MATEMAATILISED SKEEMID SÜSTEEMIDE MODELLEERIMISEKS

SÜSTEEMIDE MATEMAATILISTE MUDELITE KONSTRUKTSIOONI PÕHILÄHENEMISVIISID

Süsteemide toimimisprotsesside matemaatiliste mudelite koostamisel on lähteinformatsiooniks uuritava (projekteeritava) süsteemi eesmärgi ja töötingimuste andmed. S... See teave määratleb süsteemi modelleerimise peamise eesmärgi. S ja võimaldab sõnastada väljatöötatud matemaatilisele mudelile nõudeid M. Veelgi enam, abstraktsiooni tase sõltub nende küsimuste hulgast, millele süsteemiuurija soovib mudeli abil vastust saada, ja määrab teatud määral ka matemaatilise skeemi valiku.

Matemaatilised skeemid. Matemaatilise skeemi mõiste kasutuselevõtt võimaldab käsitleda matemaatikat mitte kui arvutusmeetodit, vaid kui mõtlemismeetodit, kui mõistete sõnastamise vahendit, mis on kõige olulisem üleminekul süsteemi verbaalselt kirjeldamiselt. selle toimimisprotsessi formaalne esitus mõne matemaatilise mudeli (analüütilise või imitatsiooni) kujul. Matemaatilise skeemi kasutamisel peaks süsteemi S uurijat huvitama eelkõige uuritavas süsteemis reaalsete protsesside konkreetsete skeemide vormis kaardistamise adekvaatsuse küsimus, mitte aga võimalus saada vastus (lahendustulemus) konkreetsele uurimisküsimusele. Näiteks kollektiivse info-arvutussüsteemi toimimisprotsessi kujutamine järjekorraskeemide võrgustikuna võimaldab hästi kirjeldada süsteemis toimuvaid protsesse, kuid sissetulevate voogude ja teenusevoogude keeruliste seadustega, see ei võimalda saada tulemusi selgel kujul.

Matemaatiline skeem võib defineerida lülina üleminekul süsteemi toimimisprotsessi tähendusrikkalt kirjelduselt formaalsele väliskeskkonna mõju arvestavale kirjeldusele ehk siis on ahel "kirjeldav mudel - matemaatiline skeem - matemaatiline (analüütiline ja/ või imitatsioon) mudel".

Iga konkreetset süsteemi S iseloomustab omaduste kogum, mida mõistetakse väärtustena, mis peegeldavad modelleeritava objekti (reaalse süsteemi) käitumist ja võtavad arvesse selle toimimise tingimusi koostoimes väliskeskkonnaga (süsteem). E. Süsteemi matemaatilise mudeli koostamisel on vaja lahendada selle täielikkuse küsimus. Mudeli täielikkust reguleerib peamiselt piiri valik “süsteem S - keskkond E» . Samuti tuleks lahendada mudeli lihtsustamise probleem, mis aitab esile tuua süsteemi põhiomadused, jättes kõrvale sekundaarsed. Veelgi enam, süsteemi omaduste omistamine põhi- või sekundaarsele oleneb sisuliselt süsteemi modelleerimise eesmärgist (näiteks süsteemi toimimisprotsessi tõenäosuslik-ajaliste karakteristikute analüüs, süsteemi süntees). süsteemi struktuur jne).

Objekti formaalne mudel. Modelleerimisobjekti mudelit, st süsteemi S, saab esitada suuruste kogumina, mis kirjeldavad reaalse süsteemi toimimise protsessi ja moodustavad üldiselt järgmised alamhulgad: sisendtoimingud süsteemi kohta

;

agregaat keskkonnamõjud

;

agregaat sisemised, (oma) parameetrid süsteemid

;

agregaat väljundi omadused süsteemid

.

Lisaks saab loetletud alamhulkades eristada hallatud ja haldamata muutujaid. Üldiselt , , , on disjunktsete alamhulkade elemendid ja sisaldavad nii deterministlikke kui ka stohhastilisi komponente.

Süsteemi S modelleerimisel mõjutab sisend, väliskeskkonna mõjud E ja süsteemi sisemised parameetrid on sõltumatud (eksogeensed) muutujad, mis vektorkujul on kujul ,,, ja süsteemi väljundomadused on sõltuvad (endogeensed) muutujad ja vektorkujul on vorm).

S-süsteemi toimimise protsessi kirjeldab operaator õigeaegselt F s , mis üldjuhul muudab eksogeensed muutujad endogeenseteks vastavalt vormisuhetele

. (1)

Süsteemi väljundkarakteristikute sõltuvuste kogum ajast y j (t) igasuguste jaoks
helistas väljundi trajektoor
. Sõltuvus (1) nimetatakse süsteemi toimimise seadusS ja tähistatud F s . Üldjuhul süsteemi toimimise seadus F s saab määrata funktsiooni, funktsionaalsete, loogiliste tingimuste, algoritmiliste ja tabelivormide või sõnalise sobitusreegli kujul.

Süsteemi S kirjeldamisel ja uurimisel on väga oluline mõiste toimimise algoritmA s , mille all mõistetakse sisendmõjusid arvesse võttes väljundkarakteristikute saamise meetodit
, keskkonnamõjud
ja süsteemi enda parameetrid
. On ilmne, et sama toimimise seadus F s süsteemi S saab realiseerida mitmel viisil, st kasutades töötamiseks palju erinevaid algoritme A s .

Seosed (1) on modelleerimise objekti (süsteemi) käitumise matemaatiline kirjeldus ajas t, see tähendab, et need peegeldavad selle dünaamilisi omadusi. Seetõttu nimetatakse seda tüüpi matemaatilisi mudeleid tavaliselt dünaamilised mudelid(süsteemid).

Sest staatilised mudelid matemaatiline mudel (1) on modelleeritud objekti omaduste kahe alamhulga vastendamine Y ja { X, V, H), mida vektorkujul saab kirjutada kui

. (2)

Seoseid (1) ja (2) saab täpsustada mitmel viisil: analüütiliselt (valemite abil), graafiliselt, tabelina jne. Selliseid seoseid on teatud juhtudel võimalik saada süsteemi S omaduste kaudu kindlatel aegadel, nn. osariigid. Süsteemi S olekut iseloomustavad vektorid

ja
,

kus
,
, …,
hetkel
;
,
, …,
hetkel
jne.,
.

Kui vaadelda süsteemi S toimimise protsessi kui olekute järjestikust muutumist
, siis saab neid tõlgendada punkti koordinaatidena To-mõõtmeline faasiruum. Lisaks vastab protsessi iga rakendus teatud faasi trajektoorile. Olekute kõigi võimalike väärtuste kogu helistas olekuruum modelleerimise objekt Z, enamgi veel
.

Süsteemi S olekud ajahetkel t 0 < t*T on täielikult määratud algtingimustega
[kus
,
, …,
], sisend mõjutab
, oma süsteemi parameetrid
ja keskkonnamõjud
, mis toimus teatud aja jooksul t*- t 0 , koos kasutades kahte vektorvõrrandit

; (3)

. (4)

Algseisundi esimene võrrand ja eksogeensed muutujad
defineerib vektorfunktsiooni
, ja teine ​​olekute saadud väärtuse järgi
- endogeensed muutujad süsteemi väljundis
. Seega võimaldab objekti "sisend-olek-väljund" võrrandite ahel määrata süsteemi omadused

. (5)

Üldjuhul saab süsteemi S mudelis aega arvestada modelleerimisintervallil (0, T) nii pidevad kui ka diskreetsed, st kvantiseeritud pikkusesegmentideks
ajaühikud iga millal
, kus
- proovivõtu intervallide arv.

Seega, all objekti matemaatiline mudel(reaalne süsteem) saab aru muutujate piiratud alamhulgast (
} koos nende ja tunnuste vaheliste matemaatiliste seostega
.

Kui modelleerimisobjekti matemaatiline kirjeldus ei sisalda juhuslikkuse elemente või neid ei arvestata, st kui võib eeldada, et antud juhul väliskeskkonna stohhastilised mõjud
ja stohhastilised siseparameetrid
puuduvad, siis nimetatakse mudelit deterministlik selles mõttes, et karakteristikud on üheselt määratud deterministlike sisenditega

. (6)

Ilmselgelt on deterministlik mudel stohhastilise mudeli erijuht.

Tüüpilised skeemid. Antud matemaatilised seosed esindavad üldisi matemaatilisi skeeme ja võimaldavad kirjeldada laia klassi süsteeme. Süsteemitehnika ja süsteemianalüüsi valdkonna objektide modelleerimise praktikas süsteemiuuringute algfaasis on aga ratsionaalsem kasutada tüüpilised matemaatilised skeemid: diferentsiaalvõrrandid, lõplikud ja tõenäosusautomaadid, järjekorrasüsteemid, Petri võrgud jne.

Tüüpiliste matemaatiliste skeemide eeliseks on lihtsus ja selgus, kuid nende rakendusvõimaluste kitsenemine on niivõrd üldistusaste kui vaadeldavad mudelid. Pidevas ajas töötavate süsteemide kujutamiseks deterministlike mudelitena kasutatakse diferentsiaal-, integraal-, integro-diferentsiaal- ja muid võrrandeid, kui uuringus ei võeta arvesse juhuslikke tegureid ning süsteemides töötavate süsteemide kujutamiseks kasutatakse lõplikke automaate ja lõplike erinevuste skeeme. diskreetne aeg.... Tõenäosuslikke automaate kasutatakse stohhastiliste mudelitena (juhuslikke tegureid arvesse võttes) diskreetse ajaga süsteemide kujutamiseks ja järjekorrasüsteeme pideva ajaga jne.

Loetletud tüüpilised matemaatilised skeemid ei saa muidugi pretendeerida sellele, et suudaksid nende põhjal kirjeldada kõiki suurtes infohaldussüsteemides toimuvaid protsesse. Selliste süsteemide puhul on mõnel juhul paljutõotavam kasutada koondmudeleid.

Koondmudelid (süsteemid) võimaldavad kirjeldada väga erinevaid uurimisobjekte, peegeldades nende objektide süsteemsust. Just koondkirjeldusega jagatakse keeruline objekt (süsteem) lõplikuks arvuks osadeks (alamsüsteemideks), säilitades samal ajal osade vastastikmõju tagavad seosed.

Seega saab süsteemide toimimisprotsesside matemaatiliste mudelite koostamisel eristada järgmisi põhilisi lähenemisi: pidev-deterministlik (näiteks diferentsiaalvõrrandid); diskreet-deterministlik (lõplikud automaatid); diskreetne stohhastiline (tõenäosuslikud automaatid); pidev-stohhastiline (järjekorrasüsteemid); üldistatud või universaalsed (agregaatsüsteemid).

PIDEVA MÄÄRAMISE MUDELID (D-CIRCUTS)

Vaatleme pidev-deterministliku lähenemise tunnuseid diferentsiaalvõrrandite matemaatiliste mudelitena kasutamise näitel. Diferentsiaalvõrrandid nimetatakse selliseid võrrandeid, milles ühe või mitme muutuja funktsioonid on tundmatud ja võrrand hõlmab mitte ainult funktsioone, vaid ka nende erinevat järku tuletisi. Kui tundmatud on mitme muutuja funktsioonid, siis nimetatakse võrrandeid osadiferentsiaalvõrranditeks, vastasel juhul, kui vaadelda ainult ühe sõltumatu muutuja funktsioone, nimetatakse võrrandeid tavalisteks diferentsiaalvõrranditeks.

Põhisuhted. Tavaliselt kasutatakse sellistes matemaatilistes mudelites aega sõltumatu muutujana, millest sõltuvad tundmatud otsitavad funktsioonid t. Siis on deterministlike süsteemide (6) matemaatiline seos üldkujul

, (7)

kus
,
ja
- NS-mõõtmelised vektorid;
- vektorfunktsioon, mis on defineeritud mõnel ( NS+1) -mõõtmeline
seatud ja on pidev.

Kuna seda tüüpi matemaatilised skeemid peegeldavad uuritava süsteemi dünaamikat ehk selle käitumist ajas, nimetatakse neid nn. D- skeemid(ing. dünaamiline).

Lihtsamal juhul on tavalisel diferentsiaalvõrrandil vorm

. (8)

Süsteemitehnika kõige olulisem rakendus D- skeem matemaatilise aparaadina automaatjuhtimise teoorias. Et illustreerida D-vooluahelate ehituse ja rakenduse iseärasusi, vaatleme lihtsaimat näidet kahe erineva füüsikalise olemusega elementaarsüsteemi toimimise protsessi formaliseerimisest: mehaaniline. S M (pendli võnkumised, joon. 1, a) ja elektriline S K (võnkeahel, joon. 1, b).

Riis. 1. Elementaarsüsteemid

Pendli väikeste võnkumiste protsessi kirjeldatakse tavalise diferentsiaalvõrrandiga

kus
- pendli vedrustuse mass ja pikkus; g - vabalangemise kiirendus;
- pendli paindenurk ajahetkel t.

Sellest pendli vaba võnkumise võrrandist võib leida hinnanguid huvipakkuvate omaduste kohta. Näiteks pendli kõikumise periood

.

Samamoodi kirjeldatakse elektrilise võnkeahela protsesse tavalise diferentsiaalvõrrandiga

kus L To , KOOS To - kondensaatori induktiivsus ja mahtuvus; q(t) - kondensaatori laadimine õigel ajal t.

Sellest võrrandist saate erinevaid hinnanguid võnkeahela protsessi omaduste kohta. Näiteks elektriliste võnkumiste periood

.

Ilmselgelt noodi sissejuhatus
,
, ,
, saame tavalise teist järku diferentsiaalvõrrandi, mis kirjeldab selle suletud ahelaga süsteemi käitumist:

kus
- süsteemi parameetrid; z(t) - süsteemi olek ajahetkel t.

Seega saab nende kahe objekti käitumist uurida üldise matemaatilise mudeli (9) alusel. Lisaks tuleb märkida, et ühe süsteemi käitumist saab analüüsida teise süsteemi abil. Näiteks pendli käitumine (süsteem S M) saab uurida elektrilise võnkeahela abil (süsteem S K).

Kui uuritav süsteem S, st pendel või kontuur, suhtleb väliskeskkonnaga E, siis ilmub sisestustoiming NS(t) (pendli välisjõud ja ahela energiaallikas) ning sellise süsteemi pidev-deterministlik mudel on kujul

Matemaatilise mudeli üldskeemi seisukohalt NS(t) on sisend (juhtimine) toiming ja süsteemi S olekut võib sel juhul pidada väljundkarakteristikuks ehk eeldada, et väljundmuutuja ühtib süsteemi olekuga antud ajahetkel y =z.

