Integrovaný kořen x dx. Integrované řešení online

Složité integrály

Tento článek dokončuje téma neurčitých integrálů a zahrnuje integrály, které považuji za docela obtížné. Lekce byla vytvořena na základě opakovaných požadavků návštěvníků, kteří vyjádřili své přání, aby byly na webu analyzovány i obtížnější příklady.

Předpokládá se, že čtenář tohoto textu je dobře připraven a ví, jak aplikovat základní integrační techniky. Figuríny a lidé, kteří si nejsou příliš jistí integrály, by se měli obrátit na úplně první lekci - Neurčitý integrál. Příklady řešení, kde můžete téma zvládnout prakticky od nuly. Zkušenější studenti se mohou seznámit s technikami a metodami integrace, se kterými se v mých článcích dosud nesetkalo.

Jaké integrály budou brány v úvahu?

Nejprve zvážíme integrály s kořeny, pro jejichž řešení postupně používáme variabilní náhrada a integrace po částech... To znamená, že v jednom příkladu jsou dvě techniky kombinovány najednou. A ještě víc.

Poté se seznámíme se zajímavým a originálním metoda redukce integrálu k sobě... Tímto způsobem není vyřešeno tak málo integrálů.

Třetí číslo programu půjde na integrály komplexních zlomků, které proletěly kolem pokladny v předchozích článcích.

Za čtvrté, budou analyzovány další integrály goniometrických funkcí. Zejména existují metody, které se vyhýbají časově náročné univerzální goniometrické substituci.

(2) V integrandu vydělíme čitatele termínem jmenovatel.

(3) Používáme vlastnost linearity neurčitého integrálu. V posledním integrálu okamžitě přeneseme funkci pod znaménko diferenciálu.

(4) Vezměte zbývající integrály. Všimněte si, že závorky lze použít v logaritmu, nikoli v modulu, protože.

(5) Provádíme obrácenou substituci, vyjadřující z přímé substituce „te“:

Masochističtí studenti dokážou odpověď odlišit a získat původní integritu, jako jsem to právě udělal. Ne, ne, provedl jsem kontrolu ve správném smyslu =)

Jak vidíte, v průběhu řešení bylo nutné použít dokonce více než dvě metody řešení, takže pro řešení takových integrálů jsou zapotřebí sebevědomé integrační schopnosti a ne nejmenší zkušenosti.

V praxi je samozřejmě odmocnina běžnější, zde jsou tři příklady nezávislého řešení:

Příklad 2

Najděte neurčitý integrál

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál

Tyto příklady jsou stejného typu, takže úplné řešení na konci článku bude pouze pro příklad 2, v příkladech 3-4 - jedna odpověď. Která náhrada použít na začátku řešení je podle mě zřejmá. Proč jsem si vybral příklady stejného typu? Ve své roli se často setkávají. Častěji možná jen něco podobného .

Ale ne vždy, když je kořen lineární funkce nalezen pod arktangens, sinus, kosinus, exponent a další funkce, je třeba použít několik metod najednou. V řadě případů je možné „snadno vystoupit“, to znamená, že bezprostředně po výměně se získá jednoduchý integrál, který se bere elementárně. Nejjednodušší z výše navrhovaných úkolů je příklad 4, ve kterém se po výměně ukazuje, že relativně ne komplexní integrál.

Snížením integrálu k sobě

Geniální a krásná metoda. Pojďme se okamžitě podívat na klasiku žánru:

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál

Pod kořenem je čtvercový binom a při pokusu o integraci tohoto příkladu může konvice trpět hodiny. Takový integrál se bere kus po kousku a redukuje se na sebe. V zásadě není obtížné. Pokud víte jak.

Označme uvažovaný integrál latinkou a začneme řešení:

Integrujeme kus po kusu:

(1) Připravte integrační funkci pro rozdělení období.

(2) Integrandu dělíme podle výrazu. Možná ne každý tomu rozumí, napíšu podrobněji:

(3) Používáme vlastnost linearity neurčitého integrálu.

(4) Vezměte poslední integrál („dlouhý“ logaritmus).

Nyní se podíváme na úplný začátek řešení:

A na konec:

Co se stalo? V důsledku našich manipulací se integrál redukoval na sebe!

Srovnejme začátek a konec:

Přesunout doleva se změnou značky:

A přeneseme dvojku na pravou stranu. Jako výsledek:

Konstanta, přísně vzato, měla být přidána dříve, ale přidána na konci. Důrazně doporučuji, abyste si přečetli, co je zde přísné:

Poznámka: Přesněji řečeno, konečná fáze řešení vypadá takto:

Tím pádem:

Konstanta může být přejmenována na. Proč můžete znovu jmenovat? Protože stále přijímá žádný hodnoty, a v tomto smyslu není rozdíl mezi konstantami a.
Jako výsledek:

Podobný trik neustálé redesignace je široce používán v diferenciální rovnice... A tam budu přísný. A tady je taková svoboda povolena pouze proto, abych si vás nepletl s nepotřebnými věcmi a soustředil se na samotný způsob integrace.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál

Další typický integrál pro nezávislé řešení. Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu. Rozdíl oproti odpovědi z předchozího příkladu bude!

Pokud je pod odmocninou odmocnina, pak je řešení v každém případě redukováno na dva analyzované příklady.

Zvažte například integrál ... Vše, co musíte udělat, je předem vyberte celé náměstí:
.
Dále se provede lineární náhrada, která se obejde „bez jakýchkoli následků“:
, což má za následek integrál. Něco známého, že?

Nebo takový příklad se čtvercovým binomem:
Vyberte úplný čtverec:
A po lineární náhradě dostaneme integrál, který je také vyřešen podle již uvažovaného algoritmu.

