Mõelge beeta jaotusele, arvutage selle matemaatiline ootus, dispersioon, moodus. Kasutades MS EXCEL funktsiooni BETA.DIST(), joonistame jaotusfunktsiooni ja tõenäosustiheduse graafikud. Genereerime juhuslike arvude massiivi ja hindame jaotuse parameetreid.
beeta levitaminebeeta-
levitamine)
sõltub kahest parameetrist: α ( alfa)>0(määratleb jaotuse kuju) ja b (beeta)>0(määratleb skaala).
Erinevalt paljudest teistest pidevatest jaotustest on juhusliku muutuja variatsioonivahemik, millel on Beetaversiooni levitamine, mis on piiratud segmendiga . Väljaspool seda segmenti jaotustihedus on võrdne 0-ga. Selle lõigu piirid määrab uurija sõltuvalt ülesandest. Kui A=0 ja B=1, siis see Beetaversiooni levitamine nimetatakse standardiks.
Beetaversiooni levitamine omab tähistust beeta(alfa; beeta).
Märge: Kui parameetrid alfa Ja beeta= 1, siis Beeta levitamine muutub , s.o. Beeta(1; 1; A; B) = U(A; B).
Üldiselt jaotusfunktsioon ei saa väljendada elementaarfunktsioonides, seetõttu arvutatakse see arvmeetoditega, kasutades näiteks MS EXCEL funktsiooni BETA.DIST() .
Märge: Jaotusparameetrite näitefaili valemite kirjutamise mugavuse huvides alfa ja beeta loodud vastavad .
Graafikud on ehitatud ka näitefaili tõenäosustihedus Ja jaotusfunktsioonid märgitud väärtustega keskel, Ja .
Juhuslike arvude genereerimine ja parameetrite hindamine
Kasutades pöördjaotuse funktsioon(või kvantiiliväärtused ( lk-
kvantiil),
vaata ) on võimalik genereerida juhusliku suuruse väärtusi, millel on Beetaversiooni levitamine. Selleks peate kasutama valemit:
BETA.INV(RAND(); alfa; beeta; A; B)
NÕUANNE: Sest juhuslikud arvud genereeritakse funktsiooni RAND() abil, seejärel vajutades klahvi F9, saate iga kord saada uue valimi ja vastavalt parameetrite uue hinnangu.
Funktsioon RAND() genereerib 0 kuni 1, mis lihtsalt vastab tõenäosuse muutumise vahemikule (vt allpool). näite failileht Generation).
Nüüd on antud jaotusparameetritega genereeritud juhuslike arvude massiiv alfa Ja beeta(olgu neid 200), hindame jaotuse parameetreid.
Parameetri hinnang alfa Ja beeta saab teha hetke meetod(eeldusel, et parameetrid A ja B on teada):
Õige artikli link:
Oleinikova S.A. — Beetaseaduse kohaselt jaotatud juhuslike muutujate summa jaotusseaduse lähendamine // Küberneetika ja programmeerimine. - 2015. - nr 6. - lk 35 - 54. DOI: 10.7256/2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225
Beetaseaduse järgi jaotatud juhuslike suuruste summa jaotusseaduse lähendamine
| Oleinikova Svetlana Aleksandrovna tehnikateaduste doktor Voroneži Riikliku Tehnikaülikooli dotsent 394026, Venemaa, Voronež, Moskovski prospekt, 14 Oleinikova Svetlana Aleksandrovna tehnikateaduste doktor Voroneži Riikliku Tehnikaülikooli automatiseeritud ja arvutussüsteemide osakonna dotsent 394026, Venemaa, g. Voronež, Moskovski prospekt, 14 Artikli toimetusele esitamise kuupäev: 14-12-2015
Artikli läbivaatamise kuupäev: 15-12-2015
Annotatsioon. Käesolevas töös on uurimistöö objektiks juhusliku muutuja jaotustihedus, mis on lõpliku arvu beetaväärtuste summa, millest igaüks jaotub oma intervallis ja oma parameetritega. See seadus on tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas laialt levinud, kuna seda saab kasutada piisavalt suure hulga juhuslike nähtuste kirjeldamiseks, kui vastava pideva juhusliku suuruse väärtused on koondunud teatud intervalli. Kuna vajalikku beetaväärtuste summat ei saa väljendada ühegi teadaoleva seadusega, tekib probleem selle jaotustiheduse hindamisel. Töö eesmärk on leida beeta väärtuste summa jaotustihedusele selline lähendus, mille viga oleks kõige väiksem. Selle eesmärgi saavutamiseks viidi läbi arvutuslik eksperiment, mille tulemusena võrreldi jaotustiheduse arvväärtust etteantud arvu beetaväärtuste korral soovitud tiheduse ligikaudse väärtusega. Ligikaudsete väärtustena kasutati normaal- ja beetajaotust. Eksperimentaalanalüüsi tulemusena saadi tulemused, mis viitavad soovitava jaotusseaduse lähendamise otstarbekusele beetaseadusega. Saadud tulemuste ühe rakendusvaldkonnana käsitletakse juhusliku kestusega projektide juhtimise probleemi, kus võtmerolli mängib projekti elluviimise aja hindamine, mis tulenevalt ainevaldkonna spetsiifikast võib kirjeldada beetaväärtuste summa abil.
Märksõnad:
juhuslik suurus, beeta jaotus, jaotustihedus, normaaljaotuse seadus, juhuslike muutujate summa, arvutuskatse, rekursiivne algoritm, lähendus, viga, PERT
10.7256/2306-4196.2015.6.17225
Avaldamise kuupäev: 19-01-2016
abstraktne. Käesolevas töös käsitletava uurimistöö teemaks on juhusliku suuruse tõenäosustiheduse funktsioon (PDF), mis on lõpliku arvu beetaväärtuste summa. See seadus on tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas laialt levinud, kuna seda kasutades saab kirjeldada piisavalt suure hulga juhuslike sündmustega, kui vastava pideva juhusliku suuruse väärtus koondub teatud vahemikku. Kuna vajalikku beetaväärtuste summat ei saa väljendada ühegi teadaoleva seadusega, tekib selle tihedusjaotuse hindamise probleem. Eesmärk on leida PDF-ile selline beetaväärtuste summa lähendus, milles oleks kõige vähem viga. Selle eesmärgi saavutamiseks viidi läbi arvutuslik eksperiment, milles võrreldi etteantud arvu beetaväärtuste puhul PDF-i arvväärtust soovitud tiheduse lähendusega. Lähendusena kasutati normaal- ja beetajaotust. Eksperimentaalse analüüsi tulemusena saadi tulemused, mis näitavad beeta-jaotuse abil soovitud seaduse lähendamise asjakohasust. Tulemuste ühe rakendusvaldkonnana käsitletakse projektijuhtimise probleemi tööde juhuslike kestustega. Siin on võtmeküsimuseks projekti elluviimise aja hindamine, mida konkreetse ainevaldkonna tõttu saab kirjeldada beetaväärtuste summaga.
märksõnad: Juhuslik väärtus, beeta jaotus, tihedusfunktsioon, normaaljaotus, juhuslike muutujate summa, arvutuslik eksperiment, rekursiivne algoritm, lähendus, viga, PERT Sissejuhatus Vaadeldakse beetaväärtuste summa jaotusseaduse hindamise probleemi. See on universaalne seadus, mida saab kasutada enamiku juhuslike nähtuste kirjeldamiseks pideva jaotuse seadusega. Eelkõige on enamikul juhtudest, kui uuritakse juhuslikke nähtusi, mida saab kirjeldada kindlas väärtusvahemikus asuvate unimodaalsete pidevate juhuslike muutujate abil, sellist väärtust beetaseaduse abil ligikaudselt. Sellega seoses pole beetaväärtuste summa jaotusseaduse leidmise probleem mitte ainult teaduslikku laadi, vaid ka teatud praktilist huvi. Samal ajal, erinevalt enamikust jaotusseadustest, ei ole beetaseadusel ainulaadseid omadusi, mis võimaldaksid vajalikku summat analüütiliselt kirjeldada. Pealegi on selle seaduse spetsiifilisus selline, et juhuslike suuruste summa tiheduse määramisel vajaliku mitmekordse kindla integraali eraldamine on äärmiselt keeruline ja tulemuseks on üsna tülikas avaldis juba n=2 juures ja koos terminite arvu suurenemisel suureneb lõppavaldise keerukus kordades. Sellega seoses tekib probleem beetaväärtuste summa jaotustiheduse lähendamisel minimaalse veaga.
See artikkel tutvustab lähenemist soovitud seadusele lähenduse leidmiseks arvutusliku eksperimendi abil, mis võimaldab igal konkreetsel juhul võrrelda viga, mis on saadud huvipakkuva tiheduse hindamisel, kasutades kõige sobivamaid seadusi: normaal- ja beeta. Selle tulemusena tehti järeldus beeta väärtuste summa hindamise otstarbekuse kohta beeta jaotuse abil. 1. Probleemi ja selle tunnuste avaldus Üldiselt määrab beetaseaduse intervallis antud tihedus järgmiselt:
` f_(xi_(i))(x)=((0, ; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`
Praktilist huvi pakuvad aga reeglina suvalise intervalliga määratud beetaväärtused. Esiteks on see tingitud asjaolust, et antud juhul on praktiliste probleemide ring palju laiem ja teiseks ei ole üldisema juhtumi jaoks lahenduse leidmisel võimalik konkreetse juhtumi kohta tulemust saada. , mis määratakse juhusliku suuruse (1) abil. Seetõttu käsitleme järgnevas juhuslikke muutujaid, mis on defineeritud suvalise intervalliga. Sel juhul saab probleemi sõnastada järgmiselt.
Juhusliku muutuja jaotusseaduse hindamise probleem, mis on juhuslike suuruste summa `xi_(i) ,` i=1,…,n, millest igaüks jaotub vastavalt beetaseadusele parameetritega p i ja q i intervallis. Üksikute terminite jaotustihedus määratakse järgmise valemiga:
Osaliselt on beetaväärtuste summa seaduse leidmise probleem juba varem lahendatud. Eelkõige saadi valemid kahe beetaväärtuse summa hindamiseks, millest igaüks on defineeritud kasutades (1). Pakutakse välja lähenemisviis kahe juhusliku suuruse summa leidmiseks jaotusseadusega (2).
Üldjuhul ei ole algne probleem siiski lahendatud. Selle põhjuseks on eelkõige valemi (2) eripära, mis ei võimalda saada kompaktseid ja mugavaid valemeid tiheduse leidmiseks juhuslike suuruste summast. Tõepoolest, kahe koguse eest „xi_1” ja „xi_2”. soovitud tihedus määratakse järgmiselt:
`f_(eta)(z)=int_-prop^propf_(xi_1)(x)f_(xi_2)(z-x)dx (3)
n juhusliku muutuja liitmise korral saadakse mitmekordne integraal. Samal ajal on selle probleemi puhul raskusi, mis on seotud beeta jaotuse eripäradega. Täpsemalt, juba n=2 korral annab valemi (3) kasutamine väga tülika tulemuse, mis on määratud hüpergeomeetriliste funktsioonide järgi. Saadud tiheduse integraali uuesti võtmine, mida tuleb teha juba n=3 ja üle selle, on äärmiselt keeruline. Samas pole välistatud ka vead, mis nii keerulise avaldise ümardamisel ja arvutamisel paratamatult tekivad. Sellega seoses on vaja leida valemile (3) lähendus, mis võimaldab kasutada teadaolevaid valemeid minimaalse veaga.
2. Arvutuskatse beetaväärtuste summa tiheduse lähendamiseks Soovitud jaotustiheduse spetsiifika analüüsimiseks viidi läbi eksperiment, mis võimaldab koguda statistilist informatsiooni juhusliku suuruse kohta, mis on etteantud arvu juhuslike muutujate summa, millel on etteantud parameetritega beeta-jaotus. Katse ülesehitust kirjeldati lähemalt aastal. Erinevate beetaväärtuste parameetreid ja ka nende arvu suure hulga katsete tulemusel muutes jõudsime järgmistele järeldustele.
1. Kui summas sisalduvad üksikud juhuslikud suurused on sümmeetriliste tihedustega, siis lõppjaotuse histogramm on normaallähedase kujuga. Tavaseadusele lähedased on ka hinnangud lõppväärtuse arvulistele karakteristikutele (matemaatiline ootus, dispersioon, asümmeetria ja kurtoos).
2. Kui üksikud juhuslikud suurused on asümmeetrilised (nii positiivse kui negatiivse asümmeetriaga), kuid summaarne asümmeetria on 0, siis graafilise esituse ja numbriliste karakteristikute seisukohalt on ka saadud jaotusseadus normilähedane.
3. Muudel juhtudel on soovitud seadus visuaalselt lähedane beetaseadusele. Eelkõige on joonisel 1 näidatud viie asümmeetrilise juhusliku suuruse summa.
Joonis 1 – viie võrdselt asümmeetrilise juhusliku suuruse summa
Seega on katse põhjal võimalik püstitada hüpotees beetaväärtuste summa tiheduse võimaliku lähendamise kohta normaal- või beetajaotusega.
Selle hüpoteesi kinnitamiseks ja lähendamiseks ühe seaduse valimiseks viime läbi järgmise katse. Arvestades beetajaotusega juhuslike muutujate arvu ja ka nende parameetreid, leiame soovitud tiheduse arvväärtuse ja võrdleme seda vastava normaal- või beetajaotuse tihedusega. Selleks on vaja:
1) töötada välja algoritm, mis võimaldab arvuliselt hinnata beetaväärtuste summa tihedust;
2) määrab antud parameetrite ja algväärtuste arvu korral normaal- või beetajaotuse eeldusel lõppjaotuse parameetrid;
3) määrab normaaljaotuse või beetajaotuse järgi lähendamise vea.
Vaatleme neid ülesandeid üksikasjalikumalt. Beeta väärtuste summa tiheduse leidmise numbriline algoritm põhineb rekursioonil. n suvalise juhusliku muutuja summat saab määratleda järgmiselt:
`eta_(n)=xi_(1)+...+xi_(n)=eta_(n-1)+xi_(n) , (4)
`eta_(n-1)=xi_(1)+...+xi_(n-1)` . (5)
Samamoodi saame kirjeldada juhusliku muutuja `eta_(n-1)` jaotustihedust:
`eta_(n-1)=xi_(1)+...+xi_(n-1)=eta_(n-2)+xi_(n-1) , (6)
Sarnast mõttekäiku jätkates ja valemit (3) kasutades saame:
`f_(eta_(n))(x)=int_-prop^prop(f_(xi_(n-1))(x-x_(n-1))*int_-prop^prop(f_(xi_(n-) 2))(x_(n-1)-x_(n-2))...int_-prop^propf_(xi_(2))(x_(2)-x_(1))dx_(1)... )dx_(n-2))dx_(n-1). (7)".
Neid kaalutlusi ja ka beeta-jaotusega koguste tiheduse määramise eripärasid on üksikasjalikumalt kirjeldatud.
Lõpliku jaotusseaduse parameetrid määratakse juhuslike suuruste sõltumatuse eelduse alusel. Sel juhul määratakse nende summa matemaatiline ootus ja dispersioon järgmiste valemitega:
`Meta_(n)=Mxi_(1)+...+Mxi_(n), (8)`
Tavaseaduse puhul määratakse parameetrid a ja 'sigma' otse valemitega (8) ja (9). Beeta jaotuse jaoks on kõigepealt vaja arvutada alumine ja ülemine piir. Neid saab määratleda järgmiselt:` `
`a=summa_(i=1)^na_(i)` ; (10)
` ` `b=sum_(i=1)^nb_(i) ` . (üksteist)
Siin on a i ja b i üksikute terminite intervallide piirid. Järgmisena koostame võrrandisüsteemi, mis sisaldab valemeid beetaväärtuse matemaatiliseks ootuseks ja hajutamiseks:
`((Mxi=a+(ba)p/(p+q)),(Dxi=(ba)^(2)(pq)/((p+q)^2(p+q+1))): ) (12)".
Siin on "xi" juhuslik väärtus, mis kirjeldab soovitud summat. Selle matemaatiline ootus ja dispersioon määratakse valemitega (8) ja (9); parameetrid a ja b - valemite (10) ja (11) järgi. Olles lahendanud süsteemi (12) parameetrite p ja q osas, saame:
`p=((b-Mxi)(Mxi-a)^2-Dxi(Mxi-a))/(Dxi(b-a)) . (13)
`q=((b-Mxi)^2(Mxi-a)-Dxi(b-Mxi))/(Dxi(b-a)) . (14)
`E=int_a^b|hatf(x)-f_(eta)(x)|dx. (15)".
Siin on "hatf(x)" beetaväärtuste summa ligikaudne väärtus; „f_(eta)(x)” – beetaväärtuste summa jaotusseadus.
Vigade hindamiseks muudame järjestikku üksikute beetaväärtuste parameetreid. Eelkõige pakuvad huvi järgmised küsimused:
1) kui kiiresti läheneb beetaväärtuste summa normaaljaotusele ja kas summat on võimalik hinnata mõne muu seadusega, millel on minimaalne viga beetaväärtuste summa tegeliku jaotusseaduse suhtes;
2) kui palju suureneb viga beetaväärtuste komponentide asümmeetria suurenemisel;
3) kuidas viga muutub, kui beetaväärtuste jaotusintervallid muudetakse.
Katsealgoritmi üldskeemi beetaväärtuste parameetrite iga üksiku väärtuse jaoks saab esitada järgmiselt (joonis 2).
Joonis 2 - Katse algoritmi üldskeem
PogBeta - viga, mis tuleneb lõppseaduse lähendamisest intervalli beeta jaotusega;
PogNorm - viga, mis tuleneb lõppseaduse lähendamisest intervalli normaaljaotusega;
ItogBeta - vea lõppväärtus, mis tuleneb lõpliku jaotuse lähendamisest beetaseadusega;
ItogNorm - vea lõppväärtus, mis tuleneb lõppjaotuse lähendamisest normaalseadusega. 3. Katse tulemused Analüüsime eelnevalt kirjeldatud katse tulemusi.
Vigade vähenemise dünaamika koos terminite arvu suurenemisega on näidatud joonisel 3. Terminite arv on näidatud piki abstsissi ja viga on näidatud piki ordinaati. Edaspidi näitab seeria "Normid" vea muutumist normaaljaotuse järgi, seeria "Beeta" - beeta jaotuse järgi.
Joonis 3 - Vigade vähendamine terminite arvu vähenemisega
Nagu sellelt jooniselt näha, on kahe termini lähendusviga beetaseaduse järgi ligikaudu 4 korda väiksem kui normaaljaotuse seaduse lähendusviga. Ilmselt väheneb terminite kasvades lähendusviga tavaseaduse järgi palju kiiremini kui beetaseaduse järgi. Samuti võib eeldada, et väga suure hulga terminite korral on normaalseaduse järgi lähendamisel väiksem viga kui beeta-jaotuse järgi lähendamisel. Arvestades aga antud juhul vea väärtust, võime järeldada, et terminite arvu seisukohalt on eelistatavam beetajaotus.
Joonisel 4 on näidatud vigade muutuste dünaamika juhuslike suuruste asümmeetria suurenemisega. Ilma üldistust kaotamata fikseeriti kõigi algsete beetaväärtuste parameeter p väärtusele 2 ja abstsiss näitab parameetri q + 1 dünaamikat. Graafikutel olev y-telg näitab lähendusviga. Muude parameetrite väärtustega tehtud katse tulemused on üldiselt sarnased.
Sel juhul on ilmne ka eelistus beetaväärtuste summa lähendamiseks beeta jaotuse järgi.
Joonis 4 - Lähendusvigade muutus suuruste asümmeetria suurenemisega
Järgmisena analüüsisime vigade muutust algsete beetaväärtuste vahemiku muutusega. Joonisel 5 on näidatud vea mõõtmise tulemused nelja beetaväärtuse summal, millest kolm on jaotunud intervallis ja neljanda vahemiku vahemik suureneb järjestikku (see on kantud piki abstsissi).
Joonis 5 - Vigade muutus juhuslike muutujate jaotuse intervallide muutmisel
Tuginedes joonistel 3-5 näidatud graafilistele illustratsioonidele, samuti võttes arvesse katse tulemusena saadud andmeid, võib järeldada, et beetaväärtuste summa ligikaudseks määramiseks on otstarbekas kasutada beeta-jaotust.
Nagu tulemused näitasid, on 98% juhtudest beetaseaduse järgi uuritava väärtuse lähendamise viga väiksem kui normaaljaotuse lähendamisel. Lähendusvea beetaversiooni keskmine väärtus sõltub peamiselt iga termini jaotuse intervallide laiusest. Samas sõltub see hinnang (erinevalt tavaseadusest) väga vähe juhuslike suuruste sümmeetriast, aga ka liikmete arvust. 4. Rakendused Saadud tulemuste üheks rakendusvaldkonnaks on projektijuhtimise probleem. Projekt on üksteisest sõltuvate paralleelsete jadatööde kogum juhusliku teenuse kestusega. Sel juhul on projekti kestus juhuslik suurus. Ilmselgelt pakub selle väärtuse jaotusseaduse hindamine huvi mitte ainult planeerimisetappides, vaid ka kõigi tööde enneaegse lõpetamisega seotud võimalike olukordade analüüsimisel. Võttes arvesse asjaolu, et projekti hilinemine võib põhjustada väga erinevaid ebasoodsaid olukordi, sealhulgas trahve, tundub projekti kestust kirjeldava juhusliku suuruse jaotusseaduse hindamine olevat äärmiselt oluline praktiline ülesanne.
Praegu kasutatakse selliseks hindamiseks PERT meetodit. Tema eelduste kohaselt on projekti kestus normaalse jaotusega juhuslik muutuja `eta` parameetritega:
`a=sum_(i=1)^k Meta_(i) , (16)
`sigma=sqrt(summa_(i=1)^k D eta_(i)) . (17)
Siin k on tegevuste arv projekti kriitilisel teel; `eta_(1)` ,..., `eta_(k)` - nende tööde kestus.
Vaatleme PERT-meetodi kohandamist saadud tulemusi arvesse võttes. Sel juhul eeldame, et projekti kestus on jaotatud vastavalt beetaseadusele parameetritega (13) ja (14).
Proovime saadud tulemusi praktikas. Mõelge projektile, mis on määratletud joonisel 6 näidatud võrguskeemiga.
Joonis 6 - Võrguskeemi näide
Siin tähistavad graafiku servad töid, servade kaalud tööde arvu; tipud ruutudes – sündmused, mis tähistavad töö algust või lõppu. Olgu töö antud tabelis 1 toodud kestuste järgi.
Tabel 1 - Projektitöö ajalised omadused
| Töö nr. |
min |
max |
Mat. oota. |
| 1
|
5
|
10
|
9
|
| 2
|
3
|
6
|
4
|
| 3
|
6
|
8
|
7
|
| 4
|
4
|
7
|
6
|
| 5
|
4
|
7
|
7
|
| 6
|
2
|
5
|
3
|
| 7
|
4
|
8
|
6
|
| 8
|
4
|
6
|
5
|
| 9
|
6
|
8
|
7
|
| 10
|
2
|
6
|
4
|
| 11
|
9
|
13
|
12
|
| 12
|
2
|
6
|
3
|
| 13
|
5
|
7
|
6
|
Ülaltoodud tabelis on min väikseim aeg, mille jooksul see töö saab tehtud; max - pikim aeg; Mat. oota. - beetaversiooni levitamise ootus, mis näitab selle töö eeldatavat aega.
Simuleerime projekti elluviimise protsessi spetsiaalselt välja töötatud simulatsioonisüsteemi abil. Seda kirjeldatakse üksikasjalikumalt . Väljundina peate saama:
Projekti histogrammid;
Projekti valmimise tõenäosuste hindamine etteantud intervalli jooksul simulatsioonisüsteemi statistiliste andmete põhjal;
Tõenäosuste hindamine normaal- ja beetajaotuste abil.
Projekti 10000-kordse täitmise simulatsiooni käigus saime teenuse kestuse näidise, mille histogramm on näidatud joonisel 7.
Joonis 7 - Projekti kestuse histogramm
Ilmselgelt erineb joonisel 7 kujutatud histogrammi välimus normaaljaotuse seaduse tihedusgraafikust.
Lõpliku matemaatilise ootuse ja dispersiooni leidmiseks kasutame valemeid (8) ja (9). Saame:
`Meta=27; Deta=1,3889.`
Teatud intervalli sattumise tõenäosus arvutatakse tuntud valemi abil:
`P(l (18)
kus "f_(eta)(x)" on juhusliku muutuja "eta" jaotusseadus, l Ja r- huvipakkuva intervalli piirid.
Arvutame lõpliku beeta jaotuse parameetrid. Selleks kasutame valemeid (13) ja (14). Saame:
p = 13,83; q = 4,61.
Beeta jaotuse piirid määratakse valemitega (10) ja (11). Saab:
Uuringu tulemused on toodud tabelis 2. Üldisust kaotamata valime mudeli käikude arvuks 10000. Veerus "Statistika" arvutatakse statistiliste andmete põhjal saadud tõenäosus. Veerg "Normaalne" tähistab normaaljaotuse seaduse järgi arvutatud tõenäosust, mida hetkel ülesande lahendamiseks kasutatakse. Beetaveerg näitab beetaversiooni jaotuse põhjal arvutatud tõenäosusväärtust.
Tabel 2 – Tõenäosuslike hinnangute tulemused
Tabelis 2 toodud tulemuste ja teiste projektide elluviimise protsessi modelleerimise käigus saadud sarnaste tulemuste põhjal võime järeldada, et juhuslike muutujate summa (2) lähendamiseks beeta jaotuse järgi saadud hinnangud võimaldab meil leida sellele probleemile olemasolevate analoogidega võrreldes suurema täpsusega lahenduse. Antud töö eesmärgiks oli leida selline beetaväärtuste summa jaotusseaduse lähendus, mis oleks teiste analoogidega võrreldes väikseima veaga. Saadakse järgmised tulemused.
1. Eksperimentaalselt esitati hüpotees beetaväärtuste summa lähendamise võimaluse kohta beeta-jaotuse abil.
2. Välja on töötatud tarkvaratööriist, mis võimaldab saada soovitud tiheduse lähendamisel normaaljaotuse seaduse ja beetaseadusega tekkiva vea arvväärtust. See programm põhineb rekursiivsel algoritmil, mis võimaldab teil arvuliselt määrata beetaväärtuste summa tiheduse antud tihedusega, mida on üksikasjalikumalt kirjeldatud.
3. Koostati arvutuslik eksperiment, mille eesmärgiks oli vigade võrdleva analüüsi abil erinevatel tingimustel määrata parim lähendus. Katse tulemused näitasid beeta-jaotuse kasutamise otstarbekust beetaväärtuste summa jaotustiheduse parima lähendusena.
4. Esitatakse näide, milles saadud tulemused on praktilise tähtsusega. Need on projektijuhtimise ülesanded, mille valmimisaeg on üksikute tööde puhul juhuslik. Oluliseks probleemiks selliste ülesannete puhul on projekti enneaegse lõpetamisega seotud riskide hindamine. Saadud tulemused võimaldavad saada täpsemaid hinnanguid soovitud tõenäosustele ja selle tulemusena vähendada planeerimisvigade tõenäosust.
Bibliograafia
|
|
Sa ei ole ori!
Suletud õppekursus eliidi lastele: "Maailma tõeline korraldus."
http://noslave.org
Vikipeediast, vabast entsüklopeediast
Beetaversiooni levitamine
Tõenäosuse tihedus
Beeta-jaotuse tõenäosustiheduse funktsioon |
jaotusfunktsioon
Beetajaotuse kumulatiivne jaotusfunktsioon |
| Määramine
|
texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.: \text(Be)(\alpha,\beta)
|
| Parameetrid
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \alpha > 0
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \beta > 0
|
| Kandja
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): x \in
|
| Tõenäosuse tihedus
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \frac(x^(\alpha-1)(1-x)^(\beta-1)) (\mathrm(B)(\alpha,\beta))
|
| jaotusfunktsioon
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): I_x(\alpha,\beta)
|
| Oodatud väärtus
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \frac(\alpha)(\alpha+\beta)
|
| Mediaan
|
|
| Mood
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \frac(\alpha-1)(\alpha+\beta-2) jaoks Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \alpha>1, \beta>1
|
| Dispersioon
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \frac(\alpha\beta)((\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1))
|
| Asümmeetria koefitsient
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Häälestamise abi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): \frac(2\,(\beta-\alpha)\sqrt(\alpha+\beta+1))((\alpha+\beta+2)\sqrt(\alpha \beta ))
|
| Kurtoosi koefitsient
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): 6\,\frac(\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta( \beta+2)) (\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3))
|
| Diferentsiaalne entroopia
|
|
| Hetkede genereerimise funktsioon
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): 1 +\sum_(k=1)^(\infty) \left(\prod_(r=0)^(k-1) \frac(\alpha+r) (\ alfa+\beta+r) \parem) \frac(t^k)(k
!}
|
| iseloomulik funktsioon
|
Avaldist ei saa sõeluda (käivitatav fail texvc ei leitud; Seadistusabi saamiseks vaadake matemaatikat/README.): ()_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)
|
Beeta levitamine tõenäosusteoorias ja statistikas kaheparameetriline absoluutselt pidevate jaotuste perekond. Kasutatakse juhuslike muutujate kirjeldamiseks, mille väärtused on piiratud piiratud intervalliga.
Definitsioon
|
| 90 pikslit |
Tõenäosusjaotused |
|---|
| Ühemõõtmeline |
Mitmemõõtmeline |
|---|
| Diskreetne:
|
Bernoulli | Binoomiline | Geomeetriline | Hüpergeomeetriline | Logaritmiline | Negatiivne binoom | Poisson | Diskreetne vormiriietus |
Multinomiaalne |
|---|
| Absoluutselt pidev:
|
Beeta| Weibulla | Gamma | Hüpereksponentsiaalne | Gompertzi jaotus | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormaalne | | | kopula |
|---|
Väljavõte, mis iseloomustab beeta jaotust
Pisarad särasid silma... Ja ma ei häbenenud seda absoluutselt. Ma annaksin palju, et ühega neist elusalt kohtuda! .. Eriti Magdaleena. Milline imeline iidne maagia põles selle hämmastava naise hinges, kui ta lõi oma maagilise kuningriigi?! Kuningriik, milles valitsesid teadmised ja mõistmine ning mille selgrooks oli Armastus. Ainult mitte see armastus, mille üle "püha" kirik karjus, olles selle imelise sõna nii ära kulutanud, et ma ei tahtnud seda enam kuulda, vaid see ilus ja puhas, tõeline ja julge, ainus ja hämmastav ARMASTUS, mille nimega sündisid jõud ... ja mille nimega tormasid lahingusse muistsed sõdalased ... mille nimega sündis uus elu ... mille nimega meie maailm muutus ja sai parem... Seda Armastust kandis Kuldne Maarja. Ja just selle Maarja ees tahaksin kummarduda... Kõige eest, mida ta kandis, tema puhta särava ELU eest, tema julguse ja julguse ning Armastuse eest.
Kuid kahjuks oli seda võimatu teha... Ta elas sajandeid tagasi. Ja mina ei saanud olla see, kes teda tundis. Äkitselt valdas mind uskumatult sügav, helge kurbus ja kibedad pisarad voolasid ojana alla...
- Mis sa oled, mu sõber!.. Sind ootavad muud mured! hüüatas Sever üllatunult. - Palun rahune maha...
Ta puudutas õrnalt mu kätt ja tasapisi kadus kurbus. Jäi ainult kibedus, justkui oleksin kaotanud midagi eredat ja kallist ...
– Sa ei tohi lõdvestuda... Sind ootab sõda, Isidora.
– Ütle mulle, Sever, kas katarite õpetust nimetati Magdaleena pärast armastuse õpetuseks?
– Siin pole sul päris õigus, Isidora. Asjatundmatu nimetas seda Armastuse Õpetuseks. Neile, kes mõistsid, kandis see hoopis teistsugust tähendust. Kuulake sõnade kõla, Isidora: armastus kõlab prantsuse keeles - amor (amour) - eks? Ja nüüd jagage see sõna, eraldades sellest tähe "a" ... Selgub, et a'mor ("surelik") - ilma surmata ... See on Magdaleena õpetuste tõeline tähendus - surematute õpetused Nagu ma enne ütlesin - kõik on lihtne, Isidora, kui sa ainult vaatad ja kuulad õigesti... Noh, kes ei kuule, jäägu see Armastuse õpetuseks... see on ka ilus.
Seisin täiesti hämmeldunult. Surematute õpetus!.. Daaria... Nii et see oli Radomiri ja Magdaleena õpetus!.. Põhjamaa üllatas mind mitu korda, kuid kunagi varem polnud ma end nii šokeeritud!.. Katari õpetused tõmbasid mind oma võimsa jõuga. , maagiline jõud ja ma ei suutnud endale andestada, et sellest Põhjaga varem ei rääkinud.
- Ütle mulle, Sever, kas katarite ürikutest on midagi alles? Midagi pidi vist alles olema? Isegi kui mitte Täiuslikud ise, siis vähemalt lihtsalt õpilased? Ma mõtlen midagi nende tegelikust elust ja õpetustest?
– Kahjuks ei, Isidora. Inkvisitsioon hävitas kõik ja kõikjal. Tema vasallid saadeti paavsti käsul isegi teistesse riikidesse, et hävitada iga käsikiri, iga allesjäänud kasetohutükk, mis neil õnnestus leida... Me otsisime vähemalt midagi, kuid me ei suutnud midagi päästa.
Aga inimesed ise? Kas inimeste seas võib olla midagi alles, kes seda läbi sajandite hoiaks?
– Ma ei tea, Isidora... Ma arvan, et isegi kui kellelgi oli mingi rekord, siis seda muudeti aja jooksul. Inimese loomuses on ju kõik omal moel ümber kujundada... Ja eriti mõistmata. Seega on ebatõenäoline, et midagi on säilinud nii, nagu see oli. Kahju... Tõsi, Radomiri ja Magdaleena päevikud on meil alles, aga see oli enne katarite loomist. Kuigi ma ei usu, et õpetus on muutunud.
– Anna mulle andeks mu kaootiliste mõtete ja küsimuste pärast, Sever. Ma näen, et kaotasin palju sellega, et ei tulnud teie juurde. Aga ikkagi, ma olen ikka veel elus. Ja kui ma hingan, võin ma ikka sinult küsida, kas pole? Kas oskate öelda, kuidas Svetodari elutee lõppes? Vabandust segamise pärast.
North naeratas siiralt. Talle meeldis minu kannatamatus ja janu “ajas teada saada”. Ja ta jätkas hea meelega.
Pärast naasmist elas ja õpetas Svetodar Oksitaanias vaid kaks aastat, Isidora. Kuid neist aastatest said tema rännuelu kõige kallimad ja õnnelikumad aastad. Tema päevad, valgustatud Beloyari rõõmsast naerust, möödusid tema armastatud Montseguris, ümbritsetuna Täiuslikest, kellele Svetodar püüdis ausalt ja siiralt edasi anda seda, mida kauge Rändaja oli talle aastaid õpetanud.
- Bernoulli valem.
Samo levitamine
helistas binoom.
Binoomjaotuse parameetrid on õnnestumise tõenäosus p (q = 1 - p) ja katsete arv n. Binoomjaotus on kasulik binoomjaotuse kirjeldamiseks, näiteks juhuslikult valitud meeste ja naiste arv. ettevõtted. Eriti oluline on binoomjaotuse kasutamine mänguprobleemides.
Täpne valem n katse õnnestumise tõenäosuse kohta on järgmine:
kus p on õnnestumise tõenäosus; q on võrdne 1-p, q>=0, p+q =1; n - testide arv, m =0,1...m
Binoomjaotuse peamised omadused:
6. Poissoni valem ja Poissoni jaotus.
Olgu katsete arv n suur, tõenäosus p väike ja
np on väike. Siis saab n-s katses m õnnestumise tõenäosust ligikaudselt hinnata Poissoni valem:
.
juhuslik muutuja jaotusreaga m,
omab Poissoni jaotust. Mida suurem n, seda täpsem on Poissoni valem. Ligikaudsete arvutuste jaoks kasutatakse valemit, kui n = 10,
0–2, kui n = 100
0 - 3. Tehnilistes arvutustes kasutatakse valemit, kui n = 20,
0–3,n=100,
0–7. Täpsete arvutuste jaoks kasutatakse valemit, kui n = 100,
0–7,n=1000,
0
– 15.
Arvutame Poissoni jaotusega juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni.
Poissoni juhusliku suuruse peamised omadused:
Poissoni jaotusgraafik:
7. Geomeetriline jaotus.
Mõelge Bernoulli skeemile. Olgu X katsete arv kuni esimese õnnestumiseni, kui ühe katse õnnestumise tõenäosus on p. Kui esimene test on edukas, siis X = 0. Seetõttu
. Kui X = 1, s.o. esimene test on ebaõnnestunud ja teine on edukas, siis korrutusteoreemi järgi
. Samamoodi, kui X \u003d n, siis kõik katsed kuni n-ni on ebaõnnestunud ja
. Koostage juhusliku suuruse X jaotusseeria
Sellise jaotusreaga juhuslikul muutujal on geomeetriline jaotus.
Kontrollime normaliseerimistingimusi:
8. Hüpergeomeetriline jaotus.
See on juhusliku suuruse X diskreetne tõenäosusjaotus, mis võtab täisarvude väärtused m = 0, 1,2,...,n tõenäosustega:
kus N, M ja n on mittenegatiivsed täisarvud ja M< N, n < N.
Hüpergeomeetrilise jaotuse matemaatiline ootus ei sõltu N-st ja langeb kokku vastava binoomjaotuse matemaatilise ootusega µ=np.
Hüpergeomeetrilise jaotuse dispersioon 
ei ületa binoomjaotuse dispersiooni npq. Hüpergeomeetrilise jaotuse mis tahes järjekorras olevad hetked kalduvad binoomjaotuse hetkede vastavatele väärtustele.
9. Beeta jaotus.
Beeta jaotuse tihedus on järgmine:
Standardne beeta jaotus keskendub intervallile 0 kuni 1. Lineaarsete teisenduste rakendamisel saab beetaväärtust teisendada nii, et see võtab väärtusi mis tahes intervalliga.
Beeta-jaotusega suuruse peamised numbrilised omadused:
Olemas., sünonüümide arv: 1 levik (62) ASIS sünonüümide sõnastik. V.N. Trishin. 2013... Sünonüümide sõnastik
beeta levitamine- 1.45. beeta jaotus Pideva juhusliku suuruse X tõenäosusjaotus, mis võib võtta mis tahes väärtused vahemikus 0 kuni 1, sealhulgas piirid ja mille jaotustihedus 0 £ x £ 1 ja parameetrite m1 > 0, m2 > 0 korral, kus Г… … Normatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni terminite sõnastik-teatmik
beeta levitamine- Pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotus, mis võtab väärtusi intervallil , mille tihedus on antud valemiga, kus, a, b>0 ja on gammafunktsioon. Märge. Selle erijuhtumeid kasutatakse laialdaselt ...... Sotsioloogilise statistika sõnastik
Vaata plaani... Sünonüümide sõnastik
Tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas on Dirichleti jaotus (nimetatud Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleti järgi), sageli tähistatud Dir (α), pidevate mitme muutujatega tõenäosusjaotuste perekond, mille parameetrid on vektor α ... ... Wikipedia
Beeta: Vikisõnaraamatus on kanne "beeta" jaoks. Beeta (täht) (β) on kreeka tähestiku teine täht. Beetatestimine Beeta koefitsient Beetafunktsioon (matemaatika) Beeta jaotus (tõenäosusteooria ... Wikipedia
Tõenäosuste tihedus ... Wikipedia
Tõenäosuse jaotus on seadus, mis kirjeldab juhusliku suuruse väärtuste vahemikku ja nende aktsepteerimise tõenäosust. Sisu 1 Definitsioon 2 Jaotuste määramise viise ... Wikipedia
Levitamine. Pearsoni jaotus Tõenäosuste tihedus ... Wikipedia
Raamatud
- Ülikooli haridusprogrammidele vastuvõtu võrdlus olümpiaadide tulemuste ja USE skoori põhjal, O. V. Poldin. Erinevate haridusprogrammide ülikoolidesse sisseastumise kvaliteedi võrdlemiseks tehakse artiklis ettepanek kasutada kohandatud nõudluskõveraid, mis on saadud Ameerika Ühendriikides registreeritud ühtse riigieksami tulemustest ...
