Ajudará não apenas os bules, mas também aqueles que ouviram pela primeira vez a palavra "determinante". Dois anos se passaram desde que o site tinha apenas dez páginas, e agora, após minha longa, longa jornada no mundo de matan, tudo voltou ao normal.

Imagine que você precisa calcular um determinante de terceira ordem expandindo-o sobre os elementos de uma linha (coluna). Embora o que está lá para representar - você precisa =) Você pode sentar-se por 5 minutos, ou você pode sentar-se por 2-3 minutos. Ou mesmo na região de um minuto. O tempo que você gasta depende não apenas de sua experiência, mas também de seu conhecimento das propriedades dos determinantes. Não é incomum quando o processo de solução é bastante realista para reduzir a questão de segundos, e às vezes você pode ver o resultado imediatamente! “Bobagem, por que economizar nas partidas, e assim decidiremos tudo”, dirão alguns. Digamos. E não vamos permitir erros ;-) Mas e o determinante da 4ª ordem, que é bastante comum na prática? Levará 10-20 minutos para lutar com esta pimenta. E não será nem uma batalha, mas sim um massacre, pois a probabilidade de erro computacional é muito alta, o que vai te “envolver” no segundo turno da decisão. E se o determinante da quinta ordem? Salve apenas diminuindo a ordem do determinante. Sim, tais exemplos também são encontrados em documentos de controle.

Os materiais nesta página irão melhorar significativamente sua técnica para resolver determinantes e simplificar o desenvolvimento da matemática superior.

Métodos eficientes para calcular o determinante

Em primeiro lugar, não tocaremos nas propriedades do determinante, mas apenas nos métodos de seu cálculo racional. Esses métodos de solução estão na superfície e são claros para muitos, mas, no entanto, vamos nos debruçar sobre eles com mais detalhes. Supõe-se que o leitor já saiba revelar com confiança o determinante de terceira ordem. Como se sabe, este determinante pode ser expandido 6 de maneiras padrão: em qualquer linha ou coluna. Parece que não importa, porque a resposta será a mesma. Mas todos os métodos são igualmente fáceis? Não. Na maioria dos casos existe formas menos rentáveis e formas mais rentáveis soluções.

Considere o determinante, que cobri abundantemente com tatuagens na primeira lição. Nesse artigo, apresentamos em detalhes, com fotos, na primeira linha. A primeira linha é boa e acadêmica, mas é possível alcançar um resultado mais rápido? Há um zero no determinante e, expandindo-o pela segunda linha ou pela segunda coluna, os cálculos diminuirão visivelmente!

Vamos expandir o determinante na segunda coluna:

Na prática, os elementos zero são ignorados e a solução assume uma forma mais compacta:

Exercício 1

Expanda o determinante dado ao longo da segunda linha usando a notação abreviada.

Solução no final da aula.

Se houver dois zeros em uma linha (ou coluna), isso geralmente é um presente real. Vamos considerar o determinante. Existem dois zeros na terceira linha, e abrimos nela:

Essa é toda a solução!

O caso especial em que o determinante tem o chamado pisou ou vista triangular, por exemplo: - em tal determinante, todos os números localizados abaixo diagonal principal, são iguais a zero.

Vamos expandi-lo pela primeira coluna:

Em tarefas práticas, é conveniente ser guiado pela seguinte regra - determinante do passo é igual ao produto dos números de sua diagonal principal:

Um princípio semelhante também é válido para determinantes de etapas de outras ordens, por exemplo:

Determinantes triangulares aparecem em alguns problemas de álgebra linear e sua solução é mais frequentemente enquadrada dessa maneira.

E se a linha (coluna) do determinante contiver apenas zeros? A resposta, eu acho, é clara. Voltaremos a esta questão nas propriedades do determinante.

Agora vamos imaginar que os tão esperados bagels não estão inclusos no presente de Ano Novo. Então vamos estripar o mau Papai Noel!

Não há zeros aqui, mas ainda há uma maneira de tornar sua vida mais fácil. Este determinante é melhor expandido na terceira coluna, pois há os menores números. Nesse caso, a entrada da solução assume uma forma muito concisa:

Resumindo o parágrafo, formulamos a regra de ouro dos cálculos:

É mais lucrativo abrir o determinante por ESSA linha (coluna), onde:

1) mais zeros;
2) números menores.

Naturalmente, isso também é verdade para determinantes de ordens superiores.

Um pequeno exemplo para consolidar o material:

Tarefa 2

Calcule o determinante expandindo-o por linha ou coluna, usando a maneira mais racional

Este é um exemplo para uma solução faça você mesmo, solução ideal e a resposta está no final da lição.

E mais um conselho importante: não complexo! Não há necessidade de "ir em ciclos" na expansão tradicional pela primeira linha ou pela primeira coluna. Resumindo, que assim seja!

