მათემატიკური სქემები მოდელირების სისტემებისთვის

ძირითადი მიდგომები სისტემების მათემატიკური მოდელების აგებისადმი

საწყისი ინფორმაცია სისტემების ფუნქციონირების პროცესების მათემატიკური მოდელების აგებისას არის მონაცემები გამოკვლეული (დაპროექტებული) სისტემის დანიშნულებისა და მუშაობის პირობების შესახებ. ს... ეს ინფორმაცია განსაზღვრავს სისტემის მოდელირების მთავარ მიზანს. სდა გაძლევთ საშუალებას ჩამოაყალიბოთ მოთხოვნები შემუშავებული მათემატიკური მოდელისთვის მ.უფრო მეტიც, აბსტრაქციის დონე დამოკიდებულია იმ კითხვების დიაპაზონზე, რომლებზეც სისტემის მკვლევარს სურს მიიღოს პასუხი მოდელის გამოყენებით და გარკვეულწილად განსაზღვრავს მათემატიკური სქემის არჩევანს.

მათემატიკური სქემები.მათემატიკური სქემის ცნების შემოღება საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ მათემატიკა არა როგორც გამოთვლის მეთოდი, არამედ როგორც აზროვნების მეთოდი, როგორც ცნებების ჩამოყალიბების საშუალება, რაც ყველაზე მნიშვნელოვანია სისტემის სიტყვიერი აღწერიდან გადასვლისას. მისი ფუნქციონირების პროცესის ფორმალური წარმოდგენა რაიმე მათემატიკური მოდელის (ანალიტიკური ან იმიტაციის) სახით. მათემატიკური სქემის გამოყენებისას, უპირველეს ყოვლისა, S სისტემის მკვლევარი დაინტერესებული უნდა იყოს შესწავლილ სისტემაში რეალური პროცესების კონკრეტული სქემების სახით რუკების ადეკვატურობის საკითხით და არა შესწავლილ სისტემაში მოპოვების შესაძლებლობით. პასუხი (გადაწყვეტის შედეგი) კონკრეტულ კვლევის კითხვაზე. მაგალითად, კოლექტიური საინფორმაციო-გამოთვლითი სისტემის ფუნქციონირების პროცესის წარმოდგენა რიგის სქემების ქსელის სახით შესაძლებელს ხდის კარგად აღწეროს სისტემაში მიმდინარე პროცესები, მაგრამ შემომავალი ნაკადების და მომსახურების ნაკადების რთული კანონებით, ეს არ იძლევა შედეგების მკაფიო ფორმით მიღებას.

მათემატიკური სქემაშეიძლება განისაზღვროს, როგორც სისტემის ფუნქციონირების პროცესის შინაარსიდან ფორმალურ აღწერაზე გადასვლის რგოლი გარე გარემოს გავლენის გათვალისწინებით, ანუ არსებობს ჯაჭვი "აღწერითი მოდელი - მათემატიკური სქემა - მათემატიკური (ანალიტიკური და / ან იმიტაცია) მოდელი“.

თითოეულ კონკრეტულ სისტემას S ახასიათებს თვისებების ერთობლიობა, რომლებიც გაგებულია, როგორც მნიშვნელობები, რომლებიც ასახავს მოდელირებული ობიექტის (რეალური სისტემის) ქცევას და ითვალისწინებს მისი ფუნქციონირების პირობებს გარე გარემოსთან (სისტემასთან) ურთიერთქმედებაში. ე.სისტემის მათემატიკური მოდელის აგებისას აუცილებელია მისი სისრულის საკითხის გადაჭრა. მოდელის სისრულე ძირითადად რეგულირდება სასაზღვრო „სისტემა S - გარემოს“ არჩევით ე» . ასევე, უნდა მოგვარდეს მოდელის გამარტივების პრობლემა, რაც ხელს უწყობს სისტემის ძირითადი თვისებების ხაზგასმას, მეორადებს. უფრო მეტიც, სისტემის თვისებების მინიჭება მთავარ ან მეორეხარისხოვანზე არსებითად დამოკიდებულია სისტემის მოდელირების მიზანზე (მაგალითად, სისტემის ფუნქციონირების პროცესის ალბათურ-დროითი მახასიათებლების ანალიზი, სისტემის სინთეზი. სისტემის სტრუქტურა და ა.შ.).

ობიექტის ფორმალური მოდელი.მოდელირების ობიექტის მოდელი, ანუ სისტემა S, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიდიდეების ერთობლიობით, რომელიც აღწერს რეალური სისტემის ფუნქციონირების პროცესს და ზოგადად ქმნის შემდეგ ქვეჯგუფებს: შეყვანის მოქმედებებითითო სისტემაზე

;

აგრეგატი გარემოზე ზემოქმედება

;

აგრეგატი შიდა, (საკუთარი) პარამეტრებისისტემები

;

აგრეგატი გამომავალი მახასიათებლებისისტემები

.

უფრო მეტიც, ჩამოთვლილ ქვეჯგუფებში შეიძლება გამოიყოს მართული და უმართავი ცვლადები. Ზოგადად , , , არის არაერთგვაროვანი ქვესიმრავლეების ელემენტები და შეიცავს როგორც დეტერმინისტულ, ასევე სტოქასტურ კომპონენტებს.

S სისტემის მოდელირებისას შეყვანის გავლენა, გარე გარემოს ზემოქმედება ედა სისტემის შიდა პარამეტრებია დამოუკიდებელი (ეგზოგენური) ცვლადები,რომელსაც ვექტორული სახით აქვს ფორმა,,, და სისტემის გამომავალი მახასიათებლებია დამოკიდებული (ენდოგენური) ცვლადებიდა ვექტორული სახით აქვს ფორმა).

S სისტემის ფუნქციონირების პროცესი დროულად არის აღწერილი ოპერატორის მიერ ფ ს , რომელიც ზოგადად ეგზოგენურ ცვლადებს ფორმის მიმართებების შესაბამისად გარდაქმნის ენდოგენურ ცვლადებად

. (1)

სისტემის გამომავალი მახასიათებლების დროზე დამოკიდებულების ნაკრები წ ჯ (ტ) ყველა სახისთვის
დაურეკა გამომავალი ტრაექტორია
. დამოკიდებულება (1) ეწოდება სისტემის ფუნქციონირების კანონის და აღნიშნა ფ ს . ზოგადად, სისტემის ფუნქციონირების კანონი ფ ს შეიძლება დაზუსტდეს ფუნქციის, ფუნქციური, ლოგიკური პირობების სახით, ალგორითმული და ტაბულური ფორმით, ან სიტყვიერი შესატყვისი წესის სახით.

S სისტემის აღწერისა და შესწავლისთვის ძალიან მნიშვნელოვანია კონცეფცია ფუნქციონირების ალგორითმია ს , რაც გაგებულია, როგორც გამომავალი მახასიათებლების მიღების მეთოდი შეყვანის გავლენის გათვალისწინებით
, გარემოზე ზემოქმედება
და სისტემის საკუთარი პარამეტრები
. აშკარაა, რომ იგივე ფუნქციონირების კანონი ფ ს სისტემა S შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა გზით, ანუ ფუნქციონირებისთვის მრავალი განსხვავებული ალგორითმის გამოყენებით ა ს .

მიმართებები (1) არის მოდელირების ობიექტის (სისტემის) ქცევის მათემატიკური აღწერა დროში. ტ, ანუ ასახავს მის დინამიურ თვისებებს. ამიტომ, ამ ტიპის მათემატიკურ მოდელებს ჩვეულებრივ უწოდებენ დინამიური მოდელები(სისტემები).

ამისთვის სტატიკური მოდელებიმათემატიკური მოდელი (1) არის მოდელირებული ობიექტის თვისებების ორ ქვეჯგუფს შორის რუკა ი და { X, ვ, H),რომელიც ვექტორული სახით შეიძლება დაიწეროს როგორც

. (2)

(1) და (2) მიმართებები შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით: ანალიტიკურად (ფორმულების გამოყენებით), გრაფიკულად, ტაბულურად და ა.შ. ასეთი ურთიერთობები ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება მიღებულ იქნას S სისტემის თვისებების მეშვეობით კონკრეტულ დროს, ე.წ. შტატები. S სისტემის მდგომარეობა ხასიათდება ვექტორებით

და
,

სადაც
,
, …,
ამ წუთას
;
,
, …,
ამ წუთას
და ა.შ.,
.

თუ S სისტემის ფუნქციონირების პროცესს განვიხილავთ, როგორც მდგომარეობათა თანმიმდევრულ ცვლილებას
, მაშინ ისინი შეიძლება იქნას ინტერპრეტირებული, როგორც წერტილის კოორდინატები რომ- განზომილებიანი ფაზის სივრცე. უფრო მეტიც, პროცესის თითოეული განხორციელება შეესაბამება გარკვეულ ფაზის ტრაექტორიას. სახელმწიფოების ყველა შესაძლო ღირებულების შეგროვება დაურეკა სახელმწიფო სივრცემოდელირების ობიექტი ზ, მეტიც
.

S სისტემის მდგომარეობები დროის მომენტში ტ 0 < ტ*თ მთლიანად განისაზღვრება საწყისი პირობებით
[სად
,
, …,
], შეყვანის გავლენა
, საკუთარი სისტემის პარამეტრები
და გარემოზე ზემოქმედება
, რომელიც მოხდა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ტ*- ტ 0 , თანორი ვექტორული განტოლების გამოყენებით

; (3)

. (4)

პირველი განტოლება საწყისი მდგომარეობისთვის და ეგზოგენური ცვლადები
განსაზღვრავს ვექტორულ ფუნქციას
, ხოლო მეორე მდგომარეობების მიღებული ღირებულების მიხედვით
- ენდოგენური ცვლადები სისტემის გამოსავალზე
. ამრიგად, ობიექტის განტოლებათა ჯაჭვი "შეყვანა-მდგომარეობა-გამომავალი" საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ სისტემის მახასიათებლები.

. (5)

ზოგადად, S სისტემის მოდელში დრო შეიძლება ჩაითვალოს მოდელირების ინტერვალზე (0, T)როგორც უწყვეტი, ასევე დისკრეტული, ანუ კვანტური სიგრძის სეგმენტებად
დროის ერთეული ყოველი როდის
, სადაც
- შერჩევის ინტერვალების რაოდენობა.

ამრიგად, ქვეშ ობიექტის მათემატიკური მოდელი(რეალური სისტემა) ესმით ცვლადების სასრული ქვეჯგუფი (
} მათსა და მახასიათებლებს შორის მათემატიკური კავშირებთან ერთად
.

თუ მოდელირების ობიექტის მათემატიკური აღწერა არ შეიცავს შემთხვევითობის ელემენტებს ან ისინი არ არის გათვალისწინებული, ანუ შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ამ შემთხვევაში გარე გარემოს სტოქასტური ეფექტები
და სტოქასტური შიდა პარამეტრები
არ არიან, მაშინ მოდელი იწოდება განმსაზღვრელიიმ გაგებით, რომ მახასიათებლები ცალსახად განისაზღვრება დეტერმინისტული მონაცემებით

. (6)

ცხადია, დეტერმინისტული მოდელი სტოქასტური მოდელის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

ტიპიური სქემები.მოცემული მათემატიკური მიმართებები წარმოადგენს ზოგად მათემატიკურ სქემებს და იძლევა სისტემების ფართო კლასის აღწერის საშუალებას. ამასთან, სისტემების ინჟინერიის და სისტემების ანალიზის სფეროში ობიექტების მოდელირების პრაქტიკაში სისტემის კვლევის საწყის ეტაპზე, უფრო რაციონალურია გამოყენება ტიპიური მათემატიკური სქემები:დიფერენციალური განტოლებები, სასრული და ალბათური ავტომატები, რიგის სისტემები, პეტრის ბადეები და ა.შ.

ტიპიურ მათემატიკურ სქემებს არ გააჩნიათ განზოგადების ისეთი ხარისხი, როგორიც განხილულ მოდელებს აქვთ, აქვთ სიმარტივის და სიცხადის უპირატესობები, მაგრამ გამოყენების შესაძლებლობების მნიშვნელოვანი შევიწროებით. დიფერენციალური, ინტეგრალური, ინტეგრო-დიფერენციალური და სხვა განტოლებები გამოიყენება უწყვეტ დროში მოქმედი სისტემების წარმოსადგენად, როგორც დეტერმინისტული მოდელები, როდესაც შემთხვევითი ფაქტორები არ არის გათვალისწინებული კვლევაში, ხოლო სასრული ავტომატები და სასრული განსხვავებების სქემები გამოიყენება სისტემების წარმოსადგენად. დისკრეტული დრო.... ალბათური ავტომატები გამოიყენება როგორც სტოქასტური მოდელები (შემთხვევითი ფაქტორების გათვალისწინებით) დისკრეტული დროის მქონე სისტემების წარმოსადგენად, ხოლო რიგის სისტემები გამოიყენება უწყვეტი დროის წარმოსადგენად და ა.შ.

ჩამოთვლილი ტიპიური მათემატიკური სქემები, რა თქმა უნდა, ვერ ამტკიცებენ, რომ მათ საფუძველზე შეუძლიათ აღწერონ ყველა პროცესი, რომელიც ხდება ინფორმაციული მართვის დიდ სისტემებში. ასეთი სისტემებისთვის, ზოგიერთ შემთხვევაში, აგრეგატული მოდელების გამოყენება უფრო პერსპექტიულია.

აგრეგატული მოდელები (სისტემები) შესაძლებელს ხდის საკვლევი ობიექტების ფართო სპექტრის აღწერას ამ ობიექტების სისტემური ბუნების ასახვით. აგრეგატური აღწერით რთული ობიექტი (სისტემა) იყოფა სასრული რაოდენობის ნაწილებად (ქვესისტემებად), იმავდროულად ინარჩუნებს კავშირებს, რომლებიც უზრუნველყოფენ ნაწილების ურთიერთქმედებას.

ამრიგად, სისტემების ფუნქციონირების პროცესების მათემატიკური მოდელების აგებისას შეიძლება გამოიყოს შემდეგი ძირითადი მიდგომები: უწყვეტი-დეტერმინისტული (მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებები); დისკრეტულ-დეტერმინისტული (სასრული ავტომატები); დისკრეტული სტოქასტური (ალბათური ავტომატები); უწყვეტი-სტოქასტური (რიგის სისტემები); განზოგადებული ან უნივერსალური (აგრეგატული სისტემები).

უწყვეტი განსაზღვრის მოდელები (D-სქემები)

განვიხილოთ უწყვეტი-დეტერმინისტული მიდგომის თავისებურებები დიფერენციალური განტოლებების მათემატიკური მოდელების გამოყენების მაგალითზე. დიფერენციალური განტოლებებიისეთ განტოლებებს უწოდებენ, რომლებშიც ერთი ან რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია უცნობია და განტოლება მოიცავს არა მხოლოდ ფუნქციებს, არამედ მათ სხვადასხვა რიგის წარმოებულებს. თუ უცნობი რამდენიმე ცვლადის ფუნქციაა, მაშინ განტოლებებს უწოდებენ ნაწილობრივ დიფერენციალურ განტოლებებს, წინააღმდეგ შემთხვევაში, მხოლოდ ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციების განხილვისას, განტოლებებს უწოდებენ ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებებს.

ძირითადი ურთიერთობები.ჩვეულებრივ, ასეთ მათემატიკურ მოდელებში, დრო გამოიყენება, როგორც დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელზედაც დამოკიდებულია უცნობი საძიებო ფუნქციები. ტ. მაშინ მათემატიკური მიმართება დეტერმინისტული სისტემებისთვის (6) ზოგადი ფორმით იქნება

, (7)

სადაც
,
და
- NS-განზომილებიანი ვექტორები;
- ვექტორული ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ზოგიერთზე ( NS+1) -განზომილებიანი
დაყენებულია და უწყვეტია.

ვინაიდან ამ ტიპის მათემატიკური სქემები ასახავს შესწავლილი სისტემის დინამიკას, ანუ მის ქცევას დროში, მათ ე.წ. დ- სქემები(ინგლ. დინამიური).

უმარტივეს შემთხვევაში, ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

. (8)

ყველაზე მნიშვნელოვანი აპლიკაცია სისტემების ინჟინერიისთვის დ- სქემაროგორც მათემატიკური აპარატი ავტომატური მართვის თეორიაში. D- სქემების კონსტრუქციისა და გამოყენების თავისებურებების საილუსტრაციოდ, განვიხილოთ სხვადასხვა ფიზიკური ხასიათის ორი ელემენტარული სისტემის ფუნქციონირების პროცესის ფორმალიზების უმარტივესი მაგალითი: მექანიკური. ს მ (ქანქარის რხევები, სურ. 1, ა) და ელექტრული S K (ოსცილატორული წრე, სურ. 1, ბ).

ბრინჯი. 1. ელემენტარული სისტემები

ქანქარის მცირე რხევების პროცესი აღწერილია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებით

სადაც
- ქანქარის შეჩერების მასა და სიგრძე; გ - თავისუფალი ვარდნის აჩქარება;
- ქანქარის გადახრის კუთხე დროის მომენტში ტ.

ქანქარის თავისუფალი რხევის ამ განტოლებიდან შეიძლება მოიძებნოს ინტერესის მახასიათებლების შეფასება. მაგალითად, ქანქარის რხევის პერიოდი

.

ანალოგიურად, პროცესები ელექტრული რხევის წრეში აღწერილია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებით

სადაც ლ რომ , თან რომ - კონდენსატორის ინდუქციურობა და ტევადობა; ქ(ტ) - კონდენსატორის დატენვა დროულად ტ.

ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ მიიღოთ რხევის წრეში პროცესის მახასიათებლების სხვადასხვა შეფასება. მაგალითად, ელექტრული რხევების პერიოდი

.

ცხადია, აღნიშვნის შემოღება
,
, ,
, ჩვენ ვიღებთ ჩვეულებრივ მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებას, რომელიც აღწერს ამ დახურული მარყუჟის სისტემის ქცევას:

სადაც
- სისტემის პარამეტრები; ზ(ტ) - სისტემის მდგომარეობა დროს ტ.

ამრიგად, ამ ორი ობიექტის ქცევა შეიძლება გამოკვლეული იყოს ზოგადი მათემატიკური მოდელის საფუძველზე (9). გარდა ამისა, უნდა აღინიშნოს, რომ ერთ-ერთი სისტემის ქცევა შეიძლება გაანალიზდეს მეორის გამოყენებით. მაგალითად, ქანქარის ქცევა (სისტემა ს მ) შეიძლება შესწავლილი იყოს ელექტრული რხევითი წრის გამოყენებით (სისტემა ს კ).

თუ შესწავლილი სისტემა ს, ანუ ქანქარა ან კონტური, ურთიერთქმედებს გარე გარემოსთან E,შემდეგ გამოჩნდება შეყვანის მოქმედება NS(ტ) (გარე ძალა ქანქარისთვის და ენერგიის წყარო წრედისთვის) და ასეთი სისტემის უწყვეტ-დეტერმინისტული მოდელი ექნება ფორმა

მათემატიკური მოდელის ზოგადი სქემის თვალსაზრისით NS(ტ) არის შეყვანის (საკონტროლო) მოქმედება და S სისტემის მდგომარეობა ამ შემთხვევაში შეიძლება ჩაითვალოს გამომავალ მახასიათებლად, ანუ ვივარაუდოთ, რომ გამომავალი ცვლადი ემთხვევა სისტემის მდგომარეობას მოცემულ დროს. y =ზ.

შესაძლო აპლიკაციები.სისტემური ინჟინერიის პრობლემების გადაჭრისას დიდი მნიშვნელობა აქვს დიდი სისტემების მართვის პრობლემებს. ყურადღება მიაქციეთ სისტემებს ავტომატური კონტროლი- აღწერილია დინამიური სისტემების განსაკუთრებული შემთხვევა დ- სქემებიდა ხაზგასმულია მოდელების ცალკეულ კლასში მათი პრაქტიკული სპეციფიკის გამო.

ავტომატური კონტროლის პროცესების აღწერისას, ისინი ჩვეულებრივ იცავენ რეალური ობიექტის პრეზენტაციას ორი სისტემის სახით: საკონტროლო და კონტროლირებადი (საკონტროლო ობიექტი). ზოგადი მრავალგანზომილებიანი ავტომატური მართვის სისტემის სტრუქტურა ნაჩვენებია ნახ. 2, სადაც დანიშნულია ენდოგენური ცვლადები:
- შეყვანის (სამაგისტრო) გავლენის ვექტორი;
- შემაშფოთებელი ზემოქმედების ვექტორი;
- შეცდომის სიგნალების ვექტორი;
- საკონტროლო მოქმედებების ვექტორი; ეგზოგენური ცვლადები:
- S სისტემის მდგომარეობების ვექტორი;
არის გამომავალი ცვლადების ვექტორი, ჩვეულებრივ
=
.

