Va ajuta nu numai ceainicele, ci chiar și pe cei care au auzit prima dată cuvântul „determinant”. Au trecut doi ani de când site-ul avea doar zece pagini, iar acum, după lungul meu drum în lumea matanului, totul revine la normal.

Imaginați-vă că trebuie să calculați un determinant de ordinul al treilea extinzându-l pe elemente de rând (coloană). Deși ce este acolo de imaginat - trebuie să =) Puteți sta peste el timp de 5 minute, sau puteți sta timp de 2-3 minute. Sau chiar în regiunea de un minut. Timpul pe care îl petreceți depinde nu numai de experiența dvs., ci și de cunoașterea proprietăților determinanților. Nu este neobișnuit când procesul de soluție poate fi redus la doar câteva secunde și, uneori, puteți vedea rezultatul imediat! „Prostii, de ce să economisiți la meciuri și așa vom decide totul”, vor spune unii. Să admitem. Și nu vom admite neglijeri ;-) Dar cum rămâne cu determinantul ordinului 4, care este destul de răspândit în practică? Va dura 10-20 de minute pentru a lupta cu acest ardei. Și nu va fi nici măcar o bătălie, ci un masacru, deoarece probabilitatea unei erori de calcul este foarte mare, ceea ce te va „încheia” în a doua rundă a deciziei. Și dacă determinantul ordinului al cincilea? Numai scăderea ordinului determinantului va economisi. Da, astfel de exemple se găsesc și în lucrările de testare.

Materialele de pe această pagină vă vor îmbunătăți semnificativ tehnica de rezolvare a factorilor determinanți și vă vor simplifica însușirea în continuare a matematicii superioare.

Metode eficiente de calcul a determinantului

În primul rând, nu vom atinge proprietățile determinantului, ci doar metodele de calcul rațional al acestuia. Aceste metode de decizie se află la suprafață și sunt de înțeles pentru mulți, dar, cu toate acestea, să ne oprim asupra lor mai detaliat. Se presupune că cititorul este deja capabil să dezvăluie cu destulă încredere determinantul celui de-al treilea ordin. După cum știți, acest determinant poate fi dezvăluit 6 moduri standard: pe orice rând sau orice coloană. S-ar părea că nu are nicio diferență, pentru că răspunsul va fi același. Dar sunt toate metodele la fel de ușoare? Nu. În cele mai multe cazuri, există moduri mai putin profitabileși moduri mai profitabile solutii.

Luați în considerare identificatorul, pe care l-am acoperit din belșug cu tatuaje în prima lecție. În acel articol, l-am expus în detaliu, cu imagini, de-a lungul primei rânduri. Prima linie este bună și academică, dar este posibil să obțineți rezultatul mai repede? Există un zero în determinant, iar prin extinderea acestuia cu a doua linie sau cu a doua coloană, calculele se vor reduce considerabil!

Să extindem determinantul cu a doua coloană:

În practică, zero elemente sunt ignorate, iar soluția este scrisă într-o formă mai compactă:

Exercitiul 1

Extindeți calificativul dat pe a doua linie folosind notația scurtată.

Soluție la sfârșitul lecției.

Dacă există două zerouri într-un rând (sau coloană), atunci acesta este în general un adevărat cadou. Luați în considerare determinantul. Există două zerouri în a treia linie, de-a lungul cărora ne extindem:

Asta e toata solutia!

Un caz special când determinantul are un așa-zis călcat sau vedere triunghiulara, de exemplu: - într-un astfel de determinant, toate numerele de mai jos diagonala principală sunt egale cu zero.

Să-l extindem în prima coloană:

În exercițiile practice, este convenabil să urmați următoarea regulă - determinantul în trepte este egal cu produsul numerelor diagonalei sale principale:

Un principiu similar este valabil pentru determinanții pașilor altor ordine, de exemplu:

Determinanții triunghiulari apar în unele probleme de algebră liniară, iar soluția lor este cel mai adesea formulată în acest fel.

Iar dacă rândul (coloana) determinantului conține doar zerouri? Răspunsul, cred, este clar. Vom reveni la această întrebare în proprietățile determinantului.

Acum să ne imaginăm că covrigile mult așteptate nu sunt incluse în cadoul de Anul Nou. Așa că haideți să-l evidențiem pe Moș Crăciun rău!

Nu există zerouri aici, dar există totuși o modalitate de a-ți ușura viața. Este mai optim să extindeți acest determinant în a treia coloană, deoarece există cele mai mici numere. În acest caz, procesul-verbal de decizie ia o formă foarte laconică:

Rezumând paragraful, formulăm regula de aur a calculului:

Este mai profitabil să deschideți determinantul prin ACEL rând (coloană), unde:

1) mai multe zerouri;
2) numere mai mici.

Desigur, acest lucru este valabil și pentru determinanții de ordine superioară.

Un mic exemplu pentru asigurarea materialului:

Sarcina 2

Calculați determinantul, extinzându-l pe rând sau coloană, folosind modul cel mai rațional

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself, soluție optimă iar răspunsul este la sfârșitul lecției.

Și încă unul sfat important: nu complexa! Nu este nevoie să „stăm” pe descompunerea tradițională de către primul rând sau prima coloană. Oricât de scurt este, hotărăște-te!

Proprietăți determinante

Luați în considerare vechii cunoscuți ai primei lecții: matricea și determinantul acestuia .

Pentru orice eventualitate, voi repeta diferența elementară dintre concepte: matricea este un tabel de elemente, A determinantul este un număr.

