-Ի հիմքում անհասկանալի տրամաբանությունընկած է անհասկանալի հավաքածուների տեսությունը, որը ներկայացվել է Լ. Zադեի մի շարք աշխատանքներում 1965-1973 թվականներին: Անհասկանալի բազմություններն ու անորոշ տրամաբանությունը դասական բազմությունների տեսության և դասական պաշտոնական տրամաբանության ընդհանրացումներն են: Նոր տեսության առաջացման հիմնական պատճառը անհասկանալի և մոտավոր պատճառաբանությունների առկայությունն էր, երբ մարդը նկարագրում է գործընթացները, համակարգերը, օբյեկտները:

Լ. Adադեն, ձևակերպելով անորոշ հավաքածուների այս հիմնական հատկությունը, հիմնված էր իր նախորդների աշխատանքների վրա: 1920 -ականների սկզբին լեհ մաթեմատիկոս Լուկաշևիչը աշխատում էր բազմարժեք մաթեմատիկական տրամաբանության սկզբունքների վրա, որոնցում նախադրյալների արժեքները կարող էին լինել ոչ միայն «ճշմարիտ» կամ «կեղծ»: 1937 թ. -ին մեկ այլ ամերիկացի գիտնական Մ.Բլեքն առաջին անգամ կիրառեց Լուկաշևիչի բազմարժեք տրամաբանությունը ցուցակներում `որպես օբյեկտների հավաքածուներ և նման հավաքածուները անվանեց անորոշ:

Անհասկանալի տրամաբանությունը ՝ որպես գիտական ​​ուղղություն, հեշտ չէր մշակվել և չէր խուսափում կեղծ գիտության մեղադրանքներից: Նույնիսկ 1989 թ. -ին, երբ պաշտպանությունում, արդյունաբերությունում և բիզնեսում անհասկանալի տրամաբանության հաջող կիրառման տասնյակ օրինակներ կային, ԱՄՆ Ազգային գիտական ​​ընկերությունը քննարկեց ինստիտուտի դասագրքերից անորոշ հավաքածուների նյութերը բացառելու հարցը:

Անորոշ համակարգերի զարգացման առաջին շրջանը (60 -ականների վերջ - 70 -ականների սկիզբ) բնութագրվում է մշուշոտ հավաքածուների տեսական ապարատի զարգացմամբ: 1970 -ին Բելմանը և adադեն մշակեցին անհասկանալի պայմաններում որոշումների կայացման տեսությունը:

70-80-ականներին (երկրորդ շրջանը) առաջին գործնական արդյունքները հայտնվեցին բարդ տեխնիկական համակարգերի անորոշ կառավարման ոլորտում (գոլորշու գեներատոր ՝ անորոշ հսկողությամբ): Ի. Մամդանին 1975 -ին նախագծեց adeադե հանրահաշվի հիման վրա գործող առաջին վերահսկիչը `շոգեգուրբին կառավարելու համար: Միևնույն ժամանակ, ուշադրություն սկսվեց ուշադրություն դարձնել անորոշ տրամաբանության վրա հիմնված փորձագիտական ​​համակարգերի ստեղծմանը, անորոշ կարգավորիչների մշակմանը: Որոշումների աջակցության անորոշ փորձագիտական ​​համակարգերը լայն կիրառություն են գտել բժշկության և տնտեսագիտության մեջ:

Ի վերջո, երրորդ շրջանում, որը տևում է 80 -ականների վերջից և շարունակվում է ներկայումս, հայտնվում են ծրագրային փաթեթներ ՝ անհասկանալի փորձագիտական ​​համակարգերի կառուցման համար, և անորոշ տրամաբանության կիրառման ոլորտները զգալիորեն ընդլայնվում են: Այն օգտագործվում է ավտոմոբիլային, տիեզերագնացության և տրանսպորտի արդյունաբերության, կենցաղային տեխնիկայի, ֆինանսների, վերլուծությունների և կառավարման որոշումների կայացման և շատ այլ ոլորտներում: Բացի այդ, B. Cosco- ի հայտնի FAT (Fuzzy Approximation Theorem) - ի ապացույցը, որն ասում էր, որ ցանկացած մաթեմատիկական համակարգ կարելի է մոտեցնել անորոշ տրամաբանության վրա հիմնված համակարգին, էական դեր խաղաց անորոշ տրամաբանության զարգացման մեջ:

Անորոշ համակարգերի և անորոշ տրամաբանության վրա հիմնված տեղեկատվական համակարգերը կոչվում են անորոշ համակարգեր.

Արժանապատվությունանորոշ համակարգեր.

· Գործում է անորոշության պայմաններում.

· Աշխատել որակական և քանակական տվյալներով.

· Կառավարման ոլորտում փորձագիտական ​​գիտելիքների կիրառում;

· Անձի մոտավոր հիմնավորման մոդելների կառուցում;

· Կայունություն համակարգի վրա ազդող բոլոր հնարավոր խախտումների դեպքում:

Թերություններանորոշ համակարգերն են.

· Անորոշ համակարգերի նախագծման ստանդարտ մեթոդաբանության բացակայություն;

· Առկա մեթոդներով անորոշ համակարգերի մաթեմատիկական վերլուծության անհնարինությունը;

· Հավանական մոտեցման համեմատ անհասկանալի մոտեցման օգտագործումը չի հանգեցնում հաշվարկների ճշգրտության բարձրացման:

Անհասկանալի բազմությունների տեսությունը:Անորոշ բազմությունների տեսության և փխրուն հավաքածուների դասական տեսության միջև հիմնական տարբերությունն այն է, որ եթե փխրուն հավաքածուների համար բնորոշ ֆունկցիայի հաշվարկման արդյունքը կարող է լինել միայն երկու արժեք `0 կամ 1, ապա անհասկանալի բազմությունների դեպքում այս թիվը անսահման է, բայց սահմանափակվում է զրոյից մինչև մեկ տիրույթով:

Անորոշ հավաքածու:Թող U լինի այսպես կոչված ունիվերսալ հավաքածու, որի տարրերից ձևավորվում են խնդիրների այս դասում դիտարկվող բոլոր մյուս հավաքածուները, օրինակ ՝ բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը, բոլոր հարթ գործառույթների բազմությունը և այլն: Հավաքածուի բնորոշ գործառույթը այն գործառույթն է, որի արժեքները ցույց են տալիս, թե արդյոք դա A բազմության տարր է.

