Pomůže nejen čajovníkům, ale i těm, kteří poprvé slyšeli slovo „determinant“. Uplynuly dva roky od doby, kdy měl web pouhých deset stránek, a nyní, po mé dlouhé a dlouhé cestě do světa matanu, se vše vrací do normálu.
Představte si, že potřebujete vypočítat determinant třetího řádu tak, že jej rozbalíte přes prvky řádku (sloupce). I když to, co má představovat - musíte =) Můžete na něm sedět 5 minut, nebo můžete sedět 2-3 minuty. Nebo dokonce v oblasti jedné minuty. Čas, který strávíte, závisí nejen na vašich zkušenostech, ale také na vašich znalostech vlastností determinantů. Není neobvyklé, že se proces řešení docela realisticky zkrátí na několik sekund a někdy můžete okamžitě vidět výsledek! "Nesmysl, proč šetřit na zápasech, a tak o všem rozhodneme," říkají někteří. Řekněme. A chyby si nedovolíme ;-) Ale co determinant 4. řádu, který je v praxi zcela běžný? Boj s touto paprikou zabere 10-20 minut. A nepůjde ani tak o bitvu, ale o masakr, jelikož pravděpodobnost výpočetní chyby je velmi vysoká, což vás „zabalí“ do druhého kola rozhodování. A pokud determinant pátého řádu? Uložte pouze snížením pořadí determinantu. Ano, takové příklady najdeme i v kontrolních dokumentech.
Materiály na této stránce výrazně zlepší vaši techniku řešení determinantů a zjednoduší další rozvoj vyšší matematiky.
Efektivní metody pro výpočet determinantu
Nejprve se nedotkneme vlastností determinantu, ale právě metod jeho racionálního výpočtu. Tyto způsoby řešení leží na povrchu a mnohým jsou jasné, ale přesto se u nich zastavíme podrobněji. Předpokládá se, že čtenář již ví, jak sebevědomě odhalit determinant třetího řádu. Jak je známo, tento determinant může být rozšířen 6 standardními způsoby: v libovolném řádku nebo sloupci. Zdálo by se, že na tom nezáleží, protože odpověď bude stejná. Jsou ale všechny metody stejně snadné? Ne. Ve většině případů existuje méně ziskové způsoby a výnosnější způsobyřešení.
Vezměme si determinant, který jsem v první lekci hojně překryl tetováním. V tom článku jsme to podrobně rozložili s obrázky na první řádek. První řádek je dobrý a akademický, ale je možné dosáhnout výsledku rychleji? V determinantu je nula a jejím rozšířením o druhý řádek nebo o druhý sloupec se výpočty znatelně zmenší!
Rozšiřme determinant ve druhém sloupci: 
V praxi jsou nulové prvky ignorovány a řešení má kompaktnější podobu:
Cvičení 1
Rozbalte daný determinant podél druhého řádku pomocí zkráceného zápisu.
Řešení na konci lekce.
Pokud jsou v řadě (nebo sloupci) dvě nuly, pak je to obecně skutečný dar. Uvažujme o determinantu. Ve třetím řádku jsou dvě nuly a otevřeme to na něm:
To je celé řešení!
Zvláštní případ, kdy má determinant tzv vykročil nebo trojúhelníkový pohled, například: - v takovém determinantu všechna níže umístěná čísla hlavní úhlopříčka, se rovnají nule.
Rozbalíme to o první sloupec: 
V praktických úkolech je vhodné řídit se následujícím pravidlem - krokový determinant je roven součinu čísel jeho hlavní úhlopříčky:
Podobný princip platí i pro krokové determinanty jiných řádů, například: 
Trojúhelníkové determinanty se objevují v některých úlohách lineární algebry a jejich řešení je nejčastěji takto orámováno.
A pokud řádek (sloupec) determinantu obsahuje samé nuly? Odpověď je myslím jasná. K této problematice se ještě vrátíme ve vlastnostech determinantu.
Nyní si představme, že dlouho očekávané bagely nejsou součástí novoročního dárku. Tak pojďme vykuchat toho zlého Santa Clause!
Nejsou zde žádné nuly, ale stále existuje způsob, jak si usnadnit život. Tento determinant je nejlépe rozšířit ve třetím sloupci, protože tam jsou nejmenší čísla. V tomto případě má zadání řešení velmi stručnou formu:
Shrneme-li odstavec, formulujeme zlaté pravidlo výpočtů:
Je výhodnější otevřít determinant TENTO řádkem (sloupec), kde:
1) více nul;
2) menší čísla.
To samozřejmě platí i pro determinanty vyšších řádů.
Malý příklad pro konsolidaci materiálu:
Úkol 2
Vypočítejte determinant jeho rozšířením o řádek nebo sloupec pomocí nejracionálnějšího způsobu
Toto je příklad řešení pro kutily, optimální řešení a odpověď je na konci lekce.
A ještě jeden důležitá rada: nedělej si komplexy! V tradičním rozšiřování o první řádek nebo první sloupec není třeba "jít v cyklech". Zkrátka, budiž!
Determinantní vlastnosti
Vezměme si staré známé z první lekce: matrix 
a její determinant 
.
Pro jistotu zopakuji základní rozdíl mezi pojmy: matice je tabulka prvků, a determinant je číslo.
Při transpozici matice se hodnota jejího determinantu nemění
Transponujeme matici: 
Podle vlastnosti se determinant transponované matice rovná stejné hodnotě: 
. Kdo chce, může si to ověřit sám.