Võimalikud rakendused. Süsteemitehnika probleemide lahendamisel on suur tähtsus suurte süsteemide haldamise probleemidel. Pöörake tähelepanu süsteemidele automaatjuhtimine- kirjeldatud dünaamiliste süsteemide erijuhtum D- skeemid ja oma praktilise eripära tõttu esile tõstetud eraldi mudeliklassis.

Automaatjuhtimisprotsesside kirjeldamisel peavad nad tavaliselt kinni reaalse objekti esitlusest kahe süsteemi kujul: juhtimine ja juhitav (juhtimisobjekt). Üldise mitmemõõtmelise automaatjuhtimissüsteemi struktuur on näidatud joonisel fig. 2, kus on määratud endogeensed muutujad:
- sisend- (pea-) mõjude vektor;
- häirivate mõjude vektor;
- veasignaalide vektor;
- kontrollitoimingute vektor; eksogeensed muutujad:
- süsteemi S olekute vektor;
on tavaliselt väljundmuutujate vektor
=
.

Riis. 2. Automaatjuhtimissüsteemi struktuur

Kaasaegne juhtimissüsteem on tarkvara- ja riistvaratööriistade kogum, mis tagab juhtimisobjekti poolt konkreetse eesmärgi saavutamise. Kui täpselt juhtobjekt antud eesmärgi saavutab, saab ühemõõtmelise süsteemi puhul hinnata olekukoordinaadi järgi kell (t). Erinevus etteantud vahel juures tagakülg (t) ja kehtiv kell (t) kontrollitava muutuja muutumise seadus on juhtimisviga . Kui kontrollitava suuruse ettenähtud muutumise seadus vastab sisend- (pea)tegevuse muutumise seadusele, s.o.
, siis
.

Süsteemid, mille puhul juhtimisvead
alati nimetatakse ideaalseks. Praktikas on ideaalsete süsteemide rakendamine võimatu. Seega viga h"(t) - negatiivse tagasiside põhimõttel põhineva automaatse juhtimise vajalik element, kuna väljundmuutuja vastavusse viimiseks y(t) selle määratud väärtus kasutab teavet nendevahelise kõrvalekalde kohta. Automaatjuhtimissüsteemi ülesanne on muutuja muutmine y(t) etteantud seaduse järgi teatud täpsusega (aktsepteeritava veaga). Automaatjuhtimissüsteemide projekteerimisel ja käitamisel on vaja valida järgmised süsteemi parameetrid S, mis tagaks vajaliku juhtimistäpsuse, aga ka süsteemi stabiilsuse siirdeprotsessis.

Kui süsteem on stabiilne, siis pakub praktilist huvi süsteemi käitumine ajas, juhitava muutuja maksimaalne hälve on kell (t) siirdeprotsessis, siirdeprotsessi aeg jne. Järeldusi erinevate klasside automaatjuhtimissüsteemide omaduste kohta saab teha diferentsiaalvõrranditena, mis ligikaudselt kirjeldavad süsteemides toimuvaid protsesse. Diferentsiaalvõrrandi järjekord ja selle koefitsientide väärtused on täielikult määratud süsteemi staatiliste ja dünaamiliste parameetritega. S.

Seega kasutades D- skeem võimaldab formaliseerida pidevalt-deterministlike süsteemide toimimise protsessi S ja hindama nende põhiomadusi, kasutades analüütilist või simulatsioonimeetodit, mis on rakendatud pidevate süsteemide modelleerimiseks sobiva keele kujul või kasutades analoog- ja hübriidarvutusseadmeid.

Klassifitseerimine mis tahes erialal on oluline. See võimaldab üldistada kogutud kogemusi, ühtlustada ainevaldkonna mõisteid. Matemaatiliste modelleerimismeetodite kiire areng ja nende rakendusalade mitmekesisus tõi kaasa suure hulga erinevat tüüpi mudelite tekkimise ja vajaduse liigitada mudelid nendesse kategooriatesse, mis on universaalsed kõikide mudelite jaoks või on valdkonnas vajalikud. näiteks ehitatud mudelist. Toome näite mõnest kategooriast: kasutusala; ajafaktori (dünaamika) arvestamine mudelis; teadmiste haru; mudelite esitlemise viis; juhuslike (või ebakindlate) tegurite olemasolu või puudumine; tõhususe kriteeriumi tüüp ja kehtestatud piirangud jne.

Analüüsides matemaatilist kirjandust, oleme tuvastanud kõige levinumad klassifikatsioonimärgid:

1. Rakendusmeetodi (ka formaalse keele) järgi saab kõik matemaatilised mudelid jagada analüütiline ja algoritmiline.

Analüütiline – mudelid, mis kasutavad standardset matemaatilist keelt. Simulatsioon - mudelid, milles kasutatakse spetsiaalset modelleerimiskeelt või universaalset programmeerimiskeelt.

Analüütilisi mudeleid saab kirjutada analüütiliste avaldiste kujul, s.t. avaldiste kujul, mis sisaldavad loendatavat arvu aritmeetilisi tehteid ja üleminekuid piirini, näiteks:. Algebraline avaldis on analüütilise avaldise erijuht, mille tulemusena annab see täpse tähenduse. Samuti on konstruktsioone, mis võimaldavad leida saadud väärtuse etteantud täpsusega (näiteks elementaarfunktsiooni laiendus astmereas). Seda tehnikat kasutavaid mudeleid nimetatakse ligikaudseteks.

Analüütilised mudelid omakorda jaotatakse teoreetiline ja empiiriline mudelid. Teoreetilised mudelid peegeldavad uuritavates objektides reaalseid struktuure ja protsesse, st põhinevad nende töö teoorial. Empiirilised mudelid on üles ehitatud objekti reaktsioonide uurimise põhjal keskkonnatingimuste muutustele. Sel juhul ei võeta arvesse objekti toimimise teooriat, objekt ise on nn "must kast" ja mudel on teatud interpolatsiooni sõltuvus. Empiirilisi mudeleid saab ehitada eksperimentaalsetest andmetest. Need andmed saadakse otse uuritavate objektide pealt või nende füüsiliste mudelite abil.

Kui protsessi ei saa kirjeldada analüütilise mudeli kujul, kirjeldatakse seda spetsiaalse algoritmi või programmi abil. See mudel on algoritmiline. Algoritmiliste mudelite koostamisel kasutatakse numbrilisi või simulatsioonimeetodeid. Numbrilises käsitluses asendatakse matemaatiliste seoste hulk lõpliku mõõtmega analoogiga (näiteks üleminek pideva argumendi funktsioonilt diskreetse argumendi funktsioonile). Seejärel konstrueeritakse arvutusalgoritm, s.t. aritmeetiliste ja loogiliste tehtete jadad. Diskreetse analoogi leitud lahendust võetakse esialgse ülesande ligikaudse lahendusena. Simulatsioonikäsitluses diskretiseeritakse modelleeriv objekt ise ja koostatakse süsteemi üksikute elementide mudelid.

2. Vastavalt matemaatiliste mudelite esitusvormile on:

1) Invariantne mudel on matemaatiline mudel, mis esitatakse võrrandisüsteemiga (diferentsiaal-, algebraline) ilma nende võrrandite lahendamise meetodeid arvestamata.

2) Algebraline mudel - mudelite suhe seostatakse valitud arvlahendusmeetodiga ja kirjutatakse algoritmi kujul (arvutuste jada).

3) Analüütiline mudel – on soovitud muutujate eksplitsiitne sõltuvus etteantud väärtustest. Sellised mudelid saadakse füüsikaliste seaduste alusel või algsete diferentsiaalvõrrandite otsese integreerimise tulemusena tabelintegraalide abil. Nende hulka kuuluvad ka katsetulemuste põhjal saadud regressioonimudelid.

4) Graafiline mudel esitatakse graafikute, samaväärsete ahelate, diagrammide jms kujul. Graafiliste mudelite kasutamiseks peab kehtima graafika elementide tingimuskujutiste ja muutumatu matemaatilise mudeli komponentide ühemõttelise vastavuse reegel.

3. Sõltuvalt tõhususe kriteeriumi tüübist ja kehtestatud piirangutest on mudelid jagatud järgmisteks osadeks. lineaarne ja mittelineaarne. Lineaarsetes mudelites on efektiivsuse kriteerium ja kehtestatud piirangud mudeli muutujate lineaarsed funktsioonid (muidu mittelineaarsed mudelid). Eeldus efektiivsuse kriteeriumi ja mudelimuutujatele kehtestatud piirangute lineaarse sõltuvuse kohta on praktikas üsna vastuvõetav. See võimaldab otsuste langetamiseks kasutada hästi arenenud lineaarset programmeerimisaparaati.

4. Võttes arvesse aja ja kasutusala tegurit, eristatakse staatilised ja dünaamilised mudelid... Kui kõik mudelis sisalduvad suurused ei sõltu ajast, siis on meil olemas objekti või protsessi staatiline mudel (objekti ühekordne infolõik). Need. staatiline mudel on mudel, milles aeg ei ole muutuja. Dünaamiline mudel võimaldab näha objektis aja jooksul toimunud muutusi.

5. Sõltuvalt otsuse langetavate osapoolte arvust on kahte tüüpi matemaatilisi mudeleid. kirjeldav ja normatiivne... Kirjeldavas mudelis ei ole otsustajaid. Formaalselt on selliste külgede arv kirjeldavas mudelis null. Selliste mudelite tüüpiline näide on järjekorrasüsteemi mudel. Kirjeldavate mudelite koostamiseks saab kasutada ka usaldusväärsuse teooriat, graafikuteooriat, tõenäosusteooriat, statistilist katsemeetodit (Monte Carlo meetod).

Normatiivsel mudelil on palju aspekte. Põhimõtteliselt võib eristada kahte tüüpi normatiivseid mudeleid: optimeerimismudeleid ja mänguteoreetilisi mudeleid. Optimeerimismudelites on lahenduste väljatöötamise põhiülesanne tehniliselt taandatud efektiivsuse kriteeriumi rangele maksimeerimisele või minimeerimisele, s.o. määratakse sellised kontrollitavate muutujate väärtused, mille juures tõhususe kriteerium saavutab äärmise väärtuse (maksimaalne või minimaalne).

Optimeerimismudelite abil kuvatavate lahenduste väljatöötamiseks kasutatakse koos klassikaliste ja uute variatsioonimeetoditega (äärmusotsing) enim matemaatilise programmeerimise meetodeid (lineaarne, mittelineaarne, dünaamiline). Mänguteoreetilist mudelit iseloomustab poolte arvu paljusus (vähemalt kaks). Kui on kaks vastandlike huvidega osapoolt, siis kasutatakse mänguteooriat, kui parteide arv on üle kahe ning nendevahelised koalitsioonid ja kompromissid on võimatud, siis kasutatakse mittekoalitsioonimängude teooriat. n isikud.

6. Olenevalt juhuslike (või ebakindlate) tegurite olemasolust või puudumisest on olemas deterministlik ja stohhastiline matemaatilised mudelid. Deterministlikes mudelites on kõik seosed, muutujad ja konstandid täpselt määratletud, mis viib tulemuseks oleva funktsiooni ühemõttelise definitsioonini. Deterministlik mudel konstrueeritakse juhtudel, kui toimingu tulemust mõjutavad tegurid sobivad piisavalt täpseks mõõtmiseks või hindamiseks ning juhuslikud tegurid kas puuduvad või võib neid tähelepanuta jätta.

Kui osa või kõik mudelis sisalduvad parameetrid on oma olemuselt juhuslikud suurused või juhuslikud funktsioonid, siis kuulub mudel stohhastiliste mudelite klassi. Stohhastilistes mudelites seatakse paika juhuslike muutujate jaotusseadused, mille tulemusel antakse saadud funktsiooni tõenäosuslik hinnang ja tegelikkus kuvatakse teatud juhusliku protsessina, mille kulgu ja tulemust kirjeldavad teatud juhuslike muutujate tunnused: matemaatilised ootused. , dispersioonid, jaotusfunktsioonid jne. Sellise mudeli konstrueerimine on võimalik, kui vajalike tõenäosusjaotuste hindamiseks on piisavalt faktilist materjali või kui vaadeldava nähtuse teooria võimaldab neid jaotusi teoreetiliselt määrata (tõenäosusteooria valemite, piirteoreemide jne alusel). .).

7. Olenevalt modelleerimise eesmärkidest on kirjeldav, optimeerimine ja haldamine mudelid. Kirjeldavates (ladina keelest desscriptio - kirjeldus) mudelites uuritakse mudeli parameetrite muutumise seaduspärasusi. Näiteks Newtoni teisel seadusel põhinev materiaalse punkti liikumise mudel rakendatud jõudude mõjul:. Määrates punkti asukoha ja kiirenduse antud ajahetkel (sisendparameetrid), massi (sisemine parameeter) ja rakendatavate jõudude (välismõjude) muutumise seaduse, on võimalik määrata punkti koordinaadid ja kiirus igal ajal. aeg (väljund).

Optimeerimismudeleid kasutatakse teatud kriteeriumi alusel parima (optimaalse) kindlaksmääramiseks, simuleeritava objekti parameetrid või selle objekti juhtimise meetodid. Optimeerimismudelid koostatakse ühe või mitme kirjeldava mudeli abil ja neil on optimaalsuse määramiseks mitu kriteeriumi. Sisendparameetrite väärtuste vahemikule saab kehtestada piiranguid vaadeldava objekti või protsessi omadustega seotud võrduste või ebavõrdsuste kujul. Optimeerimismudeli näiteks on toiduratsiooni koostamine teatud dieedis (sisendandmetena toimivad toote kalorisisaldus, maksumuse hinnaväärtused jne).

Juhtimismudeleid kasutatakse otsuste tegemiseks sihipärase inimtegevuse erinevates valdkondades, kui kogu alternatiivide komplektist valitakse välja mitu alternatiivi ja üldine otsustusprotsess on selliste alternatiivide jada. Näiteks mitme õpilaste koostatud aruande valimine edutamiseks. Probleemi keerukus seisneb nii ebakindluses sisendandmete (koostati iseseisvalt aruanne või kasutati kellegi teise tööd) kui ka eesmärkides (töö teaduslikkus ja struktuur, esitluse tase ja koolituse tase). õpilane, katse tulemused ja saadud järeldused). Kuna samas olukorras tehtud otsuse optimaalsust on võimalik erinevalt tõlgendada, ei ole juhtimismudelites optimaalsuse kriteeriumi vorm eelnevalt fikseeritud. Valikuteoorias ja otsuste tegemisel käsitletakse optimaalsuse kriteeriumide moodustamise meetodeid sõltuvalt määramatuse tüübist, tuginedes mänguteooriale ja operatsioonide uurimisele.

