Apsveriet Beta sadalījumu, aprēķiniet tā matemātisko cerību, dispersiju un režīmu. Izmantojot MS EXCEL BETA.DIST () funkciju, mēs uzzīmēsim sadalījuma funkcijas un varbūtības blīvuma grafikus. Ģenerēsim nejaušu skaitļu masīvu un novērtēsim sadalījuma parametrus.
Beta izplatīšanaBeta-
izplatīšana)
atkarīgs no 2 parametriem: α ( alfa)> 0(nosaka sadalījuma formu) un b (beta)> 0(nosaka mērogu).
Atšķirībā no daudziem citiem nepārtrauktiem sadalījumiem, gadījuma mainīgā lieluma variāciju diapazons Beta izplatīšana, ierobežo segments. Ārpus šī segmenta sadalījuma blīvums ir vienāds ar 0. Šī segmenta robežas nosaka pētnieks atkarībā no problēmas. Ja A = 0 un B = 1, tad tādi Beta izplatīšana sauc par standartu.
Beta izplatīšana ir apzīmējums Beta(alfa; beta).
Piezīme: Ja parametri alfa un beta= 1, tad Beta izplatīšana pārvēršas par, t.i. Beta (1; 1; A; B) = U (A; B).
Vispār sadales funkcija nevar izteikt elementārās funkcijās, tāpēc to aprēķina ar skaitliskām metodēm, piemēram, izmantojot MS EXCEL BETA.DIST () funkciju.
Piezīme: Formulu rakstīšanas ērtībai sadales parametru piemēru failā alfa un beta atbilstošs.
Piemēra failā ir arī grafiki varbūtības blīvums un sadales funkcijas ar iezīmētām vērtībām vidū, un .
Nejaušo skaitļu ģenerēšana un parametru novērtēšana
Izmantojot apgrieztā sadalījuma funkcija(vai kvantiles vērtības ( lpp-
kvantile),
skatiet) jūs varat ģenerēt nejauša lieluma vērtības Beta izplatīšana... Lai to izdarītu, jums jāizmanto formula:
BETA.OBR (RAND (); alfa; beta; A; B)
PADOMS: Jo nejauši skaitļi tiek ģenerēti, izmantojot RAND () funkciju, pēc tam nospiežot taustiņu F9, katru reizi iespējams iegūt jaunu paraugu un attiecīgi jaunu parametru novērtējumu.
Funkcija RAND () ģenerē no 0 līdz 1, kas precīzi atbilst varbūtības variācijas diapazonam (sk. parauga failu lapa Generation).
Tagad ir izveidots nejaušu skaitļu masīvs ar norādītajiem sadalījuma parametriem alfa un beta(lai būtu 200), novērtēsim sadalījuma parametrus.
Parametru novērtējums alfa un beta var izdarīt ar momentu metode(tiek pieņemts, ka parametri A un B ir zināmi):
Pareizā saite uz šo rakstu:
Oleinikova S.A. - Atbilstoši beta likumam sadalīto nejaušo mainīgo summas sadales likuma tuvināšana // Kibernētika un programmēšana. - 2015. - Nr. 6. - P. 35 - 54. DOI: 10.7256 / 2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225
Saskaņā ar beta likumu sadalīto gadījuma lielumu summas sadalījuma likuma tuvināšana
| Oļeņikova Svetlana Aleksandrovna Tehnisko zinātņu doktors Voroņežas Valsts tehniskās universitātes asociētais profesors 394026, Krievija, Voroņeža, Maskavas prospekts, 14 Oleinikova Svetlana Aleksandrovna Tehnisko zinātņu doktors Voroņežas Valsts tehniskās universitātes Automatizēto un skaitļošanas sistēmu katedras asociētais profesors 394026, Krievija, g. Voroņeža, Moskovskii prospekt, 14 Raksta nosūtīšanas redaktoram datums: 14-12-2015
Raksta pārskatīšanas datums: 15-12-2015
Anotācija. Pētījuma priekšmets šajā darbā ir nejauša lieluma sadalījuma blīvums, kas ir ierobežota skaita beta vērtību summa, no kurām katra ir sadalīta savā intervālā ar saviem parametriem. Šis likums ir plaši izplatīts varbūtību teorijā un matemātiskajā statistikā, jo to var izmantot, lai aprakstītu pietiekami lielu skaitu nejaušu parādību, ja atbilstošā nepārtrauktā nejaušā lieluma vērtības ir koncentrētas noteiktā intervālā. Tā kā meklēto beta vērtību summu nevar izteikt ne ar vienu no zināmajiem likumiem, rodas problēma, novērtējot tās sadalījuma blīvumu. Darba mērķis ir atrast tādu aproksimāciju beta vērtību summas sadalījuma blīvumam, kas atšķirtos ar mazāko kļūdu. Šī mērķa sasniegšanai tika veikts skaitļošanas eksperiments, kura rezultātā noteiktam beta vērtību skaitam sadalījuma blīvuma skaitliskā vērtība tika salīdzināta ar vēlamā blīvuma aproksimāciju. Kā tuvinājums tika izmantots normālais un beta sadalījums. Eksperimentālās analīzes rezultātā tika iegūti rezultāti, kas norāda uz vajadzību tuvināt meklēto sadales likumu ar beta likumu. Kā viena no iegūto rezultātu pielietošanas jomām tiek aplūkota projektu vadīšanas problēma ar nejaušu ilgumu, kur galvenā loma ir projekta izpildes laika aplēsei, kas priekšmeta jomas specifikas dēļ var aprakstīt, izmantojot beta vērtību summu.
Atslēgvārdi:
gadījuma lielums, beta sadalījums, sadalījuma blīvums, normālā sadalījuma likums, nejaušo mainīgo summa, skaitļošanas eksperiments, rekursīvs algoritms, tuvināšana, kļūda, PERT
10.7256/2306-4196.2015.6.17225
Publicēšanas datums: 19-01-2016
Abstrakts. Šī darba pētījuma priekšmets ir nejaušā lieluma varbūtības blīvuma funkcija (PDF), kas ir ierobežota skaita beta vērtību summa. Šis likums ir plaši izplatīts varbūtības teorijā un matemātiskajā statistikā, jo, to izmantojot, var aprakstīt ar pietiekami lielu nejaušu notikumu skaitu, ja atbilstošā nepārtrauktā gadījuma lieluma vērtība koncentrējas noteiktā diapazonā. Tā kā nepieciešamo beta vērtību summu nevar izteikt ne ar vienu no zināmajiem likumiem, rodas problēma ar tās blīvuma sadalījuma novērtēšanu. Mērķis ir atrast tādu beta vērtību summas tuvinājumu PDF failam, kurā būtu vismazākā kļūda. Lai sasniegtu šo mērķi, tika veikts skaitļošanas eksperiments, kurā noteiktam beta vērtību skaitam tika salīdzināta PDF skaitliskā vērtība ar vēlamā blīvuma tuvinājumu. Kā aproksimācijas tika izmantots normālais un beta sadalījums. Eksperimentālās analīzes noslēgumā tika iegūti rezultāti, kas norāda uz vēlamā likuma tuvināšanas piemērotību ar beta sadalījuma palīdzību. Kā viena no rezultātu pielietošanas jomām tiek aplūkota projektu vadības problēma ar nejaušajiem darbu ilgumiem. Šeit galvenais ir projekta īstenošanas laika novērtējums, ko specifiskās mācību jomas dēļ var raksturot ar beta vērtību summu.
Atslēgvārdi: Gadījuma vērtība, beta sadalījums, blīvuma funkcija, normālais sadalījums, nejaušo mainīgo summa, skaitļošanas eksperiments, rekursīvs algoritms, aproksimācija, kļūda, PERT Ievads Tiek aplūkota problēma, kā novērtēt beta vērtību summas sadalījuma likumu. Šis ir universāls likums, ko var izmantot, lai aprakstītu lielāko daļu nejaušo parādību ar nepārtrauktas sadalījuma likumu. Jo īpaši lielākajā daļā gadījumu, kad tiek pētītas nejaušas parādības, kuras var aprakstīt ar vienmodu nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem, kas atrodas noteiktā vērtību diapazonā, šādu vērtību var tuvināt ar beta likumu. Šajā sakarā problēmai atrast sadales likumu beta vērtību summai ir ne tikai zinātnisks raksturs, bet arī zināma praktiska interese. Turklāt atšķirībā no vairuma izplatīšanas likumu beta likumam nav unikālu īpašību, kas ļautu analītiski aprakstīt vēlamo daudzumu. Turklāt šī likuma specifika ir tāda, ka ir ārkārtīgi grūti iegūt vairākkārtēju noteiktu integrāli, kas nepieciešams nejaušo lielumu summas blīvuma noteikšanai, un rezultāts ir diezgan apgrūtinoša izteiksme pat pie n = 2 un ar pieaugumu. terminu skaitā gala izteiksmes sarežģītība daudzkārt palielinās. Šajā sakarā rodas problēma tuvināt beta vērtību summas sadalījuma blīvumu ar minimālu kļūdu.
Šajā rakstā ir aprakstīta pieeja vēlamā likuma tuvinājuma atrašanai, izmantojot skaitļošanas eksperimentu, kas ļauj katrā konkrētajā gadījumā salīdzināt kļūdu, kas iegūta, novērtējot interesējošā blīvuma, izmantojot vispiemērotākos likumus: normālo un beta. Rezultātā tika secināts, ka beta vērtību summu ieteicams novērtēt, izmantojot beta sadalījumu. 1. Problēmas izklāsts un tās pazīmes Parasti beta likumu nosaka intervālā norādītais blīvums šādi:
`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`
Tomēr praktiskas intereses parasti ir beta vērtības, kas noteiktas patvaļīgā intervālā. Tas galvenokārt ir saistīts ar to, ka praktisko problēmu loks šajā gadījumā ir daudz plašāks, un, otrkārt, meklējot risinājumu vispārīgākai lietai, nebūs iespējams iegūt rezultātu konkrētai lietai, kas nosaka ar gadījuma lielumu (1), nerada grūtības. Tāpēc turpmāk mēs aplūkosim nejaušos mainīgos, kas definēti patvaļīgā intervālā. Šajā gadījumā problēmu var formulēt šādi.
Mēs apsveram gadījuma lieluma sadalījuma likuma novērtēšanas problēmu, kas ir nejaušo lielumu summa `xi_ (i),` i = 1, ..., n, no kuriem katrs ir sadalīts saskaņā ar beta likumu intervālā ar parametriem p i un q i. Atsevišķu terminu sadalījuma blīvumu noteiks pēc formulas:
Problēma par beta vērtību summas likuma atrašanu ir daļēji atrisināta agrāk. Jo īpaši tika iegūtas formulas, lai novērtētu divu beta vērtību summu, no kurām katra tiek noteikta, izmantojot (1). Piedāvātajā pieejā divu nejaušu lielumu summas meklēšanai ar sadalījuma likumu (2).
Tomēr kopumā sākotnējā problēma nav atrisināta. Tas galvenokārt ir saistīts ar formulas (2) specifiku, kas neļauj iegūt kompaktas un ērtas formulas blīvuma atrašanai no nejaušo mainīgo summas. Patiešām, diviem daudzumiem "xi_1" un "xi_2". nepieciešamo blīvumu nosaka šādi:
"f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)"
Gadījumā, ja tiek pievienoti n nejauši mainīgie, tiek iegūts daudzkārtējs integrālis. Tajā pašā laikā šai problēmai ir grūtības, kas saistītas ar beta izplatīšanas specifiku. Jo īpaši, pat ja n = 2, formulas (3) izmantošana rada diezgan apgrūtinošu rezultātu, kas tiek definēts kā hiperģeometriskās funkcijas. Iegūtā blīvuma integrāļa atkārtota ņemšana, kas jāveic jau pie n = 3 un lielāka, ir ārkārtīgi sarežģīta. Tajā pašā laikā nav izslēgtas kļūdas, kas neizbēgami radīsies, noapaļojot un aprēķinot tik sarežģītu izteiksmi. Šajā sakarā kļūst nepieciešams meklēt formulas (3) tuvinājumu, kas ļauj izmantot labi zināmas formulas ar minimālu kļūdu.
2. Skaitļošanas eksperiments, lai tuvinātu beta vērtību summas blīvumu Lai analizētu vēlamā sadalījuma blīvuma specifiku, tika veikts eksperiments, kas ļauj ievākt statistisko informāciju par gadījuma lielumu, kas ir iepriekš noteikta skaita nejaušo lielumu summa ar beta sadalījumu ar dotajiem parametriem. Eksperimentālā iestatīšana tika sīkāk aprakstīta . Mainot atsevišķu beta vērtību parametrus, kā arī to skaitu, liela skaita veikto eksperimentu rezultātā nonācām pie šādiem secinājumiem.
1. Ja atsevišķiem gadījuma lielumiem, kas iekļauti summā, ir simetrisks blīvums, tad gala sadalījuma histogrammai ir forma, kas tuva normai. Tie ir arī tuvi parastajam galīgās vērtības skaitlisko raksturlielumu novērtēšanas likumam (matemātiskā cerība, dispersija, asimetrija un kurtoze).
2. Ja atsevišķi gadījuma lielumi ir asimetriski (gan ar pozitīvām, gan negatīvām asimetrijām), bet kopējā asimetrija ir 0, tad no grafiskā attēlojuma un skaitlisko raksturlielumu viedokļa iegūtais sadalījuma likums ir tuvs normālam.
3. Citos gadījumos meklētais likums ir vizuāli tuvs beta likumam. Jo īpaši piecu asimetrisku gadījuma lielumu summa ir parādīta 1. attēlā.
1. attēls — piecu vienādi asimetrisku gadījuma lielumu summa
Tādējādi, pamatojoties uz veikto eksperimentu, ir iespējams izvirzīt hipotēzi par iespējamu beta vērtību summas blīvuma tuvināšanu ar normālu vai beta sadalījumu.
Lai apstiprinātu šo hipotēzi un izvēlētos vienīgo tuvināšanas likumu, mēs veiksim šādu eksperimentu. Ņemot vērā nejaušo lielumu skaitu ar beta sadalījumu, kā arī to parametrus, mēs atrodam vajadzīgā blīvuma skaitlisko vērtību un salīdzinām to ar atbilstošā normālā vai beta sadalījuma blīvumu. Tam būs nepieciešams:
1) izstrādāt algoritmu, kas ļauj skaitliski novērtēt beta vērtību summas blīvumu;
2) ar dotajiem parametriem un sākotnējo vērtību skaitu nosaka galīgā sadalījuma parametrus, pieņemot normālo vai beta sadalījumu;
3) nosaka aproksimācijas kļūdu pēc normālā sadalījuma vai beta sadalījuma.
Apskatīsim šos uzdevumus sīkāk. Skaitliskais algoritms beta vērtību summas blīvuma noteikšanai ir balstīts uz rekursiju. n patvaļīgu gadījuma lielumu summu var noteikt šādi:
"eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)" , (4)
"eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)" . (5)
Līdzīgi varat aprakstīt nejaušā mainīgā `eta_ (n-1)` sadalījuma blīvumu:
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1) , (6)
Turpinot līdzīgu argumentāciju un izmantojot formulu (3), mēs iegūstam:
`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-) 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2)) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) `
Šie apsvērumi, kā arī blīvuma noteikšanas specifika daudzumiem ar beta sadalījumu ir sniegti sīkāk.
Galīgā sadalījuma likuma parametri tiek noteikti, pamatojoties uz pieņēmumu par gadījuma lielumu neatkarību. Šajā gadījumā to summas matemātisko cerību un dispersiju noteiks pēc formulas:
"Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)"
Parastam likumam parametri a un `sigma` tiks tieši noteikti ar formulām (8) un (9). Beta izplatīšanai vispirms ir jāaprēķina apakšējā un augšējā robeža. Tos var definēt šādi:` `
"a = summa_ (i = 1) ^ na_ (i)"; (desmit)
,,, b = summa_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (vienpadsmit)
Šeit a i un b i ir atsevišķu terminu intervālu robežas. Tālāk mēs izveidosim vienādojumu sistēmu, kas ietver formulas beta vērtības matemātiskajai cerībai un dispersijai:
`((Mxi = a + (ba) p / (p + q)), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) :) (12) `
Šeit "xi" ir nejaušs mainīgais, kas apraksta nepieciešamo summu. Tās matemātiskās cerības un dispersiju nosaka ar (8) un (9) formulām; parametri a un b ir doti ar formulām (10) un (11). Atrisinot sistēmu (12) attiecībā uz parametriem p un q, mēs iegūsim:
`p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a)) . (13)
"q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))" . (14)
`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) "
Šeit "hatf (x)" ir beta vērtību summas tuvinājums; `f_ (eta) (x) — beta vērtību summas sadalījuma likums.
Mēs secīgi mainīsim atsevišķu beta vērtību parametrus, lai novērtētu kļūdas. Īpaši interesanti būs šādi jautājumi:
1) cik ātri beta vērtību summa tuvojas normālajam sadalījumam, un vai ir iespējams summu novērtēt ar citu likumu, kuram būs minimālā kļūda attiecībā pret beta vērtību summas patieso sadalījuma likumu;
2) cik lielā mērā kļūda palielinās, palielinoties beta vērtību asimetrijai;
3) kā mainīsies kļūda, ja beta vērtību sadales intervāli tiks mainīti.
Eksperimenta algoritma vispārīgo shēmu katrai atsevišķai beta vērtību vērtībai var attēlot šādi (2. attēls).
2. attēls - Eksperimenta algoritma vispārīgā shēma
PogBeta - kļūda, kas rodas no gala likuma tuvināšanas ar beta sadalījumu intervālā;
PogNorm - kļūda, kas rodas no gala likuma tuvināšanas ar normālu sadalījumu intervālā;
ItogBeta - kļūdas galīgā vērtība, kas izriet no galīgā sadalījuma tuvināšanas ar beta likumu;
ItogNorm - kļūdas kopējā vērtība, kas izriet no galīgā sadalījuma tuvināšanas ar parasto likumu. 3. Eksperimentu rezultāti Analizēsim iepriekš aprakstītā eksperimenta rezultātus.
Kļūdu samazināšanās dinamika, palielinoties terminu skaitam, ir parādīta 3. attēlā. Abscisa parāda terminu skaitu, bet ordināta parāda kļūdas lielumu. Turpmāk "Norm" sērija parāda izmaiņas kļūdas pēc normālā sadalījuma, "Beta" sērija - beta - sadalījums.
3. attēls - Kļūdu samazināšana ar terminu skaita samazināšanos
Kā redzams no šī attēla, diviem terminiem aproksimācijas kļūda ar beta likumu ir aptuveni 4 reizes mazāka nekā aproksimācijas kļūda ar normālā sadalījuma likumu. Acīmredzot, terminiem palielinoties, tuvināšanas kļūda ar parasto likumu samazinās daudz ātrāk nekā beta likuma. Var arī pieņemt, ka ļoti lielam skaitam terminu tuvināšanai pēc parastā likuma būs mazāka kļūda nekā tuvināšanai ar beta sadalījumu. Taču, ņemot vērā kļūdas lielumu šajā gadījumā, var secināt, ka no terminu skaita viedokļa vēlams ir beta sadalījums.
4. attēlā parādīta kļūdu izmaiņu dinamika, palielinoties nejaušo lielumu asimetrijai. Nezaudējot vispārīgumu, visu sākotnējo beta vērtību parametrs p tika fiksēts ar vērtību 2, un parametra q + 1 izmaiņu dinamika ir parādīta uz abscisu ass. Ordinātu ass grafikos parāda aproksimācijas kļūdu. Eksperimenta rezultāti ar citām parametru vērtībām kopumā ir līdzīgi.
Šajā gadījumā ir arī skaidrs, ka ir vēlams tuvināt beta vērtību summu pēc beta sadalījuma.
4. attēls - Izmaiņas aproksimācijas kļūdās, palielinoties lielumu asimetrijai
Pēc tam mēs analizējām kļūdu izmaiņas, mainot sākotnējo beta vērtību diapazonu. 5. attēlā parādīti kļūdu mērīšanas rezultāti četru beta vērtību summai, no kurām trīs ir sadalītas intervālā, un ceturtās diapazons secīgi palielinās (tas ir attēlots uz abscisu).
5. attēls - Kļūdu izmaiņas, mainot nejaušo lielumu sadalījuma intervālus
Pamatojoties uz 3.-5.attēlos redzamajām grafiskajām ilustrācijām, kā arī ņemot vērā eksperimenta rezultātā iegūtos datus, var secināt, ka beta sadalījumu ieteicams izmantot, lai tuvinātu beta vērtību summu.
Kā liecina iegūtie rezultāti, 98% gadījumu kļūda, tuvinot pētāmo vērtību ar beta likumu, būs mazāka nekā normālā sadalījuma tuvināšanā. Beta aproksimācijas kļūdas vidējā vērtība galvenokārt būs atkarīga no to intervālu platuma, pa kuriem katrs termins ir sadalīts. Šajā gadījumā šis novērtējums (atšķirībā no parastā likuma) ļoti maz ir atkarīgs no nejaušo lielumu simetrijas, kā arī no terminu skaita. 4. Pieteikumi Viena no iegūto rezultātu pielietošanas jomām ir projektu vadības uzdevums. Projekts ir savstarpēji atkarīgu sērijveida paralēlu darbu kopa ar nejaušu pakalpojuma ilgumu. Šajā gadījumā projekta ilgums būs nejauša vērtība. Acīmredzot šī lieluma sadales likuma novērtējums ir interesants ne tikai plānošanas posmos, bet arī iespējamo situāciju analīzē, kas saistītas ar visu darbu priekšlaicīgu pabeigšanu. Ņemot vērā to, ka projekta aizkavēšanās var radīt dažādas nelabvēlīgas situācijas, tai skaitā naudas sodus, projekta ilgumu raksturojoša gadījuma lieluma sadalījuma likuma noteikšana šķiet ārkārtīgi svarīgs praktisks uzdevums.
Pašlaik šim novērtējumam tiek izmantota PERT metode. Pēc viņa pieņēmumiem, projekta ilgums ir normāli sadalīts gadījuma lielums `eta` ar parametriem:
"a = summa_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)", (16)
`sigma = sqrt (summa_ (i = 1) ^ k D eta_ (i)) . (17)
Šeit k ir darba vietu skaits projekta kritiskajā ceļā; `eta_ (1)`, ..., `eta_ (k)` - šo darbu ilgums.
Apskatīsim PERT metodes korekciju, ņemot vērā iegūtos rezultātus. Šajā gadījumā pieņemsim, ka projekta ilgums ir sadalīts saskaņā ar beta likumu ar parametriem (13) un (14).
Iegūtos rezultātus izmēģināsim praksē. Apsveriet projektu, kas definēts ar tīkla diagrammu, kas parādīta 6. attēlā.
6. attēls - Tīkla diagrammas piemērs
Šeit grafikas malas norāda darbus, malu svari norāda darbu numurus; virsotnes kvadrātos – notikumi, kas apzīmē darba sākumu vai beigas. Ļaujiet darbiem dot 1. tabulā norādītos ilgumus.
1. tabula - Projekta darbu laika raksturojums
| Darba nr. |
min |
maks |
Paklājs. stāvēt |
| 1
|
5
|
10
|
9
|
| 2
|
3
|
6
|
4
|
| 3
|
6
|
8
|
7
|
| 4
|
4
|
7
|
6
|
| 5
|
4
|
7
|
7
|
| 6
|
2
|
5
|
3
|
| 7
|
4
|
8
|
6
|
| 8
|
4
|
6
|
5
|
| 9
|
6
|
8
|
7
|
| 10
|
2
|
6
|
4
|
| 11
|
9
|
13
|
12
|
| 12
|
2
|
6
|
3
|
| 13
|
5
|
7
|
6
|
Iepriekš minētajā tabulā min ir īsākais laiks, kurā šo darbu var pabeigt; max - ilgākais laiks; Paklājs. stāvēt ir beta sadalījuma matemātiskais sagaidāmais rādītājs, kas parāda paredzamo laiku, lai pabeigtu noteiktu darbu.
Mēs modelēsim projekta izpildes procesu, izmantojot īpaši izstrādātu simulācijas modelēšanas sistēmu. Tas ir sīkāk aprakstīts rakstā. Kā izvade jums jāiegūst:
Projektu histogrammas;
Projekta izpildes varbūtību novērtējums noteiktā intervālā, pamatojoties uz simulācijas sistēmas statistikas datiem;
Varbūtību novērtēšana, izmantojot normālos un beta sadalījumus.
Veicot projekta izpildes simulāciju 10 000 reižu, tika iegūts servisa ilguma paraugs, kura histogramma parādīta 7. attēlā.
7. attēls - Projekta ilguma histogramma
Ir acīmredzams, ka 7. attēlā redzamās histogrammas izskats atšķiras no normālā sadalījuma likuma blīvuma grafika.
Mēs izmantosim formulas (8) un (9), lai atrastu galīgo matemātisko cerību un dispersiju. Mēs iegūstam:
`M eta = 27; D eta = 1,3889.`
Varbūtība sasniegt noteiktu intervālu tiks aprēķināta, izmantojot labi zināmo formulu:
`P (l (18)
kur "f_ (eta) (x)" ir nejaušā mainīgā "eta" sadalījuma likums, l un r- interesējošā intervāla robežas.
Aprēķināsim parametrus galīgajam beta sadalījumam. Šim nolūkam mēs izmantojam formulas (13) un (14). Mēs iegūstam:
p = 13,83; q = 4,61.
Beta sadalījuma robežas nosaka ar (10) un (11) formulām. Būs:
Pētījuma rezultāti ir doti 2. tabulā. Nezaudējot vispārīgumu, izvēlēsimies modeļa izgājienu skaitu, kas vienāds ar 10000. Ailē "Statistika" tiek aprēķināta uz statistikas datu bāzes iegūtā varbūtība. Ailē "Normāls" ir parādīta varbūtība, kas aprēķināta saskaņā ar normālā sadalījuma likumu, kas tagad tiek izmantota problēmas risināšanai. Beta kolonnā ir varbūtības vērtība, kas aprēķināta no beta sadalījuma.
2. tabula. Varbūtības aplēšu rezultāti
Pamatojoties uz 2. tabulā sniegtajiem rezultātiem, kā arī līdzīgiem rezultātiem, kas iegūti citu projektu izpildes procesa modelēšanas gaitā, var secināt, ka iegūtie gadījuma lielumu summas (2) aproksimācijas aprēķini ar beta. izplatīšana ļauj iegūt šīs problēmas risinājumu ar lielāku precizitāti, salīdzinot ar esošajiem kolēģiem. Šī darba mērķis bija atrast tādu beta vērtību summas sadalījuma likuma tuvinājumu, kas atšķirtos ar mazāko kļūdu salīdzinājumā ar citiem analogiem. Tika iegūti šādi rezultāti.
1. Eksperimentāli tika izvirzīta hipotēze par iespēju tuvināt beta vērtību summu, izmantojot beta sadalījumu.
2. Izstrādāts programmatūras rīks, kas ļauj iegūt kļūdas skaitlisko vērtību, kas izriet no vēlamā blīvuma aproksimācijas ar normālā sadalījuma likumu un beta likumu. Šīs programmas pamatā ir rekursīvs algoritms, kas ļauj skaitliski noteikt beta vērtību summas blīvumu ar noteiktu blīvumu, kas ir sīkāk aprakstīts.
3. Tika izveidots skaitļošanas eksperiments, kura mērķis bija noteikt labāko aproksimāciju, veicot kļūdu salīdzinošo analīzi dažādos apstākļos. Eksperimentālie rezultāti parādīja iespējamību izmantot beta sadalījumu kā labāko beta vērtību summas sadalījuma blīvuma tuvinājumu.
4. Tiek parādīts piemērs, kurā iegūtajiem rezultātiem ir praktiska nozīme. Tie ir projektu vadības uzdevumi ar nejaušiem izpildes laikiem atsevišķiem darbiem. Būtiska šādu uzdevumu problēma ir ar projekta novēlotu pabeigšanu saistīto risku izvērtēšana. Iegūtie rezultāti ļauj iegūt precīzākus vēlamo varbūtību aprēķinus un līdz ar to samazināt kļūdu iespējamību plānošanā.
Bibliogrāfija
|
|
Tu neesi vergs!
Slēgts izglītības kurss elites bērniem: "Patiesais pasaules iekārtojums."
http://noslave.org
No Vikipēdijas, bezmaksas enciklopēdijas
Beta izplatīšana
Varbūtības blīvums
Varbūtības blīvuma funkcija Beta sadalījumam |
Sadales funkcija
Beta sadalījuma kumulatīvā sadalījuma funkcija |
| Apzīmējums
|
texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet matemātikā / README.): \ Text (Be) (\ alfa, \ beta)
|
| Iespējas
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatīt matemātiku / README — noskaņošanas atsauce.): \ Alpha> 0
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet math / README, lai saņemtu palīdzību konfigurācijā.): \ Beta> 0
|
| Pārvadātājs
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet matemātikas / README konfigurācijas palīdzību.): X \ in
|
| Varbūtības blīvums
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet matemātikā / README.): \ Frac (x ^ (\ alfa-1) (1-x) ^ (\ beta-1)) (\ mathrm (B) (\ alfa, \ beta))
|
| Sadales funkcija
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet math / README, lai saņemtu palīdzību konfigurācijā.): I_x (\ alfa, \ beta)
|
| Paredzamā vērtība
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku / README, lai saņemtu palīdzību par regulēšanu.): \ Frac (\ alfa) (\ alfa + \ beta)
|
| Mediāna
|
|
| Mode
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku / README, lai saņemtu palīdzību par regulēšanu: \ Frac (\ alfa-1) (\ alfa + \ beta-2) priekš Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku / README, lai saņemtu palīdzību par regulēšanu.): \ Alpha> 1, \ beta> 1
|
| Izkliede
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku / README, lai saņemtu palīdzību par iestatīšanu.): \ Frac (\ alfa \ beta) ((\ alfa + \ beta) ^ 2 (\ alfa + \ beta + 1))
|
| Asimetrijas koeficients
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet matemātikas / README.: \ Frac (2 \, (\ beta- \ alfa) \ sqrt (\ alfa + \ beta + 1)) ((\ alfa + \ beta + 2) \ sqrt (\ alpha \ beta))
|
| Kurtozes koeficients
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet matemātikas / README. : 6 \, \ frac (\ alfa ^ 3- \ alfa ^ 2 (2 \ beta-1) + \ beta ^ 2 (\ beta + 1) -2 \ alfa \ beta ( \ beta + 2)) (\ alfa \ beta (\ alfa + \ beta + 2) (\ alfa + \ beta + 3))
|
| Diferenciālā entropija
|
|
| Momentu ģenerēšanas funkcija
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet math / README, lai saņemtu palīdzību par iestatīšanu: 1 + \ summa_ (k = 1) ^ (\ infty) \ left (\ prod_ (r = 0) ^ (k-1) \ frac (\ alfa + r) (\ alfa + \ beta + r) \ pa labi) \ frac (t ^ k) (k
!}
|
| Raksturīga funkcija
|
Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms texvc nav atrasts; Skatiet math / README, lai saņemtu palīdzību par iestatīšanu.): () _1F_1 (\ alfa; \ alfa + \ beta; i \, t)
|
Beta izplatīšana varbūtību teorijā un statistikā divu parametru absolūti nepārtrauktu sadalījumu saime. Izmanto, lai aprakstītu nejaušus mainīgos, kuru vērtības ir ierobežotas līdz ierobežotam intervālam.
Definīcija
|
| 90 pikseļi |
Varbūtību sadalījumi |
|---|
| Viendimensionāls |
Daudzdimensionāls |
|---|
| Diskrēts:
|
Bernulli | Binomiāls | Ģeometriski | Hiperģeometrisks | Logaritmisks | Negatīvs binomiāls | Poisson | Diskrēta uniforma |
Multinomiāls |
|---|
| Absolūti nepārtraukti:
|
Beta| Weibulla | Gamma | Hipereksponenciāls | Gompertz izplatīšana | Kolmogorovs | Košī | Laplass | Lognormal | | | Kopula |
|---|
Fragments, kas raksturo Beta izplatīšanu
Man acīs mirdzēja asaras... Un man par to nemaz nebija kauna. Es dotu daudz, lai satiktu kādu no viņiem dzīvu! .. It īpaši Magdalēnu. Kāda brīnišķīgā, senā maģija iedegās šīs apbrīnojamās sievietes dvēselē, kad viņa radīja savu burvju valstību?! Valstība, kurā valdīja Zināšanas un Sapratne un kuras mugurkauls bija Mīlestība. Tikai nevis tā mīlestība, par kuru kliedza “svētā” baznīca, šo brīnišķīgo vārdu nolietojusi tiktāl, ka es to vairs negribēju dzirdēt, bet gan to skaisto un tīro, īsto un drosmīgo, vienīgo un apbrīnojamo MĪLESTĪBU, ar kuru nosauc spēkus dzima ... un ar kura vārdu kaujā metās senie karotāji ... ar kura vārdu dzima jauna dzīvība ... ar kura vārdu mūsu pasaule mainījās un kļuva labāka ... Šo Mīlestību nesa Zelta Marija. Un tieši šai Marijai es gribētu paklanīties... Par visu, ko viņa nesa, par viņas tīro, gaišo DZĪVI, par viņas drosmi un drosmi, un par Mīlestību.
Bet diemžēl to nebija iespējams izdarīt ... Viņa dzīvoja pirms gadsimtiem. Un es nevarēju būt tas, kurš viņu pazina. Neticami dziļas, vieglas skumjas pēkšņi pārņēma manu galvu, un rūgtas asaras lija...
- Nu ko tu, draugs!.. Tevi gaida citas bēdas! – Severs pārsteigts iesaucās. -Lūdzu, nomierinies...
Viņš maigi pieskārās manai rokai un pamazām skumjas pazuda. Palika tikai rūgtums, it kā es būtu pazaudējis kaut ko vieglu un dārgu ...
- Tu nevari atslābināties... Tevi gaida karš, Isidora.
– Sakiet, Sever, vai Magdalēnas dēļ katariešu mācību sauca par Mīlestības mācību?
– Šeit tev nav gluži taisnība, Izidora. Nezinātājs viņu sauca par Mīlestības Mācību. Tiem, kas saprata, tam bija pavisam cita nozīme. Ieklausies vārdu skanējumā, Isidora: mīlestība franču skaņās – amor – vai ne? Un tagad noņemiet šo vārdu, atdalot no tā burtu "a" ... Izrādīsies a'mor ("mort") - bez nāves ... Tā ir Magdalēnas mācības - Nemirstīgo mācības - patiesā nozīme. Kā jau iepriekš teicu - viss vienkārši, Izidora, ja nu vienīgi pareizi skatīties un klausīties... Nu un tiem, kas nedzird - lai paliek Mīlestības Mācība... tas arī ir skaisti.
Es stāvēju pilnīgi apmulsusi. Nemirstīgo mācība! .. Daariya ... Tātad, kāda bija Radomira un Magdalēnas mācība! .. Ziemeļi mani pārsteidza daudzas reizes, bet nekad agrāk es jutos tik šokēta! .. Katariešu mācība mani piesaistīja ar tā spēcīgais, maģiskais spēks, un es nevarēju sev piedot, ka iepriekš par to nerunāju ar ziemeļiem.
- Saki, Sever, vai no Kataras rekordiem ir kas palicis pāri? Kaut kas noteikti ir izdzīvojis, vai ne? Pat ja ne paši Perfektie, tad vismaz tikai mācekļi? Es domāju kaut ko par viņu reālo dzīvi un mācīšanu?
– Diemžēl – nē, Izidora. Inkvizīcija iznīcināja visu un visur. Viņas vasaļi pēc pāvesta pavēles pat tika nosūtīti uz citām valstīm, lai iznīcinātu katru manuskriptu, katru atlikušo bērza mizas gabalu, ko viņi varēja atrast... Mēs meklējām vismaz kaut ko, bet mēs nevarējām neko glābt.
– Nu, kā ar pašiem cilvēkiem? Vai nevarētu palikt kaut kas cilvēkiem, kas to saglabātu cauri gadsimtiem?
- Es nezinu, Izidora ... Es domāju, pat ja kādam bija kāds ieraksts, laika gaitā tas tika mainīts. Galu galā ir dabiski, ka cilvēks visu pārveido savā veidā... Un jo īpaši bez izpratnes. Tāpēc maz ticams, ka kaut kas ir saglabājies kā bijis. Žēl... Tiesa, mēs esam saglabājuši Radomira un Magdalēnas dienasgrāmatas, bet tas bija pirms katara izveides. Lai gan, manuprāt, mācība nav mainījusies.
- Atvainojos par manām apjukušajām domām un jautājumiem, Sever. Es redzu, ka esmu daudz zaudējis, nenākot pie jums. Bet tomēr es joprojām esmu dzīvs. Un kamēr es elpoju, es joprojām varu jums pajautāt, vai ne? Pastāstiet, kā beidzās Svetodara dzīve? Atvainojiet, ka pārtraucu.
Severs sirsnīgi pasmaidīja. Viņam patika mana nepacietība un manas slāpes pēc "laika", lai uzzinātu. Un viņš ar prieku turpināja.
Pēc atgriešanās Svetodars tikai divus gadus dzīvoja un mācīja Oksitānijā, Isidora. Taču šie gadi kļuva par visdārgākajiem un laimīgākajiem viņa klaiņojošās dzīves gadiem. Viņa dienas, Belojara jautro smieklu apspīdētas, pagāja viņa mīļotajā Montsegurā, kuru ieskauj Ideālie, kuriem Svetodars godīgi un sirsnīgi centās nodot to, ko tāls Klaidonis viņam bija mācījis daudzus gadus.
- Bernulli formula.
Pati pati izplatīšana
tiek saukti binomiāls.
Binomiālā sadalījuma parametri ir veiksmes varbūtība p (q = 1 - p) un izmēģinājumu skaits n. Binomiālais sadalījums ir noderīgs, lai aprakstītu binomiālo notikumu sadalījumu, piemēram, vīriešu un sieviešu skaitu nejauši izvēlētajā. kompānijas. Binomiālā sadalījuma izmantošana spēļu problēmās ir īpaši svarīga.
Precīza n mēģinājumu veiksmes varbūtības m formula ir uzrakstīta šādi:
kur p ir veiksmes varbūtība; q ir 1-p, q> = 0, p + q = 1; n - testu skaits, m = 0,1 ... m
Binomiālā sadalījuma galvenās īpašības:
6. Puasona formula un Puasona sadalījums.
Lai izmēģinājumu skaits n ir liels, varbūtība p ir maza un
np ir mazs. Tad m veiksmes varbūtību n izmēģinājumos var aptuveni noteikt ar Puasona formula:
.
gadījuma lielums ar sadalījuma sēriju m,
ir Puasona sadalījums. Jo vairāk n, jo precīzāka ir Puasona formula. Aptuveniem aprēķiniem izmanto formulu n = 10,
0–2, ja n = 100
0 - 3. Inženieraprēķinos formulu izmanto, ja n = 20,
0-3, n = 100,
0 - 7. Precīziem aprēķiniem formulu izmanto, ja n = 100,
0–7, n = 1000,
0
– 15.
Aprēķināsim nejauša lieluma ar Puasona sadalījumu matemātisko cerību un dispersiju.
Puasona nejaušā mainīgā galvenās īpašības:
Puasona izplatīšanas grafiks:
7. Ģeometriskais sadalījums.
Apsveriet Bernulli shēmu. Apzīmēsim X - mēģinājumu skaitu pirms pirmā panākuma, ja veiksmes varbūtība vienā izmēģinājumā ir p. Ja pirmais tests ir veiksmīgs, tad X = 0. Tāpēc
... Ja X = 1, t.i. pirmais tests ir nesekmīgs, bet otrais ir sekmīgs, tad pēc reizināšanas teorēmas
... Tāpat, ja X = n, tad visi testi līdz n-tajam testam ir nesekmīgi un
... Sastādīsim nejauša lieluma X sadalījuma sēriju
Nejaušam lielumam ar šādu sadalījuma sēriju ir ģeometriskais sadalījums.
Ļaujiet mums pārbaudīt normalizācijas nosacījumu:
8. Hiperģeometriskais sadalījums.
Šis ir nejauša lieluma X diskrēts varbūtības sadalījums ar veseliem skaitļiem m = 0, 1,2, ..., n ar varbūtībām:
kur N, M un n ir nenegatīvi veseli skaitļi un M< N, n < N.
Hiperģeometriskā sadalījuma matemātiskā cerība nav atkarīga no N un sakrīt ar atbilstošā binoma sadalījuma matemātisko gaidu µ = np.
Hiperģeometriskā sadalījuma izkliede 
nepārsniedz binomiālā sadalījuma dispersiju npq. Jebkuras hiperģeometriskā sadalījuma secības gadījumi tiecas uz atbilstošajām binomiālā sadalījuma momentu vērtībām.
9. Beta izplatīšana.
Beta sadalījumam ir šādas formas blīvums:
Standarta beta sadalījums ir koncentrēts diapazonā no 0 līdz 1. Lietojot lineāras transformācijas, beta vērtību var pārveidot tā, lai tā iegūtu vērtības jebkurā diapazonā.
Lieluma ar beta sadalījumu galvenie skaitliskie raksturlielumi:
Lietvārds., Sinonīmu skaits: 1 izplatība (62) ASIS sinonīmu vārdnīca. V.N. Trišins. 2013... Sinonīmu vārdnīca
beta izplatīšana- 1.45. beta sadalījums Nepārtraukta gadījuma lieluma X varbūtības sadalījums, kuram var būt jebkuras vērtības no 0 līdz 1, ieskaitot robežas, un kura sadalījuma blīvums pie 0 £ x £ 1 un parametriem m1> 0, m2> 0, kur Г .. ... Normatīvās un tehniskās dokumentācijas terminu vārdnīca-uzziņu grāmata
beta izplatīšana- Nepārtraukta gadījuma lieluma, kas iegūst vērtības segmentā, varbūtības sadalījums, kura blīvumu nosaka formula, kur, a, b> 0 un ir gamma funkcija. Piezīme. Tās īpašie gadījumi tiek plaši izmantoti ...... Socioloģiskās statistikas vārdnīca
Skatīt plānu... Sinonīmu vārdnīca
Varbūtību teorijā un matemātiskajā statistikā Dirihlē sadalījums (nosaukts Johana Pītera Gustava Ležēna Dirihlē vārdā), bieži apzīmēts ar Dir (α), ir nepārtrauktu daudzfaktoru varbūtības sadalījumu saime, ko parametrē vektors α ... ... Wikipedia
Beta: Vikivārdnīcā ir ieraksts "beta" Beta (burts) (β) ir grieķu alfabēta otrais burts. Beta testēšana Beta koeficients Beta funkcija (matemātika) Beta sadalījums (varbūtības teorija ... Wikipedia
Varbūtību blīvums ... Wikipedia
Varbūtības sadalījums ir likums, kas apraksta gadījuma lieluma vērtību diapazonu un to pieņemšanas varbūtību. Saturs 1 Definīcija 2 veidi, kā definēt sadalījumus ... Wikipedia
Izplatīšana. Pīrsona sadalījums Varbūtības blīvums ... Wikipedia
Grāmatas
- Uzņemšanas salīdzinājums izglītības programmās universitātē, pamatojoties uz olimpiāžu rezultātiem un USE punktu skaitu, O. V. Poldins. Rakstā, lai salīdzinātu uzņemšanas kvalitāti universitātēs dažādās izglītības programmās, tiek piedāvāts izmantot koriģētās pieprasījuma līknes, kas iegūtas no ...
