Toate sistemele de numerotare de poziționare sunt egale, dar în funcție de sarcinile pe care persoana le rezolvă utilizarea numerelor pe care le poate folosi diferite baze cu baze diferite.
Cel mai frecvent utilizat sistem de numere zecimale, adică Sistemul numar, alfabetul constă din zece cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) și, în consecință, baza este zece. Utilizarea pe scară largă a acestui sistem numeric este ușor de explicat. În primul rând, înregistrarea numărului în sistemul numeric zecimal este destul de compactă, în al doilea rând, sistemul de numere zecimale este utilizat de omenire timp de mai multe secole. În acest timp, oamenii sunt deja obișnuiți cu numerele și la înregistrarea numerelor și la pronunția numerelor într-un sistem de numere zecimale, de exemplu, înregistrarea "15" este clară pentru orice persoană și o va citi ca fiind cincisprezece ani , dar același număr înregistrat în sistemul de număr binar "1111" cauzează cel puțin o ușoară uimire, dar cum să citiți acest număr.
Și totuși, este fără echivoc să afirmați că sistemul numeric zecimal este alegerea optimă Umanitatea de a lucra cu numere este imposibilă. Îi dovedim cu câteva exemple.
Toți vă amintiți masa de multiplicare și, bineînțeles, amintiți cât de mult efort ați trebuit să vă atașați pentru a afla acest tabel. Nu vom da aici o masă de multiplicare într-un sistem de numere zecimale, ci pentru comparație, oferim tabelul de multiplicare în sistemul numeric binar:
După cum puteți vedea, tabelul de multiplicare din sistemul de număr binar arată mult mai ușor decât în \u200b\u200bzecimal.
Compactitatea numărului de numere din sistemul zecimal, același lucru nu este cel mai înalt, în toate sistemele de numerotare cu o bază pentru mai mult de zece numere vor fi înregistrate mai compacte, de exemplu, numărul "15", în sistem hexazecimal Numărul este înregistrat ca "f".
După cum sa menționat deja la punctul 5, a fost adoptat un sistem de număr binar pentru înregistrarea numerelor în AUM. În acest paragraf, trebuie să ne dăm seama, dar cum sunt numerele din memoria calculatorului, va fi suficient pentru a înțelege regulile pentru transferul numerelor zecimale într-un sistem de număr binar.
În practică, pentru a transfera numere din sistemul numeric cu o bază de zece la numărul de ore cu o bază de două, utilizați următoarea regulă:
1. 1, înregistrată în sistemul numeric cu baza zece, este împărțită cu reziduul pentru două (bază sistem nou Număr) înregistrată de numerele numărului de numărare zece ( sistemul vechi Notă), atâta timp cât în \u200b\u200bprivat nu funcționează 0.
2.Ostactoare obținute din diviziuni înregistrate în ordine inversă, formează un număr într-un sistem numeric nou cu o bază de două.
Este mai convenabil să utilizați această regulă pentru a transfera numere dintr-un sistem numeric zecimal. Pentru traducerea inversă, într-un sistem de numere zecimale este mai convenabil pentru a utiliza așa-numitul schema Gorner..
1. Reconectați pozițiile în număr, pe dreapta spre stânga, începând cu zero;
2. Creați un număr reprezentând valoarea numărului de numere de numere pe baza sistemului de numere vechi înregistrate de numerele noului sistem numeric, ridicat în gradul de număr egal de numere de poziție în rândul numărului;
3. Init suma rândului.
Vom analiza aceste reguli în exemple specifice.
Exemplul 1.: Record numar decimal 121 într-un sistem de număr binar.
121 | 2 121 d \u003d 1111001 b
120 60 | 2
1 60 30 | 2
0 30 15 | 2
0 14 7 | 2
1 6 3 | 2
Scopul de a lucra.Studierea metodelor și testarea abilităților de transformare dintr-un sistem de poziționare pentru altul la altul.
