Modeliranje. Šeme matematičkog modeliranja

MATEMATIČKE SHEME ZA MODELIRANJE SISTEMA

OSNOVNI PRISTUPI KONSTRUKCIJI MATEMATIČKIH MODELA SISTEMA

Početne informacije u konstrukciji matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema su podaci o nameni i uslovima rada ispitivanog (projektovanog) sistema. S... Ove informacije definiraju glavnu svrhu modeliranja sistema. S i omogućava vam da formulišete zahteve za razvijeni matematički model M.Štaviše, nivo apstrakcije zavisi od opsega onih pitanja na koja istraživač sistema želi da dobije odgovor koristeći model, i donekle određuje izbor matematičke šeme.

Matematičke šeme. Uvođenje koncepta matematičke šeme omogućava nam da matematiku posmatramo ne kao metodu računanja, već kao metodu mišljenja, kao sredstvo za formulisanje koncepata, što je najvažnije u prelasku sa verbalnog opisa sistema na formalni prikaz procesa njegovog funkcionisanja u obliku nekog matematičkog modela (analitičkog ili imitacionog). Kada se koristi matematička šema, prije svega, istraživača sistema S treba zanimati pitanje adekvatnosti preslikavanja u obliku specifičnih šema realnih procesa u sistemu koji se proučava, a ne mogućnost dobijanja odgovor (rezultat rješenja) na određeno istraživačko pitanje. Na primjer, predstavljanje procesa funkcionisanja kolektivnog informaciono-računarskog sistema u obliku mreže šema čekanja omogućava da se dobro opisuju procesi koji se dešavaju u sistemu, ali sa složenim zakonima dolaznih tokova i tokova usluga, ne omogućava dobijanje rezultata u eksplicitnom obliku.

Matematička shema može se definisati kao karika u prelasku sa smislenog na formalni opis procesa funkcionisanja sistema uzimajući u obzir uticaj spoljašnjeg okruženja, odnosno postoji lanac „deskriptivni model – matematička šema – matematički (analitički i/ ili imitacija) modela".

Svaki specifični sistem S karakterizira skup svojstava, koja se podrazumijevaju kao vrijednosti koje odražavaju ponašanje modeliranog objekta (stvarnog sistema) i uzimaju u obzir uvjete njegovog funkcioniranja u interakciji s vanjskim okruženjem (sistemom) E. Prilikom konstruisanja matematičkog modela sistema potrebno je rešiti pitanje njegove kompletnosti. Kompletnost modela je uglavnom regulisana izborom granice „sistem S - okruženje E» . Također, treba riješiti problem pojednostavljenja modela, što pomaže da se istaknu glavna svojstva sistema, odbacujući sekundarna. Štaviše, pripisivanje svojstava sistema glavnom ili sekundarnom suštinski zavisi od svrhe modeliranja sistema (na primer, analiza verovatnosno-vremenskih karakteristika procesa funkcionisanja sistema, sinteza struktura sistema itd.).

Formalni model objekta. Model objekta modeliranja, odnosno sistema S, može se predstaviti kao skup veličina koje opisuju proces funkcionisanja realnog sistema i generalno čine sledeće podskupove: ulazne akcije po sistemu

;

agregat uticaje životne sredine

;

agregat interni, (vlastiti) parametri sistemima

;

agregat izlazne karakteristike sistemima

Štaviše, u navedenim podskupovima mogu se razlikovati upravljane i neupravljane varijable. Uglavnom , , , su elementi disjunktnih podskupova i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Prilikom modeliranja sistema S, ulazne akcije, efekti spoljašnjeg okruženja E a unutrašnji parametri sistema su nezavisne (egzogene) varijable, koji u vektorskom obliku imaju oblik,,, a izlazne karakteristike sistema su zavisne (endogene) varijable a u vektorskom obliku imaju oblik).

Operater vremenski opisuje proces funkcionisanja S sistema F s , koji u opštem slučaju transformiše egzogene varijable u endogene u skladu sa relacijama oblika

. (1)

Skup zavisnosti izlaznih karakteristika sistema od vremena y j (t) za sve vrste
pozvao izlazna putanja
. Zavisnost (1) se zove zakon funkcionisanja sistemaS i označeno F s . U opštem slučaju, zakon funkcionisanja sistema F s mogu biti specificirani u obliku funkcije, funkcionalnih, logičkih uslova, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila podudaranja.

Veoma važan za opis i proučavanje sistema S je koncept algoritam funkcionisanjaA s , što se podrazumeva kao metoda dobijanja izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne uticaje
, uticaje životne sredine
i sopstvene parametre sistema
. Očigledno je da je isti zakon funkcionisanja F s Sistem S se može implementirati na različite načine, odnosno korištenjem mnogo različitih algoritama za funkcioniranje A s .

Relacije (1) su matematički opis ponašanja objekta (sistema) modeliranja u vremenu t, odnosno odražavaju njegova dinamička svojstva. Stoga se obično nazivaju matematički modeli ovog tipa dinamički modeli(sistemi).

Za statički modeli matematički model (1) je mapiranje između dva podskupa svojstava modeliranog objekta Y i { X, V, H), koji se u vektorskom obliku može zapisati kao

. (2)

Relacije (1) i (2) se mogu specificirati na različite načine: analitički (pomoću formula), grafički, tabelarno, itd. Takvi odnosi se u nekim slučajevima mogu dobiti kroz svojstva sistema S u određenim vremenima, tzv. države. Stanje sistema S karakterišu vektori

i
,

gdje
,
, …,
trenutno
;
,
, …,
trenutno
itd.,
.

Ako posmatramo proces funkcionisanja sistema S kao sekvencijalnu promenu stanja
, onda se mogu tumačiti kao koordinate tačke u To-dimenzionalni fazni prostor. Štaviše, svaka implementacija procesa će odgovarati određenoj faznoj putanji. Zbirka svih mogućih vrijednosti stanja pozvao prostor stanja objekt modeliranja Z, štaviše
.

Stanja sistema S u trenutku vremena t 0 < t*T potpuno su određene početnim uslovima
[gdje
,
, …,
], ulazni uticaji
, sopstvenim sistemskim parametrima
i uticaje životne sredine
, koja se odvijala tokom određenog vremenskog perioda t*- t 0 , sa koristeći dvije vektorske jednačine

; (3)

. (4)

Prva jednadžba za početno stanje i egzogene varijable
definira vektorsku funkciju
, a drugi prema dobijenoj vrijednosti stanja
- endogene varijable na izlazu sistema
. Dakle, lanac jednačina objekta "ulaz-stanje-izlaz" omogućava vam da odredite karakteristike sistema

. (5)

U opštem slučaju, vrijeme u modelu sistema S može se smatrati na intervalu modeliranja (0, T) i kontinuirano i diskretno, tj. kvantizirano u segmente dužine
vremenske jedinice svaki kada
, gdje
- broj intervala uzorkovanja.

Dakle, pod matematički model objekta(stvarni sistem) razumiju konačan podskup varijabli (
} zajedno sa matematičkim odnosima između njih i karakteristikama
.

Ako matematički opis objekta modeliranja ne sadrži elemente slučajnosti ili se oni ne uzimaju u obzir, odnosno ako se može pretpostaviti da će u ovom slučaju stohastički efekti vanjskog okruženja
i stohastički interni parametri
odsutni, tada se model poziva deterministički u smislu da su karakteristike jedinstveno određene determinističkim ulazima

. (6)

Očigledno, deterministički model je poseban slučaj stohastičkog modela.

Tipične šeme. Date matematičke relacije predstavljaju opšte matematičke šeme i omogućavaju opisivanje široke klase sistema. Međutim, u praksi modeliranja objekata u oblasti sistemskog inženjeringa i sistemske analize u početnim fazama istraživanja sistema, racionalnije je koristiti tipične matematičke šeme: diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sistemi čekanja, Petrijeve mreže, itd.

Ne posjedujući takav stepen općenitosti kao razmatrani modeli, tipične matematičke sheme imaju prednosti jednostavnosti i jasnoće, ali uz značajno sužavanje mogućnosti primjene. Diferencijalne, integralne, integro-diferencijalne i druge jednačine se koriste za predstavljanje sistema koji rade u kontinuiranom vremenu kao deterministički modeli, kada se slučajni faktori ne uzimaju u obzir u istraživanju, a konačni automati i sheme konačnih razlika se koriste za predstavljanje sistema koji rade u diskretno vrijeme.... Probabilistički automati se koriste kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore) za predstavljanje sistema sa diskretnim vremenom, a sistemi čekanja se koriste za predstavljanje sistema sa kontinuiranim vremenom itd.

Navedene tipične matematičke šeme, naravno, ne mogu pretendovati da na njihovoj osnovi opišu sve procese koji se dešavaju u velikim sistemima za upravljanje informacijama. Za takve sisteme, u nekim slučajevima, više obećava upotreba agregatnih modela.

Agregatni modeli (sistemi) omogućavaju opisivanje širokog spektra istraživačkih objekata sa odrazom sistemske prirode ovih objekata. Sa agregatnim opisom složeni objekat (sistem) se deli na konačan broj delova (podsistema), uz održavanje veza koje obezbeđuju interakciju delova.

Dakle, pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema mogu se razlikovati sledeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički (na primer, diferencijalne jednačine); diskretno-deterministički (konačni automati); diskretni stohastički (vjerovatni automati); kontinuirano-stohastički (sistemi čekanja); generalizovani ili univerzalni (agregatni sistemi).

MODELI KONTINUIRANOG ODREĐIVANJA (D-KRUGOVI)

Razmotrimo karakteristike kontinuirano-determinističkog pristupa na primjeru korištenja diferencijalnih jednadžbi kao matematičkih modela. Diferencijalne jednadžbe nazivaju se takve jednadžbe u kojima su funkcije jedne ili više varijabli nepoznate, a jednačina uključuje ne samo funkcije, već i njihove derivate različitog reda. Ako su nepoznanice funkcije više varijabli, tada se jednadžbe nazivaju parcijalnim diferencijalnim jednadžbama; inače, kada se razmatraju funkcije samo jedne nezavisne varijable, jednadžbe se nazivaju obične diferencijalne jednadžbe.

Osnovni odnosi. Obično se u takvim matematičkim modelima vrijeme koristi kao nezavisna varijabla o kojoj ovise nepoznate tražene funkcije t. Tada će matematička relacija za determinističke sisteme (6) u opštem obliku biti

, (7)

gdje
,
i
- NS-dimenzionalni vektori;
- vektorska funkcija, koja je definirana na nekom ( NS+1) -dimenzionalno
postavljeno i kontinuirano.

Budući da matematičke šeme ovog tipa odražavaju dinamiku sistema koji se proučava, odnosno njegovo ponašanje u vremenu, nazivaju se D-šeme(eng. dinamičan).

U najjednostavnijem slučaju, obična diferencijalna jednadžba ima oblik

. (8)

Najvažnija aplikacija za sistemski inženjering D-šema kao matematički aparat u teoriji automatskog upravljanja. Da bismo ilustrovali karakteristike konstrukcije i primene D-kola, razmotrimo najjednostavniji primer formalizacije procesa funkcionisanja dva elementarna sistema različite fizičke prirode: mehaničkog S M (oscilacije klatna, sl. 1, a) i električni S K (oscilatorno kolo, slika 1, b).

Rice. 1. Elementarni sistemi

Proces malih oscilacija klatna opisuje se običnom diferencijalnom jednačinom

gdje
- masa i dužina ovjesa klatna; g - ubrzanje slobodnog pada;
- ugao otklona klatna u trenutku vremena t.

Iz ove jednačine slobodne oscilacije klatna mogu se naći procjene karakteristika od interesa. Na primjer, period ljuljanja klatna

Slično, procesi u električnom oscilatornom kolu opisuju se običnom diferencijalnom jednačinom

gdje L To , WITH To - induktivnost i kapacitet kondenzatora; q(t) - napunjenost kondenzatora u vremenu t.

Iz ove jednadžbe možete dobiti različite procjene karakteristika procesa u oscilatornom krugu. Na primjer, period električnih oscilacija

Očigledno, uvođenje notacije
,
, ,
, dobijamo običnu diferencijalnu jednačinu drugog reda koja opisuje ponašanje ovog sistema zatvorene petlje:

gdje
- sistemski parametri; z(t) - stanje sistema u datom trenutku t.

Dakle, ponašanje ova dva objekta može se istražiti na osnovu općeg matematičkog modela (9). Osim toga, treba napomenuti da se ponašanje jednog od sistema može analizirati korištenjem drugog. Na primjer, ponašanje klatna (sistema S M) može se proučavati pomoću električnog oscilatornog kola (sistema S K).

Ako sistem koji se proučava S, odnosno klatno ili kontura, stupa u interakciju s vanjskim okruženjem E, tada se pojavljuje radnja unosa NS(t) (spoljna sila za klatno i izvor energije za kolo) i kontinuirano-deterministički model takvog sistema imaće oblik

Sa stanovišta opće šeme matematičkog modela NS(t) je ulazna (kontrolna) akcija, a stanje sistema S u ovom slučaju se može smatrati izlaznom karakteristikom, tj. pretpostaviti da se izlazna varijabla poklapa sa stanjem sistema u datom trenutku y =z.