Zvažte další dva typické příklady získat redukci integrálu k sobě:
- integrál exponentu vynásobený sinusem;
Je integrál exponentu vynásobený kosinem.

V uvedených integrálech po částech budeme muset integrovat již dvakrát:

Příklad 7

Najděte neurčitý integrál

Integrand je exponent vynásobený sinusem.

Integrujeme po částech dvakrát a snižujeme integrál k sobě:

V důsledku dvojité integrace po částech se integrál redukoval na sebe. Srovnejme začátek a konec řešení:

Přesuňte se změnou znaménka doleva a vyjádřete náš integrál:

Připraven. Po cestě je vhodné česat pravou stranu, tj. vložte exponent mimo závorky a v závorkách uspořádejte sinus a kosinus v „pěkném“ pořadí.

Vraťme se nyní na začátek příkladu, respektive k integraci po částech:

Určili jsme vystavovatele. Nabízí se otázka, přesně by měl být exponent vždy označen? Není nutné. Vlastně v uvažovaném integrálu zásadně nevadí Co označovat, bylo možné jít jinou cestou:

Proč je to možné? Protože se exponent mění v sebe (jak při diferenciaci, tak při integraci), sinus a kosinus se navzájem transformují (opět jak při diferenciaci, tak při integraci).

To znamená, že můžete také určit goniometrickou funkci. Ale v uvažovaném příkladu je to méně racionální, protože se objeví zlomky. Pokud si přejete, můžete se pokusit vyřešit tento příklad druhým způsobem, odpovědi musí být stejné.

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Než se rozhodnete, zamyslete se nad tím, co je v tomto případě výnosnější pro označení, exponent nebo goniometrickou funkci? Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu.

A samozřejmě nezapomeňte, že většinu odpovědí v této lekci lze snadno odlišit!

Příklady nebyly považovány za nejtěžší. V praxi jsou běžnější integrály, kde je konstanta jak v exponentu, tak v argumentu goniometrické funkce, například :. Mnoho lidí se v takovém integrálu bude muset ztratit a já sám jsem často zmatený. Faktem je, že v řešení je vysoká pravděpodobnost výskytu zlomků a je velmi snadné nepozorností něco ztratit. Kromě toho existuje vysoká pravděpodobnost chyby ve znacích, všimněte si, že exponent má znaménko minus, a to přináší další obtížnost.

V konečné fázi to často vypadá takto:

I na konci řešení byste měli být velmi opatrní a kompetentně se vypořádat se zlomky:

Integrace složených frakcí

Pomalu se přibližujeme k rovníku lekce a začínáme uvažovat o integrálech zlomků. Opět ne všechny jsou super komplikované, jen z jednoho nebo jiného důvodu byly příklady v jiných článcích trochu „mimo téma“.

Pokračování v tématu kořenů

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál

Ve jmenovateli pod kořenem je čtvercový trinomiální plus mimo kořenový „přívěsek“ ve tvaru „x“. Integrál tohoto druhu je řešen pomocí standardní substituce.

Rozhodujeme:

Výměna je jednoduchá:

Podíváme se na život po výměně:

(1) Po substituci přivedeme termíny pod kořen ke společnému jmenovateli.
(2) Vyjmeme zpod kořene.
(3) Snižte čitatele a jmenovatele o. Současně jsem pod kořenem uspořádal pojmy ve vhodném pořadí. S určitými zkušenostmi lze kroky (1), (2) přeskočit verbálním provedením komentovaných akcí.
(4) Výsledný integrál, jak si pamatujete z lekce Integrace některých zlomků, vyřešeno metoda úplného čtverce... Vyberte úplný čtverec.
(5) Integrací získáme obyčejný „dlouhý“ logaritmus.
(6) Provádíme zpětnou výměnu. Pokud zpočátku, pak zpět :.
(7) Konečná akce je zaměřena na účes výsledku: pod kořen opět přivedeme termíny ke společnému jmenovateli a vyjmeme je zpod kořene.

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Zde byla do osamělého X přidána konstanta a náhrada je téměř stejná:

Jediná věc, kterou je třeba udělat dodatečně, je vyjádřit „x“ z náhrady:

Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu.

Někdy v takovém integrálu může být pod kořenem čtvercový binom, to nemění řešení, bude to ještě jednodušší. Cítit rozdíl:

Příklad 11

Najděte neurčitý integrál

Příklad 12

Najděte neurčitý integrál

Stručná řešení a odpovědi na konci hodiny. Je třeba poznamenat, že příklad 11 je přesně binomický integrál, jehož metoda řešení byla v lekci zvažována Integrály iracionálních funkcí.

Integrál nerozložitelného polynomu stupně 2 ve stupních

(polynom ve jmenovateli)

Vzácnější, ale přesto nalezené v praktické příklady integrální forma.

Příklad 13

Najděte neurčitý integrál

Ale zpět k příkladu s šťastné číslo 13 (upřímně, nehádal jsem správně). Tento integrál je také z kategorie těch, se kterými se můžete pěkně potrápit, pokud nevíte, jak to vyřešit.

Řešení začíná umělou transformací:

Myslím, že každý už chápe, jak rozdělit čitatele na jmenovatele termínem na výraz.

Výsledný integrál se bere kus po kousku:

Pro integrál tvaru (je přirozené číslo) jsme odvodili opakující se Vzorec redukce stupňů:
, kde - integrál o stupeň nižší.

Ověřme platnost tohoto vzorce pro řešený integrál.
V tomto případě: ,, použijeme vzorec:

Jak vidíte, odpovědi jsou stejné.

