Beta dağılımını düşünün, matematiksel beklentisini, varyansını ve modunu hesaplayın. MS EXCEL BETA.DIST() fonksiyonunu kullanarak dağılım fonksiyonunun ve olasılık yoğunluğunun grafiklerini çizeceğiz. Rastgele sayılar dizisi oluşturalım ve dağıtım parametrelerini değerlendirelim.
Beta dağıtımıBeta-
dağıtım)
2 parametreye bağlıdır: α ( alfa)> 0(dağılımın şeklini belirler) ve B (beta)> 0(ölçeği belirler).
Diğer birçok sürekli dağılımdan farklı olarak, rastgele bir değişkenin varyasyon aralığı, Beta dağıtımı, segment ile sınırlıdır. Bu segmentin dışında dağıtım yoğunluğu 0'a eşittir. Bu bölümün sınırları probleme bağlı olarak araştırmacı tarafından belirlenir. A = 0 ve B = 1 ise, o zaman böyle Beta dağıtımı standart denir.
Beta dağıtımı atama var Beta(Alfa beta).
Not: Eğer parametreler alfa ve beta= 1, o zaman Beta dağıtımı dönüşür, yani Beta (1; 1; A; B) = U (A; B).
Genel olarak dağıtım işlevi temel işlevlerde ifade edilemez, bu nedenle örneğin MS EXCEL BETA.DIST () işlevi kullanılarak sayısal yöntemlerle hesaplanır.
Not: Dağıtım parametreleri için örnek dosyada formül yazma kolaylığı için alfa ve beta uygun.
Örnek dosya ayrıca grafikler içerir olasılık yoğunluğu ve dağıtım fonksiyonları işaretli değerlerle orta, ve .
Rastgele sayı üretimi ve parametre tahmini
kullanma ters dağılım fonksiyonu(veya nicel değerler ( P-
çeyreklik),
bkz) sahip olan rastgele bir değişkenin değerlerini üretebilirsiniz. Beta dağıtımı... Bunu yapmak için formülü kullanmanız gerekir:
BETA.OBR (RAND (); alfa; beta; A; B)
TAVSİYE: Çünkü RAND () işlevi kullanılarak rastgele sayılar oluşturulur, ardından tuşuna basılarak F9, her seferinde yeni bir örnek ve buna bağlı olarak parametrelerin yeni bir tahminini elde etmek mümkündür.
RAND () işlevi, olasılığın varyasyon aralığına tam olarak karşılık gelen 0'dan 1'e kadar üretir (bkz. örnek dosya sayfası Üretimi).
Şimdi, verilen dağıtım parametreleriyle oluşturulan bir rasgele sayı dizisine sahip olmak alfa ve beta(200 olsun), dağılım parametrelerini tahmin edelim.
parametre tahmini alfa ve beta ile yapılabilir anlar yöntemi(A ve B parametrelerinin bilindiği varsayılır):
Bu makalenin doğru bağlantısı:
Oleinikova S.A. - Beta yasasına göre dağıtılan rastgele değişkenlerin toplamının dağıtım yasasının yaklaşıklığı // Sibernetik ve programlama. - 2015. - No. 6. - S. 35 - 54. DOI: 10.7256 / 2306-4196.2015.6.17225 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=17225
Beta yasasına göre dağıtılan rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yasasının yaklaşıklığı
| Oleinikova Svetlana Aleksandrovna Teknik Bilimler Doktoru Doçent, Voronej Devlet Teknik Üniversitesi 394026, Rusya, Voronej, Moskovsky umudu, 14 Oleinikova Svetlana Aleksandrovna Teknik Bilim Doktoru Doçent, Otomatik ve Hesaplama Sistemleri Bölümü, Voronezh Devlet Teknik Üniversitesi 394026, Rusya, g. Voronej, Moskovskii prospekt, 14 Makalenin editöre gönderilme tarihi: 14-12-2015
Makalenin gözden geçirilme tarihi: 15-12-2015
Dipnot. Bu çalışmada araştırmanın konusu, her biri kendi parametreleri ile kendi aralığında dağılmış sonlu sayıda beta değerlerinin toplamı olan bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğudur. Bu yasa, olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerde yaygındır, çünkü karşılık gelen sürekli rastgele değişkenin değerleri belirli bir aralıkta yoğunlaşırsa, yeterince fazla sayıda rastgele olayı tanımlamak için kullanılabilir. Aranan beta değerleri toplamı bilinen hiçbir kanunla ifade edilemediği için dağılım yoğunluğunun tahmin edilmesi sorunu ortaya çıkmaktadır. Çalışmanın amacı, en küçük hatada farklılık gösterecek olan beta değerlerinin toplamının dağılım yoğunluğu için böyle bir yaklaşıklık bulmaktır. Bu amaca ulaşmak için, belirli bir sayıda beta değeri için dağılım yoğunluğunun sayısal değerinin istenen yoğunluğun yaklaşık değeri ile karşılaştırıldığı bir hesaplama deneyi yapıldı. Yaklaşık değerler olarak normal ve beta dağılımları kullanıldı. Deneysel analiz sonucunda, aranan dağılım yasasına beta yasası ile yaklaşmanın uygun olduğunu gösteren sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların uygulama alanlarından biri olarak, proje yürütme süresinin tahmininin kilit rolü oynadığı, rastgele bir süreye sahip proje yönetimi sorunu göz önünde bulundurulur ve konu alanının özellikleri nedeniyle, beta değerlerinin toplamı kullanılarak tanımlanabilir.
Anahtar Kelimeler:
rastgele değişken, beta dağılımı, dağılım yoğunluğu, normal dağılım yasası, rastgele değişkenlerin toplamı, hesaplamalı deney, özyinelemeli algoritma, yaklaşıklık, hata, PERT
10.7256/2306-4196.2015.6.17225
Basım tarihi: 19-01-2016
Soyut. Bu makaledeki araştırmanın konusu, sonlu sayıda beta değerlerinin toplamı olan rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonudur (PDF). Bu yasa, olasılık ve matematiksel istatistik teorisinde yaygındır, çünkü karşılık gelen sürekli rastgele değişkenin değeri belirli bir aralıkta yoğunlaşırsa, kullanımı yeterince fazla sayıda rastgele olayla tanımlanabilir. Gerekli beta değerleri toplamı bilinen hiçbir kanunla ifade edilemediğinden yoğunluk dağılımını tahmin etme sorunu vardır. Amaç, en az hataya sahip olacak beta değerlerinin toplamının PDF'si için böyle bir yaklaşımı bulmaktır. Bu hedefe ulaşmak için, belirli sayıda beta değeri için PDF'nin sayısal değerinin istenen yoğunluğun yaklaşıklığı ile karşılaştırıldığı hesaplama deneyi yapıldı. Yaklaşımlar olarak normal ve beta dağılımları kullanıldı. Deneysel analiz sonucunda, beta dağılımı yardımıyla istenilen yasaya yakınlığın uygunluğunu gösteren sonuçlar elde edilmiştir. Sonuçların uygulama alanlarından biri olarak, işlerin rastgele süreleriyle proje yönetimi sorunu ele alınmaktadır. Burada kilit konu, belirli konu alanı nedeniyle beta değerlerinin toplamı ile tanımlanabilen proje uygulama süresinin değerlendirilmesidir.
Anahtar Kelimeler: Rastgele değer, beta dağılımı, yoğunluk fonksiyonu, normal dağılım, rastgele değişkenlerin toplamı, hesaplamalı deney, özyinelemeli algoritma, yaklaşıklık, hata, PERT Tanıtım Beta değerlerinin toplamının dağılım yasasını tahmin etme sorunu ele alınmaktadır. Bu, sürekli bir dağılım yasasıyla çoğu rastgele olayı tanımlamak için kullanılabilen evrensel bir yasadır. Özellikle, belirli bir değer aralığında yer alan tek modlu sürekli rastgele değişkenler tarafından tanımlanabilen rastgele fenomenlerin araştırılması vakalarının ezici çoğunluğunda, böyle bir değer beta yasası ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. Bu bağlamda, beta değerlerinin toplamı için dağıtım yasasını bulma sorunu yalnızca doğada bilimsel değil, aynı zamanda belirli bir pratik ilgi alanıdır. Ayrıca, çoğu dağıtım yasasının aksine, beta yasası, istenen miktarın analitik olarak tanımlanmasına izin veren benzersiz özelliklere sahip değildir. Ayrıca, bu yasanın özgüllüğü öyledir ki, rastgele değişkenlerin toplamının yoğunluğunu belirlemek için gerekli olan çok belirli bir integrali çıkarmak son derece zordur ve sonuç, n = 2 için bile oldukça hantal bir ifadedir ve bir artış ile. terim sayısında, son ifadenin karmaşıklığı birçok kez artar. Bu bağlamda, beta değerlerinin toplamının dağılım yoğunluğunun minimum hata ile yaklaştırılması sorunu ortaya çıkmaktadır.
Bu makale, her bir özel durumun, en uygun yasalar olan normal ve beta kullanarak ilgi yoğunluğunu tahmin ederek elde edilen hatayı karşılaştırmasına izin veren bir hesaplama deneyi aracılığıyla istenen yasa için bir yaklaşım bulmaya yönelik bir yaklaşım sunmaktadır. Sonuç olarak, beta dağılımı kullanılarak beta değerlerinin toplamının tahmin edilmesinin tavsiye edilebilir olduğu sonucuna varılmıştır. 1. Sorunun ifadesi ve özellikleri Genel olarak, beta yasası, aralıkta belirtilen yoğunluk tarafından aşağıdaki gibi belirlenir:
`f_ (xi_ (i)) (x) = ((0,; t<0), ((t^(p_(i)-1)(1-t)^(q_(i)-1))/(B(p_(i),q_(i))(b_(i)-a_(i))^(p_(i)+q_(i)-1)), ; 0<=t<=1;),(0, ; t>1):} (1)`
Bununla birlikte, pratik ilgi, kural olarak, keyfi bir aralıkta belirlenen beta değerleridir. Bunun başlıca nedeni, bu davadaki pratik problemlerin çok daha geniş olmasıdır ve ikincisi, daha genel bir dava için bir çözüm bulunurken, belirli bir dava için bir sonuç elde etmek mümkün olmayacaktır. rastgele bir değişken (1) tarafından belirlenebilir, zorluk yok. Bu nedenle, aşağıda rastgele bir aralıkta tanımlanan rastgele değişkenleri ele alacağız. Bu durumda problem şu şekilde formüle edilebilir.
Rastgele değişkenlerin `xi_(i),` toplamı olan bir rastgele değişkenin dağılım yasasını tahmin etme problemini ele alıyoruz. i = 1, ..., n, her biri pi ve q i parametreleri ile aralıkta beta yasasına göre dağıtılır. Bireysel terimlerin dağılım yoğunluğu aşağıdaki formülle belirlenir:
Beta değerlerinin toplamı yasasını bulma sorunu daha önce kısmen çözüldü. Özellikle, her biri (1) kullanılarak belirlenen iki beta değerinin toplamını tahmin etmek için formüller elde edildi. Dağılım kanunu (2) ile iki rastgele değişkenin toplamının aranması için önerilen yaklaşımda.
Ancak, genel durumda, orijinal sorun çözülmedi. Bu öncelikle, rastgele değişkenlerin toplamından yoğunluğu bulmak için kompakt ve uygun formüller elde etmeye izin vermeyen formül (2)'nin özgüllüğünden kaynaklanmaktadır. Nitekim iki miktar için "xi_1" ve "xi_2" gerekli yoğunluk aşağıdaki gibi belirlenecektir:
`f_ (eta) (z) = int_-prop ^ propf_ (xi_1) (x) f_ (xi_2) (z-x) dx (3)`
n tane rastgele değişkenin eklenmesi durumunda, çoklu bir integral elde edilir. Aynı zamanda, bu sorun için beta dağıtımının özellikleriyle ilgili zorluklar vardır. Özellikle, n = 2 için bile, formül (3)'ün kullanımı, hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden tanımlanan oldukça hantal bir sonuca yol açar. Halihazırda n = 3 ve üzerinde yapılması gereken elde edilen yoğunluğun integralini yeniden almak son derece zordur. Aynı zamanda, böyle karmaşık bir ifadeyi yuvarlarken ve hesaplarken kaçınılmaz olarak ortaya çıkacak hatalar hariç tutulmaz. Bu bağlamda, iyi bilinen formülleri minimum hata ile uygulamayı mümkün kılan formül (3) için bir yaklaşım aramak gerekli hale gelir.
2. Beta değerlerinin toplamının yoğunluğunu tahmin etmek için hesaplamalı deney İstenen dağılım yoğunluğunun özelliklerini analiz etmek için, önceden belirlenmiş sayıda rastgele değişkenin belirli parametrelerle bir beta dağılımı ile toplamı olan bir rastgele değişken hakkında istatistiksel bilgi toplamaya izin veren bir deney yapıldı. Deney düzeneği, bölümünde daha ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Yapılan çok sayıda deney sonucunda bireysel beta değerlerinin parametrelerini ve sayılarını değiştirerek aşağıdaki sonuçlara vardık.
1. Toplama dahil edilen bireysel rastgele değişkenler simetrik yoğunluğa sahipse, son dağılımın histogramı normale yakın bir forma sahiptir. Ayrıca, nihai değerin sayısal özelliklerini (matematiksel beklenti, varyans, asimetri ve basıklık) değerlendirmenin normal yasasına da yakındırlar.
2. Bireysel rastgele değişkenler asimetrikse (hem pozitif hem de negatif asimetrilerle), ancak toplam asimetri 0 ise, grafiksel gösterim ve sayısal özellikler açısından, elde edilen dağılım yasası da normale yakındır.
3. Diğer durumlarda aranan yasa görsel olarak beta yasasına yakındır. Özellikle, beş asimetrik rastgele değişkenin toplamı Şekil 1'de gösterilmektedir.
Şekil 1 - Eşit derecede asimetrik beş rastgele değişkenin toplamı
Böylece, yapılan deneye dayanarak, beta değerlerinin toplamının yoğunluğunun normal veya beta dağılımı ile olası bir yaklaşımı hakkında bir hipotez ortaya koymak mümkündür.
Bu hipotezi doğrulamak ve yaklaşıklık için tek yasayı seçmek için aşağıdaki deneyi yapacağız. Beta dağılımına sahip rastgele değişkenlerin sayısını ve parametrelerini verdikten sonra, gerekli yoğunluğun sayısal değerini buluyor ve karşılık gelen normal veya beta dağılımının yoğunluğu ile karşılaştırıyoruz. Bu şunları gerektirecektir:
1) beta değerlerinin toplamının yoğunluğunu sayısal olarak tahmin etmenizi sağlayan bir algoritma geliştirmek;
2) verilen parametreler ve başlangıç değerlerinin sayısı ile normal veya beta dağılımı varsayımı altında nihai dağılımın parametrelerini belirleyin;
3) normal dağılım veya beta dağılımı ile yaklaşıklık hatasını belirleyin.
Bu görevleri daha ayrıntılı olarak ele alalım. Beta değerlerinin toplamının yoğunluğunu bulmak için sayısal bir algoritma özyinelemeyi temel alır. n rastgele rastgele değişkenin toplamı aşağıdaki gibi belirlenebilir:
`eta_ (n) = xi_ (1) + ... + xi_ (n) = eta_ (n-1) + xi_ (n)` , (4)
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1)` . (5)
Benzer şekilde, "eta_ (n-1)" rastgele değişkeninin dağılım yoğunluğunu da tanımlayabilirsiniz:
`eta_ (n-1) = xi_ (1) + ... + xi_ (n-1) = eta_ (n-2) + xi_ (n-1)` , (6)
Benzer akıl yürütmeye devam ederek ve formül (3)'ü kullanarak şunları elde ederiz:
`f_ (eta_ (n)) (x) = int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-1)) (x-x_ (n-1)) * int_-prop ^ prop (f_ (xi_ (n-) 2)) (x_ (n-1) -x_ (n-2))) ... int_-prop ^ propf_ (xi_ (2)) (x_ (2) -x_ (1)) dx_ (1) ... ) dx_ (n-2)) dx_ (n-1). (7) `
Bu hususlar ve ayrıca bir beta dağılımına sahip miktarlar için yoğunluğu belirleme özellikleri, bölümünde daha ayrıntılı olarak verilmektedir.
Nihai dağılım yasasının parametreleri, rastgele değişkenlerin bağımsızlığı varsayımına dayalı olarak belirlenir. Bu durumda, toplamlarının matematiksel beklentisi ve varyansı aşağıdaki formüllerle belirlenecektir:
`Meta_ (n) = Mxi_ (1) + ... + Mxi_ (n), (8)`
Normal yasa için, a ve 'sigma' parametreleri doğrudan formül (8) ve (9) ile belirlenecektir. Beta dağıtımı için öncelikle alt ve üst sınırları hesaplamanız gerekir. Aşağıdaki gibi tanımlanabilirler:` `
`a = toplam_ (i = 1) ^ na_ (i)`; (on)
,,, b = toplam_ (i = 1) ^ nb_ (i) `. (on bir)
Burada a i ve b ben bireysel terimlerin aralıklarının sınırlarıdır. Daha sonra, beta değerinin matematiksel beklentisi ve varyansı için formüller içeren bir denklem sistemi oluşturacağız:
`((Mxi = a + (ba) p / (p + q))), (Dxi = (ba) ^ (2) (pq) / ((p + q) ^ 2 (p + q + 1))) : ) (12)`
Burada "xi" gerekli toplamı tanımlayan rastgele bir değişkendir. Matematiksel beklentisi ve varyansı formüller (8) ve (9) ile belirlenir; a ve b parametreleri formül (10) ve (11) ile verilir. (12) sistemini p ve q parametrelerine göre çözdükten sonra:
`p = ((b-Mxi) (Mxi-a) ^ 2-Dxi (Mxi-a)) / (Dxi (b-a))` . (13)
`q = ((b-Mxi) ^ 2 (Mxi-a) -Dxi (b-Mxi)) / (Dxi (b-a))` . (14)
`E = int_a ^ b | hatf (x) -f_ (eta) (x) | dx. (15) `
Burada "hatf (x)", beta değerlerinin toplamının bir tahminidir; `f_ (eta) (x)` - beta değerlerinin toplamının dağılım yasası.
Hataları tahmin etmek için bireysel beta değerlerinin parametrelerini sırayla değiştireceğiz. Özellikle, aşağıdaki sorular ilgi çekici olacaktır:
1) beta değerlerinin toplamının normal dağılıma ne kadar hızlı yakınsadığı ve toplamı, beta değerlerinin toplamının gerçek dağılım yasasına göre minimum hataya sahip olacak başka bir yasa ile tahmin etmek mümkün müdür;
2) beta değerlerinin asimetrisindeki bir artışla hatanın ne kadar arttığı;
3) Beta değerlerinin dağılım aralıkları farklı yapılırsa hatanın nasıl değişeceği.
Beta değerlerinin her bir bireysel değeri için deney algoritmasının genel şeması aşağıdaki gibi gösterilebilir (Şekil 2).
Şekil 2 - Deney algoritmasının genel şeması
PogBeta - aralıktaki beta dağılımı ile nihai yasanın yaklaşıklığından kaynaklanan hata;
PogNorm - aralıktaki normal dağılımla nihai yasanın yaklaşıklığından kaynaklanan hata;
ItogBeta - beta yasası ile nihai dağılımın yaklaşıklığından kaynaklanan hatanın nihai değeri;
ItogNorm - normal yasa ile nihai dağılımın yaklaşıklığından kaynaklanan hatanın toplam değeri. 3. Deneysel sonuçlar Daha önce açıklanan deneyin sonuçlarını analiz edelim.
Terim sayısındaki artışla hataların azalmasının dinamiği Şekil 3'te gösterilmiştir. Apsis terim sayısını, ordinat ise hatanın büyüklüğünü gösterir. Bundan sonra, "Norm" serisi, normal dağılım, "Beta" serisi - beta - dağılımı ile hatadaki değişimi gösterir.
Figür 3 - Terim sayısı azaltılarak hataların azaltılması
Bu şekilden görülebileceği gibi, iki terim için, beta yasasına göre yaklaşıklık hatası, normal dağılım yasasına göre yaklaşık 4 kat daha düşüktür. Açıktır ki, terimler arttıkça normal yasanın yaklaşıklık hatası beta yasasından çok daha hızlı azalır. Ayrıca, çok sayıda terim için, normal yasaya göre yaklaşımın, beta dağılımına göre olandan daha küçük bir hataya sahip olacağı varsayılabilir. Ancak bu durumda hatanın büyüklüğü dikkate alındığında, terim sayısı açısından beta dağılımının tercih edilebilir olduğu sonucuna varılabilir.
Şekil 4, rastgele değişkenlerin asimetrisindeki artışla birlikte hatalardaki değişikliklerin dinamiklerini göstermektedir. Genellik kaybı olmadan, tüm ilk beta değerlerinin p parametresi 2 değeriyle sabitlendi ve q + 1 parametresindeki değişimin dinamikleri apsis ekseninde gösterildi. Grafiklerdeki ordinat ekseni yaklaşıklık hatasını gösterir. Parametrelerin diğer değerleriyle deneyin sonuçları genellikle benzerdir.
Bu durumda, beta değerlerinin toplamına bir beta dağılımı ile yaklaşmanın tercih edilebilir olduğu da açıktır.
Şekil 4 - Miktarların artan asimetrisi ile yaklaşım hatalarında değişiklik
Ardından, ilk beta değerlerinin aralığını değiştirirken hatalardaki değişikliği analiz ettik. Şekil 5, üçü aralığa dağılmış dört beta değerinin toplamı için hatanın ölçülmesinin sonuçlarını gösterir ve dördüncünün aralığı sırayla artar (apsis üzerinde çizilir).
Şekil 5 - Rastgele değişkenlerin dağılım aralıklarını değiştirirken hatalardaki değişiklik
Şekil 3-5'te gösterilen grafik çizimlere dayanarak ve deney sonucunda elde edilen veriler dikkate alındığında, beta değerlerinin toplamını yaklaşık olarak tahmin etmek için beta dağılımının kullanılmasının tavsiye edildiği sonucuna varılabilir.
Elde edilen sonuçların gösterdiği gibi, vakaların %98'inde, beta yasası ile araştırılan değere yaklaşma hatası, normal dağılıma yaklaşma hatasından daha düşük olacaktır. Beta yaklaşım hatasının ortalama değeri, öncelikle her terimin dağıtıldığı aralıkların genişliğine bağlı olacaktır. Bu durumda, bu tahmin (normal yasanın aksine) terim sayısına olduğu kadar rastgele değişkenlerin simetrisine de çok az bağlıdır. 4. Uygulamalar Elde edilen sonuçların uygulama alanlarından biri de proje yönetimi görevidir. Proje, rasgele hizmet süresine sahip, karşılıklı olarak bağımlı seri-paralel işler kümesidir. Bu durumda projenin süresi rastgele bir değer olacaktır. Açıkçası, bu miktarın dağıtım yasasının değerlendirilmesi, yalnızca planlama aşamalarında değil, aynı zamanda tüm işlerin zamansız tamamlanmasıyla ilgili olası durumların analizinde de ilgi çekicidir. Proje gecikmesinin para cezaları da dahil olmak üzere çok çeşitli olumsuz durumlara yol açabileceği gerçeği göz önüne alındığında, proje süresini tanımlayan bir rastgele değişkenin dağılım yasasının tahmin edilmesi son derece önemli bir pratik görev gibi görünmektedir.
Şu anda bu değerlendirme için PERT yöntemi kullanılmaktadır. Varsayımlarına göre, projenin süresi, parametreleri olan normal dağılımlı bir rastgele değişken "eta"dır:
`a = toplam_ (i = 1) ^ k Meta_ (i)`, (16)
`sigma = sqrt (toplam_ (i = 1) ^ k D eta_ (i))` . (17)
Burada k, projenin kritik yolundaki iş sayısıdır; 'eta_ (1)', ..., 'eta_ (k)' - bu çalışmaların süresi.
Elde edilen sonuçları dikkate alarak PERT yönteminin düzeltmesini ele alalım. Bu durumda proje süresinin (13) ve (14) parametreleri ile beta yasasına göre dağıtıldığını varsayacağız.
Elde edilen sonuçları pratikte deneyelim. Şekil 6'da gösterilen ağ şeması ile tanımlanan bir proje düşünün.
Şekil 6 - Ağ diyagramı örneği
Burada grafiğin kenarları işleri, kenarların ağırlıkları işlerin sayısını; karelerdeki köşeler - işin başlangıcını veya sonunu belirten olaylar. Eserler Tablo 1'de verilen sürelere göre verilsin.
Tablo 1 - Proje çalışmalarının zaman özellikleri
| Çalışma numarası |
dk |
maksimum |
Mat. yanında olmak |
| 1
|
5
|
10
|
9
|
| 2
|
3
|
6
|
4
|
| 3
|
6
|
8
|
7
|
| 4
|
4
|
7
|
6
|
| 5
|
4
|
7
|
7
|
| 6
|
2
|
5
|
3
|
| 7
|
4
|
8
|
6
|
| 8
|
4
|
6
|
5
|
| 9
|
6
|
8
|
7
|
| 10
|
2
|
6
|
4
|
| 11
|
9
|
13
|
12
|
| 12
|
2
|
6
|
3
|
| 13
|
5
|
7
|
6
|
Yukarıdaki tabloda min, bu işin tamamlanabileceği en kısa süredir; max - en uzun süre; Mat. yanında olmak belirli bir işi tamamlamak için beklenen süreyi gösteren beta dağılımının matematiksel beklentisidir.
Özel olarak geliştirilmiş bir simülasyon modelleme sistemi kullanarak proje yürütme sürecini simüle edeceğiz. Daha ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Çıktı olarak şunları almanız gerekir:
Proje histogramları;
Simülasyon sisteminin istatistiksel verilerine dayalı olarak belirli bir aralıkta proje yürütme olasılıklarının değerlendirilmesi;
Normal ve beta dağılımları kullanarak olasılıkların tahmini.
10.000 kez proje uygulamasının simülasyonu sırasında, histogramı Şekil 7'de gösterilen hizmet süresinin bir örneği elde edildi.
Şekil 7 - Proje süresi histogramı
Şekil 7'de gösterilen histogramın görünümünün, normal dağılım yasasının yoğunluk grafiğinden farklı olduğu açıktır.
Son matematiksel beklentiyi ve varyansı bulmak için (8) ve (9) formüllerini kullanacağız. Alırız:
`M eta = 27; D eta = 1.3889.`
Belirli bir aralığa çarpma olasılığı, iyi bilinen formül kullanılarak hesaplanacaktır:
`P (l (18)
burada "f_ (eta) (x)", rastgele değişken "eta"nın dağılım yasasıdır, ben ve r- ilgi aralığının sınırları.
Son beta dağılımı için parametreleri hesaplayalım. Bunun için formüller (13) ve (14) kullanıyoruz. Alırız:
p = 13.83; q = 4.61.
Beta dağılımının sınırları, formüller (10) ve (11) ile belirlenir. sahip olacak:
Çalışmanın sonuçları Tablo 2'de verilmiştir. Genelliği kaybetmeden model çalıştırma sayısını 10000 olarak seçelim. "İstatistikler" sütununda istatistiksel verilere dayalı olarak elde edilen olasılık hesaplanır. "Normal" sütunu, şu anda sorunu çözmek için kullanılan normal dağılım yasasına göre hesaplanan olasılığı gösterir. Beta sütunu, beta dağılımından hesaplanan olasılık değerini içerir.
Tablo 2 - Olasılıksal tahminlerin sonuçları
Tablo 2'de sunulan sonuçlara ve diğer projelerin gerçekleştirilme sürecinin modellenmesi sırasında elde edilen benzer sonuçlara dayanarak, elde edilen tahminlerin beta ile rastgele değişkenlerin (2) toplamının yaklaşıklığına ilişkin olduğu sonucuna varılabilir. dağıtım, mevcut muadillerine kıyasla bu soruna daha doğru bir çözüm elde etmeyi mümkün kılar. Bu çalışmanın amacı, diğer analoglara kıyasla en küçük hatada farklılık gösterecek olan beta değerlerinin toplamının dağıtım yasasının böyle bir yaklaşımını bulmaktı. Aşağıdaki sonuçlar elde edildi.
1. Deneysel olarak, beta dağılımını kullanarak beta değerlerinin toplamına yaklaşma olasılığı hakkında bir hipotez ortaya atıldı.
2. İstenen yoğunluğa normal dağılım yasası ve beta yasası ile yaklaşılmasından kaynaklanan hatanın sayısal değerinin elde edilmesini sağlayan bir yazılım aracı geliştirilmiştir. Bu program, daha ayrıntılı olarak açıklanan belirli bir yoğunluğa sahip beta değerlerinin toplamının yoğunluğunu sayısal olarak belirlemenizi sağlayan özyinelemeli bir algoritmaya dayanmaktadır.
3. Amacı, çeşitli koşullarda hataların karşılaştırmalı analiziyle en iyi yaklaşımı belirlemek olan bir hesaplama deneyi kuruldu. Deneysel sonuçlar, beta değerlerinin toplamının dağılım yoğunluğunun en iyi tahmini olarak beta dağılımını kullanmanın uygulanabilirliğini göstermiştir.
4. Elde edilen sonuçların pratik öneme sahip olduğu bir örnek sunulmuştur. Bunlar, bireysel işler için rastgele yürütme sürelerine sahip proje yönetimi görevleridir. Bu tür görevler için önemli bir sorun, projenin geç tamamlanmasıyla ilgili risklerin değerlendirilmesidir. Elde edilen sonuçlar, istenen olasılıkların daha doğru tahminlerini elde etmeyi ve sonuç olarak planlamadaki hata olasılığını azaltmayı mümkün kılar.
bibliyografya
|
|
Sen köle değilsin!
Seçkin çocuklar için kapalı eğitim kursu: "Dünyanın gerçek düzeni."
http://noslave.org
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Beta dağıtımı
olasılık yoğunluğu
Beta dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu |
Dağıtım işlevi
Beta dağıtımı için kümülatif dağılım işlevi |
| atama
|
texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Metin (Be) (\ alpha, \ beta)
|
| Seçenekler
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Matematik / BENİOKU - ayar referansına bakın.): \ Alfa> 0
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Yapılandırma yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Beta> 0
|
| Taşıyıcı
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Yapılandırma yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): X \ in
|
| olasılık yoğunluğu
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Frac (x ^ (\ alpha-1) (1-x) ^ (\ beta-1)) (\ mathrm (B) (\ alpha, \ beta))
|
| Dağıtım işlevi
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Yapılandırma yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): I_x (\ alpha, \ beta)
|
| Beklenen değer
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Ayar yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Frac (\ alpha) (\ alpha + \ beta)
|
| Medyan
|
|
| Moda
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Ayar yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Frac (\ alpha-1) (\ alpha + \ beta-2) için İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Ayar yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Alpha> 1, \ beta> 1
|
| Dağılım
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Frac (\ alpha \ beta) ((\ alpha + \ beta) ^ 2 (\ alpha + \ beta + 1))
|
| asimetri katsayısı
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): \ Frac (2 \, (\ beta- \ alpha) \ sqrt (\ alpha + \ beta + 1)) ((\ alpha + \ beta + 2) \ sqrt (\ alpha) \ beta))
|
| basıklık katsayısı
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik / BENİOKUYUN bölümüne bakın.): 6 \, \ frac (\ alpha ^ 3- \ alpha ^ 2 (2 \ beta-1) + \ beta ^ 2 (\ beta + 1) -2 \ alpha \ beta ( \ beta + 2)) (\ alpha \ beta (\ alpha + \ beta + 2) (\ alpha + \ beta + 3))
|
| diferansiyel entropi
|
|
| Momentlerin üretme işlevi
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): 1 + \ sum_ (k = 1) ^ (\ infty) \ left (\ prod_ (r = 0) ^ (k-1) \ frac (\ alpha + r) (\ alfa + \ beta + r) \ sağ) \ frak (t ^ k) (k
!}
|
| karakteristik fonksiyon
|
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik / BENİOKU'ya bakın.): () _1F_1 (\ alpha; \ alpha + \ beta; i \, t)
|
Beta dağıtımı olasılık teorisi ve istatistikte, kesinlikle sürekli dağılımların iki parametreli bir ailesi. Değerleri sonlu bir aralıkla sınırlı olan rastgele değişkenleri tanımlamak için kullanılır.
Tanım
|
| 90 piksel |
Olasılık dağılımları |
|---|
| Tek boyutlu |
Çok boyutlu |
|---|
| Ayrık:
|
Bernoulli | Binom | Geometrik | hipergeometrik | Logaritmik | Negatif binom | zehir | ayrık üniforma |
çok terimli |
|---|
| Kesinlikle sürekli:
|
Beta| Weibulla | Gama | Hiperüssel | Gompertz Dağıtım | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormal | | | kopula |
|---|
Beta dağıtımını karakterize eden bir alıntı
Gözlerimde yaşlar parladı ... Ve bundan hiç utanmadım. Onlardan biriyle canlı tanışmak için çok şey verirdim!.. Özellikle Magdalena. Büyülü krallığını yarattığında bu muhteşem kadının ruhunda hangi harika, eski Büyü yandı?! Bilgi ve Anlayışın hüküm sürdüğü ve omurgasının Sevgi olduğu krallık. "Kutsal" kilisenin haykırdığı, bu harika sözü artık duymak istemediğim noktaya kadar yıpranmış olan aşk değil, o güzel ve saf, gerçek ve cesur, tek ve şaşırtıcı SEVGİ. güçlerin doğduğu isim ... ve eski savaşçıların adıyla savaşa koştuğu ... adıyla yeni bir hayatın doğduğu ... dünyamızın adı değişti ve daha iyi hale geldi ... Bu Aşk, Altın Meryem. Ve bu Meryem'in önünde eğilmek istiyorum... Taşıdığı her şey için, saf, parlak YAŞAMI için, cesareti ve cesareti için ve Sevgi için.
Ama ne yazık ki, bunu yapmak imkansızdı ... Yüzyıllar önce yaşadı. Ve onu tanıyan kişi ben olamazdım. İnanılmaz derecede derin, hafif bir hüzün aniden başımı süpürdü ve acı gözyaşları döküldü ...
- Nesin sen dostum!.. Başka acılar seni bekliyor! - Sever şaşkınlıkla bağırdı. - Lütfen sakin ol ...
Yavaşça elime dokundu ve yavaş yavaş hüzün kayboldu. Hafif ve pahalı bir şey kaybetmişim gibi sadece acılık kaldı ...
- Rahatlayamazsın... Savaş seni bekliyor Isidora.
- Söyle bana Sever, Catharların öğretisine Magdalene yüzünden Aşk Öğretisi mi deniyordu?
- Burada pek haklı değilsin, Isidora. Deneyimsizler ona Sevginin Öğretisi adını verdiler. Anlayanlar için tamamen farklı bir anlam taşıyordu. Kelimelerin sesini dinle, Isidora: Fransızca seslerde aşk - amor - değil mi? Ve şimdi "a" harfini ondan ayırarak bu kelimeyi soyun ... A'mor (a "mort) - ölüm olmadan ... Bu, Magdalene'nin öğretilerinin gerçek anlamı - Ölümsüzlerin Öğretisi Size daha önce de söylediğim gibi - her şey basitçe, Isidora, eğer sadece doğru bir şekilde bakıp dinlemek için ... Pekala, ve duymayanlar için - Bırakın Sevginin Öğretisi olarak kalsın ... o da güzel.
Tamamen şaşkın bir şekilde durdum. Ölümsüzlerin Öğretisi! .. Daariya ... Peki, Radomir ve Magdalene'in öğretisi neydi! .. Kuzey beni birçok kez şaşırttı, ama daha önce hiç bu kadar şok olmamıştım! .. Katarların Öğretisi beni cezbetti. onun güçlü, büyülü gücü ve bunu daha önce Kuzey'le konuşmadığım için kendimi affedemezdim.
- Söylesene Sever, Katar kayıtlarından geriye bir şey kaldı mı? Bir şey hayatta kalmış olmalı, değil mi? Mükemmel olanların kendileri olmasa bile, en azından sadece müritler mi? Gerçek hayatları ve öğrettikleri hakkında bir şey mi kastediyorum?
- Ne yazık ki - hayır, Isidora. Engizisyon her yerde, her şeyi yok etti. Vasalları, Papa'nın emriyle, bulabildikleri her el yazmasını, kalan her huş ağacı kabuğunu yok etmek için başka ülkelere bile gönderildiler... En azından bir şey arıyorduk ama hiçbir şeyi kurtaramadık.
- Peki ya insanların kendileri? Yüzyıllar boyunca onu koruyacak insanlar için bir şey kalmadı mı?
- Bilmiyorum Isidora... Sanırım birisinin bir çeşit kaydı olsa bile zamanla değişti. Ne de olsa insanın her şeyi kendine göre şekillendirmesi doğal... Hele de anlamadan. Bu nedenle, herhangi bir şeyin olduğu gibi hayatta kalması olası değildir. Yazık ... Doğru, Radomir ve Magdalene'in günlüklerini sakladık, ama bu katar'ın yaratılmasından önceydi. Yine de, öğretimin değişmediğini düşünüyorum.
- Kafam karışan düşüncelerim ve sorularım için özür dilerim Sever. Sana gelmeden çok şey kaybettiğimi görüyorum. Ama yine de, hala hayattayım. Ve nefes alırken hala sana sorabilirim, değil mi? Svetodar'ın hayatının nasıl sona erdiğini söyleyebilir misin? Böldüğüm için üzgünüm.
Sever içten bir şekilde gülümsedi. Sabırsızlığımı ve öğrenmek için "zamana sahip olma" susuzluğumu seviyordu. Ve memnuniyetle devam etti.
Döndükten sonra Svetodar, Oksitanya'da sadece iki yıl, Isidora'da yaşadı ve öğretmenlik yaptı. Ancak bu yıllar, gezgin hayatının en pahalı ve en mutlu yılları oldu. Beloyar'ın neşeli kahkahasıyla aydınlanan günleri, Svetodar'ın uzak Gezgin'in ona öğrettiklerini dürüstçe ve içtenlikle aktarmaya çalıştığı Mükemmel olanlarla çevrili sevgili Montsegur'da geçti.
- Bernoulli formülü.
kendisi dağıtım
arandı iki terimli.
Binom dağılımının parametreleri, başarı olasılığı p (q = 1 - p) ve deneme sayısıdır n. Binom dağılımı, rastgele seçilen erkek ve kadın sayısı gibi binom olaylarının dağılımını tanımlamak için yararlıdır. şirketler. Oyun problemlerinde binom dağılımının kullanımı özellikle önemlidir.
n denemede başarı olasılığının m kesin formülü şu şekilde yazılır:
p, başarı olasılığıdır; q 1-p'dir, q> = 0, p + q = 1; n - test sayısı, m = 0.1 ... m
Binom dağılımının temel özellikleri:
6. Poisson formülü ve Poisson dağılımı.
Deneme sayısı n büyük, olasılık p küçük olsun ve
np küçüktür. Daha sonra n denemede m başarı olasılığı yaklaşık olarak şu şekilde belirlenebilir: Poisson formülü:
.
Dağılım serisi m olan bir rastgele değişken,
Poisson dağılımına sahiptir. Ne kadar fazla n olursa, Poisson formülü o kadar doğru olur. Kaba hesaplamalar için formül n = 10 için kullanılır,
0 - 2, n = 100 için
0 - 3. Mühendislik hesaplarında n = 20 iken formül uygulanır,
0 - 3, n = 100,
0 - 7. Doğru hesaplamalar için formül n = 100 olduğunda uygulanır,
0 - 7, n = 1000,
0
– 15.
Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayalım.
Bir Poisson rastgele değişkeninin temel özellikleri:
Poisson Dağılım Grafiği:
7. Geometrik dağılım.
Bernoulli şemasını düşünün. X'i belirleyelim - bir denemede başarı olasılığı p ise, ilk başarıdan önceki deneme sayısı. İlk test başarılı olursa X = 0 olur. Bu nedenle,
... X = 1 ise, yani ilk test başarısız, ikincisi başarılı, ardından çarpma teoremi
... Benzer şekilde, X = n ise, n'inci teste kadar olan tüm testler başarısızdır ve
... Rastgele değişken X'in bir dizi dağılımını oluşturalım
Böyle bir dağılım serisine sahip bir rastgele değişken, geometrik dağılım.
Normalizasyon koşulunu kontrol edelim:
8. Hipergeometrik dağılım.
Bu, olasılıklarla m = 0, 1,2, ..., n tamsayı değerleri alan rastgele bir X değişkeninin ayrık bir olasılık dağılımıdır:
burada N, M ve n negatif olmayan tam sayılardır ve M< N, n < N.
Hipergeometrik dağılımın matematiksel beklentisi N'ye bağlı değildir ve karşılık gelen binom dağılımının matematiksel beklentisi µ = np ile örtüşür.
Hipergeometrik dağılımın dağılımı 
binom dağılımı npq'nin varyansını aşmaz. Hipergeometrik dağılımın herhangi bir sırasının örnekleri, binom dağılımının anlarının karşılık gelen değerlerine eğilimlidir.
9. Beta dağıtımı.
Beta dağılımı şu şekilde bir yoğunluğa sahiptir:
Standart beta dağılımı 0 ile 1 aralığında yoğunlaşmıştır. Doğrusal dönüşümler uygulanarak beta değeri herhangi bir aralıkta değer alacak şekilde dönüştürülebilir.
Beta dağılımına sahip bir miktarın temel sayısal özellikleri:
İsim., Eşanlamlı sayısı: 1 dağıtım (62) ASIS eşanlamlı sözlüğü. V.N. Trişin. 2013... eşanlamlı sözlük
beta dağıtımı- 1.45. beta dağılımı Sınırlar dahil olmak üzere 0'dan 1'e kadar herhangi bir değer alabilen ve dağılım yoğunluğu 0 £ x 1 £ olan ve m1> 0, m2> 0 parametreleri olan sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımı, burada Г .. ... ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı
beta dağıtımı- Yoğunluğu formülle verilen bir segment üzerinde değerler alan sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, burada, a, b> 0 ve gama fonksiyonudur. Not. Özel durumları çok yaygın olarak kullanılmaktadır ... ... Sosyolojik İstatistik Sözlüğü
plana bakın... eşanlamlı sözlük
Olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerde, Dirichlet dağılımı (adını Johann Peter Gustave Lejeune Dirichlet'ten almıştır) genellikle Dir (α) olarak gösterilir, α vektörü ile parametrelendirilen sürekli çok değişkenli olasılık dağılımlarının bir ailesidir ... ... Wikipedia
Beta: Vikisözlük'te "beta" girişi vardır Beta (harf) (β), Yunan alfabesinin ikinci harfidir. Beta testi Beta katsayısı Beta işlevi (matematik) Beta dağılımı (olasılık teorisi ... Wikipedia
Olasılık yoğunluğu ... Wikipedia
Olasılık dağılımı, rastgele bir değişkenin değer aralığını ve kabul edilme olasılığını tanımlayan bir yasadır. İçindekiler 1 Tanım 2 Dağılımları tanımlamanın yolları ... Wikipedia
Dağıtım. Pearson dağılımı Olasılık yoğunluğu ... Wikipedia
Kitabın
- Olimpiyatların sonuçlarına ve USE puanlarına dayalı olarak bir üniversitedeki eğitim programlarına kabulün karşılaştırılması, O. V. Poldin. Makalede, çeşitli eğitim programları için üniversitelere kabul kalitesini karşılaştırmak için, üniversiteye kayıtlı olanların KULLANIM sonuçlarından elde edilen düzeltilmiş talep eğrilerinin kullanılması önerilmektedir.
