MATEMATICKÉ SCHÉMY PRE MODELOVANIE SYSTÉMOV

ZÁKLADNÉ PRÍSTUPY KU KONŠTRUKCII MATEMATICKÝCH MODELOV SYSTÉMOV

Východiskovou informáciou pri konštrukcii matematických modelov procesov fungovania systémov sú údaje o účele a prevádzkových podmienkach skúmaného (navrhovaného) systému. S... Tieto informácie definujú hlavný účel modelovania systému. S a umožňuje formulovať požiadavky na vypracovaný matematický model M. Okrem toho úroveň abstrakcie závisí od rozsahu tých otázok, na ktoré chce výskumník systému získať odpoveď pomocou modelu, a do určitej miery určuje výber matematickej schémy.

Matematické schémy. Zavedenie pojmu matematická schéma nám umožňuje považovať matematiku nie za metódu výpočtu, ale za metódu myslenia, za prostriedok formulovania pojmov, čo je najdôležitejšie pri prechode od slovného opisu systému k formálne znázornenie procesu jeho fungovania vo forme nejakého matematického modelu (analytického alebo imitačného). Pri použití matematickej schémy by sa v prvom rade mala výskumníka systému S zaujímať o otázku primeranosti zobrazenia vo forme konkrétnych schém reálnych procesov v skúmanom systéme, a nie o možnosť získania tzv. odpoveď (výsledok riešenia) na konkrétnu výskumnú otázku. Napríklad znázornenie procesu fungovania kolektívneho informačného výpočtového systému vo forme siete čakacích schém umožňuje dobre opísať procesy prebiehajúce v systéme, ale pri zložitých zákonitostiach prichádzajúcich tokov a tokov služieb je to možné. neumožňuje získať výsledky v explicitnej forme.

Matematická schéma možno definovať ako prepojenie pri prechode od zmysluplného k formálnemu opisu procesu fungovania systému s prihliadnutím na vplyv vonkajšieho prostredia, to znamená, že existuje reťazec „opisný model – matematická schéma – matematický (analytický a / alebo imitácia) modelu“.

Každý špecifický systém S je charakterizovaný súborom vlastností, ktoré sú chápané ako hodnoty, ktoré odrážajú správanie sa modelovaného objektu (reálneho systému) a zohľadňujú podmienky jeho fungovania v interakcii s vonkajším prostredím (systémom). E. Pri konštrukcii matematického modelu systému je potrebné vyriešiť otázku jeho úplnosti. Úplnosť modelu je regulovaná najmä voľbou hranice „systém S - prostredie E» . Tiež by sa mal vyriešiť problém zjednodušenia modelu, čo pomáha zvýrazniť hlavné vlastnosti systému a vyradiť sekundárne. Okrem toho priradenie vlastností systému k hlavnému alebo vedľajšiemu v podstate závisí od účelu modelovania systému (napríklad analýza pravdepodobnostno-časových charakteristík procesu fungovania systému, syntéza štruktúra systému atď.).

Formálny model objektu. Model objektu modelovania, teda systém S, možno reprezentovať ako množinu veličín, ktoré popisujú proces fungovania reálneho systému a vo všeobecnosti tvoria tieto podmnožiny: vstupné akcie na systém

;

agregát vplyvy prostredia

;

agregát interné, (vlastné) parametre systémov

;

agregát výstupné charakteristiky systémov

.

Okrem toho v uvedených podskupinách možno rozlíšiť riadené a nespravované premenné. Všeobecne , , , sú prvkami disjunktných podmnožín a obsahujú deterministické aj stochastické zložky.

Pri modelovaní systému S, vstupné akcie, vplyvy vonkajšieho prostredia E a vnútorné parametre systému sú nezávislé (exogénne) premenné, ktoré vo vektorovej forme majú tvar,,, a výstupné charakteristiky systému sú závislých (endogénnych) premenných a vo vektorovej forme majú tvar).

Proces fungovania S systému je včas popísaný operátorom F s , ktorý vo všeobecnom prípade transformuje exogénne premenné na endogénne v súlade so vzťahmi formy

. (1)

Množina závislostí výstupných charakteristík systému od času r j (t) pre všetky druhy
volal výstupná trajektória
. Závislosť (1) sa nazýva zákon o fungovaní systémuS a označené F s . Vo všeobecnom prípade zákon fungovania systému F s môžu byť špecifikované vo forme funkcie, funkcionálnych, logických podmienok, v algoritmickej a tabuľkovej forme alebo vo forme verbálneho párovacieho pravidla.

Veľmi dôležitý pre popis a štúdium systému S je koncept algoritmus fungovaniaA s , ktorým sa rozumie spôsob získavania výstupných charakteristík zohľadňujúci vstupné vplyvy
, vplyvy prostredia
a vlastné parametre systému
. Je zrejmé, že rovnaký zákon fungovania F s systém S môže byť implementovaný rôznymi spôsobmi, t.j. s použitím mnohých rôznych algoritmov na fungovanie A s .

Vzťahy (1) sú matematickým popisom správania sa objektu (systému) modelovania v čase t, to znamená, že odrážajú jeho dynamické vlastnosti. Preto sa matematické modely tohto typu zvyčajne nazývajú dynamické modely(systémy).

Pre statické modely matematický model (1) je mapovanie medzi dvoma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y a { X, V, H), ktorý vo vektorovej forme možno zapísať ako

. (2)

Vzťahy (1) a (2) je možné špecifikovať rôznymi spôsobmi: analyticky (pomocou vzorcov), graficky, tabuľkovo atď. Takéto vzťahy možno v niektorých prípadoch získať prostredníctvom vlastností systému S v konkrétnych časoch, tzv. štátov. Stav systému S charakterizujú vektory

a
,

kde
,
, …,
práve teraz
;
,
, …,
práve teraz
atď.,
.

Ak považujeme proces fungovania systému S za sekvenčnú zmenu stavov
, potom ich možno interpretovať ako súradnice bodu v Komu-rozmerný fázový priestor. Navyše, každá implementácia procesu bude zodpovedať určitej fázovej trajektórii. Zbierka všetkých možných hodnôt stavov volal stavový priestor objekt modelovania Z, navyše
.

Stavy systému S v danom čase t 0 < t*T sú úplne určené počiatočnými podmienkami
[kde
,
, …,
], vstupné vplyvy
, vlastné systémové parametre
a vplyvmi prostredia
, ktoré prebiehali v určitom časovom období t*- t 0 , S pomocou dvoch vektorových rovníc

; (3)

. (4)

Prvá rovnica pre počiatočný stav a exogénne premenné
definuje vektorovú funkciu
, a druhý podľa získanej hodnoty stavov
- endogénne premenné na výstupe systému
. Reťazec rovníc objektu „vstup-stav-výstup“ vám teda umožňuje určiť vlastnosti systému

. (5)

Vo všeobecnom prípade možno čas v modeli systému S považovať za modelovací interval (0, T) spojité aj diskrétne, t.j. kvantované do segmentov dĺžky
časové jednotky zakaždým
, kde
- počet vzorkovacích intervalov.

Teda pod matematický model objektu(reálny systém) pochopiť konečnú podmnožinu premenných (
} spolu s matematickými vzťahmi medzi nimi a charakteristikami
.

Ak matematický popis objektu modelovania neobsahuje prvky náhodnosti alebo sa neberú do úvahy, teda ak možno predpokladať, že v tomto prípade stochastické vplyvy vonkajšieho prostredia
a stochastické vnútorné parametre
chýbajú, potom sa model nazýva deterministický v tom zmysle, že charakteristiky sú jednoznačne určené deterministickými vstupmi

. (6)

Je zrejmé, že deterministický model je špeciálnym prípadom stochastického modelu.

Typické schémy. Uvedené matematické vzťahy predstavujú všeobecné matematické schémy a umožňujú popísať širokú triedu systémov. V praxi modelovania objektov v oblasti systémového inžinierstva a systémovej analýzy v počiatočných fázach systémového výskumu je však racionálnejšie použiť typické matematické schémy: diferenciálne rovnice, konečné a pravdepodobnostné automaty, systémy radenia, Petriho siete atď.

Typické matematické schémy, ktoré nemajú taký stupeň všeobecnosti ako uvažované modely, majú výhody jednoduchosti a prehľadnosti, ale s výrazným zúžením možností aplikácie. Diferenciálne, integrálne, integro-diferenciálne a iné rovnice sa používajú na reprezentáciu systémov pracujúcich v spojitom čase ako deterministické modely, keď sa pri štúdiu neberú do úvahy náhodné faktory a na reprezentáciu systémov fungujúcich v diskrétny čas.... Pravdepodobnostné automaty sa používajú ako stochastické modely (berúc do úvahy náhodné faktory) na reprezentáciu systémov s diskrétnym časom a systémy radenia sa používajú na reprezentáciu systémov so spojitým časom atď.

Uvedené typické matematické schémy, samozrejme, nemôžu predstierať, že na ich základe dokážu popísať všetky procesy vyskytujúce sa vo veľkých systémoch riadenia informácií. Pre takéto systémy je v niektorých prípadoch perspektívnejšie použitie agregovaných modelov.

Agregátne modely (systémy) umožňujú popísať široké spektrum výskumných objektov s odrazom systémového charakteru týchto objektov. Práve súhrnným popisom sa komplexný objekt (systém) rozdelí na konečný počet častí (subsystémov), pričom sa zachovajú súvislosti, ktoré zabezpečujú interakciu častí.

Pri konštrukcii matematických modelov procesov fungovania systémov teda možno rozlíšiť tieto hlavné prístupy: spojito-deterministické (napríklad diferenciálne rovnice); diskrétne deterministické (konečné automaty); diskrétne stochastické (pravdepodobnostné automaty); kontinuálne-stochastické (systémy radenia); zovšeobecnené alebo univerzálne (agregované systémy).

MODELY KONTINUÁLNEHO URČOVANIA (OBVODY D)

Uvažujme o vlastnostiach spojito-deterministického prístupu na príklade použitia diferenciálnych rovníc ako matematických modelov. Diferenciálne rovnice nazývajú sa také rovnice, v ktorých funkcie jednej alebo viacerých premenných sú neznáme a rovnica zahŕňa nielen funkcie, ale aj ich derivácie rôznych rádov. Ak sú neznáme funkciami viacerých premenných, potom sa rovnice nazývajú parciálne diferenciálne rovnice; v opačnom prípade, keď uvažujeme funkcie iba jednej nezávislej premennej, rovnice sa nazývajú obyčajné diferenciálne rovnice.

Základné vzťahy. Zvyčajne sa v takýchto matematických modeloch čas používa ako nezávislá premenná, od ktorej závisia neznáme hľadané funkcie t. Potom bude matematický vzťah pre deterministické systémy (6) vo všeobecnom tvare

, (7)

kde
,
a
- P-rozmerné vektory;
- vektorová funkcia, ktorá je definovaná na niektorých ( P+1) -rozmerný
nastavený a je nepretržitý.

Keďže matematické schémy tohto typu odrážajú dynamiku skúmaného systému, teda jeho správanie v čase, sú tzv. D-schémy(angl. dynamický).

V najjednoduchšom prípade má obyčajná diferenciálna rovnica tvar

. (8)

Najdôležitejšia aplikácia pre systémové inžinierstvo D-schéma ako matematický aparát v teórii automatického riadenia. Na ilustráciu vlastností konštrukcie a aplikácie D-obvodov uvažujme o najjednoduchšom príklade formalizácie procesu fungovania dvoch základných systémov rôznej fyzikálnej povahy: mechanického S M (kmitanie kyvadla, obr. 1, a) a elektrický S K (oscilačný obvod, obr. 1, b).

Ryža. 1. Elementárne systémy

Proces malých kmitov kyvadla popisuje obyčajná diferenciálna rovnica

kde
- hmotnosť a dĺžka závesu kyvadla; g - zrýchlenie voľného pádu;
- uhol vychýlenia kyvadla v časovom okamihu t.

Z tejto rovnice voľnej oscilácie kyvadla možno nájsť odhady záujmových charakteristík. Napríklad obdobie výkyvu kyvadla

.

Podobne procesy v elektrickom oscilačnom obvode popisuje obyčajná diferenciálna rovnica

kde L Komu , S Komu - indukčnosť a kapacita kondenzátora; q(t) - nabíjania kondenzátora v čase t.

Z tejto rovnice môžete získať rôzne odhady charakteristík procesu v oscilačnom obvode. Napríklad obdobie elektrických oscilácií

.

Je zrejmé, že zavádzanie notácie
,
, ,
, získame obyčajnú diferenciálnu rovnicu druhého rádu, ktorá popisuje správanie tohto systému s uzavretou slučkou:

kde
- systémové parametre; z(t) - stav systému v čase t.

Správanie týchto dvoch objektov je teda možné skúmať na základe všeobecného matematického modelu (9). Okrem toho je potrebné poznamenať, že správanie jedného zo systémov možno analyzovať pomocou druhého. Napríklad správanie kyvadla (systém S M) možno študovať pomocou elektrického oscilačného obvodu (systému S K).

Ak skúmaný systém S, teda kyvadlo alebo obrys, interaguje s vonkajším prostredím E, potom sa zobrazí vstupná akcia X(t) (vonkajšia sila pre kyvadlo a zdroj energie pre obvod) a spojito-deterministický model takéhoto systému bude mať tvar

Z pohľadu všeobecnej schémy matematického modelu X(t) je vstupná (riadiaca) činnosť a stav systému S v tomto prípade možno považovať za výstupnú charakteristiku, t.j. predpokladajme, že výstupná premenná sa zhoduje so stavom systému v danom čase y =z.

