Državni politehnički univerzitet u Sankt Peterburgu

Fakultet tehničke kibernetike

Katedra za automatiku i računarsko inženjerstvo

IZVJEŠTAJ

za laboratorijski rad br.3

Istraživanje rekurentnih algoritama digitalnog filtriranja

signale metodom usrednjavanja.

Završio student gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Provjerio: V.D. Yarmiychuk

St. Petersburg

1. Ciljevi rada

Svrha rada je upoznavanje sa različitim algoritmima za digitalno filtriranje signala metodom usrednjavanja i proučavanje efikasnosti njihovog rada u uslovima kada se korisnom signalu nameće interferencija tipa "bijeli šum" sa nultim matematičkim očekivanjem i

kontrolisanu disperziju.

2. Metodologija istraživanja

Istražuju se filteri zasnovani na sljedećim algoritmima:

1). Algoritam ponavljajućeg usrednjavanja sa beskonačnom memorijom.

Svrha filtera je da izoluje konstantnu komponentu korisnog signala od pozadine smetnji.

Izraz za to u rekurentnom obliku:

Kada obezbedi .

2). Algoritam ponavljajućeg usrednjavanja sa konstantnim faktorom korekcije.

Svrha filtera je da izoluje niskofrekventne komponente ulaznog korisnog signala od pozadine šuma.

Ako prihvatite, onda ovu jednačinu možete napisati u obliku:

Odatle pri prelasku na kontinuirano vrijeme dobijamo prijenosnu funkciju filtera:

Odnosno, filter konstruisan prema ovom algoritmu je ekvivalentan za male vrednosti

analogni niskopropusni filter prvog reda.

3). Rekurentni algoritam konačne memorije usrednjavanja.

Svrha filtera je da istakne niskofrekventne komponente ulaznog signala

koristeći usrednjavanje samo ograničenog broja svojih najnovijih mjerenja.

Efikasnost digitalnog filtriranja, odnosno mjere smanjenja nivoa buke na izlazu filtera u odnosu na nivo buke na ulazu, procijenit će se na sljedeći način:

Gdje: - šumni signal na ulazu filtera

Koristan signal na ulazu filtera

Filter izlaznog signala

Koristan signal na izlazu filtera

3. Šema eksperimenta (vidi Dodatak 1)

4. Rezultati eksperimenta

4.1. Algoritam ponavljajućeg usrednjavanja sa beskonačnom memorijom

Studije su provedene sa konstantnim periodom uzorkovanja od 100 ms.

Razmotrite kako se efikasnost filtera mijenja od veličine konstantnog ulaznog signala (X).

Algoritmi za analitičko gradiranje, digitalno filtriranje korištenjem metoda eksponencijalnog izglađivanja i pokretnog prosjeka. Robusni, visokopropusni, band pass i notch filteri. Diskretno diferenciranje, integracija i usrednjavanje izmjerenih vrijednosti.

Filter je sistem ili mreža koja selektivno mijenja oblik signala (amplitudno-frekvencijski ili fazno-frekvencijski odziv). Glavni ciljevi filtriranja su poboljšanje kvaliteta signala (na primjer, eliminacija ili smanjenje smetnji), izdvajanje informacija iz signala ili odvajanje nekoliko signala koji su prethodno bili kombinovani za, na primjer, efikasno korištenje dostupnog komunikacijskog kanala.

Digitalni filter - bilo koji filter koji obrađuje digitalni signal kako bi izolovao i/ili potisnuo određene frekvencije ovog signala.

Za razliku od digitalnog filtera, analogni filter se bavi analognim signalom, njegova svojstva su nediskretna (kontinuirana), odnosno prijenosna funkcija ovisi o unutarnjim svojstvima njegovih sastavnih elemenata.

Pojednostavljeni blok dijagram digitalnog filtera u realnom vremenu sa analognim ulazom i izlazom prikazan je na Sl. 8a. Uskopojasni analogni signal se periodično uzorkuje i pretvara u skup digitalnih uzoraka, x (n), n = 0,1, Digitalni procesor filtrira, mapirajući ulaznu sekvencu x (n) u izlaz y (n) prema računskom filteru algoritam. DAC pretvara digitalno filtrirani izlaz u analogne vrijednosti, koje se zatim analogno filtriraju kako bi se izgladile i uklonile neželjene visokofrekventne komponente.

Rice. 8a. Pojednostavljeni blok dijagram digitalnog filtera

Rad digitalnih filtara obezbjeđuje se uglavnom softverskim sredstvima, pa se ispostavlja da su mnogo fleksibilniji u primjeni u odnosu na analogne. Uz pomoć digitalnih filtera moguće je implementirati takve prijenosne funkcije koje je vrlo teško postići konvencionalnim metodama. Međutim, digitalni filteri još uvijek ne mogu zamijeniti analogne filtere u svim situacijama, tako da ostaje potreba za najpopularnijim analognim filterima.

Da bi se razumjela suština digitalnog filtriranja, prije svega, potrebno je odrediti matematičke operacije koje se provode nad signalima u digitalnom filtriranju (DF). Za ovo je korisno zapamtiti definiciju analognog filtera.

Linearni analogni filter je mreža sa četiri priključka, u kojoj se ostvaruje linearna transformacija ulaznog signala u izlazni signal. Matematički, ova transformacija je opisana običnom linearom diferencijalna jednadžba N-th red

gdje su i koeficijenti koji su ili konstante ili funkcije vremena t; - red filtera.

Linearni diskretni filter je diskretna verzija analognog linearnog filtera, u kojem je kvantizirana (uzorkovana) nezavisna varijabla - vrijeme (je korak uzorkovanja). U ovom slučaju, cjelobrojna varijabla se može smatrati "diskretnim vremenom", a signali funkcijama "diskretnog vremena" (tzv. rešetkaste funkcije).

Matematički, funkcija linearnog diskretnog filtera je opisana linearnim jednadžba razlike takve vrste

gdje i su očitanja ulaznog i izlaznog signala, respektivno; i - koeficijenti algoritma filtriranja, koji su ili konstante ili funkcije "diskretnog vremena" n.

Algoritam filtriranja (2.2) može se implementirati pomoću analogne ili digitalne tehnologije. U prvom slučaju, očitanja ulaznih i izlaznih signala po nivou nisu kvantizirana i mogu poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu njihove varijacije (tj. imaju snagu kontinuuma). U drugom slučaju, uzorci signala i kvantizirani su po nivou, te stoga mogu uzeti samo "dozvoljene" vrijednosti određene dubinom bita digitalnih uređaja. Osim toga, kvantizirani uzorci signala su kodirani, pa se aritmetičke operacije izvedene u izrazu (2.2) ne izvode na samim signalima, već na njihovim binarnim kodovima. Zbog kvantizacije u smislu nivoa signala i, kao i koeficijenata, jednakost u algoritmu (2.2) ne može biti tačna i ispunjava se samo približno.

Dakle, linearni digitalni filter je digitalni uređaj koji približno implementira algoritam filtriranja (2.2).

Glavni nedostatak analognih i diskretnih filtera je to što se pri promjeni radnih uvjeta (temperatura, tlak, vlažnost, naponi napajanja, starenje elemenata itd.) mijenjaju njihovi parametri. Ovo vodi do nekontrolisano greške izlaznog signala, tj. na nisku preciznost obrade.

Greška izlaznog signala u digitalnom filteru ne zavisi od uslova rada (temperatura, pritisak, vlažnost, naponi napajanja itd.), već je određena samo korakom kvantizacije signala i algoritmom samog filtera, tj. unutrašnji razlozi. Ova greška je kontrolisan, može se smanjiti povećanjem broja bitova za predstavljanje uzoraka digitalnih signala. Upravo ta okolnost određuje glavne prednosti digitalnih filtara u odnosu na analogne i diskretne (visoka tačnost obrade signala i stabilnost DF karakteristika).

DF-ovi prema tipu algoritma obrade signala se dijele na stacionarno i nestacionarni, rekurzivno i nerekurzivno, linearno i nelinearne.

Glavna karakteristika CF je algoritam filtriranja, prema kojem se sprovodi implementacija CF-a. Algoritam filtriranja opisuje rad CF-ova bilo koje klase bez ograničenja, dok druge karakteristike imaju ograničenja na klasu CF-ova, na primjer, neke od njih su pogodne za opisivanje samo stacionarnih linearnih CF-ova.

Rice. 11. Klasifikacija CF

Na sl. 11 prikazuje klasifikaciju digitalnih filtera (DF). Klasifikacija se zasniva na funkcionalnom principu, tj. Digitalni filteri su podijeljeni na osnovu algoritama koje implementiraju, a ne uzimajući u obzir karakteristike kola.

DF odabira frekvencije. Ovo je najpoznatija, dobro proučena i testirana u praksi vrsta CF. Sa algoritamske tačke gledišta, DF-ovi odabira frekvencije rješavaju sljedeće probleme:

· Dodjela (supresija) jednog a priori specificiranog frekvencijskog opsega; u zavisnosti od toga koje su frekvencije potisnute, a koje nisu, razlikuju se niskopropusni filter (LPF), visokopropusni filter (HPF), propusni filter (PF) i filtar za urezivanje (RF);

· Razdvajanje spektralnih komponenti signala linijskim spektrom na odvojenim frekvencijskim kanalima, jednako i ravnomjerno raspoređenih po cijelom frekventnom opsegu; razlikovati CF-ove sa decimacijom u vremenu i decimacijom u frekvenciji; a pošto je glavni metod smanjenja troškova hardvera kaskadno niže selektivnosti od originalnih skupova PF-ova, višestepena piramidalna struktura koja je rezultat toga nazvana je DF „preselektor-selektor“;

· Razdvajanje spektralnih komponenti signala u zasebne frekventne kanale, čiji se spektar sastoji od podopsega različitih širina, neravnomjerno raspoređenih u radnom opsegu filtera.

Pravi se razlika između filtera sa konačnim impulsnim odzivom (FIR filter) ili filtera sa beskonačnim impulsnim odzivom (IIR filter).

Optimalni (kvazioptimalni) CF. Ovaj tip filtera se koristi kada je potrebno procijeniti određene fizičke veličine koje karakteriziraju stanje sistema koji je podložan slučajnim smetnjama. Trenutni trend je korištenje dostignuća teorije optimalnog filtriranja i implementacija uređaja koji minimiziraju srednji kvadrat greške procjene. One se dijele na linearne i nelinearne, ovisno o tome koje jednačine opisuju stanje sistema.

Ako su jednadžbe stanja linearne, onda se primjenjuje optimalni Kalmanov CF, a ako su jednadžbe stanja sistema nelinearne, tada se koriste različiti višekanalni CF, čiji se kvalitet poboljšava povećanjem broja kanala.

Postoje različiti posebni slučajevi kada se algoritmi implementirani optimalnim (kvazioptimalnim) CF-ovima mogu pojednostaviti bez značajnog gubitka tačnosti: ovo je, prvo, slučaj linearnog stacionarnog sistema koji vodi do dobro poznatog Wienerovog CF-a; drugo, slučaj posmatranja samo u jednom fiksnom trenutku vremena, što dovodi do DF-a koji je optimalan prema kriterijumu maksimalnog odnosa signal-šum (SNR); treće, slučaj jednačina stanja sistema bliskog linearnom što dovodi do nelinearnih filtera prvog i drugog reda, itd.

Važan problem je i osiguranje neosjetljivosti svih navedenih algoritama na odstupanja statističkih karakteristika sistema od unaprijed zadanih; sinteza takvih DF-ova, koja se naziva robusna.

Adaptive CFs. Suština adaptivnog digitalnog filtriranja je sljedeća: za obradu ulaznog signala (obično se adaptivni DF-ovi grade jednokanalnim) koristi se konvencionalni FIR filter; međutim, IR ovog filtera ne ostaje podešen jednom za svagda, kao što je bio kada se razmatra DF odabira frekvencije; takođe se ne mijenja prema a priori datom zakonu, kao što je to bilo kada se razmatra Kalman CF; Oni se ispravljaju sa dolaskom svakog novog uzorka na način da se minimizira srednja kvadratna greška filtriranja u datom koraku. Adaptivni algoritam se razumije kao ponavljajuća procedura za ponovno izračunavanje vektora IH uzoraka u prethodnom koraku u vektor “novih” IH uzoraka za sljedeći korak.

Heuristički CF. Moguće su situacije kada je upotreba matematički ispravnih postupaka obrade nepraktična, jer dovodi do neopravdano velikih troškova hardvera. Heuristički pristup je (od grčkog i lat. Evrica- „traženje“, „otkrivanje“) u korišćenju znanja, proučavanju kreativnog, nesvesnog mišljenja čoveka. Heuristika je povezana sa psihologijom, fiziologijom više nervne aktivnosti, kibernetikom i drugim naukama. Heuristički pristup je "generisan" željom programera da smanje troškove hardvera i postao je široko rasprostranjen uprkos odsustvu rigoroznog matematičkog opravdanja. To su tzv. CF-ovi sa autorskim rješenjima kola, jedan od najpoznatijih primjera je tzv. srednji filter.

Fizički izvodljivi digitalni filteri, koji rade u realnom vremenu, mogu koristiti sljedeće podatke za generiranje izlaznog signala u diskretnom trenutku: a) vrijednost ulaznog signala u trenutku uzorkovanja, kao i određeni broj " past" ulaz uzorkuje određeni broj prethodnih uzoraka izlaznog signala Integers tip određuje redoslijed CF-a. Klasifikacija CF-a se vrši na različite načine, u zavisnosti od toga kako se koriste informacije o prošlim stanjima sistema.

Transverzalni CF.

Ovo je naziv za filtere koji rade u skladu sa algoritmom.

gdje je niz koeficijenata.

Broj je red poprečnog digitalnog filtera. Kao što se može vidjeti iz formule (15.58), poprečni filter vrši ponderisano zbrajanje prethodnih uzoraka ulaznog signala i ne koristi prethodne uzorke izlaznog signala. Primjenjujući z-transformaciju na obje strane izraza (15.58), uvjeravamo se u to

Otuda slijedi da sistemska funkcija

je frakciona racionalna funkcija z koja ima višestruki pol at i nule, čije su koordinate određene koeficijentima filtera.

Algoritam za funkcionisanje transverzalnog DF-a ilustruje blok dijagram prikazan na Sl. 15.7.

Rice. 15.7. Šema za konstrukciju transverzalnog digitalnog filtera

Glavni elementi filtera su blokovi kašnjenja vrijednosti uzorka za jedan interval uzorkovanja (pravokutnici sa simbolima), kao i blokovi skale koji obavljaju digitalno množenje s odgovarajućim koeficijentima. Sa izlaza blokova skale signali idu u sabirač, gdje zbrajanjem formiraju uzorak izlaznog signala.

Oblik dijagrama koji je ovdje prikazan objašnjava značenje pojma "poprečni filter" (od engleskog transverse - poprečno).

Softverska implementacija transverzalne digitalne funkcije.

Treba imati na umu da blok dijagram prikazan na Sl. 15.7 nije šematski dijagram električnog kola, već služi samo kao grafički prikaz algoritma za obradu signala. Koristeći sredstva FORTRAN jezika, razmotrimo fragment programa koji implementira poprečno digitalno filtriranje.

Neka se u RAM-u računara formiraju po dva jednodimenzionalna niza M ćelija: niz sa imenom X, koji čuva vrednosti ulaznog signala, i niz sa imenom A, koji sadrži vrednosti koeficijenti filtera.

Sadržaj ćelija u nizu X se mijenja svaki put kada se primi novi uzorak ulaznog signala.

Pretpostavimo da je ovaj niz popunjen prethodnim uzorcima ulaznog niza i razmotrimo situaciju koja nastaje u trenutku dolaska sljedećeg uzorka, koji u programu ima ime S. Ovaj uzorak treba da se nalazi u ćeliji broj 1, ali tek nakon što je prethodni zapis jedan položaj udesno, odnosno prema zaostaloj strani.

Elementi niza X formirani na ovaj način se množe pojam po član elementima niza A i rezultat se unosi u ćeliju pod nazivom Y, gdje se akumulira vrijednost uzorka izlaznog signala. Ispod je tekst programa transverzalnog digitalnog filtriranja:

Impulsni odgovor. Vratimo se na formulu (15.59) i izračunajmo impulsni odziv poprečne CF izvođenjem inverzne z-transformacije. Lako je vidjeti da svaki član funkcije daje doprinos jednak odgovarajućem koeficijentu, pomjerenom za pozicije prema kašnjenju. Dakle, ovdje

Do ovog zaključka se može doći direktno, uzimajući u obzir blok dijagram filtera (vidi sliku 15.7) i pod pretpostavkom da se na njegov ulaz ubacuje "jedan impuls".

Važno je napomenuti da impulsni odziv poprečnog filtera sadrži konačan broj članova.

Frekvencijski odziv.

Ako promijenimo varijablu u formuli (15.59), dobićemo koeficijent prijenosa frekvencije

Za dati korak uzorkovanja A, širok spektar oblika frekvencijskog odziva može se realizovati odgovarajućim odabirom težine filtera.

Primjer 15.4. Istražite frekvencijske karakteristike poprečnog digitalnog filtera drugog reda koji prosječuje trenutnu vrijednost ulaznog signala i dva prethodna uzorka prema formuli

Sistemska funkcija ovog filtera

Rice. 15.8. Frekventne karakteristike transverzalnog DF-a iz primjera 15.4: a - frekvencijski odziv; b - PFC

odakle nalazimo koeficijent prenosa frekvencije

Elementarne transformacije dovode do sljedećih izraza za frekvencijski odziv u faznom odzivu ovog sistema:

Odgovarajući grafikoni su prikazani na Sl. 15.8, a, b, gdje je vrijednost iscrtana duž horizontalnih osa - fazni ugao intervala uzorkovanja na trenutnoj vrijednosti frekvencije.

Pretpostavimo, na primjer, da, to jest, postoji šest uzoraka po jednom periodu harmonijske ulazne oscilacije. U ovom slučaju, ulazni niz će imati oblik

(apsolutne vrijednosti uzoraka nisu bitne, jer je filter linearan). Koristeći algoritam (15.62), nalazimo izlazni niz:

Vidi se da mu odgovara harmonijski izlazni signal iste frekvencije kao na ulazu, sa amplitudom jednakom amplitudi ulazne oscilacije i sa početnom fazom pomjerenom za 60° prema kašnjenju.

Rekurzivni DF-ovi.

Ovu vrstu digitalnih filtara karakterizira činjenica da se prethodne vrijednosti ne samo ulaznih i izlaznih signala koriste za formiranje izlaznog uzorka:

(15.63)

štaviše, koeficijenti koji određuju rekurzivni dio algoritma filtriranja nisu u isto vrijeme jednaki nuli. Da bi se naglasila razlika između struktura dva tipa digitalnih filtera, transverzalni filteri se nazivaju i nerekurzivni filteri.

Sistemska funkcija rekurzivne digitalne funkcije.

Izvodeći z-transformaciju obje strane rekurentne relacije (15.63), nalazimo da funkcija sistema

koji opisuje frekvencijska svojstva rekurzivnog CF-a, ima polove na z-ravni. Ako su koeficijenti rekurzivnog dijela algoritma realni, onda ovi polovi ili leže na realnoj osi ili formiraju kompleksne konjugirane parove.

Strukturni dijagram rekurzivnog digitalnog filtera.

Na sl. 15.9 prikazan je dijagram algoritma proračuna izvedenih u skladu sa formulom (15.63). Gornji dio blok dijagrama odgovara poprečnom (nerekurzivnom) dijelu algoritma filtriranja. Za njegovu implementaciju, u općenitom slučaju, potrebni su blokovi velikih razmjera (operacije množenja) i memorijske ćelije u koje se pohranjuju ulazni uzorci.

Donji dio blok dijagrama odgovara rekurzivnom dijelu algoritma. Koristi uzastopne izlazne vrijednosti, koje se pomiču od ćelije do ćelije tokom rada filtera.

Rice. 15.9. Strukturni dijagram rekurzivnog digitalnog filtera

Rice. 15.10. Strukturni dijagram kanonskog rekurzivnog digitalnog filtera 2. reda

Nedostatak ovog principa implementacije je potreba za velikim brojem memorijskih ćelija, odvojeno za rekurzivne i nerekurzivne dijelove. Savršenije su kanonske sheme rekurzivnih digitalnih funkcija, u kojima se koristi minimalni mogući broj memorijskih ćelija, jednak najvećem broju. Kao primjer, sl. 15.10 prikazuje blok dijagram kanonskog rekurzivnog filtera drugog reda, koji odgovara sistemskoj funkciji

Da biste bili sigurni da ovaj sistem implementira datu funkciju, razmotrite pomoćni diskretni signal na izlazu sabirača 1 i zapišite dvije očigledne jednačine:

(15.67)

Izvodeći -transformaciju jednačine (15.66), nalazimo da

S druge strane, u skladu sa izrazom (15.67)

Kombinujući relacije (15.68) i (15.69), dolazimo do zadate sistemske funkcije (15.65).

Stabilnost rekurzivnih digitalnih funkcija.

Rekurzivna digitalna funkcija je diskretni analog sistema dinamičke povratne sprege, budući da su vrijednosti njegovih prethodnih stanja pohranjene u memorijskim ćelijama. Ako su dati neki početni uvjeti, odnosno skup vrijednosti, tada će filter u nedostatku ulaznog signala formirati elemente beskonačnog niza koji igra ulogu slobodnih oscilacija.

Digitalni filtar se naziva stabilnim ako je slobodni proces koji u njemu nastaje nerastući niz, tj. vrijednosti na ne prelaze određeni pozitivan broj M, bez obzira na izbor početnih uvjeta.

Slobodne oscilacije u rekurzivnoj digitalnoj funkciji zasnovanoj na algoritmu (15.63) su rješenje linearne diferencialne jednačine

Po analogiji s principom rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi, tražit ćemo rješenje za (15.70) u obliku eksponencijalne funkcije

sa još nepoznatom vrednošću. Zamjenom (15.71) u (15.70) i ​​poništavanjem zajedničkim faktorom vidimo da je a korijen karakteristične jednadžbe

Na osnovu (15.64), ova jednačina se tačno poklapa sa jednačinom koju zadovoljavaju polovi sistemske funkcije rekurzivne CF.

Neka se pronađe korijenski sistem jednačine (15.72). Tada će opšte rješenje jednačine razlike (15.70) imati oblik

Koeficijente treba odabrati tako da su početni uslovi zadovoljeni.

Ako svi polovi sistemske funkcije, tj. brojevi ne prelaze jedan u apsolutnoj vrijednosti, budući da se nalaze unutar jedinične kružnice sa središtem u tački, tada će na osnovu (15.73) svaki slobodni proces u CF biti opisan terminima opadajuće geometrijske progresije i filter će biti stabilan. Jasno je da se samo stabilni digitalni filteri mogu praktično primijeniti.

Primjer 15.5. Istražite stabilnost rekurzivnog digitalnog filtera 2. reda sa sistemskom funkcijom

Karakteristična jednačina

ima korene

Kriva opisana jednadžbom na ravni koeficijenta je granica iznad koje su polovi sistemske funkcije realni, a ispod koje su kompleksno konjugirani.

Za slučaj kompleksno konjugiranih polova, dakle, jedna od granica područja stabilnosti je prava linija 1.

Rice. 15.11. Područje stabilnosti rekurzivnog filtera 2. reda (polovi filtera su kompleksno konjugirani u području označenom bojom)

Uzimajući u obzir realne polove na, imamo uslov stabilnosti u obliku

Fizički izvodljivi digitalni filteri, koji rade u realnom vremenu, mogu koristiti sljedeće podatke za generiranje izlaznog signala u i-tom diskretnom trenutku vremena: a) vrijednost ulaznog signala u trenutku i-tog uzorka, kao kao i određeni broj "prošlih" ulaznih uzoraka b) određeni broj prethodnih uzoraka izlaznog signala. Cijeli brojevi m i n definiraju redoslijed CF-a. Klasifikacija CF-a se vrši na različite načine, u zavisnosti od toga kako se koriste informacije o prošlim stanjima sistema.

Traisverse CF. Ovo je naziv za filtere koji rade u skladu sa algoritmom.

gdje -redosled koeficijenata.

Broj T je red transverzalnog digitalnog filtera. Kao što se može vidjeti iz formule (2.138), poprečni filter provodi ponderisano zbrajanje prethodnih uzoraka ulaznog signala i ne koristi prethodne uzorke izlaznog signala. Primjenjujući z-transformaciju na obje strane izraza (2.138), vidimo da

Otuda slijedi da sistemska funkcija

je razlomka racionalna funkcija z , ima m-struki pol na z = 0 i T nule čije su koordinate određene koeficijentima filtera.

Algoritam za funkcionisanje transverzalnog DF-a ilustruje blok dijagram prikazan na Sl. 2.17.

Rice. 2.17. Šema za konstrukciju transverzalnog digitalnog filtera

Glavni elementi filtera su blokovi kašnjenja vrijednosti uzorka za jedan interval uzorkovanja (pravokutnici sa simbolima z -1), kao i skali blokovi koji vrše digitalno množenje odgovarajućim koeficijentima. Sa izlaza blokova skale signali idu u sabirač, gdje zbrajanjem formiraju uzorak izlaznog signala.

Oblik dijagrama koji je ovdje prikazan objašnjava značenje pojma "poprečni filter" (od engleskog transverse).

Impulsni odgovor. Vratimo se na formulu (2.139) i izračunajmo impulsni odziv poprečne CF izvođenjem inverzne z-transformacije. Lako je vidjeti da svaki član funkcije H (z) daje doprinos jednak odgovarajućem koeficijentu , displaced by NS pozicije prema zaostaloj strani. Dakle, ovdje

Do ovog zaključka se može doći direktno, uzimajući u obzir blok dijagram filtera (vidi sliku 2.17) i pod pretpostavkom da se "jedan impuls" (1, 0, 0, 0, ...) dovodi na njegov ulaz.

Važno je napomenuti da impulsni odziv poprečnog filtera sadrži konačan broj članova.

Frekvencijski odziv. Ako u formuli (2.139) promijenimo varijablu , tada dobijamo koeficijent prijenosa frekvencije

Za dati korak uzorkovanja A moguće je realizovati širok spektar oblika frekvencijskog odziva odgovarajućim odabirom težine filtera.

Metode sinteze digitalnih filtera. Najrasprostranjenije u praksi sinteze digitalnih filtera su tri metode opisane u nastavku.

Metoda invarijantnih impulsnih odgovora.

Ova metoda se zasniva na pretpostavci da sintetizovani digitalni filter treba da ima impulsni odziv, koji je rezultat uzorkovanja impulsnog odziva odgovarajućeg prototipa analognog filtera. To znači sintezu fizički ostvarivih sistema kod kojih impulsni odziv nestaje t<0 , dobijamo sljedeći izraz za impulsni odziv CF:

gdje T korak vremenskog uzorkovanja.

Treba napomenuti da broj pojedinačnih članova u izrazu za impulsni odziv CF može biti ili konačan ili beskonačan. Ovo određuje strukturu sintetizovanog filtera: poprečni filter odgovara impulsnom odzivu sa konačnim brojem uzoraka, dok je rekurzivni DF potreban za implementaciju beskonačno dugog impulsnog odziva.

Odnos između koeficijenta impulsnog odziva i strukture DF-a posebno je jednostavan za poprečni filter. U opštem slučaju, sinteza strukture filtera se vrši primenom z-konverzija u niz gore navedenog oblika. Pronalaženjem funkcije sistema H (z) filter, trebalo bi da ga uporedite sa opštim izrazom i odredite koeficijente poprečnog i rekurzivnog dela. Stepen aproksimacije amplitudno-frekventne karakteristike sintetizovanog digitalnog filtera karakteristikama analognog prototipa zavisi od izabranog koraka uzorkovanja. Ako je potrebno, treba izračunati koeficijent prijenosa frekvencije digitalnog filtera izvođenjem u sistemskoj funkciji H (z) promijeniti varijablu po formuli
, a zatim uporedite rezultat sa pojačanjem frekvencije analognog kola.

DF sinteza zasnovana na diskretizaciji diferencijalne jednadžbe

analogno kolo.

Struktura digitalnog filtera, koja približno odgovara poznatom analognom kolu, može se doći diskretizacijom diferencijalne jednadžbe koja opisuje analogni prototip. Kao primjer korištenja ove metode, razmotrite sintezu CF-a koji odgovara oscilatornom dinamičkom sistemu drugog reda, za koji je odnos između izlaznih oscilacija y (t) i ulazno kolebanje x (t) je postavljena diferencijalnom jednadžbom

(2.142)

Pretpostavimo da je korak uzorkovanja  t i razmotrite kolekciju diskretnih uzoraka  at 1  i  NS 1  ... Ako se derivacije u formuli zamijene njihovim izrazima konačnih razlika, onda će se diferencijalna jednadžba pretvoriti u jednadžbu razlike

Preuređivanjem termina dobijamo:

(2.144)

Jednačina razlike definira algoritam rekurzivnog filtera drugog reda koji simulira analogni oscilatorni sistem i naziva se digitalni rezonator. Uz odgovarajući izbor koeficijenata, digitalni rezonator može djelovati kao frekvencijski selektivni filter, slično oscilatornom kolu.

Metoda invarijantnih frekvencijskih karakteristika .

U osnovi je nemoguće stvoriti digitalni filtar, čiji bi frekvencijski odziv tačno ponovio frekvencijski odziv nekog analognog kola. Razlog je taj što je, kao što znate, koeficijent prijenosa frekvencije DF-a periodična funkcija frekvencije s periodom određenim korakom uzorkovanja.

Govoreći o sličnosti (invarijantnosti) frekvencijskih karakteristika analognog i digitalnog filtera, možemo samo zahtijevati da se cijeli beskonačni interval frekvencija ω a, vezanih za analogni sistem, pretvori u frekvencijski segment ω q digitalnog filtera. zadovoljavanje nejednakosti
zadržavajući opći pogled na frekvencijski odziv.

Neka bude K a (R) prijenosna funkcija analognog filtera specificirana frakcionim racionalnim izrazom u stepenu str... Ako koristite odnos između varijabli z i p, tada možemo napisati:

. (2.145)

Sa ovim zakonom, odnos između str i z nemoguće je dobiti fizički ostvarivu funkciju filtera sistema, budući da je zamjena u izrazu K a (R)će dati sistemsku funkciju koja nije izražena kao količnik dva polinoma. Stoga, za sintezu niskopropusnih filtara, veza oblika

, (2.146)

koji takođe preslikava tačke jedinične kružnice u z-ravni u tačke imaginarne ose na p-ravni. Onda

, (2.147)

odakle slijedi odnos između frekvencijskih varijabli  analognih i digitalnih sistema:

. (2.148)

Ako je stopa uzorkovanja dovoljno visoka ( c T<<1), tada, kao što se lako vidi iz formule (2.147),  a  c... Dakle, na niskim frekvencijama, karakteristike analognog i digitalnog filtera su praktički iste. Generalno, potrebno je uzeti u obzir transformaciju skale duž frekventne ose digitalnog filtera.

U praksi, postupak za sintezu CF je onaj u funkciji K a (R) analogno kolo se zamjenjuje promjenljivom prema formuli (2.145). Rezultirajuća sistemska funkcija DF-a se pokazuje kao razlomačno-racionalna i stoga omogućava direktno zapisivanje algoritma digitalnog filtriranja.

Pitanja za samotestiranje

Koji se filter naziva podudarnim.

Kakav je impulsni odziv filtera.

Koji je signal na izlazu usklađenog filtera.

Koji se filteri nazivaju digitalnim.

Koja je razlika između algoritama za rad rekurzivnog i transverzalnog filtera.

Koje su glavne metode za sintetizaciju digitalnih filtera? .

Koja su glavna svojstva diskretne Fourierove transformacije.

LABORATORIJSKI RAD

ALGORITMI ZA FILTERIRANJE SIGNALAU sistemu upravljanja procesom

Target. Upoznavanje sa algoritmima za filtriranje izmerenih slučajnih signala, koji su najčešći u sistemu upravljanja procesima, i vršenje komparativne analize njihove tačnosti i karakteristika implementacije u računaru.

Vježba

1) za date karakteristike slučajnih signala izračunati optimalne parametre filtera,

2) simulirati sistem filtracije na računaru i izračunati grešku filtracije za svaku od razmatranih metoda,

3) izvršiti uporednu analizu efikasnosti razmatranih algoritama.

Osnovne odredbe. 1 Izjava o optimalnom problemu filtracije. Signali mjernih uređaja često sadrže slučajnu grešku - smetnje. Zadatak filtriranja je da odvoji korisnu komponentu signala od smetnji u jednom ili drugom stepenu. Po pravilu, i korisni signal i interferencija se pretpostavljaju kao stacionarni slučajni procesi za koje su poznate njihove statističke karakteristike: matematičko očekivanje, varijansa, korelaciona funkcija, spektralna gustina. Poznavajući ove karakteristike, potrebno je pronaći filter u klasi linearnih dinamičkih sistema ili u užoj klasi linearnih sistema sa datom strukturom tako da se signal na izlazu filtera što manje razlikuje od korisnog signala.

Slika 1. O iskazu problema filtracije

Uvedemo notaciju i preciznije formulirajmo problem filtracije. Neka ulaz filtera ima impulsni odziv Za(t) i odgovarajući (zbog Fourierove transformacije) 0

AFH W(iω) primaju se korisni signali x(t) i smetnje koje nisu povezane s tim z(t) (sl. 1). Korelacijske funkcije i spektralne gustoće korisnog signala i interferencije su označene sa R x (t), S x (t), R z (t) i S z (t) ... Potrebno je pronaći karakteristike filtera k (t) ili W (t) tako da efektivna vrijednost razlike ε između signala na izlazu filtera i korisnog signala x je bio minimalan. Ako je karakteristika filtera poznata s točnošću od jednog ili više parametara, tada je potrebno odabrati optimalne vrijednosti ovih parametara.