Propriedades determinantes

Considere os velhos conhecidos da primeira lição: a matriz e seu determinante .

Por precaução, repito a diferença elementar entre os conceitos: matriz é uma tabela de elementos, uma determinante é um número.

Ao transpor uma matriz, o valor de seu determinante não muda

Transpondo a matriz:

De acordo com a propriedade, o determinante da matriz transposta é igual ao mesmo valor: . Aqueles que desejarem podem verificar isso por si mesmos.

Uma formulação mais simples dessa propriedade também está em uso: se o determinante for transposto, seu valor não será alterado.

Escrevemos ambos os determinantes lado a lado e analisamos um ponto importante:

Como resultado da transposição, a primeira linha tornou-se a primeira coluna, a segunda linha tornou-se a segunda coluna e a terceira linha tornou-se a terceira coluna. As linhas se tornaram colunas, mas o resultado não mudou. Do que decorre um fato importante: linhas e colunas do determinante são iguais. Em outras palavras, se uma propriedade for verdadeira para uma linha, uma propriedade semelhante será verdadeira para uma coluna! De fato, já encontramos isso há muito tempo - afinal, o determinante pode ser expandido tanto em uma linha quanto em uma coluna.

Não gosta de números em strings? Transponha o determinante! Só há uma pergunta, por quê? O significado prático da propriedade considerada é pequeno, mas é útil jogá-la na bagagem do conhecimento para entender melhor outros problemas da matemática superior. Por exemplo, fica imediatamente claro por que o estudo de vetores para coplanaridade suas coordenadas podem ser escritas tanto nas linhas do determinante quanto nas colunas.

Se duas linhas (ou duas colunas) do determinante forem trocadas,
então o determinante muda de sinal

! Lembrar , estamos falando do determinante! Você não pode reorganizar nada na própria matriz!

Vamos jogar um cubo de Rubik com um determinante .

Vamos trocar a primeira e a terceira linhas:

O determinante mudou de sinal.

Agora, no determinante resultante, reorganize a segunda e a terceira linhas:

O determinante mudou de sinal novamente.

Reorganize a segunda e a terceira colunas:

Aquilo é, qualquer permutação de pares de linhas (colunas) implica uma mudança no sinal do determinante para o oposto.

Jogos são jogos, mas na prática tais ações são melhores não use. Não há muito sentido deles, mas não é difícil ficar confuso e cometer um erro. No entanto, vou dar uma das poucas situações em que isso realmente faz sentido. Suponha que, durante a resolução de algum exemplo, você tenha desenhado um determinante com um sinal de menos:

Vamos expandi-lo, digamos, pela primeira linha:

O inconveniente óbvio é que eu tive que fazer reverências desnecessárias - para colocar grandes colchetes, e depois abri-los (a propósito, eu não recomendo realizar tais ações “de uma só vez” oralmente).

Para se livrar do "menos", é mais racional trocar quaisquer duas linhas ou duas colunas. Vamos reorganizar, por exemplo, a primeira e a segunda linhas:

Parece elegante, mas na maioria dos casos é mais conveniente lidar com um sinal negativo de uma maneira diferente (leia mais).

A ação considerada novamente ajuda a entender melhor, por exemplo, algumas propriedades produto cruzado de vetores ou um produto misto de vetores.

Agora isso é mais interessante:

Da linha (coluna) do determinante, você pode tirar o fator comum

!!! Atenção! A regra é sobre 1 linha ou sobre 1 coluna determinante. Por favor, não confunda com matrizes, na matriz o multiplicador é retirado / trazido por TUDO números de uma só vez.

Vamos começar com um caso especial da regra - a remoção de "menos um" ou simplesmente "menos".

Conhecemos mais um paciente: .

Há muitos pontos negativos nesse determinante e seria bom reduzir seu número.

Retire -1 da primeira linha:

Ou mais curto:

O menos na frente do determinante, como já demonstrado, não é conveniente. Nós olhamos para a segunda linha do determinante e notamos que há muitos pontos negativos lá.

Tiramos o "menos" da segunda linha:

O que mais pode ser feito? Todos os números da segunda coluna são divisíveis por 4 sem deixar resto. Retire 4 da segunda coluna:

A regra oposta também é verdadeira - multiplicador pode não só resistir, mas também contribuir, além disso, em QUALQUER linha ou em QUALQUER coluna do determinante.

Por diversão, vamos multiplicar a terceira linha do determinante por 4:

Mentes meticulosas podem verificar a igualdade dos determinantes originais e recebidos (resposta correta: -216).

Na prática, a introdução de um sinal de menos é frequentemente realizada. Vamos considerar o determinante. O sinal negativo antes do determinante pode ser inserido em QUALQUER linha ou em QUALQUER coluna. O melhor candidato é a terceira coluna, e adicionaremos um sinal de menos a ela:

Também notamos que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2 sem deixar resto, mas vale a pena tirar o “dois”? Se você vai diminuir a ordem do determinante (que será discutido na seção final), então definitivamente vale a pena. Mas se você abrir o determinante em uma linha (coluna), os “dois” na frente apenas alongarão o registro da solução.