Când o matrice este transpusă, valoarea determinantului ei nu se modifică

Transpuneți matricea:

Conform proprietății, determinantul matricei transpuse este egal cu aceeași valoare: ... Cei care doresc pot verifica acest lucru singuri.

O formulare mai simplă a acestei proprietăți este de asemenea utilizată: dacă determinantul este transpus, atunci valoarea acestuia nu se va schimba.

Notăm ambii determinanți unul lângă altul și analizăm unul punct important:

Ca urmare a transpunerii, primul rând a devenit prima coloană, al doilea rând a devenit a doua coloană, iar al treilea rând a devenit a treia coloană. Rândurile au devenit coloane și rezultatul nu s-a schimbat. Din care rezultă un fapt important: rândurile și coloanele determinantului sunt egale... Cu alte cuvinte, dacă o proprietate este adevărată pentru un rând, atunci aceeași proprietate este adevărată pentru o coloană! De fapt, ne confruntăm cu asta de mult timp - la urma urmei, determinantul poate fi extins atât pe rând, deci în mod egal, cât și pe coloană.

Nu-ți plac numerele din șiruri? Transpune determinantul! Există o singură întrebare, de ce? Sensul practic al proprietății considerate este mic, dar este util să o aruncăm în bagajul cunoștințelor pentru a înțelege mai bine alte probleme ale matematicii superioare. De exemplu, devine imediat clar de ce pt studiul vectorilor pentru coplanaritate coordonatele acestora pot fi scrise atat in liniile de identificare cat si in coloane.

Dacă două rânduri (sau două coloane) ale determinantului sunt schimbate,
atunci determinantul va schimba semnul

! Tine minte , vorbim despre un determinant! Nimic nu poate fi rearanjat în matricea în sine!

Să jucăm cubul Rubik cu determinant .

Să schimbăm prima și a treia linie:

Identificatorul și-a schimbat semnul.

Acum, în determinantul rezultat, să schimbăm a doua și a treia linie:

Identificatorul și-a schimbat din nou semnul.

Să schimbăm a doua și a treia coloană:

Acesta este, orice permutare în perechi a rândurilor (coloanelor) implică o schimbare a semnului determinantului la opus.

Jocurile sunt jocuri, dar în practică, astfel de acțiuni sunt mai bune nu folosi... Nu prea are sens de la ei, dar nu este greu să te încurci și să greșești. Cu toate acestea, voi cita una dintre puținele situații în care acest lucru are cu adevărat sens. Să presupunem că în cursul rezolvării unui exemplu ați desenat un determinant cu semnul minus:

Să o extindem, să zicem, de-a lungul primei linii:

Inconvenientul evident este că a trebuit să fac reverii inutile - să pariez paranteze mari, și apoi dezvăluiți-le (apropo, nu vă recomand să efectuați astfel de acțiuni „într-o singură ședință” oral).

Pentru a scăpa de „minus”, este mai rațional să schimbați oricare două rânduri sau oricare două coloane. Să rearanjam, de exemplu, prima și a doua linie:

Arată elegant, dar în cele mai multe cazuri este mai convenabil să tratați un semn negativ într-un alt mod (citiți mai departe).

Acțiunea de mai sus ajută din nou la înțelegerea mai bună, de exemplu, a unor proprietăți produs vectorial al vectorilor sau un produs mixt de vectori.

Dar asta e mai interesant:

Din rândul (coloana) determinantului, puteți scoate factorul comun

!!! Atenţie! Regula este despre UNU linie sau despre UNU coloana determinant. Vă rog să nu confundați cu matrici, în matrice factorul este scos / introdus la TOATE numere deodată.

Să începem cu un caz special al regulii - a face „minus unu” sau pur și simplu „minus”.

Mai întâlnim un pacient:.

Există prea multe dezavantaje în acest determinant și ar fi bine să le reducem numărul.

Scoateți -1 din prima linie:

Sau mai scurt:

Minusul din fața calificării, așa cum sa demonstrat deja, nu este convenabil de mâncat. Ne uităm la a doua linie a determinantului și observăm că sunt prea multe minusuri acolo.

Să scoatem „minus” din a doua linie:

Ce altceva poti face? Toate numerele din a doua coloană sunt divizibile cu 4 fără rest. Să mutăm 4 din a doua coloană:

Regula inversă este de asemenea adevărată - multiplicatorul poate nu doar să îndure, ci și face, de altfel, în ORICE rând sau în ORICE coloană a determinantului.

Pentru distracție, să înmulțim a treia linie a determinantului cu 4:

Mințile meticuloase pot fi convinse de egalitatea determinanților originali și primiți (răspuns corect: –216).

În practică, introducerea minusului este adesea efectuată. Luați în considerare determinantul. Un semn negativ înaintea calificativului poate fi introdus în ORICE rând sau în ORICE coloană. Cel mai bun candidat este a treia coloană și îi vom adăuga un minus:

Observăm, de asemenea, că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest, dar merită să efectuați „doi”? Dacă aveți de gând să reduceți ordinea calificativului (care va fi discutat în secțiunea finală), atunci cu siguranță ar trebui. Dar dacă extindeți determinantul după rând (coloană), atunci „doi” din față nu vor face decât să prelungească înregistrarea soluției.

Totuși, dacă factorul este mare, de exemplu, 13, 17 etc., atunci, desigur, este mai profitabil să-l scoți oricum. Să facem cunoștință cu micul monstru:. Din prima linie scoatem –11, din a doua linie scoatem –7:

Spuneți, calculele fac deja clic atât de repede pe un calculator obișnuit? E adevarat. Dar, în primul rând, poate să nu fie la îndemână și, în al doilea rând, dacă este dat un determinant al ordinului al 3-lea sau al 4-lea cu numere mari, atunci nu veți dori cu adevărat să bateți la butoane.

Sarcina 3

Calculați determinant prin factorizarea rândurilor și coloanelor

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself.

Încă câteva reguli utile:

Dacă două rânduri (coloane) ale determinantului sunt proporţionale
(ca caz special, sunt la fel), atunci acest determinant este egal cu zero

Aici elementele corespunzătoare primei și celei de-a doua linii sunt proporționale:

Se spune uneori că liniile de calificare dependent liniar... Deoarece valoarea determinantului nu se modifică în timpul transpunerii, dependența liniară a coloanelor rezultă și din dependența liniară a rândurilor.

Puteți pune un sens geometric în exemplu - dacă presupunem că liniile conțin coordonate vectori spațiu, atunci primii doi vectori cu coordonate proporționale vor fi coliniari, ceea ce înseamnă că toți cei trei vectori - dependent liniar, adică coplanare.

În exemplul următor, trei coloane sunt proporționale (și, apropo, trei rânduri):

Aici a doua și a treia coloană sunt aceleași, acesta este un caz special - când coeficientul de proporționalitate este egal cu unu

Proprietățile enumerate pot fi utilizate în practică. Dar amintiți-vă, un nivel crescut de cunoștințe este uneori pedepsit ;-) Prin urmare, poate fi mai bine să dezvăluiți astfel de calificative în mod obișnuit (știind dinainte că se va dovedi zero).

Trebuie remarcat faptul că invers, în general, nu este adevărat- dacă determinantul este zero, atunci din aceasta Nu încă că rândurile (coloanele) sale sunt proporționale. Adică, relația liniară dintre rânduri / coloane poate să nu fie explicită.

Există, de asemenea, un simptom mai evident când se poate spune imediat că determinantul este zero:

Determinant cu zero rând (coloană) este egal cu zero

Verificarea „amator” este elementară, să deschidem determinantul pentru prima coloană:

Cu toate acestea, rezultatul nu se schimbă dacă extindeți calificativul pentru orice rând sau orice coloană.

Stoarce al doilea pahar de suc de portocale:

Ce proprietăți ale determinanților sunt utile de știut?

1) Valoarea determinantului nu se modifică la transpunere... Ne amintim de proprietate.

2) Orice permutare în perechi a rândurilor (coloanelor) inversează semnul determinantului... De asemenea, ne amintim proprietatea și încercăm să nu o folosim pentru a evita confuzia.

3) Din rândul (coloana) determinantului, puteți scoate factorul (și îl adăugați înapoi)... Îl folosim acolo unde este profitabil.

4) Dacă rândurile (coloanele) determinantului sunt proporționale, atunci este egal cu zero. Determinantul cu un rând (coloană) zero este zero.

Pe parcursul lecției, a fost observat în mod repetat un model elementar - cu cât sunt mai multe zerouri într-un rând (coloană), cu atât este mai ușor să calculezi determinantul. Apare întrebarea, este posibil să organizăm zerourile intenționat folosind un fel de transformare? Poate sa! Să facem cunoștință cu o altă proprietate foarte puternică:

Scăderea ordinului determinantului

Este foarte bine dacă v-ați dat deja seama cu metoda gaussiana si sa ai experienta in rezolvare sisteme de ecuații liniareîn acest mod. De fapt, proprietatea formulată mai jos dublează una dintre transformări elementare.

Pentru a ne deschide pofta de mâncare, să zdrobim o broască mică:

Puteți adăuga un alt șir înmulțit cu un număr diferit de zero la șirul determinant. În acest caz, valoarea determinantului nu se va modifica

Exemplu: în determinant obținem zero în stânga sus.

Pentru aceasta, a doua linie mental sau pe ciornăînmulțiți cu 3: (–3, 6) și la prima linie adăugați a doua linie înmulțită cu 3:

Noi scriem rezultatul la prima linie:

Examinare:

Acum, în același determinant, obținem zero în dreapta jos. Pentru asta la a doua linie se adaugă prima linie, înmulțită (mental) cu –2):

Noi scriem rezultatul la a doua linie:

Notă: cu o transformare elementară, schimbări TAşirul la care prin adăugarea UT.

Să formulăm o regulă în oglindă pentru coloane:

O altă coloană poate fi adăugată la coloana determinantului, înmulțită cu un număr diferit de zero. În acest caz, valoarea determinantului nu se va modifica

Luați un animal de picioare și folosind această transformare, obținem zero în stânga sus. Pentru a face acest lucru, mental sau pe o schiță, înmulțim a doua coloană cu –3: și adăugați a doua coloană la prima coloană, înmulțit cu –3:

Vom scrie rezultatul la prima coloană:

Și, în sfârșit, în determinant obținem zero în dreapta jos. Pentru asta la a doua coloană adăugăm prima coloană, înmulțită (mental) cu 2(Uită-te și numără de la dreapta la stânga):

Punem rezultatul la a doua coloană:

Cu o transformare elementară, schimbări ACEA coloana la care prin adăugare UT.

Încercați să digerați calitativ următorul exemplu.

Să trimitem amfibianul mare la supă:

Provocarea este să folosind transformări elementare pentru a scădea ordinea determinantului până la ordinul doi.

Unde sa încep? În primul rând, trebuie să selectați numărul țintă în determinant. Ținta este aproape întotdeauna unu sau –1. Ne uităm la determinant și observăm că există chiar și o alegere aici. Fie elementul numărul țintă:

Notă : semnificația subscriptelor duble poate fi găsită în articol regula lui Cramer. Metoda matricei... V în acest caz indicii de elemente ne spun că se află în al doilea rând, a treia coloană.

Ideea este să obțineți două zerouri în a treia coloană:

Sau obțineți două zerouri în a doua linie:

A doua linie conține numere mai mici (nu uitați de regula de aur), așa că este mai profitabil să o luați. Și a treia coloană cu numărul „țintă” va rămâne neschimbată:

Adăugați a treia coloană la a doua coloană:

Nu era nevoie să înmulți nimic.

Scriem rezultatul în a doua coloană:

Adăugați a treia coloană la prima coloană, înmulțită (mental) cu –2:

Scriem rezultatul în prima coloană, extindem determinantul pe a doua linie:

Cum am coborât ordinea calificativelor? Avem două zerouri în a doua linie.

Să rezolvăm exemplul în al doilea mod, aranjați zerourile în a treia coloană:

A doua linie cu numărul țintă va rămâne neschimbată:

La prima linie, adăugați a doua linie, înmulțită (mental) cu –4:

La a treia linie, adăugați a doua linie, înmulțită (mental) cu 3 (uită-te și numără de jos în sus):

Scriem rezultatul pe a treia linie, extindem determinantul cu a treia coloană:

Rețineți că nu este nevoie să rearanjați rândurile sau coloanele... Transformările elementare funcționează excelent atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Atât de sus în jos, cât și de jos în sus.

Sarcina 4

Calculați același determinant, alegând un element ca număr „țintă”. Scădeți ordinea în două moduri: obținând zerouri în al doilea rând și obținând zerouri în a doua coloană.

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Soluție completă și scurte comentarii la sfârșitul tutorialului.

Uneori, identificatorului îi lipsește o unitate sau –1, de exemplu:. În acest caz, „ținta” ar trebui organizată folosind o transformare elementară suplimentară. Acest lucru se poate face cel mai adesea în mai multe moduri. De exemplu: la prima linie adăugați a doua linie înmulțită cu -1:

Scriem rezultatul pe prima linie:

! Atenţie : NU ESTE NEVOIE din prima linie scădea a doua linie, aceasta crește foarte mult șansa de eroare. Doar adunați! Prin urmare, la prima linie adăugăm a doua linie înmulțită cu -1. Exact!

Unitatea a fost primită, ceea ce trebuia să fie realizat. Apoi puteți obține două zerouri în primul rând sau în prima coloană. Cei interesați pot continua cu soluția (răspunsul corect: –176).

Trebuie remarcat faptul că o „țintă” gata făcută este prezentă cel mai adesea în determinantul inițial, iar pentru un determinant de ordinul 4 și mai mare, o transformare suplimentară este extrem de puțin probabilă.

Să tăiem câteva broaște mari în gulaș:

Sarcină

Rezolvați sistemul ecuatii lineare prin formulele lui Cramer

Este în regulă dacă nu ai avut timp să te familiarizezi cu metoda lui Cramer, în acest caz, puteți vedea pur și simplu cum scade ordinea determinantului „patru cu patru”. Și regula în sine va deveni clară dacă intrați puțin mai adânc în cursul deciziei.

Soluţie: mai întâi calculează determinant principal sisteme:

Este posibil să mergeți pe calea standard, extinzând acest determinant pe rând sau coloană. Reamintind algoritmul primei lecții și folosind matricea de semne inventată de mine, vom dezvălui determinantul, de exemplu, conform primului rând „clasic”:

Nu văd entuziasmul dvs. =) Desigur, puteți sta zece minute și, cu atenție și atenție, dați naștere răspunsului corect. Dar problema este că în viitor este necesar să se calculeze încă 4 determinanți de ordinul al patrulea. Prin urmare, singura cale rezonabilă de ieșire este scăderea ordinului determinantului.

Există multe unități în determinant, iar sarcina noastră este să alegem cel mai bun mod... Reamintim regula de aur: ar trebui să existe mai multe zerouri pe rând (coloană) și mai puține numere. Din acest motiv, al doilea rând sau a patra coloană este în regulă. A patra coloană arată mai atractivă, în plus, există două unități. Selectăm elementul ca „țintă”:

Prima linie nu se va schimba. Și al doilea - există deja zeroul necesar:

Adaugă la a treia linie prima linie înmulțită cu -1 (Uită-te și numără de jos în sus):

! Atenție din nou : Nu este nevoie din a treia linie scădea prima linie. Doar adunați!

Scriem rezultatul pe a treia linie:

Adăugați prima linie înmulțită cu 3 la a patra linie (Uită-te și numără de jos în sus):

Scriem rezultatul pe a patra linie:

(1) Extindeți determinantul pentru a patra coloană. Nu uitați că trebuie să adăugați un „minus” elementului (vezi matricea semnelor).

(2) Ordinea calificativului este retrogradată la locul 3. În principiu, poate fi descompus pe rând (coloană), dar este mai bine să se elaboreze proprietățile determinantului. Adăugăm un minus la a doua linie.

(3) Adăugați primul rând înmulțit cu 3 la al doilea rând. Adăugați primul rând înmulțit cu 7 la al treilea rând.

(4) Extindeți determinantul cu a doua coloană, reducându-i astfel și mai mult ordinea la două.

Observați cum s-a micșorat soluția! Principalul lucru este să „puneți mâna” asupra transformărilor elementare, iar o astfel de oportunitate se va prezenta chiar acum. În plus, aveți la dispoziție un calculator care calculează determinanți (în special, se găsește pe pagină Formule și tabele matematice). Cu ajutorul calculatorului, este ușor să controlezi acțiunile efectuate. Am un calificativ la prima etapă - și imediat verificat dacă este egal cu determinantul inițial.

(1) Extindeți determinantul cu a treia linie. Ordinea de calificare a fost redusă la trei.

(2) Introducem un „minus” în prima coloană.

(3) Adăugați primul rând înmulțit cu 3 la al doilea rând. Adăugați primul rând înmulțit cu 5 la al treilea rând.

(4) Extindeți determinantul cu a doua coloană, reducând ordinea determinantului la doi.

Se dovedește minunat la noi complex prânzul și e timpul pentru desert:

Nici măcar nu mai este o broască râioasă, este însuși Godzilla. Să luăm un pahar preparat de suc de portocale și să vedem cum este coborâtă ordinea determinantului. Algoritmul, cred, este clar: reducem de la al cincilea ordin la al patrulea, de la al patrulea la al treilea și de la al treilea la al doilea:

(1) Adăugați a doua linie la primul, al treilea, al patrulea și al cincilea rând.

(2) Extindeți determinantul pentru a treia coloană. Ordinul de calificare a scăzut la patru.

(3) Scoatem din coloana a 4-a 2. Primul rând se înmulțește cu -1 și, pentru ca determinantul să nu se schimbe, punem un „minus” în fața lui. Această transformare efectuate pentru a simplifica calculele ulterioare.

(4) Adăugați prima linie la a doua și a treia linie. Adăugați primul rând înmulțit cu 3 la a patra linie.

(5) Extindeți determinantul pentru a patra coloană. Comanda a fost retrogradată la trei.

(6) Extindeți determinantul pentru a doua coloană. Comanda a fost retrogradată la două.

(7) Scoatem „minusul” din prima coloană.

Totul s-a dovedit mai ușor decât părea, toți monștrii au puncte slabe!

Cititorii neobosite pot încerca să rezolve determinantul ordinului al cincilea într-un alt mod, din fericire, există doar câteva în el.

A doua coloană a fost adăugată la prima coloană, înmulțită cu 2. A doua coloană a fost adăugată la a treia coloană. Calificarea a fost extinsă pe linia a doua.

Să coborâm ordinea determinantului, obținând zerouri în a doua coloană:

A doua linie înmulțită cu –2 a fost adăugată la prima linie. Al doilea rând a fost adăugat celui de-al treilea rând, înmulțit cu 2. Cheia a fost deschisă în a doua coloană.

Sarcina 5: Soluţie:


(1) Adăugați al treilea rând înmulțit cu 3 la primul rând Adăugați al treilea rând înmulțit cu 5 la al doilea rând Adăugați al treilea rând înmulțit cu 2 la al patrulea rând.
(2) Extindeți determinantul cu prima coloană.
(3) Adăugați a treia coloană ori 9 la a doua coloană Adăugați a treia coloană la prima coloană.
(4) Extindeți determinantul cu a treia linie.

(1) Adăugați a doua coloană la prima coloană. Adăugați a doua coloană la a treia coloană
(2) Extindeți determinantul cu a treia linie.
(3) Punem un „minus” în prima linie.
(4) Adăugați prima linie înmulțită cu 6 la a doua linie, adăugați prima linie la a treia linie
(5) Extindeți determinantul pentru prima coloană.

În cazul general, regula pentru calcularea determinanților ordinului $ n $ --lea este destul de greoaie. Pentru determinanții de ordinul doi și trei, există modalități raționale de calculare a acestora.

Calcule ale determinanților de ordinul doi

Pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul doi, scade produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ end (matrice) \ dreapta | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinantul de ordinul doi $ \ stânga | \ begin (matrice) (rr) (11) și (-2) \\ (7) și (5) \ end (matrice) \ dreapta | $

Soluţie.$ \ stânga | \ begin (matrice) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (matrice) \ dreapta | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 USD

Răspuns.$ \ stânga | \ begin (matrice) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ end (matrice) \ dreapta | = 69 $

Metode de calcul al determinanților de ordinul trei

Pentru calcularea determinanților de ordinul al treilea, există astfel de reguli.

Regula triunghiului

Schematic, această regulă poate fi descrisă după cum urmează:

Produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii drepte este luat cu semnul plus; în mod similar, pentru al doilea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul minus, i.e.

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ end (matrice) \ dreapta | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$

$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (matrice) \ dreapta | $ folosind metoda triunghiului.

Soluţie.$ \ stânga | \ begin (matrice) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (matrice) \ dreapta | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $

$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$

Răspuns.

domnia Sarrus

În dreapta determinantului se adaugă primele două coloane și se iau cu semn plus produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe diagonalele paralele cu acesta; și produsele elementelor diagonalei laterale și diagonalele paralele cu aceasta, cu semnul minus:

$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (matrice) \ dreapta | $ folosind regula Sarrus.

Soluţie.

$$ + (- 1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 $$

Răspuns.$ \ stânga | \ begin (matrice) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (matrice) \ dreapta | = 54 $

Descompunerea unui determinant pe rând sau coloană

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor șirului determinant prin complementele lor algebrice. De obicei, selectați rândul/coloana în care există zerouri. Linia sau coloana de-a lungul căreia se efectuează descompunerea va fi indicată cu o săgeată.

Exemplu

Exercițiu. Expandând pe prima linie, calculați determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (llll) (1) și (2) și (3) \\ (4) și (5) și (6) \\ (7) și (8) și (9) \ end (matrice) \ dreapta | $

Soluţie.$ \ stânga | \ begin (matrice) (llll) (1) și (2) și (3) \\ (4) și (5) și (6) \\ (7) și (8) și (9) \ end (matrice) \ dreapta | \ leftarrow = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $

$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ stânga | \ begin (array) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ end (array) \ right | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ end (array) \ right | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ end (array) \ right | = -3 + 12-9 = 0 $

Răspuns.