8.Eristada uurimismeetodi järgi analüütiline, numbriline ja simulatsioon mudelid. Analüütiline mudel on süsteemi formaliseeritud kirjeldus, mis võimaldab saada võrrandile selgesõnalise lahendi, kasutades tuntud matemaatilist aparaadi. Numbrilist mudelit iseloomustab sõltuvus, mis võimaldab ainult osalisi arvulisi lahendusi mudeli konkreetsetele algtingimustele ja kvantitatiivsetele parameetritele. Simulatsioonimudel on süsteemi ja välismõjude kirjelduste kogum, süsteemi toimimise algoritmid või süsteemi oleku muutmise reeglid väliste ja sisemiste häirete mõjul. Need algoritmid ja reeglid ei võimalda kasutada olemasolevaid matemaatilisi analüütilise ja numbrilise lahenduse meetodeid, kuid võimaldavad simuleerida süsteemi toimimise protsessi ja fikseerida huvipakkuvad omadused. Lisaks käsitletakse üksikasjalikumalt mõnda analüütilist ja simulatsioonimudelit, seda tüüpi mudelite uurimist seostatakse õpilaste kutsetegevuse spetsiifikaga näidatud koolitussuunas.

1.4. Matemaatiliste mudelite graafiline esitus

Matemaatikas saab suuruste vahelise seose vorme esitada sõltumatu muutuja (argumendi) vormi võrranditega, y- sõltuv muutuja (funktsioon). Matemaatilise modelleerimise teoorias nimetatakse sõltumatut muutujat teguriks ja sõltuvat muutujat vastuseks. Lisaks on terminoloogiat mõnevõrra muudetud sõltuvalt matemaatilise mudeli koostamise valdkonnast. Mõned näited teguri ja vastuse määratlustest, olenevalt uurimisvaldkonnast, on toodud tabelis 1.

Tabel 1. Mõned mõistete "faktor" ja "vastus" määratlused

Matemaatilise mudeli graafiliselt esitamisel käsitleme muutujatena tegureid ja vastuseid, mille väärtused kuuluvad reaalarvude hulka.

Matemaatilise mudeli graafiline esitus on mingi vastusepind, mis vastab punktide paigutusele in k- mõõtmetegur ruum NS... Visualiseerida saab ainult ühe- ja kahemõõtmelisi vastusepindu. Esimesel juhul on see punktide kogum reaalsel tasapinnal ja teisel juhul punktide kogum, mis moodustavad ruumis pinna (selliste punktide kujutamiseks on mugav kasutada tasapinnalisi jooni - viis kuvamiseks kahemõõtmelisse faktoriruumi ehitatud ruumi pinna reljeef NS(joonis 8).

Nimetatakse piirkonda, milles reageerimispind on määratletud määratluspiirkond X *. See ala moodustab reeglina vaid osa kogu faktoriruumist. NS(NS*Ì NS) ja see eraldatakse juhtmuutujatele kehtestatud piirangute abil x i võrdsetena kirjutatud:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

või ebavõrdsused:

x i min £ x i£ x i max, i= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Sel juhul funktsioonid f j(x) võib sõltuda nii üheaegselt kõigist muutujatest kui ka nende mõnest osast.

Sellised piirangud nagu ebavõrdsus iseloomustavad kas uuritava objekti protsesside füüsilisi piiranguid (näiteks temperatuuripiirangud) või rajatise töötingimustega seotud tehnilisi piiranguid (näiteks piirav lõikamiskiirus, toorainevarude piirangud). .

Mudelite uurimise võimalused sõltuvad sisuliselt vastuspinna omadustest (reljeefist), eelkõige sellel saadaolevate “tippude” arvust ja kontrastsusest. Tippude (orgude) arv määrab modaalsus reageerimispinnad. Kui definitsioonipiirkonnas vastusepinnal on üks tipp (org), kutsutakse mudelit unimodaalne.

Funktsioonimuutuse olemus võib sel juhul olla erinev (joonis 9).

Mudelil võivad olla esimest tüüpi murdepunktid (joonis 9 (a)), teist tüüpi murdepunktid (joonis 9 (b)). Joonisel 9 (c) on kujutatud pidevalt diferentseeruv unimodaalne mudel.

Kõigil kolmel joonisel 9 kujutatud juhul on ühemodaalsuse üldnõue täidetud:

kui W (x *) on W ekstreemum, siis tingimusest x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) järgneb W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), kui ekstreemum on minimaalne, see tähendab, et kauguse äärmuspunktist suurenedes funktsiooni W (x) väärtus pidevalt väheneb (suureneb).

Koos unimodaalsete mudelitega vaadeldakse polümodaalseid mudeleid (joonis 10).

Teine oluline reaktsioonipinna omadus on selle kontrastsus, mis näitab tekkiva funktsiooni tundlikkust tegurite muutustele. Kontrasti iseloomustavad tuletiste väärtused. Demonstreerime kontrasti omadusi kahemõõtmelise reaktsioonipinna näitel (joonis 11).

Punkt a asub "kaldal", mis iseloomustab kõigi muutujate võrdset kontrasti x i (i= 1,2), punkt b asub "kurus", milles erinevate muutujate jaoks on erinev kontrast (meil on funktsiooni kehv tingimuslikkus), punkt koos asub "platool", kus kõigi muutujate kontrastsus on madal x i näitab ekstreemumi lähedust.

1.5. Matemaatiliste mudelite koostamise põhimeetodid

Anname modelleeritud süsteemide formaliseeritud esituse meetodite klassifikatsiooni Volkova V.N. ja Denisova AA.. Autorid tõstavad esile analüütilisi, statistilisi, hulgateoreetilisi, keelelisi, loogilisi, graafilisi meetodeid. Põhiterminoloogia, kirjeldatud meetodite klasside alusel arenevate teooriate näited ning nende rakendusala ja -võimalused on välja pakutud lisas 1.

Modelleerimissüsteemide praktikas kasutatakse enim analüütilisi ja statistilisi meetodeid.

1) Analüütilised meetodid matemaatiliste mudelite koostamiseks.

Analüütiliste meetodite terminoloogiline aparaat matemaatiliste mudelite koostamiseks põhineb klassikalise matemaatika mõistetel (valem, funktsioon, võrrand ja võrrandisüsteem, võrratus, tuletis, integraal jne). Neid meetodeid iseloomustab klassikalise matemaatika keelt kasutava terminoloogia selgus ja kehtivus.

Analüütiliste kontseptsioonide alusel on tekkinud ja arenenud sellised matemaatilised teooriad nagu klassikaline matemaatiline analüüs (näiteks funktsioonide uurimise meetodid) ning kaasaegsed matemaatilise programmeerimise ja mänguteooria alused. Lisaks sisaldab matemaatiline programmeerimine (lineaarne, mittelineaarne, dünaamiline, täisarv jne) nii probleemi püstitamise vahendeid kui ka laiendab mudeli adekvaatsuse tõestamise võimalusi, erinevalt mitmetest muudest matemaatika valdkondadest. Optimaalse matemaatilise programmeerimise ideed majanduslike (eelkõige vineerilehe optimaalse lõikamise probleemi lahendamise) probleemide lahendamiseks pakkus välja L.V. Kantorovitš.

Selgitame näite abil meetodi omadusi.

Näide. Oletame, et kahte tüüpi toodete tootmiseks A ja V peate kasutama kolme tüüpi toorainet. Samal ajal tüüpi tootmisüksuse valmistamiseks A Tarbitakse 4 ühikut. esimest tüüpi toorained, 2 tk. 2. ja 3. üksus 3. tüüp. Tüüpi tootmisüksuse valmistamiseks V Tarbitakse 2 ühikut. 1. tüüpi tooraine, 5 tk. 2. tüüp ja 4 ühikut. 3. tüüpi tooraine. Tehase laos on 35 ühikut. 1. tüüpi toorained, 43 2. tüüpi, 40 3. tüüpi toorained. Tüüpi toodanguühiku müügist A tehasel on kasumit 5 tuhat rubla ja vormi toodanguühiku müügist V kasum on 9 tuhat rubla. On vaja koostada ülesande matemaatiline mudel, mis näeb ette maksimaalse kasumi.

Igat tüüpi tooraine tarbimismäärad seda tüüpi toote ühiku valmistamiseks on toodud tabelis. See näitab ka iga tooteliigi müügist saadavat kasumit ja seda tüüpi tooraine koguhulka, mida ettevõte saab kasutada.

Tähistame tähisega x 1 ja x 2 toodetud toodete maht A ja V vastavalt. Kava esimese klassi materjali maksumus on 4x 1 + 2x 2, ja need ei tohiks ületada varusid, s.t. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Teise klassi materjali piirangud on sarnased:

2x 1 + 5x 2 43,

ja kolmanda klassi materjalil

3x 1 + 4x 2 40.

Kasum müügist x 1 tootmisühikut A ja x 2 tootmisühikud B on z = 5x 1+ 9x 2(objektiivne funktsioon).

Saime probleemimudeli:

Probleemi graafiline lahendus on näidatud joonisel 11.

Optimaalne (parim, st funktsiooni maksimum z) ülesande lahendus on punktis A (lahendust selgitatakse peatükis 5).

Sain aru x 1=4,x 2= 7, funktsiooni väärtus z punktis A:.

Seega on maksimaalse kasumi väärtus 83 tuhat rubla.

Lisaks graafilisele on ülesande lahendamiseks ka mitmeid erimeetodeid (näiteks simpleksmeetod) või kasutatakse neid rakendavaid rakendustarkvarapakette. Sõltuvalt sihtfunktsiooni tüübist eristatakse lineaarset ja mittelineaarset programmeerimist, sõltuvalt muutujate olemusest eristatakse täisarvulist programmeerimist.

Matemaatilise programmeerimise üldisi tunnuseid saab eristada:

1) eesmärgi funktsiooni mõiste kasutuselevõtt ja piirangud on probleemi püstitamise vahendid;

2) ühes mudelis on võimalik kombineerida erinevaid kriteeriume (erinevad mõõdud, näites - tooraine laoseisud ja kasum);

3) matemaatiline programmeerimismudel võimaldab minna muutujate lubatud väärtuste vahemiku piirile;

4) samm-sammulise algoritmi realiseerimise võimalus tulemuste saamiseks (optimaalse lahenduse samm-sammuline lähendamine);

5) ülesande geomeetrilise tõlgendamise kaudu saavutatav selgus, mis aitab juhtudel, kui ülesannet ei ole võimalik formaalselt lahendada.

2) Statistilised meetodid matemaatiliste mudelite koostamiseks.

Statistilised meetodid matemaatiliste mudelite koostamiseks levisid laialdaselt ja neid hakati laialdaselt kasutama koos tõenäosusteooria arenguga 19. sajandil. Need põhinevad juhuslike (stohhastiliste) sündmuste tõenäosusseadustel, peegeldades tegelikke nähtusi. Mõiste "stohhastiline" on "juhusliku" mõiste täpsustus, viitab eelnevalt kindlaksmääratud kindlatele protsessi mõjutavatele põhjustele ning "juhusliku" mõistet iseloomustab sõltumatus selliste põhjuste mõjust või puudumisest.

Statistilised mustrid esitatakse diskreetsete juhuslike muutujate ja nende väärtuste väljanägemise mustritena või sündmuste (protsesside) jaotuse pidevate sõltuvuste kujul. Stohhastiliste mudelite ehitamise teoreetilisi aluseid kirjeldatakse üksikasjalikult 2. peatükis.

Kontrollküsimused

1. Sõnastage matemaatilise modelleerimise põhiprobleem.

2. Andke matemaatilise mudeli definitsioon.

3. Loetlege eksperimentaalse lähenemise peamised puudused uuringus.

4. Loetlege mudeli ehitamise peamised etapid.

5. Loetlege matemaatiliste mudelite tüübid.

6. Kirjeldage lühidalt mudelitüüpe.

7. Millise kuju võtab matemaatiline mudel geomeetriliselt esitatuna?

8. Kuidas määratakse analüütilist tüüpi matemaatilisi mudeleid?

Ülesanded

1. Koostage ülesande lahendamiseks matemaatiline mudel ja klassifitseerige mudel:

1) Määrake silindrilise ämbri maksimaalne mahutavus, mille pind (ilma kaaneta) on S.

2) Ettevõte tagab regulaarse tootmise koos komponentide tõrgeteta tarnimisega kahelt alltöövõtjalt. Tarnimisest keeldumise tõenäosus esimeselt alltöövõtjalt -, teiselt -. Leidke ettevõtte ebaõnnestumise tõenäosus.

2. Malthuse mudel (1798) kirjeldab populatsiooni taastootmist kiirusega, mis on proportsionaalne selle suurusega. Diskreetsel kujul on see seadus geomeetriline progressioon:; või diferentsiaalvõrrandina kirjutatud seadus on populatsiooni eksponentsiaalse kasvu mudel ja kirjeldab hästi rakupopulatsioonide kasvu ilma piiranguteta. Seadke algtingimused ja näidake, kuidas mudel töötab.

Süsteemide toimimisprotsesside MM-i konstrueerimise algteave on andmed uuritava (projitseeritud) süsteemi S eesmärgi ja töötingimuste kohta. See teave määrab modelleerimise peamise eesmärgi, MM-ile esitatavad nõuded, abstraktsioonitaseme. ja matemaatilise modelleerimisskeemi valik.

Kontseptsioon matemaatiline skeem võimaldab käsitleda matemaatikat mitte arvutusmeetodina, vaid mõtlemismeetodina, mõistete sõnastamise vahendina, mis on kõige olulisem üleminekul verbaalselt kirjelduselt selle toimimisprotsessi formaliseeritud esitusele. mõni MM.

Mati kasutamisel. skeem, ennekõike peaks süsteemi uurijat huvitama küsimus uuritavas süsteemis reaalsete protsesside konkreetsete skeemide kujul kuvamise adekvaatsuse kohta, mitte vastuse (lahendustulemuse) saamise võimalusest. konkreetsele uurimisküsimusele.

