აქ ჩვენ გავაგრძელებთ პირველ ნაწილში დაწყებულ მატრიცებზე ოპერაციების თემას და გავაანალიზებთ რამდენიმე მაგალითს, რომელშიც დაგჭირდებათ ერთდროულად რამდენიმე ოპერაციის გამოყენება.
მატრიცის გაფართოება.
მოდით k იყოს არა-უარყოფითი მთელი რიცხვი. ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის $ A_ (n \ ჯერ n) $ გვაქვს: $$ A ^ k = \ underbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (k \; ჯერ) $$
ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ $ A ^ 0 = E $, სადაც $ E $ არის შესაბამისი რიგის იდენტობის მატრიცა.
მაგალითი No4
მოცემულია მატრიცა $ A = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $. იპოვეთ მატრიცები $ A ^ 2 $ და $ A ^ 6 $.
განმარტების მიხედვით, $ A ^ 2 = A \ cdot A $, ე.ი. $ A ^ 2 $ რომ ვიპოვოთ, ჩვენ უბრალოდ უნდა გავამრავლოთ $ A $ მატრიცა თავისთავად. თემის პირველ ნაწილში განიხილებოდა მატრიცების გამრავლების მოქმედება, ამიტომ აქ ჩვენ უბრალოდ დავწერთ ამოხსნის პროცესს დეტალური ახსნის გარეშე:
$$ A ^ 2 = A \ cdot A = \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot (-1) & 1 \ cdot 2 +2 \ cdot (-3) \\ -1 \ cdot 1 + (-3) \ cdot (-1) & -1 \ cdot 2 + (-3) \ cdot (-3) \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ ) = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ). $ $
$ A ^ 6 $ მატრიცის საპოვნელად გვაქვს ორი ვარიანტი. ვარიანტი ერთი: მნიშვნელოვანია $ A ^ 2 $ - ის გამრავლება გაგრძელდეს $ A $ მატრიცაზე:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A. $$
თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იაროთ მატრიცის გამრავლების ასოციაციურობის თვისების გამოყენებით. მოდით განათავსოთ ფრჩხილები გამოთქმაში $ A ^ 6 $:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A = A ^ 2 \ cdot (A \ cdot A) \ cdot (A \ cdot A) = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2. $ $
თუ პირველი მეთოდის ამოხსნას დასჭირდება ოთხი გამრავლების ოპერაცია, მაშინ მეორე მეთოდისთვის - მხოლოდ ორი. ამიტომ, მოდით წავიდეთ მეორე გზით:
$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2 = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) \ cdot \ left (\ begin (მასივი) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (მასივი) \ right) \ cdot \ left (\ begin (მასივი) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \\ = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) [cc] -1 \ cdot (-1) + (-4) \ cdot 2 & -1 \ cdot (-4 ) +(-4) \ cdot 7 \\ 2 \ cdot (-1) +7 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-4) +7 \ cdot 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (მასივი) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \ end ( მასივი) \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (მასივი) \ მარჯვნივ) = \\ = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ასლი ) -7 \ cdot (-1) + (-24) \ cdot 2 & -7 \ cdot (-4) + (-24) \ cdot 7 \\ 12 \ cdot (-1) +41 \ cdot 2 & 12 \ cdot (-4) +41 \ cdot 7 \ ბოლოს (მასივი) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ). $ $
პასუხი: $ A ^ 2 = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $, $ A ^ 6 = \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ ბოლოს (მასივი) \ მარჯვნივ) $.
მაგალითი No5
მოცემული მატრიცები $ A = \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $, $ B = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $, $ C = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $. იპოვეთ მატრიცა $ D = 2AB-3C ^ T + 7E $.
ჩვენ ვიწყებთ მატრიცის გამოთვლას $ D $ პროდუქტის შედეგის პოვნით $ AB $. მატრიცები $ A $ და $ B $ შეიძლება გამრავლდეს, ვინაიდან მატრიცაში $ A $ სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიქსში $ B $ სტრიქონების რაოდენობას. ჩვენ აღვნიშნავთ $ F = AB $. ამ შემთხვევაში, $ F $ მატრიცას ექნება სამი სვეტი და სამი სტრიქონი, ე.ი. იქნება კვადრატული (თუ ეს დასკვნა აშკარად არ ჩანს, იხილეთ მატრიცის გამრავლების აღწერა ამ თემის პირველ ნაწილში). მოდით ვიპოვოთ მატრიცა $ F $ მისი ყველა ელემენტის გამოთვლით:
$$ F = A \ cdot B = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) \\ \ დასაწყისი (გასწორებული) & f_ (11) = 1 \ cdot (-9) +0 \ cdot 2 + (-1) \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 = -7; \\ & f_ (12) = 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot (-1) + (-1) \ cdot (-2) +2 \ cdot 5 = 13; \\ & f_ (13) = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 4 + (-1) \ cdot 3 + 2 \ cdot 0 = -3; \\ \\ & f_ (21) = 3 \ cdot (-9 ) + (- 2) \ cdot 2 + 5 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = -31; \\ & f_ (22) = 3 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot (-1) +5 \ cdot (-2) +0 \ cdot 5 = -5; \\ & f_ (23) = 3 \ cdot 0 + (-2) \ cdot 4 + 5 \ cdot 3 + 0 \ cdot 0 = 7; \\ \\ & f_ (31) =- 1 \ cdot (-9) +4 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot 0 + 6 \ cdot 1 = 23; \\ & f_ (32) =- 1 \ cdot 1 + 4 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot (-2) +6 \ cdot 5 = 31; \\ & f_ (33) =- 1 \ cdot 0 + 4 \ cdot 4 + (- 3) \ cdot 3 + 6 \ cdot 0 = 7. \ დასასრული (გასწორებული) $ $
$ F = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $. წავიდეთ უფრო შორს. $ C ^ T $ მატრიცა არის transpose მატრიცა $ C $ მატრიცისთვის, ე.ი. $ C ^ T = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $. რაც შეეხება $ E $ მატრიცას, ეს არის პირადობის მატრიცა. ვ ამ საქმესამ მატრიცის რიგი არის სამი, ე.ი. $ E = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $.
პრინციპში, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ ნაბიჯ -ნაბიჯ წინსვლა, მაგრამ უმჯობესია განვიხილოთ დარჩენილი გამოთქმა მთლიანად, დამხმარე მოქმედებების ყურადღების გადატანის გარეშე. სინამდვილეში, ჩვენ დაგვრჩა მხოლოდ მატრიცების რიცხვზე გამრავლების ოპერაციები, ასევე შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციები.
$$ D = 2AB -3C ^ T + 7E = 2 \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) -3 \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) +7 \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $$
გაამრავლეთ მატრიცები თანასწორობის მარჯვენა მხარეს შესაბამისი რიცხვებით (ანუ 2, 3 და 7):
$ $ 2 \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) -3 \ cdot \ left (\ begin (მასივი) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ ბოლოს (მასივი) \ მარჯვნივ) +7 \ cdot \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \\ = \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) -\ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) + \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $ $
მოდით აღვასრულოთ ბოლოდროინდელი ქმედებები: გამოკლება და შეკრება:
$$ \ left (\ begin (მასივი) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) -\ მარცხნივ (\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) + \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \\ = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) -14 - ( - - 15) +7 & 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\ -62-(-60) +0 & -10-36 + 7 & 14-(-45) +0 \\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ). $ $
პრობლემა მოგვარებულია, $ D = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $ ...
პასუხი: $ D = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $.
მაგალითი No6
მოდით $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x -9 $ და მატრიცა $ A = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $. იპოვეთ $ f (A) $ მნიშვნელობა.
თუ $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $, მაშინ $ f (A) $ ვგულისხმობთ მატრიცას:
$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E. $ $
ასე განისაზღვრება მატრიცის პოლინომი. ამრიგად, ჩვენ უნდა შევცვალოთ მატრიცა $ A $ გამონათქვამში $ f (A) $ და მივიღოთ შედეგი. მას შემდეგ, რაც ყველა ქმედება დეტალურად იყო განხილული ადრე, მაშინ აქ მე მხოლოდ გამოსავალს მივცემ. თუ ოპერაციის შესრულების პროცესი $ A ^ 2 = A \ cdot A $ თქვენთვის გაუგებარია, მაშინ გირჩევთ ამ თემის პირველ ნაწილში გადახედოთ მატრიცის გამრავლების აღწერილობას.
$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E = 2A \ cdot A + 3A-9E = 2 \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (სსკ) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ right) \ cdot \ left (\ begin (მასივი) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (მასივი) \ right) +3 \ left (\ begin (მასივი) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) -9 \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (სსკ) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \\ = 2 \ მარცხნივ ( \ დაწყება (მასივი) (cc) (-3) \ cdot (-3) +1 \ cdot 5 & (-3) \ cdot 1 +1 \ cdot 0 \\ 5 \ cdot (-3) +0 \ cdot 5 & 5 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 \ ბოლოს (მასივი) \ მარჯვნივ) +3 \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) -9 \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (სსკ) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \\ = 2 \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (სსგ) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) +3 \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (სსკ) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) -9 \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ [\ დაწყება (მასივი) [სს] 28 & -6 \\ -30 & 10 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) + \ მარცხენა (\ დაწყება (მასივი) (სსკ) -9 & 3 \\ 15 & 0 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) - \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (სსგ) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ). $ $
პასუხი: $ f (A) = \ მარცხნივ (\ დაწყება (მასივი) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ დასასრული (მასივი) \ მარჯვნივ) $.
მატრიცა А -1 ეწოდება ინვერსიულ მატრიცას მატრიცასთან მიმართებაში, თუ А * А -1 = Е, სადაც Е არის n- ე რიგის ერთეულის მატრიცა. ინვერსიული მატრიცა შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.
მომსახურების მიზანი... Გამოყენებით ეს სერვისიინტერნეტში შეგიძლიათ იპოვოთ ალგებრული დამატებები, გადატანილი მატრიცა A T, გვერდითი მატრიცა და ინვერსიული მატრიცა. გამოსავალი ხორციელდება უშუალოდ ვებგვერდზე (ონლაინ რეჟიმში) და უფასოა. გაანგარიშების შედეგები ფორმატირებულია Word ანგარიშში და in Excel ფორმატში(ანუ შესაძლებელია გამოსავლის შემოწმება). იხილეთ დიზაინის მაგალითი.
ინსტრუქცია. გამოსავლის მისაღებად აუცილებელია მატრიცის განზომილების დადგენა. შემდეგი, ახალ დიალოგურ ფანჯარაში, შეავსეთ მატრიცა A.
ასევე იხილეთ ინვერსიული მატრიცა ჯორდან-გაუსის მეთოდის გამოყენებით
ალგორითმი შებრუნებული მატრიცის პოვნაში
- ტრანსპოზიცირებული მატრიცის პოვნა A T.
- ალგებრული დამატებების განსაზღვრა. შეცვალეთ მატრიცის თითოეული ელემენტი მისი ალგებრული შემავსებლით.
- შედგენა ინვერსიული მატრიცაალგებრული დამატებებისგან: შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი იყოფა ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელით. შედეგად მიღებული მატრიცა არის ორიგინალური მატრიცის შებრუნებული.
- განსაზღვრეთ არის თუ არა მატრიცა კვადრატული. თუ არა, მაშინ არ არსებობს ამის შებრუნებული მატრიცა.
- მატრიცის A განმსაზღვრელის გაანგარიშება. თუ ის არ არის ნულის ტოლი, ჩვენ ვაგრძელებთ ამონახსნს, წინააღმდეგ შემთხვევაში, შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს.
- ალგებრული დამატებების განსაზღვრა.
- კავშირის (საპასუხო, გვერდითი) მატრიცის შევსება C.
- ალგებრული შემავსებლებისგან შებრუნებული მატრიცის შედგენა: C მახვილი მატრიცის თითოეული ელემენტი იყოფა ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელით. შედეგად მიღებული მატრიცა არის ორიგინალური მატრიცის შებრუნებული.
- შემოწმება ხდება: ორიგინალი და შედეგად მიღებული მატრიცები მრავლდება. შედეგი უნდა იყოს იდენტობის მატრიცა.
მაგალითი # 1. მოდით დავწეროთ მატრიცა შემდეგნაირად:
| A -1 = |
|
კიდევ ერთი ალგორითმი შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად
მოდით მივცეთ სხვა სქემა შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად.- იპოვეთ მოცემული კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი A.
- იპოვეთ ალტერნატიული დამატებები A მატრიცის ყველა ელემენტისთვის.
- ჩვენ ვწერთ მწკრივის ელემენტების ალგებრულ დამატებებს სვეტებში (ტრანსპოზიცია).
- ჩვენ ვყოფთ მიღებული მატრიცის თითოეულ ელემენტს A მატრიცის განმსაზღვრელზე.
განსაკუთრებული შემთხვევა: პირადობის მატრიცის E ინვერსია არის იდენტობის მატრიცა E.
მატრიცებზე ოპერაციების ზოგიერთი თვისება.
მატრიცის გამონათქვამები
ახლა კი თემის გაგრძელება მოჰყვება, რომელშიც ჩვენ განვიხილავთ არა მხოლოდ ახალი მასალა, მაგრამ ჩვენ ასევე ვიმუშავებთ ოპერაციები მატრიცებით.
მატრიცებზე ოპერაციების ზოგიერთი თვისება
საკმაოდ ბევრი თვისებაა, რაც ეხება მატრიცებით მოქმედებებს, იმავე ვიკიპედიაში შეგიძლიათ აღფრთოვანებულიყავით შესაბამისი წესების თხელი რანგით. თუმცა, პრაქტიკაში, ბევრი თვისება, გარკვეული გაგებით, „მკვდარია“, ვინაიდან მხოლოდ რამდენიმე მათგანი გამოიყენება რეალური პრობლემების გადასაჭრელად. ჩემი მიზანია შევხედო თვისებების გამოყენებას კონკრეტული მაგალითებით და თუ გჭირდებათ მკაცრი თეორია, გთხოვთ გამოიყენოთ ინფორმაციის სხვა წყარო.
განვიხილოთ ზოგიერთი გამონაკლისი წესიდანრომელიც საჭირო იქნება პრაქტიკული დავალებების შესასრულებლად.
თუ კვადრატულ მატრიცას აქვს ინვერსიული მატრიცა, მაშინ მათი გამრავლება არის კომუტაციური: 
ერთეულის მატრიცაეწოდება კვადრატული მატრიცა, რომელშიც მთავარი დიაგონალიერთეულები განლაგებულია, ხოლო დანარჩენი ელემენტები ნულის ტოლია. მაგალითად: და ა.შ.
სადაც შემდეგი თვისება მართალია: თუ თვითნებური მატრიცა მრავლდება მარცხნივ თუ მარჯვნივშესაბამისი ზომის პირადობის მატრიცაზე, შედეგი იქნება ორიგინალური მატრიცა:
როგორც ხედავთ, მატრიცის გამრავლება აქაც კომუტაციურია.
ავიღოთ რაიმე სახის მატრიცა, ვთქვათ, წინა პრობლემის მატრიცა: 
.
დაინტერესებულ პირებს შეუძლიათ შეამოწმონ და დარწმუნდნენ, რომ: 
მატრიცების იდენტობის მატრიცა არის რიცხვითი ერთეულის ანალოგი, რაც განსაკუთრებით ნათლად ჩანს ახლახანს განხილული მაგალითებიდან.
რიცხვითი ფაქტორის კომუტატიურობა მატრიცულ გამრავლებასთან მიმართებაში
მატრიცებისა და რეალური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისება მართალია: 
ანუ რიცხვითი ფაქტორი შეიძლება (და უნდა) გადავიდეს წინ ისე, რომ ის "არ ერევა" მატრიცების გამრავლებაში.
შენიშვნა : ზოგადად, ქონების ფორმულირება არასრულია - "ლამბდა" შეიძლება განთავსდეს სადმე მატრიცებს შორის, თუნდაც დასასრულს. წესი რჩება ჭეშმარიტი, თუ სამი ან მეტი მატრიცა გამრავლდება.
მაგალითი 4
გამოთვალეთ პროდუქტი 
გადაწყვეტა:
(1) ქონების მიხედვით 
გადაიტანეთ რიცხვითი ფაქტორი წინ. თავად მატრიცების გადაკეთება შეუძლებელია!
(2) - (3) შეასრულეთ მატრიცის გამრავლება.
(4) აქ თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ თითოეული რიცხვი 10 -ზე, მაგრამ შემდეგ ათწილადის წილადები გამოჩნდება მატრიცის ელემენტებს შორის, რაც არ არის კარგი. თუმცა, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ მატრიცის ყველა რიცხვი იყოფა 5 -ზე, ამიტომ თითოეულ ელემენტს ვამრავლებთ.
პასუხი: 
პატარა ხუმრობა თვითგამორკვევისთვის:
მაგალითი 5
გამოთვალეთ თუ 
გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
რა ტექნიკაა მნიშვნელოვანი ასეთი მაგალითების ამოხსნისას? საქმე ნომერთან ბოლოს და ბოლოს .
მოდით დავამატოთ კიდევ ერთი მანქანა ლოკომოტივს:
როგორ გავამრავლო სამი მატრიცა?
უპირველეს ყოვლისა, რა უნდა იყოს სამი მატრიცის გამრავლების შედეგი? კატა თაგვს არ გააჩენს. თუ მატრიცის გამრავლება შესაძლებელია, მაშინ შედეგიც იქნება მატრიცა. ჰმ, ჩემი ალგებრის მასწავლებელი ვერ ხედავს როგორ ავხსნი ალგებრული სტრუქტურის დახურვას მის ელემენტებთან შედარებით =)
სამი მატრიცის პროდუქტი შეიძლება გამოითვალოს ორი გზით:
1) იპოვეთ და შემდეგ გამრავლდით მატრიცაზე "ცე" :;
2) ან ჯერ იპოვეთ, შემდეგ გამრავლდით.
შედეგები აუცილებლად ემთხვევა და თეორიულად ამ თვისებას ეწოდება მატრიცის გამრავლების ასოციაციურობა:
მაგალითი 6
მატრიცების გამრავლება ორი გზით 
ალგორითმი გადაწყვეტილებებიორეტაპიანი: იპოვეთ ორი მატრიცის პროდუქტი, შემდეგ კვლავ იპოვეთ ორი მატრიცის პროდუქტი.
1) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას
პირველი მოქმედება:
მეორე მოქმედება:
2) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას
პირველი მოქმედება:
მეორე მოქმედება:
პასუხი: 
უფრო ნაცნობი და სტანდარტული, რა თქმა უნდა, არის პირველი გამოსავალი, არის „ყველაფერი წესრიგში“. სხვათა შორის, შეკვეთის შესახებ. განსახილველ ამოცანაში ილუზია ხშირად ჩნდება, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ მატრიცების რაიმე სახის პერმაციაციაზე. ისინი აქ არ არიან. კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ზოგადად მატრიცის შეცვლა შეუძლებელია... ასე რომ, მეორე აბზაცში, მეორე საფეხურზე, ჩვენ ვასრულებთ გამრავლებას, მაგრამ არავითარ შემთხვევაში. ჩვეულებრივი რიცხვებით, ასეთი რიცხვი გაივლიდა, მაგრამ მატრიცებით - არა.
გამრავლების ასოციაციურობის თვისება მოქმედებს არა მხოლოდ კვადრატზე, არამედ თვითნებურ მატრიცებზეც, რამდენადაც ისინი მრავლდება:
მაგალითი 7
იპოვეთ სამი მატრიცის პროდუქტი 
ეს არის მაგალითი საკუთარი ხელით გადაწყვეტისთვის. ნიმუშის ხსნარში გამოთვლები ხორციელდება ორი გზით, გააანალიზეთ რომელი გზაა უფრო მომგებიანი და მოკლე.
მატრიცის გამრავლების ასოციაციურობის თვისება ასევე მოქმედებს მეტიგამრავლება
ახლა დროა დავუბრუნდეთ მატრიცების ძალას. მატრიცის კვადრატი განიხილება თავიდანვე და დღის წესრიგში დგას კითხვა:
როგორ დავხატოთ მატრიცა და უმაღლესი ძალები?
ეს ოპერაციები ასევე განსაზღვრულია მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის. კუბურ კვადრატულ მატრიცის შესაქმნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ პროდუქტი:
სინამდვილეში ეს არის განსაკუთრებული შემთხვევასამი მატრიცის გამრავლება, მატრიცის გამრავლების ასოციაციურობის თვისებით :. და მატრიცა გამრავლებული თავისთავად არის მატრიცის კვადრატი:
ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სამუშაო ფორმულას:
ანუ, ამოცანა შესრულებულია ორ საფეხურად: ჯერ მატრიცა უნდა იყოს კვადრატში, შემდეგ კი მიღებული მატრიცა უნდა გამრავლდეს მატრიცაზე.
მაგალითი 8
გადააქციე მატრიცა კუბიკად.
ეს არის პატარა ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისათვის.
მეოთხე სიმძლავრის მატრიცის აწევა ხდება ბუნებრივი გზით: 
მატრიცის გამრავლების ასოციაციურობის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ორ სამუშაო ფორმულას. პირველი: არის სამი მატრიცის პროდუქტი.
1). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამრავლებთ მას "bh" - ით - ვიღებთ კუბს და, ბოლოს, ისევ ვამრავლებთ გამრავლებას - იქნება მეოთხე ხარისხი.
2) მაგრამ არსებობს გამოსავალი ერთი საფეხურით მოკლე :. ანუ, პირველ საფეხურზე ვპოულობთ კვადრატს და, კუბის გვერდის ავლით, ვასრულებთ გამრავლებას
დამატებითი აქტივობა მაგალითისთვის 8:
აამაღლეთ მატრიცა მეოთხე სიმძლავრეზე.
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ამის გაკეთების ორი გზა არსებობს:
1) როგორც კი კუბი ცნობილია, მაშინ ჩვენ ვასრულებთ გამრავლებას.
2) თუმცა, თუ პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით საჭიროა მატრიცის აგება მხოლოდ მეოთხე ხარისხამდე, მაშინ მომგებიანია გზის შემცირება - იპოვეთ მატრიცის კვადრატი და გამოიყენეთ ფორმულა.
ორივე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს არის.
ანალოგიურად, მატრიცა ამაღლებულია მეხუთე და უმაღლეს ძალებამდე. პრაქტიკული გამოცდილებიდან შემიძლია ვთქვა, რომ ხანდახან ვხვდები მე –4 ხარისხამდე ამაღლების მაგალითებს, მაგრამ მეხუთე ხარისხს ვერ ვიხსენებ. მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, მე მივცემ ოპტიმალურ ალგორითმს:
1) პოვნა;
2) პოვნა;
3) ჩვენ ვამატებთ მატრიცას მეხუთე სიმძლავრეზე:.
ეს არის, ალბათ, მატრიცული ოპერაციების ყველა ძირითადი თვისება, რომელიც შეიძლება სასარგებლო იყოს პრაქტიკულ პრობლემებში.
გაკვეთილის მეორე ნაწილში მოსალოდნელია თანაბრად ფერადი წვეულება.
მატრიცის გამონათქვამები
მოდით გავიმეოროთ ჩვეულებრივი სასკოლო გამონათქვამები რიცხვებით. რიცხვითი გამოთქმა შედგება რიცხვების, მათემატიკური სიმბოლოებისა და ფრჩხილებისგან, მაგალითად: 
... გაანგარიშებისას, ნაცნობი ალგებრული პრიორიტეტი მოქმედებს: პირველი ფრჩხილებში, შემდეგ გადის გაძლიერება / ფესვის მოპოვება, შემდეგ გამრავლება / გაყოფადა ბოლო მაგრამ არანაკლებ მნიშვნელოვანი - შეკრება / გამოკლება.
თუ რიცხვითი გამოთქმა აზრი აქვს, მაშინ მისი შეფასების შედეგი არის რიცხვი, მაგალითად:
მატრიცის გამონათქვამებითითქმის ერთნაირად არის მოწყობილი! იმ განსხვავებით, რომ მთავარი გმირები არიან მატრიცები. პლუს ზოგიერთი მატრიცის სპეციფიკური ოპერაცია, როგორიცაა ტრანსპოზიცია და შებრუნებული მატრიცის პოვნა.
განვიხილოთ მატრიცის გამოხატულება 
, სად არის ზოგიერთი მატრიცა. ამ მატრიცულ გამოხატულებაში სამი ტერმინი და შეკრება / გამოკლება ხორციელდება ბოლო.
პირველ ვადაში, თქვენ ჯერ უნდა გადაიტანოთ მატრიცა "bie": შემდეგ შეასრულეთ გამრავლება და დაამატეთ "ორი" მიღებულ მატრიცას. ჩაინიშნე ტრანსპოზიციის ოპერაციას მეტი აქვს მაღალი პრიორიტეტივიდრე გამრავლება... ფრჩხილები, როგორც რიცხვითი გამონათქვამები, ცვლის მოქმედებების თანმიმდევრობას: - აქ ჯერ გამრავლება ხდება, შემდეგ მიღებული მატრიცა გადატანილია და გამრავლებულია 2 -ით.
მეორე ვადაში, უპირველეს ყოვლისა, ხორციელდება მატრიცის გამრავლება, ხოლო შებრუნებული მატრიცა უკვე პროდუქტია. თუ ფრჩხილები ამოღებულია :, მაშინ ჯერ უნდა მოძებნოთ ინვერსიული მატრიცა, შემდეგ კი გავამრავლოთ მატრიცები:. მატრიცის შებრუნებული პოვნა ასევე უპირატესობას ანიჭებს გამრავლებას.
მესამე ტერმინთან ერთად, ყველაფერი აშკარაა: ჩვენ მატრიქსს ვამაგრებთ კუბიკზე და ვამატებთ "ხუთს" შედეგად მატრიცაში.
თუ მატრიცის გამოხატვას აქვს აზრი, მაშინ მისი გამოთვლის შედეგი არის მატრიცა.
ყველა ამოცანა იქნება რეალური ტესტებიდან და ჩვენ დავიწყებთ უმარტივესით:
მაგალითი 9
მოცემულია მატრიცები 
... იპოვეთ:
გადაწყვეტა: წესრიგი აშკარაა, ჯერ ხდება გამრავლება, შემდეგ დამატება.
დამატება შეუძლებელია, რადგან მატრიცები სხვადასხვა ზომისაა.
ნუ გაგიკვირდებათ, შეგნებულად შეუძლებელი ქმედებები ხშირად გვთავაზობენ ამ ტიპის ამოცანებში.
ცდილობს შეაფასოს მეორე გამოთქმა:
აქ ყველაფერი კარგადაა.
პასუხი: მოქმედება არ შეიძლება შესრულდეს, 
.
ხაზოვანი ალგებრა დუმებისთვის
ხაზოვანი ალგებრის შესასწავლად, შეგიძლიათ წაიკითხოთ და ჩაწვდეთ IV ბელუსოვის წიგნს "მატრიცები და განმსაზღვრელები". თუმცა, იგი დაწერილია მკაცრი და მშრალი მათემატიკური ენით, რომლის აღქმაც საშუალო გონების მქონე ადამიანებისთვის რთულია. ამრიგად, მე გავაკეთე ამ წიგნის ყველაზე რთულად გასაგები ნაწილების გადმოცემა, ვცდილობ წარმოვაჩინო მასალა რაც შეიძლება ნათლად, ვიყენებ სურათებს მაქსიმალურად ამისათვის. მე გამოვტოვე თეორემების მტკიცებულებები. სიმართლე გითხრათ, მე თვითონ არ ჩავუღრმავდი მათ. მე მჯერა ბატონო ბელუსოვ! ვიმსჯელებთ მისი შრომით, ის არის წიგნიერი და ინტელექტუალური მათემატიკოსი. მისი წიგნი შეგიძლიათ გადმოწეროთ აქ http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfთუ თქვენ აპირებთ ჩემს საქმეში ჩაღრმავებას, ეს უნდა გაკეთდეს, რადგან მე ხშირად მივმართავ ბელუსოვს.
დავიწყოთ განმარტებებით. რა არის მატრიცა? ეს არის რიცხვების, ფუნქციების ან ალგებრული გამონათქვამების მართკუთხა ცხრილი. რატომ არის საჭირო მატრიცები? ისინი მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს რთულ მათემატიკურ გამოთვლებს. მატრიცა შეიძლება განვასხვავოთ სტრიქონებით და სვეტებით (სურ. 1).
რიგები და სვეტები დანომრილია მარცხნიდან დაწყებული
ზემოდან (სურათი 1-1). როდესაც ისინი ამბობენ: მატრიცა ზომის m n (ან m by n), ისინი გულისხმობენ მ ხაზების რაოდენობადა ქვეშ n სვეტების რაოდენობა... მაგალითად, ფიგურაში 1-1 მატრიცა არის 4-დან 3-ზე და არა 3-დან 4-ზე.
იხ. 1-3, რა არის მატრიცები. თუ მატრიცა შედგება ერთი მწკრივისგან, მას უწოდებენ მწკრივის მატრიცას, ხოლო თუ იგი შედგება ერთი სვეტისგან, მაშინ სვეტის მატრიცა. მატრიცას ეწოდება კვადრატული n- ე რიგი, თუ მასში მწკრივების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას და უდრის n- ს. თუ მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ეს არის ნულოვანი მატრიცა. კვადრატულ მატრიცას ეწოდება დიაგონალი, თუ მისი ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, გარდა მთავარ დიაგონალზე განლაგებული.
მე დაუყოვნებლივ ავუხსენი რა არის მთავარი დიაგონალი. მასზე, რიგისა და სვეტის ნომრები ერთნაირია. ის მიდის მარცხნიდან მარჯვნივ, ზემოდან ქვემოდან. (სურ. 3) ელემენტებს უწოდებენ დიაგონალს, თუ ისინი განლაგებულია მთავარ დიაგონალზე. თუ ყველა დიაგონალური ელემენტი ერთის ტოლია (ხოლო დანარჩენი ნულის ტოლია), მატრიცას ეწოდება იდენტობის მატრიცა. ორი მატრიცა A და B იგივე ზომაეწოდება თანაბარი, თუ მათი ყველა ელემენტი ერთნაირია.
2 ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე
X მატრიცის პროდუქტი არის იგივე ზომის მატრიცა. ამ პროდუქტის მისაღებად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული ელემენტი ამ რიცხვით (სურათი 4). ერთი ზომის ორი მატრიცის ჯამი რომ მიიღოთ, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი შესაბამისი ელემენტები (სურ. 4). ერთი ზომის ორი მატრიცის A - B სხვაობის მისაღებად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ B მატრიცა -1 -ზე და დაამატოთ მიღებული მატრიცა A მატრიცასთან (სურათი 4). მატრიცებზე ოპერაციებისთვის მართებულია შემდეგი თვისებები: A + B = B + A (კომუტაციური თვისება).
(A + B) + C = A + (B + C) (ასოციაციურობის თვისება). მარტივი სიტყვებით, თანხა არ იცვლება პირობების ადგილების ცვლილებისგან. მატრიცებზე და რიცხვებზე ოპერაციებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:
(რიცხვებს აღვნიშნავთ x და y ასოებით, ხოლო მატრიცებს A და B ასოებით) x (yA) = (xy) A
ეს თვისებები მსგავსია რიცხვებზე მოქმედებებისათვის. შეხედე
მაგალითები ფიგურაში 5. აგრეთვე იხილეთ მაგალითები ბელუსოვის 2.4 - 2.6 მე –9 გვერდზე.
მატრიცის გამრავლება.
ორი მატრიცის გამრავლება განისაზღვრება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (რუსულად ითარგმნება: მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში), როდესაც პროდუქტში პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის რიგების რაოდენობას (სურ. 7, ზემოთ, ლურჯი ფრჩხილები). უკეთ რომ დაიმახსოვროთ: ნომერი 1 უფრო სვეტს ჰგავს.გამრავლების შედეგად მიიღება ზომის მატრიცა (იხ. სურათი 6). იმისათვის, რომ გავიხსენო რა უნდა გავამრავლო, მე გთავაზობთ შემდეგ ალგორითმს: იხ. სურათი 7. გავამრავლოთ A მატრიცა B მატრიცაზე.
მატრიცა A არის ორი სვეტი,
B მატრიცას აქვს ორი სტრიქონი - შეგიძლიათ გამრავლდეთ.
1) განვიხილოთ B მატრიცის პირველი სვეტი (მას აქვს მხოლოდ ერთი). ჩვენ ვწერთ ამ სვეტს ზედიზედ (ტრანსპოზიცია
სვეტი, ტრანსპოზიციის შესახებ ქვემოთ).
2) დააკოპირეთ ეს ხაზი ისე, რომ მივიღოთ A მატრიცის ზომის მატრიცა.
3) ჩვენ ვამრავლებთ ამ მატრიცის ელემენტებს A მატრიცის შესაბამისი ელემენტებით.
4) ჩვენ დავამატებთ შედეგად ნამუშევრებს თითოეულ სტრიქონში და ვიღებთორი რიგისა და ერთი სვეტის პროდუქტის მატრიცა.
სურათი 7-1 იძლევა უფრო დიდი მატრიცის გამრავლების მაგალითებს.
1) აქ პირველ მატრიცას აქვს სამი სვეტი, ამიტომ მეორეს უნდა ჰქონდეს სამი ხაზი. ალგორითმი ზუსტად იგივეა, რაც წინა მაგალითში, მხოლოდ აქ თითოეულ სტრიქონში არის სამი ტერმინი და არა ორი.
2) აქ მეორე მატრიცას აქვს ორი სვეტი. პირველი, ჩვენ ვასრულებთ ალგორითმს პირველი სვეტით, შემდეგ მეორე და ვიღებთ ორ-ორ მატრიცას.
3) აქ, მეორე მატრიცას აქვს სვეტი, რომელიც შედგება ერთი ელემენტისგან, სვეტი არ შეიცვლება ტრანსპოზიციიდან. თქვენ არ გჭირდებათ არაფრის დამატება, რადგან პირველ მატრიცაში არის მხოლოდ ერთი სვეტი. ჩვენ ვატარებთ ალგორითმს სამჯერ და ვიღებთ სამიდან სამ მატრიქსს.
შემდეგი თვისებები ხდება:
1. თუ ჯამი B + C და პროდუქტი AB არსებობს, მაშინ A (B + C) = AB + AC
2. თუ პროდუქტი AB არსებობს, მაშინ x (AB) = (xA) B = = A (xB).
3. თუ პროდუქტები AB და BC არსებობს, მაშინ A (BC) = (AB) C.
თუ მატრიქსის პროდუქტი AB არსებობს, მაშინ პროდუქტი BA შეიძლება არ არსებობდეს. მაშინაც კი, თუ პროდუქტები AB და BA არსებობს, ისინი შეიძლება აღმოჩნდეს სხვადასხვა ზომის მატრიცები.
ორივე პროდუქტი AB და BA არსებობს და არის ერთნაირი ზომის მატრიცები მხოლოდ იმავე რიგის კვადრატული მატრიცების შემთხვევაში. თუმცა, ამ შემთხვევაშიც კი AB არ შეიძლება იყოს BA- ს ტოლი.
გაფართოება
მატრიცის გამძაფრება მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებს აქვს აზრი (დაფიქრდით რატომ?). მაშინ A მატრიცის მთლიანი დადებითი სიმძლავრე m არის m მატრიცების ნამრავლი A. ტოლი იგივეა რაც რიცხვებზე. კვადრატული მატრიცის A ნულოვანი ხარისხი იგულისხმება როგორც იდენტობის მატრიცა, როგორც A. თუ დაგავიწყდათ რა არის იდენტობის მატრიცა, გადახედეთ ნახ. 3
ციფრების მსგავსად, არსებობს შემდეგი ურთიერთობები:
A mA k = A m + k (A m) k = A mk
იხილეთ ბელუსოვის მაგალითები მე –20 გვერდზე.
მატრიცების გადატანა
ტრანსპოზიცია არის A მატრიცის გარდაქმნა AT მატრიცაში,
რომელშიც A მატრიცის რიგები იწერება AT სვეტებში წესრიგის დაცვით. (სურ .8). სხვაგვარად შეგიძლიათ თქვათ:
მატრიცის A სვეტები იწერება AT მატრიცის რიგებში წესრიგის დაცვით. ყურადღება მიაქციეთ, თუ როგორ ცვლის ტრანსპოზიცია მატრიცის ზომას, ანუ მწკრივებისა და სვეტების რაოდენობას. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ პირველი რიგის, პირველი სვეტის და ბოლო სტრიქონის, ბოლო სვეტის ელემენტები ადგილზე რჩება.
შემდეგი თვისებები მოქმედებს: (AT) T = A (ტრანსპოზიცია
მატრიცა ორჯერ - თქვენ იღებთ ერთსა და იმავე მატრიქსს)
(xA) T = xAT (x ნიშნავს რიცხვს, A, რა თქმა უნდა, მატრიცას) (თუ თქვენ გჭირდებათ მატრიცის გამრავლება რიცხვზე და ტრანსპოზიცია, შეგიძლიათ ჯერ გაამრავლოთ, შემდეგ გადაიტანოთ ან პირიქით)
(A + B) T = AT + BT (AB) T = BT AT
სიმეტრიული და ანტისიმეტრიული მატრიცები
სურათი 9 გვიჩვენებს სიმეტრიულ მატრიცას მარცხენა ზედა ნაწილში. მისი ელემენტები, სიმეტრიული ძირითადი დიაგონალის შესახებ, თანაბარია. ახლა კი განმარტება: კვადრატული მატრიცა
A ეწოდება სიმეტრიულს, თუ AT = A. ანუ, სიმეტრიული მატრიცა არ იცვლება ტრანსპოზიციისას. კერძოდ, ნებისმიერი დიაგონალური მატრიცა სიმეტრიულია. (ასეთი მატრიცა ნაჩვენებია ნახ .2).
ახლა შეხედეთ ანტისიმეტრიულ მატრიცას (სურათი 9, ქვედა). რით განსხვავდება ის სიმეტრიულისგან? გაითვალისწინეთ, რომ მისი ყველა დიაგონალური ელემენტი ნულის ტოლია. ანტისიმეტრიული მატრიცებისთვის ყველა დიაგონალური ელემენტი ნულის ტოლია. დაფიქრდით რატომ? განმარტება: A კვადრატულ მატრიცას ეწოდება
ანტისიმეტრიული თუ AT = -A. მოდით აღვნიშნოთ სიმეტრიული და ანტისიმეტრიული ოპერაციების ზოგიერთი თვისება
მატრიცები 1. თუ A და B სიმეტრიული (ანტისიმეტრიული) მატრიცებია, მაშინ A + B ასევე სიმეტრიული (ანსიმეტრიული) მატრიცაა.
2. თუ A არის სიმეტრიული (ანტისიმეტრიული) მატრიცა, მაშინ xA ასევე არის სიმეტრიული (ანტისიმეტრიული) მატრიცა. (ფაქტობრივად, თუ ფიგურა 9 -ის მატრიცებს გაამრავლებთ რაიმე რიცხვით, სიმეტრია მაინც შენარჩუნდება)
3. ორი სიმეტრიული ან ორი ანტისიმეტრიული მატრიცის AB და B არის მატრიცა სიმეტრიული AB = BA და ანტისიმეტრიული AB =-BA.
4. თუ A არის სიმეტრიული მატრიცა, მაშინ A m (m = 1, 2, 3, ...) არის სიმეტრიული მატრიცა. Თუ
ანტისიმეტრიული მატრიცა, შემდეგ Am (m = 1, 2, 3, ...) არის სიმეტრიული მატრიცა ლუწი m- სთვის და ანტისიმმეტრიული მატრიცა კენტი m- ისთვის.
5. თვითნებური კვადრატული მატრიცა A შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მატრიცის ჯამი. (მოდით დავარქვათ ამ მატრიცებს, მაგალითად, A (s) და A (a))
A = A (s) + A (a)