Příklad 14

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Roztok vzorku používá výše uvedený vzorec dvakrát za sebou.

Pokud je pod stupněm nerozložitelnýčtvercový trinomiální, pak je řešení redukováno na binomické výběrem úplného čtverce, například:

Co když je v čitateli další polynom? V tomto případě se používá metoda nedefinovaných koeficientů a integrand se rozšíří na součet zlomků. Ale v mé praxi takového příkladu nikdy nepotkal tak jsem minul tento případ v článku Integrály zlomkové racionální funkce, Teď to přeskočím. Pokud k takovému integrálu stále dochází, podívejte se do učebnice - tam je vše jednoduché. Nepovažuji za vhodné zařazovat materiál (i ten jednoduchý), jehož pravděpodobnost setkání s ním bývá nulová.

Integrace komplexních goniometrických funkcí

Adjektivum „obtížné“ je pro většinu příkladů opět do značné míry podmíněné. Začněme s tangenty a kotangenty ve vysokých stupních. Z hlediska metod používaných k řešení tangens a kotangens jsou téměř stejné, takže budu hovořit více o tangens, což znamená, že předvedená metoda řešení integrálu platí také pro kotangens .

Ve výše uvedené lekci jsme se podívali na univerzální goniometrická substituce pro řešení určitého druhu integrálů goniometrických funkcí. Nevýhodou univerzální trigonometrické substituce je, že při jejím použití často vznikají těžkopádné integrály s obtížnými výpočty. A v některých případech se lze vyhnout univerzální goniometrické substituci!

Zvažte další kanonický příklad, integrál jednoty dělený sinusem:

Příklad 17

Najděte neurčitý integrál

Zde můžete použít obecnou trigonometrickou substituci a získat odpověď, ale existuje racionálnější způsob. Ke každému kroku poskytnu kompletní řešení s komentáři:

(1) Používáme trigonometrický vzorec s dvojitým úhlem.
(2) Provádíme umělou transformaci: Ve jmenovateli dělíme a vynásobíme.
(3) Podle známého vzorce ve jmenovateli transformujeme zlomek na tangens.
(4) Přinášíme funkci pod znaménko diferenciálu.
(5) Vezměte integrál.

Pár jednoduché příklady pro nezávislé řešení:

Příklad 18

Najděte neurčitý integrál

Poznámka: Úplně prvním krokem je použít vzorec obsazení a pečlivě proveďte akce podobné předchozímu příkladu.

Příklad 19

Najděte neurčitý integrál

Toto je velmi jednoduchý příklad.

Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce.

Myslím, že teď nikdo nebude mít problémy s integrály:
atd.

Jaká je myšlenka metody? Cílem je uspořádat pouze tečny a deriváty tangens v integrandu pomocí transformací, goniometrických vzorců. To znamená, že mluvíme o nahrazení: ... V příkladech 17-19 jsme skutečně použili tuto náhradu, ale integrály byly tak jednoduché, že záležitost byla zpracována ekvivalentní akcí - přenesením funkce pod diferenciální znaménko.

Podobné úvahy, jak jsem již zmínil, lze provést pro kotangens.

Existuje také formální předpoklad pro použití výše uvedené náhrady:

Součet kosinusových a sinusových sil je záporné CELÉ ČÍSLO, například:

pro integrál - záporné celé číslo EVEN číslo.

! Poznámka : pokud integrand obsahuje POUZE sinus nebo POUZE kosinus, pak je integrál považován také za negativní lichý stupeň (nejjednodušší případy jsou v příkladech č. 17, 18).

Zvažte několik smysluplnějších úkolů pro toto pravidlo:

Příklad 20

Najděte neurčitý integrál

Součet mocnin sinusu a kosinu: 2 - 6 = –4 je záporné CELÉ ČÍSLO, což znamená, že integrál lze redukovat na tangens a jeho derivaci:

(1) Transformujte jmenovatele.
(2) Podle známého vzorce získáme.
(3) Transformujte jmenovatele.
(4) Používáme vzorec .
(5) Přinášíme funkci pod znaménko diferenciálu.
(6) Provádíme výměnu. Zkušenější studenti náhradu možná neprovedou, ale i tak je lepší nahradit tangens jedním písmenem - existuje menší riziko záměny.

Příklad 21

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily.

Počkejte, kola šampionů začínají =)

V integrandu je často „hodgepodge“:

Příklad 22

Najděte neurčitý integrál

Tento integrál zpočátku obsahuje tangens, která okamžitě vyvolá již známou myšlenku:

Umělá transformace na samém začátku a zbytek kroků ponechám bez komentáře, protože vše již bylo diskutováno výše.

Několik kreativních příkladů pro vlastní řešení:

Příklad 23

Najděte neurčitý integrál

Příklad 24

Najděte neurčitý integrál

Ano, v nich samozřejmě můžete snížit stupně sinus, kosinus, použít univerzální goniometrickou substituci, ale řešení bude mnohem efektivnější a kratší, pokud jej protáhnete tangenty. Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce

V pátém století př. N. L. Zformoval starověký řecký filozof Zenón z Eleiy své slavné aporie, z nichž nejznámější je aporia „Achilles a želva“. Takto to zní:

Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Za dobu, po kterou Achilles zaběhá tuto vzdálenost, se želva proleze stovkou kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva projde dalších deset kroků atd. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha byla logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Všichni tak či onak považovali Zenonovy aporie. Šok byl tak silný, že „ ... diskuse pokračují i v současné době, vědecké komunitě se zatím nepodařilo dospět ke společnému názoru na podstatu paradoxů ... do studia problematiky byla zapojena matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal obecně přijímaným řešením otázky ...„[Wikipedie, Zenova Aporia“]. Každý chápe, že se nechává oklamat, ale nikdo nechápe, co je to podvod.