Această metodă permite ca calculul unui determinant să fie redus la calculul unui determinant de ordin inferior.

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (llll) (1) și (2) și (3) \\ (4) și (5) și (6) \\ (7) și (8) și (9) \ end (matrice) \ dreapta | $

Soluţie. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile determinantului: scădem primele patru din al doilea rând, iar din al treilea primul rând înmulțit cu șapte, ca urmare, conform proprietăților determinantului, obținem determinantul egal cu cel dat.

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) (1) și (2) și (3) \\ (4) și (5) și (6) \\ (7) și (8) și (9) \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ end (matrice) \ dreapta | = $$

$$ = \ stânga | \ începe (matrice) (rrr) (1) și (2) și (3) \\ (0) și (-3) și (-6) \\ (0) și (-6) și (-12) \ sfârşit (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ end (matrice) \ dreapta | = 0 $$

Determinantul este zero deoarece a doua și a treia linie sunt proporționale.

Răspuns.$ \ stânga | \ begin (matrice) (llll) (1) și (2) și (3) \\ (4) și (5) și (6) \\ (7) și (8) și (9) \ end (matrice) \ dreapta | = 0 $

Pentru a calcula determinanții de ordinul al patrulea și mai mari, se aplică fie extinderea rândului/coloană, fie reducerea la o formă triunghiulară, fie folosind teorema lui Laplace.

Descompunerea unui determinant prin elemente de rând sau coloană

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (matrice) \ dreapta | $, extinzându-l în elemente ale unui rând sau al unei coloane.

Soluţie. Mai întâi, să facem transformări elementare pe rândurile determinantului, făcând cât mai multe zerouri fie în rând, fie în coloană. Pentru a face acest lucru, mai întâi scădem nouă treimi din prima linie, cinci treimi din a doua și trei treimi din a patra, obținem:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ începe (matrice) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (matrice) \ dreapta | $$

Determinantul rezultat este descompus de elementele primei coloane:

$$ \ stânga | \ begin (matrice) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (matrice) \ dreapta | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ stânga | \ începe (matrice) (rrr) (8) și (-2) și (-12) \\ (4) și (-2) și (-8) \\ (4) și (2) și (0) \ sfârșit (matrice) \ dreapta | + 0 $$

Determinantul obținut de ordinul trei este, de asemenea, extins în ceea ce privește elementele rând și coloană, obținând anterior zerouri, de exemplu, în prima coloană. Pentru a face acest lucru, scădeți cele doua două linii din prima linie și a doua din a treia:

$$ \ stânga | \ începe (matrice) (rrr) (8) și (-2) și (-12) \\ (4) și (-2) și (-8) \\ (4) și (2) și (0) \ sfârşit (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ end ( matrice) \ dreapta | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ stânga | \ begin (matrice) (ll) (2) și (4) \\ (4) și (8) \ end (matrice) \ dreapta | = $$

$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$

Răspuns.$ \ stânga | \ begin (matrice) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) și (2) \\ (3) și (4) și (5) și (6) \ end (matrice) \ dreapta | = 0 $

cometariu

Ultimul și penultimul determinant nu ar fi putut fi calculat, dar imediat a concluzionat că sunt egali cu zero, deoarece conțin șiruri proporționale.

Reducerea determinantului la formă triunghiulară

Cu ajutorul transformărilor elementare peste rânduri sau coloane, determinantul se reduce la o formă triunghiulară, iar apoi valoarea sa, conform proprietăților determinantului, este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinantul $ \ Delta = \ stânga | \ începe (matrice) (rrrr) (- 2) și (1) și (3) și (2) \\ (3) și (0) și (-1) și (2) \\ (-5) și ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (matrice) \ dreapta | $ făcându-l triunghiular.

Soluţie.În primul rând, facem zerouri în prima coloană de sub diagonala principală. Toate transformările vor fi mai ușoare dacă elementul $ a_ (11) $ este egal cu 1. Pentru a face acest lucru, vom schimba prima și a doua coloană a determinantului, care, conform proprietăților determinantului, va duce la faptul că își va schimba semnul în sens invers:

$$ \ Delta = \ stânga | \ începe (matrice) (rrrr) (- 2) și (1) și (3) și (2) \\ (3) și (0) și (-1) și (2) \\ (-5) și ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (matrice) \ dreapta | = - \ stânga | \ begin (matrice) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ end (matrice) \ dreapta | $$

$$ \ Delta = - \ stânga | \ begin (matrice) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (matrice) \ dreapta | $$

În continuare, obținem zerouri în a doua coloană în locul elementelor de sub diagonala principală. Din nou, dacă elementul diagonal este egal cu $ \ pm 1 $, atunci calculele vor fi mai ușoare. Pentru a face acest lucru, schimbăm a doua și a treia linie (și, în același timp, schimbăm semnul opus al determinantului):

$$ \ Delta = \ stânga | \ begin (matrice) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ end (matrice) \ dreapta | $$

PROPRIETATE 1. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă toate rândurile sale sunt înlocuite cu coloane, iar fiecare rând este înlocuit cu o coloană cu același număr, adică

PROPRIETATE 2. Permutarea a două coloane sau două rânduri ale unui determinant este echivalentă cu înmulțirea lui cu -1. De exemplu,

.

PROPRIETATE 3. Dacă determinantul are două coloane identice sau două rânduri identice, atunci este egal cu zero.

PROPRIETATE 4. Înmulțirea tuturor elementelor unei coloane sau ale unui rând al determinantului cu orice număr k este echivalentă cu înmulțirea determinantului cu acest număr k. De exemplu,

.

PROPRIETATE 5. Dacă toate elementele unei coloane sau ale unui rând sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero. Această proprietate este caz special cel precedent (pentru k = 0).

PROPRIETATE 6. Dacă elementele corespunzătoare din două coloane sau două rânduri ale unui determinant sunt proporționale, atunci determinantul este zero.

PROPRIETATE 7. Dacă fiecare element al coloanei a n-a sau al n-lea rând al determinantului este suma a doi termeni, atunci determinantul poate fi reprezentat ca suma a doi determinanți, dintre care unul în a n-a coloană sau , respectiv, în al n-lea rând are primul dintre termenii amintiți, iar celălalt - al doilea; elementele din locurile rămase sunt aceleași pentru reperele celor trei determinanți. De exemplu,

PROPRIETATE 8. Dacă la elementele unei coloane (sau a unui rând) adăugăm elementele corespunzătoare unei alte coloane (sau altui rând), înmulțite cu orice factor comun, atunci valoarea determinantului nu se va modifica. De exemplu,

.

Alte proprietăți ale determinanților sunt legate de conceptul de complement algebric și minor. Minorul unui anumit element este un determinant obtinut de la unul dat prin stergerea unui rand si a unei coloane la intersectia carora se afla acest element.

Complementul algebric al oricărui element al determinantului este egal cu minorul acestui element, luat cu semnul său, dacă suma numerelor rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul este un număr par și cu semnul opus dacă acest număr este impar.

Vom nota complementul algebric al unui element printr-o literă majusculă cu același nume și același număr cu litera care desemnează elementul în sine.

PROPRIETATE 9. Determinant

este egală cu suma produselor elementelor oricărei coloane (sau rând) prin complementele lor algebrice.

Cu alte cuvinte, sunt valabile următoarele egalități:

, ,

, .

6) Minori și adunări algebrice.

Definiție. Elementul minor al determinantului este th Ordin sunt numite determinant- ordinul, care se obține din dat determinant prin tăierea rândului --lea și a coloanei --a, la intersecția cărora se află elementul.

Desemnare:.

Definiție. Complementul algebric al unui element al determinantului de ordine se numește minor al acestuia, luat cu semn plus dacă este număr par și cu semn minus în caz contrar.

Desemnare:.

Teorema. (Despre expansiunea determinantului.)

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (sau oricărei coloane) a determinantului prin complementele lor algebrice:

7) Matrice inversă- asa matrice A −1 , atunci când este înmulțit cu care, matricea originală A rezultă în matrice de identitate E:

Matrice pătrată este reversibil dacă și numai dacă este nedegenerat, adică ei determinant nu este zero. Pentru matrici nepătrate și matrici degenerate nu există matrici inverse. Cu toate acestea, este posibil să se generalizeze acest concept și să se introducă matrici pseudoinverse, similar cu inversul în multe proprietăți.

8)Rangul matricei- cea mai mare dintre comenzi minori a acestei matrice nenule

De obicei, rangul unei matrice este notat cu () sau. Ambele denumiri ne-au venit din limbi străine, prin urmare ambele pot fi folosite.

Proprietăți

Teorema (pe minorul de bază): Fie r = rang A M minorul de bază al matricei A, atunci:

rândurile de bază și coloanele de bază sunt liniar independente;

orice rând (coloană) a matricei A este o combinație liniară de rânduri (coloane) de bază.

Iată proprietățile care sunt utilizate în mod obișnuit pentru a calcula determinanții într-un curs standard de matematică superior. Acesta este un subiect subsidiar la care ne vom referi din restul secțiunilor după cum este necesar.

Deci, fie o anumită matrice pătrată $ A_ (n \ ori n) = \ left (\ begin (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \\ \ end ( matrice) \ dreapta) $. Fiecare matrice pătrată are o caracteristică numită determinant (sau determinant). Nu voi intra aici în esența acestui concept. Dacă necesită lămuriri, atunci vă rog să vă dezabonați despre asta pe forum și voi atinge această problemă in detaliu.

Determinantul matricei $ A $ se notează $ \ Delta A $, $ | A | $ sau $ \ det A $. Ordinea determinantă este egal cu numărul de rânduri (coloane) din acesta.

1. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloanele corespunzătoare, adică. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.

   arată ascunde

   Să înlocuim rândurile din el cu coloane conform principiului: "a fost primul rând - prima coloană a devenit", "a fost al doilea rând - a doua coloană a devenit":

   Să calculăm determinantul rezultat: $ \ left | \ begin (array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ end (array) \ right | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. După cum puteți vedea, valoarea determinantului nu s-a schimbat de la înlocuire.

2. Dacă schimbați două rânduri (coloane) ale determinantului, atunci semnul determinantului se va schimba în opus.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Se consideră determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (matrice) \ dreapta | $. Să-i găsim valoarea folosind formula # 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

   $$ \ stânga | \ begin (matrice) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (matrice) \ dreapta | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$

   Acum să schimbăm prima și a doua linie. Obținem determinantul $ \ left | \ begin (matrice) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (matrice) \ dreapta | $. Să calculăm determinantul rezultat: $ \ left | \ begin (array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (array) \ right | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. Deci, valoarea determinantului inițial a fost (-37), iar determinantul cu ordinea schimbată a rândurilor are valoarea $ - (- 37) = 37 $. Semnul de identificare s-a schimbat în sens invers.

3. Un determinant în care toate elementele unui rând (coloană) sunt egale cu zero este egal cu zero.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Deoarece în determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (matrice) \ right | $ toate elementele coloanei a treia sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu zero, i.e. $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (matrice) \ dreapta | = 0 $.

4. Un determinant în care toate elementele unui anumit rând (coloană) sunt egale cu elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană) este egal cu zero.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Deoarece în determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (matrice) \ right | $ toate elementele primei linii sunt egale cu corespunzătoare elemente ale celei de-a doua linii, atunci determinantul este zero, i.e. $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (matrice) \ dreapta | = 0 $.

5. Dacă într-un determinant toate elementele unui rând (coloană) sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană), atunci un astfel de determinant este egal cu zero.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Deoarece în determinantul $ \ stânga | \ begin (array) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (array) \ right | $ a doua și a treia linie sunt proporționale, adică. $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $, atunci determinantul este zero, i.e. $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta | = 0 $.

6. Dacă toate elementele unui rând (coloană) au un factor comun, atunci acest factor poate fi scos din semnul determinantului.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Se consideră determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (cc) -7 și 10 \\ -9 și 21 \ end (matrice) \ dreapta | $. Rețineți că toate elementele celei de-a doua linii sunt divizibile cu 3:

   $$ \ stânga | \ begin (matrice) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (matrice) \ dreapta | $$

   Numărul 3 este factorul comun al tuturor elementelor din al doilea rând. Să le scoatem pe cele trei pentru semnul determinant:

   $$ \ stânga | \ begin (matrice) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (array) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (array) \ right | = 3 \ cdot \ left | \ begin (matrice) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \ end (matrice) \ dreapta | $$

7. Determinantul nu se va schimba dacă la toate elementele unui anumit rând (coloană) adăugăm elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțite cu un număr arbitrar.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Se consideră determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | $. Să adăugăm elementelor din a doua linie elementele corespunzătoare ale celei de-a treia linii, înmulțite cu 5. Această acțiune se scrie astfel: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. A doua linie va fi schimbată, restul liniilor vor rămâne neschimbate.

   $$ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \ end (array) = \ left | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

8. Dacă un anumit rând (coloană) din determinant conține o combinație liniară de alte rânduri (coloane), atunci determinantul este egal cu zero.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Permiteți-mi să explic imediat ce înseamnă expresia „combinație liniară”. Să presupunem că avem s rânduri (sau coloane): $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $. Expresie

   $$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s, $$

   unde $ k_i \ în R $ se numește o combinație liniară de rânduri (coloane) $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $.

   De exemplu, luați în considerare următorul determinant:

   $$ \ stânga | \ începe (matrice) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ end (matrice) \ dreapta | $$

   În acest calificativ, a patra linie poate fi exprimată ca o combinație liniară a primelor trei linii:

   $$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$

   Prin urmare, determinantul luat în considerare este egal cu zero.

9. Dacă fiecare element dintr-un anumit k-lea rând (k-a coloană) al determinantului este egal cu suma a doi termeni, atunci un astfel de determinant este egal cu suma determinanților, primul dintre care în al-lea rând ( a k-a coloană) conține primii termeni, iar al doilea determinant îi are pe al doilea rând în rândul k (coloana a k-a). Alte elemente ale acestor calificative sunt aceleași.

   Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show \ hide

   Se consideră determinantul $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | $. Să scriem elementele coloanei a doua astfel: $ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (matrice) \ dreapta | $. Atunci un astfel de determinant este egal cu suma a doi determinanți:

   $$ \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (matrice) \ dreapta | = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | + \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ end (matrice) \ dreapta | $$

10. Determinantul produsului a două matrici pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților acestor matrici, i.e. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. Din această regulă, puteți obține următoarea formulă: $ \ det \ left (A ^ n \ right) = \ left (\ det A \ right) ^ n $.
11. Dacă matricea $ A $ este nedegenerată (adică, determinantul său nu este zero), atunci $ \ det \ left (A ^ (- 1) \ right) = \ frac (1) (\ det A) $.

Formule pentru calcularea determinanților

Pentru determinanții de ordinul doi și trei sunt valabile următoarele formule:

\ begin (ecuație) \ Delta A = \ left | \ begin (array) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ end (array) \ right | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ end (equation) \ begin (equation) \ begin (aligned) & \ Delta A = \ left | \ begin (matrice) (ccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ end (array) \ right | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21) ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33) ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ end (aliniat) \ end (ecuație)

Exemple de utilizare a formulelor (1) și (2) sunt în subiectul „Formule pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei. Exemple de calculare a determinanților”.

Determinantul matricei $ A_ (n \ ori n) $ poate fi extins în termeni de i-a linie folosind următoarea formulă:

\ begin (ecuație) \ Delta A = \ sum \ limits_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (in) A_ (in) \ end (ecuație)

Un analog al acestei formule există și pentru coloane. Formula pentru extinderea determinantului în coloana j-a este următoarea:

\ begin (ecuație) \ Delta A = \ sum \ limits_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ end (ecuație)

Regulile exprimate prin formulele (3) și (4) sunt ilustrate în detaliu cu exemple și explicate în subiectul Scăderea ordinii unui determinant. Descompunerea determinantului pe rând (coloană).

Să mai indicăm o formulă pentru calcularea determinanților matricelor triunghiulare superioare și triunghiulare inferioare (pentru o explicație a acestor termeni, vezi subiectul „Matrici. Tipuri de matrici. Termeni de bază”). Determinantul unei astfel de matrice este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Exemple:

\ începe (aliniat) & \ stânga | \ begin (matrice) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ end (matrice) \ dreapta | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \\ & \ stânga | \ begin (matrice) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ end (matrice) \ dreapta | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. \ end (aliniat)