Անհասկանալի բազմությունների տեսության մեջ բնորոշ ֆունկցիան կոչվում է անդամակցության գործառույթ, իսկ դրա արժեքը ՝ F տարրական A բազմության մեջ x տարրի անդամակցության աստիճանն է:

Ավելի խիստ. Անհասկանալի հավաքածուն զույգերի հավաքածու է

որտեղ է անդամակցության գործառույթը, այսինքն

Թող, օրինակ, U = (a, b, c, d, e) ,. Հետո a տարրը չի պատկանում A բազմությանը, b տարրը նրան փոքր չափով է պատկանում, c տարրը քիչ թե շատ պատկանում է, d տարրը ՝ մեծ չափով, e- ն A բազմության տարր է:

Օրինակ. Թող տիեզերքը U լինի իրական թվերի ամբողջություն: Անորոշ A հավաքածուն, որը նշում է 10 -ին մոտ թվերի շարք, կարող է որոշվել հետևյալ անդամակցության գործառույթով (նկ. 21.1):

,

Օրինակ «Տաք թեյ» X = 0 CC; C = 0/0; 0/10; 0/20; 0.15/30; 0.30/40; 0.60/50; 0.80/60; 0, 90/70; 1/80; 1/90; 1/100:

Երկու անորոշ հավաքածուների խաչմերուկ (անորոշ «AND»). MF AB (x) = min (MF A (x), MF B (x)): Երկու անորոշ հավաքածուների միավորում (անորոշ «OR») ՝ MF AB (x) = max (MF A (x), MF B (x)):

Ըստ Լոտֆի adադեի, լեզվական փոփոխականն այն փոփոխականն է, որի արժեքները բնական կամ արհեստական ​​լեզվի բառեր կամ նախադասություններ են: Լեզվական փոփոխականի արժեքները կարող են լինել անորոշ փոփոխականներ, այսինքն. լեզվական փոփոխականն ավելի բարձր մակարդակի վրա է, քան անորոշ փոփոխականը:

Յուրաքանչյուր լեզվական փոփոխական բաղկացած է. նրա արժեքների ամբողջությունը, որը կոչվում է նաև բազային տերմինների հավաքածու T. Հիմնական տերմինի բազմության տարրերն են անորոշ փոփոխականների անունները. ունիվերսալ հավաքածու X; շարահյուսական կանոն G, համաձայն որի ՝ նոր տերմիններ են ստեղծվում ՝ օգտագործելով բնական կամ պաշտոնական լեզվի բառեր. իմաստաբանական կանոն P, որը լեզվական փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին վերագրում է X բազմության անորոշ ենթախումբ:

Լեզվական փոփոխականի նկարագրություն «Բաժնետոմսերի գին» X = Տերմինների հիմնական հավաքածու ՝ «Lowածր», «Չափավոր», «Բարձր»

«Տարիք» լեզվական փոփոխականի նկարագրությունը

Փափուկ հաշվողական անորոշ տրամաբանություն, արհեստական ​​նյարդային ցանցեր, հավանական պատճառաբանություն, էվոլյուցիոն ալգորիթմներ

Buildingանցի կառուցում (մուտքային փոփոխականների ընտրությունից հետո) Ընտրեք ցանցի սկզբնական կազմաձևը Կատարեք մի շարք փորձեր ՝ տարբեր կազմաձևերով ՝ հիշելով լավագույն ցանցը (ստուգման սխալի իմաստով): Յուրաքանչյուր կազմաձևի համար պետք է կատարվեն մի քանի փորձեր: Եթե ​​հաջորդ փորձի ընթացքում նկատվում է թերհամապատասխանություն (ցանցը չի արտադրում ընդունելի որակի արդյունք), փորձեք լրացուցիչ նեյրոններ ավելացնել միջանկյալ շերտին (շերտերին): Եթե ​​դա չի աշխատում, փորձեք ավելացնել նոր միջանկյալ շերտ: Եթե ​​չափից դուրս տեղավորում է տեղի ունենում (հսկողության սխալը սկսեց աճել), փորձեք հեռացնել մի քանի թաքնված տարրեր (և, հնարավոր է, շերտեր):

Տվյալների մշակման խնդիրները լուծված են նյարդային ցանցերի դասակարգման միջոցով (վերահսկվող ուսուցում) Կանխատեսում Տեքստերի ճանաչում, խոսքի ճանաչում, անհատականության նույնականացում գտեք ֆունկցիայի լավագույն մոտարկումը `մուտքագրված արժեքների վերջնական փաթեթով (ուսուցման օրինակներ, խնդիր տեղեկատվության սեղմում `նվազեցնելով տվյալների չափերը

«Հաճախորդին վարկ տրամադրե՞լ» խնդիրը վերլուծական փաթեթում Deductor (BaseGroup) Ուսումնական հավաքածու. Հաճախորդների մասին տեղեկություններ պարունակող տվյալների բազա. - Վարկի գումար, - Վարկի ժամկետ, - Վարկավորման նպատակ, - Տարիք, - Սեռ, - Կրթություն , - Մասնավոր սեփականություն, - Բնակարան, - Բնակարանի մակերեսը: Անհրաժեշտ է կառուցել մի մոդել, որը կկարողանա պատասխան տալ, թե արդյոք Պատվիրատուն, ով ցանկանում է վարկ ստանալ, վարկի չկատարման ռիսկային խմբում է, այսինքն. օգտագործողը պետք է ստանա «Պետք է վարկ տրամադրե՞մ» հարցի պատասխանը: Առաջադրանքը պատկանում է դասակարգման առաջադրանքների խմբին, այսինքն. սովորել ուսուցչի հետ:

Դիտարկենք «փափուկ» հաշվարկման որոշ մեթոդներ, որոնք դեռևս լայնորեն չեն կիրառվում բիզնեսում: Այս մեթոդների ալգորիթմներն ու պարամետրերը շատ ավելի քիչ դետերմինիստական ​​են, քան ավանդականները: «Փափուկ» հաշվողականության հասկացությունների առաջացումը պայմանավորված էր խելացի և բնական գործընթացների պարզեցված մոդելավորման փորձերով, որոնք հիմնականում պատահական բնույթ են կրում:

Նյարդային ցանցերն օգտագործում են ուղեղի կառուցվածքի և գործունեության ժամանակակից ընկալումը: Ենթադրվում է, որ ուղեղը բաղկացած է պարզ տարրերից `նեյրոններից, որոնք կապված են սինապսների միջոցով, որոնց միջոցով նրանք ազդակներ են փոխանակում:

Նեյրոնային ցանցերի հիմնական առավելությունը օրինակով սովորելու ունակությունն է: Շատ դեպքերում սովորելը սինապսների կշռման գործակիցների փոփոխման գործընթացն է ՝ ըստ հատուկ ալգորիթմի: Սովորաբար դա պահանջում է բազմաթիվ օրինակներ և վերապատրաստման բազմաթիվ ցիկլեր: Այստեղ դուք կարող եք նմանություն կազմել Պավլովի շան ռեֆլեքսների հետ, որոնցում կանչով թուքերը նույնպես անմիջապես չեն սկսել հայտնվել: Մենք միայն նշում ենք, որ նյարդային ցանցերի ամենաբարդ մոդելները շատ ավելի մեծ կարգերով ավելի պարզ են, քան շան ուղեղը. և շատ ավելի վերապատրաստման ցիկլեր են անհրաժեշտ:

Նյարդային ցանցերի օգտագործումը հիմնավորված է այն դեպքում, երբ անհնար է կառուցել ուսումնասիրվող օբյեկտի կամ երևույթի ճշգրիտ մաթեմատիկական մոդել: Օրինակ, դեկտեմբերին վաճառքները սովորաբար ավելի բարձր են, քան նոյեմբերին, բայց չկա բանաձև, որով կարելի է հաշվարկել, թե որքանով դրանք կլինեն այս տարի. վաճառքի ծավալը կանխատեսելու համար կարող եք մարզել նյարդային ցանց ՝ օգտագործելով նախորդ տարիների օրինակները:

Նեյրոնային ցանցերի թերություններից են ՝ երկար ուսուցման ժամանակը, վերապատրաստման տվյալներին հարմարվելու միտում և մարզման ժամանակի ավելացման հետ ընդհանրացնող կարողությունների նվազում: Բացի այդ, անհնար է բացատրել, թե ինչպես է ցանցը գալիս խնդրի այս կամ այն ​​լուծմանը, այսինքն ՝ նյարդային ցանցերը սև արկղերի համակարգեր են, քանի որ նեյրոնների գործառույթները և սինապսների կշիռներն իրական մեկնաբանություն չունեն: Այնուամենայնիվ, կան բազմաթիվ նյարդային ցանցերի ալգորիթմներ, որոնցում այս և այլ թերությունները ինչ -որ կերպ հարթեցված են:

Կանխատեսման ժամանակ նյարդային ցանցերն առավել հաճախ օգտագործվում են ամենապարզ սխեմայի համաձայն. Որպես մուտքագրման տվյալներ, մի քանի նախորդ ժամանակաշրջանների կանխատեսված պարամետրի արժեքների մասին նախապես մշակված տեղեկատվությունը մտնում է ցանց, ելքի ժամանակ ցանցը տալիս է կանխատեսում հաջորդ ժամանակաշրջանները `ինչպես վերը նշված օրինակում` վաճառքի դեպքում: Կան նաև կանխատեսում ստանալու ավելի անլուրջ եղանակներ. Նեյրոնային ցանցերը շատ ճկուն գործիք են, ուստի կան ցանցերի և դրանց կիրառությունների բազմաթիվ սահմանափակ մոդելներ:

Մեկ այլ մեթոդ գենետիկական ալգորիթմներն են: Դրանք հիմնված են ուղղորդված պատահական որոնման վրա, այսինքն ՝ բնության էվոլյուցիոն գործընթացները նմանակելու փորձի վրա: Հիմնական տարբերակում գենետիկական ալգորիթմներն աշխատում են այսպես.

1. Խնդրի լուծումը ներկայացվում է քրոմոսոմի տեսքով:

2. Ստեղծվում է քրոմոսոմների պատահական շարք `սա լուծումների նախնական սերունդն է:

3. Դրանք մշակվում են վերարտադրության և մուտացիայի հատուկ օպերատորների կողմից:

4. Իրականացվում է լուծումների գնահատում և դրանց ընտրություն `հիմնվելով համապատասխանության գործառույթի վրա:

5. generationուցադրվում է լուծումների նոր սերունդ, և ցիկլը կրկնվում է:

Արդյունքում, էվոլյուցիայի յուրաքանչյուր դարաշրջանում ավելի կատարյալ լուծումներ են գտնվում:

Գենետիկական ալգորիթմներ օգտագործելիս վերլուծաբանը նախնական տվյալների կարիք չունի նախնական տվյալների բնույթի, դրանց կառուցվածքի և այլնի մասին: Անալոգիան այստեղ թափանցիկ է `աչքերի գույնը, քթի ձևը և մազերի հաստությունը: ոտքերի վրա կոդավորված են մեր գեներում նույն նուկլեոտիդներով:

Կանխատեսման ժամանակ գենետիկական ալգորիթմները հազվադեպ են օգտագործվում ուղղակիորեն, քանի որ կանխատեսումը գնահատելու չափանիշ գտնելը դժվար է, այսինքն ՝ որոշումների ընտրության չափանիշը. Ծննդյան պահին անհնար է որոշել, թե ով կդառնա մարդը ՝ տիեզերագնաց կամ ալկոնավատոր Հետևաբար, սովորաբար գենետիկական ալգորիթմները ծառայում են որպես օժանդակ մեթոդ, օրինակ ՝ ոչ ստանդարտ ակտիվացման գործառույթներով նյարդային ցանց վարժեցնելիս, որում անհնար է օգտագործել գրադիենտային ալգորիթմներ: Այստեղ, որպես օրինակ, կարող ենք անվանել MIP ցանցեր, որոնք հաջողությամբ կանխատեսում են թվացյալ պատահական երևույթներ ՝ արևի վրա բծերի քանակը և լազերի ինտենսիվությունը:

Մեկ այլ մեթոդ է անորոշ տրամաբանությունը, որը նմանակում է մտածողության գործընթացները: Ի տարբերություն երկուական տրամաբանության, որը պահանջում է ճշգրիտ և միանշանակ ձևակերպումներ, անորոշությունը առաջարկում է մտածողության այլ մակարդակ: Օրինակ, ավանդական երկուական կամ «բուլյան» տրամաբանության մեջ «անցյալ ամսվա վաճառքները ցածր էին» հայտարարության ձևակերպումը պահանջում է հստակ տարբերություն ցածր (0) և բարձր (1) վաճառքների միջև: Օրինակ, 1 միլիոն շեքելին հավասար կամ ավելի մեծ վաճառքները բարձր են, ավելի քիչ վաճառքները `ցածր:

Հարց է ծագում. Ինչու՞ 999.999 շեքելի մակարդակով վաճառքն արդեն ցածր է համարվում: Ակնհայտ է, որ սա ամբողջովին ճիշտ հայտարարություն չէ: Անորոշ տրամաբանությունը գործում է ավելի մեղմ հասկացություններով: Օրինակ, 900,000 NIS- ի վաճառքները կհամարվեին բարձր ՝ 0,9 աստիճանով և ցածր ՝ 0,1 աստիճանով:

Անորոշ տրամաբանության մեջ առաջադրանքները ձևակերպվում են պայմաններից և արդյունքներից բաղկացած կանոնների առումով: Ամենապարզ կանոնների օրինակներ.

Խնդիրը կանոնների առումով դնելուց հետո պայմանների հստակ արժեքները (օրերի վարկի ժամկետը և զեղչի գումարը տոկոսներով) փոխակերպվում են անորոշ ձևի (մեծ, փոքր և այլն): Այնուհետև դրանք մշակվում են տրամաբանական գործողությունների և թվային փոփոխականների հակադարձ փոխակերպման միջոցով (արտադրության միավորներում վաճառքի կանխատեսված մակարդակ):

Հավանական մեթոդների համեմատ, անորոշները կարող են կտրուկ նվազեցնել կատարված հաշվարկների քանակը, բայց սովորաբար չեն բարձրացնում դրանց ճշգրտությունը: Նման համակարգերի թերությունների շարքում կարելի է նշել ստանդարտ նախագծման մեթոդաբանության բացակայությունը, ավանդական մեթոդներով մաթեմատիկական վերլուծության անհնարինությունը: Բացի այդ, դասական անորոշ համակարգերում մուտքային քանակների թվի ավելացումը հանգեցնում է կանոնների թվի էքսպոնենցիալ աճի: Այս և այլ թերությունները հաղթահարելու համար, ինչպես նյարդային ցանցերի դեպքում, կան անորոշ տրամաբանական համակարգերի բազմաթիվ փոփոխություններ:

Փափուկ հաշվարկման մեթոդների շրջանակներում կարելի է առանձնացնել այսպես կոչված հիբրիդային ալգորիթմները, որոնք ներառում են մի քանի տարբեր բաղադրիչներ: Օրինակ ՝ անորոշ տրամաբանական ցանցեր, կամ արդեն հիշատակված նյարդային ցանցեր ՝ գենետիկ ուսմամբ:

Հիբրիդային ալգորիթմներում, որպես կանոն, կա սիներգիկ ազդեցություն, որի դեպքում մեկ մեթոդի թերությունները փոխհատուցվում են մյուսների առավելություններով, և վերջնական համակարգը ցույց է տալիս արդյունք, որը առանձին հասանելի չէ բաղադրիչներից որևէ մեկին:

Վերնագիր: Անորոշ տրամաբանություն և արհեստական ​​նյարդային ցանցեր:

Ինչպես գիտեք, անորոշ հավաքածուների և անորոշ տրամաբանության ապարատը երկար ժամանակ (ավելի քան 10 տարի) հաջողությամբ օգտագործվում է այն խնդիրների լուծման համար, որոնցում նախնական տվյալները անհուսալի են և վատ ձևակերպված: Այս մոտեցման ուժեղ կողմերը.
-խնդրի լուծման պայմանների և մեթոդի նկարագրություն բնականին մոտ լեզվով.
Համընդհանուր. ըստ հայտնի FAT- ի (Fuzzy Approximation Theorem), որը Բ.Կոսկոն հաստատել է 1993 թ., ցանկացած մաթեմատիկական համակարգ կարող է մոտարկվել անորոշ տրամաբանության վրա հիմնված համակարգով.

Միևնույն ժամանակ, որոշակի թերություններ բնորոշ են անորոշ փորձագետների և կառավարման համակարգերի համար.
1) ենթադրյալ անորոշ կանոնների սկզբնական փաթեթը կազմված է մարդու փորձագետի կողմից և կարող է թերի կամ հակասական լինել.
2) համակարգի մուտքի և ելքի փոփոխականները նկարագրող անդամակցության գործառույթների տեսակն ու պարամետրերը ընտրված են սուբյեկտիվորեն և կարող են ամբողջությամբ չարտացոլել իրականությունը:
Նշված թերությունները գոնե մասամբ վերացնելու համար մի շարք հեղինակներ առաջարկեցին ներդնել անհասկանալի փորձագիտական ​​և վերահսկման համակարգեր `հարմարվողական համակարգերով` հարմարեցնելով համակարգի աշխատանքի ընթացքում անդամակցության գործառույթների կանոններին և պարամետրերին: Նման հարմարվողականության մի քանի տարբերակների թվում, ամենահաջողներից մեկը, ըստ երևույթին, այսպես կոչված հիբրիդային նյարդային ցանցերի մեթոդն է:
Հիբրիդային նյարդային ցանցը կառուցվածքով ձևականորեն նույնական է բազմաշերտ նյարդային ցանցի ուսուցման հետ, օրինակ ՝ սխալի հետևի տարածման ալգորիթմի համաձայն, սակայն դրա թաքնված շերտերը համապատասխանում են անորոշ համակարգի գործունեության փուլերին: Այսպիսով,
Նեյրոնների -1 -րդ շերտը կատարում է մշուշապատման գործառույթ `ելնելով մուտքերի տվյալ անդամակցության գործառույթներից.
-2 -րդ շերտը ցուցադրում է մի շարք անորոշ կանոններ;
- 3 -րդ շերտը սրելու գործառույթ ունի:
Այս շերտերից յուրաքանչյուրը բնութագրվում է մի շարք պարամետրերով (անդամակցության գործառույթների պարամետրեր, անհասկանալի որոշման կանոններ, ակտիվ
գործառույթները, կապերի կշիռները), որոնց ճշգրտումը կատարվում է, ըստ էության, նույն կերպ, ինչ սովորական նյարդային ցանցերի դեպքում:
Գիրքը ուսումնասիրում է նման ցանցերի բաղադրիչների տեսական ասպեկտները, այն է `անորոշ տրամաբանության ապարատը, արհեստական ​​նյարդային ցանցերի և հիբրիդային ցանցերի տեսության հիմքերը` անորոշության պայմաններում վերահսկողության և որոշումների կայացման խնդիրների առնչությամբ:
Առանձնահատուկ ուշադրություն է դարձվում այս մոտեցումների մոդելների ծրագրային ապահովմանը `օգտագործելով MATLAB 5.2 / 5.3 մաթեմատիկական համակարգի գործիքները:

Նախորդ հոդվածներ.

