Escrevendo números para Sistema Binário o cálculo é realizado usando apenas dois dígitos - 0 e 1. Portanto, este sistema é mais fácil de implementar na prática em computadores e dispositivos eletrônicos. Vamos considerar como converter um número para o sistema binário do decimal usual sem a ajuda de uma calculadora e de programas de computador.
Números inteiros
Para converter um inteiro de decimal em binário, você deve dividi-lo por dois e, em seguida, dividir cada quociente resultante por dois até obter um. O número binário necessário é escrito como uma sequência de dígitos igual ao último quociente (um) e todos os resíduos resultantes, começando com o último.
Aqui estão alguns exemplos.
Você precisa converter o número 23 para o sistema binário
- 23: 2 = 11 (resto 1)
- 11: 2 = 5 (resto 1)
- 5: 2 = 2 (resto 1)
- 2: 2 = 1 (resto 0)
Como resultado, 23 10 = 10111 2
É necessário converter o número 88 para o sistema binário:
- 88: 2 = 44 (resto 0)
- 44: 2 = 22 (resto 0)
- 22: 2 = 11 (resto 0)
- 11: 2 = 5 (resto 1)
- 5: 2 = 2 (resto 1)
- 2: 2 = 1 (resto 0)
Como resultado, 88 10 = 1011000 2
Números fracionários
Agora, vamos examinar um algoritmo sobre como converter números decimais fracionários no sistema binário. Para fazer isso, trabalhamos com a parte inteira do número de acordo com o procedimento descrito acima e multiplicamos a parte fracionária por dois. Mais uma vez, multiplicamos a parte fracionária do produto resultante por dois e assim por diante até que a parte fracionária se torne igual a zero ou até que a aproximação necessária seja obtida para um determinado número de dígitos binários após a vírgula decimal. Parte fracionária desejada número binário obtemos como uma sequência de dígitos após a vírgula decimal, igual a todas as partes dos produtos obtidos, começando com o primeiro.
aqui estão alguns exemplos:
Você precisa traduzir o número 5,625 em binário:
- Vejamos primeiro a parte inteira do número decimal:
- 5: 2 = 2 (resto 1)
- 2: 2 = 1 (resto 0)
- Agora a parte fracionária:
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
Como resultado, 5 10 = 101 2
Como resultado, 0,125 10 = 0,101 2
Como resultado, 5,625 10 = 101,101 2
É necessário converter 8,35 para o sistema binário com uma precisão de 5 casas decimais:
- Vamos começar com a parte inteira:
- 8: 2 = 4 (resto 0)
- 4: 2 = 2 (resto 0)
- 2: 2 = 1 (resto 0)
- Parte fracionária de um número:
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
Como resultado, 8 10 = 1000 2
Como resultado, 0,35 10 = 0,01011 2 com uma precisão de 5 casas decimais.
Como resultado, 8,35 10 = 1000,01011 2 com uma precisão de 5 casas decimais.
Com isso calculadora online você pode transferir números inteiros e fracionários de um sistema numérico para outro. Uma solução detalhada com explicações é fornecida. Para traduzir, insira o número original, defina a base da base da base da base do número, defina a base da base para a qual deseja traduzir o número e clique no botão "Traduzir". Para a parte teórica e exemplos numéricos, veja abaixo.
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Conversão de números inteiros e fracionários de um sistema numérico para qualquer outro - teoria, exemplos e soluções
Existem posições e não sistemas de posicionamento acerto de contas. O sistema de numeração arábica que usamos na vida cotidiana é posicional, mas o romano não é. Em sistemas de numeração posicional, a posição de um número determina exclusivamente a magnitude do número. Vejamos isso usando o número decimal 6372 como exemplo. Vamos enumerar esse número da direita para a esquerda começando do zero:
Então, o número 6372 pode ser representado da seguinte forma:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
O número 10 define o sistema numérico (em nesse caso isto é 10). Os valores da posição de um determinado número são considerados em graus.
Considere um verdadeiro número decimal 1287.923. Vamos numerá-lo começando da posição zero do número da casa decimal à esquerda e à direita:
Então, o número 1287.923 pode ser representado como:
1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.
Em geral, a fórmula pode ser representada da seguinte forma:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
onde Ц n é um inteiro na posição n, Ä -k - número fracionário na posição (-k), s- sistema numérico.
Algumas palavras sobre sistemas numéricos. O número no sistema numérico decimal consiste em muitos dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), no sistema numérico octal - do conjunto de números (0,1, 2,3,4,5,6,7), no sistema de numeração binária - do conjunto de dígitos (0,1), no sistema de numeração hexadecimal - do conjunto de números (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), onde A, B, C, D, E, F correspondem aos números 10,11 , 12,13,14,15. Os números em sistemas diferentes acerto de contas.
| tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notação | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UMA |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversão de números de um sistema numérico para outro
Para converter números de um sistema numérico para outro, a maneira mais fácil é primeiro converter o número no sistema numérico decimal e, em seguida, no sistema numérico decimal, traduzi-lo no sistema numérico necessário.
Converter números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal
Usando a fórmula (1), você pode converter números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal.
Exemplo 1. Converta o número 1011101.001 da notação binária (SS) para SS decimal. Solução:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Exemplo2. Converta 1011101.001 do sistema numérico octal (SS) para o SS decimal. Solução:
Exemplo 3 ... Converta o número AB572.CDF da base hexadecimal para SS decimal. Solução:
Aqui UMA-substituído por 10, B- às 11, C- aos 12, F- por volta de 15.
Conversão de números de um sistema numérico decimal para outro sistema numérico
Para converter números do sistema numérico decimal para outro sistema numérico, você precisa traduzir separadamente a parte inteira do número e a parte fracionária do número.
A parte inteira do número é transferida do SS decimal para outro sistema numérico - dividindo-se sequencialmente toda a parte do número pela base do sistema numérico (para um SS binário - por 2, para um SS 8-ário - por 8, para um 16-ário - por 16, etc.)) até que um resíduo inteiro seja obtido, menos do que a base CC.
Exemplo 4 ... Vamos converter o número 159 de SS decimal em SS binário:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Como pode ser visto na Fig. 1, o número 159 quando dividido por 2 dá o quociente 79 e o resto 1. Além disso, o número 79 quando dividido por 2 dá o quociente 39 e o resto 1, etc. Como resultado, tendo construído um número a partir do restante da divisão (da direita para a esquerda), obtemos o número no SS binário: 10011111 ... Portanto, podemos escrever:
159 10 =10011111 2 .
Exemplo 5 ... Vamos converter o número 615 de SS decimal em SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Ao converter um número de SS decimal em SS octal, você precisa dividir sequencialmente o número por 8 até obter um resto inteiro menor que 8. Como resultado, construindo o número a partir dos restos da divisão (da direita para a esquerda), obtemos o número em SS octal: 1147 (ver Fig. 2). Portanto, podemos escrever:
615 10 =1147 8 .
Exemplo 6 ... Converta o número 19673 de decimal em hexadecimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Como pode ser visto na Figura 3, dividindo sequencialmente 19673 por 16, obtemos os restos 4, 12, 13, 9. No sistema hexadecimal, o número 12 corresponde a C, o número 13 a D. Portanto, nosso número hexadecimal é 4CD9.
Para converter as frações decimais corretas (um número real com uma parte inteira zero) em uma base s, você precisa dado número multiplique sequencialmente por s até obter um zero puro na parte fracionária ou obter o número necessário de dígitos. Se, durante a multiplicação, for obtido um número com uma parte inteira diferente de zero, então essa parte inteira não é levada em consideração (eles são adicionados sequencialmente ao resultado).
Vamos considerar o acima com exemplos.
Exemplo 7 ... Converta o número 0,214 de decimal em SS binário.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Como pode ser visto na Fig. 4, o número 0,214 é sequencialmente multiplicado por 2. Se a multiplicação resultar em um número diferente de zero com uma parte inteira, então a parte inteira é escrita separadamente (à esquerda do número), e o número é escrito com uma parte inteira zero. Se, ao multiplicar, um número com uma parte inteira zero for obtido, então zero é escrito à esquerda dele. O processo de multiplicação continua até que um zero puro seja obtido na parte fracionária ou que o número necessário de dígitos seja obtido. Escrevendo números em negrito (Fig. 4) de cima para baixo, obtemos o número necessário no sistema numérico binário: 0. 0011011 .
Portanto, podemos escrever:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemplo 8 ... Vamos converter o número 0,125 do sistema numérico decimal para o SS binário.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Para converter o número 0,125 de SS decimal em binário, esse número é multiplicado sequencialmente por 2. Na terceira etapa, resultou 0. Portanto, foi obtido o seguinte resultado:
0.125 10 =0.001 2 .
Exemplo 9 ... Vamos converter o número 0,214 de decimal em hexadecimal SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Seguindo os exemplos 4 e 5, obtemos os números 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mas no SS hexadecimal, os números 12 e 11 correspondem aos números C e B. Portanto, temos:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Exemplo 10 ... Conversão de números decimais em decimais SS 0,512.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Conseguiu:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemplo 11 ... Convertendo o número 159,125 de SS decimal em binário SS. Para fazer isso, traduzimos separadamente a parte inteira do número (Exemplo 4) e a parte fracionária do número (Exemplo 8). Além disso, combinando esses resultados, obtemos:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemplo 12 ... Convertendo o número 19673.214 de decimal em hexadecimal SS. Para fazer isso, traduzimos separadamente a parte inteira do número (Exemplo 6) e a parte fracionária do número (Exemplo 9). Além disso, combinando esses resultados, obtemos.
1. Conta ordinal em vários sistemas numéricos.
Na vida moderna, usamos sistemas numéricos posicionais, ou seja, sistemas nos quais o número denotado por um número depende da posição do número no registro numérico. Portanto, a seguir iremos apenas falar sobre eles, omitindo o termo "posicional".
Para aprender a traduzir números de um sistema para outro, vamos entender como ocorre o registro sequencial de números usando o sistema decimal como exemplo.
Como temos um sistema numérico decimal, temos 10 caracteres (dígitos) para construir os números. Começamos a contagem ordinal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Os números acabaram. Aumentamos a capacidade do dígito do número e zeramos o bit menos significativo: 10. Em seguida, aumentamos o bit menos significativo novamente até que todos os dígitos se esgotem: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Aumente o bit mais significativo em 1 e zere o menos significativo: 20. Quando usamos todos os dígitos para ambos os dígitos (obtemos o número 99), aumentamos novamente a capacidade de dígitos do número e redefinimos os dígitos existentes: 100. E assim por diante.
Vamos tentar fazer o mesmo no 2º, 3º e 5º sistemas (vamos inserir a designação para o 2º sistema, para o 3º, etc.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Se o sistema numérico tiver uma base de mais de 10, teremos que inserir caracteres adicionais, é comum inserir letras do alfabeto latino. Por exemplo, para o sistema 12 ário, além de dez dígitos, precisamos de duas letras:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversão do sistema numérico decimal para qualquer outro.
Para converter um número decimal inteiro positivo em um sistema numérico com uma base diferente, você precisa dividir esse número pela base. Divida o quociente resultante pela base novamente, e ainda mais até que o quociente seja menor que a base. Como resultado, escreva o último quociente e todos os restantes começando do último em uma linha.
Exemplo 1. Convertendo o 46 decimal em sistema numérico binário.
Exemplo 2. Convertendo Decimal 672 em sistema numérico Octal.
Exemplo 3. Converta o número decimal 934 em notação hexadecimal.
3. Conversão de qualquer sistema numérico para decimal.
Para aprender a converter números de qualquer outro sistema em decimal, vamos analisar a notação usual de um número decimal.
Por exemplo, o número decimal 325 é 5 unidades, 2 dezenas e 3 centenas, ou seja,
A situação é exatamente a mesma em outros sistemas numéricos, só que multiplicaremos não por 10, 100, etc., mas pelo grau da base do sistema numérico. Por exemplo, vamos pegar o número ternário 1201. Vamos numerar os dígitos da direita para a esquerda começando de zero e representar nosso número como a soma dos produtos de um dígito por um três no grau do dígito do número:
Esta é a representação decimal do nosso número, ou seja,
Exemplo 4. Converter o número octal 511 em notação decimal.
Exemplo 5. Vamos converter o número hexadecimal 1151 no sistema numérico decimal.
4. Conversão do sistema binário para o sistema com base "potência de dois" (4, 8, 16, etc.).
Para converter um número binário em um número com "potência de dois" de base, é necessário dividir a sequência binária em grupos de acordo com o número de dígitos igual à potência da direita para a esquerda e substituir cada grupo pelo dígito correspondente novo sistema acerto de contas.
Por exemplo, converta o binário 1100001111010110 em octal. Para fazer isso, nós o dividimos em grupos de 3 caracteres, começando da direita (desde), e então usamos a tabela de correspondência e substituímos cada grupo por um novo dígito:
Aprendemos como construir uma tabela de correspondência na cláusula 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Aqueles.
Exemplo 6. Converta o binário 1100001111010110 em um número hexadecimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UMA |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Transfira do sistema com a "potência de dois" base (4, 8, 16, etc.) para o binário.
Esta tradução é semelhante à anterior, realizada na direção oposta: substituímos cada dígito por um grupo de dígitos no sistema binário da tabela de pesquisa.
Exemplo 7. Vamos traduzir o número hexadecimal С3A6 em um sistema numérico binário.
Para fazer isso, substitua cada dígito do número por um grupo de 4 dígitos (desde) da tabela de correspondência, adicionando, se necessário, o grupo com zeros no início:
