MODELLEME SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİKSEL ŞEMALAR

SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLERİNİN YAPILMASINA İLİŞKİN TEMEL YAKLAŞIMLAR

Sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerinin yapımındaki ilk bilgiler, araştırılan (tasarlanan) sistemin amacı ve çalışma koşulları hakkındaki verilerdir. S... Bu bilgi, sistem modellemenin ana amacını tanımlar. S ve geliştirilen matematiksel model için gereksinimleri formüle etmenizi sağlar M. Ayrıca, soyutlama düzeyi, sistem araştırmacısının modeli kullanarak yanıt almak istediği soruların aralığına bağlıdır ve bir dereceye kadar matematiksel şema seçimini belirler.

Matematiksel şemalar. Matematiksel bir şema kavramının tanıtılması, matematiği bir hesaplama yöntemi olarak değil, bir düşünme yöntemi olarak, bir sistemin sözlü bir açıklamasından diğerine geçişte en önemli olan kavramları formüle etmenin bir aracı olarak düşünmemize izin verir. bazı matematiksel model (analitik veya taklit) şeklinde işleyiş sürecinin resmi bir temsili. Matematiksel bir şema kullanırken, her şeyden önce, S sisteminin araştırmacısı, haritalamanın, incelenen sistemdeki gerçek süreçlerin belirli şemaları biçimindeki yeterliliği sorusuyla ilgilenmeli ve bir sonuç elde etme olasılığıyla ilgilenmelidir. belirli bir araştırma sorusuna cevap (çözüm sonucu). Örneğin, toplu bir bilgi-bilgi işlem sisteminin bir kuyruk şemaları ağı şeklinde işleyiş sürecinin temsili, sistemde meydana gelen süreçleri iyi tanımlamayı mümkün kılar, ancak gelen akışların ve hizmet akışlarının karmaşık yasalarıyla, sonuçların açık bir biçimde elde edilmesini mümkün kılmaz.

matematiksel şema dış ortamın etkisi dikkate alınarak sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir tanımından resmi bir açıklamasına geçişte bir bağlantı olarak tanımlanabilir, yani bir zincir "açıklayıcı model - matematiksel şema - matematiksel (analitik ve / veya taklit) modeli".

Her bir özel sistem S, modellenen nesnenin (gerçek sistem) davranışını yansıtan ve dış çevre (sistem) ile etkileşim içinde işleyişinin koşullarını dikkate alan değerler olarak anlaşılan bir dizi özellik ile karakterize edilir. E. Sistemin matematiksel bir modelini oluştururken, eksiksizliği sorununu çözmek gerekir. Modelin bütünlüğü esas olarak “sistem S - çevre” sınır seçimi ile düzenlenir. E» . Ayrıca, ikincil özellikleri atarak sistemin ana özelliklerini vurgulamaya yardımcı olan modeli basitleştirme sorunu çözülmelidir. Ayrıca, sistemin özelliklerinin ana veya ikincil olarak atanması, esas olarak sistemin modellenmesi amacına bağlıdır (örneğin, sistemin işleyiş sürecinin olasılıksal-zamansal özelliklerinin analizi, sistemin yapısı vb.).

Nesnenin resmi modeli. Modelleme nesnesinin modeli, yani sistem S, gerçek bir sistemin işleyiş sürecini tanımlayan ve genellikle aşağıdaki alt kümeleri oluşturan bir nicelik kümesi olarak temsil edilebilir: giriş işlemleri sistem başına

;

agrega çevresel etkiler

;

agrega dahili, (kendi) parametreler sistemler

;

agrega çıktı özellikleri sistemler

.

Ayrıca, listelenen alt kümelerde yönetilen ve yönetilmeyen değişkenler ayırt edilebilir. Genel olarak , , , ayrık alt kümelerin öğeleridir ve hem deterministik hem de stokastik bileşenleri içerir.

S sistemini modellerken, girdi etkiler, dış çevrenin etkileri E ve sistemin iç parametreleri bağımsız (dışsal) değişkenler, hangi vektör formunda ,,, ve sistemin çıkış özellikleri bağımlı (içsel) değişkenler ve vektör formunda forma sahiptir).

S sisteminin işleyiş süreci, operatör tarafından zamanında tarif edilir. F s , genel durumda dışsal değişkenleri, biçim ilişkilerine göre içsel değişkenlere dönüştüren

. (1)

Sistemin çıktı özelliklerinin zamana bağlılığı y J (T) her türlü
aranan çıktı yörüngesi
. Bağımlılık (1) denir sistem işleyişi yasasıS ve belirtilen F s . Genel durumda, sistemin işleyiş yasası F s fonksiyon, fonksiyonel, mantıksal koşullar, algoritmik ve tablo şeklinde veya sözlü eşleştirme kuralı şeklinde belirtilebilir.

S sisteminin tanımı ve çalışması için çok önemli olan kavramdır. işleyiş algoritmasıA s , girdi etkilerini dikkate alarak çıktı özelliklerini elde etme yöntemi olarak anlaşılan
, çevresel etkiler
ve sistemin kendi parametreleri
. Aynı işleyiş yasasının geçerli olduğu açıktır. F s sistem S çeşitli şekillerde, yani işleyişi için birçok farklı algoritma kullanılarak uygulanabilir. A s .

İlişkiler (1), modelleme nesnesinin (sisteminin) zaman içindeki davranışının matematiksel bir açıklamasıdır. T, yani dinamik özelliklerini yansıtırlar. Bu nedenle, bu tür matematiksel modeller genellikle denir. dinamik modeller(sistemler).

İçin statik modeller matematiksel model (1), modellenmiş bir nesnenin özelliklerinin iki alt kümesi arasındaki bir eşlemedir. Y ve { x, V, H), hangi vektör biçiminde yazılabilir

. (2)

(1) ve (2) ilişkileri çeşitli şekillerde belirtilebilir: analitik (formüller kullanılarak), grafiksel, tablo şeklinde, vb. Bu tür ilişkiler bazı durumlarda S sisteminin özellikleri aracılığıyla elde edilebilir. devletler. S sisteminin durumu vektörlerle tanımlanır

ve
,

nerede
,
, …,
şu anda
;
,
, …,
şu anda
vesaire.,
.

S sisteminin işleyiş sürecini sıralı bir durum değişikliği olarak düşünürsek
, o zaman bir noktanın koordinatları olarak yorumlanabilirler. NS-boyutlu faz uzayı. Ayrıca, sürecin her uygulaması belirli bir aşama yörüngesine karşılık gelecektir. Devletlerin tüm olası değerlerinin toplanması aranan durum uzayı modelleme nesnesi Z, Dahası
.

S sisteminin o andaki durumları T 0 < T*T tamamen başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir
[nerede
,
, …,
], girdi etkileri
, kendi sistem parametreleri
ve çevresel etkiler
, hangi bir süre içinde gerçekleşti T*- T 0 , ile birlikte iki vektör denklemi kullanarak

; (3)

. (4)

İlk durum için ilk denklem ve dışsal değişkenler
bir vektör fonksiyonunu tanımlar
, ve ikincisi durumların elde edilen değerine göre
- sistemin çıkışındaki içsel değişkenler
. Böylece, "giriş-durum-çıkış" nesnesinin denklem zinciri, sistemin özelliklerini belirlemenizi sağlar.

. (5)

Genel durumda, S sisteminin modelindeki zaman, modelleme aralığında dikkate alınabilir. (0, T) hem sürekli hem de ayrık, yani uzunluk bölümlerine nicelenmiş
zaman birimleri her zaman
, nerede
- örnekleme aralığı sayısı.

Böylece, altında nesnenin matematiksel modeli(gerçek sistem) değişkenlerin sonlu bir alt kümesini anlar (
} ve özellikleri arasındaki matematiksel ilişkilerle birlikte
.

Modelleme nesnesinin matematiksel açıklaması rastgelelik unsurları içermiyorsa veya bunlar dikkate alınmıyorsa, yani bu durumda dış ortamın stokastik etkilerinin olduğu varsayılabilirse.
ve stokastik iç parametreler
yoksa model çağrılır deterministiközelliklerin deterministik girdiler tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmesi anlamında

. (6)

Açıktır ki, deterministik model, stokastik modelin özel bir durumudur.

Tipik şemalar. Verilen matematiksel ilişkiler, genel matematiksel şemaları temsil eder ve geniş bir sistem sınıfını tanımlamaya izin verir. Bununla birlikte, sistem araştırmasının ilk aşamalarında sistem mühendisliği ve sistem analizi alanındaki nesnelerin modellenmesi uygulamasında, kullanımı daha rasyoneldir. tipik matematiksel şemalar: diferansiyel denklemler, sonlu ve olasılıklı otomatlar, kuyruk sistemleri, Petri ağları vb.

Dikkate alınan modeller gibi bir genellik derecesine sahip olmayan tipik matematiksel şemalar, basitlik ve netlik avantajlarına sahiptir, ancak uygulama olasılıklarında önemli bir daralma ile. Çalışmada rastgele faktörlerin dikkate alınmadığı durumlarda, sürekli zamanda çalışan sistemleri deterministik modeller olarak temsil etmek için diferansiyel, integral, integro-diferansiyel ve diğer denklemler kullanılır ve sonlu otomatlar ve sonlu fark şemaları, çalışan sistemleri temsil etmek için kullanılır. ayrık zaman.... Olasılıklı otomatlar, ayrık zamanlı sistemleri temsil etmek için stokastik modeller (rastgele faktörleri dikkate alarak) olarak kullanılır ve kuyruk sistemleri, sürekli zamana sahip sistemleri temsil etmek için kullanılır, vb.

Listelenen tipik matematiksel şemalar, elbette, büyük bilgi yönetim sistemlerinde meydana gelen tüm süreçleri kendi temellerinde tanımlayabileceklerini iddia edemezler. Bu tür sistemler için bazı durumlarda toplu modellerin kullanımı daha umut vericidir.

Toplu modeller (sistemler), bu nesnelerin sistemik doğasının bir yansıması ile çok çeşitli araştırma nesnelerini tanımlamayı mümkün kılar. Karmaşık bir nesnenin (sistem), parçaların etkileşimini sağlayan bağlantıları korurken, sonlu sayıda parçaya (alt sistemler) bölünmesi toplu bir açıklama ile yapılır.

Bu nedenle, sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerini oluştururken, aşağıdaki ana yaklaşımlar ayırt edilebilir: sürekli-deterministik (örneğin, diferansiyel denklemler); ayrık-deterministik (sonlu otomatlar); kesikli stokastik (olasılıklı otomatlar); sürekli stokastik (kuyruk sistemleri); genelleştirilmiş veya evrensel (toplu sistemler).

SÜREKLİ BELİRLEME MODELLERİ (D-DEVRELER)

Diferansiyel denklemlerin matematiksel model olarak kullanılması örneğinde sürekli deterministik yaklaşımın özelliklerini ele alalım. Diferansiyel denklemler bir veya birkaç değişkenin fonksiyonlarının bilinmediği bu tür denklemler denir ve denklem sadece fonksiyonları değil, aynı zamanda çeşitli derecelerdeki türevlerini de içerir. Bilinmeyenler birkaç değişkenli fonksiyonlarsa, denklemlere kısmi diferansiyel denklemler denir; aksi takdirde, sadece bir bağımsız değişkenli fonksiyonlar göz önüne alındığında, denklemlere adi diferansiyel denklemler denir.

Temel ilişkiler. Genellikle, bu tür matematiksel modellerde, bilinmeyen aranan fonksiyonların bağlı olduğu bağımsız değişken olarak zaman kullanılır. T. Daha sonra genel formdaki deterministik sistemler (6) için matematiksel ilişki şöyle olacaktır:

, (7)

nerede
,
ve
- NS-boyutlu vektörler;
- bazılarında tanımlanan vektör fonksiyonu ( NS+1) -boyutlu
sabittir ve süreklidir.

Bu tür matematiksel şemalar, incelenen sistemin dinamiklerini, yani zaman içindeki davranışını yansıttığından, bunlara denir. NS-şemalar(İng. dinamik).

En basit durumda, adi diferansiyel denklem şu şekildedir:

. (8)

Sistem mühendisliği için en önemli uygulama NS-şema otomatik kontrol teorisinde matematiksel bir aparat olarak. D-devrelerinin yapım ve uygulamasının özelliklerini göstermek için, farklı fiziksel nitelikteki iki temel sistemin işleyiş sürecini resmileştirmenin en basit örneğini ele alalım: mekanik S m (sarkaç salınımları, Şekil 1, a) ve elektrik S K (salınım devresi, Şekil 1, b).

Pirinç. 1. Temel sistemler

Sarkaçın küçük salınımları süreci, adi diferansiyel denklem ile tanımlanır.

nerede
- sarkacın süspansiyonunun kütlesi ve uzunluğu; G - serbest düşüş ivmesi;
- zaman anında sarkacın sapma açısı T.

Sarkacın bu serbest salınım denkleminden, ilgilenilen özelliklerin tahminleri bulunabilir. Örneğin, bir sarkacın salınım periyodu

.

Benzer şekilde, elektrik salınım devresindeki işlemler adi diferansiyel denklem ile tanımlanır.

nerede L NS , İLE BİRLİKTE NS - kapasitörün endüktansı ve kapasitansı; Q(T) - zaman kapasitör şarjı T.

Bu denklemden, salınım devresindeki sürecin özelliklerine ilişkin çeşitli tahminler elde edebilirsiniz. Örneğin, elektriksel salınımların periyodu

.

Açıkçası, notasyonu tanıtmak
,
, ,
, bu kapalı döngü sisteminin davranışını tanımlayan sıradan bir ikinci mertebeden diferansiyel denklem elde ederiz:

nerede
- sistem parametreleri; z(T) - zaman sistem durumu T.

Böylece, bu iki nesnenin davranışı genel bir matematiksel model (9) temelinde incelenebilir. Ek olarak, sistemlerden birinin davranışının diğeri kullanılarak analiz edilebileceği belirtilmelidir. Örneğin, bir sarkacın davranışı (sistem S m) bir elektrik salınım devresi (sistemi) kullanılarak incelenebilir S K).

İncelenen sistem ise S, yani bir sarkaç veya bir kontur, dış çevre ile etkileşime girer E, sonra bir giriş eylemi görünür NS(T) (sarkaç için dış kuvvet ve devre için enerji kaynağı) ve böyle bir sistemin sürekli deterministik modeli forma sahip olacaktır.

Matematiksel modelin genel şeması açısından NS(T) girdi (kontrol) eylemidir ve bu durumda sistem S'nin durumu bir çıktı özelliği olarak kabul edilebilir, yani çıktı değişkeninin belirli bir zamanda sistemin durumu ile çakıştığını varsaymak y =z.

Olası uygulamalar. Sistem mühendisliği problemlerini çözerken, büyük sistemleri yönetme problemleri büyük önem taşımaktadır. Sistemlere dikkat edin otomatik kontrol- açıklanan dinamik sistemlerin özel bir durumu NS-şemalar ve pratik özellikleri nedeniyle ayrı bir model sınıfında vurgulanmıştır.

Otomatik kontrol süreçlerini tanımlarken, genellikle gerçek bir nesnenin iki sistem biçiminde sunumuna bağlı kalırlar: kontrol ve kontrollü (kontrol nesnesi). Genel bir çok boyutlu otomatik kontrol sisteminin yapısı Şekil 2'de gösterilmektedir. 2, nerede belirlenir içsel değişkenler:
- girdi (ana) etkilerinin vektörü;
- rahatsız edici etkilerin vektörü;
- hata sinyallerinin vektörü;
- kontrol eylemlerinin vektörü; dışsal değişkenler:
- S sisteminin durum vektörü;
genellikle çıktı değişkenlerinin bir vektörüdür
=
.

Pirinç. 2. Otomatik kontrol sisteminin yapısı

Modern bir kontrol sistemi, kontrol nesnesi tarafından belirli bir hedefe ulaşılmasını sağlayan bir dizi yazılım ve donanım aracıdır. Kontrol nesnesinin belirli bir hedefe ne kadar doğru bir şekilde ulaştığı, durum koordinatıyla tek boyutlu bir sistem için değerlendirilebilir. NS (T). verilen arasındaki fark NS arka taraf (T) ve geçerli NS (T) kontrol edilen değişkenin değişim yasası bir kontrol hatasıdır . Kontrol edilen miktarın öngörülen değişim yasası, girdi (ana) eylemin değişim yasasına karşılık geliyorsa, yani.
, sonra
.

Kontrol hataları olan sistemler
her zaman ideal olarak adlandırılır. Pratikte ideal sistemlerin uygulanması imkansızdır. yani hata H"(T) - çıkış değişkenini uygun hale getirmek için, negatif geri besleme ilkesine dayanan gerekli bir otomatik kontrol unsuru y(T) belirtilen değeri, aralarındaki sapma hakkındaki bilgileri kullanır. Otomatik kontrol sisteminin görevi değişkeni değiştirmektir. y(T) belirli bir doğrulukla (kabul edilebilir bir hatayla) belirli bir yasaya göre. Otomatik kontrol sistemlerini tasarlarken ve çalıştırırken, aşağıdaki sistem parametrelerinin seçilmesi gerekir. S, gerekli kontrol doğruluğunu ve ayrıca sistemin geçici süreçteki kararlılığını sağlayacaktır.

Sistem kararlı ise, sistemin zaman içindeki davranışı pratik açıdan ilgi çekicidir, kontrol edilen değişkenin maksimum sapması şudur: NS (T) geçici süreçte, geçici sürecin zamanı vb. Çeşitli sınıflardaki otomatik kontrol sistemlerinin özellikleri hakkında sonuçlar, sistemlerdeki süreçleri yaklaşık olarak tanımlayan diferansiyel denklemler şeklinde yapılabilir. Diferansiyel denklemin sırası ve katsayılarının değerleri tamamen sistemin statik ve dinamik parametreleri tarafından belirlenir. S.

yani kullanarak NS-şema sürekli deterministik sistemlerin işleyiş sürecini resmileştirmeye izin verir S ve sürekli sistemleri modellemek veya analog ve hibrit bilgi işlem olanaklarını kullanmak için uygun bir dil biçiminde uygulanan bir analitik veya simülasyon yaklaşımı kullanarak ana özelliklerini değerlendirin.

Herhangi bir uzmanlık alanında sınıflandırma esastır. Birikmiş deneyimi genelleştirmenize, konu alanı kavramlarını düzene koymanıza olanak tanır. Matematiksel modelleme yöntemlerinin hızlı gelişimi ve uygulama alanlarının çeşitliliği, çeşitli türlerde çok sayıda modelin ortaya çıkmasına ve modelleri tüm modeller için evrensel olan veya bu alanda gerekli olan kategorilere ayırma ihtiyacına yol açmıştır. örneğin, inşa edilen modelin. Bazı kategorilere örnek verelim: kullanım alanı; modeldeki zaman faktörünü (dinamikleri) dikkate alarak; bilgi dalı; modellerin sunulma şekli; rastgele (veya belirsiz) faktörlerin varlığı veya yokluğu; verimlilik kriteri türü ve uygulanan kısıtlamalar, vb.

Matematik literatürünü analiz ederek, en yaygın sınıflandırma işaretlerini belirledik:

1. Uygulama yöntemine göre (biçimsel dil dahil), tüm matematiksel modeller aşağıdakilere ayrılabilir: analitik ve algoritmik.

Analitik - Standart bir matematiksel dil kullanan modeller. Simülasyon - özel bir modelleme dilinin veya evrensel bir programlama dilinin kullanıldığı modeller.

Analitik modeller, analitik ifadeler şeklinde yazılabilir, yani. sayılabilir sayıda aritmetik işlem ve sınıra geçişler içeren ifadeler biçiminde, örneğin:. Cebirsel ifade, analitik ifadenin özel bir halidir, sonuç olarak kesin bir anlam sağlar. Elde edilen değeri belirli bir doğrulukla bulmanızı sağlayan yapılar da vardır (örneğin, bir kuvvet serisindeki temel bir fonksiyonun genişletilmesi). Bu tekniği kullanan modeller yaklaşık olarak adlandırılır.

Buna karşılık, analitik modeller şu şekilde ayrılır: teorik ve ampirik modeller. Teorik modeller, incelenen nesnelerdeki gerçek yapıları ve süreçleri yansıtır, yani çalışmalarının teorisine dayanırlar. Ampirik modeller, bir nesnenin çevresel koşullardaki değişikliklere verdiği tepkilerin incelenmesi temelinde oluşturulur. Bu durumda, nesnenin işleyişinin teorisi dikkate alınmaz, nesnenin kendisi "kara kutu" olarak adlandırılır ve model belirli bir enterpolasyon bağımlılığıdır. Ampirik modeller deneysel verilerden oluşturulabilir. Bu veriler, doğrudan incelenen nesneler üzerinde veya fiziksel modelleri yardımıyla elde edilir.

Bir süreç analitik bir model şeklinde tanımlanamıyorsa, özel bir algoritma veya program kullanılarak açıklanır. Bu model algoritmik. Algoritmik modeller oluşturulurken sayısal veya simülasyon yaklaşımları kullanılır. Sayısal yaklaşımda, matematiksel ilişkiler kümesi, sonlu boyutlu bir analog ile değiştirilir (örneğin, sürekli bir argümanın bir fonksiyonundan ayrı bir argümanın bir fonksiyonuna geçiş). Daha sonra bir hesaplama algoritması oluşturulur, yani. aritmetik ve mantıksal işlem dizileri. Ayrık analogun bulunan çözümü, orijinal soruna yaklaşık bir çözüm olarak alınır. Simülasyon yaklaşımında, modelleme nesnesinin kendisi ayrıklaştırılır ve sistemin bireysel elemanlarının modelleri oluşturulur.

2. Matematiksel modellerin sunum şekline göre:

1) Değişmez bir model, bu denklemleri çözme yöntemlerini hesaba katmadan bir denklem sistemi (diferansiyel, cebirsel) tarafından temsil edilen matematiksel bir modeldir.

2) Cebirsel model - modellerin oranı, seçilen sayısal çözüm yöntemiyle ilişkilendirilir ve bir algoritma şeklinde yazılır (hesaplama dizisi).

3) Analitik model - istenen değişkenlerin verilen değerlere açık bir bağımlılığıdır. Bu tür modeller, fiziksel yasalar temelinde veya orijinal diferansiyel denklemlerin tablo integralleri kullanılarak doğrudan entegrasyonunun bir sonucu olarak elde edilir. Ayrıca deneysel sonuçlara dayalı olarak elde edilen regresyon modellerini de içerirler.

4) Grafiksel model, grafikler, eşdeğer devreler, diyagramlar ve benzerleri şeklinde sunulur. Grafik modelleri kullanmak için, grafiğin öğelerinin koşullu görüntülerinin ve değişmez matematiksel modelin bileşenlerinin açık bir yazışma kuralı olmalıdır.

3. Verimlilik kriterinin türüne ve uygulanan kısıtlamalara bağlı olarak modeller alt bölümlere ayrılır. doğrusal ve doğrusal olmayan. Doğrusal modellerde, verimlilik kriteri ve uygulanan kısıtlamalar, model değişkenlerinin doğrusal fonksiyonlarıdır (aksi halde doğrusal olmayan modeller). Verimlilik kriterinin doğrusal bağımlılığı ve model değişkenlerine uygulanan kısıtlamalar seti hakkındaki varsayım pratikte oldukça kabul edilebilir. Bu, karar vermek için iyi geliştirilmiş bir doğrusal programlama aparatının kullanılmasını mümkün kılar.

4. Zaman ve kullanım alanı faktörünü dikkate alarak ayırt ederler. statik ve dinamik modeller... Modele dahil edilen tüm miktarlar zamana bağlı değilse, o zaman bir nesnenin veya işlemin statik bir modeline sahibiz (bir nesne üzerinde bir kerelik bilgi dilimi). Onlar. statik model, zamanın değişken olmadığı bir modeldir. Dinamik bir model, bir nesnede zaman içinde meydana gelen değişiklikleri görmenizi sağlar.

5. Karar veren tarafların sayısına bağlı olarak iki tür matematiksel model vardır: tanımlayıcı ve normatif... Tanımlayıcı modelde karar verici yoktur. Resmi olarak, tanımlayıcı modelde bu tür taraf sayısı sıfırdır. Bu tür modellerin tipik bir örneği, kuyruk sistemi modelidir. Tanımlayıcı modeller oluşturmak için güvenilirlik teorisi, çizge teorisi, olasılık teorisi, istatistiksel test yöntemi (Monte Carlo yöntemi) de kullanılabilir.

Normatif modelin birçok yönü vardır. Prensipte, iki tür normatif model ayırt edilebilir: optimizasyon modelleri ve oyun teorik modelleri. Optimizasyon modellerinde, çözüm geliştirmenin ana görevi, teknik olarak verimlilik kriterinin katı bir şekilde maksimizasyonu veya minimizasyonuna, yani. kontrol edilen değişkenlerin bu değerleri, verimlilik kriterinin uç bir değere ulaştığı (maksimum veya minimum) belirlenir.

Optimizasyon modelleri tarafından görüntülenen çözümleri geliştirmek için, klasik ve yeni varyasyon yöntemlerinin (aşırı arama) yanı sıra, matematiksel programlama yöntemleri (doğrusal, doğrusal olmayan, dinamik) en yaygın olarak kullanılmaktadır. Oyun teorik modeli, taraf sayısının çokluğu (en az iki) ile karakterize edilir. Zıt çıkarları olan iki taraf varsa oyun teorisi, parti sayısı ikiden fazlaysa ve aralarında koalisyon ve uzlaşma mümkün değilse, o zaman koalisyonsuz oyunlar teorisi kullanılır. n kişiler.

6. Rastgele (veya belirsiz) faktörlerin varlığına veya yokluğuna bağlı olarak, deterministik ve stokastik Matematiksel modeller. Deterministik modellerde, tüm ilişkiler, değişkenler ve sabitler kesin olarak belirtilir, bu da sonuçta ortaya çıkan fonksiyonun net bir tanımına yol açar. İşlemin sonucunu etkileyen faktörlerin yeterince doğru ölçüm veya değerlendirmeye uygun olduğu ve rastgele faktörlerin bulunmadığı veya ihmal edilebileceği durumlarda deterministik bir model oluşturulur.

Modele dahil edilen parametrelerin bir kısmı veya tamamı, doğası gereği rastgele değişkenler veya rastgele işlevler ise, model stokastik modeller sınıfına aittir. Stokastik modellerde, rastgele değişkenlerin dağılım yasaları belirlenir, bu da sonuçta ortaya çıkan fonksiyonun olasılıksal bir tahminine yol açar ve gerçeklik, seyri ve sonucu rastgele değişkenlerin belirli özellikleri tarafından tanımlanan belirli bir rastgele süreç olarak gösterilir: matematiksel beklentiler , varyanslar, dağıtım fonksiyonları vb. Böyle bir modelin inşası, gerekli olasılık dağılımlarını değerlendirmek için yeterli olgusal materyal varsa veya incelenen fenomenin teorisi, bu dağılımların teorik olarak belirlenmesine izin veriyorsa (olasılık teorisinin formüllerine, limit teoremlerine vb. dayalı olarak) mümkündür. .).

7. Modellemenin amaçlarına bağlı olarak, tanımlayıcı, optimizasyon ve yönetim modeller. Tanımlayıcı (Latince betimleme - betimlemeden) modellerde, model parametrelerinin değişim yasaları araştırılır. Örneğin, Newton'un ikinci yasasına dayanan, uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki bir maddesel noktanın hareket modeli: Belirli bir zamanda bir noktanın konumunu ve ivmesini (giriş parametreleri), kütleyi (içsel parametre) ve uygulanan kuvvetlerin değişim yasasını (dış etkiler) belirleyerek, herhangi bir noktanın koordinatlarını ve hızı belirlemek mümkündür. zaman (çıkış).

Optimizasyon modelleri, belirli bir kritere, simüle edilen nesnenin parametrelerine veya bu nesneyi kontrol etme yöntemlerine dayalı olarak en iyiyi (optimal) belirlemek için kullanılır. Optimizasyon modelleri, bir veya daha fazla tanımlayıcı model kullanılarak oluşturulur ve optimalliği belirlemek için çeşitli kriterlere sahiptir. Girdi parametrelerinin değer aralığına, söz konusu nesnenin veya sürecin özellikleriyle ilgili eşitlikler veya eşitsizlikler şeklinde kısıtlamalar getirilebilir. Optimizasyon modeline bir örnek, belirli bir diyette bir gıda rasyonunun derlenmesidir (bir ürünün kalori içeriği, maliyetin fiyat değerleri, vb. Girdi verileri olarak hareket eder).

Yönetim modelleri, çeşitli alternatifler kümesinden birkaç alternatif seçildiğinde ve genel karar verme süreci bu tür alternatiflerin bir dizisi olduğunda, amaçlı insan faaliyetinin çeşitli alanlarında karar vermek için kullanılır. Örneğin, öğrenciler tarafından hazırlanan birkaç kişiden terfi için bir rapor seçimi. Sorunun karmaşıklığı, hem girdi verileri (bir rapor bağımsız olarak hazırlandı veya başka birinin çalışması kullanıldı) hem de hedefler (işin bilimsel doğası ve yapısı, sunum düzeyi ve eğitim düzeyi) hakkındaki belirsizlikte yatmaktadır. öğrenci, deneyin sonuçları ve elde edilen sonuçlar). Aynı durumda verilen kararın optimalliği farklı şekillerde yorumlanabileceğinden yönetim modellerinde optimallik kriterinin şekli önceden sabit değildir. Oyun teorisi ve yöneylem araştırmasına dayanan seçim ve karar verme teorisinde, belirsizliğin türüne bağlı olarak optimallik kriterlerinin oluşturulmasına yönelik yöntemler göz önünde bulundurulur.

8. Araştırma yöntemine göre ayırt edin analitik, sayısal ve simülasyon modeller. Analitik bir model, iyi bilinen bir matematiksel aparat kullanılarak bir denklemin açık bir çözümünün elde edilmesini sağlayan bir sistemin resmileştirilmiş bir açıklamasıdır. Sayısal model, belirli başlangıç ​​koşulları ve modelin nicel parametreleri için yalnızca kısmi sayısal çözümlere izin veren bir bağımlılık ile karakterize edilir. Bir simülasyon modeli, sistemin ve dış etkilerin bir dizi tanımı, sistemin işleyişi için algoritmalar veya dış ve iç rahatsızlıkların etkisi altında sistemin durumunu değiştirme kurallarıdır. Bu algoritmalar ve kurallar, mevcut matematiksel analitik ve sayısal çözüm yöntemlerini kullanmayı mümkün kılmaz, ancak sistemin işleyişi sürecini simüle etmeye ve ilgilenilen özellikleri sabitlemeye izin verir. Ayrıca, bazı analitik ve simülasyon modelleri daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır, bu tür modellerin incelenmesi, öğrencilerin belirtilen eğitim yönündeki mesleki faaliyetlerinin özellikleriyle ilişkilendirilir.

1.4. Matematiksel modellerin grafiksel gösterimi

Matematikte, nicelikler arasındaki bağlantı biçimleri, bağımsız bir değişken (argüman) biçimindeki denklemlerle temsil edilebilir, y- bağımlı değişken (fonksiyon). Matematiksel modelleme teorisinde bağımsız değişkene faktör, bağımlı değişkene ise yanıt denir. Ayrıca, matematiksel bir model oluşturma alanına bağlı olarak, terminoloji biraz değiştirilir. Çalışma alanına bağlı olarak faktör ve yanıt tanımlarına ilişkin bazı örnekler Tablo 1'de gösterilmektedir.

Tablo 1. "Faktör" ve "yanıt" kavramlarının bazı tanımları

Matematiksel bir modeli grafiksel olarak sunarak, faktörleri ve yanıtları, değerleri gerçek sayılar kümesine ait olan değişkenler olarak ele alacağız.

Matematiksel modelin grafiksel gösterimi noktaların düzenlenmesine karşılık gelen bir tepki yüzeyidir. k- boyutlu faktör uzayı NS... Yalnızca tek boyutlu ve iki boyutlu yanıt yüzeyleri görselleştirilebilir. İlk durumda, bu gerçek bir düzlemdeki bir dizi noktadır ve ikincisinde, uzayda bir yüzey oluşturan bir dizi noktadır (bu tür noktaları temsil etmek için, seviye çizgilerini kullanmak uygundur - iki boyutlu bir faktör uzayında inşa edilmiş bir uzayın yüzey kabartması NS(Şek. 8).

Yanıt yüzeyinin tanımlandığı alana denir. tanım alanı X *. Bu alan, kural olarak, toplam faktör uzayının sadece bir parçasıdır. NS(NS*Ì NS) ve kontrol değişkenlerine uygulanan kısıtlamalar kullanılarak tahsis edilir x ben eşitlikler olarak yazılır:

x ben = C ben , ben = 1,…, m;

fj(x) = C j, j = 1,…, ben

veya eşitsizlikler:

x ben en az £ x ben£ x ben maksimum, ben= 1,…, k;

fj(x) £ C j, j = 1,…, n,

Bu durumda, fonksiyonlar fj(x) hem tüm değişkenlere hem de bunların bir kısmına aynı anda bağlı olabilir.

Eşitsizlik türlerinin kısıtlamaları, incelenen nesnedeki süreçler üzerindeki fiziksel kısıtlamaları (örneğin, sıcaklık kısıtlamaları) veya tesisin çalışma koşullarıyla ilişkili teknik kısıtlamaları (örneğin, maksimum kesme hızı, hammadde rezervleri üzerindeki kısıtlamaları) karakterize eder. ).

Modelleri inceleme olanakları, esas olarak, yanıt yüzeyinin özelliklerine (kabartma), özellikle üzerinde bulunan "köşelerin" sayısına ve kontrastına bağlıdır. Zirvelerin (vadilerin) sayısı belirler modalite tepki yüzeyleri. Yanıt yüzeyindeki tanım alanında bir tepe noktası (vadi) varsa, model denir. tek modlu.

Bu durumda fonksiyon değişikliğinin doğası farklı olabilir (Şekil 9).

Model, birinci tür kırılma noktalarına (Şekil 9 (a)), ikinci tür kırılma noktalarına (Şekil 9 (b) sahip olabilir). Şekil 9(c), sürekli olarak türevlenebilir tek modlu bir modeli göstermektedir.

Şekil 9'da sunulan her üç durum için genel tek modluluk gereksinimi karşılanmıştır:

W (x *), W'nin bir ekstremumu ise, o zaman x 1 koşulundan< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) W'yi (x 1) takip eder< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), ekstremum minimum ise, yani ekstremum noktadan uzaklık arttıkça, W (x) fonksiyonunun değeri sürekli azalır (artar).

Tek modlu modellerin yanı sıra polimodal modeller de göz önünde bulundurulur (Şekil 10).

Tepki yüzeyinin bir diğer önemli özelliği, ortaya çıkan fonksiyonun faktörlerdeki değişikliklere duyarlılığını gösteren kontrastıdır. Kontrast, türevlerin değerleri ile karakterize edilir. İki boyutlu yanıt yüzeyi örneğini kullanarak kontrast özelliklerini gösterelim (Şekil 11).

Puan a tüm değişkenler için eşit kontrastı karakterize eden bir "eğim" üzerinde bulunur x ben (ben= 1,2), nokta B farklı değişkenler için farklı kontrastların olduğu bir "dağ geçidinde" bulunur (fonksiyonun zayıf bir koşulluluğuna sahibiz), nokta ile birlikte tüm değişkenler için kontrastın düşük olduğu bir "plato" üzerinde bulunur x ben ekstremumun yakınlığını gösterir.

1.5. Matematiksel modeller oluşturmak için temel yöntemler

Modellenmiş sistemlerin resmileştirilmiş temsil yöntemlerinin sınıflandırmasını verelim Volkova V.N. ve Denisova AA.Yazarlar analitik, istatistiksel, küme-teorik, dilbilimsel, mantıksal, grafik yöntemleri vurgulamaktadır. Temel terminoloji, açıklanan yöntem sınıfları temelinde geliştirilen teori örnekleri ve bunların uygulama kapsamı ve olanakları Ek 1'de sunulmaktadır.

Modelleme sistemlerinin pratiğinde en yaygın olarak analitik ve istatistiksel yöntemler kullanılmaktadır.

1) Matematiksel modeller oluşturmak için analitik yöntemler.

Matematiksel modeller oluşturmak için analitik yöntemlerin terminolojik aygıtı, klasik matematik kavramlarına (formül, fonksiyon, denklem ve denklem sistemi, eşitsizlik, türev, integral, vb.) dayanmaktadır. Bu yöntemler, klasik matematik dilini kullanan terminolojinin netliği ve geçerliliği ile karakterize edilir.

Analitik kavramlar temelinde, klasik matematiksel analiz (örneğin, fonksiyonları inceleme yöntemleri) gibi matematiksel teoriler ve matematiksel programlama ve oyun teorisinin modern temelleri ortaya çıkmış ve gelişmiştir. Ek olarak, matematiksel programlama (doğrusal, doğrusal olmayan, dinamik, tamsayı, vb.) hem bir problem belirleme aracını içerir hem de matematiğin diğer birçok alanının aksine bir modelin yeterliliğini kanıtlama olanaklarını genişletir. Ekonomik (özellikle bir kontrplak levhanın optimal kesilmesi problemini çözme) problemlerini çözmek için optimal matematiksel programlama fikirleri L.V. Kantoroviç.

Yöntemin özelliklerini bir örnekle açıklayalım.

Örnek. Diyelim ki iki tür ürünün üretimi için A ve Vüç çeşit hammadde kullanmanız gerekir. Aynı zamanda, tipte bir üretim biriminin üretimi için A 4 adet tüketilmektedir. birinci tip hammadde, 2 adet. 2. ve 3. üniteler 3. tip. Tip bir üretim biriminin üretimi için V 2 adet tüketilmektedir. 1. tip hammadde, 5 adet. 2. tip ve 4 adet. 3. tip hammadde. Fabrika deposunda 35 adet bulunmaktadır. 1. tip hammaddeler, 43 - 2. tip, 40 - 3. tip hammaddeler. Türün bir üretim biriminin satışından A fabrikanın karı 5 bin ruble ve formun bir üretim biriminin satışından V kâr 9 bin ruble. Maksimum kâr sağlayan problemin matematiksel bir modelini hazırlamak gerekir.

Bu tür bir ürünün bir biriminin üretimi için her bir hammadde türünün tüketim oranları tabloda verilmiştir. Ayrıca, her bir ürün türünün satışından elde edilen karı ve bu türden işletme tarafından kullanılabilecek toplam hammadde miktarını gösterir.

ile belirtelim x 1 ve x 2üretilen ürün hacmi A ve V sırasıyla. Plan için birinci sınıf malzemenin maliyeti 4x 1 + 2x 2, ve stokları aşmamalıdır, yani. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

İkinci sınıfın materyali üzerindeki kısıtlamalar benzerdir:

2x 1 + 5x 2 43,

ve üçüncü sınıfın malzemesi üzerine

3x 1 + 4x 2 40.

Satışlardan elde edilen kar x 1üretim birimleri A ve x 2 B üretim birimleri z = 5x 1+ 9x 2(amaç fonksiyonu).

Sorun modelini aldık:

Problemin grafiksel çözümü Şekil 11'de gösterilmektedir.

Optimal (en iyisi, yani fonksiyonun maksimumu z) sorunun çözümü A noktasındadır (çözüm Bölüm 5'te açıklanmıştır).

Anladım x 1=4,x 2= 7, fonksiyon değeri z A noktasında:.

Böylece, maksimum kârın değeri 83 bin ruble.

Grafiksel olana ek olarak, sorunu çözmek için bir takım özel yöntemler de vardır (örneğin, tek yönlü yöntem) veya bunları uygulayan uygulamalı yazılım paketleri kullanılır. Amaç fonksiyonunun türüne bağlı olarak, doğrusal ve doğrusal olmayan programlama, değişkenlerin doğasına bağlı olarak, tamsayılı programlama ayırt edilir.

Matematiksel programlamanın genel özellikleri ayırt edilebilir:

1) bir amaç fonksiyonu kavramının tanıtılması ve kısıtlamalar, sorunu belirlemenin yollarıdır;

2) farklı kriterleri tek bir modelde birleştirmek mümkündür (örnekte farklı boyutlar - hammadde stokları ve kar);

3) matematiksel programlama modeli, izin verilen değişken değerleri aralığının sınırına gitmeye izin verir;

4) sonuçları elde etmek için adım adım bir algoritma uygulama olasılığı (optimum çözüme adım adım yaklaşım);

5) Sorunun resmi olarak çözülmesinin imkansız olduğu durumlarda yardımcı olan, sorunun geometrik yorumuyla elde edilen netlik.

2) Matematiksel modeller oluşturmak için istatistiksel yöntemler.

Matematiksel modeller oluşturmak için istatistiksel yöntemler yaygınlaştı ve 19. yüzyılda olasılık teorisinin gelişmesiyle birlikte yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Gerçek fenomenleri yansıtan rastgele (stokastik) olayların olasılık yasalarına dayanırlar. "Stokastik" terimi, "rastgele" kavramının bir açıklamasıdır, süreci etkileyen önceden belirlenmiş, kesin nedenleri belirtir ve "rastgele" kavramı, bu tür nedenlerin etkisinden veya yokluğundan bağımsızlık ile karakterize edilir.

İstatistiksel modeller, ayrı rasgele değişkenler ve değerlerinin görünümünün kalıpları şeklinde veya olayların (süreçlerin) dağılımının sürekli bağımlılıkları şeklinde sunulur. Stokastik modeller oluşturmanın teorik temelleri, Bölüm 2'de ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Kontrol soruları

1. Matematiksel modellemenin temel problemini formüle edin.

2. Matematiksel bir modelin tanımını verin.

3. Çalışmadaki deneysel yaklaşımın temel dezavantajlarını listeleyin.

4. Bir model oluşturmanın ana aşamalarını listeleyin.

5. Matematiksel model türlerini listeler.

6. Model türlerinin kısa bir tanımını yapın.

7. Matematiksel model geometrik olarak sunulduğunda nasıl bir biçim alır?

8. Analitik türden matematiksel modeller nasıl belirlenir?

Görevler

1. Problemi çözmek için matematiksel bir model oluşturun ve modeli sınıflandırın:

1) Yüzeyi (kapaksız) S olan silindirik bir kovanın maksimum kapasitesini belirleyin.

2) İşletme, iki taşerondan sorunsuz bileşen temini ile düzenli üretim sağlar. Alt yüklenicilerin ilkinden -, ikincisinden - teslimde ret olasılığı. Bir kurumsal başarısızlık olasılığını bulun.

2. Malthus modeli (1798), bir popülasyonun, büyüklüğüyle orantılı bir oranda yeniden üretilmesini tanımlar. Ayrık biçimde, bu yasa geometrik bir ilerlemedir:; veya Diferansiyel denklem şeklinde yazılan yasa, üstel nüfus artışının bir modelidir ve herhangi bir sınırlama olmaksızın hücre popülasyonlarının büyümesini iyi tanımlar: Başlangıç ​​koşullarını belirleyin ve modelin nasıl çalıştığını gösterin.

Sistemlerin işleyiş süreçlerinin MM'sinin yapımındaki ilk bilgiler, araştırılan (öngörülen) sistem S'nin amacı ve çalışma koşulları hakkındaki verilerdir. Bu bilgi, modellemenin ana amacını, MM gereksinimlerini, soyutlama seviyesini belirler. ve matematiksel modelleme şeması seçimi.

konsept matematiksel şema matematiği bir hesaplama yöntemi olarak değil, bir düşünme yöntemi olarak, sözlü bir açıklamadan işleyişinin sürecinin biçimsel bir temsiline geçişte en önemli olan kavramları formüle etmenin bir aracı olarak düşünmemize izin verir. biraz MM.

Matı kullanırken. şema, her şeyden önce, sistemin araştırmacısı, incelenen sistemdeki gerçek süreçlerin belirli şemaları şeklinde gösterimin yeterliliği sorusuyla ilgilenmeli ve bir cevap alma olasılığı (çözüm sonucu) ile ilgilenmelidir. belirli bir araştırma sorusuna

Örneğin, toplu kullanımlı bir ICS'nin bir kuyruk şemaları ağı şeklinde işleyiş sürecinin temsili, sistemde meydana gelen süreçleri iyi tanımlamayı mümkün kılar, ancak gelen akışların ve hizmet akışlarının karmaşık yasalarıyla, sonuçların açık bir biçimde elde edilmesini mümkün kılmaz.

matematiksel şema dış çevrenin etkisi dikkate alınarak, sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir tanımından resmileştirilmiş bir tanımına geçişte bir bağlantı olarak tanımlanabilir. Onlar. bir zincir var: tanımlayıcı bir model - matematiksel bir şema - bir simülasyon modeli.

Her bir özel sistem S, modellenen nesnenin (gerçek sistem) davranışını ve dış çevre (sistem) E ile etkileşim içinde işleyişinin koşullarını yansıtan değerler olarak anlaşılan bir dizi özellik ile karakterize edilir.

S sisteminin MM'sini oluştururken, eksiksizliği sorununu çözmek gerekir. Modellemenin eksiksizliği, esas olarak "Sistem S - ortam E" sınırlarının seçimi ile düzenlenir. Ayrıca, sistemin ana özelliklerini vurgulamaya yardımcı olan ve ikincil modelleme hedeflerini atmaya yardımcı olan MM'yi basitleştirme sorunu çözülmelidir.

Simülasyon nesnesinin MM'si, yani. sistemin S'si, gerçek bir sistemin işleyişi sürecini tanımlayan ve genel durumda aşağıdaki alt kümeleri oluşturan bir dizi nicelik olarak temsil edilebilir:

Bir dizi X - Sх i Х üzerindeki girdi etkileri, i = 1… n x;

Dış ortamın toplamı v l V, l = 1… n v'yi etkiler;

Sistemin dahili (içsel) parametreleri seti h k H, k = 1… n h;

Sistemin çıktı karakteristikleri seti y j Y, j = 1… n y.

Listelenen kümelerde kontrollü ve kontrolsüz miktarlar ayırt edilebilir. Genel olarak, X, V, H, Y hem deterministik hem de stokastik bileşenleri içeren ayrık kümelerdir. Giriş eylemleri E ve dahili parametreler S bağımsız (dışsal) değişkenler.Çıkış özellikleri - bağımlı değişkenler (endojen)... S operasyon süreci, F S operatörü tarafından açıklanmaktadır:

(1)

Çıktı yörüngesi F S - çalışma yasası S.F S bir fonksiyon, işlevsel, mantıksal koşullar, algoritma, tablo veya kuralların sözlü açıklaması olabilir.

işleyiş algoritması A S - girdi etkilerini dikkate alarak çıktı özelliklerini elde etmek için bir yöntem Açıkçası, aynı FS farklı şekillerde uygulanabilir, yani. birçok farklı A S kullanarak.

İlişki (1), S nesnesinin t zamanındaki davranışının matematiksel bir açıklamasıdır, yani. onu yansıtır dinamik özellikler... (1) sistem S'nin dinamik bir modelidir. Statik koşullar MM için X, V, H'nin Y'ye eşlemeleri vardır, yani. (2)

İlişkiler (1), (2) formüller, tablolar vb. ile belirtilebilir.

Ayrıca, bazı durumlarda ilişkiler, durum adı verilen zaman içinde belirli noktalarda sistemin özellikleri aracılığıyla elde edilebilir.

S sisteminin durumları vektörlerle karakterize edilir:

ve , nerede şu anda t l  (t 0, T)

zamanda t ll  (t 0, T), vb. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t), k boyutlu faz uzayındaki bir noktanın koordinatlarıdır. Sürecin her uygulaması belirli bir aşama yörüngesine karşılık gelecektir.

Durumların () tüm olası değerlerinin kümesine, Z modelleme nesnesinin durum alanı ve z k Z denir.

t 0 zaman aralığında sistem durumu S , burada giriş, iç parametreler ve t * - t 0 zaman aralığında meydana gelen dış ortamın etkileri 2 vektör denklemi kullanılarak:

; (3)

aksi halde: . (5)

Modda zaman. S, simülasyon aralığında (t 0, T) hem sürekli hem de ayrık olarak düşünülebilir, yani. t uzunluğundaki bir segmentte nicelleştirilir.

Bu nedenle, bir nesnenin MM'si altında, bunlar ve özellikler arasındaki matematiksel bağlantılarla birlikte sonlu bir değişkenler kümesini () kastediyoruz.

F, Ф operatörleri deterministik ise modellemeye deterministik denir. belirli bir girdi için çıktı deterministiktir. Deterministik modelleme, stokastik modellemenin özel bir durumudur. Uygulamada, sistem analizi alanındaki nesneleri araştırmanın ilk aşamalarında modellemek, standart matematiksel şemaları kullanmak için daha rasyoneldir: diff. denklemler, sonlu ve olasılıklı otomatlar, QS, vb.

Sahip olunan değil. modeller (3), (4) gibi bir genellik derecesi, tipik matematiksel şemalar basitlik ve netlik avantajına sahiptir, ancak uygulama kapsamında önemli bir daralma ile.

Olarak deterministik modellerde, çalışmada rastgele bir olgu dikkate alınmadığında, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için diferansiyel, integral ve diğer denklemler, ayrık zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için sonlu otomatlar ve sonlu fark şemaları kullanılır.

Stokastik modellerin başlangıcında (rastgele bir faktörü dikkate alarak), ayrık zamanlı sistemleri temsil etmek için olasılıksal otomatlar ve sürekli zamanlı sistemleri temsil etmek için kuyruk sistemleri (QS) kullanılır. Sözde agrega modeller.

Toplu modeller (sistemler), bu nesnelerin sistemik doğasının bir yansıması ile çok çeşitli araştırma nesnelerini tanımlamayı mümkün kılar. Toplu bir tanımla, karmaşık bir nesnenin sınırlı sayıda parçaya (alt sistemler) bölünmesi, bağlantıları korurken parçaların etkileşimini sağlar.

16 Modelleme sistemleri için matematiksel şemalar.

Sistemin matematiksel modellerinin oluşturulmasına temel yaklaşımlar. Sürekli deterministik modeller. Ayrık-deterministik modeller. Ayrık stokastik modeller. Sürekli stokastik modeller. Ağ modelleri. Kombine modeller.

Sistemin matematiksel modellerinin oluşturulmasına temel yaklaşımlar.

Sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerinin yapımındaki ilk bilgiler, araştırılan (tasarlanan) sistemin amacı ve çalışma koşulları hakkındaki verilerdir. S.

Matematiksel şemalar

Gerçek süreçler, belirli diyagramlar şeklinde görüntülenir. Mat. şemalar - çevrenin etkisini dikkate alarak anlamlı bir tanımdan sistemin resmi bir tanımına geçiş.

Resmi Nesne Modeli

Simülasyon nesnesinin modeli,

yani sistemler S, miktarlar kümesi olarak temsil edilebilir,

gerçek bir sistemin işleyiş sürecini tanımlayan ve

genel olarak aşağıdaki alt kümeler:

Toplama giriş işlemleri sistem başına

NSben, eski, (e-karakter aittir)ben=1; nx

Toplama çevresel etkiler

vbenVl = 1; nv

Toplama dahili (kendi) parametreler sistemler

hkeHk = 1; nh

Toplama çıktı özellikleri sistemler

yJeYj = 1; ny

Yönetilen ve yönetilmeyen değişkenler arasında ayrım yapabilirsiniz.

Sistemleri modellerken, girdi etkileri, çevresel etkiler ve dahili parametreler hem deterministik hem de stokastik bileşenleri içerir.

girdi etkileri, çevresel etkiler E ve sistemin iç parametreleri bağımsız (dışsal) değişkenler.

Sistem işletim süreci S operatör tarafından zamanında açıklanan fs, genel durumda dışsal değişkenleri, formun ilişkilerine göre içsel değişkenlere dönüştüren:

y(t) = Fs (x, v, h, t) - hepsi ve ilektori.

Sistemin işleyiş yasası Fs, bir fonksiyon, işlevsel, mantıksal koşullar, algoritmik ve tablo biçiminde veya bir sözlü yazışma kuralı biçiminde belirtilebilir.

İşleyen algoritma kavramı As - girdi eylemlerini, dış ortamın etkilerini ve sistemin içsel parametrelerini dikkate alarak çıktı özelliklerini elde etmek için bir yöntem.

Sistemin durumları da tanıtılır - sistemin belirli zaman noktalarındaki özellikleri.

Durumların tüm olası değerlerinin toplamı, bir nesnenin durum uzayını oluşturur.

Böylece, "giriş - durumlar - çıkış" nesnesinin denklem zinciri, sistemin özelliklerini belirlemenizi sağlar:

Böylece, altında nesnenin matematiksel modeli(gerçek sistem) değişkenlerin sonlu bir alt kümesini anlamak (x (t), v (t), h(t)) aralarındaki matematiksel ilişkiler ve özellikler ile birlikte YT).

Tipik şemalar

Çalışmanın ilk aşamalarında standart şemalar kullanılır. : diferansiyel denklemler, sonlu ve olasılıklı otomatlar, kuyruk sistemleri, Petri ağları vb.

Çalışmada rastgele faktörlerin dikkate alınmadığı durumlarda, sürekli zamanda çalışan sistemleri deterministik modeller olarak temsil etmek için diferansiyel, integral, integro-diferansiyel ve diğer denklemler kullanılır ve sonlu otomatlar ve sonlu fark şemaları, çalışan sistemleri temsil etmek için kullanılır. ayrık zaman....

Olasılıklı otomatlar, ayrık zamanlı sistemleri temsil etmek için stokastik modeller (rastgele faktörleri dikkate alarak) olarak kullanılır ve kuyruk sistemleri, sürekli zamana sahip sistemleri temsil etmek için kullanılır, vb.

Bu nedenle, sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerini oluştururken, aşağıdaki ana yaklaşımlar ayırt edilebilir: sürekli-deterministik (örneğin, diferansiyel denklemler); ayrık-deterministik (sonlu otomatlar); kesikli stokastik (olasılıklı otomatlar); sürekli stokastik (kuyruk sistemleri); genelleştirilmiş veya evrensel (toplu sistemler).

Sürekli deterministik modeller

Mat kullanarak bir örnek kullanarak sürekli deterministik yaklaşımın özelliklerini ele alalım. modeller diferansiyel denklemler.

Diferansiyel denklemler, bir veya birkaç değişkenin fonksiyonlarının bilinmediği denklemlerdir ve denklem sadece onların fonksiyonlarını değil, çeşitli derecelerdeki türevlerini de içerir.

Bilinmeyenler birkaç değişkenli fonksiyonlarsa, denklemler şu şekilde adlandırılır: kısmi diferansiyel denklemler. Bir bağımsız değişkenin bilinmeyen fonksiyonları varsa, o zaman adi diferansiyel denklemler.

Deterministik sistemler için genel matematiksel ilişki:

Ayrık-deterministik modeller.

DDM incelemeye tabidir otomat teorisi (TA)... TA, ayrık bilgileri işleyen ve iç durumlarını yalnızca kabul edilebilir zamanlarda değiştiren cihazları inceleyen teorik sibernetiğin bir bölümüdür.

durum makinesi iç durumlar ve giriş sinyallerinin (ve dolayısıyla çıkış sinyalleri kümesinin) sonlu kümeler olduğu bir otomat olarak adlandırılır.

Sonlu durum makinesi sonlu kümeler olan birçok iç duruma ve giriş sinyaline sahiptir. makine F-şeması tarafından verilen: F = ,

burada z, x, y sırasıyla sonlu giriş ve çıkış sinyalleri kümeleri (alfabeler) ve sonlu bir iç durumlar kümesidir (alfabe). z0ÎZ - başlangıç ​​durumu; j (z, x) - geçiş işlevi; y (z, x) - çıkış işlevi.

Otomat, anları döngü olan, yani her biri giriş, çıkış sinyali ve dahili durumun sabit değerlerine karşılık gelen eşit zaman aralıklarına bitişik olan ayrık otomat zamanında çalışır. Soyut bir otomatın bir girişi ve bir çıkış kanalı vardır.

Bir F - otomatını tanımlamak için, F = kümesinin tüm elemanlarını tanımlamak gerekir. , yani giriş, dahili ve çıkış alfabelerinin yanı sıra geçiş ve çıkış işlevleri. F - otomatların çalışmasını ayarlamak için en çok tablo, grafik ve matris yöntemleri kullanılır.

Tablo şeklinde ayar, satırları otomatın giriş sinyallerine ve sütunlara - durumlarına karşılık gelen geçiş ve çıkış tabloları kullanılır.

İş tanımı F- Miles hafif makineli tüfek j geçişleri ve y çıkışları tabloları tablo (1) ile gösterilmektedir ve F - Moore otomatının tanımı - geçişler tablosu (2) ile gösterilmektedir.

tablo 1

geçişler
…………………………………………………………
…………………………………………………………

Tablo 2

…………………………………………………………

F - üç durumlu, iki giriş ve iki çıkış sinyaline sahip Mealy otomat F1'i belirtmenin tablo yolu örnekleri tablo 3'te ve F için - Moore otomat F2 - tablo 4'te verilmiştir.

Tablo 3

geçişler

Tablo 4

Bir sonlu durum makinesini tanımlamanın başka bir yolu, yönlendirilmiş bir grafik kavramını kullanır. Otomat grafiği, otomatın farklı durumlarına karşılık gelen ve otomatın belirli geçişlerine karşılık gelen grafik yaylarının köşelerini birbirine bağlayan bir dizi köşe noktasıdır. Giriş sinyali xk, zi durumundan zj durumuna bir geçişe neden oluyorsa, otomat grafiğinde zi tepe noktasını zj tepe noktasına bağlayan yay xk ile gösterilir. Geçiş fonksiyonunu ayarlamak için, grafik yayları karşılık gelen çıkış sinyalleriyle işaretlenmelidir.

Pirinç. 1. Mealy (a) ve Moore (b)'nin otomatlarının grafikleri.

Modelleme problemlerini çözerken, sonlu durumlu bir makinenin matris tanımı genellikle daha uygun bir biçimdir. Bu durumda, otomatın bağlantı matrisi bir kare matristir C = || cij ||, satırları başlangıç ​​durumlarına ve sütunları geçiş durumlarına karşılık gelir.

Örnek. Daha önce ele alınan Moore otomat F2 için durum matrisini ve çıktı vektörünü yazıyoruz:

;

Ayrık stokastik modeller

(zk, yi) biçimindeki tüm olası çiftlerin kümesi Ф olsun, burada уi çıktının bir öğesidir

Y alt kümesi. G kümesinin herhangi bir öğesinin indüklemesini istiyoruz.

sette Ф aşağıdaki formun bazı dağıtım yasası:

Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ) öğesinden öğeler

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Bilgi ağları "href =" / metin / kategori / informatcionnie_seti / "rel =" yer imi "> uzak terminallerden bilgisayar bilgilerinin işlenmesi vb.

Aynı zamanda, tipik

bu tür nesnelerin çalışması, uygulamaların (gereksinimlerin) rastgele görünümüdür.

rastgele zamanlarda hizmet ve hizmetin sona ermesi,

yani, işleyiş sürecinin stokastik doğası.

QS, sınırlı sistem kaynaklarıyla rastgele bir uygulama akışına verimli bir şekilde hizmet vermek için tasarlanmış dinamik bir sistem olarak anlaşılır. QS'nin genelleştirilmiş yapısı Şekil 3.1'de gösterilmektedir.

Pirinç. 3.1. SMO şeması.

QS'nin girişine gelen homojen talepler, üretici nedene bağlı olarak türlere ayrılır, i tipi istemlerin akışının yoğunluğu (i = 1 ... M) li ile gösterilir. Her türden uygulamanın toplamı, QS'nin gelen akışıdır.

Uygulamaların servisi gerçekleştirilir m kanallar.

Evrensel ve özel hizmet kanalları arasında ayrım yapın. j tipi evrensel bir kanal için, isteğe bağlı tipteki istemlerin hizmet süresinin dağıtım fonksiyonları Fji(t) bilindiği kabul edilir. Özelleştirilmiş kanallar için, belirli talep türlerinin kanallarının hizmet süresi için dağıtım işlevleri tanımlanmamıştır, bu taleplerin bu kanala atanması.

Q - devreleri analitik olarak ve simülasyon modelleri ile incelenebilir. İkincisi büyük bir çok yönlülük sağlar.

Kuyruk kavramını ele alalım.

Herhangi bir temel hizmet eyleminde, iki ana bileşen ayırt edilebilir: iddia ile hizmet beklentisi ve talebin fiili hizmeti. Bu, aynı anda li = 0 … bir talep hizmeti kanalı, ki.

Pirinç. 3.2. CMO cihazının şematik diyagramı

Servis cihazı Pi'nin her bir elemanı olay akışlarını alır: Hi akümülatörüne yönelik taleplerin akışı ve ki kanalına servis ui'sinin akışı.

Olayların akışına göre(PS), zaman içinde bazı rastgele anlarda birbiri ardına meydana gelen bir olaylar dizisidir. Homojen ve heterojen olayların akışları arasında ayrım yapın. Homojen PS, yalnızca bu olayların varış anlarıyla (anlara neden olan) karakterize edilir ve (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…) dizisiyle verilir; burada tn, n'incinin varış anıdır. olay - negatif olmayan bir gerçek sayı. TSA, n'inci ve n-1'inci olaylar (tn) arasındaki bir dizi zaman aralığı olarak da belirtilebilir.

Heterojen PS'ye bir dizi (tn, fn) denir, burada tn - anlara neden olur; fn - bir dizi olay özniteliği. Örneğin, bir veya başka bir talep kaynağına, bir önceliğin varlığına, bir veya başka tür kanala hizmet etme kabiliyetine vb.

Ki kanalı tarafından sunulan talepler ve çeşitli nedenlerle Pi sunucusundan ayrılan talepler, çıkış akımı yiÎY'yi oluşturur.

Servis cihazı Pi'nin işleyiş süreci, elemanlarının durumlarını Zi(t) zamanında değiştirme süreci olarak temsil edilebilir. Pi için yeni bir duruma geçiş, içinde bulunan isteklerin sayısında bir değişiklik anlamına gelir (ki kanalında ve Hi akümülatöründe). O. Pi için durum vektörü şu şekildedir:, sürücünün durumları nerede, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height = " 28 "> = 1 - depolamada bir istek var ..., = - depolama tamamen dolu; - ki kanalının durumu (= 0 - kanal boş, = 1 kanal meşgul).

Gerçek nesnelerin Q diyagramları, birçok temel hizmet cihazı Pi'nin bileşimi ile oluşturulur. Eğer ki farklı servis cihazları paralel bağlanırsa, çok kanallı servis (çok kanallı Q-devresi) ve Pi cihazları ve bunların paralel bileşimleri seri olarak bağlanırsa, çok fazlı servis (çok fazlı Q-devresi) vardır.

Bir Q şemasını tanımlamak için, çeşitli belirsiz durumlarda iddiaların davranış kurallarını belirleyen işleyişi için algoritmaları da tanımlamak gerekir.

Bu tür durumların meydana geldiği yere bağlı olarak, Нi akümülatöründe talepleri beklemek ve ki kanalındaki taleplere hizmet etmek için algoritmalar (disiplinler) vardır. Başvuru akışının heterojenliği, bir öncelik sınıfı - göreceli ve mutlak öncelikler getirilerek dikkate alınır.

O. Herhangi bir karmaşıklıktaki bir QS'nin işleyiş sürecini tanımlayan bir Q-şeması, benzersiz bir şekilde bir dizi set olarak tanımlanır: Q = .

Ağ modelleri.

Paralel sistemlerin ve süreçlerin yapısının ve etkileşiminin resmi bir tanımı için ve ayrıca karmaşık sistemlerde neden-sonuç ilişkilerinin analizi için N-şemaları olarak adlandırılan Petri Ağları kullanılır.

Resmi olarak, N-şeması formun dört katı ile verilir.

N = ,

burada B, konumlar olarak adlandırılan sonlu bir semboller kümesidir, B ≠ O;

D, D ≠ O geçişleri olarak adlandırılan sonlu bir semboller kümesidir,

B ∩ D ≠ O; I - giriş işlevi (doğrudan gelme işlevi)

I: B × D → (0, 1); О - çıkış fonksiyonu (ters geliş fonksiyonu),

О: B × D → (0, 1). Böylece, giriş işlevi dj geçişini eşler.

giriş konumları kümesi bj I (dj) ve çıkış işlevi O eşler

dj'yi çıkış konumları kümesine geçiş bj О (dj). Her geçiş için

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

ben = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Benzer şekilde, her bi B pozisyonu için tanımlar girilir.

konum I (bi) giriş geçişleri ve çıkış geçişleri seti

O (bi) konumu:

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Petri ağı, iki tür köşeden oluşan iki parçalı yönlendirilmiş bir grafiktir - yaylarla birbirine bağlanan konumlar ve geçişler; aynı türdeki köşeler doğrudan bağlanamaz.

Petri ağı örneği. Beyaz daireler konumları, çizgileri - geçişleri, siyah daireler - etiketleri gösterir.

Yönlendirme yayları, konumları ve geçişleri birbirine bağlar, her bir yay bir kümenin (konum veya geçiş) öğesinden başka bir kümenin öğesine yönlendirilir.

(geçiş veya konum). N-tasarım grafiği bir çoklu grafiktir, çünkü

bir tepe noktasından diğerine çoklu yayın varlığını kabul eder.

Ayrıştırma "href =" / metin / kategori / dekompozitciya / "rel =" yer imi "> ayrıştırma karmaşık bir sistem, birbirine bağlı öğelerin çeşitli seviyelerde alt sistemlerde birleştirilmesiyle çok seviyeli bir yapı olarak temsil edilir.

Bir küme, A-diyagramının bir öğesi olarak işlev görür ve kümeler arasındaki bağlantı (S sisteminin içinde ve E dış ortamıyla) konjugasyon operatörü R kullanılarak gerçekleştirilir.

Herhangi bir birim aşağıdaki kümelerle karakterize edilir: zamanlar T, giriş X ve çıkış Y sinyalleri, her t anında Z durumları. Birimin tT anındaki durumu z(t)Z olarak gösterilir,

ve sırasıyla x (t) X ve y (t) Y olarak giriş ve çıkış sinyalleri.

Toplamın z (t1) durumundan z (t2) ≠ z (t1) durumuna geçişinin kısa bir zaman aralığında gerçekleştiğini, yani bir δz atlama olduğunu varsayacağız.

Birimin z (t1) durumundan z (t2) durumuna geçişleri, birimin kendisinin h (t) H ve giriş sinyalleri x (t) X'in içsel (dahili) parametreleri tarafından belirlenir.

İlk t0 anında, z durumları, z0'a eşit değerlere sahiptir, yani, z0 = z (t0), z (t) işleminin t0 zamanında, yani J'de dağıtım yasası tarafından verilir. Sürecin Eylem giriş sinyali xn durumunda birimin işleyişi, rastgele bir operatör V tarafından tanımlanır. Daha sonra, giriş sinyali tnT birimine ulaştığı anda

xn durumu belirleyebilirsiniz

z (tn + 0) = V.

Yarı zaman aralığını t1 gösteriyoruz< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Rastgele operatörler V ve U'nun toplanması, toplamın yeni durumlara geçişlerinin bir operatörü olarak kabul edilir. Bu durumda, ünitenin çalışma süreci, x giriş sinyallerinin (işleç V) varış anlarındaki δz durumlarının atlamalarından ve bu tn ve tn + 1 (işleç U) anları arasındaki durumlardaki değişikliklerden oluşur. U operatörüne herhangi bir kısıtlama getirilmemiştir; bu nedenle, x giriş sinyallerinin varış zamanı olmayan zamanlarda δz durumlarının atlamalarına izin verilir. Aşağıda, δz atlama anlarına özel tδ anları ve z (tδ) durumları - A-şemasının özel durumları adı verilecektir. δz durumlarının tδ özel zamanlarındaki sıçramalarını tanımlamak için, U operatörünün özel bir durumu olan rasgele W operatörünü kullanacağız, yani.

z (tδ + 0) = W.

Z durumları kümesinde, bir Z (Y) alt kümesi ayırt edilir, öyle ki z (tδ) Z'ye (Y) ulaşırsa, o zaman bu durum çıkış operatörü tarafından belirlenen çıkış sinyalinin verildiği an olur.

y = G.

Bu nedenle, bir küme ile, dikkate alınan T, X, Y, Z, Z (Y), H kümelerinin sıralı bir koleksiyonu ve V, U, W, G rastgele operatörleri tarafından tanımlanan herhangi bir nesneyi kastediyoruz.

A-şemasına varış sırasına göre düzenlenen giriş sinyalleri dizisine bir giriş mesajı veya x-mesajı adı verilecektir. Yayınlanma zamanına göre sıralanmış bir dizi çıkış sinyali, bir çıkış mesajı veya y-mesajı olarak adlandırılacaktır.

KISACA

Sürekli-deterministik modeller (D-şemaları)

Sürekli zamanda çalışan sistemleri incelemek için kullanılırlar. Diferansiyel, integral, integral diferansiyel denklemler bu tür sistemleri tanımlamak için kullanılır. Adi diferansiyel denklemlerde sadece bir bağımsız değişkenli fonksiyon, kısmi diferansiyel denklemlerde ise birkaç değişkenli fonksiyon kabul edilir.

D-modellerinin uygulanmasına bir örnek olarak, mekanik bir sarkacın veya bir elektrik salınım devresinin çalışmasının çalışmasına atıfta bulunulabilir. D-modellerinin teknik temeli, analog bilgisayarlardan (AVM) veya şu anda hızla gelişen hibrit bilgisayarlardan (GVM) oluşur. Bildiğiniz gibi, bir bilgisayarda araştırmanın temel ilkesi, verilen denklemlere göre, araştırmacının (AVM kullanıcısı) ayrı tipik düğümlerden bir devre oluşturmasıdır - ölçekleme, sönümleme, yaklaşım için devrelerin dahil olduğu işlemsel yükselteçler, vesaire.

ABM'nin yapısı, tekrarlanabilir denklemlerin biçimine göre değişir.

Dijital bir bilgisayarda yapı değişmeden kalır, ancak düğümlerinin çalışma sırası, içinde belirtilen programa göre değişir. AVM ve dijital bilgisayarın karşılaştırılması, simülasyon ve istatistiksel modelleme arasındaki farkı açıkça göstermektedir.

ABM bir simülasyon modeli uygular, ancak kural olarak istatistiksel modelleme ilkelerini kullanmaz. Dijital bilgisayarlarda, simülasyon modellerinin çoğu, rastgele sayılar, süreçler, yani istatistiksel modelleme üzerine çalışmaya dayanır. Sürekli deterministik modeller, otomatik kontrol sistemleri, sönümleme sistemlerinin seçimi, rezonans olaylarının ve teknolojideki salınımların tanımlanması çalışmalarında makine mühendisliğinde yaygın olarak kullanılmaktadır.
vesaire.

Ayrık-deterministik modeller (F-devreleri)

Ayrık zamanla çalışın. Bu modeller, günümüzde son derece önemli ve yaygın bir ayrık otomata sistemleri sınıfının çalışmasını incelemek için temel oluşturur. Araştırmalarının amacı için, otomata teorisinin bağımsız bir matematiksel aygıtı geliştirilmiştir. Bu teoriye dayanarak, sistem, ayrık bilgileri işleyen ve işlemenin sonuçlarına, iç durumlarına bağlı olarak değişen bir otomat olarak kabul edilir.

Bu model, bir devredeki, cihazdaki eleman ve düğüm sayısını, bir bütün olarak cihazın optimizasyonunu ve düğümlerinin çalışma sırasını en aza indirme ilkelerine dayanmaktadır. Elektronik devrelerle birlikte, bu model tarafından açıklanan otomatların çarpıcı bir temsilcisi, teknolojik süreçleri belirli bir deterministik sırayla (belirli bir programa göre) kontrol eden bir robottur.

Sayısal kontrol makinesi de bu model tarafından açıklanmıştır. Bu makinedeki işleme parçalarının sırasının seçimi, zaman / 4 / içinde belirli noktalarda kontrol sinyalleri üreten kontrol ünitesinin (kontrolör) ayarlanmasıyla gerçekleştirilir.

Otomata teorisi, sinyallerin iki olası değeri olan 0 ve 1 üzerinde çalışan Boole fonksiyonlarının matematiksel aygıtını kullanır.

Otomatlar hafızasız otomatlar, hafızalı otomatlar olarak ikiye ayrılır. Çalışmalarının tanımı, makinenin bir durumdan diğerine geçişlerini gösteren tablolar, matrisler, grafikler kullanılarak yapılır. Makinenin çalışmasının her türlü açıklaması için analitik değerlendirmeler çok hantaldır ve nispeten az sayıda eleman, cihazı oluşturan düğümler ile bile pratik olarak pratik değildir. Bu nedenle, şüphesiz robotik cihazları içeren karmaşık otomat devrelerinin çalışması simülasyon kullanılarak gerçekleştirilir.

Ayrık stokastik modeller (P-şemaları)

Olasılıksal otomatların çalışmalarını incelemek için kullanılırlar. Bu tip otomatlarda, bir durumdan diğerine geçişler, dış sinyallerin etkisi altında ve otomatın iç durumu dikkate alınarak gerçekleştirilir. Ancak, T-otomatlarından farklı olarak, bu geçişler kesin olarak deterministik değildir, ancak belirli olasılıklarla gerçekleşebilir.

Böyle bir modelin bir örneği, sonlu bir durum kümesine sahip ayrı bir Markov zinciridir. F şemalarının analizi, geçiş olasılığı matrislerinin işlenmesine ve dönüştürülmesine ve olasılık grafiklerinin analizine dayanmaktadır. Halihazırda davranışları F-devreleri tarafından tanımlanan nispeten basit cihazların analizi için simülasyon kullanılması tavsiye edilir. Böyle bir simülasyonun bir örneği madde 2.4'te verilmiştir.

Sürekli stokastik modeller (Q şemaları)

Kuyruk sistemleri olarak kabul edilen geniş bir sistem sınıfının analizinde kullanılırlar. Bir hizmet süreci olarak, fiziksel yapıları farklı olan süreçler temsil edilebilir: bir işletmeye ürün tedarik akışları, özel yapım bileşen ve ürün akışları, bir montaj hattındaki parça akışları, kontrol merkezinden kontrol eylemleri akışları. ACS'yi işyerlerine gönderme ve bir bilgisayarda bilgi işleme vb.

Tipik olarak, bu akışlar birçok faktöre ve belirli durumlara bağlıdır. Bu nedenle, çoğu durumda, bu akışlar herhangi bir zamanda değişiklik olasılığı ile zaman içinde rastgeledir. Bu tür şemaların analizi, kuyruk teorisinin matematiksel aparatı temelinde gerçekleştirilir. Bunlar, sürekli bir Markov zincirini içerir. Analitik yöntemlerin, kuyruk teorisinin geliştirilmesinde kaydedilen önemli ilerlemelere rağmen, Q şemalarının analitik yöntemlerle analizi ancak önemli basitleştirici varsayımlar ve varsayımlarla gerçekleştirilebilir. Bu şemaların çoğunun, özellikle proses kontrol sistemleri, robotik sistemler gibi karmaşık olanların ayrıntılı bir incelemesi, yalnızca simülasyon kullanılarak gerçekleştirilebilir.

Genelleştirilmiş modeller (A-diyagramları)

Toplama yöntemine dayalı olarak herhangi bir sistemin işleyiş süreçlerinin açıklamasına dayanmaktadır. Toplu tanımlama ile sistem, matematiksel tanımlama için uygun sayılabilecek ayrı alt sistemlere bölünür. Böyle bir bölünmenin (ayrışmanın) bir sonucu olarak, karmaşık bir sistem, bireysel seviyeleri (toplamaları) analize uygun olan çok seviyeli bir sistem şeklinde sunulur. Bireysel kümelerin analizine dayanarak ve bu kümelerin ara bağlantı yasalarını dikkate alarak, tüm sistem hakkında kapsamlı bir çalışma yapmak mümkündür.

, Yakovlev Sistemleri. 4. baskı. - E.: Yüksekokul, 2005 .-- S. 45-82.

Modelleme sistemleri için matematiksel şemalar

Simülasyonun artıları ve eksileri

Ana itibar karmaşık sistemlerin çalışmasında simülasyon:

· Her koşulda sistem S'nin işleyiş sürecinin özelliklerini keşfetme yeteneği;

· Bilgisayar kullanımı nedeniyle, tam ölçekli bir deneye kıyasla testlerin süresi önemli ölçüde azalır;

· Gerçek bir sistemin veya parçalarının tam ölçekli testlerinin sonuçları simülasyon için kullanılabilir;

· Sistemin optimal versiyonunu ararken, modellenen sistemin yapısını, algoritmalarını ve parametrelerini değiştirme esnekliği;

· Karmaşık sistemler için - bu, sistemlerin işleyişi sürecini incelemek için pratik olarak gerçekleştirilebilir tek yöntemdir.

Ana sınırlamalar simülasyon modelleme:

· Sistem işleyişi sürecinin özelliklerinin eksiksiz bir analizi ve optimal seçeneğin aranması için, problemin ilk verilerini değiştirerek simülasyon deneyini birçok kez yeniden oluşturmak gerekir;

· Büyük bilgisayar zaman harcamaları.

Makine modellemenin etkinliği. Simülasyon yaparken, sistem modelinin maksimum verimliliğini sağlamak gerekir. Yeterlik genellikle, modelin işletilmesi sırasında elde edilen sonuçların değerinin bir ölçüsü ile geliştirilmesine ve yaratılmasına yatırılan maliyetler arasındaki bir fark olarak tanımlanır.

Simülasyon modellemenin etkinliği bir dizi kriterle değerlendirilebilir:

Simülasyon sonuçlarının doğruluğu ve güvenilirliği,

Model oluşturma ve çalışma zamanı m,

Makine kaynaklarının maliyeti (zaman ve bellek),

· Modeli geliştirme ve işletme maliyeti.

Etkililiğin en iyi ölçüsü, gerçek çalışmalarla elde edilen sonuçların karşılaştırılmasıdır. İstatistiksel bir yaklaşım kullanılarak, belirli bir doğruluk derecesi ile (bir makine deneyinin gerçekleşme sayısına bağlı olarak), sistem davranışının ortalama özellikleri elde edilir.

Bilgisayar zamanının toplam maliyeti, her simülasyon algoritması için giriş ve çıkış süresi, RAM ve harici cihazlara erişimin yanı sıra her simülasyon algoritmasının karmaşıklığı ve hesaplama işlemlerinin gerçekleştirilme süresi dikkate alınarak hesaplanır. deneylerin planlanması.

Matematiksel şemalar.Matematiksel model Oluşturulan teknik nesnenin fiziksel özelliklerini yeterince yansıtan matematiksel nesneler (sayılar, değişkenler, kümeler, vektörler, matrisler vb.) ve bunlar arasındaki ilişkiler topluluğudur. Matematiksel bir model oluşturma ve bunu analiz ve sentez için kullanma sürecine denir. matematiksel modelleme.

Sistemin matematiksel bir modelini oluştururken, eksiksizliği sorununu çözmek gerekir. Modelin bütünlüğü esas olarak sınır “sistemi” seçimi ile düzenlenir. S- Çarşamba E". Ayrıca, modellemenin amacına bağlı olarak, sistemin ana özelliklerini vurgulamaya yardımcı olan, ikincil özellikleri atarak, modeli basitleştirme sorunu çözülmelidir.

Sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir tanımından resmi bir tanımına geçişte, dış çevrenin etkisini dikkate alarak uygulayın. matematiksel şema"tanımlayıcı model - matematiksel şema - matematiksel (analitik ve / veya simülasyon) model" zincirinde bir bağlantı olarak.

Nesnenin resmi modeli. Nesne modeli (sistemler S) gerçek bir sistemin işleyiş sürecini tanımlayan bir dizi nicelik olarak temsil edilebilir:

Sistem üzerinde bir dizi girdi etkisi

x ben = X,ben =;

Bir dizi çevresel etki

v J = V, J= ;

Sistemlerin bir dizi dahili (iç) parametresi

hk = H, k =;

Sistemin çıktı özellikleri seti

yj = Y, j =.

Genel olarak x ben, v j, h k, y j ayrık alt kümelerin öğeleridir ve hem deterministik hem de stokastik bileşenleri içerir.

Girdi etkileri, çevresel etkiler E ve sistemin iç parametreleri bağımsız (dışsal) vektör biçiminde sırasıyla ( T) = (x 1 (T), x 2 (T), …, x nX(T)); (T) = (v 1 (T), v 2 (T), …, v nV(T)); (T) = (H 1 (T), H 2 (T), …, h nN(T)) ve çıktı özellikleri bağımlı (endojen) değişkenler ve vektör formunda şu şekildedir: ( T) = (NS 1 (T), NS 2 (T), …, nY'de(T)). Yönetilen ve yönetilmeyen değişkenler arasında ayrım yapabilirsiniz.

Sistem işletim süreci S operatör tarafından zamanında açıklanan FS biçim ilişkilerine göre dışsal değişkenleri içsel değişkenlere dönüştüren

(T) = FS(,,, T). (2.1)

Sistemin çıktı özelliklerinin zamana bağlılığı y j(T) tüm türler için j = aranan çıktı yörüngesi (T). Bağımlılık (2.1) denir sistem işleyişi yasası F S Bir fonksiyon, işlevsel, mantıksal koşullar şeklinde, algoritmik, tablo şeklinde veya sözlü eşleştirme kuralı şeklinde belirtilen. A S işleyişinin algoritması girdi etkilerini dikkate alarak çıktı özelliklerini elde etme yöntemi olarak adlandırılır ( T), çevresel etkiler ( T) ve sistemin kendi parametreleri ( T). Aynı işleyiş yasası FS sistemler Sçeşitli şekillerde uygulanabilir, yani. birçok farklı işleyiş algoritması kullanarak OLARAK.

Matematiksel modeller denir dinamik(2.1) matematiksel ilişkiler modelleme nesnesinin (sisteminin) zaman içindeki davranışını tanımlıyorsa T, yani dinamik özellikleri yansıtır.

İçin statik matematiksel model, modellenmiş bir nesnenin özelliklerinin iki alt kümesi arasındaki bir eşlemedir. Y ve ( X, V, H) belirli bir anda, vektör biçiminde şu şekilde yazılabilir:

= F(, , ). (2.2)

(2.1) ve (2.2) ilişkileri farklı şekillerde belirtilebilir: analitik olarak (formüller kullanılarak), grafik olarak, tablo şeklinde vb. Bu ilişkiler sistemin özellikleri aracılığıyla elde edilebilir. S zaman içinde belirli noktalarda, durumlar denir. sistemin durumu S vektörlerle karakterize

" = (z" 1, z " 2, …, Z "k) ve "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

nerede z" 1 = z 1 (T "), z" 2 = z 2 (T "), …, z "k= zk(T ") anda T "Î ( T 0 , T); z "" 1 = z 1 (T ""), z "" 2 = z 2 (T ""), …, z "" k = zk(T "") anda T ""Î ( T 0 , T) vesaire. k =.

Sistemin işleyiş sürecini düşünürsek S sıralı bir durum değişikliği olarak z 1 (T), z 2 (T), …, zk(T), daha sonra bir noktanın koordinatları olarak yorumlanabilirler. k-boyutlu faz boşluğu... Ayrıca, sürecin her uygulaması belirli bir aşama yörüngesine karşılık gelecektir. Durumların () tüm olası değerlerinin kümesine denir durum uzayı modelleme nesnesi Z, ve
zkÎ Z.

Sistem durumları Sşu anda T 0 < T * £ T tamamen başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [nerede z 0 1 = z 1 (T 0),
z 0 2 = z 2 (T 0), …, z 0 k = zk(T 0)], giriş işlemleri ( T), dahili parametreler ( T) ve dış çevrenin etkileri ( T) zaman aralığında gerçekleşen T * – T 0, iki vektör denklemi kullanarak

(T) = Ф (0,,,, T); (2.3)

(T) = F (, T). (2.4)

Başlangıç ​​durumu 0 ve dışsal değişkenler için ilk denklem, vektör fonksiyonunu belirler ( T) ve ikinci durumların elde edilen değerine göre ( T) Sistemin çıkışındaki içsel değişkenlerdir ( T). Böylece, "giriş - durumlar - çıkış" nesnesinin denklem zinciri, sistemin özelliklerini belirlemenizi sağlar.

(T) = F [Ф (0,,,, T)]. (2.5)

Genel olarak, sistem modelindeki zaman S simülasyon aralığında (0, T) hem sürekli hem de ayrık, yani. uzunluk D segmentlerine nicelenmiş T zaman birimleri her zaman T = m NS T, nerede m = - örnekleme aralıklarının sayısı.

Böylece, altında matematiksel model nesne (gerçek sistem) değişkenlerin sonlu bir alt kümesini anlar (( T), (T), (T)) aralarındaki matematiksel bağlantılar ve özelliklerle birlikte ( T).

Modelleme nesnesinin matematiksel açıklaması rastgele öğeler içermiyorsa veya bunlar dikkate alınmıyorsa, yani. bu durumda dış çevrenin stokastik etkilerinin ( T) ve stokastik iç parametreler ( T) yoksa model çağrılır deterministiközelliklerin deterministik girdiler tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmesi anlamında

(T) = F(, T). (2.6)

Açıktır ki, deterministik model, stokastik modelin özel bir durumudur.

Tipik matematiksel şemalar. Sistem araştırmasının ilk aşamalarında sistem mühendisliği ve sistem analizi alanındaki nesnelerin modellenmesi uygulamasında, kullanımı daha rasyoneldir. tipik matematiksel şemalar: diferansiyel denklemler, sonlu ve olasılıklı otomatlar, kuyruk sistemleri, Petri ağları, küme sistemleri vb.

Tipik matematiksel şemalar, basitlik ve netlik avantajlarına sahiptir. Çalışmada rastgele faktörlerin dikkate alınmadığı durumlarda, sürekli zamanda çalışan sistemleri deterministik modeller olarak temsil etmek için diferansiyel, integral, integro-diferansiyel ve diğer denklemler kullanılır ve sonlu otomatlar ve sonlu fark şemaları, çalışan sistemleri temsil etmek için kullanılır. ayrık zaman. Ayrık zamanlı sistemleri temsil etmek için olasılıklı otomatlar (rastgele faktörleri hesaba katan) stokastik modeller olarak kullanılır ve sürekli zamanlı sistemleri temsil etmek için kuyruk sistemleri kullanılır. Petri ağları, birkaç işlemin aynı anda paralel olarak gerçekleştiği karmaşık sistemlerde neden-sonuç ilişkilerini analiz etmek için kullanılır. Sürekli ve ayrık, deterministik ve stokastik sistemlerin (örneğin, ASOIU) davranışını tanımlamak için bir toplu sisteme dayalı genelleştirilmiş (evrensel) bir yaklaşım uygulanabilir. Toplu tanımlamada, karmaşık bir nesne (sistem), parçaların etkileşimini sağlayan bağlantıları korurken sonlu sayıda parçaya (alt sistemler) bölünür.

Böylece, sistemlerin işleyişi süreçlerinin matematiksel modellerini oluştururken, aşağıdaki ana yaklaşımlar ayırt edilebilir: sürekli-deterministik ( NS-şemalar); ayrık-deterministik ( F-şemalar); ayrık stokastik ( r-şemalar); sürekli stokastik ( Q-şemalar); ağ ( n-şemalar); genelleştirilmiş veya evrensel ( a-şemaları).

2.2. Sürekli deterministik modeller ( NS-şemaları)

temel ilişkiler... Diferansiyel denklemlerin matematiksel model olarak kullanılması örneğinde sürekli deterministik yaklaşımın özelliklerini ele alalım. Diferansiyel denklemler bir veya birkaç değişkenin fonksiyonlarının bilinmediği denklemler olarak adlandırılır ve denklem sadece fonksiyonları değil, aynı zamanda çeşitli derecelerdeki türevlerini de içerir. Birden fazla değişkenin bilinmeyen fonksiyonları varsa, denklemler denir. kısmi diferansiyel denklemler, aksi takdirde, bir bağımsız değişkenin bir fonksiyonu düşünüldüğünde, denklemler denir adi diferansiyel denklemler.

Deterministik sistemler (2.6) için genel matematiksel ilişki şöyle olacaktır:

" (T) = (, T); (T 0) = 0 , (2.7)

nerede " = NS/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) ve = ( F 1 , F 2 , …, fn) – n-boyutlu vektörler; (, T) Bazılarında tanımlanmış bir vektör fonksiyonudur ( n+1) -boyutlu (, T) set ve süreklidir.

Bu tür matematiksel şemalara denir. D-devreleri(eng. dinamik), incelenen sistemin dinamiklerini yansıtırlar ve zaman genellikle bilinmeyen bilinmeyen fonksiyonların bağlı olduğu bağımsız bir değişken olarak hizmet eder. T.

En basit durumda, bir adi diferansiyel denklem şu şekildedir:

y"(T) = F(y, T). (2.8)

Farklı nitelikteki iki temel devrenin işleyiş sürecini resmileştirmenin en basit örneğini düşünün: mekanik S M (sarkaçın salınımı, şek. 2.1, a) ve elektrik S K (salınımlı devre, Şekil 2.1, B).

Pirinç. 2.1. Temel sistemler

Sarkaçın küçük salınımları süreci, adi diferansiyel denklem ile tanımlanır.

m m ben M2 ( NS 2 F(T)/ dt 2) + m m gl m F(T) = 0,

nerede m M, ben M sarkacın süspansiyonunun kütlesi ve uzunluğudur; G- yerçekimi ivmesi; F(T) Zaman anındaki sarkacın sapma açısıdır T.

Sarkacın bu serbest salınım denkleminden, ilgilenilen özelliklerin tahminleri bulunabilir. Örneğin, bir sarkacın salınım periyodu

T M = 2p.

Benzer şekilde, elektrik salınım devresindeki işlemler adi diferansiyel denklem ile tanımlanır.

L K ( NS 2 Q(T)/dt 2) + (Q(T)/C K) = 0,

nerede L K, C K - kapasitörün endüktansı ve kapasitansı; Q(T) Kondansatörün o andaki yükü T.

Bu denklemden, salınım devresindeki sürecin özelliklerine ilişkin çeşitli tahminler elde edebilirsiniz. Örneğin, elektriksel salınımların periyodu

T M = 2p.

Açıkçası, notasyonu tanıtmak H 2 = m m ben M2 = L K, H 1 = 0,
H 0 = m m gl M = 1 / C K, F(T) = Q(T) = z(T), bu kapalı döngü sisteminin davranışını tanımlayan sıradan bir ikinci dereceden diferansiyel denklem elde ederiz:

H 2 (NS 2 z(T)/dt 2) + H 1 (dz(T)/dt) + H 0 z(T) = 0, (2.9)

nerede H 0 , H 1 , H 2 - sistem parametreleri; z(T) Sistemin şu andaki durumu
zaman T.

Böylece, bu iki nesnenin davranışı genel matematiksel model (2.9) temelinde araştırılabilir. Ek olarak, sarkacın davranışının (sistem S M) bir elektrik salınım devresi (sistemi) kullanılarak incelenebilir SİLE).

İncelenen sistem ise S(sarkaç veya kontur) dış çevre ile etkileşime girer E, ardından giriş eylemi görünür x(T) (sarkaç için dış kuvvet ve devre için enerji kaynağı) ve böyle bir sistemin sürekli deterministik modeli şu şekilde olacaktır:

H 2 (NS 2 z(T)/dt 2) + H 1 (dz(T)/dt) + H 0 z(T) = x(T). (2.10)

Genel matematiksel model açısından (bkz. madde 2.1) x(T) giriş (kontrol) eylemi ve sistemin durumudur S bu durumda, bir çıktı özelliği olarak kabul edilebilir, yani. çıktı değişkeni, belirli bir zamanda sistemin durumuyla eşleşir y = z.

Olası uygulamalar NS-şemalar... Herhangi bir dinamik sistem gibi doğrusal kontrol sistemlerini tanımlamak için homojen olmayan diferansiyel denklemlerin sabit katsayıları vardır.

nerede,,…, - zamanın bilinmeyen fonksiyonu ve türevleri; ve bilinen fonksiyonlardır.

Örneğin, diferansiyel denklemlerle tanımlanabilen kontrol sistemlerindeki süreçlerin simülasyonu için tasarlanmış VisSim yazılım paketini kullanarak, sıradan bir homojen olmayan diferansiyel denklemin çözümünü simüle ediyoruz.

sıfır başlangıç ​​koşulu olan bir aralıkta zamanın bazı gerekli fonksiyonu nerede, H 3 =1, H 2 =3, H 1 =1, H 0 =3:

Verilen denklemi türevlerin en yükseğine göre temsil ederek denklemi elde ederiz.

bu, VisSim paketinin bir dizi yapı taşı kullanılarak modellenebilir: aritmetik bloklar - Kazanç (bir sabitle çarpma), Toplama-Birleşimi (toplayıcı); entegrasyon blokları - Entegratör (sayısal entegrasyon), Transfer Fonksiyonu (bir transfer fonksiyonu olarak temsil edilen bir denklemin ayarlanması); sinyalleri ayarlamak için bloklar - Sabit (sabit), Adım ("adım" biçiminde birim işlevi), Rampa (doğrusal olarak artan sinyal); bloklar-sinyal alıcıları - Çizim (simülasyon sırasında araştırmacı tarafından analiz edilen sinyallerin zaman alanında görüntülenmesi).

İncirde. 2.2, bu diferansiyel denklemin grafiksel bir temsilini gösterir. En soldaki entegratörün girdisi bir değişkene karşılık gelir, ortadaki entegratörün girdisi - ve en sağdaki entegratörün girdisi -. En sağdaki entegratörün çıktısı değişkene karşılık gelir. y.

Açıklanan belirli bir dinamik sistem durumu NS-şemalar otomatik kontrol sistemleri(KMT)ve düzenleme(SAR). Gerçek bir nesne iki sistem şeklinde sunulur: kontrol ve kontrol edilen (kontrol nesnesi). Genel bir çok boyutlu otomatik kontrol sisteminin yapısı Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.3, belirtildiği yerde endojen değişkenler: ( T) Girdi (ana) etkilerinin vektörüdür; ( T) Rahatsız edici etkilerin vektörüdür; " (T) Hata sinyallerinin vektörüdür; "" (T) - kontrol eylemlerinin vektörü; dışsal değişkenler: ( T) Sistemin durum vektörüdür S; (T) Çıktı değişkenlerinin bir vektörüdür, genellikle ( T) = (T).

Pirinç. 2.2. Denklemin grafiksel gösterimi

Kontrol sistemi, kontrol nesnesi tarafından belirli bir hedefe ulaşılmasını sağlayan bir dizi yazılım ve donanım aracıdır. Bir nesnenin belirli bir hedefe ne kadar doğru ulaştığı durum koordinatıyla (tek boyutlu bir sistem için) değerlendirilebilir. y(T). verilen arasındaki fark y eşek ( T) ve geçerli y(T) kontrol edilen değişkenin değişim yasası bir kontrol hatasıdır " (T) = y eşek ( T) – y(T). Kontrol edilen miktarın öngörülen değişim yasası, girdi (ana) eylemin değişim yasasına karşılık geliyorsa, yani. x(T) = y eşek ( T), sonra " (T) = x(T) – y(T).

Kontrol hataları olan sistemler " (T) = 0 her zaman denir ideal... Pratikte ideal sistemlerin uygulanması imkansızdır. Otomatik kontrol sisteminin görevi değişkeni değiştirmektir. y(T) belirli bir doğrulukla (kabul edilebilir bir hatayla) belirli bir yasaya göre. Sistem parametreleri, gerekli kontrol doğruluğunu ve ayrıca sistemin geçici süreçteki kararlılığını sağlamalıdır. Sistem kararlı ise, sistemin davranışını zaman içinde analiz edin, kontrol edilen değişkenin maksimum sapması y(T) geçici süreçte, geçici sürecin zamanı, vb. Diferansiyel denklemin sırası ve katsayılarının değeri tamamen sistemin statik ve dinamik parametreleri tarafından belirlenir.

Pirinç. 2.3. Otomatik kontrol sisteminin yapısı:

УC - kontrol sistemi; OU - kontrol nesnesi

yani kullanarak NS-şemalar, sürekli deterministik sistemlerin işleyiş sürecini resmileştirmenize izin verir S ve sürekli sistemleri modellemek veya analog ve hibrit bilgi işlem olanaklarını kullanmak için uygun bir dil biçiminde uygulanan bir analitik veya simülasyon yaklaşımı kullanarak ana özelliklerini değerlendirin.

2.3. Ayrık-deterministik modeller ( F-şemaları)

temel ilişkiler... Otomata teorisini matematiksel bir aygıt olarak kullanma örneğinde ayrık-deterministik yaklaşımın özelliklerini ele alalım. Sistem, ayrı bilgileri işleyen ve iç durumlarını yalnızca kabul edilebilir zamanlarda değiştiren giriş ve çıkış sinyallerine sahip bir cihaz olarak bir otomat şeklinde temsil edilir. durum makinesi iç durum kümelerinin, giriş ve çıkış sinyallerinin sonlu kümeler olduğu bir otomat çağrılır.

Soyut olarak sonlu otomatlar matematiksel bir şema olarak gösterilebilir ( F-şema), altı eleman ile karakterize edilir: sonlu bir küme NS giriş sinyalleri (giriş alfabesi); Sınırlı set Yçıkış sinyalleri (çıkış alfabesi); Sınırlı set Z dahili durumlar (dahili alfabe veya devletlerin alfabesi); başlangıç ​​hali z 0 , z 0 Î Z; geçiş fonksiyonu j ( z, x); çıkış fonksiyonu y ( z, x). Otomatik makine seti F-şema: F = á Z, x, Y, y, j, z 0 ñ, her biri giriş ve çıkış sinyallerinin ve dahili durumların sabit değerlerine karşılık gelen, anları saatler olan ayrık zamanda çalışır. Durumu ve buna karşılık gelen giriş ve çıkış sinyallerini belirtiriz. T-inci saat T= 0, 1, 2, ..., ile z(T), x(T), y(T). Ayrıca, koşula göre z(0) = z 0 ve z(T)Î Z, x(T)Î x, y(T)Î Y.

Soyut durum makinesinde bir giriş ve bir çıkış kanalı bulunur. her an T= 0, 1, 2, ... ayrık zaman F-makine belirli bir durumda z(T) setten Z otomatın durumları ve zamanın ilk anında T= 0 her zaman başlangıç ​​durumundadır z(0) = z 0. anda T mümkün olmak z(T), otomat giriş kanalındaki sinyali algılayabilir x(T)Î x ve çıkış kanalındaki sinyali çıkış y(T) = y [ z(T),x(T)], z durumuna geçilir ( T+1) = J [ z(T), x(T)], z(T)Î Z, y(T)Î Y... Soyut bir sonlu durum makinesi, giriş alfabesinin sözcük kümesinin bazı eşlemelerini uygular. x bir sürü hafta sonu kelimesinde
alfabe Y... Başka bir deyişle, durum makinesinin girişi başlangıç ​​durumuna ayarlanmışsa z 0, giriş alfabesinin harflerini belirli bir sırayla sağlayın x(0), x(1), x(2), ..., yani giriş word'ü, ardından çıkış alfabesinin harfleri makinenin çıkışında sırayla görünecektir y(0), y(1), y(2),…, bir çıktı kelimesi oluşturur.

Böylece, durum makinesinin çalışması aşağıdaki şemaya göre gerçekleşir: her birinde T-th saat durumunda makinenin girişine z(T), bir miktar sinyal verilir x(T), geçişle tepki verdiği ( T+1) inci saatin yeni durumuna z(T+1) ve bazı çıkış sinyali vererek. Yukarıdakiler aşağıdaki denklemlerle açıklanabilir: için F-birinci tür otomat olarak da adlandırılır otomatik Mil,

z(T+1) = j [ z(T), x(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(T) = y [ z(T), x(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.16)

için F-ikinci tür otomat

z(T+1) = j [ z(T), x(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(T) = y [ z(T), x(T - 1)], T= 1, 2, 3,…. (2.18)

İkinci tür bir otomat, bunun için

y(T) = y [ z(T)], T= 0, 1, 2, …, (2.19)

onlar. çıkış işlevi giriş değişkeninden bağımsızdır x(T) denir Moore'un saldırı tüfeği.

Böylece, tamamen tanımlayan denklemler (2.15) - (2.19)
F-otomat, (2.3) ve (2.4) denklemlerinin özel bir durumudur,
sistem S- deterministik ve ayrık bir sinyal tek girişine ulaşır x.

Durum sayısına göre, hafızalı ve hafızasız sonlu durum makineleri ayırt edilir. Hafızalı otomatların birden fazla durumu vardır ve hafızasız otomatların (kombinasyonel veya mantık devreleri) sadece bir durumu vardır. Bu durumda, (2.16)'ya göre, kombinasyonel devrenin çalışması, her bir giriş sinyaline atama yapmasıdır. x(T) belirli çıkış sinyali y(T), yani formun mantıksal bir işlevini uygular

y(T) = y [ x(T)], T= 0, 1, 2, … .

Bu işleve, eğer alfabe ise boolean denir. x ve Y sinyal değerlerinin ait olduğu x ve y, iki harften oluşur.

Ayrık zamanın sayılmasının doğası gereği, sonlu durum makineleri senkron ve asenkron olarak ikiye ayrılır. senkron olarak F-otomatlar, otomatın giriş sinyallerini "okuduğu" zamanlar, zorunlu senkronizasyon sinyalleri tarafından belirlenir. Bir sonraki senkronizasyon sinyalinden sonra, "oku" dikkate alınarak ve (2.15) - (2.19) denklemlerine göre, yeni bir duruma geçiş gerçekleşir ve çıkışta bir sinyal verilir, bundan sonra makine bir sonraki değeri algılayabilir giriş sinyalinin Böylece, makinenin giriş sinyalinin her değerine tepkisi, süresi bitişik senkronizasyon sinyalleri arasındaki aralık tarafından belirlenen bir döngüde sona erer. asenkron F- makine giriş sinyalini sürekli olarak okur ve bu nedenle sabit bir değere sahip yeterince uzun bir giriş sinyaline yanıt verir x, (2.15) - (2.19)'dan aşağıdaki gibi, durumu birkaç kez değiştirebilir, karşılık gelen sayıda çıkış sinyali vererek, artık bu giriş sinyali tarafından değiştirilemeyen kararlı bir duruma gelene kadar.

Olası uygulamalar F-şemalar. Finali ayarlamak için F-otomat, setin tüm elemanlarını tanımlamak gerekir F= <Z, x, Y, y, j, z 0>, yani giriş, iç ve çıkış alfabelerinin yanı sıra geçişlerin ve çıkışların işlevleri ve durumlar kümesi arasında durumu ayırmak gerekir z 0, otomatın durumda olduğu T= 0. İşi ayarlamanın birkaç yolu vardır F-otomatlar, ancak en yaygın kullanılanları tablo, grafik ve matristir.

Tablo yönteminde, satırları otomatın giriş sinyallerine ve sütunları - durumlarına karşılık gelen geçiş ve çıkış tabloları ayarlanır. Soldaki ilk sütun ilk duruma karşılık gelir z 0. kavşakta ben inci satır ve k geçiş tablosunun -th sütunu, karşılık gelen değer j ( zk, x ben) geçişlerin işlevi ve çıktı tablosunda - karşılık gelen y değeri ( zk, x ben) çıkış fonksiyonları. İçin F- Moore'un otomatında her iki tablo da birleştirilebilir.

İş tanımı F-j geçişleri ve y çıkışları tabloları ile otomat Milleri Tabloda gösterilmektedir. 2.1 ve açıklama F-More'un otomatı - geçiş tablosuna göre (Tablo 2.2).

Tablo 2.1

X ben	zk
z 0	z 1	…	zk
geçişler
x 1	J ( z 0 , x 1)	J ( z 1 , x 1)	…	J ( zk,x 1)
x 2	J ( z 0 , x 2)	J ( z 1 , x 2)	…	J ( zk,x 2)
…	…	…	…	…
x ben	J ( z 0 , x ben)	J ( z 1 , x ben)	…	J ( zk,x ben)
çıktılar
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( zk, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( zk, x 2)
…	…	…	…	…
x ben	y ( z 0 , x ben)	y ( z 1 , x ben)	…	y ( zk, x ben)

Tablo 2.2

x ben	y ( zk)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( zk)
z 0	z 1	…	zk
x 1	J ( z 0 , x 1)	J ( z 1 , x 1)	…	J ( zk, x 1)
x 2	J ( z 0 , x 2)	J ( z 1 , x 2)	…	J ( zk, x 2)
…	…	…	…	…
x ben	J ( z 0 , x ben)	J ( z 1 , x ben)	…	J ( zk, x ben)

Tablo şeklinde ayarlama örnekleri F-otomatik Mil F 1 tabloda verilmiştir. 2.3 ve için F-Moore makinesi F 2 - tabloda. 2.4.

Tablo 2.3

x ben	zk
z 0	z 1	z 2
geçişler
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
çıktılar
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Tablo 2.4

	Y
x ben	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

Bir sonlu durum makinesini tanımlamanın grafiksel yolunda, yönlendirilmiş bir grafik kavramı kullanılır. Otomat grafiği, otomatın farklı durumlarına karşılık gelen ve otomatın belirli geçişlerine karşılık gelen grafik yaylarının köşelerini birbirine bağlayan bir dizi köşe noktasıdır. giriş sinyali ise x k devletten bir geçişe neden olur ben bir eyalette z j, daha sonra otomatın grafiğinde tepe noktasını bağlayan bir yay var benüst ile z j, belirtilen x k... Çıkışların işlevini ayarlamak için, grafik yayları ilgili çıkış sinyalleriyle işaretlenmelidir. Miles makineleri için bu işaretleme şu şekilde yapılır: eğer giriş sinyali x k devlet üzerinde hareket eder ben, sonra giden bir yay alırız ben ve işaretli x k; bu ark ayrıca bir çıkış sinyali ile işaretlenmiştir y= y ( ben, x k). Bir Moore otomatı için, grafiğin benzer bir işareti aşağıdaki gibidir: eğer giriş sinyali x k, otomatın belirli bir durumuna etki ederek, duruma geçişe neden olur z j, ardından ark yönlendirilir ben ve işaretli x k, ayrıca hafta sonunu kutlamak
sinyal y= y ( z j, x k).

İncirde. 2.4. a, B tablolarda daha önce verilen F-Mil makineleri F 1 ve Moore F 2 sırasıyla.

Pirinç. 2.4. Otomat grafikleri a - Miles ve b - Moore

Sonlu otomatın matris ataması için, otomatın bağlantı matrisi karedir. İLE BİRLİKTE=||ij ile||, satırlar başlangıç ​​durumlarına ve sütunlar geçiş durumlarına karşılık gelir. eleman ij ile = x k/y s kavşakta durmak
ben inci satır ve J-th sütunu, Miles otomatının giriş sinyaline karşılık gelmesi durumunda x k Devletten geçişe neden olan ben bir eyalette z j ve çıkış sinyali y s bu geçiş tarafından oluşturulur. Mil makinesi için F 1, yukarıda ele alındığında, bileşiklerin matrisi şu şekildedir:

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

C 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Devletten geçiş ise ben bir eyalette z j birkaç sinyalin etkisi altında meydana gelir, matrisin elemanı c ij bu geçiş için bir ayırma işaretiyle bağlanan bir dizi girdi-çıktı çiftidir.

İçin F-moore makine elemanı ij ile geçişteki giriş sinyalleri kümesine eşittir ( z ben, z j) ve çıktı, çıktıların vektörü ile tanımlanır

= y ( zk) ,

ben-th bileşeni, durumu gösteren çıkış sinyalidir ben.

Yukarıdaki için F-Moore makinesi F2 bağlantı matrisi ve çıktı vektörü şu şekildedir:

–x 1 –x 2 –NS 1

–x 2 – –x 1 NS 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –NS 2

x 2 –x 1 – –NS 3

Deterministik otomatlar için, geçişlerin benzersizliği koşulu karşılanır: belirli bir durumdaki bir otomat, herhangi bir giriş sinyalinin etkisi altında birden fazla duruma geçemez. Grafiksel ayar yöntemine uygulanır F-otomat, bu, otomat grafiğinde aynı giriş sinyali ile işaretlenmiş iki veya daha fazla kenarın herhangi bir tepe noktasından çıkamayacağı anlamına gelir. Ve makinenin bağlantı matrisinde İLE BİRLİKTE herhangi bir giriş sinyali her satırda birden fazla olmamalıdır.

İçin F-otomatik durum zk aranan sürdürülebilir, eğer herhangi bir giriş için x ben ÎX hangi j ( zk, x ben) = zk, J ( zk,x ben) = yk. F-makine denir asenkron, eğer her eyalet z k ÎZ kararlı.

Bu nedenle, modellerdeki nesnelerin özelliklerini incelemeye yönelik ayrık-deterministik yaklaşımdaki kavram, otomatik kontrol sistemlerinde gerçek nesnelerin geniş bir işleyiş süreçleri sınıfını tanımlamak için uygun olan matematiksel bir soyutlamadır. Kullanarak F- Bir otomatın, ayrı durumların varlığı ve zaman içindeki işin ayrı doğası ile karakterize edilen nesneleri tanımlamak mümkündür - bunlar bir bilgisayarın öğeleri ve düğümleri, kontrol, düzenleme ve kontrol cihazları, zaman ve uzay sistemleridir. bilgi alışverişi teknolojisinde geçiş vb.

2.4. Ayrık stokastik modeller ( r-şemaları)

temel ilişkiler... Olasılıksal (rastlantısal) otomatlar üzerinde ayrık-rastlantısal bir yaklaşımla matematiksel şemalar oluşturmanın özelliklerini ele alalım. Genel olarak olasılıklı otomat
R-şemaları(İngilizce olasılık otomatı), her döngüde işleyişi yalnızca içindeki belleğin durumuna bağlı olan ve istatistiksel olarak tanımlanabilen, bellekli bilgilerin ayrı bir hattan satıra dönüştürücüsü olarak tanımlanabilir.

Matematiksel kavramı tanıtalım r-otomat için tanıtılan kavramları kullanarak F-otomat. Seti düşünün Göğelerinin tümü olası çiftler olan ( x ben, z s), nerede x ben ve z s- giriş alt kümesinin öğeleri NS ve sırasıyla Z durumlarının alt kümeleri. Eşlemeleri gerçekleştirmek için kullanılan j ve y gibi iki fonksiyon varsa G®Z ve G®Y, sonra öyle diyorlar F = X, Y, j, y> deterministik tipte bir otomat tanımlar.

Daha genel bir matematiksel şema düşünelim. İzin vermek
Ф - formun tüm olası çiftlerinin kümesi ( zk, y ben), nerede ben- çıktı alt kümesinin öğesi Y... Kümenin herhangi bir elemanını istiyoruz G sette indüklenen Ф aşağıdaki formda bir dağılım yasası:

nerede b kj= 1, nerede b kj- otomatın duruma geçiş olasılıkları zk ve çıkıştaki sinyalin görünümü y j eğer yapabilseydi z s ve şu anda girişinde sinyal alındı x ben... Tablolar şeklinde sunulan bu tür dağılımların sayısı, kümenin eleman sayısına eşittir. G... Bu tabloların kümesini B ile gösteriyoruz. Sonra dört element P = olasılıksal otomat denir
(r-otomat).

Olası uygulamalar P-şemalar. kümenin elemanları olsun G alt kümeler üzerinde bazı dağıtım yasalarını indüklemek Y ve Z, sırasıyla şu şekilde temsil edilebilir:

nerede zk = 1 ve qj = 1, nerede zk ve qj - geçiş olasılıkları
r-durumda otomatik makine zk ve çıkış sinyalinin görünümü ykşartıyla
r z s ve girişi bir giriş sinyali aldı x i.

eğer herkes için k ve J ilişki tutar q j z k = b kj, o zaman böyle
r-makine denir Miles'ın olasılıksal otomatı... Bu gereklilik, yeni devlet için dağıtımların bağımsızlığı koşulunun yerine getirilmesi anlamına gelir. r-otomatik cihaz ve çıkış sinyali.

Şimdi çıkış sinyalinin tanımına izin verin R- otomat, yalnızca otomatın belirli bir iş döngüsünde olduğu duruma bağlıdır. Başka bir deyişle, çıktı alt kümesinin her bir öğesinin Y aşağıdaki forma sahip çıktıların bir olasılık dağılımını indükler:

Buraya ben = 1, nerede ben- çıkış sinyalinin ortaya çıkma olasılığı ben NS NS kelimeler ve bu r-makine bir durumdaydı zk.

eğer herkes için k ve ben ilişki tutar z k ben =b ki o zaman böyle
r-makine denir Moore'un olasılıksal otomatı. konsept
r-Miley ve Moore'un otomatları, deterministik ile analoji ile tanıtıldı.
F-otomat. Belirli bir durum R- olarak tanımlanan otomat P=X, Y, B> yeni bir duruma geçişin veya çıkış sinyalinin deterministik olarak belirlendiği otomatlardır. çıkış sinyali ise
r-otomat deterministik olarak belirlenir, daha sonra böyle bir otomat denir
Y-... Aynı şekilde,
Z-deterministik olasılıklı otomat aranan r- yeni bir durum seçiminin deterministik olduğu bir otomat.

Örnek 2.1. Verilmesine izin ver Y-deterministik P-makine

İncirde. 2.5, bu otomatın yönlendirilmiş bir geçiş grafiğini göstermektedir. Grafiğin köşeleri, otomatın durumları ile ilişkilidir ve yaylar, bir durumdan diğerine olası geçişlerle ilişkilidir. Yaylar, geçiş olasılıklarına karşılık gelen ağırlıklara sahiptir. p ij, ve bu durumlar tarafından indüklenen çıkış sinyallerinin değerleri grafiğin köşelerine yakın yazılır. Bu durumda kalmanın toplam nihai olasılıklarını tahmin etmek gerekir. P- eyaletlerde otomat z 2 ve z 3 .

Pirinç. 2.5. Olasılık otomat grafiği

Analitik yaklaşımı kullanarak, Markov zincirleri teorisinden bilinen ilişkiler yazılabilir ve nihai olasılıkları belirlemek için bir denklem sistemi elde edilebilir. Bu durumda ilk durum zİlk dağılım son olasılıkların değerlerini etkilemediği için 0 göz ardı edilebilir. o zaman bizde

nerede k ile- son kalma olasılığı r-Bir durumda otomatik cihaz zk.

denklem sistemini elde ederiz

Bu denklemlere normalizasyon koşulunu ekleriz. ile birlikte 1 + ile birlikte 2 + ile birlikte 3 + ile birlikte 4 = 1. Ardından, denklem sistemini çözerek şunu elde ederiz: ile birlikte 1 = 5/23, ile birlikte 2 = 8/23, ile birlikte 3 = 5/23,
ile birlikte 4 = 5/23. Böylece, ile birlikte 2 + ile birlikte 3 = 13/23 = 0,5652. Başka bir deyişle, bu örnekte verilen sonsuz çalışma ile Y-deterministik
r-otomat çıkışında, 0,5652'ye eşit bir oluşma olasılığı ile ikili bir dizi oluşturulur.

Benzer r-otomatlar, sistemlerin işleyişi için süreçlerin oluşturulması ve uygulanmasında gerekli olan Markov dizilerinin oluşturucuları olarak kullanılabilir. S veya çevresel etkiler E.

2.5. Sürekli stokastik modeller ( Q-şemaları)

temel ilişkiler... Tipik matematiksel örnek kullanarak sürekli stokastik yaklaşımın özelliklerini ele alacağız. Q-şemalar - kuyruk sistemleri(İngiliz kuyruk sistemi).

Bir hizmet süreci olarak, ekonomik, üretim, teknik ve diğer sistemlerin işleyişinin fiziksel doğası gereği çeşitli süreçleri temsil edilebilir, örneğin: belirli bir işletmeye ürün tedarik akışları, bir montaj hattındaki parça ve bileşen akışları. atölye, uzak terminallerden bilgisayar bilgilerini işleme talepleri vb. Bu durumda, bu tür nesnelerin çalışmasının karakteristik bir özelliği, servis ve servisin rastgele zamanlarda tamamlanması için istemlerin (gereksinimlerin) rastgele görünümüdür, yani. işleyiş sürecinin stokastik doğası.

Olayların akışına göre zaman içinde bazı rastgele anlarda birbiri ardına meydana gelen olaylar dizisine denir. Homojen ve heterojen olayların akışları arasında ayrım yapın. Olay akışı aranan homojen, sadece bu olayların (anlara neden olan) varış anları ile karakterize edilirse ve dizi tarafından verilirse ( t n} = {0 £ T£ 1 T 2 ... £ t n£ … }, nerede t n - varış anı NS- inci olay negatif olmayan bir gerçek sayıdır. Homojen bir olay akışı, aralarındaki zaman aralıklarının bir dizisi olarak da belirtilebilir. NS- m ve (n - 1) inci olaylar (t n), zorlu anların dizisiyle açık bir şekilde ilişkilidir ( t n} , nerede n = t n– t n -1 ,NS³ 1, T 0 = 0, onlar. 1 = t 1 . Heterojen olaylar akışı dizi denir ( tn, fn} , nerede t n - zorlu anlar; fn - olay işaretleri kümesi. Örneğin, tek tip olmayan bir talep akışı için hizmet süreci ile ilgili olarak, belirli bir talep kaynağına, bir önceliğin varlığına, bir tür kanala veya diğerine hizmet etme yeteneği atanabilir.

Herhangi bir temel hizmet eyleminde, iki ana bileşen ayırt edilebilir: iddia ile hizmet beklentisi ve talebin fiili hizmeti. Bu, bazı şekillerde tasvir edilebilir. ben-th servis cihazı ben(Şekil 2.6), sipariş akümülatöründen oluşur Selam, hangi aynı anda olabilir j ben= uygulamalar nerede L i H– kapasite
ben-go depolama ve servis talepleri için bir kanal (veya sadece bir kanal) ki. Servis cihazının her bir elemanı için ben olay akışları gelir: sürücüye Selam uygulama akışı ben, kanal başına ben - hizmet akışı ve ben.

Pirinç. 2.6. Uygulama servis cihazı

Kanalın sunduğu uygulamalar ben, ve cihazdan ayrılan istekler bençeşitli nedenlerle (örneğin, sürücünün taşması nedeniyle) hizmet dışı Selam), bir çıktı akışı oluşturun y ben Î Y, onlar. emirlerin çıkış anları arasındaki zaman aralıkları, çıktı değişkenlerinin bir alt kümesini oluşturur.

Genellikle uygulama akışı w ben ÎW, onlar. siparişlerin girişte göründüğü anlar arasındaki zaman aralıkları ben, yönetilmeyen değişkenlerin bir alt kümesini ve hizmet akışını oluşturur. sen ben ОU, onlar. bir iddiaya hizmetin başlangıcı ve bitişi arasındaki zaman aralıkları, kontrollü değişkenlerin bir alt kümesini oluşturur.

Servis cihazı çalıştırma süreci ben zaman öğelerinin durumlarını değiştirme süreci olarak temsil edilebilir. ben(T). için yeni bir duruma geçiş ben içinde bulunan uygulamaların sayısında bir değişiklik anlamına gelir (kanalda ben ve sürücüde Selam). Böylece, durum vektörü için benşuna benziyor: , nerede z ben H- sürücü durumu Selam (z ben H= 0 - sürücü boş, z ben H= 1 - depoda bir istek var, ..., z ben H = L i H – sürücü tamamen dolu); L i H - depolama kapasitesi Selam, içine sığabilecek uygulama sayısıyla ölçülür; z ben k - kanal durumu ben(z ben k = 0 – kanal ücretsizdir, z ben k= 1 - kanal meşgul).

Olası uygulamalar Q-şemalar. Daha karmaşık yapısal ilişkilere ve davranış algoritmalarına sahip modelleme sistemleri uygulamasında, resmileştirme için ayrı servis cihazları kullanılmaz, ancak
Q-şemalar , birçok temel hizmet cihazının bileşiminden oluşur ben. eğer kanallar ben farklı servis cihazları paralel olarak bağlanır, ardından çok kanallı servis gerçekleşir ( çok kanallı Q-şema) , ve eğer cihazlar ben ve paralel bileşimleri seri olarak bağlanır, ardından çok fazlı bir hizmet vardır ( çok fazlı Q-şema) . yani iş için Q-şema eşlenik operatörünü kullanmalıdır r, yapı elemanlarının (kanallar ve depolama cihazları) birbirleriyle olan bağlantılarını yansıtır.