3. Impulzné charakteristiky elektrických obvodov
Impulzná odozva obvodu sa nazýva pomer reakcie reťazca k impulznej akcii k oblasti tejto akcie pri nulových počiatočných podmienkach.
Podľa definície ,
kde je reakcia obvodu na impulznú akciu;
- oblasť impulzu nárazu.
Podľa známej impulznej odozvy obvodu môžete nájsť odozvu obvodu na danú akciu:.
Ako akčná funkcia sa často používa jedna impulzná akcia, nazývaná aj delta funkcia alebo Diracova funkcia.
Funkcia delta je funkcia rovnajúca sa nule všade, okrem a jej plocha sa rovná jednej ():
.
K konceptu delta funkcie možno dospieť zvážením limitu pravouhlého impulzu s výškou a trvaním, keď (obr. 3):
Vytvorte spojenie medzi prenosovou funkciou obvodu a jeho impulznou odozvou, na čo použijeme operátorskú metódu.
Podľa definície:
Ak sa náraz (pôvodný) uvažuje pre najvšeobecnejší prípad vo forme súčinu plochy impulzu delta funkciou, teda vo forme, potom má obraz tohto nárazu podľa korešpondenčnej tabuľky tvar:
.
Potom, na druhej strane, pomer Laplaceovej transformovanej reťazovej reakcie k veľkosti oblasti nárazového impulzu je impulzná odozva obvodu:
.
Preto, .
Na nájdenie impulznej odozvy obvodu je potrebné použiť inverznú Laplaceovu transformáciu:
, teda vlastne 
.
Zhrnutím vzorcov získame vzťah medzi prenosovou funkciou operátora obvodu a prechodovými a impulznými charakteristikami operátora obvodu:
Keď teda poznáte jednu z charakteristík reťazca, môžete určiť ďalšie.
Urobme identickú transformáciu rovnosti a pridáme do strednej časti.
Potom budeme mať.
Pokiaľ ide o 
je obrazom derivácie prechodnej odozvy, potom môže byť pôvodná rovnosť prepísaná ako:
Prechodom do oblasti originálov získame vzorec, ktorý nám umožňuje určiť impulznú odozvu obvodu podľa jeho známej prechodovej odozvy:
Ak potom.
Inverzný vzťah medzi týmito charakteristikami je nasledujúci:
.
Pomocou prenosovej funkcie je ľahké určiť prítomnosť termínu vo funkcii.
Ak sú stupne čitateľa a menovateľa rovnaké, potom bude daný výraz prítomný. Ak je funkcia pravidelným zlomkom, potom tento výraz nebude existovať.
Príklad: Určite impulzné charakteristiky pre napätia a v sériovom obvode znázornenom na obrázku 4.
Poďme definovať:
Poďme k originálu podľa tabuľky zhody:
.
Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku 5.
Ryža. 5
Prenosová funkcia:
Podľa tabuľky zhody máme:
.
Graf výslednej funkcie je na obrázku 6.
Poukazujeme na to, že rovnaké výrazy možno získať pomocou vzťahov, ktoré vytvárajú spojenie medzi a.
Impulzná odozva vo svojom fyzikálnom význame odráža proces voľných oscilácií a z tohto dôvodu možno tvrdiť, že v reálnych obvodoch musí byť vždy splnená podmienka:
4. Integrály konvolúcie (prekrytia)
Zvážte postup určenia odozvy lineárneho elektrického obvodu na komplexný efekt, ak je známa impulzná odozva tohto obvodu. Budeme predpokladať, že náraz je po častiach spojitá funkcia znázornená na obrázku 7.
Nech je potrebné nájsť hodnotu reakcie v určitom časovom okamihu. Pri riešení tohto problému predstavujeme náraz ako súčet pravouhlých impulzov nekonečne krátkeho trvania, z ktorých jeden, zodpovedajúci časovému okamihu, je znázornený na obrázku 7. Tento impulz je charakterizovaný svojou dĺžkou trvania a výškou.
Z predtým uvažovaného materiálu je známe, že odozvu obvodu na krátky impulz možno považovať za rovnakú ako súčin impulznej odozvy obvodu a oblasti pôsobenia impulzu. V dôsledku toho sa nekonečne malá zložka reakcie spôsobenej touto impulznou akciou v danom čase bude rovnať:
pretože plocha impulzu je rovnaká a čas prechádza od okamihu jeho aplikácie do okamihu pozorovania.
Použitím princípu superpozície možno celkovú odozvu obvodu definovať ako súčet nekonečne veľkého počtu nekonečne malých komponentov spôsobených sekvenciou impulzných vplyvov nekonečne malej plochy, ktoré predchádzajú časovému okamihu.
Touto cestou:
.
Tento vzorec je platný pre akúkoľvek hodnotu, preto sa premenná zvyčajne označuje jednoducho. potom:
.
Výsledný vzťah sa nazýva konvolučný integrál alebo superpozičný integrál. Funkcia, ktorá sa zistí ako výsledok výpočtu konvolučného integrálu, sa nazýva konvolúcia a.
Iný tvar konvolučného integrálu môžete nájsť, ak zmeníte premenné vo výslednom výraze na:
.
Príklad: nájdite napätie na kapacite sériového obvodu (obr. 8), ak na vstupe pôsobí exponenciálny impulz v tvare:
obvod je spojený so: zmenou energetického stavu ... (+0) ,. Uc (-0) = Uc (+0). 3. Prechodný charakteristika elektrický reťaze toto: Reakcia na jeden krok...
Štúdium reťaze druhá objednávka. Vyhľadajte vstup a výstup technické údaje
Kurz >> Komunikácia a komunikácia3. Prechodný a impulz technické údaje reťaze Laplaceov obraz prechodný technické údaje má formu. Na získanie prechodný technické údaje v ... A., Zolotnitsky V.M., Chernyshev E.P. Základy teórie elektrické reťaze.-SPb.: Lan, 2004. 2. Dyakonov V.P. MATLAB ...
Hlavné ustanovenia teórie prechodný procesy
Abstrakt >> FyzikaLaplace; - dočasný, užívajúci prechodný a impulz technické údaje; - frekvencia založená na ... klasickej metóde analýzy prechodný kolísanie v elektrické reťaze Prechodný procesy v elektrické reťaze sú opísané rovnicami, ...
18. Reakcia lineárnych obvodov na jednotkové funkcie. Prechodové a impulzné charakteristiky obvodu, ich zapojenie.
Funkcia jedného kroku (povoliť funkciu) 1 t) je definovaný takto:
Funkčný graf 1 (t) je znázornené na obr. 2.1.
Funkcia 1 (t) je nula pre všetky záporné hodnoty argumentu a jedna pre t³ 0. Zavedieme tiež do úvahy funkciu posunutého kroku jednotky
Takýto dopad sa zapne v okamihu času t= t..
Napätie vo forme jednostupňovej funkcie na vstupe obvodu bude pri pripojení zdroja konštantného napätia U 0 = 1 V at t= 0 pomocou ideálneho kľúča (obr. 2.3).
Funkcia jedného impulzu (d - funkcia, Diracova funkcia) je definovaná ako derivácia jednotkovej krokovej funkcie. Od momentu času t= funkcia 0 1 (t) prechádza diskontinuitou, potom jej derivácia neexistuje (obracia sa do nekonečna). Teda funkcia jednotkového impulzu
Je to špeciálna funkcia alebo matematická abstrakcia, ale široko sa používa pri analýze elektrických a iných fyzikálnych objektov. Funkcie tohto druhu sú považované v matematickej teórii zovšeobecnených funkcií.
Náraz vo forme funkcie jediného impulzu možno považovať za nárazový náraz (dostatočne veľká amplitúda a nekonečne krátky expozičný čas). Zavedená je aj funkcia jednotkového impulzu, posunutá o čas t= t
Je zvyčajné zobrazovať jednu impulznú funkciu vo forme zvislej šípky na t= 0 a posunuté o - t= t (obr. 2.4).
Ak zoberieme integrál jednotkovej impulzovej funkcie, t.j. určiť oblasť, ktorá je ním ohraničená, dostaneme nasledujúci výsledok:
Ryža. 2.4.
Je zrejmé, že integračný interval môže byť ľubovoľný, pokiaľ sa tam bod dostane t= 0. Integrál posunutej jednotkovej impulznej funkcie d ( t-t) sa tiež rovná 1 (ak bod t= t). Ak vezmeme integrál jednotkovej impulzovej funkcie vynásobený nejakým koeficientom A 0 , potom je zrejmé, že výsledok integrácie sa bude rovnať tomuto koeficientu. Preto koeficient A 0 pred d ( t) definuje oblasť ohraničenú funkciou A 0 d ( t).
Pre fyzikálnu interpretáciu funkcie d - je vhodné ju považovať za hranicu, ku ktorej by sa mala smerovať určitá postupnosť obyčajných funkcií, napr.
Prechodná a impulzná odozva
Prechodná odozva h (t) sa nazýva reakcia reťazca na náraz vo forme jednokrokovej funkcie 1 (t). Impulzná odozva g (t) sa nazýva reakcia reťazca na akciu vo forme jednotkovej impulzovej funkcie d ( t). Obidve charakteristiky sú určené s nulovými počiatočnými podmienkami.
Prechodové a impulzné funkcie charakterizujú obvod v prechodovom režime, keďže ide o reakcie na skokové, t.j. dosť ťažké pre akýkoľvek nárazový systém. Okrem toho, ako bude ukázané nižšie, pomocou prechodových a impulzných charakteristík možno určiť odozvu obvodu na ľubovoľnú akciu. Prechodové a impulzné charakteristiky sú vzájomne prepojené, ako aj príslušné vplyvy sú vzájomne prepojené. Jednotková impulzová funkcia je deriváciou jednotkovej skokovej funkcie (pozri (2.2)), preto je impulzová odozva deriváciou prechodovej odozvy a pri h(0) = 0 . (2.3)
Toto tvrdenie vyplýva zo všeobecných vlastností lineárnych systémov, ktoré sú opísané lineárnymi diferenciálnymi rovnicami, najmä ak sa jeho derivácia použije na lineárny reťazec s nulovými počiatočnými podmienkami namiesto akcie, potom sa reakcia bude rovnať derivácii počiatočná reakcia.
Z dvoch uvažovaných charakteristík sa najjednoduchšie určí prechodná, pretože ju možno vypočítať z odozvy obvodu na zapnutie zdroja konštantného napätia alebo prúdu na vstupe. Ak je takáto reakcia známa, potom získať h (t) stačí ju vydeliť amplitúdou vstupnej konštantnej akcie. Z toho vyplýva, že prechodová (ako aj impulzná) charakteristika môže mať rozmer odporu, vodivosti alebo môže byť bezrozmernou veličinou v závislosti od rozmeru akcie a reakcie.
Príklad ... Definujte prechodné h (t) a impulz g(t) charakteristiky sériového RC obvodu.
Náraz je vstupné napätie u 1 (t) a reakciou je napätie cez kapacitu u 2 (t). Podľa definície prechodovej odozvy by mala byť definovaná ako napätie na výstupe, keď je na vstup obvodu pripojený zdroj konštantného napätia. U 0
Tento problém bol vyriešený v časti 1.6, kde bol získaný u 2
(t)
= u C
(t)
=
Touto cestou, h (t)
= u 2
(t)
/ U 0
= Impulzná odozva je určená (2.3) 
.
Prechodová odozva sa používa na výpočet odozvy lineárneho elektrického obvodu, keď je na jeho vstup privedený impulz. 
voľná forma. V tomto prípade vstupný impulz 
aproximovať súborom krokov a určiť reakciu reťazca na každý krok a potom nájsť integrálny obvod 
ako súčet odoziev na každú zložku vstupného impulzu 
.
Prechodná odozva alebo prechodná funkcia 
reťaze -
ide o jeho zovšeobecnenú charakteristiku, čo je časová funkcia, ktorá sa číselne rovná odozve obvodu na jeden skok napätia alebo prúdu na jeho vstupe, s nulovými počiatočnými podmienkami (obr. 13.11);
|
|
inými slovami, toto je odozva obvodu bez počiatočnej dodávky energie na funkciu 
Pri vchode.
Expresia prechodnej odozvy
závisí iba od vnútornej štruktúry a hodnôt parametrov prvkov obvodu.
Z definície prechodovej charakteristiky obvodu vyplýva, že so vstupným dejom 
reťazová reakcia 
(obr.13.11).
