3. Caracteristicile de impuls ale circuitelor electrice
Răspunsul la impuls al circuitului se numește raportul dintre reacția lanțului la o acțiune de impuls și aria acestei acțiuni în condiții inițiale zero.
Prin definitie ,
unde este reacția circuitului la acțiunea impulsului;
- zona de impuls al impactului.
În funcție de răspunsul la impuls cunoscut al circuitului, puteți găsi răspunsul circuitului la o acțiune dată:.
O singură acțiune de impuls, numită și funcție delta sau funcția Dirac, este adesea folosită ca funcție de acțiune.
O funcție delta este o funcție egală cu zero peste tot, cu excepția, iar aria sa este egală cu unu ():
.
La conceptul unei funcții delta se poate ajunge luând în considerare limita unui impuls dreptunghiular cu înălțimea și durata când (Fig. 3):
Să stabilim o legătură între funcția de transfer a circuitului și răspunsul său la impuls, pentru care folosim metoda operatorului.
Prin definitie:
Dacă impactul (original) este considerat pentru cel mai general caz sub forma produsului zonei de impuls prin funcția delta, adică sub formă, atunci imaginea acestui impact conform tabelului de corespondență are forma:
.
Apoi, pe de altă parte, raportul dintre reacția în lanț transformată de Laplace și mărimea zonei impulsului de impact este răspunsul la impulsul operatorului al circuitului:
.
Prin urmare, .
Pentru a găsi răspunsul la impuls al unui circuit, este necesar să se aplice transformata Laplace inversă:
, adică de fapt 
.
Rezumând formulele, obținem relația dintre funcția de transfer de operator a circuitului și caracteristicile tranzitorii și de impuls ale operatorului ale circuitului:
Astfel, cunoscând una dintre caracteristicile lanțului, puteți determina oricare altele.
Să facem transformarea identică a egalității, adăugând la partea de mijloc.
Atunci vom avea.
În măsura în care 
este o imagine a derivatei răspunsului tranzitoriu, atunci egalitatea originală poate fi rescrisă ca:
Trecând la zona originalelor, obținem o formulă care ne permite să determinăm răspunsul la impuls al circuitului în funcție de răspunsul său tranzitoriu cunoscut:
Daca atunci.
Relația inversă dintre aceste caracteristici este următoarea:
.
Folosind funcția de transfer, este ușor de stabilit prezența unui termen în funcție.
Dacă gradele numărătorului și numitorului sunt aceleași, atunci termenul luat în considerare va fi prezent. Dacă funcția este o fracție obișnuită, atunci acest termen nu va exista.
Exemplu: Determinați caracteristicile de impuls pentru tensiuni și într-un circuit în serie prezentat în Figura 4.
Să definim:
Să trecem la original conform tabelului de corespondențe:
.
Graficul acestei funcții este prezentat în Figura 5.
Orez. 5
Funcția de transmisie:
Conform tabelului de corespondență, avem:
.
Graficul funcției rezultate este prezentat în Figura 6.
Subliniem că aceleași expresii ar putea fi obținute folosind relațiile care stabilesc legătura dintre și.
Răspunsul la impuls, în sensul său fizic, reflectă procesul de oscilații libere și din acest motiv se poate susține că în circuitele reale trebuie întotdeauna îndeplinită condiția:
4. Integrale de convoluție (suprapuneri)
Luați în considerare procedura de determinare a răspunsului unui circuit electric liniar la un efect complex dacă răspunsul la impuls al acestui circuit este cunoscut. Vom presupune că impactul este o funcție continuă pe bucăți prezentată în Figura 7.
Să fie necesar să se găsească valoarea reacției la un anumit moment de timp. Rezolvând această problemă, reprezentăm impactul ca o sumă de impulsuri dreptunghiulare de durată infinit de scurtă, dintre care unul, corespunzător unui moment în timp, este prezentat în Figura 7. Acest impuls se caracterizează prin durata și înălțimea sa.
Din materialul considerat anterior, se știe că răspunsul unui circuit la un impuls scurt poate fi considerat egal cu produsul răspunsului la impuls al circuitului și aria acțiunii impulsului. În consecință, componenta infinit de mică a reacției cauzate de această acțiune impulsională în momentul de timp va fi egală cu:
deoarece aria pulsului este egală, iar timpul trece din momentul aplicării lui până în momentul observării.
Folosind principiul suprapunerii, răspunsul total al circuitului poate fi definit ca suma unui număr infinit de componente infinitezimale cauzate de o succesiune de influențe ale impulsurilor infinitezimal de mică ca zonă, precedând un moment în timp.
În acest fel:
.
Această formulă este valabilă pentru orice valoare, deci variabila este de obicei indicată simplu. Atunci:
.
Relația rezultată se numește integrală de convoluție sau integrală de suprapunere. Funcția care se găsește ca rezultat al calculului integralei de convoluție se numește convoluție și.
Puteți găsi o altă formă a integralei de convoluție dacă modificați variabilele din expresia rezultată pentru:
.
Exemplu: găsiți tensiunea pe capacitatea unui circuit în serie (Fig. 8), dacă la intrare acționează un impuls exponențial de forma:
circuitul este asociat cu: o modificare a stării energetice ... (+0) ,. Uc (-0) = Uc (+0). 3. Tranzitorie caracteristică electric lanţuri acesta: Răspuns la un singur pas...
Studiu lanţuri a doua comanda. Căutați intrare și ieșire specificații
Lucrări de curs >> Comunicare și comunicare3. Tranzitorieși impuls specificații lanţuri Imaginea Laplace tranzitorie specificații are forma. Pentru obtinerea tranzitorie specificațiiîn ... A., Zolotnitsky V.M., Chernyshev E.P. Fundamentele teoriei electric lanţuri.-SPb.: Lan, 2004. 2. Dyakonov V.P. MATLAB ...
Principalele prevederi ale teoriei tranzitorie proceselor
Rezumat >> FizicaLaplace; - temporar, folosind tranzitorieși impuls specificații; - frecventa bazata pe... metoda clasica de analiza tranzitorie fluctuatii in electric lanţuri Tranzitorie procese în electric lanţuri sunt descrise prin ecuații,...
18. Reacția circuitelor liniare la funcțiile unitare. Caracteristicile tranzitorii și de impuls ale circuitului, conexiunea lor.
Funcție cu un singur pas (funcția de activare) 1 (t) este definită după cum urmează:
Graficul funcției 1 (t) este prezentat în Fig. 2.1.
Funcţie 1 (t) este zero pentru toate valorile negative ale argumentului și unul pentru t³ 0. Introducem, de asemenea, în considerare funcția de pas de unitate deplasată
Un astfel de impact se activează în momentul de față t= t ..
Tensiunea sub forma unei funcții cu un singur pas la intrarea circuitului va fi atunci când este conectată o sursă de tensiune constantă U 0 = 1 V at t= 0 folosind o cheie ideală (fig. 2.3).
Funcție cu un singur impuls (d - funcția, funcția Dirac) este definită ca derivata unei funcții de pas unitare. Din moment ce pe moment t= 0 functie 1 (t) suferă o discontinuitate, atunci derivata ei nu există (se întoarce la infinit). Astfel, funcția de impuls al unității
Este o funcție specială sau abstractizare matematică, dar este utilizată pe scară largă în analiza obiectelor electrice și a altor obiecte fizice. Funcțiile de acest fel sunt considerate în teoria matematică a funcțiilor generalizate.
Un impact sub forma unei singure funcții de impuls poate fi considerat ca un impact de șoc (o amplitudine suficient de mare și un timp de expunere infinit de scurt). Este introdusă și o funcție de impuls unitar, decalată în timp t= t
Este obișnuit să se descrie o singură funcție de impuls sub forma unei săgeți verticale la t= 0 și deplasat la - t= t (Fig. 2.4).
Dacă luăm integrala funcției de impuls unitar, i.e. determinând aria delimitată de aceasta, obținem următorul rezultat:
Orez. 2.4.
Evident, intervalul de integrare poate fi oricare, atâta timp cât punctul ajunge acolo t= 0. Integrala funcției de impuls unitar deplasat d ( t-t) este, de asemenea, egal cu 1 (dacă punctul t= t). Dacă luăm integrala funcției de impuls unitar înmulțită cu un coeficient A 0 , atunci evident rezultatul integrării va fi egal cu acest coeficient. Prin urmare, coeficientul A 0 înainte de d ( t) definește aria delimitată de funcție A 0 d ( t).
Pentru interpretarea fizică a funcției d -, este recomandabil să o considerăm ca limita la care ar trebui să se străduiască o anumită secvență de funcții obișnuite, de exemplu
Răspuns tranzitoriu și impuls
Raspuns tranzitoriu h (t) se numește reacția lanțului la impact sub forma unei funcții cu un singur pas 1 (t). Răspuns la impuls g (t) se numește reacția lanțului la acțiune sub forma unei funcții de impuls unitar d ( t). Ambele caracteristici sunt determinate cu condiții inițiale zero.
Funcțiile tranzitorie și de impuls caracterizează circuitul în modul tranzitoriu, deoarece sunt răspunsuri la salt-like, i.e. destul de greu pentru orice sistem de impact. În plus, după cum se va arăta mai jos, folosind caracteristicile tranzitorii și de impuls, răspunsul circuitului la o acțiune arbitrară poate fi determinat. Caracteristicile tranzitorii și de impuls sunt interconectate, precum și influențele corespunzătoare sunt interconectate. Funcția de impuls unitar este derivata funcției de treaptă unitară (vezi (2.2)), prin urmare răspunsul de impuls este derivata răspunsului tranzitoriu și la h(0) = 0 . (2.3)
Această afirmație decurge din proprietățile generale ale sistemelor liniare, care sunt descrise prin ecuații diferențiale liniare, în special, dacă derivata sa este aplicată unui lanț liniar cu condiții inițiale zero în loc de o acțiune, atunci reacția va fi egală cu derivata lui reactia initiala.
Dintre cele două caracteristici considerate, cea tranzitorie este determinată cel mai simplu, deoarece poate fi calculată din răspunsul circuitului la pornirea unei surse de tensiune sau curent constantă la intrare. Dacă o astfel de reacție este cunoscută, atunci pentru a obține h (t) este suficient să-l împărțim la amplitudinea acțiunii constante de intrare. De aici rezultă că caracteristica tranzitorie (precum și impulsul) poate avea dimensiunea rezistenței, conductivității sau poate fi o mărime adimensională, în funcție de dimensiunea acțiunii și reacției.
Exemplu ... Definiți tranziția h (t)și impuls g(t) caracteristicile circuitului serial RC.
Impactul este tensiunea de intrare u 1 (t), iar reacția este tensiunea la nivelul capacității u 2 (t). Conform definiției răspunsului tranzitoriu, acesta ar trebui definit ca tensiunea la ieșire atunci când o sursă de tensiune constantă este conectată la intrarea circuitului. U 0
Această problemă a fost rezolvată în Secțiunea 1.6, unde a fost obținută u 2
(t)
= u C
(t)
=
În acest fel, h (t)
= u 2
(t)
/ U 0
= Răspunsul la impuls este determinat de (2.3) 
.
Răspunsul tranzitoriu este utilizat pentru a calcula răspunsul unui circuit electric liniar atunci când este aplicat un impuls la intrarea acestuia. 
liber de la. În acest caz, impulsul de intrare 
se aproximează printr-un set de pași și se determină reacția lanțului la fiecare pas și apoi se află circuitul integral 
, ca suma răspunsurilor la fiecare componentă a impulsului de intrare 
.
Răspuns tranzitoriu sau funcție tranzitorie 
lanturi -
aceasta este caracteristica sa generalizată, care este o funcție de timp care este numeric egală cu răspunsul circuitului la un singur salt de tensiune sau curent la intrarea sa, cu condiții inițiale zero (Fig. 13.11);
|
|
cu alte cuvinte, acesta este răspunsul unui circuit lipsit de alimentarea inițială cu energie la funcție 
la intrare.
Exprimarea răspunsului tranzitoriu
depinde numai de structura internă și de valorile parametrilor elementelor circuitului.
Din definirea caracteristicii tranzitorii a circuitului rezultă că cu acțiunea de intrare 
reacție în lanț 
(fig.13.11).
Exemplu. Lăsați circuitul să se conecteze la o sursă de tensiune constantă 
... Apoi acțiunea de intrare va avea forma, reacția circuitului - și caracteristica tensiunii tranzitorii a circuitului - 
... La 
.
Înmulțirea prin reacție în lanț 
per functie 
sau 
înseamnă că funcția de tranziție
la 
și 
la 
care reflectă principiul cauzalității
în circuite electrice liniare, adică răspunsul (la ieșirea circuitului) nu poate apărea înainte de momentul în care semnalul este aplicat la intrarea circuitului.
Tipuri de caracteristici tranzitorii.
Există următoarele tipuri de răspuns tranzitoriu:
|
|
- răspunsul tranzitoriu de tensiune al circuitului; |
|
|
- caracteristica tranzitorie a circuitului din punct de vedere al curentului; |
|
|
- rezistența tranzitorie a circuitului, Ohm; |
|
|
- conductivitate tranzitorie a circuitului, Cm, |
(13.5)
Unde 
- nivelurile semnalului pas de intrare.
Funcția tranzitorie 
pentru orice rețea pasivă cu două terminale poate fi găsită prin metoda clasică sau operator.
Calculul răspunsului tranzitoriu prin metoda clasică. Exemplu.
Exemplu. Se calculează răspunsul tranzitoriu de tensiune pentru circuit (Fig.13.12, A) cu parametri.
|
|
Soluţie
Vom folosi rezultatul obținut în Secțiunea 11.4. Conform expresiei (11.20), tensiunea pe inductanță
Unde 
.
Efectuăm scalarea conform expresiei (13.5) și construcția funcției 
(fig.13.12, b):
.
Calculul răspunsului tranzitoriu prin metoda operatorului
Circuitul echivalent complex al circuitului original va lua forma din Fig. 13.13.
|
|
Funcția de transfer de tensiune a acestui circuit este:
Unde 
.
La 
, adică la 
, imagine 
, și imaginea tensiunii de pe bobină 
.
În acest caz, originalul 
Imagini 
este funcția tranzitorie de tensiune a circuitului, adică
sau in general:
,
(13.6)
acestea. functie tranzitorie
circuitul este egal cu transformata Laplace inversă a funcției sale de transfer
înmulțit cu imaginea saltului unității
.
În exemplul considerat (vezi Fig.13.12) funcția de transfer de tensiune:
Unde 
si functia 
are forma.
Notă
.
Dacă se aplică tensiune la intrarea circuitului 
, apoi în formula funcției de tranziție 
timp 
trebuie înlocuit cu expresia 
... În exemplul considerat, funcția de transfer de tensiune întârziată are forma:
concluzii
Răspunsul tranzitoriu a fost introdus în principal din două motive.
1. Acțiune cu un singur pas 
- influență externă spasmodică și, prin urmare, destul de puternică pentru orice sistem sau circuit. Prin urmare, este important să cunoaștem reacția unui sistem sau a unui lanț exact sub o astfel de acțiune, adică. raspuns tranzitoriu 
.
2. Cu un răspuns tranzitoriu cunoscut 
folosind integrala Duhamel (vezi subsecțiunile 13.4, 13.5 de mai jos), puteți determina răspunsul unui sistem sau al unui lanț la orice formă de influențe externe.
Pentru a judeca capacitățile dispozitivelor electrice care primesc și transmit influențe de intrare, recurgeți la studiul caracteristicilor tranzitorii și ale impulsurilor.
Raspuns tranzitoriu h(t) al unui circuit liniar care nu conține surse independente este numeric egal cu răspunsul circuitului la efectul unui singur salt de curent sau de tensiune sub forma unei funcții de pas unitare 1 ( t) sau 1 ( t – t 0) cu condiții inițiale zero (Fig. 14). Dimensiunea caracteristicii tranzitorii este egală cu raportul dintre dimensiunea reacției și dimensiunea impactului. Poate fi adimensional, are dimensiunea Ohm, Siemens (Cm).
Orez. 14
Răspuns la impuls k(t) a unui circuit liniar care nu conține surse independente este numeric egal cu răspunsul circuitului la acțiunea unui singur impuls sub forma d ( t) sau d ( t – t 0) funcții cu condiții inițiale zero. Dimensiunea sa este egală cu raportul dintre dimensiunea reacției și produsul dimensiunii impactului asupra timpului, prin urmare poate avea dimensiuni cu –1, Oms –1, Cms –1.
Funcția de impuls d ( t) poate fi considerată derivata funcției pasului unitar d ( t) = d 1(t)/dt... În consecință, răspunsul la impuls este întotdeauna derivata în timp a răspunsului tranzitoriu: k(t) = h(0 +) d ( t) + dh(t)/dt... Această relație este utilizată pentru a determina răspunsul la impuls. De exemplu, dacă pentru un lanț h(t) = 0,7e –100t, atunci k(t) = 0,7d ( t) – 70e –100 t... Răspunsul tranzitoriu poate fi determinat prin metoda clasică sau prin metoda operatorului pentru calcularea tranzitorilor.
Există o relație între caracteristicile de sincronizare și frecvență ale unui circuit. Cunoscând funcția de transfer al operatorului, puteți găsi o imagine a reacției în lanț: Y(s) = W(s)X(s), adică Funcția de transfer conține informații complete despre proprietățile circuitului ca sistem de transmitere a semnalelor de la intrarea la ieșire în condiții inițiale zero. În acest caz, natura impactului și reacției corespund celor pentru care este determinată funcția de transfer.
Funcția de transfer pentru circuitele liniare nu depinde de tipul de acțiune de intrare, prin urmare poate fi obținută din răspunsul tranzitoriu. Deci, atunci când acționează la intrarea unei funcții de pas unitare 1 ( t) funcție de transfer ținând cont de faptul că 1 ( t) = 1/s, este egal cu
W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), Unde L [f(t)] - notație pentru transformarea Laplace directă asupra funcției f(t). Răspunsul tranzitoriu poate fi definit în termeni de funcție de transfer folosind transformarea Laplace inversă, adică h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], Unde L –1 [F(s)] - notarea transformării Laplace inverse asupra funcției F(s). Astfel, răspunsul tranzitoriu h(t) este o funcție a cărei imagine este egală cu W(s) /s.
Când o funcție de un singur impuls d ( t) Funcția de transmisie W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Astfel, răspunsul la impuls al circuitului k(t) este funcția de transfer originală. Prin funcția de operator cunoscută a lanțului folosind transformarea Laplace inversă, puteți determina răspunsul la impuls: k(t) W(s). Aceasta înseamnă că răspunsul la impuls al circuitului determină în mod unic răspunsul în frecvență al circuitului și invers, deoarece
W(j w) = W(s)s = j w. Deoarece răspunsul la impuls cunoscut poate fi utilizat pentru a găsi răspunsul tranzitoriu al circuitului (și invers), acesta din urmă este, de asemenea, determinat în mod unic de răspunsul în frecvență al circuitului.
Exemplul 8. Calculați caracteristicile tranzitorii și de impuls ale circuitului (Fig. 15) pentru curentul de intrare și tensiunea de ieșire pentru parametrii dați ai elementelor: R= 50 ohmi, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
CU= 80 μF.
Orez. 15
Soluţie. Să folosim metoda clasică de calcul. Ecuația caracteristică Z în = R + pL +
+ 1 / (pc) = 0 pentru parametrii dați ai elementelor are rădăcini complexe conjugate: p 1,2 =
= - d j w A 2 = - 100 j 200, care determină caracterul oscilator al procesului de tranziție. În acest caz, legile schimbării curenților și tensiunilor și derivatele lor în formă generală sunt scrise după cum urmează:
y(t) = (M cosw A 2 t+ N sinw A 2 t)e- d t + y vy; dy(t) / dt =
=[(–M d + N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2 + N d) sinw A 2 t]e- d t + dy afară / dt, unde w A 2 - frecvența vibrațiilor libere; y forțat - o componentă forțată a procesului de tranziție.
În primul rând, vom găsi o soluție pentru u C(t) și IC(t) = C du C(t) / dt, folosind ecuațiile de mai sus și apoi folosind ecuațiile lui Kirchhoff, determinăm tensiunile, curenții și, în consecință, caracteristicile tranzitorii și de impuls necesare.
Pentru a determina constantele integrării, sunt necesare valorile inițiale și forțate ale acestor funcții. Valorile lor inițiale sunt cunoscute: u C(0 +) = 0 (din definiție h(t) și k(t)), deoarece IC(t) = eu L(t) = i(t), atunci IC(0 +) = eu L(0 +) = 0. Valorile forțate se determină din ecuația compusă conform celei de-a doua legi Kirchhoff pentru t 0 + : u 1 = R i(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + u C(t), u 1 = 1(t) = 1 = const,
de aici u C() = u C vyn = 1, IC() = IC afară = i() = 0.
Să compunem ecuații pentru a determina constantele de integrare M, N:
u C(0 +) = M + u C afară (0 +), IC(0 +) = CU(–M d + N w A 2) + IC afară (0 +); sau: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; de aici: M = –1, N= –0,5. Valorile obținute vă permit să scrieți soluții u C(t) și IC(t) = i(t): u C(t) = [–Сos200 t- -0,5sin200 t)e –100t+ 1] B, IC(t) = i(t) = e –100 t] = 0,02
sin200 t)e –100 t A. Conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff,
u 2 (t) = u C(t) + tu L 2 (t), tu L 2 (t) = tu L(t) = Ldi(t) / dt= (0,5сos200 t- 0,25sin200 t) e –100t B. Atunci u 2 (t) =
= (- 0,5sos200 t- 0,75sin200 t) e –100t+ 1 = [–0,901sin (200 t + 33,69) e –100t+ 1] B.
Să verificăm corectitudinea rezultatului obținut prin valoarea inițială: pe de o parte, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, iar pe de altă parte, u 2 (0 +) = u С (0 +) + tu L(0 +) = 0 + 0,5 - valorile sunt aceleași.
Academia Rusiei
Departamentul de Fizică
Lectura
Caracteristicile tranzitorii și de impuls ale circuitelor electrice
Vulturul 2009
Obiective educaționale și educaționale:
Explicați audienței esența caracteristicilor tranzitorii și de impuls ale circuitelor electrice, arătați relația dintre caracteristici, acordați atenție aplicării caracteristicilor luate în considerare pentru analiza și sinteza EC, urmăriți pregătirea de înaltă calitate pentru o practică practică. lecţie.
Alocarea timpului de curs
Partea introductivă ……………………………………………………… 5 min.
Întrebări de studiu:
1. Caracteristicile tranzitorii ale circuitelor electrice ……………… 15 min.
2. Integrale Duhamel …………………………………………… ... 25 min.
3. Caracteristicile de impuls ale circuitelor electrice. Relația dintre caracteristici ………………………………………… ……… ... 25 min.
4. Integrale de convoluție ……………………………………………… .15 min.
Concluzie ……………………………………………………… 5 min.
1. Caracteristicile tranzitorii ale circuitelor electrice
Răspunsul tranzitoriu al circuitului (ca și răspunsul la impuls) se referă la caracteristicile temporale ale circuitului, adică exprimă un anumit proces tranzitoriu sub influențe și condiții inițiale predeterminate.
Pentru a compara circuitele electrice în funcție de reacția lor la aceste influențe, este necesar să se pună circuitele în aceleași condiții. Cele mai simple și mai convenabile sunt condițiile inițiale zero.
Răspunsul tranzitoriu al circuitului se numește raportul dintre reacția în lanț la o acțiune în trepte și mărimea acestei acțiuni în condiții inițiale zero.
Prin definitie ,
unde este reacția lanțului la efectul de treaptă;
- magnitudinea efectului de treaptă [B] sau [A].
Deoarece este împărțit la magnitudinea impactului (acesta este un număr real), atunci de fapt - reacția lanțului la o singură acțiune pas.
Dacă caracteristica tranzitorie a circuitului este cunoscută (sau poate fi calculată), atunci din formulă este posibil să se găsească reacția acestui circuit la acțiunea pasului la zero NL
.
Să stabilim o relație între funcția de transfer de operator a unui lanț, care este adesea cunoscută (sau poate fi găsită), și răspunsul tranzitoriu al acestui lanț. Pentru aceasta, folosim conceptul introdus de funcție de transfer de operator:
.
Raportul dintre reacția în lanț transformată de Laplace și mărimea efectului este caracteristica tranzitorie a operatorului a lanțului:
Prin urmare .
De aici, răspunsul tranzitoriu al operatorului al circuitului este găsit în termenii funcției de transfer al operatorului.
Pentru a determina răspunsul tranzitoriu al circuitului, este necesar să se aplice transformarea Laplace inversă:
folosind tabelul de corespondență sau teorema de descompunere (preliminară).
Exemplu: Determinați răspunsul tranzitoriu pentru răspunsul de tensiune pe capacitatea într-un circuit în serie (Fig. 1):
Iată reacția la o acțiune treptată după mărime:
,
de unde răspunsul tranzitoriu:
.
Caracteristicile tranzitorii ale celor mai comune circuite sunt găsite și date în literatura de referință.
2. Integrale Duhamel
Răspunsul tranzitoriu este adesea folosit pentru a găsi răspunsul unui lanț la un stimul complex. Să stabilim aceste relații.
Să fim de acord că acțiunea este o funcție continuă și este furnizată circuitului în momentul de timp, iar condițiile inițiale sunt zero.
Un impact dat poate fi reprezentat ca suma acțiunii în trepte aplicate circuitului în acest moment și a unui număr infinit de acțiuni în trepte infinit de mici, care se succed continuu. Una dintre astfel de acțiuni elementare corespunzătoare momentului de aplicare este prezentată în Figura 2.
Să aflăm valoarea reacției lanțului la un anumit moment în timp.
O acțiune în trepte cu o scădere în momentul de timp provoacă o reacție egală cu produsul căderii cu valoarea caracteristicii tranzitorii a circuitului la, adică egală cu:
Un efect în trepte infinit de mic cu o picătură provoacă o reacție infinit de mică 
, unde este timpul scurs din momentul aplicării influenței până în momentul observării. Deoarece prin condiție funcția este continuă, atunci:
În conformitate cu principiul suprapunerii, reacția va fi egală cu suma reacțiilor provocate de mulțimea de influențe premergătoare momentului de observație, i.e.
.
De obicei, în ultima formulă, pur și simplu se înlocuiesc cu, deoarece formula găsită este corectă pentru orice valoare de timp:
.
Sau, după câteva transformări simple:
.
Oricare dintre aceste rapoarte rezolvă problema calculării reacției unui circuit electric liniar la o acțiune continuă dată folosind caracteristica tranzitorie cunoscută a circuitului. Aceste relații se numesc integrale Duhamel.
3. Caracteristicile de impuls ale circuitelor electrice
Răspunsul la impuls al circuitului se numește raportul dintre reacția lanțului la o acțiune de impuls și aria acestei acțiuni în condiții inițiale zero.
Prin definitie ,
unde este reacția circuitului la acțiunea impulsului;
- zona de impuls al impactului.
În funcție de răspunsul la impuls cunoscut al circuitului, puteți găsi răspunsul circuitului la o acțiune dată: 
.
O singură acțiune de impuls, numită și funcție delta sau funcția Dirac, este adesea folosită ca funcție de acțiune.
O funcție delta este o funcție egală cu zero peste tot, cu excepția, iar aria sa este egală cu unu ():
.
La conceptul unei funcții delta se poate ajunge luând în considerare limita unui impuls dreptunghiular cu înălțimea și durata când (Fig. 3):
Să stabilim o legătură între funcția de transfer a circuitului și răspunsul său la impuls, pentru care folosim metoda operatorului.
Prin definitie:
.
Dacă impactul (original) este considerat pentru cel mai general caz sub forma produsului zonei de impuls prin funcția delta, adică sub formă, atunci imaginea acestui impact conform tabelului de corespondență are forma:
.
Apoi, pe de altă parte, raportul dintre reacția în lanț transformată de Laplace și mărimea zonei impulsului de impact este răspunsul la impulsul operatorului al circuitului:
.
Prin urmare, .
Pentru a găsi răspunsul la impuls al unui circuit, este necesar să se aplice transformata Laplace inversă:
Adică, de fapt.
Rezumând formulele, obținem relația dintre funcția de transfer de operator a circuitului și caracteristicile tranzitorii și de impuls ale operatorului ale circuitului:
Astfel, cunoscând una dintre caracteristicile lanțului, puteți determina oricare altele.
Să facem transformarea identică a egalității, adăugând la partea de mijloc.
Atunci vom avea.
Deoarece este o imagine a derivatei răspunsului tranzitoriu, egalitatea originală poate fi rescrisă ca:
Trecând la zona originalelor, obținem o formulă care ne permite să determinăm răspunsul la impuls al circuitului în funcție de răspunsul său tranzitoriu cunoscut:
Daca atunci.
Relația inversă dintre aceste caracteristici este următoarea:
.
Folosind funcția de transfer, este ușor de stabilit prezența unui termen în funcție.
Dacă gradele numărătorului și numitorului sunt aceleași, atunci termenul luat în considerare va fi prezent. Dacă funcția este o fracție obișnuită, atunci acest termen nu va exista.
Exemplu: Determinați caracteristicile de impuls pentru tensiuni și într-un circuit în serie prezentat în Figura 4.
Să definim:
Să trecem la original conform tabelului de corespondențe:
.
Graficul acestei funcții este prezentat în Figura 5.
Orez. 5
Funcția de transmisie:
Conform tabelului de corespondență, avem:
.
Graficul funcției rezultate este prezentat în Figura 6.
Subliniem că aceleași expresii ar putea fi obținute folosind relațiile care stabilesc legătura dintre și.
Răspunsul la impuls, în sensul său fizic, reflectă procesul de oscilații libere și din acest motiv se poate susține că în circuitele reale trebuie întotdeauna îndeplinită condiția:
4. Integrale de convoluție (suprapuneri)
Luați în considerare procedura de determinare a răspunsului unui circuit electric liniar la un efect complex dacă răspunsul la impuls al acestui circuit este cunoscut. Vom presupune că impactul este o funcție continuă pe bucăți prezentată în Figura 7.
Să fie necesar să se găsească valoarea reacției la un anumit moment de timp. Rezolvând această problemă, reprezentăm impactul ca o sumă de impulsuri dreptunghiulare de durată infinit de scurtă, dintre care unul, corespunzător unui moment în timp, este prezentat în Figura 7. Acest impuls se caracterizează prin durata și înălțimea sa.
Din materialul considerat anterior, se știe că răspunsul unui circuit la un impuls scurt poate fi considerat egal cu produsul răspunsului la impuls al circuitului și aria acțiunii impulsului. În consecință, componenta infinit de mică a reacției cauzate de această acțiune impulsională în momentul de timp va fi egală cu:
deoarece aria pulsului este egală, iar timpul trece din momentul aplicării lui până în momentul observării.
Folosind principiul suprapunerii, răspunsul total al circuitului poate fi definit ca suma unui număr infinit de componente infinitezimale cauzate de o succesiune de influențe ale impulsurilor infinitezimal de mică ca zonă, precedând un moment în timp.
În acest fel:
.
Această formulă este valabilă pentru orice valoare, deci variabila este de obicei indicată simplu. Atunci:
.
Relația rezultată se numește integrală de convoluție sau integrală de suprapunere. Funcția care se găsește ca rezultat al calculului integralei de convoluție se numește convoluție și.
Puteți găsi o altă formă a integralei de convoluție dacă modificați variabilele din expresia rezultată pentru:
.
Exemplu: găsiți tensiunea pe capacitatea unui circuit în serie (Fig. 8), dacă la intrare acționează un impuls exponențial de forma:
Să folosim integrala de convoluție:
.
Expresie pentru 
a fost primit mai devreme.
Prin urmare, 
, și 
.
Același rezultat poate fi obținut folosind integrala Duhamel.
Literatură:
Beletskiy A.F. Teoria circuitelor electrice liniare. - M .: Radio și comunicare, 1986. (Manual)
Bakalov VP et al.Teoria circuitelor electrice. - M .: Radio şi comunicare, 1998. (Manual);
Kachanov NS și alte dispozitive de inginerie radio liniară. M .: Militar. publ., 1974. (Manual);
Popov V.P. Fundamentele teoriei circuitelor - M .: Liceu, 2000. (Manual)