Անհասկանալի բազմություններն ու անորոշ տրամաբանությունը դասական բազմությունների տեսության և դասական պաշտոնական տրամաբանության ընդհանրացումներն են: Այս հասկացություններն առաջին անգամ առաջարկել է ամերիկացի գիտնական Լոտֆի adադեն 1965 թվականին: Նոր տեսության առաջացման հիմնական պատճառը անհասկանալի և մոտավոր հիմնավորման առկայությունն էր, երբ մարդը նկարագրում է գործընթացներ, համակարգեր, առարկաներ:

Մինչև ամբողջ աշխարհում բարդ համակարգերի մոդելավորման անորոշ մոտեցումը ճանաչվելը, անհասկանալի բազմությունների տեսության սկզբնավորումից տևեց ավելի քան մեկ տասնամյակ: Եվ անորոշ համակարգերի զարգացման այս ճանապարհին ընդունված է տարբերակել երեք շրջան:

Առաջին շրջանը (60 -ականների վերջ - 70 -ականների սկիզբ) բնութագրվում է մշուշոտ հավաքածուների տեսական ապարատի զարգացմամբ (Լ. Adeադե, Է. Մամդանի, Բելման): Երկրորդ շրջանում (70-80-ականներ) առաջին գործնական արդյունքները հայտնվեցին բարդ տեխնիկական համակարգերի անորոշ վերահսկողության ոլորտում (գոլորշու գեներատոր ՝ անորոշ վերահսկողությամբ): Միևնույն ժամանակ, ուշադրություն սկսվեց ուշադրություն դարձնել անորոշ տրամաբանության վրա հիմնված փորձագիտական ​​համակարգերի կառուցման հարցերին, անորոշ կարգավորիչների մշակմանը: Որոշումների աջակցության անորոշ փորձագիտական ​​համակարգերը լայնորեն կիրառվում են բժշկության և տնտեսագիտության մեջ: Ի վերջո, երրորդ շրջանում, որը տևում է 80 -ականների վերջից և շարունակվում է ներկայումս, հայտնվում են ծրագրային փաթեթներ ՝ անհասկանալի փորձագիտական ​​համակարգերի կառուցման համար, և անորոշ տրամաբանության կիրառման ոլորտները զգալիորեն ընդլայնվում են: Այն օգտագործվում է ավտոմոբիլային, տիեզերագնացության և փոխադրումների արդյունաբերության, կենցաղային տեխնիկայի, ֆինանսների, վերլուծությունների և կառավարման որոշումների կայացման և շատ այլ ոլորտներում:

Ամբողջ աշխարհում անհասկանալի տրամաբանության հաղթարշավը սկսվեց այն բանից հետո, երբ Բարդուղիմեոս Կոսկոն 80 -ականների վերջին ապացուցեց հանրահայտ FAT (Fuzzy Approximation Theorem) - ը: Բիզնեսի և ֆինանսների ոլորտում անորոշ տրամաբանությունը ընդունվեց այն բանից հետո, երբ 1988 թվականին ֆինանսական ցուցանիշների կանխատեսման անորոշ կանոնների վրա հիմնված փորձագիտական ​​համակարգը միակն էր, որը կանխատեսում էր ֆոնդային շուկայի փլուզումը: Իսկ հաջողակ անհասկանալի ծրագրերի թիվը ներկայումս հազարավոր է:

Մաթեմատիկական ապարատ

Մշուշոտ հավաքածուի բնութագիրը Անդամակցության գործառույթն է: MF- ով նշում ենք c (x) - անորոշ C բազմության անդամակցության աստիճանը, որը սովորական բազմության բնորոշ գործառույթի հայեցակարգի ընդհանրացումն է: Հետո անորոշ C հավաքածուն C = (MF c (x) / x), MF c (x) կարգավորված զույգերի ամբողջությունն է: MF c (x) = 0 արժեքը նշանակում է, որ հավաքածուում չկա անդամություն, 1 - լիարժեք անդամություն:

Եկեք սա պարզաբանենք պարզ օրինակով: Եկեք պաշտոնականացնենք «տաք թեյի» ոչ ճշգրիտ սահմանումը: X (հիմնավորման տարածք) կլինի ջերմաստիճանի սանդղակը degreesելսիուսի աստիճանով: Ակնհայտ է, որ այն կտատանվի 0 -ից 100 աստիճանի սահմաններում: Տաք թեյի անորոշ հավաքածուն կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

C = (0/0; 0/10; 0/20; 0.15 / 30; 0.30 / 40; 0.60 / 50; 0.80 / 60; 0.90 / 70; 1/80; 1 /90; 1/100):

Այսպիսով, 60 C ջերմաստիճանով թեյը պատկանում է «Թեժ» հավաքածուին ՝ 0,80 -ին պատկանելիության աստիճանով: Մեկ անձի համար թեյը 60 C ջերմաստիճանում կարող է տաք լինել, մյուսի համար ՝ շատ տաք: Հենց դրանում է արտահայտվում համապատասխան հավաքածուի նշանակման անորոշությունը:

Անհասկանալի հավաքածուների, ինչպես նաև սովորականների համար սահմանվում են հիմնական տրամաբանական գործողությունները: Հաշվարկների համար պահանջվող ամենահիմնականը խաչմերուկն ու միությունն են:

Երկու անորոշ հավաքածուների խաչմերուկ (անորոշ «AND»). A B: MF AB (x) = min (MF A (x), MF B (x)):
Երկու անորոշ հավաքածուների միավորում (անորոշ «OR») ՝ A B: MF AB (x) = max (MF A (x), MF B (x)):

Մշուշոտ հավաքածուների տեսության մեջ մշակվել է խաչմերուկի, միավորման և լրացնող օպերատորների կատարման ընդհանուր մոտեցում, որն իրականացվել է այսպես կոչված եռանկյունաձև նորմերով և կոնոմներով: Խաչմերուկի և միության գործողությունների վերը նշված իրականացումները t- նորմայի և t-conorm- ի ամենատարածված դեպքերն են:

Անորոշ հավաքածուները նկարագրելու համար ներկայացվում են անհասկանալի և լեզվական փոփոխականների հասկացությունները:

Անորոշ փոփոխականը նկարագրվում է բազմությամբ (N, X, A), որտեղ N- ը փոփոխականի անունն է, X- ը ունիվերսալ հավաքածու է (հիմնավորման տարածք), A- ն X- ի վրա անորոշ բազմություն է:
Լեզվական փոփոխականի արժեքները կարող են լինել անորոշ փոփոխականներ, այսինքն. լեզվական փոփոխականն ավելի բարձր մակարդակի վրա է, քան անորոշ փոփոխականը: Լեզվական յուրաքանչյուր փոփոխական բաղկացած է.

