რთული ფორმის ნებისმიერი ტალღა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მარტივი ტალღების ჯამი.

ჯოზეფ ფურიეს სურდა მათემატიკური თვალსაზრისით აღეწერა, თუ როგორ გადადის სითბო მყარ ობიექტებში ( სმ.სითბოს გაცვლა). შესაძლოა, სითბოსადმი მისი ინტერესი ჩრდილოეთ აფრიკაში ყოფნისას გაჩნდა: ფურიე თან ახლდა ნაპოლეონს ეგვიპტეში საფრანგეთის ექსპედიციაში და გარკვეული პერიოდი იქ ცხოვრობდა. თავისი მიზნის მისაღწევად ფურიეს ახალი მათემატიკური მეთოდების შემუშავება მოუწია. მისი კვლევის შედეგები გამოქვეყნდა 1822 წელს ნაშრომში "სითბოს ანალიტიკური თეორია" ( Chaleur-ის ანალიზის თეორია), სადაც მან აღწერა, თუ როგორ უნდა გავაანალიზოთ რთული ფიზიკური პრობლემები მათი რამდენიმე მარტივზე დაშლით.

ანალიზის მეთოდი ეფუძნებოდა ე.წ ფურიეს სერია. ჩარევის პრინციპის შესაბამისად, სერია იწყება რთული ფორმის მარტივებად დაშლით - მაგალითად, დედამიწის ზედაპირის ცვლილება მიწისძვრის გამო, კომეტის ორბიტაზე ცვლილებების გავლენის გამო. რამდენიმე პლანეტის მიზიდულობა, სითბოს ნაკადის ცვლილება მისი გავლის გამო თბოიზოლაციის მასალისგან დამზადებული არარეგულარული ფორმის დაბრკოლებაში. ფურიემ აჩვენა, რომ რთული ტალღის ფორმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მარტივი ტალღების ჯამი. როგორც წესი, კლასიკური სისტემების აღწერის განტოლებები ადვილად წყდება თითოეული ამ მარტივი ტალღისთვის. ფურიემ განაგრძო იმის ჩვენება, თუ როგორ შეიძლება ამ მარტივი გადაწყვეტილებების შეჯამება მთლიანის გამოსავლის მისაცემად რთული ამოცანაზოგადად. (მათემატიკურად რომ ვთქვათ, ფურიეს სერია არის ფუნქციის წარმოდგენის მეთოდი, როგორც ჰარმონიების ჯამი - სინუსი და კოსინუსი, ამიტომ ფურიეს ანალიზი ასევე ცნობილი იყო როგორც ჰარმონიული ანალიზი.)

მეოცე საუკუნის შუა ხანებში კომპიუტერების მოსვლამდე, ფურიეს მეთოდები და მსგავსი იყო საუკეთესო იარაღი სამეცნიერო არსენალში ბუნების სირთულეებზე თავდასხმის დროს. რთული ფურიეს მეთოდების გამოჩენის შემდეგ, მეცნიერებმა შეძლეს მათი გამოყენება არა მხოლოდ გადასაჭრელად მარტივი დავალებები, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია ნიუტონის მექანიკის კანონებისა და სხვა ფუნდამენტური განტოლებების პირდაპირი გამოყენებით. მე-19 საუკუნეში ნიუტონის მეცნიერების მრავალი დიდი მიღწევა შეუძლებელი იქნებოდა ფურიეს მიერ პირველად შემოთავაზებული მეთოდების გამოყენების გარეშე. მომავალში ეს მეთოდები გამოიყენებოდა სხვადასხვა დარგის პრობლემების გადაჭრისას - ასტრონომიიდან მექანიკურ ინჟინერიამდე.

ჟან-ბატისტ ჯოზეფ ფურიე
ჟან ბატისტ ჯოზეფ ფურიე, 1768-1830 წწ

ფრანგი მათემატიკოსი. დაიბადა ოსერში; ცხრა წლის ასაკში ობოლი დარჩა. უკვე მცირე ასაკში მან გამოავლინა მათემატიკისადმი მიდრეკილება. ფურიემ განათლება მიიღო საეკლესიო და სამხედრო სასწავლებელში, შემდეგ მუშაობდა მათემატიკის მასწავლებლად. მთელი ცხოვრების მანძილზე აქტიურად იყო ჩართული პოლიტიკაში; დააპატიმრეს 1794 წელს ტერორის მსხვერპლთა დაცვისთვის. რობესპიერის გარდაცვალების შემდეგ ციხიდან გაათავისუფლეს; მონაწილეობა მიიღო პარიზში ცნობილი პოლიტექნიკური სკოლის (Ecole Polytechnique) შექმნაში; მისმა პოზიციამ მას ნაპოლეონის რეჟიმის პირობებში წინსვლის პლაცდარმი მისცა. თან ახლდა ნაპოლეონს ეგვიპტეში, დაინიშნა ქვემო ეგვიპტის გუბერნატორად. 1801 წელს საფრანგეთში დაბრუნების შემდეგ დაინიშნა ერთ-ერთი პროვინციის გუბერნატორად. 1822 წელს იგი გახდა საფრანგეთის მეცნიერებათა აკადემიის მუდმივი მდივანი, რომელიც გავლენიანი თანამდებობა იყო საფრანგეთის სამეცნიერო სამყაროში.

შესავალი მიმოხილვის განყოფილება განიხილავს ორ ძალიან მარტივი მაგალითები(აღებულია Shumway, 1988) სპექტრული ანალიზის ბუნებისა და შედეგების ინტერპრეტაციის საილუსტრაციოდ. თუ თქვენ არ იცნობთ ამ მეთოდს, რეკომენდებულია ჯერ დაათვალიეროთ ამ განყოფილებასეს თავი.

მიმოხილვა და მონაცემთა ფაილი. Sunspot.sta ფაილი შეიცავს მზის ლაქების ცნობილი ნომრების ნაწილს (ვოლფერი) 1749 წლიდან 1924 წლამდე (ანდერსონი, 1971). ქვემოთ მოცემულია პირველი რამდენიმე მონაცემის სია მაგალითის ფაილიდან.

ვარაუდობენ, რომ მზის ლაქების რაოდენობა გავლენას ახდენს დედამიწის ამინდზე, ასევე სოფლის მეურნეობაზე, ტელეკომუნიკაციებზე და ა.შ. ამ ანალიზის გამოყენებით შეიძლება სცადოთ იმის გარკვევა, არის თუ არა მართლაც ციკლური ხასიათის მზის ლაქების აქტივობა (სინამდვილეში ასეა, ეს მონაცემები ფართოდ არის განხილული ლიტერატურაში; იხილეთ, მაგალითად, Bloomfield, 1976, ან Shumway, 1988).

ანალიზის განმარტება. ანალიზის გაშვების შემდეგ გახსენით Sunspot.sta მონაცემთა ფაილი. დააწკაპუნეთ ღილაკზე Variables და აირჩიეთ Spots ცვლადი (გაითვალისწინეთ, რომ თუ Sunspot.sta მონაცემთა ფაილი არის მიმდინარე გახსენი ფაილიმონაცემები და ცვლადი Spots არის ერთადერთი ცვლადი ამ ფაილში, როდესაც დროის სერიების ანალიზის დიალოგური ფანჯარა იხსნება, Spots ავტომატურად შეირჩევა). ახლა დააწკაპუნეთ ფურიეს (სპექტრული) ანალიზის ღილაკზე, რათა გახსნათ ფურიეს (სპექტრული) ანალიზის დიალოგური ფანჯარა.

სპექტრული ანალიზის გამოყენებამდე, ჯერ აკრიფეთ მზის ლაქების რაოდენობა. გაითვალისწინეთ, რომ Sunspot.sta ფაილი შეიცავს შესაბამის წლებს, როგორც დაკვირვების სახელები. ამ სახელების გამოსაყენებლად, დააწკაპუნეთ სერიის ჩანართზე და აირჩიეთ საქმის სახელები ლეიბლის წერტილებში. ასევე, აირჩიეთ X-ღერძის მასშტაბის ხელით დაყენება და მინ. = 1 და ნაბიჯი = 10. შემდეგ დააწკაპუნეთ Graph ღილაკზე Preview Highlight ღილაკის გვერდით. ცვლადი.

მზის ლაქების რაოდენობა, როგორც ჩანს, ციკლურ ნიმუშს მიჰყვება. ტენდენცია არ არის, ამიტომ დაბრუნდით სპექტრის ანალიზის ფანჯარაში და გააუქმეთ არჩევა ხაზოვანი ტენდენციის ამოღება ჯგუფში Transform Original Series.

ცხადია, სერიის საშუალო მაჩვენებელი 0-ზე მეტია (ნულზე). ამიტომ, არჩეული დატოვეთ Subtract mean ოფცია [წინააღმდეგ შემთხვევაში, პერიოდოგრამა „გაჭედავს“ ძალიან დიდი პიკით 0 (ნულოვანი) სიხშირეზე].

ახლა თქვენ მზად ხართ ანალიზის დასაწყებად. ახლა დააწკაპუნეთ OK (ერთგანზომილებიანი ფურიეს ანალიზი), რათა გამოიტანოთ ფურიეს სპექტრული ანალიზის შედეგების დიალოგური ფანჯარა.

შედეგების ნახვა. დიალოგური ფანჯრის ზედა ნაწილში საინფორმაციო განყოფილება აჩვენებს სერიის შემაჯამებელ სტატისტიკას. ის ასევე აჩვენებს ხუთ უმსხვილეს პერიოდოგრამის პიკს (სიხშირის მიხედვით). ყველაზე დიდი სამი პიკი არის 0.0852, 0.0909 და 0.0114 სიხშირეებზე. ეს ინფორმაცია ხშირად სასარგებლოა ძალიან დიდი სერიების (მაგალითად, 100000-ზე მეტი დაკვირვების მქონე სერიების) გაანალიზებისას, რომლებიც ადვილად არ არის დახატული ერთ ნაკვეთში. თუმცა ამ შემთხვევაში მარტივია პაროდოგრამის მნიშვნელობების დანახვა; პერიოდოგრამაზე დაწკაპუნებით ღილაკზე პერიოდოგრამა და სპექტრული სიმკვრივის ნახაზები.

პერიოდოგრამაზე ნაჩვენებია ორი განსხვავებული მწვერვალი. მაქსიმალური არის დაახლოებით 0.9 სიხშირეზე. დაბრუნდით სპექტრული ანალიზის შედეგების ფანჯარაში და დააწკაპუნეთ შეჯამების ღილაკზე, რათა ნახოთ ყველა პერიოდოგრამის მნიშვნელობა (და სხვა შედეგები) შედეგების ცხრილში. ქვემოთ ნაჩვენებია შედეგების ცხრილის ნაწილი პაროდოგრამიდან ყველაზე დიდი პიკით.

როგორც განიხილება შესავალი მიმოხილვის განყოფილებაში, სიხშირე არის ციკლების რაოდენობა დროის ერთეულზე (სადაც თითოეული დაკვირვება არის დროის ერთი ერთეული). ამრიგად, 0.0909 სიხშირე შეესაბამება 11 პერიოდის მნიშვნელობას (სრული ციკლისთვის საჭირო დროის ერთეულების რაოდენობა). ვინაიდან Sunspot.sta-ში მზის ლაქების მონაცემები ყოველწლიური დაკვირვებებია, შეიძლება დავასკვნათ, რომ მზის ლაქების აქტივობაში არის გამოხატული 11-წლიანი (შესაძლოა 11 წელზე ოდნავ გრძელი) ციკლი.

სპექტრული სიმკვრივე. ჩვეულებრივ, სპექტრული სიმკვრივის შეფასების გამოსათვლელად, პერიოდოგრამა იშლება შემთხვევითი რყევების მოსაშორებლად. შეწონილი მოძრავი საშუალო ტიპი და ფანჯრის სიგანე შეიძლება შეირჩეს Spectral Windows განყოფილებაში. შესავალი მიმოხილვის განყოფილება დეტალურად განიხილავს ამ ვარიანტებს. ჩვენი მაგალითისთვის, მოდით დავტოვოთ არჩეული ნაგულისხმევი ფანჯარა (ჰამინგის სიგანე 5) და ავირჩიოთ სპექტრული სიმკვრივის დიაგრამა.

ორი მწვერვალი ახლა კიდევ უფრო ნათელია. მოდით შევხედოთ პერიოდოგრამის მნიშვნელობებს პერიოდის განმავლობაში. მონიშნეთ პერიოდი ველი გრაფიკის განყოფილებაში. ახლა აირჩიეთ სპექტრული სიმკვრივის დიაგრამა.

ისევ და ისევ, არის გამოხატული 11-წლიანი ციკლი მზის ლაქების აქტივობაში; უფრო მეტიც, არსებობს უფრო გრძელი ციკლის ნიშნები, დაახლოებით 80-90 წელი.

ფურიეს ტრანსფორმაცია და კლასიკური ციფრული სპექტრული ანალიზი.
მედვედევი S.Yu., Ph.D.

შესავალი

სპექტრული ანალიზი არის სიგნალის დამუშავების ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაახასიათოთ გაზომილი სიგნალის სიხშირის შემადგენლობა. ფურიეს ტრანსფორმაცია არის მათემატიკური ჩარჩო, რომელიც აკავშირებს დროებით ან სივრცით სიგნალს (ან ამ სიგნალის ზოგიერთ მოდელს) მის წარმოდგენას სიხშირის დომენში. სტატისტიკური მეთოდები მნიშვნელოვან როლს თამაშობს სპექტრალურ ანალიზში, რადგან სიგნალები ჩვეულებრივ შემთხვევითი ან ხმაურიანია გავრცელების ან გაზომვის დროს. თუ სიგნალის ძირითადი სტატისტიკური მახასიათებლები ზუსტად იყო ცნობილი, ან შეიძლება განისაზღვროს ამ სიგნალის სასრული ინტერვალიდან, მაშინ სპექტრული ანალიზი იქნებოდა "ზუსტი მეცნიერების" ფილიალი. თუმცა, სინამდვილეში, მხოლოდ მისი სპექტრის შეფასება შეიძლება მიღებულ იქნას სიგნალის სეგმენტიდან. მაშასადამე, სპექტრული ანალიზის პრაქტიკა საკმაოდ სუბიექტური ხასიათის ერთგვარი ხელობაა (თუ ხელოვნება?). ერთი და იგივე სიგნალის სეგმენტის დამუშავების შედეგად მიღებულ სპექტრულ შეფასებებს შორის განსხვავება სხვადასხვა მეთოდები, შეიძლება აიხსნას მონაცემების შესახებ გაკეთებული სხვადასხვა ვარაუდით, საშუალოდ დათვლის სხვადასხვა მეთოდით და ა.შ. თუ სიგნალის მახასიათებლები აპრიორულად არ არის ცნობილი, შეუძლებელია იმის თქმა, თუ რომელი შეფასებაა უკეთესი.

ფურიეს ტრანსფორმაცია - სპექტრული ანალიზის მათემატიკური საფუძველი
მოკლედ განიხილეთ განსხვავებული ტიპებიფურიეს გარდაქმნები (დაწვრილებით იხ.).
დავიწყოთ დრო-უწყვეტი სიგნალის ფურიეს გარდაქმნით

, (1)

რომელიც განსაზღვრავს იმ რთული სინუსოიდების (ექსპონენციალური) სიხშირეებსა და ამპლიტუდებს, რომლებშიც იშლება ზოგიერთი თვითნებური რხევა.
საპირისპირო ტრანსფორმაცია

. (2)

წინა და შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაციის არსებობა (რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ უწყვეტი დროის ფურიეს ტრანსფორმაციას - CTFT) განისაზღვრება მთელი რიგი პირობებით. საკმარისი - აბსოლუტური სიგნალის ინტეგრირება

. (3)

ნაკლებად შემზღუდველი საკმარისი პირობაა სიგნალის ენერგიის სასრულობა

. (4)

ჩვენ წარმოგიდგენთ ფურიეს ტრანსფორმაციის უამრავ ძირითად თვისებას და ქვემოთ გამოყენებულ ფუნქციებს, აღვნიშნავთ, რომ მართკუთხა ფანჯარა განისაზღვრება გამოსახულებით

(5)

და sinc ფუნქცია არის გამოხატულება

(6)

ნიმუშების ფუნქცია დროის დომენში განისაზღვრება გამოსახულებით

(7)

ამ ფუნქციას ზოგჯერ პერიოდული გაგრძელების ფუნქციასაც უწოდებენ.

ცხრილი 1. NVPF-ის ძირითადი თვისებები და ფუნქციები

საკუთრება, ფუნქცია	ფუნქცია	ტრანსფორმაცია
წრფივობა	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Დროის ცვლა	სთ (t - t0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
სიხშირის ცვლა (მოდულაცია)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f0)
სკალირება	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
დროის დომენის კონვოლუციის თეორემა	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
კონვოლუციის თეორემა სიხშირის დომენში	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
ფანჯრის ფუნქცია	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
sinc ფუნქცია	2AFsinc(2Ft)	Aw(f/F)
იმპულსური ფუნქცია	რეკლამა
ითვლის ფუნქცია	T(f)	FF(f), F=1/T

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება დადგენილია პარსევალის თეორემით ორი ფუნქციისთვის g(t) და h(t):

. (8)

თუ დავსვამთ g(t) = h(t), მაშინ პარსევალის თეორემა მცირდება ენერგიის თეორემამდე.

. (9)

გამოთქმა (9) არსებითად არის მხოლოდ ენერგიის შენარჩუნების კანონის ფორმულირება ორ დომენში (დრო და სიხშირე). (9) სიგნალის მთლიანი ენერგია მარცხნივ არის, ამიტომ ფუნქცია

(10)

აღწერს ენერგიის სიხშირის განაწილებას დეტერმინისტული სიგნალისთვის h(t) და ამიტომ მას უწოდებენ ენერგიის სპექტრულ სიმკვრივეს (SPD). გამონათქვამები

(11)

შეიძლება გამოვთვალოთ h(t) სიგნალის ამპლიტუდა და ფაზური სპექტრები.

დისკრეტიზაციის და შეწონვის ოპერაციები

შემდეგ განყოფილებაში წარმოგიდგენთ დისკრეტული დროის ფურიეს სერიას (DTFT) ან სხვაგვარად დისკრეტულ ფურიეს ტრანსფორმაციას (DFT) როგორც განსაკუთრებული შემთხვევაუწყვეტი დროის ფურიეს ტრანსფორმაცია (CTFT) ორი ძირითადი სიგნალის დამუშავების ოპერაციების გამოყენებით - შერჩევა ( დისკრეტიზაცია) და წონითფანჯრის გამოყენებით. აქ განვიხილავთ ამ ოპერაციების გავლენას სიგნალზე და მის ტრანსფორმაციაზე. ცხრილში 2 ჩამოთვლილია ფუნქციები, რომლებიც ასრულებენ წონით და დისკრეტიზაციას.

ერთგვაროვანი ჩვენებით T წამის ინტერვალით, შერჩევის სიხშირე F უდრის 1 /T Hz. გაითვალისწინეთ, რომ შეწონვის ფუნქცია და შერჩევის ფუნქცია დროის დომენში აღინიშნება შესაბამისად TW (დროის ფანჯარა) და TS (დროის შერჩევა), ხოლო სიხშირის დომენში FW (სიხშირის ფანჯარა) და FS (სიხშირის შერჩევა).

ცხრილი 2. აწონვის და დისკრეტიზაციის ფუნქციები

Ოპერაცია	დროის ფუნქცია	ტრანსფორმაცია
დროის დომენის წონა (ფანჯრის სიგანე NT წმ)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
სიხშირის დომენის წონა (ფანჯრის სიგანე 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
დროის ჩვენებები (ინტერვალი T წამი)	TS=T T (t)
სიხშირის შერჩევა (1/NT Hz ინტერვალი)

დავუშვათ, რომ ნიმუშები აღებულია უწყვეტი რეალური სიგნალისგან x(t) შეზღუდული სპექტრით, რომლის ზედა სიხშირე უდრის F0-ს. რეალური სიგნალის NITF ყოველთვის არის სიმეტრიული ფუნქცია 2F0 საერთო სიგანით, იხილეთ ნახ.1.
სიგნალის ნიმუშები x(t) შეიძლება მივიღოთ ამ სიგნალის ნიმუშების ფუნქციით გამრავლებით:

(12)

ნახ.1 არის შერჩევის თეორემის ილუსტრაცია დროის დომენში რეალური სპექტრის შეზღუდული სიგნალისთვის:
ა - დროის თავდაპირველი ფუნქცია და მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია;
ბ - წაკითხვის ფუნქცია დროში და მისი ფურიეს გარდაქმნა;
c - თავდაპირველი ფუნქციის დროის წაკითხვა და მისი პერიოდულად გაფართოებული ფურიეს ტრანსფორმაცია Fo შემთხვევისთვის<1/2T;
d - სიხშირის ფანჯარა (იდეალური დაბალი გამტარი ფილტრი) და მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია (sinc ფუნქცია);
d არის თავდაპირველი დროის ფუნქცია, რომელიც აღდგენილია კონვოლუციის ოპერაციის საშუალებით sinc ფუნქციით.

სიხშირის დომენის კონვოლუციის თეორემის მიხედვით, x(t) სიგნალის CTF უბრალოდ არის სიგნალის x(t) სპექტრის კონვოლუცია და დროის ნიმუშის (TS) ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია:

. (13)

კონვოლუცია X(f) შერჩევის ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაციასთან F (TS)=Y1/T(f) უბრალოდ გრძელდება X(f) პერიოდულად 1/T Hz სიხშირის ინტერვალით. ამიტომ, XS(f) არის X(f) პერიოდულად გაფართოებული სპექტრი. ზოგადად, ნიმუშები ერთ რეგიონში (მაგალითად, დრო) იწვევს პერიოდულ გაგრძელებას ტრანსფორმაციის რეგიონში (მაგალითად, სიხშირე). თუ შერჩევის სიხშირე არჩეულია საკმარისად დაბალი (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
იმისათვის, რომ აღდგეს საწყისი დროის სიგნალი მისი წაკითხულიდან, ე.ი. ამ ნიმუშებს შორის მნიშვნელობების გარკვეული უწყვეტობის ინტერპოლაციისთვის, შესაძლებელია ნიმუშის მონაცემების გადატანა იდეალური დაბალი გამტარი ფილტრის მეშვეობით მართკუთხა სიხშირის პასუხით (ნახ. 1d)

. (14)

შედეგად (იხ. სურ. 1 ე) თავდაპირველი ფურიეს ტრანსფორმაცია აღდგება. კონვოლუციის თეორემების გამოყენებით დროისა და სიხშირის დომენებში, მივიღებთ

. (15)

გამოხატულება (15) არის მათემატიკური აღნიშვნა შერჩევის თეორემები დროის დომენში(ვიტაკერის, კოტელნიკოვის, შენონის თეორემები - UKSH), სადაც ნათქვამია, რომ ინტერპოლაციის ფორმულის (15) დახმარებით შესაძლებელია შეზღუდული სპექტრის რეალური სიგნალის ზუსტად აღდგენა. უსასრულო რიცხვითდროის ცნობილი ჩვენებები აღებული სიხშირით F і 2F0. ორმაგი თეორემა (15) არის თეორემა ნიმუშები სიხშირის დომენშიშეზღუდული ხანგრძლივობის სიგნალებისთვის.
დროის დომენში (14) მსგავსი ოპერაციები აღწერილია გამოსახულებით

, (16)

ხოლო შესაბამისი გარდაქმნები – გამონათქვამებით

ამრიგად, შეზღუდული ხანგრძლივობით გარკვეული სიგნალის NITF X(f) შეიძლება ცალსახად აღდგეს ასეთი სიგნალის სპექტრის თანაბარი მანძილის ნიმუშებიდან, თუ შერჩეული სიხშირის ნიმუშის ინტერვალი აკმაყოფილებს F1/2T 0 Hz პირობას, სადაც T 0 არის სიგნალის ხანგრძლივობა.

ურთიერთობები უწყვეტ და დისკრეტულ გარდაქმნებს შორის

გარდაქმნების წყვილი N- წერტილის დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციის (DFT) ჩვეულებრივი განმარტებისთვის დროის თანმიმდევრობა x[n] და შესაბამისი N წერტილი ფურიეს გარდაქმნის მიმდევრობები X[k] მოცემულია გამონათქვამებით

, (18)
. (19)

იმისათვის, რომ მივიღოთ სპექტრული შეფასებები მონაცემთა ნიმუშებიდან ენერგიის ან სიმძლავრის შესაბამის ერთეულებში, ჩვენ ვწერთ დისკრეტულ დროში ფურიეს სერიას (DTFT), რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს უწყვეტი დროის ფურიეს ტრანსფორმაციის (CTFT) გარკვეულ მიახლოებად. სასრული რაოდენობის მონაცემთა ნიმუშების გამოყენება:

dvrf-თან მიმოწერის ბუნების ჩვენების მიზნით ( დისკრეტულიფუნქციები როგორც დროის, ასევე სიხშირის დომენებში) და CTF (უწყვეტი ფუნქციები დროისა და სიხშირის დომენებში), ჩვენ გვჭირდება ოთხი წრფივი კომუტაციის ოპერაციების თანმიმდევრობა: წონა დროისა და სიხშირის დომენებში და შერჩევის ან სინჯის აღებაროგორც დროის, ასევე სიხშირის სფეროებში. თუ შეწონვის ოპერაცია შესრულებულია ერთ-ერთ ამ უბანზე, მაშინ, კონვოლუციის თეორემის მიხედვით, იგი შეესაბამება ფილტრაციის (კონვოლუციის) ოპერაციის შესრულებას სხვა უბანში sinc ფუნქციით. ანალოგიურად, თუ დისკრეტიზაცია ხორციელდება ერთ რეგიონში, მაშინ პერიოდული გაგრძელების ოპერაცია ხორციელდება მეორეში. ვინაიდან აწონვა და სინჯის აღება წრფივი და კომუტაციური ოპერაციებია, მათი შეკვეთის სხვადასხვა გზაა შესაძლებელი, რაც ერთსა და იმავე საბოლოო შედეგს იძლევა სხვადასხვა შუალედური შედეგებით. სურათი 2 გვიჩვენებს ამ ოთხი ოპერაციის ორ შესაძლო თანმიმდევრობას.

ბრინჯი. 2. ორი აწონვის და ორი შერჩევის ოპერაციების ორი შესაძლო თანმიმდევრობა, რომლებიც აკავშირებს NTPF და DTRF: FW - ფანჯრის გამოყენება სიხშირის დომენში; TW - ფანჯრის გამოყენება დროის დომენში; FS - სინჯის აღება სიხშირის დომენში; TS - ნიმუშის აღება დროის დომენში.
1 - ფურიეს გარდაქმნა უწყვეტი დროით, განტოლება (1);
4 - ფურიეს გარდაქმნა დისკრეტული დროით, განტოლება (22);
5 - ფურიეს რიგი უწყვეტი დროით, განტოლება (25);
8 - ფურიეს რიგი დისკრეტული დროით, განტოლება (27)

1, 4, 5 და 8 კვანძებზე აწონვისა და სინჯის ოპერაციების შესრულების შედეგად, იქნება ოთხი განსხვავებული ტიპის ფურიეს მიმართება. კვანძები, სადაც არის ფუნქცია სიხშირის დომენი უწყვეტია, ეხება გარდაქმნებიფურიე და კვანძები, რომლებშიც ფუნქცია სიხშირის დომენშია დისკრეტულიეხება ფურიეს სერია(დაწვრილებით იხილეთ).
ასე რომ, მე-4 კვანძში, სიხშირის დომენში წონა და დროის დომენში შერჩევა წარმოიქმნება დისკრეტული დროის ტრანსფორმაციაფურიეს ტრანსფორმაცია (DTFT), რომელიც ხასიათდება სპექტრის პერიოდული ფუნქციით სიხშირის დომენში 1/T Hz პერიოდით:

(22)

(23)

გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება (22) განსაზღვრავს გარკვეულ პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც ემთხვევა კვანძში მითითებულ თავდაპირველ ტრანსფორმირებულ ფუნქციას მხოლოდ -1/2T-დან 1/2T Hz-მდე სიხშირის დიაპაზონში. გამოხატულება (22) დაკავშირებულია x[n] დისკრეტული მიმდევრობის Z-ტრანსფორმასთან მიმართებით

(24)

ასე რომ, DTFT არის მხოლოდ Z-ტრანსფორმა, რომელიც გამოითვლება ერთეულ წრეზე და მრავლდება T-ზე.
თუ 1-ლი კვანძიდან მე-8 კვანძში გადავალთ ქვედა ტოტის გასწვრივ, მე-5 კვანძში, დროის დომენში შეწონვის ოპერაციები (სიგნალის ხანგრძლივობის შეზღუდვა) და სინჯის აღება სიხშირის დომენში წარმოქმნის უწყვეტი დროის ფურიეს სერიას ( CTSF). 1 და 2 ცხრილებში მოცემული ფუნქციების თვისებებისა და განმარტებების გამოყენებით, ვიღებთ ტრანსფორმაციის შემდეგ წყვილს
(25)
(26)

გაითვალისწინეთ, რომ გამონათქვამი (26) განსაზღვრავს გარკვეულ პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც ემთხვევა თავდაპირველ ფუნქციას (კვანძში 1) მხოლოდ დროის ინტერვალზე 0-დან NT-მდე.
მიუხედავად იმისა, თუ რომელია არჩეული ოთხი ოპერაციის ორი თანმიმდევრობა, საბოლოო შედეგი მე-8 კვანძში იგივე იქნება - დისკრეტული დროის ფურიეს სერია, რომელიც შეესაბამება 1-ელ ცხრილში მითითებული თვისებების გამოყენებით მიღებულ ტრანსფორმაციის შემდეგ წყვილს.

, (27)

სადაც k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

სადაც n=0, . . . ,N-1,
ენერგიის თეორემა ამ WWRF-ისთვის არის:

, (29)

და ახასიათებს N მონაცემთა ნიმუშების თანმიმდევრობის ენერგიას. ორივე თანმიმდევრობა x[n] და X[k] არის პერიოდული N მოდული, ამიტომ (28) შეიძლება დაიწეროს ფორმით

, (30)

სადაც 0 n N. T ფაქტორი (27) - (30) აუცილებელია ისე, რომ (27) და (28) რეალურად იყოს ინტეგრალური ტრანსფორმაციის მიახლოება ინტეგრაციის დომენში.

.(31)

ნულოვანი შეფუთვა

პროცესის მეშვეობით ე.წ ნულოვანი შეფუთვადისკრეტული დროის ფურიეს სერია შეიძლება შეიცვალოს ორიგინალური ტრანსფორმაციის N მნიშვნელობებს შორის ინტერპოლაციისთვის. მოდით, მონაცემთა ხელმისაწვდომი ნიმუშები x,...,x დაემატოს ნულოვანი მნიშვნელობებით x[N],...X. ამ ნულოვანი 2N-პუნქტიანი მონაცემთა თანმიმდევრობის TDRF იქნება მოცემული

(32)

სადაც მარჯვენა ზედა ჯამის ზღვარი შეცვლილია ნულოვანი მონაცემების დასაკმაყოფილებლად. მოდით k=2m, ასე რომ

, (33)

სადაც m=0,1,...,N-1, განსაზღვრავს X[k]-ის ლუწი მნიშვნელობებს. ეს აჩვენებს, რომ k ინდექსის ლუწი მნიშვნელობებისთვის, 2N-პუნქტიანი დისკრეტული დროის ფურიეს სერია მცირდება N-პუნქტიანი დისკრეტული დროის სერიამდე. k ინდექსის უცნაური მნიშვნელობები შეესაბამება ინტერპოლირებულ TDGF მნიშვნელობებს, რომლებიც მდებარეობს თავდაპირველი N- წერტილის TDGF მნიშვნელობებს შორის. რაც უფრო და უფრო მეტი ნულები ემატება თავდაპირველ N-წერტილ მიმდევრობას, შეიძლება კიდევ უფრო მეტი ინტერპოლირებული მონაცემების მიღება. შეყვანილი ნულების უსასრულო რაოდენობის შეზღუდვის შემთხვევაში, DTRF შეიძლება ჩაითვალოს N-წერტილოვანი მონაცემების მიმდევრობის დისკრეტულ დროში ფურიეს ტრანსფორმაციად:

. (34)

ტრანსფორმაცია (34) შეესაბამება მე-6 კვანძს ნახ.2-ში.
არსებობს მცდარი მოსაზრება, რომ ნულოვანი ბალიშები აუმჯობესებს გარჩევადობას, რადგან ეს ზრდის მონაცემთა თანმიმდევრობის სიგრძეს. თუმცა, როგორც ნახაზი 3-დან ჩანს, ნულებით შეფუთვა არ უმჯობესდებამოცემული სასრული მონაცემების მიმდევრობით მიღებული ტრანსფორმაციის გარჩევადობა. ნულოვანი padding უბრალოდ საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ინტერპოლირებული ტრანსფორმაცია უფრო გაბრტყელებული ფორმა. გარდა ამისა, ის გამორიცხავს გაურკვევლობას ვიწროზოლიანი სიგნალის კომპონენტების არსებობის გამო, რომელთა სიხშირეები მდებარეობს N წერტილებს შორის, რომლებიც შეესაბამება თავდაპირველი TPDF-ის სავარაუდო სიხშირეებს. ნულებით შეფუთვისას ასევე იზრდება სპექტრული მწვერვალების სიხშირის შეფასების სიზუსტე. სპექტრული გარჩევადობის ტერმინში ვგულისხმობთ ორი ჰარმონიული სიგნალის სპექტრული პასუხის გარჩევის უნარს. ზოგადად მიღებული ცერის წესი, რომელიც ხშირად გამოიყენება სპექტრალურ ანალიზში, ამბობს, რომ განსხვავებულ სინუსოიდების სიხშირის განცალკევება არ შეიძლება იყოს ნაკლები ფანჯრის ექვივალენტური გამტარობა, რომლის მეშვეობითაც შეიმჩნევა ამ სინუსოიდების სეგმენტები (სეგმენტები).

ნახ.3. ინტერპოლაცია ნულებით დაფარვით:
a - DPRF მოდული 16-პუნქტიანი მონაცემთა ჩაწერისთვის, რომელიც შეიცავს სამ სინუსოიდს ნულოვანი ბალიშის გარეშე (გაურკვევლობა ჩანს: შეუძლებელია იმის თქმა, რამდენი სინუსოიდი არის სიგნალში - ორი, სამი ან ოთხი);
b - იგივე თანმიმდევრობის TDWF მოდული 16 ნულის დამატების გამო მისი წაკითხვის რაოდენობის გაორმაგების შემდეგ (გაურკვევლობა მოგვარებულია, რადგან სამივე სინუსოიდი გამოირჩევა;
c - იგივე თანმიმდევრობის TDWF მოდული მისი წაკითხვის რაოდენობის ოთხჯერ გაზრდის შემდეგ ნულების დამატების გამო.

ფანჯრის ეკვივალენტური გამტარობა შეიძლება განისაზღვროს როგორც
სადაც W(f) არის ფანჯრის ფუნქციის დისკრეტული დროის ფურიეს ტრანსფორმაცია, მაგალითად, მართკუთხა (5). ანალოგიურად, შეგიძლიათ შეხვიდეთ ფანჯრის ექვივალენტური ხანგრძლივობა

შეიძლება აჩვენოს, რომ ფანჯრის ექვივალენტური ხანგრძლივობა (ან ნებისმიერი სხვა სიგნალი) და მისი ტრანსფორმაციის ეკვივალენტური გამტარუნარიანობა ორმხრივია: TeBe=1.

სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია

სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია (FFT) არ არის მხოლოდ ფურიეს ტრანსფორმაციის კიდევ ერთი ვარიაცია, არამედ ეფექტური დიაპაზონის სახელია. ალგორითმები, შექმნილია ფურიეს სერიების დისკრეტული დროის სწრაფი გაანგარიშებისთვის. მთავარი პრობლემა, რომელიც წარმოიქმნება WWRF-ის პრაქტიკულ განხორციელებაში, მდგომარეობს N2-ის პროპორციული გამოთვლითი ოპერაციების დიდ რაოდენობაში. მიუხედავად იმისა, რომ კომპიუტერების გამოჩენამდე დიდი ხნით ადრე იყო შემოთავაზებული რამდენიმე ეფექტური გამოთვლითი სქემა, რომლებსაც შეეძლოთ მნიშვნელოვნად შეამცირონ გამოთვლითი ოპერაციების რაოდენობა, ნამდვილი რევოლუცია მოხდა 1965 წელს კულის (Cooly) და Tukey (Tukey) სტატიის გამოქვეყნებით. DTWF-ის სწრაფი (ოპერაციების რაოდენობა Nlog 2 N) გაანგარიშების ალგორითმი. ამის შემდეგ შეიქმნა ძირითადი იდეის მრავალი ვარიანტი, გაუმჯობესება და დამატება, რომელიც შეადგენდა ალგორითმების კლასს, რომელიც ცნობილია როგორც სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია. FFT-ის ძირითადი იდეა არის N-წერტილი TDGF-ის დაყოფა ორ ან მეტ TDGF-ად უფრო მცირე სიგრძით, რომელთაგან თითოეული შეიძლება გამოითვალოს ცალ-ცალკე და შემდეგ წრფივად შეჯამდეს სხვებთან, რათა მივიღოთ თავდაპირველი N-წერტილის მიმდევრობის TDGF. .
ჩვენ წარმოვადგენთ დისკრეტულ ფურიეს ტრანსფორმაციას (DTFT) ფორმაში

, (35)

სადაც W N =exp(-j2 /N) მნიშვნელობას უწოდებენ შემობრუნების კოეფიციენტს (შემდგომში ამ განყოფილებაში შერჩევის პერიოდია T=1). აირჩიეთ x[n] მიმდევრობიდან ელემენტები ლუწი და კენტი რიცხვებით

. (36)

მაგრამ მას შემდეგ
. ამიტომ, (36) შეიძლება დაიწეროს როგორც

, (37)

სადაც თითოეული ტერმინი არის N/2 სიგრძის ტრანსფორმაცია

(38)

გაითვალისწინეთ, რომ მიმდევრობა (WN/2) nk პერიოდულია k-ში პერიოდით N/2. ამიტომ, მიუხედავად იმისა, რომ რიცხვი k გამოსახულებაში (37) იღებს მნიშვნელობებს 0-დან N-1-მდე, თითოეული ჯამი გამოითვლება k მნიშვნელობებისთვის 0-დან N/2-1-მდე. შეიძლება შეფასდეს რთული გამრავლებისა და შეკრების ოპერაციების რაოდენობა, რომელიც საჭიროა ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოსათვლელად ალგორითმის მიხედვით (37)-(38). ორი N/2-პუნქტიანი ფურიეს გარდაქმნა (38) ფორმულების მიხედვით მოითხოვს 2(N/2) 2 გამრავლებას და მიმატებების დაახლოებით იგივე რაოდენობას. ორი N/2-პუნქტიანი გარდაქმნის გაერთიანება (37) ფორმულის მიხედვით საჭიროებს N-ზე მეტ გამრავლებას და N მიმატებას. ამიტომ, ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოსათვლელად k-ის ყველა N მნიშვნელობებისთვის, აუცილებელია N+N 2/2 გამრავლება და შეკრება. ამავდროულად, პირდაპირი გამოთვლა ფორმულით (35) მოითხოვს N 2 გამრავლებას და შეკრებას. უკვე N>2-ისთვის უტოლობა N+N 2 /2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

ამ შემთხვევაში, W nk N/4 თანმიმდევრობის პერიოდულობის გამო k-ში პერიოდით N/4, ჯამები (40) უნდა გამოითვალოს მხოლოდ k მნიშვნელობებისთვის 0-დან N/4-1-მდე. მაშასადამე, X[k] მიმდევრობის გამოთვლა (37), (39) და (40) ფორმულებით მოითხოვს, რადგან ადვილი გამოსათვლელია, გამრავლებისა და შეკრების უკვე 2N+N 2 /4 ოპერაცია.
ამ გზის შემდეგ, X[k] გამოთვლების რაოდენობა შეიძლება უფრო და უფრო შემცირდეს. m=log 2 N გაფართოების შემდეგ მივდივართ ფორმის ორპუნქტიან ფურიეს გარდაქმნებამდე

(41)

სადაც "ერთპუნქტიანი გარდაქმნები" X 1 უბრალოდ სიგნალის ნიმუშებია x[n]:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

შედეგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ FFT ალგორითმი, რომელსაც გასაგები მიზეზების გამო ე.წ დროის გათხელების ალგორითმი :

X 2 \u003d (x[p] + W k 2 x) / N,

სადაც k=0.1, p=0.1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M,

სადაც k=0.1,...,2N/M -1, p=0.1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2, (43)

სადაც k=0,1,...,N-1

გამოთვლების თითოეულ ეტაპზე ხდება N კომპლექსური გამრავლება და შეკრება. და რადგან თავდაპირველი მიმდევრობის დაშლის რიცხვი ნახევრად სიგრძის ქვემიმდევრობებად უდრის log 2 N-ს, მაშინ FFT ალგორითმში გამრავლება-დამატების ოპერაციების ჯამური რაოდენობაა Nlog 2 N. დიდი N-ისთვის მნიშვნელოვანი ეკონომიაა. გამოთვლითი ოპერაციები DFT-ის პირდაპირ გაანგარიშებასთან შედარებით. მაგალითად, N = 2 10 = 1024-ზე ოპერაციების რაოდენობა მცირდება 117-ჯერ.
FFT ალგორითმი ჩვენ მიერ განხილული დროის დეციმაციასთან ერთად ეფუძნება ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოთვლას x[n] შეყვანის მიმდევრობის ქვემიმდევრობების ფორმირებით. თუმცა, ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ ფურიეს X[k] ტრანსფორმაციის თანმიმდევრული დაშლა. ამ პროცედურაზე დაფუძნებულ FFT ალგორითმს ეწოდება FFT ალგორითმი. დეციმაცია სიხშირეში.შეგიძლიათ მეტი წაიკითხოთ ფურიეს სწრაფი ტრანსფორმაციის შესახებ, მაგალითად, აქ.

შემთხვევითი პროცესები და სიმძლავრის სპექტრული სიმკვრივე

დისკრეტული შემთხვევითი პროცესი x შეიძლება ჩაითვალოს როგორც რეალური ან რთული დისკრეტული დროითი (ან სივრცითი) მიმდევრობების ნაკრები ან ანსამბლი, რომელთაგან თითოეული შეიძლება დაკვირვებული იყოს გარკვეული ექსპერიმენტის შედეგად (n - დროის ინდექსი, i - დაკვირვების ნომერი). ერთ-ერთი დაკვირვების შედეგად მიღებული თანმიმდევრობა აღინიშნა x[n]-ით. ანსამბლის საშუალო ოპერაცია (ე.ი. სტატისტიკური საშუალო) აღინიშნა ოპერატორის მიერ<>. Ამგვარად, - შემთხვევითი პროცესის საშუალო მნიშვნელობა x[n] დროს n. ავტოკორელაციაშემთხვევითი პროცესი ორ სხვადასხვა დროს n1 და n2 განისაზღვრება გამოხატულებით r xx = .

შემთხვევით პროცესს ეწოდება სტაციონარული ფართო გაგებით, თუ მისი საშუალო მნიშვნელობა მუდმივია (დროზე არ არის დამოკიდებული), ხოლო ავტოკორელაცია დამოკიდებულია მხოლოდ დროის ინდექსების სხვაობაზე m=n1-n2 (დროის ცვლა ან შეფერხება ნიმუშებს შორის). ამრიგად, ფართოდ სტაციონარული დისკრეტული შემთხვევითი პროცესი x[n] ხასიათდება მუდმივი საშუალო მნიშვნელობით =და ავტოკორელაციის თანმიმდევრობა(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

გაითვალისწინეთ ACP-ის შემდეგი თვისებები:

r xx |r xx [მ]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

რომლებიც მოქმედებს ყველა მ.
სიმძლავრის სპექტრული სიმკვრივე (PSD) განისაზღვრება, როგორც ავტოკორელაციის მიმდევრობის დისკრეტულ დროში ფურიეს ტრანსფორმაცია (DTFT).

. (46)

SPM, რომლის სიგანე სავარაუდოა ღირებულებით შეზღუდული±1/2T Hz, არის სიხშირის პერიოდული ფუნქცია 1/T Hz პერიოდით. PSD ფუნქცია აღწერს შემთხვევითი პროცესის სიმძლავრის სიხშირის განაწილებას. მისთვის არჩეული სახელის დასადასტურებლად განიხილეთ შებრუნებული DTFT

(47)

გამოითვლება m=0-ზე

(48)

ავტოკორელაცია ნულოვანი ცვლაზე ახასიათებს საშუალო სიმძლავრეშემთხვევითი პროცესი. (48) მიხედვით, მრუდის ქვეშ მდებარე ფართობი P xx (f) ახასიათებს საშუალო სიმძლავრეს, ამიტომ P xx (f) არის სიმკვრივის ფუნქცია (ძალა სიხშირის გაზომვის ერთეულზე), რომელიც ახასიათებს სიმძლავრის განაწილებას სიხშირეზე. გარდაქმნების წყვილს (46) და (47) ხშირად უწოდებენ ვინერ-ხინჩინის თეორემადისკრეტული დროის შემთხვევისთვის. ვინაიდან r xx [-m]=r* xx [m], PSD უნდა იყოს მკაცრად რეალური დადებითი ფუნქცია. თუ AFC არის მკაცრად რეალური ფუნქცია, მაშინ r xx [-m]=r xx [m] და PSD შეიძლება დაიწეროს ფურიეს კოსინუს ტრანსფორმაციის სახით.

,

რაც იმასაც ნიშნავს, რომ P xx (f) = P xx (-f), ე.ი. SPM არის თანაბარი ფუნქცია.
აქამდე შემთხვევითი პროცესის საშუალო მნიშვნელობის, კორელაციისა და სიმძლავრის სპექტრული სიმკვრივის დასადგენად, ჩვენ ვიყენებდით ანსამბლის სტატისტიკურ საშუალო მნიშვნელობებს. თუმცა, პრაქტიკაში, როგორც წესი, შეუძლებელია საჭირო პროცესის განხორციელების ანსამბლის მოპოვება, საიდანაც შესაძლებელი იქნებოდა ამ სტატისტიკური მახასიათებლების გამოთვლა. სასურველია შეფასდეს ყველა სტატისტიკური თვისება ერთი ნიმუშის რეალიზაციისგან x(t), y-ის ნაცვლად. ანსამბლი საშუალო დროის მიხედვით. თვისებას, რომელიც იძლევა ასეთი ცვლილების განხორციელების საშუალებას, ეწოდება ერგოდიულობა. შემთხვევითი პროცესი ითვლება ერგოდიულად, თუ ერთის ტოლი ალბათობით, მისი ყველა სტატისტიკური მახასიათებლის პროგნოზირება შესაძლებელია ანსამბლის ერთი განხორციელებიდან დროის საშუალო შეფასების გამოყენებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროცესის თითქმის ყველა შესაძლო რეალიზაციის საშუალო მნიშვნელობები დროთა განმავლობაში თანხვედრაშია ერთი და იგივე მუდმივი მნიშვნელობის ალბათობით - საშუალო მნიშვნელობა ანსამბლზე.

. (49)

ეს ზღვარი, თუ ის არსებობს, გადადის ჭეშმარიტ საშუალოსთან, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დროის საშუალო დისპერსია ნულამდე მიდის, რაც ნიშნავს, რომ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:

. (50)

აქ c xx [m] არის x[n] პროცესის კოვარიანტობის ნამდვილი მნიშვნელობა.
ანალოგიურად, x[n] პროცესის ნიმუშების ნამრავლის მნიშვნელობის დაკვირვებით დროის ორ მომენტში, შეგვიძლია ველოდოთ, რომ საშუალო მნიშვნელობა ტოლი იქნება

(51)

ერგოდიურობის დაშვება საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ დროთა განმავლობაში საშუალო და ავტოკორელაციის განმარტებების შემოღება, არამედ სიმძლავრის სპექტრული სიმკვრივის მსგავსი განსაზღვრებაც.

. (52)

PSD-ის ეს ექვივალენტური ფორმა მიიღება შეწონილი მონაცემთა ნაკრების DTFT მოდულის სტატისტიკური საშუალო საშუალოდ გაყოფით მონაცემთა ჩანაწერის სიგრძეზე იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ნიმუშების რაოდენობა იზრდება უსასრულობამდე. აქ საჭიროა სტატისტიკური საშუალო შეფასება, რადგან თავად DTFT არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იცვლება თითოეული რეალიზაციისთვის x[n]. იმისათვის, რომ ვაჩვენოთ, რომ (52) არის ვინერ-ხინჩინის თეორემის ეკვივალენტური, ჩვენ წარმოვადგენთ DTFT მოდულის კვადრატს, როგორც ორი სერიის ნამრავლს და ვცვლით შეჯამებისა და სტატისტიკური საშუალო ოპერაციების თანმიმდევრობას:

(53)

ცნობილი გამოთქმის გამოყენება

, (54)

კავშირი (53) შეიძლება შემცირდეს შემდეგზე:

(55)

გაითვალისწინეთ, რომ (55)-ის წარმოშობის ბოლო ეტაპზე ჩვენ გამოვიყენეთ დაშვება, რომ ავტოკორელაციის თანმიმდევრობა იშლება, ასე რომ

. (56)

კავშირი SPM (46) და (52) ორ განმარტებას შორის ნათლად არის ნაჩვენები დიაგრამაზე, რომელიც ნაჩვენებია 4-ზე.
თუ გამოხატულება (52) არ ითვალისწინებს მათემატიკური მოლოდინის მოქმედებას, მაშინ ვიღებთ PSD-ის შეფასებას.

, (57)

რომელსაც ქვია შერჩევითი სპექტრი.

ბრინჯი. 4. სიმძლავრის სპექტრული სიმკვრივის შეფასების ორ მეთოდს შორის კავშირი

სპექტრული შეფასების პერიოდოგრამის მეთოდი

ზემოთ, ჩვენ შემოვიღეთ ორი ფორმალური ეკვივალენტური მეთოდი სიმძლავრის სპექტრული სიმკვრივის (PSD) დასადგენად. არაპირდაპირი მეთოდი ეფუძნება უსასრულო მონაცემთა მიმდევრობის გამოყენებას ავტოკორელაციის მიმდევრობის გამოსათვლელად, რომლის ფურიეს ტრანსფორმაცია იძლევა სასურველ PSD-ს. PSD-ის განსაზღვრის პირდაპირი მეთოდი ეფუძნება ფურიეს ტრანსფორმაციის მოდულის კვადრატის გამოთვლას მონაცემთა უსასრულო თანმიმდევრობისთვის შესაბამისი სტატისტიკური საშუალო შეფასების გამოყენებით. ასეთი საშუალო შეფასების გარეშე მიღებული PSD არადამაკმაყოფილებელი გამოდის, რადგან ასეთი შეფასების ფესვის საშუალო კვადრატის შეცდომა შედარებულია მის საშუალო მნიშვნელობასთან. ახლა ჩვენ განვიხილავთ საშუალო მეთოდებს, რომლებიც უზრუნველყოფენ გლუვ და სტატისტიკურად სტაბილურ სპექტრულ შეფასებებს ნიმუშების სასრულ რაოდენობაზე. PSD შეფასებებს, რომლებიც ეფუძნება მონაცემთა პირდაპირ ტრანსფორმაციას და შემდგომ საშუალოდ გაანგარიშებას, ეწოდება პერიოდოგრამები. JMP შეფასებები, რომლებისთვისაც კორელაციური შეფასებები პირველად ყალიბდება საწყისი მონაცემებიდან, ეწოდება კორელოგრაფია. ნებისმიერი PSD შეფასების მეთოდის გამოყენებისას მომხმარებელმა უნდა მიიღოს ბევრი კომპრომისული გადაწყვეტილება, რათა მიიღოს სტატისტიკურად სტაბილური სპექტრული შეფასებები მაქსიმალური გარჩევადობით სასრული რაოდენობის ნიმუშებიდან. ეს კომპრომისები მოიცავს, კერძოდ, ფანჯრის არჩევას მონაცემებისა და კორელაციის შეფასებისთვის და ისეთ საშუალოდ პარამეტრებს დროისა და სიხშირის დომენებში, რომლებიც აბალანსებს წონით გამოწვეული გვერდითი წილის შემცირების მოთხოვნებს, ეფექტური საშუალო შეფასების შესრულებას და უზრუნველყოფს მისაღები სპექტრალური გარჩევადობა. ნახ. 5 არის დიაგრამა, რომელიც აჩვენებს ძირითად ეტაპებს პერიოდოგრამა მეთოდი

ბრინჯი. 5. პსდ-ის შეფასების ძირითადი ეტაპები პერიოდოგრამის მეთოდით

მეთოდის გამოყენება იწყება N მონაცემების ნიმუშების შეგროვებით, რომლებიც აღებულია T წამის ინტერვალით თითო ნიმუშზე, რასაც მოჰყვება (სურვილისამებრ) შემცირებული ნაბიჯი. სტატისტიკურად სტაბილური სპექტრული შეფასების მისაღებად, ხელმისაწვდომი მონაცემები უნდა დაიყოს გადახურულ (თუ შესაძლებელია) სეგმენტებად და, შემდგომში, თითოეული ასეთი სეგმენტისთვის მიღებული ნიმუშის სპექტრები უნდა იყოს საშუალოდ. ამ საშუალო დონის პარამეტრები იცვლება სეგმენტზე ნიმუშების რაოდენობის (NSAMP) და ნიმუშების რაოდენობის შესაბამისი შერჩევით, რათა გადაიტანოს შემდეგი სეგმენტის დასაწყისი (NSHIFT), იხილეთ ნახ. 6. სეგმენტების რაოდენობა შეირჩევა სპექტრული შეფასების საჭირო სიგლუვის (დისპერსიის) ხარისხისა და საჭირო სპექტრული გარჩევადობის მიხედვით. NSAMP პარამეტრის მცირე მნიშვნელობით, მეტი სეგმენტი უნდა იყოს საშუალოდ და ამიტომ მიიღება შეფასებები ნაკლები დისპერსიით, მაგრამ ასევე ნაკლები სიხშირის გარჩევადობით. სეგმენტის სიგრძის გაზრდა (NSAMP პარამეტრი) ზრდის გარჩევადობას, ბუნებრივია, ნაკლები საშუალოების გამო შეფასების დისპერსიის გაზრდის ხარჯზე. მე-5 ნახაზის უკანა ისარი მიუთითებს მონაცემების რამდენიმე განმეორებით გავლის აუცილებლობაზე სხვადასხვა სიგრძეზე და სეგმენტების რაოდენობაზე, რაც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მეტი ინფორმაცია შესწავლილი პროცესის შესახებ.

სურ.6. მონაცემების სეგმენტებად დაყოფა პერიოდოგრამის გამოსათვლელად

ფანჯარა

ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი საკითხი, რომელიც საერთოა სპექტრული შეფასების ყველა კლასიკური მეთოდისთვის, დაკავშირებულია მონაცემთა შეწონვასთან. სარკმელი გამოიყენება გვერდითი წილების ეფექტების გასაკონტროლებლად სპექტრულ შეფასებებში. გაითვალისწინეთ, რომ მოსახერხებელია სასრული მონაცემების ხელმისაწვდომი ჩანაწერის განხილვა, როგორც შესაბამისი უსასრულო მიმდევრობის ნაწილი, რომელიც ჩანს გამოყენებული ფანჯრიდან. ასე რომ, დაკვირვებული მონაცემების თანმიმდევრობა x 0 [n] N ნიმუშიდან შეიძლება მათემატიკურად ჩაიწეროს, როგორც უსასრულო x[n] მიმდევრობისა და მართკუთხა ფანჯრის ფუნქციის ნამრავლი.

X 0 [n]=x[n]სწორი[n].
ეს ითვალისწინებს აშკარა ვარაუდს, რომ ყველა დაუკვირვებელი რაოდენობა ნულის ტოლია, მიუხედავად იმისა, სინამდვილეში ასეა თუ არა. შეწონილი მიმდევრობის დისკრეტულ დროში ფურიეს ტრანსფორმაცია ტოლია x[n] მიმდევრობის გარდაქმნებისა და მართკუთხა ფანჯრის rect[n] კონვოლუციისა.

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , სადაც
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

ფუნქცია D N (f), რომელსაც ეწოდება დისკრეტული sinc ფუნქცია, ან დირიხლეს ბირთვი, არის მართკუთხა ფუნქციის DTFT. დაკვირვებადი სასრული მიმდევრობის ტრანსფორმაცია არის უსასრულო მიმდევრობის ტრანსფორმაციის დამახინჯებული ვერსია. მართკუთხა ფანჯრის გავლენა დისკრეტული დროის სინუსოიდზე f 0 სიხშირით ილუსტრირებულია ნახ.7-ზე.

ნახ.7. დისკრეტული დროის ფურიეს ტრანსფორმაციის გადაადგილების ილუსტრაცია მონაცემთა შეწონვის გამო გაჟონვის გამო.: a, c - ორიგინალური და შეწონილი თანმიმდევრობები; b, d - მათი ფურიეს გარდაქმნები.

ნახატიდან ჩანს, რომ უსასრულო სინუსოიდური მიმდევრობის DTFT-ის მკვეთრი სპექტრული მწვერვალები გაფართოვდა ფანჯრის ტრანსფორმაციასთან კონვოლუციის გამო. ამრიგად, ფანჯრის შეწონილი მიმდევრობის სპექტრული მწვერვალების მინიმალური სიგანე განისაზღვრება ამ ფანჯრის ტრანსფორმაციის მთავარი წილის სიგანეზე და არ არის დამოკიდებული მონაცემებზე. გვერდითი ლობებიფანჯრის გარდაქმნები შეცვლის მიმდებარე სპექტრული მწვერვალების ამპლიტუდებს (ზოგჯერ მოიხსენიება როგორც გაჟონვა). ვინაიდან DTFT არის პერიოდული ფუნქცია, მეზობელი პერიოდებიდან გვერდითი წილების გადაფარვამ შეიძლება გამოიწვიოს დამატებითი მიკერძოება. სინჯის აღების სიხშირის გაზრდა ამცირებს გვერდითი წილის სუპერპოზიციის ეფექტს. მსგავსი დამახინჯებები, რა თქმა უნდა, შეინიშნება არასინუსოიდური სიგნალების შემთხვევაში. გაჟონვა იწვევს არა მხოლოდ ამპლიტუდის შეცდომებს დისკრეტული სიგნალების სპექტრებში, არამედ შეიძლება შენიღბოს სუსტი სიგნალების არსებობა. შეიძლება შემოგვთავაზოს ფანჯრის სხვა ფუნქციები, რომლებსაც შეუძლიათ მართკუთხა ფანჯარასთან შედარებით გვერდითი ზოლების დონის შემცირება. გვერდითი წილების დონის შემცირება შეამცირებს სპექტრული შეფასების მიკერძოებას, მაგრამ ეს ხდება ფანჯრის სპექტრის მთავარი წილის გაფართოების ფასად, რაც ბუნებრივია იწვევს გარჩევადობის გაუარესებას. ამიტომ, აქაც გარკვეული კომპრომისი უნდა მოხდეს ძირითადი წილის სიგანესა და გვერდითი წილების დონეს შორის. ფანჯრების ხარისხის შესაფასებლად გამოიყენება რამდენიმე პარამეტრი. ტრადიციული ზომა არის ძირითადი წილის გამტარუნარიანობა ნახევარ სიმძლავრეზე. მეორე მეტრიკა არის ზემოთ შეყვანილი ექვივალენტური გამტარობა. გვერდითი წილების მახასიათებლების შესაფასებლად ასევე გამოიყენება ორი ინდიკატორი. პირველი არის მათი მაქსიმალური დონე, მეორე არის დაშლის სიჩქარე, რომელიც ახასიათებს გვერდითი წილების სიჩქარის შემცირებას, როდესაც ისინი შორდებიან მთავარ წილს. ცხრილი 3 გვაწვდის განმარტებებს ზოგიერთი ხშირად გამოყენებული დისკრეტული დროის ფანჯრის ფუნქციისთვის და ცხრილი 4 აღწერს მათ მახასიათებლებს.
ცხრილი 3 ტიპიური N-პუნქტიანი დისკრეტული დროის ფანჯრის განმარტებები მაქს. გვერდითი წილების დონე, dB -31.5

. (46)

კორელოგრამის მეთოდი PSD-ის შეფასება უბრალოდ ჩანაცვლებაა ავტოკორელაციის შეფასების მნიშვნელობების სასრული მიმდევრობის გამოხატულებაში (46). კორელოგრამები) უცნობი ჭეშმარიტი ავტოკორელაციის მნიშვნელობების უსასრულო მიმდევრობის ნაცვლად. მეტი ინფორმაცია სპექტრული შეფასების კორელოგრამის მეთოდის შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ აქ.

ლიტერატურა

1. Rabiner L., Gould B. ციფრული სიგნალის დამუშავების თეორია და გამოყენება. მ.: მირი, 1978 წ.

2. მარპლ უმც. ს.ლ. ციფრული სპექტრალური ანალიზი და მისი გამოყენება: პერ. ინგლისურიდან. -მ.: მირი, 1990 წ.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., ციფრული სიგნალის დამუშავება.-მ.: რადიო და კომუნიკაცია, 1990 წ.

4. Otnes R., Enokson L. დროის სერიების გამოყენებითი ანალიზი.- M.: Mir, 1982 წ.

ფურიეს ტრანსფორმაცია- ეს არის მათემატიკური მეთოდების ოჯახი, რომელიც დაფუძნებულია დროის თავდაპირველი უწყვეტი ფუნქციის დაშლაზე სხვადასხვა სიხშირის, ამპლიტუდისა და ფაზის ძირითადი ჰარმონიული ფუნქციების ერთობლიობაში (რომლებიც არის სინუსოიდური ფუნქციები). განმარტებიდან ჩანს, რომ ტრანსფორმაციის მთავარი იდეა არის ის, რომ ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სინუსოიდების უსასრულო ჯამი, რომელთაგან თითოეული ხასიათდება თავისი ამპლიტუდით, სიხშირით და საწყისი ფაზათი.

ფურიეს ტრანსფორმაცია არის სპექტრული ანალიზის ფუძემდებელი. სპექტრული ანალიზი არის სიგნალის დამუშავების მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაახასიათოთ გაზომილი სიგნალის სიხშირის შინაარსი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის წარმოდგენილი სიგნალი, გამოიყენება სხვადასხვა ფურიეს ტრანსფორმაციები. ფურიეს ტრანსფორმაციის რამდენიმე ტიპი არსებობს:

– უწყვეტი ფურიეს ტრანსფორმაცია (ინგლისურ ლიტერატურაში Continue Time Fourier Transform – CTFTან მოკლედ, FT);

– დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია (ინგლისურ ლიტერატურაში დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია – DFT);

– სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია (ინგლისურ ლიტერატურაში სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია – FFT).

უწყვეტი ფურიეს ტრანსფორმაცია

ფურიეს ტრანსფორმაცია არის მათემატიკური ინსტრუმენტი, რომელიც გამოიყენება სხვადასხვა სამეცნიერო სფეროში. ზოგიერთ შემთხვევაში, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც რთული განტოლებების გადაჭრის საშუალება, რომელიც აღწერს დინამიურ პროცესებს, რომლებიც ხდება ელექტრული, თერმული ან მსუბუქი ენერგიის გავლენის ქვეშ. სხვა შემთხვევებში, ის საშუალებას გაძლევთ ხაზგასმით აღვნიშნოთ რეგულარული კომპონენტები კომპლექსურ რხევად სიგნალში, რათა შეძლოთ ექსპერიმენტული დაკვირვებების სწორად ინტერპრეტაცია ასტრონომიაში, მედიცინასა და ქიმიაში. უწყვეტი ტრანსფორმაცია რეალურად არის ფურიეს რიგის განზოგადება, იმ პირობით, რომ გაფართოებული ფუნქციის პერიოდი უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. ამრიგად, კლასიკური ფურიეს ტრანსფორმაცია ეხება სიგნალის სპექტრს, რომელიც აღებულია ცვლადის არსებობის მთელ დიაპაზონში.

არსებობს უწყვეტი ფურიეს გარდაქმნის ჩაწერის რამდენიმე ტიპი, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ინტეგრალის წინ კოეფიციენტის მნიშვნელობით (ჩაწერის ორი ფორმა):

ან

სად და არის ფუნქციის ფურიეს გამოსახულება ან ფუნქციის სიხშირის სპექტრი;

- წრიული სიხშირე.

უნდა აღინიშნოს, რომ სხვადასხვა ტიპის ჩანაწერები გვხვდება მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში. ნორმალიზაციის ფაქტორი აუცილებელია სიგნალის სწორი სკალირებისთვის სიხშირის დომენიდან დროის დომენამდე. ნორმალიზაციის ფაქტორი ამცირებს სიგნალის ამპლიტუდას ინვერსიული ტრანსფორმაციის გამოსავალზე ისე, რომ იგი ემთხვევა თავდაპირველი სიგნალის ამპლიტუდას. მათემატიკურ ლიტერატურაში პირდაპირი და შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნები მრავლდება ფაქტორზე, ხოლო ფიზიკაში ყველაზე ხშირად კოეფიციენტი არ არის მითითებული პირდაპირი ტრანსფორმაციისთვის, არამედ კოეფიციენტი დაყენებულია საპირისპიროდ. თუ თანმიმდევრულად გამოვთვლით გარკვეული სიგნალის პირდაპირ ფურიეს ტრანსფორმაციას და შემდეგ ვიღებთ შებრუნებულ ფურიეს ტრანსფორმაციას, მაშინ შებრუნებული ტრანსფორმაციის შედეგი მთლიანად უნდა ემთხვეოდეს თავდაპირველ სიგნალს.

თუ ფუნქცია კენტია ინტერვალზე (−∞, +∞), მაშინ ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სინუსური ფუნქციის მიხედვით:

თუ ფუნქცია ლუწია ინტერვალზე (−∞, +∞), მაშინ ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კოსინუსური ფუნქციის მიხედვით:

ამრიგად, უწყვეტი ფურიეს ტრანსფორმაცია საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ არაპერიოდული ფუნქცია, როგორც ფუნქციის ინტეგრალი, რომელიც წარმოადგენს მის თითოეულ წერტილში ფურიეს სერიის კოეფიციენტს არაპერიოდული ფუნქციისთვის.

ფურიეს ტრანსფორმაცია შექცევადია, ანუ თუ მისი ფურიეს გამოსახულება გამოითვლება ფუნქციიდან, მაშინ თავდაპირველი ფუნქცია შეიძლება ცალსახად აღდგეს ფურიეს გამოსახულებადან. შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაცია გაგებულია, როგორც ფორმის ინტეგრალი (წერის ორი ფორმა):

ან

სად არის ფუნქციის ფურიეს გამოსახულება ან ფუნქციის სიხშირის სპექტრი;

- წრიული სიხშირე.

თუ ფუნქცია კენტია ინტერვალზე (−∞, +∞), მაშინ ინვერსიული ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სინუსური ფუნქციის მიხედვით:

თუ ფუნქცია ლუწია ინტერვალზე (−∞, +∞), მაშინ ინვერსიული ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კოსინუსური ფუნქციის მიხედვით:

მაგალითად, განიხილეთ შემდეგი ფუნქცია . შესწავლილი ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი წარმოდგენილია ქვემოთ.

ვინაიდან ფუნქცია არის ლუწი ფუნქცია, უწყვეტი ფურიეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება შემდეგნაირად:

შედეგად მივიღეთ შესწავლილი ექსპონენციალური ფუნქციის ცვლილების დამოკიდებულება სიხშირის ინტერვალზე (იხ. ქვემოთ).

უწყვეტი ფურიეს ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ გამოიყენება თეორიაში, როდესაც განიხილება სიგნალები, რომლებიც იცვლება მოცემული ფუნქციების შესაბამისად, მაგრამ პრაქტიკაში ისინი ჩვეულებრივ ეხება გაზომვის შედეგებს, რომლებიც წარმოადგენენ დისკრეტულ მონაცემებს. გაზომვის შედეგები აღირიცხება რეგულარული ინტერვალებით, შერჩევის გარკვეული სიხშირით, მაგალითად, 16000 ჰც ან 22000 ჰც. თუმცა, ზოგად შემთხვევაში, დისკრეტული წაკითხვები შეიძლება არათანაბრად წავიდეს, მაგრამ ეს ართულებს ანალიზის მათემატიკურ აპარატს, ამიტომ იგი ჩვეულებრივ არ გამოიყენება პრაქტიკაში.

არსებობს კოტელნიკოვის მნიშვნელოვანი თეორემა (უცხოურ ლიტერატურაში არის სახელწოდება "ნიკვისტ-შენონის თეორემა", "ნიმუშის თეორემა"), სადაც ნათქვამია, რომ ანალოგური პერიოდული სიგნალი სასრული (სიგანით შეზღუდული) სპექტრით (0 ... fmax) შეიძლება ცალსახად აღდგეს დამახინჯებებისა და დანაკარგების გარეშე მათ დისკრეტულ წაკითხვებში, აღებული სიხშირით, რომელიც აღემატება ან ტოლია სპექტრის ზედა სიხშირეზე ორჯერ - შერჩევის სიხშირე (fdisc >= 2*fmax). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ანალოგიდან 1000 ჰც სიხშირით შერჩევის სიხშირით პერიოდული სიგნალიშეგიძლიათ აღადგინოთ სიგნალი 500 ჰც-მდე სიხშირით. უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის დროში დისკრეტიზაცია იწვევს მისი სპექტრის პერიოდიზაციას, ხოლო სპექტრის დისკრეტიზაცია სიხშირით იწვევს ფუნქციის პერიოდიზაციას.

ეს არის ერთ-ერთი ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომელიც ფართოდ გამოიყენება ციფრული სიგნალის დამუშავების ალგორითმებში.

პირდაპირი დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია აკავშირებს დროის ფუნქციას, რომელიც განისაზღვრება N- საზომი წერტილებით მოცემულ დროის ინტერვალზე, სხვა ფუნქციასთან, რომელიც განისაზღვრება სიხშირის ინტერვალზე. უნდა აღინიშნოს, რომ დროის ინტერვალზე ფუნქცია მითითებულია N- ნიმუშების გამოყენებით, ხოლო სიხშირის დომენზე ფუნქცია მითითებულია K-ნაკეცის სპექტრის გამოყენებით.

k ˗ სიხშირის ინდექსი.

kth სიგნალის სიხშირე განისაზღვრება გამოხატულებით

სადაც T არის დროის მონაკვეთი, რომლის დროსაც იქნა მიღებული შეყვანის მონაცემები.

პირდაპირი დისკრეტული ტრანსფორმაცია შეიძლება გადაიწეროს რეალური და წარმოსახვითი კომპონენტების მიხედვით. რეალური კომპონენტი არის მასივი, რომელიც შეიცავს კოსინუს კომპონენტების მნიშვნელობებს, ხოლო წარმოსახვითი კომპონენტი არის მასივი, რომელიც შეიცავს სინუს კომპონენტების მნიშვნელობებს.

ბოლო გამონათქვამებიდან ჩანს, რომ კონვერტაცია არღვევს სიგნალს სინუსოიდულ კომპონენტებად (ე.წ. ჰარმონიკები) სიხშირეებით ერთი რხევიდან პერიოდში N რხევებამდე პერიოდში.

დისკრეტულ ფურიეს ტრანსფორმაციას აქვს თავისებურება, ვინაიდან დისკრეტული მიმდევრობის მიღება შესაძლებელია ჰარმონიული სიგნალის განსხვავებული შემადგენლობის მქონე ფუნქციების ჯამით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დისკრეტული მიმდევრობა იშლება ჰარმონიულ ცვლადებად - ორაზროვნად. ამიტომ, დისკრეტული ფუნქციის დაშლისას დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით, სპექტრის მეორე ნახევარში ჩნდება მაღალი სიხშირის კომპონენტები, რომლებიც არ იყო თავდაპირველ სიგნალში. ეს მაღალი სიხშირის სპექტრი არის სპექტრის პირველი ნაწილის სარკისებური გამოსახულება (სიხშირის, ფაზის და ამპლიტუდის თვალსაზრისით). როგორც წესი, სპექტრის მეორე ნახევარი არ განიხილება და სპექტრის პირველი ნაწილის სიგნალის ამპლიტუდები გაორმაგებულია.

უნდა აღინიშნოს, რომ უწყვეტი ფუნქციის გაფართოება არ იწვევს სარკის ეფექტის გამოჩენას, ვინაიდან უწყვეტი ფუნქცია ცალსახად იშლება ჰარმონიულ ცვლადებად.

DC კომპონენტის ამპლიტუდა არის ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა შერჩეული დროის განმავლობაში და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

სიგნალის სიხშირის კომპონენტების ამპლიტუდები და ფაზები განისაზღვრება შემდეგი ურთიერთობებით:

შედეგად მიღებული ამპლიტუდისა და ფაზის მნიშვნელობებს პოლარული ნოტაცია ეწოდება. შედეგად მიღებული სიგნალის ვექტორი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

განვიხილოთ დისკრეტულად მოცემული ფუნქციის ტრანსფორმაციის ალგორითმი მოცემულ ინტერვალზე (მოცემულ პერიოდში) საწყისი წერტილების რაოდენობით.

D ნაპერწკალი ფურიეს ტრანსფორმაცია

ტრანსფორმაციის შედეგად ვიღებთ ფუნქციის რეალურ და წარმოსახვით მნიშვნელობებს, რომელიც განისაზღვრება სიხშირის დიაპაზონზე.

ინვერსიული დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია აკავშირებს სიხშირის ფუნქციას, რომელიც განისაზღვრება K-ნაკეცის სპექტრით სიხშირის დომენზე, სხვა ფუნქციასთან, რომელიც განსაზღვრულია დროის დომენზე.

N ˗ პერიოდზე გაზომილი სიგნალის მნიშვნელობების რაოდენობა, აგრეთვე სიხშირის სპექტრის სიმრავლე;

k ˗ სიხშირის ინდექსი.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია N- წერტილებად დისკრეტული სიგნალიაკავშირებს სიგნალის N-კომპლექსის სპექტრულ ნიმუშებს . ერთი სპექტრული ნიმუშის გამოსათვლელად საჭიროა რთული გამრავლებისა და შეკრების N ოპერაცია. ამრიგად, ფურიეს გარდაქმნის დისკრეტული ალგორითმის გამოთვლითი სირთულე არის კვადრატული, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საჭიროა რთული გამრავლებისა და შეკრების ოპერაციები.

1

ვიდეოსათვალთვალო კამერები ფართოდ გამოიყენება სატრანსპორტო სიტუაციის გასაკონტროლებლად მაგისტრალებზე მაღალი მოძრაობის ინტენსივობით. კამერებიდან მიღებული ინფორმაცია შეიცავს მონაცემებს სისტემის ხედვის ველში მანქანების სივრცითი პოზიციის დროებითი ცვლილების შესახებ. ამ ინფორმაციის დამუშავება სატელევიზიო საზომ სისტემებში (TIS) გამოყენებული ალგორითმების საფუძველზე შესაძლებელს ხდის სატრანსპორტო საშუალებების სიჩქარის განსაზღვრას და მოძრაობის ნაკადის კონტროლის უზრუნველყოფას. სწორედ ეს ფაქტორები ხსნის სატრანსპორტო მარშრუტების სატელევიზიო მონიტორინგისადმი მზარდ ინტერესს.

ხმაურის ფონზე მანქანების გამოსახულების ფილტრაციის მეთოდების შემუშავებისთვის აუცილებელია მათი ძირითადი პარამეტრებისა და მახასიათებლების ცოდნა. მანამდე ავტორებმა ჩაატარეს ბუნებრივი და ურბანული ფონის ფურიესა და ტალღის სპექტრის შესწავლა. ეს ნაშრომი ეძღვნება მანქანების მსგავსი სპექტრის შესწავლას.

• ციფრული კამერის გამოყენებით შეიქმნა მანქანების მონოქრომული სურათების ორიგინალური .bmp ფაილების ბანკი სხვადასხვა სახის(მანქანები და სატვირთო მანქანები, ავტობუსები, თითოეული ჯგუფისთვის სურათების რაოდენობა იყო 20-40 სხვადასხვა კუთხით და განათების პირობებში); სურათები იყო 400 პიქსელი ჰორიზონტალურად და 300 პიქსელი ვერტიკალურად; სიკაშკაშის დიაპაზონი 0-დან 255 ერთეულამდე;
• ვინაიდან გამოსახულებები შეიცავდა, ავტომობილის გარდა, ფონის კომპონენტსაც, შედეგზე მისი გავლენის თავიდან აცილების მიზნით, ის ხელოვნურად იქნა ჩახშობილი ნულოვან დონეზე;
• ავტომობილის გამოსახულების მახასიათებლები გაანალიზდა ფურიესა და ვეილეტის ანალიზის მეთოდებით.

MATLAB გარემოში შემუშავებული პროგრამა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ საშუალო სიკაშკაშე (ანუ გამოსახულების სიკაშკაშის მათემატიკური მოლოდინი), სიკაშკაშის დისპერსია, ინდივიდუალური და მთლიანი გამოსახულების ხაზების ფურიეს სპექტრი, სპექტროგრამები და ტალღების სპექტრები სხვადასხვა ცნობილი ტალღების გამოყენებით (Haar, Daubechies). , სიმლეტი და სხვ.). ანალიზის შედეგები აისახება ორგანზომილებიანი და 3D გამოსახულების სპექტრების სახით.

კვლევის შედეგებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი დასკვნების გამოტანა:

• სხვადასხვა მანქანების გამოსახულების საშუალო სიკაშკაშის მახასიათებლებს (საშუალო სიკაშკაშე, დისპერსია) აქვთ მსგავსი მნიშვნელობები ყველა ტიპისთვის; სიკაშკაშის მახასიათებლებზე მნიშვნელოვანი გავლენა აქვს მზის ნათებას მანქანის ფანჯრებიდან და ზედაპირებიდან; განათების ინტენსივობიდან და მიმართულებიდან გამომდინარე, შავ მანქანებს შეიძლება ჰქონდეთ მსუბუქი მანქანების მსგავსი სიკაშკაშის მახასიათებლები;
• სატრანსპორტო საშუალების ტიპის მიუხედავად, ფურიეს და ტალღის სპექტრებს აქვთ მსგავსი სტრუქტურა;
• ავტომობილის სპექტრის ფურიეს სიგანე სუსტად დამოკიდებულია ავტომობილის ტიპზე; სპექტრს აქვს მნიშვნელოვნად არაერთგვაროვანი სტრუქტურა, რომელიც იცვლება განათების და ავტომობილის ორიენტაციის ცვლილებებით; სპექტრს ჰორიზონტალურ სიბრტყეში აქვს უფრო არათანაბარი სტრუქტურა, ვიდრე ვერტიკალურში; ნახევრად სატვირთო მანქანების და ავტობუსების სპექტრულ მახასიათებლებზე დიდ გავლენას ახდენს ნახატები და წარწერები (რეკლამები) მის ზედაპირებზე;
• მანქანების მობრუნებისას, ჰორიზონტალურ სიბრტყეში გამოსახულების სპექტრის ცვლილება მნიშვნელოვანია, ვერტიკალურ სიბრტყეში სპექტრი საკმაოდ სტაბილური რჩება; ეს განსაკუთრებით კარგად ჩანს ტალღების სპექტრებში;
• ინდივიდუალური სატრანსპორტო საშუალების და სატრანსპორტო საშუალების სპექტრების ანალიზი ჩარევის ფონზე აჩვენებს, რომ ისინი განსხვავდებიან სპექტრული კომპონენტების ამპლიტუდის დონეზე; ფონის არარსებობის შემთხვევაში, ვერტიკალური სპექტრი ბევრად უფრო ერთგვაროვანია; ფონის გარეშე მანქანების გამოსახულებებისთვის, სპექტრში ღრმა ჩაღრმავების ალბათობა უფრო მაღალია (უფრო მაღალი უთანასწორობა), ფონის მქონე სურათების სპექტრის კონვერტი უფრო ერთგვაროვანია, ვიდრე ფონის გარეშე;
• ჩატარებულმა კვლევებმა აჩვენა, რომ დიდი რაოდენობით ფაქტორების ძლიერი გავლენის გამო, მანქანების სპექტრული მახასიათებლები (როგორც მიღებული ფურიეს ანალიზით, ასევე ტალღური ანალიზით) არ გვაძლევს საშუალებას გამოვავლინოთ ავტომობილის გამოსახულების სტაბილური სპექტრული მახასიათებლები; ეს ამცირებს სპექტრალური გამოსახულების ფილტრაციის ეფექტურობას ფონის ჩახშობისთვის;
• in ავტომატური სისტემებიმოძრაობის კონტროლისთვის, მანქანების ჩარევის ფონზე განასხვავების მიზნით, აუცილებელია გამოიყენოთ ფუნქციების ნაკრები, როგორიცაა ფერი, სპექტრი, ობიექტების გეომეტრიული პარამეტრები (ზომები და ზომების თანაფარდობა) და დინამიური მახასიათებლები.

ბიბლიოგრაფია

1. მაკარეტსკი ე.ა., ნგუენ ლ.ხ. ბუნებრივი და ურბანული ფონის გამოსახულების მახასიათებლების შესწავლა / / იზვ. ტულსკი. სახელმწიფო. უნივერსიტეტი. რადიოინჟინერია და რადიოოპტიკა. - Tula, 2005. - T. 7.- P. 97-104.

ბიბლიოგრაფიული ბმული

მაკარეტსკი ე.ა. სატრანსპორტო საშუალებების გამოსახულების ფურიესა და ტალღის სპექტრის შესწავლა // ფუნდამენტური კვლევა. - 2006. - No 12. - გვ 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (წვდომის თარიღი: 01/15/2020). თქვენს ყურადღებას ვაწვდით გამომცემლობა "ბუნების ისტორიის აკადემიის" მიერ გამოცემულ ჟურნალებს.