Näiteks võimaldab kollektiivseks kasutamiseks mõeldud ICS-i toimimisprotsessi kujutamine järjekorraskeemide võrgustikuna hästi kirjeldada süsteemis toimuvaid protsesse, kuid sissetulevate voogude ja teenusevoogude keeruliste seaduspärasuste korral ei võimalda saada tulemusi selgel kujul.

Matemaatiline skeem võib määratleda lülina üleminekul süsteemi toimimise protsessi mõtestatud kirjelduselt formaliseeritud kirjeldusele, võttes arvesse väliskeskkonna mõju. Need. on ahel: kirjeldav mudel - matemaatiline skeem - simulatsioonimudel.

Iga konkreetset süsteemi S iseloomustab omaduste kogum, mida mõistetakse väärtustena, mis peegeldavad modelleeritava objekti (reaalse süsteemi) käitumist ja selle toimimise tingimusi interaktsioonis väliskeskkonnaga (süsteem) E.

Süsteemi S MM-i konstrueerimisel on vaja lahendada selle täielikkuse küsimus. Modelleerimise täielikkust reguleerib peamiselt piiride valik "Süsteem S - keskkond E". Samuti tuleks lahendada MM-i lihtsustamise probleem, mis aitab esile tuua süsteemi põhiomadused, jättes kõrvale modelleerimise sekundaarsed eesmärgid.

Simulatsiooniobjekti MM, s.o. süsteemi S saab esitada suuruste kogumina, mis kirjeldab reaalse süsteemi toimimise protsessi ja moodustab üldjuhul järgmised alamhulgad:

X - sisendmõjude hulk Sх i Х, i = 1… n x;

Väliskeskkonna mõjude kogum v l V, l = 1… n v;

Süsteemi sisemiste (sisemiste) parameetrite hulk h k H, k = 1… n h;

Süsteemi väljundkarakteristikute hulk y j Y, j = 1… n y.

Loetletud komplektides saab eristada kontrollitud ja kontrollimata koguseid. Üldiselt on X, V, H, Y disjunktsed hulgad, mis sisaldavad nii deterministlikke kui ka stohhastilisi komponente. Sisendtoimingud E ja siseparameetrid S on sõltumatud (eksogeensed) muutujad.Väljundomadused - sõltuvad muutujad (endogeensed)... Toimimisprotsessi S kirjeldab operaator F S:

(1)

Väljundtrajektoor.F S - funktsioneerimise seadus S.F S võib olla funktsioon, funktsionaalsed, loogilised tingimused, algoritm, tabel või reeglite sõnaline kirjeldus.

Toimimisalgoritm A S - meetod väljundi karakteristikute saamiseks, võttes arvesse sisendmõjusid Ilmselgelt saab sama FS-i realiseerida erineval viisil, s.t. kasutades palju erinevaid A S.

Seos (1) on matemaatiline kirjeldus objekti S modelleerimisest ajas t, s.o. peegeldab seda dünaamilised omadused... (1) on süsteemi S dünaamiline mudel. Staatiliste tingimuste MM jaoks on vastendused X, V, H Y-ks, st. (2)

Seoseid (1), (2) saab määrata valemite, tabelite jms abil.

Samuti on mõnel juhul võimalik seoseid saada süsteemi omaduste kaudu teatud ajahetkedel, mida nimetatakse olekuteks.

Süsteemi S olekuid iseloomustavad vektorid:

ja , kus hetkel t l  (t 0, T)

ajal t ll  (t 0, T) jne. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) on punkti koordinaadid k-mõõtmelises faasiruumis. Iga protsessi rakendamine vastab teatud faasi trajektoorile.

Olekute kõigi võimalike väärtuste hulka () nimetatakse modelleerimise objekti olekuruumiks Z ja z k Z.

Süsteemi olek S ajavahemikus t 0 , kus sisend, siseparameetrid ja väliskeskkonna mõjud, mis toimusid ajavahemikul t * - t 0 kasutades 2 vektorvõrrandit:

; (3)

muidu: . (5)

Aeg mod. S-d võib simulatsiooniintervallil (t 0, T) pidada nii pidevaks kui ka diskreetseks, s.t. kvantiseeritud segmendil pikkusega t.

Seega peame objekti MM-i all silmas piiratud muutujate kogumit () koos nende ja tunnuste vaheliste matemaatiliste seostega.

Modelleerimist nimetatakse deterministlikuks, kui operaatorid F, Ф on deterministlikud, s.t. konkreetse sisendi puhul on väljund deterministlik. Deterministlik modelleerimine on stohhastilise modelleerimise erijuht. Praktikas on süsteemianalüüsi valdkonna objektide modelleerimisel uurimistöö algfaasis ratsionaalsem kasutada standardseid matemaatilisi skeeme: diff. võrrandid, lõplikud ja tõenäosusautomaadid, QS jne.

Ei omanud. selline üldistusaste nagu mudelid (3), (4), tüüpiline matemaatilised skeemid eeliseks on lihtsus ja selgus, kuid rakendusala on oluliselt kitsendatud.

Nagu deterministlik mudelite puhul, kui uuringus ei võeta arvesse juhuslikku fakti, kasutatakse pidevas ajas töötavate süsteemide kujutamiseks diferentsiaal-, integraal- ja muid võrrandeid ning diskreetses ajas töötavate süsteemide kujutamiseks lõplike automaatide ja lõplike erinevuste skeeme.

Stohhastiliste mudelite alguses (võttes arvesse juhuslikku tegurit) kasutatakse diskreetse ajaga süsteemide kujutamiseks tõenäosusautomaate ja pideva ajaga süsteemide esitamiseks järjekorrasüsteeme (QS). Niinimetatud agregaat mudelid.

Koondmudelid (süsteemid) võimaldavad kirjeldada väga erinevaid uurimisobjekte, peegeldades nende objektide süsteemsust. Just koondkirjeldusega jagatakse keerukas objekt lõplikuks arvuks osadeks (alamsüsteemideks), säilitades samas ühendused, tagades osade koosmõju.

16 Matemaatilised skeemid süsteemide modelleerimiseks.

Süsteemi matemaatiliste mudelite konstrueerimise peamised lähenemisviisid. Pidevalt deterministlikud mudelid. Diskreet-deterministlikud mudelid. Diskreetsed stohhastilised mudelid. Pidevad stohhastilised mudelid. Võrgumudelid. Kombineeritud mudelid.

Süsteemi matemaatiliste mudelite konstrueerimise peamised lähenemisviisid.

Süsteemide toimimisprotsesside matemaatiliste mudelite koostamisel on lähteinformatsiooniks uuritava (projekteeritava) süsteemi eesmärgi ja töötingimuste andmed. S.

Matemaatilised skeemid

Reaalsed protsessid kuvatakse konkreetsete diagrammide kujul. Mat. skeemid - üleminek sisukalt kirjelduselt süsteemi formaalsele kirjeldusele, võttes arvesse keskkonnamõju.

Formaalne objektimudel

Simulatsiooniobjekti mudel,

ehk süsteemid S, saab esitada koguste kogumina,

reaalse süsteemi toimimise ja genereerimise protsessi kirjeldamine

üldiselt järgmised alamhulgad:

Agregaat sisendtoimingud süsteemi kohta

NSi, endine, (e-tegelane kuulub)i=1; nx

Agregaat keskkonnamõjud

vl eVl = 1; nv

Agregaat sisemised (oma) parameetrid süsteemid

hkeHk = 1; nh

Agregaat väljundi omadused süsteemid

yJeYj = 1; ny

Saate eristada hallatud ja haldamata muutujaid.

Süsteemide modelleerimisel sisaldavad sisendmõjud, keskkonnamõjud ja siseparameetrid nii deterministlikke kui stohhastilisi komponente.

sisendmõjud, keskkonnamõjud E ja süsteemi sisemised parameetrid on sõltumatud (eksogeensed) muutujad.

Süsteemi tööprotsess S operaatori poolt õigel ajal kirjeldatud Fs, mis üldjuhul muudab eksogeensed muutujad endogeenseteks vastavalt vormi suhetele:

y(t) = Fs (x, v, h, t) – kõik koos ve-gaktori.

Süsteemi toimimise seadust Fs saab täpsustada funktsiooni, funktsionaalsete, loogiliste tingimuste, algoritmiliste ja tabelivormide või verbaalse vastavusreegli kujul.

Toimimisalgoritmi As kontseptsioon - meetod väljundkarakteristikute saamiseks, võttes arvesse sisendtoiminguid, väliskeskkonna mõjusid ja süsteemi sisemisi parameetreid.

Tutvustatakse ka süsteemi olekuid - süsteemi omadusi konkreetsetel ajahetkedel.

Olekute kõigi võimalike väärtuste kogum moodustab objekti olekuruumi.

Seega võimaldab objekti "sisend - olekud - väljund" võrrandite ahel määrata süsteemi omadused:

Seega, all objekti matemaatiline mudel(reaalne süsteem) mõistab muutujate piiratud alamhulka (x (t), v (t), h(t)) koos nende ja tunnuste vaheliste matemaatiliste seostega y (t).

Tüüpilised skeemid

Uuringu algfaasis kasutatakse standardskeeme. : diferentsiaalvõrrandid, lõplikud ja tõenäosusautomaadid, järjekorrasüsteemid, Petri võrgud jne.

Pidevas ajas töötavate süsteemide kujutamiseks deterministlike mudelitena kasutatakse diferentsiaal-, integraal-, integro-diferentsiaal- ja muid võrrandeid, kui uuringus ei võeta arvesse juhuslikke tegureid ning süsteemides töötavate süsteemide kujutamiseks kasutatakse lõplikke automaate ja lõplike erinevuste skeeme. diskreetne aeg....

Tõenäosuslikke automaate kasutatakse stohhastiliste mudelitena (juhuslikke tegureid arvesse võttes) diskreetse ajaga süsteemide kujutamiseks ja järjekorrasüsteeme pideva ajaga jne.

Seega saab süsteemide toimimisprotsesside matemaatiliste mudelite koostamisel eristada järgmisi põhilisi lähenemisi: pidev-deterministlik (näiteks diferentsiaalvõrrandid); diskreet-deterministlik (lõplikud automaatid); diskreetne stohhastiline (tõenäosuslikud automaatid); pidev-stohhastiline (järjekorrasüsteemid); üldistatud ehk universaalsed (agregaatsüsteemid).

Pidevalt deterministlikud mudelid

Vaatleme pidevalt deterministliku lähenemise tunnuseid näite varal, kasutades Mat. mudelid diferentsiaalvõrrandid.

Diferentsiaalvõrrandid on võrrandid, milles ühe muutuja või mitme muutuja funktsioonid on tundmatud ja võrrand ei hõlma mitte ainult nende funktsioone, vaid ka nende erinevat järku tuletisi.

Kui tundmatud on mitme muutuja funktsioonid, nimetatakse võrrandeid - osadiferentsiaalvõrrandid. Kui ühe sõltumatu muutuja tundmatud funktsioonid, siis tavalised diferentsiaalvõrrandid.

Üldine matemaatiline seos deterministlike süsteemide jaoks:

Diskreet-deterministlikud mudelid.

DDM-id vaadatakse üle automaatide teooria (TA)... TA on teoreetilise küberneetika osa, mis uurib seadmeid, mis töötlevad diskreetset teavet ja muudavad nende sisemisi olekuid ainult vastuvõetavatel aegadel.

Riigi masin nimetatakse automaadiks, milles siseolekute ja sisendsignaalide hulk (ja sellest tulenevalt ka väljundsignaalide hulk) on lõplikud hulgad.

Lõpliku oleku masin sellel on palju sisemisi olekuid ja sisendsignaale, mis on lõplikud hulgad. Masin antud F-skeemiga: F = ,

kus z, x, y on vastavalt sisend- ja väljundsignaalide (tähestik) lõplikud komplektid ja sisemiste olekute lõplik hulk (tähestik). z0ÎZ - algseisund; j (z, x) - üleminekufunktsioon; y (z, x) - väljumisfunktsioon.

Automaat töötab diskreetsel automaatajal, mille hetked on tsüklid, see tähendab üksteisega külgnevad võrdsed ajaintervallid, millest igaüks vastab sisend-, väljundsignaali ja sisemise oleku konstantsetele väärtustele. Abstraktsel automaadil on üks sisend- ja üks väljundkanal.

F - automaati defineerimiseks on vaja kirjeldada kõiki hulga F = elemente , st sisend-, sise- ja väljundtähestikud, samuti ülemineku- ja väljundfunktsioonid. F - automaatide töö seadistamiseks kasutatakse kõige sagedamini tabeli-, graafilisi ja maatriksmeetodeid.

Tabelina seadistamisel kasutatakse ülemineku- ja väljundtabeleid, mille read vastavad automaadi sisendsignaalidele ja veerud selle olekutele.

Töö kirjeldus F- Miili kuulipildujaüleminekute j ja väljundite y tabeleid illustreerib tabel (1), F - Moore'i automaati - kirjeldust aga üleminekute tabel (2).

Tabel 1

Üleminekud
…………………………………………………………
…………………………………………………………

tabel 2

…………………………………………………………

Näited F tabelina täpsustamise kohta - kolme oleku, kahe sisend- ja kahe väljundsignaaliga Mealy automaat F1 on toodud tabelis 3 ja F - Moore'i automaat F2 - tabelis 4.

Tabel 3

Üleminekud

Tabel 4

Teine viis lõpliku oleku masina määratlemiseks kasutab suunatud graafi mõistet. Automaadigraaf on automaadi erinevatele olekutele vastavate tippude kogum, mis ühendab automaati teatud üleminekutele vastavate graafikukaarte tippe. Kui sisendsignaal xk põhjustab ülemineku olekust zi olekusse zj, siis automaatgraafikul on tippu zi tipuga zj ühendav kaar tähistatud xk-ga. Üleminekufunktsiooni seadistamiseks tuleb graafiku kaared tähistada vastavate väljundsignaalidega.

Riis. 1. Mealy (a) ja Moore (b) automaatide graafikud.

Modelleerimisülesannete lahendamisel on lõpliku oleku masina maatriksdefinitsioon sageli mugavam vorm. Sel juhul on automaadi ühenduste maatriks ruutmaatriks C = || cij ||, mille read vastavad algolekutele ja veerud üleminekuolekutele.

Näide. Varem käsitletud Moore'i automaati F2 jaoks kirjutame olekumaatriksi ja väljundvektori:

;

Diskreetsed stohhastilised mudelid

Olgu Ф kõigi võimalike vormipaaride hulk (zk, yi), kus уi on väljundi element

alamhulk Y. Nõuame, et hulga G mis tahes element indutseerib

hulgal Ф mõni jaotusseadus järgmisel kujul:

Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ) elemendid

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Infovõrgud "href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" järjehoidja "> arvutiteabe töötlemine kaugterminalidest jne.

Samal ajal tüüpiline

selliste objektide toimimine on rakenduste (nõuete) juhuslik ilmumine

teenindamine ja teenuse lõpetamine juhuslikel aegadel,

see tähendab nende toimimisprotsessi stohhastilisust.

QS on dünaamiline süsteem, mis on loodud piiratud süsteemiressurssidega juhusliku rakenduste voo tõhusaks teenindamiseks. QS üldistatud struktuur on näidatud joonisel 3.1.

Riis. 3.1. SMO skeem.

QS-i sisendisse saabuvad homogeensed nõuded jagunevad tüüpideks, olenevalt tekitavast põhjusest i-tüüpi nõuete voo intensiivsust (i = 1 ... M) tähistatakse li-ga. Igat tüüpi rakenduste kogum on QS-i sissetulev voog.

Rakenduste teenindamine toimub m kanalid.

Eristage universaalseid ja spetsiaalseid teenusekanaleid. Tüüpi j universaalse kanali puhul loetakse suvalist tüüpi nõuete teenindamise kestuse jaotusfunktsioonid Fji (t) teadaolevaks. Spetsialiseeritud kanalite puhul on teatud tüüpi nõuete kanalite teenindamise kestuse jaotusfunktsioonid määratlemata, nende nõuete määramine sellele kanalile.

Q - ahelaid saab uurida analüütiliselt ja simulatsioonimudelite abil. Viimane pakub suurepärast mitmekülgsust.

Vaatleme järjekorra mõistet.

Igas elementaarses teenindamise toimingus saab eristada kahte põhikomponenti: nõude kaudu kättetoimetamise ootus ja nõude tegelik teenindamine. Seda saab kuvada mõne i-nda teenindusseadme Pi kujul, mis koosneb nõudeakumulaatorist, milles võib samaaegselt olla li = 0 ... LiH nõudeid, kus LiH on i-nda akumulaatori võimsus ja kahjunõude teenindamise kanal, ki.

Riis. 3.2. Ühise turukorralduse seadme skemaatiline diagramm

Teenindusseadme Pi iga element võtab vastu sündmuste vooge: nõuete voo wi akumulaatorile Hi ja teenindusseadme ui voo kanalile ki.

Sündmuste voolu järgi(PS) on sündmuste jada, mis toimuvad üksteise järel mõnel juhuslikul ajahetkel. Eristage homogeensete ja heterogeensete sündmuste vooge. Homogeenne PS-i iseloomustavad ainult nende sündmuste saabumise hetked (põhjustavad hetked) ja see saadakse jadaga (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), kus tn on n-nda saabumise hetk. sündmus – mittenegatiivne reaalarv. TSA saab määrata ka ajavahemike jadana n-nda ja n-1-nda sündmuste vahel (tn).

Heterogeenne PS nimetatakse jadaks (tn, fn), kus tn - momente tekitav; fn - sündmuse atribuutide komplekt. Näiteks saab selle määrata ühele või teisele nõuete allikale, prioriteedi olemasolule, võimalusele teenindada üht või teist tüüpi kanalit jne.

Kanali ki poolt teenindatud nõuded ja nõuded, mis jätsid serveri Pi erinevatel põhjustel teenindamata, moodustavad väljundvoo yiÎY.

Teenindusseadme Pi toimimise protsessi võib kujutada kui selle elementide olekute muutmise protsessi ajas Zi (t). Pi jaoks uude olekusse üleminek tähendab selles olevate päringute arvu muutust (kanalis ki ja akumulaatoris Hi). See. Pi olekuvektor on kujul:, kus on draivi olekud, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width =" 24 height = 28 "height = " 28 "> = 1 - mälus on üks päring ..., = - salvestusruum on täielikult hõivatud; - kanali ki olek (= 0 - kanal on vaba, = 1 kanal on hõivatud).

Reaalobjektide Q-diagrammid moodustuvad paljude elementaarsete teenindusseadmete Pi koostisest. Kui paralleelselt on ühendatud ki erinevad teenindusseadmed, siis on olemas mitmekanaliline teenus (mitmekanaliline Q-ahel) ja kui seadmed Pi ja nende paralleelsed kompositsioonid on ühendatud järjestikku, siis on olemas mitmefaasiline teenus (mitmefaasiline Q-ahel).

Q-skeemi defineerimiseks on vaja kirjeldada ka selle toimimise algoritme, mis määravad reeglid pretensioonide käitumisele erinevates ebaselgetes olukordades.

Olenevalt selliste olukordade esinemiskohast on algoritmid (distsipliinid) akumulaatoris Нi nõuete ootamiseks ja kahjude teenindamiseks kanalil ki. Taotluste voo heterogeensust võetakse arvesse prioriteetsuse klassi - suhtelise ja absoluutse prioriteedi - kasutuselevõtuga.

See. Q-skeem, mis kirjeldab mis tahes keerukusega QS-i toimimisprotsessi, on üheselt määratletud kui komplektide kogum: Q = .

Võrgumudelid.

Paralleelsete süsteemide ja protsesside struktuuri ja interaktsiooni formaalseks kirjeldamiseks, samuti põhjus-tagajärg seoste analüüsimiseks keerulistes süsteemides kasutatakse Petri Netsi, mida nimetatakse N-skeemiks.

Vormiliselt on N-skeem antud vormi neljakordsega

N = ,

kus B on lõplik sümbolite hulk, mida nimetatakse positsioonideks, B ≠ O;

D on piiritletud sümbolite kogum, mida nimetatakse üleminekuteks D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I - sisendfunktsioon (otse esinemise funktsioon)

I: B × D → (0, 1); О - väljundfunktsioon (pöördsageduse funktsioon),

О: B × D → (0, 1). Seega sisendfunktsioon I kaardistab ülemineku dj to

sisendpositsioonide komplekt bj I (dj) ja väljundfunktsiooni O kaardid

üleminek dj väljundpositsioonide hulka bj О (dj). Iga ülemineku jaoks

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Samamoodi tutvustatakse iga positsiooni bi B jaoks määratlusi

positsiooni I (bi) sisendsiirete ja väljundi üleminekute komplekt

asend O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Petri võrk on kahepoolne suunatud graaf, mis koosneb kahte tüüpi tippudest - positsioonidest ja üleminekutest, mis on ühendatud kaare abil; sama tüüpi tippe ei saa otse ühendada.

Petri võrgu näide. Valged ringid tähistavad positsioone, triibud - üleminekuid, mustad ringid - silte.

Orientatsioonikaared ühendavad positsioone ja üleminekuid, kusjuures iga kaar on suunatud ühe komplekti elemendist (asend või üleminek) teise komplekti elemendile

(üleminek või positsioon). N-kujuline graafik on multigraaf, kuna see

tunnistab mitme kaare olemasolu ühest tipust teise.

Dekomponeerimine "href =" / text / category / dekompozitciya / "rel =" järjehoidja "> lagunemine keeruline süsteem on kujutatud mitmetasandilise struktuurina omavahel ühendatud elementidest, mis on ühendatud erinevate tasandite alamsüsteemideks.

Agregaat toimib A-skeemi elemendina ja ühendus agregaatide vahel (S-süsteemi sees ja väliskeskkonnaga E) toimub konjugatsioonioperaatori R abil.

Iga ühikut iseloomustavad järgmised komplektid: ajad T, sisend X ja väljund Y signaalid, olekud Z igal ajahetkel t. Ühiku olek ajahetkel tT on tähistatud kui z (t) Z,

ning sisend- ja väljundsignaalid vastavalt x (t) X ja y (t) Y.

Eeldame, et agregaadi üleminek olekust z (t1) olekusse z (t2) ≠ z (t1) toimub lühikese ajaintervalli jooksul, st toimub hüpe δz.

Seadme üleminekud olekust z (t1) z (t2) on määratud üksuse enda sisemiste (sisemiste) parameetritega h (t) H ja sisendsignaalidega x (t) X.

Algsel ajahetkel t0 on olekute z väärtused, mis on võrdsed z0-ga, st z0 = z (t0), mis on antud protsessi z (t) jaotusseadusega ajahetkel t0, nimelt J. Oletame, et protsess üksuse toimimist sisendsignaali xn korral kirjeldab juhuslik operaator V. Siis hetkel, kui sisendsignaal saabub seadmesse tnT

xn saate määrata oleku

z (tn + 0) = V.

Tähistame poolaja intervalli t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Juhuslike operaatorite V ja U kogumit peetakse agregaadi uutesse olekutesse ülemineku operaatoriks. Sel juhul koosneb üksuse toimimisprotsess olekute δz hüpetest sisendsignaalide x saabumise hetkedel (operaator V) ja olekute muutustest nende hetkede tn ja tn + 1 vahel (operaator U). Operaatorile U ei seata piiranguid, seetõttu on lubatud olekute δz hüpped ajal, mis ei ole sisendsignaalide x saabumise ajad. Järgnevalt nimetatakse hüpete momente δz aja erimomentideks tδ ja olekuid z (tδ) - A-skeemi eriseisunditeks. Olude δz hüpete kirjeldamiseks eriaegadel tδ kasutame juhuslikku operaatorit W, mis on operaatori U erijuht, s.t.

z (tδ + 0) = W.

Olekute komplektis Z eristatakse alamhulka Z (Y) nii, et kui z (tδ) jõuab väärtuseni Z (Y), siis on see olek väljundoperaatori poolt määratud väljundsignaali väljastamise hetk.

y = G.

Seega peame agregaadi all silmas mis tahes objekti, mis on määratletud vaadeldavate hulkade T, X, Y, Z, Z (Y), H ja juhuslike operaatorite V, U, W, G järjestatud kogumiga.

Sisendsignaalide jada, mis on paigutatud nende A-skeemi saabumise järjekorras, nimetatakse sisendsõnumiks või x-sõnumiks. Väljundsignaalide jada, mis on järjestatud väljastamise aja järgi, nimetatakse väljundsõnumiks või y-sõnumiks.

KUI LÜHIDALT

Pidev-deterministlikud mudelid (D-skeemid)

Neid kasutatakse pidevas ajas töötavate süsteemide uurimiseks. Selliste süsteemide kirjeldamiseks kasutatakse peamiselt diferentsiaal-, integraal-, integro-diferentsiaalvõrrandeid. Tavalistes diferentsiaalvõrrandites vaadeldakse ainult ühe sõltumatu muutuja funktsiooni ja osadiferentsiaalvõrrandis mitme muutuja funktsioone.

D-mudelite rakendamise näitena võib tuua mehaanilise pendli või elektrilise võnkeahela töötamise uurimise. D-mudelite tehnilise baasi moodustavad analoogarvutid (AVM) või praegu kiiresti arenevad hübriidarvutid (GVM). Nagu teate, on arvutis uurimistöö põhiprintsiip see, et vastavalt etteantud võrranditele koostab uurija (AVM-i kasutaja) vooluringi eraldi tüüpilistest sõlmedest - operatiivvõimenditest, mis sisaldab skaleerimise, summutamise, lähendamise ahelaid, jne.

ABM-i struktuur muutub vastavalt reprodutseeritavate võrrandite vormile.

Digitaalarvutis jääb struktuur muutumatuks, kuid selle sõlmede tööjärjekord muutub vastavalt selles sätestatud programmile. AVM-i ja digitaalarvuti võrdlus näitab selgelt erinevust simulatsiooni ja statistilise modelleerimise vahel.

ABM rakendab simulatsioonimudelit, kuid reeglina ei kasuta statistilise modelleerimise põhimõtteid. Digitaalarvutites põhineb enamik simulatsioonimudeleid juhuslike arvude, protsesside uurimisel, st statistilisel modelleerimisel. Pidev-deterministlikke mudeleid kasutatakse masinaehituses laialdaselt automaatjuhtimissüsteemide uurimisel, summutussüsteemide valikul, resonantsnähtuste ja võnkumiste tuvastamisel tehnoloogias.
jne.

Diskreet-deterministlikud mudelid (F-ahelad)

Töötage diskreetse ajaga. Need mudelid on aluseks tänapäeval äärmiselt olulise ja laialt levinud diskreetsete automaatsüsteemide klassi töö uurimisel. Nende uurimistöö tarbeks on välja töötatud iseseisev automaatide teooria matemaatiline aparaat. Selle teooria alusel käsitletakse süsteemi kui automaati, mis töötleb diskreetset teavet ja muutub, sõltuvalt selle töötlemise tulemustest, selle sisemistest olekutest.

See mudel põhineb ahelas, seadmes olevate elementide ja sõlmede arvu minimeerimise, seadme kui terviku optimeerimise ja selle sõlmede tööjärjestuse põhimõtetel. Koos elektroonikaskeemidega on selle mudeliga kirjeldatud automaatide silmatorkav esindaja robot, mis juhib (vastavalt etteantud programmile) tehnoloogilisi protsesse etteantud deterministlikus järjestuses.

See mudel kirjeldab ka arvjuhtimismasinat. Selle masina töötlemisosade järjestuse valimine toimub juhtseadme (kontrolleri) seadistamisega, mis genereerib teatud ajahetkedel juhtsignaale / 4 /.

Automaatteooria kasutab Boole'i ​​funktsioonide matemaatilist seadet, mis toimib kahe võimaliku signaali väärtusega, 0 ja 1.

Automaadid jagunevad ilma mäluta, mäluga automaatideks. Nende töö kirjeldamine toimub tabelite, maatriksite, graafikute abil, mis kuvavad masina üleminekuid ühest olekust teise. Analüütilised hinnangud mis tahes masina töökirjelduse jaoks on väga tülikad ja isegi suhteliselt väikese arvu elemente, sõlmede korral, millest seade koosneb, on need praktiliselt teostamatud. Seetõttu uuritakse automaatide keerulisi ahelaid, mis kahtlemata hõlmavad robotseadmeid, simulatsiooni abil.

