SCHEME MATEMATICE PENTRU SISTEME DE MODELARE

ABORDĂRI DE BAZĂ ÎN CONSTRUCȚIA DE MODELE MATEMATICE DE SISTEME

Informația inițială în construcția modelelor matematice a proceselor de funcționare a sistemelor este datele privind scopul și condițiile de funcționare ale sistemului investigat (proiectat). S... Aceste informații definesc scopul principal al modelării sistemului. Sși vă permite să formulați cerințe pentru modelul matematic dezvoltat M. Mai mult, nivelul de abstractizare depinde de gama acelor întrebări la care cercetătorul de sistem dorește să obțină un răspuns folosind modelul și, într-o oarecare măsură, determină alegerea unei scheme matematice.

Scheme matematice. Introducerea conceptului de schemă matematică ne permite să considerăm matematica nu ca o metodă de calcul, ci ca o metodă de gândire, ca mijloc de formulare a conceptelor, ceea ce este cel mai important în trecerea de la o descriere verbală a unui sistem la o reprezentare formală a procesului de funcționare a acestuia sub forma unui model matematic (analitic sau imitație). Atunci când se utilizează o schemă matematică, în primul rând, cercetătorul sistemului S ar trebui să fie interesat de problema adecvării cartografierii sub forma unor scheme specifice ale proceselor reale din sistemul studiat, și nu de posibilitatea de a obține un răspuns (rezultatul soluției) la o întrebare specifică de cercetare. De exemplu, reprezentarea procesului de funcționare a unui sistem informatic colectiv de calcul sub forma unei rețele de scheme de așteptare face posibilă descrierea bine a proceselor care au loc în sistem, dar cu legi complexe ale fluxurilor de intrare și ale fluxurilor de servicii, aceasta nu face posibilă obținerea de rezultate într-o formă explicită.

Schema matematică poate fi definită ca o verigă în trecerea de la o descriere semnificativă la una formală a procesului de funcționare a sistemului ținând cont de impactul mediului extern, adică există un lanț „model descriptiv – schemă matematică – matematică (analitică și/ sau imitație) model”.

Fiecare sistem specific S este caracterizat de un set de proprietăți, care sunt înțelese ca valori care reflectă comportamentul obiectului modelat (sistemul real) și țin cont de condițiile funcționării acestuia în interacțiunea cu mediul extern (sistemul) E. Atunci când se construiește un model matematic al sistemului, este necesar să se rezolve problema completității acestuia. Completitudinea modelului este reglementată în principal de alegerea limitei „sistem S - mediu E» . De asemenea, trebuie rezolvată și problema simplificării modelului, ceea ce ajută la evidențierea principalelor proprietăți ale sistemului, lepădându-le pe cele secundare. Mai mult, atribuirea proprietăților sistemului principalului sau secundar depinde în mod esențial de scopul modelării sistemului (de exemplu, analiza caracteristicilor probabilistic-temporale ale procesului de funcționare a sistemului, sinteza structura sistemului etc.).

Modelul formal al obiectului. Modelul obiectului modelării, adică sistemul S, poate fi reprezentat ca un set de mărimi care descriu procesul de funcționare a unui sistem real și formează în general următoarele submulțimi: acțiuni de intrare pe sistem

;

agregat influente de mediu

;

agregat parametri interni, (proprii). sisteme

;

agregat caracteristicile de ieșire sisteme

.

Mai mult, în subseturile enumerate se pot distinge variabilele gestionate și negestionate. În general , , , sunt elemente de submulțimi disjunse și conțin atât componente deterministe, cât și stocastice.

La modelarea sistemului S, acțiunile de intrare, efectele mediului extern E iar parametrii interni ai sistemului sunt variabile independente (exogene), care în formă vectorială au forma,,, iar caracteristicile de ieşire ale sistemului sunt variabile dependente (endogene). iar în formă vectorială au forma).

Procesul de funcționare a sistemului S este descris în timp de către operator F s , care în cazul general transformă variabilele exogene în endogene în conformitate cu relaţiile formei

. (1)

Setul de dependențe ale caracteristicilor de ieșire ale sistemului la timp y j (t) pentru toate felurile
numit traiectoria de ieșire
. Dependența (1) se numește legea de funcționare a sistemuluiS și notat F s . În cazul general, legea funcționării sistemului F s poate fi specificat sub forma unei funcții, condiții funcționale, logice, în forme algoritmice și tabulare, sau sub forma unei reguli de potrivire verbală.

Foarte important pentru descrierea și studiul sistemului S este conceptul algoritm de funcționareA s , care este înţeleasă ca metodă de obţinere a caracteristicilor de ieşire ţinând cont de influenţele de intrare
, influente de mediu
și parametrii proprii ai sistemului
. Este evident că aceeași lege a funcționării F s sistemul S poate fi implementat în diferite moduri, adică folosind mulți algoritmi diferiți pentru funcționare A s .

Relațiile (1) sunt o descriere matematică a comportamentului obiectului (sistemului) de modelare în timp t, adică reflectă proprietățile sale dinamice. Prin urmare, modelele matematice de acest tip sunt de obicei numite modele dinamice(sisteme).

Pentru modele statice modelul matematic (1) este o mapare între două subseturi de proprietăți ale unui obiect modelat Y și { X, V, H), care în formă vectorială poate fi scrisă ca

. (2)

Relațiile (1) și (2) pot fi specificate în diverse moduri: analitic (folosind formule), grafic, tabelar etc. Astfel de relații în unele cazuri pot fi obținute prin proprietățile sistemului S la momente specifice, numite state. Starea sistemului S este caracterizată de vectori

și
,

Unde
,
, …,
pentru moment
;
,
, …,
pentru moment
etc.,
.

Dacă considerăm procesul de funcţionare a sistemului S ca o schimbare secvenţială a stărilor
, atunci ele pot fi interpretate ca coordonatele unui punct în La-spaţiul fazelor dimensionale. Mai mult, fiecărei implementări a procesului îi va corespunde o anumită traiectorie de fază. Colectarea tuturor valorilor posibile ale stărilor numit spaţiul de stat obiect de modelare Z, în plus
.

Stările sistemului S la momentul de timp t 0 < t*T sunt complet determinate de condiţiile iniţiale
[Unde
,
, …,
], influențe de intrare
, parametrii proprii ai sistemului
și influențele mediului
, care a avut loc într-o perioadă de timp t*- t 0 , Cu folosind două ecuații vectoriale

; (3)

. (4)

Prima ecuație pentru starea inițială și variabile exogene
definește o funcție vectorială
, iar al doilea după valoarea obţinută a stărilor
- variabile endogene la ieșirea sistemului
. Astfel, lanțul de ecuații al obiectului „input-state-output” vă permite să determinați caracteristicile sistemului

. (5)

În cazul general, timpul din modelul sistemului S poate fi considerat pe intervalul de modelare (0, T) atât continue cât și discrete, adică cuantificate în segmente de lungime
unităţi de timp fiecare când
, Unde
- numărul de intervale de prelevare.

Astfel, sub modelul matematic al obiectului(sistem real) înțelege un subset finit de variabile (
} împreună cu relaţiile matematice dintre ele şi caracteristici
.

Dacă descrierea matematică a obiectului modelării nu conține elemente de aleatorie sau nu sunt luate în considerare, adică dacă se poate presupune că în acest caz efectele stocastice ale mediului extern
și parametri interni stocastici
sunt absente, atunci modelul este numit determinatîn sensul că caracteristicile sunt determinate în mod unic de intrări deterministe

. (6)

Evident, modelul determinist este un caz special al modelului stocastic.

Scheme tipice. Relațiile matematice date reprezintă scheme matematice generale și permit descrierea unei clase largi de sisteme. Cu toate acestea, în practica modelării obiectelor în domeniul ingineriei sistemelor și al analizei sistemelor în etapele inițiale ale cercetării sistemului, este mai rațional să se utilizeze scheme matematice tipice: ecuații diferențiale, automate finite și probabilistice, sisteme de așteptare, rețele Petri etc.

Neavând un asemenea grad de generalitate ca modelele luate în considerare, schemele matematice tipice au avantajele simplității și clarității, dar cu o restrângere semnificativă a posibilităților de aplicare. Ecuațiile diferențiale, integrale, integro-diferențiale și alte ecuații sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp continuu ca modele deterministe, atunci când factorii aleatori nu sunt luați în considerare în studiu, iar automatele finite și schemele cu diferențe finite sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp discret.... Automatele probabilistice sunt folosite ca modele stocastice (ținând cont de factori aleatori) pentru a reprezenta sisteme cu timp discret, iar sistemele de așteptare sunt folosite pentru a reprezenta sisteme cu timp continuu etc.

Schemele matematice tipice enumerate, desigur, nu pot pretinde că sunt capabile să descrie pe baza lor toate procesele care au loc în sistemele mari de management al informației. Pentru astfel de sisteme, în unele cazuri, utilizarea modelelor agregate este mai promițătoare.

Modelele agregate (sisteme) fac posibilă descrierea unei game largi de obiecte de cercetare cu o reflectare a naturii sistemice a acestor obiecte. Cu o descriere agregată un obiect (sistem) complex este împărțit într-un număr finit de părți (subsisteme), menținând în același timp conexiunile care asigură interacțiunea părților.

Astfel, la construirea modelelor matematice ale proceselor de funcționare a sistemelor se pot distinge următoarele abordări principale: continuu-deterministe (de exemplu, ecuații diferențiale); discret-determinist (automate finite); stocastică discretă (automate probabilistice); continuu-stochastic (sisteme de așteptare); generalizate sau universale (sisteme agregate).

MODELE DE DETERMINARE CONTINUĂ (CIRCUITE D)

Să luăm în considerare caracteristicile abordării continuu-deterministe pe exemplul utilizării ecuațiilor diferențiale ca modele matematice. Ecuatii diferentiale se numesc astfel de ecuații în care funcțiile uneia sau mai multor variabile sunt necunoscute, iar ecuația include nu numai funcții, ci și derivatele lor de diverse ordine. Dacă necunoscutele sunt funcții ale mai multor variabile, atunci ecuațiile se numesc ecuații diferențiale parțiale; în caz contrar, atunci când se consideră funcții ale unei singure variabile independente, ecuațiile se numesc ecuații diferențiale obișnuite.

Relații de bază. De obicei, în astfel de modele matematice, timpul este folosit ca variabilă independentă de care depind funcțiile necunoscute căutate. t. Atunci relația matematică pentru sisteme deterministe (6) în formă generală va fi

, (7)

Unde
,
și
- P-vectori dimensionali;
- funcție-vector, care este definită pe unele ( P+1) -dimensional
stabilită și este continuă.

Deoarece schemele matematice de acest tip reflectă dinamica sistemului studiat, adică comportamentul acestuia în timp, ele se numesc D-scheme(ing. dinamic).

În cel mai simplu caz, ecuația diferențială obișnuită are forma

. (8)

Cea mai importantă aplicație pentru ingineria sistemelor D-sistem ca aparat matematic în teoria controlului automat. Pentru a ilustra caracteristicile construcției și aplicării circuitelor D, să luăm în considerare cel mai simplu exemplu de formalizare a procesului de funcționare a două sisteme elementare de natură fizică diferită: mecanic S M (oscilații ale pendulului, Fig. 1, a) și S K electric (circuit oscilator, Fig. 1, b).

Orez. 1. Sisteme elementare

Procesul de mici oscilații ale pendulului este descris de ecuația diferențială obișnuită

Unde
- masa si lungimea suspensiei pendulului; g - accelerație în cădere liberă;
- unghiul de deviere al pendulului în momentul de timp t.

Din această ecuație a oscilației libere a pendulului se pot găsi estimări ale caracteristicilor de interes. De exemplu, perioada de balansare a unui pendul

.

În mod similar, procesele din circuitul electric oscilator sunt descrise de ecuația diferențială obișnuită

Unde L La , CU La - inductanța și capacitatea condensatorului; q(t) - încărcarea condensatorului la timp t.

Din această ecuație, puteți obține diverse estimări ale caracteristicilor procesului din circuitul oscilator. De exemplu, perioada oscilațiilor electrice

.

Evident, introducând notația
,
, ,
, obținem o ecuație diferențială obișnuită de ordinul doi care descrie comportamentul acestui sistem în buclă închisă:

Unde
- parametrii sistemului; z(t) - starea sistemului la momentul respectiv t.

Astfel, comportamentul acestor două obiecte poate fi investigat pe baza unui model matematic general (9). În plus, trebuie remarcat faptul că comportamentul unuia dintre sisteme poate fi analizat folosind celălalt. De exemplu, comportamentul unui pendul (sistem S M) poate fi studiat folosind un circuit electric oscilator (sistem S K).

Dacă sistemul aflat în studiu S, adică un pendul sau un contur, interacționează cu mediul extern E, apoi apare o acțiune de introducere X(t) (forța externă pentru pendul și sursa de energie pentru circuit) și modelul continuu-determinist al unui astfel de sistem va avea forma

Din punct de vedere al schemei generale a modelului matematic X(t) este acțiunea de intrare (control), iar starea sistemului S în acest caz poate fi considerată ca o caracteristică de ieșire, adică să presupunem că variabila de ieșire coincide cu starea sistemului la un moment dat. y =z.

Aplicații posibile. La rezolvarea problemelor de inginerie de sisteme, problemele de gestionare a sistemelor mari sunt de mare importanță. Acordați atenție sistemelor control automat- un caz special de sisteme dinamice descris D-schemeși evidențiate într-o clasă separată de modele datorită specificului lor practic.

Atunci când descriu procesele de control automat, acestea aderă de obicei la prezentarea unui obiect real sub forma a două sisteme: control și controlat (obiect de control). Structura unui sistem general de control automat multidimensional este prezentată în Fig. 2, unde sunt desemnate variabile endogene:
- vector de influențe de intrare (master);
- vector de influenţe perturbatoare;
- vectorul semnalelor de eroare;
- vector de acţiuni de control; variabile exogene:
- vectorul stărilor sistemului S;
este un vector de variabile de ieșire, de obicei
=
.

Orez. 2. Structura sistemului de control automat

Un sistem de control modern este un set de instrumente software și hardware care asigură atingerea unui obiectiv specific de către obiectul de control. Cât de precis atinge obiectul de control un anumit obiectiv poate fi judecat pentru un sistem unidimensional prin coordonatele stării la (t). Diferența dintre date la spatele (t) si valabil la (t) legea modificării variabilei controlate este o eroare de control . Dacă legea prescrisă de modificare a mărimii controlate corespunde legii de modificare a acțiunii de intrare (master), i.e.
, atunci
.

Sisteme pentru care controlează erori
în orice moment sunt numite ideale. În practică, implementarea sistemelor ideale este imposibilă. Deci eroarea h"(t) - un element necesar de control automat bazat pe principiul feedback-ului negativ, deoarece pentru a aduce variabila de iesire in conformitate y(t) valoarea sa specificată utilizează informații despre abaterea dintre ele. Sarcina sistemului de control automat este de a schimba variabila y(t) conform unei legi date cu o anumită precizie (cu o eroare acceptabilă). La proiectarea și operarea sistemelor de control automat, este necesar să selectați următorii parametri ai sistemului S, care ar oferi precizia de control necesară, precum și stabilitatea sistemului în procesul tranzitoriu.

Dacă sistemul este stabil, atunci comportamentul în timp al sistemului este de interes practic, abaterea maximă a variabilei controlate este la (t) în procesul tranzitoriu, timpul procesului tranzitoriu etc. Concluziile despre proprietăţile sistemelor de control automat de diferite clase pot fi făcute sub formă de ecuaţii diferenţiale care descriu aproximativ procesele din sisteme. Ordinea ecuației diferențiale și valorile coeficienților ei sunt complet determinate de parametrii statici și dinamici ai sistemului. S.

Deci folosind D-sistem permite formalizarea procesului de funcţionare a sistemelor continuu-deterministe Sși să le evalueze principalele caracteristici utilizând o abordare analitică sau de simulare, implementată sub forma unui limbaj adecvat pentru modelarea sistemelor continue sau folosind facilități de calcul analogice și hibride.

Clasificarea în orice domeniu de expertiză este esențială. Vă permite să generalizați experiența acumulată, să eficientizați conceptele domeniului de studiu. Dezvoltarea rapidă a metodelor de modelare matematică și varietatea domeniilor de aplicare a acestora a condus la apariția unui număr mare de modele de diverse tipuri și la necesitatea clasificării modelelor în acele categorii care sunt universale pentru toate modelele sau sunt necesare în domeniu. a modelului construit, de exemplu. Să dăm un exemplu de câteva categorii: zonă de utilizare; luarea în considerare a factorului timp (dinamica) în model; ramură a cunoașterii; modul în care sunt prezentate modelele; prezența sau absența unor factori aleatori (sau incerti); tip de criteriu de eficiență și restricții impuse etc.

Analizând literatura de specialitate matematică, am identificat cele mai comune semne de clasificări:

1. După metoda de implementare (inclusiv limbajul formal), toate modelele matematice pot fi împărțite în analitice și algoritmice.

Analitice - Modele care folosesc un limbaj matematic standard. Simulare - modele în care se utilizează un limbaj special de modelare sau un limbaj de programare universal.

Modelele analitice pot fi scrise sub forma de expresii analitice, i.e. sub formă de expresii care conțin un număr numărabil de operații aritmetice și tranziții la limită, de exemplu:. O expresie algebrică este un caz special al unei expresii analitice, ca urmare oferă un sens exact. Există și construcții care vă permit să găsiți valoarea rezultată cu o precizie dată (de exemplu, extinderea unei funcții elementare într-o serie de puteri). Modelele care folosesc această tehnică se numesc aproximative.

La rândul lor, modelele analitice sunt defalcate în teoretice și empirice modele. Modelele teoretice reflectă structuri și procese reale în obiectele studiate, adică se bazează pe teoria muncii lor. Modelele empirice sunt construite pe baza studierii reacțiilor unui obiect la schimbările condițiilor de mediu. În acest caz, teoria funcționării obiectului nu este luată în considerare, obiectul în sine este o așa-numită „cutie neagră”, iar modelul este o anumită dependență de interpolare. Modelele empirice pot fi construite din date experimentale. Aceste date sunt obținute direct pe obiectele studiate sau cu ajutorul modelelor fizice ale acestora.

Dacă un proces nu poate fi descris sub forma unui model analitic, acesta este descris folosind un algoritm sau program special. Acest model este algoritmic. La construirea modelelor algoritmice se folosesc abordări numerice sau de simulare. În abordarea numerică, setul de relații matematice este înlocuit cu un analog finit-dimensional (de exemplu, trecerea de la o funcție a unui argument continuu la o funcție a unui argument discret). Apoi se construiește un algoritm de calcul, i.e. secvențe de operații aritmetice și logice. Soluția găsită a analogului discret este luată ca o soluție aproximativă a problemei inițiale. În abordarea prin simulare, obiectul de modelare în sine este discretizat și sunt construite modele ale elementelor individuale ale sistemului.

2. După forma de prezentare a modelelor matematice, există:

1) Un model invariant este un model matematic care este reprezentat printr-un sistem de ecuații (diferențial, algebric) fără a lua în considerare metodele de rezolvare a acestor ecuații.

2) Model algebric - raportul dintre modele este asociat cu metoda de rezolvare numerică aleasă și scris sub forma unui algoritm (secvență de calcule).

3) Model analitic - este o dependență explicită a variabilelor dorite de valorile date. Astfel de modele sunt obținute pe baza legilor fizice sau ca rezultat al integrării directe a ecuațiilor diferențiale originale folosind integrale tabulare. Acestea includ și modele de regresie obținute pe baza rezultatelor experimentale.

4) Modelul grafic este prezentat sub formă de grafice, circuite echivalente, diagrame și altele asemenea. Pentru a utiliza modele grafice, trebuie să existe o regulă de corespondență neechivocă a imaginilor condiționate ale elementelor graficului și componentelor modelului matematic invariant.

3. În funcție de tipul de criteriu de eficiență și de restricțiile impuse, modelele se subdivizează în liniară și neliniară.În modelele liniare, criteriul de eficiență și constrângerile impuse sunt funcții liniare ale variabilelor modelului (în caz contrar, modele neliniare). Ipoteza despre dependența liniară a criteriului de eficiență și a setului de constrângeri impuse variabilelor modelului este destul de acceptabilă în practică. Acest lucru face posibilă utilizarea unui aparat de programare liniar bine dezvoltat pentru luarea deciziilor.

4. Luând în considerare factorul de timp și zona de utilizare, ele disting modele statice și dinamice... Dacă toate cantitățile incluse în model nu depind de timp, atunci avem un model static al unui obiect sau al unui proces (o porțiune unică de informații despre un obiect). Acestea. un model static este un model în care timpul nu este o variabilă. Un model dinamic vă permite să vedeți modificările unui obiect în timp.

5. În funcție de numărul de părți care iau o decizie, există două tipuri de modele matematice: descriptive și normative... Nu există factori de decizie în modelul descriptiv. În mod formal, numărul de astfel de laturi în modelul descriptiv este zero. Un exemplu tipic de astfel de modele este modelul sistemului de așteptare. Teoria fiabilității, teoria grafurilor, teoria probabilității, metoda de testare statistică (metoda Monte Carlo) pot fi, de asemenea, folosite pentru a construi modele descriptive.

Există multe aspecte ale modelului normativ. În principiu, se pot distinge două tipuri de modele normative: modele de optimizare și modele teoretice de joc. În modelele de optimizare, sarcina principală de dezvoltare a soluțiilor este redusă din punct de vedere tehnic la maximizarea sau minimizarea strictă a criteriului de eficiență, i.e. se determină astfel de valori ale variabilelor controlate la care criteriul de eficiență atinge o valoare extremă (maxim sau minim).

Pentru a dezvolta soluții afișate prin modele de optimizare, împreună cu metodele variaționale clasice și noi (căutare extremă), cele mai utilizate sunt metodele de programare matematică (liniară, neliniară, dinamică). Modelul teoretic al jocului se caracterizează printr-o multiplicitate a numărului de laturi (cel puțin două). Dacă există două partide cu interese opuse, atunci se folosește teoria jocurilor, dacă numărul de partide este mai mare de două, iar coalițiile și compromisurile sunt imposibile între ele, atunci se folosește teoria jocurilor non-coaliție. n persoane.

6. În funcție de prezența sau absența unor factori aleatori (sau incerti), există deterministă și stocastică modele matematice. În modelele deterministe, toate relațiile, variabilele și constantele sunt specificate cu precizie, ceea ce duce la o definiție neechivocă a funcției rezultate. Un model determinist este construit în cazurile în care factorii care influențează rezultatul operațiunii se pretează la măsurarea sau evaluarea suficient de precisă, iar factorii aleatori fie sunt absenți, fie pot fi neglijați.

Dacă unii sau toți parametrii incluși în model sunt prin natura lor variabile aleatoare sau funcții aleatoare, atunci modelul aparține clasei modelelor stocastice. În modelele stocastice sunt stabilite legile de distribuție a variabilelor aleatoare, ceea ce duce la o estimare probabilistică a funcției rezultate, iar realitatea este afișată ca un anumit proces aleator, al cărui curs și rezultat sunt descrise de anumite caracteristici ale variabilelor aleatoare: așteptări matematice , varianțe, funcții de distribuție etc. Construirea unui astfel de model este posibilă dacă există suficient material factual pentru a evalua distribuțiile de probabilitate necesare sau dacă teoria fenomenului luat în considerare permite determinarea teoretică a acestor distribuții (pe baza formulelor teoriei probabilităților, teoremelor limită etc. .).

7. În funcție de scopurile modelării, există descriptiv, optimizare și management modele. În modelele descriptive (din latină descriptio - descriere) sunt investigate legile schimbării parametrilor modelului. De exemplu, un model de mișcare a unui punct material sub influența forțelor aplicate bazat pe a doua lege a lui Newton:. Prin precizarea poziției și accelerației unui punct la un moment dat în timp (parametri de intrare), a masei (parametrului intrinsec) și a legii de variație a forțelor aplicate (influențe externe), se pot determina coordonatele punctului și viteza în orice moment în timp (date de ieșire).

Modelele de optimizare sunt folosite pentru a determina cei mai buni (optimi), pe baza unui anumit criteriu, parametrii obiectului simulat sau metodele de control al acestui obiect. Modelele de optimizare sunt construite folosind unul sau mai multe modele descriptive și au mai multe criterii pentru determinarea optimității. Restricțiile sub formă de egalități sau inegalități legate de caracteristicile obiectului sau procesului luat în considerare pot fi impuse asupra gamei de valori ale parametrilor de intrare. Un exemplu de model de optimizare este compilarea unei rații alimentare într-o anumită dietă (conținutul de calorii al unui produs, valorile prețului costului etc., acționează ca date de intrare).

Modelele de management sunt folosite pentru a lua decizii în diverse domenii ale activității umane intenționate, atunci când mai multe alternative sunt selectate din întregul set de alternative și procesul general de luare a deciziilor este o secvență a unor astfel de alternative. De exemplu, alegerea unui raport de promovare din mai multe întocmite de elevi. Complexitatea problemei constă atât în ​​incertitudinea cu privire la datele de intrare (un raport a fost întocmit independent sau a fost folosită lucrarea altcuiva), cât și în scopuri (natura științifică a lucrării și structura acesteia, nivelul de prezentare și nivelul de pregătire a elevul, rezultatele experimentului și concluziile obținute). Întrucât optimitatea deciziei luate în aceeași situație poate fi interpretată în moduri diferite, forma criteriului de optimitate în modelele de management nu este fixată în prealabil. Metodele de formare a criteriilor de optimitate în funcție de tipul de incertitudine sunt luate în considerare în teoria alegerii și luarea deciziilor, bazată pe teoria jocurilor și cercetarea operațională.

8. Distinge prin metoda cercetării analitice, numerice și de simulare modele. Un model analitic este o descriere formalizată a unui sistem care permite obținerea unei soluții explicite a unei ecuații folosind un aparat matematic bine-cunoscut. Modelul numeric se caracterizează printr-o dependență care permite doar soluții numerice parțiale pentru condițiile inițiale specifice și parametrii cantitativi ai modelului. Un model de simulare este un set de descrieri ale sistemului și influențelor externe, algoritmi de funcționare a sistemului sau reguli de schimbare a stării sistemului sub influența perturbațiilor externe și interne. Acești algoritmi și reguli nu fac posibilă utilizarea metodelor matematice disponibile de soluție analitică și numerică, dar permit simularea procesului de funcționare a sistemului și fixarea caracteristicilor de interes. În continuare, unele modele analitice și de simulare vor fi luate în considerare mai detaliat, studiul acestor tipuri de modele fiind asociat cu specificul activității profesionale a studenților în direcția indicată de formare.

1.4. Reprezentarea grafică a modelelor matematice

În matematică, formele de legătură între mărimi pot fi reprezentate prin ecuații de forma unei variabile independente (argument), y- variabilă dependentă (funcție). În teoria modelării matematice, variabila independentă se numește factor, iar variabila dependentă se numește răspuns. Mai mult, în funcție de aria de construire a unui model matematic, terminologia este oarecum modificată. Câteva exemple de definiții ale factorului și răspunsului, în funcție de domeniul de studiu, sunt prezentate în Tabelul 1.

Tabelul 1. Câteva definiții ale conceptelor „factor” și „răspuns”

Prezentând grafic un model matematic, vom considera factorii și răspunsurile ca variabile, ale căror valori aparțin mulțimii numerelor reale.

Reprezentarea grafică a modelului matematic este o suprafață de răspuns corespunzătoare aranjamentului punctelor în k- spațiu factor dimensional X... Pot fi vizualizate doar suprafețele de răspuns unidimensionale și bidimensionale. În primul caz, acesta este un set de puncte pe un plan real, iar în al doilea, un set de puncte care formează o suprafață în spațiu (pentru a reprezenta astfel de puncte, este convenabil să folosiți linii de nivel - o modalitate de a reprezenta relief de suprafață al unui spațiu construit într-un spațiu factor bidimensional X(Fig. 8).

Se numește zona în care este definită suprafața de răspuns domeniul definiției X *. Această zonă este, de regulă, doar o parte din spațiul total al factorilor. X(X*Ì X) și este alocat folosind constrângeri impuse variabilelor de control x i scrise ca egalități:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(X) = C j, j = 1,…, l

sau inegalități:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(X) £ C j, j = 1,…, n,

În acest caz, funcțiile f j(X) poate depinde atât simultan de toate variabilele, cât și de o parte a acestora.

Constrângeri precum inegalitățile caracterizează fie constrângeri fizice asupra proceselor din obiectul studiat (de exemplu, constrângeri de temperatură), fie constrângeri tehnice asociate condițiilor de funcționare a instalației (de exemplu, limitarea vitezei de tăiere, limitările rezervelor de materii prime) .

Posibilitățile de studiere a modelelor depind în mod esențial de proprietățile (relieful) suprafeței de răspuns, în special, de numărul de „vertice” disponibile pe aceasta și de contrastul acesteia. Numărul de vârfuri (văi) determină modalitatea suprafețe de răspuns. Dacă în domeniul definiției pe suprafața de răspuns există un singur vârf (vale), modelul se numește unimodal.

Natura modificării funcției în acest caz poate fi diferită (Fig. 9).

Modelul poate avea puncte de rupere de primul fel (Fig. 9 (a)), puncte de rupere de al doilea fel (Fig. 9 (b)). Figura 9 (c) prezintă un model unimodal diferențiabil continuu.

Pentru toate cele trei cazuri prezentate în Figura 9, cerința generală de unimodalitate este îndeplinită:

dacă W (x *) este o extremă a lui W, atunci din condiția x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) urmează W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), dacă extremul este un minim, adică pe măsură ce distanța de la punctul extremal crește, valoarea funcției W (x) scade (crește) continuu.

Alături de modelele unimodale sunt luate în considerare modelele polimodale (Fig. 10).

O altă proprietate importantă a suprafeței de răspuns este contrastul acesteia, care arată sensibilitatea funcției rezultate la modificările factorilor. Contrastul este caracterizat de valorile derivatelor. Să demonstrăm caracteristicile de contrast folosind exemplul unei suprafețe de răspuns bidimensionale (Fig. 11).

Punct A situat pe o „pantă” care caracterizează un contrast egal pentru toate variabilele x i (i= 1,2), punctul b este situat într-o „râpă” în care contrast diferit pentru diferite variabile (avem o condiționalitate slabă a funcției), punct Cu este situat pe un „podis” unde contrastul este scăzut pentru toate variabilele x i indică apropierea extremului.

1.5. Metode de bază pentru construirea modelelor matematice

Să dăm clasificarea metodelor de reprezentare formalizată a sistemelor modelate Volkova V.N. și Denisova AA.Autorii evidențiază metode analitice, statistice, teoretice multime, lingvistice, logice, grafice. Terminologia de bază, exemplele de teorii dezvoltate pe baza claselor de metode descrise, precum și sfera și posibilitățile de aplicare a acestora sunt propuse în Anexa 1.

În practica sistemelor de modelare, metodele analitice și statistice sunt cele mai utilizate.

1) Metode analitice de construire a modelelor matematice.

Aparatul terminologic al metodelor analitice de construire a modelelor matematice se bazează pe conceptele matematicii clasice (formulă, funcție, ecuație și sistem de ecuații, inegalitate, derivată, integrală etc.). Aceste metode se caracterizează prin claritatea și validitatea terminologiei folosind limbajul matematicii clasice.

Pe baza conceptelor analitice, au apărut și s-au dezvoltat teorii matematice precum analiza matematică clasică (de exemplu, metode pentru studiul funcțiilor) și fundamentele moderne ale programării matematice și ale teoriei jocurilor. În plus, programarea matematică (liniară, neliniară, dinamică, întreg etc.) conține atât mijloace de stabilire a problemei, cât și extinde posibilitățile de demonstrare a adecvării modelului, în contrast cu o serie de alte domenii ale matematicii. Idei de programare matematică optimă pentru rezolvarea problemelor economice (în special, rezolvarea problemei tăierii optime a unei foi de placaj) au fost propuse de L.V. Kantorovich.

Să explicăm caracteristicile metodei folosind un exemplu.

Exemplu. Să presupunem că pentru producerea a două tipuri de produse Ași V trebuie să folosiți trei tipuri de materii prime. În același timp, pentru fabricarea unei unități de producție de tipul A Se consumă 4 unități. materii prime de primul tip, 2 unitati. Unitățile a 2-a și a 3-a al 3-lea tip. Pentru fabricarea unei unități de producție de tipul V Se consumă 2 unități. materii prime de tip I, 5 unitati. Tipul 2 si 4 unitati. Al 3-lea tip de materii prime. În depozitul fabricii sunt 35 de unități. materii prime de tipul I, 43 - de tipul II, 40 - de tipul III. Din vânzarea unei unități de producție de tipul A fabrica are un profit de 5 mii de ruble și din vânzarea unei unități de producție a formei V profitul este de 9 mii de ruble. Este necesar să se întocmească un model matematic al problemei, care să asigure un profit maxim.

Ratele de consum ale fiecărui tip de materie primă pentru fabricarea unei unități din acest tip de produs sunt date în tabel. De asemenea, indică profitul din vânzarea fiecărui tip de produs și cantitatea totală de materii prime de acest tip care poate fi utilizată de întreprindere.

Să notăm prin x 1și x 2 volumul produselor fabricate Ași V respectiv. Costul materialului de clasa întâi pentru plan va fi 4x 1 + 2x 2, și nu trebuie să depășească stocurile, adică 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Restricțiile privind materialele din clasa a doua sunt similare:

2x 1 + 5x 2 43,

iar pe materialul clasei a III-a

3x 1 + 4x 2 40.

Profit din vanzari x 1 unitățile de producție A și x 2 unitățile de producție B vor fi z = 5x 1+ 9x 2(funcție obiectivă).

Avem modelul problemei:

O soluție grafică a problemei este prezentată în Figura 11.

Optimal (cel mai bun, adică maximul funcției z) soluția problemei este la punctul A (soluția este explicată în capitolul 5).

Am inteles x 1=4,x 2= 7, valoarea funcției z la punctul A:.

Astfel, valoarea profitului maxim este de 83 de mii de ruble.

Pe lângă cea grafică, există și o serie de metode speciale de rezolvare a problemei (de exemplu, metoda simplex) sau se folosesc pachete software aplicate care le implementează. In functie de tipul functiei obiectiv se disting programarea liniara si neliniara, in functie de natura variabilelor se distinge programarea intregi.

Caracteristicile generale ale programării matematice pot fi distinse:

1) introducerea conceptului de funcție obiectivă și constrângerile sunt mijloace de stabilire a problemei;

2) este posibil să combinați criterii diferite într-un singur model (diferite dimensiuni, în exemplu - stocuri de materii prime și profit);

3) modelul de programare matematică permite trecerea la limita intervalului de valori admisibile ale variabilelor;

4) posibilitatea implementării unui algoritm pas cu pas pentru obținerea rezultatelor (aproximarea pas cu pas la soluția optimă);

5) claritatea, realizată prin interpretarea geometrică a problemei, care ajută în cazurile în care problema este imposibilă rezolvarea formală.

2) Metode statistice de construire a modelelor matematice.

Metodele statistice pentru construirea de modele matematice s-au răspândit și au început să fie utilizate pe scară largă odată cu dezvoltarea teoriei probabilităților în secolul al XIX-lea. Ele se bazează pe legile probabilistice ale evenimentelor aleatoare (stochastice), reflectând fenomene reale. Termenul „stohastic” este o clarificare a conceptului de „aleatorie”, indică motive predeterminate, precise care afectează procesul, iar conceptul de „aleatorie” se caracterizează prin independența față de impactul sau absența unor astfel de motive.

Modelele statistice sunt prezentate sub formă de variabile aleatoare discrete și modele de apariție a valorilor lor sau sub formă de dependențe continue ale distribuției evenimentelor (proceselor). Bazele teoretice ale construirii modelelor stocastice sunt descrise în detaliu în Capitolul 2.

Întrebări de control

1. Formulaţi problema principală a modelării matematice.

2. Dați definiția unui model matematic.

3. Enumeraţi principalele dezavantaje ale abordării experimentale în studiu.

4. Enumerați etapele principale ale construirii unui model.

5. Enumeraţi tipurile de modele matematice.

6. Oferiți o scurtă descriere a tipurilor de modele.

7. Ce formă ia modelul matematic când este prezentat geometric?

8. Cum sunt specificate modelele matematice de tip analitic?

Sarcini

1. Realizați un model matematic pentru rezolvarea problemei și clasificați modelul:

1) Determinați capacitatea maximă a unei găleți cilindrice, a cărei suprafață (fără capac) este S.

2) Întreprinderea asigură producția regulată cu o aprovizionare fără probleme de componente de la doi subcontractanți. Probabilitatea de refuz la livrare de la primul dintre subcontractanti -, de la al doilea -. Găsiți probabilitatea unei eșecuri a întreprinderii.

2. Modelul Malthus (1798) descrie reproducerea unei populații într-un ritm proporțional cu dimensiunea acesteia. În formă discretă, această lege este o progresie geometrică:; sau. Legea, scrisă sub forma unei ecuații diferențiale, este un model de creștere exponențială a populației și descrie bine creșterea populațiilor de celule în absența oricărei limitări:. Stabiliți condițiile inițiale și demonstrați cum funcționează modelul.

Informațiile inițiale în construcția MM a proceselor de funcționare a sistemelor sunt date privind scopul și condițiile de funcționare ale sistemului investigat (proiectat) S. Aceste informații determină scopul principal al modelării, cerințele pentru MM, nivelul de abstractizare. , și alegerea unei scheme de modelare matematică.

Concept schema matematica ne permite să considerăm matematica nu ca o metodă de calcul, ci ca o metodă de gândire, un mijloc de formulare a conceptelor, care este cel mai important în trecerea de la o descriere verbală la o reprezentare formalizată a procesului de funcționare a acesteia sub forma unii MM.

Când folosiți covorașul. schema, în primul rând, cercetătorul sistemului ar trebui să fie interesat de problema adecvării afișajului sub forma unor scheme specifice ale proceselor reale din sistemul studiat și nu de posibilitatea de a obține un răspuns (rezultatul soluției) la o anumită întrebare de cercetare.

De exemplu, reprezentarea procesului de funcționare a unui ICS pentru uz colectiv sub forma unei rețele de scheme de așteptare face posibilă descrierea bine a proceselor care au loc în sistem, dar cu legi complexe ale fluxurilor de intrare și ale fluxurilor de servicii, aceasta nu face posibilă obținerea de rezultate într-o formă explicită.

Schema matematică poate fi definită ca o verigă în trecerea de la o descriere semnificativă la una formalizată a procesului de funcționare a sistemului, ținând cont de impactul mediului extern. Acestea. există un lanț: un model descriptiv - o schemă matematică - un model de simulare.

Fiecare sistem specific S este caracterizat de un set de proprietăți, care sunt înțelese ca valori care reflectă comportamentul obiectului modelat (sistemul real) și condițiile de funcționare a acestuia în interacțiunea cu mediul extern (sistemul) E.

Când se construiește MM-ul sistemului S, este necesar să se rezolve problema completității acestuia. Completitudinea modelării este reglementată în principal de alegerea limitelor „Sistem S – mediu E”. De asemenea, ar trebui rezolvată și problema simplificării MM, ceea ce ajută la evidențierea principalelor proprietăți ale sistemului, eliminând obiectivele secundare ale modelării.

MM a obiectului de simulare, i.e. al sistemului S poate fi reprezentat ca o mulțime de mărimi care descriu procesul de funcționare a unui sistem real și în cazul general formând următoarele submulțimi:

Un set de X - intrare influențează asupra Sх i Х, i = 1… n x;

Totalitatea mediului extern influențează v l V, l = 1… n v;

Ansamblul parametrilor interni (intrinseci) sistemului h k H, k = 1… n h;

Setul de caracteristici de ieșire ale sistemului y j Y, j = 1… n y.

În seturile enumerate se pot distinge cantitățile controlate și necontrolate. În general, X, V, H, Y sunt mulțimi disjunse care conțin atât componente deterministe, cât și stocastice. Acțiunile de intrare E și parametrii interni S sunt variabile independente (exogene)..Caracteristici de iesire - variabile dependente (endogene)... Procesul de operare S este descris de operatorul F S:

(1)

Traiectoria de iesire.F S - legea functionarii S.F S poate fi o functie, conditii functionale, logice, algoritm, tabel sau descriere verbala a regulilor.

Algoritm de funcționare A S - o metodă de obținere a caracteristicilor de ieșire ținând cont de influențele de intrare Evident, același FS poate fi implementat în moduri diferite, adică folosind multe A S diferite.

Relația (1) este o descriere matematică a comportamentului modelării obiectului S în timpul t, i.e. o reflectă proprietăți dinamice... (1) este un model dinamic al sistemului S. Pentru condițiile statice MM există mapări X, V, H în Y, adică. (2)

Relațiile (1), (2) pot fi specificate prin formule, tabele etc.

De asemenea, relațiile în unele cazuri pot fi obținute prin proprietățile sistemului în anumite momente de timp, numite stări.

Stările sistemului S sunt caracterizate prin vectori:

și , Unde în momentul t l  (t 0, T)

la momentul t ll  (t 0, T), etc. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)... Z k (t) sunt coordonatele unui punct din spațiul de fază k-dimensional. Fiecare implementare a procesului va corespunde unei anumite traiectorii de fază.

Mulțimea tuturor valorilor posibile ale stărilor () se numește spațiul de stări al obiectului modelării Z și z k Z.

Starea sistemului S în intervalul de timp t 0 , unde intrarea, parametrii interni și efectele mediului extern, care au avut loc în intervalul de timp t * - t 0 folosind 2 ecuații vectoriale:

; (3)

in caz contrar: . (5)

Timp în mod. S poate fi considerat pe intervalul de simulare (t 0, T) atât continuu cât și discret, i.e. cuantizat pe un segment de lungime t.

Astfel, sub MM-ul unui obiect înțelegem un set finit de variabile () împreună cu conexiuni matematice între ele și caracteristici.

Modelarea se numește deterministă dacă operatorii F, Ф sunt determiniști, adică. pentru o intrare specifică, ieșirea este deterministă. Modelarea deterministă este un caz special de modelare stocastică. În practică, modelarea obiectelor în domeniul analizei sistemelor în stadiile primare ale cercetării este mai rațională folosirea schemelor matematice standard: dif. ecuații, automate finite și probabilistice, QS etc.

Nu posedat. un asemenea grad de generalitate ca modelele (3), (4), tipice scheme matematice au avantajul simplității și clarității, dar cu o restrângere semnificativă a domeniului de aplicare.

La fel de determinat modele, când un fapt aleatoriu nu este luat în considerare în studiu, ecuațiile diferențiale, integrale și alte sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp continuu, iar automatele finite și schemele cu diferențe finite sunt folosite pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp discret.

La începutul modelelor stocastice (luând în considerare un factor aleator), automatele probabilistice sunt folosite pentru a reprezenta sisteme cu timp discret, iar sistemele de așteptare (QS) sunt folosite pentru a reprezenta sisteme cu timp continuu. Asa numitul agregat modele.

Modelele agregate (sisteme) fac posibilă descrierea unei game largi de obiecte de cercetare cu o reflectare a naturii sistemice a acestor obiecte. Cu o descriere agregată, un obiect complex este împărțit într-un număr finit de părți (subsisteme), menținând în același timp conexiunile, asigurând interacțiunea părților.

16 Scheme matematice pentru modelarea sistemelor.

Principalele abordări ale construcției modelelor matematice ale sistemului. Modele continuu deterministe. Modele discret-deterministe. Modele stocastice discrete. Modele stocastice continue. Modele de rețea. Modele combinate.

Principalele abordări ale construcției modelelor matematice ale sistemului.

Informația inițială în construcția modelelor matematice a proceselor de funcționare a sistemelor este datele privind scopul și condițiile de funcționare ale sistemului investigat (proiectat). S.

Scheme matematice

Procesele reale sunt afișate sub formă de diagrame specifice. Mat. scheme - trecerea de la o descriere semnificativă la o descriere formală a sistemului, ținând cont de impactul mediului.

Modelul de obiect formal

Modelul obiectului de simulare,

adică sisteme S, poate fi reprezentat ca un set de marimi,

descrierea procesului de funcţionare a unui sistem real şi generarea

în general, următoarele subseturi:

Agregat acțiuni de intrare pe sistem

Xi, ex, (e-personajul aparține)i=1; nx

Agregat influente de mediu

vl eVl = 1; nv

Agregat parametri interni (proprii). sisteme

hkeHk = 1; nh

Agregat caracteristicile de ieșire sisteme

yJeYj = 1; ny

Puteți distinge între variabilele gestionate și negestionate.

La modelarea sistemelor, influențele de intrare, influențele mediului și parametrii interni conțin atât componente deterministe, cât și stocastice.

influențe de intrare, influențe ale mediului E iar parametrii interni ai sistemului sunt variabile independente (exogene).

Procesul de funcționare a sistemului S descris la timp de către operator Fs, care în cazul general transformă variabile exogene în endogene în conformitate cu relații de forma:

y(t) = Fs (X, v, h, t) - toate cu vektori.

Legea de funcționare a sistemului Fs poate fi specificată sub forma unei funcții, condiții funcționale, logice, în forme algoritmice și tabelare, sau sub forma unei reguli de corespondență verbală.

Conceptul algoritmului de funcționare As - o metodă de obținere a caracteristicilor de ieșire ținând cont de acțiunile de intrare, de efectele mediului extern și de parametrii intrinseci ai sistemului.

Sunt introduse și stările sistemului - proprietățile sistemului în anumite momente de timp.

Totalitatea tuturor valorilor posibile ale stărilor constituie spațiul de stare al unui obiect.

Astfel, lanțul de ecuații al obiectului "intrare - stări - ieșire" vă permite să determinați caracteristicile sistemului:

Astfel, sub modelul matematic al obiectului(sistem real) înțelege un subset finit de variabile (x (t), v (t), h(t)) împreună cu relațiile matematice dintre ele și caracteristici YT).

Scheme tipice

În etapele inițiale ale studiului, sunt utilizate scheme standard. : ecuații diferențiale, automate finite și probabilistice, sisteme de așteptare, rețele Petri etc.

Ecuațiile diferențiale, integrale, integro-diferențiale și alte ecuații sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp continuu ca modele deterministe, atunci când factorii aleatori nu sunt luați în considerare în studiu, iar automatele finite și schemele cu diferențe finite sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp discret....

Automatele probabilistice sunt folosite ca modele stocastice (ținând cont de factori aleatori) pentru a reprezenta sisteme cu timp discret, iar sistemele de așteptare sunt folosite pentru a reprezenta sisteme cu timp continuu etc.

Astfel, la construirea modelelor matematice ale proceselor de funcționare a sistemelor se pot distinge următoarele abordări principale: continuu-deterministe (de exemplu, ecuații diferențiale); discret-determinist (automate finite); stocastică discretă (automate probabilistice); continuu-stochastic (sisteme de așteptare); generalizate sau universale (sisteme agregate).

Modele continuu deterministe

Să luăm în considerare caracteristicile abordării continuu deterministe folosind un exemplu, folosind Mat. modele ecuatii diferentiale.

Ecuațiile diferențiale sunt acele ecuații în care funcțiile unei variabile sau mai multor variabile sunt necunoscute, iar ecuația include nu numai funcțiile lor, ci și derivatele lor de diferite ordine.

Dacă necunoscutele sunt funcții ale mai multor variabile, atunci ecuațiile se numesc - ecuații cu diferențe parțiale. Dacă funcțiile necunoscute ale unei variabile independente, atunci ecuații diferențiale obișnuite.

Relație matematică generală pentru sisteme deterministe:

Modele discret-deterministe.

DDM sunt supuse revizuirii teoria automatelor (TA)... TA este o secțiune de cibernetică teoretică care studiază dispozitivele care procesează informații discrete și își schimbă stările interne numai la momente acceptabile.

Mașină de stat se numește automat, în care setul de stări interne și semnale de intrare (și, în consecință, setul de semnale de ieșire) sunt mulțimi finite.

Mașină cu stări finite are multe stări interne și semnale de intrare, care sunt mulțimi finite. Mașinărie dat de schema F: F = ,

unde z, x, y sunt, respectiv, seturi finite de semnale de intrare și ieșire (alfabete) și un set finit de stări interne (alfabet). z0ÎZ - starea inițială; j (z, x) - functie de tranzitie; y (z, x) - funcția de ieșire.

Automatul funcționează în timp automat automat, ale cărui momente sunt cicluri, adică adiacente unul altuia intervale de timp egale, fiecare dintre acestea corespunzând unor valori constante ale semnalului de intrare, ieșire și stare internă. Un automat abstract are un canal de intrare și un canal de ieșire.

Pentru a defini un F - automat, este necesar să descriem toate elementele mulțimii F = , adică alfabete de intrare, interne și de ieșire, precum și funcții de tranziție și de ieșire. Pentru a seta activitatea F - automate, cele mai des sunt utilizate metodele tabelare, grafice și matrice.

În modul tabelar de setare, se folosesc tabele de tranziție și de ieșire, ale căror rânduri corespund semnalelor de intrare ale automatului, iar coloanele - stărilor acestuia.

Descrierea muncii F- Mitralieră Miles tabelele de tranziții j și ieșirile y sunt ilustrate de tabelul (1), iar descrierea lui F - automatul lui Moore - este ilustrată de tabelul de tranziții (2).

tabelul 1

Tranziții
…………………………………………………………
…………………………………………………………

masa 2

…………………………………………………………

Exemple de modalitate tabelară de specificare a F - automatul Mealy F1 cu trei stări, două semnale de intrare și două de ieșire, sunt date în tabelul 3, iar pentru F - automatul Moore F2 - în tabelul 4.

Tabelul 3

Tranziții

Tabelul 4

Un alt mod de a defini o mașină cu stări finite folosește conceptul de graf direcționat. Graficul automatului este un set de vârfuri corespunzătoare diferitelor stări ale automatului și care leagă vârfurile arcelor de graf corespunzătoare anumitor tranziții ale automatului. Dacă semnalul de intrare xk determină o tranziție de la starea zi la starea zj, atunci pe graficul automatului arcul care leagă vârful zi cu vârful zj este notat cu xk. Pentru a seta funcția de tranziție, arcele de grafic trebuie să fie marcate cu semnalele de ieșire corespunzătoare.

Orez. 1. Grafice ale automatelor lui Mealy (a) și Moore (b).

Când se rezolvă probleme de modelare, o definiție matriceală a unei mașini cu stări finite este adesea o formă mai convenabilă. În acest caz, matricea conexiunilor automatului este o matrice pătrată C = || cij ||, ale căror rânduri corespund stărilor inițiale, iar coloanele stărilor de tranziție.

Exemplu. Pentru automatul Moore considerat anterior F2, scriem matricea de stare și vectorul de ieșire:

;

Modele stocastice discrete

Fie Ф mulțimea tuturor perechilor posibile de forma (zk, yi), unde уi este un element al rezultatului

submultimea Y. Cerem ca orice element al multimii G induce

pe mulțimea Ф o lege de distribuție de următoarea formă:

Elemente din Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Rețele informaționale „href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> prelucrarea informațiilor computerizate de la terminale la distanță etc.

În același timp, tipic pentru

funcţionarea unor astfel de obiecte este apariţia aleatorie a aplicaţiilor (cerinţelor) pt

service și încetarea serviciului la momente aleatorii,

adică natura stocastică a procesului de funcţionare a acestora.

QS este înțeles ca un sistem dinamic conceput pentru a deservi eficient un flux aleatoriu de aplicații cu resurse limitate de sistem. Structura generalizată a QS este prezentată în Figura 3.1.

Orez. 3.1. Schema SMO.

Revendicările omogene care ajung la intrarea QS sunt împărțite în tipuri, în funcție de cauza generatoare, intensitatea fluxului de revendicări de tip i (i = 1 ... M) se notează cu li. Totalitatea aplicațiilor de toate tipurile este fluxul de intrare al QS.

Serviciul de aplicații este efectuat m canale.

Distingeți între canalele de servicii universale și specializate. Pentru un canal universal de tip j, funcțiile de distribuție Fji (t) a duratei deservirii revendicărilor de tip arbitrar sunt considerate cunoscute. Pentru canalele specializate, funcțiile de distribuție pe durata serviciului de canale a anumitor tipuri de revendicări sunt nedefinite, atribuirea acestor creanțe către acest canal.

Q - circuitele pot fi investigate analitic și prin modele de simulare. Acesta din urmă oferă o mare versatilitate.

Să luăm în considerare conceptul de coadă.

În orice act elementar de deservire, se pot distinge două componente principale: așteptarea serviciului de către cerere și deservirea efectivă a cererii. Acesta poate fi afișat sub forma unui dispozitiv de serviciu i-lea Pi, constând dintr-un acumulator de revendicare, în care pot exista simultan revendicări li = 0 ... LiH, unde LiH este capacitatea acumulatorului i-lea și un canal de servicii de revendicare, ki.

Orez. 3.2. Schema schematică a dispozitivului CMO

Fiecare element al dispozitivului de service Pi primește fluxuri de evenimente: fluxul de revendicări wi către acumulatorul Hi și fluxul de service ui către canalul ki.

Prin fluxul evenimentelor(PS) este o succesiune de evenimente care au loc unul după altul în anumite momente aleatorii în timp. Distingeți fluxurile de evenimente omogene și eterogene. Omogen PS se caracterizează numai prin momentele de sosire a acestor evenimente (momente cauzatoare) și este dată de succesiunea (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), unde tn este momentul sosirii celui de-al n-lea. eveniment - un număr real nenegativ. TSA poate fi, de asemenea, specificat ca o secvență de intervale de timp între evenimentele n-lea și n-1-lea (tn).

Eterogen PS se numește șir (tn, fn), unde tn - momente care provoacă; fn - un set de atribute de eveniment. De exemplu, poate fi atribuit uneia sau alteia surse de revendicări, prezența unei priorități, capacitatea de a servi unul sau alt tip de canal etc.

Pretențiile deservite de canalul ki și revendicările care au părăsit serverul Pi din diverse motive neservite formează fluxul de ieșire yiÎY.

Procesul de funcționare al dispozitivului de serviciu Pi poate fi reprezentat ca un proces de modificare a stărilor elementelor sale în timpul Zi (t). Trecerea la o nouă stare pentru Pi înseamnă o modificare a numărului de solicitări care sunt în acesta (în canalul ki și acumulatorul Hi). Acea. vectorul de stări pentru Pi are forma:, unde sunt stările de unitate, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height =" 28 " > = 1 - există o singură cerere în stocare ..., = - stocarea este complet ocupată; - starea canalului ki (= 0 - canalul este liber, = 1 canalul este ocupat).

Diagramele Q ale obiectelor reale sunt formate din compoziția multor dispozitive elementare de serviciu Pi. Dacă dispozitivele de serviciu diferite sunt conectate în paralel, atunci există serviciu multicanal (circuit Q multicanal), iar dacă dispozitivele Pi și compozițiile lor paralele sunt conectate în serie, atunci există serviciu multifazat (circuit Q multifazic).

Pentru a defini o schemă Q, este, de asemenea, necesar să se descrie algoritmii de funcționare a acesteia, care determină regulile de comportare a revendicărilor în diverse situații ambigue.

În funcție de locul de apariție a unor astfel de situații, există algoritmi (discipline) pentru așteptarea revendicărilor în acumulatorul Нi și pentru deservirea revendicărilor pe canalul ki. Se ține cont de eterogenitatea fluxului de aplicații prin introducerea unei clase de prioritate - priorități relative și absolute.

Acea. O schemă Q care descrie procesul de funcționare a unui QS de orice complexitate este definită în mod unic ca un set de mulțimi: Q = .

Modele de rețea.

Pentru o descriere formală a structurii și interacțiunii sistemelor și proceselor paralele, precum și pentru analiza relațiilor cauză-efect în sisteme complexe, sunt utilizate Rețele Petri, numite N-scheme.

Formal, schema N este dată de un cvadruplu al formei

N = ,

unde B este un set finit de simboluri numite poziții, B ≠ O;

D este un set finit de simboluri numite tranziții D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - funcție de intrare (funcția de incidență directă)

I: B × D → (0, 1); О - funcție de ieșire (funcția de incidență inversă),

О: B × D → (0, 1). Astfel, funcția de intrare I mapează tranziția către dj

setul de poziții de intrare bj I (dj) și funcția de ieșire O mapează

trecerea dj la setul de poziții de ieșire bj О (dj). Pentru fiecare tranziție

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

În mod similar, pentru fiecare poziție bi B sunt introduse definițiile

set de tranziții de intrare ale poziției I (bi) și tranziții de ieșire

pozitia O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

O rețea Petri este un graf bipartit direcționat format din două tipuri de vârfuri - poziții și tranziții, conectate prin arce; vârfurile de același tip nu pot fi conectate direct.

Un exemplu de rețea Petri. Cercurile albe indică poziții, dungi - tranziții, cercuri negre - etichete.

Arcurile de orientare conectează poziții și tranziții, fiecare arc îndreptat de la un element dintr-un set (poziție sau tranziție) la un element al altui set

(tranziție sau poziție). Un grafic N-design este un multigraf, deoarece acesta

admite existența mai multor arce de la un vârf la altul.

Descompunerea "href =" / text / categorie / dekompozitciya / "rel =" bookmark "> descompunerea unui sistem complex este reprezentat ca o structură pe mai multe niveluri de elemente interconectate combinate în subsisteme de diferite niveluri.

Un agregat acționează ca un element al diagramei A, iar legătura dintre agregate (în interiorul sistemului S și cu mediul extern E) se realizează folosind operatorul de conjugare R.

Orice unitate se caracterizează prin următoarele seturi: timpii T, semnalele de intrare X și de ieșire Y, stările Z în fiecare moment t. Starea unității la momentul tT se notează cu z (t) Z,

iar semnalele de intrare și de ieșire ca x (t) X și respectiv y (t) Y.

Vom presupune că trecerea agregatului din starea z (t1) la starea z (t2) ≠ z (t1) are loc într-un interval scurt de timp, adică există un salt δz.

Tranzițiile unității de la starea z (t1) la z (t2) sunt determinate de parametrii intrinseci (interni) ai unității în sine h (t) H și de semnalele de intrare x (t) X.

La momentul inițial de timp t0, stările z au valori egale cu z0, adică z0 = z (t0), dată de legea de distribuție a procesului z (t) la momentul t0 și anume J. Să presupunem că procesul de funcționare a unității în cazul acțiunii semnalul de intrare xn este descris de un operator aleator V. Apoi, în momentul în care semnalul de intrare ajunge la unitatea tnT

xn se poate determina starea

z (tn + 0) = V.

Notăm intervalul de jumătate de timp t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Colecția de operatori aleatori V și U este considerată ca un operator de tranziții ale agregatului la stări noi. În acest caz, procesul de funcționare al unității constă în salturi de stări δz la momentele de sosire a semnalelor de intrare x (operatorul V) și modificări de stări între aceste momente tn și tn + 1 (operatorul U). Nu sunt impuse restricții operatorului U; prin urmare, sunt admisibile salturi ale stărilor δz la momente care nu sunt momente de sosire a semnalelor de intrare x. În cele ce urmează, momentele de sărituri δz vor fi numite momente speciale de timp tδ, iar stările z (tδ) - stări speciale ale schemei A. Pentru a descrie salturile stărilor δz la momente speciale tδ, vom folosi operatorul aleator W, care este un caz special al operatorului U, adică.

z (tδ + 0) = W.

În mulțimea stărilor Z se distinge o submulțime Z (Y) astfel încât dacă z (tδ) ajunge la Z (Y), atunci această stare este momentul emiterii semnalului de ieșire determinat de operatorul de ieșire

y = G.

Astfel, prin agregat înțelegem orice obiect definit printr-o colecție ordonată a mulțimilor considerate T, X, Y, Z, Z (Y), H și operatori aleatori V, U, W, G.

Secvența semnalelor de intrare, dispuse în ordinea sosirii lor în schema A, va fi numită mesaj de intrare sau mesaj x. O secvență de semnale de ieșire, ordonate în funcție de momentul emiterii, va fi numită mesaj de ieșire sau mesaj y.

DACA SCURT

Modele continuu deterministe (scheme D)

Sunt folosite pentru studierea sistemelor care funcționează în timp continuu. Ecuațiile diferențiale, integrale, integro-diferențiale sunt utilizate în principal pentru a descrie astfel de sisteme. În ecuațiile diferențiale obișnuite se consideră o funcție a unei singure variabile independente, iar în ecuațiile diferențiale parțiale, funcțiile mai multor variabile.

Ca exemplu de aplicare a modelelor D, se poate cita studiul funcționării unui pendul mecanic sau a unui circuit oscilator electric. Baza tehnică a modelelor D este formată din calculatoare analogice (AVM) sau computerele hibride care se dezvoltă rapid (GVM). După cum știți, principiul de bază al cercetării pe un computer este că, conform ecuațiilor date, cercetătorul (utilizatorul AVM) asamblează un circuit din noduri tipice separate - amplificatoare operaționale cu includerea de circuite pentru scalare, amortizare, aproximare, etc.

Structura ABM se modifică în funcție de forma ecuațiilor reproductibile.

Într-un computer digital, structura rămâne neschimbată, dar secvența de funcționare a nodurilor sale se modifică în conformitate cu programul stabilit în acesta. Comparația dintre AVM și computerul digital arată clar diferența dintre simulare și modelare statistică.

ABM implementează un model de simulare, dar, de regulă, nu utilizează principiile modelării statistice. În calculatoarele digitale, majoritatea modelelor de simulare se bazează pe studiul numerelor aleatoare, proceselor, adică pe modelarea statistică. Modelele continuu-deterministe sunt utilizate pe scară largă în inginerie mecanică în studiul sistemelor de control automat, alegerea sistemelor de amortizare, identificarea fenomenelor de rezonanță și oscilații în tehnologie.
etc.

Modele discret-deterministe (circuite F)

Operați cu timp discret. Aceste modele stau la baza studierii funcționării unei clase extrem de importante și răspândite de sisteme automate discrete astăzi. În scopul cercetării lor, a fost dezvoltat un aparat matematic independent al teoriei automatelor. Pe baza acestei teorii, sistemul este considerat ca un automat care prelucrează informații discrete și modifică, în funcție de rezultatele prelucrării sale, stările sale interne.

Acest model se bazează pe principiile minimizării numărului de elemente și noduri dintr-un circuit, dispozitiv, optimizarea dispozitivului în ansamblu și secvența de funcționare a nodurilor acestuia. Alături de circuitele electronice, un reprezentant izbitor al mașinilor descrise de acest model este un robot care controlează (conform unui program dat) procesele tehnologice într-o secvență deterministă dată.

Mașina cu control numeric este descrisă și de acest model. Alegerea secvenței de prelucrare a pieselor pe această mașină se realizează prin configurarea unității de control (controller), care generează semnale de control în anumite momente în timp / 4 /.

Teoria automatelor folosește aparatul matematic al funcțiilor booleene care operează pe două valori posibile ale semnalelor, 0 și 1.

Automatele se împart în automate fără memorie, automate cu memorie. Descrierea muncii lor se face folosind tabele, matrice, grafice care afișează tranzițiile mașinii de la o stare la alta. Evaluările analitice pentru orice fel de descriere a funcționării mașinii sunt foarte greoaie și chiar și cu un număr relativ mic de elemente, noduri care alcătuiesc dispozitivul, sunt practic impracticabile. Prin urmare, studiul circuitelor complexe de automate, care includ, fără îndoială, dispozitive robotice, se realizează prin simulare.

Modele stocastice discrete (scheme P)

Ele sunt folosite pentru a studia munca automatelor probabilistice. La automatele de acest tip, tranzițiile de la o stare la alta sunt efectuate sub influența semnalelor externe și ținând cont de starea internă a automatului. Cu toate acestea, spre deosebire de T-automat, aceste tranziții nu sunt strict deterministe, dar pot apărea cu anumite probabilități.

Un exemplu de astfel de model este un lanț Markov discret cu un set finit de stări. Analiza schemelor F se bazează pe procesarea și transformarea matricelor de probabilitate de tranziție și analiza graficelor de probabilitate. Deja pentru analiza dispozitivelor relativ simple, al căror comportament este descris de circuitele F, este recomandabil să folosiți simularea. Un exemplu de astfel de simulare este dat în clauza 2.4.

Modele stocastice continue (scheme Q)

Ele sunt utilizate în analiza unei clase largi de sisteme considerate sisteme de așteptare. Ca proces de serviciu, pot fi reprezentate procese care sunt diferite prin natura lor fizică: fluxuri de aprovizionare cu produse către o întreprindere, fluxuri de componente și produse la comandă, fluxuri de piese pe o linie de asamblare, fluxuri de acțiuni de control din centrul de control al ACS la locurile de muncă și returnarea cererilor de prelucrare a informațiilor într-un computer etc.

De obicei, aceste fluxuri depind de mulți factori și situații specifice. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, aceste fluxuri sunt aleatorii în timp, cu posibilitatea unor modificări în orice moment. Analiza unor astfel de scheme se realizează pe baza aparatului matematic al teoriei cozilor. Acestea includ un lanț Markov continuu. În ciuda progreselor semnificative înregistrate în dezvoltarea metodelor analitice, teoria cozilor, analiza schemelor Q prin metode analitice poate fi efectuată numai cu ipoteze și ipoteze simplificatoare semnificative. Un studiu detaliat al majorității acestor scheme, în special al celor complexe precum sistemele de control al proceselor, sistemele robotizate, poate fi efectuat numai prin simulare.

Modele generalizate (diagrame A)

Pe baza descrierii proceselor de funcționare a oricăror sisteme bazate pe metoda agregată. Cu o descriere agregată, sistemul este împărțit în subsisteme separate, care pot fi considerate convenabile pentru descrierea matematică. Ca urmare a unei astfel de diviziuni (descompunere), un sistem complex este prezentat sub forma unui sistem pe mai multe niveluri, ale cărui niveluri individuale (agregate) sunt susceptibile de analiză. Pe baza analizei agregatelor individuale și luând în considerare legile de interconectare a acestor agregate, este posibil să se realizeze un studiu cuprinzător al întregului sistem.

, Yakovlev Systems. a 4-a ed. - M .: Liceu, 2005 .-- S. 45-82.

Scheme matematice pentru modelarea sistemelor

Avantaje și dezavantaje ale simulării

Principalul demnitate simulare în studiul sistemelor complexe:

· Capacitatea de a explora caracteristicile procesului de funcționare a sistemului S în orice condiții;

· Datorită utilizării unui computer, durata testelor este redusă semnificativ în comparație cu un experiment la scară largă;

· Rezultatele testelor la scară completă ale unui sistem real sau ale părților sale pot fi utilizate pentru simulare;

· Flexibilitatea variarii structurii, algoritmilor si parametrilor sistemului modelat la cautarea versiunii optime a sistemului;

· Pentru sisteme complexe - aceasta este singura metodă practic realizabilă pentru studierea procesului de funcționare a sistemelor.

Principalul limitări modelare de simulare:

· Pentru o analiză completă a caracteristicilor procesului de funcționare a sistemelor și căutarea opțiunii optime, este necesară reproducerea de mai multe ori a experimentului de simulare, variind datele inițiale ale problemei;

· Cheltuieli mari de timp pe calculator.

Eficacitatea modelării mașinilor. La simulare, este necesar să se asigure eficiența maximă a modelului de sistem. Eficienţă de obicei definită ca o diferență între o anumită măsură a valorii rezultatelor obținute în timpul funcționării modelului și costurile care au fost investite în dezvoltarea și crearea acestuia.

Eficacitatea modelării prin simulare poate fi evaluată după o serie de criterii:

Acuratețea și fiabilitatea rezultatelor simulării,

Timpul de construire și de lucru cu modelul M,

Cheltuiala resurselor mașinii (timp și memorie),

· Costul dezvoltării și exploatării modelului.

Cea mai bună măsură a eficacității este o comparație a rezultatelor obținute cu studii reale. Folosind o abordare statistică, cu un anumit grad de precizie (în funcție de numărul de realizări ale unui experiment cu mașină), se obțin caracteristici medii ale comportamentului sistemului.

Costurile totale ale timpului calculatorului sunt alcătuite din timpul de intrare și ieșire pentru fiecare algoritm de simulare, timpul de efectuare a operațiilor de calcul, ținând cont de accesul la RAM și dispozitive externe, precum și de complexitatea fiecărui algoritm de simulare și de planificarea experimentelor.

Scheme matematice.Model matematic Este o colecție de obiecte matematice (numere, variabile, mulțimi, vectori, matrice etc.) și relații dintre acestea, care reflectă în mod adecvat proprietățile fizice ale obiectului tehnic creat. Procesul de formare a unui model matematic și utilizarea lui pentru analiză și sinteză se numește modelare matematică.

Atunci când se construiește un model matematic al sistemului, este necesar să se rezolve problema completității acestuia. Completitudinea modelului este reglementată în principal de alegerea „sistemului” de limită S- Miercuri E". De asemenea, trebuie rezolvată și problema simplificării modelului, ceea ce ajută la evidențierea, în funcție de scopul modelării, a principalelor proprietăți ale sistemului, lepădându-le pe cele secundare.

În trecerea de la o descriere semnificativă la o descriere formală a procesului de funcționare a sistemului, ținând cont de impactul mediului extern, se aplică schema matematica ca veriga în lanțul „model descriptiv – schemă matematică – model matematic (analitic și/sau de simulare)”.

Modelul formal al obiectului. Model obiect (sisteme S) poate fi reprezentată ca un set de mărimi care descriu procesul de funcționare a unui sistem real:

Un set de influențe de intrare asupra sistemului

x i = X,i =;

Un set de influențe ale mediului

v j = V, j= ;

Un set de parametri interni (intrinseci) ai sistemelor

h k = H, k =;

Set de caracteristici de ieșire ale sistemului

y j = Y, j =.

În general x i, v j, h k, y j sunt elemente de submulțimi disjunse și conțin atât componente deterministe, cât și stocastice.

Influențe de intrare, influențe de mediu E iar parametrii interni ai sistemului sunt independent (exogene) variabile, care sub formă vectorială au, respectiv, forma ( t) = (X 1 (t), X 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)), iar caracteristicile de ieșire sunt dependent (endogene) variabilele și în formă vectorială au forma: ( t) = (la 1 (t), la 2 (t), …, la nY(t)). Puteți distinge între variabilele gestionate și negestionate.

Procesul de funcționare a sistemului S descris la timp de către operator F S, care transformă variabilele exogene în endogene în conformitate cu relaţiile formei

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Setul de dependențe ale caracteristicilor de ieșire ale sistemului la timp y j(t) pentru toate tipurile j = numit traiectoria de ieșire (t). Dependența (2.1) se numește legea de funcționare a sistemului F S, care este specificat sub forma unei funcții, condiții funcționale, logice, sub formă algoritmică, tabelară sau sub forma unei reguli de potrivire verbală. Algoritmul de funcționare A S se numește metoda de obținere a caracteristicilor de ieșire ținând cont de influențele de intrare ( t), influențele mediului ( t) și parametrii proprii ai sistemului ( t). Aceeași lege a funcționării F S sisteme S poate fi implementat în diferite moduri, de ex. folosind mulți algoritmi diferiți de funcționare LA FEL DE.

Se numesc modele matematice dinamic(2.1) dacă relațiile matematice descriu comportamentul obiectului (sistemului) de modelare în timp t, adică reflectă proprietățile dinamice.

Pentru static modele, un model matematic este o mapare între două subseturi de proprietăți ale unui obiect modelat Yși ( X, V, H) la un moment dat, care în formă vectorială poate fi scrisă ca

= f(, , ). (2.2)

Relațiile (2.1) și (2.2) pot fi specificate în diferite moduri: analitic (folosind formule), grafic, tabular etc. Aceste relații pot fi obținute prin proprietățile sistemului Sîn anumite momente de timp, numite stări. Starea sistemului S caracterizat prin vectori

" = (z " 1, z " 2, …, Z „k) și "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

Unde z " 1 = z 1 (t"), z " 2 = z 2 (t"), …, z "k= z k(t") pe moment t"Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") pe moment t ""Î ( t 0 , T) etc. k =.

Dacă luăm în considerare procesul de funcţionare a sistemului S ca o schimbare secvenţială a stărilor z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), atunci ele pot fi interpretate ca coordonatele unui punct în k-dimensională spațiu fazelor... Mai mult, fiecărei implementări a procesului îi va corespunde o anumită traiectorie de fază. Se numește setul tuturor valorilor posibile ale stărilor (). spaţiul de stat obiect de modelare Z, și
z kÎ Z.

Stările sistemului S pentru moment t 0 < t * £ T sunt complet determinate de condițiile inițiale 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Unde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], acțiuni de intrare ( t), parametri interni ( t) și efectele mediului extern ( t) care a avut loc în intervalul de timp t * – t 0, folosind două ecuații vectoriale

(t) = Ф (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

Prima ecuație pentru starea inițială 0 și variabilele exogene, determină funcția vectorială ( t), iar al doilea în funcție de valoarea obținută a stărilor ( t) Sunt variabile endogene la ieșirea sistemului ( t). Astfel, lanțul de ecuații al obiectului „intrare – stări – ieșire” vă permite să determinați caracteristicile sistemului

(t) = F [Ф (0,,,, t)]. (2.5)

În general, timpul în modelul de sistem S poate fi considerat pe intervalul de simulare (0, T) atât continuu cât și discret, adică cuantificată în segmente de lungime D t unităţi de timp fiecare când T = m D t, Unde m = - numărul de intervale de prelevare.

Astfel, sub model matematic obiect (sistem real) înțelege un subset finit de variabile (( t), (t), (t)) împreună cu legăturile matematice dintre ele și caracteristici ( t).

Dacă descrierea matematică a obiectului de modelare nu conține elemente aleatorii sau nu sunt luate în considerare, i.e. dacă putem presupune că în acest caz influențele stocastice ale mediului extern ( t) și parametri interni stocastici ( t) sunt absente, atunci modelul este numit determinatîn sensul că caracteristicile sunt determinate în mod unic de intrări deterministe

(t) = f(, t). (2.6)

Evident, modelul determinist este un caz special al modelului stocastic.

Scheme matematice tipice.În practica modelării obiectelor în domeniul ingineriei sistemelor și al analizei sistemelor în etapele inițiale ale cercetării sistemului, este mai rațional să se utilizeze scheme matematice tipice: ecuații diferențiale, automate finite și probabilistice, sisteme de așteptare, rețele Petri, sisteme agregate etc.

Schemele matematice tipice au avantajele simplității și clarității. Ecuațiile diferențiale, integrale, integro-diferențiale și alte ecuații sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp continuu ca modele deterministe, atunci când factorii aleatori nu sunt luați în considerare în studiu, iar automatele finite și schemele cu diferențe finite sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp discret. Automatele probabilistice sunt folosite ca modele stocastice (ținând cont de factori aleatori) pentru a reprezenta sisteme cu timp discret, iar sistemele de așteptare sunt folosite pentru a reprezenta sisteme cu timp continuu. Rețelele Petri sunt folosite pentru a analiza relațiile cauză-efect în sisteme complexe, în care mai multe procese au loc simultan în paralel. Pentru a descrie comportamentul sistemelor continue și discrete, deterministe și stocastice (de exemplu, ASOIU), se poate aplica o abordare generalizată (universală) bazată pe un sistem agregat. Într-o descriere agregată, un obiect (sistem) complex este împărțit într-un număr finit de părți (subsisteme), menținând în același timp conexiunile care asigură interacțiunea părților.

Astfel, la construirea modelelor matematice ale proceselor de funcționare a sistemelor se pot distinge următoarele abordări principale: continuu-determinist ( D-sistem); discret-determinist ( F-sistem); stocastic discret ( R-sistem); continuu-stochastic ( Q-sistem); retea ( N-sistem); generalizat sau universal ( A-sistem).

2.2. Modele continuu deterministe ( D-sistem)

Relații de bază... Să luăm în considerare caracteristicile abordării continuu-deterministe pe exemplul utilizării ecuațiilor diferențiale ca modele matematice. Ecuatii diferentiale se numesc ecuații în care funcțiile uneia sau mai multor variabile sunt necunoscute, iar ecuația include nu numai funcții, ci și derivatele lor de diverse ordine. Dacă funcțiile necunoscute ale mai multor variabile, atunci ecuațiile sunt numite ecuații cu diferențe parțiale, în caz contrar, când se consideră o funcție a unei variabile independente, se numesc ecuațiile ecuații diferențiale obișnuite.

Relația matematică generală pentru sisteme deterministe (2.6) va fi

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

Unde " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) și = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-vectori dimensionali; (, t) Este o funcție vectorială care este definită pe unele ( n+1) -dimensional (, t) setată și este continuă.

Se numesc scheme matematice de acest fel D-circuite(ing. dinamică), ele reflectă dinamica sistemului studiat, iar timpul servește de obicei ca o variabilă independentă de care depind funcții necunoscute necunoscute t.

În cel mai simplu caz, o ecuație diferențială obișnuită are forma:

y"(t) = f(y, t). (2.8)

Luați în considerare cel mai simplu exemplu de formalizare a procesului de funcționare a două circuite elementare de natură diferită: mecanic S M (balansarea pendulului, fig. 2.1, A) și electrice S K (circuit oscilator, Fig. 2.1, b).

Orez. 2.1. Sisteme elementare

Procesul de mici oscilații ale pendulului este descris de ecuația diferențială obișnuită

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

Unde m M, l M este masa și lungimea suspensiei pendulului; g- accelerarea gravitației; F(t) Este unghiul de deviere al pendulului în momentul de timp t.

Din această ecuație a oscilației libere a pendulului se pot găsi estimări ale caracteristicilor de interes. De exemplu, perioada de balansare a unui pendul

T M = 2p.

În mod similar, procesele din circuitul electric oscilator sunt descrise de ecuația diferențială obișnuită

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

Unde L K, C K - inductanța și capacitatea condensatorului; q(t) Este încărcarea condensatorului în momentul de timp t.

Din această ecuație, puteți obține diverse estimări ale caracteristicilor procesului din circuitul oscilator. De exemplu, perioada oscilațiilor electrice

T M = 2p.

Evident, introducând notația h 2 = m M l M2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), obținem o ecuație diferențială obișnuită de ordinul doi care descrie comportamentul acestui sistem în buclă închisă:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

Unde h 0 , h 1 , h 2 - parametrii sistemului; z(t) Este starea sistemului în acest moment
timp t.

Astfel, comportamentul acestor două obiecte poate fi investigat pe baza modelului matematic general (2.9). În plus, trebuie remarcat faptul că comportamentul pendulului (sistem S M) poate fi studiat folosind un circuit electric oscilator (sistem S LA).

Dacă sistemul aflat în studiu S(pendul sau contur) interacționează cu mediul extern E, apoi apare acțiunea de introducere X(t) (forța externă pentru pendul și sursa de energie pentru circuit), iar modelul continuu-determinist al unui astfel de sistem va avea forma:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = X(t). (2.10)

Din punctul de vedere al modelului matematic general (vezi clauza 2.1) X(t) este acțiunea de intrare (control) și starea sistemului Sîn acest caz, poate fi considerată ca o caracteristică de ieșire, i.e. variabila de ieșire se potrivește cu starea sistemului la un moment dat y = z.

Aplicații posibile D-sistem... Pentru a descrie sistemele de control liniar, ca orice sistem dinamic, ecuațiile diferențiale neomogene au coeficienți constanți

unde,,…, - funcție necunoscută a timpului și derivatele sale; și sunt funcții cunoscute.

Folosind, de exemplu, pachetul software VisSim conceput pentru simularea proceselor în sistemele de control care pot fi descrise prin ecuații diferențiale, simulăm soluția unei ecuații diferențiale neomogene obișnuite

unde este o funcție necesară a timpului pe un interval cu condiții inițiale zero, luăm h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Reprezentând ecuația dată în raport cu cea mai mare dintre derivate, obținem ecuația

care poate fi modelat folosind un set de blocuri de construcție ale pachetului VisSim: blocuri aritmetice - Câștig (înmulțire printr-o constantă), Summing-Junction (adunator); blocuri de integrare - Integrator (integrare numerică), Funcție de transfer (setarea unei ecuații reprezentate ca funcție de transfer); blocuri pentru setarea semnalelor - Const (constant), Step (funcția unității sub formă de „pas”), Ramp (semnal crescător liniar); blocuri-receptoare de semnale - Plot (afișare în domeniul temporal a semnalelor care sunt analizate de cercetător în timpul simulării).

În fig. 2.2 prezintă o reprezentare grafică a acestei ecuații diferențiale. Intrarea integratorului din stânga corespunde unei variabile, intrarea integratorului din mijloc - și intrarea integratorului din dreapta -. Ieșirea integratorului din dreapta corespunde variabilei y.

Un caz particular de sisteme dinamice descris D-schemele sunt sisteme automate de control(SPG)si reglementare(SAR). Un obiect real este prezentat sub forma a două sisteme: controlat și controlat (obiect de control). Structura unui sistem general de control automat multidimensional este prezentată în Fig. 2.3, acolo unde este indicat endogene variabile: ( t) Este vectorul influențelor de intrare (master); ( t) Este vectorul influențelor perturbatoare; " (t) Este vectorul semnalelor de eroare; "" (t) - vector de acţiuni de control; exogene variabile: ( t) Este vectorul de stare al sistemului S; (t) Este un vector de variabile de ieșire, de obicei ( t) = (t).

Orez. 2.2. Reprezentarea grafică a ecuației

Sistemul de control este un set de instrumente software și hardware care asigură atingerea unui obiectiv specific de către obiectul de control. Cât de precis un obiect atinge un obiectiv dat poate fi judecat (pentru un sistem unidimensional) prin coordonatele stării y(t). Diferența dintre date y fundul ( t) și valabil y(t) legea modificării variabilei controlate este o eroare de control " (t) = y fundul ( t) – y(t). Dacă legea prescrisă de modificare a mărimii controlate corespunde legii de modificare a acțiunii de intrare (master), i.e. X(t) = y fundul ( t), atunci " (t) = X(t) – y(t).

Sisteme pentru care controlează erori " (t) = 0 în orice moment sunt apelate ideal... În practică, implementarea sistemelor ideale este imposibilă. Sarcina sistemului de control automat este de a schimba variabila y(t) conform unei legi date cu o anumită precizie (cu o eroare acceptabilă). Parametrii sistemului trebuie să asigure precizia de control necesară, precum și stabilitatea sistemului în procesul tranzitoriu. Dacă sistemul este stabil, atunci analizați comportamentul sistemului în timp, abaterea maximă a variabilei controlate y(t) în procesul tranzitoriu, timpul procesului tranzitoriu etc. Ordinea ecuației diferențiale și valoarea coeficienților acesteia sunt complet determinate de parametrii statici și dinamici ai sistemului.

Orez. 2.3. Structura sistemului de control automat:

УC - sistem de control; OU - obiect de control

Deci folosind D-schemele vă permite să formalizați procesul de funcționare a sistemelor continuu deterministe Sși să le evalueze principalele caracteristici utilizând o abordare analitică sau de simulare implementată sub forma unui limbaj adecvat pentru modelarea sistemelor continue sau utilizarea facilităților de calcul analogice și hibride.

2.3. Modele discret-deterministe ( F-sistem)

Relații de bază... Să luăm în considerare caracteristicile abordării discret-deterministe pe exemplul utilizării teoriei automatelor ca aparat matematic. Sistemul este reprezentat sub forma unui automat ca un dispozitiv cu semnale de intrare și de ieșire care prelucrează informații discrete și își schimbă stările interne numai la momente acceptabile. Mașină de stat se numeste un automat, in care seturile de stari interne, semnalele de intrare si iesire sunt multimi finite.

Automatele abstract finite pot fi reprezentate ca o schemă matematică ( F-schemă), caracterizată prin șase elemente: o mulțime finită X semnale de intrare (alfabet de intrare); mulţime finită Y semnale de ieșire (alfabet de ieșire); mulţime finită Z stări interne (alfabetul intern sau alfabetul stărilor); stare initiala z 0 , z 0 Î Z; funcția de tranziție j ( z, X); funcția de ieșire y ( z, X). Set de mașini automate F-sistem: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, funcționează în timp discret, ale căror momente sunt ceasuri, fiecare dintre ele corespunde unor valori constante ale semnalelor de intrare și ieșire și stărilor interne. Notăm starea, precum și semnalele de intrare și ieșire corespunzătoare t- ceasul la t= 0, 1, 2, ..., prin z(t), X(t), y(t). Mai mult, prin condiție z(0) = z 0 și z(t)Î Z, X(t)Î X, y(t)Î Y.

O mașină de stare abstractă are un canal de intrare și un canal de ieșire. În fiecare moment t= 0, 1, 2, ... timp discret F-mașina este într-o anumită stare z(t) din decor Z stările automatului și la momentul inițial de timp t= 0 este întotdeauna în starea inițială z(0) = z 0. Pe moment t fiind capabil z(t), automatul este capabil să perceapă semnalul pe canalul de intrare X(t)Î Xși scoate semnalul pe canalul de ieșire y(t) = y [ z(t),X(t)], trecând la starea z ( t+1) = j [ z(t), X(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... O mașină abstractă cu stări finite implementează o mapare a setului de cuvinte din alfabetul de intrare X pe o mulțime de cuvinte de weekend
alfabet Y... Cu alte cuvinte, dacă intrarea mașinii de stări se setează la starea inițială z 0, furnizați litere ale alfabetului de intrare într-o anumită secvență X(0), X(1), X(2), ..., adică cuvântul introdus, apoi literele alfabetului de ieșire vor apărea secvenţial la ieșirea mașinii y(0), y(1), y(2),…, formând un cuvânt de ieșire.

Astfel, munca mașinii de stat are loc după următoarea schemă: în fiecare t-lea ceas la intrarea mașinii în stare z(t), este dat un semnal X(t), la care reacționează cu tranziția ( t+1) al ceasului de-al-lea la noua stare z(t+1) și dând un semnal de ieșire. Cele de mai sus pot fi descrise prin următoarele ecuații: pentru F-automat de primul fel, numit si Mile automate,

z(t+1) = j [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

pentru F-automat de al doilea fel

z(t+1) = j [ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y [ z(t), X(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Un automat de al doilea fel, pentru care

y(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

acestea. funcția de ieșire este independentă de variabila de intrare X(t) se numește pușca de asalt a lui Moore.

Astfel, ecuațiile (2.15) - (2.19), care definesc complet
F-automat sunt un caz special al ecuaţiilor (2.3) şi (2.4), când
sistem S- un semnal determinist și discret ajunge la singura sa intrare X.

După numărul de stări, se disting mașinile cu stări finite cu memorie și fără memorie. Automatele cu memorie au mai multe stări, iar automatele fără memorie (circuite combinate sau logice) au o singură stare. În acest caz, conform (2.16), funcționarea circuitului combinațional constă în alocarea fiecărui semnal de intrare. X(t) anumit semnal de ieșire y(t), adică implementează o funcție logică a formei

y(t) = y [ X(t)], t= 0, 1, 2, … .

Această funcție se numește boolean dacă alfabetul Xși Y căruia îi aparțin valorile semnalului Xși y, consta din două litere.

Prin natura numărării timpului discret, mașinile cu stări finite sunt împărțite în sincrone și asincrone. În sincron F-automatizează orele la care automatul „citește” semnalele de intrare sunt determinate de semnale de sincronizare obligatorie. După următorul semnal de sincronizare, ținând cont de „citește” și în conformitate cu ecuațiile (2.15) - (2.19), are loc o tranziție la o nouă stare și este emis un semnal la ieșire, după care mașina poate percepe următoarea valoare a semnalului de intrare. Astfel, reacția mașinii la fiecare valoare a semnalului de intrare se termină într-un ciclu, a cărui durată este determinată de intervalul dintre semnalele de sincronizare adiacente. Asincron F- mașina citește continuu semnalul de intrare și, prin urmare, răspunzând la un semnal de intrare suficient de lung de valoare constantă X, poate, după cum urmează de la (2.15) - (2.19), să schimbe starea de mai multe ori, dând numărul corespunzător de semnale de ieșire, până când ajunge într-unul stabil, care nu mai poate fi schimbat de acest semnal de intrare.

Aplicații posibile F-sistem. Pentru a stabili finala F-automat, este necesar să se descrie toate elementele ansamblului F= <Z, X, Y, y, j, z 0>, adică alfabete de intrare, interne și de ieșire, precum și funcții de tranziții și ieșiri, iar între setul de stări este necesar să se evidențieze starea z 0, în care automatul este în stare t= 0. Există mai multe moduri de a seta jobul F-automate, dar cele mai frecvent utilizate sunt tabelare, grafice și matrice.

În metoda tabelară, sunt stabilite tabele de tranziții și ieșiri, ale căror rânduri corespund semnalelor de intrare ale automatului, iar coloanele - stărilor acestuia. Prima coloană din stânga corespunde stării inițiale z 0. La intersectie i a linia și k-a coloană a tabelului de tranziție, valoarea corespunzătoare j ( z k, x i) funcție de tranziții, iar în tabelul de ieșiri - valoarea corespunzătoare a lui y ( z k, x i) funcţii de ieşire. Pentru F- Automatul lui Moore ambele tabele pot fi combinate.

Descrierea muncii F-Automat Miles cu tabele de tranziții j și ieșiri y este ilustrat în Tabel. 2.1 și descrierea F- Automatul lui More - prin tabelul de tranziție (Tabelul 2.2).

Tabelul 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Tranziții
X 1	j ( z 0 , X 1)	j ( z 1 , X 1)	…	j ( z k,X 1)
X 2	j ( z 0 , X 2)	j ( z 1 , X 2)	…	j ( z k,X 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
Ieșiri
X 1	y ( z 0 , X 1)	y ( z 1 , X 1)	…	y ( z k, X 1)
X 2	y ( z 0 , X 2)	y ( z 1 , X 2)	…	y ( z k, X 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

Tabelul 2.2

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
X 1	j ( z 0 , X 1)	j ( z 1 , X 1)	…	j ( z k, X 1)
X 2	j ( z 0 , X 2)	j ( z 1 , X 2)	…	j ( z k, X 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Exemple de mod tabelar de setare F- Mile automate F 1 sunt date în tabel. 2.3, și pentru F-mașină Moore F 2 - în tabel. 2.4.

Tabelul 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Tranziții
X 1	z 2	z 0	z 0
X 2	z 0	z 2	z 1
Ieșiri
X 1	y 1	y 1	y 2
X 2	y 1	y 2	y 1

Tabelul 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
X 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
X 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

În modul grafic de definire a unei mașini cu stări finite, se folosește conceptul de graf direcționat. Graficul automatului este un set de vârfuri corespunzătoare diferitelor stări ale automatului și care leagă vârfurile arcelor de graf corespunzătoare anumitor tranziții ale automatului. Dacă semnalul de intrare x k determină trecerea de la stat z i intr-o stare z j, apoi pe graficul automatului există un arc care leagă vârful z i cu varf z j, notat x k... Pentru a seta funcția ieșirilor, arcele de grafic trebuie să fie marcate cu semnalele de ieșire corespunzătoare. Pentru aparatele Miles, această marcare se face după cum urmează: dacă semnalul de intrare x k acționează asupra statului z i, apoi obținem un arc care iese din z i si marcat x k; acest arc este marcat suplimentar cu un semnal de ieșire y= y ( z i, x k). Pentru un automat Moore, o marcare similară a graficului este următoarea: dacă semnalul de intrare x k, acţionând asupra unei anumite stări a automatului, determină trecerea la stare z j, apoi arcul îndreptat către z i si marcat x k, sărbătorește în plus weekendul
semnal y= y ( z j, x k).

În fig. 2.4. A, b prezentate mai devreme în tabele F-Mașini de mile F 1 și Moore F 2 respectiv.

Orez. 2.4. Automatele grafice a - Miles și b - Moore

Pentru alocarea matricei a automatului finit, matricea conexiunilor automatului este pătrată CU=||cu ij||, rândurile corespund stărilor inițiale, iar coloanele corespund stărilor de tranziție. Element cu ij = x k/y s stând la intersecție
i a linia și j-a coloană, în cazul automatului Miles corespunde semnalului de intrare x k provocând trecerea de la stat z i intr-o stare z j, și semnalul de ieșire y s generate de această tranziţie. Pentru aparatul Miles F 1, considerată mai sus, matricea compușilor are forma:

X 2 /y 1 – X 1 /y 1

C 1 = X 1 /y 1 – X 2 /y 2 .

X 1 /y 2 X 2 /y 1 –

Dacă trecerea de la stat z i intr-o stare z j apare sub acţiunea mai multor semnale, elementul matricei c ij este un set de perechi intrare-ieșire pentru această tranziție, conectate printr-un semn de disjuncție.

Pentru F-element mașină moore cu ij este egal cu setul de semnale de intrare la tranziție ( z i, z j), iar ieșirea este descrisă de vectorul de ieșiri

= y ( z k) ,

i-a cărei componentă este semnalul de ieșire care indică starea z i.

Pentru cele de mai sus F-mașină Moore F2 matricea conexiunilor și vectorul ieșirilor sunt de forma:

–X 1 –X 2 –la 1

–X 2 – –X 1 la 1

C 2 = –X 2 – –X 1 ; = y 3

X 2 –X 1 – –la 2

X 2 –X 1 – –la 3

Pentru automatele deterministe, condiția de unicitate a tranzițiilor este îndeplinită: un automat într-o anumită stare nu poate trece în mai mult de o stare sub acțiunea oricărui semnal de intrare. Aplicat modului grafic de setare F-automaton, asta înseamnă că în graficul automatului, două sau mai multe muchii marcate cu același semnal de intrare nu pot ieși din niciun vârf. Și în matricea de conexiuni a mașinii CU orice semnal de intrare nu trebuie să apară de mai multe ori pe fiecare linie.

Pentru F- stare automata z k numit durabil, dacă pentru orice intrare x i ÎX pentru care j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. F-se cheamă mașina asincron, dacă fiecare stat z k ÎZ grajd.

Astfel, conceptul din abordarea discret-deterministă a studierii proprietăților obiectelor pe modele este o abstractizare matematică, convenabilă pentru descrierea unei clase largi de procese de funcționare a obiectelor reale în sisteme de control automatizate. Prin intermediul F- al unui automat, este posibil să descriem obiecte care sunt caracterizate prin prezența stărilor discrete și natura discretă a muncii în timp - acestea sunt elemente și noduri ale unui computer, dispozitive de control, reglare și control, sisteme de timp și spațiu trecerea la tehnologia schimbului de informații etc.

2.4. Modele stocastice discrete ( R-sistem)

Relații de bază... Să luăm în considerare caracteristicile construcției schemelor matematice cu o abordare discret-stohastică pe automate probabilistice (stochastice). În general automat probabilistic
Scheme R(Automat probabijistic englez) poate fi definit ca un convertor discret linie-la-linie de informații cu memorie, a cărui funcționare în fiecare ciclu depinde doar de starea memoriei din ea și poate fi descrisă statistic.

Să introducem conceptul matematic R-automat, folosind conceptele introduse pentru F-automat. Luați în considerare setul G, ale căror elemente sunt toate perechile posibile ( x i, z s), Unde x iși z s- elemente ale submultimii de intrare Xși, respectiv, submulțimi de stări Z. Dacă există două astfel de funcții j și y care sunt utilizate pentru a efectua mapările G®Z și G®Y, atunci ei spun că F = X Y, j, y> definește un automat de tip determinist.

Să luăm în considerare o schemă matematică mai generală. Lăsa
Ф - set de toate perechile posibile ale formei ( z k, y i), Unde i- element al submultimii de iesire Y... Solicităm ca orice element al setului G a indus pe mulțimea Ф o lege de distribuție de următoarea formă:

în care b kj= 1, unde b kj- probabilităţile de trecere a automatului la stare z kși apariția semnalului la ieșire y j dacă ar fi putut z s iar la intrarea sa în acest moment semnalul a fost primit x i... Numărul de astfel de distribuții prezentate sub formă de tabele este egal cu numărul de elemente ale mulțimii G... Notăm cu B mulțimea acestor tabele. Apoi cele patru elemente P = numit automat probabilist
(R-automat).

Aplicații posibile P-sistem. Lasă elementele setului G induce unele legi de distribuție pe submulțimi Yși Z, care pot fi reprezentate, respectiv, sub forma:

în care z k = 1 și q j = 1, unde z kși q j - probabilități de tranziție
R-mașină automată în stare z kși aspectul semnalului de ieșire y k cu conditia ca
R z s iar intrarea sa a primit un semnal de intrare x i.

Dacă pentru toată lumea kși j relatia tine q j z k = b kj, atunci asa
R-se cheamă mașina Automatul probabilistic al lui Miles... Această cerință înseamnă îndeplinirea condiției de independență a distribuirilor pentru noul stat R-dispozitiv automat si semnalul de iesire al acestuia.

Acum să definiți semnalul de ieșire R- automatul depinde doar de starea în care automatul se află într-un anumit ciclu de lucru. Cu alte cuvinte, fie fiecare element al subsetului de ieșire Y induce o distribuție de probabilitate a rezultatelor care are următoarea formă:

Aici s i = 1, unde s i- probabilitatea apariţiei semnalului de ieşire y eu la la cuvinte și asta R-mașina era într-o stare z k.

Dacă pentru toată lumea kși i relatia tine z k s i =b ki atunci asa
R-se cheamă mașina Automatul probabilistic al lui Moore. Concept
R-Automatele lui Miley și Moore sunt introduse prin analogie cu deterministul
F-automat. Un caz particular R- automat definit ca P=X Y, B> sunt automate în care fie trecerea la o stare nouă, fie semnalul de ieșire sunt determinate determinist. Dacă semnalul de ieșire
R-automatul este determinat determinist, atunci se numeste un astfel de automat
Y-... De asemenea,
Z-automat probabilistic determinist numit R- un automat în care alegerea unei noi stări este deterministă.

Exemplul 2.1. Să fie dat Y-determinat P-mașinărie

În fig. 2.5 prezintă un grafic de tranziție direcționată al acestui automat. Vârfurile graficului sunt asociate cu stările automatului, iar arcurile sunt asociate cu posibile tranziții de la o stare la alta. Arcele au ponderi corespunzătoare probabilităților de tranziție p ij, iar valorile semnalelor de ieșire induse de aceste stări sunt scrise în apropierea vârfurilor graficului. Este necesar să se estimeze probabilitățile finale totale de rămânere a acestuia P-automat în state z 2 și z 3 .

Orez. 2.5. Graficul automat de probabilitate

Folosind abordarea analitică, se pot nota relațiile cunoscute din teoria lanțurilor Markov și se pot obține un sistem de ecuații pentru determinarea probabilităților finale. În acest caz, starea inițială z 0 poate fi ignorat, deoarece distribuția inițială nu afectează valorile probabilităților finale. Atunci noi avem

Unde cu k- probabilitatea finală de ședere R-Dispozitiv automat în stare z k.

Obținem sistemul de ecuații

Adăugăm la aceste ecuații condiția de normalizare Cu 1 + Cu 2 + Cu 3 + Cu 4 = 1. Apoi, rezolvând sistemul de ecuații, obținem Cu 1 = 5/23, Cu 2 = 8/23, Cu 3 = 5/23,
Cu 4 = 5/23. În acest fel, Cu 2 + Cu 3 = 13/23 = 0,5652. Cu alte cuvinte, cu munca nesfârșită dată în acest exemplu Y-determinat
R-automat la iesirea sa se formeaza o secventa binara cu probabilitatea de aparitie a unuia egala cu 0,5652.

Similar R-automatele pot fi utilizate ca generatoare de secvențe Markov, care sunt necesare în construirea și implementarea proceselor pentru funcționarea sistemelor S sau influențe ale mediului E.

2.5. Modele stocastice continue ( Q-sistem)

Relații de bază... Vom lua în considerare caracteristicile abordării continuu-stohastice folosind exemplul matematicii tipice Q- scheme - sisteme de asteptare(sistem de așteptare în engleză).

Ca proces de serviciu, pot fi reprezentate diverse prin natura lor fizică procese de funcționare a sistemelor economice, de producție, tehnice și de altă natură, de exemplu: fluxuri de aprovizionare cu produse către o anumită întreprindere, fluxuri de piese și componente pe linia de asamblare a unei anumite întreprinderi. atelier, solicitări de prelucrare a informațiilor informatice de la terminale la distanță etc. În acest caz, o trăsătură caracteristică a funcționării unor astfel de obiecte este apariția aleatorie a revendicărilor (cerințelor) pentru întreținere și finalizarea întreținerii în momente aleatorii, de exemplu. natura stocastică a procesului de funcţionare a acestora.

Prin fluxul evenimentelor se numește o succesiune de evenimente care se petrec unul după altul în anumite momente aleatorii în timp. Distingeți fluxurile de evenimente omogene și eterogene. Flux de evenimente numit omogen, dacă se caracterizează doar prin momentele de sosire a acestor evenimente (momente cauzatoare) și este dată de succesiunea ( t n} = {0 £ t£ 1 t 2 ... £ t n£ … }, Unde t n - momentul sosirii P- evenimentul este un număr real nenegativ. Un flux omogen de evenimente poate fi specificat și ca o secvență de intervale de timp între P- m și evenimentele (n - 1) (t n), care este asociat fără ambiguitate cu succesiunea de momente provocatoare ( t n} , unde t n = t n– t n -1 ,P³ 1, t 0 = 0, acestea. t 1 = t 1 . Un flux de evenimente eterogene se numește șir ( t n, f n} , Unde t n - momente provocatoare; f n - set de semne de eveniment. De exemplu, în legătură cu procesul de serviciu pentru un flux neuniform de revendicări, acesta poate fi atribuit aparținând unei anumite surse de revendicări, prezența unei priorități, capacitatea de a servi un tip de canal sau altul.

În orice act elementar de deservire, se pot distinge două componente principale: așteptarea serviciului de către cerere și deservirea efectivă a cererii. Acest lucru poate fi descris sub forma unora i-al-lea dispozitiv de service P i(Fig. 2.6), constând din acumulatorul de comenzi Salut, care poate fi simultan j i= aplicatii unde L i H– capacitate
i-go-stocare și un canal pentru solicitările de service (sau doar un canal) K i. Pentru fiecare element al dispozitivului de service P i sosesc fluxuri de evenimente: la drive Salut fluxul de aplicații w i, pe canal K i - fluxul de servicii și eu.

Orez. 2.6. Dispozitiv de serviciu de aplicații

Aplicații deservite de canal K i,și solicitările care au părăsit dispozitivul P i neservit din diverse motive (de exemplu, din cauza unei debordări a unității Salut), formează un flux de ieșire y i Î Y, acestea. intervalele de timp dintre momentele de ieșire a comenzilor formează un subset al variabilelor de ieșire.

De obicei, fluxul de aplicații w i ÎW, acestea. intervale de timp dintre momentele apariţiei comenzilor la intrare K i, formează un subset de variabile negestionate și fluxul de servicii u i ОU, acestea. intervalele de timp dintre începutul și sfârșitul deservirii unei reclamații formează un subset de variabile controlate.

Procesul de operare a dispozitivului de service P i poate fi reprezentat ca un proces de modificare a stărilor elementelor sale de timp z i(t). Trecerea la un nou stat pt P iînseamnă o modificare a numărului de aplicații care se află în el (în canal K i iar în unitate Salut). Astfel, vectorul stărilor pt P i se pare ca: , Unde z i H- starea conducerii Salut (z i H= 0 - unitatea este goală, z i H= 1 - există o singură solicitare în stocare, ..., z i H = L i H – unitatea este complet plină); L i H - Capacitate de stocare Salut, măsurată prin numărul de aplicații care se pot încadra în el; z i k - starea canalului K i(z i k = 0 – canalul este gratuit, z i k= 1 - canalul este ocupat).

Aplicații posibile Q- scheme.În practica modelării sistemelor cu relații structurale mai complexe și algoritmi de comportament, pentru formalizare nu se folosesc dispozitive de serviciu separate, ci
Q- sistem , format din alcătuirea multor dispozitive elementare de serviciu P i. Dacă canalele K i diferite dispozitive de service sunt conectate în paralel, apoi are loc serviciul multicanal ( multicanal Q- sistem) , iar dacă aparatele P i iar compozițiile lor paralele sunt conectate în serie, apoi există un serviciu multifazic ( multifazat Q- sistem) . Deci pentru job Q- schema trebuie să folosească operatorul conjugat R, reflectând interconectarea elementelor de structură (canale și dispozitive de stocare) între ele.