Z hlediska matematiky Zenón ve své aporii jasně demonstroval přechod z magnitudy na. Tento přechod implikuje aplikaci místo konstant. Pokud chápu, matematický aparát pro použití proměnných měrných jednotek buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenonovy aporie. Použití naší obvyklé logiky nás vede do pasti. Setrvačností myšlení aplikujeme konstantní jednotky měření času na reciproční. Z fyzického hlediska to vypadá jako dilatace času, dokud se úplně nezastaví v okamžiku, kdy je Achilles v úrovni želvy. Pokud se čas zastaví, Achilles již nemůže předjet želvu.

Pokud převrátíme logiku, na kterou jsme zvyklí, vše zapadne na své místo. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý další segment jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. V souladu s tím je čas strávený jeho překonáním desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme koncept „nekonečna“, pak by bylo správné říci „Achilles bude želvu nekonečně rychle dohánět“.

Jak se můžete této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v jednotkách konstantního času a nevracejte se zpět. V Zenově jazyce to vypadá takto:

Během doby, po kterou Achilles poběží tisíc kroků, se želva proleze stovkou kroků stejným směrem. V dalším časovém intervalu, který se rovná prvnímu, poběží Achilles dalších tisíc kroků a želva projde sto kroků. Nyní je Achilles o osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez logických paradoxů. Toto ale není úplné řešení problému. Einsteinovo prohlášení o nepřekonatelnosti rychlosti světla je velmi podobné Zenové aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A řešení je třeba hledat nikoli v nekonečně velkém počtu, ale v jednotkách měření.

Další zajímavá aporia Zeno vypráví o létajícím šípu:

Létající šíp je nehybný, protože v každém okamžiku je v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii je logický paradox překonán velmi jednoduše - stačí objasnit, že v každém okamžiku létající šipka spočívá na různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat další bod. Z jediné fotografie automobilu na silnici nelze určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. K určení skutečnosti pohybu automobilu jsou potřeba dvě fotografie, pořízené ze stejného bodu v různých časových bodech, ale nelze je použít k určení vzdálenosti. Chcete -li určit vzdálenost k autu, potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů v prostoru současně, ale nelze z nich určit skutečnost pohybu (samozřejmě stále potřebujete další údaje pro výpočty, pomůže trigonometrie vy). Na co chci zvlášť upozornit je, že dva časové a dva body v prostoru jsou různé věci, které by neměly být zaměňovány, protože poskytují různé příležitosti pro výzkum.

Středa 4. července 2018

Rozdíl mezi množinou a množinou je na Wikipedii velmi dobře popsán. Díváme se.

Jak vidíte, „v sadě nemohou být dva identické prvky“, ale pokud v sadě existují identické prvky, nazývá se taková množina „multiset“. Takovou logiku absurdity rozumové bytosti nikdy nepochopí. To je úroveň mluvících papoušků a cvičených opic, kterým ze slova „úplně“ chybí inteligence. Matematici působí jako obyčejní školitelé a kážou nám své absurdní nápady.

Kdysi inženýři, kteří postavili most, byli během zkoušek mostu na lodi pod mostem. Pokud se most zřítil, neschopný inženýr zemřel pod troskami svého stvoření. Pokud by most vydržel zátěž, talentovaný inženýr by postavil další mosty.

Bez ohledu na to, jak se matematici skrývají za slovním spojením „chur, jsem v domě“, nebo spíše „matematika studuje abstraktní pojmy“, existuje jedna pupeční šňůra, která je neoddělitelně spojuje s realitou. Tato pupeční šňůra jsou peníze. Použitelný matematická teorie sadám samotným matematikům.

Matematiku jsme studovali velmi dobře a teď sedíme u pokladny a rozdáváme platy. Přichází matematik pro své peníze. Spočítáme pro něj celou částku a rozložíme se na náš stůl na různé hromádky, do kterých dáme bankovky stejné nominální hodnoty. Poté z každé hromádky vezmeme jeden účet a předáme matematikovi jeho „matematický soubor platu“. Vysvětlíme matematiku, že zbytek účtů dostane, až když prokáže, že množina bez identických prvků se nerovná množině se shodnými prvky. Tady začíná zábava.

V první řadě bude fungovat logika poslanců: „To můžete aplikovat na ostatní, na mě nemůžete!“ Dále nás začne ujišťovat, že na účtech stejné nominální hodnoty jsou různá nominální čísla, což znamená, že je nelze považovat za stejné prvky. Dobře, spočítejme plat v mincích - na mincích nejsou žádná čísla. Zde si matematik začne zběsile pamatovat fyziku: různé mince mají různé množství špíny, krystalová struktura a uspořádání atomů v každé minci je jedinečné ...

A teď mám nejzajímavější otázku: kde je čára, za kterou se prvky vícesetové sady mění na prvky množiny a naopak? Taková linie neexistuje - o všem rozhodují šamani, věda zde neležela nikde poblíž.

Podívej se sem. Vybíráme fotbalové stadiony se stejným hřištěm. Plocha polí je stejná, což znamená, že máme více sad. Pokud ale vezmeme v úvahu názvy stejných stadionů, dostáváme mnoho, protože názvy jsou různá. Jak vidíte, stejná sada prvků je současně sadou i více sadami. Jak je to správné? A tady matematik-šaman-schuller vytáhne z rukávu trumfové eso a začne nám vyprávět buď o sadě, nebo o multisetu. V každém případě nás přesvědčí, že má pravdu.

Abychom pochopili, jak moderní šamani operují s teorií množin, spojují ji s realitou, stačí zodpovědět jednu otázku: jak se prvky jedné sady liší od prvků jiné sady? Ukážu vám, bez jakéhokoli „myslitelného jako jediného celku“ nebo „nemyslitelného jako celku“.

Neděle 18. března 2018

Součet číslic čísla je tanec šamanů s tamburínou, který s matematikou nemá nic společného. Ano, na hodinách matematiky nás učí najít součet číslic čísla a používat ho, ale proto jsou šamani, aby naučili své potomky jejich dovednostem a moudrosti, jinak šamani prostě vymřou.

Potřebujete důkaz? Otevřete Wikipedii a zkuste najít stránku Součet číslic čísla. Neexistuje. V matematice neexistuje vzorec, podle kterého byste našli součet číslic libovolného čísla. Přeci jen čísla jsou grafické symboly, pomocí kterých píšeme čísla a v matematickém jazyce zní úkol takto: „Najděte součet grafických symbolů reprezentujících libovolné číslo“. Matematici tento problém vyřešit nemohou, ale šamani - to je elementární.

Podívejme se, co a jak děláme, abychom našli součet číslic daného čísla. Mějme tedy číslo 12345. Co je třeba udělat, abychom našli součet číslic tohoto čísla? Projděme si postupně všechny kroky.

1. Zapíšeme si číslo na kousek papíru. Co jsme udělali? Převedli jsme číslo na grafický symbol čísla. Nejedná se o matematickou operaci.

2. Vystřihli jsme jeden výsledný obrázek na několik obrázků obsahujících samostatná čísla. Vyjmutí obrázku není matematická operace.

3. Převeďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Nejedná se o matematickou operaci.

4. Sečtěte výsledná čísla. Nyní je to matematika.

Součet číslic 12345 je 15. Toto jsou „kurzy stříhání a šití“ od šamanů používané matematiky. Ale to není vše.

Z hlediska matematiky je jedno, v jaké číselné soustavě číslo napíšeme. Takže v různé systémy součet číslic stejného čísla se bude lišit. V matematice je číselná soustava označena jako dolní index napravo od čísla. S velkým číslem 12345 nechci oklamat hlavu, zvažte číslo 26 z článku o. Zapišme toto číslo do binárních, osmičkových, desítkových a šestnáctkových číselných soustav. Nebudeme se dívat na každý krok pod mikroskopem, to jsme již udělali. Podívejme se na výsledek.

Jak vidíte, v různých číselných soustavách je součet číslic stejného čísla odlišný. Tento výsledek nemá s matematikou nic společného. Je to stejné, jako kdybyste získali úplně jiné výsledky, když jste určili plochu obdélníku v metrech a centimetrech.

Nula ve všech číselných systémech vypadá stejně a nemá součet číslic. To je další argument pro skutečnost, že. Otázka pro matematiky: jak je v matematice označeno něco, co není číslo? Co pro matematiky neexistuje nic jiného než čísla? Na šamany to mohu dopustit, ale na vědce - ne. Realita není jen o číslech.

Získaný výsledek by měl být považován za důkaz, že číselné systémy jsou měrnými jednotkami čísel. Koneckonců, nemůžeme porovnávat čísla s různé jednotky Měření. Pokud stejné akce s různými měrnými jednotkami stejné veličiny vedou po jejich srovnání k různým výsledkům, pak to nemá s matematikou nic společného.

Co je skutečná matematika? To je případ, kdy výsledek matematické akce nezávisí na velikosti čísla, použité měrné jednotce a na tom, kdo tuto akci provádí.

Podepište na dveře Otevírá dveře a říká:

Au! Není to dámská toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratoř pro studium nevybíravé svatosti duší při výstupu do nebe! Halo nahoře a šipka směřující nahoru. Jaký další záchod?

Žena ... Nimbus nahoře a šipka dolů je muž.

Pokud vám něco podobného designového umění bliká před očima několikrát denně,

Pak není divu, že ve svém autě najednou najdete podivnou ikonu:

Osobně se snažím, aby na kakajícím člověku (jeden obrázek) bylo vidět mínus čtyři stupně (kompozice několika obrázků: znaménko mínus, číslo čtyři, označení stupňů). A nemyslím si, že tato dívka je blázen, který nezná fyziku. Má jen stereotyp vnímání grafických obrázků. A matematici nás to neustále učí. Zde je příklad.

1A není „mínus čtyři stupně“ nebo „jeden a“. Toto je „pooping man“ nebo číslo „dvacet šest“ v hexadecimálním zápisu. Ti lidé, kteří neustále pracují v tomto číselném systému, automaticky vnímají číslo a písmeno jako jeden grafický symbol.

aplikace

Integrály online na web pro konsolidaci předaného materiálu studenty a školáky. A trénujte své praktické dovednosti. Kompletní řešení integrálů online pro vás během několika okamžiků vám pomůže určit všechny fáze procesu. Pokaždé, jakmile začnete řešit integrál online, musíte určit jeho typ, bez toho nemůžete použít libovolnou metodu, kromě integrální tabulky. Ne každý tabulkový integrál je z daného příkladu jasně viditelný; někdy je třeba transformovat původní funkci, aby se našla antiderivace. V praxi se řešení integrálů redukuje na interpretaci problému nalezení originálu, tj. Antiderivativa z nekonečné rodiny funkcí, ale pokud jsou dány limity integrace, pak podle Newton-Leibnizova vzorce existuje pouze jedna jediná funkce, na kterou jsou výpočty použity. Online integrály - online neurčitý integrál a online určitý integrál. Integrál online funkce je součet jakýchkoli čísel určených k jejich integraci. Neformálně je tedy online integrál oblast mezi grafem funkcí a úsečkou v rámci integrace. Příklady řešení problémů s integrály. Vypočítejme komplexní integrál přes jednu proměnnou a jeho odpověď spojme s dalším řešením problému. Jak se říká, integrál integrandu je možné najít čelně. Jakýkoli integrál s vysokou přesností určuje oblast ohraničenou čarami obrázku. To je jeden z jeho geometrických významů. Tato metoda studentům usnadňuje. Několik kroků ve skutečnosti nebude mít velký vliv na vektorovou analýzu. Integrální funkce online je základní koncept integrálního počtu .. Řešení neurčitých integrálů. Podle hlavní věty analýzy je integrace operace inverzní k diferenciaci, která pomáhá řešit diferenciální rovnice ... Existuje několik různých definic integrační operace, které se liší technickými detaily. Všechny jsou však kompatibilní, to znamená, že jakékoli dvě integrační metody, pokud je lze použít na danou funkci, poskytnou stejný výsledek. Nejjednodušší je Riemannův integrál - určitý integrál nebo neurčitý integrál. Neformálně lze integrál funkce jedné proměnné zadat jako oblast pod grafem (obrázek uzavřený mezi grafem funkce a osou úsečky). Jakýkoli takový podproblém může odůvodnit, že výpočet integrálu bude extrémně nezbytný na samém začátku důležitého přístupu. Nezapomeňte na to! Při pokusu najít tuto oblast můžeme uvažovat o obrázcích sestávajících z určitého počtu svislých obdélníků, jejichž základny dohromady tvoří integrační segment a jsou získány rozdělením segmentu na odpovídající počet malých segmentů. Řešení online integrálů .. Online integrál - online neurčitý integrál a online určitý integrál. Řešení online integrálů: online neurčitý integrál a online určitý integrál. Kalkulačka řeší integrály s popisem akcí podrobně a zdarma! Online neurčitý integrál pro funkci je souborem všech antiderivativ dané funkce. Pokud je funkce definována a spojitá v určitém intervalu, pak pro ni existuje primitivní funkce (nebo rodina antiderivativ). Integrál definuje pouze výraz, jehož podmínky jste stanovili při výskytu takové potřeby. Je lepší k této záležitosti přistupovat opatrně a zažít vnitřní uspokojení z odvedené práce. Ale výpočet integrálu jiným způsobem než klasickým vede někdy k neočekávaným výsledkům a nelze se tomu divit. Jsem rád, že skutečnost, která bude mít pozitivní odezvu na to, co se děje. Seznam určitých integrálů a neurčitých integrálů integrálů s kompletním podrobným řešením krok za krokem. Všechny integrály s podrobným řešením online. Neurčitý integrál. Najít neurčitý integrál online je velmi běžný úkol ve vyšší matematice a dalších technických oborech vědy. Základní metody integrace. Definice integrálu, určitý a neurčitý integrál, tabulka integrálů, Newton-Leibnizův vzorec. A opět můžete najít svůj integrál podle tabulky integrálních výrazů, ale stále na to musíte přijít, protože ne všechno je tak jednoduché, jak by se mohlo na první pohled zdát. Přemýšlejte o dokončených budovách, než najdete chyby. Definitivní integrál a metody jeho výpočtu. Online definitivní integrál s proměnnou horní hranicí. Integrované řešení online. Jakýkoli příklad, který pomůže vypočítat integrál pomocí tabulkových vzorců, bude užitečným průvodcem k akci pro studenty všech úrovní znalostí. Nejdůležitější krok ke správné odpovědi .. Integrály online. Neurčité integrály obsahující exponenciální a logaritmické funkce. Integrované řešení online - obdržíte podrobné řešení pro odlišné typy integrály: neurčitý, určitý, nevhodný. Kalkulačka určitých integrálů vypočítá určitý integrál online funkce v určitém intervalu pomocí numerické integrace. Integrál funkce je analogem součtu posloupnosti. Neformálně řečeno, určitý integrál je oblast části grafu funkce. Online integrální řešení .. Online integrál je online neurčitý integrál a online určitý integrál. Takový integrál často určuje, o kolik je těleso těžší než předmět stejné hustoty ve srovnání s ním, a bez ohledu na to, jaký má tvar, protože povrch neabsorbuje vodu. Řešení online integrálů .. Online integrály - online neurčitý integrál a online určitý integrál. Každý mladší student ví, jak najít integrál online. Na základě školních osnov je studována i tato část matematiky, ale ne podrobně, ale pouze základy tak složitého a důležitého tématu. Ve většině případů začínají studenti studium integrálů z rozsáhlé teorie, které také předchází důležitá témata, jako je derivace a přechod k limitu - jsou to také limity. Řešení integrálů postupně začíná nejzákladnějšími příklady z jednoduchých funkcí a končí aplikací mnoha přístupů a pravidel navržených v minulém století a dokonce mnohem dříve. Integrální počet je pro informační účely pouze na lyceích a ve školách, tj. Na sekundárních vzdělávací instituce... Naše webové stránky vám vždy pomohou a řešení integrálů online se pro vás stane rutinou a hlavně srozumitelným úkolem. Na základně tohoto zdroje v této matematické sekci můžete snadno dosáhnout excelence. Pochopení krok za krokem naučených pravidel, například integrace, v částech nebo aplikace Chebyshevovy metody, můžete snadno vyřešit jakýkoli test na maximální počet bodů. Jak tedy koneckonců můžeme vypočítat integrál pomocí známé tabulky integrálů, ale tak, aby řešení bylo správné, správné a s maximální možnou přesnou odpovědí? Jak se to naučit a je možné, aby to běžný nováček zvládl v co nejkratším čase? Na tuto otázku odpovíme kladně - můžete! Současně budete nejen schopni vyřešit jakýkoli příklad, ale také se dostanete na úroveň špičkového inženýra. Tajemství je jednodušší než kdy jindy - musíte vynaložit maximální úsilí, věnovat potřebné množství času vlastní přípravě. Bohužel zatím nikdo jiný způsob nevymyslel! Ale ne všechno je tak zakalené, jak se na první pohled zdá. Pokud se s touto otázkou obrátíte na náš servisní web, pak vám usnadníme život, protože náš web dokáže detailně vypočítat integrály online s velmi vysoká rychlost a bezchybně přesnou odpověď. Integrál v podstatě neurčuje, jak poměr argumentů ovlivňuje stabilitu systému jako celku. Kdyby vše bylo vyvážené. Spolu s tím, jak se naučíte základy tohoto matematického tématu, může služba najít integrál jakéhokoli integrandu, pokud lze tento integrál vyřešit v elementárních funkcích. Jinak pro integrály, které nejsou brány v elementárních funkcích, v praxi není nutné hledat odpověď analyticky, nebo jinými slovy v explicitní formě. Všechny výpočty integrálů jsou redukovány na stanovení antiderivace daného integrandu. Chcete -li to provést, nejprve vypočítejte neurčitý integrál přes všechny zákony matematiky online. pak, pokud je to nutné, jsou nahrazeny horní a dolní hodnoty integrálu. Není -li nutné určit nebo vypočítat číselnou hodnotu neurčitého integrálu, pak se k výsledné antiderivativní funkci přičte konstanta, čímž se definuje rodina primitivní funkce. Zvláštní místo ve vědě a obecně v jakékoli oblasti strojírenství, včetně mechaniky spojitých médií, integrace popisuje celé mechanické systémy, jejich pohyby a mnoho dalšího. V mnoha případech kompilovaný integrál určuje pohybový zákon hmotného bodu. Je to velmi důležitý nástroj při studiu aplikovaných věd. Na základě toho nelze než říci o rozsáhlých výpočtech ke stanovení zákonů existence a chování mechanických systémů. Online kalkulačka pro řešení integrálů na webu je účinný nástroj pro profesionální inženýry. Určitě vám to můžeme zaručit, ale váš integrál budeme moci vypočítat až poté, co zadáte správný výraz do domény integrandu. Nebojte se udělat chybu, vše je v této záležitosti napravitelné! Obvykle je řešení integrálů omezeno na použití tabulkových funkcí ze známých učebnic nebo encyklopedií. Jako každý jiný neurčitý integrál bude vypočítán pomocí standardního vzorce bez příliš hrubé kritiky. Studenti prvního ročníku snadno a přirozeně uchopí studovaný materiál za běhu a někdy jim hledání integrálu nezabere více než dvě minuty. A pokud se student naučil tabulku integrálů, pak obecně může určit odpovědi ve své hlavě. Rozšiřování funkcí v proměnných vzhledem k povrchům původně znamená správný vektorový směr v určitém bodě na přímce. Nepředvídatelné chování povrchových linií bere určité integrály jako základ ve vzájemném zdroji matematických funkcí. Levý okraj koule se při pohledu v rovině nedotýká válce, do kterého je vepsán kruh. Součet malých oblastí rozdělených do stovek po částech spojitých funkcí je online integrál dané funkce. Mechanický význam integrálu spočívá v mnoha aplikovaných problémech, jedná se o stanovení objemu těles a výpočet tělesné hmotnosti. Právě tyto výpočty zahrnují trojné a dvojité integrály. Trváme na tom, aby online řešení integrálů probíhalo pouze pod dohledem zkušených učitelů a četnými kontrolami.Často se nás ptají na pokrok studentů, kteří se neúčastní přednášek, bezdůvodně je přeskakují, jak se jim daří najít samotní integrálové. Odpovídáme, že studenti jsou svobodní lidé a mohou být dobře vyškoleni jako externí studenti, kteří se připravují na test nebo zkoušku v příjemném domácím prostředí. Naše služba během několika sekund pomůže každému, kdo chce vypočítat integrál jakékoli dané funkce s ohledem na proměnnou. Zkontrolujte výsledek získaný derivací antiderivativní funkce. V tomto případě konstanta z řešení integrálu zmizí. Toto pravidlo je každému jasné. Protože jsou vícesměrné operace odůvodněné, neurčitý integrál je často redukován na rozdělení oblasti na malé části. Někteří studenti a školáci však tento požadavek zanedbávají. Online integrály mohou být jako vždy podrobně vyřešeny naším servisním webem a neexistují žádná omezení počtu požadavků, vše je zdarma a dostupné pro každého. Není mnoho takových webů, které dávají odpověď krok za krokem během několika sekund, a co je nejdůležitější, s vysokou přesností a ve vhodné formě. V posledním příkladu na páté stránce domácího úkolu byl jeden, který ukazuje nutnost vypočítat integrál krok za krokem. Neměli bychom ale zapomínat na to, jak je možné najít integrál pomocí hotové služby, prověřené časem a testované na tisících vyřešených příkladů online. Jak takový integrál určuje pohyb systému, jasně a jasně dokazuje povaha pohybu viskózní tekutiny, kterou popisuje tento systém rovnic.