No entanto, se o multiplicador for grande, por exemplo, 13, 17, etc., é claro que é mais lucrativo tirá-lo de qualquer maneira. Vamos nos familiarizar com o monstrinho:. Da primeira linha tiramos -11, da segunda linha tiramos -7:

Você diz que os cálculos já estão clicando tão rápido em uma calculadora comum? É verdade. Mas, em primeiro lugar, pode não estar à mão e, em segundo lugar, se for fornecido um determinante da 3ª ou 4ª ordem com números grandes, você realmente não quer bater nos botões.

Tarefa 3

Calcule o determinante fatorando as linhas e colunas

Este é um exemplo de faça você mesmo.

Mais algumas regras úteis:

Se duas linhas (colunas) do determinante são proporcionais
(como um caso especial, eles são os mesmos), então esse determinante é igual a zero

Aqui, os elementos correspondentes da primeira e segunda linhas são proporcionais:

Às vezes se diz que as cordas do determinante linearmente dependente. Como o valor do determinante não muda durante a transposição, a dependência linear das colunas decorre da dependência linear das linhas.

Você pode colocar um significado geométrico no exemplo - se assumirmos que as coordenadas estão escritas nas linhas vetores espaço, então os dois primeiros vetores com coordenadas proporcionais serão colineares, o que significa que todos os três vetores - linearmente dependente, ou seja, coplanares.

No exemplo a seguir, três colunas são proporcionais (e, a propósito, três linhas também):

Aqui a segunda e terceira colunas são as mesmas, este é um caso especial - quando o coeficiente de proporcionalidade é igual a um

Essas propriedades podem ser usadas na prática. Mas lembre-se, um aumento do nível de conhecimento às vezes é punível ;-) Portanto, pode ser melhor revelar tais determinantes da maneira usual (sabendo de antemão que será zero).

Deve-se notar que o inverso não é verdade em geral- se o determinante for igual a zero, então a partir deste ainda não ser que suas linhas (colunas) são proporcionais. Ou seja, a dependência linear de linhas/colunas pode não ser explícita.

Há também um sinal mais óbvio, quando você pode dizer imediatamente que o determinante é zero:

Um determinante com uma linha zero (coluna) é zero

A verificação "amadora" é elementar, vamos expandir o determinante pela primeira coluna:

No entanto, o resultado não será alterado se o determinante for expandido em qualquer linha ou coluna.

Esprema o segundo copo de suco de laranja:

Que propriedades dos determinantes são úteis para conhecer?

1) O valor do determinante não muda ao transpor. Lembramos da propriedade.

2) Qualquer permutação de pares de linhas (colunas) muda o sinal do determinante para o oposto. Também lembramos da propriedade e tentamos não usá-la para evitar confusão.

3) Da linha (coluna) do determinante, você pode tirar o multiplicador (e trazê-lo de volta). Usamos onde é benéfico.

4) Se as linhas (colunas) do determinante são proporcionais, então ele é igual a zero. Um determinante com uma linha zero (coluna) é igual a zero.

Durante a aula, um padrão elementar foi observado repetidamente - quanto mais zeros em uma linha (coluna), mais fácil é calcular o determinante. Surge a pergunta, é possível organizar os zeros especialmente com a ajuda de algum tipo de transformação? Lata! Vamos nos familiarizar com outra propriedade muito poderosa:

Reduzindo a ordem do determinante

É muito bom se você já tratou Método de Gauss e ter experiência em resolver sistemas de equações lineares desta maneira. De fato, a propriedade formulada abaixo duplica uma das transformações elementares.

Para abrir o apetite, vamos esmagar um sapinho:

Você pode adicionar outra string multiplicada por um número diferente de zero à string determinante. Neste caso, o valor do determinante não mudará

Exemplo: no determinante obtemos zero no canto superior esquerdo.

Para isso, a segunda linha mentalmente ou em rascunho multiplique por 3: (–3, 6) e some a segunda linha à primeira linha multiplicado por 3:

Escrevemos o resultado para a primeira linha:

Exame:

Agora, no mesmo determinante, obtemos zero no canto inferior direito. Por esta à segunda linha, adicione a primeira linha, multiplicada (mentalmente) por -2):

Escrevemos o resultado para a segunda linha:

Nota: quando a transformação elementar muda AT a linha à qual adicionamos UT.

Vamos formular uma regra de espelhamento para colunas:

À coluna determinante, você pode adicionar outra coluna multiplicada por um número diferente de zero. Neste caso, o valor do determinante não mudará

Vamos pegar o animal pelas patas e, usando essa transformação, obtemos zero no canto superior esquerdo. Para fazer isso, mentalmente ou em um rascunho, multiplique a segunda coluna por -3: e adicione a segunda coluna à primeira coluna, multiplicada por -3:

Escrevemos o resultado para a primeira coluna:

E, finalmente, no determinante obtemos zero no canto inferior direito. Por esta à segunda coluna adicionamos a primeira coluna, multiplicada (mentalmente) por 2(olhe e conte da direita para a esquerda):

O resultado é colocado para a segunda coluna:

Sob uma transformação elementar, ele muda NAQUELA a coluna à qual adicionamos UT.

Tente digerir o exemplo a seguir qualitativamente.

Vamos enviar o anfíbio crescido para a sopa:

A tarefa é reduzir a ordem do determinante usando transformações elementares até a segunda ordem.

Por onde começar? Primeiro, no determinante, você precisa escolher o número - "alvo". O "alvo" é quase sempre um ou -1. Nós olhamos para o determinante e notamos que há até uma escolha aqui. Seja o elemento o número “alvo”:

Observação : o significado de subscritos duplos pode ser encontrado no artigo Regra de Cramer. Método de matriz. V este caso os índices de um elemento nos dizem que ele está localizado na segunda linha, terceira coluna.

A ideia é obter dois zeros na terceira coluna:

Ou obtenha dois zeros na segunda linha:

Na segunda linha, os números são menores (não se esqueça da regra de ouro), por isso é mais lucrativo levá-lo. E a terceira coluna com o número “destino” permanecerá inalterada:

Adicionar uma terceira coluna à segunda coluna:

Não havia necessidade de multiplicar nada.

O resultado é escrito na segunda coluna:

À primeira coluna adicionamos a terceira coluna, multiplicada (mentalmente) por -2:

Escrevemos o resultado na primeira coluna, expandimos o determinante ao longo da segunda linha:

Como abaixamos a ordem do determinante? Tenho dois zeros na segunda linha.

Vamos resolver o exemplo da segunda forma, organize os zeros na terceira coluna:

A segunda linha com o número "destino" permanecerá inalterada:

À primeira linha, adicione a segunda linha, multiplicada (mentalmente) por -4:

Para a terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada (mentalmente) por 3 (olhar e contar de baixo para cima):

Escrevemos o resultado na terceira linha, expandimos o determinante na terceira coluna:

Notar que não há necessidade de reorganizar linhas ou colunas. As transformações elementares funcionam bem tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda. Tanto de cima para baixo quanto de baixo para cima.

Tarefa 4

Calcule o mesmo determinante escolhendo o elemento como o número “alvo”. Reduza sua ordem de duas maneiras: obtendo zeros na segunda linha e obtendo zeros na segunda coluna.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e breves comentários no final da lição.

Às vezes não há unidade ou -1 no determinante, por exemplo: . Nesse caso, o "alvo" deve ser organizado usando uma transformação elementar adicional. Isso pode ser feito na maioria das vezes de várias maneiras. Por exemplo: na primeira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por -1:

O resultado está escrito na primeira linha:

! Atenção : NÃO HÁ NECESSIDADE da primeira linha subtrair segunda linha, isso aumenta muito a chance de erro. Nós apenas dobramos! Portanto, à primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Exatamente!

A unidade foi recebida, o que era necessário para ser alcançado. Então você pode obter dois zeros na primeira linha ou na primeira coluna. Quem quiser pode completar a solução (resposta correta: -176).

Vale a pena notar que o “alvo” finalizado está mais frequentemente presente no determinante original e, para um determinante de 4ª ordem e superior, uma transformação adicional é extremamente improvável.

Vamos cortar alguns sapos grandes em goulash:

Tarefa

Resolva o sistema equações lineares de acordo com as fórmulas de Cramer

Tudo bem se você ainda não leu. Método de Cramer, neste caso, você pode simplesmente ver como a ordem do determinante "quatro por quatro" diminui. E a própria regra ficará clara se você se aprofundar um pouco no curso da solução.

Solução: primeiro calcular principal determinante sistemas:

É possível seguir o caminho padrão expandindo o determinado determinante por linha ou coluna. Relembrando o algoritmo da primeira lição, e usando a matriz de sinais que inventei, vamos expandir o determinante, por exemplo, pela primeira linha "clássica":

Não vejo seu entusiasmo =) Claro, você pode sentar por dez minutos e cuidadosamente e cuidadosamente dar à luz a resposta correta. Mas o problema é que no futuro teremos que calcular mais 4 determinantes de quarta ordem. Portanto, a única saída razoável é diminuir a ordem do determinante.

Existem muitas unidades no determinante, e nossa tarefa é escolher a melhor maneira. Relembramos a regra de ouro: deve haver mais zeros em uma linha (coluna) e menos números. Por esse motivo, a segunda linha ou a quarta coluna é bastante adequada. A quarta coluna parece mais atraente, além disso, existem duas. Como "destino" selecione o elemento:

A primeira linha não será alterada. E o segundo também - já existe um zero necessário:

Para a terceira linha, adicione a primeira linha, multiplicada por -1 (olhar e contar de baixo para cima):

! Atenção novamente : Não há necessidade da terceira linha subtrair primeira linha. Nós apenas dobramos!

O resultado está escrito na terceira linha:

Para a quarta linha, adicione a primeira linha, multiplicada por 3 (olhar e contar de baixo para cima):

O resultado está escrito na quarta linha:

(1) Expanda o determinante na quarta coluna. Não esqueça que você precisa adicionar um “menos” ao elemento (veja a matriz de sinais).

(2) A ordem do determinante é reduzida para 3º. Em princípio, pode ser decomposto em uma linha (coluna), mas é melhor descobrir as propriedades do determinante. Entramos com um sinal de menos na segunda linha.

(3) À segunda linha somamos a primeira linha multiplicada por 3. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 7.

(4) Expandimos o determinante pela segunda coluna, reduzindo ainda mais sua ordem para dois.

Observe como a solução encolheu! O principal é colocar um pouco de "mão na massa" com transformações elementares, e essa oportunidade se apresentará agora. Além disso, você tem à sua disposição uma calculadora que conta os determinantes (em particular, pode ser encontrada na página Fórmulas matemáticas e tabelas). Com a ajuda da calculadora, é fácil controlar as ações realizadas. Tem um determinante na primeira etapa - e imediatamente verificado se é igual ao determinante original.

(1) Expanda o determinante pela terceira linha. A ordem do determinante é reduzida para três.

(2) Digite "menos" na primeira coluna.

(3) À segunda linha somamos a primeira linha multiplicada por 3. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 5.

(4) Expanda o determinante pela segunda coluna, diminuindo a ordem do determinante para dois.

Nós ficamos incríveis complexo almoço, e é hora da sobremesa:

Não é mais um sapo, é o próprio Godzilla. Vamos pegar um copo preparado de suco de laranja e ver como a ordem do determinante diminui. O algoritmo, eu acho, é claro: da quinta ordem abaixamos para a quarta, da quarta para a terceira e da terceira para a segunda:

(1) À primeira, terceira, quarta e quinta linhas, adicione a segunda linha.

(2) Expanda o determinante na 3ª coluna. A ordem do determinante caiu para quatro.

(3) Da coluna 4 retiramos 2. Multiplicamos a primeira linha por -1, e para que o determinante não mude, colocamos um “menos” na frente. Essa transformação realizada para simplificar os cálculos posteriores.

(4) Adicione a primeira linha à segunda e terceira linhas. À quarta linha, adicione a primeira linha, multiplicada por 3.

(5) Expanda o determinante na 4ª coluna. A ordem é rebaixada para três.

(6) Expanda o determinante na 2ª coluna. A ordem é rebaixada para dois.

(7) Retiramos o "menos" da 1ª coluna.

Tudo acabou mais fácil do que parecia, todos os monstros têm pontos fracos!

Leitores incansáveis ​​podem tentar resolver o determinante de quinta ordem de alguma outra maneira, felizmente, há muitas unidades nele.

A segunda coluna multiplicada por 2 foi adicionada à primeira coluna. A segunda coluna foi adicionada à terceira coluna. O determinante foi aberto na segunda linha.

Abaixe a ordem do determinante, obtendo zeros na segunda coluna:

A segunda linha foi adicionada à primeira linha, multiplicada por -2. A segunda linha, multiplicada por 2, foi adicionada à terceira linha e o determinante foi aberto de acordo com a segunda coluna.

Tarefa 5: Solução:


(1) À primeira linha somamos a terceira linha multiplicada por 3. À segunda linha somamos a terceira linha multiplicada por 5. À 4ª linha somamos a terceira linha multiplicada por 2.
(2) Expanda o determinante pela primeira coluna.
(3) À segunda coluna, adicione a terceira coluna multiplicada por 9. À primeira coluna, adicione a terceira coluna.
(4) Expanda o determinante pela terceira linha.

(1) Adicione a segunda coluna à primeira coluna. Adicione a segunda coluna à terceira coluna
(2) Expanda o determinante pela terceira linha.
(3) Digite "menos" na primeira linha.
(4) Para a segunda linha adicione a primeira linha multiplicada por 6. Para a terceira linha adicione a primeira linha
(5) Expanda o determinante pela primeira coluna.

No caso geral, a regra para calcular $n$-ésimas determinantes de ordem é bastante complicada. Para determinantes de segunda e terceira ordem, existem formas racionais de calculá-los.

Cálculos de determinantes de segunda ordem

Para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem, é necessário subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária do produto dos elementos da diagonal principal:

$$\esquerda| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante de segunda ordem $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Solução.$\esquerda| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Responder.$\esquerda| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Métodos para calcular determinantes de terceira ordem

Existem regras para calcular determinantes de terceira ordem.

regra do triângulo

Esquematicamente, essa regra pode ser representada da seguinte forma:

O produto dos elementos do primeiro determinante que estão conectados por linhas é obtido com um sinal de mais; da mesma forma, para o segundo determinante, os produtos correspondentes são tomados com um sinal de menos, ou seja,

$$\esquerda| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Exemplo

Exercício. Calcule o $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ pelo método do triângulo.

Solução.$\esquerda| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (matriz)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Responder.

Regra de Sarrus

À direita do determinante, as duas primeiras colunas são somadas e os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas a ela são tomados com um sinal de mais; e os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas a ela, com sinal negativo:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Exemplo

Exercício. Calcule o $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ usando a regra de Sarrus.

Solução.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Responder.$\esquerda| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (matriz)\right|=54$

Expansão de linha ou coluna do determinante

O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da linha do determinante e seus complementos algébricos. Normalmente, escolha a linha/coluna em que há zeros. A linha ou coluna na qual a decomposição é realizada será indicada por uma seta.

Exemplo

Exercício. Expandindo sobre a primeira linha, calcule o determinante $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \direito|$

Solução.$\esquerda| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \direito| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\right|=-3+12-9=0$

Responder.

Este método permite reduzir o cálculo do determinante ao cálculo de um determinante de ordem inferior.

Exemplo

Exercício. Calcule o $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \direito|$

Solução. Vamos realizar as seguintes transformações nas linhas do determinante: da segunda linha subtraímos os quatro primeiros e da terceira a primeira linha, multiplicada por sete, como resultado, de acordo com as propriedades do determinante, obtemos um determinante igual ao dado.

$$\esquerda| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \direita|=\esquerda| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\esquerda| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

O determinante é zero porque a segunda e a terceira linhas são proporcionais.

Responder.$\esquerda| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \direito|=0$

Para calcular os determinantes de quarta ordem e superiores, é usada a expansão de linha/coluna, ou redução para uma forma triangular, ou usando o teorema de Laplace.

Decomposição do determinante em termos dos elementos de uma linha ou coluna

Exemplo

Exercício. Calcule o $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , expandindo-o em elementos de alguma linha ou coluna.

Solução. Vamos primeiro realizar transformações elementares nas linhas do determinante , fazendo tantos zeros quanto possível em uma linha ou em uma coluna. Para fazer isso, primeiro subtraímos nove terços da primeira linha, cinco terços da segunda e três terços da quarta, obtemos:

$$\esquerda| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ esquerda| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Expandimos o determinante resultante pelos elementos da primeira coluna:

$$\esquerda| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \esquerda| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|+0$$

O determinante de terceira ordem resultante também é expandido pelos elementos da linha e da coluna, tendo obtido anteriormente zeros, por exemplo, na primeira coluna. Para fazer isso, subtraímos duas segundas linhas da primeira linha e a segunda da terceira:

$$\esquerda| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Responder.$\esquerda| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$

Comente

Os últimos e penúltimos determinantes não puderam ser calculados, mas concluímos imediatamente que são iguais a zero, pois contêm linhas proporcionais.

Trazendo o determinante para uma forma triangular

Com a ajuda de transformações elementares em linhas ou colunas, o determinante é reduzido a uma forma triangular e, em seguida, seu valor, de acordo com as propriedades do determinante, é igual ao produto dos elementos na diagonal principal.

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ trazendo para a forma triangular.

Solução. Primeiro, fazemos zeros na primeira coluna sob a diagonal principal. Todas as transformações serão mais fáceis de realizar se o elemento $a_(11)$ for igual a 1. Para isso, trocamos a primeira e a segunda colunas do determinante, o que, de acordo com as propriedades do determinante, fará com que ele mude o sinal para o oposto:

$$\Delta=\esquerda| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Em seguida, obtemos zeros na segunda coluna no lugar dos elementos sob a diagonal principal. E novamente, se o elemento diagonal for igual a $\pm 1$ , os cálculos serão mais simples. Para fazer isso, trocamos a segunda e a terceira linhas (e ao mesmo tempo mudamos para o sinal oposto do determinante):

$$\Delta=\esquerda| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

PROPRIEDADE 1. O valor do determinante não mudará se todas as suas linhas forem substituídas por colunas, e cada linha for substituída por uma coluna com o mesmo número, ou seja,

PROPRIEDADE 2. Permutar duas colunas ou duas linhas de um determinante equivale a multiplicá-lo por -1. Por exemplo,

.

PROPRIEDADE 3. Se o determinante tem duas colunas idênticas ou duas linhas idênticas, então é igual a zero.

PROPRIEDADE 4. Multiplicar todos os elementos de uma coluna ou linha de um determinante por qualquer número k é equivalente a multiplicar o determinante por este número k. Por exemplo,

.

PROPRIEDADE 5. Se todos os elementos de alguma coluna ou linha são iguais a zero, então o próprio determinante é igual a zero. Esta propriedade é caso especial o anterior (para k=0).

PROPRIEDADE 6. Se os elementos correspondentes de duas colunas ou duas linhas de um determinante são proporcionais, então o determinante é igual a zero.

PROPRIEDADE 7. Se cada elemento da n-ésima coluna ou n-ésima linha do determinante for a soma de dois termos, então o determinante pode ser representado como a soma de dois determinantes, dos quais um na n-ésima coluna ou, respectivamente, na n-ésima coluna linha tem o primeiro dos termos mencionados e o outro - o segundo; os elementos nos lugares restantes são os mesmos para os marcos dos três determinantes. Por exemplo,

PROPRIEDADE 8. Se somarmos aos elementos de alguma coluna (ou alguma linha) os elementos correspondentes de outra coluna (ou outra linha), multiplicados por qualquer fator comum, então o valor do determinante não mudará. Por exemplo,

.

Outras propriedades dos determinantes estão relacionadas com o conceito de complemento algébrico e menor. O menor de algum elemento é o determinante obtido a partir do dado, excluindo a linha e a coluna na interseção da qual esse elemento está localizado.

O complemento algébrico de qualquer elemento do determinante é igual ao menor desse elemento, tomado com seu sinal, se a soma dos números de linha e coluna na interseção dos quais o elemento está localizado for um número par e com o oposto sinal se este número for ímpar.

Vamos denotar o complemento algébrico de um elemento por uma letra maiúscula com o mesmo nome e o mesmo número da letra que denota o próprio elemento.

PROPRIEDADE 9. Determinante

é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer coluna (ou linha) e seus complementos algébricos.

Em outras palavras, valem as seguintes igualdades:

, ,

, .

6) Menores e adições algébricas.

Definição. O elemento menor do determinante é th pedido chamado determinante-ª ordem, que é obtida a partir do dado determinante excluindo a -th linha e -th coluna, na interseção da qual está o elemento .

Designação: .

Definição. O complemento algébrico de um elemento do determinante da ordem -ésima é seu menor, tomado com sinal de mais se - um número par e com sinal de menos caso contrário.

Designação: .

Teorema. (Sobre a expansão do determinante.)

O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (ou qualquer coluna) do determinante e seus complementos algébricos:

7) Matriz inversa- tal matriz UMA −1 , quando multiplicado por qual, a matriz original UMA dá como resultado matriz de identidade E:

matriz quadradaé invertível se e somente se não for degenerado, isto é, sua determinante não é igual a zero. Para matrizes não quadradas e matrizes degeneradas matrizes inversas não existem. No entanto, é possível generalizar este conceito e introduzir matrizes pseudoinversas, semelhante aos inversos em muitas propriedades.

8)Classificação da matriz- ordem mais alta menores esta matriz, diferente de zero

Normalmente o posto de uma matriz é denotado por () ou . Ambas as designações nos vieram de línguas estrangeiras e, portanto, ambas podem ser usadas.

Propriedades

Teorema (na base menor): Seja r = rang A M a base menor da matriz A, então:

linhas básicas e colunas básicas são linearmente independentes;

qualquer linha (coluna) da matriz A é uma combinação linear de linhas básicas (colunas).

Aqui, serão indicadas as propriedades que geralmente são usadas para calcular determinantes no curso padrão de matemática superior. Este é um tópico secundário, ao qual nos referiremos nas seções restantes, conforme necessário.

Então, dada uma matriz quadrada $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( array )\direito)$. Cada matriz quadrada tem uma característica chamada determinante (ou determinante). Não entrarei aqui na essência desse conceito. Se precisar de esclarecimentos, escreva sobre isso no fórum, e eu tocarei esse assunto mais detalhes.

O determinante da matriz $A$ é denotado como $\Delta A$, $|A|$ ou $\det A$. Ordem Determinante igual ao número de linhas (colunas) nele.

1. O valor do determinante não mudará se suas linhas forem substituídas pelas colunas correspondentes, ou seja, $\Delta A=\Delta A^T$.

   aparecer esconder

   Vamos substituir as linhas por colunas de acordo com o princípio: "havia a primeira linha - a primeira coluna se tornou", "havia a segunda linha - a segunda coluna se tornou":

   Vamos calcular o determinante resultante: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Como você pode ver, o valor do determinante não mudou desde a substituição.

2. Se você trocar duas linhas (colunas) do determinante, o sinal do determinante mudará para o oposto.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Considere o $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. Vamos encontrar seu valor usando a fórmula nº 1 do tópico de cálculo de determinantes de segunda e terceira ordem:

   $$\esquerda| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Agora vamos trocar a primeira e a segunda linhas. Obtenha o determinante $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. Vamos calcular o determinante resultante: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Assim, o valor do determinante original era (-37), e o valor do determinante com a ordem das linhas alterada é $-(-37)=37$. O sinal do determinante mudou para o oposto.

3. Um determinante em que todos os elementos de uma linha (coluna) são iguais a zero é igual a zero.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Já que no $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ todos os elementos da terceira coluna são zero, então o determinante é zero, ou seja. $\esquerda| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. Um determinante em que todos os elementos de uma determinada linha (coluna) são iguais aos elementos correspondentes de outra linha (coluna) é igual a zero.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Já que no $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ todos os elementos da primeira linha são iguais ao correspondente elementos da segunda linha, então o determinante é zero, ou seja, $\esquerda| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Se no determinante todos os elementos de uma linha (coluna) são proporcionais aos elementos correspondentes de outra linha (coluna), então tal determinante é igual a zero.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Já que no $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ a segunda e terceira linhas são proporcionais, ou seja, $r_3=-3\cdot(r_2)$, então o determinante é igual a zero, ou seja $\esquerda| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Se todos os elementos de uma linha (coluna) têm um fator comum, esse fator pode ser retirado do sinal do determinante.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Considere o $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. Observe que todos os elementos da segunda linha são divisíveis por 3:

   $$\esquerda| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   O número 3 é o fator comum de todos os elementos da segunda linha. Vamos tirar o triplo do sinal determinante:

   $$ \esquerda| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. O determinante não muda se todos os elementos de uma determinada linha (coluna) forem somados aos elementos correspondentes de outra linha (coluna), multiplicados por um número arbitrário.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Considere o $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Vamos adicionar aos elementos da segunda linha os elementos correspondentes da terceira linha, multiplicados por 5. Escreva esta ação da seguinte forma: $r_2+5\cdot(r_3)$. A segunda linha será alterada, o restante das linhas permanecerá inalterado.

   $$ \esquerda| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (matriz) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. Se uma determinada linha (coluna) no determinante é uma combinação linear de outras linhas (colunas), então o determinante é igual a zero.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Explicarei imediatamente o que significa a expressão "combinação linear". Sejam s linhas (ou colunas): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Expressão

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   onde $k_i\in R$ é chamado de combinação linear de linhas (colunas) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Por exemplo, considere o seguinte determinante:

   $$ \esquerda| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(matriz)\direita| $$

   Neste determinante, a quarta linha pode ser expressa como uma combinação linear das três primeiras linhas:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Portanto, o determinante em consideração é igual a zero.

9. Se cada elemento de uma certa k-ésima linha (k-ésima coluna) de um determinante é igual à soma de dois termos, então tal determinante é igual à soma dos determinantes, o primeiro dos quais tem no k- lançar ( k-ésima coluna) têm os primeiros termos e o segundo determinante na k-ésima linha (k-ésima coluna) tem os segundos termos. Outros elementos desses determinantes são os mesmos.

   Um exemplo de uso desta propriedade: show\hide

   Considere o $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Vamos escrever os elementos da segunda coluna assim: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Então tal determinante é igual à soma de dois determinantes:

   $$ \esquerda| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. O determinante do produto de duas matrizes quadradas da mesma ordem é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, ou seja, $\det(A\cdot B)=\det A\cdot\det B$. A partir desta regra, você pode obter a seguinte fórmula: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Se a matriz $A$ for não singular (ou seja, seu determinante não for igual a zero), então $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Fórmulas para calcular determinantes

Para determinantes de segunda e terceira ordens, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

\begin(equação) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equação) \begin(equação) \begin(alinhado) & \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(alinhado) \end(equação)

Exemplos de aplicação das fórmulas (1) e (2) estão no tópico "Fórmulas para cálculo de determinantes de segunda e terceira ordem. Exemplos de cálculo de determinantes".

O determinante da matriz $A_(n\times n)$ pode ser expandido em termos de i-ésima linha usando a seguinte fórmula:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(equação)

Um análogo desta fórmula também existe para colunas. A fórmula para expandir o determinante na j-ésima coluna é a seguinte:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(equação)

As regras expressas pelas fórmulas (3) e (4) são ilustradas em detalhes por meio de exemplos e explicadas no tópico Diminuição da ordem de um determinante. Decomposição do determinante em uma linha (coluna).

Indicamos mais uma fórmula para calcular os determinantes das matrizes triangulares superiores e triangulares inferiores (para uma explicação desses termos, veja o tópico "Matrizes. Tipos de matrizes. Termos básicos"). O determinante de tal matriz é igual ao produto dos elementos na diagonal principal. Exemplos:

\begin(alinhado) &\left| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ right|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(alinhado)