Rekaman angka dalam sistem angka biner dibuat hanya menggunakan dua digit - 0 dan 1. Oleh karena itu, sistem ini lebih mudah dalam praktik yang diterapkan dalam mesin dan perangkat komputasi elektronik. Pertimbangkan cara menerjemahkan angka ke dalam sistem biner dari desimal yang biasa tanpa bantuan kalkulator dan program komputer.
Bilangan bulat
Untuk menerjemahkan bilangan bulat dari desimal ke sistem angka biner, perlu untuk membaginya menjadi dua, dan kemudian membagi menjadi dua masing-masing diterima pribadi sampai unit gagal. Nomor biner yang diinginkan dicatat sebagai urutan angka yang sama dengan privat (unit) terakhir dan semua residu diperoleh mulai dari yang terakhir.
Kami memberikan contoh.
Perlu diterjemahkan ke dalam sistem biner nomor 23
- 23: 2 \u003d 11 (Residu 1)
- 11: 2 \u003d 5 (Residu 1)
- 5: 2 \u003d 2 (Residu 1)
- 2: 2 \u003d 1 (residu 0)
Akibatnya, 23 10 \u003d 10111 2
Anda harus menerjemahkan ke dalam sistem nomor biner nomor 88:
- 88: 2 \u003d 44 (Residu 0)
- 44: 2 \u003d 22 (Residu 0)
- 22: 2 \u003d 11 (Residu 0)
- 11: 2 \u003d 5 (Residu 1)
- 5: 2 \u003d 2 (Residu 1)
- 2: 2 \u003d 1 (residu 0)
Akibatnya, 88 10 \u003d 1011000 2
Angka fraksional.
Sekarang pertimbangkan algoritma cara menerjemahkan ke dalam sistem biner angka desimal fraksional. Untuk melakukan ini, dengan bagian dari angka, kami bekerja sesuai dengan prosedur yang dijelaskan di atas, dan bagian fraksional berkembang biak oleh dua. Bagian fraksional dari produk yang dihasilkan kembali berlipat ganda dua dan supaya bagian fraksional menjadi nol atau sampai perkiraan yang diperlukan diperoleh jumlah tanda biner setelah koma. Bagian fraksi yang diinginkan angka biner. Kami memperoleh sebagai urutan angka setelah koma sama dengan bagian integer dari produk yang diperoleh, dimulai dengan yang pertama.
Kami memberikan contoh:
Anda perlu menerjemahkan ke dalam sistem biner nomor 5,625:
- Pertama-tama pertimbangkan seluruh bagian dari angka desimal:
- 5: 2 \u003d 2 (Residu 1)
- 2: 2 \u003d 1 (residu 0)
- Sekarang bagian fraksional:
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
Pada akhirnya, 5 10 \u003d 101 2
Pada akhirnya, 0,125 10 \u003d 0,101 2
Akibatnya, 5,625 10 \u003d 101.101 2
Perlu menerjemahkan 8,35 ke sistem biner dengan akurasi 5 tempat desimal:
- Mari kita mulai dengan seluruh bagian:
- 8: 2 \u003d 4 (Residu 0)
- 4: 2 \u003d 2 (Residu 0)
- 2: 2 \u003d 1 (residu 0)
- Bagian fraksi:
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
Pada akhirnya, 8 10 \u003d 1000 2
Akibatnya, 0,35 10 \u003d 0,01011 2 dengan akurasi 5 tempat desimal.
Akibatnya, 8.35 10 \u003d 1000.01011 2 dengan akurasi 5 tempat desimal.
Dengan bantuan kalkulator online ini, Anda dapat menerjemahkan nomor keseluruhan dan fraksional dari satu sistem nomor ke yang lain. Solusi terperinci diberikan dengan penjelasan. Untuk menerjemahkan, masukkan nomor aslinya, atur basis sistem nomor sumber, atur dasar sistem angka yang ingin Anda menerjemahkan nomor dan klik tombol "Terjemahkan". Bagian teoritis dan contoh numerik lihat di bawah.
Hasilnya sudah diterima!
Terjemahan angka keseluruhan dan fraksional dari sistem nomor satu ke teori, contoh dan solusi lainnya
Ada posisi dan tidak sistem posisional Catatan. Sistem Nomor Arab, yang kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah posisi, dan Romawi - tidak. Dalam sistem operasi posisional, posisi angka secara unik menentukan nilai angka. Pertimbangkan ini pada contoh angka 6372 dalam sistem angka desimal. Nomor angka ini di sebelah kanan kiri sejak awal:
Maka nomor 6372 dapat diwakili sebagai berikut:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Nomor 10 mendefinisikan sistem angka (dalam kasus ini Ini 10). Sebagai derajat, posisi jumlah nomor ini diambil.
Pertimbangkan nyata angka desimal 1287.923. Nomor mulai dari goresan posisi angka dari titik desimal ke kiri dan kanan:
Maka nomor 1287.923 dapat diwakili sebagai:
1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 1 · 10 1 · 10 -1 + 3 · 10 -2 + 10 -3.
Secara umum, rumus dapat diwakili sebagai berikut:
C n · s. N + C N-1 · s. N-1 + ... + C 1 · s. 1 + C 0 · S 0 + D -1 · S -1 + D -2 · S -2 + ... + D -K · S -K
di mana c n adalah angka dalam posisi n., D -k - nomor fraksional dalam posisi (-k), s. - Sistem angka.
Beberapa kata tentang sistem angka. Angka dalam sistem angka desimal terdiri dari pluralitas angka (0,1,2,3,4,6,6,7,8,9), dalam sistem angka octa - dari pluralitas angka (0,1, 2,3,4,5,6,7), dalam sistem angka biner - dari pluralitas angka (0,1), dalam sistem jumlah heksadesimal - dari sejumlah angka (0,1,2 , 3,4,5,6, 7,8,9, a, b, c, d, e, f), di mana a, b, c, d, e, f sesuai dengan angka 10,11,12, 13,14,15. Dalam tabel tabel.1 Disajikan angka B. sistem yang berbeda Catatan.
| Tabel 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notasi | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | SEBUAH. |
| 11 | 1011 | 13 | Dgn B. |
| 12 | 1100 | 14 | C. |
| 13 | 1101 | 15 | D. |
| 14 | 1110 | 16 | E. | 15 | 1111 | 17 | F. |
Terjemahan angka dari satu sistem nomor ke yang lain
Untuk mentransfer nomor dari satu nomor ke yang lain ke yang lain, cara termudah untuk terlebih dahulu menerjemahkan angka ke sistem angka desimal, dan kemudian, dari sistem angka desimal untuk menerjemahkan ke sistem angka yang diinginkan.
Terjemahan angka dari sistem nomor apa pun dalam sistem angka desimal
Menggunakan Formula (1), Anda dapat menerjemahkan angka dari sistem nomor apa pun ke sistem angka desimal.
Contoh 1. Terjemahkan angka 1011101.001 dari sistem nomor biner (SS) dalam SS desimal. Keputusan:
1 · 2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125
Contoh2. Terjemahkan angka 1011101.001 dari sistem nomor octaous (SS) dalam SS desimal. Keputusan:
Contoh 3 . Terjemahkan angka AB572.CDF dari sistem nomor heksadesimal dalam SS desimal. Keputusan:
Sini SEBUAH. - per 10, Dgn B. - oleh 11, C.- oleh 12, F. - sebesar 15.
Terjemahan angka dari sistem angka desimal ke sistem nomor lain
Untuk mentransfer angka dari sistem penomoran desimal ke sistem nomor lain, perlu diterjemahkan secara terpisah oleh bagian integer dari angka dan bagian fraksional dari angka.
Bagian integer dari angka ini diterjemahkan dari SS desimal ke sistem nomor lain - Divisi berurutan dari seluruh bagian angka pada dasar sistem angka (untuk CC biner - dengan 2, untuk SS 8 karakter - Pada 8, untuk 16-merokok-16, dll.) Sebelum mendapatkan seluruh residu, kurang dari basis SS.
Contoh 4 . Kami menerjemahkan angka 159 dari SS desimal ke dalam Binary SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Seperti yang bisa dilihat dari Gambar. 1, angka 159 selama divisi oleh 2 memberikan swasta 79 dan residu 1. Selanjutnya, angka 79 selama divisi dengan 2 memberikan swasta 39 dan residu 1, dll. Akibatnya, dengan membangun angka dari saldo divisi (kanan ke kiri) kami mendapatkan nomor dalam Binary SS: 10011111 . Akibatnya, Anda dapat menulis:
159 10 =10011111 2 .
Contoh 5 . Kami menerjemahkan angka 615 dari desimal SS ke dalam OCTAL SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Ketika angka dari desimal SS dalam OCTAL SS, perlu untuk secara berurutan membagi angka pada 8 hingga seluruh residu kurang dari 8. Sebagai hasilnya, membangun angka dari saldo divisi (kanan ke kiri), kita Dapatkan nomor di Octane SS: 1147 (Lihat Gambar 2). Akibatnya, Anda dapat menulis:
615 10 =1147 8 .
Contoh 6 . Kami mentransfer nomor 19673 dari sistem angka desimal ke Heksadesimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Seperti yang bisa dilihat dari Gambar.
Untuk mentransfer fraksi desimal yang tepat (bilangan real dengan bilangan bulat nol) ke tingkat sistem n base nomor ini Secara konsisten dikalikan dengan S sampai bagian fraksional tidak menjadi nol murni, atau kita tidak akan mendapatkan jumlah pelepasan yang diperlukan. Jika Anda mendapatkan nomor dengan seluruh bagian, berbeda dari nol, maka seluruh bagian ini tidak memperhitungkan (mereka secara konsisten terdaftar dalam hasil).
Pertimbangkan di atas pada contoh.
Contoh 7 . Kami mentransfer nomor 0,214 dari sistem angka desimal ke SS biner.
| 0.214 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 4, angka 0,214 dikalikan dengan 2. Jika perkalian diperoleh dengan seluruh bagian, berbeda dari nol, maka bagian integer ditulis secara terpisah (ke kiri angka), dan jumlahnya ditulis ke integer nol. Jika, ketika mengalikan, angka dengan integer nol diperoleh, maka nol ditulis ke kiri. Proses multiplikasi berlanjut hingga bagian fraksional tidak menjadi nol murni atau tidak mendapatkan jumlah pelepasan yang diperlukan. Merekam angka berlemak (Gbr. 4) dari atas ke bawah, kami memperoleh nomor yang diinginkan dalam sistem nomor biner: 0. 0011011 .
Akibatnya, Anda dapat menulis:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Contoh 8 . Kami menerjemahkan angka 0,125 dari sistem angka desimal ke SS biner.
| 0.125 | ||
| x. | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x. | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x. | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Untuk membawa jumlah 0,125 SS desimal menjadi biner, angka ini dikalikan dengan 2. Pada tahap ketiga ternyata 0. Oleh karena itu, hasil berikut ternyata:
0.125 10 =0.001 2 .
Contoh 9 . Kami menerjemahkan angka 0,214 dari sistem angka desimal ke Heksadesimal SS.
| 0.214 | ||
| x. | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x. | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x. | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x. | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x. | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x. | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Berikut contoh 4 dan 5, kami memperoleh angka 3, 6, 12, 8, 11, 4. Tetapi dalam Heksadesimal CC, angka 12 dan 11 sesuai dengan angka C dan B. Oleh karena itu, kami memiliki:
0,214 10 \u003d 0.36C8B4 16.
Contoh 10 . Kami menerjemahkan angka 0,512 dari sistem angka desimal di SS oktal.
| 0.512 | ||
| x. | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x. | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x. | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x. | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Diterima:
0.512 10 =0.406111 8 .
Contoh 11 . Kami menerjemahkan angka 159,125 dari sistem angka desimal ke SS biner. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan secara terpisah bagian integer dari angka (Contoh 4) dan bagian fraksional dari jumlah (Contoh 8). Selanjutnya, kami mendapatkan penggabungan hasil ini:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Contoh 12 . Kami mentransfer nomor 19673.214 dari sistem angka desimal hingga heksadesimal. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan bagian bilangan bulat dari angka (contoh 6) dan bagian fraksional dari jumlah (Contoh 9). Selanjutnya, kita mendapatkan hasil yang menggabungkan.
1. Beberapa akun dalam berbagai sistem angka.
Dalam kehidupan modern, kami menggunakan sistem penomoran posisi, yaitu sistem di mana nomor yang ditunjukkan oleh jumlah tergantung pada jumlah angka dalam catatan angka. Oleh karena itu, di masa depan, kita hanya akan membicarakannya, istilah penurunan "posisi".
Untuk mempelajari cara menerjemahkan angka dari satu sistem ke sistem lain, kita akan memahami bagaimana perekaman berurutan angka pada contoh sistem desimal terjadi.