ბრინჯი. 2. ავტომატური მართვის სისტემის სტრუქტურა

თანამედროვე კონტროლის სისტემა არის პროგრამული და აპარატურის ინსტრუმენტების ერთობლიობა, რომელიც უზრუნველყოფს საკონტროლო ობიექტის მიერ კონკრეტული მიზნის მიღწევას. რამდენად ზუსტად აღწევს საკონტროლო ობიექტი მოცემულ მიზანს, შეიძლება ვიმსჯელოთ ერთგანზომილებიანი სისტემისთვის სახელმწიფო კოორდინატის მიხედვით. ზე (ტ). განსხვავება მოცემულს შორის ზე უკანა მხარე (ტ) და მოქმედებს ზე (ტ) კონტროლირებადი ცვლადის ცვლილების კანონი არის საკონტროლო შეცდომა . თუ კონტროლირებადი სიდიდის ცვლილების დადგენილი კანონი შეესაბამება შეყვანის (მასტერ) მოქმედების ცვლილების კანონს, ე.ი.
, მაშინ
.

სისტემები, რომლებზეც კონტროლდება შეცდომები
ნებისმიერ დროს იდეალს უწოდებენ. პრაქტიკაში, იდეალური სისტემების დანერგვა შეუძლებელია. ასე რომ, შეცდომა თ"(ტ) - ავტომატური კონტროლის აუცილებელი ელემენტი, რომელიც დაფუძნებულია უარყოფითი გამოხმაურების პრინციპზე, რადგან გამომავალი ცვლადის შესაბამისობაში მოყვანა წ(ტ) მისი მითითებული მნიშვნელობა იყენებს ინფორმაციას მათ შორის გადახრის შესახებ. ავტომატური მართვის სისტემის ამოცანაა ცვლადის შეცვლა წ(ტ) მოცემული კანონის მიხედვით გარკვეული სიზუსტით (მისაღები შეცდომით). ავტომატური მართვის სისტემების დიზაინისა და ექსპლუატაციისას აუცილებელია შემდეგი სისტემის პარამეტრების შერჩევა ს, რაც უზრუნველყოფს კონტროლის საჭირო სიზუსტეს, ასევე სისტემის სტაბილურობას გარდამავალ პროცესში.

თუ სისტემა სტაბილურია, მაშინ სისტემის ქცევა დროში არის პრაქტიკული ინტერესი, კონტროლირებადი ცვლადის მაქსიმალური გადახრა არის ზე (ტ) გარდამავალ პროცესში, გარდამავალი პროცესის დრო და ა.შ. დასკვნები სხვადასხვა კლასის ავტომატური მართვის სისტემების თვისებების შესახებ შეიძლება გაკეთდეს დიფერენციალური განტოლებების სახით, რომლებიც დაახლოებით აღწერს სისტემებში მიმდინარე პროცესებს. დიფერენციალური განტოლების რიგი და მისი კოეფიციენტების მნიშვნელობები მთლიანად განისაზღვრება სისტემის სტატიკური და დინამიური პარამეტრებით. ს.

ასე რომ გამოყენებით დ- სქემასაშუალებას იძლევა ფორმალიზდეს მუდმივად-დეტერმინისტული სისტემების ფუნქციონირების პროცესი სდა შეაფასოს მათი ძირითადი მახასიათებლები ანალიტიკური ან სიმულაციური მიდგომის გამოყენებით, რომელიც განხორციელებულია შესაბამისი ენის სახით უწყვეტი სისტემების მოდელირებისთვის ან ანალოგური და ჰიბრიდული გამოთვლითი საშუალებების გამოყენებით.

კლასიფიკაცია ექსპერტიზის ნებისმიერ სფეროში აუცილებელია. ეს საშუალებას გაძლევთ განაზოგადოთ დაგროვილი გამოცდილება, გაამარტივოთ საგნის არეალის ცნებები. მათემატიკური მოდელირების მეთოდების სწრაფმა განვითარებამ და მათი გამოყენების სფეროების მრავალფეროვნებამ გამოიწვია სხვადასხვა ტიპის მოდელების დიდი რაოდენობის გაჩენა და მოდელების კლასიფიკაციის აუცილებლობა იმ კატეგორიებად, რომლებიც უნივერსალურია ყველა მოდელისთვის ან აუცილებელია ამ სფეროში. აგებული მოდელის, მაგალითად. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე კატეგორიის მაგალითი: გამოყენების სფერო; მოდელში დროის ფაქტორის (დინამიკის) გათვალისწინებით; ცოდნის ფილიალი; მოდელების წარმოდგენის გზა; შემთხვევითი (ან გაურკვეველი) ფაქტორების არსებობა ან არარსებობა; ეფექტურობის ტიპის კრიტერიუმი და დაწესებული შეზღუდვები და ა.შ.

მათემატიკური ლიტერატურის გაანალიზებით, ჩვენ გამოვავლინეთ კლასიფიკაციის ყველაზე გავრცელებული ნიშნები:

1. განხორციელების მეთოდის მიხედვით (ფორმალური ენის ჩათვლით) ყველა მათემატიკური მოდელი შეიძლება დაიყოს ანალიტიკური და ალგორითმული.

ანალიტიკური - მოდელები, რომლებიც იყენებენ სტანდარტულ მათემატიკურ ენას. სიმულაცია - მოდელები, რომლებშიც გამოიყენება სპეციალური მოდელირების ენა ან უნივერსალური პროგრამირების ენა.

ანალიტიკური მოდელები შეიძლება დაიწეროს ანალიტიკური გამონათქვამების სახით, ე.ი. არითმეტიკული მოქმედებების თვლადი რაოდენობის შემცველი გამონათქვამების სახით და ლიმიტზე გადასვლები, მაგალითად:. ალგებრული გამოხატულება არის ანალიტიკური გამონათქვამის განსაკუთრებული შემთხვევა, შედეგად ის იძლევა ზუსტ მნიშვნელობას. ასევე არსებობს კონსტრუქციები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მიღებული მნიშვნელობა მოცემული სიზუსტით (მაგალითად, ელემენტარული ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში). ამ ტექნიკის გამოყენებით მოდელებს უწოდებენ სავარაუდო.

თავის მხრივ, ანალიტიკური მოდელები იყოფა თეორიული და ემპირიულიმოდელები. თეორიული მოდელები ასახავს რეალურ სტრუქტურებსა და პროცესებს შესასწავლ ობიექტებში, ანუ ისინი ეფუძნება მათი მუშაობის თეორიას. ემპირიული მოდელები აგებულია გარემო პირობების ცვლილებაზე ობიექტის რეაქციების შესწავლის საფუძველზე. ამ შემთხვევაში ობიექტის მოქმედების თეორია არ განიხილება, თავად ობიექტი არის ეგრეთ წოდებული „შავი ყუთი“ და მოდელი არის გარკვეული ინტერპოლაციის დამოკიდებულება. ემპირიული მოდელები შეიძლება აშენდეს ექსპერიმენტული მონაცემებიდან. ეს მონაცემები მიიღება უშუალოდ შესასწავლ ობიექტებზე ან მათი ფიზიკური მოდელების დახმარებით.

თუ პროცესის აღწერა შეუძლებელია ანალიტიკური მოდელის სახით, იგი აღწერილია სპეციალური ალგორითმის ან პროგრამის გამოყენებით. ეს მოდელი ალგორითმულია. ალგორითმული მოდელების აგებისას გამოიყენება რიცხვითი ან სიმულაციური მიდგომები. რიცხვითი მიდგომისას მათემატიკური მიმართებების სიმრავლე იცვლება სასრულ განზომილებიანი ანალოგით (მაგალითად, უწყვეტი არგუმენტის ფუნქციიდან დისკრეტული არგუმენტის ფუნქციაზე გადასვლა). შემდეგ აგებულია გამოთვლითი ალგორითმი, ე.ი. არითმეტიკული და ლოგიკური მოქმედებების თანმიმდევრობა. დისკრეტული ანალოგის ნაპოვნი გადაწყვეტა აღებულია, როგორც საწყისი პრობლემის სავარაუდო გადაწყვეტა. სიმულაციური მიდგომისას თავად მოდელირების ობიექტი დისკრეტირებულია და აშენდება სისტემის ცალკეული ელემენტების მოდელები.

2. მათემატიკური მოდელების წარმოდგენის ფორმის მიხედვით გამოყოფენ:

1) ინვარიანტული მოდელი არის მათემატიკური მოდელი, რომელიც წარმოდგენილია განტოლებათა სისტემით (დიფერენციალური, ალგებრული) ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გათვალისწინების გარეშე.

2) ალგებრული მოდელი - მოდელების თანაფარდობა ასოცირდება არჩეულ რიცხვითი ამოხსნის მეთოდთან და იწერება ალგორითმის სახით (გამოთვლების თანმიმდევრობა).

3) ანალიტიკური მოდელი - არის სასურველი ცვლადების აშკარა დამოკიდებულება მოცემულ მნიშვნელობებზე. ასეთი მოდელები მიიღება ფიზიკური კანონების საფუძველზე, ან თავდაპირველი დიფერენციალური განტოლებების პირდაპირი ინტეგრაციის შედეგად ტაბულური ინტეგრალების გამოყენებით. ისინი ასევე მოიცავს ექსპერიმენტული შედეგების საფუძველზე მიღებულ რეგრესიულ მოდელებს.

4) გრაფიკული მოდელი წარმოდგენილია გრაფიკების, ეკვივალენტური სქემების, დიაგრამების და მსგავსი სახით. გრაფიკული მოდელების გამოსაყენებლად, უნდა არსებობდეს გრაფიკის ელემენტების პირობითი გამოსახულებებისა და ინვარიანტული მათემატიკური მოდელის კომპონენტების ცალსახა შესაბამისობის წესი.

3. ეფექტურობის კრიტერიუმის ტიპისა და დაწესებული შეზღუდვების მიხედვით, მოდელები იყოფა: წრფივი და არაწრფივი.წრფივ მოდელებში ეფექტურობის კრიტერიუმი და დაწესებული შეზღუდვები არის მოდელის ცვლადების წრფივი ფუნქციები (სხვა შემთხვევაში, არაწრფივი მოდელები). ეფექტურობის კრიტერიუმის წრფივი დამოკიდებულების და მოდელის ცვლადებზე დაწესებული შეზღუდვების სიმრავლის შესახებ დაშვება საკმაოდ მისაღებია პრაქტიკაში. ეს შესაძლებელს ხდის გადაწყვეტილების მისაღებად კარგად განვითარებული ხაზოვანი პროგრამირების აპარატის გამოყენებას.

4. დროისა და გამოყენების არეალის ფაქტორის გათვალისწინებით განასხვავებენ სტატიკური და დინამიური მოდელები... თუ მოდელში შემავალი ყველა სიდიდე დროზე არ არის დამოკიდებული, მაშინ გვაქვს ობიექტის ან პროცესის სტატიკური მოდელი (ინფორმაციის ერთჯერადი ნაჭერი ობიექტზე). იმათ. სტატიკური მოდელი არის მოდელი, რომელშიც დრო არ არის ცვლადი. დინამიური მოდელი საშუალებას გაძლევთ ნახოთ ცვლილებები ობიექტში დროთა განმავლობაში.

5. გადაწყვეტილების მიმღებ მხარეთა რაოდენობის მიხედვით, არსებობს ორი სახის მათემატიკური მოდელი: აღწერითი და ნორმატიული... აღწერილ მოდელში გადაწყვეტილების მიმღებები არ არიან. ფორმალურად, აღწერილ მოდელში ასეთი მხარეების რაოდენობა ნულის ტოლია. ასეთი მოდელების ტიპიური მაგალითია რიგის სისტემის მოდელი. სანდოობის თეორია, გრაფიკის თეორია, ალბათობის თეორია, სტატისტიკური ტესტის მეთოდი (მონტე კარლოს მეთოდი) ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას აღწერილობითი მოდელების ასაგებად.

ნორმატიულ მოდელს ბევრი ასპექტი აქვს. პრინციპში, ნორმატიული მოდელის ორი ტიპი შეიძლება გამოიყოს: ოპტიმიზაციის მოდელები და თამაშის თეორიული მოდელები. ოპტიმიზაციის მოდელებში გადაწყვეტილებების შემუშავების მთავარი ამოცანა ტექნიკურად დაყვანილია ეფექტურობის კრიტერიუმის მკაცრ მაქსიმიზაციამდე ან მინიმიზაციამდე, ე.ი. განისაზღვრება კონტროლირებადი ცვლადების ისეთი მნიშვნელობები, რომლებშიც ეფექტურობის კრიტერიუმი აღწევს უკიდურეს მნიშვნელობას (მაქსიმალური ან მინიმალური).

ოპტიმიზაციის მოდელებით ნაჩვენები გადაწყვეტილებების შესამუშავებლად, კლასიკურ და ახალ ვარიაციულ მეთოდებთან ერთად (ექსტრემალური ძებნა), ყველაზე ფართოდ გამოიყენება მათემატიკური პროგრამირების მეთოდები (წრფივი, არაწრფივი, დინამიური). თამაშის თეორიულ მოდელს ახასიათებს მხარეთა რაოდენობის სიმრავლე (მინიმუმ ორი). თუ ორი მხარეა საპირისპირო ინტერესებით, მაშინ გამოიყენება თამაშის თეორია, თუ პარტიების რაოდენობა ორზე მეტია და მათ შორის კოალიციები და კომპრომისები შეუძლებელია, მაშინ გამოიყენება არაკოალიციური თამაშების თეორია. ნპირები.

6. შემთხვევითი (ან გაურკვეველი) ფაქტორების არსებობა-არარსებობის მიხედვით, არსებობს დეტერმინისტული და სტოქასტურიმათემატიკური მოდელები. დეტერმინისტულ მოდელებში ყველა მიმართება, ცვლადი და მუდმივი ზუსტად არის მითითებული, რაც იწვევს მიღებული ფუნქციის ცალსახად განსაზღვრას. დეტერმინისტული მოდელი აგებულია იმ შემთხვევებში, როდესაც ფაქტორები, რომლებიც გავლენას ახდენენ ოპერაციის შედეგზე, ექვემდებარება საკმარისად ზუსტ გაზომვას ან შეფასებას და შემთხვევითი ფაქტორები ან არ არსებობს, ან შეიძლება მათი უგულებელყოფა.

თუ მოდელში შემავალი ზოგიერთი ან ყველა პარამეტრი თავისი ბუნებით არის შემთხვევითი ცვლადები ან შემთხვევითი ფუნქციები, მაშინ მოდელი მიეკუთვნება სტოქასტური მოდელების კლასს. სტოქასტურ მოდელებში დგინდება შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონები, რაც იწვევს შედეგად მიღებული ფუნქციის ალბათურ შეფასებას და რეალობა ნაჩვენებია როგორც გარკვეული შემთხვევითი პროცესი, რომლის მიმდინარეობა და შედეგი აღწერილია შემთხვევითი ცვლადების გარკვეული მახასიათებლებით: მათემატიკური მოლოდინები. , ვარიაციები, განაწილების ფუნქციები და ა.შ. ასეთი მოდელის აგება შესაძლებელია, თუ საკმარისი ფაქტობრივი მასალაა საჭირო ალბათობის განაწილების შესაფასებლად ან თუ განსახილველი ფენომენის თეორია საშუალებას იძლევა თეორიულად განისაზღვროს ეს განაწილებები (ალბათობის თეორიის ფორმულებზე დაყრდნობით, ზღვრული თეორემები და ა.შ. .).

7. მოდელირების მიზნებიდან გამომდინარე, არსებობს აღწერილობა, ოპტიმიზაცია და მართვამოდელები. აღწერით (ლათინური descriptio - აღწერა) მოდელებში გამოკვლეულია მოდელის პარამეტრების ცვლილების კანონები. მაგალითად, მატერიალური წერტილის მოძრაობის მოდელი გამოყენებული ძალების გავლენის ქვეშ, ნიუტონის მეორე კანონის საფუძველზე:. მოცემულ დროს წერტილის პოზიციისა და აჩქარების (შეყვანის პარამეტრები), მასის (შიდა პარამეტრი) და გამოყენებული ძალების ცვლილების კანონის (გარე ზემოქმედება) მითითებით, შესაძლებელია წერტილის და სიჩქარის კოორდინატების დადგენა ნებისმიერ დროს. დრო (გამომავალი).

ოპტიმიზაციის მოდელები გამოიყენება საუკეთესო (ოპტიმალური) დასადგენად, გარკვეული კრიტერიუმის საფუძველზე, სიმულირებული ობიექტის პარამეტრების ან ამ ობიექტის კონტროლის მეთოდების მიხედვით. ოპტიმიზაციის მოდელები აგებულია ერთი ან მეტი აღწერილობითი მოდელის გამოყენებით და აქვთ ოპტიმალურის განსაზღვრის რამდენიმე კრიტერიუმი. შეზღუდვები თანასწორობის ან უთანასწორობის სახით, რომელიც დაკავშირებულია განსახილველი ობიექტის ან პროცესის მახასიათებლებთან, შეიძლება დაწესდეს შეყვანის პარამეტრების მნიშვნელობების დიაპაზონზე. ოპტიმიზაციის მოდელის მაგალითია კვების რაციონის შედგენა გარკვეულ დიეტაში (პროდუქტის კალორიული შემცველობა, ფასის ღირებულებები და ა.შ., მოქმედებს როგორც შეყვანის მონაცემები).

მენეჯმენტის მოდელები გამოიყენება ადამიანის მიზანმიმართული საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში გადაწყვეტილების მისაღებად, როდესაც ალტერნატივების მთელი ნაკრებიდან რამდენიმე ალტერნატივაა შერჩეული და გადაწყვეტილების მიღების ზოგადი პროცესი ასეთი ალტერნატივების თანმიმდევრობაა. მაგალითად, სტუდენტების მიერ მომზადებული რამდენიმე მოხსენების არჩევა დაწინაურებისთვის. პრობლემის სირთულე მდგომარეობს როგორც შეყვანის მონაცემების გაურკვევლობაში (მოხსენება მომზადდა დამოუკიდებლად ან გამოიყენეს სხვისი ნამუშევარი), ასევე მიზნებში (ნამუშევრის სამეცნიერო ბუნება და მისი სტრუქტურა, პრეზენტაციის დონე და მომზადების დონე. მოსწავლე, ექსპერიმენტის შედეგები და მიღებული დასკვნები). ვინაიდან ერთსა და იმავე სიტუაციაში მიღებული გადაწყვეტილების ოპტიმალური ინტერპრეტაცია შესაძლებელია სხვადასხვა გზით, მენეჯმენტის მოდელებში ოპტიმალური კრიტერიუმის ფორმა წინასწარ არ არის დაფიქსირებული. ოპტიმალური კრიტერიუმების ფორმირების მეთოდები, რომლებიც დამოკიდებულია გაურკვევლობის ტიპზე, განიხილება არჩევანისა და გადაწყვეტილების მიღების თეორიაში, თამაშის თეორიისა და ოპერაციების კვლევის საფუძველზე.

8.გამოარჩევენ კვლევის მეთოდით ანალიტიკური, რიცხვითი და სიმულაციურიმოდელები. ანალიტიკური მოდელი არის სისტემის ფორმალიზებული აღწერა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განტოლების აშკარა ამონახვა ცნობილი მათემატიკური აპარატის გამოყენებით. რიცხვითი მოდელი ხასიათდება დამოკიდებულებით, რომელიც იძლევა მხოლოდ ნაწილობრივი რიცხვითი ამონახსნების საშუალებას მოდელის კონკრეტული საწყისი პირობებისა და რაოდენობრივი პარამეტრებისთვის. სიმულაციური მოდელი არის სისტემის და გარე ზემოქმედების აღწერების ერთობლიობა, სისტემის ფუნქციონირების ალგორითმები ან გარე და შიდა დარღვევების გავლენის ქვეშ სისტემის მდგომარეობის შეცვლის წესები. ეს ალგორითმები და წესები არ იძლევა ანალიტიკური და რიცხვითი ამოხსნის ხელმისაწვდომი მათემატიკური მეთოდების გამოყენებას, მაგრამ ისინი საშუალებას იძლევა სისტემის ფუნქციონირების პროცესის სიმულაცია და ინტერესის მახასიათებლების დაფიქსირება. გარდა ამისა, უფრო დეტალურად განიხილება ზოგიერთი ანალიტიკური და სიმულაციური მოდელი, ამ ტიპის მოდელების შესწავლა დაკავშირებულია სტუდენტების პროფესიული საქმიანობის სპეციფიკასთან ტრენინგის მითითებულ მიმართულებით.

1.4. მათემატიკური მოდელების გრაფიკული წარმოდგენა

მათემატიკაში სიდიდეებს შორის კავშირის ფორმები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს დამოუკიდებელი ცვლადის (არგუმენტის) ფორმის განტოლებებით. წ- დამოკიდებული ცვლადი (ფუნქცია). მათემატიკური მოდელირების თეორიაში დამოუკიდებელ ცვლადს ეწოდება ფაქტორი, ხოლო დამოკიდებულ ცვლადს - პასუხი. უფრო მეტიც, მათემატიკური მოდელის აგების სფეროდან გამომდინარე, ტერმინოლოგია გარკვეულწილად შეცვლილია. ფაქტორისა და პასუხის განსაზღვრების რამდენიმე მაგალითი, კვლევის სფეროდან გამომდინარე, ნაჩვენებია ცხრილში 1.

ცხრილი 1. ცნებების „ფაქტორი“ და „პასუხი“ ზოგიერთი განმარტება

მათემატიკური მოდელის გრაფიკულად წარმოდგენით, ჩვენ განვიხილავთ ფაქტორებს და პასუხებს, როგორც ცვლადებს, რომელთა მნიშვნელობები ეკუთვნის რეალურ რიცხვთა სიმრავლეს.

მათემატიკური მოდელის გრაფიკული წარმოდგენაარის გარკვეული საპასუხო ზედაპირი, რომელიც შეესაბამება წერტილების განლაგებას კ-განზომილებიანი ფაქტორი სივრცე NS... შესაძლებელია მხოლოდ ერთგანზომილებიანი და ორგანზომილებიანი საპასუხო ზედაპირების ვიზუალიზაცია. პირველ შემთხვევაში, ეს არის წერტილების ერთობლიობა რეალურ სიბრტყეზე, ხოლო მეორეში, წერტილების ნაკრები, რომლებიც ქმნიან ზედაპირს სივრცეში (ასეთი წერტილების წარმოსადგენად მოსახერხებელია დონის ხაზების გამოყენება - გზა გამოსაყენებლად. ორგანზომილებიან ფაქტორულ სივრცეში აგებული სივრცის ზედაპირული რელიეფი NS(ნახ. 8).

ფართობი, რომელშიც საპასუხო ზედაპირია განსაზღვრული, ეწოდება X * განსაზღვრების დომენი.ეს ტერიტორია, როგორც წესი, მთლიანი ფაქტორული სივრცის მხოლოდ ნაწილია. NS(NS*Ì NS) და ნაწილდება საკონტროლო ცვლადებზე დაწესებული შეზღუდვების გამოყენებით x iიწერება ტოლობის სახით:

x i = C i , მე = 1,…, მ;

ვ ჯ(x) = C j, j = 1,…, ლ

ან უტოლობები:

x iმინ £ x i£ x iმაქს, მე= 1,…, კ;

ვ ჯ(x) £ C j, j = 1,…, ნ,

ამ შემთხვევაში, ფუნქციები ვ ჯ(x) შეიძლება ერთდროულად იყოს დამოკიდებული ყველა ცვლადზე და მათ ზოგიერთ ნაწილზე.

ისეთი შეზღუდვები, როგორიცაა უთანასწორობა, ახასიათებს ფიზიკურ შეზღუდვებს შესასწავლ ობიექტში მიმდინარე პროცესებზე (მაგალითად, ტემპერატურის შეზღუდვები), ან ტექნიკური შეზღუდვები, რომლებიც დაკავშირებულია ობიექტის ექსპლუატაციის პირობებთან (მაგალითად, ჭრის შეზღუდვის სიჩქარე, შეზღუდვები ნედლეულის რეზერვებზე). .

მოდელების შესწავლის შესაძლებლობები არსებითად დამოკიდებულია საპასუხო ზედაპირის თვისებებზე (რელიეფზე), კერძოდ, მასზე არსებული „წვეროების“ რაოდენობაზე და მის კონტრასტზე. მწვერვალების (ხევების) რაოდენობა განსაზღვრავს მოდალობასაპასუხო ზედაპირები. თუ საპასუხო ზედაპირზე განმარტების დომენში არის ერთი წვერო (ველი), მოდელი ეწოდება უნიმოდალური.

ფუნქციის ცვლილების ბუნება ამ შემთხვევაში შეიძლება იყოს განსხვავებული (ნახ. 9).

მოდელს შეიძლება ჰქონდეს პირველი ტიპის წყვეტის წერტილები (ნახ. 9 (ა)), მეორე ტიპის წყვეტის წერტილები (ნახ. 9 (ბ)). სურათი 9 (c) გვიჩვენებს განუწყვეტლივ დიფერენცირებად უნიმოდალურ მოდელს.

სურათი 9-ში წარმოდგენილი სამივე შემთხვევისთვის დაკმაყოფილებულია ცალმხრივობის ზოგადი მოთხოვნა:

თუ W (x *) არის W-ის უკიდურესი, მაშინ x 1 პირობიდან< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) შემდეგნაირად W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), თუ ექსტრემუმი არის მინიმალური, ანუ, როდესაც მანძილი ექსტრემალური წერტილიდან იზრდება, W (x) ფუნქციის მნიშვნელობა განუწყვეტლივ მცირდება (იზრდება).

უნიმოდალურ მოდელებთან ერთად განიხილება პოლიმოდალური მოდელები (სურ. 10).

საპასუხო ზედაპირის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისებაა მისი კონტრასტი, რომელიც აჩვენებს მიღებული ფუნქციის მგრძნობელობას ფაქტორების ცვლილებების მიმართ. კონტრასტი ხასიათდება წარმოებულების მნიშვნელობებით. მოდით ვაჩვენოთ კონტრასტის მახასიათებლები ორგანზომილებიანი საპასუხო ზედაპირის მაგალითის გამოყენებით (ნახ. 11).

წერტილი ამდებარეობს „დახრილობაზე“, რომელიც ახასიათებს თანაბარ კონტრასტს ყველა ცვლადისთვის x i (მე= 1,2), წერტილი ბმდებარეობს „ხევში“, რომელშიც განსხვავებული კონტრასტი სხვადასხვა ცვლადისთვის (გვაქვს ფუნქციის ცუდი პირობითობა), წერტილი თანმდებარეობს „პლატოზე“, სადაც კონტრასტი დაბალია ყველა ცვლადის მიმართ x iმიუთითებს ექსტრემის სიახლოვეს.

1.5. მათემატიკური მოდელების აგების ძირითადი მეთოდები

მოდით მივცეთ მოდელირებული სისტემების ფორმალიზებული წარმოდგენის მეთოდების კლასიფიკაცია Volkova V.N. და დენისოვა ა.ა. ავტორები ხაზს უსვამენ ანალიზურ, სტატისტიკურ, სიმრავლე-თეორიულ, ლინგვისტურ, ლოგიკურ, გრაფიკულ მეთოდებს. ძირითადი ტერმინოლოგია, თეორიების მაგალითები, რომლებიც ვითარდება აღწერილი კლასების მეთოდების საფუძველზე, ასევე მათი გამოყენების ფარგლები და შესაძლებლობები შემოთავაზებულია დანართ 1-ში.

მოდელირების სისტემების პრაქტიკაში ყველაზე ფართოდ გამოიყენება ანალიტიკური და სტატისტიკური მეთოდები.

1) მათემატიკური მოდელების აგების ანალიტიკური მეთოდები.

მათემატიკური მოდელების აგების ანალიტიკური მეთოდების ტერმინოლოგიური აპარატი ეფუძნება კლასიკური მათემატიკის ცნებებს (ფორმულა, ფუნქცია, განტოლება და განტოლებათა სისტემა, უტოლობა, წარმოებული, ინტეგრალი და სხვ.). ეს მეთოდები ხასიათდება კლასიკური მათემატიკის ენის გამოყენებით ტერმინოლოგიის სიცხადითა და მართებულობით.

ანალიტიკური ცნებების საფუძველზე წარმოიშვა და განვითარდა ისეთი მათემატიკური თეორიები, როგორიცაა კლასიკური მათემატიკური ანალიზი (მაგალითად, ფუნქციების შესწავლის მეთოდები), მათემატიკური პროგრამირებისა და თამაშების თეორიის თანამედროვე საფუძვლები. გარდა ამისა, მათემატიკური პროგრამირება (წრფივი, არაწრფივი, დინამიური, მთელი რიცხვი და ა.შ.) შეიცავს როგორც პრობლემის დაყენების საშუალებას, ასევე აფართოებს მოდელის ადეკვატურობის დადასტურების შესაძლებლობებს მათემატიკის რიგი სხვა სფეროებისგან განსხვავებით. ოპტიმალური მათემატიკური პროგრამირების იდეები ეკონომიკური (კერძოდ, პლაივუდის ფურცლის ოპტიმალური ჭრის პრობლემის გადასაჭრელად) ამოცანების გადასაჭრელად შემოგვთავაზა L.V. კანტოროვიჩი.

მოდით ავხსნათ მეთოდის მახასიათებლები მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.დავუშვათ, რომ ორი სახის პროდუქტის წარმოებისთვის ადა ვთქვენ უნდა გამოიყენოთ სამი სახის ნედლეული. ამავდროულად, ამ ტიპის წარმოების ერთეულის დასამზადებლად ამოხმარებულია 4 ერთეული. პირველი ტიპის ნედლეული 2 ცალი. მე-2 და მე-3 ერთეული მე-3 ტიპი. ტიპის წარმოების ერთეულის დასამზადებლად ვმოხმარებულია 2 ერთეული. 1-ლი ტიპის ნედლეული 5 ცალი. მე-2 ტიპი და 4 ერთეული. მე-3 ტიპის ნედლეული. ქარხნის საწყობში არის 35 ერთეული. 1-ლი ტიპის ნედლეული, 43 - მე-2, 40 - მე-3 ტიპის. ტიპის წარმოების ერთეულის გაყიდვიდან აქარხანას აქვს 5 ათასი რუბლის მოგება, ხოლო ფორმის წარმოების ერთეულის გაყიდვიდან ვმოგება 9 ათასი რუბლია. აუცილებელია პრობლემის მათემატიკური მოდელის შედგენა, რომელიც უზრუნველყოფს მაქსიმალურ მოგებას.

ამ ტიპის პროდუქტის ერთეულის წარმოებისთვის ნედლეულის თითოეული ტიპის მოხმარების მაჩვენებლები მოცემულია ცხრილში. ასევე მითითებულია თითოეული ტიპის პროდუქტის რეალიზაციიდან მიღებული მოგება და ამ ტიპის ნედლეულის მთლიანი რაოდენობა, რომელიც შეიძლება გამოიყენოს საწარმომ.

მოდით აღვნიშნოთ x 1და x 2წარმოებული პროდუქციის მოცულობა ადა ვშესაბამისად. გეგმისთვის პირველი კლასის მასალის ღირებულება იქნება 4x1 + 2x 2, და არ უნდა აღემატებოდეს მარაგებს, ე.ი. 35 კგ:

4x 1 + 2x 2 35.

მეორე კლასის მასალაზე შეზღუდვები მსგავსია:

2x 1 + 5x 2 43,

ხოლო მესამე კლასის მასალაზე

3x 1 + 4x 2 40.

მოგება გაყიდვებიდან x 1წარმოების ერთეულები A და x 2წარმოების ერთეულები B იქნება ზ = 5x 1+ 9x 2(ობიექტური ფუნქცია).

ჩვენ მივიღეთ პრობლემის მოდელი:

პრობლემის გრაფიკული გადაწყვეტა ნაჩვენებია სურათზე 11.

ოპტიმალური (საუკეთესო, ანუ ფუნქციის მაქსიმუმი ზ) პრობლემის გადაწყვეტა არის A წერტილში (ამოხსნა ახსნილია მე-5 თავში).

Გავიგე x 1=4,x 2= 7, ფუნქციის მნიშვნელობა ზ A წერტილში:.

ამრიგად, მაქსიმალური მოგების ღირებულებაა 83 ათასი რუბლი.

გარდა გრაფიკულისა, ასევე არსებობს მთელი რიგი სპეციალური მეთოდები პრობლემის გადასაჭრელად (მაგალითად, simplex მეთოდი) ან გამოყენებული პროგრამული პაკეტები, რომლებიც ახორციელებენ მათ. ობიექტური ფუნქციის ტიპებიდან გამომდინარე განასხვავებენ წრფივ და არაწრფივ პროგრამირებას, ცვლადების ბუნებიდან გამომდინარე განასხვავებენ მთელ რიცხვებს.

მათემატიკური პროგრამირების ზოგადი მახასიათებლები შეიძლება განვასხვავოთ:

1) ობიექტური ფუნქციის კონცეფციის დანერგვა და შეზღუდვები არის პრობლემის დაყენების საშუალება;

2) შესაძლებელია ერთ მოდელში განსხვავებული კრიტერიუმების გაერთიანება (სხვადასხვა ზომები, მაგალითში - ნედლეულის მარაგი და მოგება);

3) მათემატიკური პროგრამირების მოდელი საშუალებას იძლევა გადავიდეს ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის საზღვარზე;

4) შედეგების მიღების ეტაპობრივი ალგორითმის განხორციელების შესაძლებლობა (ეტაპობრივი დაახლოება ოპტიმალურ გადაწყვეტასთან);

5) სიცხადე, მიღწეული პრობლემის გეომეტრიული ინტერპრეტაციით, რაც ეხმარება იმ შემთხვევებში, როდესაც შეუძლებელია პრობლემის ფორმალურად გადაჭრა.

2) მათემატიკური მოდელების აგების სტატისტიკური მეთოდები.

მათემატიკური მოდელების აგების სტატისტიკური მეთოდები ფართოდ გავრცელდა და ფართოდ გამოყენება დაიწყო ალბათობის თეორიის განვითარებით მე-19 საუკუნეში. ისინი ეფუძნება შემთხვევითი (სტოქასტური) მოვლენების ალბათურ კანონებს, რომლებიც ასახავს რეალურ მოვლენებს. ტერმინი "სტოქასტური" არის "შემთხვევითი" ცნების გარკვევა, მიუთითებს წინასწარ განსაზღვრულ, განსაზღვრულ მიზეზებზე, რომლებიც გავლენას ახდენენ პროცესზე, ხოლო "შემთხვევითი" კონცეფცია ხასიათდება დამოუკიდებლობით ასეთი მიზეზების გავლენისგან ან არარსებობისგან.

სტატისტიკური შაბლონები წარმოდგენილია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების და მათი მნიშვნელობების გარეგნობის შაბლონების სახით ან მოვლენების (პროცესების) განაწილების უწყვეტი დამოკიდებულების სახით. სტოქასტური მოდელების აგების თეორიული საფუძვლები დეტალურად არის აღწერილი მე-2 თავში.

საკონტროლო კითხვები

1. ჩამოაყალიბეთ მათემატიკური მოდელირების მთავარი პრობლემა.

2. მიეცით მათემატიკური მოდელის განმარტება.

3. ჩამოთვალეთ კვლევაში ექსპერიმენტული მიდგომის ძირითადი უარყოფითი მხარეები.

4. ჩამოთვალეთ მოდელის აგების ძირითადი ეტაპები.

5. ჩამოთვალეთ მათემატიკური მოდელების ტიპები.

6. მიეცით მოდელების ტიპების მოკლე აღწერა.

7. რა ფორმას იღებს მათემატიკური მოდელი გეომეტრიულად წარმოდგენისას?

8. როგორ ზუსტდება ანალიტიკური ტიპის მათემატიკური მოდელები?

Დავალებები

1. შეადგინეთ პრობლემის გადაჭრის მათემატიკური მოდელი და კლასიფიცირეთ მოდელი:

1) დაადგინეთ ცილინდრული ვედროს მაქსიმალური ტევადობა, რომლის ზედაპირი (სახურავის გარეშე) არის S.

2) საწარმო უზრუნველყოფს რეგულარულ წარმოებას კომპონენტების უპრობლემოდ მიწოდებით ორი ქვეკონტრაქტორისგან. მიწოდებაზე უარის ალბათობა პირველი სუბკონტრაქტორისგან -, მეორედან -. იპოვნეთ საწარმოს მარცხის ალბათობა.

2. მალტუსის მოდელი (1798) აღწერს მოსახლეობის რეპროდუქციას მისი ზომის პროპორციული სიჩქარით. დისკრეტული ფორმით, ეს კანონი არის გეომეტრიული პროგრესია:; ან დიფერენციალური განტოლების სახით დაწერილი კანონი არის პოპულაციის ექსპონენციალური ზრდის მოდელი და კარგად აღწერს უჯრედების პოპულაციის ზრდას რაიმე შეზღუდვის არარსებობის შემთხვევაში. დააყენეთ საწყისი პირობები და აჩვენეთ როგორ მუშაობს მოდელი.

სისტემების ფუნქციონირების პროცესების MM-ის აგების საწყისი ინფორმაცია არის მონაცემები გამოკვლეული (პროექტირებული) S სისტემის დანიშნულებისა და მუშაობის პირობების შესახებ. ეს ინფორმაცია განსაზღვრავს მოდელირების მთავარ მიზანს, MM-ის მოთხოვნებს, აბსტრაქციის დონეს. და მათემატიკური მოდელირების სქემის არჩევა.

Შინაარსი მათემატიკური სქემასაშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ მათემატიკა არა როგორც გაანგარიშების მეთოდი, არამედ როგორც აზროვნების მეთოდი, ცნებების ჩამოყალიბების საშუალება, რაც ყველაზე მნიშვნელოვანია სიტყვიერი აღწერიდან მისი ფუნქციონირების პროცესის ფორმალიზებულ წარმოდგენაზე გადასვლისას. რამდენიმე მმ.

ხალიჩის გამოყენებისას. სქემა, უპირველეს ყოვლისა, სისტემის მკვლევარს უნდა აინტერესებდეს ჩვენების ადეკვატურობის საკითხი შესწავლილ სისტემაში რეალური პროცესების კონკრეტული სქემების სახით და არა პასუხის მიღების შესაძლებლობა (გადაწყვეტის შედეგი). კონკრეტულ საკვლევ კითხვაზე.

მაგალითად, კოლექტიური გამოყენებისთვის ICS-ის ფუნქციონირების პროცესის წარმოდგენა რიგის სქემების ქსელის სახით შესაძლებელს ხდის კარგად აღწეროს სისტემაში მიმდინარე პროცესები, მაგრამ შემომავალი ნაკადების და მომსახურების ნაკადების რთული კანონებით, იგი არ იძლევა შედეგების მკაფიო ფორმით მიღებას.

მათემატიკური სქემაშეიძლება განისაზღვროს, როგორც რგოლი სისტემის ფუნქციონირების პროცესის გააზრებულიდან ფორმალიზებულ აღწერაზე გადასვლისას, გარე გარემოს გავლენის გათვალისწინებით. იმათ. არსებობს ჯაჭვი: აღწერითი მოდელი - მათემატიკური სქემა - სიმულაციური მოდელი.

თითოეულ სპეციფიკურ სისტემას S ახასიათებს თვისებების ნაკრები, რომლებიც გაგებულია, როგორც მნიშვნელობები, რომლებიც ასახავს მოდელირებული ობიექტის (რეალური სისტემის) ქცევას და მისი ფუნქციონირების პირობებს გარე გარემოსთან (სისტემა) E.

S სისტემის MM-ის აგებისას აუცილებელია მისი სისრულის საკითხის გადაჭრა. მოდელირების სისრულე რეგულირდება ძირითადად საზღვრების არჩევით "System S - გარემო E". ასევე, უნდა მოგვარდეს MM-ის გამარტივების პრობლემა, რაც ხელს უწყობს სისტემის ძირითადი თვისებების ხაზგასმას, მოდელირების მეორეხარისხოვან მიზნებს.

სიმულაციური ობიექტის მმ, ე.ი. სისტემის S შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიდიდეების ერთობლიობით, რომელიც აღწერს რეალური სისტემის ფუნქციონირების პროცესს და ზოგად შემთხვევაში ქმნის შემდეგ ქვეჯგუფებს:

X-ის კომპლექტი - შეყვანის გავლენა Sх i Х, i = 1… n x;

გარე გარემოს მთლიანობა გავლენას ახდენს v l V, l = 1… n v;

სისტემის შიდა (შინაგანი) პარამეტრების სიმრავლე h k H, k = 1… n h;

სისტემის გამომავალი მახასიათებლების სიმრავლე y j Y, j = 1… n y.

ჩამოთვლილ კომპლექტებში შეიძლება გამოიყოს კონტროლირებადი და უკონტროლო რაოდენობები. ზოგადად, X, V, H, Y არის არაერთგვაროვანი კომპლექტები, რომლებიც შეიცავს როგორც დეტერმინისტულ, ასევე სტოქასტურ კომპონენტებს. შეყვანის მოქმედებები E და შიდა პარამეტრები S არის დამოუკიდებელი (ეგზოგენური) ცვლადები.გამომავალი მახასიათებლები - დამოკიდებული ცვლადები (ენდოგენური)... ოპერაციის პროცესი S აღწერილია ოპერატორი F S-ის მიერ:

(1)

გამომავალი ტრაექტორია F S - ფუნქციონირების კანონი S.F S შეიძლება იყოს ფუნქცია, ფუნქციური, ლოგიკური პირობები, ალგორითმი, ცხრილი ან წესების სიტყვიერი აღწერა.

ფუნქციონირების ალგორითმი A S - გამოსავალი მახასიათებლების მიღების მეთოდი შეყვანის გავლენის გათვალისწინებით ცხადია, ერთი და იგივე FS შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა გზით, ე.ი. მრავალი განსხვავებული A S-ის გამოყენებით.

მიმართება (1) არის S ობიექტის მოდელირების ქცევის მათემატიკური აღწერა t დროში, ე.ი. ასახავს მას დინამიური თვისებები... (1) არის S სისტემის დინამიური მოდელი. სტატიკური პირობებისთვის MM არის X, V, H ასახვები Y-ში, ე.ი. (2)

ურთიერთობები (1), (2) შეიძლება დაზუსტდეს ფორმულებით, ცხრილებით და ა.შ.

ასევე, ურთიერთობები ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება მიღებულ იქნეს სისტემის თვისებების მეშვეობით დროის კონკრეტულ მომენტებში, სახელწოდებით მდგომარეობები.

S სისტემის მდგომარეობები ხასიათდება ვექტორებით:

და , სად მომენტში t l  (t 0, T)

მომენტში t ll  (t 0, T) და ა.შ. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) არის წერტილის კოორდინატები k-განზომილებიანი ფაზის სივრცეში. პროცესის თითოეული განხორციელება შეესაბამება გარკვეულ ფაზის ტრაექტორიას.

მდგომარეობის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის სიმრავლეს () ეწოდება მოდელირების ობიექტის მდგომარეობის სივრცე Z და z k Z.

სისტემის მდგომარეობა S დროის ინტერვალში t 0 , სადაც შეყვანილია, შიდა პარამეტრები და გარე გარემოს ეფექტები, რომლებიც ხდებოდა დროის ინტერვალის დროს t * - t 0 2 ვექტორული განტოლების გამოყენებით:

; (3)

წინააღმდეგ შემთხვევაში: . (5)

დრო მოდში. S შეიძლება ჩაითვალოს სიმულაციის ინტერვალზე (t 0, T) როგორც უწყვეტი, ასევე დისკრეტული, ე.ი. კვანტიზებული t სიგრძის სეგმენტზე.

ამრიგად, ობიექტის MM-ის ქვეშ ჩვენ ვგულისხმობთ ცვლადების სასრულ კომპლექტს () მათ და მახასიათებლებს შორის მათემატიკური კავშირებით.

მოდელირებას ეწოდება დეტერმინისტული, თუ F, Ф ოპერატორები დეტერმინისტულია, ე.ი. კონკრეტული შეყვანისთვის, გამომავალი არის დეტერმინისტული. დეტერმინისტული მოდელირება არის სტოქასტური მოდელირების განსაკუთრებული შემთხვევა. პრაქტიკაში, სისტემის ანალიზის სფეროში ობიექტების მოდელირება კვლევის პირველად ეტაპებზე უფრო რაციონალურია სტანდარტული მათემატიკური სქემების გამოსაყენებლად: განსხვავებები. განტოლებები, სასრული და ალბათური ავტომატები, QS და ა.შ.

არ ფლობდა. განზოგადების ისეთი ხარისხი, როგორიცაა მოდელები (3), (4), ტიპიური მათემატიკური სქემებიაქვს სიმარტივის და სიცხადის უპირატესობა, მაგრამ გამოყენების სფეროს მნიშვნელოვანი შევიწროებით.

როგორც განმსაზღვრელიმოდელები, როდესაც შემთხვევითი ფაქტი არ არის გათვალისწინებული კვლევაში, დიფერენციალური, ინტეგრალური და სხვა განტოლებები გამოიყენება უწყვეტ დროში მოქმედი სისტემების წარმოსაჩენად, ხოლო სასრული ავტომატებისა და სასრული განსხვავებების სქემები გამოიყენება დისკრეტულ დროში მოქმედი სისტემების წარმოსადგენად.

სტოქასტური მოდელების დასაწყისში (შემთხვევითი ფაქტორის გათვალისწინებით), ალბათური ავტომატები გამოიყენება დისკრეტული დროის მქონე სისტემების წარმოსადგენად, ხოლო რიგის სისტემები (QS) გამოიყენება უწყვეტი დროის მქონე სისტემების წარმოსადგენად. Ე. წ აგრეგატიმოდელები.

აგრეგატული მოდელები (სისტემები) შესაძლებელს ხდის საკვლევი ობიექტების ფართო სპექტრის აღწერას ამ ობიექტების სისტემური ბუნების ასახვით. ეს არის აგრეგატური აღწერით, რომ რთული ობიექტი იყოფა სასრული რაოდენობის ნაწილებად (ქვესისტემებად), კავშირების შენარჩუნებისას, ნაწილების ურთიერთქმედების უზრუნველყოფას.

16 მათემატიკური სქემები მოდელირების სისტემებისთვის.

სისტემის მათემატიკური მოდელების აგების ძირითადი მიდგომები. განუწყვეტლივ დეტერმინისტული მოდელები. დისკრეტულ-დეტერმინისტული მოდელები. დისკრეტული სტოქასტური მოდელები. უწყვეტი სტოქასტური მოდელები. ქსელის მოდელები. კომბინირებული მოდელები.

სისტემის მათემატიკური მოდელების აგების ძირითადი მიდგომები.

საწყისი ინფორმაცია სისტემების ფუნქციონირების პროცესების მათემატიკური მოდელების აგებისას არის მონაცემები გამოკვლეული (დაპროექტებული) სისტემის დანიშნულებისა და მუშაობის პირობების შესახებ. ს.

მათემატიკური სქემები

რეალური პროცესები ნაჩვენებია კონკრეტული დიაგრამების სახით. მეთიუ. სქემები - გადასვლა მნიშვნელოვანი აღწერიდან სისტემის ფორმალურ აღწერაზე, გარემოზე ზემოქმედების გათვალისწინებით.

ფორმალური ობიექტის მოდელი

სიმულაციური ობიექტის მოდელი,

ანუ სისტემები S,შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რაოდენობების ერთობლიობით,

რეალური სისტემის ფუნქციონირების პროცესის აღწერა და გენერირება

ზოგადად შემდეგი ქვეჯგუფები:

Აგრეგატი შეყვანის მოქმედებებითითო სისტემაზე

NSმე, ყოფილი, (ე- პერსონაჟი ეკუთვნის)მე=1; nx

Აგრეგატი გარემოზე ზემოქმედება

ვლ ევl = 1; nv

Აგრეგატი შიდა (საკუთარი) პარამეტრებისისტემები

ჰკეჰk = 1; nh

Აგრეგატი გამომავალი მახასიათებლებისისტემები

yJeYj = 1; ny

თქვენ შეგიძლიათ განასხვავოთ მართული და უმართავი ცვლადები.

სისტემების მოდელირებისას, შეყვანის ზემოქმედება, გარემოზე ზემოქმედება და შიდა პარამეტრები შეიცავს როგორც დეტერმინისტულ, ასევე სტოქასტურ კომპონენტებს.

შეყვანის გავლენა, გარემოზე ზემოქმედება ედა სისტემის შიდა პარამეტრებია დამოუკიდებელი (ეგზოგენური) ცვლადები.

სისტემის მუშაობის პროცესი სოპერატორის მიერ დროულად აღწერილი Fs,რომელიც ზოგად შემთხვევაში გარდაქმნის ეგზოგენურ ცვლადებს ენდოგენურებად ფორმის მიმართებების შესაბამისად:

წ(t) = Fs (x, ვ, თ, ტ) - ყველა ვეკტორი.

სისტემის ფუნქციონირების კანონი Fs შეიძლება განისაზღვროს ფუნქციის სახით, ფუნქციური, ლოგიკური პირობებით, ალგორითმული და ტაბულური ფორმით, ან სიტყვიერი შესაბამისობის წესის სახით.

ფუნქციონირების ალგორითმის კონცეფცია როგორც -გამომავალი მახასიათებლების მიღების მეთოდი შეყვანის მოქმედებების, გარე გარემოს ეფექტებისა და სისტემის შინაგანი პარამეტრების გათვალისწინებით.

ასევე წარმოდგენილია სისტემის მდგომარეობები - სისტემის თვისებები დროის კონკრეტულ მომენტებში.

მდგომარეობების ყველა შესაძლო მნიშვნელობის მთლიანობა წარმოადგენს ობიექტის მდგომარეობის სივრცეს.

ამრიგად, ობიექტის განტოლებების ჯაჭვი "შეყვანა - მდგომარეობა - გამომავალი" საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ სისტემის მახასიათებლები:

ამრიგად, ქვეშ ობიექტის მათემატიკური მოდელი(რეალური სისტემა) ცვლადების სასრულ ქვეჯგუფის გაგება (x (t), v (t), თ(ტ)) მათსა და მახასიათებლებს შორის მათემატიკური კავშირებთან ერთად y (t).

ტიპიური სქემები

კვლევის საწყის ეტაპზე გამოიყენება სტანდარტული სქემები. : დიფერენციალური განტოლებები, სასრული და ალბათური ავტომატები, რიგის სისტემები, პეტრის ბადეები და ა.შ.

დიფერენციალური, ინტეგრალური, ინტეგრო-დიფერენციალური და სხვა განტოლებები გამოიყენება უწყვეტ დროში მოქმედი სისტემების წარმოსადგენად, როგორც დეტერმინისტული მოდელები, როდესაც შემთხვევითი ფაქტორები არ არის გათვალისწინებული კვლევაში, ხოლო სასრული ავტომატები და სასრული განსხვავებების სქემები გამოიყენება სისტემების წარმოსადგენად. დისკრეტული დრო....

ალბათური ავტომატები გამოიყენება როგორც სტოქასტური მოდელები (შემთხვევითი ფაქტორების გათვალისწინებით) დისკრეტული დროის მქონე სისტემების წარმოსადგენად, ხოლო რიგის სისტემები გამოიყენება უწყვეტი დროის წარმოსადგენად და ა.შ.

ამრიგად, სისტემების ფუნქციონირების პროცესების მათემატიკური მოდელების აგებისას შეიძლება გამოიყოს შემდეგი ძირითადი მიდგომები: უწყვეტი-დეტერმინისტული (მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებები); დისკრეტულ-დეტერმინისტული (სასრული ავტომატები); დისკრეტული სტოქასტური (ალბათური ავტომატები); უწყვეტი-სტოქასტური (რიგის სისტემები); განზოგადებული, ან უნივერსალური (აგრეგატული სისტემები).

განუწყვეტლივ დეტერმინისტული მოდელები

განვიხილოთ უწყვეტი დეტერმინისტული მიდგომის მახასიათებლები მაგალითის გამოყენებით, Mat-ის გამოყენებით. მოდელები დიფერენციალური განტოლებები.

დიფერენციალური განტოლებები არის ის განტოლებები, რომლებშიც ერთი ცვლადის ან რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები უცნობია და განტოლება მოიცავს არა მხოლოდ მათ ფუნქციებს, არამედ სხვადასხვა რიგის მათ წარმოებულებს.

თუ უცნობი რამდენიმე ცვლადის ფუნქციაა, მაშინ განტოლებები ეწოდება - ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები.თუ ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის უცნობი ფუნქციები, მაშინ ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები.

ზოგადი მათემატიკური ურთიერთობა დეტერმინისტული სისტემებისთვის:

დისკრეტულ-დეტერმინისტული მოდელები.

DDM ექვემდებარება განხილვას ავტომატების თეორია (TA)... TA არის თეორიული კიბერნეტიკის განყოფილება, რომელიც სწავლობს მოწყობილობებს, რომლებიც ამუშავებენ დისკრეტულ ინფორმაციას და ცვლიან მათ შიდა მდგომარეობას მხოლოდ მისაღებ დროს.

სახელმწიფო მანქანა ეწოდება ავტომატი, რომელშიც შიდა მდგომარეობების და შეყვანის სიგნალების სიმრავლე (და, შესაბამისად, გამომავალი სიგნალების ნაკრები) არის სასრული ნაკრები.

სასრული მდგომარეობის მანქანააქვს მრავალი შიდა მდგომარეობა და შეყვანის სიგნალი, რომლებიც სასრულ კომპლექტია. მანქანამოცემულია F სქემით: F = ,

სადაც z, x, y არის, შესაბამისად, შემავალი და გამომავალი სიგნალების სასრული ნაკრები (ანბანი) და შიდა მდგომარეობების სასრული ნაკრები (ანბანი). z0ÎZ - საწყისი მდგომარეობა; j (z, x) - გარდამავალი ფუნქცია; y (z, x) - გასასვლელი ფუნქცია.

ავტომატი მუშაობს დისკრეტულ ავტომატურ დროში, რომლის მომენტები არის ციკლები, ანუ თანაბარი დროის ინტერვალები ერთმანეთის მიმდებარედ, რომელთაგან თითოეული შეესაბამება შეყვანის, გამომავალი სიგნალის და შიდა მდგომარეობის მუდმივ მნიშვნელობებს. აბსტრაქტულ ავტომატს აქვს ერთი შემავალი და ერთი გამომავალი არხი.

F - ავტომატის განსაზღვრისთვის აუცილებელია F = სიმრავლის ყველა ელემენტის აღწერა , ანუ შეყვანის, შიდა და გამომავალი ანბანები, ასევე გარდამავალი და გამომავალი ფუნქციები. F - ავტომატების მუშაობის დასაყენებლად ყველაზე ხშირად გამოიყენება ტაბულური, გრაფიკული და მატრიცული მეთოდები.

დაყენების ტაბულური წესით გამოიყენება გადასვლის და გამომავალი ცხრილები, რომელთა რიგები შეესაბამება ავტომატის შეყვანის სიგნალებს, ხოლო სვეტები - მის მდგომარეობებს.

Სამუშაოს აღწერა ფ- მაილის ავტომატიგადასვლების j და გამოსავლები y ცხრილები ილუსტრირებულია ცხრილით (1), ხოლო F - მურის ავტომატის აღწერა - ილუსტრირებულია გადასვლების ცხრილით (2).

ცხრილი 1

გადასვლები
…………………………………………………………
…………………………………………………………

ცხრილი 2

…………………………………………………………

F-ის დაზუსტების ცხრილური ხერხის მაგალითები - Mealy ავტომატი F1 სამი მდგომარეობით, ორი შემავალი და ორი გამომავალი სიგნალით მოცემულია ცხრილში 3, ხოლო F-სთვის - Moore automaton F2 - ცხრილში 4.

ცხრილი 3

გადასვლები

ცხრილი 4

სასრული მდგომარეობის მანქანის განსაზღვრის სხვა გზა იყენებს მიმართული გრაფიკის კონცეფციას. ავტომატური გრაფიკი არის წვეროების ერთობლიობა, რომელიც შეესაბამება ავტომატის სხვადასხვა მდგომარეობას და აკავშირებს გრაფიკული რკალების წვეროებს, რომლებიც შეესაბამება ავტომატის გარკვეულ გადასვლებს. თუ შემავალი სიგნალი xk იწვევს zi მდგომარეობიდან zj მდგომარეობაზე გადასვლას, მაშინ ავტომატურ გრაფიკზე zi წვეროს zj წვეროსთან დამაკავშირებელი რკალი აღინიშნება xk-ით. გადასვლის ფუნქციის დასაყენებლად, გრაფიკის რკალი უნდა იყოს მონიშნული შესაბამისი გამომავალი სიგნალებით.

ბრინჯი. 1. მელის (ა) და მურის (ბ) ავტომატების გრაფიკები.

მოდელირების პრობლემების გადაჭრისას, სასრული მდგომარეობის მანქანის მატრიცული განმარტება ხშირად უფრო მოსახერხებელი ფორმაა. ამ შემთხვევაში, ავტომატის შეერთებების მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა C = || cij ||, რომლის რიგები შეესაბამება საწყის მდგომარეობებს, სვეტები კი გარდამავალ მდგომარეობებს.

მაგალითი. ადრე განხილული მურის ავტომატისთვის F2, ჩვენ ვწერთ მდგომარეობის მატრიცას და გამომავალ ვექტორს:

;

დისკრეტული სტოქასტური მოდელები

ვთქვათ Ф იყოს ფორმის ყველა შესაძლო წყვილის სიმრავლე (zk, yi), სადაც уi არის გამოსავლის ელემენტი.

ქვესიმრავლე Y. ჩვენ ვითხოვთ, რომ G სიმრავლის ნებისმიერი ელემენტი გამოიწვიოს

F სიმრავლეზე განაწილების კანონი შემდეგი ფორმისაა:

ელემენტები Ф-დან (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

საინფორმაციო ქსელები "href =" / text / kategori / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> კომპიუტერული ინფორმაციის დამუშავება დისტანციური ტერმინალებიდან და ა.შ.

ამავე დროს, დამახასიათებელია

ასეთი ობიექტების მოქმედება არის აპლიკაციების (მოთხოვნების) შემთხვევითი გამოჩენა

მომსახურება და მომსახურების შეწყვეტა შემთხვევით დროს,

ანუ მათი ფუნქციონირების პროცესის სტოქასტური ბუნება.

QS გაგებულია, როგორც დინამიური სისტემა, რომელიც შექმნილია აპლიკაციების შემთხვევითი ნაკადის ეფექტურად მომსახურებისთვის შეზღუდული სისტემური რესურსებით. QS-ის განზოგადებული სტრუქტურა ნაჩვენებია სურათზე 3.1.

ბრინჯი. 3.1. SMO სქემა.

ერთგვაროვანი პრეტენზიები, რომლებიც მოდიან QS-ის შესავალში, იყოფა ტიპებად, გამომწვევი მიზეზის მიხედვით, i ტიპის პრეტენზიების ნაკადის ინტენსივობა (i = 1 ... M) აღინიშნება li-ით. ყველა ტიპის განაცხადის მთლიანობა არის QS-ის შემომავალი ნაკადი.

აპლიკაციების სერვისი ხორციელდება მარხები.

განასხვავებენ უნივერსალურ და სპეციალიზებულ სერვის არხებს. j ტიპის უნივერსალური არხისთვის ცნობილია თვითნებური ტიპის მოთხოვნების მომსახურების ხანგრძლივობის Fji (t) ფუნქციები. სპეციალიზებული არხებისთვის, გარკვეული ტიპის პრეტენზიების არხების მომსახურების ხანგრძლივობის განაწილების ფუნქციები განუსაზღვრელია, ამ პრეტენზიების მინიჭება ამ არხზე.

Q - სქემები შეიძლება გამოიკვლიოს ანალიტიკურად და სიმულაციური მოდელებით. ეს უკანასკნელი უზრუნველყოფს დიდ მრავალფეროვნებას.

განვიხილოთ რიგის კონცეფცია.

მომსახურების ნებისმიერ ელემენტარულ აქტში შეიძლება გამოიყოს ორი ძირითადი კომპონენტი: პრეტენზიით მომსახურების მოლოდინი და მოთხოვნის ფაქტობრივი მომსახურება. ეს შეიძლება აისახოს ზოგიერთი i-ე სერვისული მოწყობილობის სახით Pi, რომელიც შედგება პრეტენზიის აკუმულატორისგან, რომელშიც შეიძლება იყოს ერთდროულად li = 0 ... LiH პრეტენზიები, სადაც LiH არის i-ე აკუმულატორის სიმძლავრე და საჩივრის სერვისის არხი, ki.

ბრინჯი. 3.2. CMO მოწყობილობის სქემატური დიაგრამა

მომსახურე მოწყობილობის Pi-ის თითოეული ელემენტი იღებს მოვლენების ნაკადს: პრეტენზიების ნაკადი wi აკუმულატორთან Hi, და სერვისის ui-ის ნაკადი არხზე ki.

მოვლენათა ნაკადით(PS) არის მოვლენების თანმიმდევრობა, რომლებიც ხდება ერთმანეთის მიყოლებით დროის ზოგიერთ შემთხვევით მომენტში. განასხვავებენ ერთგვაროვან და ჰეტეროგენულ მოვლენათა ნაკადებს. ერთგვაროვანი PS ხასიათდება მხოლოდ ამ მოვლენების მოსვლის მომენტებით (გამომწვევი მომენტები) და მოცემულია მიმდევრობით (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), სადაც tn არის n-ის ჩასვლის მომენტი. მოვლენა - არაუარყოფითი რეალური რიცხვი. TSA ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც დროის ინტერვალების თანმიმდევრობა n-ე და n-1-ე მოვლენებს შორის (tn).

ჰეტეროგენული PS ეწოდება მიმდევრობას (tn, fn), სადაც tn - მომენტების გამომწვევი; fn - მოვლენის ატრიბუტების ნაკრები. მაგალითად, ის შეიძლება მიენიჭოს პრეტენზიების ამა თუ იმ წყაროს, პრიორიტეტის არსებობას, ამა თუ იმ ტიპის არხის სერვისის შესაძლებლობას და ა.შ.

არხის ki-ს მიერ მოწოდებული პრეტენზიები და პრეტენზიები, რომლებმაც დატოვეს სერვერი Pi სხვადასხვა მიზეზის გამო, არ იყო მომსახურე, ქმნიან გამომავალ ნაკადს yiÎY.

სერვის მოწყობილობის Pi-ს ფუნქციონირების პროცესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მისი ელემენტების მდგომარეობის შეცვლის პროცესი Zi (t) დროში. Pi-სთვის ახალ მდგომარეობაზე გადასვლა ნიშნავს მასში არსებული მოთხოვნების რაოდენობის ცვლილებას (არხზე ki და აკუმულატორი Hi). რომ. მდგომარეობების ვექტორს Pi-სთვის აქვს ფორმა:, სადაც არის წამყვანი მდგომარეობები, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height = 28" > = 1 - საცავში არის ერთი მოთხოვნა ..., = - საცავი სრულად არის დაკავებული; - არხის ki მდგომარეობა (= 0 - არხი თავისუფალია, = 1 არხი დაკავებულია).

რეალური ობიექტების Q-დიაგრამები იქმნება მრავალი ელემენტარული სერვისული მოწყობილობის შემადგენლობით Pi. თუ ki სხვადასხვა სერვისის მოწყობილობა დაკავშირებულია პარალელურად, მაშინ არის მრავალარხიანი სერვისი (მრავალარხიანი Q ჩართვა), ხოლო თუ Pi მოწყობილობები და მათი პარალელური კომპოზიციები დაკავშირებულია სერიულად, მაშინ არის მრავალფაზიანი სერვისი (მრავალფაზიანი Q-ჩართვა).

Q-სქემის განსაზღვრისათვის ასევე აუცილებელია მისი ფუნქციონირების ალგორითმების აღწერა, რომლებიც განსაზღვრავენ პრეტენზიების ქცევის წესებს სხვადასხვა ორაზროვან სიტუაციებში.

ასეთი სიტუაციების წარმოშობის ადგილიდან გამომდინარე, არსებობს ალგორითმები (დისციპლინები) აკუმულატორში Нi პრეტენზიების მოლოდინისთვის და არხზე ki-ზე პრეტენზიების მომსახურებისთვის. აპლიკაციების ნაკადის ჰეტეროგენულობა მხედველობაში მიიღება პრიორიტეტული კლასის - ფარდობითი და აბსოლუტური პრიორიტეტების შემოღებით.

რომ. Q-სქემა, რომელიც აღწერს ნებისმიერი სირთულის QS-ის ფუნქციონირების პროცესს, ცალსახად განისაზღვრება, როგორც კომპლექტების ნაკრები: Q = .

ქსელის მოდელები.

პარალელური სისტემებისა და პროცესების სტრუქტურისა და ურთიერთქმედების ფორმალური აღწერისთვის, აგრეთვე რთულ სისტემებში მიზეზ-შედეგობრივი ურთიერთობების ანალიზისთვის გამოიყენება პეტრის ბადეები, სახელწოდებით N-სქემები.

ფორმალურად, N- სქემა მოცემულია ფორმის ოთხმაგად

N = ,

სადაც B არის სიმბოლოთა სასრული ნაკრები, რომელსაც ეწოდება პოზიციები, B ≠ O;

D არის სიმბოლოების სასრული ნაკრები, რომელსაც ეწოდება გადასვლები D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - შეყვანის ფუნქცია (პირდაპირი ინციდენტის ფუნქცია)

I: B × D → (0, 1); О - გამომავალი ფუნქცია (შებრუნებული ინციდენტის ფუნქცია),

О: B × D → (0, 1). ამრიგად, შეყვანის ფუნქცია I ასახავს dj-ზე გადასვლას

შეყვანის პოზიციების ნაკრები bj I (dj) და გამომავალი ფუნქციის O რუკები

dj გამომავალი პოზიციების სიმრავლეზე გადასვლა bj О (dj). ყოველი გადასვლისთვის

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, მ; n = | B |, m = | D |.

ანალოგიურად, თითოეული პოზიციისთვის bi B, მოცემულია განმარტებები

I (bi) და გამომავალი გადასვლების შეყვანის გადასვლების ნაკრები

პოზიცია O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

პეტრის ქსელი არის ორმხრივი მიმართული გრაფიკი, რომელიც შედგება ორი ტიპის წვეროებისაგან - პოზიციები და გადასვლები, რომლებიც დაკავშირებულია რკალებით; ერთი და იგივე ტიპის წვეროები არ შეიძლება პირდაპირ დაუკავშირდეს.

პეტრის ბადის მაგალითი. თეთრი წრეები მიუთითებს პოზიციებზე, ზოლები - გადასვლები, შავი წრეები - ეტიკეტები.

ორიენტაციის რკალი აკავშირებს პოზიციებსა და გადასვლებს, თითოეული რკალი მიმართულია ერთი ნაკრების ელემენტიდან (პოზიცია ან გადასვლა) სხვა კომპლექტის ელემენტზე.

(გარდამავალი ან პოზიცია). N-დიზაინის გრაფიკი არის მულტიგრაფიული, რადგან ის

აღიარებს მრავალი რკალის არსებობას ერთი წვეროდან მეორეზე.

დაშლა "href =" / text / kategori / dekompozitciya / "rel =" bookmark "> დაშლა რთული სისტემა წარმოდგენილია როგორც ურთიერთდაკავშირებული ელემენტების მრავალდონიანი სტრუქტურა, რომელიც გაერთიანებულია სხვადასხვა დონის ქვესისტემებში.

აგრეგატი მოქმედებს როგორც A-დიაგრამის ელემენტი, ხოლო აგრეგატებს შორის კავშირი (S სისტემის შიგნით და E გარე გარემოსთან) ხორციელდება კონიუგაციის ოპერატორი R-ის გამოყენებით.

ნებისმიერ ერთეულს ახასიათებს შემდეგი კომპლექტები: ჯერ T, შეყვანის X და გამომავალი Y სიგნალები, მდგომარეობები Z ყოველ დროს t მომენტში. ერთეულის მდგომარეობა tT დროს აღინიშნება როგორც z (t) Z,

და შემავალი და გამომავალი სიგნალები, როგორც x (t) X და y (t) Y, შესაბამისად.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ აგრეგატის გადასვლა z მდგომარეობიდან z (t1) მდგომარეობიდან z (t2) ≠ z (t1) ხდება დროის მოკლე ინტერვალში, ანუ ხდება ნახტომი δz.

ერთეულის გადასვლები z (t1) მდგომარეობიდან z (t2) მდგომარეობიდან გამომდინარე განისაზღვრება თავად ერთეულის h (t) H და შემავალი სიგნალების x (t) X-ის შინაგანი (შიდა) პარამეტრებით.

t0 საწყის მომენტში, z მდგომარეობებს აქვთ z0-ის ტოლი მნიშვნელობები, ანუ z0 = z (t0), მოცემულია z (t) პროცესის განაწილების კანონით t0 დროს, კერძოდ J. დავუშვათ, რომ პროცესი ერთეულის ფუნქციონირება მოქმედების შემთხვევაში შეყვანის სიგნალი xn აღწერილია შემთხვევითი ოპერატორი V-ს მიერ. შემდეგ, იმ მომენტში, როდესაც შეყვანის სიგნალი ჩამოდის ერთეულში tnT.

xn შეგიძლიათ განსაზღვროთ მდგომარეობა

z (tn + 0) = V.

ჩვენ აღვნიშნავთ ტაიმის ინტერვალს t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

V და U შემთხვევითი ოპერატორების კოლექცია განიხილება, როგორც აგრეგატის ახალ მდგომარეობებზე გადასვლის ოპერატორი. ამ შემთხვევაში, განყოფილების ფუნქციონირების პროცესი შედგება δz მდგომარეობების გადახტომისგან x შეყვანის სიგნალების შემოსვლის მომენტებში (ოპერატორი V) და მდგომარეობების ცვლილებები ამ მომენტებს tn და tn + 1 (ოპერატორი U) შორის. არავითარი შეზღუდვა არ არის დაწესებული U ოპერატორზე; ამიტომ, δz მდგომარეობების გადახტომა იმ დროს, რომელიც არ არის x შეყვანის სიგნალების ჩამოსვლის დრო, დასაშვებია. შემდეგში, δz ნახტომის მომენტებს ეწოდებიან tδ დროის განსაკუთრებულ მომენტებს, ხოლო მდგომარეობებს z (tδ) - A-ს სქემის სპეციალური მდგომარეობები. δz მდგომარეობების გადახტომების აღსაწერად tδ განსაკუთრებულ დროში, გამოვიყენებთ შემთხვევით ოპერატორს W, რომელიც არის U ოპერატორის განსაკუთრებული შემთხვევა, ე.ი.

z (tδ + 0) = ვ.

Z მდგომარეობების სიმრავლეში განასხვავებენ Z (Y) ქვესიმრავლეს, რომ თუ z (tδ) მიაღწევს Z (Y), მაშინ ეს მდგომარეობა არის გამომავალი ოპერატორის მიერ განსაზღვრული გამომავალი სიგნალის გაცემის მომენტი.

y = გ.

ამრიგად, აგრეგატში ვგულისხმობთ ნებისმიერ ობიექტს, რომელიც განისაზღვრება განხილული სიმრავლეთა მოწესრიგებული კოლექციით T, X, Y, Z, Z (Y), H და შემთხვევითი ოპერატორები V, U, W, G.

შეყვანის სიგნალების თანმიმდევრობას, რომლებიც განლაგებულია A-სქემაში მათი ჩასვლის თანმიმდევრობით, ეწოდება შეყვანის შეტყობინება ან x-მესიჯი. გამომავალი სიგნალების თანმიმდევრობას, რომელიც დალაგებულია გაცემის დროს, ეწოდება გამომავალი შეტყობინება ან y-მესიჯი.

თუ მოკლედ

უწყვეტი-დეტერმინისტული მოდელები (D-სქემები)

ისინი გამოიყენება უწყვეტ დროში მოქმედი სისტემების შესასწავლად. ასეთი სისტემების აღსაწერად ძირითადად გამოიყენება დიფერენციალური, ინტეგრალური, ინტეგრო-დიფერენციალური განტოლებები. ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებებში განიხილება მხოლოდ ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია, ხოლო ნაწილობრივ დიფერენციალურ განტოლებებში რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია.

D- მოდელების გამოყენების მაგალითად შეიძლება მოვიყვანოთ მექანიკური გულსაკიდის ან ელექტრული რხევადი წრედის მუშაობის შესწავლა. D-მოდელების ტექნიკური საფუძველი შედგება ანალოგური კომპიუტერებისგან (AVM) ან ამჟამად სწრაფად განვითარებადი ჰიბრიდული კომპიუტერებისგან (GVM). მოგეხსენებათ, კომპიუტერზე კვლევის ძირითადი პრინციპია ის, რომ მოცემული განტოლებების მიხედვით, მკვლევარი (AVM-ის მომხმარებელი) აწყობს წრეს ცალკეული ტიპიური კვანძებიდან - ოპერაციული გამაძლიერებლები სქემების ჩართვით სკალირების, დემპინგის, დაახლოების მიზნით. და ა.შ.

ABM-ის სტრუქტურა იცვლება რეპროდუცირებადი განტოლებების ფორმის შესაბამისად.

ციფრულ კომპიუტერში სტრუქტურა უცვლელი რჩება, მაგრამ მისი კვანძების მუშაობის თანმიმდევრობა იცვლება მასში გათვალისწინებული პროგრამის შესაბამისად. AVM და ციფრული კომპიუტერის შედარება ნათლად აჩვენებს განსხვავებას სიმულაციასა და სტატისტიკურ მოდელირებას შორის.

ABM ახორციელებს სიმულაციის მოდელს, მაგრამ, როგორც წესი, არ იყენებს სტატისტიკური მოდელირების პრინციპებს. ციფრულ კომპიუტერებში სიმულაციური მოდელების უმეტესობა ეფუძნება შემთხვევითი რიცხვების შესწავლას, პროცესებს, ანუ სტატისტიკურ მოდელირებას. უწყვეტი-დეტერმინისტული მოდელები ფართოდ გამოიყენება მექანიკურ ინჟინერიაში ავტომატური მართვის სისტემების შესწავლაში, ამორტიზაციის სისტემების არჩევისას, რეზონანსული ფენომენების და რხევების იდენტიფიკაციაში ტექნოლოგიაში.
და ა.შ.

დისკრეტულ-დეტერმინისტული მოდელები (F-სქემები)

იმუშავეთ დისკრეტული დროით. ეს მოდელები დღესდღეობით დისკრეტული ავტომატების სისტემების უკიდურესად მნიშვნელოვანი და ფართოდ გავრცელებული კლასის მუშაობის შესწავლის საფუძველია. მათი კვლევის მიზნით შემუშავდა ავტომატების თეორიის დამოუკიდებელი მათემატიკური აპარატი. ამ თეორიის საფუძველზე, სისტემა განიხილება, როგორც ავტომატი, რომელიც ამუშავებს დისკრეტულ ინფორმაციას და ცვლის ცვლილებებს, რაც დამოკიდებულია მისი დამუშავების შედეგებზე, მის შიდა მდგომარეობაზე.

ეს მოდელი ეფუძნება წრეში ელემენტების და კვანძების რაოდენობის მინიმიზაციის პრინციპებს, მოწყობილობას, მთლიანობაში მოწყობილობის ოპტიმიზაციას და მისი კვანძების მუშაობის თანმიმდევრობას. ელექტრონულ სქემებთან ერთად, ამ მოდელის მიერ აღწერილი მანქანების გასაოცარი წარმომადგენელია რობოტი, რომელიც აკონტროლებს (მოცემული პროგრამის მიხედვით) ტექნოლოგიურ პროცესებს მოცემული დეტერმინისტული თანმიმდევრობით.

რიცხვითი კონტროლის მანქანა ასევე აღწერილია ამ მოდელით. ამ მანქანაზე დამუშავების ნაწილების თანმიმდევრობის არჩევანი ხორციელდება საკონტროლო განყოფილების (კონტროლერის) დაყენებით, რომელიც წარმოქმნის საკონტროლო სიგნალებს დროის გარკვეულ მომენტებში / 4 /.

ავტომატების თეორია იყენებს ლოგიკური ფუნქციების მათემატიკურ აპარატს, რომელიც მოქმედებს სიგნალების ორ შესაძლო მნიშვნელობებზე, 0 და 1.

ავტომატები იყოფა ავტომატებად მეხსიერების გარეშე, ავტომატებად მეხსიერებით. მათი მუშაობის აღწერა კეთდება ცხრილების, მატრიცების, გრაფიკების გამოყენებით, რომლებიც აჩვენებს მანქანის გადასვლებს ერთი მდგომარეობიდან მეორეში. ანალიტიკური შეფასებები აპარატის ფუნქციონირების ნებისმიერი სახის აღწერისთვის ძალიან შრომატევადია და შედარებით მცირე რაოდენობის ელემენტების, კვანძების შემთხვევაშიც კი, რომლებიც ქმნიან მოწყობილობას, ისინი პრაქტიკულად შეუძლებელია. აქედან გამომდინარე, ავტომატების რთული სქემების შესწავლა, რომელიც უდავოდ მოიცავს რობოტულ მოწყობილობებს, ხორციელდება სიმულაციის გამოყენებით.

დისკრეტული სტოქასტური მოდელები (P-სქემები)

ისინი გამოიყენება ალბათური ავტომატების მუშაობის შესასწავლად. ამ ტიპის ავტომატებში, ერთი მდგომარეობიდან მეორეზე გადასვლა ხორციელდება გარე სიგნალების გავლენის ქვეშ და ავტომატის შიდა მდგომარეობის გათვალისწინებით. თუმცა, T-ავტომატისგან განსხვავებით, ეს გადასვლები არ არის მკაცრად დეტერმინისტული, მაგრამ შეიძლება მოხდეს გარკვეული ალბათობით.

ასეთი მოდელის მაგალითია დისკრეტული მარკოვის ჯაჭვი სასრულ მდგომარეობებთან ერთად. F-სქემების ანალიზი ეფუძნება გარდამავალი ალბათობის მატრიცების დამუშავებას და ტრანსფორმაციას და ალბათობის გრაფიკების ანალიზს. უკვე შედარებით მარტივი მოწყობილობების ანალიზისთვის, რომელთა ქცევა აღწერილია F-სქემებით, მიზანშეწონილია სიმულაციის გამოყენება. ასეთი სიმულაციის მაგალითი მოცემულია პუნქტში 2.4.

უწყვეტი სტოქასტური მოდელები (Q-სქემები)

ისინი გამოიყენება სისტემების ფართო კლასის ანალიზში, რომლებიც განიხილება როგორც რიგის სისტემები. როგორც მომსახურების პროცესი, შეიძლება იყოს წარმოდგენილი პროცესები, რომლებიც განსხვავდება მათი ფიზიკური ბუნებით: პროდუქტის მიწოდება მიედინება საწარმოში, შეკვეთით დამზადებული კომპონენტებისა და პროდუქტების ნაკადები, ნაწილების ნაკადები შეკრების ხაზზე, კონტროლის მოქმედებების ნაკადები საკონტროლო ცენტრიდან. ACS სამუშაო ადგილებზე და კომპიუტერში ინფორმაციის დამუშავების მოთხოვნების დაბრუნება და ა.შ.

როგორც წესი, ეს ნაკადები დამოკიდებულია ბევრ ფაქტორზე და კონკრეტულ სიტუაციებზე. ამიტომ, უმეტეს შემთხვევაში, ეს ნაკადები დროში შემთხვევითია, ნებისმიერ დროს ცვლილების შესაძლებლობით. ასეთი სქემების ანალიზი ხორციელდება რიგის თეორიის მათემატიკური აპარატის საფუძველზე. მათ შორისაა მარკოვის უწყვეტი ჯაჭვი. ანალიტიკური მეთოდების შემუშავებაში მიღწეული მნიშვნელოვანი მიღწევების მიუხედავად, რიგის თეორია, Q-სქემების ანალიზი ანალიტიკური მეთოდებით შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ მნიშვნელოვანი გამარტივებული დაშვებებითა და დაშვებებით. ამ სქემების უმეტესობის დეტალური შესწავლა, განსაკუთრებით ისეთი რთული, როგორიცაა პროცესის კონტროლის სისტემები, რობოტული სისტემები, შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ სიმულაციის გამოყენებით.

