Era preguiçoso. A fim de manter as crianças ocupadas por um longo tempo, e ele mesmo tirar uma soneca, ele pediu que somassem os números de 1 a 100.
Gauss rapidamente deu a resposta: 5050. Tão rápido? O professor não acreditou, mas o jovem gênio estava certo. Adicionar todos os números de 1 a 100 é para os fracos! Gauss encontrou a fórmula:
$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$
$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$
Como ele fez isso? Vamos tentar entender o exemplo da soma de 1 a 10.
A primeira maneira: dividir os números em pares
Vamos escrever os números de 1 a 10 como uma matriz com duas linhas e cinco colunas:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(array)\right)$$
Curiosamente, a soma de cada coluna é 11, ou $n+1$. E existem 5 desses pares de números ou $\frac(n)(2)$. Obtemos nossa fórmula:
$$Number\ columns\cdotSum\ numbers\ in\ columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$
Se um número ímpar de termos?
E se você somar os números de 1 a 9? Não temos um número para formar cinco pares, mas podemos tomar zero:
$$\left(\begin(array)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(array)\right)$$
A soma das colunas agora é 9 ou exatamente $n$. E quanto ao número de colunas? Ainda cinco colunas (obrigado zero!), mas agora o número de colunas é definido como $\frac(n+1)(2)$ (y tem $n+1$ números e metade do número de colunas).
$$Number\ columns\cdotSum\ numbers\ in\ columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$
A segunda maneira: dobre e escreva em duas linhas
Calculamos a soma dos números de forma ligeiramente diferente nesses dois casos.
Talvez haja uma maneira de calcular a soma igualmente para um número par e ímpar de termos?
Em vez de fazer uma espécie de “loop” de números, vamos escrevê-los em duas linhas, enquanto multiplicamos o número de números por dois:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(array)\right)$$
Para o caso ímpar:
$$\left(\begin(array)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(array)\right)$$
Pode-se ver que em ambos os casos a soma das colunas é $n+1$, e o número de colunas é $n$.
$$Number\ columns\cdotSum\ numbers\ in\ columns=n\cdot(n+1)$$
Mas só precisamos da soma de uma linha, então:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Terceira maneira: faça um retângulo
Há outra explicação, vamos tentar adicionar cruzes, digamos que temos cruzes:
Parece apenas uma representação diferente da segunda maneira - cada linha subsequente da pirâmide tem mais cruzes e menos zeros. O número de todas as cruzes e zeros é a área do retângulo.
$$Área=Altura\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$
Mas precisamos da soma das cruzes, então:
$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$
Quarta maneira: média aritmética
Conhecido: $Média\aritmética=\frac(Soma)(Número\membros)$
Então: $Soma = média\aritmética\cdotNumber\members$
Sabemos o número de membros - $n$. Como expressar a média aritmética?
Observe que os números são distribuídos uniformemente. Para cada número grande, há um pequeno na outra extremidade.
1 2 3, média 2
1 2 3 4, média 2,5
Neste caso, a média aritmética é a média aritmética dos números 1 e $n$, ou seja, $Mean\arithmetic=\frac(n+1)(2)$
$$Soma = \frac(n+1)(2)\cdot n$$
Quinta maneira: integral
Todos nós sabemos que uma integral definida calcula uma soma. Vamos calcular a soma de 1 a 100 como integral? Sim, mas primeiro, vamos pelo menos encontrar a soma de 1 a 3. Sejam nossos números uma função de y(x). Vamos desenhar uma imagem:
As alturas dos três retângulos são apenas números de 1 a 3. Vamos desenhar uma linha reta passando pelos pontos médios dos "caps":
Seria bom encontrar a equação desta reta. Ele passa pelos pontos (1,5;1) e (2,5;2). $y=k\cdot x+b$.
$$\begin(cases)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(cases)\Rightarrow k=1; b=-0,5$$
Assim, a equação de uma linha reta com a qual podemos aproximar nossos retângulos $y=x-0.5$
Ele corta os triângulos amarelos dos retângulos, mas “adiciona” os azuis a eles de cima. Amarelo é igual a azul. Primeiro, certifique-se de que o uso da integral leva à fórmula de Gauss:
$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2) ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$
Agora vamos calcular a soma de 1 a 3, tomar X de 1 a 4, para que todos os nossos três retângulos caiam na integral:
$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0.5-0.5)=6$$
$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$
E por que tudo isso é necessário?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$
No primeiro dia, uma pessoa visitou seu site, no segundo dia duas pessoas... A cada dia o número de visitas aumentou em 1. Quantas visitas o site terá ao final do milésimo dia?
$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$
O ciclo "Divertindo Matemática" é dedicado a crianças que gostam de matemática e pais que dedicam tempo ao desenvolvimento de seus filhos, "jogando-os" com tarefas interessantes e divertidas, quebra-cabeças.
O primeiro artigo desta série é dedicado à regra de Gauss.
Um pouco de história
O famoso matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) diferia de seus pares desde a infância. Apesar de ser de família pobre, aprendeu a ler, escrever e contar muito cedo. Em sua biografia, há até uma menção de que aos 4-5 anos ele conseguiu corrigir o erro nos cálculos incorretos de seu pai, simplesmente observando-o.
Uma de suas primeiras descobertas foi feita aos 6 anos de idade em uma aula de matemática. O professor precisava cativar as crianças por muito tempo e propôs o seguinte problema:
Encontre a soma de todos os números naturais de 1 a 100.
O jovem Gauss lidou com essa tarefa rapidamente, tendo encontrado um padrão interessante, que se tornou generalizado e ainda é usado na contagem mental.
Vamos tentar resolver este problema oralmente. Mas primeiro, vamos pegar os números de 1 a 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Olhe atentamente para esta soma e tente adivinhar o que havia de incomum em Gauss? Para responder, você precisa ter um bom entendimento da composição dos números.
Gauss agrupou os números da seguinte forma:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Assim, o pequeno Karl recebeu 5 pares de números, cada um dos quais individualmente dá 11 no total. Então, para calcular a soma dos números naturais de 1 a 10, você precisa
Voltemos ao problema original. Gauss notou que, antes de somar, é necessário agrupar números em pares e, assim, inventou um algoritmo graças ao qual você pode adicionar rapidamente números de 1 a 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Encontre o número de pares em uma série de números naturais. Neste caso, são 50.
Some o primeiro e o último números desta série. Em nosso exemplo, são 1 e 100. Obtemos 101.
Multiplicamos a soma resultante do primeiro e do último membro da série pelo número de pares desta série. Obtemos 101 * 50 = 5050
Portanto, a soma dos números naturais de 1 a 100 é 5050.
Tarefas para usar a regra de Gauss
E agora sua atenção está voltada para problemas nos quais a regra de Gauss é usada em um grau ou outro. Esses quebra-cabeças são bastante capazes de serem entendidos e resolvidos por um aluno da quarta série.
Você pode dar à criança a oportunidade de raciocinar por si mesma, para que ela mesma “inventasse” essa regra. E você pode desmontá-lo e ver como ele pode usá-lo. Entre as tarefas abaixo estão exemplos em que você precisa entender como modificar a regra de Gauss para aplicá-la a uma determinada sequência.
De qualquer forma, para que a criança opere com isso em seus cálculos, é necessário entender o algoritmo gaussiano, ou seja, a capacidade de dividir corretamente em pares e contar.
Importante! Se uma fórmula for memorizada sem compreensão, ela será esquecida muito rapidamente.
Tarefa 1
Encontre a soma dos números:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Solução.
No início, você pode dar à criança a oportunidade de resolver o primeiro exemplo e oferecer-se para encontrar uma maneira pela qual seja fácil fazê-lo na mente. Em seguida, analise este exemplo com a criança e mostre como Gauss fez isso. Para maior clareza, é melhor escrever uma série e conectar pares de números com linhas que somam o mesmo número. É importante que a criança entenda como os pares são formados - pegamos o menor e o maior dos números restantes, desde que o número de números na linha seja par.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Uma tarefa2
Existem 9 pesos pesando 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Esses pesos podem ser divididos em três pilhas de igual peso?
Solução.
Usando a regra de Gauss, encontramos a soma de todos os pesos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Então, se pudermos agrupar os pesos de forma que cada pilha contenha pesos com um peso total de 15g, então o problema está resolvido.
Uma das opções:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Encontre outras opções possíveis com seu filho.
Preste atenção à criança que quando tais problemas forem resolvidos, é melhor sempre começar a agrupar com um peso maior (número).
Tarefa 3
É possível dividir o mostrador do relógio em duas partes por uma linha reta de modo que as somas dos números em cada parte sejam iguais?
Solução.
Para começar, aplique a regra de Gauss à série dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: encontre a soma e veja se é divisível por 2:
Então você pode compartilhar. Agora vamos ver como.
Portanto, é necessário desenhar uma linha no mostrador para que 3 pares caiam em uma metade e três na outra.
Resposta: a linha passará entre os números 3 e 4 e depois entre os números 9 e 10.
Uma tarefa4
É possível desenhar duas linhas retas no mostrador do relógio de modo que a soma dos números em cada parte seja a mesma?
Solução.
Para começar, aplicamos a regra de Gauss à série dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: encontre a soma e veja se é divisível por 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 é divisível por 3 sem deixar resto, então você pode dividir. Agora vamos ver como.
De acordo com a regra de Gauss, obtemos 6 pares de números, cada um dos quais soma 13:
1 e 12, 2 e 11, 3 e 10, 4 e 9, 5 e 8, 6 e 7.
Portanto, é necessário desenhar linhas no mostrador para que 2 pares caiam em cada parte.
Resposta: a primeira linha passará entre os números 2 e 3 e depois entre os números 10 e 11; a segunda linha está entre os números 4 e 5, e depois entre 8 e 9.
Tarefa 5
Um bando de pássaros está voando. À frente está um pássaro (líder), seguido por dois, depois três, quatro, etc. Quantos pássaros há no bando se houver 20 deles na última fileira?
Solução.
Obtemos que precisamos somar números de 1 a 20. E para calcular tal soma, podemos aplicar a regra de Gauss:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Tarefa 6
Como acomodar 45 coelhos em 9 gaiolas para que todas as gaiolas tenham um número diferente de coelhos?
Solução.
Se a criança decidiu e entendeu os exemplos da tarefa 1 com compreensão, é imediatamente lembrado que 45 é a soma dos números de 1 a 9. Portanto, colocamos os coelhos assim:
- primeira célula - 1,
- segundo - 2,
- terceiro - 3,
- oitavo - 8,
- nono - 9.
Mas se a criança não conseguir descobrir imediatamente, tente dar a ela a ideia de que esses problemas podem ser resolvidos pela força bruta e você precisa começar com o número mínimo.
Tarefa 7
Calcule a soma usando o truque de Gauss:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Solução.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Tarefa 8
Há um conjunto de 12 pesos pesando 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. 4 pesos foram removidos do conjunto, cuja massa total é igual a um terço da massa total de todo o conjunto de pesos. Os pesos restantes podem ser colocados em dois pratos de equilíbrio, 4 peças em cada prato, para que fiquem em equilíbrio?
Solução.
Aplicamos a regra de Gauss para encontrar a massa total dos pesos:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Calculamos a massa dos pesos que foram removidos:
Portanto, os pesos restantes (com uma massa total de 78-26 \u003d 52 g) devem ser colocados 26 g em cada prato da balança para que fiquem em equilíbrio.
Não sabemos quais pesos foram removidos, então temos que considerar todas as opções possíveis.
Aplicando a regra de Gauss, você pode dividir os pesos em 6 pares de igual peso (13g cada):
1g e 12g, 2g e 11g, 3g e 10, 4g e 9g, 5g e 8g, 6g e 7g.
Então a melhor opção é ao remover 4 pesos, dois pares dos anteriores serão removidos. Neste caso, teremos 4 pares restantes: 2 pares em uma escala e 2 pares na outra.
O pior caso é quando 4 pesos removidos quebram 4 pares. Teremos 2 pares inteiros com um peso total de 26g, o que significa que os colocamos em um prato da balança, e os pesos restantes podem ser colocados em outro prato da balança e também serão de 26g.
Boa sorte com o desenvolvimento de seus filhos.
Hoje vamos considerar um dos problemas matemáticos que tive que resolver com meu sobrinho. E então nós o implementamos através do PHP. E considere várias opções para resolver esse problema.
A tarefa:
É necessário adicionar rapidamente todos os números de 1 a 100 um após o outro e descobrir a soma de todos os números.
A solução do problema:
Na verdade, quando resolvemos esse problema pela primeira vez, resolvemos errado! Mas não vamos escrever sobre a solução errada para este problema.
E a solução é tão simples e trivial - você precisa adicionar 1 e 100 e multiplicar por 50. (Karl Gaus tinha essa solução quando era muito pequeno ...)
(1 + 100)*50.
Como posso resolver este problema com php?
Calcule a soma de todos os números de 1 a 100 usando PHP.
Quando já tínhamos resolvido este problema, resolvemos ver o que escrevem nas "internets" sobre este assunto! E encontrei alguma forma em que jovens talentos não conseguiam resolver esse problema e tentei fazê-lo através de um ciclo.
Se não houver nenhuma condição especial para fazê-lo através de um ciclo, então não há sentido em fazê-lo através de um ciclo!
E sim! Não esqueça que no php você pode resolver o problema de várias maneiras! 1.
Este código pode adicionar qualquer sequência de números de um ao infinito.
Vamos implementar nossa solução em sua forma mais simples:
$fim = $_POST["variável"];
$res = $fim/2*($i + $fim);
