Semua sistem penomoran posisi sama, tetapi tergantung pada tugas-tugas bahwa orang tersebut memecahkan penggunaan angka, ia dapat menggunakan pangkalan yang berbeda dengan basis yang berbeda.
Sistem angka desimal yang paling umum digunakan, I.E. Sistem angka, alfabet yang terdiri dari sepuluh digit (0,1,2,3,4,6,6,8,9) dan, karenanya, pangkalannya adalah sepuluh. Penggunaan luas sistem angka ini mudah dijelaskan. Pertama, perekaman angka dalam sistem angka desimal cukup kompak, kedua, sistem angka desimal digunakan oleh kemanusiaan selama beberapa abad. Selama waktu ini, orang sudah terbiasa dengan angka, dan untuk catatan angka, dan untuk pengucapan angka dalam sistem angka desimal, misalnya, catatan "15" jelas bagi siapa pun dan itu akan membacanya seumur lima belas tahun , tetapi nomor yang sama dicatat dalam sistem nomor biner "1111" menyebabkan setidaknya sedikit kebingungan, tetapi bagaimana membaca angka ini.
Namun itu tidak sama untuk menegaskan bahwa sistem angka desimal adalah pilihan yang optimal Kemanusiaan untuk bekerja dengan angka tidak mungkin. Kami membuktikannya dengan beberapa contoh.
Anda semua ingat tabel multiplikasi dan tentu saja ingat berapa banyak usaha yang harus Anda lampirkan untuk mempelajari tabel ini. Kami tidak akan memberikan di sini tabel multiplikasi dalam sistem angka desimal, tetapi untuk perbandingan, kami memberikan tabel multiplikasi dalam sistem nomor biner:
Seperti yang Anda lihat, tabel multiplikasi dalam sistem nomor biner terlihat jauh lebih mudah daripada di desimal.
Kekompakan jumlah angka dalam sistem angka desimal, sama bukan yang tertinggi, dalam semua sistem penomoran dengan basis untuk lebih dari sepuluh angka akan direkam lebih kompak, misalnya, angka "15", di sistem heksadesimal. Jumlahnya direkam sebagai "F".
Seperti yang telah disebutkan dalam paragraf 5, sistem nomor biner telah diadopsi untuk mencatat angka dalam AUM. Dalam paragraf ini, kita harus mencari tahu, tetapi bagaimana angka-angka dalam memori komputer, itu akan cukup untuk memahami aturan untuk transfer angka desimal ke dalam sistem angka biner.
Dalam praktiknya, untuk mentransfer nomor dari sistem angka dengan basis sepuluh hingga jumlah jam dengan basis dua, gunakan aturan berikut:
1. 1, direkam dalam sistem angka dengan pangkalan sepuluh, dibagi dengan residu untuk dua (basis sistem Baru Nomor) dicatat dengan jumlah jumlah penghitungan sepuluh ( sistem lama. Catatan), selama secara pribadi itu tidak berfungsi 0.
2. Tossack yang diperoleh dari divisi yang dicatat dalam urutan terbalik, bentuk angka dalam sistem nomor baru dengan basis dua.
Lebih mudah menggunakan aturan ini untuk mentransfer angka dari sistem angka desimal. Untuk terjemahan terbalik, dalam sistem angka desimal lebih nyaman untuk menggunakan apa yang disebut skema Gorner..
1. Hubungkan kembali posisi dalam angka, di sebelah kanan ke kiri, dimulai dengan nol;
2. Buat nomor yang mewakili jumlah jumlah jumlah angka berdasarkan sistem nomor lama yang dicatat oleh angka-angka sistem nomor baru, didirikan ke derajat jumlah angka yang sama di antara angka;
3. init jumlah baris.
Kami akan menganalisis aturan ini tentang contoh-contoh spesifik.
Contoh 1.: Catatan angka desimal 121 Dalam sistem nomor biner.
121 | 2 121 D \u003d 1111001 b
120 60 | 2
1 60 30 | 2
0 30 15 | 2
0 14 7 | 2
1 6 3 | 2
Tujuan pekerjaan.Mempelajari metode dan pengujian keterampilan transformasi dari satu sistem penentuan posisi untuk yang lain.
Jumlah angka yang berbeda yang digunakan dalam sistem posisi menentukan nama sistem nomor dan disebut mendasarkan
Sistem angka.
Nomor apa pun n dalam sistem penentuan posisi dengan basis 
dapat diwakili sebagai polinomial dari pangkalan 
:
dimana 
- nomor, 
- angka angka (koefisien dalam derajat 
),
- basis sistem angka ( 
>1).
Angka dicatat sebagai urutan angka:
.
Titik dalam urutan memisahkan seluruh bagian dari angka dari fraksional (koefisien untuk gelar non-negatif, dari koefisien dengan derajat negatif). Intinya diturunkan jika jumlahnya adalah bilangan bulat (tidak ada derajat negatif).
Dalam sistem komputer, ada sistem penomoran posisi dengan basis non-pasti: biner, oktal, heksadesimal.
Dalam basis perangkat keras, komputer adalah elemen dua posisi yang hanya bisa di dua negara; Salah satunya dilambangkan dengan 0, dan yang lainnya - 1. Oleh karena itu, komputer utama aritmatika dan logis adalah sistem angka biner.
Sistem Nomor Biner. Dua digit digunakan: 0 dan 1. Dalam sistem biner, nomor apa pun dapat diwakili sebagai: 
.
dimana 
baik 0 atau 1.
Entri ini sesuai dengan jumlah derajat angka 2, yang diambil dengan koefisien yang ditentukan:
Sistem angka oktal. Delapan digit digunakan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Digunakan di komputer sebagai tambahan untuk mencatat informasi dalam bentuk disingkat. Untuk mewakili satu digit sistem oktal, tiga pelepasan biner digunakan (triad) (lihat Tabel 1).
Sistem Nomor Hex. Untuk gambar angka, 16 digit digunakan. Sepuluh digit pertama dari sistem ini dilambangkan dengan angka-angka dari 0 hingga 9, dan enam digit yang lebih tua adalah huruf Latin: A (10), dalam (11), C (13), E (14), F (15). Sistem heksadesimal, serta oktal, digunakan untuk merekam informasi dalam bentuk disingkat. Untuk mewakili satu digit sistem nomor heksadesimal, empat pembuangan biner (tetrad) digunakan (lihat Tabel 1).
Tabel 1.
Abjad Sistem Posisi (SS)
|
Biner ss. (Basis 2) |
Octal. (Basis 8) |
Desimal (Basis 10) |
Heksadesimal. (Basis 16) |
||
|
Binary. |
Tetrad biner. |
||||
Latihan 1.Terjemahkan Angka dari sistem penomoran yang ditentukan ke sistem desimal.
Instruksi metodis.
Terjemahan angka ke dalam sistem desimal disistematisasi dengan menyusun jumlah seri daya dengan dasar sistem, dari mana angka diterjemahkan. Maka nilai jumlah ini kemudian dihitung.
Contohnya.
a) Terjemahkan S.S. .
.
b) Terjemahkan 
s.S.
c) Terjemahkan 
s.S.
Tugas 2.Terjemahkan seluruh angka dari sistem desimal dalam sistem oktal, heksadesimal dan biner.
Instruksi metodis.
Transfer seluruh angka desimal menjadi sistem oktal, heksadesimal dan biner berlaku untuk divisi sekuensial dari angka desimal berdasarkan sistem di mana ia diterjemahkan, hingga ternyata swasta sama dengan nol. Angka dalam sistem baru direkam dalam bentuk saldo dari divisi, dimulai dengan yang terakhir.
Contohnya.
a) Terjemahkan. 
s.S.
181: 8 \u003d 22 (Residu 5)
22: 8 \u003d 2 (Residu 6)
2: 8 \u003d 0 (Residu 2)
Menjawab: 
.
b) Terjemahkan 
s.S.
Tabel menunjukkan divisi:
622: 16 \u003d 38 (Residu 14 10 \u003d E 16)
38: 16 \u003d 2 (Residu 6)
2: 16 \u003d 0 (Residu 2)
Menjawab: 
.
Tugas 3.Terjemahkan fraksi desimal yang tepat dari sistem desimal dalam sistem oktal, heksadesimal dan biner.
Dengan bantuan kalkulator online ini, Anda dapat menerjemahkan nomor keseluruhan dan fraksional dari satu sistem nomor ke yang lain. Solusi terperinci diberikan dengan penjelasan. Untuk menerjemahkan, masukkan nomor aslinya, atur basis sistem nomor sumber, atur dasar sistem angka yang ingin Anda menerjemahkan nomor dan klik tombol "Terjemahkan". Bagian teoritis dan contoh numerik lihat di bawah.
Hasilnya sudah diterima!
Terjemahan angka keseluruhan dan fraksional dari sistem nomor satu ke teori, contoh dan solusi lainnya
Ada posisi posisi dan bukan nomor posisional. Sistem Nomor Arab, yang kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah posisi, dan Romawi - tidak. DI sistem posisional Posisi angka secara unik menentukan jumlah angka. Pertimbangkan ini pada contoh angka 6372 dalam sistem angka desimal. Nomor angka ini di sebelah kanan kiri sejak awal:
Maka nomor 6372 dapat diwakili sebagai berikut:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Nomor 10 mendefinisikan sistem angka (dalam kasus ini Ini 10). Sebagai derajat, posisi jumlah nomor ini diambil.
Pertimbangkan angka desimal nyata 1287.923. Nomor mulai dari goresan posisi angka dari titik desimal ke kiri dan kanan:
Maka nomor 1287.923 dapat diwakili sebagai:
1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 1 · 10 1 · 10 -1 + 3 · 10 -2 + 10 -3.
Secara umum, rumus dapat diwakili sebagai berikut:
C n · s. N + c n-1 · s. N-1 + ... + C 1 · s. 1 + C 0 · S 0 + D -1 · S -1 + D -2 · S -2 + ... + D -K · S -K
di mana c n adalah angka dalam posisi n., D -K - nomor fraksional. dalam posisi (-k), s. - Sistem angka.
Beberapa kata tentang sistem angka. Angka dalam sistem angka desimal terdiri dari pluralitas angka (0,1,2,3,4,6,6,7,8,9), dalam sistem angka octa - dari pluralitas angka (0,1, 2,3,4,5,6,7), dalam sistem angka biner - dari pluralitas angka (0,1), dalam sistem jumlah heksadesimal - dari sejumlah angka (0,1,2 , 3,4,5,6, 7,8,9, a, b, c, d, e, f), di mana a, b, c, d, e, f sesuai dengan angka 10,11,12, 13,14,15. Dalam tabel tabel.1 Disajikan angka B. sistem yang berbeda Catatan.
| Tabel 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notasi | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | SEBUAH. |
| 11 | 1011 | 13 | Dgn B. |
| 12 | 1100 | 14 | C. |
| 13 | 1101 | 15 | D. |
| 14 | 1110 | 16 | E. | 15 | 1111 | 17 | F. |
Terjemahan angka dari satu sistem nomor ke yang lain
Untuk mentransfer nomor dari satu nomor ke yang lain ke yang lain, cara termudah untuk terlebih dahulu menerjemahkan angka ke sistem angka desimal, dan kemudian, dari sistem angka desimal untuk menerjemahkan ke sistem angka yang diinginkan.
Terjemahan angka dari sistem nomor apa pun dalam sistem angka desimal
Menggunakan Formula (1), Anda dapat menerjemahkan angka dari sistem nomor apa pun ke sistem angka desimal.
Contoh 1. Terjemahkan angka 1011101.001 dari sistem nomor biner (SS) dalam SS desimal. Keputusan:
1 · 2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125
Contoh2. Terjemahkan angka 1011101.001 dari sistem nomor octaous (SS) dalam SS desimal. Keputusan:
Contoh 3 . Terjemahkan angka AB572.CDF dari sistem nomor heksadesimal dalam SS desimal. Keputusan:
Sini SEBUAH. - per 10, Dgn B. - oleh 11, C.- oleh 12, F. - sebesar 15.
Terjemahan angka dari sistem angka desimal ke sistem nomor lain
Untuk mentransfer angka dari sistem penomoran desimal ke sistem nomor lain, perlu diterjemahkan secara terpisah oleh bagian integer dari angka dan bagian fraksional dari angka.
Bagian integer dari angka ini diterjemahkan dari SS desimal ke sistem nomor lain - Divisi berurutan dari seluruh bagian angka pada dasar sistem angka (untuk CC biner - dengan 2, untuk SS 8 karakter - Pada 8, untuk 16-merokok-16, dll.) Sebelum mendapatkan seluruh residu, kurang dari basis SS.
Contoh 4 . Kami menerjemahkan angka 159 dari SS desimal ke dalam Binary SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Seperti yang bisa dilihat dari Gambar. 1, angka 159 selama divisi oleh 2 memberikan swasta 79 dan residu 1. Selanjutnya, angka 79 selama divisi dengan 2 memberikan swasta 39 dan residu 1, dll. Akibatnya, dengan membangun angka dari saldo divisi (kanan ke kiri) kami mendapatkan nomor dalam Binary SS: 10011111 . Akibatnya, Anda dapat menulis:
159 10 =10011111 2 .
Contoh 5 . Kami menerjemahkan angka 615 dari desimal SS ke dalam OCTAL SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Ketika angka dari desimal SS dalam OCTAL SS, perlu untuk secara berurutan membagi angka pada 8 hingga seluruh residu kurang dari 8. Sebagai hasilnya, membangun angka dari saldo divisi (kanan ke kiri), kita Dapatkan nomor di Octane SS: 1147 (Lihat Gambar 2). Akibatnya, Anda dapat menulis:
615 10 =1147 8 .
Contoh 6 . Kami mentransfer nomor 19673 dari sistem angka desimal ke Heksadesimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Seperti yang bisa dilihat dari Gambar.
Untuk mentransfer fraksi desimal yang tepat (bilangan real dengan bilangan bulat nol) ke tingkat sistem n base nomor ini Secara konsisten dikalikan dengan S sampai bagian fraksional tidak menjadi nol murni, atau kita tidak akan mendapatkan jumlah pelepasan yang diperlukan. Jika Anda mendapatkan nomor dengan seluruh bagian, berbeda dari nol, maka seluruh bagian ini tidak memperhitungkan (mereka secara konsisten terdaftar dalam hasil).
Pertimbangkan di atas pada contoh.
Contoh 7 . Kami mentransfer nomor 0,214 dari sistem angka desimal ke SS biner.
| 0.214 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 4, angka 0,214 dikalikan dengan 2. Jika perkalian diperoleh dengan seluruh bagian, berbeda dari nol, maka bagian integer ditulis secara terpisah (ke kiri angka), dan jumlahnya ditulis ke integer nol. Jika, ketika mengalikan, angka dengan integer nol diperoleh, maka nol ditulis ke kiri. Proses multiplikasi berlanjut hingga bagian fraksional tidak menjadi nol murni atau tidak mendapatkan jumlah pelepasan yang diperlukan. Merekam angka berlemak (Gbr. 4) dari atas ke bawah, kami memperoleh nomor yang diinginkan dalam sistem nomor biner: 0. 0011011 .
Akibatnya, Anda dapat menulis:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Contoh 8 . Kami menerjemahkan angka 0,125 dari sistem angka desimal ke SS biner.
| 0.125 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Untuk membawa jumlah 0,125 SS desimal menjadi biner, angka ini dikalikan dengan 2. Pada tahap ketiga ternyata 0. Oleh karena itu, hasil berikut ternyata:
0.125 10 =0.001 2 .
Contoh 9 . Kami menerjemahkan angka 0,214 dari sistem angka desimal ke Heksadesimal SS.
| 0.214 | ||
| x. | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x. | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x. | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x. | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x. | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x. | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Berikut contoh 4 dan 5, kami memperoleh angka 3, 6, 12, 8, 11, 4. Tetapi dalam Heksadesimal CC, angka 12 dan 11 sesuai dengan angka C dan B. Oleh karena itu, kami memiliki:
0,214 10 \u003d 0.36C8B4 16.
Contoh 10 . Kami menerjemahkan angka 0,512 dari sistem angka desimal di SS oktal.
| 0.512 | ||
| x. | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x. | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x. | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Diterima:
0.512 10 =0.406111 8 .
Contoh 11 . Kami menerjemahkan angka 159,125 dari sistem angka desimal ke SS biner. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan secara terpisah bagian integer dari angka (Contoh 4) dan bagian fraksional dari jumlah (Contoh 8). Selanjutnya, kami mendapatkan penggabungan hasil ini:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Contoh 12 . Kami mentransfer nomor 19673.214 dari sistem angka desimal hingga heksadesimal. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan bagian bilangan bulat dari angka (contoh 6) dan bagian fraksional dari jumlah (Contoh 9). Selanjutnya, kita mendapatkan hasil yang menggabungkan.