Iracionální funkce proměnné je funkce, která je tvořena proměnnou a libovolnými konstantami pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení (zvyšování na celočíselnou mocninu), dělení a extrakce kořenů. Iracionální funkce se od racionální funkce liší tím, že iracionální funkce obsahuje operace pro extrakci kořenů.

Existují tři hlavní typy iracionální funkce, neurčité integrály z nichž jsou redukovány na integrály racionálních funkcí. Jedná se o integrály obsahující kořeny libovolných celočíselných stupňů z lineární zlomkové funkce (kořeny mohou mít různé stupně, ale ze stejné lineární zlomkové funkce); integrály diferenciálního binomického a integrály s druhou odmocninou ze čtvercového trinomia.

Důležitá poznámka. Kořeny jsou nejednoznačné!

Při výpočtu integrálů obsahujících kořeny se často setkáváme s výrazy formy, kde je nějaká funkce integrační proměnné. To je třeba mít na paměti. To znamená, že pro t> 0, | t | = t... V t< 0, | t | = - t. Při výpočtu takových integrálů je proto nutné samostatně zvážit případy t> 0 a t< 0 ... To lze provést napsáním značek nebo v případě potřeby. Za předpokladu, že horní znak odkazuje na případ t> 0 , a spodní - do případu t< 0 ... Při další transformaci se tyto znaky zpravidla navzájem ruší.

Je možný i druhý přístup, ve kterém integrand a výsledek integrace lze považovat za komplexní funkce komplexních proměnných. Pak nemůžete sledovat znaky v radikálních výrazech. Tento přístup je použitelný, pokud je integrand analytický, tj. Diferencovatelná funkce komplexní proměnné. V tomto případě jsou integrand i jeho integrál vícehodnotovými funkcemi. Proto je po integraci při nahrazování číselných hodnot nutné vybrat jednohodnotnou větev (Riemannův povrch) integrandu a pro ni zvolit odpovídající větev výsledku integrace.

Frakční lineární iracionalita

Jedná se o integrály s kořeny stejné lineární zlomkové funkce:
,
kde R je racionální funkce, jsou racionální čísla, m 1, n 1, ..., m s, n s jsou celá čísla, α, β, γ, δ jsou reálná čísla.
Takové integrály jsou redukovány na integrál racionální funkce substitucí:
, kde n je společný jmenovatel čísel r 1, ..., r s.

Kořeny nemusí nutně pocházet z lineární zlomkové funkce, ale také z lineární (γ = 0, δ = 1), nebo na proměnné integrace x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Zde jsou příklady takových integrálů:
, .

Integrály diferenciálních binomů

Integrály diferenciálních binomií jsou:
,
kde m, n, p jsou racionální čísla, a, b jsou reálná čísla.
Takové integrály se ve třech případech redukují na integrály racionálních funkcí.

1) Pokud p je celé číslo. Substituce x = t N, kde N je společný jmenovatel zlomků m a n.
2) Pokud - celé. Substituce a x n + b = t M, kde M je jmenovatel p.
3) Pokud - celé. Substituce a + b x - n = t M, kde M je jmenovatel p.

V ostatních případech nejsou takové integrály vyjádřeny jako elementární funkce.

Někdy lze takové integrály zjednodušit pomocí redukčních vzorců:
;
.

Integrály obsahující druhou odmocninu ze čtvercového trinomia

Takové integrály mají formu:
,
kde R je racionální funkce. Pro každý takový integrál existuje několik metod řešení.
1) S pomocí transformací vést k jednodušším integrálům.
2) Aplikujte goniometrické nebo hyperbolické substituce.
3) Aplikujte Eulerovy substituce.

Pojďme se na tyto metody podívat blíže.

1) Transformace integrandu

Aplikováním vzorce a prováděním algebraických transformací přivedeme integrand do formy:
,
kde φ (x), ω (x) jsou racionální funkce.

Typ I

Integrál formuláře:
,
kde P n (x) je polynom stupně n.

Takové integrály se nacházejí metodou nedefinovaných koeficientů pomocí identity:

.
Rozlišením této rovnice a vyrovnáním levé a pravé strany najdeme koeficienty A i.

Typ II

Integrál formuláře:
,
kde P m (x) je polynom stupně m.

Substituce t = (x - α) -1 tento integrál je redukován na předchozí typ. Pokud m ≥ n, pak by měla být vybrána celá část zlomku.

Typ III

Zde provedeme náhradu:
.
Pak bude mít integrál tvar:
.
Dále musí být konstanty α, β zvoleny tak, aby koeficienty na t ve jmenovateli zmizely:
B = 0, B 1 = 0.
Pak se integrál rozloží na součet integrálů dvou typů:
,
,
které jsou integrovány substitucemi:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Trigonometrické a hyperbolické substituce

Pro integrály formuláře, a > 0 ,
máme tři hlavní substituce:
;
;
;

Pro integrály a > 0 ,
máme následující náhrady:
;
;
;

A konečně pro integrály a > 0 ,
náhrady jsou následující:
;
;
;

3) Eulerovy substituce

Integrály lze také redukovat na integrály racionálních funkcí jedné ze tří Eulerových substitucí:
, pro a> 0;
, pro c> 0;
, kde x 1 je kořen rovnice a x 2 + b x + c = 0. Pokud má tato rovnice skutečné kořeny.

Eliptické integrály

Na závěr zvažte integrály formuláře:
,
kde R je racionální funkce. Takové integrály se nazývají eliptické. Obecně nejsou vyjádřeny v elementárních funkcích. Existují však případy, kdy existují vztahy mezi koeficienty A, B, C, D, E, ve kterých jsou takové integrály vyjádřeny pomocí elementárních funkcí.

Níže je uveden příklad související s návratovými polynomy. Výpočet takových integrálů se provádí pomocí substitucí:
.