განზოგადებული მოდელები (A-დიაგრამები)

აგრეგატული მეთოდის საფუძველზე ნებისმიერი სისტემის ფუნქციონირების პროცესების აღწერაზე დაყრდნობით. აგრეგატული აღწერით სისტემა დაყოფილია ცალკეულ ქვესისტემებად, რომლებიც შეიძლება ჩაითვალოს მოხერხებულად მათემატიკური აღწერისთვის. ასეთი დაყოფის (დაშლის) შედეგად წარმოიქმნება რთული სისტემა მრავალდონიანი სისტემის სახით, რომლის ცალკეული დონეები (აგრეგატები) ექვემდებარება ანალიზს. ცალკეული აგრეგატების ანალიზისა და ამ აგრეგატების ურთიერთდაკავშირების კანონების გათვალისწინებით შესაძლებელია მთელი სისტემის ყოვლისმომცველი შესწავლა.

იაკოვლევის სისტემები. მე-4 გამოცემა. - M .: უმაღლესი სკოლა, 2005 .-- S. 45-82.

მათემატიკური სქემები მოდელირების სისტემებისთვის

სიმულაციის დადებითი და უარყოფითი მხარეები

Მთავარი ღირსებასიმულაცია რთული სისტემების შესწავლაში:

· ნებისმიერ პირობებში S სისტემის ფუნქციონირების პროცესის თავისებურებების შესწავლის უნარი;

· კომპიუტერის გამოყენების გამო ტესტების ხანგრძლივობა მნიშვნელოვნად მცირდება სრულმასშტაბიან ექსპერიმენტთან შედარებით;

· რეალური სისტემის ან მისი ნაწილების სრულმასშტაბიანი ტესტების შედეგები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სიმულაციისთვის;

· მოდელირებული სისტემის სტრუქტურის, ალგორითმებისა და პარამეტრების ცვალებადობის მოქნილობა სისტემის ოპტიმალური ვერსიის ძიებისას;

· რთული სისტემებისთვის - ეს არის ერთადერთი პრაქტიკულად განხორციელებადი მეთოდი სისტემების ფუნქციონირების პროცესის შესასწავლად.

Მთავარი შეზღუდვებისიმულაციური მოდელირება:

· სისტემების ფუნქციონირების პროცესის მახასიათებლების სრული ანალიზისა და ოპტიმალური ვარიანტის მოსაძებნად საჭიროა სიმულაციური ექსპერიმენტის მრავალჯერ გამეორება პრობლემის საწყისი მონაცემების ცვალებადობით;

· კომპიუტერული დროის დიდი ხარჯვა.

მანქანების მოდელირების ეფექტურობა.სიმულაციისას აუცილებელია სისტემის მოდელის მაქსიმალური ეფექტურობის უზრუნველყოფა. ეფექტურობაჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც გარკვეული განსხვავება მოდელის მუშაობის დროს მიღებული შედეგების ღირებულებისა და იმ ხარჯებს შორის, რომლებიც ჩადებულია მის შემუშავებასა და შექმნაში.

სიმულაციური მოდელირების ეფექტურობა შეიძლება შეფასდეს რამდენიმე კრიტერიუმით:

სიმულაციის შედეგების სიზუსტე და სანდოობა,

აშენების და მოდელთან მუშაობის დრო მ,

მანქანის რესურსების ხარჯი (დრო და მეხსიერება),

· მოდელის შემუშავებისა და ექსპლუატაციის ღირებულება.

ეფექტურობის საუკეთესო საზომი არის მიღებული შედეგების შედარება რეალურ კვლევებთან. სტატისტიკური მიდგომის გამოყენებით, გარკვეული სიზუსტით (დამოკიდებულია მანქანური ექსპერიმენტის რეალიზაციის რაოდენობაზე), მიიღება სისტემის ქცევის საშუალო მახასიათებლები.

კომპიუტერის დროის ჯამური ხარჯები შედგება თითოეული სიმულაციური ალგორითმისთვის შეყვანისა და გამომავალი დროის, გამოთვლითი ოპერაციების შესრულების დროს, RAM-ზე და გარე მოწყობილობებზე წვდომის გათვალისწინებით, ასევე თითოეული მოდელირების ალგორითმის სირთულისა და ექსპერიმენტების დაგეგმვა.

მათემატიკური სქემები.მათემატიკური მოდელიარის მათემატიკური ობიექტების (რიცხვები, ცვლადები, სიმრავლეები, ვექტორები, მატრიცები და ა.შ.) და მათ შორის მიმართებების ერთობლიობა, რომელიც ადეკვატურად ასახავს შექმნილი ტექნიკური ობიექტის ფიზიკურ თვისებებს. მათემატიკური მოდელის ჩამოყალიბებისა და ანალიზისა და სინთეზისთვის გამოყენების პროცესს ე.წ მათემატიკური მოდელირება.

სისტემის მათემატიკური მოდელის აგებისას აუცილებელია მისი სისრულის საკითხის გადაჭრა. მოდელის სისრულე რეგულირდება ძირითადად სასაზღვრო „სისტემის“ არჩევით ს- ოთხშაბათი ე". ასევე, უნდა გადაიჭრას მოდელის გამარტივების პრობლემა, რაც ხელს უწყობს მოდელირების მიზნიდან გამომდინარე, სისტემის ძირითადი თვისებების გამოკვეთას, მეორადების გაუქმებას.

სისტემის ფუნქციონირების პროცესის შინაარსიანიდან ოფიციალურ აღწერაზე გადასვლისას, გარე გარემოს გავლენის გათვალისწინებით, გამოიყენება მათემატიკური სქემაროგორც რგოლი ჯაჭვის „აღწერითი მოდელი – მათემატიკური სქემა – მათემატიკური (ანალიტიკური ან/და სიმულაციური) მოდელი“.

ობიექტის ფორმალური მოდელი.ობიექტის მოდელი (სისტემები ს) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიდიდეების ერთობლიობით, რომელიც აღწერს რეალური სისტემის ფუნქციონირების პროცესს:

სისტემაზე შეყვანის გავლენის ნაკრები

x i = X,მე =;

გარემოზე გავლენის კომპლექტი

ვ ჯ = ვ, ჯ= ;

სისტემების შიდა (შინაგანი) პარამეტრების ნაკრები

h k = H, k =;

სისტემის გამომავალი მახასიათებლების ნაკრები

y j = Y, j =.

Ზოგადად x i, v j, h k, y jარის არაერთგვაროვანი ქვესიმრავლეების ელემენტები და შეიცავს როგორც დეტერმინისტულ, ასევე სტოქასტურ კომპონენტებს.

შეყვანის გავლენა, გარემოზე ზემოქმედება ედა სისტემის შიდა პარამეტრებია დამოუკიდებელი (ეგზოგენური) ცვლადები, რომლებსაც ვექტორული ფორმით აქვთ, შესაბამისად, ფორმა ( ტ) = (x 1 (ტ), x 2 (ტ), …, x nX(ტ)); (ტ) = (ვ 1 (ტ), ვ 2 (ტ), …, v nV(ტ)); (ტ) = (თ 1 (ტ), თ 2 (ტ), …, h nН(ტ)), და გამომავალი მახასიათებლებია დამოკიდებული (ენდოგენური) ცვლადებს და ვექტორულ ფორმაში აქვთ ფორმა: ( ტ) = (ზე 1 (ტ), ზე 2 (ტ), …, nY-ში(ტ)). თქვენ შეგიძლიათ განასხვავოთ მართული და უმართავი ცვლადები.

სისტემის მუშაობის პროცესი სოპერატორის მიერ დროულად აღწერილი ფ ს, რომელიც გარდაქმნის ეგზოგენურ ცვლადებს ენდოგენურებად ფორმის მიმართებების შესაბამისად

(ტ) = ფ ს(,,, ტ). (2.1)

სისტემის გამომავალი მახასიათებლების დროზე დამოკიდებულების ნაკრები y j(ტ) ყველა ტიპისთვის j =დაურეკა გამომავალი ტრაექტორია (ტ). დამოკიდებულება (2.1) ე.წ სისტემის ფუნქციონირების კანონი F S, რომელიც მითითებულია ფუნქციის სახით, ფუნქციონალური, ლოგიკური პირობებით, ალგორითმული, ტაბულური ფორმით ან ვერბალური შესატყვისი წესის სახით. ფუნქციონირების ალგორითმი A Sეწოდება გამომავალი მახასიათებლების მიღების მეთოდს შეყვანის გავლენის გათვალისწინებით ( ტ), გარემოზე ზემოქმედება ( ტ) და სისტემის საკუთარი პარამეტრები ( ტ). იგივე ფუნქციონირების კანონი ფ სსისტემები სშეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა გზით, ე.ი. ფუნქციონირების მრავალი განსხვავებული ალგორითმის გამოყენებით ს.

მათემატიკური მოდელები ე.წ დინამიური(2.1) თუ მათემატიკური მიმართებები აღწერს მოდელირების ობიექტის (სისტემის) ქცევას დროში ტ, ე.ი. ასახავს დინამიურ თვისებებს.

ამისთვის სტატიკურიმოდელები, მათემატიკური მოდელი არის მოდელირებული ობიექტის თვისებების ორ ქვეჯგუფს შორის რუკა იდა ( X, V, H) გარკვეულ მომენტში, რომელიც ვექტორული სახით შეიძლება დაიწეროს როგორც

= ვ(, , ). (2.2)

მიმართებები (2.1) და (2.2) შეიძლება დაზუსტდეს სხვადასხვა გზით: ანალიტიკურად (ფორმულების გამოყენებით), გრაფიკულად, ცხრილად და ა.შ. ამ კავშირების მიღება შესაძლებელია სისტემის თვისებების მეშვეობით სდროის კონკრეტულ მომენტებში, სახელწოდებით სახელმწიფოები. სისტემის მდგომარეობა სხასიათდება ვექტორებით

" = (z" 1, ზ " 2, …, Z "k) და "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" კ),

სადაც z" 1 = ზ 1 (t"), z" 2 = ზ 2 (t"), …, z "k= z k(t") მომენტში t"Î ( ტ 0 , თ); z "" 1 = ზ 1 (t ""), z "" 2 = ზ 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") მომენტში t ""Î ( ტ 0 , თ) და ა.შ. k =.

თუ გავითვალისწინებთ სისტემის ფუნქციონირების პროცესს სროგორც მდგომარეობათა თანმიმდევრული ცვლილება ზ 1 (ტ), ზ 2 (ტ), …, z k(ტ), მაშინ ისინი შეიძლება იქნას ინტერპრეტირებული, როგორც წერტილის კოორდინატები კ- განზომილებიანი ფაზის სივრცე... უფრო მეტიც, პროცესის თითოეული განხორციელება შეესაბამება გარკვეულ ფაზის ტრაექტორიას. სახელმწიფოების ყველა შესაძლო მნიშვნელობის სიმრავლე () ეწოდება სახელმწიფო სივრცემოდელირების ობიექტი ზ, და
z kÎ ზ.

სისტემის სახელმწიფოები სამ წუთას ტ 0 < t * £ თმთლიანად განისაზღვრება საწყისი პირობებით 0 = ( ზ 0 1 , ზ 0 2 , …, ზ 0 კ) [სად ზ 0 1 = ზ 1 (ტ 0),
ზ 0 2 = ზ 2 (ტ 0), …, ზ 0 კ = z k(ტ 0)], შეყვანის მოქმედებები ( ტ), შიდა პარამეტრები ( ტ) და გარე გარემოს ეფექტი ( ტ) რომელიც მოხდა დროის ინტერვალში t * – ტ 0, ორი ვექტორული განტოლების გამოყენებით

(ტ) = Ф (0,,,, ტ); (2.3)

(ტ) = F (, ტ). (2.4)

პირველი განტოლება საწყისი მდგომარეობის 0 და ეგზოგენური ცვლადების, განსაზღვრავს ვექტორულ ფუნქციას ( ტ), ხოლო მეორე მდგომარეობების მიღებული მნიშვნელობის მიხედვით ( ტ) არის ენდოგენური ცვლადები სისტემის გამოსავალზე ( ტ). ამრიგად, ობიექტის განტოლებების ჯაჭვი "შეყვანა - მდგომარეობა - გამომავალი" საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ სისტემის მახასიათებლები.

(ტ) = F [Ф (0,,,, ტ)]. (2.5)

ზოგადად, დრო სისტემურ მოდელში სშეიძლება ჩაითვალოს სიმულაციის ინტერვალზე (0, თ) უწყვეტიც და დისკრეტულიც, ე.ი. კვანტური D სიგრძის სეგმენტებად ტდროის ერთეული ყოველი როდის თ = მდ ტ, სად მ = - შერჩევის ინტერვალების რაოდენობა.

ამრიგად, ქვეშ მათემატიკური მოდელიობიექტი (რეალური სისტემა) ესმის ცვლადების სასრულ ქვეჯგუფს (( ტ), (ტ), (ტ)) მათსა და მახასიათებლებს შორის მათემატიკური კავშირებით ( ტ).

თუ სამოდელო ობიექტის მათემატიკური აღწერა არ შეიცავს შემთხვევით ელემენტებს ან ისინი არ არის გათვალისწინებული, ე.ი. თუ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ამ შემთხვევაში გარე გარემოს სტოქასტური გავლენა ( ტ) და სტოქასტური შიდა პარამეტრები ( ტ) არ არსებობს, მაშინ მოდელი გამოიძახება განმსაზღვრელიიმ გაგებით, რომ მახასიათებლები ცალსახად განისაზღვრება დეტერმინისტული მონაცემებით

(ტ) = ვ(, ტ). (2.6)

ცხადია, დეტერმინისტული მოდელი სტოქასტური მოდელის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

ტიპიური მათემატიკური სქემები.სისტემური ინჟინერიის და სისტემების ანალიზის სფეროში ობიექტების მოდელირების პრაქტიკაში სისტემური კვლევის საწყის ეტაპზე უფრო რაციონალურია გამოყენება ტიპიური მათემატიკური სქემები: დიფერენციალური განტოლებები, სასრული და ალბათური ავტომატები, რიგის სისტემები, პეტრის ბადეები, აგრეგატული სისტემები და ა.შ.

ტიპიურ მათემატიკურ სქემებს აქვთ სიმარტივის და სიცხადის უპირატესობა. დიფერენციალური, ინტეგრალური, ინტეგრო-დიფერენციალური და სხვა განტოლებები გამოიყენება უწყვეტ დროში მოქმედი სისტემების წარმოსადგენად, როგორც დეტერმინისტული მოდელები, როდესაც შემთხვევითი ფაქტორები არ არის გათვალისწინებული კვლევაში, და სასრული ავტომატები და სასრული განსხვავებების სქემები გამოიყენება სისტემების წარმოსადგენად. დისკრეტული დრო. ალბათური ავტომატები გამოიყენება როგორც სტოქასტური მოდელები (შემთხვევითი ფაქტორების გათვალისწინებით) დისკრეტული დროის მქონე სისტემების წარმოსადგენად, ხოლო რიგის სისტემები გამოიყენება უწყვეტი დროის წარმოსადგენად. პეტრის ბადეები გამოიყენება კომპლექსურ სისტემებში მიზეზ-შედეგობრივი ურთიერთობების გასაანალიზებლად, სადაც რამდენიმე პროცესი პარალელურად მიმდინარეობს. უწყვეტი და დისკრეტული, დეტერმინისტული და სტოქასტური სისტემების ქცევის აღსაწერად (მაგალითად, ASOIU), შეიძლება გამოყენებულ იქნას განზოგადებული (უნივერსალური) მიდგომა, რომელიც დაფუძნებულია აგრეგატულ სისტემაზე. აგრეგატის აღწერილობაში რთული ობიექტი (სისტემა) იყოფა ნაწილების (ქვესისტემების) სასრულ რაოდენობად, ხოლო შენარჩუნებულია კავშირები, რომლებიც უზრუნველყოფენ ნაწილების ურთიერთქმედებას.

ამრიგად, სისტემების ფუნქციონირების პროცესების მათემატიკური მოდელების აგებისას შეიძლება განვასხვავოთ შემდეგი ძირითადი მიდგომები: უწყვეტი-დეტერმინისტული ( დ-სქემები); დისკრეტულ-დეტერმინისტული ( ფ-სქემები); დისკრეტული სტოქასტური ( რ-სქემები); უწყვეტი სტოქასტური ( ქ-სქემები); ქსელი ( ნ-სქემები); განზოგადებული ან უნივერსალური ( ა-სქემები).

2.2. მუდმივად დეტერმინისტული მოდელები ( დ-სქემები)

ძირითადი ურთიერთობები... განვიხილოთ უწყვეტი-დეტერმინისტული მიდგომის თავისებურებები დიფერენციალური განტოლებების მათემატიკური მოდელების გამოყენების მაგალითზე. დიფერენციალური განტოლებებიეწოდება განტოლებები, რომლებშიც ერთი ან რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია უცნობია და განტოლება მოიცავს არა მხოლოდ ფუნქციებს, არამედ მათ სხვადასხვა რიგის წარმოებულებს. თუ რამდენიმე ცვლადის უცნობი ფუნქცია, მაშინ განტოლებები ეწოდება ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციის განხილვისას, განტოლებებს უწოდებენ ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები.

ზოგადი მათემატიკური მიმართება დეტერმინისტული სისტემებისთვის (2.6) იქნება

" (ტ) = (, ტ); (ტ 0) = 0 , (2.7)

სადაც " = დ/dt, = (წ 1 , წ 2 , …, y n) და = ( ვ 1 , ვ 2 , …, f n) – ნ-განზომილებიანი ვექტორები; (, ტ) არის ვექტორული ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ზოგიერთზე ( ნ+1) - განზომილებიანი (, ტ) დაყენებულია და უწყვეტია.

ამ სახის მათემატიკური სქემები ე.წ D-სქემები(ინგლ. დინამიური), ისინი ასახავს შესასწავლი სისტემის დინამიკას და დრო, როგორც წესი, ემსახურება როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომელზეც უცნობი უცნობი ფუნქციებია დამოკიდებული. ტ.

უმარტივეს შემთხვევაში, ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

y"(ტ) = ვ(წ, ტ). (2.8)

განვიხილოთ სხვადასხვა ხასიათის ორი ელემენტარული სქემის ფუნქციონირების პროცესის ფორმალიზების უმარტივესი მაგალითი: მექანიკური ს M (ქანქარის რხევა, სურ. 2.1, ა) და ელექტრო ს K (ოსცილატორული წრე, ნახ. 2.1, ბ).

ბრინჯი. 2.1. ელემენტარული სისტემები

ქანქარის მცირე რხევების პროცესი აღწერილია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებით

მმ ლ M 2 ( დ 2 ფ(ტ)/ დტ 2) + მმ გლმ ფ(ტ) = 0,

სადაც მმ, ლ M არის ქანქარის შეჩერების მასა და სიგრძე; გ- გრავიტაციის აჩქარება; ფ(ტ) არის ქანქარის გადახრის კუთხე დროის მომენტში ტ.

ქანქარის თავისუფალი რხევის ამ განტოლებიდან შეიძლება მოიძებნოს ინტერესის მახასიათებლების შეფასება. მაგალითად, ქანქარის რხევის პერიოდი

თ M = 2p.

ანალოგიურად, პროცესები ელექტრული რხევის წრეში აღწერილია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებით

ლ K ( დ 2 ქ(ტ)/dt 2) + (ქ(ტ)/Cკ) = 0,

სადაც ლ K, C K - კონდენსატორის ინდუქცია და ტევადობა; ქ(ტ) არის კონდენსატორის დამუხტვა დროის მომენტში ტ.

ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ მიიღოთ რხევის წრეში პროცესის მახასიათებლების სხვადასხვა შეფასება. მაგალითად, ელექტრული რხევების პერიოდი

თ M = 2p.

ცხადია, აღნიშვნის შემოღება თ 2 = მმ ლ M 2 = ლ K, თ 1 = 0,
თ 0 = მმ გლ M = 1 / C K, ფ(ტ) = ქ(ტ) = ზ(ტ), ჩვენ ვიღებთ ჩვეულებრივ მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებას, რომელიც აღწერს ამ დახურული მარყუჟის სისტემის ქცევას:

თ 2 (დ 2 ზ(ტ)/dt 2) + თ 1 (ძ(ტ)/dt) + თ 0 ზ(ტ) = 0, (2.9)

სადაც თ 0 , თ 1 , თ 2 - სისტემის პარამეტრები; ზ(ტ) არის სისტემის მდგომარეობა ამ მომენტში
დრო ტ.

ამრიგად, ამ ორი ობიექტის ქცევა შეიძლება გამოიკვლიოს ზოგადი მათემატიკური მოდელის საფუძველზე (2.9). გარდა ამისა, უნდა აღინიშნოს, რომ ქანქარის ქცევა (სისტემა სმ) შეიძლება შესწავლილი იყოს ელექტრული რხევითი წრის გამოყენებით (სისტემა ს TO).

თუ შესწავლილი სისტემა ს(ქანქარა ან კონტური) ურთიერთქმედებს გარე გარემოსთან ე, შემდეგ გამოჩნდება შეყვანის მოქმედება x(ტ) (გარე ძალა ქანქარისთვის და ენერგიის წყარო წრედისთვის), ხოლო ასეთი სისტემის უწყვეტ-დეტერმინისტული მოდელი ექნება ფორმა:

თ 2 (დ 2 ზ(ტ)/dt 2) + თ 1 (ძ(ტ)/dt) + თ 0 ზ(ტ) = x(ტ). (2.10)

ზოგადი მათემატიკური მოდელის თვალსაზრისით (იხ. პუნქტი 2.1) x(ტ) არის შეყვანის (საკონტროლო) მოქმედება და სისტემის მდგომარეობა სამ შემთხვევაში ის შეიძლება ჩაითვალოს გამომავალ მახასიათებლად, ე.ი. გამომავალი ცვლადი ემთხვევა სისტემის მდგომარეობას მოცემულ დროს წ = ზ.

შესაძლო აპლიკაციები დ- სქემები... წრფივი მართვის სისტემების აღსაწერად, ისევე როგორც ნებისმიერი დინამიკური სისტემის, არაჰომოგენურ დიფერენციალურ განტოლებებს აქვთ მუდმივი კოეფიციენტები

სადაც,,…, - დროისა და მისი წარმოებულების უცნობი ფუნქცია; და ცნობილია ფუნქციები.

მაგალითად, VisSim პროგრამული პაკეტის გამოყენებით, რომელიც შექმნილია საკონტროლო სისტემებში პროცესების სიმულაციისთვის, რომლებიც შეიძლება აღწერილი იყოს დიფერენციალური განტოლებებით, ჩვენ ვატარებთ ჩვეულებრივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის სიმულაციას.

სადაც არის დროის გარკვეული საჭირო ფუნქცია ნულოვანი საწყისი პირობების მქონე ინტერვალზე, ვიღებთ თ 3 =1, თ 2 =3, თ 1 =1, თ 0 =3:

წარმოვადგენთ მოცემულ განტოლებას წარმოებულთაგან უმაღლესთან მიმართებაში, ვიღებთ განტოლებას

რომლის მოდელირება შესაძლებელია VisSim პაკეტის საშენი ბლოკების ნაკრების გამოყენებით: არითმეტიკული ბლოკები - Gain (გამრავლება მუდმივზე), Summing-Junction (შემკრები); ინტეგრაციული ბლოკები - ინტეგრატორი (რიცხობრივი ინტეგრაცია), გადაცემის ფუნქცია (განტოლების დაყენება, როგორც გადაცემის ფუნქცია); ბლოკები სიგნალების დასაყენებლად - Const (მუდმივი), Step (ერთეულის ფუნქცია "ნაბიჯის" სახით), Ramp (ხაზოვანი მზარდი სიგნალი); სიგნალების ბლოკები-მიმღებები - Plot (ჩვენება სიგნალების დროის დომენში, რომლებსაც აანალიზებს მკვლევარი სიმულაციის დროს).

ნახ. 2.2 გვიჩვენებს ამ დიფერენციალური განტოლების გრაფიკულ გამოსახულებას. ყველაზე მარცხენა ინტეგრატორის შეყვანა შეესაბამება ცვლადს, შუა ინტეგრატორის შეყვანა - და ყველაზე მარჯვენა ინტეგრატორის -. ყველაზე მარჯვენა ინტეგრატორის გამომავალი შეესაბამება ცვლადს წ.

აღწერილია დინამიური სისტემების კონკრეტული შემთხვევა დ-სქემები არის ავტომატური მართვის სისტემები(SPG)და რეგულირება(SAR). რეალური ობიექტი წარმოდგენილია ორი სისტემის სახით: საკონტროლო და კონტროლირებადი (საკონტროლო ობიექტი). ზოგადი მრავალგანზომილებიანი ავტომატური მართვის სისტემის სტრუქტურა ნაჩვენებია ნახ. 2.3, სადაც მითითებულია ენდოგენურიცვლადები: ( ტ) არის შეყვანის (ოსტატი) ზემოქმედების ვექტორი; ( ტ) არის შემაშფოთებელი ზემოქმედების ვექტორი; " (ტ) არის შეცდომის სიგნალების ვექტორი; "" (ტ) - საკონტროლო მოქმედებების ვექტორი; ეგზოგენურიცვლადები: ( ტ) არის სისტემის მდგომარეობის ვექტორი ს; (ტ) არის გამომავალი ცვლადების ვექტორი, ჩვეულებრივ ( ტ) = (ტ).

ბრინჯი. 2.2. განტოლების გრაფიკული წარმოდგენა

საკონტროლო სისტემა არის პროგრამული და აპარატურის ინსტრუმენტების ერთობლიობა, რომელიც უზრუნველყოფს საკონტროლო ობიექტის მიერ კონკრეტული მიზნის მიღწევას. რამდენად ზუსტად აღწევს ობიექტი მოცემულ მიზანს, შეიძლება შეფასდეს (ერთგანზომილებიანი სისტემისთვის) სახელმწიფო კოორდინატის მიხედვით წ(ტ). განსხვავება მოცემულს შორის წუკანალი ( ტ) და მოქმედებს წ(ტ) კონტროლირებადი ცვლადის ცვლილების კანონი საკონტროლო შეცდომაა " (ტ) = წუკანალი ( ტ) – წ(ტ). თუ კონტროლირებადი სიდიდის ცვლილების დადგენილი კანონი შეესაბამება შეყვანის (მასტერ) მოქმედების ცვლილების კანონს, ე.ი. x(ტ) = წუკანალი ( ტ), შემდეგ " (ტ) = x(ტ) – წ(ტ).

სისტემები, რომლებზეც კონტროლდება შეცდომები " (ტ) = 0 ყოველთვის იწოდება იდეალური... პრაქტიკაში, იდეალური სისტემების დანერგვა შეუძლებელია. ავტომატური მართვის სისტემის ამოცანაა ცვლადის შეცვლა წ(ტ) მოცემული კანონის მიხედვით გარკვეული სიზუსტით (მისაღები შეცდომით). სისტემის პარამეტრებმა უნდა უზრუნველყონ კონტროლის საჭირო სიზუსტე, ასევე სისტემის სტაბილურობა გარდამავალ პროცესში. თუ სისტემა სტაბილურია, მაშინ გაანალიზეთ სისტემის ქცევა დროულად, კონტროლირებადი ცვლადის მაქსიმალური გადახრა. წ(ტ) გარდამავალ პროცესში, გარდამავალი პროცესის დრო და ა.შ. დიფერენციალური განტოლების რიგი და მისი კოეფიციენტების სიდიდე მთლიანად განისაზღვრება სისტემის სტატიკური და დინამიური პარამეტრებით.

ბრინჯი. 2.3. ავტომატური მართვის სისტემის სტრუქტურა:

UC - კონტროლის სისტემა; OU - კონტროლის ობიექტი

ასე რომ გამოყენებით დ-სქემები საშუალებას გაძლევთ ფორმალურად მოაწყოთ მუდმივად დეტერმინისტული სისტემების ფუნქციონირების პროცესი სდა შეაფასოს მათი ძირითადი მახასიათებლები ანალიტიკური ან სიმულაციური მიდგომის გამოყენებით, რომელიც განხორციელებულია შესაბამისი ენის სახით უწყვეტი სისტემების მოდელირებისთვის ან ანალოგური და ჰიბრიდული გამოთვლითი საშუალებების გამოყენებით.

2.3. დისკრეტულ-დეტერმინისტული მოდელები ( ფ-სქემები)

ძირითადი ურთიერთობები... განვიხილოთ დისკრეტულ-დეტერმინისტული მიდგომის თავისებურებები ავტომატების თეორიის მათემატიკურ აპარატად გამოყენების მაგალითზე. სისტემა წარმოდგენილია ავტომატის სახით, როგორც მოწყობილობა შემავალი და გამომავალი სიგნალებით, რომელიც ამუშავებს დისკრეტულ ინფორმაციას და ცვლის მის შიდა მდგომარეობას მხოლოდ მისაღებ დროს. სახელმწიფო მანქანაეწოდება ავტომატი, რომელშიც შიდა მდგომარეობების კომპლექტი, შემავალი და გამომავალი სიგნალები არის სასრული ნაკრები.

აბსტრაქტულად სასრული ავტომატები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მათემატიკური სქემა ( ფ-სქემა), ხასიათდება ექვსი ელემენტით: სასრული ნაკრები NSშეყვანის სიგნალები (შესვლის ანბანი); სასრულ ნაკრები იგამომავალი სიგნალები (გამომავალი ანბანი); სასრულ ნაკრები ზშიდა მდგომარეობები (შინაგანი ანბანი ან სახელმწიფოთა ანბანი); საწყისი მდგომარეობა ზ 0 , ზ 0 Î ზ; გადასვლის ფუნქცია j ( ზ, x); გამომავალი ფუნქცია y ( ზ, x). მანქანის ავტომატური ნაკრები ფ- სქემა: ფ = á ზ, X, ი, y, j, ზ 0 ñ, მოქმედებს დისკრეტულ დროში, რომლის მომენტები არის საათები, რომელთაგან თითოეული შეესაბამება შემავალი და გამომავალი სიგნალების და შიდა მდგომარეობების მუდმივ მნიშვნელობებს. ჩვენ აღვნიშნავთ მდგომარეობას, ისევე როგორც შემავალ და გამომავალ სიგნალებს შესაბამისი ტ- საათი ტ= 0, 1, 2, ..., მეშვეობით ზ(ტ), x(ტ), y(ტ). უფრო მეტიც, პირობით ზ(0) = ზ 0 და ზ(ტ)Î ზ, x(ტ)Î X, წ(ტ)Î ი.

აბსტრაქტული მდგომარეობის მანქანას აქვს ერთი შემავალი და ერთი გამომავალი არხი. ყოველ წამს ტ= 0, 1, 2, ... დისკრეტული დრო ფ- მანქანა გარკვეულ მდგომარეობაშია ზ(ტ) ნაკრებიდან ზავტომატის მდგომარეობა და დროის საწყის მომენტში ტ= 0 ის ყოველთვის საწყის მდგომარეობაშია ზ(0) = ზ 0. მომენტში ტშეგეძლოს ზ(ტ), ავტომატს შეუძლია სიგნალის აღქმა შეყვანის არხზე x(ტ)Î Xდა გამომავალი სიგნალი გამომავალი არხზე წ(ტ) = y [ ზ(ტ),x(ტ)], გადადის მდგომარეობაზე z ( ტ+1) = j [ ზ(ტ), x(ტ)], ზ(ტ)Î ზ, წ(ტ)Î ი... აბსტრაქტული სასრული მდგომარეობის მანქანა ახორციელებს შეყვანის ანბანის სიტყვების ნაკრების გარკვეულ რუქას Xშაბათ-კვირის ბევრ სიტყვაზე
ანბანი ი... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ სახელმწიფო მანქანის შეყვანა დაყენებულია საწყის მდგომარეობაში ზ 0, მიაწოდეთ შეყვანის ანბანის ასოები გარკვეული თანმიმდევრობით x(0), x(1), x(2), ..., ე.ი. შეიყვანეთ სიტყვა, შემდეგ გამომავალი ანბანის ასოები თანმიმდევრულად გამოჩნდება აპარატის გამოსავალზე წ(0), წ(1), წ(2),…, გამომავალი სიტყვის ფორმირება.

ამრიგად, სახელმწიფო მანქანის მუშაობა ხდება შემდეგი სქემის მიხედვით: თითოეულში ტ-ე საათი აპარატის შეყვანის მდგომარეობაში ზ(ტ), მოცემულია გარკვეული სიგნალი x(ტ), რაზეც იგი რეაგირებს გადასვლით ( ტ+1) მე-1 საათის ახალ მდგომარეობამდე ზ(ტ+1) და გამომავალი სიგნალის მიცემა. ზემოთ აღწერილი შეიძლება შემდეგი განტოლებით: for ფ- პირველი სახის ავტომატი, ასევე ე.წ ავტომატური მილები,

ზ(ტ+1) = j [ ზ(ტ), x(ტ)], ტ= 0, 1, 2, …; (2.15)

წ(ტ) = y [ ზ(ტ), x(ტ)], ტ= 0, 1, 2, …; (2.16)

ამისთვის ფ-მეორე ტიპის ავტომატი

ზ(ტ+1) = j [ ზ(ტ), x(ტ)], ტ= 0, 1, 2, …; (2.17)

წ(ტ) = y [ ზ(ტ), x(t - 1)], ტ= 1, 2, 3,…. (2.18)

მეორე სახის ავტომატი, რომლისთვისაც

წ(ტ) = y [ ზ(ტ)], ტ= 0, 1, 2, …, (2.19)

იმათ. გასასვლელი ფუნქცია დამოუკიდებელია შეყვანის ცვლადისგან x(ტ) ეწოდება მურის თავდასხმის თოფი.

ამრიგად, განტოლებები (2.15) - (2.19), რომლებიც მთლიანად განსაზღვრავს
ფ-ავტომატები (2.3) და (2.4) განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევაა, როცა
სისტემა ს- დეტერმინისტული და დისკრეტული სიგნალი მოდის მის ერთადერთ შეყვანაზე X.

მდგომარეობათა რაოდენობის მიხედვით განასხვავებენ სასრულ მდგომარეობებს მეხსიერებით და მეხსიერების გარეშე. მეხსიერების მქონე ავტომატებს აქვთ ერთზე მეტი მდგომარეობა, ხოლო ავტომატებს მეხსიერების გარეშე (კომბინირებული ან ლოგიკური სქემები) აქვთ მხოლოდ ერთი მდგომარეობა. ამ შემთხვევაში, (2.16) მიხედვით, კომბინირებული მიკროსქემის მოქმედება არის ის, რომ იგი ანიჭებს თითოეულ შეყვანის სიგნალს. x(ტ) გარკვეული გამომავალი სიგნალი წ(ტ), ე.ი. ახორციელებს ფორმის ლოგიკურ ფუნქციას

წ(ტ) = y [ x(ტ)], ტ= 0, 1, 2, … .

ამ ფუნქციას ეწოდება ლოგიკური თუ ანბანი Xდა ირომელსაც მიეკუთვნება სიგნალის მნიშვნელობები xდა წ, შედგება ორი ასოსგან.

დისკრეტული დროის დათვლის ბუნებით, სასრული მდგომარეობის მანქანები იყოფა სინქრონებად და ასინქრონებად. სინქრონში ფ- ავტომატიზირებს დრო, როდესაც ავტომატი "კითხულობს" შეყვანის სიგნალებს, განისაზღვრება სავალდებულო სინქრონიზაციის სიგნალებით. შემდეგი სინქრონიზაციის სიგნალის შემდეგ, "წაკითხვის" გათვალისწინებით და (2.15) - (2.19) განტოლებების შესაბამისად, ხდება გადასვლა ახალ მდგომარეობაზე და გამომავალი სიგნალი გაიცემა, რის შემდეგაც მანქანას შეუძლია აღიქვას შემდეგი მნიშვნელობა. შეყვანის სიგნალიდან. ამრიგად, აპარატის რეაქცია შეყვანის სიგნალის თითოეულ მნიშვნელობაზე მთავრდება ერთ ციკლში, რომლის ხანგრძლივობა განისაზღვრება მიმდებარე სინქრონიზაციის სიგნალებს შორის ინტერვალით. ასინქრონული ფ- მანქანა მუდმივად კითხულობს შეყვანის სიგნალს და, შესაბამისად, პასუხობს მუდმივი მნიშვნელობის საკმარისად ხანგრძლივ შეყვანის სიგნალს xმას შეუძლია, შემდეგნაირად (2.15) - (2.19), რამდენჯერმე შეცვალოს მდგომარეობა, მისცეს გამომავალი სიგნალების შესაბამისი რაოდენობა, სანამ არ გადავა სტაბილურში, რომლის შეცვლაც ამ შემავალი სიგნალით აღარ შეიძლება.

შესაძლო აპლიკაციები ფ- სქემები.ფინალის დასაყენებლად ფ-ავტომატი, აუცილებელია კომპლექტის ყველა ელემენტის აღწერა ფ= <ზ, X, ი, y, j, ზ 0>, ე.ი. შეყვანის, შიდა და გამომავალი ანბანები, ასევე გადასვლებისა და გამომავლების ფუნქციები და მდგომარეობების სიმრავლეს შორის აუცილებელია გამოვყოთ მდგომარეობა ზ 0, რომელშიც ავტომატი იმყოფება მდგომარეობაში ტ= 0. სამუშაოს დაყენების რამდენიმე გზა არსებობს ფ-ავტომატები, მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოიყენება ცხრილი, გრაფიკული და მატრიცული.

ტაბულური მეთოდით დგინდება გადასვლებისა და გამომავლების ცხრილები, რომელთა რიგები შეესაბამება ავტომატის შეყვანის სიგნალებს, ხოლო სვეტები - მის მდგომარეობებს. მარცხნივ პირველი სვეტი შეესაბამება საწყის მდგომარეობას ზ 0. გზაჯვარედინზე მეე ხაზი და კ- გარდამავალი ცხრილის მე-ე სვეტი, შესაბამისი მნიშვნელობა j ( z k, x i) გადასვლების ფუნქცია, ხოლო გამოსავლების ცხრილში - y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა ( z k, x i) გამომავალი ფუნქციები. ამისთვის ფ- მურის ავტომატი ორივე მაგიდის კომბინირება შესაძლებელია.

Სამუშაოს აღწერა ფ-ავტომატური მილები j გადასვლების ცხრილებით და y გამოსავლებით ილუსტრირებულია ცხრილში. 2.1 და აღწერა ფ-More's automaton - გარდამავალი ცხრილის მიხედვით (ცხრილი 2.2).

ცხრილი 2.1

X ი	z k
ზ 0	ზ 1	…	z k
გადასვლები
x 1	j ( ზ 0 , x 1)	j ( ზ 1 , x 1)	…	j ( z k,x 1)
x 2	j ( ზ 0 , x 2)	j ( ზ 1 , x 2)	…	j ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( ზ 0 , x i)	j ( ზ 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
შედეგები
x 1	y ( ზ 0 , x 1)	y ( ზ 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( ზ 0 , x 2)	y ( ზ 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( ზ 0 , x i)	y ( ზ 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

ცხრილი 2.2

x i	y ( z k)
y ( ზ 0)	y ( ზ 1)	…	y ( z k)
ზ 0	ზ 1	…	z k
x 1	j ( ზ 0 , x 1)	j ( ზ 1 , x 1)	…	j ( z k, x 1)
x 2	j ( ზ 0 , x 2)	j ( ზ 1 , x 2)	…	j ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( ზ 0 , x i)	j ( ზ 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

დაყენების ცხრილური გზების მაგალითები ფ- ავტომატური მილები ფ 1 მოცემულია ცხრილში. 2.3 და ამისთვის ფ-მურის მანქანა ფ 2 - მაგიდაზე. 2.4.

ცხრილი 2.3

x i	z k
ზ 0	ზ 1	ზ 2
გადასვლები
x 1	ზ 2	ზ 0	ზ 0
x 2	ზ 0	ზ 2	ზ 1
შედეგები
x 1	წ 1	წ 1	წ 2
x 2	წ 1	წ 2	წ 1

ცხრილი 2.4

	ი
x i	წ 1	წ 1	წ 3	წ 2	წ 3
	ზ 0	ზ 1	ზ 2	ზ 3	ზ 4
x 1	ზ 1	ზ 4	ზ 4	ზ 2	ზ 2
x 2	ზ 3	ზ 1	ზ 1	ზ 0	ზ 0

სასრული მდგომარეობის მანქანის განსაზღვრის გრაფიკულ გზაზე გამოიყენება მიმართული გრაფიკის კონცეფცია. ავტომატური გრაფიკი არის წვეროების ერთობლიობა, რომელიც შეესაბამება ავტომატის სხვადასხვა მდგომარეობას და აკავშირებს გრაფიკული რკალების წვეროებს, რომლებიც შეესაბამება ავტომატის გარკვეულ გადასვლებს. თუ შეყვანის სიგნალი x kიწვევს სახელმწიფოდან გადასვლას z iსახელმწიფოში ზ ჯ, შემდეგ ავტომატის გრაფიკზე არის წვეროს დამაკავშირებელი რკალი z iზევით ზ ჯ, აღნიშნა x k... გამოსასვლელების ფუნქციის დასაყენებლად, გრაფიკის რკალი უნდა იყოს მონიშნული შესაბამისი გამომავალი სიგნალებით. Miles მანქანებისთვის ეს მარკირება ხდება შემდეგნაირად: თუ შეყვანის სიგნალი x kმოქმედებს სახელმწიფოზე z i, მაშინ ვიღებთ რკალს, რომელიც გამოდის z iდა მონიშნულია x k; ეს რკალი დამატებით აღინიშნება გამომავალი სიგნალით წ= y ( z i, x k). მურის ავტომატისთვის გრაფის მსგავსი მარკირება ასეთია: თუ შეყვანის სიგნალი x kმოქმედებით ავტომატის გარკვეულ მდგომარეობაზე, იწვევს მდგომარეობაზე გადასვლას ზ ჯ, შემდეგ რკალი მიმართულია z iდა მონიშნულია x k, დამატებით აღნიშნეთ შაბათ-კვირა
სიგნალი წ= y ( ზ ჯ, x k).