Možné aplikácie. Pri riešení problémov systémového inžinierstva majú veľký význam problémy riadenia veľkých systémov. Venujte pozornosť systémom automatické ovládanie- opísaný špeciálny prípad dynamických systémov D-schémy a zvýraznené v samostatnej triede modelov vzhľadom na ich praktické špecifiká.

Pri popise procesov automatického riadenia sa väčšinou držia prezentácie reálneho objektu v podobe dvoch systémov: riadiaceho a riadeného (riadiaci objekt). Štruktúra všeobecného viacrozmerného automatického riadiaceho systému je znázornená na obr. 2, kde sú určené endogénne premenné:
- vektor vstupných (master) vplyvov;
- vektor rušivých vplyvov;
- vektor chybových signálov;
- vektor riadiacich akcií; exogénne premenné:
- vektor stavov sústavy S;
je zvyčajne vektor výstupných premenných
=
.

Ryža. 2. Štruktúra automatického riadiaceho systému

Moderný riadiaci systém je súbor softvérových a hardvérových nástrojov, ktoré zabezpečujú dosiahnutie konkrétneho cieľa objektom riadenia. Ako presne riadiaci objekt dosahuje daný cieľ, možno pre jednorozmerný systém posúdiť súradnicou stavu o (t). Rozdiel medzi daným pri zadná strana (t) a platné o (t) zákon zmeny riadenej veličiny je chyba riadenia . Ak predpísaný zákon zmeny regulovanej veličiny zodpovedá zákonu zmeny vstupnej (hlavnej) akcie, t.j.
, potom
.

Systémy, ktoré riadia chyby
v každej dobe sa nazývajú ideálne. V praxi je implementácia ideálnych systémov nemožná. Takže chyba h"(t) - nevyhnutný prvok automatického riadenia založeného na princípe negatívnej spätnej väzby, aby sa výstupná veličina dostala do súladu r(t) jeho špecifikovaná hodnota využíva informáciu o odchýlke medzi nimi. Úlohou automatického riadiaceho systému je meniť premennú r(t) podľa daného zákona s určitou presnosťou (s prijateľnou chybou). Pri návrhu a prevádzke systémov automatického riadenia je potrebné zvoliť nasledujúce parametre systému S, ktorý by zabezpečil požadovanú presnosť riadenia, ako aj stabilitu systému v prechodnom procese.

Ak je systém stabilný, potom je praktické správanie systému v čase, maximálna odchýlka regulovanej veličiny je o (t) v prechodovom procese, čas prechodného procesu atď. Závery o vlastnostiach systémov automatického riadenia rôznych tried možno urobiť vo forme diferenciálnych rovníc, ktoré približne popisujú procesy v systémoch. Poradie diferenciálnej rovnice a hodnoty jej koeficientov sú úplne určené statickými a dynamickými parametrami systému. S.

Takže pomocou D-schéma umožňuje formalizovať proces fungovania spojito-deterministických systémov S a vyhodnocovať ich hlavné charakteristiky pomocou analytického alebo simulačného prístupu implementovaného vo forme vhodného jazyka na modelovanie spojitých systémov alebo pomocou analógových a hybridných výpočtových zariadení.

Klasifikácia v akejkoľvek oblasti odbornosti je nevyhnutná. Umožňuje vám zovšeobecniť nahromadené skúsenosti, zefektívniť koncepty predmetnej oblasti. Rýchly rozvoj metód matematického modelovania a rôznorodosť oblastí ich použitia viedli k vzniku veľkého množstva modelov rôznych typov a k potrebe triediť modely do tých kategórií, ktoré sú univerzálne pre všetky modely alebo sú v danej oblasti nevyhnutné. zostrojeného modelu napr. Uveďme príklad niektorých kategórií: oblasť použitia; zohľadnenie časového faktora (dynamiky) v modeli; odbor vedomostí; spôsob prezentácie modelov; prítomnosť alebo neprítomnosť náhodných (alebo neistých) faktorov; typ kritéria účinnosti a uložené obmedzenia atď.

Analýzou matematickej literatúry sme identifikovali najbežnejšie znaky klasifikácie:

1. Podľa spôsobu implementácie (vrátane formálneho jazyka) možno všetky matematické modely rozdeliť na analytické a algoritmické.

Analytické – modely, ktoré používajú štandardný matematický jazyk. Simulácia - modely, v ktorých sa používa špeciálny modelovací jazyk alebo univerzálny programovací jazyk.

Analytické modely je možné písať vo forme analytických výrazov, t.j. vo forme výrazov obsahujúcich spočítateľný počet aritmetických operácií a prechodov do limity, napríklad:. Algebraický výraz je špeciálny prípad analytického výrazu, vo výsledku poskytuje presný význam. Existujú aj konštrukcie, ktoré umožňujú nájsť výslednú hodnotu s danou presnosťou (napríklad rozšírenie elementárnej funkcie v mocninnom rade). Modely využívajúce túto techniku ​​sa nazývajú približné.

Na druhej strane sú analytické modely rozdelené na teoretické a empirické modelov. Teoretické modely odrážajú skutočné štruktúry a procesy v skúmaných objektoch, to znamená, že sú založené na teórii ich práce. Empirické modely sú postavené na základe skúmania reakcií objektu na zmeny podmienok prostredia. V tomto prípade sa neuvažuje o teórii fungovania objektu, samotný objekt je takzvaná „čierna skrinka“ a modelom je určitá interpolačná závislosť. Empirické modely možno zostaviť z experimentálnych údajov. Tieto údaje sa získavajú priamo na skúmaných objektoch alebo pomocou ich fyzikálnych modelov.

Ak proces nemožno opísať vo forme analytického modelu, je opísaný pomocou špeciálneho algoritmu alebo programu. Tento model je algoritmický. Pri konštrukcii algoritmických modelov sa používajú numerické alebo simulačné prístupy. V numerickom prístupe je množina matematických vzťahov nahradená konečnorozmerným analógom (napríklad prechod z funkcie spojitého argumentu na funkciu diskrétneho argumentu). Potom je skonštruovaný výpočtový algoritmus, t.j. postupnosti aritmetických a logických operácií. Nájdené riešenie diskrétneho analógu sa považuje za približné riešenie pôvodného problému. Pri simulačnom prístupe sa diskretizuje samotný modelovací objekt a zostavujú sa modely jednotlivých prvkov systému.

2. Podľa formy prezentácie matematických modelov sa rozlišujú:

1) Invariantný model je matematický model, ktorý je reprezentovaný sústavou rovníc (diferenciálnych, algebraických) bez zohľadnenia metód riešenia týchto rovníc.

2) Algebraický model - pomer modelov je spojený so zvolenou numerickou metódou riešenia a je zapísaný vo forme algoritmu (postupnosti výpočtov).

3) Analytický model - je explicitná závislosť požadovaných premenných od daných hodnôt. Takéto modely sa získavajú na základe fyzikálnych zákonov alebo ako výsledok priamej integrácie pôvodných diferenciálnych rovníc pomocou tabuľkových integrálov. Zahŕňajú aj regresné modely získané na základe experimentálnych výsledkov.

4) Grafický model je prezentovaný vo forme grafov, ekvivalentných obvodov, schém a podobne. Na použitie grafických modelov musí existovať pravidlo jednoznačnej zhody podmienených obrázkov prvkov grafiky a komponentov invariantného matematického modelu.

3. V závislosti od typu kritéria účinnosti a uložených obmedzení sa modely ďalej delia na lineárne a nelineárne. V lineárnych modeloch sú kritériom efektívnosti a uloženými obmedzeniami lineárne funkcie premenných modelu (inak nelineárne modely). Predpoklad o lineárnej závislosti kritéria účinnosti a súboru uložených obmedzení na premenných modelu je v praxi celkom prijateľný. To umožňuje použiť na rozhodovanie dobre vyvinutý lineárny programovací aparát.

4. Berúc do úvahy faktor času a oblasti použitia, rozlišujú statické a dynamické modely... Ak všetky veličiny zahrnuté v modeli nezávisia od času, potom máme statický model objektu alebo procesu (jednorazový výsek informácií o objekte). Tie. statický model je model, v ktorom čas nie je premenná. Dynamický model vám umožňuje vidieť zmeny v objekte v priebehu času.

5. V závislosti od počtu rozhodujúcich strán existujú dva typy matematických modelov: deskriptívne a normatívne... V deskriptívnom modeli nie sú žiadne osoby s rozhodovacou právomocou. Formálne je počet takýchto strán v popisnom modeli nula. Typickým príkladom takýchto modelov je model systému radenia. Na zostavenie deskriptívnych modelov možno použiť aj teóriu spoľahlivosti, teóriu grafov, teóriu pravdepodobnosti, štatistickú testovaciu metódu (metóda Monte Carlo).

Normatívny model má mnoho aspektov. V zásade možno rozlíšiť dva typy normatívnych modelov: optimalizačné modely a herno-teoretické modely. V optimalizačných modeloch je hlavná úloha vývoja riešení technicky zredukovaná na striktnú maximalizáciu alebo minimalizáciu kritéria efektívnosti, t.j. určujú sa také hodnoty riadených veličín, pri ktorých kritérium účinnosti dosiahne extrémnu hodnotu (maximum alebo minimum).

Na vývoj riešení zobrazovaných optimalizačnými modelmi sa popri klasických a nových variačných metódach (extrémne vyhľadávanie) najviac využívajú metódy matematického programovania (lineárne, nelineárne, dynamické). Herno-teoretický model je charakterizovaný mnohonásobnosťou počtu strán (najmenej dvoch). Ak existujú dve strany s opačnými záujmami, použije sa teória hier, ak je počet strán viac ako dve a koalície a kompromisy medzi nimi nie sú možné, použije sa teória nekoaličných hier. n osôb.

6. V závislosti od prítomnosti alebo neprítomnosti náhodných (alebo neistých) faktorov existujú deterministické a stochastické matematických modelov. V deterministických modeloch sú všetky vzťahy, premenné a konštanty presne špecifikované, čo vedie k jednoznačnej definícii výslednej funkcie. Deterministický model sa zostavuje v prípadoch, keď faktory ovplyvňujúce výsledok operácie umožňujú dostatočne presné meranie alebo hodnotenie a náhodné faktory buď chýbajú, alebo ich možno zanedbať.

Ak niektoré alebo všetky parametre zahrnuté v modeli sú svojou povahou náhodné premenné alebo náhodné funkcie, potom model patrí do triedy stochastických modelov. V stochastických modeloch sa nastavujú distribučné zákony náhodných veličín, čo vedie k pravdepodobnostnému odhadu výslednej funkcie a realita sa zobrazuje ako určitý náhodný proces, ktorého priebeh a výsledok popisujú určité charakteristiky náhodných premenných: matematické očakávania , rozptyly, distribučné funkcie atď. Konštrukcia takéhoto modelu je možná, ak existuje dostatok faktografických materiálov na posúdenie potrebných rozdelení pravdepodobnosti alebo ak teória skúmaného javu umožňuje tieto rozdelenia teoreticky určiť (na základe vzorcov teórie pravdepodobnosti, limitných viet atď.). .).

7. V závislosti od cieľov modelovania existujú popis, optimalizácia a riadenie modelov. V deskriptívnych (z lat. descriptio - popis) modeloch sa skúmajú zákonitosti zmeny parametrov modelu. Napríklad model pohybu hmotného bodu pod vplyvom pôsobiacich síl na základe druhého Newtonovho zákona:. Zadaním polohy a zrýchlenia bodu v danom časovom okamihu (vstupné parametre), hmotnosti (vnútorný parameter) a zákona o zmene pôsobiacich síl (vonkajšie vplyvy) je možné určiť súradnice bodu a rýchlosť v akomkoľvek okamihu (výstupné dáta).

Optimalizačné modely slúžia na určenie najlepších (optimálnych) na základe určitého kritéria, parametrov simulovaného objektu alebo metód riadenia tohto objektu. Optimalizačné modely sú zostavené pomocou jedného alebo viacerých popisných modelov a majú niekoľko kritérií na určenie optimality. Na rozsah hodnôt vstupných parametrov možno uložiť obmedzenia vo forme rovnosti alebo nerovností súvisiacich s vlastnosťami posudzovaného objektu alebo procesu. Príkladom optimalizačného modelu je zostavenie potravinovej dávky pri určitej diéte (ako vstupné údaje slúžia kalorický obsah produktu, cenové hodnoty nákladov atď.).

Modely riadenia slúžia na rozhodovanie v rôznych oblastiach cieľavedomej ľudskej činnosti, kedy sa z celého súboru alternatív vyberá viacero alternatív a všeobecný proces rozhodovania je sledom takýchto alternatív. Napríklad výber správy na propagáciu z viacerých pripravených študentmi. Zložitosť problému spočíva jednak v neistote o vstupných údajoch (správa bola vypracovaná samostatne alebo bola použitá cudzia práca), ako aj v cieľoch (vedecký charakter práce a jej štruktúra, úroveň prezentácie a úroveň zaškolenia pracovníkov). študent, výsledky experimentu a získané závery). Keďže optimálnosť rozhodnutia prijatého v rovnakej situácii možno interpretovať rôznymi spôsobmi, forma kritéria optimálnosti v modeloch riadenia nie je vopred stanovená. Metódy tvorby kritérií optimality v závislosti od typu neistoty sa zvažujú v teórii výberu a rozhodovania na základe teórie hier a operačného výskumu.

8.Rozlišujte podľa výskumnej metódy analytické, numerické a simulačné modelov. Analytický model je formalizovaný popis systému, ktorý umožňuje získať explicitné riešenie rovnice pomocou dobre známeho matematického aparátu. Numerický model sa vyznačuje závislosťou, ktorá umožňuje len čiastkové numerické riešenia pre konkrétne počiatočné podmienky a kvantitatívne parametre modelu. Simulačný model je súbor popisov systému a vonkajších vplyvov, algoritmov pre fungovanie systému alebo pravidiel pre zmenu stavu systému pod vplyvom vonkajších a vnútorných porúch. Tieto algoritmy a pravidlá neumožňujú využiť dostupné matematické metódy analytického a numerického riešenia, ale umožňujú simulovať proces fungovania systému a fixovať záujmové charakteristiky. Ďalej sa budeme podrobnejšie zaoberať niektorými analytickými a simulačnými modelmi, pričom štúdium týchto typov modelov je spojené so špecifikami profesionálnej činnosti študentov v uvedenom smere vzdelávania.

1.4. Grafické znázornenie matematických modelov

V matematike môžu byť formy spojenia medzi veličinami reprezentované rovnicami tvaru nezávisle premennej (argumentu), r- závislá premenná (funkcia). V teórii matematického modelovania sa nezávislá premenná nazýva faktor a závislá premenná sa nazýva odozva. Navyše, v závislosti od oblasti konštrukcie matematického modelu je terminológia trochu upravená. Niektoré príklady definícií faktora a odozvy v závislosti od študijného odboru sú uvedené v tabuľke 1.

Tabuľka 1. Niektoré definície pojmov „faktor“ a „odozva“

Pri grafickom prezentovaní matematického modelu budeme faktory a odozvy považovať za premenné, ktorých hodnoty patria do množiny reálnych čísel.

Grafické znázornenie matematického modelu je nejaká odozvová plocha zodpovedajúca usporiadaniu bodov v k- priestor dimenzionálneho faktora X... Je možné vizualizovať iba jednorozmerné a dvojrozmerné povrchy odozvy. V prvom prípade ide o množinu bodov na skutočnej rovine a v druhom o množinu bodov, ktoré tvoria plochu v priestore (na znázornenie takýchto bodov je vhodné použiť úrovňové čiary - spôsob, ako znázorniť povrchový reliéf priestoru vybudovaného v dvojrozmernom faktorovom priestore X(obr. 8).

Oblasť, v ktorej je definovaná plocha odozvy, sa nazýva doména definície X *. Táto oblasť je spravidla len časťou celkového faktorového priestoru. X(X*Ì X) a prideľuje sa pomocou obmedzení uložených na riadiace premenné x i napísané ako rovnosť:

x i = Ci , i = 1,…, m;

f j(X) = C j, j = 1,…, l

alebo nerovnosti:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(X) £ C j, j = 1,…, n,

V tomto prípade funkcie f j(X) môže závisieť súčasne od všetkých premenných aj od niektorej z nich.

Obmedzenia, ako sú nerovnosti, charakterizujú buď fyzické obmedzenia procesov v skúmanom objekte (napríklad teplotné obmedzenia), alebo technické obmedzenia spojené s prevádzkovými podmienkami zariadenia (napríklad obmedzujúca rýchlosť rezania, obmedzenia zásob surovín) .

Možnosti štúdia modelov v podstate závisia od vlastností (reliéfu) povrchu odozvy, najmä od počtu na ňom dostupných „vrcholov“ a od jeho kontrastu. Počet vrcholov (údolí) určuje modalita reakčné plochy. Ak je v doméne definície na povrchu odozvy jeden vrchol (údolie), volá sa model unimodálne.

Charakter zmeny funkcie v tomto prípade môže byť rôzny (obr. 9).

Model môže mať body zlomu prvého druhu (obr. 9 (a)), body zlomu druhého druhu (obr. 9 (b)). Obrázok 9 (c) zobrazuje kontinuálne diferencovateľný unimodálny model.

Vo všetkých troch prípadoch uvedených na obrázku 9 je splnená všeobecná požiadavka unimodality:

ak W (x *) je extrémom W, potom z podmienky x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) nasleduje po W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), ak je extrém minimum, to znamená, že so zväčšovaním vzdialenosti od extrémneho bodu hodnota funkcie W (x) neustále klesá (rastie).

Spolu s unimodálnymi modelmi prichádzajú do úvahy aj polymodálne modely (obr. 10).

Ďalšou dôležitou vlastnosťou povrchu odozvy je jej kontrast, ktorý ukazuje citlivosť výslednej funkcie na zmeny faktorov. Kontrast je charakterizovaný hodnotami derivátov. Ukážme si kontrastné charakteristiky na príklade dvojrozmernej odozvovej plochy (obr. 11).

Bodka a umiestnené na "svahe" charakterizujúcom rovnaký kontrast pre všetky premenné x i (i= 1,2), bod b sa nachádza v „rokline“, v ktorej rozdielny kontrast pre rôzne premenné (máme zlú podmienenosť funkcie), bod S sa nachádza na „náhornej plošine“, kde je kontrast pre všetky premenné nízky x i označuje blízkosť extrému.

1.5. Základné metódy konštrukcie matematických modelov

Uveďme klasifikáciu metód formalizovanej reprezentácie modelovaných systémov Volkova V.N. a Denisova AA Autori vyzdvihujú analytické, štatistické, množinovo teoretické, lingvistické, logické, grafické metódy. Základná terminológia, príklady teórií rozvíjajúcich sa na základe opísaných tried metód, ako aj rozsah a možnosti ich aplikácie sú navrhnuté v prílohe 1.

V praxi modelovania systémov sa najviac využívajú analytické a štatistické metódy.

1) Analytické metódy na zostavovanie matematických modelov.

Terminologický aparát analytických metód na zostavovanie matematických modelov vychádza z pojmov klasickej matematiky (vzorec, funkcia, rovnica a sústava rovníc, nerovnica, derivácia, integrál atď.). Tieto metódy sa vyznačujú prehľadnosťou a platnosťou terminológie používajúcej jazyk klasickej matematiky.

Na základe analytických konceptov vznikli a rozvíjali sa také matematické teórie ako klasická matematická analýza (napríklad metódy na štúdium funkcií) a moderné základy matematického programovania a teórie hier. Okrem toho matematické programovanie (lineárne, nelineárne, dynamické, celočíselné atď.) obsahuje jednak prostriedky zadávania problému a jednak rozširuje možnosti dokazovania primeranosti modelu, na rozdiel od množstva iných oblastí matematiky. Myšlienky optimálneho matematického programovania na riešenie ekonomických (najmä riešenie problému optimálneho rezania preglejky) problémov navrhol L.V. Kantorovič.

Vysvetlíme vlastnosti metódy na príklade.

Príklad. Predpokladajme, že na výrobu dvoch typov výrobkov A a V treba použiť tri druhy surovín. Zároveň na výrobu výrobnej jednotky typu A Spotrebujú sa 4 jednotky. suroviny prvého typu, 2 jednotky. 2. a 3. jednotka 3. typ. Na výrobu výrobnej jednotky typu V Spotrebúvajú sa 2 jednotky. suroviny 1. druhu, 5 jednotiek. 2. typ a 4 jednotky. 3. druh surovín. Vo výrobnom sklade sa nachádza 35 jednotiek. suroviny 1. druhu, 43 - 2., 40 - 3. druhu. Z predaja výrobnej jednotky typu A továreň má zisk 5 000 rubľov a z predaja jednotky výroby formy V zisk je 9 tisíc rubľov. Je potrebné zostaviť matematický model problému, ktorý zabezpečí maximálny zisk.

Miery spotreby každého druhu suroviny na výrobu jednotky tohto typu výrobku sú uvedené v tabuľke. Uvádza tiež zisk z predaja každého druhu výrobku a celkové množstvo surovín tohto typu, ktoré môže podnik použiť.

Označme podľa x 1 a x 2 objem vyrobených produktov A a V resp. Náklady na materiál prvej triedy pre plán budú 4x 1 + 2x 2, pričom by nemali prevyšovať zásoby, t.j. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Obmedzenia na materiál druhého stupňa sú podobné:

2x 1 + 5x 2 43,

a na materiáli tretieho ročníka

3x 1 + 4x 2 40.

Zisk z predaja x 1 jednotky výroby A a x 2 jednotky produkcie B budú z = 5x 1+ 9x 2(objektívna funkcia).

Dostali sme model problému:

Grafické riešenie problému je znázornené na obrázku 11.

Optimálne (najlepšie, t.j. maximum funkcie z) riešenie úlohy je v bode A (riešenie je vysvetlené v kapitole 5).

Mám to x 1=4,x 2= 7, funkčná hodnota z v bode A:.

Hodnota maximálneho zisku je teda 83 tisíc rubľov.

Okrem grafickej existuje aj množstvo špeciálnych metód riešenia problému (napríklad simplexová metóda) alebo sa používajú aplikované softvérové ​​balíky, ktoré ich implementujú. Podľa typu účelovej funkcie sa rozlišuje lineárne a nelineárne programovanie, podľa charakteru premenných sa rozlišuje celočíselné programovanie.

Všeobecné vlastnosti matematického programovania možno rozlíšiť:

1) zavedenie konceptu objektívnej funkcie a obmedzení sú prostriedky na stanovenie problému;

2) je možné kombinovať rozdielne kritériá v jednom modeli (rôzne rozmery, v príklade - zásoby surovín a zisk);

3) matematický programovací model umožňuje prejsť na hranicu rozsahu prípustných hodnôt premenných;

4) možnosť implementácie krokového algoritmu na získanie výsledkov (krokové priblíženie k optimálnemu riešeniu);

5) jasnosť, dosiahnutá prostredníctvom geometrickej interpretácie problému, ktorá pomáha v prípadoch, keď nie je možné problém formálne vyriešiť.

2) Štatistické metódy na zostavovanie matematických modelov.

Štatistické metódy na zostavovanie matematických modelov sa rozšírili a začali sa široko používať s rozvojom teórie pravdepodobnosti v 19. storočí. Sú založené na pravdepodobnostných zákonitostiach náhodných (stochastických) udalostí, odrážajúcich skutočné javy. Pojem „stochastický“ je objasnením pojmu „náhodný“, označuje vopred určené, určité dôvody ovplyvňujúce proces a pojem „náhodný“ je charakterizovaný nezávislosťou od vplyvu alebo absenciou takýchto dôvodov.

Štatistické vzory sú prezentované vo forme diskrétnych náhodných premenných a vzorov vzhľadu ich hodnôt alebo vo forme nepretržitých závislostí distribúcie udalostí (procesov). Teoretické základy budovania stochastických modelov sú podrobne popísané v kapitole 2.

Kontrolné otázky

1. Formulujte hlavný problém matematického modelovania.

2. Uveďte definíciu matematického modelu.

3. Uveďte hlavné nevýhody experimentálneho prístupu v štúdii.

4. Uveďte hlavné fázy stavby modelu.

5. Uveďte typy matematických modelov.

6. Stručne popíšte typy modelov.

7. Akú formu má matematický model, keď je prezentovaný geometricky?

8. Ako sa špecifikujú matematické modely analytického typu?

Úlohy

1. Vytvorte matematický model riešenia problému a klasifikujte ho:

1) Určte maximálnu kapacitu valcového vedra, ktorého povrch (bez veka) je S.

2) Podnik zabezpečuje pravidelnú výrobu s bezproblémovou dodávkou komponentov od dvoch subdodávateľov. Pravdepodobnosť odmietnutia dodávky od prvého zo subdodávateľov -, od druhého -. Zistite pravdepodobnosť zlyhania podniku.

2. Malthusov model (1798) popisuje reprodukciu populácie rýchlosťou úmernou jej veľkosti. V diskrétnej forme je tento zákon geometrickým postupom:; alebo Zákon, napísaný vo forme diferenciálnej rovnice, je modelom exponenciálneho rastu populácie a dobre opisuje rast bunkových populácií bez akéhokoľvek obmedzenia:. Nastavte počiatočné podmienky a ukážte, ako model funguje.

Východiskovou informáciou pri konštrukcii MM procesov fungovania systémov sú údaje o účele a prevádzkových podmienkach skúmaného (projektovaného) systému S. Tieto informácie určujú hlavný cieľ modelovania, požiadavky na MM, úroveň abstrakcie. a výber schémy matematického modelovania.

koncepcia matematická schéma nám umožňuje považovať matematiku nie za metódu výpočtu, ale za metódu myslenia, prostriedok formulovania pojmov, čo je najdôležitejšie pri prechode od slovného opisu k formalizovanému znázorneniu procesu jej fungovania v podobe tzv. nejaký MM.

Pri použití podložky. schémy, v prvom rade by sa mal výskumník systému zaujímať o otázku primeranosti zobrazenia vo forme konkrétnych schém reálnych procesov v skúmanom systéme, a nie o možnosť získania odpovede (výsledku riešenia) na konkrétnu výskumnú otázku.

Napríklad znázornenie procesu fungovania ICS na kolektívne použitie vo forme siete čakacích schém umožňuje dobre opísať procesy vyskytujúce sa v systéme, ale so zložitými zákonmi prichádzajúcich tokov a tokov služieb neumožňuje získať výsledky v explicitnej forme.

Matematická schéma možno definovať ako prepojenie pri prechode od zmysluplného k formalizovanému popisu procesu fungovania systému s prihliadnutím na vplyv vonkajšieho prostredia. Tie. existuje reťazec: deskriptívny model - matematická schéma - simulačný model.

Každý špecifický systém S je charakterizovaný súborom vlastností, ktoré sú chápané ako hodnoty, ktoré odrážajú správanie sa modelovaného objektu (reálneho systému) a podmienky jeho fungovania v interakcii s vonkajším prostredím (systémom) E.

Pri konštrukcii MM systému S je potrebné vyriešiť otázku jeho úplnosti. Úplnosť modelovania je regulovaná najmä voľbou hraníc „Systém S – prostredie E“. Tiež by sa mal vyriešiť problém zjednodušenia MM, čo pomáha zvýrazniť hlavné vlastnosti systému a odhodiť sekundárne ciele modelovania.

MM objektu simulácie, t.j. systému S možno reprezentovať ako množinu veličín popisujúcich proces fungovania reálneho systému a vo všeobecnom prípade tvoriace tieto podmnožiny:

Množina X - vstupných vplyvov na Sх i Х, i = 1… n x;

Súhrn vplyvov vonkajšieho prostredia v l V, l = 1… n v;

Množina vnútorných (vlastných) parametrov systému h k H, k = 1… n h;

Množina výstupných charakteristík systému y j Y, j = 1… n y.

V uvedených súboroch možno rozlíšiť riadené a neriadené veličiny. Vo všeobecnosti sú X, V, H, Y disjunktné množiny obsahujúce deterministické aj stochastické zložky. Vstupné akcie E a vnútorné parametre S sú nezávislých (exogénnych) premenných.Výstupné charakteristiky - závislé premenné (endogénne)... Operačný proces S je opísaný operátorom F S:

(1)

Výstupná trajektória F S - zákon fungovania S.F S môže byť funkcia, funkcionál, logické podmienky, algoritmus, tabuľka alebo slovný popis pravidiel.

Algoritmus fungovania A S - metóda na získanie výstupných charakteristík zohľadňujúca vstupné vplyvy Je zrejmé, že rovnaký FS môže byť implementovaný rôznymi spôsobmi, t.j. pomocou mnohých rôznych AS.

Vzťah (1) je matematický popis správania sa objektu S modelovanie v čase t, t.j. odráža to dynamické vlastnosti... (1) je dynamický model systému S. Pre statické podmienky MM existujú zobrazenia X, V, H do Y, t.j. (2)

Vzťahy (1), (2) je možné špecifikovať pomocou vzorcov, tabuliek atď.

Vzťahy možno v niektorých prípadoch získať aj prostredníctvom vlastností systému v konkrétnych časových bodoch, nazývaných stavy.

Stavy systému S sú charakterizované vektormi:

a , kde momentálne t l  (t 0, T)

v momente t ll  (t 0, T) atď. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) sú súradnice bodu v k-rozmernom fázovom priestore. Každá realizácia procesu bude zodpovedať určitej fázovej trajektórii.

Množina všetkých možných hodnôt stavov () sa nazýva stavový priestor objektu modelovania Z a z k Z.

Stav systému S v časovom intervale t 0 , kde vstup, vnútorné parametre a vplyvy vonkajšieho prostredia, ktoré prebehli v časovom intervale t * - t 0 pomocou 2 vektorových rovníc:

; (3)

inak: . (5)

Čas v mod. S možno uvažovať na simulačnom intervale (t 0, T) spojitý aj diskrétny, t.j. kvantované na segmente dĺžky t.

Pod MM objektu teda rozumieme konečnú množinu premenných () spolu s matematickými súvislosťami medzi nimi a charakteristikami.

Modelovanie sa nazýva deterministické, ak operátory F, Ф sú deterministické, t.j. pre konkrétny vstup je výstup deterministický. Deterministické modelovanie je špeciálny prípad stochastického modelovania. V praxi je pri modelovaní objektov v oblasti systémovej analýzy v primárnych fázach výskumu racionálnejšie použiť štandardné matematické schémy: dif. rovnice, konečné a pravdepodobnostné automaty, QS a pod.

Nie posadnutý. taký stupeň všeobecnosti ako modely (3), (4), typické matematické schémy majú výhodu jednoduchosti a prehľadnosti, avšak s výrazným zúžením rozsahu použitia.

Ako deterministický modely, kedy sa pri štúdiu neberie do úvahy náhodná skutočnosť, na reprezentáciu systémov pracujúcich v spojitom čase sa používajú diferenciálne, integrálne a iné rovnice a na reprezentáciu systémov pracujúcich v diskrétnom čase sa používajú konečné automaty a schémy konečných rozdielov.

Na začiatku stochastických modelov (berúc do úvahy náhodný faktor) sa na reprezentáciu systémov s diskrétnym časom používajú pravdepodobnostné automaty a na reprezentáciu systémov so spojitým časom sa používajú systémy radenia (QS). Takzvaný agregát modelov.

Agregátne modely (systémy) umožňujú popísať široké spektrum výskumných objektov s odrazom systémového charakteru týchto objektov. Práve súhrnným popisom sa komplexný objekt rozdelí na konečný počet častí (subsystémov), pričom sa zachovávajú súvislosti, zabezpečujú interakciu častí.

16 Matematické schémy pre modelovanie systémov.

Hlavné prístupy ku konštrukcii matematických modelov systému. Kontinuálne deterministické modely. Diskrétne deterministické modely. Diskrétne stochastické modely. Spojité stochastické modely. Sieťové modely. Kombinované modely.

Hlavné prístupy ku konštrukcii matematických modelov systému.

Východiskovou informáciou pri konštrukcii matematických modelov procesov fungovania systémov sú údaje o účele a prevádzkových podmienkach skúmaného (navrhovaného) systému. S.

Matematické schémy

Reálne procesy sú zobrazené vo forme konkrétnych diagramov. Mat. schémy - prechod od zmysluplného popisu k formálnemu popisu systému s prihliadnutím na vplyv prostredia.

Formálny objektový model

Model objektu simulácie,

t.j. systémy S, môže byť reprezentovaný ako súbor veličín,

popisujúci proces fungovania reálneho systému a generovanie

vo všeobecnosti tieto podskupiny:

Agregátne vstupné akcie na systém

Xi, ex, (e-postava patrí)i=1; nx

Agregátne vplyvy prostredia

vl eVl = 1, nv

Agregátne interné (vlastné) parametre systémov

hkeHk = 1, nh

Agregátne výstupné charakteristiky systémov

yJeYj = 1, ny

Môžete rozlišovať medzi spravovanými a nespravovanými premennými.

Pri modelovaní systémov vstupné vplyvy, vplyvy prostredia a vnútorné parametre obsahujú deterministické aj stochastické zložky.

vstupné vplyvy, vplyvy prostredia E a vnútorné parametre systému sú nezávislých (exogénnych) premenných.

Proces prevádzky systému S včas popísané operátorom Fs, ktorý vo všeobecnom prípade transformuje exogénne premenné na endogénne v súlade so vzťahmi vo forme:

r(t) = Fs (X, v, h, t) - všetky s vektori.

Zákon fungovania systému Fs môže byť špecifikovaný vo forme funkcie, funkcionálu, logických podmienok, v algoritmickej a tabuľkovej forme alebo vo forme verbálneho korešpondenčného pravidla.

Koncept funkčného algoritmu As - metóda na získanie výstupných charakteristík zohľadňujúca vstupné akcie, vplyvy vonkajšieho prostredia a vnútorné parametre systému.

Predstavené sú aj stavy systému - vlastnosti systému v konkrétnych časových bodoch.

Súhrn všetkých možných hodnôt stavov tvorí stavový priestor objektu.

Reťazec rovníc objektu „vstup – stavy – výstup“ vám teda umožňuje určiť vlastnosti systému:

Teda pod matematický model objektu(reálny systém) rozumej konečnej podmnožine premenných (x (t), v (t), h(t)) spolu s matematickými vzťahmi medzi nimi a charakteristikami y (t).

Typické schémy

V počiatočných fázach štúdie sa používajú štandardné schémy. : diferenciálne rovnice, konečné a pravdepodobnostné automaty, systémy radenia, Petriho siete atď.

Diferenciálne, integrálne, integro-diferenciálne a iné rovnice sa používajú na reprezentáciu systémov pracujúcich v spojitom čase ako deterministické modely, keď sa pri štúdiu neberú do úvahy náhodné faktory a na reprezentáciu systémov fungujúcich v diskrétny čas....

Pravdepodobnostné automaty sa používajú ako stochastické modely (berúc do úvahy náhodné faktory) na reprezentáciu systémov s diskrétnym časom a systémy radenia sa používajú na reprezentáciu systémov so spojitým časom atď.

Pri konštrukcii matematických modelov procesov fungovania systémov teda možno rozlíšiť tieto hlavné prístupy: spojito-deterministické (napríklad diferenciálne rovnice); diskrétne deterministické (konečné automaty); diskrétne stochastické (pravdepodobnostné automaty); kontinuálne-stochastické (systémy radenia); zovšeobecnené, alebo univerzálne (agregované systémy).

Kontinuálne deterministické modely

Uvažujme o črtách kontinuálne deterministického prístupu na príklade s použitím Mat. modelov diferenciálne rovnice.

Diferenciálne rovnice sú také rovnice, v ktorých funkcie jednej premennej alebo viacerých premenných nie sú známe a rovnica zahŕňa nielen ich funkcie, ale aj ich deriváty rôznych rádov.

Ak sú neznáme funkciami niekoľkých premenných, potom sa rovnice nazývajú - parciálne diferenciálne rovnice. Ak neznáme funkcie jednej nezávislej premennej, tak obyčajné diferenciálne rovnice.

Všeobecný matematický vzťah pre deterministické systémy:

Diskrétne deterministické modely.

DDM sú predmetom kontroly teória automatov (TA)... TA je sekcia teoretickej kybernetiky, ktorá študuje zariadenia, ktoré spracúvajú diskrétne informácie a menia svoje vnútorné stavy iba v prijateľných časoch.

Štátny stroj sa nazýva automat, v ktorom množina vnútorných stavov a vstupných signálov (a následne množina výstupných signálov) sú konečné množiny.

Konečný automat má veľa vnútorných stavov a vstupných signálov, ktoré sú konečnými množinami. Stroj dané F-schémou: F = ,

kde z, x, y sú konečné množiny vstupných a výstupných signálov (abeceda) a konečná množina vnútorných stavov (abeceda). z0ÎZ - počiatočný stav; j (z, x) - prechodová funkcia; y (z, x) - výstupná funkcia.

Automat pracuje v diskrétnom čase automatu, ktorého momenty sú cykly, to znamená, že vedľa seba sú rovnaké časové intervaly, z ktorých každý zodpovedá konštantným hodnotám vstupného, ​​výstupného signálu a vnútorného stavu. Abstraktný automat má jeden vstupný a jeden výstupný kanál.

Pre definovanie F - automatu je potrebné popísať všetky prvky množiny F = , teda vstupné, interné a výstupné abecedy, ako aj prechodové a výstupné funkcie. Na nastavenie práce F - automatov sa najčastejšie používajú tabuľkové, grafické a maticové metódy.

V tabuľkovom spôsobe nastavenia sa používajú prechodové a výstupné tabuľky, ktorých riadky zodpovedajú vstupným signálom automatu a stĺpce - jeho stavom.

Popis práce F- Samopal Miles tabuľky prechodov j a výstupov y znázorňuje tabuľka (1) a popis F - Mooreovho automatu - tabuľka prechodov (2).

stôl 1

Prechody
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tabuľka 2

…………………………………………………………

Príklady tabuľkového spôsobu špecifikácie F - Mealyho automat F1 s tromi stavmi, dvoma vstupnými a dvoma výstupnými signálmi sú uvedené v tabuľke 3 a pre F - Mooreov automat F2 - v tabuľke 4.

Tabuľka 3

Prechody

Tabuľka 4

Ďalší spôsob, ako definovať konečný automat, používa koncept orientovaného grafu. Graf automatu je množina vrcholov zodpovedajúcich rôznym stavom automatu a spájajúcich vrcholy oblúkov grafu zodpovedajúcich určitým prechodom automatu. Ak vstupný signál xk spôsobí prechod zo stavu zi do stavu zj, potom na grafe automatu oblúk spájajúci vrchol zi s vrcholom zj označíme xk. Na nastavenie funkcie prechodu musia byť oblúky grafu označené príslušnými výstupnými signálmi.

Ryža. 1. Grafy automatov Mealyho (a) a Moorea (b).

Pri riešení úloh modelovania je často vhodnejšou formou maticová definícia konečného automatu. V tomto prípade je maticou spojení automatu štvorcová matica C = || cij ||, ktorého riadky zodpovedajú počiatočným stavom a stĺpce prechodovým stavom.

Príklad. Pre predtým uvažovaný Mooreov automat F2 napíšeme stavovú maticu a výstupný vektor:

;

Diskrétne stochastické modely

Nech Ф je množina všetkých možných dvojíc tvaru (zk, yi), kde уi je prvok výstupu

podmnožina Y. Požadujeme, aby ktorýkoľvek prvok množiny G indukoval

na množine Ф nejaký distribučný zákon tohto tvaru:

Prvky z Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Informačné siete "href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" záložka "> spracovanie počítačových informácií zo vzdialených terminálov atď.

Zároveň typické pre

prevádzka takýchto objektov je náhodný výskyt aplikácií (požiadaviek) pre

služba a ukončenie služby v náhodných časoch,

teda stochastický charakter procesu ich fungovania.

QS sa chápe ako dynamický systém navrhnutý tak, aby efektívne obsluhoval náhodný tok aplikácií s obmedzenými systémovými zdrojmi. Zovšeobecnená štruktúra QS je znázornená na obrázku 3.1.

Ryža. 3.1. Schéma SMO.

Homogénne pohľadávky prichádzajúce na vstup QS sú rozdelené do typov, v závislosti od vyvolávajúcej príčiny, intenzita toku pohľadávok typu i (i = 1 ... M) je označená li. Súhrn aplikácií všetkých typov je vstupným tokom QS.

Vykonáva sa servis aplikácií m kanály.

Rozlišujte medzi univerzálnymi a špecializovanými kanálmi služieb. Pre univerzálny kanál typu j sa distribučné funkcie Fji (t) dĺžky trvania vybavovania pohľadávok ľubovoľného typu považujú za známe. Pre špecializované kanály nie sú definované distribučné funkcie pre trvanie služby kanálov určitých typov nárokov, priradenie týchto nárokov tomuto kanálu.

Q - obvody je možné skúmať analyticky a pomocou simulačných modelov. Ten druhý poskytuje veľkú všestrannosť.

Uvažujme o koncepte radenia.

V každom elementárnom servisnom úkone možno rozlíšiť dve hlavné zložky: očakávanie služby reklamáciou a skutočné vybavenie reklamácie. To sa dá zobraziť vo forme nejakého i-teho servisného zariadenia Pi, pozostávajúceho z reklamačného akumulátora, v ktorom môžu byť súčasne li = 0 ... LiH reklamácie, kde LiH je kapacita i-teho akumulátora, a reklamačný servisný kanál, ki.

Ryža. 3.2. Schematický diagram zariadenia CMO

Každý prvok servisného zariadenia Pi prijíma toky udalostí: tok žiadostí wi do akumulátora Hi a tok servisného ui do kanála ki.

Tokom udalostí(PS) je sled udalostí, ktoré sa vyskytujú jedna po druhej v určitých náhodných časových okamihoch. Rozlišujte prúdy homogénnych a heterogénnych udalostí. Homogénne PS je charakterizovaná iba momentmi príchodu týchto udalostí (spôsobujúcich momentov) a je daná postupnosťou (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), kde tn je okamih príchodu n-tého. udalosť - nezáporné reálne číslo. TSA môže byť špecifikovaný aj ako postupnosť časových intervalov medzi n-tou a n-1-tou udalosťou (tn).

Heterogénne PS sa nazýva postupnosť (tn, fn), kde tn - spôsobujúce momenty; fn - súbor atribútov udalosti. Napríklad môže byť priradený k jednému alebo druhému zdroju nárokov, prítomnosti priority, schopnosti obsluhovať jeden alebo iný typ kanála atď.

Nároky obsluhované kanálom ki a nároky, ktoré opustili server Pi z rôznych dôvodov, nie sú obsluhované, tvoria výstupný tok yiÎY.

Proces fungovania obslužného zariadenia Pi možno znázorniť ako proces zmeny stavov jeho prvkov v čase Zi (t). Prechod do nového stavu pre Pi znamená zmenu v počte požiadaviek, ktoré sa v ňom nachádzajú (v kanáli ki a akumulátore Hi). To. vektor stavov pre Pi má tvar:, kde sú stavy pohonu, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height =" 28 " > = 1 - v úložisku je jedna požiadavka ..., = - úložisko je plne obsadené, - stav kanála ki (= 0 - kanál je voľný, = 1 kanál je obsadený).

Q-diagramy reálnych objektov sú tvorené zložením mnohých elementárnych obslužných zariadení Pi. Ak sú ki rôznych servisných zariadení zapojené paralelne, potom existuje viackanálová služba (multikanálový Q-obvod) a ak sú zariadenia Pi a ich paralelné zostavy zapojené do série, potom existuje viacfázová služba (viacfázový Q-obvod).

Pre definovanie Q-schémy je potrebné popísať aj algoritmy jej fungovania, ktoré určujú pravidlá správania sa reklamácií v rôznych nejednoznačných situáciách.

V závislosti od miesta výskytu takýchto situácií existujú algoritmy (disciplíny) na čakanie na reklamácie v akumulátore Нi a na vybavovanie reklamácií na kanáli ki. Heterogenita toku žiadostí sa zohľadňuje zavedením triedy priority - relatívnej a absolútnej priority.

To. Q-schéma popisujúca proces fungovania QS akejkoľvek zložitosti je jednoznačne definovaná ako množina množín: Q = .

Sieťové modely.

Na formálny popis štruktúry a interakcie paralelných systémov a procesov, ako aj na analýzu vzťahov príčin a následkov v zložitých systémoch sa používajú Petriho siete, nazývané N-schémy.

Formálne je N-schéma daná štvornásobkom tvaru

N = ,

kde B je konečná množina symbolov nazývaných pozície, B ≠ O;

D je konečná množina symbolov nazývaných prechody D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - vstupná funkcia (funkcia priameho dopadu)

I: B x D -> (0, 1); О - výstupná funkcia (funkcia inverzného dopadu),

О: B × D → (0, 1). Vstupná funkcia I teda mapuje prechod dj do

množina vstupných pozícií bj I (dj) a výstupná funkcia O mapy

prechod dj do množiny výstupných polôh bj О (dj). Pre každý prechod

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Podobne sú pre každú pozíciu bi B zavedené definície

množina vstupných prechodov polohy I (bi) a výstupných prechodov

poloha O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Petriho sieť je bipartitný orientovaný graf pozostávajúci z dvoch typov vrcholov - pozícií a prechodov, spojených oblúkmi, vrcholy rovnakého typu nemožno spájať priamo.

Príklad Petriho siete. Biele kruhy označujú polohy, pruhy - prechody, čierne kruhy - štítky.

Orientačné oblúky spájajú pozície a prechody, pričom každý oblúk smeruje z prvku jednej množiny (pozícia alebo prechod) k prvku inej množiny

(prechod alebo poloha). Graf N-design je multigraf, pretože to

pripúšťa existenciu viacerých oblúkov z jedného vrcholu do druhého.

Dekompozícia "href =" / text / category / dekompozitciya / "rel =" záložka "> dekompozícia komplexného systému je reprezentovaná ako viacúrovňová štruktúra vzájomne prepojených prvkov spojených do podsystémov rôznych úrovní.

Agregát pôsobí ako prvok A-diagramu a spojenie medzi agregátmi (vo vnútri systému S a s vonkajším prostredím E) sa uskutočňuje pomocou konjugačného operátora R.

Každá jednotka je charakterizovaná nasledujúcimi množinami: časy T, vstupné signály X a výstupy Y, stavy Z v každom časovom okamihu t. Stav jednotky v čase tT sa označuje ako z (t) Z,

a vstupné a výstupné signály ako x (t) X a y (t) Y, v tomto poradí.

Budeme predpokladať, že prechod agregátu zo stavu z (t1) do stavu z (t2) ≠ z (t1) nastane v krátkom časovom intervale, t.j. dôjde k skoku δz.

Prechody jednotky zo stavu z (t1) do z (t2) sú určené vnútornými (vnútornými) parametrami samotnej jednotky h (t) H a vstupnými signálmi x (t) X.

V počiatočnom časovom okamihu t0 majú stavy z hodnoty rovné z0, teda z0 = z (t0), dané distribučným zákonom procesu z (t) v čase t0, konkrétne J. Predpokladajme, že proces fungovanie jednotky v prípade akčného vstupného signálu xn je popísané náhodným operátorom V. Potom v momente, keď vstupný signál dorazí na jednotku tnT

xn môžete určiť stav

z (tn + 0) = V.

Polčasový interval označujeme t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Kolekcia náhodných operátorov V a U sa považuje za operátor prechodov agregátu do nových stavov. V tomto prípade proces fungovania jednotky pozostáva zo skokov stavov δz v momentoch príchodu vstupných signálov x (operátor V) a zmien stavov medzi týmito momentmi tn a tn + 1 (operátor U). Na operátor U nie sú kladené žiadne obmedzenia, preto sú prípustné skoky stavov δz v časoch, ktoré nie sú časmi príchodu vstupných signálov x. Ďalej sa budú momenty skokov δz nazývať špeciálne časové momenty tδ a stavy z (tδ) - špeciálne stavy A-schémy. Na opis skokov stavov δz v špeciálnych časoch tδ použijeme náhodný operátor W, čo je špeciálny prípad operátora U, t.j.

z (t5 + 0) = W.

V množine stavov Z sa rozlišuje podmnožina Z (Y) tak, že ak z (tδ) dosiahne Z (Y), potom tento stav je okamihom vydania výstupného signálu určeného výstupným operátorom.

y = G.

Agregátom teda rozumieme akýkoľvek objekt definovaný usporiadaným súborom uvažovaných množín T, X, Y, Z, Z (Y), H a náhodných operátorov V, U, W, G.

Postupnosť vstupných signálov usporiadaná v poradí ich príchodu do A-schémy sa bude nazývať vstupná správa alebo x-správa. Sekvencia výstupných signálov zoradených podľa času vydania sa bude nazývať výstupná správa alebo správa y.

AK STRUČNE

Kontinuálne deterministické modely (D-schémy)

Používajú sa na štúdium systémov pracujúcich v nepretržitom čase. Na opis takýchto systémov sa používajú hlavne diferenciálne, integrálne, integro-diferenciálne rovnice. V obyčajných diferenciálnych rovniciach sa uvažuje funkcia len jednej nezávislej premennej a v parciálnych diferenciálnych rovniciach funkcie viacerých premenných.

Ako príklad aplikácie D-modelov možno uviesť štúdium činnosti mechanického kyvadla alebo elektrického oscilačného obvodu. Technický základ D-modelov tvoria analógové počítače (AVM) alebo v súčasnosti rýchlo sa rozvíjajúce hybridné počítače (GVM). Ako viete, základným princípom výskumu na počítači je, že podľa daných rovníc výskumník (používateľ AVM) zostaví obvod zo samostatných typických uzlov - operačných zosilňovačov so zahrnutím obvodov na škálovanie, tlmenie, aproximáciu, atď.

Štruktúra ABM sa mení v súlade s tvarom reprodukovateľných rovníc.

V digitálnom počítači zostáva štruktúra nezmenená, ale postupnosť činnosti jej uzlov sa mení v súlade s programom, ktorý je v nej stanovený. Porovnanie AVM a digitálneho počítača jasne ukazuje rozdiel medzi simuláciou a štatistickým modelovaním.

ABM implementuje simulačný model, ale spravidla nevyužíva princípy štatistického modelovania. V digitálnych počítačoch je väčšina simulačných modelov založená na štúdiu náhodných čísel, procesov, t.j. na štatistickom modelovaní. Spojito-deterministické modely sú široko používané v strojárstve pri štúdiu automatických riadiacich systémov, voľbe tlmiacich systémov, identifikácii rezonančných javov a oscilácií v technike.
atď.

Diskrétne deterministické modely (F-obvody)

Pracujte s diskrétnym časom. Tieto modely sú základom pre štúdium fungovania dnes mimoriadne dôležitej a rozšírenej triedy diskrétnych automatických systémov. Za účelom ich výskumu bol vyvinutý samostatný matematický aparát teórie automatov. Na základe tejto teórie je systém považovaný za automat, ktorý spracováva diskrétne informácie a mení v závislosti od výsledkov ich spracovania svoje vnútorné stavy.

Tento model je založený na princípoch minimalizácie počtu prvkov a uzlov v obvode, zariadení, optimalizácii zariadenia ako celku a postupnosti činnosti jeho uzlov. Popri elektronických obvodoch je výrazným predstaviteľom strojov popísaných týmto modelom robot, ktorý riadi (podľa daného programu) technologické procesy v danej deterministickej postupnosti.

Tento model popisuje aj stroj s číslicovým riadením. Voľba postupnosti spracovania dielov na tomto stroji sa vykonáva nastavením riadiacej jednotky (ovládača), ktorá v určitých časových okamihoch generuje riadiace signály /4/.

Teória automatov využíva matematický aparát booleovských funkcií, ktoré fungujú na dvoch možných hodnotách signálov, 0 a 1.

Automaty sa delia na automaty bez pamäte, automaty s pamäťou. Opis ich práce sa vykonáva pomocou tabuliek, matíc, grafov, ktoré zobrazujú prechody stroja z jedného stavu do druhého. Analytické hodnotenia pre akýkoľvek druh opisu činnosti stroja sú veľmi ťažkopádne a dokonca aj s relatívne malým počtom prvkov, uzlov, ktoré tvoria zariadenie, sú prakticky neuskutočniteľné. Preto sa štúdium zložitých obvodov automatov, medzi ktoré nepochybne patria aj robotické zariadenia, uskutočňuje pomocou simulácie.

Diskrétne stochastické modely (P-schémy)

Používajú sa na štúdium práce pravdepodobnostných automatov. V automatoch tohto typu sa prechody z jedného stavu do druhého vykonávajú pod vplyvom vonkajších signálov a berúc do úvahy vnútorný stav automatu. Na rozdiel od T-automatov však tieto prechody nie sú striktne deterministické, ale môžu sa vyskytnúť s určitou pravdepodobnosťou.

Príkladom takéhoto modelu je diskrétny Markovov reťazec s konečnou množinou stavov. Analýza F-schém je založená na spracovaní a transformácii matíc pravdepodobnosti prechodu a analýze pravdepodobnostných grafov. Už pri analýze relatívne jednoduchých zariadení, ktorých správanie je opísané F-obvodmi, je vhodné použiť simuláciu. Príklad takejto simulácie je uvedený v článku 2.4.

Spojité stochastické modely (schémy Q)

Používajú sa pri analýze širokej triedy systémov považovaných za systémy radenia. Ako servisný proces možno reprezentovať procesy, ktoré sa líšia svojou fyzikálnou povahou: toky dodávok produktov do podniku, toky komponentov a produktov na mieru, toky dielov na montážnej linke, toky kontrolných akcií z riadiaceho centra ACS na pracoviská a vracať žiadosti o spracovanie informácií v počítači atď.

Typicky tieto toky závisia od mnohých faktorov a špecifických situácií. Preto sú tieto toky vo väčšine prípadov náhodné v čase s možnosťou zmeny kedykoľvek. Analýza takýchto schém sa vykonáva na základe matematického aparátu teórie radenia. Medzi ne patrí súvislý Markov reťazec. Napriek významnému pokroku dosiahnutému vo vývoji analytických metód, teórie radenia, analýzy Q-schém analytickými metódami je možné vykonávať len s významnými zjednodušujúcimi predpokladmi a predpokladmi. Podrobnú štúdiu väčšiny týchto schém, najmä takých zložitých, ako sú systémy riadenia procesov, robotické systémy, je možné vykonať iba pomocou simulácie.

Zovšeobecnené modely (A-diagramy)

Na základe opisu procesov fungovania ľubovoľných systémov založených na agregovanej metóde. Pri súhrnnom popise je systém rozdelený na samostatné podsystémy, ktoré možno považovať za vhodné pre matematický popis. Výsledkom takéhoto delenia (dekompozície) je komplexný systém prezentovaný vo forme viacúrovňového systému, ktorého jednotlivé úrovne (agregáty) sú analyzovateľné. Na základe analýzy jednotlivých agregátov a s prihliadnutím na zákonitosti prepojenia týchto agregátov je možné vykonať komplexnú štúdiu celého systému.

, Yakovlev Systems. 4. vyd. - M .: Vyššia škola, 2005 .-- S. 45-82.

Matematické schémy pre modelovanie systémov

Výhody a nevýhody simulácie

Hlavný dôstojnosť simulácia pri štúdiu komplexných systémov:

· Schopnosť skúmať vlastnosti procesu fungovania systému S v akýchkoľvek podmienkach;

· Vďaka použitiu počítača je trvanie testov výrazne skrátené v porovnaní s experimentom v plnom rozsahu;

· Výsledky testov v plnom rozsahu reálneho systému alebo jeho častí možno použiť na simuláciu;

· Flexibilita variovania štruktúry, algoritmov a parametrov modelovaného systému pri hľadaní optimálnej verzie systému;

· Pre komplexné systémy - toto je jediná prakticky realizovateľná metóda na štúdium procesu fungovania systémov.

Hlavný obmedzenia simulačné modelovanie:

· Pre úplnú analýzu charakteristík procesu fungovania systémov a hľadanie optimálnej možnosti je potrebné simulačný experiment mnohokrát reprodukovať, pričom sa počiatočné údaje problému menia;

· Veľké výdavky na počítačový čas.

Efektívnosť strojového modelovania. Pri simulácii je potrebné zabezpečiť maximálnu efektivitu modelu systému. Efektívnosť zvyčajne definovaný ako nejaký rozdiel medzi nejakou mierou hodnoty výsledkov získaných počas prevádzky modelu a nákladmi, ktoré boli investované do jeho vývoja a tvorby.

Efektívnosť simulačného modelovania možno hodnotiť podľa viacerých kritérií:

presnosť a spoľahlivosť výsledkov simulácie,

Čas stavby a práce s modelom M,

Náklady na strojové zdroje (čas a pamäť),

· Náklady na vývoj a prevádzku modelu.

Najlepším meradlom účinnosti je porovnanie získaných výsledkov so skutočnými štúdiami. Pomocou štatistického prístupu sa s určitou mierou presnosti (v závislosti od počtu realizácií strojového experimentu) získajú spriemerované charakteristiky správania systému.

Celkové náklady na počítačový čas sa skladajú z času na vstup a výstup pre každý simulačný algoritmus, času na vykonávanie výpočtových operácií, berúc do úvahy prístup k RAM a externým zariadeniam, ako aj zložitosť každého simulačného algoritmu a plánovanie experimentov.

Matematické schémy.Matematický model Je súborom matematických objektov (čísel, premenných, množín, vektorov, matíc a pod.) a vzťahov medzi nimi, ktorý primerane odráža fyzikálne vlastnosti vytvoreného technického objektu. Proces vytvárania matematického modelu a jeho použitia na analýzu a syntézu sa nazýva matematického modelovania.

Pri konštrukcii matematického modelu systému je potrebné vyriešiť otázku jeho úplnosti. Úplnosť modelu je regulovaná najmä voľbou hraničného „systému S- streda E". Tiež by sa mal vyriešiť problém zjednodušenia modelu, čo pomáha zvýrazniť, v závislosti od účelu modelovania, hlavné vlastnosti systému a vyradiť sekundárne.

Pri prechode od zmysluplného k formálnemu popisu procesu fungovania systému s prihliadnutím na vplyv vonkajšieho prostredia aplikujte matematická schéma ako článok v reťazci „opisný model – matematická schéma – matematický (analytický a/alebo simulačný) model“.

Formálny model objektu. Objektový model (systémy S) možno reprezentovať ako množinu veličín, ktoré popisujú proces fungovania reálneho systému:

Súbor vstupných vplyvov na systém

x i = X,i =;

Súbor environmentálnych vplyvov

v j = V, j= ;

Súbor vnútorných (vlastných) parametrov systémov

h k = H, k =;

Sada výstupných charakteristík systému

yj = Y, j =.

Všeobecne x i, v j, h k, y j sú prvkami disjunktných podmnožín a obsahujú deterministické aj stochastické zložky.

Vstupné vplyvy, vplyvy prostredia E a vnútorné parametre systému sú nezávislý (exogénne) premenné, ktoré vo vektorovej forme majú, resp. t) = (X 1 (t), X 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)) a výstupné charakteristiky sú závislý (endogénne) premenné a vo vektorovej forme majú tvar: ( t) = (pri 1 (t), pri 2 (t), …, v nY(t)). Môžete rozlišovať medzi spravovanými a nespravovanými premennými.

Proces prevádzky systému S včas popísané operátorom F S, ktorý premieňa exogénne premenné na endogénne v súlade so vzťahmi formy

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Množina závislostí výstupných charakteristík systému od času y j(t) pre všetky typy j = volal výstupná trajektória (t). Závislosť (2.1) sa nazýva zákon o fungovaní systému F S, ktorý je špecifikovaný vo forme funkcie, funkcionálnych, logických podmienok, v algoritmickej, tabuľkovej forme alebo vo forme slovného párovacieho pravidla. Algoritmus fungovania A S sa nazýva metóda získavania výstupných charakteristík s prihliadnutím na vstupné vplyvy ( t), vplyvy prostredia ( t) a vlastné parametre systému ( t). Rovnaký zákon fungovania F S systémov S možno realizovať rôznymi spôsobmi, t.j. pomocou mnohých rôznych algoritmov fungovania A S.

Matematické modely sú tzv dynamický(2.1) ak matematické vzťahy popisujú správanie sa objektu (systému) modelovania v čase t, t.j. odráža dynamické vlastnosti.

Pre statické modely, matematický model je mapovanie medzi dvoma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y a ( X, V, H) v určitom okamihu, ktorý vo vektorovej forme možno zapísať ako

= f(, , ). (2.2)

Vzťahy (2.1) a (2.2) je možné špecifikovať rôznymi spôsobmi: analyticky (pomocou vzorcov), graficky, tabuľkovo atď. Tieto vzťahy možno získať prostredníctvom vlastností systému S v konkrétnych časových bodoch, nazývaných stavy. Stav systému S charakterizované vektormi

" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) a "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

kde z " 1 = z 1 (t"), z " 2 = z 2 (t"), …, z "k= z k(t") v momente t"Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") v momente t ""Î ( t 0 , T) atď. k =.

Ak vezmeme do úvahy proces fungovania systému S ako postupná zmena stavov z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), potom ich možno interpretovať ako súradnice bodu v k-rozmerný fázový priestor... Navyše, každá implementácia procesu bude zodpovedať určitej fázovej trajektórii. Volá sa množina všetkých možných hodnôt stavov (). stavový priestor objekt modelovania Z a
z kÎ Z.

Stavy systému S práve teraz t 0 < t * £ T sú úplne určené počiatočnými podmienkami 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [kde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], vstupné akcie ( t), interné parametre ( t) a vplyvmi vonkajšieho prostredia ( t), ktorý sa odohral v časovom intervale t * – t 0 pomocou dvoch vektorových rovníc

(t) = Ф (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

Prvá rovnica pre počiatočný stav 0 a exogénne premenné,, určuje vektorovú funkciu ( t), a druhý podľa získanej hodnoty stavov ( t) Sú endogénne premenné na výstupe systému ( t). Reťazec rovníc objektu „vstup – stavy – výstup“ teda umožňuje určiť charakteristiky systému

(t) = F [Ф (0,,,, t)]. (2.5)

Vo všeobecnosti čas v modeli systému S možno zvážiť na simulačnom intervale (0, T) spojité aj diskrétne, t.j. kvantované do segmentov dĺžky D tčasové jednotky zakaždým T = m D t, kde m = - počet intervalov odberu vzoriek.

Teda pod matematický model objekt (reálny systém) chápe konečnú podmnožinu premenných (( t), (t), (t)) spolu s matematickými súvislosťami medzi nimi a charakteristikami ( t).

Ak matematický popis modelovacieho objektu neobsahuje náhodné prvky alebo sa s nimi nepočíta, t.j. ak môžeme predpokladať, že v tomto prípade stochastické vplyvy vonkajšieho prostredia ( t) a stochastické interné parametre ( t) chýbajú, potom sa model nazýva deterministický v tom zmysle, že charakteristiky sú jednoznačne určené deterministickými vstupmi

(t) = f(, t). (2.6)

Je zrejmé, že deterministický model je špeciálnym prípadom stochastického modelu.

Typické matematické schémy. V praxi modelovania objektov v oblasti systémového inžinierstva a systémovej analýzy v počiatočných fázach systémového výskumu je racionálnejšie použiť typické matematické schémy: diferenciálne rovnice, konečné a pravdepodobnostné automaty, systémy radenia, Petriho siete, agregované systémy atď.

Typické matematické schémy majú výhodu v jednoduchosti a prehľadnosti. Diferenciálne, integrálne, integro-diferenciálne a iné rovnice sa používajú na reprezentáciu systémov pracujúcich v spojitom čase ako deterministické modely, keď sa pri štúdiu neberú do úvahy náhodné faktory a na reprezentáciu systémov fungujúcich v diskrétny čas. Pravdepodobnostné automaty sa používajú ako stochastické modely (berúc do úvahy náhodné faktory) na reprezentáciu systémov s diskrétnym časom a systémy radenia sa používajú na reprezentáciu systémov so spojitým časom. Petriho siete sa používajú na analýzu vzťahov príčin a následkov v zložitých systémoch, kde paralelne prebieha niekoľko procesov. Na opis správania spojitých a diskrétnych, deterministických a stochastických systémov (napríklad ASOIU) možno použiť zovšeobecnený (univerzálny) prístup založený na agregovanom systéme. V súhrnnom popise je komplexný objekt (systém) rozdelený na konečný počet častí (subsystémov), pričom sa zachovávajú súvislosti, ktoré zabezpečujú interakciu častí.

Pri konštrukcii matematických modelov procesov fungovania systémov teda možno rozlíšiť tieto hlavné prístupy: spojito-deterministické ( D-schéma); diskrétne deterministické ( F-schéma); diskrétne stochastické ( R-schéma); kontinuálne-stochastické ( Q-schéma); sieť ( N-schéma); zovšeobecnené alebo univerzálne ( a- schéma).

2.2. Kontinuálne deterministické modely ( D-schéma)

Základné vzťahy... Uvažujme o vlastnostiach spojito-deterministického prístupu na príklade použitia diferenciálnych rovníc ako matematických modelov. Diferenciálne rovnice sa nazývajú rovnice, v ktorých funkcie jednej alebo viacerých premenných nie sú známe a rovnica zahŕňa nielen funkcie, ale aj ich derivácie rôznych rádov. Ak neznáme funkcie viacerých premenných, potom sa nazývajú rovnice parciálne diferenciálne rovnice, v opačnom prípade sa pri uvažovaní funkcie jednej nezávislej premennej volajú rovnice obyčajné diferenciálne rovnice.

Všeobecný matematický vzťah pre deterministické systémy (2.6) bude

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

kde " = d/dt, = (r 1 , r 2 , …, y n) a = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-rozmerné vektory; (, t) Je vektorová funkcia, ktorá je definovaná na niektorých ( n+1) -rozmerný (, t) nastavený a je nepretržitý.

Matematické schémy tohto druhu sú tzv D-obvody(angl. dynamic), odrážajú dynamiku skúmaného systému a čas zvyčajne slúži ako nezávislá premenná, od ktorej závisia neznáme neznáme funkcie t.

V najjednoduchšom prípade má obyčajná diferenciálna rovnica tvar:

y"(t) = f(r, t). (2.8)

Zvážte najjednoduchší príklad formalizácie procesu fungovania dvoch základných obvodov rôznej povahy: mechanické S M (kývnutie kyvadla, obr. 2.1, a) a elektrické S K (oscilačný obvod, obr. 2.1, b).

Ryža. 2.1. Elementárne systémy

Proces malých kmitov kyvadla popisuje obyčajná diferenciálna rovnica

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

kde m M, l M je hmotnosť a dĺžka závesu kyvadla; g- gravitačné zrýchlenie; F(t) Je uhol vychýlenia kyvadla v časovom okamihu t.

Z tejto rovnice voľnej oscilácie kyvadla možno nájsť odhady záujmových charakteristík. Napríklad obdobie výkyvu kyvadla

T M = 2p.

Podobne procesy v elektrickom oscilačnom obvode popisuje obyčajná diferenciálna rovnica

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

kde L K, C K - indukčnosť a kapacita kondenzátora; q(t) Je nabitie kondenzátora v danom čase t.

Z tejto rovnice môžete získať rôzne odhady charakteristík procesu v oscilačnom obvode. Napríklad obdobie elektrických oscilácií

T M = 2p.

Je zrejmé, že zavádzanie notácie h 2 = m M l M2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), získame obyčajnú diferenciálnu rovnicu druhého rádu popisujúcu správanie tohto systému s uzavretou slučkou:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

kde h 0 , h 1 , h 2 - systémové parametre; z(t) Je aktuálny stav systému
čas t.

Správanie týchto dvoch objektov je teda možné skúmať na základe všeobecného matematického modelu (2.9). Okrem toho je potrebné poznamenať, že správanie kyvadla (systému S M) možno študovať pomocou elektrického oscilačného obvodu (systém S TO).

Ak skúmaný systém S(kyvadlo alebo obrys) interaguje s vonkajším prostredím E, potom sa zobrazí vstupná akcia X(t) (vonkajšia sila pre kyvadlo a zdroj energie pre obvod) a spojito-deterministický model takéhoto systému bude mať tvar:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = X(t). (2.10)

Z hľadiska všeobecného matematického modelu (pozri odsek 2.1) X(t) je vstupná (riadiaca) akcia a stav systému S v tomto prípade možno považovať za výstupnú charakteristiku, t.j. výstupná premenná sa zhoduje so stavom systému v danom čase r = z.

Možné aplikácie D-schéma... Na opis lineárnych riadiacich systémov, ako každý dynamický systém, majú nehomogénne diferenciálne rovnice konštantné koeficienty

kde,,…, - neznáma funkcia času a jej deriváty; a sú to známe funkcie.

Pomocou napríklad softvérového balíka VisSim určeného na simuláciu procesov v riadiacich systémoch, ktoré možno popísať diferenciálnymi rovnicami, simulujeme riešenie obyčajnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice

kde je nejaká požadovaná funkcia času na intervale s nulovými počiatočnými podmienkami, vezmeme h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Reprezentujúc danú rovnicu vzhľadom na najvyššiu z derivácií dostaneme rovnicu

ktoré je možné modelovať pomocou sady stavebných blokov balíka VisSim: aritmetické bloky - Gain (násobenie konštantou), Summing-Junction (sčítačka); integračné bloky - Integrátor (numerická integrácia), Transfer Function (stanovenie rovnice reprezentovanej ako prenosová funkcia); bloky pre nastavenie signálov - Const (konštantný), Step (funkcia jednotky vo forme "kroku"), Ramp (lineárne rastúci signál); bloky-prijímače signálov - Graf (zobrazenie v časovej oblasti signálov, ktoré analyzuje výskumník počas simulácie).

Na obr. 2.2 je uvedené grafické znázornenie tejto diferenciálnej rovnice. Vstup ľavého integrátora zodpovedá premennej, vstupu stredného integrátora - a vstupu integrátora úplne vpravo -. Výstup integrátora úplne vpravo zodpovedá premennej r.

Opísaný konkrétny prípad dynamických systémov D-schémy sú automatické riadiace systémy(SPG)a regulácia(SAR). Reálny objekt je prezentovaný vo forme dvoch systémov: riadiaceho a riadeného (riadiaci objekt). Štruktúra všeobecného viacrozmerného automatického riadiaceho systému je znázornená na obr. 2.3, kde je uvedené endogénne premenné: ( t) Je vektor vstupných (master) vplyvov; ( t) Je vektorom rušivých vplyvov; " (t) je vektor chybových signálov; "" (t) - vektor riadiacich akcií; exogénne premenné: ( t) Je stavový vektor systému S; (t) Je vektor výstupných premenných, zvyčajne ( t) = (t).

Ryža. 2.2. Grafické znázornenie rovnice

Riadiaci systém je súbor softvérových a hardvérových nástrojov, ktoré zabezpečujú dosiahnutie konkrétneho cieľa objektom riadenia. Ako presne objekt dosiahne daný cieľ, možno posúdiť (pre jednorozmerný systém) súradnicou stavu r(t). Rozdiel medzi daným r zadok ( t) a platné r(t) zákon zmeny regulovanej veličiny je chyba regulácie " (t) = r zadok ( t) – r(t). Ak predpísaný zákon zmeny regulovanej veličiny zodpovedá zákonu zmeny vstupnej (hlavnej) akcie, t.j. X(t) = r zadok ( t), potom " (t) = X(t) – r(t).

Systémy, ktoré riadia chyby " (t) = 0 sa vždy volajú ideálne... V praxi je implementácia ideálnych systémov nemožná. Úlohou automatického riadiaceho systému je meniť premennú r(t) podľa daného zákona s určitou presnosťou (s prijateľnou chybou). Parametre systému musia zabezpečiť požadovanú presnosť riadenia, ako aj stabilitu systému v prechodovom procese. Ak je systém stabilný, potom analyzujte správanie systému v čase, maximálnu odchýlku regulovanej veličiny r(t) v prechodnom procese, čas prechodného procesu atď. Poradie diferenciálnej rovnice a hodnota jej koeficientov sú úplne určené statickými a dynamickými parametrami systému.

Ryža. 2.3. Štruktúra automatického riadiaceho systému:

УC - riadiaci systém; OU - objekt kontroly

Takže pomocou D-schémy umožňuje formalizovať proces fungovania kontinuálne deterministických systémov S a vyhodnocovať ich hlavné charakteristiky pomocou analytického alebo simulačného prístupu implementovaného vo forme vhodného jazyka na modelovanie spojitých systémov alebo pomocou analógových a hybridných výpočtových prostriedkov.

2.3. Diskrétne deterministické modely ( F-schéma)

Základné vzťahy... Uvažujme o vlastnostiach diskrétno-deterministického prístupu na príklade použitia teórie automatov ako matematického aparátu. Systém je reprezentovaný vo forme automatu ako zariadenie so vstupnými a výstupnými signálmi, ktoré spracováva diskrétne informácie a mení svoje vnútorné stavy len v prijateľných časoch. Štátny stroj nazýva sa automat, v ktorom sú množiny vnútorných stavov, vstupných a výstupných signálov konečnými množinami.

Abstraktne konečné automaty možno znázorniť ako matematickú schému ( F-schéma), charakterizované šiestimi prvkami: konečnou množinou X vstupné signály (vstupná abeceda); konečná množina Y výstupné signály (výstupná abeceda); konečná množina Z vnútorné stavy (vnútorná abeceda alebo abeceda štátov); počiatočný stav z 0 , z 0 Î Z; prechodová funkcia j ( z, X); výstupná funkcia y ( z, X). Súprava automatického stroja F-schéma: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, pracuje v diskrétnom čase, ktorého momenty sú hodiny, z ktorých každá zodpovedá konštantným hodnotám vstupných a výstupných signálov a vnútorným stavom. Označujeme stav, ako aj vstupné a výstupné signály zodpovedajúce t-té hodiny o t= 0, 1, 2, ..., cez z(t), X(t), r(t). Navyše podľa stavu z(0) = z 0 a z(t)Î Z, X(t)Î X, r(t)Î Y.

Abstraktný automat má jeden vstupný a jeden výstupný kanál. V každom okamihu t= 0, 1, 2, ... diskrétny čas F- stroj je v určitom stave z(t) zo súpravy Z stavy automatu a v počiatočnom okamihu t= 0 je vždy v počiatočnom stave z(0) = z 0. V momente t byť schopný z(t), je automat schopný vnímať signál na vstupnom kanáli X(t)Î X a výstup signálu na výstupný kanál r(t) = y [ z(t),X(t)], prechádzajúci do stavu z ( t+1) = j [ z(t), X(t)], z(t)Î Z, r(t)Î Y... Abstraktný konečný automat implementuje určité mapovanie množiny slov vstupnej abecedy X na veľa víkendových slov
abeceda Y... Inými slovami, ak je vstup stavového automatu nastavený na počiatočný stav z 0, zadajte písmená vstupnej abecedy v určitom poradí X(0), X(1), X(2), ..., t.j. vstupné slovo, potom sa na výstupe stroja postupne objavia písmená výstupnej abecedy r(0), r(1), r(2),..., tvoriace výstupné slovo.

Práca štátneho automatu teda prebieha podľa nasledujúcej schémy: v každom t-té hodiny na vstup stroja v stave z(t), je daný nejaký signál X(t), na ktorý reaguje prechodom ( t+1) th hodín do nového stavu z(t+1) a dáva nejaký výstupný signál. Vyššie uvedené možno opísať nasledujúcimi rovnicami: pre F-automat prvého druhu, tiež tzv automatické míle,

z(t+1) = j [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

r(t) = y [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

pre F-automat druhého druhu

z(t+1) = j [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

r(t) = y [ z(t), X(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Automat druhého druhu, pre ktorý

r(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

tie. výstupná funkcia je nezávislá od vstupnej premennej X(t) sa nazýva Moorova útočná puška.

Teda rovnice (2.15) - (2.19), ktoré úplne definujú
F-automat sú špeciálnym prípadom rovníc (2.3) a (2.4), kedy
systém S- deterministický a na jeho jediný vstup prichádza diskrétny signál X.

Podľa počtu stavov sa rozlišujú konečné automaty s pamäťou a bez pamäte. Automaty s pamäťou majú viac ako jeden stav a automaty bez pamäte (kombinované alebo logické obvody) majú len jeden stav. V tomto prípade je podľa (2.16) činnosť kombinačného obvodu taká, že priraďuje každému vstupnému signálu X(t) určitý výstupný signál r(t), t.j. implementuje logickú funkciu formulára

r(t) = y [ X(t)], t= 0, 1, 2, … .

Táto funkcia sa nazýva booleovská abeceda X a Y ku ktorým patria hodnoty signálu X a r, pozostávajú z dvoch písmen.

Podľa povahy počítania diskrétneho času sa konečné automaty delia na synchrónne a asynchrónne. V synchrónnom F-automaty časy, v ktorých automat "číta" vstupné signály, sú určené povinnými synchronizačnými signálmi. Po ďalšom synchronizačnom signáli, berúc do úvahy „čítanie“ a v súlade s rovnicami (2.15) - (2.19), dôjde k prechodu do nového stavu a na výstupe sa vydá signál, po ktorom môže stroj vnímať ďalšiu hodnotu. vstupného signálu. Reakcia stroja na každú hodnotu vstupného signálu teda končí jedným cyklom, ktorého trvanie je určené intervalom medzi susednými synchronizačnými signálmi. Asynchrónne F- stroj číta vstupný signál nepretržite a teda reaguje na dostatočne dlhý vstupný signál konštantnej hodnoty X môže, ako vyplýva z (2.15) - (2.19), niekoľkokrát meniť stav, pričom dáva zodpovedajúci počet výstupných signálov, až kým neprejde do stabilného stavu, ktorý už nie je možné týmto vstupným signálom meniť.

Možné aplikácie F-schéma. Na nastavenie finále F-automat, je potrebné popísať všetky prvky súpravy F= <Z, X, Y, y, j, z 0>, t.j. vstupná, interná a výstupná abeceda, ako aj funkcie prechodov a výstupov a medzi množinou stavov je potrebné vyčleniť stav z 0, v ktorej je automat v stave t= 0. Existuje niekoľko spôsobov, ako nastaviť úlohu F-automaty, no najčastejšie sa používajú tabuľkové, grafické a maticové.

V tabuľkovej metóde sú nastavené tabuľky prechodov a výstupov, ktorých riadky zodpovedajú vstupným signálom automatu a stĺpce - jeho stavom. Prvý stĺpec vľavo zodpovedá počiatočnému stavu z 0. Na križovatke i riadok a k-tý stĺpec tabuľky prechodov, zodpovedajúca hodnota j ( z k, x i) funkcia prechodov a v tabuľke výstupov - zodpovedajúca hodnota y ( z k, x i) výstupné funkcie. Pre F- Mooreov automat obe tabuľky je možné kombinovať.

Popis práce F-automat Miles s tabuľkami prechodov j a výstupov y je znázornený v tabuľke. 2.1 a popis F-Moreov automat - podľa tabuľky prechodov (tabuľka 2.2).

Tabuľka 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Prechody
X 1	j ( z 0 , X 1)	j ( z 1 , X 1)	…	j ( z k,X 1)
X 2	j ( z 0 , X 2)	j ( z 1 , X 2)	…	j ( z k,X 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
Výstupy
X 1	y ( z 0 , X 1)	y ( z 1 , X 1)	…	y ( z k, X 1)
X 2	y ( z 0 , X 2)	y ( z 1 , X 2)	…	y ( z k, X 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

Tabuľka 2.2

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
X 1	j ( z 0 , X 1)	j ( z 1 , X 1)	…	j ( z k, X 1)
X 2	j ( z 0 , X 2)	j ( z 1 , X 2)	…	j ( z k, X 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Príklady tabuľkového spôsobu nastavenia F-automatické míle F 1 sú uvedené v tabuľke. 2.3 a pre F-moore stroj F 2 - v tabuľke. 2.4.

Tabuľka 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Prechody
X 1	z 2	z 0	z 0
X 2	z 0	z 2	z 1
Výstupy
X 1	r 1	r 1	r 2
X 2	r 1	r 2	r 1

Tabuľka 2.4

	Y
x i	r 1	r 1	r 3	r 2	r 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
X 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
X 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

V grafickom spôsobe definovania konečného automatu sa používa pojem orientovaný graf. Graf automatu je množina vrcholov zodpovedajúcich rôznym stavom automatu a spájajúcich vrcholy oblúkov grafu zodpovedajúcich určitým prechodom automatu. Ak je vstupný signál x k spôsobuje prechod od stavu z i v stave z j, potom na grafe automatu je oblúk spájajúci vrchol z i s vrcholom z j, označené x k... Aby bolo možné nastaviť funkciu výstupov, musia byť oblúky grafu označené príslušnými výstupnými signálmi. Pri strojoch Miles sa toto značenie vykonáva nasledovne: ak je vstupný signál x k pôsobí na štát z i, potom dostaneme oblúk vychádzajúci z z i a označené x k; tento oblúk je navyše označený výstupným signálom r= y ( z i, x k). Pre Mooreov automat je podobné označenie grafu nasledovné: ak je vstupný signál x k, pôsobiaci na určitý stav automatu, spôsobuje prechod do stavu z j, potom oblúk smeruje na z i a označené x k, dodatočne osláviť víkend
signál r= y ( z j, x k).

Na obr. 2.4. a, b uvedené vyššie v tabuľkách F-Míľové stroje F 1 a Moore F 2 resp.

Ryža. 2.4. Automatové grafy a - Miles a b - Moore

Pre maticové priradenie konečného automatu je matica spojení automatu štvorcová S=||s ij||, riadky zodpovedajú počiatočným stavom a stĺpce zodpovedajú prechodovým stavom. Element s ij = x k/y s stojaci na križovatke
i riadok a j-tý stĺpec, v prípade automatu Miles zodpovedá vstupnému signálu x k spôsobujúce prechod od štátu z i v stave z j a výstupný signál y s generované týmto prechodom. Pre stroj Miles F 1, uvažované vyššie, matrica zlúčenín má tvar:

X 2 /r 1 – X 1 /r 1

C 1 = X 1 /r 1 – X 2 /r 2 .

X 1 /r 2 X 2 /r 1 –

Ak prechod zo stavu z i v stave z j vzniká pôsobením niekoľkých signálov, prvku matice c ij je množina vstupno-výstupných párov pre tento prechod, spojených znamienkom disjunkcie.

Pre F-moore strojový prvok s ij sa rovná množine vstupných signálov pri prechode ( z i, z j) a výstup je opísaný vektorom výstupov

= y ( z k) ,

i-tá zložka ktorej je výstupný signál indikujúci stav z i.

Pre vyššie uvedené F-moore stroj F2 matica spojení a vektor výstupov majú tvar:

–X 1 –X 2 –pri 1

–X 2 – –X 1 pri 1

C 2 = –X 2 – –X 1 ; = y 3

X 2 –X 1 – –pri 2

X 2 –X 1 – –pri 3

Pre deterministické automaty je splnená podmienka jednoznačnosti prechodov: automat v určitom stave nemôže prejsť do viac ako jedného stavu pôsobením akéhokoľvek vstupného signálu. Aplikované na grafický spôsob nastavenia F-automat, to znamená, že v grafe automatu dve alebo viac hrán označených rovnakým vstupným signálom nemôže ísť von zo žiadneho vrcholu. A v matici spojení stroja Sžiadny vstupný signál sa nesmie na každom riadku vyskytovať viac ako raz.

Pre F- automatický stav z k volal udržateľný, ak pre akýkoľvek vstup x i ÎX pre ktoré j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. F-volá sa stroj asynchrónne, keby každý štát z k ÎZ stabilný.

Pojem v diskrétnom deterministickom prístupe k štúdiu vlastností objektov na modeloch je teda matematickou abstrakciou, vhodnou na opísanie širokej triedy procesov fungovania reálnych objektov v automatizovaných riadiacich systémoch. Cez F- automatu je možné opísať objekty, ktoré sa vyznačujú prítomnosťou diskrétnych stavov a diskrétnou povahou práce v čase - sú to prvky a uzly počítača, riadiace, regulačné a riadiace zariadenia, systémy času a priestoru. prechod v technológii výmeny informácií atď.

2.4. Diskrétne stochastické modely ( R-schéma)

Základné vzťahy... Uvažujme o vlastnostiach konštrukcie matematických schém s diskrétno-stochastickým prístupom na pravdepodobnostných (stochastických) automatoch. Všeobecne pravdepodobnostný automat
R-schémy(anglický probabijistický automat) možno definovať ako diskrétny riadkový prevodník informácií s pamäťou, ktorého fungovanie v každom cykle závisí len od stavu pamäte v ňom a možno ho štatisticky opísať.

Predstavme si matematický pojem R-automat, s použitím pojmov zavedených pre F- automat. Zvážte súpravu G, ktorého prvkami sú všetky možné dvojice ( x i, z s), kde x i a z s- prvky vstupnej podmnožiny X a podmnožiny stavov Z, resp. Ak existujú dve takéto funkcie j a y, používajú sa na vykonávanie mapovaní G®Z a G®Y, potom to hovoria F = X, Y, j, y> definuje automat deterministického typu.

Uvažujme o všeobecnejšej matematickej schéme. Nechaj
Ф - súbor všetkých možných párov formulára ( z k, y i), kde i- prvok výstupnej podmnožiny Y... Požadujeme, aby akýkoľvek prvok súpravy G indukovaný na množine Ф nejaký distribučný zákon nasledujúceho tvaru:

V čom b kj= 1, kde b kj- pravdepodobnosti prechodu automatu do stavu z k a vzhľad signálu na výstupe y j keby bol schopný z s a na jeho vstupe v tomto okamihu bol signál prijatý x i... Počet takýchto distribúcií prezentovaných vo forme tabuliek sa rovná počtu prvkov súboru G... Množinu týchto tabuliek označíme B. Potom štyri prvky P = nazývaný pravdepodobnostný automat
(R-automat).

Možné aplikácie P-schéma. Nechajte prvky sady G vyvolať niektoré distribučné zákony na podmnožiny Y a Z, ktorý môže byť zastúpený v tvare:

V čom z k = 1 a q j = 1, kde z k a q j - pravdepodobnosti prechodu
R-automat v stave z k a vzhľad výstupného signálu y k za predpokladu, že
R z s a jeho vstup prijal vstupný signál x i.

Ak pre každého k a j vzťah platí q j z k = b kj, potom taký
R-volá sa stroj Milesov pravdepodobnostný automat... Táto požiadavka znamená splnenie podmienky nezávislosti rozvodov pre nový štát R-automatické zariadenie a jeho výstupný signál.

Teraz definujte výstupný signál R- automat závisí len od stavu, v ktorom sa automat nachádza v danom cykle práce. Inými slovami, nech každý prvok výstupnej podmnožiny Y vyvoláva rozdelenie pravdepodobnosti výstupov, ktoré má nasledujúcu formu:

Tu s i = 1, kde s i- pravdepodobnosť výskytu výstupného signálu y i pri pri slová a to R- stroj bol v stave z k.

Ak pre každého k a i vzťah platí z k s i =b ki potom taký
R-volá sa stroj Moorov pravdepodobnostný automat. koncepcia
R-Miley a Mooreove automaty sú zavedené analogicky s deterministickým
F- automat. Konkrétny prípad R- automat definovaný ako P=X, Y, B> sú automaty, v ktorých je buď prechod do nového stavu alebo výstupný signál určený deterministicky. Ak je výstupný signál
R-automat je určený deterministicky, potom sa takýto automat tzv
Y-... podobne,
Z-deterministický pravdepodobnostný automat volal R- automat, v ktorom je voľba nového stavu deterministická.

Príklad 2.1. Nech je to dané Y-deterministický P-stroj

Na obr. 2.5 ukazuje graf orientovaného prechodu tohto automatu. Vrcholy grafu sú spojené so stavmi automatu a oblúky sú spojené s možnými prechodmi z jedného stavu do druhého. Oblúky majú váhy zodpovedajúce pravdepodobnostiam prechodu p ij a hodnoty výstupných signálov indukovaných týmito stavmi sú zapísané v blízkosti vrcholov grafu. Je potrebné odhadnúť celkovú konečnú pravdepodobnosť zotrvania tohto P-automat v štátoch z 2 a z 3 .

Ryža. 2.5. Graf pravdepodobnosti automatu

Pomocou analytického prístupu je možné zapísať známe vzťahy z teórie Markovových reťazcov a získať sústavu rovníc na určenie konečných pravdepodobností. V tomto prípade počiatočný stav z 0 možno ignorovať, pretože počiatočné rozdelenie neovplyvňuje hodnoty konečných pravdepodobností. Potom máme

kde s k- konečná pravdepodobnosť zotrvania R-Automatické zariadenie v stave z k.

Dostaneme sústavu rovníc

Do týchto rovníc pridáme podmienku normalizácie S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 1. Potom riešením sústavy rovníc dostaneme S 1 = 5/23, S 2 = 8/23, S 3 = 5/23,
S 4 = 5/23. Touto cestou, S 2 + S 3 = 13/23 = 0,5652. Inými slovami, s nekonečnou prácou uvedenou v tomto príklade Y-deterministický
R-automat na jeho výstupe sa vytvorí binárna postupnosť s pravdepodobnosťou výskytu jedna rovná 0,5652.

Podobný R-automaty je možné použiť ako generátory Markovových sekvencií, ktoré sú potrebné pri konštrukcii a implementácii procesov pre fungovanie systémov S alebo vplyvom prostredia E.

2.5. Spojité stochastické modely ( Q-schéma)

Základné vzťahy... Charakteristiky spojito-stochastického prístupu zvážime na príklade typickej matematiky Q- schémy - systémy radenia(Anglický systém radenia).

Ako servisný proces môžu byť reprezentované rôzne fyzikálne procesy fungovania ekonomických, výrobných, technických a iných systémov, napríklad: toky dodávok produktov do určitého podniku, toky dielov a komponentov na montážnej linke podniku. dielňa, požiadavky na spracovanie počítačových informácií zo vzdialených terminálov a pod. Charakteristickým znakom prevádzky takýchto objektov je v tomto prípade náhodný výskyt nárokov (požiadaviek) na obsluhu a dokončenie servisu v náhodných časoch, t.j. stochastický charakter procesu ich fungovania.

Tokom udalostí sa nazýva sled udalostí, ktoré sa vyskytujú jedna po druhej v určitých náhodných okamihoch v čase. Rozlišujte prúdy homogénnych a heterogénnych udalostí. Prúd udalostí volal homogénny, ak je charakterizovaná len momentmi príchodu týchto udalostí (spôsobujúcich momentov) a je daná postupnosťou ( t n} = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n£ … }, kde t n - moment príchodu P- udalosť je nezáporné reálne číslo. Homogénny prúd udalostí možno špecifikovať aj ako postupnosť časových intervalov medzi nimi P- m a (n - 1) udalosti (t n), ktorá je jednoznačne spojená so sledom náročných momentov ( t n} , kde t n = t n– t n -1 ,P³ 1, t 0 = 0, tie. t 1 = t 1 . Prúd heterogénnych udalostí sa nazýva sekvencia ( t n, f n} , kde t n - náročné chvíle; f n - súbor znakov udalostí. Napríklad v súvislosti so servisným procesom pre nerovnomerný tok nárokov sa môže priradiť príslušnosť ku konkrétnemu zdroju nárokov, prítomnosť priority, schopnosť obsluhovať jeden alebo druhý typ kanála.

V každom elementárnom servisnom úkone možno rozlíšiť dve hlavné zložky: očakávanie služby reklamáciou a skutočné vybavenie reklamácie. Dá sa to znázorniť vo forme niektorých i- servisné zariadenie P i(obr. 2.6), pozostávajúci z akumulátora objednávok Ahoj,čo môže byť súčasne j i= aplikácie kde L i H– kapacita
i-go storage a kanál na obsluhu požiadaviek (alebo len kanál) K i. Pre každý prvok servisného zariadenia P i prichádzajú prúdy udalostí: do pohonu Ahoj tok aplikácií w i, na kanál K i - tok služieb a ja.

Ryža. 2.6. Aplikačné servisné zariadenie

Aplikácie obsluhované kanálom K i, a žiadosti, ktoré opustili zariadenie P i neobsluhované z rôznych dôvodov (napríklad z dôvodu preplnenia disku Ahoj), tvoria výstupný tok y i Î Y, tie. časové intervaly medzi momentmi výstupu zákaziek tvoria podmnožinu výstupných premenných.

Zvyčajne tok aplikácií w i ÎW, tie. časové intervaly medzi okamihmi objavenia sa objednávok pri vchode K i, tvorí podmnožinu nespravovaných premenných a toku služieb ty i ОU, tie. časové intervaly medzi začiatkom a koncom vybavovania reklamácie tvoria podmnožinu riadených veličín.

Proces prevádzky servisného zariadenia P i možno znázorniť ako proces zmeny stavov jeho prvkov času z i(t). Prechod do nového stavu pre P i znamená zmenu v počte aplikácií, ktoré sa v ňom nachádzajú (v kanáli K i a v pohone Ahoj). Teda vektor stavov pre P i vyzerá ako: , kde z i H- stav pohonu Ahoj (z i H= 0 - disk je prázdny, z i H= 1 - v úložisku je jedna požiadavka, ..., z i H = L i H – disk je úplne plný); L i H -úložná kapacita Ahoj, merané počtom aplikácií, ktoré sa doň zmestia; z i k - stav kanála K i(z i k = 0 – kanál je zadarmo, z i k= 1 - kanál je zaneprázdnený).

Možné aplikácie Q- schém. V praxi modelovania systémov so zložitejšími štrukturálnymi vzťahmi a algoritmami správania sa na formalizáciu nepoužívajú samostatné obslužné zariadenia, ale
Q- schémy , tvorené zložením mnohých elementárnych obslužných zariadení P i. Ak kanály K i rôzne servisné zariadenia sú zapojené paralelne, potom prebieha viackanálová služba ( viackanálový Q- schéma) , a ak zariadenia P i a ich paralelné kompozície sú zapojené do série, potom existuje viacfázová služba ( viacfázový Q- schéma) . Takže pre prácu Q- schéma musí používať konjugovaný operátor R, odrážajúce vzájomné prepojenie prvkov štruktúry (kanálov a úložných zariadení).