Universitatea Politehnică de Stat din Sankt Petersburg

Facultatea de Cibernetică Tehnică

Departamentul de Automatizare și Inginerie Calculatoare

RAPORT

pentru munca de laborator nr 3

Cercetarea algoritmilor de filtrare digitală recurenți

semnale prin metoda medierii.

Completat de student gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Verificat de: V.D. Yarmiychuk

St.Petersburg

1. Obiectivele lucrării

Scopul lucrării este de a se familiariza cu diverși algoritmi de filtrare digitală a semnalelor prin metoda medierii și de a studia eficiența muncii lor în condițiile în care se impune semnalului util o interferență de tip „zgomot alb” cu așteptări matematice zero.

dispersie controlată.

2. Metodologia cercetării

Sunt investigate filtre bazate pe următorii algoritmi:

1). Algoritm de mediere recurent cu memorie infinită.

Scopul filtrului este de a izola componenta constantă a semnalului util pe fundalul interferenței.

Exprimarea lui în formă recurentă:

Când oferă .

2). Algoritm de mediere recurent cu factor de corecție constant.

Scopul filtrului este de a izola componentele de joasă frecvență ale semnalului util de intrare pe fundalul zgomotului.

Dacă acceptați, atunci puteți scrie această ecuație sub forma:

De unde, la trecerea la timp continuu, obținem funcția de transfer a filtrului:

Adică, filtrul construit conform acestui algoritm este echivalent pentru valori mici

un filtru trece-jos analog de ordinul întâi.

3). Algoritm recurent de mediere a memoriei finite.

Scopul filtrului este de a evidenția componentele de joasă frecvență ale semnalului de intrare

folosind media doar pentru un număr limitat dintre cele mai recente măsurători ale sale.

Eficiența filtrării digitale, adică o măsură de reducere a nivelului de zgomot la ieșirea filtrului în comparație cu nivelul de zgomot la intrare, va fi estimată după cum urmează:

Unde: - semnal zgomotos la intrarea filtrului

Semnal util la intrarea filtrului

Semnal de ieșire al filtrului

Semnal util la ieșirea filtrului

3. Schema experimentului (vezi Anexa 1)

4. Rezultatele experimentului

4.1. Algoritm de mediere recurent cu memorie infinită

Studiile au fost efectuate cu o perioadă de eșantionare constantă egală cu 100 ms.

Luați în considerare modul în care eficiența filtrului se modifică de la mărimea semnalului constant de intrare (X).

Algoritmi pentru gradare analitică, filtrare digitală folosind metode de netezire exponențială și medie mobilă. Filtre robuste, de trecere înaltă, de trecere a benzii și de crestătură. Diferențierea, integrarea și mediarea discretă a valorilor măsurate.

Un filtru este un sistem sau o rețea care schimbă selectiv forma unui semnal (răspuns amplitudine-frecvență sau fază-frecvență). Principalele obiective ale filtrării sunt îmbunătățirea calității semnalului (de exemplu, eliminarea sau reducerea interferențelor), extragerea informațiilor din semnale sau separarea mai multor semnale care au fost anterior combinate pentru, de exemplu, utilizarea eficientă a canalului de comunicație disponibil.

Filtru digital - orice filtru care procesează un semnal digital pentru a izola și/sau suprima anumite frecvențe ale acestui semnal.

Spre deosebire de un filtru digital, un filtru analogic se ocupă de un semnal analog, proprietățile acestuia sunt nediscrete (continue), respectiv, funcția de transfer depinde de proprietățile interne ale elementelor sale constitutive.

O diagramă bloc simplificată a unui filtru digital în timp real cu intrare și ieșire analogică este prezentată în Fig. 8a. Semnalul analogic de bandă îngustă este eșantionat periodic și convertit într-un set de eșantioane digitale, x (n), n = 0,1. Procesorul digital filtrează, mapând secvența de intrare x (n) la ieșirea y (n) conform filtrului de calcul. algoritm. DAC-ul convertește ieșirea filtrată digital în valori analogice, care sunt apoi filtrate analogic pentru a netezi și a elimina componentele de înaltă frecvență nedorite.

Orez. 8a. Schema bloc simplificată a unui filtru digital

Funcționarea filtrelor digitale este asigurată în principal prin mijloace software, prin urmare, acestea se dovedesc a fi mult mai flexibile în aplicare în comparație cu cele analogice. Cu ajutorul filtrelor digitale este posibilă implementarea unor astfel de funcții de transfer care sunt foarte greu de obținut prin metode convenționale. Cu toate acestea, filtrele digitale nu pot înlocui încă filtrele analogice în toate situațiile, așa că rămâne nevoie de cele mai populare filtre analogice.

Pentru a înțelege esența filtrării digitale, în primul rând, este necesar să se determine operațiile matematice care se efectuează asupra semnalelor în filtrarea digitală (DF). Pentru aceasta este util să ne amintim definiția unui filtru analogic.

Filtru analog liniar este o rețea cu patru porturi, în care se realizează transformarea liniară a semnalului de intrare în semnal de ieșire. Din punct de vedere matematic, această transformare este descrisă de un liniar obișnuit ecuația diferențială N-a comanda

unde și sunt coeficienți care sunt fie constante, fie funcții de timp t; - ordinea filtrului.

Filtru liniar discret este o versiune discretă a unui filtru liniar analogic, în care cuantificatul (eșantionat) este variabila independentă - timpul (este pasul de eșantionare). În acest caz, o variabilă întreagă poate fi considerată „timp discret”, iar semnalele ca funcții de „timp discret” (așa-numitele funcții latice).

Matematic, funcția unui filtru liniar discret este descrisă de un filtru liniar ecuația diferențelor de genul

unde și sunt citirile semnalelor de intrare și respectiv de ieșire; și - coeficienții algoritmului de filtrare, care sunt fie constante, fie funcții de „timp discret” n.

Algoritmul de filtrare (2.2) poate fi implementat prin intermediul tehnologiei analogice sau digitale. În primul caz, citirile semnalelor de intrare și de ieșire după nivel nu sunt cuantificate și pot lua orice valoare în intervalul de variație a acestora (adică au puterea continuumului). În al doilea caz, eșantioanele de semnale și sunt cuantificate în funcție de nivel și, prin urmare, pot lua doar valori „permise” determinate de adâncimea de biți a dispozitivelor digitale. În plus, probele de semnal cuantificate sunt codificate, prin urmare operațiile aritmetice efectuate în expresia (2.2) sunt efectuate nu pe semnalele în sine, ci pe codurile lor binare. Din cauza cuantizării din punct de vedere al nivelului semnalului și, ca și al coeficienților și al egalității în algoritmul (2.2), nu poate fi exactă și este îndeplinită doar aproximativ.

Astfel, un filtru digital liniar este un dispozitiv digital care implementează aproximativ algoritmul de filtrare (2.2).

Principalul dezavantaj al filtrelor analogice și discrete este că atunci când condițiile de funcționare se modifică (temperatura, presiunea, umiditatea, tensiunile de alimentare, îmbătrânirea elementelor etc.), parametrii acestora se modifică. Asta duce la necontrolat erori de semnal de ieșire, de ex. la o precizie scăzută de procesare.

Eroarea semnalului de ieșire din filtrul digital nu depinde de condițiile de funcționare (temperatură, presiune, umiditate, tensiuni de alimentare etc.), ci este determinată doar de pasul de cuantificare a semnalului și de algoritmul filtrului însuși, adică. motive interne. Această eroare este controlat, poate fi redus prin creșterea numărului de biți pentru a reprezenta mostrele de semnale digitale. Această împrejurare determină principalele avantaje ale filtrelor digitale față de cele analogice și discrete (precizie mare a procesării semnalului și stabilitatea caracteristicilor DF).

DF-urile după tipul de algoritm de procesare a semnalului sunt subdivizate în staționarși nestaționare, recursivși nerecursiv, liniarși neliniară.

Caracteristica principală a CF este algoritm de filtrare, conform căruia se realizează implementarea CF. Algoritmul de filtrare descrie funcționarea CF-urilor din orice clasă fără restricții, în timp ce alte caracteristici au restricții asupra clasei CF-urilor, de exemplu, unele dintre ele sunt potrivite pentru descrierea numai CF-urilor liniare staționare.

Orez. 11. Clasificarea CF

În fig. 11 prezintă clasificarea filtrelor digitale (DF). Clasificarea se bazează pe principiul funcțional, adică. Filtrele digitale sunt subdivizate în funcție de algoritmii pe care îi implementează și fără a ține cont de caracteristicile circuitelor.

DF de selecție a frecvenței. Acesta este cel mai cunoscut, bine studiat și testat tip de CF. Din punct de vedere algoritmic, DF-urile de selecție a frecvenței rezolvă următoarele probleme:

· Alocarea (suprimarea) a unei benzi de frecvență specificate a priori; în funcție de ce frecvențe sunt suprimate și care nu, se disting un filtru low-pass (LPF), un filtru high-pass (HPF), un filtru trece bandă (PF) și un filtru notch (RF);

· Separarea componentelor spectrale ale semnalului cu un spectru de linie pe canale de frecvență separate, egale și uniform distribuite pe întreaga gamă de frecvențe; distinge între CF cu decimare în timp și decimare în frecvență; și deoarece metoda principală de reducere a costurilor hardware este cascada de seturi de PF-uri cu selectivitate mai mică decât inițial, atunci structura piramidală în mai multe etape obținută ca rezultat a fost numită DF „preselector-selector”;

· Separarea componentelor spectrale ale semnalului în canale de frecvență separate, al căror spectru este format din sub-benzi de diferite lățimi, distribuite neuniform în intervalul de funcționare al filtrului.

Se face o distincție între un filtru de răspuns la impuls finit (filtru FIR) sau un filtru de răspuns la impuls infinit (filtru IIR).

CF-uri optime (cvasi-optime). Acest tip de filtre este utilizat atunci când este necesar să se evalueze anumite mărimi fizice care caracterizează starea unui sistem supus unor perturbări aleatorii. Tendința actuală este utilizarea realizărilor teoriei de filtrare optimă și implementarea de dispozitive care minimizează pătratul mediu al erorii de estimare. Ele sunt împărțite în liniare și neliniare, în funcție de ce ecuații descriu starea sistemului.

Dacă ecuațiile de stare sunt liniare, atunci se aplică Kalman CF optim; dacă ecuațiile de stare ale sistemului sunt neliniare, atunci se folosesc diverse CF-uri multicanal, a căror calitate se îmbunătățește odată cu creșterea numărului de canale.

Există diverse cazuri speciale când algoritmii implementați de CF-uri optime (cvasi-optime) pot fi simplificați fără pierderi semnificative de precizie: acesta este, în primul rând, cazul unui sistem liniar staționar care duce la binecunoscutul CF Wiener; în al doilea rând, cazul observațiilor doar la un moment fix de timp, conducând la un DF care este optim după criteriul raportului semnal-zgomot maxim (SNR); în al treilea rând, cazul ecuațiilor de stare ale sistemului apropiate de liniare care conduc la filtre neliniare de ordinul întâi și al doilea etc.

O problemă importantă este, de asemenea, asigurarea insensibilității tuturor algoritmilor de mai sus la abaterile caracteristicilor statistice ale sistemului de la cele predeterminate; sinteza unor astfel de DF, numite robuste.

CF-uri adaptive. Esența filtrării digitale adaptive este următoarea: pentru procesarea semnalului de intrare (de obicei, DF-urile adaptive sunt construite cu un singur canal), se folosește un filtru FIR convențional; totuși, IR-ul acestui filtru nu rămâne setat o dată pentru totdeauna, așa cum a fost atunci când se ia în considerare selecția frecvenței DF; de asemenea, nu se modifică conform legii date a priori, așa cum a fost atunci când se ia în considerare Kalman CF; Ele sunt corectate odată cu sosirea fiecărei probe noi, astfel încât să se minimizeze eroarea pătratică medie a filtrării la un pas dat. Un algoritm adaptiv este înțeles ca o procedură recurentă pentru recalcularea vectorului de eșantioane IH la pasul anterior într-un vector de probe IH „noi” pentru pasul următor.

CF-uri euristice. Sunt posibile situații în care utilizarea procedurilor de procesare corecte din punct de vedere matematic este nepractică, deoarece duce la costuri hardware nejustificat de mari. Abordarea euristică este (din greacă și lat. Evrica- „căutarea”, „descoperirea”) în utilizarea cunoștințelor, studierea gândirii creative, inconștiente a unei persoane. Euristica este asociată cu psihologia, fiziologia activității nervoase superioare, cibernetica și alte științe. Abordarea euristică este „generată” de dorința dezvoltatorilor de a reduce costurile hardware și s-au răspândit în ciuda absenței unei justificări matematice riguroase. Acestea sunt așa-numitele CF-uri cu soluțiile de circuit ale autorului, unul dintre cele mai cunoscute exemple este așa-numitul. filtru median.

Filtrele digitale fezabile din punct de vedere fizic care funcționează în timp real pot folosi următoarele date pentru a genera semnalul de ieșire la un moment discret în timp: a) valoarea semnalului de intrare în momentul eșantionării, precum și un anumit număr de „trecut” eșantioane de intrare un anumit număr de mostre anterioare ale semnalului de ieșire Întregi tipul determină ordinea CF. Clasificarea CF-urilor se realizează în moduri diferite, în funcție de modul în care sunt utilizate informațiile despre stările trecute ale sistemului.

CF-uri transversale.

Acesta este numele dat filtrelor care funcționează în conformitate cu algoritmul.

unde este o succesiune de coeficienți.

Numărul este de ordinea filtrului digital transversal. După cum se poate observa din formula (15.58), filtrul transversal realizează o însumare ponderată a eșantioanelor anterioare ale semnalului de intrare și nu utilizează mostrele anterioare ale semnalului de ieșire. Aplicând transformarea z ambelor părți ale expresiei (15.58), ne asigurăm că

De aici rezultă că funcția sistemului

este o funcție rațională fracțională z având un pol multiplu la și zerouri, ale cărei coordonate sunt determinate de coeficienții de filtru.

Algoritmul de funcționare a DF transversal este ilustrat de schema bloc prezentată în Fig. 15.7.

Orez. 15.7. Schema de realizare a unui filtru digital transversal

Elementele principale ale filtrului sunt blocurile de întârziere a valorilor eșantionului pentru un interval de eșantionare (dreptunghiuri cu simboluri), precum și blocurile de scară care efectuează multiplicarea digitală cu coeficienții corespunzători. De la ieșirile blocurilor de scară, semnalele merg la sumator, unde, adunând, formează o mostră a semnalului de ieșire.

Forma diagramei prezentată aici explică semnificația termenului „filtru transversal” (din engleză transversală - transversală).

Implementarea software a funcției digitale transversale.

Trebuie avut în vedere faptul că schema bloc prezentată în Fig. 15.7 nu este o diagramă schematică a unui circuit electric, ci servește doar ca reprezentare grafică a algoritmului de procesare a semnalului. Folosind mijloacele limbajului FORTRAN, să luăm în considerare un fragment dintr-un program care implementează filtrarea digitală transversală.

Să se formeze două matrice unidimensionale de celule M fiecare în memoria RAM a computerului: o matrice cu numele X, care stochează valorile semnalului de intrare și o matrice cu numele A, care conține valorile coeficienții de filtrare.

Conținutul celulelor din matricea X este schimbat de fiecare dată când este primită o nouă mostră a semnalului de intrare.

Să presupunem că această matrice este umplută cu mostrele anterioare ale secvenței de intrare și luați în considerare situația care apare în momentul sosirii următoarei mostre, căreia i se dă numele S în program. Acest eșantion ar trebui să fie localizat în numărul celulei 1, dar numai după ce înregistrarea anterioară este deplasată cu o poziție spre dreapta, adică spre partea întârziată.

Elementele matricei X formate în acest fel sunt înmulțite termen cu termen cu elementele matricei A și rezultatul este introdus într-o celulă numită Y, unde este acumulată valoarea eșantionului semnalului de ieșire. Mai jos este textul programului de filtrare digitală transversală:

Răspuns la impuls. Să revenim la formula (15.59) și să calculăm răspunsul la impuls al CF transversale efectuând transformarea z inversă. Este ușor de observat că fiecare termen al funcției aduce o contribuție egală cu coeficientul corespunzător, deplasat de poziții către întârziere. Deci aici

La această concluzie se poate ajunge direct, luând în considerare schema bloc a filtrului (vezi Fig. 15.7) și presupunând că la intrarea acestuia este alimentat un „impuls unic”.

Este important de menționat că răspunsul la impuls al unui filtru transversal conține un număr finit de termeni.

Raspuns in frecventa.

Dacă schimbăm variabila din formula (15.59), atunci obținem coeficientul de transmisie a frecvenței

Pentru un anumit pas de eșantionare A, o mare varietate de forme de răspuns în frecvență pot fi realizate prin selectarea adecvată a greutăților filtrului.

Exemplul 15.4. Investigați caracteristicile de frecvență ale unui filtru digital transversal de ordinul doi care face media valorii curente a semnalului de intrare și a două mostre anterioare conform formulei

Funcția de sistem a acestui filtru

Orez. 15.8. Caracteristicile de frecvență ale DF transversal din exemplul 15.4: a - răspuns în frecvență; b - PFC

de unde găsim coeficientul de transmisie a frecvenței

Transformările elementare conduc la următoarele expresii pentru răspunsul în frecvență în răspunsul de fază al acestui sistem:

Graficele corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 15.8, a, b, unde valoarea este trasată de-a lungul axelor orizontale - unghiul de fază al intervalului de eșantionare la valoarea frecvenței curente.

Să presupunem, de exemplu, că, adică, există șase eșantioane pe o perioadă a oscilației de intrare armonică. În acest caz, secvența de intrare va avea forma

(valorile absolute ale probelor nu contează, deoarece filtrul este liniar). Folosind algoritmul (15.62), găsim secvența de ieșire:

Se poate observa că acestuia îi corespunde un semnal armonic de ieșire de aceeași frecvență ca la intrare, cu o amplitudine egală cu amplitudinea oscilației de intrare și cu o fază inițială deplasată cu 60 ° spre întârziere.

DF recursive.

Acest tip de filtre digitale se caracterizează prin faptul că valorile anterioare nu numai ale semnalelor de intrare și de ieșire sunt folosite pentru a forma eșantionul de ieșire:

(15.63)

în plus, coeficienții care determină partea recursivă a algoritmului de filtrare nu sunt egali cu zero în același timp. Pentru a sublinia diferența dintre structurile celor două tipuri de filtre digitale, filtrele transversale sunt numite și filtre nerecursive.

Funcția de sistem a funcției digitale recursive.

Efectuând transformarea z a ambelor părți ale relației de recurență (15.63), aflăm că funcția de sistem

care descrie proprietățile de frecvență ale unui CF recursiv, are poli pe planul z. Dacă coeficienții părții recursive a algoritmului sunt reali, atunci acești poli fie se află pe axa reală, fie formează perechi conjugate complexe.

Diagrama structurală a unui filtru digital recursiv.

În fig. 15.9 prezintă o diagramă a algoritmului de calcule efectuate în conformitate cu formula (15.63). Partea superioară a diagramei bloc corespunde părții transversale (nerecursive) a algoritmului de filtrare. Pentru implementarea sa, în cazul general, sunt necesare blocuri de mari dimensiuni (operații de multiplicare) și celule de memorie în care sunt stocate mostrele de intrare.

Partea inferioară a diagramei bloc corespunde părții recursive a algoritmului. Utilizează valori succesive de ieșire, care sunt deplasate de la celulă la celulă în timpul funcționării filtrului.

Orez. 15.9. Diagrama structurală a unui filtru digital recursiv

Orez. 15.10. Diagrama structurală a filtrului digital recursiv canonic de ordinul 2

Dezavantajul acestui principiu de implementare este necesitatea unui număr mare de celule de memorie, separat pentru părțile recursive și nerecursive. Sunt mai perfecte schemele canonice ale funcțiilor digitale recursive, în care se folosește numărul minim posibil de celule de memorie, egal cu cel mai mare dintre numere. Ca exemplu, Fig. 15.10 prezintă o diagramă bloc a filtrului recursiv canonic de ordinul doi, care corespunde funcției de sistem

Pentru a vă asigura că acest sistem implementează o funcție dată, luați în considerare un semnal auxiliar discret la ieșirea sumătorului 1 și scrieți două ecuații evidente:

(15.67)

Efectuând -transformarea ecuației (15.66), constatăm că

Pe de altă parte, în conformitate cu expresia (15.67)

Combinând relațiile (15.68) și (15.69), ajungem la funcția de sistem dată (15.65).

Stabilitatea funcțiilor digitale recursive.

O funcție digitală recursivă este un analog discret al unui sistem de feedback dinamic, deoarece valorile stărilor sale anterioare sunt stocate în celulele de memorie. Dacă sunt date niște condiții inițiale, adică un set de valori, atunci în absența unui semnal de intrare, filtrul va forma elemente dintr-o succesiune infinită care joacă rolul de oscilații libere.

Un filtru digital se numește stabil dacă procesul liber care apare în el este o secvență necrescătoare, adică valorile la nu depășesc un anumit număr pozitiv M, indiferent de alegerea condițiilor inițiale.

Oscilațiile libere într-o funcție digitală recursivă bazată pe algoritmul (15.63) sunt o soluție a ecuației diferențelor liniare

Prin analogie cu principiul rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare, vom căuta o soluție la (15.70) sub forma unei funcții exponențiale

cu o valoare încă necunoscută. Înlocuind (15.71) în (15.70) și anulând cu un factor comun, vedem că a este rădăcina ecuației caracteristice

Pe baza (15.64), această ecuație coincide exact cu ecuația care este satisfăcută de polii funcției de sistem a CF recursiv.

Să se găsească sistemul rădăcină al ecuației (15.72). Atunci soluția generală a ecuației diferențelor (15.70) va avea forma

Coeficienții trebuie selectați astfel încât să fie îndeplinite condițiile inițiale.

Dacă toți polii sistemului funcționează, adică numerele nu depășesc unul în valoare absolută, fiind situate în interiorul cercului unitar centrat într-un punct, atunci pe baza (15.73) orice proces liber din CF va fi descris prin termeni. de progresii geometrice descrescatoare si filtrul va fi stabil. Este clar că doar filtrele digitale stabile pot fi aplicate practic.

Exemplul 15.5. Investigați stabilitatea unui filtru digital recursiv de ordinul 2 cu o funcție de sistem

Ecuație caracteristică

are rădăcini

Curba descrisă de ecuație pe planul coeficienților este granița deasupra căreia polii funcției sistemului sunt reali și sub care sunt conjugați complexi.

Prin urmare, în cazul polilor complex-conjugați, una dintre limitele regiunii de stabilitate este linia dreaptă 1.

Orez. 15.11. Regiunea de stabilitate a unui filtru recursiv de ordinul 2 (polii de filtru sunt conjugați complexi în regiunea codificată cu culori)

Considerând polii reali la, avem condiția de stabilitate în formă

Filtrele digitale fezabile din punct de vedere fizic, care funcționează în timp real, pot folosi următoarele date pentru a genera semnalul de ieșire în al i-lea moment discret de timp: a) valoarea semnalului de intrare în momentul i-a eșantion, ca precum și un anumit număr de eșantioane de intrare „trecută”; b) un anumit număr de eșantioane precedente ale semnalului de ieșire Numerele întregi m și n definesc ordinea CF. Clasificarea CF-urilor se realizează în moduri diferite, în funcție de modul în care sunt utilizate informațiile despre stările trecute ale sistemului.

Traiverse CF. Acesta este numele dat filtrelor care funcționează în conformitate cu algoritmul.

Unde -secventa de coeficienti.

Număr T este de ordinul filtrului digital transversal. După cum se poate observa din formula (2.138), filtrul transversal realizează o însumare ponderată a eșantioanelor anterioare ale semnalului de intrare și nu utilizează mostrele anterioare ale semnalului de ieșire. Aplicând transformarea z ambelor părți ale expresiei (2.138), vedem că

De aici rezultă că funcția sistemului

este o funcție rațională fracțională z , având un pol de m ori la z = 0 şi T zerouri ale căror coordonate sunt determinate de coeficienții de filtru.

Algoritmul de funcționare a DF transversal este ilustrat de schema bloc prezentată în Fig. 2.17.

Orez. 2.17. Schema de realizare a unui filtru digital transversal

Elementele principale ale filtrului sunt blocurile de întârziere a valorilor eșantionului pentru un interval de eșantionare (dreptunghiuri cu simbolurile z -1), precum și blocurile de scară care efectuează înmulțirea digitală cu coeficienții corespunzători. De la ieșirile blocurilor de scară, semnalele merg la sumator, unde, adunând, formează o mostră a semnalului de ieșire.

Forma diagramei prezentată aici explică semnificația termenului „filtru transversal” (din engleză transversală).

Răspuns la impuls. Să revenim la formula (2.139) și să calculăm răspunsul la impuls al CF transversale efectuând transformarea z inversă. Este ușor de observat că fiecare termen al funcției H (z) are o contribuție egală cu coeficientul corespunzător , deplasat de NS poziții spre partea întârziată. Deci aici

La această concluzie se poate ajunge direct, luând în considerare diagrama bloc a filtrului (vezi Fig. 2.17) și presupunând că un „impuls unic” (1, 0, 0, 0, ...) este alimentat la intrarea acestuia.

Este important de menționat că răspunsul la impuls al unui filtru transversal conține un număr finit de termeni.

Raspuns in frecventa. Dacă în formula (2.139) schimbăm variabila , atunci obținem coeficientul de transmisie a frecvenței

Pentru o etapă de eșantionare dată A este posibil să se realizeze o mare varietate de forme de răspuns în frecvență prin selectarea adecvată a greutăților filtrului.

Metode de sinteză a filtrului digital. Cele mai răspândite în practica sintezei filtrelor digitale sunt trei metode descrise mai jos.

Metoda răspunsurilor la impulsuri invariante.

Această metodă se bazează pe presupunerea că filtrul digital sintetizat ar trebui să aibă un răspuns la impuls, care este rezultatul eșantionării răspunsului la impuls al prototipului de filtru analogic corespunzător. Adică sinteza sistemelor realizabile fizic pentru care răspunsul la impuls dispare la t<0 , obținem următoarea expresie pentru răspunsul la impuls al CF:

Unde T pas de eşantionare în timp.

Trebuie remarcat faptul că numărul de termeni individuali din expresia pentru răspunsul la impuls al CF poate fi fie finit, fie infinit. Aceasta determină structura filtrului sintetizat: un filtru transversal corespunde unui răspuns de impuls cu un număr finit de eșantioane, în timp ce un DF recursiv este necesar pentru a implementa un răspuns de impuls infinit de lung.

Relația dintre coeficientul de răspuns la impuls și structura DF este deosebit de simplă pentru un filtru transversal. În cazul general, sinteza structurii filtrului se realizează prin aplicare z-conversia într-o succesiune a formei date mai sus. Găsind funcția sistemului H (z) filtrul, ar trebui să-l comparați cu expresia generală și să determinați coeficienții părților transversale și recursive. Gradul de aproximare a caracteristicii amplitudine-frecvență a filtrului digital sintetizat la caracteristica unui prototip analogic depinde de pasul de eșantionare selectat. Dacă este necesar, ar trebui să calculați coeficientul de transmisie a frecvenței filtrului digital efectuând funcția de sistem H (z) schimba variabila cu formula
, și apoi comparați rezultatul cu câștigul de frecvență al circuitului analogic.

Sinteza DF bazată pe discretizarea ecuației diferențiale

circuit analogic.

Structura unui filtru digital, care corespunde aproximativ unui circuit analog cunoscut, se poate ajunge la discretizarea ecuației diferențiale care descrie un prototip analogic. Ca exemplu de utilizare a acestei metode, luați în considerare sinteza unui CF corespunzător unui sistem dinamic oscilator de ordinul doi, pentru care relația dintre oscilația de ieșire YT)și vobble de intrare x (t) este stabilit de ecuația diferențială

(2.142)

Să presupunem că etapa de eșantionare este  tși luați în considerare colectarea de eșantioane discrete  la 1  și  NS 1  ... Dacă derivatele din formulă sunt înlocuite cu expresiile lor cu diferențe finite, atunci ecuația diferențială se va transforma într-o ecuație diferențială

Rearanjand termenii, obținem:

(2.144)

Ecuația diferențelor definește un algoritm de filtru recursiv de ordinul 2 care simulează un sistem oscilator analog și se numește rezonator digital. Cu o alegere adecvată a coeficienților, rezonatorul digital poate acționa ca un filtru selectiv de frecvență, similar unui circuit oscilator.

Metoda caracteristicilor de frecvență invariante .

Este fundamental imposibil să se creeze un filtru digital, al cărui răspuns în frecvență ar repeta exact răspunsul în frecvență al unui circuit analogic. Motivul este că, după cum știți, coeficientul de transfer de frecvență al DF este o funcție periodică a frecvenței cu o perioadă determinată de pasul de eșantionare.

Vorbind despre asemănarea (invarianța) caracteristicilor de frecvență ale filtrelor analogice și digitale, putem cere doar ca întregul interval infinit de frecvențe ω a, raportat la sistemul analog, să fie convertit în segmentul de frecvență ω q al filtrului digital. satisfacerea inegalitatii
păstrând în același timp viziunea generală a răspunsului în frecvență.

Lasa K A (R) funcţia de transfer a unui filtru analogic specificat printr-o expresie raţională fracţională în puteri p... Dacă utilizați relația dintre variabile zși p, atunci putem scrie:

. (2.145)

Cu această lege, relația dintre pși z este imposibil să obțineți o funcție de filtru de sistem realizabilă fizic, deoarece înlocuirea în expresie K A (R) va da o funcție de sistem care nu este exprimată ca un coeficient de două polinoame. Prin urmare, pentru sinteza filtrelor low-pass, o conexiune a formei

, (2.146)

care mapează și punctele cercului unitar din planul z la punctele axei imaginare de pe planul p. Atunci

, (2.147)

de unde rezultă relația dintre variabilele de frecvență  sistemele analogice și digitale:

. (2.148)

Dacă rata de eșantionare este suficient de mare ( c T<<1), apoi, după cum se vede ușor din formula (2.147),  A  c... Astfel, la frecvențe joase, caracteristicile filtrelor analogice și digitale sunt practic aceleași. În general, este necesar să se țină cont de transformarea scalei de-a lungul axei de frecvență a filtrului digital.

În practică, procedura de sinteză a unui CF este cea din funcție K A (R) circuitul analogic este înlocuit cu o variabilă conform formulei (2.145). Funcția de sistem rezultată a DF se dovedește a fi fracțional-rațională și, prin urmare, face posibilă notarea directă a algoritmului de filtrare digitală.

Întrebări de autotest

Care filtru se numește potrivire.

Care este răspunsul la impuls al filtrului.

Care este semnalul la ieșirea filtrului potrivit.

Ce filtre se numesc digitale.

Care este diferența dintre algoritmii de funcționare a filtrelor recursive și transversale.

Care sunt principalele metode de sintetizare a filtrelor digitale? .

Care sunt principalele proprietăți ale transformării Fourier discrete.

LUCRĂRI DE LABORATOR

ALGORITMI DE FILTRARE A SEMNALELORÎn sistemul de control al procesului

Ţintă. Cunoașterea algoritmilor de filtrare a semnalelor aleatoare măsurate, care sunt cele mai comune în sistemul de control al procesului, și efectuarea unei analize comparative a preciziei și a caracteristicilor de implementare a acestora într-un computer.

Exercițiu

1) pentru caracteristicile date ale semnalelor aleatorii, calculați parametrii optimi de filtru,

2) simulați sistemul de filtrare pe un computer și calculați eroarea de filtrare pentru fiecare dintre metodele luate în considerare,

3) să efectueze o analiză comparativă a eficacității algoritmilor considerați.

Dispoziții de bază. 1 Declarația problemei optime de filtrare. Semnalele de la dispozitivele de măsurare conțin adesea o eroare aleatorie - interferență. Sarcina de filtrare este de a separa componenta utilă a semnalului de interferență într-un grad sau altul. De regulă, atât semnalul util, cât și interferența sunt presupuse a fi procese aleatoare staționare pentru care sunt cunoscute caracteristicile statistice ale acestora: așteptare matematică, varianță, funcție de corelație, densitate spectrală. Cunoscând aceste caracteristici, este necesar să se găsească un filtru în clasa sistemelor dinamice liniare sau într-o clasă mai restrânsă de sisteme liniare cu o structură dată astfel încât semnalul la ieșirea filtrului să difere cât mai puțin de semnalul util.

Fig. 1. Pe enunțul problemei de filtrare

Să introducem notația și să formulăm mai precis problema de filtrare. Lăsați intrarea filtrului cu un răspuns la impuls La(t) iar corespunzătoare (datorită transformării Fourier) 0

AFH W(iω) sunt primite semnale utile X(t) și interferențe care nu sunt corelate cu aceasta z(t) (fig. 1). Funcțiile de corelație și densitățile spectrale ale semnalului util și interferenței sunt notate cu R X (t), S X (t), R z (t) și S z (t) ... Este necesar să se găsească caracteristicile filtrului k (t) sau W (t) astfel încât valoarea efectivă a diferenței ε între semnalul de la ieșirea filtrului și semnalul util x a fost minim. Dacă caracteristica filtrului este cunoscută cu o precizie de unul sau mai mulți parametri, atunci este necesar să alegeți valorile optime ale acestor parametri.

Eroare ε contine doua componente. Primul ( ε 1 ) este legat de faptul că o parte a zgomotului va trece în continuare prin filtru, iar a doua ( ε 2 ) - astfel încât forma semnalului util să se schimbe la trecerea prin filtru. Astfel, determinarea caracteristicii optime de filtru este o căutare a unei soluții de compromis care să minimizeze eroarea totală.

Să reprezentăm răspunsul în frecvență al filtrului sub forma:

W (iω) = A (ω) exp.

Folosind formulele care conectează densitățile spectrale ale proceselor aleatoare la intrarea și la ieșirea unui sistem liniar cu răspunsul său în frecvență, calculăm densitățile spectrale ale fiecărei componente de eroare.

Pentru eroarea asociată cu sărirea zgomotului, obținem

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Densitatea spectrală a erorii asociate cu distorsiunea semnalului util este

S ε2 (ω) = S X (ω )|1 – W(iω)| 2

Suma acestor componente S ε are densitatea spectrală

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Având în vedere că

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) păcat 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S X (ω) A 2 (ω ) + S X (ω) - 2S X (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Eroarea pătratică medie este legată de densitatea spectrală prin expresie

Prin minimizarea S ε (ω ) pe f(ω) și A (ω), ajungem la ecuații

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S X (ω) = 0

(2)

Caracteristicile găsite ale filtrului optim corespund densității erorii spectrale

Eroare pătratică medie minimă

(3)

Din păcate, filtrul găsit nu este realizabil, deoarece condiția egalității la zero la toate frecvențele răspunsului fază-frecvență înseamnă că răspunsul la impuls al filtrului este o funcție uniformă, este diferit de zero nu numai pentru t>0 , dar și la t(Figura 2, a).

Pentru orice filtru realizabil fizic, următoarea cerință este adevărată: La(t) = 0 la t (Fig. 2, b). Această cerință ar trebui introdusă în enunțul problemei. Desigur, eroarea realizabilă σ în același timp ar crește. Problema filtrării optime ținând cont de fezabilitatea fizică a fost rezolvată.

Orez. 2. Caracteristicile de impuls ale filtrelor irealizabile (a) și realizabile (b).

Orez. 3. Densitățile spectrale ale semnalului utilS X (ω) și zgomotS z (ω) și caracteristica amplitudine-frecvență a filtrului optim A * (ω) cu nesuprapunere (a) și suprapunere (b)S X (ω) șiS z (ω)

N. Wiener. Soluția sa este mult mai complicată decât cea dată mai sus, prin urmare, în această lucrare, vom căuta filtre realizabile fizic numai în clasa filtrelor ale căror caracteristici sunt specificate exact la valorile parametrilor. Cantitatea calculat prin formula (3) poate servi ca o estimare mai mică a erorii de filtrare atinsă.

Semnificația fizică a relației (2, b) este ilustrată în Fig. 3. Dacă spectrele semnalului util și interferența nu se suprapun, atunci A (ω) ar trebui să fie egal cu zero în cazul în care densitatea spectrală a interferenței este diferită de zero și egală cu unu pentru toate frecvențele la care S X (ω)>0 ... În fig. 3, b arată caracterul A * (ω)în cazul în care densitățile spectrale ale semnalului și interferența se suprapun.

Dintre filtrele cu o structură dată, cele mai răspândite sunt filtrele bazate pe operația mediei mobile, precum și un filtru exponențial și așa-numitul filtru statistic de ordinul zero. Un filtru exponențial este un filtru aperiodic de ordinul întâi, iar un filtru statistic de ordin zero este o legătură de amplificare. Să luăm în considerare fiecare dintre filtrele menționate mai detaliat.

Filtru de medie mobilă. Ieșirea filtrului este legată de intrarea sa prin raport

Funcția tranzitorie de impuls a filtrului este prezentată în Fig. 4, a. Caracteristicile de frecvență sunt egale

Răspunsul la impuls poate fi exprimat în termenii funcției Heaviside 1(t)

k(t) = k.

Parametrii de filtru reglabili sunt câștig k si memorie T.

Filtru exponential(Fig. 4, b). Semnalul de ieșire este determinat de ecuația diferențială

y/ γ + y = kg

Răspunsul la impuls este:

Caracteristicile frecvenței

Parametrii filtrului sunt câștigul k iar constanta de timp inversă γ .

Orez. 4. Funcții tranzitorii de impulsk(t) și caracteristicile amplitudine-frecvență А (ω) ale filtrelor tipice: а - media curentă; b - exponenţial; c) ordinul zero static

Filtru statistic de ordin zero. Acest filtru, așa cum am menționat mai sus, este o legătură de amplificare. Caracteristicile sale

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Greutatea filtrelor enumerate nu permite realizarea unei filtrări ideale chiar și cu spectre disjunse de semnal și interferență. Minimizați eroarea σ ε poti selecta parametrii k, T, y... Acest lucru necesită caracteristici de filtru A (ω)și f(ω) în funcție de frecvență și parametri, înlocuiți în formula (1), luați integrala expresiei rezultate, care va fi o funcție a parametrilor de filtru și găsiți minimul acestei integrale peste parametri.

De exemplu, pentru un filtru statistic de ordinul Coulomb, densitatea spectrală a erorii va avea forma:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S X ω (1 – k 2 )

Integral S ε este egală cu varianța interferenței înmulțită cu π ... Primim

Să luăm în considerare că integralele din partea dreaptă a acestei egalități sunt egale cu variațiile semnalului util și ale zgomotului, astfel încât

Condiția pentru minimul acestei expresii cu privire la k duce la egalitate

După înlocuirea valorii găsite kîn expresia pentru varianța erorii, obținem:

Filtrele mediei curente și ale exponențialului au câte doi parametri reglabili, iar valorile lor optime nu pot fi exprimate atât de ușor prin caracteristicile semnalului util și ale zgomotului, dar aceste valori pot fi găsite prin metode numerice de găsire a minim de o funcție în două variabile.

Fig. 5 Diagrama bloc a simulării pe computer a unui sistem de filtrare aleatoare a semnalului

2. Descrierea sistemului simulat. Lucrarea se realizează prin modelarea pe calculator a unui sistem format din următoarele blocuri (Fig. 5).

1. Generator de semnal de intrare I, inclusiv un generator de semnal aleator (GSS) și două filtre de modelare cu caracteristici specificate W X (iω) și W z (iω) , la ieșirea căruia se primește un semnal util X(t) și piedică z(t) ... Între generatorul de semnal aleator și filtrul de modelare W z a inclus o legătură de întârziere Δ, oferind o schimbare de două până la trei cicluri de ceas. În acest caz, intrarea filtrului care formează interferența și intrarea filtrului care formează semnalul util sunt necorelate între ele.

2. Bloc pentru calcularea funcţiilor de corelare
.

3. Unitate de filtrare (II), inclusiv filtrul propriu-zis
și un bloc pentru calcularea erorii de filtrare
.

Semnal util generat în sistem X(t)și piedică z(t) sunt procese aleatoare staționare ale căror funcții de corelație pot fi aproximativ aproximate prin exponenți de formă (Fig. 6)

(6)

Unde

Estimări ale variației semnalului și calculat folosind un bloc (la τ = 0); parametrii α și α z sunt stabiliți de profesor.

3. Implementarea discretă a filtrelor continue. Folosim implementări discrete ale filtrelor continue descrise mai sus. Pasul de discretie t o iau semnificativ mai puțin decât timpul de dezintegrare al funcțiilor de corelare a semnalului util și a zgomotului. Prin urmare, expresiile de mai sus (1) pentru calcularea σ ε prin caracteristicile spectrale ale semnalului de intrare și ale zgomotului pot fi utilizate în cazul discret.

Să găsim mai întâi analogi discreti ai filtrelor care formează procese aleatorii cu funcții de corelație din semnalul primit de la GSS (6). Densitățile spectrale corespunzătoare acestor funcții de corelație au forma

(7)

Funcțiile de transfer ale filtrelor de modelare pentru cazul în care dispersia semnalului la ieșirea GSS este egală cu unu, sunt

Nu este greu să vezi asta

Dacă semnalul la intrarea fiecăruia dintre filtrele de modelare este notat cu ξ , atunci ecuațiile diferențiale corespunzătoare funcțiilor de transfer scrise mai sus au forma

Analogii de diferență corespunzători se vor scrie sub formă;

Astfel, algoritmul de funcționare a filtrului, care formează semnalul util, are forma:

(8a)

La fel și pentru filtrul de modelare a zgomotului

(8b)

Analogii filtrelor continue concepute pentru a izola interferențele sunt după cum urmează:

pentru filtru de medie mobilă

(9)

unde valoarea l alege din condiție (l + 1) t O = T;

pentru filtru exponenţial

(10)

pentru filtrul statistic de ordinul zero

la i = kg i (11)

Ordin de executare. 1. Creați și depanați subrutinele blocului pentru filtrarea informațiilor curente și calcularea erorilor de filtrare.

2. Obțineți realizări ale proceselor aleatorii la ieșirea filtrelor de modelare și utilizați-le pentru a găsi estimări ale variațiilor semnalului și zgomotului util, precum și funcții de corelare R X (τ) și R z (τ) ... Aproximativ definiți α NSși α z si compara cu cele calculate.

3. Calculați prin S X (ω) și S z (ω) analitic sau pe un computer limita inferioară pentru eroarea de filtrare rms.

4. Folosind formula (4), găsiți câștigul optim al filtrului statistic de ordin zero și valoarea corespunzătoare a compara cu.

5. Folosesc una dintre metodele cunoscute de găsire a minimului unei funcții a două variabile și un program compilat în prealabil pentru a găsi parametrii optimi ai filtrelor medii mobile și exponențiale și a erorilor rădăcină pătratică medie de filtrare. În acest caz, o combinație specifică de parametri ai filtrului corespunde densității erorii spectrale S ε (ω) definit prin formula (1) și din aceasta găsiți valoarea după integrarea numerică.

6. Introduceți programul de filtrare în computer, determinați experimental eroarea pătratică medie pentru parametrii de filtru optimi și neoptimi, comparați rezultatele cu cele calculate.

7. Efectuați o analiză comparativă a eficacității diverșilor algoritmi de filtrare pentru următorii indicatori: a) eroarea rădăcină medie pătratică minimă realizabilă; b) cantitatea necesară de memorie RAM; c) timpul de numărare computerizat.

Raportul trebuie să conțină: 1) o diagramă bloc a sistemului (vezi Fig. 5);

2) subrutine de modelare și filtre sintetizate;

3) calcularea parametrilor optimi ai filtrelor și a valorilor corespunzătoare ale erorii rădăcină-medie-pătratică;

4) rezultatele analizei algoritmilor considerati si concluziile.

Cabina 6.2. Crearea proiectului 6.3. Studiu APCS la antrenament laborator... sigur obiective activitățile lor. Goluri Activități ...

I.O. Prenume "" 20 g

Document

Modul muncă) ;. … […) [Numele modului muncă] ... conform laborator analize; 5) ... cerințe pentru APCS... Procese tehnologice ... prelucrarea și analiza informațiilor ( semnale, mesaje, documente etc... algoritmi filtrareși algoritmi elimina zgomotul din scop ...

Automatizare inteligentă în proiecte de curs și diplomă

abstract

Firul. ţintă... produs ... semnal HART pentru integrare în sisteme APCS ... filtrare Există diferite tipuri de senzori de praf. DT400G lucrări ... algoritm... industria chimică. Mijloace tehnice şi laborator muncă/ G.I. Lapshenkov, L.M. ...

Programul de lucru al disciplinei „automatizarea proceselor tehnologice”

Program de lucru

... GOOLURIȘI OBIECTIVELE ÎNVĂȚĂRII DISCIPLINEI Scopul... componentele principale APCS- controlere ... vizualizări semnale c ... remedieri de erori, filtrare mesaje,... algoritmiși programe, discuții, efectuarea controlului lucrări. Laborator clase. Laborator ...