Diskreetsed stohhastilised mudelid (P-skeemid)

Neid kasutatakse tõenäosusautomaatide töö uurimiseks. Seda tüüpi automaatides toimuvad üleminekud ühest olekust teise väliste signaalide mõjul ja võttes arvesse automaadi sisemist olekut. Kuid erinevalt T-automaatidest ei ole need üleminekud rangelt deterministlikud, vaid võivad toimuda teatud tõenäosusega.

Sellise mudeli näiteks on diskreetne Markovi ahel, millel on piiratud olekute hulk. F-skeemide analüüs põhineb siirdetõenäosusmaatriksite töötlemisel ja teisendamisel ning tõenäosusgraafikute analüüsil. Juba suhteliselt lihtsate seadmete analüüsiks, mille käitumist kirjeldavad F-ahelad, on soovitav kasutada simulatsiooni. Sellise simulatsiooni näide on toodud punktis 2.4.

Pidevad stohhastilised mudelid (Q-skeemid)

Neid kasutatakse paljude järjekorrasüsteemidena käsitletavate süsteemide analüüsimisel. Teenindusprotsessina saab kujutada oma füüsilise olemuse poolest erinevaid protsesse: toote tarnevood ettevõttesse, eritellimusel valmistatud komponentide ja toodete vood, osade vood koosteliinil, juhtimistoimingute vood ettevõtte juhtimiskeskusest. ACS töökohtadele ja taotluste tagastamine teabe töötlemiseks arvutis jne.

Tavaliselt sõltuvad need vood paljudest teguritest ja konkreetsetest olukordadest. Seetõttu on need vood enamikul juhtudel ajaliselt juhuslikud ja neid on võimalik igal ajal muuta. Selliste skeemide analüüs viiakse läbi järjekorrateooria matemaatilise aparaadi alusel. Nende hulka kuulub pidev Markovi kett. Vaatamata olulistele edusammudele analüütiliste meetodite, järjekorrateooria arendamisel, saab Q-skeemide analüüsi analüütiliste meetoditega läbi viia ainult oluliste lihtsustavate eelduste ja eeldustega. Enamiku nende skeemide, eriti selliste keerukate nagu protsessijuhtimissüsteemid, robotsüsteemid, üksikasjalikku uurimist saab läbi viia ainult simulatsiooni abil.

Üldised mudelid (A-skeemid)

Põhineb mis tahes süsteemide toimimisprotsesside kirjeldusel koondmeetodil. Koondkirjeldusega jagatakse süsteem eraldi alamsüsteemideks, mida võib pidada matemaatilise kirjeldamise jaoks mugavaks. Sellise jaotuse (dekompositsiooni) tulemusena esitatakse komplekssüsteem mitmetasandilise süsteemi kujul, mille üksikud tasemed (agregaadid) on analüüsitavad. Tuginedes üksikute agregaatide analüüsile ja arvestades nende agregaatide omavahelise seotuse seaduspärasusi, on võimalik läbi viia terviklik uuring kogu süsteemi kohta.

, Jakovlev süsteemid. 4. väljaanne - M .: Kõrgkool, 2005 .-- S. 45-82.

Matemaatilised skeemid süsteemide modelleerimiseks

Simulatsiooni plussid ja miinused

Peamine väärikust simulatsioon keeruliste süsteemide uurimisel:

· Võimalus uurida süsteemi S toimimisprotsessi iseärasusi mis tahes tingimustes;

· Arvuti kasutamise tõttu väheneb testide kestus oluliselt võrreldes täismahus katsega;

· Simulatsiooniks saab kasutada reaalse süsteemi või selle osade täismahus testide tulemusi;

· Modelleeritava süsteemi struktuuri, algoritmide ja parameetrite muutmise paindlikkus süsteemi optimaalse versiooni otsimisel;

· Keeruliste süsteemide puhul - see on ainus praktiliselt teostatav meetod süsteemide toimimise protsessi uurimiseks.

Peamine piirangud simulatsiooni modelleerimine:

· Süsteemi toimimisprotsessi omaduste täielikuks analüüsiks ja optimaalse variandi otsimiseks on vaja simulatsioonikatset korduvalt reprodutseerida, varieerides probleemi algandmeid;

· Suured arvutiaja kulutused.

Masina modelleerimise efektiivsus. Simuleerimisel on vaja tagada süsteemimudeli maksimaalne efektiivsus. Tõhusus defineeritakse tavaliselt kui erinevust mudeli töötamise käigus saadud tulemuste väärtuse ja selle väljatöötamisse ja loomisse investeeritud kulude vahel.

Simulatsiooni modelleerimise tõhusust saab hinnata mitme kriteeriumi alusel:

simulatsioonitulemuste täpsus ja usaldusväärsus,

Ehitamise ja mudeliga töötamise aeg M,

Masina ressursside kulu (aeg ja mälu),

· Mudeli väljatöötamise ja kasutamise kulud.

Parim efektiivsuse mõõt on saadud tulemuste võrdlus tegelike uuringutega. Statistilist lähenemist kasutades saadakse teatud täpsusega (olenevalt masinakatse teostuste arvust) süsteemi käitumise keskmistatud karakteristikud.

Arvutiaja kogukulud koosnevad iga simulatsioonialgoritmi sisendi ja väljundi ajast, arvutustoimingute sooritamise ajast, võttes arvesse juurdepääsu RAM-ile ja välisseadmetele, samuti iga simulatsioonialgoritmi keerukust ja katsete planeerimine.

Matemaatilised skeemid.Matemaatiline mudel Kas matemaatiliste objektide (arvud, muutujad, hulgad, vektorid, maatriksid jne) ja nendevaheliste seoste kogum, mis peegeldab adekvaatselt loodud tehnilise objekti füüsikalisi omadusi. Matemaatilise mudeli moodustamise ning analüüsiks ja sünteesiks kasutamise protsessi nimetatakse matemaatiline modelleerimine.

Süsteemi matemaatilise mudeli koostamisel on vaja lahendada selle täielikkuse küsimus. Mudeli terviklikkust reguleerib peamiselt piiride “süsteem S- Kolmapäev E". Samuti tuleks lahendada mudeli lihtsustamise probleem, mis aitab sõltuvalt modelleerimise eesmärgist esile tuua süsteemi põhiomadused, jättes kõrvale sekundaarsed.

Üleminekul süsteemi toimimise protsessi sisukalt kirjelduselt formaalsele kirjeldusele, võttes arvesse väliskeskkonna mõju, kohaldatakse matemaatiline skeem ahela lülina "kirjeldav mudel - matemaatiline skeem - matemaatiline (analüütiline ja/või simulatsiooni) mudel".

Objekti formaalne mudel. Objektimudel (süsteemid S) saab esitada suuruste kogumina, mis kirjeldavad reaalse süsteemi toimimise protsessi:

Süsteemi sisendmõjude kogum

x i = X,i =;

Keskkonnamõjude kogum

v j = V, j= ;

Süsteemide sisemiste (sisemiste) parameetrite kogum

h k = H, k =;

Süsteemi väljundkarakteristikute komplekt

y j = Y, j =.

Üldiselt x i, v j, h k, y j on disjunktsete alamhulkade elemendid ja sisaldavad nii deterministlikke kui ka stohhastilisi komponente.

Sisendmõjud, keskkonnamõjud E ja süsteemi sisemised parameetrid on sõltumatu (eksogeenne) muutujad, mis vektorkujul on vastavalt kujul ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)) ja väljundomadused on sõltuv (endogeenne) muutujad ja vektorkujul on kujul: ( t) = (juures 1 (t), juures 2 (t), …, kell nY(t)). Saate eristada hallatud ja haldamata muutujaid.

Süsteemi tööprotsess S operaatori poolt õigel ajal kirjeldatud F S, mis muudab eksogeensed muutujad endogeenseteks vastavalt vormi suhetele

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Süsteemi väljundkarakteristikute sõltuvuste kogum ajast y j(t) kõikidele tüüpidele j = helistas väljundi trajektoor (t). Sõltuvus (2.1) nimetatakse süsteemi toimimise seadus F S, mis on täpsustatud funktsiooni, funktsionaalsete, loogiliste tingimuste, algoritmilise, tabeli kujul või sõnalise sobitusreegli kujul. Toimimisalgoritm A S nimetatakse meetodiks väljundkarakteristikute saamiseks, võttes arvesse sisendmõjusid ( t), keskkonnamõjud ( t) ja süsteemi enda parameetrid ( t). Sama toimimise seadus F S süsteemid S saab rakendada mitmel viisil, s.t. kasutades palju erinevaid toimimisalgoritme A S.

Matemaatilised mudelid on nn dünaamiline(2.1) kui matemaatilised seosed kirjeldavad modelleerimise objekti (süsteemi) käitumist ajas t, st. peegeldavad dünaamilisi omadusi.

Sest staatiline mudelite puhul on matemaatiline mudel modelleeritud objekti omaduste kahe alamhulga vaheline kaardistamine Y ja ( X, V, H) teatud hetkel, mille vektorkujul saab kirjutada kui

= f(, , ). (2.2)

Seoseid (2.1) ja (2.2) saab määrata erineval viisil: analüütiliselt (valemite abil), graafiliselt, tabelina jne. Neid seoseid saab saada süsteemi omaduste kaudu S kindlatel ajahetkedel, mida nimetatakse olekuteks. Süsteemi olek S mida iseloomustavad vektorid

" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) ja "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

kus z " 1 = z 1 (t"), z " 2 = z 2 (t"), …, z "k= z k(t") hetkel t"Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") hetkel t ""Î ( t 0 , T) jne. k =.

Kui arvestada süsteemi toimimise protsessi S olekute järjestikuse muutumisena z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), saab neid tõlgendada punkti koordinaatidena k-mõõtmeline faasiruum... Lisaks vastab protsessi iga rakendus teatud faasi trajektoorile. Nimetatakse olekute () kõigi võimalike väärtuste kogum olekuruum modelleerimise objekt Z, ja
z kÎ Z.

Süsteemi olekud S hetkel t 0 < t* £ T on täielikult määratud algtingimustega 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [kus z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], sisestustoimingud ( t), sisemised parameetrid ( t) ja väliskeskkonna mõjud ( t), mis toimus ajavahemikul t* – t 0, kasutades kahte vektorvõrrandit

(t) = Ф (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

Esimene võrrand algoleku 0 ja eksogeensete muutujate jaoks määrab vektori funktsiooni ( t) ja teine ​​vastavalt olekute saadud väärtusele ( t) Kas süsteemi väljundis on endogeensed muutujad ( t). Seega võimaldab objekti "sisend - olekud - väljund" võrrandite ahel määrata süsteemi omadused

(t) = F [Ф (0,,,, t)]. (2.5)

Üldiselt aeg süsteemimudelis S võib arvestada simulatsiooni intervalliga (0, T) nii pidevad kui ka diskreetsed, s.t. kvantifitseeritakse segmentideks pikkusega D t ajaühikud iga millal T = m D t, kus m = - proovivõtuvahemike arv.

Seega, all matemaatiline mudel objekt (reaalne süsteem) mõistab muutujate piiratud alamhulka (( t), (t), (t)) koos matemaatiliste seostega nende ja omaduste vahel ( t).

Kui modelleeriva objekti matemaatiline kirjeldus ei sisalda juhuslikke elemente või neid ei arvestata, s.o. kui võib eeldada, et antud juhul väliskeskkonna stohhastilised mõjud ( t) ja stohhastilised siseparameetrid ( t) puuduvad, siis nimetatakse mudelit deterministlik selles mõttes, et karakteristikud on üheselt määratud deterministlike sisenditega

(t) = f(, t). (2.6)

Ilmselgelt on deterministlik mudel stohhastilise mudeli erijuht.

Tüüpilised matemaatilised skeemid. Süsteemitehnika ja süsteemianalüüsi valdkonna objektide modelleerimise praktikas süsteemiuuringute algfaasis on ratsionaalsem kasutada tüüpilised matemaatilised skeemid: diferentsiaalvõrrandid, lõplikud ja tõenäosusautomaadid, järjekorrasüsteemid, Petri võrgud, koondsüsteemid jne.

Tüüpiliste matemaatiliste skeemide eelisteks on lihtsus ja selgus. Pidevas ajas töötavate süsteemide kujutamiseks deterministlike mudelitena kasutatakse diferentsiaal-, integraal-, integro-diferentsiaal- ja muid võrrandeid, kui uuringus ei võeta arvesse juhuslikke tegureid ning süsteemides töötavate süsteemide kujutamiseks kasutatakse lõplikke automaate ja lõplike erinevuste skeeme. diskreetne aeg. Tõenäosuslikke automaate kasutatakse stohhastiliste mudelitena (võttes arvesse juhuslikke tegureid) diskreetse ajaga süsteemide kujutamiseks ja järjekorrasüsteeme pideva ajaga süsteemide kujutamiseks. Petri võrke kasutatakse põhjus-tagajärg seoste analüüsimiseks keerulistes süsteemides, kus paralleelselt toimub mitu protsessi korraga. Pidevate ja diskreetsete, deterministlike ja stohhastiliste süsteemide (näiteks ASOIU) käitumise kirjeldamiseks saab rakendada üldistatud (universaalset) lähenemist, mis põhineb agregaatsüsteemil. Koondkirjelduses jagatakse keeruline objekt (süsteem) lõplikuks arvuks osadeks (alamsüsteemideks), säilitades samas osade vastastikmõju tagavad seosed.

Seega saab süsteemide toimimisprotsesside matemaatiliste mudelite koostamisel eristada järgmisi peamisi lähenemisviise: pidev-deterministlik ( D-skeemid); diskreet-deterministlik ( F-skeemid); diskreetne stohhastiline ( R-skeemid); pidev-stohhastiline ( K-skeemid); võrk ( N-skeemid); üldistatud või universaalne ( a-skeemid).

2.2. Pidevalt deterministlikud mudelid ( D- skeemid)

Põhisuhted... Vaatleme pidev-deterministliku lähenemise tunnuseid diferentsiaalvõrrandite matemaatiliste mudelitena kasutamise näitel. Diferentsiaalvõrrandid nimetatakse võrranditeks, milles ühe või mitme muutuja funktsioonid on tundmatud ja võrrand hõlmab mitte ainult funktsioone, vaid ka nende erinevat järku tuletisi. Kui mitme muutuja tundmatud funktsioonid, siis nimetatakse võrrandeid osadiferentsiaalvõrrandid, vastasel juhul nimetatakse ühe sõltumatu muutuja funktsiooni arvesse võttes võrrandeid tavalised diferentsiaalvõrrandid.