Používá se také jednodušší formulace této vlastnosti: pokud je determinant transponován, pak se jeho hodnota nezmění.
Oba determinanty zapíšeme vedle sebe a jeden analyzujeme důležitý bod:
V důsledku transpozice se první řádek stal prvním sloupcem, druhý řádek druhým sloupcem a třetí řádek třetím sloupcem. Z řádků se staly sloupce, ale výsledek se nezměnil. Z čehož vyplývá důležitý fakt: řádky a sloupce determinantu jsou stejné. Jinými slovy, pokud je vlastnost pravdivá pro řádek, pak podobná vlastnost platí pro sloupec! Ve skutečnosti se s tím setkáváme již delší dobu - vždyť determinant lze rozšířit jak v řádku, tak rovnoměrně ve sloupci.
Nemáte rádi čísla v řetězcích? Transponujte determinant! Je jen jedna otázka, proč? Praktický význam uvažované vlastnosti je malý, ale je užitečné ji hodit do pytle znalostí pro lepší pochopení dalších problémů vyšší matematiky. Například je hned jasné proč studium vektorů pro koplanaritu jejich souřadnice lze zapsat jak do řádků determinantu, tak do sloupců.
Pokud jsou dva řádky (nebo dva sloupce) determinantu zaměněny,
pak determinant změní znaménko
! Pamatovat , mluvíme o determinantu! V samotné matrici nemůžete nic přeskupit!
Pojďme si zahrát Rubikovu kostku s determinantem 
.
Prohodíme první a třetí řádek: 
Determinant změnil znaménko.
Nyní ve výsledném determinantu uspořádejte druhý a třetí řádek: 
Determinant opět změnil znaménko.
Uspořádejte druhý a třetí sloupec: 
to znamená, jakákoliv párová permutace řádků (sloupců) má za následek změnu znaménka determinantu na opačné.
Hry jsou hry, ale v praxi jsou takové akce lepší nepoužívat. Není z nich mnoho smyslu, ale není těžké se splést a udělat chybu. Uvedu však jednu z mála situací, kdy to opravdu dává smysl. Předpokládejme, že jste v průběhu řešení nějakého příkladu nakreslili determinant se znaménkem mínus:
Pojďme to rozšířit, řekněme, o první řádek:
Zjevnou nepříjemností je, že jsem musel dělat zbytečné úklony – řečeno velké závorky a poté je otevřete (mimochodem, důrazně nedoporučuji provádět takové akce „na jedno posezení“ ústně).
Chcete-li se zbavit "mínus", je racionálnější prohodit libovolné dva řádky nebo libovolné dva sloupce. Přeuspořádejme například první a druhý řádek: 
Vypadá to stylově, ale ve většině případů je účelnější vypořádat se s negativním znaménkem jiným způsobem (čtěte dále).
Uvažovaná akce opět pomáhá lépe pochopit například některé vlastnosti křížový součin vektorů nebo smíšený produkt vektorů.
Teď je to zajímavější:
Z řádku (sloupce) determinantu můžete vyjmout společný faktor
!!! Pozornost! Pravidlo je o JEDEN linka nebo asi JEDEN determinantní sloupec. Prosím, nezaměňujte s matrice, v matici se násobitel vyjme / přivede o VŠECHNOčísla najednou.
Začněme zvláštním případem pravidla – odstraněním „mínus jedna“ nebo jednoduše „mínus“.
Potkáváme dalšího pacienta: .
V tomto determinantu je příliš mnoho mínusů a bylo by hezké jejich počet snížit.
Vyjměte -1 z prvního řádku: 
Nebo kratší: 
Mínus před determinantem, jak již bylo ukázáno, není vhodné. Podíváme se na druhý řádek determinantu a všimneme si, že je tam příliš mnoho mínusů.
Vyjmeme "mínus" z druhého řádku: 
Co jiného se dá dělat? Všechna čísla ve druhém sloupci jsou beze zbytku dělitelná 4. Vyjměte 4 z druhého sloupce: 
Platí i opačné pravidlo - multiplikátor může nejen vydržet, ale také přispět, navíc v JAKÉKOLIV řádku nebo v JAKÉKOLIV sloupci determinantu.
Pro zajímavost vynásobme třetí řádek determinantu 4: 
Pečlivé mysli mohou ověřit rovnost původních a přijatých determinantů (správná odpověď: -216).
V praxi se často provádí zavedení mínusu. Uvažujme o determinantu. Záporné znaménko před determinantem lze zadat do JAKÉHOKOLI řádku nebo JAKÉHOKOLI sloupce. Nejlepším kandidátem je třetí sloupec a my k němu přidáme mínus: 
Všimli jsme si také, že všechna čísla v prvním sloupci jsou beze zbytku dělitelná 2, ale stojí za to vyjmout „dvě“? Pokud se chystáte snížit pořadí determinantu (o čemž bude řeč v závěrečné části), pak se to rozhodně vyplatí. Pokud ale otevřete determinant v řadě (sloupci), pak „dvojka“ vpředu pouze prodlouží záznam řešení.
Pokud je však multiplikátor velký, například 13, 17 atd., pak je samozřejmě výhodnější jej stejně vyjmout. Pojďme se seznámit s malou příšerou:. Z prvního řádku vyjmeme -11, z druhého řádku -7:
Říkáte si, výpočty už na běžné kalkulačce tak rychle cvakají? To je pravda. Ale za prvé to nemusí být po ruce a za druhé, pokud je uveden determinant 3. nebo 4. řádu s velkými čísly, pak opravdu nechcete klepat na tlačítka.
Úkol 3
Vypočítejte determinant rozdělením řádků a sloupců
Toto je příklad typu „udělej si sám“.
Několik dalších užitečných pravidel:
Jsou-li dva řádky (sloupce) determinantu poměrné
(ve zvláštním případě jsou stejné), pak je tento determinant roven nule
Zde jsou odpovídající prvky prvního a druhého řádku proporcionální:
Někdy se říká, že řetězce determinantu lineárně závislé. Protože se při transpozici hodnota determinantu nemění, pak lineární závislost sloupců vyplývá z lineární závislosti řádků.
Do příkladu můžete vložit geometrický význam - pokud předpokládáme, že souřadnice jsou zapsány v řádcích vektory prostoru, pak první dva vektory s proporcionálními souřadnicemi budou kolineární, což znamená, že všechny tři vektory - lineárně závislé, tedy koplanární.
V následujícím příkladu jsou tři sloupce proporcionální (a mimochodem také tři řádky): 
Zde je druhý a třetí sloupec stejný, jedná se o speciální případ – kdy je koeficient proporcionality roven jedné
Tyto vlastnosti lze využít v praxi. Ale pamatujte, zvýšená úroveň znalostí je někdy trestuhodná ;-) Proto může být lepší takové determinanty odhalit běžným způsobem (předem vědět, že to dopadne nulově).
Je třeba poznamenat, že opak neplatí obecně- pokud je determinant roven nule, pak z tohoto ještě nebýtže jeho řádky (sloupce) jsou proporcionální. To znamená, že lineární závislost řádků / sloupců nemusí být explicitní.
Existuje také jasnější znamení, kdy můžete okamžitě říci, že determinant je nula:
Determinant s nulovým řádkem (sloupcem) je nula
"Amatérská" kontrola je elementární, rozšiřme determinant o první sloupec: 
Výsledek se však nezmění, pokud je determinant rozšířen v libovolném řádku nebo sloupci.
Vymačkejte druhou sklenici pomerančové šťávy:
Jaké vlastnosti determinantů je užitečné znát?
1) Hodnota determinantu se při transpozici nemění. Pamatujeme si nemovitost.
2) Libovolná párová permutace řádků (sloupců) změní znaménko determinantu na opačné. Nemovitost si také pamatujeme a snažíme se ji nepoužívat, aby nedošlo k záměně.
3) Z řádku (sloupce) determinantu můžete vyjmout násobitel (a vrátit jej zpět). Používáme to tam, kde je to prospěšné.
4) Pokud jsou řádky (sloupce) determinantu proporcionální, pak je roven nule. Determinant s nulovým řádkem (sloupcem) je roven nule.
Během hodiny byl opakovaně pozorován elementární vzor - čím více nul v řadě (sloupci), tím snazší je výpočet determinantu. Nabízí se otázka, je možné nuly nějak speciálně uspořádat pomocí nějaké transformace? Umět! Pojďme se seznámit s další velmi silnou vlastností:
Snížení pořadí determinantu
Je velmi dobré, pokud jste se s tím již vypořádali Gaussova metoda a mají zkušenosti s řešením soustav lineárních rovnic tímto způsobem. Vlastnost formulovaná níže ve skutečnosti duplikuje jednu z elementární transformace.
Abychom získali chuť k jídlu, rozdrtíme malou žábu: 
K řetězci determinantů můžete přidat další řetězec vynásobený nenulovým číslem. V tomto případě se hodnota determinantu nezmění
Příklad: v determinantu dostaneme nulu vlevo nahoře.
K tomu druhý řádek mentálně nebo v průvanu vynásobte 3: (–3, 6) a přidejte druhý řádek k prvnímu řádku vynásobenému 3:
Napíšeme výsledek do prvního řádku:
Zkouška: 
Nyní ve stejném determinantu dostaneme nulu vpravo dole. Pro tohle k druhému řádku přidejte první řádek, vynásobený (mentálně) -2):
Napíšeme výsledek do druhého řádku:
Poznámka: když se změní elementární transformace TAřádek, ke kterému přidáme UT.
Formulujme zrcadlové pravidlo pro sloupce:
Ke sloupci determinantu můžete přidat další sloupec vynásobený nenulovým číslem. V tomto případě se hodnota determinantu nezmění
Vezmeme zvíře za tlapky a pomocí této transformace dostaneme nulu vlevo nahoře. Chcete-li to provést mentálně nebo na konceptu, vynásobte druhý sloupec -3: a přidejte druhý sloupec k prvnímu sloupci, vynásobte -3:
Napíšeme výsledek do prvního sloupce:
A nakonec v determinantu dostaneme nulu vpravo dole. Pro tohle do druhého sloupce přidáme první sloupec, vynásobený (mentálně) 2(dívejte se a počítejte zprava doleva):
Výsledek je umístěn do druhého sloupce:
Při elementární transformaci se mění ŽE sloupec, do kterého přidáme UT.
Pokuste se kvalitativně strávit následující příklad.
Pošleme vzrostlého obojživelníka do polévky:
Úkolem je snížit řád determinantu pomocí elementárních transformací až do druhého řádu.
kde začít? Nejprve v determinantu musíte zvolit číslo - "cíl". "Cíl" je téměř vždy jedna nebo -1. Podíváme se na determinant a všimneme si, že je zde dokonce na výběr. Nechť prvek je „cílové“ číslo: 
Poznámka : význam dvojitých indexů najdete v článku Cramerovo pravidlo. Maticová metoda. PROTI tento případ indexy prvku nám říkají, že se nachází ve druhém řádku, třetím sloupci.
Cílem je získat dvě nuly ve třetím sloupci: 
Nebo získat dvě nuly na druhém řádku: 
Ve druhém řádku jsou čísla menší (nezapomeňte na zlaté pravidlo), takže je výhodnější to vzít. A třetí sloupec s „cílovým“ číslem zůstane nezměněn: 
Přidejte třetí sloupec do druhého sloupce:
Nebylo potřeba nic množit.
Výsledek se zapíše do druhého sloupce: 
K prvnímu sloupci přidáme třetí sloupec, vynásobený (mentálně) -2:
Výsledek zapíšeme do prvního sloupce, rozbalíme determinant podél druhého řádku: 
Jak snížíme pořadí determinantu? Ve druhém řádku jsou dvě nuly.
Vyřešme příklad druhým způsobem, uspořádejme nuly ve třetím sloupci: 
Druhý řádek s „cílovým“ číslem zůstane nezměněn: 
K prvnímu řádku přidejte druhý řádek, vynásobený (mentálně) -4: 
Ke třetímu řádku přidejte druhý řádek, vynásobený (mentálně) 3 (podívejte se a počítejte zdola nahoru):
Výsledek zapíšeme do třetího řádku, rozbalíme determinant ve třetím sloupci: 
Všimněte si toho není třeba přeskupovat řádky nebo sloupce. Elementární transformace fungují dobře jak zleva doprava, tak zprava doleva. Jak shora dolů, tak zdola nahoru.
Úkol 4
Vypočítejte stejný determinant výběrem prvku jako „cílové“ číslo. Snižte jeho pořadí dvěma způsoby: získáním nul ve druhém řádku a získáním nul ve druhém sloupci.
Toto je příklad typu „udělej si sám“. Kompletní řešení a krátké komentáře na konci lekce.
Někdy v determinantu není žádná jednotka nebo -1, například: . V tomto případě by měl být „cíl“ organizován pomocí dodatečné elementární transformace. To lze provést nejčastěji několika způsoby. Například: k prvnímu řádku přidejte druhý řádek, vynásobený -1: 
Výsledek je napsán v prvním řádku: 
! Pozornost : NENÍ TŘEBA z prvního řádku odčítat druhý řádek, to značně zvyšuje pravděpodobnost chyby. Prostě složíme! Proto k prvnímu řádku přidáme druhý řádek, vynásobený -1. Přesně tak!
Jednotka byla přijata, čehož bylo požadováno dosáhnout. Pak můžete dostat dvě nuly v prvním řádku nebo v prvním sloupci. Kdo si přeje, může řešení doplnit (správná odpověď: -176).
Stojí za zmínku, že hotový „cíl“ je nejčastěji přítomen v původním determinantu a u determinantu 4. řádu a vyšších je dodatečná transformace extrémně nepravděpodobná.
Nasekáme pár velkých ropuch do guláše:
Úkol
Vyřešte systém lineární rovnice podle Cramerových vzorců 
Nevadí, pokud jste to ještě nečetli. Cramerova metoda, v tomto případě jednoduše vidíte, jak klesá pořadí determinantu "čtyři na čtyři". A samotné pravidlo bude jasné, pokud se trochu ponoříte do průběhu řešení.
Řešení: nejprve vypočítat hlavní determinant systémy: 
Je možné jít standardní cestou rozšířením daného determinantu o řádek nebo sloupec. Připomeňme si algoritmus z první lekce a pomocí matice znaků, kterou jsem vymyslel , rozšíříme determinant například o „klasický“ první řádek:
Nevidím vaše nadšení =) Samozřejmě můžete deset minut sedět a pečlivě a pečlivě rodit správnou odpověď. Potíž je ale v tom, že v budoucnu musíme spočítat ještě 4 determinanty čtvrtého řádu. Jediným rozumným východiskem je tedy snížit pořadí determinantu.
V determinantu je mnoho jednotek a naším úkolem je vybrat nejlepší způsob. Připomínáme zlaté pravidlo: v řadě (sloupci) by mělo být více nul a méně čísel. Z tohoto důvodu je druhý řádek nebo čtvrtý sloupec docela vhodný. Čtvrtý sloupec vypadá atraktivněji, navíc jsou tam dva. Jako "cíl" vyberte prvek: 
První řádek se nezmění. A druhý taky - tam už je nutná nula: 
Ke třetímu řádku přidejte první řádek, vynásobený -1 (podívejte se a počítejte odspoda nahoru):
! Znovu pozor : Není třeba ze třetího řádku odčítat první řada. Prostě složíme!
Výsledek je zapsán na třetím řádku: 
Ke čtvrtému řádku přidejte první řádek vynásobený 3 (podívejte se a počítejte odspoda nahoru):
Výsledek je zapsán na čtvrtém řádku: 
(1) Rozbalte determinant ve čtvrtém sloupci. Nezapomeňte, že k prvku musíte přidat „mínus“ (viz matice znaků).
(2) Pořadí determinantu je sníženo na 3. místo. V zásadě se dá rozložit do řádku (sloupce), ale lepší je dopracovat se k vlastnostem determinantu. Do druhého řádku zadáme mínus.
(3) Do druhé řady přidáme první řadu vynásobenou 3. Do třetí řady přidáme první řadu vynásobenou 7.
(4) Determinant rozšíříme o druhý sloupec, čímž jeho řád dále snížíme na dva.
Všimněte si, jak se řešení zmenšilo! Jde hlavně o to, dostat se s elementárními proměnami trochu „do ruky“ a taková příležitost se naskytne právě teď. Navíc máte k dispozici kalkulačku počítající determinanty (zejména ji najdete na stránce Matematické vzorce a tabulky). S pomocí kalkulačky je snadné ovládat prováděné akce. Mám determinant 
v prvním kroku - a hned zkontroloval, zda se rovná původnímu determinantu.
(1) Rozšiřte determinant o třetí řádek. Pořadí determinantu je redukováno na tři.
(2) Do prvního sloupce zadejte „mínus“.
(3) Do druhé řady přidáme první řadu vynásobenou 3. Do třetí řady přidáme první řadu vynásobenou 5.
(4) Rozšiřte determinant o druhý sloupec a snižte pořadí determinantu na dva.
Jsme úžasní komplex oběd a je čas na dezert: 
Už to není ani ropucha, je to sama Godzilla. Vezmeme připravenou sklenici pomerančového džusu a uvidíme, jak se pořadí determinantu snižuje. Algoritmus je, myslím, jasný: z pátého řádu jej snížíme na čtvrtý, ze čtvrtého na třetí a ze třetího na druhý:
(1) K prvnímu, třetímu, čtvrtému a pátému řádku přidejte druhý řádek.
(2) Rozbalte determinant ve 3. sloupci. Pořadí determinantu kleslo na čtyři.
(3) Ze 4. sloupce vyjmeme 2. První řádek vynásobíme -1, a aby se determinant nezměnil, dáme před něj „mínus“. Tato transformace proveden za účelem zjednodušení dalších výpočtů.
(4) Přidejte první řádek ke druhému a třetímu řádku. Ke čtvrtému řádku přidejte první řádek vynásobený 3.
(5) Rozbalte determinant ve 4. sloupci. Objednávka je snížena na tři.
(6) Rozbalte determinant ve 2. sloupci. Objednávka je snížena na dvě.
(7) Vyjmeme "mínus" z 1. sloupce.
Všechno dopadlo snadněji, než se zdálo, všechna monstra mají slabá místa!
Neúnavní čtenáři se mohou pokusit vyřešit determinant pátého řádu i jinak, naštěstí je v něm spousta jednotek.
Do prvního sloupce byl přidán druhý sloupec vynásobený 2. Druhý sloupec byl přidán do třetího sloupce. Na druhém řádku byl otevřen determinant.
Snižte pořadí determinantu a do druhého sloupce dostanete nuly:
Druhý řádek byl přidán k prvnímu řádku, vynásobený -2. Ke třetímu řádku byl přidán druhý řádek vynásobený 2. Determinant byl otevřen podle druhého sloupce.
Úkol 5: Řešení:
(1) Do první řady přidáme třetí řadu vynásobenou 3. Do druhé řady přidáme třetí řadu vynásobenou 5. Ke 4. řadě přidáme třetí řadu vynásobenou 2.
(2) Rozšiřte determinant o první sloupec.
(3) Do druhého sloupce přidejte třetí sloupec vynásobený 9. K prvnímu sloupci přidejte třetí sloupec.
(4) Rozšiřte determinant o třetí řádek.
(1) Přidejte druhý sloupec k prvnímu sloupci. Přidejte druhý sloupec do třetího sloupce
(2) Rozšiřte determinant o třetí řádek.
(3) Do prvního řádku zadejte „mínus“.
(4) Ke druhému řádku přidejte první řádek vynásobený 6. Ke třetímu řádku přidejte první řádek
(5) Rozšiřte determinant o první sloupec.
V obecném případě je pravidlo pro výpočet determinantů $n$-tého řádu poněkud těžkopádné. Pro determinanty druhého a třetího řádu existují racionální způsoby jejich výpočtu.
Výpočty determinantů druhého řádu
Pro výpočet determinantu matice druhého řádu je nutné odečíst součin prvků vedlejší úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:
$$\left| \begin(pole)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(pole)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$
Příklad
Cvičení. Vypočítejte determinant druhého řádu $\left| \begin(pole)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(pole)\right|$
Řešení.$\left| \begin(pole)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(pole)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 $
Odpovědět.$\left| \begin(pole)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(pole)\right|=69$
Metody výpočtu determinantů třetího řádu
Existují pravidla pro výpočet determinantů třetího řádu.
trojúhelníkové pravidlo
Schematicky lze toto pravidlo znázornit takto:
Součin prvků v prvním determinantu, které jsou spojeny čarami, se bere se znaménkem plus; obdobně pro druhý determinant se odpovídající součiny berou se znaménkem minus, tzn.
$$\left| \begin(pole)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\konec(pole)\vpravo|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$
$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$
Příklad
Cvičení. Vypočítejte $\left| \begin(pole)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (pole)\right|$ metodou trojúhelníku.
Řešení.$\left| \begin(pole)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (pole)\vpravo|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Odpovědět.
Sarrus vládne
Napravo od determinantu se přidají první dva sloupce a součiny prvků na hlavní diagonále a na úhlopříčkách s ní rovnoběžných se berou se znaménkem plus; a součin prvků sekundární úhlopříčky a úhlopříček s ní rovnoběžných se znaménkem mínus:
$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$
Příklad
Cvičení. Vypočítejte $\left| \begin(pole)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (pole)\right|$ pomocí Sarrusova pravidla.
Řešení. 
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54 $ $
Odpovědět.$\left| \begin(pole)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (pole)\vpravo|=54$
Řádková nebo sloupcová expanze determinantu
Determinant je roven součtu součinů prvků řady determinantu a jejich algebraických doplňků. Obvykle zvolte řádek/sloupec, ve kterém/tém jsou nuly. Řádek nebo sloupec, na kterém se provádí rozklad, bude označen šipkou.
Příklad
Cvičení. Rozšířením přes první řádek vypočítejte determinant $\left| \begin(pole)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \right|$
Řešení.$\left| \begin(pole)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \vpravo| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$
$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(pole)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(pole)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(pole)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(pole)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(pole)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(pole)\right|=-3+12-9=0$
Odpovědět.
Tato metoda umožňuje zredukovat výpočet determinantu na výpočet determinantu nižšího řádu.
Příklad
Cvičení. Vypočítejte $\left| \begin(pole)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \right|$
Řešení. Proveďme na řádcích determinantu následující transformace: od druhého řádku odečteme první čtyři a od třetího prvního řádku, vynásobeného sedmi, v důsledku toho podle vlastností determinantu dostaneme determinant rovna danému.
$$\left| \begin(pole)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \right|=\left| \begin(pole)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(pole)\right|=$$
$$=\left| \begin(pole)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(pole)\right|=\left| \begin(pole)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(pole)\vpravo|=0$$
Determinant je nula, protože druhý a třetí řádek jsou proporcionální.
Odpovědět.$\left| \begin(pole)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(pole) \right|=0$
K výpočtu determinantů čtvrtého řádu a vyšších se používá buď rozšíření řádků / sloupců, nebo redukce do trojúhelníkového tvaru nebo pomocí Laplaceovy věty.
Rozklad determinantu z hlediska prvků řádku nebo sloupce
Příklad
Cvičení. Vypočítejte $\left| \begin(pole)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(pole)\right|$ , rozbalí jej na prvky nějakého řádku nebo sloupce.
Řešení. Proveďme nejprve elementární transformace na řádcích determinantu , udělejme co nejvíce nul v řádku nebo ve sloupci. Za tímto účelem nejprve odečteme devět třetin od prvního řádku, pět třetin od druhého a tři třetiny od čtvrtého, dostaneme:
$$\left| \begin(pole)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(pole)\right|=\left| \begin(pole)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(pole)\vpravo|=\ vlevo| \begin(pole)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\konec (pole)\vpravo|$$
Výsledný determinant rozšíříme o prvky prvního sloupce:
$$\left| \begin(pole)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(pole)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(pole)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ konec(pole)\vpravo|+0$$
Výsledný determinant třetího řádu je také rozšířen o prvky řádku a sloupce, které předtím získaly nuly, například v prvním sloupci. Za tímto účelem odečteme dva druhé řádky od prvního řádku a druhý od třetího:
$$\left| \begin(pole)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(pole)\right|=\left| \begin(pole)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( pole)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(pole)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(pole)\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Odpovědět.$\left| \begin(pole)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\konec(pole)\vpravo|=0$
Komentář
Poslední a předposlední determinanty nebylo možné vypočítat, ale okamžitě došlo k závěru, že jsou rovny nule, protože obsahují proporcionální řádky.
Uvedení determinantu do trojúhelníkového tvaru
Pomocí elementárních transformací přes řádky nebo sloupce je determinant redukován do trojúhelníkového tvaru a jeho hodnota se pak podle vlastností determinantu rovná součinu prvků na hlavní diagonále.
Příklad
Cvičení. Vypočítejte determinant $\Delta=\left| \begin(pole)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(pole)\vpravo|$ čímž se dostane do trojúhelníkového tvaru.
Řešení. Nejprve uděláme nuly v prvním sloupci pod hlavní diagonálou. Všechny transformace se snáze provedou, pokud je prvek $a_(11)$ roven 1. K tomu prohodíme první a druhý sloupec determinantu, což podle vlastností determinantu způsobí, že změnit znaménko na opačné:
$$\Delta=\left| \begin(pole)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(pole)\right|=-\left| \begin(pole)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\konec (pole)\vpravo|$$
$$\Delta=-\left| \begin(pole)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\konec (pole)\vpravo|$$
Dále dostaneme nuly ve druhém sloupci místo prvků pod hlavní diagonálou. A znovu, pokud je diagonální prvek roven $\pm 1$ , pak budou výpočty jednodušší. K tomu prohodíme druhý a třetí řádek (a zároveň změníme na opačné znaménko determinantu):
$$\Delta=\left| \begin(pole)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\konec (pole)\vpravo|$$
VLASTNOST 1. Hodnota determinantu se nezmění, pokud budou všechny jeho řádky nahrazeny sloupci a každý řádek bude nahrazen sloupcem se stejným číslem, tzn.
VLASTNOST 2. Permutace dvou sloupců nebo dvou řádků determinantu je ekvivalentní vynásobení -1. Například,
.
VLASTNOST 3. Pokud má determinant dva stejné sloupce nebo dva stejné řádky, pak je roven nule.
VLASTNOST 4. Vynásobení všech prvků jednoho sloupce nebo jednoho řádku determinantu libovolným číslem k je ekvivalentní vynásobení determinantu tímto číslem k. Například,
.
VLASTNOST 5. Pokud jsou všechny prvky některého sloupce nebo některého řádku rovny nule, pak samotný determinant je roven nule. Tato vlastnost je speciální případ předchozí (pro k=0).
VLASTNOST 6. Pokud jsou odpovídající prvky dvou sloupců nebo dvou řádků determinantu proporcionální, pak je determinant roven nule.
VLASTNOST 7. Je-li každý prvek n-tého sloupce nebo n-tého řádku determinantu součtem dvou členů, pak determinant může být reprezentován jako součet dvou determinantů, z nichž jeden je v n-tém sloupci nebo v n-tém sloupci. řádek má první z uvedených termínů a druhý - druhý; prvky na zbývajících místech jsou stejné pro milníky tří determinantů. Například,
VLASTNOST 8. Pokud k prvkům některého sloupce (nebo nějakého řádku) přidáme odpovídající prvky jiného sloupce (nebo jiného řádku), vynásobené jakýmkoli společným faktorem, pak se hodnota determinantu nezmění. Například,
.
Další vlastnosti determinantů souvisí s pojmem algebraický doplněk a moll. Vedlejším prvkem některého prvku je determinant získaný z daného vymazáním řádku a sloupce, na jehož průsečíku se tento prvek nachází.
Algebraický doplněk libovolného prvku determinantu se rovná menšímu bodu tohoto prvku, bráno jeho znaménkem, pokud je součet čísel řádků a sloupců, na jejichž průsečíku se prvek nachází, sudé číslo, a s opačným podepište, pokud je toto číslo liché.
Algebraický doplněk prvku budeme označovat velkým písmenem stejného jména a stejného čísla jako písmeno, které označuje prvek samotný.
VLASTNOST 9. Determinant
se rovná součtu součinů prvků libovolného sloupce (nebo řádku) a jejich algebraických doplňků.
Jinými slovy, platí následující rovnosti:
, ,
, .
6) Vedlejší a algebraické sčítání.
Definice. Vedlejším prvkem determinantu je tl objednat volala determinant-tý řád, který se získá z daného determinant odstraněním -tého řádku a -tého sloupce, na jejichž průsečíku je prvek .
Označení: .
Definice. Algebraickým doplňkem prvku determinantu -tého řádu je jeho moll, braný se znaménkem plus, jestliže - sudé číslo a se znaménkem mínus jinak.
Označení: .
Teorém. (O expanzi determinantu.)
Determinant se rovná součtu součinů prvků libovolného řádku (nebo libovolného sloupce) determinantu a jejich algebraických doplňků:
7) Inverzní matice- takový matice A −1 , při vynásobení kterým, původní matice A dává jako výsledek matice identity E:
čtvercová matice je invertibilní právě tehdy, je-li nedegenerovaný, tedy jeho determinant se nerovná nule. Pro nečtvercové matice a degenerované matrice inverzní matice neexistují. Je však možné tento pojem zobecnit a zavést pseudoinverzní matice, podobně jako inverze v mnoha vlastnostech.
8)Hodnost matice- nejvyšší řád nezletilí tato matice, nenulová
Hodnost matice je obvykle označena () nebo . Obě označení k nám přišla z cizích jazyků, a proto lze použít obě.
Vlastnosti
Věta (o menším základu): Nechť r = rang A M je menší základ matice A, pak:
základní řádky a základní sloupce jsou lineárně nezávislé;
libovolný řádek (sloupec) matice A je lineární kombinací základních řádků (sloupců).
Zde budou uvedeny ty vlastnosti, které se obvykle používají k výpočtu determinantů ve standardním kurzu vyšší matematiky. Toto je vedlejší téma, na které se podle potřeby odkážeme ze zbývajících částí.
Takže za předpokladu nějaké čtvercové matice $A_(n\krát n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( pole )\vpravo)$. Každá čtvercová matice má charakteristiku nazývanou determinant (nebo determinant). Nebudu zde zabíhat do podstaty tohoto konceptu. Pokud to vyžaduje vysvětlení, napište o tom prosím na fórum a já se dotknu Tento problém více informací.
Determinant matice $A$ je označen jako $\Delta A$, $|A|$ nebo $\det A$. Determinant Order rovný počtu řádků (sloupců) v něm.
- Hodnota determinantu se nezmění, pokud budou jeho řádky nahrazeny odpovídajícími sloupci, tzn. $\Delta A=\Delta A^T$.
zobrazit/skrýt
Nahraďme v něm řádky sloupci podle principu: "byl první řádek - stal se první sloupec", "byl druhý řádek - stal se druhý sloupec":
Vypočítejme výsledný determinant: $\left| \begin(pole) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(pole) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Jak vidíte, hodnota determinantu se od náhrady nezměnila.
- Pokud prohodíte dva řádky (sloupce) determinantu, pak se znaménko determinantu změní na opačné.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Zvažte $\left| \begin(pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|$. Jeho hodnotu najdeme pomocí vzorce č. 1 z tématu výpočtu determinantů druhého a třetího řádu:
$$\left| \begin(pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Nyní prohodíme první a druhý řádek. Získejte determinant $\left| \begin(pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(pole) \right|$. Vypočítejme výsledný determinant: $\left| \begin(pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(pole) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Hodnota původního determinantu tedy byla (-37) a hodnota determinantu se změněným pořadím řádků je $-(-37)=37$. Znaménko determinantu se změnilo na opačné.
- Determinant, ve kterém jsou všechny prvky řádku (sloupce) rovny nule, je roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Protože v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(pole) \right|$ všechny prvky třetího sloupce jsou nula, pak determinant je nula, tj. $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(pole) \right|=0$.
- Determinant, ve kterém jsou všechny prvky určitého řádku (sloupce) rovny odpovídajícím prvkům jiného řádku (sloupce), je roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Protože v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(pole) \right|$ všechny prvky prvního řádku se rovnají odpovídajícím prvků druhé řady, pak je determinant nulový, tzn. $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(pole) \right|=0$.
- Pokud jsou v determinantu všechny prvky jednoho řádku (sloupce) úměrné odpovídajícím prvkům jiného řádku (sloupce), pak je takový determinant roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Protože v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(pole) \right|$ druhý a třetí řádek jsou proporcionální, tzn. $r_3=-3\cdot(r_2)$, pak je determinant roven nule, tzn. $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(pole) \right|=0$.
- Pokud mají všechny prvky řádku (sloupce) společný faktor, pak lze tento faktor vyjmout ze znaménka determinantu.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Zvažte $\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|$. Všimněte si, že všechny prvky druhého řádku jsou dělitelné 3:
$$\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|=\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$
Číslo 3 je společným faktorem všech prvků druhé řady. Vezměme trojku ze znaménka determinantu:
$$ \left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|=\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(pole) \right|= 3\cdot \left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(pole) \right| $$
- Determinant se nemění, jsou-li všechny prvky určitého řádku (sloupce) přičteny k odpovídajícím prvkům jiného řádku (sloupce), vynásobené libovolným číslem.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Zvažte $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|$. Přidejme k prvkům druhého řádku odpovídající prvky třetího řádku vynásobené 5. Tuto akci zapišme následovně: $r_2+5\cdot(r_3)$. Druhý řádek bude změněn, zbytek řádků zůstane nezměněn.
$$ \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \začátek(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|. $$
- Pokud je určitý řádek (sloupec) v determinantu lineární kombinací jiných řádků (sloupců), pak je determinant roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Hned vysvětlím, co znamená slovní spojení „lineární kombinace“. Mějme s řádků (nebo sloupců): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Výraz
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
kde $k_i\in R$ se nazývá lineární kombinace řádků (sloupců) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.
Zvažte například následující determinant:
$$ \left| \begin(pole) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(pole)\vpravo| $$
V tomto determinantu může být čtvrtý řádek vyjádřen jako lineární kombinace prvních tří řádků:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Uvažovaný determinant je tedy roven nule.
- Pokud je každý prvek určitého k-tého řádku (k-tého sloupce) determinantu roven součtu dvou členů, pak se takový determinant rovná součtu determinantů, z nichž první má v k- házet ( k-tý sloupec) mají první členy a druhý determinant v k-tém řádku (k-tém sloupci) má druhé členy. Ostatní prvky těchto determinantů jsou stejné.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide
Zvažte $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|$. Prvky druhého sloupce zapišme takto: $\left| \začátek(pole) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(pole) \vpravo|$. Pak se takový determinant rovná součtu dvou determinantů:
$$ \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(pole) \right|+ \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(pole) \right| $$
- Determinant součinu dvou čtvercových matic stejného řádu je roven součinu determinantů těchto matic, tzn. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Z tohoto pravidla můžete získat následující vzorec: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
- Pokud je matice $A$ nesingulární (tj. její determinant není roven nule), pak $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.
Vzorce pro výpočet determinantů
Pro determinanty druhého a třetího řádu platí následující vzorce:
\begin(rovnice) \Delta A=\left| \begin(pole) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(pole) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(rovnice) \begin(rovnice) \begin(zarovnáno) & \Delta A=\left| \begin(pole) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(pole) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(zarovnáno) \end(rovnice)
Příklady použití vzorců (1) a (2) jsou v tématu "Vzorce pro výpočet determinantů druhého a třetího řádu. Příklady výpočtu determinantů" .
Determinant matice $A_(n\krát n)$ lze rozšířit z hlediska i-tý řádek pomocí následujícího vzorce:
\začátek(rovnice)\Delta A=\součet\limity_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(rovnice)
Analog tohoto vzorce existuje také pro sloupce. Vzorec pro rozšíření determinantu v j-tém sloupci je následující:
\začátek(rovnice)\Delta A=\součet\limity_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(rovnice)
Pravidla vyjádřená vzorci (3) a (4) jsou podrobně ilustrována na příkladech a vysvětlena v tématu Snížení řádu determinantu. Rozklad determinantu v řadě (sloupci).
Uvádíme ještě jeden vzorec pro výpočet determinantů horních trojúhelníkových a dolních trojúhelníkových matic (vysvětlení těchto pojmů viz téma "Matice. Typy matic. Základní pojmy"). Determinant takové matice se rovná součinu prvků na hlavní diagonále. Příklady:
\begin(zarovnáno) &\left| \začátek(pole) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(pole) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \začátek(pole) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(pole) \ vpravo|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (zarovnáno)