Karena kami memiliki sistem angka desimal, kami memiliki 10 karakter (angka) untuk membangun angka. Kami memulai akun urutan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Angka-angka berakhir. Kami meningkatkan ukuran jumlah dan mengatur ulang debit yang lebih muda: 10. Kemudian kami meningkatkan debit yang lebih muda lagi sampai semua angka habis: 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 18. Pelepasan tertua dengan 1 dan mengatur ulang yang lebih muda: 20. Ketika kami menggunakan semua angka untuk kedua pelepasan (kami mendapatkan nomor 99), kami kembali meningkatkan ukuran angka dan mengatur ulang pelepasan yang tersedia: 100. Dan seterusnya.
Mari kita coba lakukan yang sama dalam sistem 2, 3 dan 5 (kami memperkenalkan penunjukan untuk sistem ke-2, untuk 3, dll.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Jika sistem nomor memiliki basis yang lebih besar dari 10, kita harus memperkenalkan karakter tambahan, itu adalah kebiasaan untuk memasukkan huruf-huruf alfabet Latin. Misalnya, untuk sistem 12-Riche kecuali sepuluh digit, kita akan membutuhkan dua huruf:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Transfer dari sistem angka desimal ke yang lain.
Untuk menerjemahkan bilangan desimal positif integer ke dalam sistem angka dengan basis yang berbeda, Anda perlu membagi angka ini ke pangkalan. Privat yang diperoleh kembali dibagi menjadi pangkalan, dan selanjutnya hingga pribadi akan kurang dari pangkalan. Akibatnya, tulis ke satu baris pribadi terakhir dan semua sisa-sisa dimulai dengan yang terakhir.
Contoh 1. Kami mentransfer angka desimal 46 ke sistem nomor biner.
Contoh 2. Kami mentransfer angka desimal 672 dalam sistem angka oktal.
Contoh 3. Kami menerjemahkan angka desimal 934 di sistem heksadesimal. Catatan.
3. Transfer dari sistem nomor apa pun ke desimal.
Untuk mempelajari cara menerjemahkan angka dari sistem lain ke desimal, kami menganalisis angka desimal yang kami akrab oleh kami.
Misalnya, angka desimal 325 adalah 5 unit, 2 lusin dan 3 ratus, mis.
Hal yang sama adalah sama dalam sistem angka lain, hanya gandakan tidak akan 10, 100, dll., Tetapi untuk tingkat dasar dari sistem angka. Misalnya, ambil nomor 1201 dalam sistem nomor trooked. Nomor dibuang ke kanan kiri mulai dari awal dan menyajikan nomor kita sebagai jumlah potongan angka di atas ke tingkat debit nomor:
Ini adalah catatan desimal dari nomor kami, I.E.
Contoh 4. Kami mentransfer ke sistem angka desimal angka oktal 511.
Contoh 5. Kami mentransfer ke sistem angka desimal nomor heksadesimal 1151.
4. Transfer dari sistem biner ke sistem dengan "gelar" (4, 8, 16, dll.).
Untuk mengkonversi angka biner ke nomor dengan basis "derajat tingkat", urutan biner diperlukan untuk dibagi menjadi beberapa kelompok dengan jumlah digit hingga yang sama-sama tersisa ke kanan dan setiap kelompok diganti dengan digit yang sesuai. sistem Baru Catatan.
Misalnya, kami akan menerjemahkan nomor biner 1100001111010110 dalam sistem oktal. Untuk melakukan ini, kami memecahnya menjadi kelompok 3 karakter yang dimulai pada kanan (karena), dan kemudian menggunakan tabel yang cocok dan ganti setiap grup ke angka baru:
Kami belajar cara membangun meja konformitas dalam klaim 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Itu.
Contoh 6. Kami menerjemahkan nomor biner 1100001111010110 dalam sistem heksadesimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | SEBUAH. |
| 1011 | Dgn B. |
| 1100 | C. |
| 1101 | D. |
| 1110 | E. |
| 1111 | F. |
5. Transfer dari sistem dengan dasar "tingkat dua" (4, 8, 16, dll.) Menjadi biner.
Terjemahan ini mirip dengan yang sebelumnya, selesai dalam arah berlawanan: setiap angka kami mengganti grup digit dalam sistem biner dari tabel yang cocok.
Contoh 7. Kami menerjemahkan nomor hex C3A6 ke sistem nomor biner.
Untuk melakukan ini, setiap angka angka digantikan oleh kelompok 4 digit (karena) dari tabel korespondensi, menambahkan grup dengan nol pada awal:
