Jedan od načina rješavanja diferencijalnih jednadžbi (sistema jednačina) sa konstantnim koeficijentima je metoda integralnih transformacija, koja omogućava zamjenu funkcije realne varijable (izvorne funkcije) funkcijom kompleksne varijable (slikom funkcije). ). Kao rezultat toga, operacije diferencijacije i integracije u prostoru originalnih funkcija transformiraju se u algebarsko množenje i dijeljenje u prostoru funkcija slike. Jedan od predstavnika metode integralnih transformacija je Laplaceova transformacija.

Kontinuirana Laplaceova transformacija- integralna transformacija koja povezuje funkciju kompleksne varijable (sliku funkcije) sa funkcijom realne varijable (original funkcije). U ovom slučaju, funkcija realne varijable mora zadovoljiti sljedeće uvjete:

Funkcija je definirana i diferencibilna na cijeloj pozitivnoj poluosi realne varijable (funkcija zadovoljava Dirichletove uslove);

Vrijednost funkcije do početnog trenutka izjednačena je sa nulom ;

Rast funkcije je ograničen eksponencijalnom funkcijom, tj. za funkciju realne varijable postoje takvi pozitivni brojevi M i sa , šta u, gdje c - apscisa apsolutne konvergencije (neki pozitivan broj).

Laplaceova transformacija (direktna integralna transformacija) funkcija realne varijable naziva se funkcija sljedećeg oblika (funkcija kompleksne varijable):

Funkcija se naziva original funkcije, a funkcija njena slika. Kompleksna varijabla se zove Laplaceov operator, gdje je ugaona frekvencija, neki pozitivni konstantni broj.

Kao prvi primjer, definiramo sliku za konstantnu funkciju

Kao drugi primjer, definiramo sliku za kosinusnu funkciju ... Uzimajući u obzir Ojlerovu formulu, kosinusna funkcija se može predstaviti kao zbir dva eksponencijala .

U praksi, za izvođenje direktne Laplaceove transformacije, koriste se transformacijske tablice u kojima su prikazani originali i slike tipičnih funkcija. Neke od ovih funkcija su predstavljene u nastavku.

Original i slika za eksponencijalnu funkciju

Original i slika za kosinusnu funkciju

Original i slika za sinusnu funkciju

Original i slika za kosinus koji se eksponencijalno raspada

Original i slika za eksponencijalno opadajući sinus

Treba napomenuti da je funkcija Heaviside funkcija koja uzima vrijednost nula za negativne vrijednosti argumenta i uzima vrijednost jednaku jedan za pozitivne vrijednosti argumenta.

Svojstva Laplaceove transformacije

Teorema linearnosti

Laplaceova transformacija je linearna, tj. bilo koji linearni odnos između originala funkcije vrijedi za slike ovih funkcija.

Svojstvo linearnosti olakšava pronalaženje originala složenih slika, jer omogućava da se slika funkcije predstavi kao zbir jednostavnih pojmova, a zatim da se pronađu originali svakog predstavljenog pojma.

Teorema diferencijacije originala funkcije

Diferencijacija originalne funkcije se poklapa množenje

Za početne uslove različite od nule:

Sa nultim početnim uslovima (poseban slučaj):

Tako je operacija diferenciranja funkcije zamijenjena aritmetičkom operacijom u prostoru slike funkcije.

Integraciona teorema originala funkcije

Integracija originalne funkcije odgovara divizije slike funkcije na Laplaceov operator.

Dakle, operacija integracije funkcije je zamijenjena aritmetičkom operacijom u prostoru slike funkcije.

Teorema sličnosti

Promjena argumenta funkcije (kompresija ili proširenje signala) u vremenskoj domeni dovodi do suprotne promjene argumenta i ordinate slike funkcije.

Povećanje trajanja impulsa uzrokuje kompresiju njegove spektralne funkcije i smanjenje amplituda harmonijskih komponenti spektra.

Teorema kašnjenja

Kašnjenje (pomak, pomak) signala argumentom originalne funkcije za interval dovodi do promjene fazno-frekventne funkcije spektra (fazni ugao svih harmonika) za datu količinu bez promjene modula (amplitude). funkcija) spektra.

Rezultirajući izraz vrijedi za bilo koji

Teorema pomaka

Kašnjenje (pomak, pomak) signala argumentom slike funkcije dovodi do množenja originalne funkcije eksponencijalnim faktorom

Sa praktične tačke gledišta, teorema pomaka se koristi za određivanje slika eksponencijalnih funkcija.

Teorema konvolucije

Konvolucija je matematička operacija koja se primjenjuje na dvije funkcije i koja rezultira trećom funkcijom. Drugim riječima, imajući odgovor određenog linearnog sistema na impuls, možete koristiti konvoluciju da izračunate odgovor sistema na cijeli signal.

Dakle, konvolucija originala dviju funkcija može se predstaviti kao proizvod slika ovih funkcija. Teorema usaglašavanja se koristi kada se razmatraju funkcije prijenosa, kada se odziv sistema (izlazni signal iz mreže s četiri priključka) određuje kada se signal primijeni na ulaz mreže s četiri priključka s impulsnim prolaznim odzivom.

Linearni četveropol

Inverzna Laplaceova transformacija

Laplaceova transformacija je reverzibilna, tj. funkcija realne varijable je jedinstveno određena iz funkcije kompleksne varijable . Za to se koristi formula inverzne Laplaceove transformacije(Melinova formula, Bromwich integral), koja ima sljedeći oblik:

U ovoj formuli, granice integracije znače da integracija ide duž beskonačne prave linije koja je paralelna sa imaginarnom osom i siječe realnu osu u tački. Imajući u vidu da se poslednji izraz može prepisati na sledeći način:

U praksi, da bi se izvršila inverzna Laplaceova transformacija, slika funkcije se razlaže na zbir najjednostavnijih razlomaka metodom nedefiniranih koeficijenata, a za svaki razlomak (u skladu sa svojstvom linearnosti) određuje se original funkcije , uključujući i uzimanje u obzir tablice tipičnih funkcija. Ova metoda vrijedi za prikaz funkcije koja je ispravan racionalni razlomak. Treba napomenuti da se najjednostavniji razlomak može predstaviti kao proizvod linearnih i kvadratnih faktora sa realnim koeficijentima, ovisno o vrsti korijena nazivnika:

Ako postoji nulti korijen u nazivniku, funkcija se razlaže na razlomak kao što je:

Ako u nazivniku postoji n-struki korijen od nule, funkcija se razlaže na razlomak tipa:

Ako postoji pravi korijen u nazivniku, funkcija se razlaže u razlomak kao što je:

Ako postoji pravi n-višestruki korijen u nazivniku, funkcija se razlaže u razlomak kao što je:

Ako postoji imaginarni korijen u nazivniku, funkcija se razlaže u razlomak kao što je:

U slučaju kompleksno konjugiranih korijena u nazivniku, funkcija se rastavlja u razlomak kao:

∙ Uglavnom ako je slika funkcije pravilan racionalni razlomak (stepen brojioca je manji od stepena nazivnika racionalnog razlomka), onda se može proširiti u zbir najjednostavnijih razlomaka.

∙ U posebnom slučaju ako se nazivnik slike funkcije razloži samo na jednostavne korijene jednadžbe, onda se slika funkcije može rastaviti na zbir najjednostavnijih razlomaka na sljedeći način:

Nepoznati koeficijenti mogu se odrediti metodom nedefiniranih koeficijenata ili na pojednostavljen način korištenjem sljedeće formule:

Vrijednost funkcije u tački;

Vrijednost derivacije funkcije u tački.

Transkript

1 Laplaceova transformacija Kratke informacije Laplaceova transformacija, koja se široko koristi u teoriji kola, je integralna transformacija primijenjena na vremenske funkcije f jednake nuli na< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Može se dokazati da ako Laplaceov integral konvergira za neku vrijednost s, onda on definira funkciju F koja je analitična u cijeloj poluravni> s Ovako definirana funkcija F može se analitički nastaviti na cijelu ravan kompleksne varijable = +, sa izuzetkom pojedinih singularnih tačaka.Najčešće se ovaj nastavak izvodi proširenjem formule dobijene izračunavanjem integrala na cijelu ravan kompleksne varijable.Funkcija F koja se analitički nastavlja na cijelu kompleksnu ravan je naziva se Laplaceova slika vremenske funkcije f ili jednostavno slika. Funkcija f u odnosu na njenu sliku F naziva se original. Ako je slika F poznata, onda se original može naći korištenjem inverzne Laplaceove transformacije f F d za > Integral na desnoj strani je konturni integral duž prave linije paralelne ordinatnoj osi. Vrijednost je odabrana tako da nema singularnih tačaka funkcije F u poluravni R>. su inverzna Laplasova transformacija i označene su simbolom f L (F) L 7

2 Razmotrite neka svojstva Laplaceove transformacije Linearnost Ovo svojstvo se može zapisati kao jednakost L (ff) L (f) L (f) Laplaceova transformacija derivacije funkcije df L () d df d F fdf 3 Laplaceova transformacija od integral: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Razmotrimo najjednostavniju primjenu Laplaceove transformacije u teoriji kola Slika prikazuje najjednostavnije elemente kola: otpor, induktivnost i kapacitivnost Trenutni pad napona na otporu je jednakost koja još uvijek postoji oblik Ohmovog zakona, ali već za slike napona i struje Za trenutni napon na induktivnosti, relacija diu L, tj. nema direktne proporcionalnosti, Ohmov zakon ovdje ne vrijedi Nakon Laplaceove transformacije, dobijamo U = LI LI +

3 Ako je, kao što je često slučaj, I + =, tada relacija poprima oblik U = LI Dakle, za slike napona i struje opet važi Ohmov zakon.Ulogu otpora igra veličina L, koja se naziva otpor induktivnosti. Za kapacitivnost imamo odnos između trenutnih vrijednosti napona i induktivnosti uid C Nakon Laplaceove transformacije, ovaj omjer ima oblik UI, C te ima oblik Ohmovog zakona, a kapacitivni otpor je jednako C Sastavimo tablicu direktnih i inverznih Laplaceovih transformacija elementarnih funkcija koje se nalaze u teoriji kola jedinični korak je određen jednakostima: at; kod Laplaceove transformacije ove funkcije bit će L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Razmotrimo sada inverznu transformaciju racionalnog razlomka, naime, transformaciju slika bbbb BF nnnnmmmm Neka m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 način Razložimo sliku na jednostavne razlomke i pomnožimo sa: nn KKKKB Potrudimo se. Tada na desnoj strani ostaje samo K: lim BK Na desnoj strani imamo nesigurnost oblika, koja je proširena prema L'Hôpitalovoj pravilo: "BK Zamjena, dobijamo" n BB Inverzna transformacija jednostavnog razlomka poznata: L Dakle, "n BBL Kamata je poseban slučaj kada je jedan od korijena nazivnika jednak nuli: BF U ovom slučaju, dekompozicija od F u jednostavne razlomke imat će oblik, kao što slijedi iz prethodnog," n BBB i B nema korijena od nule

6 3 Dakle, inverzna Laplaceova transformacija funkcije F će imati oblik: n B B B "L Razmotrimo drugi slučaj kada polinom u nazivniku B ima više korijena. Neka m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Neka opća svojstva kola Neka složeno kolo sadrži P grana i Q čvorova Tada se, prema prvom i drugom Kirchhoffovom zakonu, mogu sastaviti P + Q jednadžbe za P struje u granama i Q čvorne potencijale Jedan od Q čvornih potencijala se uzima kao nula. Ali broj jednačina se može smanjiti na Q, ako koristimo struje petlje kao naizmjenične struje. U ovom slučaju, prvi Kirchhoffov zakon je automatski ispunjen, budući da svaka struja ulazi i izlazi iz čvora, odnosno daje ukupna struja jednaka nuli, i, osim toga, Q potencijala čvora izraženi su kroz struje petlje. Ukupan broj jednačina, a samim tim i nezavisnih petlji postaje jednak P + QQ = PQ + Nezavisne jednačine se mogu napisati direktno ako se struje u petlji uzmu kao nepoznate jedna od drugih kontura Slika Za svaku od kontura se sastavljaju jednadžbe prema drugom Kirchhoffovom zakonu a Generalno, otpor grane je jednak i R i C i L gdje je i, =, n, n broj nezavisnih kola. Jednačine struja u petlji su sljedeće: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, ovdje je E i zbir svih EMF uključenih u i-to kolo. i-te konture Otpori ii predstavljaju zbir otpora uključenih u i-tu konturu Otpor i je dio otpor i-te 33 Slika Primjer nezavisnih kontura

8 Jednadžba za m-to kolo imat će oblik: kolo koje je također uključeno u th kolo Očigledno je da je za pasivno kolo jednakost i = i tačna. Razmotrimo kako jednačine struja kola za aktivna kola sadrže tranzistori su modificirani, fig mi mi mn I n Em I i Prenoseći drugi član s desne strane na lijevu stranu, ovu jednačinu transformiramo na sljedeći način: mi mi I i mn I n Em nepoznate, čvorni potencijali su takođe se koristi, računajući od potencijala jednog od čvorova, uzetog kao nula. Y koji se može prepisati na sledeći način: gde je sl Ekvivalentno kolo tranzistora u složenom kolu U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Sistem jednačina za čvorne potencijale ima oblik Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n U koji sadrži zavisne izvore struje Razmotrimo sada rješenja jednačina kola. Rješenje sistema jednadžbi struja petlje ima oblik za th struju: I, gdje je glavna determinanta sistema ista determinanta u kojoj je i-ti stupac zamijenjen elektromotornim silama s desne strane E, E, E n Pretpostavimo da postoji samo jedan EMF E u kolu, uključen u ulazno kolo, kojem je dodijeljen prvi broj. jednadžbe treba sastaviti tako da samo jedna struja kola prolazi kroz granu koja nas zanima, slika 4 Tada je ulazna struja jednaka IE, gdje je odgovarajuća algebarska determinanta komplementa i Slika 4 Kolo sa EMF u ulaznom kolu 35

10 Omjer EI se naziva ulazni otpor. Nasuprot tome, ovaj otpor uzima u obzir utjecaj svih kola. Za drugo izlazno kolo, imat ćemo I 36 E, gdje je odgovarajući algebarski sabirak. TIE odnos se naziva prijenosni otpor od prvog kola do drugog 5 Slika 5 Kolo sa izvorom struje na ulazu "UI" I, Y "Y" i provodljivošću prijenosa od prvog čvora do drugog: U "I" IYT, YT "" gdje je I struja dovedena u prvi čvor, U i U napon, dobijen u prvom i drugom čvoru, "je glavna determinanta sistema jednadžbi čvornih potencijala, a" i je odgovarajući algebarski komplement Između i Y tamo je relacija Y Za pasivni lanac, imali smo = Dakle, glavna determinanta sistema je simetrična Iz toga slijedi da su algebarski komplementi jednaki: = Dakle, jednaki su i otpor prijenosa T = T Ovo svojstvo se naziva svojstvom reciprocitet. Ovo je, kao što možemo vidjeti, simetrija matrice otpora. Svojstvo reciprociteta je formulirano na sljedeći način na slici 6: ako EMF koji se nalazi u ulaznom kolu uzrokuje neku struju u izlaznom kolu, tada je isti EMF uključen u izlazni krug će uzrokovati u ulaznom krugu,

11 re struja iste vrijednosti Ukratko, ovo svojstvo se ponekad formulira na sljedeći način: EMF u ulaznom kolu i ampermetar u izlaznom kolu mogu se zamijeniti, dok se očitavanje ampermetra neće promijeniti Slika 6 Ponašanje kola sa svojstvom reciprociteta 7 UE Slika 7 Koeficijent prijenosa napona tada Kao što slijedi iz dijagrama na slici 7: UUI n; ; K n E T E; I T U n Slično, trenutni omjer prijenosa može se odrediti I K I Slika 8: I Dakle I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I Slika 8 Trenutni odnos prijenosa Yn Y T T 37

12 3 Više o općim svojstvima funkcija kola Funkcije kola su funkcije varijable dobivene rješavanjem jednadžbi, na primjer, ulazni otpor vodljivosti, otpor provodljivosti prijenosa, itd. Za kola sa pauširanim parametrima, svaka funkcija kola je racionalna u odnosu na varijabla i predstavlja razlomak m F B bnmnbmmnn 38 bb i koeficijenti su realni Inače, može se predstaviti u obliku F bmnm, "" "gdje, m,", "," n korijena jednadžbi mbnmnbmnm, nbb Vrijednosti =, m se nazivaju nule funkcije F, a vrijednosti = ",", "n se nazivaju polovi Φ Očigledno, dvije racionalne funkcije, čije se nule i polovi poklapaju, mogu se razlikovati samo po konstantnim faktorima. drugim riječima, priroda ovisnosti parametara lanca o frekvenciji u potpunosti je određena nulama i polovima funkcije lanca.Polinom dobija konjugiranu vrijednost * = * i B * = B * Iz toga slijedi da ako polinom to Ako postoji kompleksan korijen, onda će to biti i korijen Dakle, nule i polovi lančane funkcije mogu biti ili stvarne ili formirati kompleksne konjugirane parove Neka je F funkcija lanca. Razmotrimo njegove vrijednosti na =: F F F Pošto su koeficijenti u brojiocu i nazivniku F realni, onda je F F n,

13 Ne F F F, F F F Upoređujući ove jednakosti uzimajući u obzir gore datu jednakost, dobijamo da je F F, F F, odnosno da je pravi dio funkcije kola parna funkcija frekvencije, a imaginarni neparan funkcija frekvencije 3 Stabilnost i fizička izvodljivost Razmotrimo jednakost koja određuje struju u ulaznom otporu uzrokovanu naponom U: UIB Neka je U jedinični korak, a zatim I, B gdje su i B polinomi iz Koristeći formulu za proširenje, može dobiti i BB "gdje su nule polinoma B i, prema tome, nule funkcije otpora i nule glavne determinante: = Ako barem jedna nula ima pozitivan realni dio, tada će se i povećavati beskonačno. Dakle, otpor, od kojih je najmanje jedna nula u desnoj poluravni, odgovara nestabilnom sistemu, 39

14 me Isti zaključak se može donijeti u pogledu otpora prijenosa T, ulazne provodljivosti Y, prijenosne provodljivosti YT Definicija Funkcija kola naziva se fizički izvodljivom ako odgovara krugu koji se sastoji od stvarnih elemenata, a nijedna od prirodnih vibracija ima amplitudu koja se neograničeno povećava sa Lanac naveden u definiciji naziva se stabilnim Nule glavne determinante fizički ostvarive stabilne funkcije lanca i, prema tome, nule funkcije otpora i vodljivosti treba da se nalaze samo u lijevoj strani poluravni varijable ili na osi realnih frekvencija.Ako se dvije ili više nula poklapaju s više korijena, tada odgovarajuća rješenja imaju oblik: M, gdje je M polinom stepena m, m je višestrukost korijena Ako, u isto vrijeme, =, i m>, tada odgovarajuće rješenje neograničeno raste o koeficijent e prijenos, onda se sve gore rečeno ne odnosi na nule, već na polove funkcije kola koeficijenta prijenosa.U stvari: n K Nule od T su polovi funkcije K, a otpor opterećenja je pasivan; njene nule svakako leže u pravoj ravni.Iz navedenog proizilazi da fizički ostvarive funkcije lanca imaju sljedeća svojstva: dok su nule i polovi lančane funkcije ili realne ili formiraju kompleksne konjugirane parove; b realni i imaginarni dijelovi lančane funkcije su, na stvarnim frekvencijama, parna i neparna frekvencijska funkcija, respektivno; u nulama glavne determinante, te, shodno tome, otpor provodljivosti i otpor provodljivosti prijenosa ne mogu ležati u desnoj poluravni, a višestruke nule ni u desnoj poluravni ni na osi realnih frekvencija T 4

15 3 Prolazni procesi u pojačavačima Rješavanje sistema jednadžbi kola daje sliku izlaznog signala za dati ulaz U = KE Funkcija kola u vremenskom domenu može se naći korištenjem inverzne Laplaceove transformacije u L (KE) Najveći interes je prelazni proces sa ulaznim signalom u obliku koraka Reakcija Odgovor sistema na jedan korak naziva se funkcija tranzicije.Poznavajući funkciju tranzicije, može se pronaći odgovor sistema na ulazni signal proizvoljnog Slika jednog koraka ima oblik, dakle, odgovor sistema na jedan korak je: K h L Inverzna Laplasova transformacija se može napisati kao: h LKK 4 d U isto vreme>, pošto je putanja Integracija treba da leži desno od pola = Od velikog interesa je definicija Slika 3. Kontura prelazne funkcije pojačala prema tipu njegove integracije sa frekvencijskim odzivom. Za ovo bi put izračunavanja prelazne integracije trebao biti u kombinaciji sa osom funkcije realnih frekvencija = Pol u t tačka = u ovom slučaju treba obići krug malog radijusa r Slika 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Idemo na granicu r Tada imamo d KVKK d KV h Ovdje izraz V sa integralom znači glavnu vrijednost ovog integrala. Rezultirajuća formula vam omogućava da pronađete prijelaznu funkciju kroz frekvencijski odziv pojačanja na Na osnovu ove formule mogu se izvući neki opšti zaključci. Zamijenite varijablu u h sa: d KVK h Ali h, kao što slijedi iz principa uzročnosti, budući da se signal pojavljuje na > Funkcija pojačanja K je složena i može se predstaviti kao zbir realnog i imaginarnog dijela: K = K + K r Zamjenom u izraz za h dobijamo d KKVK r Diferencirajući u odnosu na, dobijamo d KK r ili cos sin sin cos d KKKK rr

17 Imaginarni dio integranda je neparna funkcija frekvencije, pa je njegov integral jednak nuli. Kako je realni dio parna funkcija frekvencije, uvjet koji fizički ostvarivi koeficijent prijenosa mora zadovoljiti ima oblik: K cos K sin dr at Ovaj uslov, kao što smo videli, sledi iz principa kauzalnosti. Može se pokazati da je sistem čiji se koeficijent prenosa može zapisati kao odnos polinoma K, B stabilan u smislu da su sve nule polinoma B leži u lijevoj poluravni, zadovoljava princip kauzalnosti. Da bismo to učinili, istražujemo integral K hd za< и >Uvedemo dvije zatvorene konture i B, prikazane na slici 3. Slika 3. Integracijske konture: na< ; B при > 43

18 44 Razmotrimo funkciju u kojoj se integral preuzima na zatvorenoj konturi. Zbog Cauchyjeve teoreme o integralu, integral je jednak nuli, jer je u desnoj poluravni integrand analitičan uslovom. Integral se može zapisati kao zbir integrala po pojedinim sekcijama konture integracije: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Pošto je cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >vrijedi h B h za R Dakle: R h, za>

19 Ostatak u odnosu na prosti pol jednak je RB "koji smo već imali ranije K lim, 45 lim B Primjer Razmotrimo shemu integrirajućeg lanca prikazanu na slici 33. Za ovaj lanac, koeficijent prijenosa i njegov imaginarni i realni dijelovi imaju oblik: K; K; K r, gdje RC Dokažimo da prema gore datom uvjetu uzročnosti mora biti zadovoljena jednakost Jednakost je poznata cos sin d cos d Razlikovati desnu i lijevu stranu po: sin d Množenjem leve i desne strane ove jednakosti dobijamo: sin d, slika 33 Šema integracionog kola iz koje sledi jednakost koja je potrebna da se dokaže. Imajući prolaznu funkciju sistema, može se naći njen odgovor na bilo koji ulaz signal Za ovo, približno predstavljamo ulazni signal kao zbir jediničnih koraka Slika 34

20 Slika 34 Predstavljanje ulaznog signala Ovaj prikaz se može napisati kao: uuu Sljedeće uu "Odgovor na jedinični korak će biti jednak h Prema tome, izlazni signal se može približno predstaviti kao: uuhu" h Prelazak do granice na , umjesto zbroja, dobijamo integral uuhu "hd Ovaj jedan od oblika Duhamelovog integrala Integracijom po dijelovima možemo dobiti drugi oblik Duhamelovog integrala: uuhuh "d I, konačno, promjenom varijable =" , možemo dobiti još dva oblika Duhamelovog integrala: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 Neka svojstva dvopolnih kola 4 Opća svojstva ulazne funkcije otpora vodljivosti Mreže s dva terminala u potpunosti karakterizira funkcija ulaznog vodnog otpora Ova funkcija ne može imati nule u desnoj poluravni, kao ni višestruke nula na osi realnih frekvencija Pošto Y, onda nule od Y odgovaraju polovima i obrnuto Funkcija ulaznog otpora provodljivosti ne može imati polove u desnoj poluravni i višestruke polove na osi realnih frekvencija. vrijedi asimptotička jednakost: bm mn Kako ne bi trebalo biti više nula i polova na osi realnih frekvencija, slijedi da mn te potencije polinoma brojnika i nazivnika ne mogu se razlikovati za više od jedan. S obzirom na ponašanje wb lisi = slično, može se pokazati da se najmanji eksponenti brojnika i nazivnika ne mogu razlikovati za više od jedan. Fizičko značenje ovih izjava je da na vrlo visokim i vrlo niskim frekvencijama, pasivni dvopolni uređaj treba da se ponaša kao kapacitivnost ili induktivnost ili aktivni otpor n, 4 Energetske funkcije mreže s dva terminala Pretpostavimo da je mreža s dva terminala složeno kolo koje sadrži aktivne otpore, kapacitete i induktivne

Ako se sinusoidni napon dovede na stezaljke dva terminala, tada se na dva terminala rasipa nešto snage, čija prosječna vrijednost P karakterizira rasipanje energije Električna i magnetska energija pohranjena je u kondenzatorima i induktorima, prosječna vrijednost vrijednosti koje će biti označene sa WE i WH Ove vrijednosti izračunavamo pomoću jednadžbi struja petlje. Zapisujemo direktno izraze za gornje veličine analogno najjednostavnijim slučajevima Dakle, za otpor R, prosječna rasipana snaga je jednak PRII Slično, za kolo koje sadrži nekoliko grana, prosječna snaga se može izraziti kroz struje petlje: P i R i I i I Prosječna energija pohranjena u induktivnosti, jednaka WHLII Za složeno kolo, ovu vrijednost izražavamo kroz struje petlje: WH 4 i L i I Prosječna energija pohranjena u kondenzatoru je Ali Stoga, WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Na osnovu ovog omjera možete napisati izraz za ukupnu prosječnu električnu energiju: WE 4 Ii I i Ci Hajde da saznamo kako su ove veličine povezane sa ulaznim naponima i strujama Da bismo to učinili, zapišite jednadžbe struja petlje IRILIE; C I i R i I Li I; Ci Pomnožite svaku od jednadžbi sa odgovarajućom strujom 49 Ii i dodajte sve I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Ako je R i = R i; L i = L i; C i = C i, odnosno kolo zadovoljava princip reciprociteta i nema aktivnih elemenata, tada: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Zamjenom u gornju jednakost dobijamo E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE funkcije

24 Telledzhenova teorema vam omogućava da pronađete izraze za otpor i vodljivost Y u terminima energetskih funkcija: EIEIIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Neki zaključci se mogu izvući iz izraza za i Y u smislu energetskih funkcija. Ulazni otpor i provodljivost pasivnog kola ima nenegativan realni dio na osi realnih frekvencija Identično je nula samo ako nema gubitaka energije u kolu. Uslovi stabilnosti zahtijevaju da Y također nema nule i polove u desnoj polovini - ravan Odsustvo polova znači da su Y analitičke funkcije u desnoj poluravni. da ako je funkcija analitička u nekom području, onda njeni realni i imaginarni dijelovi postižu svoje najmanje i najveće vrijednosti na granici regije. funkcije ulaznog otpora i vodljivosti su analitičke u desnoj poluravni, njihov stvarni dio na granici ovog područja na osi realnih frekvencija dostiže najmanju vrijednost Ali na osi realnih frekvencija realni dio je nenegativan, dakle pozitivan je u cijeloj desnoj poluravni. Osim toga, funkcije i Y poprimaju realne vrijednosti ​​za realne vrijednosti, budući da su kvocijent podjele polinoma sa realnim koeficijentima Funkcija koja uzima realne vrijednosti za realne i ima pozitivan realni dio u desnoj poluravni naziva se pozitivnom realnom funkcijom. Ulazni otpor a funkcije provodljivosti su pozitivne realne funkcije Funkcija je bila pozitivna realna funkcija 3 Imaginarni dio na osi realne frekvencije jednak je nuli ako uređaj sa dva terminala ne sadrži reaktivne elemente ili prosječne rezerve magneta i EE;

25 električne energije u mreži sa dva terminala su iste. To je slučaj sa rezonancom; frekvencija na kojoj se to dešava naziva se rezonantna frekvencija. Treba napomenuti da se prilikom izvođenja energetskih odnosa za i Y u suštini koristilo svojstvo reciprociteta odsustva zavisnih izvora. Za kola koja ne zadovoljavaju princip reciprociteta i sadrže zavisne izvore, ova formula se može pokazati netačnom. Slika 4 prikazuje dijagram serijskog rezonantnog kola. Pogledajmo šta formula energije daje u ovom najjednostavnijem slučaju. Snaga koja se rasipa u otporu R kada teče struja I jednaka je PIR Prosječne rezerve električne i magnetske energije su jednake: WHLICU; W E Napon U na kondenzatoru kada struja I teče je Odavde W E I U C I C Zamjenom u formulu energije za, dobijamo L I I R I

26 Ovdje E E C C S I S E R R RC RC C C Neka, S >> C tako da se prvi član u zagradi može zanemariti S nagib lampe Tada će ulazna impedancija tada biti S I E RC E RC I S S S RC gdje je Req; Leq SS Slika 4 Elektronski otpor RC SR eq L eq, Očigledno je da će proračun ulaznog otpora korištenjem energetskih funkcija u ovom slučaju dati pogrešan rezultat Zaista, u ovom kolu nema rezerve magnetske energije koja određuje induktivnost. razlog neprikladnosti formule energije za ovo kolo je prisustvo u kolu zavisnog izvora Odabirom potrebnog faznog pomaka u krugu kontrolne mreže lampe moguće je dobiti induktivni ili kapacitivni fazni pomak između napon i struja na ulazu i, shodno tome, induktivna ili kapacitivna priroda ulaznog otpora Otpor ili vodljivost pasivnog kola nije negativan na osi stvarnih frekvencija. Može biti jednak nuli identično za bilo koju frekvenciju samo ako svi elementi kola nemaju gubitke, odnosno čisto su reaktivni. Ali čak i u prisustvu gubitaka, stvarni dio otpora ili vodljivosti može nestaju na nekim frekvencijama 5

27 Ako ne nestaje nigdje na imaginarnoj osi, tada se konstantna vrijednost može oduzeti od funkcije otpora ili vodljivosti bez kršenja uvjeta fizičke izvodljivosti tako da se stvarni dio, koji nije negativan, okreće nuli na nekoj frekvenciji polova u desnoj poluravni varijable, odnosno analitična je u ovom području, tada njen realni dio ima minimalnu vrijednost na svojoj granici, odnosno na imaginarnoj osi. Dakle, oduzimanjem ove minimalne vrijednosti ostaje realni dio pozitivan u desnoj poluravni Funkcija ulaznog otpora vodljivosti naziva se funkcijom tipa minimum - aktivni otpor provodljivosti, ako njen realni dio nestane na osi realnih frekvencija, tako da smanjenje ovog komponenta je nemoguća bez kršenja uslova pasivnosti. tada nula realnog dijela na osi realnih frekvencija ima višestrukost od najmanje , c i neminimalno aktivni tip d na slici 43, a kolo ima ulazni otpor neminimalno aktivnog tipa, pošto stvarni dio otpora ne nestaje ni na jednoj realnoj frekvenciji. U isto vrijeme, stvarni dio provodljivosti nestaje na frekvenciji = Dakle, kolo je kolo minimalne aktivne provodljivosti Na slici 43, b, kolo je kolo minimalnog aktivnog otpora, jer stvarni dio otpora nestaje na beskonačnoj frekvenciji 53

28 Na slici 43, kolo je kolo minimalnog aktivnog otpora R = na rezonantnoj frekvenciji serijskog kola.kolo u 3. kolu ima konačan otpor na rezonantnoj frekvenciji 44 Ulazni otpori provodljivosti aktivnih mreža sa dva terminala Slika 44 Uređaji sa dva terminala: a sa EMF izvorom, b sa dodatkom otpora R Otpori ulazne provodljivosti aktivnih, za razliku od pasivnih uređaja sa dva terminala, nisu pozitivne funkcije, pa stoga takve mreže sa dva terminala pod određenim uslovima mogu biti nestabilan. Razmotrite mogućnosti dostupne ovdje. Otpor ima nule u desnoj poluravni varijable, ali tamo nema polove. Razmotrite kolo prikazano na slici 44, i postavite eksponencijalno rastuća rješenja, tj. dvopolna nick je nestabilan kada se napaja iz EMF izvora, ili, inače, kada su njegovi terminali kratko spojeni. S druge strane, pošto nema polova u desnoj poluravni, to je analitička funkcija u ovoj poluravni. slijedi da realni dio dostiže minimum na granici desne poluravnine , tj. osi realnih frekvencija Ovaj minimum je negativan, jer bi u suprotnom slučaju bila pozitivna realna funkcija i ne bi mogla imati nule u desnoj Minimum realnog dijela na osi realne frekvencije može se povećati na nulu dodavanjem pozitivnog realnog otpora. U ovom slučaju funkcija + R postaje pozitivna realna funkcija. Dakle, mreža s dva terminala sa dodatkom otpor R će biti stabilan tokom kratkog spoja Slika 44, b.

29 Vodljivost Y ima nule u desnoj poluravni, ali tamo nema polova. Ovo je suprotan slučaj od prethodnog, jer znači da = / Y ima polove u desnoj poluravni, ali tamo nema nule .U ovom slučaju se istražuje stabilnost u kolu sa izvorom struje Slika 45, a Ako Y ima nule u desnoj poluravni, tada je mreža s dva terminala nestabilna tokom rada bez opterećenja.Dalje, možemo primijeniti Kako Y nema polova u desnoj poluravni, funkcija Y se može učiniti realnom pozitivnom funkcijom dodavanjem pozitivne realne provodljivosti G Gmin. nule u desnoj poluravni, ali tamo nema polove, može se učiniti stabilnim dodavanjem dovoljno velike realne provodljivosti.iz izvora napona 3 Funkcija ima nule i polove u desnoj poluravni.U ovom slučaju, za rješavanje pitanja stabilnosti zahtijeva posebno razmatranje Dakle, možemo izvući sljedeće zaključke: ako je aktivna mreža s dva terminala stabilna kada se napaja iz izvora struje, nema polova u desnoj poluravni, onda se može učiniti stabilnom kada se napaja iz izvora napona serijskim povezivanjem nekog pozitivnog otpora materijala; ako je aktivni uređaj s dva terminala stabilan kada se napaja iz izvora napona Y nema polove u desnoj poluravni, onda se može učiniti stabilnim kada se napaja iz izvora struje paralelnim povezivanjem dovoljno velike stvarne provodljivosti. Primjer Razmotrite paralelna veza negativnog otpora R sa kapacitivnošću C Slika 46 RCR Ovdje R RC CI 55 Y b G Slika 45 Dvopolne mreže: a sa izvorom struje; b sa dodatkom provodljivosti Y Y Slika 46 Dvopolni sa negativnim otporom I

30 Kao što vidite, nema nule u desnoj poluravni, stoga je takvo kolo stabilno kada se napaja iz izvora napona, ali je nestabilno u praznom hodu. Dodajmo induktivnost L u seriju Zatim Slika 47 Ekvivalentno kolo tunelske diode RRL LCR L RC RC Ova funkcija ima nule u desnoj poluravni: , RC 4 RC LC Dakle, kolo je nestabilno kada se napaja iz izvora napona, ali ima i pol u desnoj poluravni. pokušajte da ga učinite stabilnim dodavanjem nekog otpora u seriju R Slika 47 Tada R LCR RRC LRRLR RC RC Uslov stabilnosti se sastoji u odsustvu brojivih nula u desnoj poluravni. Za ovo, svi koeficijenti trinoma u brojiocu moraju biti pozitivan: RR CL; RR Ove dvije nejednakosti se mogu napisati kao: L CR RR Očigledno, takve nejednakosti su moguće ako LLR ili R RC C R pod uslovom R Kolo na slici 47 je ekvivalentno C kolu tunelske diode.

31 mogućnosti stabilizacije režima rada tunelske diode korištenjem vanjskog otpora Primjer Razmotrimo LC kolo sa paralelno povezanim negativnim otporom Slika 48 Nađi uslove za stabilnost kola bez opterećenja Da biste to uradili, izračunajte provodljivost: th R ili R> R o Kada je obrnuta nejednakost ispunjena, samooscilacije se pobuđuju u kolu na frekvenciji rezonantnog kola 45 određenim granicama bez kršenja uslova pasivnosti Fizički, ova promjena realne komponente konstantnom vrijednošću znači dodavanje ili isključivanje stvarnog aktivnog otpora, idealno nezavisno od frekvencije Promjena reaktivne komponente funkcije otpora n provodljivost po konstantnoj vrijednosti je neprihvatljiva, jer se time narušavaju uvjeti fizičke realizacije neparnosti imaginarne komponente funkcije kola Fizički se to objašnjava činjenicom da nema elemenata s čisto reaktivnim otporom provodljivosti neovisnim o frekvenciji. Međutim, promjena reaktivne komponente bez promjene aktivne komponente moguća u slučaju kada otpor provodljivosti ima polove na osi realnih frekvencija.Zbog uslova fizičke izvodljivosti takvi polovi trebaju biti jednostavni i složeni konjugirani

32 Neka otpor ima polove na frekvencijama Tada možemo razlikovati jednostavne razlomke MNBB Lako je vidjeti da NNMMN r MB r 58 B * M, MM Razmotrimo ponašanje jednog od razlomaka, na primjer, M / blizu = Tada MMM r M r M Blizu frekvencije, realna komponenta mijenja predznak, što je u suprotnosti s uvjetima fizičke realizacije. Dakle, M r = N r = Tada je M = N Osim toga, može se pokazati da je M = N> Zaista, stavljamo = +, i> Tada razlomak poprima vrijednost M /, koja mora biti veća od nule, pošto razlomak mora biti u desnoj poluravni realna pozitivna funkcija Dakle, M = N> Dakle, ako ima kompleksno konjugat polova na osi realnih frekvencija, onda se može predstaviti u obliku: MM, B i zadovoljava uslove fizičke izvodljivosti ako su zadovoljeni Zaista, nema polove u desnoj poluravni, jer tamo nema polove .Dakle, to je analitička funkcija u desnoj poluravni. S druge strane, prvi član poprima Osi realnih frekvencija su čisto imaginarne vrijednosti. Dakle, imaju iste realne dijelove na osi realnih frekvencija. Razdvajanje prvog člana ne utiče na realni dio na osi realnih frekvencija Iz toga slijedi da je u desnoj polovini - ravan je također pozitivna funkcija r

33 Osim toga, uzima stvarne realne vrijednosti u desnoj poluravni za stvarne vrijednosti. Shodno tome, to je prava pozitivna funkcija M Otpor posjeduje paralelni rezonantni krug bez gubitaka: LCCC, LC LC i LC i MC : M "Y, YM" gdje izraz predstavlja provodljivost serijskog rezonantnog kola: YCLLCL Pored polova u tačkama ±, odnosno na konačnim frekvencijama, mogući su polovi na nultim i beskonačnim frekvencijama. Ovi polovi odgovaraju pojmovi :, L, Y, YC, CL t ne odgovara kapacitivnosti ili induktivnosti Sljedeća izjava je tačna. Ulazna impedansa provodljivost pasivnog kola nastavlja da zadovoljava uslove fizičke izvodljivosti ako 59

34 od toga oduzmimo reaktanciju provodljivosti koja odgovara polovima koji se nalaze na osi realnih frekvencija polovi otpora i provodljivosti bez realnih frekvencija Prisutnost takvih polova značila bi mogućnost postojanja slobodnih oscilacija u njima bez prigušenja Ali u mnogim slučajevima, uz dobru aproksimaciju, gubici u reaktivnim elementima se mogu zanemariti 46 Osobine kola sastavljenih od čisto reaktivnih elemenata Često se dešava da je kolo sastavljeno od elemenata sa malim gubicima U ovom slučaju se uticaj gubitaka ponekad može zanemariti. od interesa da se saznaju svojstva kola bez gubitaka, kao i da se sazna pod kojim uslovima se gubici mogu zanemariti Pretpostavimo da su svi elementi kola čisto reaktivni Lako je pokazati da u ovom slučaju na osi realnih frekvencija otpor i provodljivost Y poprimaju imaginarne vrijednosti Zaista, u ovom slučaju je snaga gubitaka jednaka nuli, dakle: W I 6 H WE W Y E WE; Pošto je imaginarni dio otpora ili vodljivosti neparna funkcija kola, onda je u ovom slučaju = Prema tome, u općenitijem slučaju = Uvjeti fizičke izvodljivosti zahtijevaju da nema nule i polove u desnoj poluravni Ali pošto je =, onda u lijevoj poluravni također ne bi trebalo biti nula i polova Prema tome, H

35 funkcije i Y mogu imati nule i polove samo na osi realnih frekvencija. Fizički je to razumljivo, jer u kolu bez gubitaka slobodne oscilacije ne prigušuju. Iz toga slijedi da korištenje metode identifikacije polova koji leže na osi realnih frekvencija, moguće je svesti funkcije i Y na sljedeći oblik: bnbnb Y Drugim riječima, dvopolni uređaj sa otporom može se predstaviti kao sljedeći dijagram na slici 49 Fosterovog oblika:; Slika 49. Prvi Fosterov oblik Shodno tome, Y se može predstaviti u obliku -tog Fosterovog oblika. Slika 4. Slika 4. Drugi Fosterov oblik Može se pokazati da nule i polovi na osi realnih frekvencija treba da budu samo naizmjenično jednostavno, onda blizu nule funkcija može biti predstavljena u obliku M o, gdje je o količina višeg reda malenosti u odnosu na Blizu u desnoj poluravni, realna količina mora biti pozitivna, a to je moguće samo ako je M je stvarno 6

36 je veličina, a M> Prema tome, blizu nule = imaginarna komponenta se može promijeniti samo pozitivnim izvodom, promjenom predznaka iz "+" mora postojati diskontinuitet, koji za kola sa skupljenim elementima može biti samo pol. što je rečeno važi i za provodljivost Y Nule se nazivaju rezonantne tačke, polovi se nazivaju antirezonancijskim tačkama. Dakle, rezonancije se uvek smenjuju sa antirezonancama. Za provodljivost Y, rezonancije odgovaraju polovima, a antirezonancije nulama Lako je videti da su obe u tačkama rezonancija i u tačkama antirezonancija, prosječne rezerve električne i magnetske energije su međusobno jednake Zaista, u tačkama rezonancija =, tj. WHWE = U tačkama antirezonancija Y =, dakle, WEWH = Neka sada pokazujemo da se u slučaju kola bez gubitaka odvijaju sljedeće formule, dajem zavisnost otpora i provodljivosti od frekvencije. Predstavimo otpor i provodljivost u obliku: X, Y B Tada: dx WH W d I db WH WE d E Za dokaz razmotrimo definiciju otpora E I 6 E; Neka je E = cons Razlikujemo po frekvenciji: d E di d I d Pretpostavimo da je E realna vrijednost Tada je za kolo bez gubitaka I čisto imaginarna vrijednost U ovom slučaju d E d I di d I I i

37 Okrenimo se sada sistemu jednadžbi za struje petlje n 4: I Li I Ei, i, n C Uz pretpostavku da je samo E, pomnožimo svaku od jednačina sa i saberemo sve jednačine: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Zatim prelazimo na relaciju dobijenu takođe u p 4 za kola bez gubitaka: i, L i I Ii ii, IIC ii E Diferencirajući po frekvenciji na E = cons, dobijamo: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , budući da je E realna vrijednost po pretpostavci Iz navedenog također slijedi da: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Zamjenom u zbir dobijamo: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Reducirajući slične članove lijevo i desno, nalazimo: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E was pronađeno u sekciji n 4, jednako je i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Zamjenom u izrazu za izvod funkcije otpora, dobijamo: d E di WH W d I d I Slično, možete dokazati druga jednakost dy W d E WE Iz ovih formula proizilazi da sa povećanjem frekvencije, reaktancija i provodljivost kola čisto reaktivnih elemenata mogu samo rasti. U zavisnosti od prisustva nula i polova na nultim i beskonačnim frekvencijama, graf zavisnost X i B može imati jedan od sledećih tipova, prikazanih na slici 4. Na kraju ćemo pokušati da otkrijemo kako prisustvo malih gubitaka utiče na otpor kola sastavljenog od reaktivnih elemenata.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Slabljenje može biti različito za različite polove Stoga je preporučljivo razmotriti ponašanje funkcije otpora u blizini jednog od polova.

40 Budući da nas zanimaju vrijednosti na osi realnih frekvencija, treba ih zamijeniti sa U brojiocu, možemo odbaciti, mali u poređenju sa uslovom: Ovaj izraz se može transformirati na sljedeći način:, Qx "gdje je ; Q; x; Količina Q >> se naziva faktorom kvaliteta, veličina x naziva se relativna detuning Bliska rezonancija Osim toga, imamo: vrijednost C x QQ; QQCC se naziva karakteristična impedansa rezonantnog kola. Razmotrite kako stvarni i imaginarni dijelovi otpora blizu rezonancije zavise od frekvencije: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Bliska rezonancija Im raste, ali u rezonanciji prolazi kroz nulu sa negativnim izvodom Realni dio R u rezonanciji ima maksimum.Grafikoni Im i R u zavisnosti od frekvencije prikazani su na slici 4. govoreći, površina ispod rezonantna kriva R ne zavisi od Q faktora. Sa povećanjem Q faktora širina krive se smanjuje, ali visina raste, tako da površina ostaje nepromenjena. Qx >>, realni deo se brzo smanjuje, a imaginarni deo je jednako Im x 67, odnosno mijenja se na isti način kao u slučaju konture bez gubitaka

42 Dakle, zavisnost od frekvencije sa uvođenjem malih gubitaka se malo menja na frekvencijama koje su udaljene od rezonantne frekvencije za iznos >>.U blizini frekvencije kurs se značajno menja.Pol provodljivosti Y, odnosno provodljivost serijskog rezonantnog kola odgovara odnosu sličnom polu: gdje je Q; gq Y, Qx g karakteristična provodljivost; L x Nula odgovara provodnom polu Y Blizu nule, stoga se otpor može predstaviti na osi realnih frekvencija na sljedeći način: Qx x, Y gq Q gdje se = / g mijenja blizu nule na isti način kao prije 68

43 5 Kvadrupola 5 Osnovne jednadžbe kvadripola Četvoropol je kolo koje ima dva para terminala: ulaz na koji je povezan izvor signala i izlaz na koji je priključeno opterećenje. izvor signala n i otpor opterećenja n su uključeni u T kada se mijenjaju, a T se mijenja Poželjno je imati jednadžbe i parametre koji karakteriziraju samu mrežu sa četiri priključka.Koeficijent je recipročan provodljivosti prijenosa u praznom hodu na izlazu par terminala: 69 II; Slika 5 Uključivanje mreže sa četiri priključka I Ovdje su U i U naponi na ulaznim i izlaznim terminalima, I i I su struje koje teku kroz ulazne i izlazne terminale prema mreži sa četiri priključka, vidi sliku 5 Koeficijenti sistem jednadžbi koje povezuju napone i struje imaju jednostavno značenje. Vrijednost je koeficijent proporcionalnosti između I i U pri struji na izlaznim stezaljkama I =, odnosno bez opterećenja na izlaznim stezaljkama; drugim riječima, ovo je ulazni otpor u praznom hodu na izlazu = x Slično, ovo je ulazni otpor sa strane izlaznih stezaljki u praznom hodu na prvom paru stezaljki = x Koeficijent ima značenje vrijednost suprotna provodljivosti prijenosa u praznom hodu na prvom paru terminala, tj. na ulaznim terminalima nulte struje U i IYT x YT x

44 I U; YT x YT x Imajte na umu da su za pasivnu mrežu sa četiri priključka obje provodljivosti prijenosa jednake jedna drugoj zbog principa reciprociteta.Stoga, = = / Y Tx Sistem jednačina dat gore može se napisati kao: IU x I ; YT x IU x I YT x I, budući da je struja u ovom slučaju usmjerena iz mreže sa četiri priključka, odnosno u suprotnom smjeru u odnosu na onaj koji je usvojen gore. Zamjenom U u drugu jednačinu, dobijamo odakle je I, I n I x I YTx IY x Tx Zamjenom I u prvu jednačinu dobijamo UI x Y Tx n Odavde nalazimo ulaznu impedanciju u nx U x IY Analogno, također možete napisati izraz za izlazni otpor, zamjenjujući indeksi i: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Karakteristični parametri četveropolnog uređaja Od velikog interesa je slučaj kada su generator i opterećenje istovremeno usklađeni, odnosno kada je n = c i n = c, odnos in = c i out = c odvija se Zamjenom u izrazima za in i out , dobijamo jednadžbe koje nam omogućavaju da pronađemo c i c: cc x x YT x YT x 7 cc Ovaj sistem se rješava na sljedeći način Iz prve jednačine nalazimo: odakle cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Imajte na umu da su kratki spoj i kratki spoj ulazni otpori sa strane prvog i drugog para terminala, respektivno, u slučaju kratkog spoja na drugom paru stezaljki. Opterećenje jednako karakterističnoj impedanciji c naziva se usklađeno Sa bilo kojim brojem mreža sa četiri priključka uključene na ovaj način, podudaranje je sačuvano u bilo kojem poprečnom presjeku. UI c I c ln I c U cg ln U Realni dio karakterističnog koeficijenta prijenosa za realne frekvencije naziva se karakteristično slabljenje, a imaginarni dio se naziva karakteristična fazna konstanta dobijte i odnos: I g I; U c g U U U I I

47 Karakteristični koeficijent prijenosa je zgodan po tome što je, uz usklađenu kaskadnu vezu mreža s dva priključka, rezultirajući koeficijent prijenosa jednak zbiru koeficijenata prijenosa pojedinačnih mreža s četiri priključka. Karakteristični koeficijent prijenosa može se naći iz sljedeće relacije: Karakteristične impedanse c i c, općenito govoreći, zavise od frekvencije. Stoga upotreba karakterističnih parametara nije uvijek zgodna za predstavljanje otpora prijenosa T. mreže sa četiri terminala na konstantno realno opterećenje R sa čisto aktivnim otporom generatora R Slika 53 U ovom slučaju, prenos se određuje korišćenjem radnog koeficijenta prenosa UI ln, UI gde su U "i I" i struja koju generator može razviti pri otporu jednakom unutrašnjem otporu generatora, tj.: EU, IE, R 73 EUI, 4R U i I napon i struja opterećenja U ovom slučaju, U = IR Zamjena, mi dobiti za radni koeficijent prijenosa ln Odavde dobijamo 4R ERI ln ERRTIRR

48 Vrijednost je funkcija kompleksne varijable Za realne frekvencije =: = + B, gdje je radno slabljenje, B fazna konstanta Radno slabljenje je jednako ln TRR 74 ln PP mx, pošto je P mx maksimalna snaga koja generator može dati na ulaz mreže sa četiri priključka, a P je snaga, alocirana na opterećenju RP mx EPIR 4R Pokažimo da je realna pozitivna funkcija Zaista, budući da T nema nula u desnoj poluravni, funkcija je analitička u desnoj poluravni.Zbog toga je analitička funkcija proporcionalna njoj također u desnoj poluravni.analitičnost, u ovom slučaju na osi realnih frekvencija Inverzna vrijednost dostiže najmanju vrijednost na ovoj osi Za pasivni četiri priključka na osi realnih frekvencija, stoga R> u cijeloj desnoj poluravni Dalje T ln 4R R Funkcija T je količnik dijeljenja dva polinoma sa realnim koeficijentima, a T uzima realne pozitivne e vrijednosti za real. Dakle, realno je i za stvarne vrijednosti. Dakle, možemo zaključiti da je realna pozitivna funkcija. Problem sinteze mreže sa četiri priključka sa datim operativnim koeficijentom prijenosa u općem slučaju je najbolje riješen. uz pomoć takozvane ukrštene mreže sa četiri priključka, koja pod određenim uslovima ima T

4.11. Svojstva Laplaceove transformacije. 1) Korespondencija jedan prema jedan: s (S I (2) Linearnost Laplaceove transformacije: s I () I 1 (s2 (S1 S2 (i također 3) Analitičnost S I (): ako s (zadovoljava)

4 Predavanje 5 ANALIZA DINAMIČKIH KRUGOVA Plan Jednačine stanja električnih kola Algoritam za formiranje jednačina stanja 3 Primeri sastavljanja jednačina stanja 4 Zaključci Jednačine stanja električnih kola

4 .. Osobine Laplaceove transformacije.) Jedna-prema jedan korespondencija: S I () 2) Linearnost Laplaceove transformacije: s (s () I () I 2 S S2 (), i također 3) Analitičnost S I (): ako zadovoljava uslov

64 Predavanje 6 OPERATIVNA METODA ANALIZE ELEKTRIČNIH KOLA Plan Laplasove transformacije Svojstva Laplasove transformacije 3 Operatorska metoda analize električnih kola 4 Određivanje originala poznatim

2.2. Operatorski metod za izračunavanje tranzijenta. Teorijske informacije. Proračun prelaznih procesa u složenim kolima klasičnom metodom je vrlo često teško pronaći integracijske konstante.

70 Predavanje 7 OPERATORSKE FUNKCIJE KOLA Plan Operatorske ulazne i prijenosne funkcije Polovi i nule funkcija kola 3 Zaključci Operatorske funkcije ulaza i prijenosa Operatorska funkcija kola naziva se

Sinusoidna struja "na dlanu" Većina električne energije se generira u obliku EMF-a, koji se s vremenom mijenja prema zakonu harmonijske (sinusoidne) funkcije. Izvori harmonijskog EMF su

4 Predavanje REZONANTNE FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE ELEKTRIČNIH KOLA Rezonancija i njen značaj u radio elektronici Kompleksne funkcije prijenosa 3 Logaritamske frekvencijske karakteristike 4 Zaključci Rezonancija i

Prolazni procesi "na dlanu". Već znate metode za izračunavanje kola koje je u stacionarnom stanju, odnosno u jednom kada su struje, poput pada napona na pojedinim elementima, konstantne tokom vremena.

Rezonancija na dlanu. Rezonancija je način pasivne mreže s dva terminala koja sadrži induktivne i kapacitivne elemente, u kojoj je njena reaktanca nula. Rezonantno stanje

Prisilne električne vibracije. Naizmjenična struja Razmotrite električne oscilacije koje nastaju kada je u strujnom kolu generator čija se elektromotorna sila periodično mijenja.

Poglavlje 3 Naizmjenična struja Teoretske informacije Većina električne energije se stvara u obliku EMF-a, koji se mijenja tokom vremena prema zakonu harmonijske (sinusoidne) funkcije.

Predavanje 3. Dedukcije. Glavna teorema o ostacima Ostatak funkcije f () u izolovanoj singularnoj tački a je kompleksan broj jednak vrijednosti integrala f () 2 uzet u pozitivnom smjeru i duž kružnice

Elektromagnetne oscilacije Kvazistacionarne struje Procesi u oscilatornom kolu Oscilatorno kolo je kolo koje se sastoji od induktivnih zavojnica povezanih u seriju, kondenzatora kapacitivnosti C i otpornika

1 5 Električne oscilacije 51 Oscilatorno kolo Oscilacijama se u fizici nazivaju ne samo periodična kretanja tijela već i svaki periodični ili gotovo periodični proces u kojem se vrijednosti jedne ili

Pasivna kola Uvod U zadacima se razmatra proračun amplitudno-frekvencijskih, fazno-frekventnih i prelaznih karakteristika u pasivnim - kolima. Da biste izračunali imenovane karakteristike, morate znati

PROUČAVANJE SLOBODNIH I PRISILNIH VIBRACIJA U OSCILATORNOM KRUGU Slobodne električne vibracije u oscilatornom kolu Razmotrimo oscilatorno kolo koje se sastoji od serijski povezanih kondenzatora

Predavanje 3 Tema Oscilatorni sistemi Sekvencijalno oscilatorno kolo. Rezonancija napona Serijski titrajni krug je kolo u kojem su zavojnica i kondenzator spojeni u seriju

Moskovski državni univerzitet M.V. Lomonosov, Odsek za opštu fiziku Fizičkog fakulteta

Materijali za samostalno učenje iz discipline "Teorija električnih kola" za studente specijalnosti: -6 4 s "Industrijska elektronika" (dio), -9 s "Modeliranje i računarsko projektovanje

Metoda kompleksne amplitude. Harmonične fluktuacije napona na stezaljkama elemenata R ili uzrokuju tok harmonske struje iste frekvencije. Diferencijacija, integracija i dodavanje funkcija

Dodatak 4 Prinudne električne oscilacije Naizmjenična struja Sljedeće teorijske informacije mogu biti korisne u pripremi za laboratorijski rad 6, 7, 8 u laboratoriji "Elektricitet i magnetizam"

54 Predavanje 5 Fourierova transformacija i spektralna metoda za analizu električnih kola Plan Spektri aperiodičnih funkcija i Fourierova transformacija Neka svojstva Fourierove transformacije 3 Spektralna metoda

Ispit Rezonancija napona (nastavak) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Imenilac je minimalan na frekvenciji ω 0, tako da je ω0 = 0 => ω0 ω 0 = ova frekvencija se naziva rezonantna

Poglavlje 2. Metode za proračun prelaznih procesa. 2.1. Klasična metoda proračuna. Teorijske informacije. U prvom poglavlju razmatrane su metode za proračun kola u stacionarnom stanju, tj.

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu Šematske funkcije Aparat funkcija kola je primenljiv kako za analizu kola na jednosmerne i harmonijske struje tako i za proizvoljan tip uticaja u stacionarnom stanju

4.9. Prolazni odziv kola, njegov odnos sa impulsnim odzivom. Razmotrimo funkciju K j K j j> S j j K j S 2 Pretpostavimo da K jω posjeduje Fourierovu transformaciju h K j Ako postoji IH k K j, onda

Predavanje 9 Linearizacija diferencijalnih jednadžbi Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda Homogene jednadžbe svojstva njihovih rješenja Svojstva rješenja nehomogenih jednadžbi Definicija 9 Linearna

Metodički razvoj Rješavanje problema pomoću TFKP Kompleksni brojevi Operacije nad kompleksnim brojevima Kompleksna ravan Kompleksni broj se može predstaviti u algebarskoj i trigonometrijskoj eksponencijali

Sadržaj UVOD Odjeljak KLASIČNA METODA ZA PRORAČUN TRANZIJENATA Odjeljak PRORAČUN PRELAZA SA NASLUČAJNIM ULAZIMA KORIŠTENJEM PREKRIVANJA INTEGRALA 9 PITANJA UPRAVLJANJA7

4 ELEKTROMAGNETNE VIBRACIJE I TALASI Oscilatorno kolo je električno kolo sastavljeno od kondenzatora i zavojnica u kojem je moguć oscilatorni proces punjenja kondenzatora.

3.5. Složeno paralelno oscilatorno kolo I Kolo u kojem najmanje jedna paralelna grana sadrži reaktivnosti oba znaka. I S S I I Ne postoji magnetna veza između i. Rezonantno stanje

PREDAVANJE N38. Ponašanje analitičke funkcije u beskonačnosti. Posebne tačke. Ostaci funkcije ... susjedstvo beskonačno udaljene tačke ... Laurentova ekspanzija u susjedstvu beskonačno udaljene tačke .... 3. Ponašanje

4 Predavanje 3 FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE ELEKTRIČNIH KOLA Kompleksne prijenosne funkcije Logaritamske frekvencijske karakteristike 3 Zaključak Kompleksne prijenosne funkcije (kompleksne frekvencijske karakteristike)

Fluktuacije. Predavanje 3 Alternator Da bismo objasnili princip rada alternatora, prvo razmotrimo šta se dešava kada se ravan zavoj žice rotira u jednoličnom magnetskom

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Opći pojmovi

Proračun izvora harmonijskih oscilacija (GCI) Dajte početni krug GCI u odnosu na primarni namotaj transformatora sa ekvivalentnim izvorom napona Odredite njegove parametre (EMF i interni

Rad 11 PROUČAVANJE PRISILNIH VIBRACIJA I FENOMENA REZONANCIJE U OSCILIRAćem KOLU U kolu koje sadrži induktor i kondenzator mogu nastati električne oscilacije. Rad se uči

Tema 4 .. AC kola Tematska pitanja .. AC kolo sa induktivnošću .. AC kolo sa induktivnošću i aktivnim otporom. 3. AC krug sa kapacitetom. 4. Varijabla lanca

4 Predavanje ANALIZA OTPORNIH KOLA Plan Zadatak analize električnih kola Kirchhoffovi zakoni Primjeri analize otpornih kola 3 Ekvivalentne transformacije presjeka kola 4 Zaključci Zadatak analize električnih kola

Varijanta 708 Izvor sinusoidnog EMF e (ωt) sin (ωt ψ) radi u električnom kolu. Dijagram strujnog kola prikazan na sl.. Efektivna vrijednost EMF E izvora, početna faza i vrijednost parametara kola

Početni podaci R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Kirgoffovi zakoni (konstantni napon) 1. Traženje čvorova Čvor tačka , u kojoj su spojena tri (ili više) provodnika

PREDAVANJE Oscilacija. Prisilne oscilacije Slika Izvor oscilovanja M athcale napaja serijski oscilatorni krug koji se sastoji od otpora R, induktora L i kondenzatora sa kapacitivnošću

Ispit Rezonancija napona (nastavak) Pretpostavit ćemo da je napon na jednom kolu napon na cijelom oscilatornom kolu, a napon na izlazu kola napon na kondenzatoru Tada amplituda

Jesenji semestar akademske godine Tema 3 HARMONIČKA ANALIZA NEPERIODIČNIH SIGNALA Direktna i inverzna Fourierova transformacija Spektralna karakteristika signala Amplitudno-frekvencijski i fazno-frekvencijski spektri

Predavanje 6. Klasifikacija tačaka mirovanja linearnog sistema dve jednačine sa konstantnim realnim koeficijentima. Razmotrimo sistem od dvije linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnom realnom

54 Predavanje 5 Fourierova transformacija i spektralna metoda za analizu električnih kola Plan Spektri aperiodičnih funkcija i Fourierova transformacija 2 Neka svojstva Fourierove transformacije 3 Spektralna metoda

Tema: Zakoni naizmjenične struje Električna struja je uređeno kretanje nabijenih čestica ili makroskopskih tijela. Varijabla je struja koja mijenja svoju vrijednost tokom vremena

Ispitna impedansa Impedansa ili kompleksna impedansa je po definiciji jednaka omjeru kompleksnog napona i kompleksne struje: Z ɶ Imajte na umu da je impedansa također jednaka omjeru

Sadržaj Uvod. Osnovni pojmovi .... 4 1. Integralne Volterrine jednačine ... 5 Varijante domaće zadaće .... 8 2. Rezolventa Volterrine integralne jednačine. 10 opcija za domaći zadatak ... 11

Poglavlje II Integrali Antiderivativna funkcija i njena svojstva Funkcija F () se naziva antiderivatom neprekidne funkcije f () na intervalu a b, ako je F () f (), a; b (;) Na primjer, za funkciju f () antiderivati

Klasična metoda. Slika 1- početni dijagram električnog kola Parametri kola: E = 129 (V) w = 10000 (rad/s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Reaktancija induktivnosti:

Metode za proračun složenih linearnih električnih kola Osnova: sposobnost sastavljanja i rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi - sastavljenih ili za kolo jednosmjerne struje, ili nakon simbolizacije

SPECIFIČNI INTEGRAL. Integralni zbroji i definirani integral Neka je data funkcija y = f () definirana na intervalu [, b], gdje je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Predavanje 7 OPERATORSKE FUNKCIJE KOLA Operatorske ulazne i prijenosne funkcije Polovi i nule funkcija kola 3 Zaključci Operatorske funkcije unosa i prijenosa Operatorska funkcija lanca je relacija

68 Predavanje 7 PRIJELAZNI PROCESI U KRUGIMA PRVOG REDA Plan 1 Prelazni procesi u RC-kolima prvog reda 2 Prijelazni procesi u R-kolima prvog reda 3 Primjeri proračuna prelaznih procesa u kolima

4 LINEARNI ELEKTRIČNI KRUGOVI IZMJENIČNE SINUSOIDNE STRUJE I METODE NJIHOVOG PRORAČUNA 4.1 ELEKTRIČNE MAŠINE. PRINCIP GENERACIJE SINUSOIDNE STRUJE 4.1.012. Sinusoidna struja se naziva trenutna

Federalna agencija za obrazovanje Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "KUBAN DRŽAVNI UNIVERZITET" Fizičko-tehnološki fakultet Katedra za optoelektroniku

~ ~ FKP Derivat funkcije kompleksne varijable FKP od Cauchy - Riemann uslovljava koncept pravilnosti FKP Slika i oblik kompleksnog broja Oblik FKP: gdje je realna funkcija dvije varijable realna

Ovo je naziv druge vrste integralnih transformacija, koja se, uz Fourierovu transformaciju, široko koristi u radiotehnici za rješavanje širokog spektra problema vezanih za proučavanje signala.

Kompleksni koncept frekvencije.

Spektralne metode, kao što je već poznato, zasnivaju se na činjenici da je signal koji se istražuje predstavljen kao zbir beskonačno velikog broja elementarnih pojmova, od kojih se svaki periodično mijenja u vremenu u skladu sa zakonom.

Prirodna generalizacija ovog principa leži u činjenici da se umjesto složenih eksponencijalnih signala sa čisto imaginarnim indikatorima u razmatranje uvode eksponencijalni signali oblika, gdje je kompleksan broj: nazvan kompleksna frekvencija.

Dva takva složena signala mogu se koristiti za sastavljanje stvarnog signala, na primjer, prema sljedećem pravilu:

gdje je kompleksna konjugirana vrijednost.

Zaista, u ovom slučaju

U zavisnosti od izbora realnog i imaginarnog dela kompleksne frekvencije, mogu se dobiti različiti realni signali. Dakle, ako, ali dobijete uobičajene harmonijske oscilacije oblika If, tada, ovisno o predznaku, dobijate ili rastuće ili opadajuće eksponencijalne oscilacije u vremenu. Takvi signali dobijaju složeniji oblik kada. Ovdje množitelj opisuje omotnicu koja se eksponencijalno mijenja tokom vremena. Neki tipični signali su prikazani na sl. 2.10.

Koncept kompleksne frekvencije se pokazao vrlo korisnim, prije svega, jer omogućava da se, bez pribjegavanja generaliziranim funkcijama, dobiju spektralni prikazi signala čiji matematički modeli nisu integrabilni.

Rice. 2.10. Stvarni signali koji odgovaraju različitim vrijednostima kompleksne frekvencije

Još jedno razmatranje je takođe bitno: eksponencijalni signali oblika (2.53) služe kao "prirodno" sredstvo za proučavanje oscilacija u različitim linearnim sistemima. Ova pitanja će biti istražena u Pogl. osam.

Treba napomenuti da je prava fizička frekvencija imaginarni dio kompleksne frekvencije. Ne postoji poseban termin za stvarni dio kompleksne frekvencije.

Osnovni odnosi.

Neka je neki signal, realan ili kompleksan, definiran na t> 0 i jednak nuli pri negativnim vremenskim vrijednostima. Laplaceova transformacija ovog signala je funkcija kompleksne varijable date integralom:

Signal se zove original, a funkcija se zove njegova Laplaceova slika (ukratko, samo slika).

Uslov koji osigurava postojanje integrala (2.54) je sljedeći: signal ne smije imati više od eksponencijalne stope rasta, tj. mora zadovoljiti nejednakost gdje su pozitivni brojevi.

Kada je ova nejednakost zadovoljena, funkcija postoji u smislu da integral (2.54) konvergira apsolutno za sve kompleksne brojeve za koje se broj a naziva apscisa apsolutne konvergencije.

Varijabla u glavnoj formuli (2.54) može se identificirati sa kompleksnom frekvencijom Zaista, na čisto imaginarnoj kompleksnoj frekvenciji, kada se formula (2.54) pretvara u formulu (2.16), koja određuje Fourierovu transformaciju signala, koja je nula na Dakle, Laplaceova transformacija se može uzeti u obzir

Baš kao što se to radi u teoriji Fourierove transformacije, moguće je, poznavajući sliku, vratiti original. Za to, u formuli inverzne Fourierove transformacije

treba izvršiti analitički nastavak, prelazeći sa imaginarne varijable na kompleksni argument a. Na ravni kompleksne frekvencije integracija se vrši duž beskonačno dugačke vertikalne ose koja se nalazi desno od apscise apsolutne konvergencije. Pošto je at diferencijal, formula za inverznu Laplaceovu transformaciju poprima oblik

U teoriji funkcija kompleksne varijable dokazano je da Laplaceove slike imaju "dobra" svojstva sa stanovišta glatkoće: takve slike u svim tačkama kompleksne ravni, sa izuzetkom prebrojivog skupa tzv. singularne tačke, su analitičke funkcije. Pojedinačne tačke su po pravilu polovi, pojedinačni ili višestruki. Stoga se za izračunavanje integrala oblika (2.55) mogu koristiti fleksibilne metode teorije ostataka.

U praksi se široko koriste tablice Laplaceove transformacije koje prikupljaju informacije o podudarnosti između originala. i slike. Prisustvo tablica učinilo je metodu Laplaceove transformacije popularnom kako u teorijskim studijama tako iu inženjerskim proračunima radiotehničkih uređaja i sistema. U dodacima postoji takva tabela koja vam omogućava da riješite prilično širok spektar problema.

Primjeri izračunavanja Laplaceove transformacije.

Metode izračunavanja slike imaju mnogo zajedničkog sa onim što je već proučavano u vezi sa Fourierovom transformacijom. Razmotrimo najtipičnije slučajeve.

Primjer 2.4, Slika generaliziranog eksponencijalnog momenta.

Neka je, gdje je fiksni kompleksni broj. Prisutnost -funkcije određuje jednakost kod Koristeći formulu (2.54), imamo

Ako tada brojilac će nestati kada se gornja granica zamijeni. Kao rezultat, dobijamo prepisku

Kao poseban slučaj formule (2.56), možete pronaći sliku stvarnog eksponencijalnog video pulsa:

i složeni eksponencijalni signal:

Konačno, unoseći (2.57), nalazimo sliku Hevisajdove funkcije:

Primjer 2.5. Slika delta funkcije.

Ranije smo razmatrali integralnu Fourierovu transformaciju sa jezgrom K (t, O = e Fourierova transformacija je nezgodna po tome što mora biti zadovoljen uvjet apsolutne integrabilnosti funkcije f (t) na cijeloj t osi. Laplaceova transformacija nam omogućava Definicija 1. Funkcija original će značiti bilo koju funkciju kompleksne vrijednosti f (t) realnog argumenta t, koja zadovoljava sljedeće uvjete: konačan interval osa * takvih tačaka može biti samo konačan broj 2.funkcija f (t) jednaka je nuli za negativne vrijednosti t, f (t) = 0 za 3. kako t raste, modul f (t) ne raste brže od eksponencijalne funkcije, tj. postoje brojevi M> 0 i s takvi da za sve t Jasno je da ako nejednakost (1) vrijedi za neki s = aj, onda će vrijediti i za BILO KOJI 82> 8]. = infs za koju nejednakost (1) , naziva se stopa rasta funkcije f (t). Komentar. U opštem slučaju, nejednakost ne vrijedi, ali procjena vrijedi gdje je e> 0 bilo koji. Dakle, funkcija ima eksponent rasta v0 = Za nju ne vrijedi nejednakost \ t \ ^ M V * ^ 0, ali nejednakost |f | ^ Mei. Uslov (1) je mnogo manje restriktivan od uslova (*). Primjer 1. funkcija ne zadovoljava uvjet ("), ali je uvjet (1) zadovoljen za bilo koje s> I i A /> I; stopa rasta 5o = Dakle, ovo je originalna funkcija. S druge strane, funkcija nije originalna funkcija: ona ima beskonačan red rasta, „o = + oo. Najjednostavnija originalna funkcija je takozvana jedinična funkcija.Ako neka funkcija zadovoljava uvjete 1 i 3 iz Definicije 1, ali ne zadovoljava uvjet 2, onda je proizvod već originalna funkcija. Radi jednostavnosti zapisivanja, faktor rj (t) ćemo po pravilu izostaviti, složivši se da su sve funkcije koje ćemo razmatrati jednake nuli za negativan t, pa ako govorimo o nekoj funkciji f (t), na primjer, o sin ty cos t, el, itd., tada se uvijek podrazumijevaju sljedeće funkcije (slika 2): n = n (0 Slika 1 Definicija 2. Neka je f (t) originalna funkcija. Slika funkcije f (t ) po Laplaceu je funkcija F (p) kompleksne varijable definirane formulom LAPLACE TRANSFORMA Osnovne definicije Svojstva Konvolucija funkcija Teorema množenja Pronalaženje originala sa slike Upotreba teoreme inverzije za operativni račun Duhamelova formula Integracija sistema linearnih diferencijalnih jednadžbi sa konstantnim koeficijentima Rješenje integralnih jednačina gdje se integral preuzima preko pozitivne poluosi t. Funkcija F (p) se također naziva Laplaceova transformacija funkcije / (/); jezgro transformacije K (t) p) = e ~ pt. Činjenicu da funkcija ima svoju sliku F (p), zapisaćemo Primjer 2. Naći sliku jedinične funkcije r) (t). Funkcija je originalna funkcija sa stopom rasta od 0 - 0. Na osnovu formule (2), slika funkcije rj (t) će biti funkcija Ako je tada za, integral na desnoj strani posljednja jednakost će konvergirati, pa ćemo dobiti tako da će slika funkcije rj (t) biti funkcija £. Kao što smo se dogovorili, zapisaćemo da je rj (t) = 1, a zatim će dobijeni rezultat biti zapisan na sledeći način: Teorema 1. Za bilo koju originalnu funkciju f (t) sa eksponentom rasta z0, slika F (p) je definisana u poluravni R ep = s > s0 i analitička je funkcija u toj poluravni (slika 3). Neka Da bismo dokazali postojanje slike F (p) u naznačenoj poluravni, dovoljno je utvrditi da nepravilan integral (2) konvergira apsolutno za a> Koristeći (3), dobijamo što dokazuje apsolutnu konvergenciju integral (2). Istovremeno smo dobili procjenu za Laplaceovu transformaciju F (p) u poluravni konvergencije Diferirajući izraz (2) formalno pod predznakom integrala u odnosu na p, nalazimo da je postojanje integrala (5) utvrđeno na isti način kao što je utvrđeno postojanje integrala (2). Primjenom integracije po dijelovima za F"(p), dobijamo procjenu koja implicira apsolutnu konvergenciju integrala (5). (Neintegralni član, 0., - ima nultu granicu za t + oo). integral ( 5) konvergira uniformno u odnosu na p, pošto je majoriziran konvergentnim integralom nezavisnim od p. Prema tome, diferencijacija u odnosu na p je zakonita i jednakost (5) je važeća. Pošto derivacija F"(p) postoji, Laplasova transformacija F (p) svuda u poluravni Rep = 5> 5o je analitička funkcija. Nejednakost (4) implicira Corollary. Ako tanko p teži beskonačnosti tako da Re p = s raste beskonačno, onda je primjer 3. Nađimo i sliku funkcije bilo kojeg kompleksnog broja. Eksponent funkcije f (() je jednak a. > a, ali i u svim tačkama p, osim u tački p = a, gdje ova slika ima jednostavan pol. U budućnosti ćemo se više puta susresti slična situacija kada je slika F (p) analitička funkcija u cijeloj ravni kompleksne varijable p, za isključivanje izoliranih singularnih tačaka. Ne postoji kontradikcija sa teoremom 1. Potonji samo tvrdi da u poluravni Rep> «o funkcija F (p) nema singularnih tačaka: ispada da sve leže ili lijevo od prave Rep = so, ili na samoj pravoj. Ne primjetite. U operativnom računu ponekad se koristi Hevisajdova slika funkcije f (f), koja je definirana jednakošću i koja se razlikuje od Laplaceove slike faktorom p. §2. Svojstva Laplaceove transformacije U nastavku ćemo označavati originalne funkcije, a kroz njih - njihove slike prema Laplaceu. £ biw dee su kontinuirane funkcije) imaju istu sliku, onda su identično jednake. Teopewa 3 (n "yeyiost * transformacija Laplacea). Ako su funkcije originalne, onda za bilo koje kompleksne konstante zraka Validnost tvrdnje slijedi iz svojstva linearnosti integrala koji određuje sliku: su stope rasta funkcija, respektivno). Na osnovu ovog svojstva dobijamo Slično, nalazimo da i, dalje, teorem 4 (sličnosti). Ako je f (t) originalna funkcija, a F (p) njena Laplaceova slika, tada za bilo koju konstantu a> 0 Stavljajući na = m, imamo Koristeći ovu teoremu, iz formula (5) i (6) dobijamo teoremu 5 (o razlikovanju originala). Neka je originalna funkcija sa slikom F (p) i neka su - također originalne funkcije, a gdje je stopa rasta funkcije Tada i općenito Ovdje mislimo na desnu graničnu vrijednost Let. Nađimo sliku Imamo Integrirajući po dijelovima, dobijamo Neintegralni član na desnoj strani (10) nestaje na k. Za Rc p = s> h, imamo zamjenu t = Odet - / ( 0). Drugi član desno u (10) jednak je pF (p). Dakle, relacija (10) poprima oblik i formula (8) je dokazana. Konkretno, ako Za pronalaženje slike f (n \ t) napišemo odakle, integrirajući n puta po dijelovima, dobijemo Primjer 4. Koristeći teoremu o diferencijaciji originala, pronaći sliku funkcije f (t) = sin2 t. Neka dakle, teorema 5 uspostavlja izvanredno svojstvo Laplaceove integralne transformacije: ona (kao i Fourierova transformacija) transformiše operaciju diferencijacije u algebarsku operaciju množenja sa p. Formula uključivanja. Ako su to originalne funkcije, onda zaista, na osnovu korolarije teoreme 1, svaka slika teži nuli kao. Otuda slijedi formula uključivanja (Teorema 6 (o diferencijaciji slike). Diferencijacija slike se svodi na množenje s originalom, budući da je funkcija F (p) u poluravni pa analitička, može se diferenciran u odnosu na str. Imamo ovo posljednje samo znači da Primjer 5. Koristeći teoremu 6, pronađite sliku funkcije 4 Kao što znate, Otuda (Opet primjenom teoreme 6, nalazimo, općenito, teoremu 7 (integracija originala). Integracija originala se svodi na dijeljenje slike time da ako postoji originalna funkcija, onda će to biti originalna funkcija, štoviše. Neka. Na temelju tako da je S druge strane, odakle je F = Potonji je ekvivalent dokazanoj relaciji (13 Primjer 6. Naći sliku funkcije M U ovom slučaju, tako da je Stoga, Teorema 8 (integracija slike). Ako i integral konvergira, on služi kao slika funkcije ^: LAPLACE TRANSFORMA Osnovne definicije Svojstva Konvolucija funkcije Teorema množenja Pronalaženje originala po slici Upotreba inverzne teoreme operativnog računa Duhamelova formula Integracija sistema linearnih diferencijalnih jednadžbi sa konstantnim koeficijentima Rješenje integralnih jednadžbi Zaista, pod pretpostavkom da je put integra leže na poluravni pa možemo promijeniti red integracije.Posljednja jednakost znači da je to slika funkcije Primjer 7. Naći sliku funkcije M Kao što je poznato,. Stoga, pošto smo postavili, dobijamo £ = 0, za. Stoga relacija (16) poprima oblik Primjer. Naći sliku funkcije f (t), datu grafički (slika 5). Zapišimo izraz za funkciju f (t) na sljedeći način: Ovaj izraz se može dobiti na sljedeći način. Razmotrite funkciju i oduzmite je od nje. Razlika će biti jednaka jedan za. Rezultirajućoj razlici dodajemo funkciju i kao rezultat dobijamo funkciju f (t) (slika 6c), tako da odavde, koristeći teoremu kašnjenja, nalazimo teoremu 10 (pomak). tada za bilo koji kompleksni broj p0 Doista, teorema dozvoljava, od poznatih slika funkcija, da se pronađu slike istih funkcija pomnožene eksponencijalnom funkcijom, na primjer, 2.1. Konvolucija funkcija. Teorem množenja Neka su funkcije f (t) u definirane i kontinuirane za sve t. Konvolucija ovih funkcija je nova funkcija od t definirana jednakošću (ako ovaj integral postoji). Za originalne funkcije, operacija je uvijek sklopiva, i (17) 4 Zaista, proizvod originalnih funkcija kao funkcija m je konačna funkcija, tj. nestaje izvan nekog konačnog intervala (u ovom slučaju, izvan intervala. Za konačne kontinuirane funkcije, operacija konvolucije je zadovoljiva i dobijamo formulu Lako je provjeriti da je operacija konvolucije komutativna, Teorem 11 (množenje). Ako, onda konvolucija t) ima sliku Lako je provjeriti da li je konvolucija (originalnih funkcija originalna funkcija s indeksom rasta "gdje su indeksi rasta funkcija, respektivno. takva operacija je legalna) i primjenom teoreme o zaostajanju, dobivamo Dakle, iz (18) i (19) nalazimo da množenje slika odgovara savijanju originala, Prter 9. Pronađite sliku funkcije A funkcije V (0 je konvolucija od Funkcije Na osnovu teoreme množenja Problem Neka je f (t) periodična funkcija sa periodom T. Pokažite da je njena Laplasova slika F (p) data formulom 3. Pronalaženje originala sa slike Problem se postavlja na sledeći način : s obzirom na funkciju F (p), trebamo pronaći funkciju / (<)>čija je slika F (p). Hajde da formulišemo uslove dovoljne da funkcija F (p) kompleksne varijable p posluži kao slika. Teorema 12. Ako funkcija F (p) 1) analitička u poluravni tako teži nuli za u bilo kojoj poluravni R s0 ravnomjerno u odnosu na arg p; 2) integral konvergira apsolutno, tada je F (p) slika neke originalne funkcije Problem. Može li funkcija F (p) = poslužiti kao slika neke originalne funkcije? Evo nekoliko načina da pronađete original sa slike. 3.1. Pronalaženje originala pomoću tabela slika Prije svega, vrijedi funkciju F (p) dovesti u jednostavniji, "tabelarni" oblik. Na primjer, u slučaju kada je F (p) frakciona racionalna funkcija argumenta p, ona se razlaže na elementarne razlomke i koriste se odgovarajuća svojstva Laplaceove transformacije. Primjer 1. Nađi original za Zapišimo funkciju F (p) u obliku Koristeći teoremu pomaka i svojstvo linearnosti Laplaceove transformacije, dobijamo primjer 2. Nađimo original za funkciju 4 Napišimo F (p ) kao Dakle 3.2. Upotreba teoreme inverzije i njene posljedice Teorema 13 (inverzija). Ako je funkcija fit) originalna funkcija s eksponentom rasta s0 i F (p) je njena slika, tada u bilo kojoj točki kontinuiteta funkcije f (t) vrijedi relacija gdje se integral uzima duž bilo koje prave linije i razumije se u smislu glavne vrijednosti, tj. kako se Formula (1) naziva formula inverzije Laplaceove transformacije, ili Mellinova formula. Zaista, pretpostavimo, na primjer, da je f (t) glatko glatko na svakom konačnom segmentu (\ displaystyle F (s) = \ varphi), dakle φ (z 1, z 2,…, z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analitički o svakom z k (\ displaystyle z_ (k)) i jednaka je nuli za z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ displaystyle z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), i F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ dvotočka k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), tada inverzna transformacija postoji i odgovarajuća prednja transformacija ima apscisu apsolutne konvergencije.

Bilješka: to su dovoljni uslovi za postojanje.

• Teorema konvolucije

Glavni članak: Teorema konvolucije

• Razlikovanje i integracija originala

Laplaceova slika prve derivacije originala u odnosu na argument je proizvod slike na argument potonjeg minus original na nuli desno:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Teoreme početne i konačne vrijednosti (granične teoreme):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ do 0) sF (s)) ako su svi polovi funkcije s F (s) (\ displaystyle sF (s)) nalaze se u lijevoj poluravni.

Teorema konačnih vrijednosti je vrlo korisna jer opisuje ponašanje originala u beskonačnosti koristeći jednostavnu relaciju. Ovo se, na primjer, koristi za analizu stabilnosti putanje dinamičkog sistema.

• Ostale nekretnine

Linearnost:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

množenje brojem:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ lijevo ((\ frac (s) (a)) \ desno).)

Direktna i inverzna Laplaceova transformacija nekih funkcija

Ispod je tabela Laplaceove transformacije za neke funkcije.

№	Funkcija	Vremenska domena x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displaystyle x (t) = (\ mathcal (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Frekvencijski domen X (s) = L (x (t)) (\ displaystyle X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Region konvergencije za kauzalni sistemi
1	savršeno zaostajanje	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1a	pojedinačni impuls	δ (t) (\ displaystyle \ delta (t) \)	1 (\ displaystyle 1 \)	∀ s (\ displaystyle \ forall s \)
2	zaostajanje n (\ displaystyle n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ displaystyle (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	smireno n (\ displaystyle n)-th red	t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.1	smireno q (\ displaystyle q)-th red	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (q)) (\ gama (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.2	funkcija jedinice	H (t) (\ displaystyle H (t) \)	1 s (\ displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	funkcija jedinice kašnjenja	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	Brzinski korak	t ⋅ H (t) (\ displaystyle t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2d	n (\ displaystyle n)-ti red sa pomakom frekvencije	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha)
2d.1	eksponencijalno raspadanje	e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
3	eksponencijalna aproksimacija	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	kosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	hiperbolički sinus	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
7	hiperbolički kosinus	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
8	eksponencijalno propadaju sinus	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
9	eksponencijalno propadaju kosinus	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
10	root n (\ displaystyle n)-th red	t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ gama \ lijevo (1 + (\ frac (1) (n) ) \ desno))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	prirodni logaritam	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ ln \ lijevo ((\ frac (t) (t_ (0))) \ desno) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Beselova funkcija prva vrsta red n (\ displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2)) + \ omega ^ (2) ) )) \ desno) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ displaystyle (n> -1) \)
13	prva vrsta red n (\ displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2)) - \ omega ^ (2) ) )) \ desno) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Beselova funkcija druga vrsta nulti red	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha) ^ (2))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	modificirana Besselova funkcija druga vrsta, nulti red	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	funkcija greške	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Napomene uz tabelu: H (t) (\ displaystyle H (t) \); α (\ displaystyle \ alpha \), β (\ displaystyle \ beta \), τ (\ displaystyle \ tau \) i ω (\ displaystyle \ omega \) - Odnos sa drugim transformacijama Fundamentalne veze Mellinova transformacija Mellinova transformacija i inverzna Mellinova transformacija su povezane sa dvostranom Laplaceovom transformacijom jednostavnom promenom varijabli. Ako je u Mellinovoj transformaciji G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ displaystyle G (s) = (\ mathcal (M)) \ lijevo \ (g (\ theta) \ desno \) = \ int \ ograničenja _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) staviti θ = e - x (\ displaystyle \ theta = e ^ (- x)), tada dobijamo dvostranu Laplaceovu transformaciju. Z-transformacija Z (\ displaystyle Z)-transform je Laplaceova transformacija rešetkaste funkcije, proizvedena promjenom varijabli: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ ekvivalent ^ (sT),) Borelova transformacija Integralni oblik Borelove transformacije je identičan Laplaceovoj transformaciji, postoji i generalizirana Borelova transformacija, uz pomoć koje se korištenje Laplaceove transformacije proširuje na širu klasu funkcija. Bibliografija Van der Pol B., Bremer H. Operativni račun zasnovan na dvostranoj Laplaceovoj transformaciji. - M.: Izdavačka kuća strane književnosti, 1952. - 507 str. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integralne transformacije i operativni račun. - M.: Glavno izdanje fizičke i matematičke literature izdavačke kuće "Nauka", 1974. - 544 str. Ditkin V.A., Kuznjecov P.I. Priručnik za operativni račun: Osnove teorije i tabele sa formulama. - M.: Državna izdavačka kuća tehničke i teorijske literature, 1951. - 256 str. Carslow H., Jaeger D. Operativne metode u primijenjenoj matematici. - M.: Izdavačka kuća strane književnosti, 1948. - 294 str. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourierovi redovi i integrali. Teorija polja. Analitičke i specijalne funkcije. Laplasove transformacije. - M.: Nauka, 1964.-- 184 str. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Operativni račun. Stabilnost kretanja. - M.: Nauka, 1964.-- 103 str. Mikusinski Y. Operatorski račun. - M.: Izdavačka kuća strane književnosti, 1956. - 367 str. Romanovsky P.I. Fourierova serija. Teorija polja. Analitičke i specijalne funkcije. Laplasove transformacije. - M.: Nauka, 1980.-- 336 str.