Una dintre modalitățile de rezolvare a ecuațiilor diferențiale (sisteme de ecuații) cu coeficienți constanți este metoda transformărilor integrale, care permite ca o funcție a unei variabile reale (funcția originală) să fie înlocuită cu o funcție a unei variabile complexe (imaginea unei funcții). ). Ca urmare, operațiile de diferențiere și integrare în spațiul funcțiilor originale sunt transformate în înmulțire și împărțire algebrică în spațiul funcțiilor de imagine. Unul dintre reprezentanții metodei transformărilor integrale este transformata Laplace.

Transformată Laplace continuă- o transformare integrală care leagă o funcție a unei variabile complexe (imaginea unei funcții) cu o funcție a unei variabile reale (originalul unei funcții). În acest caz, funcția unei variabile reale trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

Funcția este definită și diferențiabilă pe întreaga semiaxă pozitivă a unei variabile reale (funcția îndeplinește condițiile Dirichlet);

Valoarea funcției până la momentul inițial este egală cu zero ;

Creșterea funcției este limitată de funcția exponențială, adică. pentru o funcție a unei variabile reale, există astfel de numere pozitive M și cu , ce unde c - abscisă de convergenţă absolută (un număr pozitiv).

Transformată Laplace (transformată integrală directă) funcția unei variabile reale se numește funcție de următoarea formă (funcția unei variabile complexe):

Funcția se numește originalul funcției, iar funcția se numește imaginea ei. Variabila complexa se numește operatorul Laplace, unde este frecvența unghiulară, este un număr constant pozitiv.

Ca prim exemplu, definim o imagine pentru o funcție constantă

Ca un al doilea exemplu, definim o imagine pentru funcția cosinus ... Ținând cont de formula lui Euler, funcția cosinus poate fi reprezentată ca suma a două exponențiale .

În practică, pentru a efectua transformarea directă Laplace, se folosesc tabele de transformare, în care sunt prezentate originale și imagini ale funcțiilor tipice. Unele dintre aceste funcții sunt prezentate mai jos.

Original și imagine pentru funcție exponențială

Original și imagine pentru funcția cosinus

Original și imagine pentru funcție sinusoidală

Original și imagine pentru cosinus în descompunere exponențială

Original și imagine pentru sinus în descompunere exponențială

Trebuie remarcat faptul că funcția este o funcție Heaviside care ia o valoare zero pentru valorile negative ale argumentului și ia o valoare egală cu unu pentru valorile pozitive ale argumentului.

Proprietățile transformării Laplace

Teorema de liniaritate

Transformarea Laplace este liniară, adică orice relație liniară între originalele unei funcții este valabilă pentru imaginile acestor funcții.

Proprietatea de liniaritate face mai ușoară găsirea originalelor imaginilor complexe, deoarece permite ca imaginea unei funcții să fie reprezentată ca o sumă de termeni simpli și apoi găsirea originalelor fiecărui termen reprezentat.

Teorema de diferențiere a originalului funcții

Diferențierea funcției originale se potrivește multiplicare

Pentru condiții inițiale diferite de zero:

Cu condiții inițiale zero (caz special):

Astfel, operația de diferențiere a funcției este înlocuită cu o operație aritmetică în spațiul imagine al funcției.

Teorema de integrare a originalului funcții

Integrarea funcției originale se potrivește Divizia imagini funcționale pe operatorul Laplace.

Astfel, operația de integrare a funcției este înlocuită cu o operație aritmetică în spațiul de imagine al funcției.

Teorema asemănării

Schimbarea argumentului funcției (comprimarea sau extinderea semnalului) în domeniul timp duce la schimbarea inversă a argumentului și ordonatei imaginii funcției.

O creștere a duratei pulsului determină o comprimare a funcției sale spectrale și o scădere a amplitudinilor componentelor armonice ale spectrului.

Teorema de întârziere

Întârzierea (deplasarea, deplasarea) semnalului prin argumentul funcției inițiale cu intervalul duce la o modificare a funcției fază-frecvență a spectrului (unghiul de fază al tuturor armonicilor) cu o anumită cantitate, fără modificarea modulului (amplitudinea). funcţia) a spectrului.

Expresia rezultată este valabilă pentru orice

Teorema deplasării

Întârzierea (deplasarea, deplasarea) semnalului prin argumentul imaginii funcției duce la înmulțirea funcției originale cu un factor exponențial

Din punct de vedere practic, teorema deplasării este utilizată pentru a determina imaginile funcțiilor exponențiale.

Teorema de convoluție

Convoluția este o operație matematică aplicată la două funcții și, rezultând o a treia funcție. Cu alte cuvinte, având un răspuns al unui anumit sistem liniar la un impuls, puteți folosi convoluția pentru a calcula răspunsul sistemului la întregul semnal.

Astfel, convoluția originalelor a două funcții poate fi reprezentată ca un produs de imagini ale acestor funcții. Teorema de reconciliere este utilizată atunci când se iau în considerare funcțiile de transfer, când răspunsul sistemului (semnal de ieșire dintr-o rețea cu patru porturi) este determinat atunci când un semnal este aplicat la intrarea unei rețele cu patru porturi cu un răspuns tranzitoriu la impuls.

Cvadrupol liniar

Transformarea Laplace inversă

Transformarea Laplace este reversibilă, adică funcția unei variabile reale este determinată în mod unic din funcția unei variabile complexe . Pentru aceasta, se folosește formula de transformare Laplace inversă(Formula lui Mellin, integrala Bromwich), care are următoarea formă:

În această formulă, limitele integrării înseamnă că integrarea merge de-a lungul unei drepte infinite care este paralelă cu axa imaginară și intersectează axa reală într-un punct. Având în vedere că această din urmă expresie poate fi rescrisă astfel:

În practică, pentru a efectua transformarea Laplace inversă, imaginea funcției este descompusă în suma celor mai simple fracții prin metoda coeficienților nedefiniti, iar pentru fiecare fracție (în conformitate cu proprietatea de liniaritate) se determină originalul funcției. , inclusiv luând în considerare tabelul funcțiilor tipice. Această metodă este valabilă pentru afișarea unei funcții care este o fracție rațională corectă. Trebuie remarcat faptul că cea mai simplă fracție poate fi reprezentată ca produs de factori liniari și pătratici cu coeficienți reali, în funcție de tipul rădăcinilor numitorului:

Dacă există o rădăcină zero în numitor, funcția este descompusă într-o fracție ca:

Dacă există o rădăcină de n ori zero în numitor, funcția este descompusă într-o fracție de tipul:

Dacă există o rădăcină reală în numitor, funcția este descompusă într-o fracție ca:

Dacă există o rădăcină n-multiplu reală în numitor, funcția este descompusă într-o fracție ca:

Dacă există o rădăcină imaginară în numitor, funcția este descompusă într-o fracție ca:

În cazul rădăcinilor conjugate complexe la numitor, funcția este descompusă într-o fracție ca:

∙ În general dacă imaginea funcției este o fracție rațională obișnuită (gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului fracției raționale), atunci ea poate fi extinsă în suma celor mai simple fracții.

∙ Într-un caz anume dacă numitorul imaginii funcției este descompus doar în rădăcini simple ale ecuației, atunci imaginea funcției poate fi descompusă în suma celor mai simple fracții după cum urmează:

Coeficienții necunoscuți pot fi determinați folosind metoda coeficienților nedefiniti sau într-un mod simplificat folosind următoarea formulă:

Valoarea funcției în punct;

Valoarea derivatei funcției într-un punct.

Transcriere

1 Transformată Laplace Informații scurte Transformarea Laplace, care este utilizată pe scară largă în teoria circuitelor, este o transformată integrală aplicată funcțiilor de timp f egale cu zero la< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Se poate dovedi că dacă integrala Laplace converge pentru o valoare s, atunci ea definește o funcție F care este analitică în întregul semiplan> s Funcția F astfel definită poate fi continuată analitic pe întregul plan al variabilei complexe = +, cu excepția punctelor singulare individuale.De cele mai multe ori această continuare se realizează prin extinderea formulei obținute prin calcularea integralei la întregul plan al variabilei complexe.Funcția F, care este continuată analitic pe întregul plan complex, este numită imaginea Laplace a funcției de timp f sau pur și simplu imaginea.Funcția f în raport cu imaginea sa F se numește originală.Dacă imaginea F este cunoscută, atunci originalul poate fi găsit folosind transformata Laplace inversă f F d pentru > Integrala din dreapta este o integrală de contur de-a lungul unei drepte paralele cu axa ordonatelor Valoarea este aleasă astfel încât să nu existe puncte singulare ale funcției F în semiplanul R>. sunt transformata Laplace inversă și sunt notate cu simbolul f L (F) L 7

2 Luați în considerare unele proprietăți ale transformării Laplace Liniaritatea Această proprietate poate fi scrisă ca egalitatea L (ff) L (f) L (f) Transformată Laplace a derivatei unei funcții df L () d df d F fdf 3 Transformată Laplace a integrala: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Luați în considerare cea mai simplă aplicare a transformării Laplace în teoria circuitelor. Figura prezintă cele mai simple elemente ale circuitelor: rezistență, inductanță și capacitate Căderea instantanee de tensiune pe rezistență este egalitatea care încă mai are forma legii lui Ohm, dar deja pentru imaginile tensiunii și curentului Pentru tensiunea instantanee pe inductanță, relația diu L, d adică nu există proporționalitate directă, legea lui Ohm nu se ține aici După transformarea Laplace, obținem U = LI LI +

3 Dacă, așa cum se întâmplă adesea, I + =, atunci relația ia forma U = LI Astfel, pentru imaginile tensiunii și curentului este din nou valabilă legea lui Ohm.Rolul rezistenței îl joacă mărimea L, care se numește rezistență de inductanță Pentru capacitate, avem relația dintre valorile instantanee ale tensiunii și inductanței uid C După transformarea Laplace, acest raport ia forma UI, C te are forma legii lui Ohm, iar rezistența capacitivă este egal cu C Să compunem un tabel de transformări Laplace directe și inverse ale funcțiilor elementare găsite în teoria circuitelor un pas unitar este determinat de egalitățile: at; la transformarea Laplace a acestei funcții va fi L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Considerăm acum transformarea inversă a fracției raționale, și anume transformarea imagine bbbb BF nnnnmmmm Fie m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 mod Să descompunăm imaginea în fracții simple și să înmulțim cu: nn KKKKB Să ne străduim. Atunci doar K rămâne în partea dreaptă: lim BK În dreapta avem o incertitudine a formei, care este extinsă conform lui L'Hôpital. regula: „BK Înlocuind, se obține” n BB Transformarea inversă a unei fracții simple cunoscute: L Prin urmare, „n BBL Dobânda este un caz special când una dintre rădăcinile numitorului este egală cu zero: BF În acest caz, descompunerea de F în fracții simple va avea forma, după cum urmează din precedenta," n BBB și B nu are rădăcini la zero

6 3 Prin urmare, transformata Laplace inversă a funcției F va avea forma: n B B B "L Să considerăm un alt caz când polinomul din numitorul B are rădăcini multiple. Fie m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Câteva proprietăți generale ale circuitelor Fie ca un circuit complex să conțină P ramuri și Q noduri Apoi, conform primei și a doua legi Kirchhoff, se pot compune P + Q ecuații pentru P curenți în ramuri și Q potențiale nodale Unul dintre potențialele Q nodale este considerat zero Dar numărul de ecuații poate fi redus pe Q, dacă folosim curenți de buclă ca curenți alternativi. În acest caz, prima lege a lui Kirchhoff este îndeplinită automat, deoarece fiecare curent intră și iese din nod, adică dă un curent total egal cu zero și, în plus, Q ale potențialelor nodului sunt exprimate prin curenții de contur Numărul total de ecuații și, prin urmare, bucle independente devin egale cu P + QQ = PQ + Ecuații independente pot fi desenate sus direct dacă curenții buclei sunt luați ca necunoscute.unul din celelalte contururi Fig Pentru fiecare dintre contururi se întocmesc ecuații conform celei de-a doua legi Kirchhoff a În general, rezistența de ramificare este egală cu i R i C i L unde i, =, n, n este numărul de circuite independente Ecuațiile curenților de buclă sunt următoarele: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Aici E i este suma tuturor EMF incluse în circuitul i-lea. i-lea contur Rezistențe ii reprezintă suma rezistențelor incluse în i-lea contur Rezistența i face parte din rezistenţa i-lea 33 Fig. Exemplu de contururi independente

8 Ecuația pentru al m-lea circuit va avea forma: un circuit care este inclus și în al-lea circuit. Este evident că pentru un circuit pasiv egalitatea i = i este adevărată. Luați în considerare modul în care ecuațiile curenților de circuit pentru circuitele active care conțin tranzistoarele sunt modificate, fig mi mi mn I n Em I i Transferând al doilea termen din partea dreaptă în partea stângă, transformăm această ecuație astfel: mi mi I i mn I n Em necunoscute, potențialele nodale sunt folosit si, socotit din potentialul unuia dintre noduri, luat ca zero.Y care poate fi rescris astfel: unde Fig Circuit echivalent al unui tranzistor intr-un circuit complex U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Sistemul de ecuații pentru potențialele nodale are forma Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n În care conține surse de curent dependente Să considerăm acum soluțiile ecuațiilor circuitului Soluția sistemului de ecuații a curenților de buclă are forma pentru al-lea curent: I, unde principalul determinant al sistemului este același determinant în care coloana a i-a este înlocuită cu forțe electromotoare din laturile drepte E, E, E n Să presupunem că există un singur EMF E în circuit, inclus în circuitul de intrare, căruia îi este atribuit primul număr. ecuațiile ar trebui să fie compuse astfel încât un singur curent de circuit să treacă prin ramura care ne interesează, Fig. 4 Atunci curentul de intrare este egal cu IE, unde determinantul complementar algebric corespunzător i Fig. 4 Circuit cu EMF în circuitul de intrare 35

10 Raportul EI se numește rezistență de intrare. În schimb, această rezistență ține cont de influența tuturor circuitelor Pentru al doilea circuit de ieșire, vom avea I 36 E, unde adunarea algebrică corespunzătoare Relația TIE se numește rezistența de transmisie de la primul circuit la al doilea 5 Fig 5 Un circuit cu o sursă de curent la intrarea „UI” I, Y „Y” și conductanța de transmisie de la primul nod la al doilea: U „I” IYT, YT „” unde I este curentul furnizat primului nod, tensiunea U și U, obținută la primul și al doilea nod, „este principalul determinant al sistemului de ecuații ale potențialelor nodale și” i este complementul algebric corespunzător Între și Y există este o relație Y Pentru un lanț pasiv, am avut = Prin urmare, principalul determinant al sistemului este simetric. Rezultă că complementele algebrice sunt egale: = Prin urmare, sunt egale și rezistența de transmisie T = T Această proprietate se numește proprietatea reciprocitate. Aceasta, după cum putem vedea, este simetria matricei de rezistență. Proprietatea reciprocității este formulată după cum urmează în Fig. 6: dacă EMF situat în circuitul de intrare provoacă un anumit curent în circuitul de ieșire, atunci același EMF inclus în circuitul de ieșire va provoca în circuitul de intrare,

11 re curent de aceeași valoare Pe scurt, această proprietate este uneori formulată după cum urmează: EMF în circuitul de intrare și ampermetrul în circuitul de ieșire pot fi schimbate, în timp ce citirea ampermetrului nu se va modifica Fig. 6 Comportamentul unui circuit cu proprietatea de reciprocitate 7 UE Fig 7 Coeficient de transfer de tensiune atunci După cum urmează din diagrama din Fig 7: UUI n; ; K n E T E; I T U n În mod similar, coeficientul de transfer de curent poate fi determinat I K I Fig. 8: I Prin urmare I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I Fig. 8 Raportul de transfer de curent Yn Y T T 37

12 3 Mai multe despre proprietățile generale ale funcțiilor de circuit Funcțiile de circuit sunt funcții ale unei variabile obținute prin rezolvarea ecuațiilor, de exemplu, rezistența de conductivitate de intrare, rezistența de conductivitate de transmisie, etc. Pentru circuitele cu parametri concentrați, orice funcție de circuit este rațională în raport cu variabilă și este o fracție m Ф B bnmnbmmnn 38 bb și coeficienții sunt reali În caz contrar, poate fi reprezentat sub forma Ф bmnm, "" "unde, m,", "," n rădăcini ale ecuațiilor mbnmnbmnm, nbb Valorile ​​=, m se numesc zerourile funcției Ф, iar valorile = ",", "n se numesc poli Φ Evident, două funcții raționale, ale căror zerouri și poli coincid, pot diferi doar prin factori constanți. cu alte cuvinte, natura dependenței parametrilor lanțului de frecvență este complet determinată de zerourile și polii funcției de lanț.polinomul capătă valoarea conjugată * = * și B * = B * Rezultă că dacă polinomul aceasta Dacă există o rădăcină complexă, atunci va fi și o rădăcină. Astfel, zerourile și polii funcției lanțului pot fi fie reale, fie forma perechi conjugate complexe Fie Ф este funcția lanțului Luați în considerare valorile sale la =: Ф Ф Ф Deoarece coeficienții din numărător și numitor Ф sunt reali, atunci Ф Ф n,

13 Nu Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Comparând aceste egalități ținând cont de egalitatea dată mai sus, obținem că Ф Ф, Ф Ф, adică partea reală a funcției circuitului este o funcție pară a frecvenței, iar impara imaginară. funcția frecvenței 3 Stabilitate și fezabilitate fizică Luați în considerare egalitatea care determină curentul în rezistența de intrare cauzat de tensiunea U: UIB Fie U o treaptă unitară, iar Atunci I, B unde și B sunt polinoame din Folosind formula de expansiune, poate obține i BB "unde zerouri ale polinomului B și, prin urmare, zerouri ale funcției de rezistență și zerouri ale determinantului principal: = Dacă cel puțin un zero are o parte reală pozitivă, atunci i va crește la infinit. Astfel, rezistența, dintre care cel puțin un zero este în semiplanul drept, corespunde unui sistem instabil, 39

14 me Aceeași concluzie se poate face și cu privire la rezistența de transmisie T, conductivitatea de intrare Y, conductivitatea de transmisie YT Definiție Funcția unui circuit se numește fezabilă fizic dacă corespunde unui circuit format din elemente reale, și nici una dintre vibrațiile naturale. dintre care are o amplitudine care crește la nesfârșit cu Lanțul specificat în definiție se numește stabil. Zerourile determinantului principal al funcției stabile realizabile fizic a lanțului și, prin urmare, zerourile funcțiilor de rezistență și conductivitate trebuie situate numai în semiplanul stâng al variabilei sau pe axa frecvențelor reale Dacă două sau mai multe zerouri coincid rădăcini multiple, atunci soluțiile corespunzătoare au forma: M, unde M este un polinom de gradul m, m este multiplicitatea lui rădăcină Dacă, în acest caz, =, și m>, atunci soluția corespunzătoare crește la infinit o coeficient e transmisie, atunci tot ce s-a spus mai sus nu se referă la zerouri, ci la polii funcției circuitului coeficient de transmisie.De fapt: n K Zerourile lui T sunt polii funcției K, iar rezistența de sarcină este pasivă; zerourile sale se află cu siguranță în planul drept.Din cele de mai sus, rezultă că funcțiile realizabile fizic ale lanțului au următoarele proprietăți: iar zerourile și polii funcției de lanț sunt fie reale, fie formează perechi conjugate complexe; b părțile reale și imaginare ale funcției în lanț sunt, la frecvențe reale, o funcție de frecvență pară și respectiv impară; în zerourile determinantului principal și, în consecință, rezistența de conductivitate și rezistența de conductivitate de transmisie nu se pot afla în semiplanul drept, iar zerourile multiple nici în semiplanul drept și nici pe axa frecvențelor reale T 4

15 3 Procese tranzitorii în amplificatoare Rezolvarea sistemului de ecuații ale circuitului oferă o imagine a semnalului de ieșire pentru o intrare dată U = KE Funcția circuitului în domeniul timp poate fi găsită folosind transformata Laplace inversă u L (KE) De cel mai mare interes este procesul tranzitoriu cu un semnal de intrare sub forma unui pas. Sistemul de reacție pe pas unitate se numește funcție de tranziție.Cunoscând funcția tranzitorie, putem găsi răspunsul sistemului la un semnal de intrare de formă arbitrară. imaginea unui singur pas are forma, prin urmare, răspunsul sistemului la un singur pas este: K h L Transformarea Laplace inversă poate fi scrisă ca: h LKK 4 d În același timp>, deoarece calea de integrare ar trebui se află la dreapta polului = De mare interes este definiția Fig 3 Conturul funcției tranzitorii a amplificatorului după tipul de integrare a acestuia cu răspunsul în frecvență Pentru aceasta, calea de calcul a integrării tranzitorii ar trebui combinată cu axa functiei frecventelor reale = Pol in t punct = în acest caz, ar trebui să ocoliți un cerc de rază mică r Fig. 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Să trecem la limita r Atunci avem d KVKK d KV h Aici, expresia V cu integrala înseamnă valoarea principală a acestei integrale Formula rezultată vă permite să găsiți funcția de tranziție prin răspunsul în frecvență al câștigului Pe pe baza acestei formule se pot trage cateva concluzii generale.Inlocuiti variabila din h cu: d KVK h Dar h, dupa cum reiese din principiul cauzalitatii, deoarece semnalul apare la> Functia de castig K este complexa si poate fi reprezentata ca suma părților reale și imaginare: K = K + K r Înlocuind în expresia pentru h, obținem d KKVK r Diferențiând față de, obținem d KK r sau cos sin sin cos d KKKK rr

17 Partea imaginară a integrandului este o funcție impară a frecvenței, prin urmare integrala acesteia este egală cu zero. Deoarece partea reală este o funcție pară a frecvenței, condiția pe care trebuie să o îndeplinească coeficientul de transfer realizabil fizic are forma: K cos K sin dr at Această condiție, după cum am văzut, decurge din principiul cauzalității. Se poate demonstra că un sistem al cărui coeficient de transmisie poate fi scris ca raport al polinoamelor K, B este stabil în sensul că toate zerourile polinomului B se află în semiplanul stâng, satisface principiul cauzalității. Pentru a face acest lucru, investigăm integrala K hd pentru< и >Să introducem două contururi închise și B, prezentate în Fig. 3 Fig. 3 Contururi de integrare: la< ; B при > 43

18 44 Să considerăm o funcție în care integrala este preluată pe un contur închis Datorită teoremei integrale a lui Cauchy, integrala este egală cu zero, deoarece în semiplanul drept integrandul este analitic prin condiție. Integrala poate fi scrisă ca o suma integralelor peste secțiuni individuale ale conturului de integrare: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Deoarece cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >deține h B h pentru R Astfel: R h, pentru>

19 Reziduul față de un pol simplu este egal cu RB „pe care îl aveam deja înainte de K lim, 45 lim B Exemplu Luați în considerare schema lanțului de integrare prezentată în Fig. 33 Pentru acest lanț, coeficientul de transfer și imaginarul și realul său. părțile au forma: K; K; K r, unde RC Să demonstrăm că, conform condiției de cauzalitate dată mai sus, egalitatea trebuie îndeplinită.Egalitatea este cunoscută cos sin d cos d Diferențiază laturile drepte și stângi prin: sin d Înmulțind laturile stânga și dreaptă ale acestei egalități cu, obținem: sin d, Fig. 33 Schema circuitului integrator din care urmează egalitatea care trebuie demonstrată Având funcția tranzitorie a sistemului, se poate găsi răspunsul acesteia la orice intrare. semnal Pentru aceasta, reprezentăm aproximativ semnalul de intrare ca o sumă a pașilor unitari Fig. 34

20 Fig. 34 Reprezentarea semnalului de intrare Această reprezentare poate fi scrisă ca: uuu Mai departe uu „Răspunsul la un pas unitar va fi egal cu h Prin urmare, semnalul de ieșire poate fi reprezentat aproximativ ca: uuhu” h Trecerea la limita la , în locul sumei, obținem integrala uuhu "hd Aceasta din formele integralei Duhamel Prin integrarea pe părți, se poate obține o altă formă a integralei Duhamel: uuhuh "d Și, în final, prin schimbarea variabilei =" , putem obține încă două forme ale integralei Duhamel: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 Unele proprietăți ale circuitelor bipolare 4 Proprietăți generale ale funcției de rezistență a conducției de intrare Rețelele cu două terminale sunt complet caracterizate de funcția rezistenței conducției de intrare Această funcție nu poate avea zerouri în semiplanul drept, precum și zerouri multiple. pe axa frecvențelor reale Deoarece Y, atunci zerourile lui Y corespund polilor și invers.funcția rezistenței conducției de intrare nu poate avea poli în semiplanul drept și poli multipli pe axa frecvențelor reale.următoarele egalitatea asimptotică este valabilă: bm mn Deoarece nu ar trebui să existe mai multe zerouri și poli pe axa frecvențelor reale, rezultă că mn te puterile polinoamelor numărătorului și numitorului nu pot diferi cu mai mult de unu. Având în vedere comportamentul lui bb lisi = în mod similar, se poate demonstra că cei mai mici exponenți ai numărătorului și numitorului nu pot diferi cu mai mult de unu. Sensul fizic al acestor afirmații este că la frecvențe foarte înalte și foarte joase, un dispozitiv pasiv cu două terminale ar trebui să se comporte ca un capacitatea sau inductanța sau rezistența activă n, 4 Funcții energetice ale unei rețele cu două terminale Să presupunem că o rețea cu două terminale este un circuit complex care conține rezistențe active, capacități și inductive.

Dacă la bornele unui două terminale se aplică o tensiune sinusoidală, atunci o parte de putere este disipată în două terminale, a cărei valoare medie P caracterizează disiparea energiei Energia electrică și magnetică este stocată în condensatoare și inductori, media. ale căror valori vor fi notate cu WE și WH. Calculăm aceste valori folosind ecuațiile curenților buclei. Scriem direct expresiile pentru mărimile de mai sus prin analogie cu cele mai simple cazuri. Deci, pentru rezistența R, puterea medie disipată este egal cu PRII În mod similar, pentru un circuit care conține mai multe ramuri, puterea medie poate fi exprimată în termeni de curenți de buclă: P i R i I i I Energia medie stocată în inductanță, este egală cu WHLII Pentru un circuit complex, exprimăm aceasta valoarea prin curenții buclei: WH 4 i L i I Energia medie stocată în condensator este Dar Prin urmare, WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Pe baza acestui raport, putem scrie o expresie pentru energia electrică medie totală: WE 4 Ii I i Ci Să aflăm cum sunt legate aceste mărimi cu tensiunile și curenții de intrare Pentru a face acest lucru, notează ecuațiile curenților de buclă IRILIE ; C I i R i I Li I; Ci Înmulțiți fiecare dintre ecuații cu curentul corespunzător 49 Ii și adăugați toate I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Dacă R i = R i; L i = L i; C i = C i, adica circuitul satisface principiul reciprocitatii, si nu exista elemente active, atunci: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Inlocuind in egalitatea de mai sus se obtine functiile E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE

24 Teorema lui Telledzhen vă permite să găsiți expresii pentru rezistența și conductibilitatea lui Y în termeni de funcții energetice: EIEIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Din expresiile obținute pentru și Y în ceea ce privește funcțiile energetice se pot trage unele concluzii. conductanța unui circuit pasiv are o parte reală nenegativă pe axa frecvențelor reale Este identică este zero doar dacă nu există pierderi de energie în circuit Condițiile de stabilitate impun ca Y să nu aibă, de asemenea, zerouri și poli în jumătatea dreaptă. plan Absența polilor înseamnă că Y sunt funcții analitice în semiplanul drept, că, dacă o funcție este analitică într-o anumită regiune, atunci părțile ei reale și imaginare ating cele mai mici și mai mari valori la limita regiunii. Deoarece funcțiile rezistenței de intrare și conductivității sunt analitice în semiplanul drept, atunci partea lor reală la graniță a acestei regiuni pe axa frecvențelor reale atinge cea mai mică valoare Dar pe axa frecvențelor reale partea reală este nenegativă, prin urmare, este pozitivă în întregul semiplan drept. În plus, funcțiile și Y iau valori reale ​pentru valori reale, deoarece sunt coeficientul împărțirii polinoamelor cu coeficienți reali O funcție care ia valori reale pentru real și are o parte reală pozitivă în semiplanul drept se numește funcție reală pozitivă. iar funcțiile de conductanță sunt funcții reale pozitive.funcția a fost o funcție reală pozitivă 3 Partea imaginară pe axa frecvenței reale este egală cu zero dacă dispozitivul cu două terminale nu conține elemente reactive sau rezervele medii de magnetic și EE;

25 de energii electrice într-o rețea cu două terminale sunt aceleași. Este cazul rezonanței; frecvența la care are loc aceasta se numește frecvență de rezonanță. Trebuie remarcat că la derivarea rapoartelor de energie pentru și Y s-a folosit în esență proprietatea de reciprocitate a absenței surselor dependente. Pentru circuitele care nu satisfac principiul reciprocității şi conţin surse dependente, această formulă se poate dovedi a fi incorectă.Figura 4 prezintă o diagramă a unui circuit rezonant în serie Să vedem ce dă formula energiei în acest caz cel mai simplu.Puterea disipată în rezistenţa R când curge curentul I este egală cu PIR Media rezervele de energie electrică și magnetică sunt egale: WHLICU; W E Tensiunea U pe condensator atunci când curge curentul I este De aici W E I U C I C Înlocuind în formula energiei, obținem L I I R I

26 Aici E E C C S I S E R R RC RC C C Fie, S >> C astfel încât primul termen din paranteze să poată fi neglijat S panta lămpii Atunci impedanța de intrare va fi atunci S I E RC E RC I S S RC unde Req; Leq SS Fig. 4 Rezistența electronică RC SR eq L eq, Este evident că calculul rezistenței de intrare folosind funcții energetice în acest caz va da un rezultat incorect Într-adevăr, nu există o rezervă de energie magnetică în acest circuit, care determină inductanța Motivul inadecvării formulei energetice pentru acest circuit este prezența în circuit a unei surse dependente Prin selectarea defazajului necesar în circuitul rețelei de control a lămpii, este posibil să se obțină o fază inductivă sau capacitivă. deplasarea între tensiune și curent la intrare și, în consecință, natura inductivă sau capacitivă a rezistenței de intrare.rezistența sau conductivitatea unui circuit pasiv este nenegativă pe axa frecvențelor reale Poate fi egală cu zero identic pentru orice frecvențe numai dacă toate elementele circuitului nu au pierderi, adică sunt pur reactive Dar chiar și în prezența pierderilor, partea reală a rezistenței sau conductivității poate dispar la unele frecvențe 5

27 Dacă nu dispare nicăieri pe axa imaginară, atunci o valoare constantă poate fi scăzută din funcția de rezistență sau conductivitate fără a încălca condițiile de fezabilitate fizică, astfel încât partea reală, rămânând nenegativă, se transformă la zero la o anumită frecvență. .de poli din semiplanul drept al variabilei, adică este analitică în această regiune, atunci partea sa reală are o valoare minimă la limita sa, adică pe axa imaginară. Prin urmare, scăderea acestei valori minime lasă valoarea partea reală pozitivă în semiplanul drept.Funcția rezistenței de conducție de intrare se numește funcție de tipul rezistență de conducție minimă -activă, dacă partea sa reală dispare pe axa frecvențelor reale, astfel încât o scădere a acestei componente este imposibil fără încălcarea condiţiilor de pasivitate. atunci zeroul părții reale de pe axa frecvențelor reale are o multiplicitate de cel puțin , c și de tip neminimal activ d În Fig. 43, iar circuitul are o rezistență de intrare de tip neminim activ, deoarece partea reală a rezistenței nu dispare la nicio frecvență reală În același timp, partea reală a conductibilității dispare la frecvență = Prin urmare, circuitul este un circuit de conductivitate activă minimă În Fig. 43, b, circuitul este un circuit de rezistență activă minimă, deoarece partea reală a rezistenței dispare la o frecvență infinită 53

28 În fig.43, circuitul este un circuit de rezistență activă minimă R = la frecvența de rezonanță a circuitului în serie.circuitul din al 3-lea circuit are o rezistență finită la frecvența de rezonanță 44 Rezistențe de conductivitate de intrare ale rețelelor active cu două terminale Fig. 44 Dispozitive cu două terminale: a cu o sursă EMF, b cu adăugarea de rezistență R Rezistențele de conductivitate de intrare ale activelor, spre deosebire de dispozitivele pasive cu două terminale, nu sunt funcții pozitive și, prin urmare, astfel de rețele cu două terminale pot, în anumite condiții fi instabil. Luați în considerare posibilitățile disponibile aici. Rezistența are zerouri în semiplanul drept al variabilei, dar nu are poli acolo. Luați în considerare circuitul prezentat în Fig. 44 și plasați soluții crescătoare exponențial, adică bipoli nick-ul este instabil atunci când este alimentat de la o sursă EMF sau, în caz contrar, când bornele sale sunt scurtcircuitate. Pe de altă parte, deoarece nu are poli în semiplanul drept, este o funcție analitică în acest semiplan. rezultă că partea reală atinge un minim la limita semiplanului drept, adică axele frecvenţelor reale. Acest minim este negativ, deoarece în cazul opus ar fi o funcţie reală pozitivă şi nu ar putea avea zerouri în dreapta. semiplan.Minimul părții reale pe axa frecvenței reale poate fi mărit la zero prin adăugarea unei rezistențe reale pozitive În acest caz, funcția + R devine o funcție reală pozitivă. În consecință, o rețea cu două terminale cu adăugarea de rezistența R va fi stabilă cu un scurtcircuit Fig. 44, b O rețea cu două terminale este stabilă chiar și atunci când R este mai mare decât minimul, în special când R =, adică atunci când este alimentată de la o sursă de curent 54

29 Conductibilitatea Y are zerouri în semiplanul drept, dar nu are poli acolo. Acesta este cazul opus celui precedent, deoarece înseamnă că = / Y are poli în semiplanul drept, dar nu are zerouri acolo .În acest caz, stabilitatea este investigată într-un circuit cu sursă de curent Fig. 45, a Dacă Y are zerouri în semiplanul drept, atunci rețeaua cu două terminale este instabilă în timpul funcționării fără sarcină. argumentele prezentate mai sus.Deoarece Y nu are poli in semiplanul drept, functia Y poate fi transformata intr-o functie reala pozitiva prin adaugarea unei conductivitati reale pozitive G Gmin Astfel modul unui dispozitiv cu doua terminale, in care conductivitatea Y are zerouri în semiplanul drept, dar nu are poli acolo, pot fi stabilite prin adăugarea unei conductivități reale suficient de mare.de la sursa de tensiune 3 Funcția are zerouri și poli în semiplanul drept.În acest caz, pt. rezolvarea problemei stabilității necesită o atenție specială. Deci, putem trage următoarele concluzii: dacă o rețea activă cu două terminale este stabilă atunci când este alimentată de la o sursă de curent, nu are poli în semiplanul drept, atunci poate fi stabilită. atunci când este alimentat de la o sursă de tensiune prin conectarea în serie a unei rezistențe pozitive a materialului; dacă un dispozitiv activ cu două terminale este stabil atunci când este alimentat de la o sursă de tensiune Y nu are poli în semiplanul drept, atunci poate fi stabilit atunci când este alimentat de la o sursă de curent prin conectarea unei conductivitati reale suficient de mare în paralel. conexiunea în paralel a unei rezistenţe negative R cu o capacitate C Fig. 46 RCR Aici R RC CI 55 Y b G Fig. 45 Reţele bipolare: a cu sursă de curent; b cu adăugarea conductivității Y Y Fig. 46 Bipolar cu rezistență negativă I

30 După cum puteți vedea, nu are zerouri în semiplanul drept, prin urmare un astfel de circuit este stabil atunci când este alimentat de la o sursă de tensiune Dar este instabil în gol Să adăugăm inductanța L în serie Apoi Fig. 47 Circuit echivalent a unei diode tunel RRL LCR L RC RC Această funcție are zerouri în semiplanul drept: , RC 4 RC LC Prin urmare, circuitul este instabil când este alimentat de la o sursă de tensiune Dar are și un pol în semiplanul drept. încercați să o faceți stabil prin adăugarea unei rezistențe în seria R Fig. 47 Atunci R LCR RRC LRRLR RC RC Condiția de stabilitate constă în absența zerourilor numărătorului în semiplanul drept Pentru aceasta, toți coeficienții trinomului din numărător trebuie fi pozitiv: RR CL; RR Aceste două inegalități pot fi scrise ca: L CR RR Evident, astfel de inegalități sunt posibile dacă LLR sau R RC C R în condiția R Circuitul din fig. 47 este echivalent cu circuitul C al diodei tunel.

31 posibilități de stabilizare a modului de funcționare al unei diode tunel utilizând o rezistență externă Exemplu Luați în considerare un circuit LC cu o rezistență negativă conectată în paralel Fig. 48 Aflați condițiile de stabilitate a circuitului fără sarcină Pentru a face acest lucru, calculați conductivitatea: R sau R> R o Când inegalitatea inversă este îndeplinită, autooscilațiile sunt excitate în circuit la frecvența circuitului rezonant 45 anumite limite fără a încălca condițiile de pasivitate Din punct de vedere fizic, această modificare a componentei reale cu o valoare constantă. înseamnă adăugarea sau excluderea unei rezistențe active reale, în mod ideal independentă de frecvență Modificarea componentei reactive a funcției de rezistență n conductivitatea cu o valoare constantă este inacceptabilă, deoarece aceasta încalcă condițiile de realizare fizică ciudată a componentei imaginare a funcției circuitului Din punct de vedere fizic, acest lucru se explică prin faptul că nu există elemente cu o rezistență de conductivitate pur reactivă independentă de frecvență. Cu toate acestea, o modificare a componentei reactive fara modificarea componentei active posibila in cazul in care rezistenta de conductivitate are poli pe axa frecventelor reale.Datorita conditiilor de fezabilitate fizica, astfel de poli ar trebui sa fie conjugati simpli si complexi.

32 Fie ca rezistența să aibă poli la frecvențe Atunci putem distinge fracțiile simple MNBB Este ușor de observat că NNMMN r MB r 58 B * M, MM Luați în considerare comportamentul uneia dintre fracții, de exemplu, M / aproape = Atunci MMM r M r M În apropierea frecvenței, componenta reală își schimbă semnul, ceea ce contrazice condițiile de realizare fizică. Prin urmare, M r = N r = Atunci M = N În plus, se poate demonstra că M = N> Într-adevăr, punem = +, și> Atunci fracția ia valoarea M /, care trebuie să fie mai mare decât zero, deoarece fracția trebuie să fie o funcție reală pozitivă în semiplanul drept Deci, M = N> Astfel, dacă are complex-conjugat poli pe axa frecvențelor reale, atunci poate fi reprezentat sub forma: MM, B și îndeplinește condițiile de fezabilitate fizică dacă sunt îndeplinite Într-adevăr, nu are poli în semiplanul drept, deoarece nu are poli acolo . Prin urmare, este o funcție analitică în semiplanul drept. Pe de altă parte, primul termen preia axele frecvențelor reale sunt valori pur imaginare. Prin urmare, au aceleași părți reale pe axele frecvențelor reale Separarea primului termen nu afectează partea reală pe axele frecvențelor reale. Rezultă că în jumătatea dreaptă- planul este și o funcție pozitivă r

33 În plus, este nevoie de valori reale reale în semiplanul drept pentru valori reale Prin urmare, este o funcție reală pozitivă M Rezistența este deținută de un circuit rezonant paralel fără pierderi: LCCC, LC LC și LC și MC Raționament similar poate fi efectuat pentru funcția de conductivitate Y având poli : M "Y, YM" unde expresia este conductivitatea circuitului rezonant serie: YCLLCL Pe lângă polii din punctele ±, adică la frecvențe finite, sunt posibili poli la frecvențe zero și infinite Acești poli corespund termenilor :, L, Y, YC, CL т nu corespunde capacității sau inductanței Următoarea afirmație este adevărată Impedanța de intrare conductanța circuitului pasiv continuă să satisfacă condițiile de fezabilitate fizică dacă 59

34 scădeți din el reactanța de conductivitate corespunzătoare polilor aflați pe axa frecvențelor reale.poli de rezistență și conductivitate la frecvențe reale Prezența unor astfel de poli ar însemna posibilitatea existenței unor oscilații libere în ei fără amortizare Dar în multe cazuri, cu o bună aproximare, pierderile în elemente reactive pot fi neglijate 46 Proprietăți ale circuitelor compuse din elemente pur reactive Se întâmplă adesea ca un circuit să fie compus din elemente cu pierderi mici În acest caz, influența pierderilor poate fi uneori neglijată Este de interes pentru a afla proprietățile circuitelor fără pierderi, precum și pentru a afla în ce condiții pot fi neglijate pierderile Să presupunem că toate elementele circuitului sunt pur reactive Este ușor de arătat că în acest caz pe axa frecvențelor reale rezistența și conductivitatea Y iau valori imaginare Într-adevăr, în acest caz puterea pierderilor este egală cu zero, deci: W I 6 H WE W Y E WE; Deoarece partea imaginară a rezistenței sau conductivității este o funcție ciudată a circuitului, atunci în acest caz = Prin urmare, în cazul mai general = Condițiile de fezabilitate fizică necesită ca acesta să nu aibă zerouri și poli în semiplanul drept. Dar, deoarece =, atunci nu ar trebui să existe nici zerouri și poli în semiplanul stâng. Prin urmare, H

35 de funcții și Y pot avea zerouri și poli numai pe axa frecvențelor reale.Fizic, acest lucru este de înțeles, deoarece într-un circuit fără pierderi, oscilațiile libere nu se amortizează.Resultă că folosind metoda de identificare a polilor aflați pe axă de frecvenţe reale, este posibil să se reducă funcţiile şi Y la următoarea formă: bnbnb Y Cu alte cuvinte, un dispozitiv bipolar cu rezistenţă poate fi reprezentat ca următoarea diagramă în Fig. 49 din forma lui Foster:; Fig. 49 Prima formă Foster În consecință, Y poate fi reprezentat sub forma formei --a Foster Fig. 4 Fig. 4 A doua formă Foster Se poate demonstra că zerourile și polii de pe axa frecvențelor reale ar trebui să fie alternate doar simplu, atunci aproape de zero funcția poate fi reprezentată sub forma M o, unde o este o mărime de ordin mai mare a micimii în comparație cu Aproape în semiplanul drept, mărimea reală trebuie să fie pozitivă, iar acest lucru este posibil numai dacă M este real 6

36 este o mărime, iar M> Prin urmare, aproape de zero = componenta imaginară se poate modifica doar cu o derivată pozitivă, schimbând semnul de la „+” trebuie să existe o discontinuitate, care pentru circuitele cu elemente aglomerate poate fi doar un pol Toate ceea ce s-a spus se aplică și conductivității Y. Zerourile se numesc puncte de rezonanță, polii sunt puncte de antirezonanțe. Prin urmare, rezonanțe alternează întotdeauna cu antirezonanțe. Pentru conductivitatea Y, rezonanța corespunde polilor, iar antirezonanța la zero. Este ușor de observat că atât în ​​punctele de rezonanță, cât și în punctele de antirezonanță, rezervele medii de energii electrice și magnetice sunt egale între ele Într-adevăr, la punctele de rezonanță =, adică WHWE = ​​La punctele de antirezonanțe Y =, prin urmare, WEWH = Să arătăm acum că în cazul circuitelor fără pierderi au loc următoarele formule, dau dependenţa rezistenţei şi conductivităţii de frecvenţă Să reprezentăm rezistenţa şi conductibilitatea sub forma: X, Y B Atunci: dx WH W d I db WH WE d E Pentru demonstraţie, considerăm definiţia rezistenţei E I 6 E; Fie E = cons Să diferențiem după frecvență: d E di d I d Să presupunem că E este o valoare reală Atunci pentru un circuit fără pierderi I este o valoare pur imaginară În acest caz d E d I di d I I și

37 Să trecem acum la sistemul de ecuații pentru curenții de buclă n 4: I Li I Ei, i, n C Presupunând că numai E, înmulțim fiecare dintre ecuații cu și adunăm toate ecuațiile: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, În continuare, trecem la relația obținută și în p 4 pentru circuitele fără pierderi: i, L i I Ii ii, IIC ii E Diferențiând prin frecvență la E = cons, obținem: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , întrucât E este o valoare reală prin presupunere. Din cele de mai sus rezultă și că: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Înlocuind în total, obținem: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Reducând termeni similari la stânga și la dreapta, găsim: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E was găsit în secțiunea n 4, egal cu i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Substituind în expresia derivata funcției de rezistență, obținem: d E di WH W d I d I În mod similar, puteți demonstra a doua egalitate dy W d E WE Din aceste formule rezultă că, odată cu creșterea frecvenței, reactanța și conductivitatea unui circuit de elemente pur reactive nu pot decât să crească. În funcție de prezența zerourilor și polilor la frecvențe zero și infinite, graficul de dependența lui X și B poate avea unul dintre următoarele tipuri, prezentate în Fig. 4 În final, vom încerca să aflăm cum afectează prezența unor pierderi mici rezistența unui circuit compus din elemente reactive.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Atenuarea poate fi diferită pentru diferiți poli Prin urmare, este recomandabil să luați în considerare comportamentul funcției de rezistență în apropierea unuia dintre poli.

40 Deoarece ne interesează valorile pe axa frecvențelor reale, ar trebui înlocuit cu În numărător, putem arunca, mic în comparație cu prin condiția: Această expresie poate fi transformată astfel :, Qx „unde ; Q; x; Mărimea Q >> se numește factor de calitate, mărimea x se numește deacord relativ Rezonanță apropiată În plus, avem: Valoarea C x QQ;; QQCC se numește impedanța caracteristică a circuitului rezonant. Luați în considerare modul în care părțile reale și imaginare ale rezistenței aproape de rezonanță depind de frecvența: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Aproape de rezonanță Im crește, dar la rezonanță trece prin zero cu o derivată negativă Partea reală a lui R la rezonanță are un maxim. Graficele Im și R în funcție de frecvență sunt prezentate în Fig. 4. vorbind, aria de sub curba de rezonanță R nu depinde de factorul Q. Odată cu creșterea factorului Q, lățimea curbei scade, dar înălțimea crește, astfel încât aria rămâne neschimbată. Qx >>, partea reală scade rapid, iar partea imaginară este egal cu Im x 67, adică se modifică în același mod ca și în cazul unui contur fără pierderi

42 Deci, dependența de frecvență odată cu introducerea unor pierderi mici se modifică puțin la frecvențe distanțate de frecvența de rezonanță cu cantitatea >>.Aproape de frecvență, cursul se modifică semnificativ.Polul de conducție Y, adică conductivitatea circuitului rezonant în serie. corespunde unei relaţii asemănătoare polului: unde Q; gq Y, Qx g conductivitate caracteristică; L x Zero corespunde polului de conducție Y Aproape de zero, prin urmare, rezistența poate fi reprezentată pe axa frecvențelor reale astfel: Qx x, Y gq Q unde = / g se schimbă aproape de zero în același mod ca înainte de 68

43 5 Cvadrupoli 5 Ecuații de bază ale unui cvadripol Un cvadrupol este un circuit care are două perechi de borne: intrarea la care este conectată sursa de semnal și ieșirea la care este conectată sarcina.rezistența de transmisie În aceste condiții, rezistența celui sursa de semnal n și rezistența de sarcină n sunt incluse în T Când se modifică, iar T se modifică Este de dorit să existe ecuații și parametri care să caracterizeze rețeaua cu patru porturi în sine.Coeficientul este inversul conductivității transmisiei la ralanti pe ieșire. pereche de terminale: 69 II; Fig. 5 Pornirea rețelei cu patru porturi I Aici U și U sunt tensiunile la bornele de intrare și de ieșire, I și I sunt curenți care circulă prin bornele de intrare și ieșire către rețeaua cu patru porturi, vezi Fig. 5 Coeficienții de sistemul de ecuații care leagă tensiunile și curenții au o semnificație simplă. Valoarea este coeficientul de proporționalitate dintre I și U la un curent la bornele de ieșire I =, adică la gol la bornele de ieșire; cu alte cuvinte, aceasta este rezistența de intrare în gol la ieșire = x În mod similar, aceasta este rezistența de intrare din partea bornelor de ieșire în gol la prima pereche de terminale = x Coeficientul are semnificația de valoarea opusă conductanței transmisiei la relanti la prima pereche de terminale, adică la bornele de intrare de curent zero U și IYT x YT x

44 I U; YT x YT x Rețineți că pentru o rețea pasivă cu patru porturi, ambele conductivități de transmisie sunt egale între ele datorită principiului reciprocității.De aceea, = = / Y Tx Sistemul de ecuații prezentat mai sus poate fi scris ca: IU x I ; YT x IU x I YT x I, deoarece curentul în acest caz este direcționat dintr-o rețea cu patru porturi, adică în sens opus față de cel adoptat mai sus Substituind U în a doua ecuație, obținem de unde I, I n I x I YTx IY x Tx Substituind I în prima ecuație, obținem UI x Y Tx n De aici găsim impedanța de intrare în nx U x IY Prin analogie, puteți scrie și o expresie pentru rezistența de ieșire, schimbând indici și: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Parametrii caracteristici ai unui dispozitiv cu patru poli Un interes considerabil este cazul în care generatorul și sarcina se potrivesc simultan, adică atunci când n = c și n = c, relația in = c și out = c are loc Înlocuind în expresiile pentru in și out , obținem ecuațiile care ne permit să aflăm c și c: cc x x YT x YT x 7 cc Acest sistem se rezolvă astfel Din prima ecuație găsim: de unde cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Rețineți că scurtcircuitul și scurtcircuitul sunt rezistențe de intrare din partea primei și, respectiv, a celei de-a doua perechi de terminale, în cazul unui scurtcircuit pe cealaltă pereche de terminale. Sarcina egală cu impedanța caracteristică c se numește adaptată. Cu orice număr de rețele cu patru porturi conectate în acest mod, potrivirea este păstrată în orice secțiune transversală. UI c I c ln I c U cg ln U Partea reală a coeficientului de transmisie caracteristic pentru frecvenţe reale se numeşte atenuare caracteristică, iar partea imaginară se numeşte constantă de fază caracteristică obţineţi şi raportul: I g I; U c g U U U I I

47 Coeficientul caracteristic de transmisie este convenabil prin aceea că, cu o conexiune în cascadă potrivită a rețelelor cu două porturi, coeficientul de transmisie rezultat este egal cu suma coeficienților de transmisie ale rețelelor individuale cu patru porturi. Coeficientul de transmisie caracteristic poate fi găsit din relațiile : gc kz c kz xx c xx cc kz c kz xx c xx c Impedanțele caracteristice c și c, în general, depind de frecvență Prin urmare, utilizarea parametrilor caracteristici nu este întotdeauna convenabilă pentru reprezentarea rezistenței de transmisie T. a patru- rețeaua terminală la o sarcină reală constantă R cu o rezistență pur activă a generatorului R Fig. 53 În acest caz, transmisia se determină folosind coeficientul de transmisie de funcționare UI ln, UI unde U „și I” sunt și curentul pe care generatorul îl poate dezvolta la o rezistență egală cu rezistența internă a generatorului, adică: EU, IE, R 73 EUI, 4R U și I tensiune și curent de sarcină În acest caz, U = IR Înlocuind, vom obtinem pentru coeficientul de transmisie in exploatare ln De aici obtinem 4R ERI ln ERRTIRR

48 Valoarea este o funcție a unei variabile complexe Pentru frecvențele reale =: = + B, unde atenuarea de funcționare, B este constanta de fază Atenuarea de funcționare este egală cu ln TRR 74 ln PP mx, deoarece P mx este puterea maximă pe care generatorul poate da la intrarea rețelei cu patru porturi, iar P este puterea, alocată sarcinii RP mx EPIR 4R Să arătăm că funcția pozitivă reală Într-adevăr, deoarece T nu are zerouri în semiplanul drept, funcţia este analitică în semiplanul drept Prin urmare, funcţia analitică proporţională cu aceasta se află şi în semiplanul drept.analiticitatea, în acest caz pe axa frecvenţelor reale Valoarea inversă atinge cea mai mică valoare pe această axă Pentru un pasiv rețea cu patru porturi pe axa frecvențelor reale, deci R> în întregul semiplan drept. Mai departe T ln 4R R Funcția T este coeficientul împărțirii a două polinoame cu coeficienți reali, iar T ia pozitiv real e valorile reale Prin urmare, este reală și pentru valori reale. Astfel, putem concluziona că funcția pozitivă reală Problema sintezei unei rețele cu patru porturi cu un coeficient de transmisie de funcționare dat în cazul general este cel mai bine rezolvată cu ajutorul așa-numitei rețele cu patru porturi încrucișate, care are, în anumite condiții, T

4.11. Proprietățile transformării Laplace. 1) Corespondență unu-la-unu: s (S И (2) Linearitatea transformării Laplace: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (și, de asemenea, 3) Analiticitate S И (): dacă s (satisfăcă

4 Curs 5 ANALIZA CIRCUITURILOR DINAMICE Plan Ecuații de stare a circuitelor electrice Algoritm de formare a ecuațiilor de stare 3 Exemple de întocmire a ecuațiilor de stare 4 Concluzii Ecuații de stare a electricității

4 .. Proprietățile transformării Laplace.) Corespondență unu-la-unu: S И () 2) Linearitatea transformării Laplace: s (s () И () И 2 S S2 (), precum și 3) Analiticitatea S И (): dacă îndeplinește condiția

64 Cursul 6 METODA OPERAȚIONALĂ DE ANALIZĂ A CIRCUITURILOR ELECTRICE Transformată Laplace Plan Proprietăți ale transformării Laplace 3 Metoda operatorului de analiză a circuitelor electrice 4 Determinarea originalului prin cunoscutul

2.2. Metoda operatorului pentru calcularea tranzitorilor. Informații teoretice. Calculul proceselor tranzitorii în circuite complexe prin metoda clasică este foarte adesea dificil de găsit constantele de integrare.

70 Cursul 7 FUNCȚIILE OPERATORULUI ALE CIRCUITULUI Plan Funcțiile de intrare și transfer ale operatorului Polii și zerourile funcțiilor circuitului 3 Concluzii Funcții de intrare și transfer ale operatorului O funcție de operator a unui circuit se numește

Curentul sinusoidal „în palma” Cea mai mare parte a energiei electrice este generată sub formă de EMF, care se modifică în timp conform legii unei funcții armonice (sinusoidale). Sursele EMF armonice sunt

4 Curs CARACTERISTICILE FRECVENȚEI DE REZONANȚĂ ALE CIRCUITURILOR ELECTRICE Rezonanța și semnificația ei în electronica radio Funcții complexe de transfer 3 Caracteristicile frecvenței logaritmice 4 Concluzii Rezonanța și

Procese trecătoare „în palmă”. Cunoașteți deja metodele de calcul a unui circuit care se află într-o stare staționară, adică într-unul în care curenții, precum căderile de tensiune pe elemente individuale, sunt constante în timp.

Rezonanță în palma mâinii tale. Rezonanța este modul unei rețele pasive cu două terminale care conține elemente inductive și capacitive, în care reactanța sa este zero. Condiție de rezonanță

Vibrații electrice forțate. Curentul alternativ Luați în considerare oscilațiile electrice care apar atunci când există un generator în circuit, a cărui forță electromotoare se modifică periodic.

Capitolul 3 Curentul alternativ Informații teoretice Cea mai mare parte a energiei electrice este generată sub formă de EMF, care se modifică în timp conform legii unei funcții armonice (sinusoidale).

Curs 3. Deduceri. Teorema principală a resturilor Reziduul unei funcții f () la un punct singular izolat a este un număr complex egal cu valoarea integralei f () 2 luată în direcția pozitivă i de-a lungul cercului

Oscilații electromagnetice Curenți cvasi-staționari Procese într-un circuit oscilator Circuit oscilant un circuit format din bobine de inductanță conectate în serie, un condensator de capacitate C și un rezistor

1 5 Oscilații electrice 51 Circuit oscilator Oscilațiile în fizică se numesc nu numai mișcări periodice ale corpurilor, ci și orice proces periodic sau aproape periodic în care valorile unuia sau

Circuite pasive Introducere Problemele au în vedere calculul caracteristicilor amplitudine-frecvență, fază-frecvență și tranzitorie în circuitele pasive. Pentru a calcula caracteristicile numite, trebuie să știți

STUDIUL VIBRAȚIILOR LIBERE ȘI FORȚATE ÎNTR-UN CIRCUIT OSCILATOR Vibrații electrice libere într-un circuit oscilator Să considerăm un circuit oscilator format din condensatoare conectate în serie

Curs 3 Tema Sisteme oscilatoare Circuit oscilator secvenţial. Rezonanța tensiunilor Un circuit oscilant în serie este un circuit în care o bobină și un condensator sunt conectate în serie

Universitatea de Stat din Moscova M.V.Lomonosov Facultatea de Fizică Departamentul de Fizică Generală

Materiale de autoînvățare la disciplina „Teoria circuitelor electrice” pentru studenții specialităților: -6 4 s „Electronica industrială” (parte), -9 s „Modelare și proiectare computerizată

Metoda complexă a amplitudinii Fluctuațiile de tensiune armonică la bornele elementelor R sau provoacă fluxul de curent armonic de aceeași frecvență. Diferențierea, integrarea și adăugarea de funcții

Anexa 4 Oscilații electrice forțate Curent alternativ Următoarele informații teoretice pot fi utile în pregătirea lucrărilor de laborator 6, 7, 8 în laboratorul „Electricitate și Magnetism”

54 Cursul 5 Transformata Fourier și metoda spectrală de analiză a circuitelor electrice Spectre de plan ale funcțiilor aperiodice și transformata Fourier Câteva proprietăți ale transformării Fourier 3 Metoda spectrală

Examen Rezonanța tensiunilor (continuare) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Numitorul este minim la frecvența ω 0, astfel încât ω0 = 0 => ω0 ω 0 = această frecvență se numește rezonantă

Capitolul 2. Metode de calcul al proceselor tranzitorii. 2.1. Metoda clasică de calcul. Informații teoretice. În primul capitol au fost luate în considerare metode de calcul al unui circuit în stare staționară, adică

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu Funcții schematice Aparatul funcțiilor circuitelor este aplicabil atât pentru analiza circuitelor pe curenți continui și armonici, cât și pentru un tip arbitrar de influență În stare staționară

4.9. Răspunsul tranzitoriu al circuitului, relația acestuia cu răspunsul la impuls. Se consideră funcția K j K j j> S j j K j S 2 Să presupunem că K jω posedă transformata Fourier h K j Dacă există IH k K j, atunci

Cursul 9 Linearizarea ecuațiilor diferențiale Ecuații diferențiale liniare de ordin superior Ecuații omogene proprietăți ale soluțiilor lor Proprietăți ale soluțiilor ecuațiilor neomogene Definiție 9 Linear

Dezvoltare metodică Rezolvarea problemelor prin TFKP Numere complexe Operații pe numere complexe Plan complex Un număr complex poate fi reprezentat în exponențial algebric și trigonometric

Cuprins INTRODUCERE Secțiunea METODA CLASICĂ PENTRU CALCULUL TRANZITORILOR Secțiunea CALCULUL TRANZITORILOR CU INTRARI ALEATORII UTILIZAREA INTEGRALLOR OVERLAY 9 PROBLEME DE CONTROL7

4 VIBRAȚII ȘI UNDE ELECTROMAGNETICE Un circuit oscilator este un circuit electric compus din condensatoare și bobine în care este posibil un proces oscilator de reîncărcare a condensatorului.

3.5. Circuit oscilator paralel complex I Un circuit în care cel puțin o ramură paralelă conține reactivități ale ambelor semne. I С С I I Nu există nicio legătură magnetică între și. Condiție de rezonanță

PRELEGERE N38. Comportamentul unei funcții analitice la infinit. Puncte speciale. Reziduuri ale unei funcții ... o vecinătate a unui punct infinit îndepărtat ... o expansiune Laurent într-o vecinătate a unui punct infinit îndepărtat .... 3. Comportament

4 Curs 3 CARACTERISTICI DE FRECVENȚĂ ALE CIRCUITURILOR ELECTRICE Funcții de transfer complexe Caracteristici de frecvență logaritmică 3 Concluzie Funcții de transfer complexe (caracteristici de frecvență complexe)

Fluctuații. Cursul 3 Alternatorul Pentru a explica principiul de funcționare a unui alternator, să luăm în considerare mai întâi ce se întâmplă atunci când o rotire plată a unui fir se rotește într-un magnetic uniform.

ECUATII DIFERENTIALE Concepte generale

Calculul sursei de oscilații armonice (GCI) Furnizați circuitul inițial al GCI față de înfășurarea primară a transformatorului cu o sursă de tensiune echivalentă Determinați parametrii acestuia (EMF și intern

Lucrarea 11 STUDIUL VIBRAȚIELOR FORȚATE ȘI FENOMENELOR DE REZONAȚĂ ÎN-UN CIRCUIT OSCILANT Într-un circuit care conține un inductor și un condensator pot apărea oscilații electrice. Lucrarea se studiază

Tema 4 .. Circuite AC Întrebări subiect .. Circuit AC cu inductanță .. Circuit AC cu inductanță și rezistență activă. 3. Circuit AC cu capacitate. 4. Lant variabil

4 Curs ANALIZA CIRCUITURILOR REZISTIVE Plan Sarcina analizei circuitelor electrice Legile lui Kirchhoff Exemple de analiză a circuitelor rezistive 3 Transformări echivalente ale unei secțiuni de circuit 4 Concluzii Sarcina analizării circuitelor electrice

Varianta 708 O sursă de EMF sinusoidal e (ωt) sin (ωt ψ) operează în circuitul electric. Schema circuitului prezentată în Fig .. Valoarea efectivă a sursei EMF E, faza inițială și valoarea parametrilor circuitului

Date inițiale R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Legile lui Kirgoff (tensiune constantă) 1. Căutarea nodurilor Nod punctul , în care sunt conectate trei (sau mai multe) conductori

PRELEGERE Oscilatie. Oscilații forțate Fig. Sursa de oscilație M athcale alimentează un circuit oscilator în serie format dintr-o rezistență R, un inductor L și un condensator cu o capacitate

Examen Rezonanța tensiunilor (continuare) Să presupunem că tensiunea pe un circuit este tensiunea pe întregul circuit oscilator, iar tensiunea la ieșirea circuitului este tensiunea pe condensator Apoi Amplitudine

Semestrul de toamnă al anului universitar Tema 3 ANALIZA ARMONICĂ A SEMNALELOR NEPERIODICE Transformate Fourier directe și inverse Caracteristica spectrală a semnalului Spectre amplitudine-frecvență și fază-frecvență

Cursul 6. Clasificarea punctelor de repaus ale unui sistem liniar de două ecuații cu coeficienți reali constanți. Să considerăm un sistem de două ecuații diferențiale liniare cu reală constantă

54 Cursul 5 Transformata Fourier și metoda spectrală pentru analiza circuitelor electrice Spectre de plan ale funcțiilor aperiodice și transformata Fourier 2 Câteva proprietăți ale transformării Fourier 3 Metoda spectrală

Subiect: Legile curentului alternativ Curentul electric este mișcarea ordonată a particulelor încărcate sau a corpurilor macroscopice. O variabilă este un curent care își modifică valoarea în timp.

Examen de impedanță Impedanță Impedanța sau impedanța complexă este, prin definiție, egală cu raportul dintre tensiunea complexă și curentul complex: Z ɶ Rețineți că impedanța este, de asemenea, egală cu raportul

Cuprins Introducere. Concepte de bază .... 4 1. Ecuații integrale ale lui Volterra ... 5 Variante ale temei .... 8 2. Rezolvantul ecuației integrale a lui Volterra. 10 Opțiuni pentru teme... 11

Capitolul II Integrale Funcția antiderivată și proprietățile ei Funcția F () se numește antiderivată a unei funcții continue f () pe intervalul a b, dacă F () f (), a; b (;) De exemplu, pentru funcția f () antiderivate

Metoda clasică. Fig. 1- Schema inițială a circuitului electric Parametrii circuitului: E = 129 (V) w = 10000 (rad/s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Reactanța inductanței:

Metode de calcul a circuitelor electrice liniare complexe Baza: capacitatea de a compune și rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare - compilate fie pentru un circuit de curent continuu, fie după simbolizare

O INTEGRALĂ SPECIFĂ. Sume integrale și o integrală definită Să fie dată o funcție y = f () definită pe intervalul [, b], unde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Curs 7 FUNCȚIILE OPERATORULUI CIRCUITURILOR Funcțiile de intrare și transfer ale operatorului Polii și zerourile funcțiilor circuitului 3 Concluzii Funcțiile de intrare și transfer ale operatorului O funcție de operator a unui lanț este o relație

68 Curs 7 PROCESE DE TRANZIȚIE ÎN CIRCUITURI DE ORDIN I Planul 1 Procese tranzitorii în circuite RC de ordinul întâi 2 Procese tranzitorii în circuite R de ordinul întâi 3 Exemple de calcul al proceselor tranzitorii în circuite

4 CIRCUITURI ELECTRICE LINEARE CU CURENTUL SINUSOIDAL AC ŞI METODE DE CALCUL LOR 4.1 MAŞINI ELECTRICE. PRINCIPIUL GENERĂRII CURENTULUI SINUSOIDAL 4.1.012. Curentul sinusoidal se numește instantaneu

Agenția Federală pentru Educație Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior „UNIVERSITATEA DE STAT KUBAN” Facultatea de Fizică și Tehnologie Departamentul de Optoelectronică

~ ~ FKP Derivată a funcției unei variabile complexe FKP a condiției Cauchy - Riemann conceptul de regularitate a FKP Imaginea și forma unui număr complex Forma FKP: unde funcția reală a două variabile este reală

Acesta este numele unui alt tip de transformări integrale, care, împreună cu transformata Fourier, este utilizată pe scară largă în ingineria radio pentru a rezolva o mare varietate de probleme legate de studiul semnalelor.

Concept complex de frecvență.

Metodele spectrale, după cum se știe deja, se bazează pe faptul că semnalul investigat este reprezentat ca o sumă a unui număr infinit de termeni elementari, fiecare dintre care se modifică periodic în timp conform legii.

Generalizarea firească a acestui principiu constă în faptul că în loc de semnale exponențiale complexe cu indicatori pur imaginari, se introduc în considerare semnale exponențiale de formă, unde este un număr complex: numit frecvență complexă.

Două astfel de semnale complexe pot fi utilizate pentru a compune un semnal real, de exemplu, conform următoarei reguli:

unde este valoarea complexului conjugat.

Într-adevăr, în acest caz

În funcție de alegerea părților reale și imaginare ale frecvenței complexe, se pot obține diverse semnale reale. Deci, dacă, dar obțineți oscilațiile armonice obișnuite de forma Dacă, atunci, în funcție de semn, obțineți oscilații exponențiale crescătoare sau descrescătoare în timp. Astfel de semnale capătă o formă mai complexă când. Aici, multiplicatorul descrie un plic care se modifică exponențial în timp. Unele semnale tipice sunt prezentate în fig. 2.10.

Conceptul de frecvență complexă se dovedește a fi foarte util, în primul rând, pentru că face posibilă, fără a recurge la funcții generalizate, obținerea reprezentărilor spectrale ale semnalelor ale căror modele matematice nu sunt integrabile.

Orez. 2.10. Semnale reale corespunzătoare diferitelor valori ale frecvenței complexe

O altă considerație este de asemenea esențială: semnalele exponențiale de forma (2.53) servesc ca mijloc „natural” de studiere a oscilațiilor în diferite sisteme liniare. Aceste întrebări vor fi explorate în cap. opt.

Trebuie remarcat că adevărata frecvență fizică este partea imaginară a frecvenței complexe. Nu există un termen special pentru partea reală a frecvenței complexe.

Relații de bază.

Fie un semnal, real sau complex, definit la t> 0 și egal cu zero la valori de timp negative. Transformarea Laplace a acestui semnal este o funcție a unei variabile complexe date de o integrală:

Semnalul se numește original, iar funcția se numește imaginea lui Laplace (pe scurt, doar imaginea).

Condiția care asigură existența integralei (2.54) este următoarea: semnalul nu trebuie să aibă mai mult de o rată de creștere exponențială, adică trebuie să satisfacă inegalitatea în care sunt numere pozitive.

Când această inegalitate este satisfăcută, funcția există în sensul că integrala (2.54) converge absolut pentru toate numerele complexe pentru care Numărul a se numește abscisa convergenței absolute.

Variabila din formula principală (2.54) poate fi identificată cu frecvența complexă Într-adevăr, la o frecvență complexă pur imaginară, când formula (2.54) se transformă în formula (2.16), care determină transformata Fourier a semnalului, care este zero la Astfel, transformata Laplace poate fi luată în considerare

Așa cum se face în teoria transformării Fourier, este posibil, cunoscând imaginea, să se restabilească originalul. Pentru aceasta, în formula transformată Fourier inversă

trebuie efectuată o continuare analitică, trecând de la variabila imaginară la argumentul complex a. Pe planul frecvenței complexe, integrarea se realizează de-a lungul unei axe verticale infinit lungi situată în dreapta abscisei de convergență absolută. Deoarece at este diferența, formula pentru transformarea Laplace inversă ia forma

În teoria funcțiilor unei variabile complexe, se dovedește că imaginile Laplace au proprietăți „bune” din punct de vedere al netezirii: astfel de imagini în toate punctele planului complex, cu excepția unui set numărabil de așa-numitele punctele singulare, sunt funcții analitice. Punctele singulare, de regulă, sunt poli, unici sau multipli. Prin urmare, pentru a calcula integralele de forma (2.55), se pot folosi metode flexibile ale teoriei reziduurilor.

În practică, tabelele de transformare Laplace sunt utilizate pe scară largă, care colectează informații despre corespondența dintre originale. si imagini. Prezența tabelelor a făcut ca metoda transformării Laplace să fie populară atât în ​​studiile teoretice, cât și în calculele de inginerie ale dispozitivelor și sistemelor de inginerie radio. În Anexele la există un astfel de tabel care vă permite să rezolvați o gamă destul de largă de probleme.

Exemple de calcul al transformărilor Laplace.

Metodele de calcul al imaginii au multe în comun cu ceea ce a fost deja studiat în legătură cu transformata Fourier. Să luăm în considerare cele mai tipice cazuri.

Exemplul 2.4, Imaginea impulsului exponențial generalizat.

Fie, unde este un număr complex fix. Prezența funcției -determină egalitatea la Folosind formula (2.54), avem

Dacă atunci numărătorul va dispărea când limita superioară este înlocuită. Drept urmare, obținem corespondența

Ca un caz special al formulei (2.56), puteți găsi imaginea unui impuls video exponențial real:

și un semnal exponențial complex:

În sfârșit, punând în (2.57), găsim imaginea funcției Heaviside:

Exemplul 2.5. Imaginea funcției Delta.

Mai devreme am considerat transformata Fourier integrală cu nucleul K (t, О = е Transformarea Fourier este incomodă prin faptul că trebuie îndeplinită condiția de integrabilitate absolută a funcției f (t) pe toată axa t. Transformata Laplace ne permite pentru a scăpa de această constrângere.Definiție 1. Funcția un original va însemna orice funcție cu valori complexe f (t) a unui argument real t, îndeplinind următoarele condiții: un interval finit de axe * ale unor astfel de puncte poate fi doar un număr finit 2.funcția f (t) este egală cu zero pentru valorile negative ale lui t, f (t) = 0 pentru 3. pe măsură ce t crește, modulul f (t) crește nu mai repede decât o funcție exponențială, adică există există numere M> 0 și s astfel încât pentru toate t Este clar că, dacă inegalitatea (1) este valabilă pentru unele s = aj, atunci va fi valabilă și pentru ORICE 82> 8]. = infs pentru care inegalitatea (1) , se numește rata de creștere a funcției f (t). Cometariu. În cazul general, inegalitatea nu este valabilă, dar estimarea este valabilă unde e> 0 este oricare. Deci, funcția are un exponent de creștere в0 = Pentru aceasta, inegalitatea \ t \ ^ M V * ^ 0 nu este valabilă, dar inegalitatea | f | ^ Mei. Condiția (1) este mult mai puțin restrictivă decât condiția (*). Exemplul 1. funcția nu satisface condiția ("), dar condiția (1) este îndeplinită pentru orice s> I și A /> I; rata de creștere 5o = Deci aceasta este funcția inițială. Pe de altă parte, funcția nu este o funcție originală: are o ordine infinită de creștere, „o = + oo. Cea mai simplă funcție originală este așa-numita funcție unitară.Dacă o funcție îndeplinește condițiile 1 și 3 din Definiția 1, dar nu satisface condiția 2, atunci produsul este deja o funcție originală. Pentru simplitatea notării, vom omite, de regulă, factorul rj (t), fiind de acord că toate funcțiile pe care le vom considera sunt egale cu zero pentru t negativ, deci dacă vorbim despre o funcție f (t), de exemplu, o sin ty cos t, el etc., atunci următoarele funcții sunt întotdeauna implicate (Fig. 2): n = n (0 Fig. 1 Definiție 2. Fie f (t) funcția originală. Imaginea a funcției f (t ) de Laplace este funcția F (p) a unei variabile complexe definite prin formula LAPLACE TRANSFORM Definiții de bază Proprietăți Convoluția funcțiilor Teorema înmulțirii Găsirea originalului din imagine Utilizarea teoremei de inversare pentru calculul operațional Formula lui Duhamel Integrare a sistemelor de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți Rezolvarea ecuațiilor integrale în care integrala este preluată pe semiaxa pozitivă t. Funcția F (p) se mai numește și transformata Laplace a funcției / (/); miezul transformării K (t) p) = e ~ pt. Faptul că funcția are imaginea sa F (p), vom scrie Exemplul 2. Aflați imaginea funcției unitare r) (t). Funcția este o funcție originală cu o rată de creștere de 0 - 0. În virtutea formulei (2), imaginea funcției rj (t) va fi funcția Dacă atunci pentru, integrala din partea dreaptă a ultima egalitate va converge și vom obține astfel că imaginea funcției rj (t) va fi funcția £. După cum am convenit, vom scrie că rj (t) = 1, iar apoi rezultatul obținut se va scrie astfel: Teorema 1. Pentru orice funcție originală f (t) cu exponent de creștere z0, imaginea F (p) este definită în semiplanul R ep = s > s0 şi este o funcţie analitică în acest semiplan (fig. 3). Fie Pentru a demonstra existența imaginii F (p) în semiplanul indicat, este suficient să stabilim că integrala improprie (2) converge absolut pentru a> Folosind (3), obținem care demonstrează convergența absolută a integrală (2). În același timp, am obținut o estimare pentru transformata Laplace F (p) în semiplanul de convergență Diferențiând expresia (2) formal sub semnul integral față de p, constatăm că existența integralei (5) este stabilită în același mod în care s-a stabilit existența integralei (2). Aplicând integrarea pe părți pentru F „(p), obținem o estimare care implică convergența absolută a integralei (5). (termenul neintegral, 0., - are limită zero pentru t + oo). integrala ( 5) converge uniform față de p, deoarece este majorat de o integrală convergentă independentă de p. În consecință, diferențierea față de p este legală și egalitatea (5) este valabilă. Deoarece derivata F "(p) există, Laplace transformarea F (p) peste tot în semiplan Rep = 5> 5® este o funcție analitică. Inegalitatea (4) implică Corolar. Dacă p subțire tinde spre infinit, astfel încât Re p = s crește la infinit, atunci Exemplul 3. Să găsim și imaginea funcției orice număr complex. Exponentul funcției f (() este egal cu a. > a, dar și în toate punctele p, cu excepția punctului p = a, unde această imagine are un pol simplu. În viitor, vom întâlni de mai multe ori o situație similară când imaginea F (p) este o funcție analitică în întregul plan al variabilei complexe p, pentru excluderea punctelor singulare izolate. Nu există nicio contradicție cu teorema 1. Acesta din urmă afirmă doar că în semiplanul Rep> «o funcția F (p) nu are puncte singulare: toate se dovedesc a fi situate fie în stânga dreptei Rep = așa, fie pe această dreaptă însăși. Observați că nu. În calculul operațional, se folosește uneori imaginea Heaviside a funcției f (f), care este definită prin egalitate și diferă de imaginea Laplace prin factorul p. §2. Proprietăţile transformării Laplace În cele ce urmează vom desemna funcţiile originale, iar prin - imaginile lor conform lui Laplace. £ biw dee sunt funcții continue) au aceeași imagine, atunci sunt identic egale. Teopewa 3 (n „yeyiost * transformând Laplace). Dacă funcțiile sunt originale, atunci pentru orice constante complexe ale aerului Validitatea enunțului decurge din proprietatea de liniaritate a integralei care determină imaginea:, sunt ratele de creștere ale funcțiilor, respectiv). Pe baza acestei proprietăți, obținem În mod similar, aflăm că și, în continuare, Teorema 4 (asemănări). Dacă f (t) este funcția originală și F (p) este imaginea ei Laplace, atunci pentru orice constantă a> 0 Punând la = m, avem Folosind această teoremă, din formulele (5) și (6) obținem Teorema 5 ( cu privire la diferențierea originalului). Fie funcția originală cu imaginea F (p) și fie - să fie și funcțiile originale, și unde este rata de creștere a funcției Atunci și în general Aici, ne referim la valoarea limită corectă Let. Să găsim imaginea Avem Integrarea pe părți, obținem Termenul neintegral din partea dreaptă a lui (10) dispare la k. Pentru Rc p = s> h avem substituția t = Odet - / (0 ). Al doilea termen din dreapta din (10) este egal cu pF (p). Astfel, relația (10) ia forma și se demonstrează formula (8). În special, dacă Pentru a găsi imaginea f (n \ t) scriem de unde, integrând de n ori pe părți, obținem Exemplul 4. Folosind teorema privind diferențierea originalului, găsim imaginea funcției f (t) = sin2 t. Fie Prin urmare, Teorema 5 stabilește o proprietate remarcabilă a transformării integrale Laplace: ea (ca și transformata Fourier) transformă operația de diferențiere într-o operație algebrică de înmulțire cu p. Formula de includere. Dacă sunt funcții originale, atunci Într-adevăr, în virtutea corolarului teoremei 1, fiecare imagine tinde spre zero ca. Prin urmare, de unde urmează formula de includere (Teorema 6 (cu privire la diferențierea imaginii). Diferențierea imaginii se reduce la înmulțire cu originalul, Deoarece funcția F (p) în semiplan este deci analitică, poate fi diferenţiat faţă de p. Avem că acesta din urmă înseamnă doar că Exemplul 5. Folosind teorema 6, găsiți imaginea funcției 4 După cum știți, prin urmare (aplicând din nou teorema 6, găsim, în general, teorema 7 (integrarea originalului). Integrarea originalului. se reduce la împărțirea imaginii cu aceea dacă există o funcție originală, atunci aceasta va fi, de altfel, o funcție originală.Fie.În virtutea astfel că Pe de altă parte, de unde F = Aceasta din urmă este echivalentă cu relația dovedită (13). ).Exemplu 6. Găsiți imaginea funcției M În acest caz, astfel încât Teorema 8 (integrarea imaginii) Dacă și integrala converge, atunci ea servește ca imagine a funcției ^: TRANSFORMĂ LAPLACE Definiții de bază Proprietăți Convoluția funcțiilor Teorema înmulțirii Găsirea originalului după imagine Folosirea teoremei de inversare pentru calculul operațional Formula lui Duhamel Integrarea sistemelor de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți Ecuații integrale de soluție Într-adevăr, presupunând că calea integrului se află pe semiplan deci, putem schimba ordinea de integrare Ultima egalitate înseamnă că este o imagine a unei funcții Exemplul 7. Găsiți o imagine a unei funcții M După cum se știe,. Prin urmare, din moment ce punem, obținem £ = 0, pentru. Prin urmare, relația (16) ia forma Exemplu. Găsiți imaginea funcției f (t), dată grafic (Fig. 5). Să scriem expresia funcției f (t) astfel: Această expresie poate fi obținută după cum urmează. Luați în considerare funcția și scădeți funcția din ea.Diferența va fi egală cu unu pentru. Adăugăm funcția la diferența rezultată, ca urmare, obținem funcția f (t) (Fig. 6c), astfel încât De aici, folosind teorema de întârziere, găsim Teorema 10 (deplasare). atunci pentru orice număr complex p0 Într-adevăr, teorema permite, din imaginile cunoscute ale funcțiilor, să se găsească imagini ale acelorași funcții înmulțite cu o funcție exponențială, de exemplu, 2.1. Convoluția funcțiilor. Teorema înmulțirii Fie definite funcțiile f (t) u și continue pentru tot t. Convoluția acestor funcții este o nouă funcție a lui t definită prin egalitate (dacă această integrală există). Pentru funcțiile originale, operația este întotdeauna restrânsă, iar (17) 4 Într-adevăr, produsul funcțiilor originale în funcție de m este o funcție finită, i.e. dispare în afara unui interval finit (în acest caz, în afara intervalului. Pentru funcțiile continue finite, operația de convoluție este satisfăcătoare și obținem formula Este ușor de verificat că operația de convoluție este comutativă, Teorema 11 (înmulțire). Dacă, atunci convoluția t) are o imagine Este ușor de verificat că convoluția (a funcțiilor inițiale este funcția originală cu indicele de creștere „unde, sunt indicii de creștere ai funcțiilor, respectiv. o astfel de operație este legală) iar aplicând teorema de întârziere, obținem Astfel, din (18) și (19) aflăm că înmulțirea imaginilor corespunde plierii originalelor, Prter 9. Aflați imaginea funcției A funcției V (0 este convoluția lui funcții.În virtutea teoremei înmulțirii Problemă.Fie f (t) o funcție periodică cu perioada T. Arătați că imaginea sa Laplace F (p) este dată de formula 3. Aflarea originalului din imagine Problema se pune după cum urmează : având în vedere funcția F (p), trebuie să găsim funcția / (<)>a cărui imagine este F (p). Să formulăm condiții suficiente pentru ca funcția F (p) a unei variabile complexe p să servească drept imagine. Teorema 12. Dacă o funcție F (p) 1) analitică în semiplan tinde astfel spre zero pentru în orice semiplan R s0 uniform în raport cu arg p; 2) integrala converge absolut, atunci F (p) este o imagine a unei funcții originale Problemă. Funcția F (p) = poate servi ca imagine a unei funcții originale? Iată câteva modalități de a găsi originalul din imagine. 3.1. Găsirea originalului folosind tabele de imagine În primul rând, merită să aducem funcția F (p) într-o formă mai simplă, „tabulară”. De exemplu, în cazul în care F (p) este o funcție rațională fracțională a argumentului p, acesta este descompus în fracții elementare și sunt utilizate proprietățile adecvate ale transformării Laplace. Exemplul 1. Găsiți originalul pentru Să scriem funcția F (p) sub forma Folosind teorema deplasării și proprietatea de liniaritate a transformării Laplace, obținem Exemplul 2. Aflați originalul pentru funcția 4 Să scriem F (p ) ca prin urmare 3.2. Utilizarea teoremei de inversare și a consecințelor acesteia Teorema 13 (inversiunea). Dacă funcția fit) este o funcție originală cu exponentul de creștere s0 și F (p) este imaginea acesteia, atunci în orice punct de continuitate al funcției f (t) relația este valabilă acolo unde integrala este luată de-a lungul oricărei drepte și este înțeleasă în sensul valorii principale, adică ca Formula (1) se numește formula de inversare a transformării Laplace sau formula lui Mellin. Într-adevăr, să presupunem, de exemplu, f (t) este netedă pe bucăți pe fiecare segment finit (\ displaystyle F (s) = \ varphi), asa de φ (z 1, z 2,…, z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analitic despre fiecare z k (\ displaystyle z_ (k))și este egal cu zero pentru z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ displaystyle z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), și F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ colon k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), atunci transformarea inversă există și transformarea directă corespunzătoare are abscisa de convergență absolută.

Notă: acestea sunt condiţii suficiente pentru existenţă.

• Teorema de convoluție

Articolul principal: Teorema de convoluție

• Diferențierea și integrarea originalului

Imaginea Laplace a primei derivate a originalului în raport cu argumentul este produsul imaginii prin argumentul acestuia din urmă minus originalul la zero din dreapta:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Teoreme ale valorii inițiale și finale (teoreme limită):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ la 0) sF (s)) dacă toţi polii funcţiei s F (s) (\ displaystyle sF (s)) sunt în semiplanul stâng.

Teorema valorii finite este foarte utilă deoarece descrie comportamentul originalului la infinit folosind o relație simplă. Acesta este, de exemplu, utilizat pentru a analiza stabilitatea traiectoriei unui sistem dinamic.

• Alte proprietăți

Linearitate:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Înmulțirea cu un număr:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ stânga ((\ frac (s) (a)) \ dreapta).)

Transformarea Laplace directă și inversă a unor funcții

Mai jos este un tabel al transformării Laplace pentru unele funcții.

№	Funcţie	Domeniul timpului x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displaystyle x (t) = (\ mathcal (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Domeniul de frecventa X (s) = L (x (t)) (\ displaystyle X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Regiunea de convergență pentru sisteme cauzale
1	întârziere perfectă	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1a	un singur impuls	δ (t) (\ displaystyle \ delta (t) \)	1 (\ stil de afișare 1 \)	∀ s (\ displaystyle \ forall s \)
2	lag n (\ displaystyle n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ displaystyle (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	potolit n (\ displaystyle n)-a comanda	t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n))) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.1	potolit q (\ stil de afișare q)-a comanda	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (q)) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.2	funcția de unitate	H (t) (\ displaystyle H (t) \)	1 s (\ displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	funcția de unitate de întârziere	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	Pas de viteza	t ⋅ H (t) (\ displaystyle t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2d	n (\ displaystyle n)-a ordine cu schimbare de frecvență	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n))) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha)
2d.1	decădere exponenţială	e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
3	aproximare exponenţială	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	sinusului	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	cosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	sinus hiperbolic	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
7	cosinus hiperbolic	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
8	decăderea exponențială sinusului	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
9	decăderea exponențială cosinus	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
10	rădăcină n (\ displaystyle n)-a comanda	t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ stânga (1 + (\ frac (1) (n)) ) \ dreapta))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	logaritmul natural	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ ln \ stânga ((\ frac (t) (t_ (0))) \ dreapta) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Funcția Bessel primul fel Ordin n (\ displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n)) \ stânga (s + (\ sqrt (s ^ (2)) + \ omega ^ (2)) ) )) \ dreapta) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ displaystyle (n> -1) \)
13	primul fel Ordin n (\ displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n)) \ stânga (s + (\ sqrt (s ^ (2)) - \ omega ^ (2)) ) )) \ dreapta) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Funcția Bessel al doilea fel ordinul zero	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2)) + \ alpha) ^ (2))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	funcția Bessel modificată al doilea fel, ordinul zero	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	funcția de eroare	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Note la tabel: H (t) (\ displaystyle H (t) \); α (\ stil de afișare \ alfa \), β (\ displaystyle \ beta \), τ (\ stil de afișare \ tau \)și ω (\ displaystyle \ omega \) - Relația cu alte transformări Conexiuni fundamentale Transformarea Mellin Transformarea Mellin și transformarea inversă Mellin sunt legate de transformarea Laplace cu două fețe printr-o simplă schimbare a variabilelor. Dacă în transformarea Mellin G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ displaystyle G (s) = (\ mathcal (M)) \ stânga \ (g (\ theta) \ dreapta \) = \ int \ limits _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) a pune θ = e - x (\ displaystyle \ theta = e ^ (- x)), apoi obținem o transformare Laplace cu două fețe. Transformarea Z Z (\ stil de afișare Z)-transformarea este transformata Laplace a unei funcții de rețea, produsă prin modificarea variabilelor: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) transformarea Borel Forma integrală a transformării Borel este identică cu transformarea Laplace, există și o transformată Borel generalizată, cu ajutorul căreia utilizarea transformării Laplace este extinsă la o clasă mai largă de funcții. Bibliografie Van der Pol B., Bremer H. Calcul operațional bazat pe transformarea Laplace cu două fețe. - M.: Editura de literatură străină, 1952. - 507 p. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Transformări integrale și calcul operațional. - M.: Ediția principală de literatură fizică și matematică a editurii „Nauka”, 1974. - 544 p. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I. Manual de calcul operațional: Fundamentele teoriei și tabelelor de formule. - M.: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1951. - 256 p. Carslow H., Jaeger D. Metode operaționale în matematică aplicată. - M.: Editura de literatură străină, 1948. - 294 p. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Serii Fourier și integrale. Teoria câmpului. Funcții analitice și speciale. Laplace se transformă. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 p. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Calcul operațional. Stabilitatea mișcării. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 p. Mikusinsky Y. Calcul operator. - M.: Editura de literatură străină, 1956. - 367 p. Romanovsky P.I. Seria Fourier. Teoria câmpului. Funcții analitice și speciale. Laplace se transformă. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 p.