Ini akan membantu tidak hanya teko, tetapi bahkan mereka yang pertama kali mendengar kata "determinan". Dua tahun telah berlalu sejak situs itu hanya memiliki sepuluh halaman, dan sekarang, setelah perjalanan panjang saya ke dunia matan, semuanya kembali normal.

Bayangkan Anda perlu menghitung determinan orde ketiga dengan mengembangkannya melintasi elemen baris (kolom). Meskipun apa yang ada untuk membayangkan - Anda perlu =) Anda bisa duduk di atasnya selama 5 menit, atau Anda bisa duduk selama 2-3 menit. Atau bahkan di wilayah satu menit. Waktu yang Anda habiskan tidak hanya bergantung pada pengalaman Anda, tetapi juga pada pengetahuan Anda tentang sifat-sifat penentu. Bukan hal yang aneh ketika proses penyelesaian dapat dipersingkat menjadi hitungan detik, dan terkadang Anda bisa langsung melihat hasilnya! “Omong kosong, mengapa menyimpan pertandingan, jadi kami akan memutuskan segalanya,” beberapa orang akan berkata. Mari kita akui. Dan kami tidak akan mengakui kelalaian ;-) Tapi bagaimana dengan determinan urutan ke-4, yang cukup luas dalam praktiknya? Ini akan memakan waktu 10-20 menit untuk melawan lada ini. Dan itu bahkan bukan pertempuran, tetapi pembantaian, karena kemungkinan kesalahan komputasi sangat tinggi, yang akan "membungkus" Anda ke dalam keputusan putaran kedua. Dan jika determinan urutan kelima? Hanya menurunkan urutan determinan yang akan menghemat. Ya, contoh seperti itu juga ditemukan di kertas ujian.

Materi di halaman ini akan secara signifikan meningkatkan teknik Anda untuk memecahkan determinan dan menyederhanakan penguasaan lebih lanjut dari matematika yang lebih tinggi.

Metode Efisien untuk Menghitung Determinan

Pertama-tama, kita tidak akan menyentuh sifat-sifat determinan, tetapi hanya metode perhitungan rasionalnya. Metode keputusan ini terletak di permukaan dan dapat dimengerti oleh banyak orang, namun demikian, mari kita membahasnya secara lebih rinci. Diasumsikan pembaca sudah cukup percaya diri mengungkap determinan orde ketiga. Seperti yang Anda ketahui, determinan ini dapat diungkapkan 6 cara standar: pada setiap baris atau kolom apapun. Tampaknya tidak ada bedanya, karena jawabannya akan sama. Tetapi apakah semua metode sama mudahnya? Tidak. Dalam kebanyakan kasus, ada cara yang kurang menguntungkan dan cara yang lebih menguntungkan solusi.

Pertimbangkan pengidentifikasi, yang saya banyak tutupi dengan tato di pelajaran pertama. Dalam artikel itu, kami meletakkannya secara rinci, dengan gambar, di sepanjang baris pertama. Baris pertama bagus dan akademis, tetapi apakah mungkin untuk mencapai hasil lebih cepat? Ada nol di determinan, dan dengan memperluasnya dengan baris kedua atau kolom kedua, perhitungannya akan berkurang secara nyata!

Mari kita memperluas determinan dengan kolom kedua:

Dalam praktiknya, nol elemen diabaikan, dan solusinya ditulis dalam bentuk yang lebih ringkas:

Latihan 1

Perluas kualifikasi yang diberikan pada baris kedua menggunakan notasi yang dipersingkat.

Solusi di akhir pelajaran.

Jika ada dua nol dalam satu baris (atau kolom), maka ini umumnya merupakan hadiah nyata. Pertimbangkan penentunya. Ada dua nol di baris ketiga, di mana kami memperluas:

Itulah seluruh solusi!

Kasus khusus ketika determinan memiliki apa yang disebut melangkah atau tampilan segitiga, misalnya: - dalam determinan seperti itu, semua angka di bawah ini diagonal utama sama dengan nol.

Mari kita kembangkan di kolom pertama:

Dalam latihan praktis, akan lebih mudah untuk mengikuti aturan berikut - determinan melangkah sama dengan produk dari jumlah diagonal utamanya:

Prinsip serupa berlaku untuk determinan langkah dari orde lain, misalnya:

Determinan segitiga muncul dalam beberapa masalah aljabar linier, dan solusinya paling sering dirumuskan dengan cara ini.

Dan jika baris (kolom) determinan berisi hanya nol? Jawabannya, menurut saya, sudah jelas. Kami akan kembali ke pertanyaan ini dalam sifat-sifat determinan.

Sekarang mari kita bayangkan bagel yang telah lama ditunggu-tunggu tidak termasuk dalam hadiah Tahun Baru. Jadi mari kita buang Sinterklas yang jahat!

Tidak ada nol di sini, tetapi masih ada cara untuk membuat hidup Anda lebih mudah. Lebih optimal untuk memperluas determinan ini di kolom ketiga, karena ada angka terkecil. Dalam hal ini, catatan keputusan mengambil bentuk yang sangat singkat:

Meringkas paragraf, kami merumuskan aturan perhitungan emas:

Lebih menguntungkan untuk membuka determinan dengan baris ITU (kolom), di mana:

1) lebih banyak nol;
2) angka yang lebih kecil.

Secara alami, ini juga berlaku untuk determinan orde yang lebih tinggi.

Contoh kecil untuk mengamankan material:

Tugas 2

Hitung determinannya, kembangkan menurut baris atau kolom, menggunakan cara yang paling rasional

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself, solusi optimal dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dan satu lagi nasehat penting: tidak rumit! Tidak perlu "berkutat" pada dekomposisi tradisional dengan baris pertama atau kolom pertama. Sependek itu, putuskan!

Sifat determinan

Pertimbangkan kenalan lama dari pelajaran pertama: matriks dan penentunya .

Untuk jaga-jaga, saya akan mengulangi perbedaan mendasar antara konsep: matriks adalah tabel elemen, sebuah determinannya adalah bilangan.

Ketika sebuah matriks ditransposisikan, nilai determinannya tidak berubah

Transpos matriks:

Menurut properti, determinan matriks yang ditransposisikan sama dengan nilai yang sama: ... Mereka yang ingin dapat memverifikasi ini sendiri.

Formulasi yang lebih sederhana dari sifat ini juga digunakan: jika determinan ditransposisikan, maka nilainya tidak akan berubah.

Kami menuliskan kedua determinan secara berdampingan dan menganalisis satu poin penting:

Akibat transposisi, baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, dan baris ketiga menjadi kolom ketiga. Baris menjadi kolom dan hasilnya tidak berubah. Dari mana mengikuti fakta penting: baris dan kolom determinan sama... Dengan kata lain, jika beberapa properti benar untuk sebuah baris, maka properti yang sama juga benar untuk sebuah kolom! Sebenarnya, kita telah menghadapi ini untuk waktu yang lama - lagipula, determinannya dapat diperluas baik dengan baris, sehingga sama dan dengan kolom.

Tidak suka angka dalam string? Transpos determinan! Hanya ada satu pertanyaan, mengapa? Arti praktis dari properti yang dianggap kecil, tetapi berguna untuk membuangnya ke dalam bagasi pengetahuan untuk lebih memahami masalah lain dari matematika yang lebih tinggi. Misalnya, segera menjadi jelas mengapa untuk studi vektor untuk koplanaritas koordinatnya dapat ditulis baik di garis pengenal maupun di kolom.

Jika dua baris (atau dua kolom) dari determinan ditukar,
maka determinannya akan berubah tanda

! Ingat , kita berbicara tentang determinan! Tidak ada yang bisa diatur ulang dalam matriks itu sendiri!

Ayo mainkan kubus Rubik dengan determinan .

Mari kita tukar baris pertama dan ketiga:

Pengidentifikasi telah mengubah tandanya.

Sekarang, dalam determinan yang dihasilkan, mari tukar baris kedua dan ketiga:

Pengidentifikasi mengubah tandanya lagi.

Mari kita tukar kolom kedua dan ketiga:

Itu adalah, setiap permutasi berpasangan baris (kolom) memerlukan perubahan tanda determinan ke kebalikannya.

Game adalah game, tetapi dalam praktiknya, tindakan seperti itu lebih baik jangan gunakan... Tidak banyak yang masuk akal dari mereka, tetapi tidak sulit untuk bingung dan membuat kesalahan. Namun, saya akan mengutip salah satu dari beberapa situasi di mana ini benar-benar masuk akal. Misalkan dalam menyelesaikan beberapa contoh Anda telah menggambar determinan dengan tanda minus:

Mari kita kembangkan, katakanlah, di sepanjang baris pertama:

Ketidaknyamanan yang jelas adalah bahwa saya harus melakukan penghormatan yang tidak perlu - untuk bertaruh kurung besar, dan kemudian mengungkapkannya (omong-omong, saya sangat tidak menyarankan melakukan tindakan seperti itu "dalam sekali duduk" secara lisan).

Untuk menghilangkan "minus", lebih rasional untuk menukar dua baris atau dua kolom mana pun. Mari kita atur ulang, misalnya, baris pertama dan kedua:

Itu terlihat gaya, tetapi dalam banyak kasus lebih bijaksana untuk menangani tanda negatif dengan cara lain (baca terus).

Tindakan di atas sekali lagi membantu untuk lebih memahami, misalnya, beberapa properti perkalian vektor dari vektor atau produk campuran vektor.

Tapi ini lebih menarik:

Dari baris (kolom) determinan, Anda dapat mengambil faktor persekutuannya

!!! Perhatian! Aturannya adalah tentang SATU garis atau tentang SATU kolom penentu. Tolong jangan bingung dengan matriks, dalam matriks faktor tersebut dibawa keluar / dibawa masuk pada SEMUA angka sekaligus.

Mari kita mulai dengan kasus khusus dari aturan - membuat "minus satu" atau hanya "minus".

Kami bertemu pasien lain:.

Ada terlalu banyak kelemahan dalam determinan ini dan alangkah baiknya jika jumlahnya dikurangi.

Keluarkan -1 dari baris pertama:

Atau lebih pendek:

Minus di depan kualifikasi, seperti yang sudah ditunjukkan, tidak nyaman untuk dimakan. Kami melihat baris kedua dari determinan dan memperhatikan bahwa ada terlalu banyak minus di sana.

Mari kita keluarkan "minus" dari baris kedua:

Apa lagi yang bisa Anda lakukan? Semua bilangan pada kolom kedua habis dibagi 4 tanpa sisa. Mari pindahkan 4 dari kolom kedua:

Aturan sebaliknya juga benar - pengganda bisa tidak hanya bertahan, tetapi juga membuat, apalagi, di baris APAPUN atau di kolom APA PUN dari determinan.

Untuk bersenang-senang, mari kita kalikan garis determinan ketiga dengan 4:

Pikiran yang cermat dapat diyakinkan akan persamaan determinan asli dan yang diterima (jawaban yang benar: –216).

Dalam praktiknya, pengenalan minus sering dilakukan. Pertimbangkan penentunya. Tanda negatif sebelum kualifikasi dapat dimasukkan pada baris APAPUN atau kolom APAPUN. Kandidat terbaik adalah kolom ketiga, dan kami akan menambahkan minus ke dalamnya:

Kami juga memperhatikan bahwa semua angka di kolom pertama habis dibagi 2 tanpa sisa, tetapi apakah "dua" layak dilakukan? Jika Anda akan menurunkan urutan kualifikasi (yang akan dibahas di bagian akhir), maka tentu saja harus. Tetapi jika Anda memperluas determinan dengan baris (kolom), maka "dua" di depan hanya akan memperpanjang catatan solusi.

Namun, jika faktornya besar, misalnya 13, 17, dst, maka tentu saja lebih menguntungkan untuk mengeluarkannya. Mari berkenalan dengan monster kecil :. Dari baris pertama kita keluarkan -11, dari baris kedua kita keluarkan -7:

Anda mengatakan, perhitungan sudah mengklik begitu cepat pada kalkulator biasa? Itu benar. Tapi, pertama, itu mungkin tidak ada, dan kedua, jika determinan dari urutan ke-3 atau ke-4 diberikan, maka Anda tidak akan benar-benar ingin mengetuk tombol.

tugas 3

Hitung determinan dengan memfaktorkan baris dan kolom

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself.

Beberapa aturan yang lebih berguna:

Jika dua baris (kolom) determinan sebanding
(sebagai kasus khusus, mereka sama), maka determinan ini sama dengan nol

Di sini elemen yang sesuai dari garis pertama dan kedua adalah proporsional:

Kadang-kadang dikatakan bahwa garis kualifikasi bergantung linier... Karena nilai determinan tidak berubah selama transposisi, ketergantungan linier kolom juga mengikuti ketergantungan linier baris.

Anda dapat menempatkan makna geometris dalam contoh - jika kita berasumsi bahwa garis mengandung koordinat vektor ruang, maka dua vektor pertama dengan koordinat proporsional akan kolinear, yang berarti ketiga vektor - bergantung linier, yaitu, koplanar.

Dalam contoh berikut, tiga kolom proporsional (dan, omong-omong, tiga baris juga):

Di sini kolom kedua dan ketiga adalah sama, ini adalah kasus khusus - ketika koefisien proporsionalitas sama dengan satu

Properti yang terdaftar dapat digunakan dalam praktik. Tapi ingat, peningkatan tingkat pengetahuan terkadang dapat dihukum ;-) Oleh karena itu, mungkin lebih baik untuk mengungkapkan kualifikasi seperti itu dengan cara biasa (mengetahui sebelumnya bahwa itu akan menjadi nol).

Perlu dicatat bahwa kebalikannya umumnya tidak benar- jika determinannya nol, maka dari ini belum bahwa baris (kolom) adalah proporsional. Artinya, hubungan linier baris/kolom mungkin tidak eksplisit.

Ada juga gejala yang lebih jelas ketika seseorang dapat langsung mengatakan bahwa determinannya adalah nol:

Determinan dengan baris nol (kolom) sama dengan nol

Cek "amatir" itu dasar, mari kita buka determinan untuk kolom pertama:

Namun, hasilnya tidak berubah jika Anda memperluas qualifier untuk baris atau kolom mana pun.

Peras gelas kedua jus jeruk:

Sifat-sifat determinan apa yang berguna untuk diketahui?

1) Nilai determinan tidak berubah ketika ditransposisikan... Kami ingat propertinya.

2) Setiap permutasi berpasangan dari baris (kolom) membalikkan tanda determinan... Kami juga mengingat properti dan mencoba untuk tidak menggunakannya untuk menghindari kebingungan.

3) Dari baris (kolom) determinan, Anda dapat mengambil faktornya (dan menambahkannya kembali)... Kami menggunakannya di tempat yang menguntungkan.

4) Jika baris (kolom) determinan sebanding, maka sama dengan nol. Determinan dengan baris (kolom) nol adalah nol.

Sepanjang pelajaran, pola dasar diamati berulang kali - semakin banyak nol dalam satu baris (kolom), semakin mudah untuk menghitung determinannya. Timbul pertanyaan, apakah mungkin mengatur nol dengan sengaja menggunakan semacam transformasi? Bisa! Mari berkenalan dengan properti lain yang sangat kuat:

Menurunkan urutan determinan

Sangat bagus jika Anda sudah mengetahuinya dengan Metode Gauss dan memiliki pengalaman dalam memecahkan sistem persamaan linear dengan cara ini. Faktanya, properti yang dirumuskan di bawah ini menduplikasi salah satu dari transformasi dasar.

Untuk membangkitkan nafsu makan kita, mari kita hancurkan katak kecil:

Anda dapat menambahkan string lain dikalikan dengan angka bukan nol ke string penentu. Dalam hal ini, nilai determinan tidak akan berubah

Contoh: dalam determinan kita mendapatkan nol di kiri atas.

Untuk ini, baris kedua mental atau draft kalikan dengan 3: (–3, 6) dan ke baris pertama tambahkan baris kedua dikalikan 3:

Kami menulis hasilnya ke baris pertama:

Penyelidikan:

Sekarang, dalam determinan yang sama, kita mendapatkan nol di kanan bawah. Untuk ini ke baris kedua tambahkan baris pertama, dikalikan (secara mental) dengan –2):

Kami menulis hasilnya ke baris kedua:

catatan: dengan transformasi dasar, berubah TA string yang dengan menambahkan UT.

Mari kita rumuskan aturan cermin untuk kolom:

Kolom lain dapat ditambahkan ke kolom determinan, dikalikan dengan angka bukan nol. Dalam hal ini, nilai determinan tidak akan berubah

Ambil kaki binatang dan menggunakan transformasi ini, kita mendapatkan nol di kiri atas. Untuk melakukan ini, secara mental atau dengan konsep, kami mengalikan kolom kedua dengan –3: dan tambahkan kolom kedua ke kolom pertama, dikalikan dengan –3:

Kami akan menulis hasilnya ke kolom pertama:

Dan akhirnya, dalam determinan kita mendapatkan nol di kanan bawah. Untuk ini ke kolom kedua kami menambahkan kolom pertama, dikalikan (secara mental) dengan 2(lihat dan hitung dari kanan ke kiri):

Kami menempatkan hasilnya ke kolom kedua:

Dengan transformasi dasar, perubahan ITU kolom yang dengan menambahkan UT.

Cobalah untuk mencerna contoh berikut secara kualitatif.

Ayo kirim amfibi dewasa ke sup:

Tantangannya adalah menggunakan transformasi dasar untuk menurunkan urutan determinan sampai urutan kedua.

Di mana untuk memulai? Pertama, Anda harus memilih nomor target di determinan. Targetnya hampir selalu satu atau -1. Kami melihat penentu dan memperhatikan bahwa bahkan ada pilihan di sini. Biarkan elemen menjadi nomor target:

Catatan : arti dari double subscript dapat ditemukan di artikel aturan Cramer. Metode matriks... V pada kasus ini indeks elemen memberitahu kita bahwa itu terletak di baris kedua, kolom ketiga.

Idenya adalah untuk mendapatkan dua nol di kolom ketiga:

Atau dapatkan dua nol di baris kedua:

Baris kedua berisi angka yang lebih kecil (jangan lupa aturan emasnya), jadi lebih menguntungkan untuk mengambilnya. Dan kolom ketiga dengan nomor "target" akan tetap tidak berubah:

Tambahkan kolom ketiga ke kolom kedua:

Tidak perlu melipatgandakan apa pun.

Kami menulis hasilnya di kolom kedua:

Tambahkan kolom ketiga ke kolom pertama, dikalikan (secara mental) dengan –2:

Kami menulis hasilnya di kolom pertama, memperluas determinan di sepanjang baris kedua:

Bagaimana kami menurunkan urutan kualifikasi? Kami mendapat dua nol di baris kedua.

Mari kita selesaikan contoh dengan cara kedua, atur angka nol di kolom ketiga:

Baris kedua dengan nomor target akan tetap tidak berubah:

Ke baris pertama, tambahkan baris kedua, dikalikan (secara mental) dengan –4:

Ke baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan (secara mental) dengan 3 (lihat dan hitung dari bawah ke atas):

Kami menulis hasilnya di baris ketiga, memperluas determinan dengan kolom ketiga:

Perhatikan bahwa tidak perlu mengatur ulang baris atau kolom... Transformasi dasar bekerja dengan baik baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri. Baik dari atas ke bawah maupun dari bawah ke atas.

Tugas 4

Hitung determinan yang sama, pilih elemen sebagai nomor "target". Kurangi urutannya dengan dua cara: dengan mendapatkan nol di baris kedua dan mendapatkan nol di kolom kedua.

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself. Solusi lengkap dan komentar singkat di akhir tutorial.

Terkadang pengidentifikasi tidak memiliki unit atau -1, misalnya:. Dalam hal ini, "target" harus diatur menggunakan transformasi dasar tambahan. Ini dapat dilakukan paling sering dengan beberapa cara. Misalnya: ke baris pertama tambahkan baris kedua dikalikan dengan -1:

Kami menulis hasilnya di baris pertama:

! Perhatian : TIDAK DIBUTUHKAN dari baris pertama mengurangi baris kedua, ini sangat meningkatkan kemungkinan kesalahan. Tambahkan saja! Oleh karena itu, pada baris pertama kita tambahkan baris kedua dikalikan dengan -1. Tepat!

Unit telah diterima, itulah yang dituntut untuk dicapai. Kemudian Anda bisa mendapatkan dua nol di baris pertama atau di kolom pertama. Mereka yang tertarik dapat menindaklanjuti dengan solusi (jawaban yang benar: -176).

Perlu dicatat bahwa "target" siap pakai paling sering ada di determinan asli, dan untuk determinan orde ke-4 dan lebih tinggi, transformasi tambahan sangat tidak mungkin.

Mari kita potong beberapa kodok besar menjadi gulai:

Tugas

Memecahkan sistem persamaan linear dengan rumus Cramer

Tidak apa-apa jika Anda tidak punya waktu untuk membiasakan diri dengan Metode Cramer, dalam hal ini, Anda cukup melihat bagaimana urutan determinan "empat per empat" berkurang. Dan aturan itu sendiri akan menjadi jelas jika Anda masuk lebih dalam ke arah keputusan.

Larutan: hitung dulu penentu utama sistem:

Dimungkinkan untuk menggunakan cara standar, memperluas determinan ini berdasarkan baris atau kolom. Mengingat algoritme pelajaran pertama, dan menggunakan matriks tanda yang saya temukan, kami akan mengungkapkan determinannya, misalnya, menurut baris pertama "klasik":

Saya tidak melihat antusiasme Anda =) Tentu saja, Anda dapat duduk selama sepuluh menit dan dengan hati-hati dan hati-hati melahirkan jawaban yang benar. Tetapi masalahnya adalah bahwa di masa depan perlu untuk menghitung 4 determinan lagi dari orde keempat. Oleh karena itu, satu-satunya jalan keluar yang masuk akal adalah dengan menurunkan orde determinan.

Ada banyak unit di determinan, dan tugas kita adalah memilih jalan terbaik... Kami mengingat aturan emas: harus ada lebih banyak nol dalam satu baris (kolom), dan lebih sedikit angka. Untuk alasan ini, baris kedua atau kolom keempat baik-baik saja. Kolom keempat terlihat lebih menarik, apalagi ada dua unit. Kami memilih elemen sebagai "target":

Baris pertama tidak akan berubah. Dan yang kedua juga - sudah ada nol yang diperlukan:

Tambahkan ke baris ketiga baris pertama dikalikan dengan -1 (lihat dan hitung dari bawah ke atas):

! Perhatian lagi : Tidak dibutuhkan dari baris ketiga mengurangi garis pertama. Tambahkan saja!

Kami menulis hasilnya di baris ketiga:

Tambahkan baris pertama dikalikan dengan 3 ke baris keempat (lihat dan hitung dari bawah ke atas):

Kami menulis hasilnya di baris keempat:

(1) Perluas determinan untuk kolom keempat. Jangan lupa bahwa Anda perlu menambahkan "minus" ke elemen (lihat matriks tanda).

(2) Urutan kualifikasi diturunkan ke urutan ke-3. Pada prinsipnya dapat diuraikan berdasarkan baris (kolom), tetapi lebih baik untuk mengerjakan sifat-sifat determinannya. Kami menambahkan minus ke baris kedua.

(3) Tambahkan baris pertama dikalikan dengan 3 ke baris kedua Tambahkan baris pertama dikalikan dengan 7 ke baris ketiga.

(4) Perluas determinan dengan kolom kedua, dengan demikian semakin mengurangi urutannya menjadi dua.

Perhatikan bagaimana solusinya telah menyusut! Hal utama adalah "mendapatkan sedikit bantuan" pada transformasi dasar, dan kesempatan seperti itu akan muncul dengan sendirinya sekarang. Selain itu, Anda memiliki kalkulator yang menghitung determinan (khususnya, dapat ditemukan di halaman Rumus dan tabel matematika). Dengan bantuan kalkulator, mudah untuk mengontrol tindakan yang dilakukan. Punya kualifikasi pada langkah pertama - dan segera diperiksa apakah itu sama dengan determinan asli.

(1) Perluas determinan dengan baris ketiga. Urutan kualifikasi telah diturunkan menjadi tiga.

(2) Kami memasukkan "minus" di kolom pertama.

(3) Tambahkan baris pertama dikalikan dengan 3 ke baris kedua Tambahkan baris pertama dikalikan dengan 5 ke baris ketiga.

(4) Perluas determinan dengan kolom kedua, kurangi orde determinan menjadi dua.

Ternyata indah bersama kami kompleks makan siang dan saatnya untuk pencuci mulut:

Itu bahkan bukan katak lagi, itu Godzilla sendiri. Mari kita ambil segelas jus jeruk dan lihat bagaimana urutan determinannya diturunkan. Algoritme, saya pikir, jelas: kami mengurangi dari urutan kelima ke urutan keempat, dari urutan keempat ke ketiga dan dari urutan ketiga ke urutan kedua:

(1) Tambahkan baris kedua ke baris pertama, ketiga, keempat dan kelima.

(2) Perluas determinan untuk kolom ke-3. Urutan kualifikasi telah turun menjadi empat.

(3) Kami mengambil dari kolom ke-4 2. Baris pertama dikalikan dengan -1, dan agar determinannya tidak berubah, kami meletakkan "minus" di depannya. Transformasi ini dilakukan untuk menyederhanakan perhitungan selanjutnya.

(4) Tambahkan baris pertama ke baris kedua dan ketiga. Tambahkan baris pertama dikalikan dengan 3 ke baris keempat.

(5) Perluas determinan untuk kolom ke-4. Pesanan telah diturunkan menjadi tiga.

(6) Perluas determinan untuk kolom ke-2. Pesanan telah diturunkan menjadi dua.

(7) Kami mengambil "minus" dari kolom ke-1.

Semuanya ternyata lebih mudah daripada yang terlihat, semua monster memiliki titik lemah!

Pembaca yang tak kenal lelah dapat mencoba memecahkan determinan urutan kelima dengan cara lain, untungnya, hanya ada beberapa di dalamnya.

Kolom kedua ditambahkan ke kolom pertama, dikalikan 2. Kolom kedua ditambahkan ke kolom ketiga. Kualifikasi diperluas di baris kedua.

Mari kita turunkan urutan determinan, mendapatkan nol di kolom kedua:

Baris kedua dikalikan dengan -2 ditambahkan ke baris pertama. Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 2. Kunci dibuka di kolom kedua.

Tugas 5: Larutan:


(1) Tambahkan baris ketiga dikalikan dengan 3 ke baris pertama. Tambahkan baris ketiga dikalikan dengan 5 ke baris kedua. Tambahkan baris ketiga dikalikan dengan 2 ke baris ke-4.
(2) Perluas determinan dengan kolom pertama.
(3) Tambahkan kolom ketiga kali 9 ke kolom kedua Tambahkan kolom ketiga ke kolom pertama.
(4) Perluas determinan dengan baris ketiga.

(1) Tambahkan kolom kedua ke kolom pertama. Tambahkan kolom kedua ke kolom ketiga
(2) Perluas determinan dengan baris ketiga.
(3) Kami menempatkan "minus" di baris pertama.
(4) Tambahkan baris pertama dikalikan dengan 6 ke baris kedua. Tambahkan baris pertama ke baris ketiga
(5) Perluas determinan untuk kolom pertama.

Dalam kasus umum, aturan untuk menghitung determinan dari $n $ -th order agak rumit. Untuk determinan orde kedua dan ketiga, ada cara rasional untuk menghitungnya.

Perhitungan determinan orde kedua

Untuk menghitung determinan matriks orde kedua, kurangi produk dari elemen-elemen diagonal sekunder dari produk elemen-elemen diagonal utama:

$$ \ kiri | \ mulai (array) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ akhir (array) \ kanan | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$

Contoh

Olahraga. Hitung determinan orde kedua $ \ kiri | \ mulai (array) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ akhir (array) \ kanan | $

Larutan.$ \ kiri | \ begin (array) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (array) \ kanan | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 $

Menjawab.$ \ kiri | \ mulai (array) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ akhir (array) \ kanan | = 69 $

Metode untuk menghitung determinan dari orde ketiga

Untuk perhitungan determinan orde ketiga, ada aturan seperti itu.

Aturan segitiga

Secara skema, aturan ini dapat digambarkan sebagai berikut:

Hasilkali elemen-elemen pada determinan pertama yang dihubungkan oleh garis lurus diambil dengan tanda tambah; demikian pula, untuk determinan kedua, produk yang sesuai diambil dengan tanda minus, yaitu.

$$ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ end (array) \ kanan | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$

$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$

Contoh

Olahraga. Hitung determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ akhir (array) \ kanan | $ menggunakan metode segitiga.

Larutan.$ \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ akhir (array) \ kanan | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $

$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$

Menjawab.

Aturan Sarrus

Di sebelah kanan determinan, dua kolom pertama ditambahkan dan produk elemen pada diagonal utama dan diagonal yang sejajar dengannya diambil dengan tanda plus; dan produk dari elemen-elemen diagonal samping dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya, dengan tanda minus:

$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$

Contoh

Olahraga. Hitung determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ akhir (array) \ kanan | $ menggunakan aturan Sarrus.

Larutan.

$$ + (- 1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 $$

Menjawab.$ \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ akhir (array) \ kanan | = 54 $

Penguraian determinan menurut baris atau kolom

Determinan sama dengan jumlah produk elemen-elemen string determinan dengan komplemen aljabarnya. Biasanya pilih baris/kolom yang didalamnya terdapat angka nol. Garis atau kolom di mana dekomposisi dilakukan akan dilambangkan dengan panah.

Contoh

Olahraga. Memperluas pada baris pertama, hitung determinannya $ \ kiri | \ mulai (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ akhir (array) \ kanan | $

Larutan.$ \ kiri | \ mulai (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ akhir (array) \ kanan | \ panah kiri = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $

$1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ kiri | \ begin (array) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ end (array) \ kanan | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ kiri | \ begin (array) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ end (array) \ kanan | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ kiri | \ begin (array) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ end (array) \ kanan | = -3 + 12-9 = 0 $

Menjawab.

Metode ini memungkinkan perhitungan determinan direduksi menjadi perhitungan determinan orde rendah.

Contoh

Olahraga. Hitung determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ akhir (array) \ kanan | $

Larutan. Mari kita lakukan transformasi berikut pada baris determinan: kurangi empat pertama dari baris kedua, dan dari yang ketiga baris pertama dikalikan tujuh, sebagai hasilnya, sesuai dengan sifat-sifat determinan, kita mendapatkan determinan sama dengan yang diberikan.

$$ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ akhir (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ end (array) \ kanan | = $$

$$ = \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ akhir (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ end (array) \ kanan | = 0 $$

Determinannya adalah nol karena garis kedua dan ketiga sebanding.

Menjawab.$ \ kiri | \ mulai (array) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ akhir (array) \ kanan | = 0 $

Untuk menghitung determinan orde keempat dan lebih tinggi, baik ekspansi baris / kolom, atau pengurangan ke bentuk segitiga, atau menggunakan teorema Laplace diterapkan.

Penguraian determinan oleh elemen baris atau kolom

Contoh

Olahraga. Hitung determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (array) \ right | $, memperluasnya menjadi elemen beberapa baris atau kolom.

Larutan. Pertama, mari kita lakukan transformasi elementer pada baris determinan, membuat nol sebanyak mungkin baik di baris maupun di kolom. Untuk melakukan ini, pertama kurangi sembilan pertiga dari baris pertama, lima pertiga dari baris kedua dan tiga ketiga dari baris keempat, kita mendapatkan:

$$ \ kiri | \ mulai (array) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (array) \ kanan | $$

Determinan yang dihasilkan diurai oleh elemen-elemen kolom pertama:

$$ \ kiri | \ mulai (array) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (array) \ kanan | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ akhir (array) \ kanan | + 0 $$

Determinan yang diperoleh dari orde ketiga juga diperluas dalam hal elemen baris dan kolom, setelah sebelumnya diperoleh nol, misalnya, pada kolom pertama. Untuk melakukan ini, kurangi dua baris kedua dari baris pertama, dan yang kedua dari yang ketiga:

$$ \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ akhir (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ akhir ( array) \ kanan | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ kiri | \ begin (array) (ll) (2) & (4) \\ (4) & (8) \ end (array) \ kanan | = $$

$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$

Menjawab.$ \ kiri | \ mulai (array) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (array) \ kanan | = 0 $

Komentar

Penentu terakhir dan kedua dari belakang tidak dapat dihitung, tetapi segera disimpulkan bahwa mereka sama dengan nol, karena mengandung string proporsional.

Reduksi determinan menjadi bentuk segitiga

Dengan bantuan transformasi dasar pada baris atau kolom, determinan direduksi menjadi bentuk segitiga, dan kemudian nilainya, menurut sifat-sifat determinan, sama dengan produk elemen-elemen pada diagonal utama.

Contoh

Olahraga. Hitung determinan $ \ Delta = \ kiri | \ mulai (array) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (array) \ kanan | $ dengan membuatnya menjadi segitiga.

Larutan. Pertama, kita membuat angka nol pada kolom pertama di bawah diagonal utama. Semua transformasi akan lebih mudah jika elemen $ a_ (11) $ sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita akan menukar kolom pertama dan kedua dari determinan, yang, menurut sifat-sifat determinan, akan mengarah pada fakta bahwa itu akan mengubah tandanya menjadi sebaliknya:

$$ \ Delta = \ kiri | \ mulai (array) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ akhir (array) \ kanan | = - \ kiri | \ mulai (array) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ end (array) \ kanan | $$

$$ \ Delta = - \ kiri | \ mulai (array) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (array) \ kanan | $$

Selanjutnya, kita mendapatkan nol di kolom kedua sebagai ganti elemen di bawah diagonal utama. Sekali lagi, jika elemen diagonalnya sama dengan $ \ pm 1 $, maka perhitungannya akan lebih mudah. Untuk melakukan ini, kami menukar baris kedua dan ketiga (dan pada saat yang sama mengubah tanda determinan yang berlawanan):

$$ \ Delta = \ kiri | \ mulai (array) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (array) \ kanan | $$

SIFAT 1. Nilai determinan tidak akan berubah jika semua barisnya diganti dengan kolom, dan setiap baris diganti dengan kolom dengan nomor yang sama, yaitu

SIFAT 2. Permutasi dua kolom atau dua baris determinan sama dengan mengalikannya dengan -1. Misalnya,

.

SIFAT 3. Jika determinan memiliki dua kolom identik atau dua baris identik, maka sama dengan nol.

SIFAT 4. Perkalian semua elemen dari satu kolom atau satu baris determinan dengan sembarang bilangan k sama dengan mengalikan determinan dengan bilangan k ini. Misalnya,

.

SIFAT 5. Jika semua elemen dari beberapa kolom atau beberapa baris sama dengan nol, maka determinannya sama dengan nol. Properti ini adalah kasus spesial sebelumnya (untuk k = 0).

SIFAT 6. Jika elemen-elemen yang bersesuaian dari dua kolom atau dua baris suatu determinan sebanding, maka determinannya adalah nol.

SIFAT 7. Jika setiap elemen dari kolom ke-n atau baris ke-n dari determinan adalah jumlah dari dua suku, maka determinan tersebut dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua determinan, salah satunya pada kolom ke-n atau , masing-masing, di baris ke-n memiliki yang pertama dari istilah yang disebutkan, dan yang lainnya - yang kedua; elemen di tempat yang tersisa adalah sama untuk tonggak dari tiga penentu. Misalnya,

SIFAT 8. Jika ke elemen beberapa kolom (atau beberapa baris) kita menambahkan elemen yang sesuai dari kolom lain (atau baris lain), dikalikan dengan faktor persekutuan apa pun, maka nilai determinan tidak akan berubah. Misalnya,

.

Sifat lebih lanjut dari determinan terkait dengan konsep komplemen aljabar dan minor. Minor suatu elemen tertentu adalah determinan yang diperoleh dari suatu determinan tertentu dengan menghapus baris dan kolom pada perpotongan tempat elemen ini berada.

Komplemen aljabar dari setiap elemen determinan sama dengan minor elemen ini, diambil dengan tandanya sendiri, jika jumlah dari bilangan baris dan kolom pada perpotongan tempat elemen tersebut berada adalah bilangan genap, dan dengan tanda yang berlawanan jika bilangan ini ganjil.

Kami akan menunjukkan pelengkap aljabar suatu elemen dengan huruf kapital dengan nama yang sama dan nomor yang sama dengan huruf yang menunjukkan elemen itu sendiri.

PROPERTI 9. Determinan

sama dengan jumlah produk elemen kolom (atau baris) apa pun dengan komplemen aljabarnya.

Dengan kata lain, persamaan berikut berlaku:

, ,

, .

6) Minor dan penjumlahan aljabar.

Definisi. Elemen minor dari determinan adalah memesan disebut penentu- urutan, yang diperoleh dari yang diberikan penentu dengan mencoret baris -th dan kolom -th, pada perpotongan tempat elemen tersebut berdiri.

Penamaan:.

Definisi. Komplemen aljabar dari suatu elemen determinan orde disebut minornya, diambil dengan tanda tambah jika merupakan bilangan genap dan dengan tanda minus jika sebaliknya.

Penamaan:.

Dalil. (Tentang perluasan determinan.)

Determinan sama dengan jumlah produk elemen dari setiap baris (atau kolom apa pun) dari determinan dengan komplemen aljabarnya:

7) Matriks terbalik- seperti matriks SEBUAH −1 , jika dikalikan dengan matriks asli SEBUAH menghasilkan matriks identitas E:

Matriks persegi reversibel jika dan hanya jika tidak berdegenerasi, yaitu penentu tidak nol. Untuk matriks non-persegi dan matriks degenerasi tidak ada matriks invers. Namun, adalah mungkin untuk menggeneralisasi konsep ini dan memperkenalkan matriks pseudoinverse, mirip dengan kebalikan di banyak properti.

8)Peringkat matriks- urutan tertinggi di bawah umur dari matriks bukan nol ini

Biasanya pangkat suatu matriks dilambangkan dengan () atau. Kedua sebutan itu datang kepada kami dari bahasa asing, oleh karena itu keduanya dapat digunakan.

Properti

Teorema (pada minor dasar): Misalkan r = rang A M menjadi minor dasar dari matriks A, maka:

baris dasar dan kolom dasar bebas linier;

setiap baris (kolom) matriks A adalah kombinasi linier dari baris dasar (kolom).

Berikut adalah sifat-sifat yang biasa digunakan untuk menghitung determinan dalam kursus matematika standar yang lebih tinggi. Ini adalah topik tambahan yang akan kami rujuk dari bagian lainnya sesuai kebutuhan.

Jadi, misalkan matriks persegi tertentu $ A_ (n \ kali n) = \ kiri (\ begin (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \\ \ end ( array) \ kanan) $. Setiap matriks persegi memiliki karakteristik yang disebut determinan (atau determinan). Saya tidak akan masuk ke inti dari konsep ini di sini. Jika memerlukan klarifikasi, maka saya meminta Anda untuk berhenti berlangganan di forum, dan saya akan menyentuh masalah ini secara lebih rinci.

Determinan matriks $ A $ dinotasikan sebagai $ \ Delta A $, $ | A | $ atau $ \ det A $. Urutan penentu sama dengan jumlah baris (kolom) di dalamnya.

1. Nilai determinan tidak akan berubah jika barisnya diganti dengan kolom yang sesuai, mis. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.

   tunjukan Sembunyikan

   Mari kita ganti baris di dalamnya dengan kolom sesuai dengan prinsip: "ada baris pertama - kolom pertama menjadi", "ada baris kedua - kolom kedua menjadi":

   Mari kita hitung determinan yang dihasilkan: $ \ kiri | \ begin (array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ end (array) \ kanan | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. Seperti yang Anda lihat, nilai determinan tidak berubah dari penggantian.

2. Jika Anda menukar dua baris (kolom) determinan, maka tanda determinan akan berubah menjadi kebalikannya.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Pertimbangkan determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ akhir (array) \ kanan | $. Mari kita cari nilainya menggunakan rumus #1 dari topik menghitung determinan orde kedua dan ketiga:

   $$ \ kiri | \ begin (array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (array) \ kanan | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$

   Sekarang mari kita tukar baris pertama dan kedua. Kami mendapatkan determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ akhir (array) \ kanan | $. Mari kita hitung determinan yang dihasilkan: $ \ kiri | \ begin (array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (array) \ kanan | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. Jadi, nilai determinan aslinya adalah (-37), dan determinan dengan urutan baris yang diubah memiliki nilai $ - (- 37) = 37 $. Tanda pengenal telah berubah menjadi sebaliknya.

3. Determinan di mana semua elemen baris (kolom) sama dengan nol sama dengan nol.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Karena dalam determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ akhir (array) \ kanan | $ semua elemen kolom ketiga sama dengan nol, maka determinannya sama dengan nol , yaitu $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ akhir (array) \ kanan | = 0 $.

4. Determinan di mana semua elemen baris (kolom) tertentu sama dengan elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lain sama dengan nol.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Karena dalam determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ akhir (array) \ kanan | $ semua elemen baris pertama sama dengan yang sesuai elemen garis kedua, maka determinannya adalah nol, yaitu $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ akhir (array) \ kanan | = 0 $.

5. Jika dalam suatu determinan semua elemen dari satu baris (kolom) sebanding dengan elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya, maka determinan tersebut sama dengan nol.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Karena dalam determinan $ \ kiri | \ begin (array) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (array) \ right | $ baris kedua dan ketiga proporsional, mis. $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $, maka determinannya adalah nol, yaitu. $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ akhir (array) \ kanan | = 0 $.

6. Jika semua elemen suatu baris (kolom) memiliki faktor persekutuan, maka faktor ini dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Pertimbangkan determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ akhir (array) \ kanan | $. Perhatikan bahwa semua elemen baris kedua habis dibagi 3:

   $$ \ kiri | \ mulai (array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ akhir (array) \ kanan | = \ kiri | \ begin (array) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (array) \ right | $$

   Angka 3 adalah faktor persekutuan dari semua elemen pada baris kedua. Mari kita ambil tiga untuk tanda determinan:

   $$ \ kiri | \ mulai (array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ akhir (array) \ kanan | = \ kiri | \ begin (array) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (array) \ right | = 3 \ cdot \ left | \ mulai (array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \ akhir (array) \ kanan | $$

7. Determinan tidak akan berubah jika ke semua elemen baris (kolom) tertentu kita menambahkan elemen yang sesuai dari baris (kolom) lain, dikalikan dengan angka arbitrer.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Pertimbangkan determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ akhir (array) \ kanan | $. Mari kita tambahkan ke elemen baris kedua elemen yang sesuai dari baris ketiga, dikalikan dengan 5. Tindakan ini ditulis sebagai berikut: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. Baris kedua akan diubah, sisa baris akan tetap tidak berubah.

   $$ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ akhir (array) \ kanan | \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \ end (array) = \ kiri | \ begin (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ akhir (array) \ kanan |. $$

8. Jika suatu baris (kolom) tertentu dalam determinan mengandung kombinasi linier dari baris (kolom) lain, maka determinannya sama dengan nol.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Izinkan saya segera menjelaskan apa arti frasa "kombinasi linier". Misalkan kita memiliki s baris (atau kolom): $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $. Ekspresi

   $$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s, $$

   dimana $ k_i \ dalam R $ disebut kombinasi linier baris (kolom) $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $.

   Sebagai contoh, perhatikan determinan berikut:

   $$ \ kiri | \ mulai (array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ akhir (array) \ kanan | $$

   Dalam kualifikasi ini, baris keempat dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari tiga baris pertama:

   $$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$

   Oleh karena itu, determinan yang dipertimbangkan sama dengan nol.

9. Jika setiap elemen dari baris ke-k tertentu (kolom ke-k) determinan sama dengan jumlah dua suku, maka determinan tersebut sama dengan jumlah determinan, yang pertama pada baris ke-k ( kolom ke-k) berisi suku pertama, dan determinan kedua memiliki suku kedua pada baris ke-k (kolom ke-k). Elemen lain dari kualifikasi ini adalah sama.

   Contoh penggunaan properti ini: show \ hide

   Pertimbangkan determinan $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ akhir (array) \ kanan | $. Mari kita tulis elemen kolom kedua seperti ini: $ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ akhir (array) \ kanan | $. Maka determinan tersebut sama dengan jumlah dua determinan:

   $$ \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ akhir (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ akhir (array) \ kanan | = \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ akhir (array) \ kanan | + \ kiri | \ mulai (array) (ccc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ akhir (array) \ kanan | $$

10. Determinan hasil kali dua matriks persegi berorde sama sama dengan hasil kali determinan matriks-matriks tersebut, yaitu $\det (A\cdot B) = \det A\cdot\det B$. Dari aturan ini, Anda bisa mendapatkan rumus berikut: $ \ det \ kiri (A ^ n \ kanan) = \ kiri (\ det A \ kanan) ^ n $.
11. Jika matriks $ A $ non-degenerate (yaitu, determinannya bukan nol), maka $ \ det \ kiri (A ^ (- 1) \ kanan) = \ frac (1) (\ det A) $.

Rumus untuk menghitung determinan

Untuk determinan orde kedua dan ketiga, rumus berikut berlaku:

\ mulai (persamaan) \ Delta A = \ kiri | \ begin (array) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ end (array) \ kanan | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ end (persamaan) \ begin (persamaan) \ begin (sejajar) & \ Delta A = \ kiri | \ mulai (array) (ccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ end (array) \ kanan | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21 ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33 ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ end (sejajar) \ end (persamaan)

Contoh penggunaan rumus (1) dan (2) terdapat pada topik “Rumus untuk menghitung determinan orde kedua dan ketiga. Contoh menghitung determinan”.

Determinan matriks $ A_ (n \ kali n) $ dapat diekspansi dalam bentuk garis ke-i menggunakan rumus berikut:

\ mulai (persamaan) \ Delta A = \ jumlah \ batas_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (dalam) A_ (dalam) \ end (persamaan)

Analog dari rumus ini juga ada untuk kolom. Rumus untuk memperluas determinan pada kolom ke-j adalah sebagai berikut:

\ start (persamaan) \ Delta A = \ sum \ batas_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ end (persamaan)

Aturan yang diungkapkan oleh rumus (3) dan (4) diilustrasikan secara rinci dengan contoh dan dijelaskan dalam topik Penurunan urutan determinan. Penguraian determinan menurut baris (kolom).

Mari kita tunjukkan satu lagi rumus untuk menghitung determinan matriks segitiga atas dan segitiga bawah (untuk penjelasan istilah ini, lihat topik "Matriks. Jenis matriks. Istilah dasar"). Determinan matriks seperti itu sama dengan produk elemen-elemen pada diagonal utama. Contoh:

\ mulai (sejajar) & \ kiri | \ mulai (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ akhir (array) \ kanan | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \\ & \ kiri | \ mulai (array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ akhir (array) \ kanan | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. \ akhir (selaras)