ნახ. 2.4. ა, ბადრე მოცემულია ცხრილებში ფ- მილის მანქანები ფ 1 და მური ფ 2 შესაბამისად.

ბრინჯი. 2.4. ავტომატური გრაფიკები a - Miles და b - Moore

სასრული ავტომატის მატრიცის მინიჭებისთვის, ავტომატის შეერთების მატრიცა არის კვადრატი. თან=||ij-თან ერთად||, სტრიქონები შეესაბამება საწყის მდგომარეობებს და სვეტები - გარდამავალ მდგომარეობებს. ელემენტი ij-თან ერთად = x k/წგზაჯვარედინზე დგას
მეე ხაზი და ჯ-ე სვეტი, Miles ავტომატის შემთხვევაში შეესაბამება შეყვანის სიგნალს x kსახელმწიფოდან გადასვლას იწვევს z iსახელმწიფოში ზ ჯდა გამომავალი სიგნალი წამ გადასვლით წარმოქმნილი. მაილის აპარატისთვის ფ 1, ზემოთ განხილული, ნაერთების მატრიცას აქვს ფორმა:

x 2 /წ 1 – x 1 /წ 1

C 1 = x 1 /წ 1 – x 2 /წ 2 .

x 1 /წ 2 x 2 /წ 1 –

თუ სახელმწიფოდან გადასვლა z iსახელმწიფოში ზ ჯხდება რამდენიმე სიგნალის, მატრიცის ელემენტის მოქმედების ქვეშ გ ijარის შემავალი-გამომავალი წყვილების ერთობლიობა ამ გადასვლისთვის, რომლებიც დაკავშირებულია დისუნქციის ნიშნით.

ამისთვის ფ-მური მანქანის ელემენტი ij-თან ერთადუდრის შეყვანის სიგნალების სიმრავლეს გადასვლისას ( z i, z j), და გამომავალი აღწერილია გამოსავლების ვექტორით

= y ( z k) ,

მე-რომლის კომპონენტს წარმოადგენს გამომავალი სიგნალი, რომელიც მიუთითებს მდგომარეობაზე z i.

ზემოაღნიშნულისთვის ფ-მურის მანქანა F2კავშირების მატრიცა და გამომავალი ვექტორი ასეთია:

–x 1 –x 2 –ზე 1

–x 2 – –x 1 ზე 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –ზე 2

x 2 –x 1 – –ზე 3

დეტერმინისტული ავტომატებისთვის დაკმაყოფილებულია გადასვლების უნიკალურობის პირობა: გარკვეულ მდგომარეობაში მყოფი ავტომატი არ შეიძლება გადავიდეს ერთზე მეტ მდგომარეობაში ნებისმიერი შემავალი სიგნალის მოქმედებით. გამოიყენება დაყენების გრაფიკულ გზაზე ფ-automaton, ეს ნიშნავს, რომ ავტომატური გრაფიკის ორი ან მეტი კიდე, რომელიც მონიშნულია ერთი და იგივე შეყვანის სიგნალით, ვერ გადის რომელიმე წვეროდან. და აპარატის კავშირების მატრიცაში თანნებისმიერი შეყვანის სიგნალი არ უნდა მოხდეს ერთზე მეტჯერ თითოეულ ხაზზე.

ამისთვის ფ- ავტომატური მდგომარეობა z kდაურეკა მდგრადი,თუ რაიმე შეყვანისთვის x i ÎXრისთვისაც j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. ფ-მანქანა ჰქვია ასინქრონული,თუ ყოველი სახელმწიფო z k ÎZსტაბილური.

ამრიგად, მოდელებზე ობიექტების თვისებების შესწავლის დისკრეტულ-დეტერმინისტული მიდგომის კონცეფცია არის მათემატიკური აბსტრაქცია, მოსახერხებელია ავტომატური მართვის სისტემებში რეალური ობიექტების ფუნქციონირების პროცესების ფართო კლასის აღსაწერად. Გამოყენებით F-ავტომატის საშუალებით შესაძლებელია აღწეროთ ობიექტები, რომლებიც ხასიათდება დისკრეტული მდგომარეობების არსებობით და დროში მუშაობის დისკრეტული ბუნებით - ეს არის კომპიუტერის ელემენტები და კვანძები, საკონტროლო, რეგულირებისა და კონტროლის მოწყობილობები, დროისა და სივრცის სისტემები. ინფორმაციის გაცვლის ტექნოლოგიაში გადართვა და ა.შ.

2.4. დისკრეტული სტოქასტური მოდელები ( რ-სქემები)

ძირითადი ურთიერთობები... განვიხილოთ მათემატიკური სქემების აგების თავისებურებები დისკრეტულ-სტოქასტური მიდგომით ალბათურ (სტოქასტურ) ავტომატებზე. Ზოგადად სავარაუდო ავტომატი
R-სქემები(ინგლისური probabijistic automat) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ინფორმაციის დისკრეტული ხაზიდან ხაზში გადამყვანი მეხსიერებით, რომლის ფუნქციონირება თითოეულ ციკლში დამოკიდებულია მხოლოდ მასში არსებული მეხსიერების მდგომარეობაზე და შეიძლება აღწერილი იყოს სტატისტიკურად.

შემოვიღოთ მათემატიკური ცნება რ-ავტომატი, ამისთვის შემოღებული ცნებების გამოყენებით ფ- ავტომატი. განიხილეთ ნაკრები გ, რომლის ელემენტებია ყველა შესაძლო წყვილი ( x i, z s), სადაც x iდა z s- შეყვანის ქვეჯგუფის ელემენტები NSდა Z მდგომარეობების ქვესიმრავლეები, შესაბამისად. თუ არსებობს ორი ასეთი ფუნქცია j და y, რომ ისინი გამოიყენება რუკების განსახორციელებლად გ®Z და G®Y,მერე ამას ამბობენ ფ = X, Y, j, y> განსაზღვრავს დეტერმინისტული ტიპის ავტომატს.

განვიხილოთ უფრო ზოგადი მათემატიკური სქემა. დაე იყოს
Ф - ფორმის ყველა შესაძლო წყვილის ნაკრები ( z k, y i), სადაც მე- გამომავალი ქვეჯგუფის ელემენტი ი... ჩვენ ვითხოვთ ნაკრების ნებისმიერ ელემენტს გინდუცირებულია Ф სიმრავლეზე შემდეგი ფორმის განაწილების კანონი:

სადაც ბ კჯ= 1, სადაც ბ კჯ- ავტომატის მდგომარეობაზე გადასვლის ალბათობა z kდა სიგნალის გამოჩენა გამომავალზე y jთუ შეეძლო z sდა მისი შეყვანისას ამ მომენტში სიგნალი მიიღეს x i... ცხრილების სახით წარმოდგენილი ასეთი განაწილების რაოდენობა უდრის კომპლექტის ელემენტების რაოდენობას გ... ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ცხრილების სიმრავლეს B. შემდეგ ოთხი ელემენტი P = ალბათობით ავტომატს უწოდებენ
(რ- ავტომატი).

შესაძლო აპლიკაციები პ- სქემები.მოდით ელემენტები კომპლექტი გქვეჯგუფებზე განაწილების ზოგიერთი კანონის გამოწვევა იდა ზ, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, შესაბამისად, ფორმით:

სადაც z k = 1 და q j = 1, სადაც z kდა q j -გადასვლის ალბათობა
რ- ავტომატური მანქანა მდგომარეობაში z kდა გამომავალი სიგნალის გამოჩენა y kიმ პირობით, რომ
რ z sდა მისმა შეყვანამ მიიღო შემავალი სიგნალი x i.

თუ ყველასთვის კდა ჯურთიერთობა ინარჩუნებს q j z k = b kj,მაშინ ასეთი
რ-მანქანა ჰქვია მაილსის ალბათური ავტომატი... ეს მოთხოვნა ნიშნავს ახალი სახელმწიფოს განაწილების დამოუკიდებლობის პირობის შესრულებას რ- ავტომატური მოწყობილობა და მისი გამომავალი სიგნალი.

ახლა მოდით განვსაზღვროთ გამომავალი სიგნალი R-ავტომატი დამოკიდებულია მხოლოდ იმ მდგომარეობაზე, რომელშიც ავტომატი იმყოფება მუშაობის მოცემულ ციკლში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნება მიეცით გამომავალი ქვეჯგუფის თითოეულ ელემენტს იიწვევს შედეგების ალბათობის განაწილებას, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმა:

Აქ s i = 1, სადაც ს მე- გამომავალი სიგნალის გამოჩენის ალბათობა y მეზე ზესიტყვები და ეს რ- მანქანა იყო გამართულ მდგომარეობაში z k.

თუ ყველასთვის კდა მეურთიერთობა ინარჩუნებს z k s i =ბ კიმაშინ ასეთი
რ-მანქანა ჰქვია მურის ალბათური ავტომატი.Შინაარსი
რ-მაილისა და მურის ავტომატი დეტერმინისტის ანალოგიით არის შემოტანილი
ფ- ავტომატი. კონკრეტული შემთხვევა R-ავტომატი განსაზღვრულია როგორც პ=X, Y, ბ> არის ავტომატები, რომლებშიც ან ახალ მდგომარეობაზე გადასვლა ან გამომავალი სიგნალი განისაზღვრება დეტერმინისტიკურად. თუ გამომავალი სიგნალი
რ-ავტომატი განისაზღვრება დეტერმინისტულად, მაშინ ასეთ ავტომატს უწოდებენ
ი-... ანალოგიურად,
ზ-დეტერმინისტული ალბათური ავტომატიდაურეკა რ- ავტომატი, რომელშიც ახალი მდგომარეობის არჩევანი განმსაზღვრელია.

მაგალითი 2.1.მიეცეს ი-დეტერმინისტული პ- მანქანა

ნახ. 2.5 გვიჩვენებს ამ ავტომატის მიმართული გადასვლის გრაფიკს. გრაფიკის წვეროები დაკავშირებულია ავტომატის მდგომარეობებთან, ხოლო რკალი დაკავშირებულია შესაძლო გადასვლებთან ერთი მდგომარეობიდან მეორეში. რკალებს აქვთ გადასვლის ალბათობების შესაბამისი წონა p ijდა ამ მდგომარეობებით გამოწვეული გამომავალი სიგნალების მნიშვნელობები იწერება გრაფიკის წვეროებთან ახლოს. საჭიროა შეფასდეს ამის დარჩენის მთლიანი საბოლოო ალბათობა პ- ავტომატი შტატებში ზ 2 და ზ 3 .

ბრინჯი. 2.5. ალბათობის ავტომატური გრაფიკი

ანალიტიკური მიდგომის გამოყენებით შეიძლება ჩაიწეროს ცნობილი მიმართებები მარკოვის ჯაჭვების თეორიიდან და მივიღოთ განტოლებათა სისტემა საბოლოო ალბათობების დასადგენად. ამ შემთხვევაში, საწყისი მდგომარეობა ზ 0 შეიძლება იგნორირებული იყოს, რადგან საწყისი განაწილება გავლენას არ ახდენს საბოლოო ალბათობების მნიშვნელობებზე. მაშინ გვაქვს

სადაც კ-თან ერთად- დარჩენის საბოლოო ალბათობა რ- ავტომატური მოწყობილობა მდგომარეობაში z k.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ განტოლებებს ვუმატებთ ნორმალიზების პირობას თან 1 + თან 2 + თან 3 + თან 4 = 1. შემდეგ განტოლებათა სისტემის ამოხსნით ვიღებთ თან 1 = 5/23, თან 2 = 8/23, თან 3 = 5/23,
თან 4 = 5/23. ამრიგად, თან 2 + თან 3 = 13/23 = 0.5652. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ მაგალითში მოცემული გაუთავებელი შრომით ი-დეტერმინისტული
რ-ავტომატი მის გამოსავალზე იქმნება ორობითი თანმიმდევრობა ერთის გაჩენის ალბათობით ტოლია 0,5652.

Მსგავსი რ- ავტომატები შეიძლება გამოვიყენოთ როგორც მარკოვის მიმდევრობების გენერატორები, რომლებიც აუცილებელია სისტემების ფუნქციონირებისთვის პროცესების კონსტრუქციასა და განხორციელებაში. სან გარემოზე ზემოქმედება ე.

2.5. უწყვეტი სტოქასტური მოდელები ( ქ-სქემები)

ძირითადი ურთიერთობები... განვიხილავთ უწყვეტ-სტოქასტური მიდგომის თავისებურებებს ტიპიური მათემატიკური მაგალითის გამოყენებით Q-სქემები - რიგის სისტემები(ინგლისური რიგის სისტემა).

როგორც მომსახურების პროცესი, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ეკონომიკური, საწარმოო, ტექნიკური და სხვა სისტემების ფუნქციონირების სხვადასხვა ფიზიკური ხასიათის პროცესები, მაგალითად: გარკვეული საწარმოსთვის პროდუქციის მიწოდების ნაკადები, ნაწილებისა და კომპონენტების ნაკადები შეკრების ხაზზე. სახელოსნო, მოთხოვნები კომპიუტერული ინფორმაციის დამუშავების შესახებ დისტანციური ტერმინალებიდან და ა.შ. ამ შემთხვევაში, ასეთი ობიექტების ფუნქციონირების დამახასიათებელი მახასიათებელია პრეტენზიების (მოთხოვნების) შემთხვევითი გამოჩენა და სერვისის დასრულება შემთხვევით დროს, ე.ი. მათი ფუნქციონირების პროცესის სტოქასტური ბუნება.

მოვლენათა ნაკადითეწოდება მოვლენათა თანმიმდევრობას, რომლებიც ხდება ერთმანეთის მიყოლებით დროის ზოგიერთ შემთხვევით მომენტში. განასხვავებენ ერთგვაროვან და ჰეტეროგენულ მოვლენათა ნაკადებს. მოვლენების ნაკადიდაურეკა ერთგვაროვანი,თუ მას ახასიათებს მხოლოდ ამ მოვლენების მოსვლის მომენტები (გამომწვევი მომენტები) და მოცემულია თანმიმდევრობით ( t n} = {0 £ ტ£ 1 ტ 2 ... £ t n£ … }, სადაც t n -ჩამოსვლის მომენტი NS-მოვლენა არის არაუარყოფითი რეალური რიცხვი. მოვლენათა ერთგვაროვანი ნაკადი ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც დროის ინტერვალების თანმიმდევრობა NS-მ და (n - 1) მოვლენები (t ნ), რომელიც ცალსახად ასოცირდება რთული მომენტების თანმიმდევრობასთან ( t n} , სადაც ტ n = t n– t n -1 ,NS³ 1, ტ 0 = 0, იმათ. t 1 = ტ 1 . ჰეტეროგენული მოვლენების ნაკადითანმიმდევრობას უწოდებენ ( t n, f n} , სადაც t n -რთული მომენტები; f n -მოვლენის ნიშნების ნაკრები. მაგალითად, პრეტენზიების არაერთგვაროვანი ნაკადის მომსახურების პროცესთან დაკავშირებით, მას შეიძლება მიეკუთვნოს პრეტენზიების კონკრეტული წყარო, პრიორიტეტის არსებობა, არხის ამა თუ იმ ტიპის სერვისის შესაძლებლობა.

მომსახურების ნებისმიერ ელემენტარულ აქტში შეიძლება გამოიყოს ორი ძირითადი კომპონენტი: პრეტენზიით მომსახურების მოლოდინი და მოთხოვნის ფაქტობრივი მომსახურება. ეს შეიძლება გამოსახული იყოს ზოგიერთის სახით მე- სერვისის მოწყობილობა P i(ნახ. 2.6), რომელიც შედგება შეკვეთების აკუმულატორისგან ჰ მე,რომელიც შეიძლება ერთდროულად იყოს j i= აპლიკაციები სადაც L i H– ტევადობა
მე- გადადით საცავში და არხი მოთხოვნების შესასრულებლად (ან უბრალოდ არხი) კ ი.სერვისის მოწყობილობის თითოეული ელემენტისთვის P iმოვლენების ნაკადები მოდის: დისკზე ჰ იგანაცხადების ნაკადი w მე,თითო არხზე K i -მომსახურების ნაკადი და მე.

ბრინჯი. 2.6. აპლიკაციის სერვისის მოწყობილობა

არხის მიერ მოწოდებული აპლიკაციები K i,და მოთხოვნები, რომლებმაც დატოვეს მოწყობილობა P iგამოუყენებელია სხვადასხვა მიზეზის გამო (მაგალითად, დისკის გადატვირთვის გამო ჰ ი), შექმენით გამომავალი ნაკადი y i y Y,იმათ. შეკვეთების გასვლის მომენტებს შორის დროის ინტერვალები ქმნიან გამომავალი ცვლადების ქვეჯგუფს.

ჩვეულებრივ, განაცხადების ნაკადი w i ÎW,იმათ. დროის ინტერვალები შესასვლელთან შეკვეთების გამოჩენის მომენტებს შორის კ ი, ქმნის უმართავი ცვლადების ქვეჯგუფს და სერვისის ნაკადს შენ მე,იმათ. დროის ინტერვალები მოთხოვნის მომსახურების დაწყებასა და დასრულებას შორის, ქმნის კონტროლირებადი ცვლადების ქვეჯგუფს.

სერვისის მოწყობილობის მუშაობის პროცესი P iშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მისი დროის ელემენტების მდგომარეობის შეცვლის პროცესი z i(ტ). ახალ სახელმწიფოში გადასვლა ამისთვის P iნიშნავს მასში არსებული აპლიკაციების რაოდენობის ცვლილებას (არხში კ იდა დრაივში ჰ ი). ამრიგად, მდგომარეობების ვექტორი ამისთვის P iროგორც ჩანს: , სადაც z i H- წამყვანი მდგომარეობა ჰ ი (z i H= 0 - დისკი ცარიელია, z i H= 1 - საცავში არის ერთი მოთხოვნა, ..., z i H = L i H – დისკი მთლიანად სავსეა); L i H -შესანახი მოცულობა ჰ მე,იზომება აპლიკაციების რაოდენობის მიხედვით, რომლებიც შეიძლება მასში მოთავსდეს; z i k -არხის მდგომარეობა კ ი(z i k = 0 – არხი უფასოა, z i k= 1 - არხი დაკავებულია).

შესაძლო აპლიკაციები Q-სქემები.უფრო რთული სტრუქტურული ურთიერთობებისა და ქცევის ალგორითმების მქონე სისტემების მოდელირების პრაქტიკაში, ფორმალიზაციისთვის გამოიყენება არა ცალკეული სერვისის მოწყობილობები, არამედ
Q-სქემები , ჩამოყალიბებულია მრავალი ელემენტარული სერვისის მოწყობილობის შემადგენლობით P i.თუ არხები კ ისხვადასხვა სერვისის მოწყობილობა დაკავშირებულია პარალელურად, შემდეგ ხდება მრავალარხიანი მომსახურება ( მრავალარხიანი Q-სქემა) , და თუ მოწყობილობები P iდა მათი პარალელური კომპოზიციები სერიულად არის დაკავშირებული, შემდეგ არის მრავალფაზიანი სერვისი ( მრავალფაზიანი Q-სქემა) . ისე სამუშაოსთვის Q-სქემამ უნდა გამოიყენოს კონიუგირებული ოპერატორი რასახავს სტრუქტურის ელემენტების (არხები და შესანახი მოწყობილობები) ერთმანეთთან დაკავშირებას.