Príklad. Nechajte obvod pripojiť k zdroju konštantného napätia 
... Potom bude mať vstupná akcia formu, reakciu obvodu - a prechodovú napäťovú charakteristiku obvodu - 
... o 
.
Násobenie reťazovej reakcie 
za funkciu 
alebo 
znamená, že prechodová funkcia
pri 
a 
pri 
ktorý odráža princíp kauzality
v lineárnych elektrických obvodoch, t.j. odozva (na výstupe obvodu) sa nemôže objaviť pred okamihom, keď je signál privedený na vstup obvodu.
Typy prechodových charakteristík.
Existujú nasledujúce typy prechodných reakcií:
|
|
- napäťová prechodová odozva obvodu; |
|
|
- prechodová charakteristika obvodu z hľadiska prúdu; |
|
|
- prechodový odpor obvodu, Ohm; |
|
|
- prechodová vodivosť obvodu, Cm, |
(13.5)
kde 
- úrovne vstupného krokového signálu.
Prechodná funkcia 
pre akúkoľvek pasívnu dvojkoncovú sieť možno nájsť klasickou alebo operátorskou metódou.
Výpočet prechodovej odozvy klasickou metódou. Príklad.
Príklad. Vypočítame prechodovú odozvu napätia pre obvod (obr.13.12, a) s parametrami.
|
|
Riešenie
Použijeme výsledok získaný v časti 11.4. Podľa výrazu (11.20) napätie na indukčnosti
kde 
.
Škálovanie vykonáme podľa výrazu (13.5) a konštrukcie funkcie 
(obr. 13.12, b):
.
Výpočet prechodovej odozvy operátorovou metódou
Komplexný ekvivalentný obvod pôvodného obvodu bude mať podobu na obr. 13.13.
|
|
Funkcia prenosu napätia tohto obvodu je:
kde 
.
o 
, t.j. pri 
, obrázok 
a obrázok napätia na cievke 
.
V tomto prípade originál 
snímky 
je napäťová prechodová funkcia obvodu, t.j.
alebo všeobecne:
,
(13.6)
tie. prechodná funkcia
obvod sa rovná inverznej Laplaceovej transformácii jeho prenosovej funkcie
vynásobený jednotkovým skokovým obrázkom
.
V uvažovanom príklade (pozri obr.13.12) funkcia prenosu napätia:
kde 
a funkciu 
má formu.
Poznámka
.
Ak je na vstup obvodu privedené napätie 
, potom vo vzorci prechodovej funkcie 
čas 
treba nahradiť výrazom 
... V uvažovanom príklade má funkcia oneskoreného prenosu napätia tvar:
závery
Prechodná odozva bola zavedená hlavne z dvoch dôvodov.
1. Jednokroková akcia 
- kŕčovitý, a preto dosť silný vonkajší vplyv na akýkoľvek systém alebo okruh. Preto je dôležité presne poznať reakciu systému alebo reťazca pri takejto akcii, t.j. prechodná odozva 
.
2. So známou prechodnou odozvou 
pomocou Duhamelovho integrálu (pozri podsekcie 13.4, 13.5 nižšie) môžete určiť odozvu systému alebo reťazca na akúkoľvek formu vonkajších vplyvov.
Na posúdenie schopností elektrických zariadení, ktoré prijímajú a prenášajú vstupné vplyvy, sa uchýlite k štúdiu ich prechodových a impulzných charakteristík.
Prechodná odozva h(t) lineárneho obvodu, ktorý neobsahuje nezávislé zdroje, sa číselne rovná odozve obvodu na účinok jediného prúdového alebo napäťového skoku vo forme jednotkovej skokovej funkcie 1 ( t) alebo 1 ( t – t 0) s nulovými počiatočnými podmienkami (obr. 14). Rozmer prechodovej charakteristiky sa rovná pomeru rozmeru reakcie k rozmeru nárazu. Môže byť bezrozmerný, mať rozmer Ohm, Siemens (Cm).
Ryža. 14
Impulzná odozva k(t) lineárneho obvodu, ktorý neobsahuje nezávislé zdroje, sa číselne rovná odozve obvodu na pôsobenie jediného impulzu v tvare d ( t) alebo d ( t – t 0) funkcie s nulovými počiatočnými podmienkami. Jeho rozmer sa rovná pomeru rozmeru reakcie k súčinu rozmeru dopadu na čas, preto môže mať rozmery s –1, Oms –1, Cms –1.
Impulzná funkcia d ( t) možno považovať za deriváciu jednotkovej krokovej funkcie d ( t) = d 1(t)/dt... V súlade s tým je impulzná odozva vždy časovou deriváciou prechodnej odozvy: k(t) = h(0 +) d ( t) + dh(t)/dt... Tento vzťah sa používa na určenie impulznej odozvy. Napríklad, ak pre nejaký reťazec h(t) = 0,7e –100t, potom k(t) = 0,7 d ( t) – 70e –100 t... Prechodová odozva môže byť určená klasickou alebo operátorskou metódou na výpočet prechodných javov.
Existuje vzťah medzi časovaním a frekvenčnými charakteristikami obvodu. Keď poznáte funkciu prenosu operátora, môžete nájsť obrázok reťazovej reakcie: Y(s) = W(s)X(s), t.j. Prenosová funkcia obsahuje úplné informácie o vlastnostiach obvodu ako systému na prenos signálov z jeho vstupu na výstup pri nulových počiatočných podmienkach. V tomto prípade povaha nárazu a reakcie zodpovedá tým, pre ktoré je určená prenosová funkcia.
Prenosová funkcia pre lineárne obvody nezávisí od typu vstupnej akcie, preto ju možno získať z prechodovej odozvy. Takže, keď pôsobíte na vstup jednotkovej krokovej funkcie 1 ( t) prenosová funkcia berúc do úvahy, že 1 ( t) = 1/s, rovná sa
W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), kde L [f(t)] - zápis pre priamu Laplaceovu transformáciu nad funkciou f(t). Prechodovú odozvu možno definovať z hľadiska prenosovej funkcie pomocou inverznej Laplaceovej transformácie, t.j. h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], kde L –1 [F(s)] - zápis inverznej Laplaceovej transformácie nad funkciou F(s). Teda prechodná odozva h(t) je funkcia, ktorej obraz sa rovná W(s) /s.
Keď funguje jediný impulz d ( t) Funkcia prenosu W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Teda impulzná odozva obvodu k(t) je pôvodná prenosová funkcia. Pomocou známej operátorovej funkcie reťazca pomocou inverznej Laplaceovej transformácie môžete určiť impulznú odozvu: k(t) W(s). To znamená, že impulzná odozva obvodu jednoznačne určuje frekvenčnú odozvu obvodu a naopak, pretože
W(j w) = W(s)s = j w. Pretože známa impulzná odozva môže byť použitá na nájdenie prechodovej odozvy obvodu (a naopak), táto je tiež jednoznačne určená frekvenčnou odozvou obvodu.
Príklad 8. Vypočítajte prechodovú a impulznú charakteristiku obvodu (obr. 15) pre vstupný prúd a výstupné napätie pre dané parametre prvkov: R= 50 ohmov, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
S= 80 μF.
Ryža. 15
Riešenie. Použime klasický spôsob výpočtu. Charakteristická rovnica Z v = R + pL +
+ 1 / (PC) = 0 pre dané parametre prvkov má komplexné konjugované korene: p 1,2 =
= - d j wA2 = -100 j 200, ktorý určuje oscilačnú povahu procesu prechodu. V tomto prípade sú zákony zmeny prúdov a napätí a ich deriváty vo všeobecnej forme napísané takto:
r(t) = (M cosw A 2 t+ N hriech A 2 t)e- d t + r vy; D Y(t) / dt =
=[(–M d + N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2 + N d) hriech A 2 t]e- d t + D Y von / dt, kde w A 2 - frekvencia voľných vibrácií; r vynútená - vynútená zložka procesu prechodu.
Najprv nájdeme riešenie u C(t) a ja C(t) = C du C(t) / dt pomocou vyššie uvedených rovníc a následne pomocou Kirchhoffových rovníc určíme požadované napätia, prúdy a podľa toho aj prechodové a impulzné charakteristiky.
Na určenie integračných konštánt sú potrebné počiatočné a vynútené hodnoty týchto funkcií. Ich počiatočné hodnoty sú známe: u C(0 +) = 0 (z definície h(t) a k(t)), pretože ja C(t) = ja L(t) = i(t), potom ja C(0 +) = ja L(0 +) = 0. Vynútené hodnoty sú určené z rovnice zostavenej podľa druhého Kirchhoffovho zákona pre t 0 + : u 1 = RI(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + u C(t), u 1 = 1(t) = 1 = сkonšt.,
odtiaľ u C() = u C vyn = 1, ja C() = ja C von = i() = 0.
Zostavme rovnice na určenie integračných konštánt M, N:
u C(0 +) = M + u C von (0 +), ja C(0 +) = S(–M d + N w A 2) + ja C von (0 +); alebo: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; odtiaľ: M = –1, N= –0,5. Získané hodnoty vám umožňujú písať riešenia u C(t) a ja C(t) = i(t): u C(t) = [–Сos200 t- -0,5 sin200 t)e –100t+ 1] B, ja C(t) = i(t) = e –100 t] = 0,02
hriech200 t)e –100 t A. Podľa druhého Kirchhoffovho zákona
u 2 (t) = u C(t) + u L 2 (t), u L 2 (t) = u L(t) = Ldi(t) / dt= (0,5 s200 t- 0,25 sin200 t) e –100t B. Potom u 2 (t) =
= (- 0,5 sos 200 t- 0,75 sin200 t) e –100t+ 1 = [–0,901 sin (200 t + 33,69) e –100t+ 1] B.
Skontrolujme správnosť výsledku získaného počiatočnou hodnotou: na jednej strane u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5 a na druhej strane, u 2 (0 +) = u С (0 +) + u L(0 +) = 0 + 0,5 - hodnoty sú rovnaké.
Akadémia Ruska
Katedra fyziky
Prednáška
Prechodové a impulzné charakteristiky elektrických obvodov
Eagle 2009
Výchovné a vzdelávacie ciele:
Vysvetliť publiku podstatu prechodových a impulzných charakteristík elektrických obvodov, ukázať vzťah medzi charakteristikami, venovať pozornosť aplikácii uvažovaných charakteristík pre analýzu a syntézu EC, zamerať sa na kvalitnú prípravu na praktickú lekciu.
Rozdelenie času prednášok
Úvodná časť ………………………………………………… 5 min.
Študijné otázky:
1. Prechodové charakteristiky elektrických obvodov ……………… 15 min.
2. Duhamelove integrály ………………………………………………… ... 25 min.
3. Impulzné charakteristiky elektrických obvodov. Vzťah medzi charakteristikami ………………………………………………….… ... 25 min.
4. Integrály konvolúcie ……………………………………………… .15 min.
Záver ………………………………………………………… 5 min.
1. Prechodové charakteristiky elektrických obvodov
Prechodová odozva obvodu (podobne ako impulzná odozva) sa týka časových charakteristík obvodu, to znamená, že vyjadruje určitý prechodový proces pri vopred určených vplyvoch a počiatočných podmienkach.
Pre porovnanie elektrických obvodov podľa ich reakcie na tieto vplyvy je potrebné dať obvody do rovnakých podmienok. Najjednoduchšie a najpohodlnejšie sú nulové počiatočné podmienky.
Prechodná odozva obvodu sa nazýva pomer reťazovej reakcie k skokovej akcii k veľkosti tejto akcie pri nulových počiatočných podmienkach.
Podľa definície ,
kde je reakcia reťazca na krokový efekt;
- veľkosť skokového efektu [B] alebo [A].
Keďže je vydelená veľkosťou nárazu (toto je skutočné číslo), potom v skutočnosti - reakcia reťazca na jednokrokovú akciu.
Ak je prechodová charakteristika obvodu známa (alebo sa dá vypočítať), potom zo vzorca je možné nájsť reakciu tohto obvodu na skokovú akciu pri nule NL
.
Stanovme vzťah medzi prenosovou funkciou operátora reťazca, ktorá je často známa (alebo sa dá nájsť), a prechodnou odozvou tohto reťazca. Na tento účel používame zavedený koncept funkcie prenosu operátora:
.
Pomer Laplaceovej transformovanej reťazovej reakcie k veľkosti účinku je operátorovou prechodnou charakteristikou reťazca:
Preto .
Odtiaľ sa nachádza prechodová odozva operátora v rámci funkcie prenosu operátora.
Na určenie prechodovej odozvy obvodu je potrebné použiť inverznú Laplaceovu transformáciu:
pomocou korešpondenčnej tabuľky alebo (predbežnej) dekompozičnej vety.
Príklad: Určite prechodovú odozvu pre napäťovú odozvu naprieč kapacitou v sériovom obvode (obr. 1):
Tu je reakcia na postupnú akciu podľa veľkosti:
,
odkiaľ je prechodná odozva:
.
Prechodové charakteristiky najbežnejších obvodov sú nájdené a uvedené v referenčnej literatúre.
2. Duhamelove integrály
Prechodná reakcia sa často používa na nájdenie reakcie reťazca na komplexný stimul. Vytvorte si tieto vzťahy.
Dohodnime sa, že akcia je spojitá funkcia a je privádzaná do obvodu v okamihu času a počiatočné podmienky sú nulové.
Daný dopad môže byť reprezentovaný ako súčet postupných akcií aplikovaných v danom momente na obvod a nekonečne veľkého počtu nekonečne malých krokov, ktoré kontinuálne nasledujú za sebou. Jedna z takýchto základných akcií zodpovedajúca okamihu aplikácie je znázornená na obrázku 2.
Nájdite hodnotu reakcie reťazca v určitom časovom okamihu.
Postupná akcia s poklesom v časovom okamihu spôsobí reakciu rovnajúcu sa súčinu poklesu o hodnotu prechodovej charakteristiky obvodu pri, t.j.
Nekonečne malý stupňovitý efekt s kvapkou spôsobí nekonečne malú reakciu 
, kde je čas, ktorý uplynul od okamihu aplikácie vplyvu do okamihu pozorovania. Keďže podľa podmienky je funkcia spojitá, potom:
V súlade s princípom superpozície bude reakcia rovná súčtu reakcií vyvolaných množinou vplyvov predchádzajúcich momentu pozorovania, t.j.
.
Zvyčajne sa v poslednom vzorci jednoducho nahradia, pretože nájdený vzorec je správny pre akúkoľvek časovú hodnotu:
.
Alebo po niekoľkých jednoduchých transformáciách:
.
Ktorýkoľvek z týchto pomerov rieši problém výpočtu reakcie lineárneho elektrického obvodu na danú spojitú akciu pomocou známej prechodovej charakteristiky obvodu. Tieto vzťahy sa nazývajú Duhamelove integrály.
3. Impulzné charakteristiky elektrických obvodov
Impulzná odozva obvodu sa nazýva pomer reakcie reťazca k impulznej akcii k oblasti tejto akcie pri nulových počiatočných podmienkach.
Podľa definície ,
kde je reakcia obvodu na impulznú akciu;
- oblasť impulzu nárazu.
Podľa známej impulznej odozvy obvodu môžete nájsť odozvu obvodu na danú akciu: 
.
Ako akčná funkcia sa často používa jedna impulzná akcia, nazývaná aj delta funkcia alebo Diracova funkcia.
Funkcia delta je funkcia rovnajúca sa nule všade, okrem a jej plocha sa rovná jednej ():
.
K konceptu delta funkcie možno dospieť zvážením limitu pravouhlého impulzu s výškou a trvaním, keď (obr. 3):
Vytvorte spojenie medzi prenosovou funkciou obvodu a jeho impulznou odozvou, na čo použijeme operátorskú metódu.
Podľa definície:
.
Ak sa náraz (pôvodný) uvažuje pre najvšeobecnejší prípad vo forme súčinu plochy impulzu delta funkciou, teda vo forme, potom má obraz tohto nárazu podľa korešpondenčnej tabuľky tvar:
.
Potom, na druhej strane, pomer Laplaceovej transformovanej reťazovej reakcie k veľkosti oblasti nárazového impulzu je impulzná odozva obvodu:
.
Preto, .
Na nájdenie impulznej odozvy obvodu je potrebné použiť inverznú Laplaceovu transformáciu:
To je v skutočnosti.
Zhrnutím vzorcov získame vzťah medzi prenosovou funkciou operátora obvodu a prechodovými a impulznými charakteristikami operátora obvodu:
Keď teda poznáte jednu z charakteristík reťazca, môžete určiť ďalšie.
Urobme identickú transformáciu rovnosti a pridáme do strednej časti.
Potom budeme mať.
Keďže ide o obraz derivácie prechodnej odozvy, pôvodnú rovnosť možno prepísať ako:
Prechodom do oblasti originálov získame vzorec, ktorý nám umožňuje určiť impulznú odozvu obvodu podľa jeho známej prechodovej odozvy:
Ak potom.
Inverzný vzťah medzi týmito charakteristikami je nasledujúci:
.
Pomocou prenosovej funkcie je ľahké určiť prítomnosť termínu vo funkcii.
Ak sú stupne čitateľa a menovateľa rovnaké, potom bude daný výraz prítomný. Ak je funkcia pravidelným zlomkom, potom tento výraz nebude existovať.
Príklad: Určite impulzné charakteristiky pre napätia a v sériovom obvode znázornenom na obrázku 4.
Poďme definovať:
Poďme k originálu podľa tabuľky zhody:
.
Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku 5.
Ryža. 5
Prenosová funkcia:
Podľa tabuľky zhody máme:
.
Graf výslednej funkcie je na obrázku 6.
Poukazujeme na to, že rovnaké výrazy možno získať pomocou vzťahov, ktoré vytvárajú spojenie medzi a.
Impulzná odozva vo svojom fyzikálnom význame odráža proces voľných oscilácií a z tohto dôvodu možno tvrdiť, že v reálnych obvodoch musí byť vždy splnená podmienka:
4. Integrály konvolúcie (prekrytia)
Zvážte postup určenia odozvy lineárneho elektrického obvodu na komplexný efekt, ak je známa impulzná odozva tohto obvodu. Budeme predpokladať, že náraz je po častiach spojitá funkcia znázornená na obrázku 7.
Nech je potrebné nájsť hodnotu reakcie v určitom časovom okamihu. Pri riešení tohto problému predstavujeme náraz ako súčet pravouhlých impulzov nekonečne krátkeho trvania, z ktorých jeden, zodpovedajúci časovému okamihu, je znázornený na obrázku 7. Tento impulz je charakterizovaný svojou dĺžkou trvania a výškou.
Z predtým uvažovaného materiálu je známe, že odozvu obvodu na krátky impulz možno považovať za rovnakú ako súčin impulznej odozvy obvodu a oblasti pôsobenia impulzu. V dôsledku toho sa nekonečne malá zložka reakcie spôsobenej touto impulznou akciou v danom čase bude rovnať:
pretože plocha impulzu je rovnaká a čas prechádza od okamihu jeho aplikácie do okamihu pozorovania.
Použitím princípu superpozície možno celkovú odozvu obvodu definovať ako súčet nekonečne veľkého počtu nekonečne malých komponentov spôsobených sekvenciou impulzných vplyvov nekonečne malej plochy, ktoré predchádzajú časovému okamihu.
Touto cestou:
.
Tento vzorec je platný pre akúkoľvek hodnotu, preto sa premenná zvyčajne označuje jednoducho. potom:
.
Výsledný vzťah sa nazýva konvolučný integrál alebo superpozičný integrál. Funkcia, ktorá sa zistí ako výsledok výpočtu konvolučného integrálu, sa nazýva konvolúcia a.
Iný tvar konvolučného integrálu môžete nájsť, ak zmeníte premenné vo výslednom výraze na:
.
Príklad: nájdite napätie na kapacite sériového obvodu (obr. 8), ak na vstupe pôsobí exponenciálny impulz v tvare:
Použime konvolučný integrál:
.
Výraz pre 
bol prijatý skôr.
teda 
a 
.
Rovnaký výsledok možno získať použitím Duhamelovho integrálu.
Literatúra:
Beletskiy A.F. Teória lineárnych elektrických obvodov. - M .: Rádio a komunikácia, 1986. (učebnica)
Bakalov VP a kol.Teória elektrických obvodov. - M .: Rádio a komunikácia, 1998. (učebnica);
Kachanov NS a ďalšie Lineárne rádiotechnické zariadenia. M .: Vojenské. publ., 1974. (Učebnica);
Popov V.P. Základy teórie obvodov - M .: Vysoká škola, 2000. (Učebnica)