• կոչումներ;
• նրա արժեքների ամբողջությունը, որը կոչվում է նաև հիմնական տերմինային հավաքածու T. Հիմնական տերմինների տարրերն անհասկանալի փոփոխականների անուններն են.
• ունիվերսալ հավաքածու X;
• շարահյուսական կանոն G, համաձայն որի ՝ նոր տերմիններ են ստեղծվում ՝ օգտագործելով բնական կամ պաշտոնական լեզվի բառեր.
• իմաստաբանական կանոն P, որը լեզվական փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին վերագրում է X բազմության անորոշ ենթախումբ:

Դիտարկենք այնպիսի անորոշ հասկացություն, ինչպիսին է «Բաժնետոմսերի գինը»: Սա լեզվական փոփոխականի անունն է: Եկեք դրա համար ձևավորենք հիմնական տերմինային հավաքածու, որը բաղկացած կլինի երեք անհասկանալի փոփոխականներից `« Lowածր »,« Չափավոր »,« Բարձր »և հիմնավորելու տարածքը սահմանենք X = (միավոր) տեսքով: Վերջին բանը, որ մնում է անել, անդամակցության գործառույթների կառուցումն է յուրաքանչյուր լեզվաբանական տերմինի համար ՝ T տերմինալ տերմինից:

Գոյություն ունեն տասնյակից ավելի բնորոշ կորի ձևեր `անդամակցության գործառույթները նշելու համար: Առավել տարածված են `եռանկյունաձև, տրապեզոիդ և Գաուսյան անդամակցության գործառույթները:

Եռանկյուն անդամակցության գործառույթը որոշվում է թվերի եռապատիկով (a, b, c), և դրա արժեքը x կետում հաշվարկվում է ըստ արտահայտության.

$$ MF \, (x) = \, \ սկիզբ (դեպքեր) \; 1 \, - \, \ frac (b \, - \, x) (b \, - \, ա), \, a \ leq \, x \ leq \, b & \ \\ 1 \, - \, \ frac (x \, - \, b) (c \, - \, b), \, b \ leq \, x \ leq \ , c & \ \\ 0, \; x \, \ not \ in \, (a; \, c) \ \ վերջ (դեպքեր) $$

For (b-a) = (c-b) մենք ունենք սիմետրիկ եռանկյունային անդամակցության ֆունկցիայի դեպք, որը կարելի է եզակիորեն սահմանել եռակի երկու պարամետրերով (a, b, c):

Նմանապես, trapezoidal Membership գործառույթը սահմանելու համար ձեզ հարկավոր են չորս թվեր (a, b, c, d).

$$ MF \, (x) \, = \, \ սկսել (դեպքեր) \; 1 \, - \, \ frac (b \, - \, x) (b \, - \, ա), \, ա \ leq \, x \ leq \, b & \\ 1, \, b \ leq \, x \ leq \, c & \\ 1 \, - \, \ frac (x \, - \, գ) (դ \, - \, գ), \, c \ leq \, x \ leq \, d & \\ 0, x \, \ not \ in \, (a; \, d) \ \ վերջ (դեպքեր) $$

Երբ (b-a) = (d-c), trapezoidal Membership գործառույթը ստանում է սիմետրիկ ձև:

Գաուսյան տիպի անդամակցության գործառույթը նկարագրված է բանաձևով

$$ MF \, (x) = \ exp \ biggl [ - \, (\ Bigl (\ frac (x \, - \, c) (\ sigma) \ Bigr)) ^ 2 \ biggr] $$

և գործում է երկու պարամետրով: Պարամետր գնշանակում է անորոշ հավաքածուի կենտրոն, և պարամետրը պատասխանատու է գործառույթի կտրուկության համար:

Հիմնական տերմին T- ից յուրաքանչյուր տերմինի անդամակցության գործառույթների հավաքածուն սովորաբար միասին պատկերված են մեկ գրաֆիկի վրա: Նկար 3 -ը ցույց է տալիս վերը նկարագրված «Բաժնետոմսերի գին» լեզվական փոփոխականի օրինակ, իսկ 4 -ը ցույց է տալիս «Մարդկության դար» ոչ ճշգրիտ հայեցակարգի պաշտոնականացումը: Այսպիսով, 48 -ամյա անձի համար «Երիտասարդ» հավաքածուի պատկանելիության աստիճանը 0 է, «Միջին» ՝ 0,47, «Միջինից բարձր» ՝ 0,20:

Լեզվական փոփոխականի տերմինների թիվը հազվադեպ է գերազանցում 7 -ը:

Մշուշոտ եզրակացություն

Անորոշ տրամաբանական եզրակացության գործողության հիմքը կանոնների բազան է, որը պարունակում է «Եթե-ապա» տեսքով անորոշ հայտարարություններ և համապատասխան լեզվական տերմինների անդամակցության գործառույթներ: Այս դեպքում պետք է բավարարվեն հետևյալ պայմանները.

1. Ելքային փոփոխականի յուրաքանչյուր լեզվաբանական տերմինի համար կա առնվազն մեկ կանոն:
2. Մուտքային փոփոխականի ցանկացած տերմինի համար կա առնվազն մեկ կանոն, որում այս տերմինը օգտագործվում է որպես նախապայման (կանոնի ձախ կողմը):

Հակառակ դեպքում, կա ոչ լիարժեք անորոշ կանոնների բազա:

Թող կանոնների հիմքը ունենա ձևի հետևյալ կանոնները.
R 1. ԵԹԵ x 1 է A 11 ... ԵՎ ... x n- ը A 1n է, ԱՅՆ y- ն `B 1
…
R i: ԵԹԵ x 1 է A i1 ... ԵՎ ... x n- ը A in է, ԱՅՆ y- ն B i է
…
R m: ԵԹԵ x 1 է A i1 ... ԵՎ ... x n է A mn, ԱՅՆ y է B m,
որտեղ x k, k = 1..n - մուտքային փոփոխականներ; y - ելքային փոփոխական; A ik - տրված անորոշ հավաքածուներ ՝ անդամակցության գործառույթներով:

Մշուշոտ եզրակացության արդյունքը y * փոփոխականի հստակ արժեքն է ՝ հիմնված տվյալ հստակ արժեքների վրա x k, k = 1..n:

Ընդհանուր առմամբ, եզրակացության մեխանիզմը ներառում է չորս փուլ ՝ անորոշ ներդրում (անորոշացում), անորոշ եզրակացություն, կազմություն և պարզության իջեցում, կամ դեֆազիֆիկացիա (տե՛ս նկար 5):

Մշուշոտ եզրակացության ալգորիթմները հիմնականում տարբերվում են օգտագործվող կանոնների տեսակից, տրամաբանական գործողություններից և մի տեսակ ապակողմնորոշման մեթոդից: Մշակված են Մամդանիի, Սուգենոյի, Լարսենի, ukուկամոտոյի համար անորոշ եզրակացության մոդելներ:

Եկեք ավելի սերտ նայենք անհասկանալի եզրակացությանը ՝ օգտագործելով Մամդանիի մեխանիզմը որպես օրինակ: Սա անորոշ համակարգերի ամենատարածված եզրակացությունն է: Այն օգտագործում է մշուշոտ հավաքածուների մինիմաքս կազմը: Այս մեխանիզմը ներառում է գործողությունների հետևյալ հաջորդականությունը.

1. Fuzzification կարգը. Ճշմարտության աստիճանները որոշվում են, այսինքն. անդամակցության գործառույթների արժեքները յուրաքանչյուր կանոնի ձախ կողմերի համար (նախադրյալներ): M կանոններով կանոնների հիմքի համար մենք ճշմարտության աստիճանները նշում ենք որպես A ik (x k), i = 1..m, k = 1..n:

Մշուշոտ եզրակացություն: Նախ, «կտրելու» մակարդակները որոշվում են կանոններից յուրաքանչյուրի ձախ կողմի համար.

$$ alfa_i \, = \, \ min_i \, (A_ (ik) \, (x_k)) $$

$$ B_i ^ * (y) = \ min_i \, (alfa_i, \, B_i \, (y)) $$

Ստացված կտրված գործառույթների կազմը կամ միավորումը, որի համար օգտագործվում է անորոշ հավաքածուների առավելագույն կազմը.

$$ MF \, (y) = \ max_i \, (B_i ^ * \, (y)) $ $

որտեղ MF (y) վերջնական անորոշ բազմության անդամակցության գործառույթն է:

Հստակեցում, կամ պարզության իջեցում: Գոյություն ունեն մի քանի մեթոդներ ՝ ապազերծման համար: Օրինակ, միջին կենտրոնի մեթոդը կամ կենտրոնախուզական մեթոդը.
$$ MF \, (y) = \ max_i \, (B_i ^ * \, (y)) $ $

Այս արժեքի երկրաչափական նշանակությունը MF (y) կորի ծանրության կենտրոնն է: Գծապատկեր 6 -ը գրաֆիկորեն ցույց է տալիս Մամդանիի անհասկանալի եզրակացության գործընթացը երկու մուտքային փոփոխականների և երկու անորոշ կանոնների R1 և R2 համար:

Ինտեգրում խելացի հարացույցների հետ

Տեղեկատվության խելամիտ մշակման մեթոդների հիբրիդացումն այն կարգախոսն է, որով 90 -ականներն անցել են արևմտյան և ամերիկացի հետազոտողների շրջանում: Արհեստական ​​ինտելեկտի մի քանի տեխնոլոգիաներ համադրելու արդյունքում հայտնվեց հատուկ տերմին `« փափուկ հաշվարկ », որը Լ. Zադեհը ներկայացրեց 1994 թ. Ներկայումս փափուկ հաշվարկը միավորում է այնպիսի ոլորտներ, ինչպիսիք են ՝ անորոշ տրամաբանությունը, արհեստական ​​նյարդային ցանցերը, հավանական պատճառաբանությունը և էվոլյուցիոն ալգորիթմները: Նրանք լրացնում են միմյանց և օգտագործվում են տարբեր համակցություններում ՝ հիբրիդային խելացի համակարգեր ստեղծելու համար:

Անորոշ տրամաբանության ազդեցությունը, թերևս, ամենաընդարձակն էր: Asիշտ ինչպես անորոշ հավաքածուներն ընդլայնեցին դասական մաթեմատիկական հավաքածուների տեսության շրջանակը, այնպես էլ անորոշ տրամաբանությունը «ներխուժեց» Տվյալների մշակման գրեթե բոլոր մեթոդները ՝ դրանք օժտելով նոր գործառույթներով: Նման ասոցիացիաների առավել հետաքրքիր օրինակները տրված են ստորև:

Անորոշ նյարդային ցանցեր

Անորոշ-նյարդային ցանցերը եզրակացություններ են կատարում ՝ հիմնվելով անորոշ տրամաբանության ապարատի վրա, սակայն անդամակցության գործառույթների պարամետրերը կարգավորվում են ՝ օգտագործելով նյարդային ցանցի ուսուցման ալգորիթմները: Հետևաբար, նման ցանցերի պարամետրերն ընտրելու համար մենք կկիրառենք սխալի հետադարձ տարածման մեթոդը, որն ի սկզբանե առաջարկվել էր բազմաշերտ ընկալիչ պատրաստելու համար: Դրա համար անորոշ կառավարման մոդուլը ներկայացվում է բազմաշերտ ցանցի տեսքով: Անորոշ նյարդային ցանցը սովորաբար բաղկացած է չորս շերտից ՝ մուտքային փոփոխականների համար անորոշության շերտ, պայմանի ակտիվացման արժեքի համախմբման շերտ, անորոշ կանոնների համախմբման շերտ և ելքային շերտ:

Առավել տարածված են ներկայումս անորոշ նյարդային ցանցերի ճարտարապետությունները, ինչպիսիք են ANFIS- ը և TSK- ը: Ապացուցված է, որ նման ցանցերը համընդհանուր մոտարկիչներ են:

Արագ ուսուցման ալգորիթմներ և կուտակված գիտելիքների մեկնաբանելիություն. Այս գործոնները անհասկանալի նյարդային ցանցերը դարձրել են այսօր փափուկ հաշվարկման ամենահեռանկարային և արդյունավետ գործիքներից մեկը:

Հարմարվողական անորոշ համակարգեր

Դասական անորոշ համակարգերն ունեն այն թերությունը, որ կանոնների և անդամակցության գործառույթների ձևավորման համար անհրաժեշտ է ներգրավել փորձագետներ որոշակի առարկայի ոլորտում, ինչը միշտ չէ, որ հնարավոր է ապահովել: Հարմարվողական անորոշ համակարգերը լուծում են այս խնդիրը: Նման համակարգերում անորոշ համակարգի պարամետրերի ընտրությունը կատարվում է փորձնական տվյալների վրա ուսուցման գործընթացում: Հարմարվողական անորոշ համակարգերի ուսուցման ալգորիթմները համեմատաբար աշխատատար և բարդ են նյարդային ցանցերի ուսուցման ալգորիթմների համեմատ և, որպես կանոն, բաղկացած են երկու փուլից. 1. Լեզվական կանոնների ստեղծում. 2. Անդամակցության գործառույթների ուղղում: Առաջին խնդիրը թվարկված տիպի խնդիր է, երկրորդը `շարունակական տարածքներում օպտիմալացում: Այս դեպքում որոշակի հակասություն է առաջանում. Անհասկանալի կանոններ ստեղծելու համար անհրաժեշտ են անդամակցության գործառույթներ, իսկ անորոշ եզրակացություն `կանոններ: Բացի այդ, անորոշ կանոններ ինքնաբերաբար գեներացնելիս անհրաժեշտ է ապահովել դրանց ամբողջականությունն ու հետևողականությունը:

Մշուշոտ համակարգերի պատրաստման մեթոդների զգալի մասը օգտագործում է գենետիկական ալգորիթմներ: Անգլալեզու գրականության մեջ դա համապատասխանում է հատուկ տերմինի `Genetic Fuzzy Systems:

Ֆ. Էրերայի գլխավորությամբ մի խումբ իսպանացի հետազոտողներ զգալի ներդրում ունեցան էվոլյուցիոն ադապտացիայի անորոշ համակարգերի տեսության և պրակտիկայի զարգացման գործում:

Անորոշ հարցումներ

Անորոշ հարցումները խոստումնալից միտում են տեղեկատվության մշակման ժամանակակից համակարգերում: Այս գործիքը թույլ է տալիս հարցումներ ձևակերպել բնական լեզվով, օրինակ ՝ «Թվարկեք ցածր գնով բնակարանների առաջարկներ քաղաքի կենտրոնին մոտ», ինչը հնարավոր չէ ստանդարտ հարցումների մեխանիզմով: Այդ նպատակով մշակվել են անորոշ հարաբերական հանրահաշիվ և SQL լեզուների հատուկ ընդարձակումներ անորոշ հարցումների համար: Այս ոլորտում հետազոտությունների մեծ մասը պատկանում է արևմտաեվրոպական գիտնականներ Դ. Դյուբուային և Գ. Պրադեին:

Fuzzy Association կանոնները

Անորոշ ասոցիատիվ կանոնները տվյալների շտեմարաններից ձևեր հանելու գործիք են, որոնք ձևակերպված են լեզվական հայտարարությունների տեսքով: Այստեղ ներդրված են անհասկանալի գործարքների, անհասկանալի ասոցիացիայի կանոնների աջակցության և վավերականության հասկացությունները:

Անորոշ ճանաչողական քարտեզներ

Անորոշ ճանաչողական քարտեզները Բ.Կոսկոյի կողմից առաջարկվել են 1986 թվականին և օգտագործվում են որոշակի տարածքի հասկացությունների միջև հայտնաբերված պատճառահետեւանքային կապերի մոդելավորման համար: Ի տարբերություն պարզ ճանաչողական քարտեզների, անհասկանալի ճանաչողական քարտեզները անորոշ ուղղվող գրաֆիկ են, որոնց հանգույցները անորոշ հավաքածուներ են: Գրաֆիկի ուղղված եզրերը ոչ միայն արտացոլում են հասկացությունների միջև պատճառահետեւանքային կապերը, այլեւ որոշում են հարակից հասկացությունների ազդեցության (քաշի) աստիճանը: Մշուշոտ ճանաչողական քարտեզների ՝ որպես մոդելավորման համակարգերի ակտիվ օգտագործումը պայմանավորված է վերլուծված համակարգի տեսողական ներկայացման հնարավորությամբ և հասկացությունների միջև պատճառահետեւանքային կապերի մեկնաբանման հեշտությամբ: Հիմնական խնդիրները կապված են ճանաչողական քարտեզի կառուցման գործընթացի հետ, որն իրեն թույլ չի տալիս պաշտոնականացման: Բացի այդ, անհրաժեշտ է ապացուցել, որ կառուցված ճանաչողական քարտեզը համարժեք է իրական մոդելավորված համակարգին: Այս խնդիրները լուծելու համար տվյալների ընտրանքի հիման վրա մշակվել են ճանաչողական քարտեզների ավտոմատ կառուցման ալգորիթմներ:

Անորոշ կլաստերացում

Անորոշ կլաստերավորման մեթոդները, ի տարբերություն հստակ մեթոդների (օրինակ ՝ Կոհոնենի նյարդային ցանցերը), թույլ են տալիս միևնույն օբյեկտին միաժամանակ պատկանել մի քանի կլաստերների, բայց տարբեր աստիճանի: Շատ իրավիճակներում անորոշ կլաստերացումն ավելի «բնական» է, քան հստակ, օրինակ ՝ կլաստերների եզրին տեղակայված օբյեկտների համար: Ամենատարածվածը `գ-նշանակում է ինքնորոշման անհասկանալի ալգորիթմ և դրա ընդհանրացում Գուստաֆսոն-Կեսելի ալգորիթմի տեսքով:

Գրականություն

• Zade L. Լեզվական փոփոխականի հայեցակարգը և դրա կիրառումը մոտավոր որոշումներ կայացնելիս: - Մ .: Միր, 1976:
• Կրուգլով Վ.Վ., Դլի Մ.Ի. Խելացի տեղեկատվական համակարգեր. Համակարգչային աջակցություն անորոշ տրամաբանության և անորոշ եզրակացության համակարգերի համար: - Մ .: Ֆիզմատլիտ, 2002:
• Լեոլենկով Ա.Վ. Fuzzy մոդելավորում MATLAB- ում և fuzzyTECH- ում: - SPb., 2003:
• Ռուտկովսկայա Դ., Պիլինսկի Մ., Ռուտկովսկի Լ. Նյարդային ցանցեր, գենետիկական ալգորիթմներ և անորոշ համակարգեր: - Մ., 2004:
• Մասալովիչ Ա. Բութ տրամաբանություն բիզնեսում և ֆինանսներում: www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Fuzzy systems as universal Universal approximators // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, թիվ 11, նոյեմբեր 1994. - P. 1329-1333:
• Cordon O., Herrera F., A General study on genetic fuzzy systems // Genetic Algorithms in engineering and computer science, 1995. - P. 33-57: