Distribusi beta dari variabel acak. Distribusi beta

Pertimbangkan distribusi Beta, hitung ekspektasi matematisnya, varians, dan modenya. Menggunakan fungsi MS EXCEL BETA.DIST (), kita akan memplot grafik fungsi distribusi dan kepadatan probabilitas. Mari buat larik angka acak dan evaluasi parameter distribusi.

Distribusi betaBeta- distribusi) tergantung pada 2 parameter: ( alfa)> 0(menentukan bentuk distribusi) dan B (beta)> 0(menentukan skala).

Tidak seperti banyak distribusi kontinu lainnya, rentang variasi variabel acak memiliki: Distribusi beta, dibatasi oleh segmen. Di luar segmen ini kepadatan distribusi sama dengan 0. Batas-batas segmen ini ditentukan oleh peneliti tergantung pada masalahnya. Jika A = 0 dan B = 1, maka Distribusi beta disebut standar.

Distribusi beta memiliki sebutan Beta(alfa; beta).

Catatan: Jika parameter alfa dan beta= 1, maka Distribusi beta berubah menjadi, yaitu Beta (1; 1; A; B) = U (A; B).

Secara umum fungsi distribusi tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar, oleh karena itu dihitung dengan metode numerik, misalnya, menggunakan fungsi MS EXCEL BETA.DIST ().

Catatan: Untuk kenyamanan menulis rumus dalam file contoh untuk parameter distribusi alfa dan beta sesuai.

File contoh juga berisi grafik kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi dengan nilai yang ditandai Tengah, dan .

Pembuatan angka acak dan estimasi parameter

Menggunakan fungsi distribusi terbalik(atau nilai kuantil ( P- kuantil), lihat) Anda dapat menghasilkan nilai dari variabel acak yang memiliki Distribusi beta... Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan rumus:

BETA.OBR (RAND(); alfa; beta; A; B)

NASIHAT: Karena angka acak dihasilkan menggunakan fungsi RAND (), lalu menekan tombol F9, adalah mungkin untuk mendapatkan sampel baru setiap kali dan, karenanya, estimasi parameter baru.

Fungsi RAND () menghasilkan dari 0 hingga 1, yang secara tepat sesuai dengan rentang variasi probabilitas (lihat. contoh file sheet Generasi).

Sekarang memiliki array angka acak yang dihasilkan dengan parameter distribusi yang diberikan alfa dan beta(biarkan ada 200), mari kita perkirakan parameter distribusinya.

Estimasi parameter alfa dan beta dapat dilakukan dengan metode momen(diasumsikan bahwa parameter A dan B diketahui):

Tautan yang benar ke artikel ini:

Oleinikova S.A. - Perkiraan hukum distribusi jumlah variabel acak yang didistribusikan menurut hukum beta // Sibernetika dan pemrograman. - 2015. - No. 6. - Hal. 35 - 54. DOI: 10.7256 / 2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225

Perkiraan hukum distribusi jumlah variabel acak yang didistribusikan menurut hukum beta

Oleinikov Svetlana Alexandrovna

Doktor Ilmu Teknik

Associate Professor, Universitas Teknik Negeri Voronezh

394026, Rusia, Voronezh, prospek Moskovsky, 14

Oleinikova Svetlana Aleksandrovna

Doktor Ilmu Teknik

Associate Professor, Departemen Sistem Otomatis dan Komputasi, Universitas Teknik Negeri Voronezh

394026, Rusia, g. Voronezh, Moskovskii prospekt, 14

Tanggal pengiriman artikel ke editor:

14-12-2015

Tanggal review artikel:

15-12-2015

Anotasi.

Subyek penelitian dalam karya ini adalah densitas distribusi variabel acak, yang merupakan jumlah dari sejumlah nilai beta yang masing-masing didistribusikan dalam intervalnya sendiri dengan parameternya sendiri. Hukum ini tersebar luas dalam teori probabilitas dan statistik matematika, karena dapat digunakan untuk menggambarkan sejumlah besar fenomena acak jika nilai-nilai variabel acak kontinu yang sesuai terkonsentrasi dalam interval tertentu. Karena jumlah nilai beta yang dicari tidak dapat dinyatakan dengan hukum mana pun yang diketahui, masalah muncul dalam memperkirakan kepadatan distribusinya. Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk menemukan pendekatan seperti itu untuk kepadatan distribusi jumlah nilai beta, yang akan berbeda dalam kesalahan terkecil. Untuk mencapai tujuan ini, eksperimen komputasi dilakukan, sebagai hasilnya, untuk sejumlah nilai beta tertentu, nilai numerik dari kepadatan distribusi dibandingkan dengan perkiraan kepadatan yang diinginkan. Distribusi normal dan beta digunakan sebagai perkiraan. Sebagai hasil dari analisis eksperimental, diperoleh hasil yang menunjukkan kelayakan untuk mendekati hukum distribusi yang dicari dengan hukum beta. Sebagai salah satu bidang penerapan hasil yang diperoleh, masalah manajemen proyek dengan durasi acak dipertimbangkan, di mana peran kunci dimainkan oleh perkiraan waktu pelaksanaan proyek, yang, karena kekhususan bidang subjek, dapat dijelaskan dengan menggunakan jumlah nilai beta.

Kata kunci: variabel acak, distribusi beta, densitas distribusi, hukum distribusi normal, jumlah variabel acak, eksperimen komputasi, algoritma rekursif, aproksimasi, error, PERT

10.7256/2306-4196.2015.6.17225

Tanggal publikasi:

19-01-2016

Abstrak.

Subyek penelitian dalam makalah ini adalah fungsi densitas probabilitas (PDF) dari variabel acak, yang merupakan jumlah dari sejumlah nilai beta yang terbatas. Hukum ini tersebar luas dalam teori probabilitas dan statistik matematika, karena menggunakannya dapat dijelaskan oleh sejumlah besar peristiwa acak, jika nilai variabel acak kontinu yang sesuai terkonsentrasi dalam kisaran tertentu. Karena jumlah nilai beta yang diperlukan tidak dapat dinyatakan dengan hukum mana pun yang diketahui, ada masalah dalam memperkirakan distribusi densitasnya. Tujuannya adalah untuk menemukan perkiraan seperti itu untuk PDF dari jumlah nilai beta yang memiliki kesalahan paling kecil. Untuk mencapai tujuan ini, eksperimen komputasi dilakukan, di mana untuk sejumlah nilai beta tertentu, nilai numerik PDF dengan perkiraan kepadatan yang diinginkan dibandingkan. Sebagai aproksimasi digunakan distribusi normal dan distribusi beta. Sebagai kesimpulan dari analisis eksperimental, diperoleh hasil yang menunjukkan kesesuaian aproksimasi hukum yang diinginkan dengan bantuan distribusi beta. Sebagai salah satu bidang penerapan hasil, masalah manajemen proyek dengan durasi pekerjaan yang acak dipertimbangkan. Di sini, isu utamanya adalah evaluasi waktu pelaksanaan proyek, yang, karena area subjek tertentu, dapat dijelaskan dengan jumlah nilai beta.

Kata kunci:

Nilai acak, distribusi beta, fungsi kepadatan, distribusi normal, jumlah variabel acak, eksperimen komputasi, algoritma rekursif, aproksimasi, kesalahan, PERT

pengantar

Masalah memperkirakan hukum distribusi jumlah nilai beta dipertimbangkan. Ini adalah hukum universal yang dapat digunakan untuk menggambarkan fenomena yang paling acak dengan hukum distribusi kontinu. Secara khusus, dalam sejumlah besar kasus penyelidikan fenomena acak yang dapat dijelaskan oleh variabel acak kontinu unimodal yang terletak pada kisaran nilai tertentu, nilai seperti itu dapat didekati dengan hukum beta. Dalam hal ini, masalah menemukan hukum distribusi untuk jumlah nilai beta tidak hanya bersifat ilmiah, tetapi juga kepentingan praktis tertentu. Selain itu, tidak seperti kebanyakan hukum distribusi, hukum beta tidak memiliki sifat unik yang memungkinkan deskripsi analitis dari jumlah yang diinginkan. Selain itu, kekhususan hukum ini sedemikian rupa sehingga sangat sulit untuk mengekstraksi integral tertentu berganda yang diperlukan untuk menentukan kerapatan sejumlah variabel acak, dan hasilnya adalah ekspresi yang agak rumit bahkan untuk n = 2, dan dengan peningkatan dalam jumlah istilah, kompleksitas ekspresi akhir meningkat berkali-kali. Dalam hal ini, muncul masalah untuk mendekati kepadatan distribusi jumlah nilai beta dengan kesalahan minimum.

Makalah ini menyajikan pendekatan untuk menemukan pendekatan untuk hukum yang diinginkan melalui eksperimen komputasi yang memungkinkan untuk setiap kasus tertentu untuk membandingkan kesalahan yang diperoleh dengan memperkirakan kepadatan bunga menggunakan hukum yang paling tepat: normal dan beta. Akibatnya, disimpulkan bahwa disarankan untuk memperkirakan jumlah nilai beta menggunakan distribusi beta.

1. Pernyataan masalah dan fitur-fiturnya

Secara umum, hukum beta ditentukan oleh densitas yang ditentukan dalam interval sebagai berikut:

`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`

Namun, kepentingan praktis, sebagai suatu peraturan, nilai beta ditentukan dalam interval yang berubah-ubah. Hal ini terutama disebabkan oleh kenyataan bahwa rentang masalah praktis dalam kasus ini jauh lebih luas, dan, kedua, ketika menemukan solusi untuk kasus yang lebih umum, tidak akan mungkin untuk mendapatkan hasil untuk kasus tertentu, yang akan ditentukan oleh variabel acak (1).tidak ada kesulitan. Oleh karena itu, berikut ini kita akan mempertimbangkan variabel acak yang didefinisikan pada interval arbitrer. Dalam hal ini, masalah dapat dirumuskan sebagai berikut.

Kami mempertimbangkan masalah memperkirakan hukum distribusi variabel acak, yang merupakan jumlah dari variabel acak `xi_ (i),` i = 1, ..., n, yang masing-masing didistribusikan menurut hukum beta dalam interval dengan parameter p i dan q i. Kepadatan distribusi istilah individu akan ditentukan oleh rumus:

Masalah menemukan hukum jumlah nilai beta sebagian telah diselesaikan sebelumnya. Secara khusus, rumus diperoleh untuk memperkirakan jumlah dua nilai beta, yang masing-masing ditentukan menggunakan (1). Dalam pendekatan yang diusulkan untuk pencarian jumlah dua variabel acak dengan hukum distribusi (2).

Namun, dalam kasus umum, masalah aslinya belum terpecahkan. Hal ini terutama disebabkan oleh kekhususan rumus (2), yang tidak memungkinkan seseorang memperoleh rumus yang ringkas dan nyaman untuk menemukan kerapatan dari jumlah variabel acak. Memang, untuk dua kuantitas`xi_1` dan` xi_2` kepadatan yang dibutuhkan akan ditentukan sebagai berikut:

`f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)`

Dalam kasus penambahan n variabel acak, diperoleh integral berganda. Pada saat yang sama, untuk masalah ini ada kesulitan yang terkait dengan spesifikasi distribusi beta. Khususnya, bahkan untuk n = 2, penggunaan rumus (3) menghasilkan hasil yang agak rumit, yang didefinisikan dalam bentuk fungsi hipergeometrik. Mengambil kembali integral dari kerapatan yang diperoleh, yang harus sudah dilakukan pada n = 3 dan lebih tinggi, sangat sulit. Pada saat yang sama, kesalahan tidak dikecualikan yang pasti akan muncul ketika membulatkan dan menghitung ekspresi yang begitu rumit. Dalam hal ini, menjadi perlu untuk mencari pendekatan untuk rumus (3), yang memungkinkan untuk menerapkan rumus terkenal dengan kesalahan minimum.

2. Eksperimen komputasi untuk memperkirakan kerapatan jumlah nilai beta

Untuk menganalisis spesifikasi kepadatan distribusi yang diinginkan, percobaan dilakukan yang memungkinkan pengumpulan informasi statistik tentang variabel acak, yang merupakan jumlah dari sejumlah variabel acak yang telah ditentukan dengan distribusi beta dengan parameter yang diberikan. Pengaturan eksperimental dijelaskan secara lebih rinci dalam. Memvariasikan parameter nilai beta individu, serta jumlahnya, sebagai hasil dari sejumlah besar percobaan yang dilakukan, kami sampai pada kesimpulan berikut.

1. Jika variabel acak individu yang termasuk dalam penjumlahan memiliki kerapatan simetris, maka histogram dari distribusi akhir memiliki bentuk yang mendekati normal. Mereka juga dekat dengan hukum normal untuk mengevaluasi karakteristik numerik dari nilai akhir (harapan matematis, varians, asimetri, dan kurtosis).

2. Jika variabel acak individu asimetris (dengan asimetri positif dan negatif), tetapi total asimetri adalah 0, maka dari sudut pandang representasi grafis dan karakteristik numerik, hukum distribusi yang diperoleh juga mendekati normal.

3. Dalam kasus lain, hukum yang dicari secara visual dekat dengan hukum beta. Secara khusus, jumlah lima variabel acak asimetris ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1 - Jumlah dari lima variabel acak yang sama asimetris

Jadi, berdasarkan percobaan yang dilakukan, dimungkinkan untuk mengajukan hipotesis tentang kemungkinan perkiraan kepadatan jumlah nilai beta dengan distribusi normal atau beta.

Untuk mengkonfirmasi hipotesis ini dan memilih satu-satunya hukum untuk pendekatan, kami akan melakukan percobaan berikut. Setelah memberikan jumlah variabel acak dengan distribusi beta, serta parameternya, kami menemukan nilai numerik kepadatan yang diperlukan dan membandingkannya dengan kepadatan distribusi normal atau beta yang sesuai. Ini akan membutuhkan:

1) mengembangkan algoritme yang memungkinkan Anda memperkirakan kepadatan jumlah nilai beta secara numerik;

2) dengan parameter yang diberikan dan jumlah nilai awal, tentukan parameter distribusi akhir dengan asumsi distribusi normal atau beta;

3) menentukan kesalahan aproksimasi dengan distribusi normal atau distribusi beta.

Mari kita pertimbangkan tugas-tugas ini secara lebih rinci. Algoritma numerik untuk menemukan kepadatan jumlah nilai beta didasarkan pada rekursi. Jumlah n variabel acak arbitrer dapat ditentukan sebagai berikut:

`eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)` , (4)

`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)` . (5)

Demikian pula, Anda dapat menggambarkan kepadatan distribusi variabel acak `eta_ (n-1)`:

`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1)` , (6)

Melanjutkan penalaran serupa dan menggunakan rumus (3), kita mendapatkan:

`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n- 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2)) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) `

Pertimbangan ini, serta spesifikasi penentuan kerapatan untuk kuantitas dengan distribusi beta, diberikan secara lebih rinci dalam.

Parameter hukum distribusi akhir ditentukan berdasarkan asumsi independensi variabel acak. Dalam hal ini, ekspektasi matematis dan varians dari jumlah mereka akan ditentukan oleh rumus:

`Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)`

Untuk hukum normal, parameter a dan `sigma` akan langsung ditentukan oleh rumus (8) dan (9). Untuk distribusi beta, Anda harus terlebih dahulu menghitung batas bawah dan batas atas. Mereka dapat didefinisikan sebagai berikut:` `

`a = jumlah_ (i = 1) ^ na_ (i)`; (10)

,,, b = jumlah_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (sebelas)

Di sini a i dan b i adalah batas-batas interval suku-suku individu. Selanjutnya, kita akan menyusun sistem persamaan yang menyertakan rumus untuk ekspektasi matematis dan varians dari nilai beta:

`((Mxi = a + (ba) p / (p + q)), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) : ) (12) `

Di sini `xi` adalah variabel acak yang menjelaskan jumlah yang diperlukan. Ekspektasi dan varians matematisnya ditentukan oleh rumus (8) dan (9); parameter a dan b diberikan oleh rumus (10) dan (11). Setelah menyelesaikan sistem (12) sehubungan dengan parameter p dan q, kita akan memiliki:

`p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a))` . (13)

`q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))` . (14)

`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) `

Di sini `hatf (x)` adalah perkiraan jumlah nilai beta; `f_ (eta) (x)` - hukum distribusi jumlah nilai beta.

Kami akan secara berurutan mengubah parameter nilai beta individu untuk memperkirakan kesalahan. Secara khusus, pertanyaan-pertanyaan berikut akan menarik:

1) seberapa cepat jumlah nilai beta konvergen ke distribusi normal, dan apakah mungkin untuk memperkirakan jumlah dengan hukum lain yang akan memiliki kesalahan minimum relatif terhadap hukum distribusi sebenarnya dari jumlah nilai beta;

2) seberapa besar kesalahan meningkat dengan peningkatan asimetri nilai beta;

3) bagaimana kesalahan akan berubah jika interval distribusi nilai beta dibuat berbeda.

Skema umum dari algoritma eksperimen untuk setiap nilai individu dari nilai beta dapat direpresentasikan sebagai berikut (Gambar 2).

Gambar 2 - Skema umum dari algoritma eksperimen

PogBeta - kesalahan yang timbul dari perkiraan hukum final dengan distribusi beta dalam interval;

PogNorm - kesalahan yang timbul dari perkiraan hukum final dengan distribusi normal dalam interval;

ItogBeta - nilai akhir dari kesalahan yang timbul dari perkiraan distribusi akhir oleh hukum beta;

ItogNorm - nilai total kesalahan yang timbul dari perkiraan distribusi akhir oleh hukum normal.

3. Hasil percobaan

Mari kita menganalisis hasil percobaan yang dijelaskan sebelumnya.

Dinamika penurunan kesalahan dengan peningkatan jumlah suku ditunjukkan pada Gambar 3. Absis menunjukkan jumlah suku, dan ordinat menunjukkan besarnya kesalahan. Selanjutnya, deret "Norma" menunjukkan perubahan kesalahan distribusi normal, deret "Beta" - distribusi beta.

Gambar 3 - Pengurangan kesalahan dengan penurunan jumlah istilah

Seperti dapat dilihat dari gambar ini, untuk dua suku, galat aproksimasi menurut hukum beta kira-kira 4 kali lebih rendah daripada galat aproksimasi menurut hukum distribusi normal. Jelas, saat suku meningkat, kesalahan aproksimasi oleh hukum normal berkurang jauh lebih cepat daripada hukum beta. Dapat juga diasumsikan bahwa untuk jumlah suku yang sangat besar, aproksimasi dengan hukum normal akan memiliki kesalahan yang lebih kecil daripada aproksimasi dengan distribusi beta. Namun, dengan mempertimbangkan besarnya kesalahan dalam kasus ini, dapat disimpulkan bahwa dari sudut pandang jumlah istilah, distribusi beta lebih disukai.

Gambar 4 menunjukkan dinamika perubahan kesalahan dengan peningkatan asimetri variabel acak. Tanpa kehilangan keumuman, parameter p dari semua nilai beta awal ditetapkan dengan nilai 2, dan dinamika perubahan parameter q + 1 ditunjukkan pada sumbu absis. Sumbu ordinat dalam grafik menunjukkan kesalahan aproksimasi. Hasil percobaan dengan nilai parameter lain umumnya serupa.

Dalam hal ini, juga jelas bahwa lebih disukai untuk memperkirakan jumlah nilai beta dengan distribusi beta.

Gambar 4 - Perubahan kesalahan aproksimasi dengan meningkatnya asimetri kuantitas

Selanjutnya, kami menganalisis perubahan kesalahan saat mengubah rentang nilai beta awal. Gambar 5 menunjukkan hasil pengukuran kesalahan untuk jumlah empat nilai beta, tiga di antaranya didistribusikan dalam interval, dan rentang keempat meningkat secara berurutan (diplot pada absis).

Gambar 5 - Perubahan kesalahan saat mengubah interval distribusi variabel acak

Berdasarkan ilustrasi grafik yang ditunjukkan pada Gambar 3-5, serta dengan mempertimbangkan data yang diperoleh sebagai hasil percobaan, dapat disimpulkan bahwa disarankan untuk menggunakan distribusi beta untuk memperkirakan jumlah nilai beta.

Seperti yang ditunjukkan oleh hasil yang diperoleh, dalam 98% kasus, kesalahan dalam mendekati nilai yang diselidiki oleh hukum beta akan lebih rendah daripada dalam mendekati distribusi normal. Nilai rata-rata dari kesalahan perkiraan beta akan tergantung terutama pada lebar interval di mana setiap suku didistribusikan. Dalam hal ini, perkiraan ini (berlawanan dengan hukum normal) sangat sedikit bergantung pada simetri variabel acak, serta pada jumlah suku.

4. Aplikasi

Salah satu bidang penerapan hasil yang diperoleh adalah tugas manajemen proyek. Sebuah proyek adalah satu set pekerjaan serial-paralel yang saling bergantung dengan durasi layanan acak. Dalam hal ini, durasi proyek akan menjadi nilai acak. Jelas, penilaian hukum distribusi kuantitas ini menarik tidak hanya pada tahap perencanaan, tetapi juga dalam analisis kemungkinan situasi yang terkait dengan penyelesaian semua pekerjaan sebelum waktunya. Mempertimbangkan fakta bahwa penundaan proyek dapat menyebabkan berbagai situasi yang tidak menguntungkan, termasuk denda, estimasi hukum distribusi variabel acak yang menggambarkan durasi proyek tampaknya menjadi tugas praktis yang sangat penting.

Saat ini, metode PERT digunakan untuk penilaian ini. Menurut asumsinya, durasi proyek adalah variabel acak terdistribusi normal `eta` dengan parameter:

`a = jumlah_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)`, (16)

`sigma = kuadrat (jumlah_ (i = 1) ^ k D eta_ (i))` . (17)

Di sini k adalah jumlah pekerjaan di jalur kritis proyek; `eta_ (1)`, ..., `eta_ (k)` - durasi pekerjaan ini.

Mari kita pertimbangkan koreksi metode PERT, dengan mempertimbangkan hasil yang diperoleh. Dalam hal ini, kami akan mengasumsikan bahwa durasi proyek didistribusikan menurut hukum beta dengan parameter (13) dan (14).

Mari kita coba hasil yang diperoleh dalam praktik. Pertimbangkan sebuah proyek yang didefinisikan oleh diagram jaringan yang ditunjukkan pada Gambar 6.

Gambar 6 - Contoh diagram jaringan

Di sini, tepi grafik menunjukkan pekerjaan, bobot tepi menunjukkan jumlah pekerjaan; simpul dalam kotak - peristiwa yang menandakan awal atau akhir pekerjaan. Biarkan pekerjaan diberikan oleh durasi yang diberikan dalam Tabel 1.

Tabel 1 - Karakteristik waktu pekerjaan proyek

Pekerjaan tidak.	min	maksimal	Tikar. bersiap
1	5	10	9
2	3	6	4
3	6	8	7
4	4	7	6
5	4	7	7
6	2	5	3
7	4	8	6
8	4	6	5
9	6	8	7
10	2	6	4
11	9	13	12
12	2	6	3
13	5	7	6

Pada tabel di atas, min adalah waktu tersingkat di mana pekerjaan ini dapat diselesaikan; maks - waktu terlama; Tikar. bersiap adalah ekspektasi matematis dari distribusi beta, yang menunjukkan waktu yang diharapkan untuk menyelesaikan pekerjaan yang diberikan.

Kami akan mensimulasikan proses pelaksanaan proyek menggunakan sistem pemodelan simulasi yang dikembangkan secara khusus. Lebih rinci dijelaskan di. Sebagai output, Anda perlu mendapatkan:

Histogram proyek;

Evaluasi probabilitas pelaksanaan proyek dalam interval tertentu berdasarkan data statistik dari sistem simulasi;

Estimasi probabilitas menggunakan distribusi normal dan beta.

Selama simulasi pelaksanaan proyek 10.000 kali, diperoleh sampel durasi layanan, yang histogramnya ditunjukkan pada Gambar 7.

Gambar 7 - Histogram durasi proyek

Jelas bahwa tampilan histogram yang ditunjukkan pada Gambar 7 berbeda dari grafik kerapatan hukum distribusi normal.

Kami akan menggunakan rumus (8) dan (9) untuk menemukan ekspektasi dan varians matematis akhir. Kita mendapatkan:

`M eta = 27; D eta = 1,3889.`

Probabilitas memukul interval tertentu akan dihitung menggunakan rumus terkenal:

`P (l (18)

di mana `f_ (eta) (x)` adalah hukum distribusi dari variabel acak `eta`, aku dan R- batas-batas interval bunga.

Mari kita hitung parameter untuk distribusi beta akhir. Untuk ini kami menggunakan rumus (13) dan (14). Kita mendapatkan:

p = 13,83; q = 4,61.

Batas-batas distribusi beta ditentukan oleh rumus (10) dan (11). Akan memiliki:

Hasil studi diberikan pada Tabel 2. Tanpa kehilangan generalitas, mari kita pilih jumlah model berjalan sama dengan 10.000. Di kolom "Statistik", probabilitas yang diperoleh berdasarkan data statistik dihitung. Kolom "Normal" menunjukkan probabilitas yang dihitung menurut hukum distribusi normal, yang sekarang digunakan untuk menyelesaikan masalah. Kolom Beta berisi nilai probabilitas yang dihitung dari distribusi beta.

Tabel 2 - Hasil estimasi probabilistik

Berdasarkan hasil yang disajikan pada Tabel 2, serta hasil serupa yang diperoleh selama pemodelan proses melakukan proyek lain, dapat disimpulkan bahwa perkiraan yang diperoleh dari perkiraan jumlah variabel acak (2) oleh beta distribusi memungkinkan untuk mendapatkan solusi untuk masalah ini dengan akurasi yang lebih besar dibandingkan dengan rekan-rekan yang ada.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk menemukan pendekatan hukum distribusi jumlah nilai beta, yang akan berbeda dalam kesalahan terkecil dibandingkan dengan analog lainnya. Hasil berikut diperoleh.

1. Secara eksperimental, hipotesis diajukan tentang kemungkinan perkiraan jumlah nilai beta menggunakan distribusi beta.

2. Sebuah perangkat lunak telah dikembangkan yang memungkinkan seseorang untuk mendapatkan nilai numerik dari kesalahan yang timbul dari perkiraan kepadatan yang diinginkan dengan hukum distribusi normal dan hukum beta. Program ini didasarkan pada algoritma rekursif yang memungkinkan Anda untuk secara numerik menentukan kepadatan jumlah nilai beta dengan kepadatan tertentu, yang dijelaskan secara lebih rinci di.

3. Eksperimen komputasi dibuat, yang tujuannya adalah untuk menentukan perkiraan terbaik dengan analisis komparatif kesalahan dalam berbagai kondisi. Hasil eksperimen menunjukkan kelayakan penggunaan distribusi beta sebagai pendekatan terbaik dari kepadatan distribusi jumlah nilai beta.

4. Sebuah contoh disajikan di mana hasil yang diperoleh memiliki kepentingan praktis. Ini adalah tugas manajemen proyek dengan waktu eksekusi acak untuk pekerjaan individu. Masalah penting untuk tugas-tugas tersebut adalah penilaian risiko yang terkait dengan keterlambatan penyelesaian proyek. Hasil yang diperoleh memungkinkan untuk memperoleh perkiraan yang lebih akurat dari probabilitas yang diinginkan dan, sebagai konsekuensinya, untuk mengurangi kemungkinan kesalahan dalam perencanaan.

Bibliografi

Anda bukan budak!
Kursus pendidikan tertutup untuk anak-anak elit: "Pengaturan dunia yang sebenarnya."
http://noslave.org

dari Wikipedia, ensiklopedia gratis

Distribusi beta

Kepadatan probabilitas Fungsi kepadatan probabilitas untuk distribusi Beta
Fungsi distribusi Fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi Beta
Penamaan	`teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Text (Be) (\ alpha, \ beta)
Parameter	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README - referensi penyetelan.): \ Alpha> 0 Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): \ Beta> 0
Pembawa	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): X \ in
Kepadatan probabilitas	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Frac (x ^ (\ alpha-1) (1-x) ^ (\ beta-1)) (\ mathrm (B) (\ alpha, \ beta))
Fungsi distribusi	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan konfigurasi.): I_x (\ alpha, \ beta)
Nilai yang diharapkan	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyetelan.): \ Frac (\ alpha) (\ alpha + \ beta)
median
Mode	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyetelan.): \ Frac (\ alpha-1) (\ alpha + \ beta-2) untuk Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyetelan.): \ Alpha> 1, \ beta> 1
Penyebaran	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): \ Frac (\ alpha \ beta) ((\ alpha + \ beta) ^ 2 (\ alpha + \ beta + 1))
Koefisien asimetri	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan pengaturan.): \ Frac (2 \, (\ beta- \ alpha) \ sqrt (\ alpha + \ beta + 1)) ((\ alpha + \ beta + 2) \ sqrt (\ alpha \beta))
Koefisien Kurtosis	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): 6 \, \ frac (\ alpha ^ 3- \ alpha ^ 2 (2 \ beta-1) + \ beta ^ 2 (\ beta + 1) -2 \ alpha \ beta ( \ beta + 2)) (\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta + 2) (\ alpha + \ beta + 3))
Entropi diferensial
Fungsi pembangkit momen	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): 1 + \ sum_ (k = 1) ^ (\ infty) \ left (\ prod_ (r = 0) ^ (k-1) \ frac (\ alpha + r) (\ alfa + \ beta + r) \ kanan) \ frac (t ^ k) (k !}
Fungsi karakteristik	Tidak dapat mengurai ekspresi (Dapat dieksekusi `teksvc` tidak ditemukan; Lihat matematika / README untuk bantuan penyiapan.): () _1F_1 (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t)

Distribusi beta dalam teori dan statistik probabilitas, keluarga dua parameter dari distribusi yang benar-benar kontinu. Digunakan untuk menggambarkan variabel acak yang nilainya terbatas pada interval hingga.

Definisi

90px	Distribusi probabilitas
90px	satu dimensi	Multidimensi
Diskrit:	Bernoulli \| Binomial \| Geometris \| Hipergeometrik \| Logaritma \| Binomial negatif \| Poisson \| seragam diskrit	Multinomial
Benar-benar terus menerus:	Beta\| Weibulla \| Gama \| Hipereksponensial \| Distribusi Gompertz \| Kolmogorov \| Cauchy \| Laplace \| Lognormal \| \| \| Kopula

Kutipan yang mencirikan distribusi Beta

Air mata berkilauan di mataku ... Dan aku sama sekali tidak malu karenanya. Saya akan memberikan banyak untuk bertemu salah satu dari mereka hidup-hidup!.. Terutama Magdalena. Ajaib, Sihir kuno apa yang membara dalam jiwa wanita yang luar biasa ini ketika dia menciptakan kerajaan magisnya?! Kerajaan di mana Pengetahuan dan Pemahaman memerintah, dan tulang punggungnya adalah Cinta. Bukan hanya cinta yang diteriakkan oleh gereja "suci", yang telah memakai kata yang menakjubkan ini sampai-sampai saya tidak ingin mendengarnya lagi, tetapi CINTA yang indah dan murni, nyata dan berani, satu-satunya dan menakjubkan yang dengannya nama kekuatan lahir ... dan dengan nama siapa para pejuang kuno bergegas ke pertempuran ... dengan nama siapa kehidupan baru lahir ... dengan nama siapa dunia kita berubah dan menjadi lebih baik ... Cinta ini dibawa oleh Maria Emas. Dan kepada Maria inilah saya ingin bersujud ... Untuk semua yang dia bawa, untuk HIDUPnya yang murni dan cerah, untuk keberanian dan keberaniannya, dan untuk Cinta.
Tapi, sayangnya, tidak mungkin melakukan ini ... Dia hidup berabad-abad yang lalu. Dan aku tidak bisa menjadi orang yang mengenalnya. Kesedihan yang sangat dalam dan ringan tiba-tiba menyapu kepalaku, dan air mata pahit mengalir ...
- Nah, apa yang kamu, temanku! .. Kesedihan lain menantimu! - Sever berseru kaget. - Tolong, tenang ...
Dia dengan lembut menyentuh tanganku dan perlahan kesedihan itu menghilang. Hanya kepahitan yang tersisa, seolah-olah saya telah kehilangan sesuatu yang ringan dan mahal ...
- Anda tidak bisa bersantai ... Perang menanti Anda, Isidora.
- Katakan padaku, Sever, apakah ajaran kaum Kathar disebut Pengajaran Cinta karena Magdalena?
- Di sini Anda tidak benar, Isidora. Yang belum tahu menyebutnya Ajaran Cinta Kasih. Bagi mereka yang mengerti, itu membawa arti yang sama sekali berbeda. Dengarkan suara kata-kata, Isidora: cinta dalam suara Prancis - cinta - bukan? Dan sekarang, lepaskan kata ini, pisahkan huruf "a" darinya ... Itu akan menjadi a'mor ("mort) - tanpa kematian ... Ini adalah arti sebenarnya dari ajaran Magdalena - Ajaran Dewa Seperti yang saya katakan sebelumnya - semuanya sederhana, Isidora, jika hanya untuk melihat dan mendengarkan dengan benar ... Nah, dan bagi mereka yang tidak mendengar - biarkan itu tetap menjadi Ajaran Cinta ... itu juga indah.
Aku berdiri benar-benar tercengang. Ajaran Para Dewa! .. Daariya ... Jadi, apa ajaran Radomir dan Magdalena! .. Utara mengejutkan saya berkali-kali, tetapi tidak pernah sebelumnya saya merasa begitu terkejut! .. Ajaran Cathar menarik saya dengan kekuatan magisnya yang kuat, dan aku tidak bisa memaafkan diriku sendiri karena tidak membicarakan hal ini dengan Utara sebelumnya.
- Katakan padaku, Sever, apakah ada yang tersisa dari catatan Qatar? Pasti ada yang selamat, kan? Bahkan jika bukan Yang Sempurna itu sendiri, maka setidaknya hanya para murid? Maksud saya sesuatu tentang kehidupan nyata dan pengajaran mereka?
- Sayangnya - tidak, Isidora. Inkuisisi menghancurkan segalanya, di mana-mana. Bawahannya, atas perintah Paus, bahkan dikirim ke negara lain untuk menghancurkan setiap manuskrip, setiap sisa kulit kayu birch yang dapat mereka temukan ... Kami mencari setidaknya sesuatu, tetapi kami tidak dapat menyelamatkan apa pun.
- Nah, bagaimana dengan orang-orang itu sendiri? Tidak bisakah ada sesuatu yang tersisa untuk orang-orang yang akan menyimpannya selama berabad-abad?
- Saya tidak tahu, Isidora ... Saya pikir, bahkan jika seseorang memiliki semacam rekaman, itu berubah seiring waktu. Lagi pula, wajar bagi seseorang untuk membentuk kembali segala sesuatu dengan caranya sendiri ... Dan terutama tanpa pemahaman. Jadi tidak mungkin ada yang bertahan seperti sebelumnya. Sayang sekali ... Benar, kami telah menyimpan buku harian Radomir dan Magdalena, tapi itu sebelum penciptaan katar. Meskipun, saya pikir, ajarannya tidak berubah.
- Maaf, untuk pikiran dan pertanyaan saya yang membingungkan, Sever. Saya melihat bahwa saya telah kehilangan banyak tanpa datang kepada Anda. Tapi tetap saja, aku masih hidup. Dan saat aku bernafas, aku masih bisa bertanya padamu, bukan? Bisakah Anda memberi tahu saya bagaimana kehidupan Svetodar berakhir? Maaf menyela.
Sever tersenyum tulus. Dia menyukai ketidaksabaran saya dan kehausan saya untuk "memiliki waktu" untuk mencari tahu. Dan dia melanjutkan dengan senang hati.
Setelah kembali, Svetodar tinggal dan mengajar di Occitania hanya selama dua tahun, Isidora. Tetapi tahun-tahun ini menjadi tahun-tahun paling mahal dan paling bahagia dalam hidupnya yang mengembara. Hari-harinya, diterangi oleh tawa ceria Beloyar, berlalu di Montsegur tercinta, dikelilingi oleh orang-orang Sempurna, kepada siapa Svetodar dengan jujur dan tulus mencoba menyampaikan apa yang telah diajarkan oleh Pengembara yang jauh selama bertahun-tahun.

- rumus Bernoulli.

Diri distribusi
disebut binomium.

Parameter dari distribusi binomial adalah probabilitas keberhasilan p (q = 1 - p) dan jumlah percobaan n. Distribusi binomial berguna untuk menggambarkan distribusi kejadian binomial, seperti jumlah pria dan wanita yang dipilih secara acak. perusahaan. Penggunaan distribusi binomial dalam masalah permainan sangat penting.

Rumus eksak untuk peluang m sukses dalam n percobaan ditulis sebagai berikut:

di mana p adalah probabilitas keberhasilan; q adalah 1-p, q> = 0, p + q = 1; n - jumlah tes, m = 0,1 ... m

Ciri-ciri utama dari distribusi binomial:

6. Rumus Poisson dan Distribusi Poisson.

Misalkan jumlah percobaan n besar, peluang p kecil, dan
npnya kecil. Maka probabilitas keberhasilan m dalam n percobaan dapat diperkirakan ditentukan oleh rumus Poisson:

Variabel acak dengan deret distribusi m,
memiliki distribusi Poisson. Semakin banyak n, semakin akurat rumus Poisson. Untuk perhitungan kasar digunakan rumus n = 10,
0 - 2, untuk n = 100
0 - 3. Dalam perhitungan teknik, rumus diterapkan ketika n = 20,
0 - 3, n = 100,
0 - 7. Untuk perhitungan yang akurat, rumus diterapkan ketika n = 100,
0 - 7, n = 1000,
0 – 15.

Mari kita hitung ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak dengan distribusi Poisson.

Karakteristik utama dari variabel acak Poisson:

Plot Distribusi Poisson:

7. Distribusi geometrik.

Pertimbangkan skema Bernoulli. Mari kita tentukan X - jumlah percobaan sebelum keberhasilan pertama, jika probabilitas keberhasilan dalam satu percobaan adalah p. Jika pengujian pertama berhasil, maka X = 0. Oleh karena itu,
... Jika X = 1, mis. tes pertama tidak berhasil, dan yang kedua berhasil, kemudian dengan teorema perkalian
... Demikian pula, jika X = n, maka semua pengujian hingga pengujian ke-n tidak berhasil dan
... Mari kita buat deret distribusi variabel acak X

Sebuah variabel acak dengan deret distribusi seperti itu memiliki distribusi geometris.

Mari kita periksa kondisi normalisasi:

8. Distribusi hipergeometrik.

Ini adalah distribusi probabilitas diskrit dari variabel acak X yang mengambil nilai integer m = 0, 1,2, ..., n dengan probabilitas:

di mana N, M dan n adalah bilangan bulat non-negatif dan M< N, n < N.

Ekspektasi matematis dari distribusi hipergeometrik tidak bergantung pada N dan bertepatan dengan ekspektasi matematis = np dari distribusi binomial yang sesuai.

Dispersi dari distribusi hipergeometrik tidak melebihi varians dari distribusi binomial npq. Contoh dari setiap urutan distribusi hipergeometrik cenderung ke nilai yang sesuai dari momen distribusi binomial.

9. Distribusi beta.

Distribusi beta memiliki kepadatan bentuk:

Distribusi beta standar terkonsentrasi pada rentang dari 0 hingga 1. Menerapkan transformasi linier, nilai beta dapat ditransformasikan sehingga akan mengambil nilai pada rentang apa pun.

Karakteristik numerik utama dari kuantitas dengan distribusi beta:

Noun., Jumlah sinonim: 1 distribusi (62) kamus sinonim ASIS. V.N. Trishin. 2013 ... Kamus sinonim

distribusi beta- 1,45. distribusi beta Distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X, yang dapat mengambil nilai apa pun dari 0 hingga 1, termasuk batas, dan yang kepadatan distribusinya pada 0 £ x £ 1 dan parameter m1> 0, m2> 0, di mana .. ... ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

distribusi beta- Distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu yang mengambil nilai pada segmen, yang kerapatannya diberikan oleh rumus, di mana, a, b> 0 dan merupakan fungsi gamma. Catatan. Kasing khusus banyak digunakan ... ... Kamus Statistik Sosiologi

Lihat rencana... Kamus sinonim

Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, distribusi Dirichlet (dinamai Johann Peter Gustave Lejeune Dirichlet) sering dilambangkan Dir (α) adalah keluarga distribusi probabilitas multivariat kontinu yang diparameterisasi oleh vektor ... ... Wikipedia

Beta: Wiktionary memiliki entri "beta" Beta (huruf) (β) adalah huruf kedua dari alfabet Yunani. Pengujian beta Koefisien beta Fungsi beta (matematika) Distribusi beta (teori probabilitas ... Wikipedia

Kepadatan probabilitas ... Wikipedia

Distribusi probabilitas adalah hukum yang menggambarkan kisaran nilai dari variabel acak dan probabilitas penerimaannya. Daftar Isi 1 Definisi 2 Cara mendefinisikan distribusi ... Wikipedia

Distribusi. Distribusi Pearson Kerapatan probabilitas ... Wikipedia

Buku

Perbandingan masuk ke program pendidikan di universitas berdasarkan hasil Olimpiade dan skor USE, O. V. Poldin. Dalam artikel tersebut, untuk membandingkan kualitas penerimaan ke universitas untuk berbagai program pendidikan, diusulkan untuk menggunakan kurva permintaan yang disesuaikan yang diperoleh dari hasil USE mereka yang terdaftar di ...