Moguće primjene. Prilikom rješavanja problema sistemskog inženjerstva, problemi upravljanja velikim sistemima su od velikog značaja. Obratite pažnju na sisteme automatska kontrola- opisan poseban slučaj dinamičkih sistema D-šeme i istaknuti u posebnu klasu modela zbog svojih praktičnih specifičnosti.

Prilikom opisivanja procesa automatskog upravljanja obično se pridržavaju prezentacije realnog objekta u vidu dva sistema: kontrolnog i kontrolisanog (kontrolnog objekta). Struktura opšteg višedimenzionalnog sistema automatskog upravljanja prikazana je na Sl. 2, gdje su naznačeni endogene varijable:
- vektor ulaznih (master) uticaja;
- vektor poremećenih uticaja;
- vektor signala greške;
- vektor kontrolnih radnji; egzogene varijable:
- vektor stanja sistema S;
je vektor izlaznih varijabli, obično
=
.

Rice. 2. Struktura sistema automatskog upravljanja

Savremeni sistem upravljanja je skup softverskih i hardverskih alata koji obezbeđuju postizanje određenog cilja od strane objekta upravljanja. Koliko tačno kontrolni objekat postiže zadati cilj može se suditi za jednodimenzionalni sistem po koordinatama stanja u (t). Razlika između datog at stražnja strana (t) i validan u (t) zakon promjene kontrolisane varijable je kontrolna greška . Ako propisani zakon promene kontrolisane veličine odgovara zakonu promene ulaznog (glavnog) dejstva, tj.
, onda
.

Sistemi za koje kontrolišu greške
u svakom trenutku nazivaju idealnim. U praksi je implementacija idealnih sistema nemoguća. Dakle greška h"(t) - neophodan element automatske regulacije zasnovane na principu negativne povratne sprege, kako bi se dovela izlazna varijabla u konformitet y(t) njegova specificirana vrijednost koristi informacije o odstupanju između njih. Zadatak sistema automatskog upravljanja je da promijeni varijablu y(t) prema datom zakonu sa određenom tačnošću (sa prihvatljivom greškom). Prilikom projektovanja i rada sistema automatskog upravljanja potrebno je odabrati sledeće sistemske parametre S, što bi obezbedilo potrebnu tačnost upravljanja, kao i stabilnost sistema u prelaznom procesu.

Ako je sistem stabilan, onda je ponašanje sistema u vremenu od praktičnog interesa, maksimalno odstupanje kontrolisane varijable je u (t) u prelaznom procesu, vremenu prelaznog procesa itd. Zaključci o svojstvima sistema automatskog upravljanja različitih klasa mogu se izvesti u obliku diferencijalnih jednačina koje približno opisuju procese u sistemima. Redoslijed diferencijalne jednadžbe i vrijednosti njenih koeficijenata u potpunosti su određeni statičkim i dinamičkim parametrima sistema. S.

Dakle, koristeći D-šema omogućava formalizovanje procesa funkcionisanja kontinuirano-determinističkih sistema S i procijeniti njihove glavne karakteristike korištenjem analitičkog ili simulacionog pristupa, implementiranog u obliku odgovarajućeg jezika za modeliranje kontinuiranih sistema ili korištenjem analognih i hibridnih računarskih sredstava.

Klasifikacija u bilo kojoj oblasti stručnosti je neophodna. Omogućava vam da generalizirate akumulirano iskustvo, da pojednostavite koncepte predmetne oblasti. Brzi razvoj metoda matematičkog modeliranja i raznolikost područja njihove primjene doveli su do pojave velikog broja modela različitih tipova i do potrebe da se modeli razvrstavaju u one kategorije koje su univerzalne za sve modele ili su neophodne u ovoj oblasti. konstruiranog modela, na primjer. Navedimo primjer nekih kategorija: područje upotrebe; uzimanje u obzir vremenskog faktora (dinamike) u modelu; grana znanja; način na koji su modeli predstavljeni; prisustvo ili odsustvo slučajnih (ili neizvesnih) faktora; vrsta kriterijuma efikasnosti i nametnutih ograničenja itd.

Analizirajući matematičku literaturu, identifikovali smo najčešće znakove klasifikacija:

1. Prema metodi implementacije (uključujući formalni jezik), svi matematički modeli se mogu podijeliti na analitičko i algoritamsko.

Analitički – modeli koji koriste standardni matematički jezik. Simulacija - modeli u kojima se koristi poseban jezik za modeliranje ili univerzalni programski jezik.

Analitički modeli se mogu pisati u obliku analitičkih izraza, tj. u obliku izraza koji sadrže prebrojiv broj aritmetičkih operacija i prijelaza do granice, na primjer:. Algebarski izraz je poseban slučaj analitičkog izraza, koji kao rezultat daje tačno značenje. Postoje i konstrukcije koje vam omogućavaju da pronađete rezultujuću vrijednost sa datom tačnošću (na primjer, proširenje elementarne funkcije u nizu stepena). Modeli koji koriste ovu tehniku nazivaju se približnim.

Zauzvrat, analitički modeli se dijele na teorijski i empirijski modeli. Teorijski modeli odražavaju stvarne strukture i procese u objektima koji se proučavaju, odnosno zasnivaju se na teoriji njihovog rada. Empirijski modeli se grade na osnovu proučavanja reakcija objekta na promjene uslova okoline. U ovom slučaju se ne razmatra teorija rada objekta, sam objekt je takozvana „crna kutija“, a model je određena interpolaciona zavisnost. Empirijski modeli se mogu izgraditi iz eksperimentalnih podataka. Ovi podaci se dobijaju direktno na objektima koji se proučavaju ili uz pomoć njihovih fizičkih modela.

Ako se proces ne može opisati u obliku analitičkog modela, on se opisuje pomoću posebnog algoritma ili programa. Ovaj model je algoritamski. Prilikom konstruiranja algoritamskih modela koriste se numerički ili simulacijski pristupi. U numeričkom pristupu, skup matematičkih relacija je zamijenjen konačnodimenzionalnim analogom (na primjer, prijelaz sa funkcije kontinuiranog argumenta na funkciju diskretnog argumenta). Zatim se konstruiše računski algoritam, tj. nizove aritmetičkih i logičkih operacija. Pronađeno rješenje diskretnog analoga uzima se kao približno rješenje originalnog problema. U simulacionom pristupu se diskretizuje sam objekt modeliranja i grade modeli pojedinih elemenata sistema.

2. Prema obliku prikaza matematičkih modela razlikuju se:

1) Invarijantni model je matematički model koji je predstavljen sistemom jednačina (diferencijalnim, algebarskim) bez uzimanja u obzir metoda za rješavanje ovih jednačina.

2) Algebarski model - odnos modela je povezan sa odabranom metodom numeričkog rješenja i zapisan u obliku algoritma (sekvenca proračuna).

3) Analitički model - je eksplicitna zavisnost željenih varijabli od datih vrednosti. Takvi modeli se dobijaju na osnovu fizikalnih zakona, ili kao rezultat direktne integracije originalnih diferencijalnih jednadžbi korišćenjem tabelarnih integrala. Oni također uključuju regresijske modele dobivene na osnovu eksperimentalnih rezultata.

4) Grafički model je predstavljen u obliku grafikona, ekvivalentnih kola, dijagrama i sl. Za korištenje grafičkih modela mora postojati pravilo nedvosmislene korespondencije uvjetnih slika elemenata grafike i komponenti invarijantnog matematičkog modela.

3. U zavisnosti od vrste kriterijuma efikasnosti i nametnutih ograničenja, modeli se dele na linearne i nelinearne. U linearnim modelima, kriterijum efikasnosti i nametnuta ograničenja su linearne funkcije varijabli modela (inače, nelinearni modeli). Pretpostavka o linearnoj zavisnosti kriterijuma efikasnosti i skupa nametnutih ograničenja na varijable modela je sasvim prihvatljiva u praksi. Ovo omogućava korištenje dobro razvijenog aparata za linearno programiranje za donošenje odluka.

4. Uzimajući u obzir faktor vremena i područja upotrebe, razlikuju se statičke i dinamičke modele... Ako sve veličine uključene u model ne ovise o vremenu, tada imamo statički model objekta ili procesa (jednokratni dio informacije o objektu). One. statički model je model u kojem vrijeme nije varijabla. Dinamički model vam omogućava da vidite promjene u objektu tokom vremena.

5. U zavisnosti od broja strana koje donose odluku, postoje dve vrste matematičkih modela: deskriptivne i normativne... U deskriptivnom modelu nema donosilaca odluka. Formalno, broj takvih strana u deskriptivnom modelu je nula. Tipičan primjer takvih modela je model sistema čekanja. Teorija pouzdanosti, teorija grafova, teorija vjerovatnoće, metoda statističkog ispitivanja (Monte Carlo metoda) također se mogu koristiti za izgradnju deskriptivnih modela.

Postoji mnogo aspekata normativnog modela. U principu, mogu se razlikovati dvije vrste normativnih modela: modeli optimizacije i modeli teorijske igre. U optimizacijskim modelima, glavni zadatak razvoja rješenja tehnički se svodi na striktno maksimiziranje ili minimiziranje kriterija efikasnosti, tj. određuju se takve vrednosti kontrolisanih varijabli pri kojima kriterijum efikasnosti dostiže ekstremnu vrednost (maksimum ili minimum).

Za razvoj rješenja prikazanih optimizacijskim modelima, uz klasične i nove varijacione metode (pretraga ekstremima), najčešće se koriste metode matematičkog programiranja (linearne, nelinearne, dinamičke). Teorijski model igara karakterizira višestrukost broja strana (najmanje dvije). Ako postoje dvije stranke sa suprotnim interesima, onda se koristi teorija igara, ako je broj stranaka veći od dvije i među njima su nemoguće koalicije i kompromisi, onda se koristi teorija nekoalicionih igara n osobe.

6. U zavisnosti od prisustva ili odsustva slučajnih (ili neizvesnih) faktora, postoje deterministički i stohastički matematički modeli. U determinističkim modelima, sve veze, varijable i konstante su precizno specificirane, što dovodi do nedvosmislene definicije rezultirajuće funkcije. Deterministički model se konstruiše u slučajevima kada su faktori koji utiču na ishod operacije podložni dovoljno preciznom merenju ili proceni, a slučajni faktori ili izostaju ili se mogu zanemariti.

Ako su neki ili svi parametri uključeni u model po svojoj prirodi slučajne varijable ili slučajne funkcije, tada model pripada klasi stohastičkih modela. U stohastičkim modelima postavljaju se zakoni distribucije slučajnih varijabli, što dovodi do vjerovatnoće procjene rezultujuće funkcije, a stvarnost se prikazuje kao određeni slučajni proces čiji je tok i ishod opisan određenim karakteristikama slučajnih varijabli: matematičkim očekivanjima. , varijanse, funkcije distribucije, itd. Izgradnja takvog modela je moguća ako postoji dovoljno činjeničnog materijala za procjenu potrebnih distribucija vjerovatnoće ili ako teorija fenomena koji se razmatra omogućava da se te distribucije odrede teoretski (na osnovu formula teorije vjerovatnoće, graničnih teorema itd. .).

7. U zavisnosti od ciljeva modeliranja, postoje deskriptivno, optimizacijsko i upravljanje modeli. U deskriptivnim (od latinskog descriptio - opis) modelima istražuju se zakonitosti promjene parametara modela. Na primjer, model kretanja materijalne tačke pod utjecajem primijenjenih sila zasnovan na drugom Newtonovom zakonu:. Određivanjem položaja i ubrzanja tačke u datom trenutku (ulazni parametri), mase (unutarnji parametar) i zakona promjene primijenjenih sila (spoljašnji utjecaji), moguće je odrediti koordinate tačke i brzinu na bilo kojem vrijeme (izlaz).

Optimizacijski modeli se koriste za određivanje najboljih (optimalnih), na osnovu određenog kriterija, parametara simuliranog objekta ili metoda upravljanja ovim objektom. Optimizacijski modeli se grade korištenjem jednog ili više deskriptivnih modela i imaju nekoliko kriterija za određivanje optimalnosti. Na raspon vrijednosti ulaznih parametara mogu se nametnuti ograničenja u obliku jednakosti ili nejednakosti u vezi sa karakteristikama predmeta ili procesa koji se razmatra. Primjer optimizacijskog modela je kompilacija obroka hrane u određenoj prehrani (kao ulazni podaci djeluju kalorijski sadržaj proizvoda, cjenovne vrijednosti troškova itd.).

Upravljački modeli se koriste za donošenje odluka u različitim oblastima svrsishodne ljudske aktivnosti, kada se iz čitavog skupa alternativa bira više alternativa, a opšti proces donošenja odluka je niz takvih alternativa. Na primjer, izbor izvještaja za unapređenje od nekoliko pripremljenih od strane studenata. Složenost problema je kako u nesigurnosti u pogledu ulaznih podataka (izvještaj je pripremljen samostalno ili je korišten tuđi rad) tako i u ciljevima (naučna priroda rada i njegova struktura, nivo prezentacije i stepen obučenosti rada). učenik, rezultati eksperimenta i dobijeni zaključci). Budući da se optimalnost odluke donesene u istoj situaciji može tumačiti na različite načine, oblik kriterija optimalnosti u modelima upravljanja nije unaprijed fiksiran. Metode za formiranje kriterijuma optimalnosti u zavisnosti od vrste neizvesnosti razmatraju se u teoriji izbora i odlučivanja, na osnovu teorije igara i istraživanja operacija.

8.Razlikovati po metodi istraživanja analitičke, numeričke i simulacijske modeli. Analitički model je formalizovani opis sistema koji omogućava da se dobije eksplicitno rešenje jednačine koristeći dobro poznati matematički aparat. Numerički model karakterizira ovisnost koja omogućava samo parcijalna numerička rješenja za specifične početne uvjete i kvantitativne parametre modela. Simulacioni model je skup opisa sistema i spoljašnjih uticaja, algoritama za funkcionisanje sistema ili pravila za promenu stanja sistema pod uticajem spoljašnjih i unutrašnjih poremećaja. Ovi algoritmi i pravila ne omogućavaju korištenje dostupnih matematičkih metoda analitičkog i numeričkog rješenja, ali omogućavaju simulaciju procesa funkcionisanja sistema i fiksiranje karakteristika od interesa. Dalje će se detaljnije razmotriti neki analitički i simulacijski modeli, proučavanje ovih vrsta modela povezano je sa specifičnostima profesionalne aktivnosti studenata u navedenom smjeru obuke.

1.4. Grafički prikaz matematičkih modela

U matematici se oblici veze između veličina mogu predstaviti jednačinama oblika nezavisne varijable (argumenta), y- zavisna varijabla (funkcija). U teoriji matematičkog modeliranja nezavisna varijabla se naziva faktor, a zavisna varijabla odgovor. Štoviše, ovisno o području konstruiranja matematičkog modela, terminologija je donekle modificirana. Neki primjeri definicija faktora i odgovora, ovisno o području istraživanja, prikazani su u tabeli 1.

Tabela 1. Neke definicije pojmova "faktor" i "odgovor"

Predstavljajući matematički model grafički, faktore i odgovore ćemo razmatrati kao varijable, čije vrijednosti pripadaju skupu realnih brojeva.

Grafički prikaz matematičkog modela je neka odzivna površina koja odgovara rasporedu tačaka u k- prostor dimenzionalnog faktora NS... Mogu se vizualizirati samo jednodimenzionalne i dvodimenzionalne površine odziva. U prvom slučaju, ovo je skup tačaka na realnoj ravni, au drugom skup tačaka koje formiraju površinu u prostoru (za predstavljanje takvih tačaka zgodno je koristiti linije nivoa - način prikazivanja reljef površine prostora izgrađenog u dvodimenzionalnom faktorskom prostoru NS(Sl. 8).

Područje u kojem je definirana površina odgovora se zove domen definicije X *. Ovo područje je, po pravilu, samo dio ukupnog faktorskog prostora. NS(NS*Ì NS) i dodjeljuje se korištenjem ograničenja nametnutih na kontrolne varijable x i napisano kao jednakosti:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

ili nejednakosti:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

U ovom slučaju, funkcije f j(x) može istovremeno zavisiti od svih varijabli i od nekog njihovog dijela.

Ograničenja tipa nejednakosti karakterišu ili fizička ograničenja na procese u objektu koji se proučava (na primjer, temperaturna ograničenja), ili tehnička ograničenja povezana s radnim uvjetima postrojenja (na primjer, maksimalna brzina rezanja, ograničenja rezervi sirovina ).

Mogućnosti proučavanja modela u suštini zavise od svojstava (reljefa) površine odziva, posebno od broja „vrhova“ dostupnih na njoj i njenog kontrasta. Broj vrhova (dolina) određuje modalitet odzivne površine. Ako u domeni definicije na površini odgovora postoji jedan vrh (dolina), model se zove unimodalni.

Priroda promjene funkcije u ovom slučaju može biti različita (slika 9).

Model može imati tačke prekida prve vrste (slika 9 (a)), tačke loma druge vrste (slika 9 (b)). Slika 9 (c) prikazuje kontinuirano diferenciran unimodalni model.

Za sva tri slučaja prikazana na slici 9, ispunjen je opći zahtjev unimodalnosti:

ako je W (x *) ekstrem od W, onda iz uslova x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) slijedi W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), ako je ekstremum minimalan, odnosno kako se rastojanje od ekstremne tačke povećava, vrijednost funkcije W (x) kontinuirano opada (rast).

Uz unimodalne modele razmatraju se i polimodalni modeli (Sl. 10).

Još jedno važno svojstvo površine odziva je njen kontrast, koji pokazuje osjetljivost rezultujuće funkcije na promjene faktora. Kontrast karakteriziraju vrijednosti derivata. Pokažimo karakteristike kontrasta na primjeru dvodimenzionalne površine odziva (slika 11).

Poenta a nalazi se na "kosini" koja karakteriše jednak kontrast za sve varijable x i (i= 1,2), tačka b nalazi se u "jaduci" u kojoj različit kontrast za različite varijable (imamo lošu uslovljenost funkcije), tačka sa nalazi se na "platou" gdje je kontrast nizak za sve varijable x i označava blizinu ekstremuma.

1.5. Osnovne metode za konstruisanje matematičkih modela

Dajemo klasifikaciju metoda formalizovanog predstavljanja modeliranih sistema Volkova V.N. i Denisova AA Autori ističu analitičke, statističke, teorijske, lingvističke, logičke, grafičke metode. Osnovna terminologija, primjeri teorija koje se razvijaju na osnovu opisanih klasa metoda, kao i obim i mogućnosti njihove primjene su predloženi u Dodatku 1.

U praksi modeliranja sistema najviše se koriste analitičke i statističke metode.

1) Analitičke metode za konstruisanje matematičkih modela.

Terminološki aparat analitičkih metoda za konstruisanje matematičkih modela zasniva se na konceptima klasične matematike (formula, funkcija, jednačina i sistem jednačina, nejednakost, izvod, integral itd.). Ove metode karakteriše jasnoća i validnost terminologije koja se koristi jezikom klasične matematike.

Na osnovu analitičkih koncepata nastale su i razvile se takve matematičke teorije kao što su klasična matematička analiza (na primjer, metode za proučavanje funkcija), te moderne osnove matematičkog programiranja i teorije igara. Osim toga, matematičko programiranje (linearno, nelinearno, dinamičko, cjelobrojno, itd.) sadrži oba načina postavljanja problema i proširuje mogućnosti dokazivanja adekvatnosti modela, za razliku od niza drugih oblasti matematike. Ideje optimalnog matematičkog programiranja za rješavanje ekonomskih (posebno rješavanja problema optimalnog rezanja šperploče) problema predložio je L.V. Kantorovich.

Objasnimo karakteristike metode koristeći primjer.

Primjer. Pretpostavimo da za proizvodnju dvije vrste proizvoda A i V potrebno je koristiti tri vrste sirovina. Istovremeno, za proizvodnju jedinice proizvodnje tipa A Potrošene su 4 jedinice. sirovine prve vrste, 2 kom. 2. i 3. jedinica 3rd type. Za proizvodnju jedinice proizvodnje tipa V 2 jedinice su potrošene. sirovine 1. vrste, 5 kom. 2. tip i 4 jedinice. 3. vrsta sirovina. U fabričkom magacinu se nalazi 35 jedinica. sirovine 1. vrste, 43 - 2., 40 - 3. vrste. Od prodaje jedinice proizvodnje tipa A tvornica ima profit od 5 hiljada rubalja, a od prodaje jedinice proizvodnje obrasca V profit je 9 hiljada rubalja. Potrebno je izraditi matematički model problema koji omogućava maksimalan profit.

Stope potrošnje svake vrste sirovina za proizvodnju jedinice ove vrste proizvoda date su u tabeli. Takođe ukazuje na dobit od prodaje svake vrste proizvoda i ukupnu količinu sirovina ove vrste koju preduzeće može koristiti.

Označimo sa x 1 i x 2 obim proizvedenih proizvoda A i V respektivno. Cijena materijala prvog razreda za plan će biti 4x 1 + 2x 2, a ne bi trebalo da prelaze zalihe, tj. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Ograničenja za materijal drugog razreda su slična:

2x 1 + 5x 2 43,

i na gradivu trećeg razreda

3x 1 + 4x 2 40.

Dobit od prodaje x 1 jedinice proizvodnje A i x 2 jedinice proizvodnje B će biti z = 5x 1+ 9x 2(objektivna funkcija).

Imamo model problema:

Grafičko rješenje problema prikazano je na slici 11.

Optimalno (najbolje, tj. maksimum funkcije z) rješenje problema je u tački A (rješenje je objašnjeno u poglavlju 5).

Shvatio sam x 1=4,x 2= 7, vrijednost funkcije z u tački A:.

Dakle, vrijednost maksimalnog profita iznosi 83 hiljade rubalja.

Osim grafičke, postoji i niz posebnih metoda za rješavanje problema (na primjer, simpleks metoda) ili se koriste primijenjeni softverski paketi koji ih implementiraju. U zavisnosti od tipa funkcije cilja razlikuje se linearno i nelinearno programiranje, zavisno od prirode varijabli razlikuje se celobrojno programiranje.

Opće karakteristike matematičkog programiranja mogu se razlikovati:

1) uvođenje koncepta ciljne funkcije i ograničenja su sredstva za postavljanje problema;

2) moguće je kombinovati različite kriterijume u jednom modelu (različite dimenzije, u primeru - zalihe sirovina i profit);

3) model matematičkog programiranja omogućava izlazak na granicu opsega dozvoljenih vrednosti varijabli;

4) mogućnost implementacije korak-po-korak algoritma za dobijanje rezultata (korak-po-korak aproksimacija do optimalnog rješenja);

5) jasnoća, postignuta geometrijskom interpretacijom problema, koja pomaže u slučajevima kada je problem nemoguće formalno riješiti.

2) Statističke metode za konstruisanje matematičkih modela.

Statističke metode za konstruisanje matematičkih modela postale su široko rasprostranjene i počele da se široko koriste sa razvojem teorije verovatnoće u 19. veku. Oni su zasnovani na probabilističkim zakonima slučajnih (stohastičkih) događaja, koji odražavaju stvarne pojave. Termin "stohastički" je pojašnjenje pojma "slučajno", ukazuje na unaprijed određene, određene razloge koji utiču na proces, a koncept "slučajnog" karakteriše nezavisnost od uticaja ili odsustvo takvih razloga.

Statistički obrasci su predstavljeni u obliku diskretnih slučajnih varijabli i obrazaca pojavljivanja njihovih vrijednosti ili u obliku kontinuiranih ovisnosti distribucije događaja (procesa). Teorijske osnove izgradnje stohastičkih modela detaljno su opisane u Poglavlju 2.

Kontrolna pitanja

1. Formulirati glavni problem matematičkog modeliranja.

2. Dajte definiciju matematičkog modela.

3. Navedite glavne nedostatke eksperimentalnog pristupa u istraživanju.

4. Navedite glavne faze izgradnje modela.

5. Navedite vrste matematičkih modela.

6. Dajte kratak opis tipova modela.

7. Kakav oblik ima matematički model kada se geometrijski predstavi?

8. Kako se specificiraju matematički modeli analitičkog tipa?

Zadaci

1. Napravite matematički model za rješavanje problema i klasificirajte model:

1) Odredite maksimalni kapacitet cilindrične kante čija je površina (bez poklopca) S.

2) Preduzeće obezbeđuje redovnu proizvodnju uz nesmetano snabdevanje komponentama od dva podizvođača. Vjerovatnoća odbijanja isporuke od prvog od podizvođača -, od drugog -. Pronađite vjerovatnoću neuspjeha poduzeća.

2. Malthusov model (1798) opisuje reprodukciju populacije brzinom proporcionalnom njenoj veličini. U diskretnom obliku, ovaj zakon je geometrijska progresija:; ili Zakon, napisan u obliku diferencijalne jednačine, je model eksponencijalnog rasta populacije i dobro opisuje rast ćelijskih populacija u odsustvu bilo kakvog ograničenja:. Postavite početne uslove i pokažite kako model radi.

Početne informacije u konstrukciji MM procesa funkcionisanja sistema su podaci o nameni i uslovima rada ispitivanog (projektovanog) sistema S. Ovi podaci određuju glavni cilj modeliranja, zahteve za MM, nivo apstrakcije. , i izbor šeme matematičkog modeliranja.

Koncept matematička šema omogućava nam da matematiku ne smatramo metodom proračuna, već metodom mišljenja, sredstvom formulisanja koncepata, što je najvažnije u prelasku sa verbalnog opisa na formalizovanu reprezentaciju procesa njenog funkcionisanja u obliku neki MM.

Kada koristite prostirku. shema, prije svega, istraživača sistema treba zanimati pitanje adekvatnosti prikaza u obliku konkretnih šema stvarnih procesa u sistemu koji se proučava, a ne mogućnost dobijanja odgovora (rezultata rješenja) na konkretno istraživačko pitanje.

Na primjer, predstavljanje procesa funkcionisanja ICS-a za kolektivnu upotrebu u obliku mreže šema čekanja omogućava dobro opisivanje procesa koji se dešavaju u sistemu, ali sa složenim zakonima dolaznih tokova i tokova usluga, on ne omogućava dobijanje rezultata u eksplicitnom obliku.

Matematička shema može se definisati kao karika u prelasku sa smislenog na formalizovani opis procesa funkcionisanja sistema, uzimajući u obzir uticaj spoljašnjeg okruženja. One. postoji lanac: deskriptivni model - matematička šema - simulacijski model.

Svaki konkretan sistem S karakteriše skup svojstava, koja se shvataju kao vrednosti koje odražavaju ponašanje modeliranog objekta (stvarnog sistema) i uslove njegovog funkcionisanja u interakciji sa spoljašnjim okruženjem (sistemom) E.

Prilikom konstruisanja MM sistema S potrebno je rešiti pitanje njegove kompletnosti. Kompletnost modeliranja regulisana je uglavnom izborom granica "Sistem S - okruženje E". Takođe, trebalo bi riješiti problem pojednostavljenja MM, što pomaže da se istaknu glavna svojstva sistema, odbacujući sekundarne ciljeve modeliranja.

MM objekta simulacije, tj. sistema S može se predstaviti kao skup veličina koje opisuju proces funkcionisanja realnog sistema iu opštem slučaju formiraju sledeće podskupove:

Skup X - ulaznih uticaja na Sh i H, i = 1… n x;

Ukupnost spoljašnjeg okruženja utiče na v l V, l = 1… n v;

Skup unutrašnjih (intrinzičnih) parametara sistema h k H, k = 1… n h;

Skup izlaznih karakteristika sistema y j Y, j = 1… n y.

U navedenim skupovima mogu se razlikovati kontrolisane i nekontrolisane količine. Generalno, X, V, H, Y su disjunktni skupovi koji sadrže i determinističke i stohastičke komponente. Ulazne akcije E i interni parametri S su nezavisne (egzogene) varijable.Izlazne karakteristike - zavisne varijable (endogene)... Operativni proces S opisuje operator F S:

(1)

Izlazna putanja F S - zakon funkcionisanja S.F S može biti funkcija, funkcionalni, logički uslovi, algoritam, tabela ili verbalni opis pravila.

Algoritam funkcionisanja A S - metoda za dobijanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne uticaje Očigledno je da se isti FS može implementirati na različite načine, tj. koristeći mnogo različitih A S.

Relacija (1) je matematički opis ponašanja modela S objekta u vremenu t, tj. odražava to dinamička svojstva... (1) je dinamički model sistema S. Za statičke uslove MM postoje preslikavanja X, V, H u Y, tj. (2)

Relacije (1), (2) se mogu specificirati formulama, tabelama itd.

Takođe, odnosi se u nekim slučajevima mogu dobiti kroz svojstva sistema u određenim vremenskim trenucima, koji se nazivaju stanja.

Stanja sistema S karakterišu vektori:

i , gdje u trenutku t l  (t 0, T)

u trenutku t ll  (t 0, T), itd. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) su koordinate tačke u k-dimenzionalnom faznom prostoru. Svaka implementacija procesa će odgovarati određenoj faznoj putanji.

Skup svih mogućih vrijednosti stanja () naziva se prostor stanja objekta modeliranja Z, a z k Z.

Stanje sistema S u vremenskom intervalu t 0 , gdje su ulazni, interni parametri i efekti vanjskog okruženja, koji su se odigrali tokom vremenskog intervala t * - t 0 pomoću 2 vektorske jednadžbe:

; (3)

inače: . (5)

Vrijeme u mod. S se može smatrati na intervalu simulacije (t 0, T) i kontinuiranim i diskretnim, tj. kvantizovan na segmentu dužine t.

Dakle, pod MM objekta podrazumijevamo konačan skup varijabli () zajedno sa matematičkim vezama između njih i karakteristika.

Modeliranje se naziva determinističkim ako su operatori F, F deterministički, tj. za određeni ulaz, izlaz je deterministički. Determinističko modeliranje je poseban slučaj stohastičkog modeliranja. U praksi, modeliranje objekata u oblasti sistemske analize u primarnim fazama istraživanja racionalnije je koristiti standardne matematičke šeme: dif. jednačine, konačni i probabilistički automati, QS, itd.

Nije opsjednut. takav stepen općenitosti kao modeli (3), (4), tipični matematičke šeme imaju prednost jednostavnosti i jasnoće, ali uz značajno sužavanje obima primjene.

As deterministički modela, kada se slučajna činjenica ne uzima u obzir u istraživanju, koriste se diferencijalne, integralne i druge jednačine za predstavljanje sistema koji rade u kontinuiranom vremenu, a konačni automati i sheme konačnih razlika se koriste za predstavljanje sistema koji rade u diskretnom vremenu.

Na početku stohastičkih modela (uzimajući u obzir slučajni faktor), probabilistički automati se koriste za predstavljanje sistema sa diskretnim vremenom, a sistemi čekanja (QS) se koriste za predstavljanje sistema sa kontinuiranim vremenom. tzv agregat modeli.

Agregatni modeli (sistemi) omogućavaju opisivanje širokog spektra istraživačkih objekata sa odrazom sistemske prirode ovih objekata. Sa agregatnim opisom složeni objekt se dijeli na konačan broj dijelova (podsistema), uz održavanje veza, osiguravajući interakciju dijelova.

16 Matematičke šeme za modeliranje sistema.

Glavni pristupi konstrukciji matematičkih modela sistema. Kontinuirano deterministički modeli. Diskretno-deterministički modeli. Diskretni stohastički modeli. Kontinuirani stohastički modeli. Mrežni modeli. Kombinovani modeli.

Glavni pristupi konstrukciji matematičkih modela sistema.

Početne informacije u konstrukciji matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema su podaci o nameni i uslovima rada ispitivanog (projektovanog) sistema. S.

Matematičke šeme

Realni procesi su prikazani u obliku specifičnih dijagrama. Mat. šeme - prelazak sa smislenog opisa na formalni opis sistema, uzimajući u obzir uticaj okoline.

Formalni objektni model

Model objekta simulacije,

tj. sistemi S, može se predstaviti kao skup veličina,

opisivanje procesa funkcionisanja realnog sistema i generisanje

općenito slijedeći podskupovi:

Agregat ulazne akcije po sistemu

NSi, ex, (e-lik pripada)i=1; nx

Agregat uticaje životne sredine

vl eVl = 1;nv

Agregat interni (vlastiti) parametri sistemima

hkeHk = 1; nh

Agregat izlazne karakteristike sistemima

yJeYj = 1; ny

Možete razlikovati upravljane i neupravljane varijable.

Prilikom modeliranja sistema, ulazni uticaji, uticaji okoline i unutrašnji parametri sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

ulazni uticaji, uticaji okoline E a unutrašnji parametri sistema su nezavisne (egzogene) varijable.

Proces rada sistema S na vrijeme opisao operater fs, koji u opštem slučaju transformiše egzogene varijable u endogene u skladu sa relacijama oblika:

y(t) = Fs (x, v, h, t) - sve sa vektori.

Zakon funkcionisanja sistema Fs se može specificirati u obliku funkcije, funkcionalnih, logičkih uslova, u algoritamskom i tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila korespondencije.

Koncept algoritma funkcionisanja As - metoda za dobijanje izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazna dejstva, efekte spoljašnjeg okruženja i unutrašnje parametre sistema.

Uvode se i stanja sistema – svojstva sistema u određenim vremenskim momentima.

Ukupnost svih mogućih vrijednosti stanja čini prostor stanja objekta.

Dakle, lanac jednadžbi objekta "ulaz - stanja - izlaz" omogućava vam da odredite karakteristike sistema:

Dakle, pod matematički model objekta(stvarni sistem) razumiju konačan podskup varijabli (x (t), v (t), h(t)) zajedno sa matematičkim odnosima između njih i karakteristikama y (t).

Tipične šeme

U početnim fazama studije koriste se standardne sheme. : diferencijalne jednadžbe, konačni i probabilistički automati, sistemi čekanja, Petrijeve mreže, itd.

Diferencijalne, integralne, integro-diferencijalne i druge jednačine se koriste za predstavljanje sistema koji rade u kontinuiranom vremenu kao deterministički modeli, kada se slučajni faktori ne uzimaju u obzir u istraživanju, a konačni automati i sheme konačnih razlika se koriste za predstavljanje sistema koji rade u diskretno vrijeme....

Probabilistički automati se koriste kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore) za predstavljanje sistema sa diskretnim vremenom, a sistemi čekanja se koriste za predstavljanje sistema sa kontinuiranim vremenom itd.

Kontinuirano deterministički modeli

Razmotrimo karakteristike kontinuirano determinističkog pristupa na primjeru, koristeći Mat. modeli diferencijalne jednadžbe.

Diferencijalne jednadžbe su one jednadžbe u kojima su funkcije jedne varijable ili više varijabli nepoznate, a jednačina uključuje ne samo njihove funkcije, već i njihove derivate različitog reda.

Ako su nepoznate funkcije nekoliko varijabli, tada se jednačine nazivaju - parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ako su nepoznate funkcije jedne nezavisne varijable, onda obične diferencijalne jednadžbe.

Opći matematički odnos za determinističke sisteme:

Diskretno-deterministički modeli.

DDM su predmet revizije teorija automata (TA)... TA je dio teorijske kibernetike koji proučava uređaje koji obrađuju diskretne informacije i mijenjaju svoja unutrašnja stanja samo u prihvatljivim vremenima.

Državni stroj naziva se automat, u kojem su skup unutrašnjih stanja i ulaznih signala (i, posljedično, skup izlaznih signala) konačni skupovi.

Konačna mašina ima mnogo unutrašnjih stanja i ulaznih signala, koji su konačni skupovi. Mašina dato F-šemom: F = ,

gdje su z, x, y, redom, konačni skupovi ulaznih i izlaznih signala (abecede) i konačan skup unutrašnjih stanja (abeceda). z0ÎZ - početno stanje; j (z, x) - prelazna funkcija; y (z, x) - izlazna funkcija.

Automat radi u diskretnom vremenu automata, čiji su momenti ciklusi, odnosno međusobno susjedni jednaki vremenski intervali, od kojih svaki odgovara konstantnim vrijednostima ulaznog, izlaznog signala i unutrašnjeg stanja. Apstraktni automat ima jedan ulazni i jedan izlazni kanal.

Za definiranje F - automata potrebno je opisati sve elemente skupa F = , odnosno ulazna, interna i izlazna abeceda, kao i funkcije prijelaza i izlaza. Za podešavanje rada F - automata najčešće se koriste tabelarni, grafički i matrični metodi.

U tabelarnom načinu postavljanja koriste se prelazne i izlazne tabele čiji redovi odgovaraju ulaznim signalima automata, a kolone - njegovim stanjima.

Opis posla F- Miles automat tabele prelaza j i izlaza y ilustrovane su tabelom (1), a opis F - Mooreovog automata - ilustrovan je tabelom prelaza (2).

Tabela 1



Tranzicije


…………………………………………………………



…………………………………………………………

tabela 2






…………………………………………………………

Primjeri tabelarnog načina specificiranja F - Mealyjevog automata F1 sa tri stanja, dva ulazna i dva izlazna signala, dati su u tabeli 3, a za F - Moore automat F2 - u tabeli 4.

Tabela 3



Tranzicije

Tabela 4

Drugi način definiranja konačnog stroja koristi koncept usmjerenog grafa. Graf automata je skup vrhova koji odgovaraju različitim stanjima automata i povezuju vrhove lukova grafa koji odgovaraju određenim prijelazima automata. Ako ulazni signal xk uzrokuje prijelaz iz stanja zi u stanje zj, tada se na grafu automata luk koji povezuje vrh zi sa vrhom zj označava sa xk. Da bi se postavila funkcija prijelaza, lukovi grafa moraju biti označeni odgovarajućim izlaznim signalima.

Rice. 1. Grafovi automata Mealy (a) i Moore (b).

Kada se rješavaju problemi modeliranja, matrična definicija konačnog automata je često prikladniji oblik. U ovom slučaju, matrica veza automata je kvadratna matrica C = || cij ||, čiji redovi odgovaraju početnim stanjima, a kolone prelaznim stanjima.

Primjer. Za prethodno razmatrani Mooreov automat F2, pišemo matricu stanja i izlazni vektor:

;

Diskretni stohastički modeli

Neka je F skup svih mogućih parova oblika (zk, yi), gdje je ui element izlaza

podskup Y. Zahtijevamo da bilo koji element skupa G inducira

na skupu F neki zakon raspodjele sljedećeg oblika:

Elementi iz F (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Informacijske mreže "href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> obrada kompjuterskih informacija sa udaljenih terminala itd.

Istovremeno, tipično za

rad takvih objekata je nasumično pojavljivanje aplikacija (zahtjeva) za

usluga i prekid usluge u nasumično vrijeme,

odnosno stohastičku prirodu procesa njihovog funkcionisanja.

QS se shvata kao dinamički sistem dizajniran da efikasno opslužuje nasumični tok aplikacija sa ograničenim sistemskim resursima. Generalizovana struktura QS-a prikazana je na slici 3.1.

Rice. 3.1. SMO shema.

Homogena potraživanja koja pristižu na ulaz QS-a dijele se na tipove, ovisno o uzroku generiranja, intenzitet toka potraživanja tipa i (i = 1...M) označava se sa li. Ukupnost aplikacija svih tipova je ulazni tok QS-a.

Vrši se servis prijava m kanala.

Razlikujte univerzalne i specijalizirane kanale usluga. Za univerzalni kanal tipa j poznate su funkcije raspodjele Fji (t) trajanja servisiranja potraživanja proizvoljnog tipa. Za specijalizovane kanale, funkcije distribucije za trajanje servisa kanala određenih vrsta potraživanja su nedefinisane, dodeljivanje ovih potraživanja ovom kanalu.

Q - kola se mogu istraživati analitički i simulacijskim modelima. Potonji pruža veliku svestranost.

Razmotrimo koncept čekanja.

U svakom elementarnom činu servisiranja mogu se razlikovati dvije glavne komponente: očekivanje usluge od strane reklamacije i stvarno servisiranje reklamacije. Ovo se može prikazati u obliku nekog i-tog servisnog uređaja Pi, koji se sastoji od akumulatora za zahtjeve, u kojem istovremeno može postojati li = 0 ... LiH zahtjeva, gdje je LiH kapacitet i-tog akumulatora, i kanal servisa zahteva, ki.

Rice. 3.2. Šematski dijagram CMO uređaja

Svaki element servisnog uređaja Pi prima tokove događaja: tok potraživanja wi u akumulator Hi, a tok servisiranja ui kanalu ki.

Po toku događaja(PS) je slijed događaja koji se događaju jedan za drugim u nekim nasumičnim trenucima vremena. Razlikovati tokove homogenih i heterogenih događaja. Homogene PS karakteriziraju samo momenti dolaska ovih događaja (momenti izazivanja) i dat je nizom (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), gdje je tn trenutak dolaska n-tog događaj - nenegativan realan broj. TSA se također može specificirati kao niz vremenskih intervala između n-tog i n-1-og događaja (tn).

Heterogena PS se naziva niz (tn, fn), gdje je tn - uzrokujući momenti; fn - skup atributa događaja. Na primjer, može se dodijeliti jednom ili drugom izvoru potraživanja, prisutnosti prioriteta, mogućnosti opsluživanja jedne ili druge vrste kanala itd.

Zahtevi koje servira kanal ki i zahtevi koji su napustili server Pi iz različitih razloga koji nisu servisirani formiraju izlazni tok yiÎY.

Proces funkcionisanja servisnog uređaja Pi može se predstaviti kao proces promjene stanja njegovih elemenata u vremenu Zi (t). Prelazak u novo stanje za Pi znači promjenu broja zahtjeva koji se nalaze u njemu (u kanalu ki i akumulatoru Hi). To. vektor stanja za Pi ima oblik:, gdje su stanja pogona, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height = " 28 "> = 1 - postoji jedan zahtjev u memoriji ..., = - skladište je potpuno zauzeto; - stanje kanala ki (= 0 - kanal je slobodan, = 1 kanal je zauzet).

Q-dijagrami stvarnih objekata formirani su sastavom mnogih elementarnih servisnih uređaja Pi. Ako su ki različiti servisni uređaji povezani paralelno, postoji višekanalni servis (višekanalni Q-krug), a ako su uređaji Pi i njihovi paralelni sastavi povezani u seriju, onda postoji višefazni servis (višefazni Q-krug).

Za definiranje Q-šeme potrebno je i opisati algoritme za njeno funkcioniranje, koji određuju pravila ponašanja tvrdnji u različitim dvosmislenim situacijama.

U zavisnosti od mesta nastanka ovakvih situacija, postoje algoritmi (discipline) za čekanje potraživanja u akumulatoru Ni i za servisiranje šteta na kanalu ki. Heterogenost toka aplikacija uzima se u obzir uvođenjem klase prioriteta – relativni i apsolutni prioriteti.

To. Q-šema koja opisuje proces funkcioniranja QS-a bilo koje složenosti je jedinstveno definirana kao skup skupova: Q = .

Mrežni modeli.

Za formalni opis strukture i interakcije paralelnih sistema i procesa, kao i za analizu uzročno-posledičnih veza u složenim sistemima, koriste se Petrijeve mreže, nazvane N-šeme.

Formalno, N-šema je data sa četvorkom oblika

N = ,

gdje je B konačan skup simbola koji se nazivaju pozicije, B ≠ O;

D je konačan skup simbola koji se naziva prijelazi D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - ulazna funkcija (funkcija direktne incidencije)

I: B × D → (0, 1); O - izlazna funkcija (inverzna funkcija incidencije),

O: B × D → (0, 1). Dakle, ulazna funkcija I preslikava prijelaz dj u

skup ulaznih pozicija bj I (dj), a izlazna funkcija O preslikava

prelaz dj na skup izlaznih pozicija bj O (dj). Za svaki prelaz

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Slično, za svaku poziciju bi B, uvode se definicije

skup ulaznih prelaza pozicije I (bi) i izlaznih prelaza

pozicija O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Petrijeva mreža je bipartitni usmjereni graf koji se sastoji od dvije vrste vrhova - pozicija i prijelaza, povezanih lukovima; vrhovi istog tipa se ne mogu direktno povezati.

Primjer Petrijeve mreže. Bijeli krugovi označavaju pozicije, pruge - prijelaze, crni krugovi - oznake.

Orijentacijski lukovi povezuju pozicije i prijelaze, pri čemu je svaki luk usmjeren od elementa jednog skupa (pozicije ili prijelaza) do elementa drugog skupa

(prijelaz ili pozicija). N-dizajn graf je multigraf, budući da je

priznaje postojanje višestrukih lukova od jednog vrha do drugog.

Dekompozicija "href =" / text / category / dekompozitciya / "rel =" bookmark "> dekompozicija kompleksnog sistema je predstavljena kao višeslojna struktura međusobno povezanih elemenata kombinovanih u podsisteme različitih nivoa.

Agregat djeluje kao element A-dijagrama, a veza između agregata (unutar S sistema i sa vanjskim okruženjem E) se vrši pomoću operatora konjugacije R.

Bilo koju jedinicu karakteriziraju sljedeći skupovi: vremena T, ulazni X i izlazni Y signali, stanja Z u svakom vremenskom trenutku t. Stanje jedinice u trenutku tT označava se kao z (t) Z,

a ulazni i izlazni signali kao x (t) X i y (t) Y, respektivno.

Pretpostavićemo da se prelazak agregata iz stanja z (t1) u stanje z (t2) ≠ z (t1) dešava u kratkom vremenskom intervalu, odnosno dolazi do skoka δz.

Prijelazi jedinice iz stanja z (t1) u z (t2) određeni su unutarnjim (internim) parametrima same jedinice h (t) H i ulaznim signalima x (t) X.

U početnom trenutku t0, stanja z imaju vrijednosti jednake z0, tj. z0 = z (t0), date zakonom distribucije procesa z (t) u trenutku t0, odnosno J. Pretpostavimo da je proces funkcioniranja jedinice u slučaju djelovanja ulaznog signala xn opisuje slučajni operator V. Tada, u trenutku kada ulazni signal stigne u jedinicu tnT

xn možete odrediti stanje

z (tn + 0) = V.

Interval poluvremena označavamo t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Zbirka slučajnih operatora V i U se smatra operatorom prijelaza agregata u nova stanja. U ovom slučaju, proces funkcioniranja jedinice sastoji se od skokova stanja δz u momentima dolaska ulaznih signala x (operator V) i promjena stanja između ovih trenutaka tn i tn + 1 (operator U). Operatoru U nisu nametnuta ograničenja, stoga su dozvoljeni skokovi stanja δz u trenucima koji nisu vremena dolaska ulaznih signala x. U nastavku će se momenti skokova δz zvati specijalni momenti vremena tδ, a stanja z (tδ) - posebna stanja A-šeme. Da bismo opisali skokove stanja δz u posebnim vremenima tδ, koristićemo slučajni operator W, koji je poseban slučaj operatora U, tj.

z (tδ + 0) = W.

U skupu stanja Z razlikuje se podskup Z (Y) tako da ako z (tδ) dostigne Z (Y), onda je ovo stanje trenutak izdavanja izlaznog signala koji određuje izlazni operator

y = G.

Dakle, pod agregatom podrazumijevamo bilo koji objekt definiran uređenom zbirkom razmatranih skupova T, X, Y, Z, Z (Y), H i slučajnih operatora V, U, W, G.

Niz ulaznih signala, raspoređenih po redoslijedu njihovog dolaska u A-šemu, nazvat će se ulazna poruka ili x-poruka. Niz izlaznih signala, poredanih s obzirom na vrijeme izdavanja, nazvat će se izlazna poruka ili y-poruka.

AKO UKRATKO

Kontinuirano-deterministički modeli (D-šeme)

Koriste se za proučavanje sistema koji rade u neprekidnom vremenu. Za opisivanje takvih sistema uglavnom se koriste diferencijalne, integralne, integro-diferencijalne jednačine. U običnim diferencijalnim jednadžbama razmatra se funkcija samo jedne nezavisne varijable, au parcijalnim diferencijalnim jednadžbama funkcije više varijabli.

Kao primjer primjene D-modela može se navesti proučavanje rada mehaničkog klatna ili električnog oscilatornog kola. Tehničku osnovu D-modela čine analogni računari (AVM) ili hibridni računari koji se trenutno brzo razvijaju (GVM). Kao što znate, osnovni princip istraživanja na računaru je da prema datim jednačinama istraživač (korisnik AVM-a) sastavlja kolo od zasebnih tipičnih čvorova - operacionih pojačala sa uključivanjem kola za skaliranje, prigušenje, aproksimaciju, itd.

Struktura ABM-a se mijenja u skladu sa oblikom reproducibilnih jednačina.

U digitalnom računaru struktura ostaje nepromijenjena, ali se redoslijed rada njegovih čvorova mijenja u skladu s programom koji je u njemu postavljen. Poređenje AVM i digitalnog računara jasno pokazuje razliku između simulacije i statističkog modeliranja.

ABM implementira simulacijski model, ali po pravilu ne koristi principe statističkog modeliranja. U digitalnim računarima većina simulacionih modela zasniva se na proučavanju slučajnih brojeva, procesa, odnosno na statističkom modeliranju. Kontinuirano-deterministički modeli se široko koriste u mašinstvu u proučavanju sistema automatskog upravljanja, izboru sistema prigušenja, identifikaciji rezonantnih pojava i oscilacija u tehnologiji.
itd.

Diskretno-deterministički modeli (F-krugovi)

Radi sa diskretnim vremenom. Ovi modeli su osnova za proučavanje rada danas izuzetno važne i rasprostranjene klase diskretnih sistema automata. Za potrebe njihovog istraživanja razvijen je nezavisni matematički aparat teorije automata. Na osnovu ove teorije, sistem se posmatra kao automat koji obrađuje diskretne informacije i menja, u zavisnosti od rezultata njihove obrade, svoja unutrašnja stanja.

Ovaj model se zasniva na principima minimiziranja broja elemenata i čvorova u kolu, uređaju, optimizaciji uređaja u cjelini i redoslijedu rada njegovih čvorova. Uz elektronska kola, upečatljiv predstavnik mašina opisanih ovim modelom je robot koji upravlja (prema datom programu) tehnološkim procesima u datom determinističkom nizu.

Ovaj model opisuje i mašinu za numeričko upravljanje. Izbor redosleda obrade delova na ovoj mašini vrši se postavljanjem upravljačke jedinice (kontrolera), koja generiše upravljačke signale u određenim vremenskim momentima /4/.

Teorija automata koristi matematički aparat Booleovih funkcija koje rade na dvije moguće vrijednosti signala, 0 i 1.

Automati se dijele na automate bez memorije, automate sa memorijom. Opis njihovog rada se vrši pomoću tabela, matrica, grafikona koji prikazuju prelaze mašine iz jednog stanja u drugo. Analitičke evaluacije za bilo koju vrstu opisa rada mašine su veoma glomazne, a čak i sa relativno malim brojem elemenata, čvorova koji čine uređaj, praktično su neizvodljive. Stoga se proučavanje složenih sklopova automata, koji nesumnjivo uključuju i robotske uređaje, provodi pomoću simulacije.

Diskretni stohastički modeli (P-šeme)

Koriste se za proučavanje rada probabilističkih automata. U automatima ove vrste, prijelazi iz jednog stanja u drugo se vrše pod utjecajem vanjskih signala i uzimajući u obzir unutrašnje stanje automata. Međutim, za razliku od T-automata, ovi prijelazi nisu striktno deterministički, već se mogu dogoditi s određenim vjerovatnoćama.

Primjer takvog modela je diskretni Markovljev lanac sa konačnim skupom stanja. Analiza F-šema zasniva se na obradi i transformaciji matrica vjerovatnoće prijelaza i analizi grafova vjerovatnoće. Već za analizu relativno jednostavnih uređaja, čije je ponašanje opisano F-krugovima, preporučljivo je koristiti simulaciju. Primjer takve simulacije dat je u klauzuli 2.4.

Kontinuirani stohastički modeli (Q-šeme)

Koriste se u analizi široke klase sistema koji se smatraju sistemima čekanja. Kao uslužni proces mogu se predstaviti procesi koji su različiti po svojoj fizičkoj prirodi: tokovi isporuke proizvoda do preduzeća, tokovi prilagođenih komponenti i proizvoda, tokovi delova na montažnoj traci, tokovi kontrolnih radnji iz kontrolnog centra ACS na radna mjesta i povratne zahtjeve za obradu informacija u kompjuteru itd.

Tipično, ovi tokovi zavise od mnogih faktora i specifičnih situacija. Stoga su u većini slučajeva ovi tokovi nasumični u vremenu s mogućnošću promjene u bilo kojem trenutku. Analiza ovakvih šema zasniva se na matematičkom aparatu teorije čekanja. Oni uključuju kontinuirani Markovljev lanac. Uprkos značajnom napretku u razvoju analitičkih metoda, teorije redova čekanja, analiza Q-šema analitičkim metodama može se izvesti samo uz značajne pojednostavljujuće pretpostavke i pretpostavke. Detaljno proučavanje većine ovih shema, posebno onih složenih kao što su sistemi upravljanja procesima, robotski sistemi, može se provesti samo uz pomoć simulacije.

Generalizirani modeli (A-dijagrami)

Na osnovu opisa procesa funkcionisanja bilo kojeg sistema zasnovanog na agregatnoj metodi. Sa agregatnim opisom, sistem je podeljen na zasebne podsisteme, što se može smatrati pogodnim za matematički opis. Kao rezultat takve podjele (dekompozicije), složeni sistem je predstavljen u obliku višeslojnog sistema, čiji su pojedinačni nivoi (agregati) podložni analizi. Na osnovu analize pojedinačnih agregata i uzimajući u obzir zakonitosti međusobnog povezivanja ovih agregata, moguće je izvršiti sveobuhvatnu studiju cjelokupnog sistema.

, Yakovlev Systems. 4th ed. - M.: Viša škola, 2005.-- S. 45-82.

Matematičke šeme za modeliranje sistema

Prednosti i mane simulacije

Glavni dostojanstvo simulacija u proučavanju složenih sistema:

· Sposobnost istraživanja karakteristika procesa funkcionisanja sistema S u bilo kojim uslovima;

· Zbog upotrebe kompjutera, trajanje testova je značajno smanjeno u poređenju sa eksperimentom u punom obimu;

· Rezultati ispitivanja u punoj mjeri realnog sistema ili njegovih dijelova mogu se koristiti za simulaciju;

· Fleksibilnost variranja strukture, algoritama i parametara modeliranog sistema pri traženju optimalne verzije sistema;

· Za složene sisteme - ovo je jedina praktično realizovana metoda za proučavanje procesa funkcionisanja sistema.

Glavni ograničenja simulacijsko modeliranje:

· Za potpunu analizu karakteristika procesa funkcionisanja sistema i traženje optimalne opcije potrebno je više puta reproducirati simulacijski eksperiment, varirajući početne podatke problema;

· Velika potrošnja kompjuterskog vremena.

Efikasnost mašinskog modeliranja. Prilikom simulacije potrebno je osigurati maksimalnu efikasnost modela sistema. Efikasnost obično se definiše kao neka razlika između neke mere vrednosti rezultata dobijenih tokom rada modela i troškova koji su uloženi u njegov razvoj i kreiranje.

Učinkovitost simulacijskog modeliranja može se ocijeniti na osnovu više kriterija:

tačnost i pouzdanost rezultata simulacije,

Vrijeme izgradnje i rada sa modelom M,

Trošak mašinskih resursa (vrijeme i memorija),

· Troškovi razvoja i rada modela.

Najbolja mera efikasnosti je poređenje dobijenih rezultata sa stvarnim studijama. Statističkim pristupom, sa određenim stepenom tačnosti (u zavisnosti od broja realizacija mašinskog eksperimenta), dobijaju se prosečne karakteristike ponašanja sistema.

Ukupni troškovi računarskog vremena se sastoje od vremena za unos i izlaz za svaki algoritam simulacije, vremena za izvođenje računskih operacija, uzimajući u obzir pristup RAM-u i eksternim uređajima, kao i složenost svakog algoritma simulacije i planiranje eksperimenata.

Matematičke šeme.Matematički model Je kolekcija matematičkih objekata (brojeva, varijabli, skupova, vektora, matrica itd.) i relacija među njima, koja na adekvatan način odražava fizička svojstva kreiranog tehničkog objekta. Proces formiranja matematičkog modela i njegovog korištenja za analizu i sintezu naziva se matematičko modeliranje.

Prilikom konstruisanja matematičkog modela sistema potrebno je rešiti pitanje njegove kompletnosti. Kompletnost modela regulisana je uglavnom izborom graničnog „sistema S- Sreda E". Također, treba riješiti problem pojednostavljivanja modela, što pomaže da se, ovisno o svrsi modeliranja, istaknu glavna svojstva sistema, odbacujući sporedna.

U prelasku sa smislenog na formalni opis procesa funkcionisanja sistema, uzimajući u obzir uticaj spoljašnjeg okruženja, primenjuju se matematička šema kao karika u lancu "deskriptivni model - matematička šema - matematički (analitički i/ili simulacioni) model".

Formalni model objekta. Objektni model (sistemi S) može se predstaviti kao skup veličina koje opisuju proces funkcionisanja realnog sistema:

Skup ulaznih uticaja na sistem

x i = X,i =;

Skup uticaja okoline

v j = V, j= ;

Skup internih (intrinzičnih) parametara sistema

h k = H, k =;

Skup izlaznih karakteristika sistema

y j = Y, j =.

Uglavnom x i, v j, h k, y j su elementi disjunktnih podskupova i sadrže i determinističke i stohastičke komponente.

Ulazni uticaji, uticaji okoline E a unutrašnji parametri sistema su nezavisni (egzogeni) varijable, koje u vektorskom obliku imaju oblik ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nN(t)), a izlazne karakteristike su zavisan (endogeni) varijable iu vektorskom obliku imaju oblik: ( t) = (at 1 (t), at 2 (t), …, at nY(t)). Možete razlikovati upravljane i neupravljane varijable.

Proces rada sistema S na vrijeme opisao operater F S, koji transformiše egzogene varijable u endogene u skladu sa relacijama oblika

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Skup zavisnosti izlaznih karakteristika sistema od vremena y j(t) za sve vrste j = pozvao izlazna putanja (t). Zavisnost (2.1) se zove zakon funkcionisanja sistema F S, koji je specificiran u obliku funkcije, funkcionalnih, logičkih uslova, u algoritamskom, tabelarnom obliku ili u obliku verbalnog pravila podudaranja. Algoritam funkcionisanja A S se naziva metodom dobijanja izlaznih karakteristika uzimajući u obzir ulazne uticaje ( t), uticaji okoline ( t) i vlastitim parametrima sistema ( t). Isti zakon funkcionisanja F S sistemima S može se implementirati na različite načine, tj. koristeći mnogo različitih algoritama funkcioniranja A S.

Matematički modeli se nazivaju dinamičan(2.1) ako matematičke relacije opisuju ponašanje objekta (sistema) modeliranja u vremenu t, tj. odražavaju dinamička svojstva.

Za statički modela, matematički model je mapiranje između dva podskupa svojstava modeliranog objekta Y i ( X, V, H) u određenom trenutku, što se u vektorskom obliku može zapisati kao

= f(, , ). (2.2)

Relacije (2.1) i (2.2) se mogu specificirati na različite načine: analitički (pomoću formula), grafički, tabelarno, itd. Ovi odnosi se mogu dobiti kroz svojstva sistema S u određenim vremenskim tačkama, koje se nazivaju stanja. Stanje sistema S karakteriziran vektorima

" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) i "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

gdje z " 1 = z 1 (t"), z " 2 = z 2 (t"), …, z "k= z k(t") u momentu t"Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") u momentu t ""Î ( t 0 , T) itd. k =.

Ako posmatramo proces funkcionisanja sistema S kao sekvencijalna promena stanja z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), onda se mogu tumačiti kao koordinate tačke u k-dimenzionalno fazni prostor... Štaviše, svaka implementacija procesa će odgovarati određenoj faznoj putanji. Poziva se skup svih mogućih vrijednosti stanja (). prostor stanja objekt modeliranja Z, i
z kÎ Z.

Sistemska stanja S trenutno t 0 < t * £ T potpuno su određene početnim uslovima 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [gdje z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], radnje unosa ( t), interni parametri ( t) i efekte vanjskog okruženja ( t) koji se dogodio u vremenskom intervalu t * – t 0, koristeći dvije vektorske jednadžbe

(t) = F (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

Prva jednadžba za početno stanje 0 i egzogene varijable, određuje vektorsku funkciju ( t), a drugi prema dobijenoj vrijednosti stanja ( t) Da li su endogene varijable na izlazu sistema ( t). Dakle, lanac jednadžbi objekta "ulaz - stanja - izlaz" omogućava vam da odredite karakteristike sistema

(t) = F [F (0,,,, t)]. (2.5)

Općenito, vrijeme u modelu sistema S može se uzeti u obzir na intervalu simulacije (0, T) i kontinuirano i diskretno, tj. kvantizirano u segmente dužine D t vremenske jedinice svaki kada T = m D t, gdje m = - broj intervala uzorkovanja.

Dakle, pod matematički model objekt (stvarni sistem) razumije konačan podskup varijabli (( t), (t), (t)) zajedno sa matematičkim vezama između njih i karakteristika ( t).

Ako matematički opis objekta modeliranja ne sadrži slučajne elemente ili se oni ne uzimaju u obzir, tj. ako možemo pretpostaviti da su u ovom slučaju stohastički utjecaji vanjskog okruženja ( t) i stohastički interni parametri ( t) odsutni, tada se model poziva deterministički u smislu da su karakteristike jedinstveno određene determinističkim ulazima

(t) = f(, t). (2.6)

Očigledno, deterministički model je poseban slučaj stohastičkog modela.

Tipične matematičke šeme. U praksi modeliranja objekata u oblasti sistemskog inženjerstva i sistemske analize u početnim fazama istraživanja sistema, racionalnije je koristiti tipične matematičke šeme: diferencijalne jednačine, konačni i probabilistički automati, sistemi čekanja, Petrijeve mreže, agregatni sistemi, itd.

Tipične matematičke šeme imaju prednosti jednostavnosti i jasnoće. Diferencijalne, integralne, integro-diferencijalne i druge jednačine se koriste za predstavljanje sistema koji rade u kontinuiranom vremenu kao deterministički modeli, kada se slučajni faktori ne uzimaju u obzir u istraživanju, a konačni automati i sheme konačnih razlika se koriste za predstavljanje sistema koji rade u diskretno vrijeme. Probabilistički automati se koriste kao stohastički modeli (uzimajući u obzir slučajne faktore) za predstavljanje sistema sa diskretnim vremenom, a sistemi čekanja se koriste za predstavljanje sistema sa kontinuiranim vremenom. Petrijeve mreže se koriste za analizu uzročno-posledičnih veza u složenim sistemima, gde se nekoliko procesa odvija istovremeno i paralelno. Za opisivanje ponašanja kontinuiranih i diskretnih, determinističkih i stohastičkih sistema (na primjer, ASOIU), može se primijeniti generalizirani (univerzalni) pristup zasnovan na agregatnom sistemu. U agregatnom opisu, složeni objekat (sistem) je podeljen na konačan broj delova (podsistema), uz održavanje veza koje obezbeđuju interakciju delova.

Dakle, pri konstruisanju matematičkih modela procesa funkcionisanja sistema mogu se izdvojiti sledeći glavni pristupi: kontinuirano-deterministički ( D-sheme); diskretno-deterministički ( F-sheme); diskretni stohastički ( R-sheme); kontinuirano-stohastički ( Q-sheme); mreža ( N-sheme); generalizovani ili univerzalni ( a-šeme).

2.2. Kontinuirano deterministički modeli ( D-sheme)

Osnovni odnosi... Razmotrimo karakteristike kontinuirano-determinističkog pristupa na primjeru korištenja diferencijalnih jednadžbi kao matematičkih modela. Diferencijalne jednadžbe nazivaju se jednadžbe u kojima su funkcije jedne ili više varijabli nepoznate, a jednačina uključuje ne samo funkcije, već i njihove derivate različitog reda. Ako su nepoznate funkcije više varijabli, tada se pozivaju jednadžbe parcijalne diferencijalne jednadžbe, inače, kada se razmatra funkcija jedne nezavisne varijable, jednačine se pozivaju obične diferencijalne jednadžbe.

Opća matematička relacija za determinističke sisteme (2.6) će biti

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

gdje " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) i = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-dimenzionalni vektori; (, t) Je li vektorska funkcija koja je definirana na nekom ( n+1) -dimenzionalni (, t) postavljeno i kontinuirano.

Matematičke šeme ove vrste se nazivaju D-krugovi(eng. dynamic), odražavaju dinamiku sistema koji se proučava, a vrijeme obično služi kao nezavisna varijabla od koje zavise nepoznate nepoznate funkcije t.

U najjednostavnijem slučaju, obična diferencijalna jednadžba ima oblik:

y "(t) = f(y, t). (2.8)

Razmotrimo najjednostavniji primjer formaliziranja procesa funkcioniranja dva elementarna kola različite prirode: mehanička S M (ljuljanje klatna, sl. 2.1, a) i električni S K (oscilatorno kolo, sl. 2.1, b).

Rice. 2.1. Elementarni sistemi

Proces malih oscilacija klatna opisuje se običnom diferencijalnom jednačinom

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

gdje m M, l M masa i dužina ovjesa klatna; g- ubrzanje gravitacije; F(t) Je ugao otklona klatna u trenutku t.

Iz ove jednačine slobodne oscilacije klatna mogu se naći procjene karakteristika od interesa. Na primjer, period ljuljanja klatna

T M = 2p.

Slično, procesi u električnom oscilatornom kolu opisuju se običnom diferencijalnom jednačinom

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

gdje L K, C K - induktivnost i kapacitet kondenzatora; q(t) Je napunjenost kondenzatora u trenutku t.

Iz ove jednadžbe možete dobiti različite procjene karakteristika procesa u oscilatornom krugu. Na primjer, period električnih oscilacija

T M = 2p.

Očigledno, uvođenje notacije h 2 = m M l M 2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), dobijamo običnu diferencijalnu jednačinu drugog reda koja opisuje ponašanje ovog sistema zatvorene petlje:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

gdje h 0 , h 1 , h 2 - sistemski parametri; z(t) Je stanje sistema u ovom trenutku
vrijeme t.

Dakle, ponašanje ova dva objekta može se istražiti na osnovu opšteg matematičkog modela (2.9). Osim toga, treba napomenuti da ponašanje klatna (sistema S M) može se proučavati pomoću električnog oscilatornog kola (sistema S TO).

Ako sistem koji se proučava S(klatno ili kontura) stupa u interakciju s vanjskim okruženjem E, tada se pojavljuje radnja unosa x(t) (spoljna sila za klatno i izvor energije za kolo), a kontinuirano-deterministički model takvog sistema imaće oblik:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)

Sa stanovišta opšteg matematičkog modela (videti tačku 2.1) x(t) je ulazna (kontrolna) akcija i stanje sistema S u ovom slučaju se može smatrati izlaznom karakteristikom, tj. izlazna varijabla odgovara stanju sistema u datom trenutku y = z.

Moguće primjene D-šeme... Za opis linearnih upravljačkih sistema, kao i svaki dinamički sistem, nehomogene diferencijalne jednadžbe imaju konstantne koeficijente

gdje,,…, - nepoznata funkcija vremena i njegovih derivata; i poznate su funkcije.

Koristeći, na primjer, softverski paket VisSim dizajniran za simulaciju procesa u upravljačkim sistemima koji se mogu opisati diferencijalnim jednadžbama, simuliramo rješenje obične nehomogene diferencijalne jednadžbe

gdje je neka tražena funkcija vremena na intervalu sa nultim početnim uvjetima, uzimamo h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Predstavljajući datu jednačinu u odnosu na najveći od izvoda, dobijamo jednačinu

koji se može modelirati korištenjem skupa građevnih blokova VisSim paketa: aritmetički blokovi - Gain (množenje konstantom), Summing-Junction (sabirač); integracioni blokovi - Integrator (numerička integracija), Transfer Funkcija (postavljanje jednačine predstavljene kao prenosne funkcije); blokovi za postavljanje signala - Const (konstanta), Step (funkcija jedinice u obliku "korak"), Ramp (linearno rastući signal); blokovi-prijemnici signala - Plot (prikaz u vremenskom domenu signala koje analizira istraživač tokom simulacije).

Na sl. 2.2 prikazuje grafički prikaz ove diferencijalne jednačine. Ulaz krajnje lijevog integratora odgovara varijabli, ulaz srednjeg integratora -, a ulaz krajnjeg desnog integratora -. Izlaz krajnjeg desnog integratora odgovara varijabli y.

Opisan poseban slučaj dinamičkih sistema D-sheme su sistemi automatskog upravljanja(SPG)i regulacija(SAR). Pravi objekat je predstavljen u obliku dva sistema: kontrolnog i kontrolisanog (kontrolnog objekta). Struktura opšteg višedimenzionalnog sistema automatskog upravljanja prikazana je na Sl. 2.3, gdje je naznačeno endogeni varijable: ( t) je vektor ulaznih (master) uticaja; ( t) Da li je vektor ometajućih uticaja; " (t) je vektor signala greške; "" (t) - vektor kontrolnih radnji; egzogeni varijable: ( t) Je vektor stanja sistema S; (t) Je vektor izlaznih varijabli, obično ( t) = (t).

Rice. 2.2. Grafički prikaz jednačine

Upravljački sistem je skup softverskih i hardverskih alata koji osiguravaju postizanje određenog cilja od strane objekta upravljanja. Koliko tačno objekat dostiže zadati cilj može se proceniti (za jednodimenzionalni sistem) po koordinatama stanja y(t). Razlika između datog y dupe ( t) i važeći y(t) zakon promjene kontrolirane varijable je kontrolna greška " (t) = y dupe ( t) – y(t). Ako propisani zakon promene kontrolisane veličine odgovara zakonu promene ulaznog (glavnog) dejstva, tj. x(t) = y dupe ( t), onda " (t) = x(t) – y(t).

Sistemi za koje kontrolišu greške " (t) = 0 u svakom trenutku se pozivaju idealan... U praksi je implementacija idealnih sistema nemoguća. Zadatak sistema automatskog upravljanja je da promijeni varijablu y(t) prema datom zakonu sa određenom tačnošću (sa prihvatljivom greškom). Parametri sistema moraju osigurati potrebnu tačnost upravljanja, kao i stabilnost sistema u prelaznom procesu. Ako je sistem stabilan, onda analizirati ponašanje sistema u vremenu, maksimalno odstupanje kontrolisane varijable y(t) u prolaznom procesu, vrijeme prolaznog procesa, itd. Redoslijed diferencijalne jednadžbe i vrijednost njenih koeficijenata u potpunosti su određeni statičkim i dinamičkim parametrima sistema.

Rice. 2.3. Struktura automatskog kontrolnog sistema:

UC - sistem upravljanja; OU - kontrolni objekat

Dakle, koristeći D-schemes vam omogućava da formalizujete proces funkcionisanja kontinuirano determinističkih sistema S i procijeniti njihove glavne karakteristike korištenjem analitičkog ili simulacijskog pristupa implementiranog u obliku odgovarajućeg jezika za modeliranje kontinuiranih sistema ili korištenjem analognih i hibridnih računarskih sredstava.

2.3. Diskretno-deterministički modeli ( F-sheme)

Osnovni odnosi... Razmotrimo karakteristike diskretno-determinističkog pristupa na primjeru upotrebe teorije automata kao matematičkog aparata. Sistem je predstavljen u obliku automata kao uređaj sa ulaznim i izlaznim signalima koji obrađuje diskretne informacije i mijenja svoja unutrašnja stanja samo u prihvatljivim vremenima. Državni stroj naziva se automat, u kojem su skupovi unutrašnjih stanja, ulazni i izlazni signali konačni skupovi.

Apstraktno konačni automati se mogu predstaviti kao matematička šema ( F-shema), koju karakterizira šest elemenata: konačni skup NS ulazni signali (ulazna abeceda); konačan skup Y izlazni signali (izlazna abeceda); konačan skup Z unutrašnja stanja (interna abeceda ili abeceda država); početno stanje z 0 , z 0 Î Z; prelazna funkcija j ( z, x); izlazna funkcija y ( z, x). Komplet automatske mašine F-šema: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, radi u diskretnom vremenu, čiji su momenti satovi, od kojih svaki odgovara konstantnim vrijednostima ulaznih i izlaznih signala i internim stanjima. Označavamo stanje, kao i ulazne i izlazne signale koji odgovaraju t-th sat u t= 0, 1, 2, ..., kroz z(t), x(t), y(t). Štaviše, uslovom z(0) = z 0, i z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y.

Apstraktni državni stroj ima jedan ulazni i jedan izlazni kanal. U svakom trenutku t= 0, 1, 2, ... diskretno vrijeme F-mašina je u određenom stanju z(t) sa seta Z stanja automata, iu početnom trenutku vremena t= 0 uvijek je u početnom stanju z(0) = z 0. U momentu t biti u mogućnosti z(t), automat je u stanju da percipira signal na ulaznom kanalu x(t)Î X i emitovati signal na izlaznom kanalu y(t) = y [ z(t),x(t)], prelazeći u stanje z ( t+1) = j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... Apstraktna mašina konačnog stanja implementira neko mapiranje skupa riječi ulaznog alfabeta X na puno vikend riječi
abeceda Y... Drugim riječima, ako je ulaz državnog stroja postavljen na početno stanje z 0, navodi slova ulazne abecede u određenom nizu x(0), x(1), x(2), ..., tj. ulazna riječ, tada će se slova izlazne abecede pojaviti uzastopno na izlazu mašine y(0), y(1), y(2),…, formirajući izlaznu riječ.

Dakle, rad državnog stroja odvija se prema sljedećoj shemi: u svakom t-ti sat na ulaz mašine u stanju z(t), daje se neki signal x(t), na koje reagira tranzicijom ( t+1) od sata u novo stanje z(t+1) i daje neki izlazni signal. Gore navedeno se može opisati sljedećim jednadžbama: for F-automat prve vrste, tzv automatske milje,

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

za F-automat druge vrste

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y [ z(t), x(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Automat druge vrste, za koji

y(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

one. izlazna funkcija je nezavisna od ulazne varijable x(t) se zove Mooreova jurišna puška.

Dakle, jednačine (2.15) - (2.19), koje u potpunosti definišu
F-automati su poseban slučaj jednačina (2.3) i (2.4), kada
sistem S- deterministički i diskretni signal dolazi na svoj jedini ulaz X.

Po broju stanja razlikuju se automati konačnih stanja sa memorijom i bez memorije. Automati sa memorijom imaju više od jednog stanja, a automati bez memorije (kombinacioni ili logički sklopovi) imaju samo jedno stanje. U ovom slučaju, prema (2.16), rad kombinacijskog kola je da svakom ulaznom signalu dodjeljuje x(t) određeni izlazni signal y(t), tj. implementira logičku funkciju forme

y(t) = y [ x(t)], t= 0, 1, 2, … .

Ova funkcija se naziva boolean ako je abeceda X i Y kojoj pripadaju vrijednosti signala x i y, sastoji se od dva slova.

Po prirodi brojanja diskretnog vremena, automati konačnih stanja se dijele na sinhrone i asinhrone. Sinhrono F-automati Vremena u kojima automat "čita" ulazne signale određena su obaveznim sinhronizacionim signalima. Nakon sljedećeg sinkronizirajućeg signala, uzimajući u obzir "čitanje" iu skladu sa jednadžbama (2.15) - (2.19), dolazi do prijelaza u novo stanje i na izlazu se izdaje signal nakon čega mašina može uočiti sljedeću vrijednost ulaznog signala. Dakle, reakcija mašine na svaku vrijednost ulaznog signala završava u jednom ciklusu, čije je trajanje određeno intervalom između susjednih sinkronizirajućih signala. Asinhroni F- mašina neprekidno čita ulazni signal i stoga, reaguje na dovoljno dug ulazni signal konstantne vrednosti x, može, kao što slijedi iz (2.15) - (2.19), mijenjati stanje nekoliko puta, dajući odgovarajući broj izlaznih signala, sve dok ne pređe u stabilan, koji se više ne može mijenjati ovim ulaznim signalom.

Moguće primjene F-šeme. Za postavljanje finala F-automat, potrebno je opisati sve elemente skupa F= <Z, X, Y, y, j, z 0>, tj. ulazna, interna i izlazna abeceda, kao i funkcije prijelaza i izlaza, a među skupom stanja potrebno je izdvojiti stanje z 0, u kojem je automat u stanju t= 0. Postoji nekoliko načina za postavljanje posla F-automati, ali najčešće se koriste tabelarni, grafički i matrični.

U tabelarnoj metodi postavljaju se tablice prijelaza i izlaza, čiji redovi odgovaraju ulaznim signalima automata, a stupci - njegovim stanjima. Prva kolona lijevo odgovara početnom stanju z 0. Na raskrsnici i th linija i k-ta kolona prelazne tabele, odgovarajuća vrednost j ( z k, x i) funkcija prijelaza, au tabeli izlaza - odgovarajuća vrijednost y ( z k, x i) izlazne funkcije. Za F- Mooreov automat oba stola se mogu kombinovati.

Opis posla F-automatske milje sa tabelama prelaza j i izlaza y ilustrovane su u tabeli. 2.1 i opis F-Morov automat - po prelaznoj tabeli (tabela 2.2).

Tabela 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Tranzicije
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k,x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
Izlazi
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

Tabela 2.2

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k, x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Primjeri tabelarnog načina postavljanja F-automatske milje F 1 date su u tabeli. 2.3 i za F-Moore mašina F 2 - u tabeli. 2.4.

Tabela 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Tranzicije
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Izlazi
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Tabela 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

U grafičkom načinu definiranja konačnog stroja koristi se koncept usmjerenog grafa. Graf automata je skup vrhova koji odgovaraju različitim stanjima automata i povezuju vrhove lukova grafa koji odgovaraju određenim prijelazima automata. Ako je ulazni signal x k izaziva tranziciju iz stanja z i u državi z j, tada na grafu automata postoji luk koji povezuje vrh z i sa vrhom z j, označeno x k... Da bi se podesila funkcija izlaza, lukovi grafa moraju biti označeni odgovarajućim izlaznim signalima. Za Miles mašine ovo označavanje se vrši na sledeći način: ako je ulazni signal x k deluje na državu z i, tada dobijamo luk koji izlazi iz z i i označeno x k; ovaj luk je dodatno označen izlaznim signalom y= y ( z i, x k). Za Moore automat, slično označavanje grafa je kako slijedi: ako je ulazni signal x k, djelujući na određeno stanje automata, uzrokuje prijelaz u stanje z j, zatim luk usmjeren na z i i označeno x k, dodatno proslaviti vikend
signal y= y ( z j, x k).

Na sl. 2.4. a, b dato ranije u tabelama F-Mile mašine F 1 i Moore F 2 respektivno.

Rice. 2.4. Automatski grafovi a - Miles i b - Moore

Za matričnu dodjelu konačnog automata, matrica veza automata je kvadratna WITH=||sa ij||, redovi odgovaraju početnim stanjima, a stupci prelaznim stanjima. Element sa ij = x k/y s stoji na raskrsnici
i th linija i j-ta kolona, u slučaju Milesovog automata odgovara ulaznom signalu x k uzrokujući prelazak iz stanja z i u državi z j, i izlazni signal y s generisan ovom tranzicijom. Za Miles mašinu F 1, razmatran gore, matrica jedinjenja ima oblik:

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

C 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Ako je prijelaz iz stanja z i u državi z j nastaje pod dejstvom nekoliko signala, elementa matrice c ij je skup ulazno-izlaznih parova za ovu tranziciju, povezanih znakom disjunkcije.

Za F-Moore mašinski element sa ij jednak je skupu ulaznih signala na prelazu ( z i, z j), a izlaz je opisan vektorom izlaza

= y ( z k) ,

i-th komponenta koja je izlazni signal koji pokazuje stanje z i.

Za gore navedeno F-Moore mašina F2 matrica veza i vektor izlaza su oblika:

–x 1 –x 2 –at 1

–x 2 – –x 1 at 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –at 2

x 2 –x 1 – –at 3

Za determinističke automate, uslov jedinstvenosti prelaza je zadovoljen: automat u određenom stanju ne može preći u više od jednog stanja pod dejstvom bilo kog ulaznog signala. Primijenjeno na grafički način postavljanja F-automat, to znači da u grafu automata dva ili više rubova označenih istim ulaznim signalom ne mogu izaći iz bilo kojeg vrha. I u matrici veza mašine WITH bilo koji ulazni signal ne smije se pojaviti više od jednom na svakoj liniji.

Za F-automatsko stanje z k pozvao održivo, ako za bilo koji ulaz x i ÎX za koji j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. F- zove se mašina asinhroni, ako svaka država z k ÎZ stabilan.

Dakle, koncept u diskretno-determinističkom pristupu proučavanju svojstava objekata na modelima je matematička apstrakcija, pogodna za opisivanje široke klase procesa funkcionisanja stvarnih objekata u automatizovanim sistemima upravljanja. Korišćenjem F- automata, moguće je opisati objekte koje karakteriše prisustvo diskretnih stanja, i diskretna priroda rada u vremenu - to su elementi i čvorovi računara, upravljački, regulacioni i upravljački uređaji, sistemi vremenskih i prostornih prelazak u tehnologiju razmjene informacija itd.

2.4. Diskretni stohastički modeli ( R-sheme)

Osnovni odnosi... Razmotrimo karakteristike konstruisanja matematičkih šema sa diskretno-stohastičkim pristupom na probabilističkim (stohastičkim) automatima. Uglavnom probabilistički automat
R-šeme(engleski probabijski automat) može se definirati kao diskretni serijski informacioni pretvarač sa memorijom, čije funkcioniranje u svakom ciklusu ovisi samo o stanju memorije u njemu, a može se opisati i statistički.

Hajde da predstavimo matematički koncept R-automat, koristeći koncepte uvedene za F-automat. Razmotrite set G, čiji su elementi svi mogući parovi ( x i, z s), gdje x i i z s- elementi ulaznog podskupa NS i podskupovi stanja Z, respektivno. Ako postoje dvije takve funkcije j i y koje se koriste za izvođenje preslikavanja G®Z i G®Y, onda to kažu F = X, Y, j, y> definira automat determinističkog tipa.

Hajde da razmotrimo opštiju matematičku šemu. Neka bude
F - skup svih mogućih parova oblika ( z k, y i), gdje i- element izlaznog podskupa Y... Zahtijevamo da bilo koji element skupa G inducira na skupu F neki zakon raspodjele sljedećeg oblika:

Gde b kj= 1, gdje b kj- vjerovatnoće prelaska automata u stanje z k i pojavu signala na izlazu y j ako je mogao z s i na njegovom ulazu u ovom trenutku je primljen signal x i... Broj takvih distribucija predstavljenih u obliku tabela jednak je broju elemenata skupa G... Skup ovih tablica označavamo sa B. Zatim četiri elementa P = koji se naziva probabilistički automat
(R-automat).

Moguće primjene P-šeme. Neka elementi skupa G induciraju neke zakone raspodjele na podskupove Y i Z, koji se može predstaviti u obliku:

Gde z k = 1 i q j = 1, gdje z k i q j - vjerovatnoće tranzicije
R-automat u stanju z k i izgled izlaznog signala y k pod uslovom da
R z s a njegov ulaz je primio ulazni signal x i.

Ako za svakoga k i j relacija važi q j z k = b kj, onda takav
R- zove se mašina Milesov probabilistički automat... Ovaj uslov znači ispunjenje uslova nezavisnosti distribucija za novo stanje R-automatski uređaj i njegov izlazni signal.

Sada neka definicija izlaznog signala R- automat zavisi samo od stanja u kojem se automat nalazi u datom ciklusu rada. Drugim riječima, neka svaki element izlaznog podskupa Y inducira distribuciju vjerovatnoće izlaza koja ima sljedeći oblik:

Evo s i = 1, gdje s i- vjerovatnoća pojave izlaznog signala y i at at reči i to R-mašina je bila u stanju z k.

Ako za svakoga k i i relacija važi z k s i =b ki onda takav
R- zove se mašina Mooreov vjerovatnostni automat. Koncept
R-Majlijevi i Murovi automati su uvedeni po analogiji sa determinističkim
F-automat. Poseban slučaj R- automat definisan kao P=X, Y, B> su automati kod kojih se ili prijelaz u novo stanje ili izlazni signal određuju deterministički. Ako je izlazni signal
R-automat se određuje deterministički, onda se takav automat naziva
Y-... Isto tako,
Z-deterministički probabilistički automat pozvao R- automat u kojem je izbor novog stanja deterministički.

Primjer 2.1. Neka se da Y-deterministički P-mašina

Na sl. 2.5 prikazuje graf usmjeravanja ovog automata. Vrhovi grafa su povezani sa stanjima automata, a lukovi su povezani sa mogućim prijelazima iz jednog stanja u drugo. Lukovi imaju težine koje odgovaraju vjerovatnoći prijelaza p ij, a vrijednosti izlaznih signala induciranih ovim stanjima su zapisane u blizini vrhova grafa. Potrebno je procijeniti ukupne konačne vjerovatnoće ostanka ovoga P-automat u državama z 2 i z 3 .

Rice. 2.5. Automatski graf vjerovatnoće

Analitičkim pristupom mogu se zapisati poznate relacije iz teorije Markovljevih lanaca i dobiti sistem jednačina za određivanje konačnih vjerovatnoća. U ovom slučaju, početno stanje z 0 se može zanemariti, jer početna distribucija ne utiče na vrijednosti konačnih vjerovatnoća. Onda imamo

gdje sa k- konačna vjerovatnoća ostanka R-Automatski uređaj u stanju z k.

Dobijamo sistem jednačina

Ovim jednačinama dodajemo uslov normalizacije sa 1 + sa 2 + sa 3 + sa 4 = 1. Tada, rješavajući sistem jednačina, dobijamo sa 1 = 5/23, sa 2 = 8/23, sa 3 = 5/23,
sa 4 = 5/23. dakle, sa 2 + sa 3 = 13/23 = 0,5652. Drugim riječima, s beskrajnim radom datim u ovom primjeru Y-deterministički
R-automat na njegovom izlazu formira se binarni niz sa vjerovatnoćom pojavljivanja jedinice jednakom 0,5652.

Slično R-automati se mogu koristiti kao generatori Markovljevih sekvenci koje su neophodne u konstrukciji i implementaciji procesa za funkcionisanje sistema S ili uticaje okoline E.

2.5. Kontinuirani stohastički modeli ( Q-sheme)

Osnovni odnosi... Razmotrit ćemo karakteristike kontinuirano-stohastičkog pristupa na primjeru tipičnog matematičkog Q-šeme - sistemi čekanja(engleski sistem čekanja).

Kao uslužni proces mogu se predstaviti različiti po svojoj fizičkoj prirodi procesi funkcionisanja ekonomskih, proizvodnih, tehničkih i drugih sistema, na primjer: tokovi isporuke proizvoda određenom preduzeću, tokovi dijelova i komponenti na montažnoj traci radionice. , zahtjevi za obradu kompjuterskih informacija sa udaljenih terminala i sl. U ovom slučaju, karakteristična karakteristika rada ovakvih objekata je nasumična pojava zahtjeva (zahtjeva) za servisiranje i završetak servisiranja u nasumično vrijeme, tj. stohastičku prirodu procesa njihovog funkcionisanja.

Po toku događaja naziva se slijed događaja koji se događaju jedan za drugim u nekim slučajnim trenucima vremena. Razlikovati tokove homogenih i heterogenih događaja. Tok događaja pozvao homogena, ako je karakteriziran samo trenucima dolaska ovih događaja (trenuci uzroka) i dat je nizom ( t n} = {0 £ t£ 1 t 2 ... £ t n£ … }, gdje t n - trenutak dolaska NS- događaj je nenegativan realan broj. Homogeni tok događaja se takođe može specificirati kao niz vremenskih intervala između NS- m i (n - 1) ti događaji (t n), što je nedvosmisleno povezano sa nizom izazovnih trenutaka ( t n} , gdje t n = t n– t n -1 ,NS³ 1, t 0 = 0, one. t 1 = t 1 . Tok heterogenih događaja se zove niz ( t n, f n} , gdje t n - izazovni trenuci; f n - skup znakova događaja. Na primjer, u odnosu na proces usluge, za neujednačen tok potraživanja, može se specificirati članstvo u određenom izvoru potraživanja, prisustvo prioriteta i mogućnost opsluživanja jedne ili druge vrste kanala.

U svakom elementarnom činu servisiranja mogu se razlikovati dvije glavne komponente: očekivanje usluge od strane reklamacije i stvarno servisiranje reklamacije. Ovo se može prikazati u obliku nekih i-ti servisni uređaj P i(Sl. 2.6), koji se sastoji od akumulatora naloga h i,što može istovremeno biti j i= aplikacije gde L i H– kapacitet
i-go skladište i kanal za servisiranje zahtjeva (ili samo kanal) K i. Za svaki element servisnog uređaja P i stižu tokovi događaja: na pogon H i protok aplikacija w i, po kanalu K i - tok usluga i ja.

Rice. 2.6. Aplikacioni servisni uređaj

Aplikacije koje servira kanal K i, i zahtjeve koji su napustili uređaj P i neopslužen iz raznih razloga (na primjer, zbog prelijevanja pogona H i), formiraju izlazni tok y i Î Y, one. vremenski intervali između trenutaka izlaska naloga čine podskup izlaznih varijabli.

Obično, tok aplikacija w i ÎW, one. vremenski intervali između trenutaka pojavljivanja naloga na ulazu K i, formira podskup neupravljanih varijabli i tok usluge u i OU, one. vremenski intervali između početka i kraja servisiranja potraživanja, čine podskup kontrolisanih varijabli.

Proces rada servisnog uređaja P i može se predstaviti kao proces promjene stanja njegovih elemenata vremena z i(t). Prelazak u novo stanje za P i znači promjenu broja aplikacija koje se nalaze u njemu (na kanalu K i i u pogonu H i). Dakle, vektor stanja za P i izgleda kao: , gdje z i H- stanje pogona H i (z i H= 0 - disk je prazan, z i H= 1 - postoji jedan zahtjev u skladištu, ..., z i H = L i H – disk je potpuno pun); L i H - kapacitet skladištenja h i, mjereno brojem aplikacija koje mogu stati u njega; z i k - stanje kanala K i(z i k = 0 – kanal je besplatan, z i k= 1 - kanal je zauzet).

Moguće primjene Q- sheme. U praksi modeliranja sistema sa složenijim strukturnim odnosima i algoritmima ponašanja, za formalizaciju se ne koriste zasebni servisni uređaji, već
Q- sheme , formiran sastavom mnogih elementarnih servisnih uređaja P i. Ako kanali K i paralelno se povezuju različiti servisni uređaji, tada se odvija višekanalni servis ( višekanalni Q- shema) , i ako uređaji P i a njihove paralelne kompozicije su povezane u seriju, onda postoji višefazni servis ( višefazni Q- shema) . Dakle za posao Q- shema mora koristiti konjugirani operator R, odražavajući međusobnu povezanost elemenata strukture (kanala i uređaja za skladištenje) međusobno.