Greška ε sadrži dvije komponente. Prvi ( ε 1 ) je povezano sa činjenicom da će neki dio buke ipak proći kroz filter, a drugi ( ε 2 ) - tako da će se oblik korisnog signala promijeniti prilikom prolaska kroz filter. Dakle, određivanje optimalne karakteristike filtera je potraga za kompromisnim rješenjem koje minimizira ukupnu grešku.

Predstavimo frekvencijski odziv filtera u obliku:

W (iω) = A (ω) exp.

Koristeći formule koje povezuju spektralne gustine slučajnih procesa na ulazu i izlazu linearnog sistema sa njegovim frekvencijskim odzivom, izračunavamo spektralne gustine svake od komponenti greške.

Za grešku povezanu sa preskakanjem šuma dobijamo

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Spektralna gustina greške povezane sa izobličenjem korisnog signala je

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W(iω)| 2

Zbir ovih komponenti S ε ima spektralnu gustinu

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

S obzirom na to

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) grijeh 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Srednja kvadratna greška je povezana sa spektralnom gustinom izrazom

Minimiziranjem S ε (ω ) on f(ω) i A (ω), dolazimo do jednadžbi

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

Pronađene karakteristike optimalnog filtera odgovaraju spektralnoj gustini greške

Minimalna srednja kvadratna greška

(3)

Nažalost, pronađeni filter nije ostvariv, jer uslov jednakosti nuli na svim frekvencijama fazno-frekventnog odziva znači da je impulsni odziv filtera parna funkcija, on je različit od nule ne samo za t>0 , ali i na t(Slika 2, a).

Za svaki fizički izvodljiv filter vrijedi sljedeći zahtjev: Za(t) = 0 at t (slika 2, b). Ovaj zahtjev bi trebao biti uveden u opis problema. Naravno, ostvariva greška σ istovremeno bi se povećao. Problem optimalnog filtriranja uzimajući u obzir fizičku izvodljivost je riješen.

Rice. 2. Impulsne karakteristike neostvarivih (a) i ostvarivih (b) filtera

Rice. 3. Spektralne gustine korisnog signalaS x (ω) i šumS z (ω) i amplitudno-frekvencijsku karakteristiku optimalnog filtera A * (ω) bez preklapanja (a) i preklapanja (b)S x (ω) iS z (ω)

N. Wiener. Njegovo rješenje je mnogo složenije od gore navedenog, stoga ćemo u ovom radu tražiti fizički ostvarive filtere samo u klasi filtara čije su karakteristike specificirane točno na vrijednosti parametara. Količina izračunata po formuli (3) može poslužiti kao niža procjena dostižne greške filtriranja.

Fizičko značenje relacije (2, b) ilustrovano je na Sl. 3. Ako se spektri korisnog signala i interferencije ne preklapaju, onda A (ω) treba biti jednaka nuli gdje je spektralna gustina interferencije različita od nule i jednaka jedinici za sve frekvencije na kojima S x (ω)>0 ... Na sl. 3, b prikazuje karakter A * (ω) u slučaju kada se spektralne gustine signala i interferencije međusobno preklapaju.

Među filterima sa datom strukturom, najrašireniji su filteri zasnovani na operaciji pokretnog proseka, kao i eksponencijalni filter i tzv. statistički filter nultog reda. Eksponencijalni filter je aperiodični filter prvog reda, a statistički filter nultog reda je pojačavajuća veza. Razmotrimo detaljnije svaki od navedenih filtera.

Filter pokretnog prosjeka. Izlaz filtera je povezan s njegovim ulazom omjerom

Impulsna prelazna funkcija filtera je prikazana na slici 4, a. Frekventne karakteristike su jednake

Impulsni odziv se može izraziti u terminima Hevisajdove funkcije 1(t)

k(t) = k.

Podesivi parametri filtera su pojačanje k i pamćenje T.

Eksponencijalni filter(Sl. 4, b). Izlazni signal je određen diferencijalnom jednadžbom

y/ γ + y = kg

Impulsni odgovor je:

Frekventne karakteristike

Parametri filtera su pojačanje k i vremenska konstanta inverzna na γ .

Rice. 4. Impulsne prolazne funkcijek(t) i amplitudno-frekventne karakteristike A (ω) tipičnih filtera: a - trenutni prosjek; b - eksponencijalni; c) statički nulti red

Statistički filter nultog reda. Ovaj filter, kao što je gore spomenuto, je pojačavajuća veza. Njegove karakteristike

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Težina navedenih filtera ne dozvoljava postizanje idealnog filtriranja čak i kod disjunktnih spektra signala i interferencije. Minimizirajte grešku σ ε možete odabrati parametre k, T, γ... To zahtijeva karakteristike filtera A (ω) i f(ω) kao funkciju frekvencije i parametara, zamijenite u formuli (1), uzmite integral rezultirajućeg izraza, koji će biti funkcija parametara filtera, i pronaći minimum ovog integrala nad parametrima.

Na primjer, za statistički filter Coulombovog reda, spektralna gustina greške će imati oblik:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integral S ε jednaka je varijansi interferencije pomnožene sa π ... Dobijamo

Uzmimo u obzir da su integrali na desnoj strani ove jednakosti jednaki varijansama korisnog signala i šuma, tako da

Uslov za minimum ovog izraza u odnosu na k vodi jednakosti

Nakon zamjene pronađene vrijednosti k u izraz za varijansu greške, dobijamo:

Filtri trenutnog prosjeka i eksponencijala imaju po dva podesiva parametra, a njihove optimalne vrijednosti se ne mogu tako lako izraziti kroz karakteristike korisnog signala i šuma, već se te vrijednosti mogu pronaći numeričkim metodama za pronalaženje minimum funkcije u dvije varijable.

Slika 5 Blok dijagram kompjuterske simulacije sistema za filtriranje slučajnih signala

2. Opis simuliranog sistema. Rad se izvodi modeliranjem na računaru sistema koji se sastoji od sljedećih blokova (slika 5).

1. Generator ulaznog signala I, uključujući generator slučajnih signala (GSS) i dva filtera za oblikovanje sa određenim karakteristikama W x (iω) i W z (iω) , na čijem izlazu se prima koristan signal x(t) i prepreka z(t) ... Između generatora slučajnih signala i filtera za oblikovanje W z uključivao vezu za kašnjenje Δ, koja omogućava pomak od dva do tri ciklusa takta. U ovom slučaju, ulaz filtera koji stvara smetnje i ulaz filtera koji formira korisni signal nisu u korelaciji jedan s drugim.

2. Blok za izračunavanje korelacijskih funkcija
.

3. Jedinica za filtriranje (II), uključujući i stvarni filter
i blok za izračunavanje greške filtriranja
.

Korisni signal generiran u sistemu x(t) i prepreka z(t) su stacionarni slučajni procesi čije se korelacijske funkcije mogu približno aproksimirati eksponentima oblika (slika 6)

(6)

gdje

Procjene varijance signala i izračunato pomoću bloka (pri τ = 0); parametre α i α z postavlja nastavnik.

3. Diskretna implementacija kontinualnih filtera. Koristimo diskretne implementacije kontinuiranih filtera opisanih gore. Korak diskretnosti t o uzimaju znatno manje od vremena opadanja korelacionih funkcija korisnog signala i šuma. Stoga se gornji izrazi (1) za izračunavanje σ ε kroz spektralne karakteristike ulaznog signala i šuma mogu koristiti u diskretnom slučaju.

Nađimo prvo diskretne analoge filtera koji formiraju slučajne procese s korelacijskim funkcijama iz signala primljenog od GSS-a (6). Spektralne gustine koje odgovaraju ovim korelacionim funkcijama imaju oblik

(7)

Prijenosne funkcije filtera za oblikovanje za slučaj kada je disperzija signala na izlazu GSS jednaka jedan, su

To nije teško vidjeti

Ako je signal na ulazu svakog od filtera za oblikovanje označen sa ξ , tada diferencijalne jednadžbe koje odgovaraju gore napisanim prijenosnim funkcijama imaju oblik

Odgovarajući analozi razlike biće upisani u formu;

Dakle, algoritam za rad filtera, koji formira korisni signal, ima oblik:

(8a)

Isto tako i za filter za oblikovanje buke

(8b)

Analogi kontinualnih filtera dizajniranih da izoluju smetnje su sljedeći:

za filter pokretnog prosjeka

(9)

gde je vrednost l izaberite iz uslova (l + 1) t O = T;

za eksponencijalni filter

(10)

za statistički filter nultog reda

at i = kg i (11)

Nalog za izvršenje. 1. Kreirajte i otklonite greške u potprogramima bloka za filtriranje trenutnih informacija i izračunavanje grešaka u filtriranju.

2. Dobiti realizacije slučajnih procesa na izlazu filtera za oblikovanje i koristiti ih za pronalaženje procjena varijansi korisnog signala i šuma, kao i korelacijskih funkcija R x (τ) i R z (τ) ... Približno definirati α NS i α z i uporedi sa izračunatim.

3. Izračunajte po S x (ω) i S z (ω) analitički ili na kompjuteru donja granica za grešku rms filtriranja.

4. Koristeći formulu (4), pronađite optimalni dobitak statističkog filtera nultog reda i odgovarajuću vrijednost uporediti sa.

5. Koristim jednu od dobro poznatih metoda pronalaženja minimuma funkcije dvije varijable i unaprijed kompajliran program za pronalaženje optimalnih parametara pokretnog prosjeka i eksponencijalnih filtera i srednje kvadratne greške filtriranja. U ovom slučaju, specifična kombinacija parametara filtera odgovara spektralnoj gustini greške S ε (ω) definisana formulom (1), i iz nje pronađite vrijednost nakon numeričke integracije.

6. Unesite program za filtriranje u računar, eksperimentalno odredite srednju kvadratnu grešku za optimalne i neoptimalne parametre filtera, uporedite rezultate sa izračunatim.

7. Sprovesti komparativnu analizu efikasnosti različitih algoritama filtriranja za sledeće indikatore: a) minimalnu dostižnu prosečnu kvadratnu grešku; b) potrebnu količinu RAM-a; c) kompjutersko računanje vremena.

Izveštaj treba da sadrži: 1) blok dijagram sistema (vidi sliku 5);

2) potprogrami oblikovanja i sintetizovanih filtera;

3) izračunavanje optimalnih parametara filtera i odgovarajućih vrednosti srednje kvadratne greške;

4) rezultate analize razmatranih algoritama i zaključaka.

Štand 6.2. Kreiranje projekta 6.3. Studija APCS na treningu laboratorija... sigurno ciljevi njihove aktivnosti. Ciljevi aktivnosti ...

I.O. Prezime "" 20 g

Dokument

Mode rad) ;. … […) [Naziv načina rad] ... prema laboratorija analize; 5) ... zahtjevi za APCS... Tehnološki procesi ... obrada i analiza informacija ( signale, poruke, dokumenti itd.... algoritmi filtracija i algoritmi eliminisati buku iz cilj ...

Inteligentna automatizacija u terminskim i diplomskim projektima

apstraktno

Žice. cilj... proizvod ... signal HART za integraciju u sisteme APCS ... filtracija Postoje različite vrste senzora za prašinu. DT400G radi ... algoritam... hemijska industrija. Tehnička sredstva i laboratorija rad/ G.I. Lapšenkov, L.M. ...

Program rada discipline "Automatizacija tehnoloških procesa"

Radni program

... CILJEVI I CILJEVI UČENJA DISCIPLINE Svrha... glavne komponente APCS- kontroleri ... pogledi signale c ... ispravke grešaka, filtracija poruke,... algoritmi i programi, diskusije, vršenje kontrole radi. Laboratorija casovi. Laboratorija ...