Numărul de numere diferite utilizate în sistemul de poziționare determină numele sistemului numeric și se numește baza
Sistemul numeric.
Orice număr N într-un sistem de poziționare cu o bază 
poate fi reprezentat ca polinom de la bază 
:
unde 
- număr, 
- numere de numere (coeficienți în grade 
),
- baza sistemului numeric ( 
>1).
Numerele sunt înregistrate ca o secvență de numere:
.
Punctul din secvență separă întreaga parte a numărului de la fracționate (coeficienți pentru grade non-negative, de la coeficienți cu grade negative). Punctul este redus dacă numărul este întreg (grade negative).
În sistemele informatice, există sisteme de numerotare de poziționare cu bază non-definită: binar, octal, hexazecimal.
În baza hardware, calculatorul este elemente cu două poziții care pot fi numai în două stări; Unul dintre care este notat de 0, iar celălalt - 1. Prin urmare, computerul principal aritmetic și logic este un sistem de număr binar.
Sistem de numere binare. Se utilizează două cifre: 0 și 1. În sistemul binar, orice număr poate fi reprezentat ca: 
.
Unde 
fie 0 sau 1.
Această intrare corespunde sumei gradelor numărului 2, luate cu coeficienții specificați:
Sistemul numarului octal. Se utilizează opt cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. utilizate în calculator ca auxiliar pentru a înregistra informații în formă abreviată. Pentru a reprezenta o cifră a sistemului octal, sunt utilizate trei descărcări binare (triadă) (a se vedea tabelul 1).
Sistem de numere Hex. Pentru imaginea numerelor, sunt utilizate 16 cifre. Primele zece cifre ale acestui sistem sunt notate cu numere de la 0 la 9, iar cele mai vechi șase cifre sunt litere latine: a (10), în (11), c (12), d (13), e (14), F (15). Sistemul hexazecimal, precum și Octal, este utilizat pentru a înregistra informații în formă abreviată. Pentru a reprezenta o singură cifră a unui sistem numeric hexazecimal, se utilizează patru descărcări binare (tetrad) (vezi Tabelul 1).
Tabelul 1.
Alphabets de sisteme de poziționare (SS)
|
SS-ul binar (Baza 2) |
Octal (Baza 8) |
Zecimal (Baza 10) |
Hexazecimal. (Baza 16) |
||
|
Binar |
Tetraduri binare |
||||
Exercitiul 1.Traduceți numerele din sistemele de numerotare specificate la un sistem zecimal.
Instrucțiuni metodice.
Traducerea numerelor în sistemul zecimal este sistematizată prin elaborarea cantității seriei de putere cu baza sistemului, din care numărul este tradus. Apoi, valoarea acestei cantități este apoi calculată.
Exemple.
a) Traduceți S.S. .
.
b) traduce 
s.S.
c) traduce 
s.S.
Sarcina 2.Traduceți întregul numere dintr-un sistem zecimal într-un sistem octal, hexazecimal și binar.
Instrucțiuni metodice.
Transferul numerelor zecimale întregi într-un sistem octal, hexazecimal și binar este valabil pentru diviziunea secvențială a numărului zecimal pe baza sistemului în care este tradus, până când se dovedește o privată egală cu zero. Numărul din noul sistem este înregistrat sub formă de echilibru din diviziune, începând cu acesta din urmă.
Exemple.
a) Traduceți 
s.S.
181: 8 \u003d 22 (reziduu 5)
22: 8 \u003d 2 (reziduul 6)
2: 8 \u003d 0 (reziduu 2)
Răspuns: 
.
b) traduce 
s.S.
Tabelul arată divizia:
622: 16 \u003d 38 (reziduul 14 10 \u003d E 16)
38: 16 \u003d 2 (reziduul 6)
2: 16 \u003d 0 (reziduu 2)
Răspuns: 
.
Sarcina 3.Traduceți fracțiunile corecte zecimale din sistemul zecimal într-un sistem octal, hexazecimal și binar.
Cu ajutorul acestui calculator online, puteți transpune numerele întregi și fracționate de la un sistem numeric la altul. O soluție detaliată este dată cu explicații. Pentru a traduce, introduceți numărul original, setați baza sistemului de numere sursă, setați baza sistemului numeric la care doriți să traduceți numărul și faceți clic pe butonul "Traducere". Partea teoretică și exemplele numerice vezi mai jos.
Rezultatul este deja primit!
Traducerea numerelor întregi și fracționate de la un sistem numeric la orice altă teorie, exemple și soluții
Există sisteme de numere poziționale și nu poziționale. Sistemul de numere arabice, pe care îl folosim în viața de zi cu zi este o poziție pozițională și Roman - nr. ÎN sisteme de poziționare Poziționarea unică determină numărul de numere. Luați în considerare acest lucru pe exemplul numărului 6372 într-un sistem de numere zecimale. Numărul acest număr în partea dreaptă spre stânga:
Apoi numărul 6372 poate fi reprezentat după cum urmează:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6,10 3 + 3,10 2 + 7,10 1 + 2,10 0.
Numărul 10 definește sistemul numeric (în acest caz Aceasta este 10). Ca grade, se iau pozițiile numărului de acest număr.
Luați în considerare un număr zecimal real 1287.923. Numărul de pornire de la zero poziția numărului de la punctul zecimal spre stânga și la dreapta:
Apoi numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:
1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 \u003d 1,10 3 + 2,10 2 + 8,10 1 + 7,10 0 + 9,10 -1 + 2,10 -2 + 3 · 10 -3.
În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:
C n · s. N + c n-1 · s. N-1 + ... + C 1 · s. 1 + C 0 · S 0 + D -1 · S -1 + D -2 · S -2 + ... + D -K · S -k
unde c n este un număr în poziție n., D -K - numărul fracțional în poziția (-k), s. - Sistem numeric.
Câteva cuvinte despre sistemele numerice. Numărul din sistemul de numere zecimale constă dintr-o multitudine de numere (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), într-un sistem numeric octaous - de la o multitudine de numere (0,1, 2,3,4,5,6,7), într-un sistem de număr binar - de la o multitudine de numere (0,1), într-un sistem de număr hexazecimal - de la o multitudine de numere (0,1,2 , 3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), în care A, B, C, D, E, F corespund numărului de 10,11,12, 13,14,15. În tabelul de masă.1 a prezentat numerele B. diferite sisteme Notă.
| tabelul 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notaţie | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A. |
| 11 | 1011 | 13 | B. |
| 12 | 1100 | 14 | C. |
| 13 | 1101 | 15 | D. |
| 14 | 1110 | 16 | E. | 15 | 1111 | 17 | F. |
Traducerea numerelor de la un sistem numeric la altul
Pentru a transfera numere de la un număr la altul la altul, cea mai ușoară modalitate de a traduce mai întâi numărul într-un sistem de numere zecimale și apoi din sistemul numeric zecimal pentru a se traduce în sistemul numeric dorit.
Traducerea numerelor din orice sistem numeric într-un sistem de numere zecimale
Utilizând formula (1), puteți traduce numerele de la orice sistem numeric la un sistem numeric zecimal.
Exemplu 1. Traduceți numărul 1011101.001 din sistemul de număr binar (SS) într-o zecimală SS. Decizie:
1 · 2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93,125
Exemplu2. Traduceți numărul 1011101.001 din sistemul de număr octaous (SS) într-o zecimală SS. Decizie:
Exemplu 3 . Traduceți numărul AB572.CDF dintr-un sistem de număr hexazecimal într-o zecimală SS. Decizie:
Aici A. - Pe 10, B. - cu 11, C.- la 12, F. - cu 15.
Traducerea numerelor dintr-un sistem numeric zecimal la un alt sistem numeric
Pentru a transfera numere dintr-un sistem de numerotare zecimal la un alt sistem numeric, este necesar să se traducă separat de partea intreg a numărului și parte fracționată a numărului.