Üldine matemaatiline seos deterministlike süsteemide jaoks (2.6) on

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

kus " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) ja = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-mõõtmelised vektorid; (, t) Kas vektorfunktsioon, mis on defineeritud mõnel ( n+1) -mõõtmeline (, t) seatud ja on pidev.

Selliseid matemaatilisi skeeme nimetatakse D-ahelad(ingl. dynamic), peegeldavad need uuritava süsteemi dünaamikat ja aeg on tavaliselt sõltumatu muutuja, millest sõltuvad tundmatud tundmatud funktsioonid t.

Lihtsamal juhul on tavalisel diferentsiaalvõrrandil vorm:

y"(t) = f(y, t). (2.8)

Mõelge kahe erineva iseloomuga elementaarahela toimimisprotsessi vormistamise lihtsaimale näitele: mehaaniline S M (pendli õõts, joonis 2.1, a) ja elektrilised S K (võnkeahel, joonis 2.1, b).

Riis. 2.1. Elementaarsed süsteemid

Pendli väikeste võnkumiste protsessi kirjeldatakse tavalise diferentsiaalvõrrandiga

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

kus m M, l M on pendli vedrustuse mass ja pikkus; g- raskuskiirendus; F(t) Kas pendli paindenurk ajahetkel t.

Sellest pendli vaba võnkumise võrrandist võib leida hinnanguid huvipakkuvate omaduste kohta. Näiteks pendli kõikumise periood

T M = 2p.

Samamoodi kirjeldatakse elektrilise võnkeahela protsesse tavalise diferentsiaalvõrrandiga

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

kus L K, C K - kondensaatori induktiivsus ja mahtuvus; q(t) Kas kondensaatori laetus on ajahetkel t.

Sellest võrrandist saate erinevaid hinnanguid võnkeahela protsessi omaduste kohta. Näiteks elektriliste võnkumiste periood

T M = 2p.

Ilmselgelt noodi sissejuhatus h 2 = m M l M2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), saame tavalise teist järku diferentsiaalvõrrandi, mis kirjeldab selle suletud ahelaga süsteemi käitumist:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

kus h 0 , h 1 , h 2 - süsteemi parameetrid; z(t) Kas süsteemi olek hetkel
aega t.

Seega saab nende kahe objekti käitumist uurida üldise matemaatilise mudeli (2.9) alusel. Lisaks tuleb märkida, et pendli käitumine (süsteem S M) saab uurida elektrilise võnkeahela (süsteem S TO).

Kui uuritav süsteem S(pendel või kontuur) suhtleb väliskeskkonnaga E, siis kuvatakse sisestustoiming x(t) (pendli välisjõud ja vooluahela energiaallikas) ning sellise süsteemi pidev-deterministlik mudel on kujul:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)

Üldise matemaatilise mudeli seisukohalt (vt p 2.1) x(t) on sisend (juhtimis) toiming ja süsteemi olek S antud juhul võib seda käsitleda väljundkarakteristikuna, s.t. väljundmuutuja vastab süsteemi olekule antud ajahetkel y = z.

Võimalikud rakendused D- skeemid... Lineaarsete juhtimissüsteemide, nagu iga dünaamilise süsteemi, kirjeldamiseks on ebahomogeensetel diferentsiaalvõrranditel konstantsed koefitsiendid

kus,…, - aja tundmatu funktsioon ja selle tuletised; ja on tuntud funktsioonid.

Kasutades näiteks tarkvarapaketti VisSim, mis on mõeldud diferentsiaalvõrranditega kirjeldatavate protsesside simuleerimiseks juhtimissüsteemides, simuleerime tavalise ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahendust.

kus on mingi nõutav ajafunktsioon null algtingimustega intervallil, võtame h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Esitades antud võrrandit kõrgeima tuletise suhtes, saame võrrandi

mida saab modelleerida VisSim paketi ehitusplokkide komplekti kasutades: aritmeetilised plokid - Gain (konstandiga korrutamine), Summing-Junction (liitja); integreerimisplokid - Integraator (numbriline integreerimine), Transfer Function (ülekandefunktsioonina esitatava võrrandi seadmine); signaalide seadistamise plokid - Const (konstant), Samm (ühiku funktsioon "sammu" kujul), Ramp (lineaarselt kasvav signaal); signaalide plokid-vastuvõtjad - Plot (näitab ajapiirkonnas signaale, mida uurija simulatsiooni käigus analüüsib).

Joonisel fig. 2.2 näitab selle diferentsiaalvõrrandi graafilist esitust. Vasakpoolseima integraatori sisend vastab muutujale, keskmise integraatori sisend - ja parempoolseima integraatori sisend -. Parempoolseima integraatori väljund vastab muutujale y.

Kirjeldatud dünaamiliste süsteemide konkreetne juhtum D- skeemid on automaatsed juhtimissüsteemid(SPG)ja reguleerimine(SAR). Reaalne objekt esitatakse kahe süsteemi kujul: juhtimine ja juhitav (juhtimisobjekt). Üldise mitmemõõtmelise automaatjuhtimissüsteemi struktuur on näidatud joonisel fig. 2.3, kus märgitud endogeenne muutujad: ( t) Kas sisend (pea)mõjude vektor; ( t) Kas häirivate mõjude vektor; " (t) Kas veasignaalide vektor; "" (t) - kontrollitoimingute vektor; eksogeenne muutujad: ( t) Kas süsteemi olekuvektor S; (t) on väljundmuutujate vektor, tavaliselt ( t) = (t).

Riis. 2.2. Võrrandi graafiline esitus

Juhtimissüsteem on tarkvara- ja riistvaratööriistade kogum, mis tagab konkreetse eesmärgi saavutamise juhtimisobjekti poolt. Kui täpselt objekt etteantud eesmärgi saavutab, saab hinnata (ühemõõtmelise süsteemi puhul) olekukoordinaadi järgi y(t). Erinevus etteantud vahel y perse ( t) ja kehtiv y(t) juhitava muutuja muutumise seadus on juhtimisviga " (t) = y perse ( t) – y(t). Kui kontrollitava suuruse ettenähtud muutumise seadus vastab sisend- (pea)tegevuse muutumise seadusele, s.o. x(t) = y perse ( t), siis " (t) = x(t) – y(t).

Süsteemid, mille puhul juhtimisvead " (t) = 0 alati kutsutakse ideaalne... Praktikas on ideaalsete süsteemide rakendamine võimatu. Automaatjuhtimissüsteemi ülesanne on muutuja muutmine y(t) antud seaduse järgi teatud täpsusega (aktsepteeritava veaga). Süsteemi parameetrid peavad tagama vajaliku juhtimistäpsuse, samuti süsteemi stabiilsuse siirdeprotsessis. Kui süsteem on stabiilne, siis analüüsige süsteemi käitumist ajas, juhitava muutuja maksimaalset hälvet y(t) siirdeprotsessis, siirdeprotsessi aeg jne. Diferentsiaalvõrrandi järjekord ja selle koefitsientide väärtused on täielikult määratud süsteemi staatiliste ja dünaamiliste parameetritega.

Riis. 2.3. Automaatjuhtimissüsteemi struktuur:

УC - juhtimissüsteem; OU - juhtimisobjekt

Seega kasutades D-skeemid võimaldavad formaliseerida pidevalt deterministlike süsteemide toimimise protsessi S ja hindama nende põhiomadusi, kasutades analüütilist või simulatsioonimeetodit, mis on rakendatud pidevate süsteemide modelleerimiseks sobiva keele kujul või kasutades analoog- ja hübriidarvutusseadmeid.

2.3. Diskreet-deterministlikud mudelid ( F- skeemid)

Põhisuhted... Vaatleme diskreet-deterministliku lähenemise tunnuseid automaatide teooria kasutamise näitel matemaatilise aparaadina. Süsteem on kujutatud automaadi kujul sisend- ja väljundsignaalidega seadmena, mis töötleb diskreetset teavet ja muudab selle sisemisi olekuid ainult vastuvõetavatel aegadel. Riigi masin kutsutakse automaati, milles siseolekute, sisend- ja väljundsignaalide hulgad on lõplikud hulgad.

Abstraktselt lõplikke automaate saab esitada matemaatilise skeemina ( F-skeem), mida iseloomustab kuus elementi: lõplik hulk NS sisendsignaalid (sisendtähestik); lõplik kogum Y väljundsignaalid (väljundtähestik); lõplik kogum Z siseolekud (sisemine tähestik või olekute tähestik); algseisund z 0 , z 0 Î Z; üleminekufunktsioon j ( z, x); väljundfunktsioon y ( z, x). Automaatmasina komplekt F- skeem: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, töötab diskreetses ajas, mille hetkedeks on kellad, millest igaüks vastab sisend- ja väljundsignaalide ning siseolekute konstantsetele väärtustele. Tähistame olekut, samuti vastavaid sisend- ja väljundsignaale t- kell kl t= 0, 1, 2, ..., läbi z(t), x(t), y(t). Pealegi tingimuste järgi z(0) = z 0 ja z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y.

Abstraktsel olekumasinal on üks sisend- ja üks väljundkanal. Igal hetkel t= 0, 1, 2, ... diskreetne aeg F- masin on teatud olekus z(t) komplektist Z automaadi olekutes ja algsel ajahetkel t= 0, see on alati algolekus z(0) = z 0. Hetkel t olles võimeline z(t), suudab automaat sisendkanali signaali tajuda x(t)Î X ja väljastada signaal väljundkanalil y(t) = y [ z(t),x(t)], minnes olekusse z ( t+1) = j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... Abstraktne lõpliku oleku masin rakendab sisendtähestiku sõnade hulga mõningast vastendamist X paljudel nädalavahetuse sõnadel
tähestik Y... Teisisõnu, kui olekumasina sisend seatakse algolekusse z 0, sisestage sisendtähestiku tähed kindlas järjestuses x(0), x(1), x(2), ..., s.o. sisestussõna, siis ilmuvad väljundtähestiku tähed järjestikku masina väljundisse y(0), y(1), y(2),…, moodustades väljundsõna.

Seega toimub olekumasina töö järgmise skeemi järgi: igas t-th kella masina sisendisse olekus z(t), antakse mingi signaal x(t), millele see reageerib üleminekuga ( t+1) kella uude olekusse z(t+1) ja annab mingi väljundsignaali. Ülaltoodut saab kirjeldada järgmiste võrranditega: for F-esimest tüüpi automaat, mida nimetatakse ka automaatsed miilid,

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

jaoks F- teist tüüpi automaat

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y [ z(t), x(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Teist tüüpi automaat, mille jaoks

y(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

need. väljumisfunktsioon on sisendmuutujast sõltumatu x(t) kutsutakse Moore'i ründerelv.

Seega võrrandid (2.15) - (2.19), mis defineerivad täielikult
F-automaat on võrrandite (2.3) ja (2.4) erijuht, mil
süsteem S- deterministlik ja diskreetne signaal saabub selle ainsasse sisendisse X.

Olekute arvu järgi eristatakse mäluga ja mäluta lõplikke olekumasinaid. Mäluga automaatidel on rohkem kui üks olek ja ilma mäluta automaatidel (kombinatsiooni- või loogikaahelad) on ainult üks olek. Sel juhul vastavalt punktile (2.16) on kombineeritud ahela töö see, et see omistab igale sisendsignaalile x(t) teatud väljundsignaali y(t), st. rakendab vormi loogilist funktsiooni

y(t) = y [ x(t)], t= 0, 1, 2, … .

Seda funktsiooni nimetatakse tõeväärtuseks, kui tähestik X ja Y millele signaali väärtused kuuluvad x ja y, koosneb kahest tähest.

Diskreetse aja loendamise olemuse järgi jagunevad lõplikud olekumasinad sünkroonseteks ja asünkroonseteks. Sünkroonselt F-automaadid ajad, mil automaat sisendsignaale "loeb", määratakse kohustuslike sünkroniseerivate signaalidega. Pärast järgmist sünkroonimissignaali, võttes arvesse "lugemist" ja kooskõlas võrranditega (2.15) - (2.19), toimub üleminek uude olekusse ja väljundis väljastatakse signaal, mille järel masin saab tajuda järgmist väärtust. sisendsignaalist. Seega lõpeb masina reaktsioon igale sisendsignaali väärtusele ühe tsükliga, mille kestuse määrab kõrvuti asetsevate sünkroniseerivate signaalide vaheline intervall. Asünkroonne F- masin loeb sisendsignaali pidevalt ja reageerib seetõttu piisavalt pikale konstantse väärtusega sisendsignaalile x, võib see, nagu tuleneb (2.15) - (2.19), olekut mitu korda muuta, andes vastava arvu väljundsignaale, kuni see läheb stabiilseks, mida see sisendsignaal enam muuta ei saa.

Võimalikud rakendused F- skeemid. Finaali seadmiseks F-automaat, on vaja kirjeldada kõiki komplekti elemente F= <Z, X, Y, y, j, z 0>, st. sisend-, sise- ja väljundtähestikud, aga ka üleminekute ja väljundite funktsioonid ning olekute hulgast tuleb välja tuua olek z 0, milles automaat on olekus t= 0. Töö määramiseks on mitu võimalust F-automaadid, kuid kõige sagedamini kasutatavad on tabel, graafiline ja maatriks.

Tabelimeetodil seadistatakse üleminekute ja väljundite tabelid, mille read vastavad automaadi sisendsignaalidele ja veerud selle olekutele. Esimene vasakpoolne veerg vastab algolekule z 0. Ristmikul i rida ja k-üleminekutabeli veerg, vastav väärtus j ( z k, x i) üleminekute funktsioon ja väljundite tabelis - vastav väärtus y ( z k, x i) väljundfunktsioonid. Sest F- Moore'i automaat mõlemat tabelit saab kombineerida.

Töö kirjeldus F-automaat Miile koos üleminekute j ja väljundite y tabelitega on illustreeritud tabelis. 2.1 ja kirjeldus F-More'i automaat – üleminekutabeli järgi (tabel 2.2).

Tabel 2.1

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Üleminekud
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k,x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
Väljundid
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

Tabel 2.2

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k, x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Tabelipõhise seadistusviisi näited F- automaatsed miilid F 1 on toodud tabelis. 2.3 ja jaoks F-moore masin F 2 - tabelis. 2.4.

Tabel 2.3

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Üleminekud
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Väljundid
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

Tabel 2.4

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

Lõpliku olekumasina defineerimise graafilisel viisil kasutatakse suunatud graafi mõistet. Automaadigraaf on automaadi erinevatele olekutele vastavate tippude kogum, mis ühendab automaati teatud üleminekutele vastavate graafikukaarte tippe. Kui sisendsignaal x k põhjustab üleminekut olekust z i olekus z j, siis on automaadi graafikul tippu ühendav kaar z iülaosaga z j, tähistatud x k... Väljundite funktsiooni seadistamiseks tuleb graafiku kaared tähistada vastavate väljundsignaalidega. Miles masinate puhul toimub see märgistus järgmiselt: kui sisendsignaal x k toimib riigile z i, siis saame kaare, mis väljub z i ja märgitud x k; see kaar on lisaks tähistatud väljundsignaaliga y= y ( z i, x k). Moore’i automaadi puhul on graafiku sarnane märgistus järgmine: kui sisendsignaal x k, toimides automaadi teatud olekule, põhjustab ülemineku olekusse z j, siis kaar on suunatud z i ja märgitud x k, tähistage lisaks nädalavahetust
signaal y= y ( z j, x k).

Joonisel fig. 2.4. a, b antud tabelites varem F-Miilimasinad F 1 ja Moore F 2 vastavalt.

Riis. 2.4. Automaatgraafikud a - miilid ja b - Moore

Lõpliku automaati maatriksi määramiseks on automaati ühenduste maatriks ruut KOOS=||koos ij-ga||, read vastavad algolekutele ja veerud vastavad üleminekuolekutele. Element koos ij-ga = x k/y s ristmikul seistes
i rida ja j-ndas veerus, Milesi automaati puhul vastab sisendsignaalile x k põhjustades riigist ülemineku z i olekus z j ja väljundsignaali y s selle üleminekuga loodud. Milesi masina jaoks F 1, mida vaadeldi ülalpool, on ühendite maatriksil järgmine vorm:

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

C 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Kui üleminek riigist z i olekus z j toimub mitme signaali, maatriksi elemendi, toimel c ij on selle ülemineku jaoks mõeldud sisend-väljund paaride kogum, mis on ühendatud disjunktsioonimärgiga.

Sest F-moore masina element koos ij-ga on võrdne sisendsignaalide hulgaga üleminekul ( z i, z j) ja väljundit kirjeldatakse väljundite vektoriga

= y ( z k) ,

i- mille komponent on olekut näitav väljundsignaal z i.

Eelmainitu jaoks F-moore masin F2ühenduste maatriks ja väljundite vektor on kujul:

–x 1 –x 2 –juures 1

–x 2 – –x 1 juures 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –juures 2

x 2 –x 1 – –juures 3

Deterministlike automaatide puhul on täidetud üleminekute kordumatuse tingimus: mingis olekus olev automaat ei saa ühegi sisendsignaali toimel minna üle ühte olekusse. Rakendatud graafilisele seadistusviisile F-automaat, see tähendab, et automaatgraafikus ei saa kaks või enam sama sisendsignaaliga tähistatud serva ühestki tipust välja minna. Ja masina ühenduste maatriksis KOOS sisendsignaali ei tohi igal real esineda rohkem kui üks kord.

Sest F- automaatne seisukord z k helistas jätkusuutlik, kui mis tahes sisendi jaoks x i ÎX mille jaoks j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. F- kutsutakse masinat asünkroonne, kui iga osariik z k ÎZ stabiilne.

Seega on mudelitel objektide omaduste uurimise diskreet-deterministliku lähenemisviisi kontseptsioon matemaatiline abstraktsioon, mis on mugav kirjeldada laia klassi reaalsete objektide toimimisprotsesse automatiseeritud juhtimissüsteemides. Kasutades F- Automaadi puhul on võimalik kirjeldada objekte, mida iseloomustab diskreetsete olekute olemasolu ja töö diskreetsus ajas - need on arvuti elemendid ja sõlmed, juhtimis-, reguleerimis- ja juhtimisseadmed, aja ja ruumi süsteemid infovahetustehnoloogia üleminek jne.

2.4. Diskreetsed stohhastilised mudelid ( R- skeemid)

Põhisuhted... Vaatleme tõenäosuslike (stohhastiliste) automaatide puhul diskreet-stohhastilise lähenemisega matemaatiliste skeemide koostamise tunnuseid. Üldiselt tõenäosuslik automaat
R-skeemid(inglise probabijistic automat) võib defineerida kui mäluga informatsiooni diskreetset rida-rea muundurit, mille toimimine igas tsüklis sõltub ainult selles oleva mälu seisundist ja on kirjeldatav statistiliselt.

Tutvustame matemaatilist mõistet R-automaat, kasutades jaoks kasutusele võetud mõisteid F-automaat. Kaaluge komplekti G, mille elemendid on kõik võimalikud paarid ( x i, z s), kus x i ja z s- sisendi alamhulga elemendid NS ja olekute Z alamhulgad vastavalt. Kui selliseid funktsioone j ja y on kaks, kasutatakse neid vastendamiseks G®Z ja G®Y, siis nad ütlevad seda F = X, Y, j, y> defineerib deterministlikku tüüpi automaati.

Vaatleme üldisemat matemaatilist skeemi. Las olla
Ф - kõigi võimalike vormipaaride komplekt ( z k, y i), kus i- väljundi alamhulga element Y... Nõuame, et komplekti mis tahes element G indutseeriti hulgal Ф mingi jaotusseadus järgmisel kujul:

Kus b kj= 1, kus b kj- automaadi olekusse ülemineku tõenäosused z k ja signaali ilmumine väljundis y j kui ta suutis z s ja selle sisendis sel ajahetkel võeti signaal vastu x i... Selliste tabelite kujul esitatud jaotuste arv on võrdne hulga elementide arvuga G... Tähistame nende tabelite hulka B-ga. Seejärel neli elementi P = nimetatakse tõenäosuslikuks automaatiks
(R-automaat).

Võimalikud rakendused P- skeemid. Laske komplekti elemendid G indutseerida mõned jaotusseadused alamhulkadele Y ja Z, mida saab esitada vastavalt kujul:

Kus z k = 1 ja q j = 1, kus z k ja q j -ülemineku tõenäosused
R- automaat seisukorras z k ja väljundsignaali välimus y k tingimusel, et
R z s ja selle sisend võttis vastu sisendsignaali x i.

Kui kõigile k ja j suhe kehtib q j z k = b kj, siis selline
R- kutsutakse masinat Milesi tõenäosusautomaat... See nõue tähendab uue oleku jaoks distributsioonide sõltumatuse tingimuse täitmist R-automaatne seade ja selle väljundsignaal.

Nüüd olgu väljundsignaali määratlus R- automaat sõltub ainult olekust, milles automaat antud töötsüklis on. Teisisõnu, olgu väljundi alamhulga iga element Y kutsub esile väljundite tõenäosusjaotuse, millel on järgmine vorm:

Siin s i = 1, kus s i- väljundsignaali ilmumise tõenäosus y i juures juures sõnad ja see R- masin oli korras z k.

Kui kõigile k ja i suhe kehtib z k s i =b ki siis selline
R- kutsutakse masinat Moore'i tõenäosusautomaat. Kontseptsioon
R-Miley ja Moore'i automaate tutvustatakse analoogia põhjal deterministiga
F-automaat. Konkreetne juhtum R- automaat määratletud kui P=X, Y, B> on automaadid, milles kas üleminek uude olekusse või väljundsignaal määratakse deterministlikult. Kui väljundsignaal
R-automaat määratakse deterministlikult, siis nimetatakse sellist automaati
Y-... Samuti
Z-deterministlik tõenäosusautomaat helistas R- automaat, milles uue oleku valik on deterministlik.

Näide 2.1. Las see antakse Y- deterministlik P- masin

Joonisel fig. 2.5 näitab selle automaati suunatud siirdegraafikut. Graafi tipud on seotud automaadi olekutega ja kaared võimalike üleminekutega ühest olekust teise. Kaartel on üleminekutõenäosustele vastavad kaalud p ij, ja nende olekute poolt indutseeritud väljundsignaalide väärtused on kirjutatud graafiku tippude lähedale. On vaja hinnata selle püsimise lõplikke tõenäosusi P-automaat olekutes z 2 ja z 3 .

Riis. 2.5. Tõenäosuse automaatgraafik

Analüütilist lähenemist kasutades saab Markovi ahelate teooriast teadaolevad seosed üles kirjutada ja saada võrrandisüsteemi lõplike tõenäosuste määramiseks. Sel juhul algseisund z 0 võib ignoreerida, kuna esialgne jaotus ei mõjuta lõplike tõenäosuste väärtusi. Siis on meil

kus koos k-ga- lõplik viibimise tõenäosus R- Automaatne seade olekus z k.

Saame võrrandisüsteemi

Lisame nendele võrranditele normaliseerimistingimuse koos 1 + koos 2 + koos 3 + koos 4 = 1. Seejärel võrrandisüsteemi lahendades saame koos 1 = 5/23, koos 2 = 8/23, koos 3 = 5/23,
koos 4 = 5/23. Seega koos 2 + koos 3 = 13/23 = 0,5652. Teisisõnu, selles näites toodud lõputu tööga Y- deterministlik
R-automaat selle väljundis moodustatakse kahendjada, mille esinemise tõenäosus on 0,5652.

Sarnased R-automaate saab kasutada Markovi jadade generaatoritena, mis on vajalikud süsteemide toimimiseks vajalike protsesside koostamisel ja juurutamisel S või keskkonnamõjud E.

2.5. Pidevad stohhastilised mudelid ( K- skeemid)

Põhisuhted... Vaatleme pidev-stohhastilise lähenemise tunnuseid tüüpilise matemaatika näitel K- skeemid - järjekorra süsteemid(Inglise järjekorrasüsteem).

Teenindusprotsessina võib kujutada oma füüsilise olemuse erinevaid majandus-, tootmis-, tehniliste ja muude süsteemide toimimise protsesse, näiteks: teatud ettevõttele toodete tarnevoogusid, osade ja komponentide vooge seadme koosteliinil. töökoda, kaugterminalide arvutiteabe töötlemise päringud jne. Sel juhul on selliste objektide toimimise iseloomulikuks tunnuseks teenindusnõuete (nõuete) juhuslik ilmumine ja teeninduse lõpetamine juhuslikel aegadel, s.o. nende toimimisprotsessi stohhastilisus.

Sündmuste voolu järgi nimetatakse sündmuste jadaks, mis toimuvad üksteise järel mingitel juhuslikel ajahetkedel. Eristage homogeensete ja heterogeensete sündmuste vooge. Sündmuste voog helistas homogeenne, kui seda iseloomustavad ainult nende sündmuste saabumise hetked (põhjustavad hetked) ja on antud järjestusega ( t n} = {0 £ t 1 nael t 2 ... £ t n£ … }, kus t n - saabumise hetk NS- sündmus on mittenegatiivne reaalarv. Sündmuste homogeense voo saab määratleda ka ajavahemike jadana NS- m ja (n - 1) sündmus (t n), mis on ühemõtteliselt seotud väljakutsuvate hetkede jadaga ( t n} , kus t n = t n– t n -1 ,NS³ 1, t 0 = 0, need. t 1 = t 1 . Heterogeensete sündmuste voog nimetatakse jadaks ( t n, f n} , kus t n - väljakutseid pakkuvad hetked; f n - sündmuste märkide komplekt. Näiteks seoses nõuete ebaühtlase voo teenindusprotsessiga saab selle määrata teatud nõuete allikasse kuulumise, prioriteedi olemasolu, võimalust teenindada üht või teist tüüpi kanalit.

Igas elementaarses teenindamise toimingus saab eristada kahte põhikomponenti: nõude kaudu kättetoimetamise ootus ja nõude tegelik teenindamine. Seda saab kujutada mõne kujul i- teenindusseade P i(joon. 2.6), mis koosneb tellimuste akumulaatorist Tere, mis võib korraga olla j i= rakendused kus L i H– mahutavus
i- mine salvestusruumi ja kanal taotluste teenindamiseks (või lihtsalt kanal) K i. Teenindusseadme iga elemendi jaoks P i sündmuste vood saabuvad: sõita Tere rakenduste voog w i, kanali kohta K i - teenuse voog ja mina.

Riis. 2.6. Rakenduste teenindusseade

Kanali pakutavad rakendused K i, ja taotlusi, mis seadmest lahkusid P i teenindamata erinevatel põhjustel (näiteks draivi ülevoolu tõttu Tere), moodustavad väljundvoo y i Î Y, need. tellimuste väljumise hetkede vahelised ajaintervallid moodustavad väljundmuutujate alamhulga.

Tavaliselt rakenduste voog w i ÎW, need. ajavahemikud tellimuste ilmumise hetkede vahel sissepääsu juures K i, moodustab haldamata muutujate alamhulga ja teenusevoo sina olen ОU, need. nõude teenindamise alguse ja lõpu vahelised ajavahemikud moodustavad kontrollitavate muutujate alamhulga.

Teenindusseadme tööprotsess P i võib kujutada selle aja elementide olekute muutmise protsessina z i(t). Üleminek uude olekusse P i tähendab selles olevate rakenduste arvu muutust (kanalis K i ja sõidus Tere). Seega olekute vektor jaoks P i paistab nagu: , kus z i H- sõidu olek Tere (z i H= 0 - draiv on tühi, z i H= 1 - salvestusruumis on üks päring, ..., z i H = L i H – ajam on täiesti täis); L i H - mälumaht Tere, mõõdetuna sellesse mahtuvate rakenduste arvu järgi; z i k - kanali olek K i(z i k = 0 – kanal on tasuta, z i k= 1 – kanal on hõivatud).

Võimalikud rakendused K- skeemid. Keerulisemate struktuurisuhete ja käitumisalgoritmidega süsteemide modelleerimise praktikas ei kasutata formaliseerimiseks eraldi teenindusseadmeid, vaid
K- skeemid , moodustatud paljude elementaarsete teenindusseadmete koostisest P i. Kui kanalid K i paralleelselt ühendatakse erinevad teenindusseadmed, siis toimub mitmekanaliline teenindus ( mitme kanaliga Q- skeem) , ja kui seadmed P i ja nende paralleelsed kompositsioonid on ühendatud järjestikku, siis on olemas mitmefaasiline teenus ( mitmefaasiline Q- skeem) . Nii et töö pärast K- skeem peab kasutama konjugeeritud operaatorit R, peegeldades struktuurielementide (kanalite ja salvestusseadmete) omavahelist seost.