلاس F (p) در نیم صفحه همگرایی به دست آوردیم. به همان ترتیبی که وجود انتگرال (2) ایجاد شد. با اعمال انتگرال گیری توسط قطعات برای F "(p)، تخمینی به دست می آوریم که دلالت بر همگرایی مطلق انتگرال (5) دارد. 5) به طور یکنواخت نسبت به p همگرا می شود، زیرا توسط یک انتگرال همگرا مستقل از p بزرگ می شود. در نتیجه، تمایز نسبت به p قانونی است و برابری (5) معتبر است. از آنجایی که مشتق F "(p) وجود دارد، لاپلاس وجود دارد. تبدیل F (p) در همه جای نیم صفحه Rep = 5> 5° یک تابع تحلیلی است. نابرابری (4) دلالت بر نتیجه دارد. اگر p نازک به بی نهایت میل می کند به طوری که Re p = s به طور نامحدود افزایش می یابد، پس مثال 3. اجازه دهید تصویر تابع هر عدد مختلط را نیز پیدا کنیم. توان تابع f (() برابر است با a > a و همچنین در تمام نقاط p به جز نقطه p = a که این تصویر دارای قطب ساده است. یک وضعیت مشابه زمانی که تصویر F (p) یک تابع تحلیلی در کل صفحه متغیر مختلط p است، برای حذف نقاط منفرد جدا شده. هیچ تناقضی با قضیه 1 وجود ندارد. دومی فقط ادعا می کند که در نیمه صفحه Rep> «o تابع F (p) هیچ نقطه مفرد ندارد: معلوم می شود که همه آنها یا در سمت چپ خط Rep = so یا روی خود این خط قرار دارند. توجه کنید نه در محاسبات عملیاتی، گاهی اوقات از تصویر Heaviside تابع f (f) استفاده می شود که با تساوی تعریف می شود و با تصویر لاپلاس با ضریب p تفاوت دارد. §2. ویژگی‌های تبدیل لاپلاس در ادامه، توابع اصلی را نشان می‌دهیم و از طریق - تصاویر آنها مطابق با لاپلاس، از تعریف تصویر چنین برمی‌آید که اگر قضیه 2 (وحدت * پل شود) £ biw dee توابع پیوسته هستند) تصویر یکسانی دارند، سپس آنها به طور یکسان برابر هستند. Teopewa 3 (n "yeyiost * تبدیل لاپلاس). اگر توابع اصلی هستند، پس برای هر ثابت پیچیده هوا، اعتبار عبارت از ویژگی خطی بودن انتگرال که تصویر را تعیین می کند ناشی می شود:، به ترتیب نرخ رشد توابع است). بر اساس این ویژگی، به دست می آوریم به طور مشابه، آن و در ادامه، قضیه 4 (شباهت ها) را می یابیم. اگر f (t) تابع اصلی و F (p) تصویر لاپلاس آن باشد، برای هر ثابت a> 0 با قرار دادن = m، با استفاده از این قضیه، از فرمول های (5) و (6) قضیه 5 را به دست می آوریم. (در تمایز اصلی). اجازه دهید تابع اصلی با تصویر F (p) و اجازه دهید - نیز توابع اصلی باشد، و نرخ رشد تابع کجاست سپس و به طور کلی در اینجا، منظور ما مقدار محدود کننده مناسب Let است. بیایید تصویری را پیدا کنیم که ادغام با قطعات داریم، عبارت غیرانتگرال در سمت راست (10) در k ناپدید می شود. برای Rc p = s> h ما جایگزینی داریم t = Odet - / (0) ). جمله دوم سمت راست در (10) برابر با pF (p) است. بنابراین رابطه (10) شکل می گیرد و فرمول (8) ثابت می شود. به طور خاص، اگر برای یافتن تصویر f (n \ t) بنویسیم Wherece، با انتگرال n بار توسط قطعات، به مثال 4 می رسیم. با استفاده از قضیه تمایز اصلی، تصویر تابع f (t) = را پیدا کنید. sin2 t. بنابراین، قضیه 5 یک خاصیت قابل توجه برای تبدیل انتگرال لاپلاس ایجاد می کند: آن (مانند تبدیل فوریه) عملیات تمایز را به یک عملیات جبری ضرب در p تبدیل می کند. فرمول گنجاندن اگر آنها توابع اصلی هستند، در واقع، بر اساس نتیجه قضیه 1، هر تصویر به سمت صفر گرایش دارد. از این رو، از آنجایی که فرمول گنجاندن به شرح زیر است (قضیه 6 (در مورد تمایز تصویر). متمایز شده با توجه به p. ما دومی را فقط به این معنی داریم که مثال 5. با استفاده از قضیه 6، تصویر تابع 4 را پیدا کنید. به تقسیم تصویر بر این تقلیل می یابد که اگر یک تابع اصلی وجود داشته باشد، به علاوه تابع اصلی خواهد بود. مثال 6. تصویر تابع M را پیدا کنید در این مورد، به طوری که بنابراین قضیه 8 (ادغام تصویر) اگر انتگرال نیز همگرا شود، آنگاه به عنوان تصویر تابع ^ عمل می کند: LAPLACE TRANSFORM تعاریف پایه ویژگی ها پیچیدگی توابع قضیه ضرب پیدا کردن اصل با تصویر با استفاده از قضیه وارونگی برای حساب عملیاتی فرمول دوهامل ادغام سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت حل معادلات انتگرال در واقع، با فرض اینکه مسیر انتگرو روی نیم صفحه قرار بگیرید تا بتوانیم ترتیب ادغام را تغییر دهیم. آخرین برابری به این معنی است که تصویری از یک تابع است. مثال 7. تصویری از یک تابع M را پیدا کنید. بنابراین، از آنجایی که قرار داده ایم، £ = 0، برای به دست می آوریم. بنابراین، رابطه (16) به شکل مثال است. تصویر تابع f (t) را که به صورت گرافیکی داده شده است را بیابید (شکل 5). بیایید عبارت تابع f (t) را به صورت زیر بنویسیم: این عبارت را می توان به صورت زیر به دست آورد. تابع را در نظر بگیرید و تابع را از آن کم کنید.تفاوت برابر یک برای خواهد بود. تابع را به اختلاف حاصل اضافه می کنیم و در نتیجه تابع f (t) را به دست می آوریم (شکل 6 ج)، به طوری که با استفاده از قضیه تاخیر، قضیه 10 (تغییر مکان) را پیدا می کنیم. سپس برای هر عدد مختلط p0 در واقع، این قضیه اجازه می‌دهد، از تصاویر شناخته شده توابع، تصاویری از توابع مشابه ضرب در یک تابع نمایی، به عنوان مثال، 2.1. پیچیدگی توابع قضیه ضرب اجازه دهید توابع f (t) u برای همه t تعریف شده و پیوسته باشند. پیچیدگی این توابع تابع جدیدی از t است که با تساوی تعریف شده است (اگر این انتگرال وجود داشته باشد). برای توابع اصلی، عملیات همیشه جمع‌شونده است، و (17) 4 در واقع، حاصلضرب توابع اصلی به عنوان تابعی از m یک تابع محدود است، یعنی. خارج از یک بازه محدود ناپدید می شود (در این مورد، خارج از بازه. برای توابع پیوسته محدود، عملیات کانولوشن قابل رضایت است، و ما فرمول را به دست می آوریم. بررسی جابجایی بودن عملیات کانولوشن آسان است، قضیه 11 (ضرب). اگر پیچیدگی t) تصویری داشته باشد به راحتی می توان بررسی کرد که پیچیدگی (توابع اصلی تابع اصلی با شاخص رشد است "به ترتیب شاخص های رشد توابع کجا هستند. چنین عملیاتی قانونی است) و با استفاده از قضیه تأخیر، به دست می آوریم بنابراین، از (18) و (19) در می یابیم که ضرب تصاویر مطابق با تا کردن نمونه های اصلی است، Prter 9. تصویر تابع A را پیدا کنید (0 انحراف از توابع. به موجب قضیه ضرب مسئله. فرض کنید f (t) یک تابع تناوبی با دوره T باشد. نشان دهید که تصویر لاپلاس F (p) آن با فرمول 3 به دست می‌آید. یافتن اصل از تصویر مسئله به صورت زیر است. : با توجه به تابع F (p)، باید تابع / (<)>که تصویر آن F (p) است. اجازه دهید شرایط کافی برای تابع F (p) یک متغیر مختلط p را به عنوان یک تصویر فرموله کنیم. قضیه 12. اگر تابع F (p) 1) تحلیلی در نیم صفحه بنابراین در هر نیم صفحه R s0 به طور یکنواخت نسبت به arg p به صفر تمایل دارد. 2) انتگرال کاملاً همگرا می شود، سپس F (p) تصویری از یک مسئله تابع اصلی است. آیا تابع F (p) = می تواند به عنوان تصویر یک تابع اصلی عمل کند؟ در اینجا چند راه برای پیدا کردن نسخه اصلی از تصویر وجود دارد. 3.1. پیدا کردن اصل با استفاده از جداول تصویر اول از همه، ارزش دارد که تابع F (p) را به شکل ساده‌تر و «جدولی» بیاوریم. به عنوان مثال، در موردی که F (p) یک تابع گویا کسری از آرگومان p است، به کسرهای ابتدایی تجزیه می شود و از خواص مناسب تبدیل لاپلاس استفاده می شود. مثال 1. تابع اصلی را پیدا کنید اجازه دهید تابع F (p) را به شکل بنویسیم با استفاده از قضیه جابجایی و خاصیت خطی تبدیل لاپلاس، مثال 2 را به دست می آوریم. ) از این رو 3.2. استفاده از قضیه وارونگی و پیامدهای آن قضیه 13 (وارونگی). اگر تابع fit) یک تابع اصلی با توان رشد s0 است و F (p) تصویر آن است، در هر نقطه از پیوستگی تابع f (t) این رابطه برقرار است جایی که انتگرال در امتداد هر خط مستقیم گرفته می شود و درک می شود. به معنای مقدار اصلی، یعنی به عنوان فرمول (1) فرمول وارونگی تبدیل لاپلاس یا فرمول ملین نامیده می شود. در واقع، فرض کنید، برای مثال، f (t) به صورت تکه‌ای روی هر بخش محدود صاف است (\ displaystyle F (s) = \ varphi)، بنابراین φ (z 1، z 2،…، z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1)، \؛ z_ (2)، \؛ \ ldots، \؛ z_ (n)))تحلیلی در مورد هر کدام z k (\ displaystyle z_ (k))و برابر با صفر برای است z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ displaystyle z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0)، و F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1، 2،…، n) (\ نمایش سبک F_ (k) (s) = (\ ریاضی (L)) \ (f_ (ک) (x) \) \؛ \؛ (\ سیگما> \ سیگما _ (ak) \ کولون k = 1، \؛ 2، \؛ \ ldots، \; n))، سپس تبدیل معکوس وجود دارد و تبدیل رو به جلو مربوطه دارای ابسیسا همگرایی مطلق است.
توجه داشته باشید: اینها شرایط کافی برای وجود است.
- قضیه پیچیدگی
مقاله اصلی: قضیه پیچیدگی
- تمایز و ادغام نسخه اصلی
تصویر لاپلاس اولین مشتق اصلی با توجه به آرگومان حاصلضرب تصویر با آرگومان دومی منهای اصلی در صفر در سمت راست است:
L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)قضایای مقدار اولیه و نهایی (قضیه های حد):
f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ تا 0) sF (s))اگر تمام قطب های تابع s F (s) (\ displaystyle sF (s))در نیم صفحه سمت چپ قرار دارند.قضیه مقدار محدود بسیار مفید است زیرا با استفاده از یک رابطه ساده رفتار اصلی را در بی نهایت توصیف می کند. به عنوان مثال، این برای تجزیه و تحلیل پایداری مسیر یک سیستم دینامیکی استفاده می شود.
- سایر خواص
خطی بودن:
L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ سبک نمایش (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)ضرب در عدد:
L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ چپ ((\ frac (s) (a)) \ سمت راست).)تبدیل لاپلاس مستقیم و معکوس برخی از توابع
در زیر جدول تبدیل لاپلاس برای برخی از توابع آمده است.
| № | عملکرد | حوزه زمان x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displaystyle x (t) = (\ mathcal (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \)) |
دامنه فرکانس X (s) = L (x (t)) (\ سبک نمایش X (s) = (\ ریاضی (L)) \ (x (t) \)) |
منطقه همگرایی برای سیستم های علی |
|---|---|---|---|---|
| 1 | تاخیر کامل | δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \) | e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \) | |
| 1a | تک تکانه | δ (t) (\ displaystyle \ delta (t) \) | 1 (\ displaystyle 1 \) | ∀ s (\ displaystyle \ forall s \) |
| 2 | تاخیر n (\ displaystyle n) | (t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ شیوه نمایش (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} | e - τ s (s + α) n + 1 (\ سبک نمایش (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ آلفا) ^ (n + 1)))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 2a | آرام بخش n (\ displaystyle n)- مرتبه | t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !} | 1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1)))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 2a.1 | آرام بخش q (\ displaystyle q)- مرتبه | t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ شیوه نمایش (\ فرک (t ^ (q)) (\ گاما (q + 1))) \ cdot H (t)) | 1 s q + 1 (\ نمایش سبک (\ فرک (1) (s ^ (q + 1)))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 2a.2 | عملکرد واحد | H (t) (\ displaystyle H (t) \) | 1 ثانیه (\ displaystyle (\ frac (1) (s))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 2b | عملکرد واحد تاخیر | H (t - τ) (\ شیوه نمایش H (t- \ tau) \) | e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 2c | گام سرعت | t ⋅ H (t) (\ displaystyle t \ cdot H (t) \) | 1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2)))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 2d | n (\ displaystyle n)مرتبه -ام با تغییر فرکانس | t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ شیوه نمایش (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} | 1 (s + α) n + 1 (\ سبک نمایش (\ فرک (1) ((s + \ آلفا) ^ (n + 1)))) | s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha) |
| 2d.1 | فروپاشی نمایی | e - α t ⋅ H (t) (\ نمایش سبک e ^ (- \ آلفا t) \ cdot H (t) \) | 1 s + α (\ سبک نمایش (\ فراک (1) (s + \ آلفا))) | s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \) |
| 3 | تقریب نمایی | (1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ شیوه نمایش (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \) | α s (s + α) (\ سبک نمایش (\ فراک (\ آلفا) (s (s + \ آلفا))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) |
| 4 | سینوسی | sin (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \) | ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) |
| 5 | کسینوس | cos (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \) | s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) |
| 6 | سینوس هایپربولیک | s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \) | α s 2 - α 2 (\ سبک نمایش (\ frac (\ آلفا) (s ^ (2) - \ آلفا ^ (2)))) | s> | α | (\ displaystyle s> | \ آلفا | \) |
| 7 | کسینوس هذلولی | c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \) | s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2)))) | s> | α | (\ displaystyle s> | \ آلفا | \) |
| 8 | به طور تصاعدی در حال پوسیدگی سینوسی |
e - α t sin (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \) | ω (s + α) 2 + ω 2 (\ نمایش سبک (\ frac (\ امگا) ((s + \ آلفا) ^ (2) + \ امگا ^ (2)))) | s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \) |
| 9 | به طور تصاعدی در حال پوسیدگی کسینوس |
e - α t cos (ω t) ⋅ H (t) (\ نمایش سبک e ^ (- \ آلفا t) \ cos (\ امگا t) \ cdot H (t) \) | s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ نمایش سبک (\ فراک (s + \ آلفا) ((s + \ آلفا) ^ (2) + \ امگا ^ (2)))) | s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \) |
| 10 | ریشه n (\ displaystyle n)- مرتبه | t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t)) | s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ سبک نمایش s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ گاما \ چپ (1 + (\ فرک (1) (n) ) \ درست)) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 11 | لگاریتم طبیعی | ln (t t 0) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ ln \ چپ ((\ frac (t) (t_ (0))) \ راست) \ cdot H (t)) | - t 0 s [ln (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ گاما]) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
| 12 | تابع بسل نوع اول سفارش n (\ displaystyle n) |
J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t)) | ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ چپ (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2 ) )) \ راست) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ امگا ^ (2))))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ displaystyle (n> -1) \) |
| 13 | نوع اول سفارش n (\ displaystyle n) |
I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t)) | ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ چپ (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2 ) )) \ راست) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ امگا ^ (2))))) | s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \) |
| 14 | تابع بسل نوع دوم ترتیب صفر |
Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \) | - 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha ^ (2)))))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) |
| 15 | تابع بسل اصلاح شده نوع دوم، ترتیب صفر |
K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t)) | ||
| 16 | تابع خطا | e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t)) | e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s))) | s> 0 (\ displaystyle s> 0) |
نکات جدول:
| ||||