O parte întregi a numărului este tradusă dintr-o zecimală la un alt sistem numeric - o diviziune secvențială a unei întregi părți a numărului de pe baza sistemului numeric (pentru un CC binar - de 2, pentru un SS de 8 caractere - cu 8, pentru 16-Fumum-16, etc.) înainte de a obține un întreg reziduu, mai puțin de baza SS.
Exemplu 4 . Traducem numărul 159 al zecimalelor SS în SS BINARY:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
După cum se poate vedea din fig. 1, numărul 159 în timpul diviziunii cu 2 conferă 79 privat și reziduul 1. În continuare, numărul 79 în timpul diviziunii cu 2 dă privat 39 și reziduul 1, etc. Ca rezultat, prin construirea unui număr din soldurile diviziilor (dreptul la stânga), obținem un număr în SS BINARY: 10011111 . În consecință, puteți scrie:
159 10 =10011111 2 .
Exemplu 5 . Traducem numărul 615 al zecimalelor SS în Octal SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Atunci când numărul din zecimalele SS din octal SS, este necesar să se împartă în mod secvențial numărul pe 8 până când întregul reziduu este mai mic de 8. Ca rezultat, construirea unui număr din soldurile divizării (dreptul la stânga), noi Obțineți un număr în octany SS: 1147 (Vezi figura 2). În consecință, puteți scrie:
615 10 =1147 8 .
Exemplu 6 . Transferim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal la Hexadecimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
După cum se poate vedea din fig.
Pentru a transfera fracțiile zecimale drepte (număr real cu un număr zero) la nivelul sistemului de bază N acest număr Înmulțit înmulțit cu S până când partea fracțională nu primește zero pură sau nu vom obține numărul necesar de descărcări. Dacă primiți un număr cu o parte întreagă, diferită de zero, atunci această parte nu ia în considerare (ele sunt înscrise în mod constant în rezultat).
Luați în considerare cele de mai sus pe exemple.
Exemplu 7 . Transferați numărul 0.214 de la sistemul numeric zecimal la SS binare.
| 0.214 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Așa cum se poate observa din figura 4, numărul 0,214 este înmulțit cu 2. Dacă se obține multiplicarea cu o parte întreagă, diferită de zero, atunci partea întregă este scrisă separat (spre stânga numărului) și numărul este scrisă în întregul număr de la zero. Dacă, atunci când se înmulțește, se obține un număr cu un număr întreg zero, atunci Zero este scris în stânga. Procesul de multiplicare continuă până când partea fracțională nu primește zero pură sau nu obține numărul necesar de descărcări. Înregistrarea numerelor grase (figura 4) din partea de sus în jos obținem numărul dorit în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .
În consecință, puteți scrie:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemplu 8 . Traducem numărul 0.125 de la sistemul de numere zecimale la SS binare.
| 0.125 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pentru a aduce numărul de 0,125 din zecimalele SS într-un binar, acest număr este înmulțit cu 2. În cea de-a treia etapă, sa dovedit a ieși din urmă:
0.125 10 =0.001 2 .
Exemplu 9 . Traducem numărul 0.214 din sistemul numeric zecimal la Hexadecimal SS.
| 0.214 | ||
| x. | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x. | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x. | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x. | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x. | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x. | 16 | |
| 4 | 0.224 |
După exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în CC hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numărului C și B. Prin urmare, avem:
0,214 10 \u003d 0.36C8B4 16.
Exemplu 10 . Traducem numărul 0.512 dintr-un sistem de numere zecimale în octal SS.
| 0.512 | ||
| x. | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x. | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x. | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Primit:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemplu 11 . Traducem numărul 159.125 dintr-un sistem numeric zecimal la SS binare. Pentru a face acest lucru, traducem separat o parte întregă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Apoi, obținem fuziunea acestor rezultate:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemplu 12 . Transferim numărul 19673.214 dintr-un sistem numeric zecimal la hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat o parte întregă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). Apoi, obținem rezultatele combinate.
