Üks võimalus konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandite (võrrandisüsteemide) lahendamiseks on integraalteisenduste meetod, mis võimaldab reaalmuutuja funktsiooni (algfunktsiooni) asendada kompleksmuutuja funktsiooniga (funktsiooni kujutis). ). Selle tulemusel muunduvad diferentseerimise ja integreerimise operatsioonid algsete funktsioonide ruumis algebraliseks korrutamiseks ja jagamiseks kujutise funktsioonide ruumis. Üks integraalteisenduste meetodi esindajatest on Laplace'i teisendus.

Pidev Laplace'i teisendus- integraalteisendus, mis seob kompleksmuutuja funktsiooni (funktsiooni kujutis) reaalmuutuja funktsiooniga (funktsiooni originaal). Sel juhul peab reaalse muutuja funktsioon vastama järgmistele tingimustele:

Funktsioon on määratletud ja diferentseeritav reaalse muutuja kogu positiivsel poolteljel (funktsioon vastab Dirichlet' tingimustele);

Funktsiooni väärtus kuni algmomendini võrdsustatakse nulliga ;

Funktsiooni kasvu piirab eksponentsiaalfunktsioon, s.t. reaalmuutuja funktsiooni jaoks on sellised positiivsed arvud olemas M ja koos , mida kus c - absoluutse lähenemise abstsiss (mõni positiivne arv).

Laplace'i teisendus (otsene integraalteisendus) reaalse muutuja funktsiooni nimetatakse järgmise kujuga funktsiooniks (kompleksmuutuja funktsiooniks):

Funktsiooni nimetatakse funktsiooni originaaliks ja funktsiooni nimetatakse selle kujutiseks. Kompleksne muutuja nimetatakse Laplace'i operaatoriks, kus on nurksagedus, on mingi positiivne konstantne arv.

Esimese näitena määratleme kujutise konstantse funktsiooni jaoks

Teise näitena määratleme koosinusfunktsiooni kujutise ... Euleri valemit arvesse võttes saab koosinusfunktsiooni esitada kahe eksponentsiaali summana .

Praktikas kasutatakse Laplace'i otsese teisenduse teostamiseks teisendustabeleid, milles esitatakse tüüpiliste funktsioonide originaalid ja pildid. Mõned neist funktsioonidest on esitatud allpool.

Eksponentfunktsiooni originaal ja pilt

Originaal ja pilt koosinusfunktsiooni jaoks

Originaal ja pilt siinuse funktsiooni jaoks

Originaal ja kujutis eksponentsiaalselt laguneva koosinuse jaoks

Algne ja kujutis eksponentsiaalselt laguneva siinuse jaoks

Tuleb märkida, et funktsioon on Heaviside'i funktsioon, mis võtab argumendi negatiivsete väärtuste jaoks väärtuse nulli ja argumendi positiivsete väärtuste jaoks ühega.

Laplace'i teisenduse omadused

Lineaarsuse teoreem

Laplace'i teisendus on lineaarne, st. mis tahes lineaarne seos funktsiooni originaalide vahel kehtib nende funktsioonide kujutiste puhul.

Lineaarsuse omadus hõlbustab keerukate kujutiste originaalide leidmist, kuna see võimaldab funktsiooni kujutist esitada lihtsate terminite summana ja seejärel leida iga esindatud termini originaalid.

Originaali diferentseerumisteoreem funktsioonid

Algfunktsiooni eristamine sobib korrutamine

Nullist erineva algtingimuste korral:

Null algtingimustega (erijuhtum):

Seega asendub funktsiooni eristamise tehte funktsiooni pildiruumis aritmeetilise tehtega.

Originaali integratsiooniteoreem funktsioonid

Algfunktsiooni integreerimine sobib jaotus funktsioonikujutised Laplace'i operaatorile.

Seega asendatakse funktsiooni integreerimise tehte funktsiooni pildiruumis aritmeetilise tehtega.

Sarnasusteoreem

Funktsiooni argumendi muutmine (signaali tihendamine või laiendamine) ajapiirkonnas toob kaasa vastupidise muutuse argumendis ja funktsiooni kujutise ordinaadis.

Impulsi kestuse suurenemine põhjustab selle spektraalfunktsiooni kokkusurumise ja spektri harmooniliste komponentide amplituudide vähenemise.

Viivitusteoreem

Signaali viivitus (nihe, nihe) algfunktsiooni argumendiga intervalli järgi viib spektri faasi-sagedusfunktsiooni (kõigi harmooniliste faasinurga) muutuseni etteantud summa võrra ilma moodulit (amplituudi) muutmata. funktsioon).

Saadud avaldis kehtib mis tahes

Nihketeoreem

Signaali viivitus (nihe, nihe) funktsiooni kujutise argumendiga viib algfunktsiooni korrutamiseni eksponentsiaalteguriga

Praktilisest aspektist lähtudes kasutatakse eksponentsiaalfunktsioonide kujutiste määramiseks nihketeoreemi.

Konvolutsiooniteoreem

Konvolutsioon on matemaatiline tehe, mida rakendatakse kahele funktsioonile ja mille tulemuseks on kolmas funktsioon. Teisisõnu, kui teatud lineaarne süsteem reageerib impulsile, saate konvolutsiooni abil arvutada süsteemi reaktsiooni kogu signaalile.

Seega saab kahe funktsiooni originaalide konvolutsiooni esitada nende funktsioonide kujutiste korrutisena. Leppimisteoreemi kasutatakse edastusfunktsioonide kaalumisel, kui süsteemi vastus (neljapordilise võrgu väljundsignaal) määratakse, kui nelja pordiga võrgu sisendisse suunatakse signaal impulss-siirdevastusega.

Lineaarne kvadrupool

Laplace'i pöördteisendus

Laplace'i teisendus on pööratav, s.t. reaalse muutuja funktsioon määratakse üheselt kompleksmuutuja funktsioonist . Selleks kasutatakse Laplace'i pöördteisendusvalemit(Mellini valem, Bromwichi integraal), millel on järgmine vorm:

Selles valemis tähendavad integratsiooni piirid, et integreerimine kulgeb mööda lõpmatut sirget, mis on paralleelne kujuteldava teljega ja lõikub punktis reaalteljega. Arvestades, et viimast avaldist saab ümber kirjutada järgmiselt:

Praktikas jagatakse Laplace'i pöördteisenduseks funktsiooni kujutis määratlemata koefitsientide meetodil kõige lihtsamate murdude summaks ja iga murdosa jaoks määratakse (vastavalt lineaarsusomadusele) funktsiooni originaal. , sealhulgas võttes arvesse tüüpiliste funktsioonide tabelit. See meetod sobib funktsiooni kuvamiseks, mis on õige ratsionaalne murd. Tuleb märkida, et kõige lihtsamat murdosa saab esitada reaalsete koefitsientidega lineaarsete ja ruuttegurite korrutisena, olenevalt nimetaja juurte tüübist:

Kui nimetajas on nulljuur, jagatakse funktsioon murdudeks nagu:

Kui nimetajas on null n-kordne juur, jagatakse funktsioon tüübi murdosaks:

Kui nimetajas on pärisjuur, jagatakse funktsioon murdudeks nagu:

Kui nimetajas on reaalne n-kordne juur, jagatakse funktsioon murdudeks nagu:

Kui nimetajas on kujuteldav juur, jagatakse funktsioon murdudeks nagu:

Komplekssete konjugaatjuurte korral nimetajas jagatakse funktsioon murdudeks, näiteks:

∙ Üldiselt kui funktsiooni kujutis on regulaarne ratsionaalne murd (lugeja aste on väiksem kui ratsionaalse murru nimetaja aste), siis saab seda laiendada kõige lihtsamate murdude summaks.

∙ Konkreetsel juhul kui funktsiooni kujutise nimetaja jaotatakse ainult võrrandi lihtjuurteks, siis saab funktsiooni kujutise lagundada kõige lihtsamate murdude summaks järgmiselt:

Tundmatuid koefitsiente saab määrata määratlemata koefitsiendi meetodil või lihtsustatud viisil järgmise valemi abil:

Funktsiooni väärtus punktis;

Funktsiooni tuletise väärtus punktis.

Ärakiri

1 Laplace'i teisendus Lühiteave Skeemiteoorias laialdaselt kasutatav Laplace'i teisendus on integraalteisendus, mida rakendatakse ajafunktsioonidele f, mis võrdub nulliga< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Saab tõestada, et kui Laplace'i integraal koondub mingi väärtuse s korral, siis see defineerib funktsiooni F, mis on analüütiline tervel pooltasandil> s Nii defineeritud funktsiooni F saab analüütiliselt jätkata kogu kompleksmuutuja = tasapinnale. +, välja arvatud üksikud ainsuse punktid.Enamasti viiakse see jätkamine läbi integraali arvutamisel saadud valemi laiendamisega kompleksmuutuja kogu tasapinnale Funktsioon F, mida analüütiliselt jätkatakse kogu komplekstasandile, on nimetatakse ajafunktsiooni f Laplace'i kujutiseks või lihtsalt kujutiseks Funktsiooni f seoses selle kujutisega F nimetatakse originaaliks Kui pilt F on teada, siis saab originaali leida kasutades Laplace'i pöördteisendust f F d for > Parempoolne integraal on kontuuriintegraal piki ordinaatteljega paralleelset sirget Väärtus valitakse nii, et pooltasandil R> ei oleks funktsiooni F ainsuse punkte. on Laplace'i pöördteisendus ja neid tähistatakse sümboliga f L (F) L 7

2 Vaatleme mõningaid Laplace'i teisenduse omadusi Lineaarsus Selle omaduse saab kirjutada funktsiooni df L () tuletise Laplace'i teisendusena L (ff) L (f) L (f) df L () d df d F fdf 3 Laplace'i teisendus integraal: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Vaatleme Laplace'i teisenduse lihtsaimat rakendust vooluringiteoorias Joonisel on kujutatud ahelate lihtsaimad elemendid: takistus, induktiivsus ja mahtuvus Hetkeline pingelangus takistusel on võrdsus, mis on endiselt olemas. Ohmi seaduse kuju, kuid juba pinge ja voolu kujundite jaoks Induktiivsuse hetkpinge jaoks on seos diu L, d st otsene proportsionaalsus puudub, Ohmi seadus siin ei kehti Pärast Laplace'i teisendust saame U. = LI LI +

3 Kui, nagu sageli juhtub, I + =, siis on seos kujul U = LI Seega kehtib pinge ja voolu kujutiste puhul taas Ohmi seadus Takistuse rolli mängib suurus L, mis nimetatakse induktiivsuse takistuseks Mahtuvuse jaoks on meil seos pinge ja induktiivsuse uid C hetkväärtuste vahel. Pärast Laplace'i teisendust on see suhe kujul UI, C te on Ohmi seaduse kuju ja mahtuvuslik takistus on võrdne C Koostame tabeli vooluringiteoorias leiduvate elementaarfunktsioonide Laplace'i otse- ja pöördteisendustest ühiku samm määratakse võrranditega: at; selle funktsiooni Laplace'i teisendus on L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Nüüd vaatleme ratsionaalse murru pöördteisendust, nimelt pilt bbbb BF nnnnmmmm Laske m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 moodi Laiendame kujutist lihtmurdudeks ja korrutame arvuga: nn KKKKB Püüdkem nüüd Siis jääb paremale poole ainult K: lim BK Paremal on vormi määramatus, mida laiendatakse L' järgi. Hôpitali reegel: "BK asendades saame" n BB Teadaoleva lihtmurru pöördteisendus: L Seetõttu "n BBL Intress on erijuhtum, kui nimetaja üks juurtest on võrdne nulliga: BF Sel juhul on F lagunemisel lihtmurdudeks on vorm, mis tuleneb eelmisest," n BBB ja B ei oma juure nullis

6 3 Seega on funktsiooni F Laplace'i pöördteisendus järgmisel kujul: n B B B "L Vaatleme teist juhtumit, kui nimetaja B polünoomil on mitu juurt. Olgu m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Mõned ahelate üldised omadused Olgu kompleksahel P haru ja Q sõlme. Siis saab esimese ja teise Kirchhoffi seaduse järgi koostada P + Q võrrandid harude P voolude ja Q sõlmepotentsiaalide jaoks Üks Q-sõlme potentsiaalidest võetakse nulliks Aga võrrandite arvu saab Q-l vähendada, kui kasutada vahelduvvooludena silmusvoolusid Sel juhul on esimene Kirchhoffi seadus automaatselt täidetud, kuna iga vool siseneb ja väljub sõlme ehk annab koguvool võrdub nulliga ja lisaks väljendatakse sõlmede potentsiaalide Q ahela voolude kaudu. Võrrandite koguarv ja seetõttu sõltumatud ahelad võrdub P + QQ = PQ + Sõltumatud võrrandid saab kirjutada otse kui silmusvoolud võtta tundmatutena.üks teistest kontuuridest Joon. Iga kontuuri jaoks koostatakse võrrandid vastavalt teisele Kirchhoffi seadusele a Üldjuhul on haru takistus võrdne i R i C i L kus i, =, n, n on sõltumatute ahelate arv Silmusvoolude võrrandid on järgmised: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Siin on E i kõigi i-ndas vooluringis sisalduvate EMF-ide summa i-ndad kontuurid Takistuse ii tähistab i-ndas kontuuris sisalduvate takistuste summat Vastupidavus i on osa i-nda takistuse 33 Joon. Sõltumatute kontuuride näide

8 M-nda vooluringi võrrand on kujul: vooluahel, mis sisaldub ka ndas vooluringis On ilmne, et passiivse vooluringi puhul on võrdus i = i tõene. Vaatleme, kuidas vooluahela võrrandid aktiivsete ahelate jaoks, mis sisaldavad transistorid on modifitseeritud, fig mi mi mn I n Em I i Ülekandes teise liikme paremalt poolelt vasakule, teisendame selle võrrandi järgmiselt: mi mi I i mn I n Em tundmatud, sõlmepotentsiaalid on kasutatakse ka, arvestatuna ühe sõlme potentsiaalist, võetakse nulliks Y mille saab ümber kirjutada järgmiselt: kus Joon Transistori ekvivalentahel kompleksses ahelas U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Sõlmepotentsiaalide võrrandisüsteem on kujul Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Milles sisaldab sõltuvaid vooluallikaid Vaatleme nüüd ahela võrrandite lahendeid Silmusvoolude võrrandisüsteemi lahendil on th voolu kuju: I, kus süsteemi põhideterminant on sama determinant, milles i-s veerg on asendatud elektromotoorjõududega paremalt poolt E, E, E n Oletame, et ahelas on ainult üks sisendahelasse kaasatud EMF E, millele on määratud esimene number. võrrandid tuleks koostada nii, et meile huvipakkuvat haru läbiks ainult üks vooluahela vool, joonis 4 Siis on sisendvool võrdne IE-ga, kus vastav algebralise komplemendi determinant i Joonis 4 EMF-iga ahel sisendahelas 35

10 Suhet EI nimetatakse sisendtakistuseks. Seevastu see takistus võtab arvesse kõigi vooluahelate mõju Teise väljundahela jaoks on meil I 36 E, kus vastav algebraline liitmine TIE seost nimetatakse ülekandetakistuseks. esimesest ahelast teise. 5 Joonis 5 Vooluallikaga vooluahel sisendis "UI" I, Y "Y" ja ülekande juhtivus esimesest sõlmest teise: U "I" IYT, YT "" kus I on esimesse sõlme toidetud vool, U ja U pinge, mis saadakse esimeses ja teises sõlmes, "on sõlmepotentsiaalide võrrandisüsteemi peamine determinant ja" i on vastav algebraline täiendus sõlmede ja Y vahel on seos Y Passiivse ahela puhul oli meil = Seetõttu on süsteemi põhideterminant sümmeetriline Sellest järeldub, et algebralised täiendid on võrdsed: = Seega on võrdsed ja ülekandetakistus T = T Seda omadust nimetatakse omaduseks vastastikkus. See, nagu näeme, on takistusmaatriksi sümmeetria. Vastastikune omadus on formuleeritud järgmiselt joonisel 6: kui sisendahelas asuv EMF põhjustab väljundahelas voolu, siis sama EMF, mis sisaldub väljundahel põhjustab sisendahelas,

11 sama suurusjärgu vool Lühidalt öeldes on see omadus mõnikord sõnastatud järgmiselt: EMF sisendahelas ja ampermeeter väljundahelas on omavahel vahetatavad, samas kui ampermeetri näit ei muutu. Joonis 6 Ahela käitumine omadusega retsiprooksus Üks vooluahela funktsioonidest on pinge ülekandetegur KU Joon. 7 UE Joon. 7 Pinge ülekandetegur siis Nagu joonisel 7 olevast diagrammist järeldub: UUI n; ; K n E T E; I T U n Samamoodi saab määrata vooluülekande koefitsiendi I K I Joon. 8: I Seega I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I Joon. 8 Voolu ülekandesuhe Yn Y T T 37

12 3 Veel skeemifunktsioonide üldistest omadustest Skeemifunktsioonid on võrrandite lahendamisel saadud muutuja funktsioonid, näiteks sisendi juhtivustakistus, ülekande juhtivuse takistus jne. Ühendatud parameetritega ahelate puhul on mis tahes vooluahela funktsioon parameetrite suhtes ratsionaalne. muutuja ja on murdosa m Ф B bnmnbmmnn 38 bb ja koefitsiendid on reaalsed Vastasel juhul võib seda esitada kujul Ф bmnm, "" "kus, m,", "," n juured võrranditest mbnmnbmnm, nbb Väärtused =, m nimetatakse funktsiooni Ф nullideks ja väärtusi = ",", "n poolusteks Φ Ilmselgelt võivad kaks ratsionaalset funktsiooni, mille nullid ja poolused langevad kokku, erineda ainult konstantsete tegurite võrra. teisisõnu ahela parameetrite sagedusest sõltuvuse olemus on täielikult määratud ahelafunktsiooni nullide ja pooluste poolt polünoom omandab konjugaadi väärtuse * = * ja B * = B * Sellest järeldub, et kui polünoom seda Kui on olemas kompleksjuur, siis on see ka juur. Seega võivad ahelafunktsiooni nullid ja poolused olla kas reaalsed või moodustada kompleksseid konjugaatpaare Olgu Ф ahela funktsioon. Võtke arvesse selle väärtusi =: Ф Ф Ф Kuna lugejas ja nimetajas Ф olevad koefitsiendid on reaalsed, siis Ф ​​Ф n,

13 Ei Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Võrreldes neid võrdusi, võttes arvesse ülaltoodud võrdsust, saame, et Ф Ф, Ф Ф, see tähendab, et ahela funktsiooni reaalosa on sageduse paarisfunktsioon ja kujuteldav paaritu funktsioon sageduse funktsioon 3 Stabiilsus ja füüsiline teostatavus Vaatleme võrdsust, mis määrab pingest U põhjustatud sisendtakistuse voolu: UIB Olgu U ühik samm ja siis I, B kus ja B on polünoomid Laiendusvalemit kasutades saab i BB "kus polünoomi B nullid ja seega takistusfunktsiooni nullid ja peadeterminandi nullid: = Kui vähemalt ühel nullil on positiivne reaalosa, siis i suureneb lõputult. Seega takistus, millest vähemalt üks null on parempoolses pooltasandis, vastab ebastabiilsele süsteemile, 39

14 me Sama järelduse võib teha ka ülekandetakistuse T, sisendjuhtivuse Y, ülekandejuhtivuse YT kohta Definitsioon Füüsiliselt teostatavaks nimetatakse ahela funktsiooni, kui see vastab vooluringile, mis koosneb reaalsetest elementidest ja mille loomulikud vibratsioonid puuduvad. on amplituud, mis kasvab määramatult koos Definitsioonis määratud ahelat nimetatakse stabiilseks Keti füüsiliselt realiseeritava stabiilse funktsiooni peadeterminandi nullid ja seetõttu peaksid takistuse ja juhtivuse funktsioonide nullid asuma ainult vasakul muutuja pooltasapinnal või reaalsageduste teljel Kui kaks või enam nulli langevad kokku mitme juurega, siis on vastavatel lahenditel vorm: M, kus M on polünoom astmega m, m on juure kordsus If, samaaegselt =, ja m>, siis suureneb vastav lahend määramatult o koefitsienti e ülekanne, siis kõik eelöeldu viitab mitte nullidele, vaid ülekandeteguri ahela funktsiooni poolustele.Tegelikult: n K T nullpunktid on funktsiooni K poolused ja koormustakistus on passiivne; selle nullpunktid asuvad kindlasti õigel tasapinnal Eeltoodust järeldub, et ahela füüsikaliselt realiseeritavatel funktsioonidel on järgmised omadused: samas kui ahelafunktsiooni nullid ja poolused on kas reaalsed või moodustavad keerukaid konjugaatpaare; b ahelfunktsiooni reaal- ja imaginaarne osa on reaalsagedustel vastavalt paaris- ja paaritu sagedusfunktsioon; peadeterminandi nullides ja järelikult juhtivustakistus ja ülekandejuhtivuse takistus ei saa asuda parempoolsel pooltasandil ning mitu nulli ei paremal pooltasandil ega reaalsageduste teljel T 4

15 3 Transientprotsessid võimendites Ahela võrrandisüsteemi lahendamine annab etteantud sisendi väljundsignaali kujutise U = KE Skeemi funktsiooni ajapiirkonnas saab leida kasutades Laplace'i pöördteisendust u L (KE) Suurimat huvi pakub siirdeprotsess, mille sisendsignaal on astme kujul. Reaktsioonisüsteemi sammuühiku kohta nimetatakse üleminekufunktsiooniks Teades siirdefunktsiooni, saame leida süsteemi reaktsiooni suvalise kujuga sisendsignaalile. ühe sammu kujutisel on vorm, seetõttu on süsteemi reaktsioon ühele sammule järgmine: K h L Laplace'i pöördteisendus võib kirjutada järgmiselt: h LKK 4 d Samal ajal>, kuna integratsiooni tee peaks asub poolusest paremal = Suurt huvi pakub definitsioon Joonis 3 Võimendi siirdefunktsiooni kontuur selle integreerimise tüübi järgi sageduskarakteristikuga Selleks tuleks siirdeintegratsiooni arvutamise tee kombineerida reaalsageduste funktsiooni telg = poolus t-des punkt = sel juhul peaksite minema ümber väikese raadiusega r Joon. 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Läheme piirini r Siis on meil d KVKK d KV h Siin tähendab avaldis V koos integraaliga selle integraali põhiväärtust Saadud valem võimaldab leida siirdefunktsiooni võimenduse sageduskarakteristiku kaudu. Selle valemi põhjal saab teha mõned üldised järeldused Asendage muutuja h-ga: d KVK h Aga h, nagu kausaalsuse põhimõttest tuleneb, kuna signaal ilmub aadressil> Võimendusfunktsioon K on kompleksne ja seda saab esitada järgmiselt. reaal- ja imaginaarsete osade summa: K = K + K r Asendades avaldisesse h, saame d KKVK r Diferentseerudes suhtes, saame d KK r ehk cos sin sin cos d KKKK rr

17 Integrandi imaginaarne osa on sageduse paaritu funktsioon, mistõttu selle integraal on võrdne nulliga. Kuna reaalosa on sageduse paarisfunktsioon, on tingimus, mida füüsiliselt realiseeritav ülekandekoefitsient peab täitma järgmiselt: K cos K sin dr at See tingimus, nagu nägime, tuleneb põhjuslikkuse printsiibist Saab näidata, et süsteem, mille ülekandekoefitsienti saab kirjutada polünoomide K, B suhtena, on stabiilne selles mõttes, et polünoomi kõik nullid B asub vasakul pooltasandil, rahuldab põhjuslikkuse põhimõtet. Selleks uurime integraali K hd jaoks< и >Tutvustame kahte suletud kontuuri ja B, mis on näidatud joonisel 3. Joonis 3. Integreerimiskontuurid: at< ; B при > 43

18 44 Vaatleme funktsiooni, kus integraal võetakse üle suletud kontuuri Cauchy integraaliteoreemi tõttu on integraal võrdne nulliga, kuna parempoolses pooltasandis on integrand tingimuse järgi analüütiline. Integraali saab kirjutada kui integraalide summa integreerimiskontuuri üksikute lõikude lõikes: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Kuna cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >kehtib h B h jaoks R Seega: R h, for>

19 Lihtpooluse jääk on võrdne RB-ga, mis meil oli juba varem K lim, 45 lim B Näide Vaatleme joonisel 33 näidatud integreeriva ahela skeemi. Selle ahela puhul on ülekandekoefitsient ning selle kujuteldav ja tegelik osad on kujul: K; K; K r, kus RC Tõestame, et vastavalt ülaltoodud põhjuslikkuse tingimusele peab võrdus olema täidetud Võrdsus on teada cos sin d cos d Eristage parem ja vasak pool järgmiselt: sin d Korrutades selle võrrandi vasaku ja parema külje arvuga, saame: sin d, joonis 33 Integratsiooniahela skeem, millest järgneb tõestamiseks vajalik võrdsus. Omades süsteemi siirdefunktsiooni, võib leida selle vastuse mis tahes sisendile signaal Selle jaoks esitame sisendsignaali ligikaudu ühiku sammude summana Joon. 34

20 Joon. 34 Sisendsignaali esitus Selle esituse saab kirjutada järgmiselt: uuu Järgmine uu "Reaktsioon ühiku sammule on võrdne h-ga Seetõttu võib väljundsignaali esitada ligikaudu järgmiselt: uuhu" h Üleminek piirini , summa asemel saame integraali uuhu "hd See üks Duhameli integraali vorme Osade kaupa integreerides saame Duhameli integraali teise kuju: uuhuh "d Ja lõpuks muutuja =" muutmisega , saame Duhameli integraali veel kaks vormi: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 Kahepooluseliste vooluahelate mõned omadused 4 Sisendjuhtivuse takistuse funktsiooni üldomadused Kahe klemmiga võrke iseloomustab täielikult sisendi juhtivustakistuse funktsioon Sellel funktsioonil ei saa olla parempoolsel pooltasandil nullid, samuti mitu nulli reaalsageduste teljel Kuna Y, siis Y nullid vastavad poolustele ja vastupidi.sisendjuhtivustakistuse funktsioonil ei saa olla pooluseid parempoolses pooltasandis ja mitut poolust reaalsageduste teljel. asümptootiline võrdsus kehtib: bm mn Kuna reaalsageduste teljel ei tohiks olla mitut nulli ja poolust, siis järeldub, et mn te lugeja ja nimetaja polünoomide astmed ei saa erineda rohkem kui ühe võrra Arvestades wb käitumist lisi = samamoodi saab näidata, et lugeja ja nimetaja väikseimad eksponendid ei saa erineda rohkem kui ühe võrra. Nende väidete füüsikaline tähendus seisneb selles, et väga kõrgetel ja väga madalatel sagedustel peaks passiivne kahepooluseline seade käituma nagu mahtuvus või induktiivsus või aktiivtakistus n, 4 Kaheklemmilise võrgu energiafunktsioonid Oletame, et kaheklemmiline võrk on kompleksahel, mis sisaldab aktiivtakistusi, mahtuvusi ja induktiivvoolu

Kui kahe klemmi klemmidele on antud siinuspinge, siis kahe klemmiga hajub mingi võimsus, mille keskmine väärtus P iseloomustab energia hajumist Elektri- ja magnetenergia salvestub kondensaatorites ja induktiivpoolides, keskmine mille väärtusi tähistatakse WE ja WH Me arvutame need väärtused ahela voolude võrrandite abil. Kirjutame ülaltoodud suuruste avaldised otse analoogselt kõige lihtsamate juhtumitega Nii et takistuse R korral on keskmine hajutatud võimsus on võrdne PRII-ga Samamoodi saab mitut haru sisaldava ahela puhul keskmist võimsust väljendada ahela voolude kaudu: P i R i I i I Induktiivsusesse salvestatud keskmine energia, võrdne WHLII Keerulise vooluahela korral väljendame seda väärtust järgmiselt: ahela voolud: WH 4 i L i I Kondensaatorisse salvestatud keskmine energia on Kuid seetõttu on WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Selle suhte põhjal saab kirjutada keskmise elektrienergia summaarse avaldise: WE 4 Ii I i Ci Uurime, kuidas need suurused on seotud sisendpingete ja vooludega Selleks kirjutage üles kontuurivoolude võrrandid. IRILIE; C I i R i I Li I; Ci Korrutage kõik võrrandid vastava vooluga 49 Ii ja lisage kõik I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Kui R i = R i; L i = L i; C i = C i, see tähendab, et ahel vastab vastastikkuse printsiibile ja aktiivseid elemente pole, siis: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Asendades ülaltoodud võrdsusega, saame funktsioonid E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE

24 Telledzheni teoreem võimaldab leida avaldisi Y takistuse ja juhtivuse kohta energiafunktsioonide järgi: EIEIIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Energiafunktsioonide ja Y jaoks saadud avaldiste põhjal saab teha mõningaid järeldusi.Sisendtakistus ja passiivse vooluahela juhtivus omab mittenegatiivset reaalosa reaalsageduste teljel See on identne on null ainult siis, kui vooluringis ei esine energiakadusid Stabiilsustingimused nõuavad, et Y-l ei oleks ka paremas pooles nullid ja poolused. Tasand Pooluste puudumine tähendab, et Y on analüütilised funktsioonid paremal pooltasandil, et kui funktsioon on mõnes piirkonnas analüütiline, siis selle reaalne ja mõtteline osa saavutavad oma väikseima ja suurima väärtuse piirkonna piiril. Kuna sisendtakistuse ja juhtivuse funktsioonid on analüütilised parempoolses pooltasandis, siis nende reaalosa piiril selle piirkonna reaalsageduste teljel saavutab väikseima väärtuse, kuid reaalsageduste teljel on reaalosa mittenegatiivne, seega on see kogu parempoolsel pooltasandil positiivne. Lisaks võtavad funktsioonid ja Y reaalväärtused ​​reaalväärtuste jaoks, kuna need on polünoomide jagamise jagatis reaalkoefitsientidega Funktsiooni, mis võtab reaalväärtusi reaalväärtusteks ja millel on positiivne reaalosa paremal pooltasandil, nimetatakse positiivseks reaalfunktsiooniks. Sisendtakistus ja juhtivusfunktsioonid on positiivsed reaalfunktsioonid.funktsioon oli positiivne reaalfunktsioon 3 Reaalsel sagedusteljel olev mõtteline osa on võrdne nulliga, kui kaheklemmiline seade ei sisalda reaktiivelemente ega magnet- ja EE keskmisi varusid;

25 elektrienergiat kaheklemmilises võrgus on samad Nii on see resonantsi puhul; sagedust, mille juures see toimub, nimetatakse resonantssageduseks.Tuleb märkida, et energiasuhete ja Y tuletamisel kasutati peamiselt sõltuvate allikate puudumise vastastikkuse omadust.Ahelde puhul, mis ei vasta vastastikkuse põhimõttele. ja sisaldavad sõltuvaid allikaid, võib see valem osutuda valeks Joonisel 4 on kujutatud järjestikuse resonantsahela skeem Vaatame, mida annab energiavalem kõige lihtsamal juhul Takistuses R hajuv võimsus voolu I voolamisel võrdub PIR keskmise elektri- ja magnetenergia varud on võrdsed: WHLICU; W E Kondensaatori pinge U voolu I voolamisel on Siit W E I U C I C Asendades energia valemis, saame L I I R I

26 Siin E E C C S I S E R R RC RC C C Olgu, S >> C nii, et sulgudes olevat esimest liiget saab tähelepanuta jätta S lambi kalle Siis on sisendtakistus S I E RC E RC I S S RC kus Req; Leq SS Joon. 4 Elektrooniline takistus RC SR eq L eq, On ilmne, et sisendtakistuse arvutamine energiafunktsioonide abil annab sellisel juhul vale tulemuse. Tõepoolest, selles vooluringis puudub magnetenergia reserv, mis määrab induktiivsuse . nihe sisendis oleva pinge ja voolu vahel ning vastavalt ka sisendtakistuse induktiivne või mahtuvuslik olemus Passiivse vooluahela takistus või juhtivus on reaalsageduste teljel mittenegatiivne See võib mistahes sageduste korral olla identselt võrdne nulliga ainult siis, kui kõigil ahela elementidel pole kadusid, see tähendab, et nad on puhtalt reaktiivsed, kuid isegi kadude korral võib takistuse või juhtivuse reaalosa kaob mõnel sagedusel 5

27 Kui see kujuteldaval teljel kuhugi ei kao, saab takistuse või juhtivuse funktsioonist lahutada konstantse väärtuse ilma füüsilise teostatavuse tingimusi rikkumata nii, et mittenegatiivseks jääv reaalosa muutub mingil sagedusel nulliks. pooluste muutuja parempoolsel pooltasandil, see tähendab, et see on selles piirkonnas analüütiline, siis on selle reaalosal minimaalne väärtus selle piiril, st kujuteldaval teljel. Seetõttu jääb selle minimaalse väärtuse lahutamine parempoolsel pooltasandil positiivne reaalosa Sisendjuhtivustakistuse funktsiooni nimetatakse tüübi miinimumi funktsiooniks - juhtivuse aktiivtakistus, kui selle reaalosa kaob reaalsageduste teljel, nii et selle vähenemine komponent on võimatu ilma passiivsuse tingimusi rikkumata. siis reaalsageduste teljel reaalosa nulli kordsus on vähemalt , c ja mitteminimaalselt aktiivset tüüpi d Joonisel 43 ning ahela sisendtakistus on mitteminimaalselt aktiivset tüüpi, kuna reaalosa takistusest ei kao ühelgi reaalsagedusel Samal ajal kaob juhtivuse reaalosa sagedusel = Seetõttu on vooluahel minimaalse aktiivjuhtivusega vooluahel Joonisel 43 b on ahel ahel. minimaalse aktiivse takistusega, kuna takistuse reaalosa kaob lõpmatu sagedusega 53

28 Joonisel 43 on vooluahel minimaalse aktiivtakistusega R = jadaahela resonantssagedusel 3. ahelas on resonantssagedusel piiratud takistus 44 Aktiivsete kaheklemmiliste seadmete sisendjuhtivustakistused Joon. 44 Kahe klemmiga seadmed: a EMF-i allikaga, b lisatakistusega R Aktiivsete kaheklemmiliste seadmete sisendjuhtivustakistus ei ole erinevalt passiivsetest kaheklemmilistest seadmetest positiivsed funktsioonid ja seetõttu võivad sellised kahe terminali võrgud teatud tingimustel olla ebastabiilne.Mõelge siin saadaolevatele võimalustele.Takistusel on muutuja parempoolses pooltasandis nullid, kuid pole seal poolusi. Vaatleme joonisel 44 kujutatud ahelat ja asetage eksponentsiaalselt kasvavad lahendid, st kahepooluselised nick on ebastabiilne, kui seda toidetakse EMF-i allikast või muul juhul, kui selle klemmid on lühises. Teisest küljest, kuna sellel pole pooluseid parempoolses pooltasandis, on see sellel pooltasandil analüütiline funktsioon. sellest järeldub, et reaalosa saavutab miinimumi parempoolse pooltasandi piiril, st reaalsageduste telgedel See miinimum on negatiivne, kuna vastupidisel juhul oleks see positiivne reaalfunktsioon ja paremal ei saaks nullid olla pooltasapind.Reaalsagedusteljel oleva reaalosa miinimumi saab suurendada nullini, lisades sellele positiivse reaaltakistuse Sel juhul muutub funktsioon + R positiivseks reaalfunktsiooniks Seetõttu kahe terminali võrk, millele on lisatud takistus R on lühise ajal stabiilne Joon. 44, b.

29 Juhtivuse Y parempoolses pooltasandis on nullid, kuid seal pole poolusi. See on vastupidine eelmisele, kuna see tähendab, et = / Y poolused on paremal pooltasandil, kuid tal pole seal nulle. .Sellisel juhul uuritakse stabiilsust vooluallikaga ahelas Joon. 45, a Kui Y parempoolses pooltasandis on nullid, siis kahe klemmi võrk on tühikäigu ajal ebastabiilne. Kuna Y-l ei ole pooluseid parempoolses pooltasandis, saab funktsiooni Y muuta reaalseks positiivseks funktsiooniks, lisades sellele positiivse reaaljuhtivuse G Gmin Seega kahe terminali seadme viis, milles juhtivus Y on nullid paremal pooltasandil, kuid pole seal poolusi, saab stabiilseks muuta piisavalt suure reaaljuhtivuse lisamisega pingeallikast 3 Funktsioonil on nullid ja poolused paremal pooltasandil.Sellisel juhul stabiilsuse küsimuse lahendamine nõuab erilist läbimõtlemist Seega saame teha järgmised järeldused: kui aktiivne kahe terminaliga võrk on vooluallikast toites stabiilne, sellel pole pooluseid parempoolses pooltasandis, siis saab selle muuta stabiilseks. kui toiteallikaks on pingeallikas, ühendades järjestikku teatud positiivse materjali takistuse; kui aktiivne kaheklemmiline seade on pingeallikast Y toitel stabiilne, millel pole pooluseid parempoolses pooltasandis, siis saab seda stabiilseks muuta ka vooluallikast toitel, ühendades paralleelselt piisavalt suure reaaljuhtivuse Näide Vaatleme negatiivse takistuse R paralleelühendus mahtuvusega C Joon. 46 RCR Siin R RC CI 55 Y b G Joonis 45 Kahepooluselised võrgud: a vooluallikaga; b juhtivuse Y Y lisamisega Joon 46 Kahepooluseline negatiivse takistusega I

30 Nagu näha, siis sellel paremal pooltasandil nullid ei ole, seetõttu on selline vooluahel pingeallikast toidetuna stabiilne Aga tühikoormusel on see ebastabiilne Lisame järjestikku induktiivsuse L Siis Joon. 47 Ekvivalentahel tunneldioodi RRL LCR L RC RC Selle funktsiooni parempoolses pooltasandis on nullid: , RC 4 RC LC Seetõttu on vooluahel pingeallikast toite saades ebastabiilne, kuid sellel on ka poolus paremal pooltasandil. proovige muuta see stabiilseks, lisades seeriasse R teatud takistuse Joonis 47 Siis R LCR RRC LRRLR RC RC Stabiilsuse tingimus seisneb lugeja nullide puudumises paremal pooltasandil Selleks peavad kõik lugejas oleva trinoomi koefitsiendid olema positiivne: RR CL; RR Neid kahte võrratust saab kirjutada järgmiselt: L CR RR Ilmselgelt on sellised ebavõrdsused võimalikud, kui LLR või R RC C R tingimusel R Joonisel 47 olev ahel on samaväärne tunneldioodi C ahelaga.

31 tunneldioodi töörežiimi stabiliseerimise võimalust välistakistuse abil Näide Vaatleme paralleelselt ühendatud negatiivse takistusega LC-ahelat Joon 48 Leidke vooluahela stabiilsuse tingimused koormuseta Selleks arvutage juhtivus: th R või R> R o Kui pöördvõrdsus on täidetud, ergastatakse ahelas isevõnkumisi resonantsahela 45 sagedusel teatud piiridesse passiivsuse tingimusi rikkumata Füüsiliselt tähendab see reaalkomponendi muutumine konstantse väärtuse võrra. reaalse aktiivtakistuse lisamine või väljajätmine, ideaaljuhul sõltumatu sagedusest Takistuse funktsiooni n reaktiivkomponendi muutus Juhtivus konstantse väärtusega on vastuvõetamatu, kuna see rikub vooluahela funktsiooni kujuteldava komponendi veidruse füüsilise teostatavuse tingimusi. Füüsiliselt on see seletatav asjaoluga, et puuduvad puhtalt reaktiivsagedusest sõltumatu juhtivustakistusega elemente. reaktiivkomponendi muutus ilma aktiivkomponendi muutumiseta võimalik juhul, kui juhtivustakistusel on poolused reaalsageduste teljel.Füüsikalise teostatavuse tingimuste tõttu peaksid sellised poolused olema lihtsad ja keerukad konjugeeritud

32 Olgu takistusel poolused sagedustel Siis saame eristada lihtmurrud MNBB On lihtne näha, et NNMMN r MB r 58 B * M, MM Vaatleme ühe murdu käitumist, näiteks M / lähedal = Siis MMM r M r M Sageduse lähedal reaalkomponent muudab märki, mis on vastuolus füüsilise realiseeritavuse tingimustega Seetõttu M r = N r = Siis M = N Lisaks saab näidata, et M = N> Tõepoolest, paneme = +, ja> Seejärel omandab murd väärtuse M /, mis peab olema suurem kui null, kuna see murd peab olema parempoolses pooltasandis reaalne positiivne funktsioon Niisiis, M = N> Seega, kui sellel on komplekskonjugaat poolused reaalsete sageduste teljel, siis saab seda esitada kujul: MM, B ja vastab füüsilise teostatavuse tingimustele, kui need on täidetud Tõesti , ei oma pooluseid paremal pooltasandil, kuna tal pole seal poolusi .Seetõttu on see analüütiline funktsioon paremal pooltasandil.Teisest küljest võtab esimene liige Reaalsete sageduste teljed on puhtalt imaginaarsed väärtused Seetõttu on neil reaalsagedustelgedel samad reaalosad. Esimese liikme eraldamine ei mõjuta reaalsageduste telgede reaalosa. Sellest järeldub, et paremal pool- tasapind on ka positiivne funktsioon r

33 Lisaks sellele on tegelike väärtuste jaoks vaja reaalväärtusi parempoolses pooltasandis. Järelikult on see reaalne positiivne funktsioon M Takistuse omab paralleelne kadudeta resonantsahel: LCCC, LC LC ja LC ja MC : M "Y, YM" kus avaldis tähistab jadaresonantsahela juhtivust: YCLLCL Lisaks poolustele punktides ± ehk siis lõplikel sagedustel on võimalikud poolused nulli ja lõpmatu sagedusega. Need poolused vastavad terminid :, L, Y, YC, CL t ei vasta mahtuvusele ega induktiivsusele Järgmine väide on tõene Sisendtakistus passiivse vooluahela juhtivus vastab jätkuvalt füüsilise teostatavuse tingimustele, kui 59

34 lahutage sellest reaalsageduste teljel paiknevatele poolustele vastav juhtivusreaktants.takistuse ja juhtivuse poolused reaalsageduste puudumisel Selliste pooluste olemasolu tähendaks nendes vabade võnkumiste olemasolu võimalust ilma summutamata Kuid paljudes juhtudel võib hea lähenduse korral jätta tähelepanuta kaod reaktiivsetes elementides 46 Puhtalt reaktiivsetest elementidest koosnevate ahelate omadused Tihti juhtub, et vooluahel koosneb väikeste kadudega elementidest Sel juhul võib kadude mõju mõnikord tähelepanuta jätta. huvi, et selgitada välja kadudeta ahelate omadused, samuti teada saada, millistel tingimustel võib kadusid tähelepanuta jätta. Eeldame, et kõik ahela elemendid on puhtalt reaktiivsed Lihtne on näidata, et sel juhul on reaalsageduste teljel takistus ja juhtivus Y kujuteldavad väärtused Tõepoolest, sel juhul on kadude võimsus võrdne nulliga, seega: W I 6 H WE W Y E WE; Kuna takistuse ehk juhtivuse mõtteline osa on vooluringi paaritu funktsioon, siis sel juhul = Seega üldisemal juhul = Füüsikalise teostatavuse tingimused nõuavad, et sellel ei oleks parempoolses pooltasandis nullid ja poolused Kuid kuna =, siis ei tohiks ka vasakpoolses pooltasandis nullid ja poolused olla Seetõttu H

35 funktsiooni ja Y-l võivad nullid ja poolused olla ainult reaalsageduste teljel.Füüsiliselt on see arusaadav, kuna kadudeta vooluringis vabavõnkumised ei summutu.Sellest järeldub, et kasutades teljel asetsevate pooluste tuvastamise meetodit reaalsete sageduste korral on võimalik funktsioonid ja Y taandada järgmisele kujule: bnbnb Y Teisisõnu, kahepooluselise takistusega seadet saab kujutada järgmise diagrammina Fosteri vormi joonisel 49:; Joonis 49 Esimene Fosteri vorm Vastavalt sellele saab Y-d esitada kujul -. Fosteri vorm Joonis 4 Joonis 4 Teine Fosteri vorm Võib näidata, et nullid ja poolused reaalsageduste teljel peaksid vahelduma ainult lihtne, siis nullilähedane funktsioon saab esitada kujul M o, kus o on suuremat väiksuse järgu suurus võrreldes parempoolse pooltasandiga Lähis, peab reaalne suurus olema positiivne ja see on võimalik ainult siis, kui M on tõeline 6

36 on suurusjärk ja M> Seega nullilähedane = imaginaarne komponent saab muutuda ainult positiivse tuletisega, märgi muutmisel "+"-ks peab esinema katkestus, mis koondunud elementidega ahelate puhul saab olla ainult poolus Kõik see kehtib ka juhtivuse Y kohta Nulle nimetatakse resonantspunktideks, pooluseid antiresonantspunktideks Seetõttu vahelduvad resonantsid alati antiresonantsidega Juhtivuse Y korral vastavad resonants poolustele ja antiresonants nullidele On lihtne näha, et mõlemad resonantsi ja antiresonantsi punktides on elektri- ja magnetenergia keskmised varud omavahel võrdsed. Tõepoolest, resonantsipunktides =, st WHWE = antiresonantsi punktides Y =, seega WEWH = olgu näitame nüüd, et kadudeta ahelate korral toimuvad järgmised valemid, ma annan takistuse ja juhtivuse sõltuvus sagedusest Esitame takistuse ja juhtivuse kujul: X, Y B Siis: dx WH W d I db WH WE d E Tõestuseks vaatleme takistuse määratlust E I 6 E; Olgu E = miinused Diferentseerime sageduse järgi: d E di d I d Oletame, et E on reaalne väärtus Siis on kadudeta ahela jaoks I puhtalt imaginaarne väärtus Sel juhul d E d I di d I I ja

37 Pöördume nüüd ahela voolude n 4 võrrandisüsteemi juurde: I Li I Ei, i, n C Eeldusel, et ainult E, korrutame kõik võrrandid arvuga ja liidame kõik võrrandid: i, i I I di i Li I di i E di, i, C i, Edasi pöördume ka p 4-s kadudeta ahelate puhul saadud seose poole: i, L i I Ii ii, IIC ii E Sagedusel diferentseerudes E = cons, saame: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , kuna E on eeldusel reaalne väärtus Eelnevast järeldub ka, et: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Asendades summaarse, saame: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Vähendades sarnaseid termineid vasakul ja paremal, leiame: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E oli leitud jaost n 4, võrdub i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Asendades avaldises takistusfunktsiooni tuletise, saame: d E di WH W d I d I Samamoodi saab tõestada teine ​​võrdsus dy W d E WE Nendest valemitest järeldub, et sageduse kasvades saavad puhtreaktiivsete elementide ahela reaktantsus ja juhtivus ainult suureneda.Sõltuvalt nullide ja pooluste olemasolust null- ja lõpmatutel sagedustel on graafik X ja B sõltuvusel võib olla üks järgmistest tüüpidest, mis on näidatud joonisel 4. Lõpuks püüame välja selgitada, kuidas väikeste kadude olemasolu mõjutab reaktiivelementidest koosneva vooluahela takistust.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Erinevate pooluste sumbumine võib olla erinev Seetõttu on soovitatav arvestada takistusfunktsiooni käitumist ühe pooluse läheduses.

40 Kuna meid huvitavad tegelike sageduste teljel olevad väärtused, tuleks see asendada väärtusega Lugejas, saame kõrvale jätta, võrreldes tingimusega: Seda avaldist saab teisendada järgmiselt:, Qx "kus ; Q; x; suurust Q >> nimetatakse kvaliteediteguriks, suurust x nimetatakse suhteliseks detuuninguks. Lähiresonants Lisaks on meil: väärtus C x QQ;; QQCC nimetatakse resonantsahela iseloomulikuks impedantsiks. Mõelge, kuidas resonantsilähedase takistuse tegelik ja kujuteldav osa sõltuvad sagedusest: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Lähiresonants Im suureneb, kuid resonantsi korral läbib nulli negatiivse tuletisega R reaalosal resonantsil on maksimum Graafikud Im ja R olenevalt sagedusest on näidatud joonisel 4. Rääkides on sageduse alune ala. resonantskõver R ei sõltu Q-tegurist Q-teguri suurenemisel kõvera laius väheneb, kuid kõrgus suureneb, nii et pindala jääb muutumatuks Qx >>, reaalosa väheneb kiiresti ja mõtteline osa on võrdne Im x 67 ehk muutub samamoodi nagu kadudeta kontuuri puhul

42 Niisiis muutub sõltuvus sagedusest väikeste kadude sisseviimisel vähe sagedustel, mis on resonantssagedusest suuruse >> võrra kaugusel. Sageduse lähedal muutub kurss oluliselt Juhtivuspoolus Y ehk jadaresonantsahela juhtivus vastab poolusega sarnasele seosele: kus Q; gq Y, Qx g iseloomulik juhtivus; L x Null vastab juhtivuspoolusele Y Nullilähedane, seetõttu saab takistust reaalsageduste teljel kujutada järgmiselt: Qx x, Y gq Q kus = / g muutub nulli lähedal samamoodi nagu enne 68

43 5 Kvadrupoolid 5 Kvadrupooli põhivõrrandid Kvadrupool on vooluahel, millel on kaks klemmide paari: sisend, millega on ühendatud signaaliallikas ja väljund, millega on ühendatud koormus. signaali allikas n ja koormustakistus n sisenevad T-sse Nende muutumisel ja T muutumisel Soovitav on omada neljapordilist seadet ennast iseloomustavaid võrrandeid ja parameetreid Neljapordilise võrgu lineaarsusest tulenevalt on pingeid ühendavad üldised seosed. ja voolud selle klemmides on järgmised: UUI Koefitsient on väljundi klemmide paari tühikäigul ülekande juhtivuse pöördväärtus: 69 II; Joonis 5 Nelja pordiga võrgu I sisselülitamine Siin U ja U on pinged sisend- ja väljundklemmidel, I ja I on voolud, mis voolavad läbi sisend- ja väljundklemmide nelja pordiga võrgu suunas, vt joonis 5. pingeid ja voolusid ühendav võrrandisüsteem on lihtsa tähendusega. Väärtus on proportsionaalsustegur I ja U vahel väljundklemmide voolu korral I =, st väljundklemmide koormuseta; teisisõnu, see on sisendtakistus tühikäigul väljundis = x Samamoodi on see sisendtakistus väljundklemmide küljelt tühikäigul esimese klemmide paari juures = x Koefitsiendi tähendus on väärtus, mis on vastupidine ülekande juhtivusele tühikäigul esimese klemmide paari juures, st nullvoolu sisendklemmidel U ja IYT x YT x

44 I U; YT x YT x Pange tähele, et passiivse nelja pordiga võrgu puhul on mõlemad edastusjuhtivused üksteisega võrdsed tänu vastastikkuse printsiibile Seetõttu = = / Y Tx Eespool toodud võrrandisüsteemi saab kirjutada järgmiselt: IU x I ; YT x IU x I YT x I, kuna antud juhul on vool suunatud nelja pordiga võrgust, st vastupidises suunas, võrreldes ülaltooduga. Asendades U teise võrrandisse, saame, kust I, I n I x I YTx IY x Tx Asendades I esimesse võrrandisse, saame UI x Y Tx n Siit leiame sisendtakistuse nx U x IY Analoogia põhjal saab kirjutada ka väljundtakistuse avaldise, vahetades indeksid ja: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Neljapooluselise seadme iseloomulikud parameetrid Märkimisväärset huvi pakub juhtum, kui generaator ja koormus on samaaegselt sobitatud, st kui n = c ja n = c, on suhe in = c ja out = c toimub Asendades avaldistes in ja out , saame võrrandid, mis võimaldavad leida c ja c: cc x x YT x YT x 7 cc See süsteem lahendatakse järgmiselt Esimesest võrrandist leiame: kust cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Pange tähele, et lühis ja lühis on sisendtakistus vastavalt esimese ja teise klemmipaari küljelt, kui tekib lühis teises klemmipaaris. Koormust, mis on võrdne iseloomuliku impedantsiga c, nimetatakse sobitatuks. Sel viisil sisse lülitatud suvalise arvu nelja pordiga võrkude korral säilib sobivus mis tahes ristlõikes. UI c I c ln I c U cg ln U Reaalsageduste iseloomuliku edastusteguri reaalosa nimetatakse iseloomulikuks sumbumiseks ja imaginaarset osa nimetatakse iseloomulikuks faasikonstandiks, hankige ka suhe: I g I; U c g U U U I I

47 Iseloomulik ülekandekoefitsient on mugav selle poolest, et kahe pordiga võrkude sobitatud kaskaadühenduse korral on saadud ülekandekoefitsient võrdne üksikute neljapordiliste võrkude ülekandekoefitsientide summaga. Iseloomuliku ülekandekoefitsiendi leiate järgmised seosed: Iseloomulikud impedantsid c ja c sõltuvad üldiselt sagedusest Seetõttu ei ole iseloomulike parameetrite kasutamine ülekandetakistuse T esitamiseks alati mugav. neljaklemmiline võrk konstantsele reaalkoormusele R puhtalt aktiivtakistusega generaatori R joonis. 53 Sel juhul määratakse ülekanne tööülekandekoefitsiendi UI ln, UI abil, kus U "ja I" on ja vool, mida generaator on võimeline arendama takistusel, mis on võrdne generaatori sisetakistusega, st: EU, IE, R 73 EUI, 4R U ja I pinge ja koormusvool Sel juhul U = IR asendades, me saada tööülekandekoefitsiendi ln jaoks Siit saame 4R ERI ln ERRTIRR

48 Väärtus on kompleksmuutuja funktsioon Reaalsete sageduste puhul =: = + B, kus töösummutus, B on faasikonstant Töösummutus on võrdne ln TRR 74 ln PP mx, kuna P mx on maksimaalne võimsus, mis generaator saab anda nelja pordiga võrgu sisendile ja P on koormusele jaotatud võimsus RP mx EPIR 4R Näitame, et tegelik positiivne funktsioon Tõepoolest, kuna T-l pole paremas pooltasandis nulle, funktsioon on analüütiline parempoolsel pooltasandil.Seetõttu on sellega võrdeline analüütiline funktsioon ka parempoolsel pooltasandil analüütilisus, antud juhul reaalsageduste teljel Pöördväärtus saavutab sellel teljel väikseima väärtuse For For passiivne neliport reaalsageduste teljel, seega R> kogu parempoolsel pooltasandil Edasi T ln 4R R Funktsioon T on kahe reaalkoefitsiendiga polünoomi jagatis ja T võtab reaalpositiivse e väärtused reaalsetele Seetõttu on see ka reaalsete väärtuste jaoks reaalne Seega võime järeldada, et tõeline positiivne funktsioon. Nelja pordiga võrgu sünteesi probleem antud tööülekande koefitsiendiga on üldiselt kõige paremini lahendatud nn ristuva neljapordivõrgu abil, millel on teatud tingimustel T

4.11. Laplace'i teisenduse omadused. 1) Üks-ühele vastavus: s (S И (2) Laplace'i teisenduse lineaarsus: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (ja ka 3)) Analüütilisus S И (): kui s (rahuldab

4 Loeng 5 DÜNAAMILISTE vooluringide ANALÜÜS Plaan Elektriahelate olekuvõrrandid Olekuvõrrandite moodustamise algoritm 3 Olekuvõrrandite koostamise näited 4 Järeldused Elektrivoolu olekuvõrrandid

4 .. Laplace'i teisenduse omadused.) Üks-ühele vastavus: S И () 2) Laplace'i teisenduse lineaarsus: s (s () И () И 2 S S2 (), ja ka 3) Analüütilisus S И (): kui vastab tingimusele

64 Loeng 6 ELEKTRIAÜHENDITE ANALÜÜSI TÖÖMEETOD Plaan Laplace'i teisendus Laplace'i teisenduse omadused 3 Elektriahelate analüüsi operaatormeetod 4 Originaali määramine teadaoleva järgi

2.2. Operaatori meetod siirete arvutamiseks. Teoreetiline teave. Transientprotsesside arvutamine keerulistes ahelates klassikalise meetodiga on väga sageli keeruline integreerimiskonstantide leidmine.

70 Loeng 7 AHELADE OPERAATORI FUNKTSIOONID Plaan Operaatori sisend- ja ülekandefunktsioonid Skeemifunktsioonide poolused ja nullid 3 Järeldused Operaatori sisend- ja ülekandefunktsioonid Skeemi operaatorfunktsiooni nimetatakse nn.

Sinusoidne vool "peopesal" Suurem osa elektrienergiast tekib EMF-i kujul, mis aja jooksul muutub harmoonilise (sinusoidaalse) funktsiooni seaduse järgi. Harmooniliste elektromagnetväljade allikad on

4 Loeng ELEKTRIAÜHEMITE RESONANTSSAgeduskarakteristikud Resonants ja selle tähendus raadioelektroonikas Komplekssed ülekandefunktsioonid 3 Logaritmilised sageduskarakteristikud 4 Järeldused Resonants ja selle tähendus raadioelektroonikas.

Mööduvad protsessid "peopesal". Te teate juba stabiilses olekus oleva vooluringi arvutamise meetodeid, see tähendab, et voolud, nagu ka üksikute elementide pingelangused, on aja jooksul konstantsed.

Resonants peopesal. Resonants on passiivse kahe terminaliga võrgu režiim, mis sisaldab induktiivseid ja mahtuvuslikke elemente ja mille reaktants on null. Resonantsseisund

Sunnitud elektrilised vibratsioonid. Vahelduvvool Vaatleme elektrilisi võnkumisi, mis tekivad siis, kui ahelas on generaator, mille elektromotoorjõud muutub perioodiliselt.

3. peatükk Vahelduvvool Teoreetiline teave Suurem osa elektrienergiast toodetakse EMF-i kujul, mis aja jooksul muutub harmoonilise (sinusoidaalse) funktsiooni seaduse järgi.

Loeng 3. Mahaarvamised. Põhiteoreem jääkide kohta Funktsiooni f () jääk isoleeritud ainsuse punktis a on kompleksarv, mis võrdub integraali f () 2 väärtusega, mis on võetud piki ringjoont positiivses suunas i

Elektromagnetilised võnkumised Kvaasistatsionaarsed voolud Protsessid võnkeahelas Võnkeahel, mis koosneb järjestikku ühendatud induktiivmähistest, kondensaatorist mahtuvusega C ja takistist

1 5 Elektrilised võnkumised 51 Võnkeahel Võnkumist nimetatakse füüsikas mitte ainult kehade perioodilisteks liikumisteks, vaid ka mis tahes perioodiliseks või peaaegu perioodiliseks protsessiks, mille väärtusi üks või

Passiivahelad Sissejuhatus Ülesannetes käsitletakse passiivahelate amplituud-sagedus-, faasi-sagedus- ja siirdekarakteristikute arvutamist. Nimetatud omaduste arvutamiseks peate teadma

VABA- JA SUUNDVIBRATSIOONIDE UURING VÕRKUAHELIS Vabad elektrilised vibratsioonid võnkeahelas Vaatleme jadaühendusega kondensaatoritest koosnevat võnkeahelat

3. loeng Teema Võnkusüsteemid Järjestikuse võnkeahel. Pingete resonants Jadavõnkering on ahel, milles mähis ja kondensaator on järjestikku ühendatud

Moskva Riiklik Ülikool M.V. Lomonosov Füüsikateaduskond Üldfüüsika osakond

Materjalid iseõppimiseks erialal "Elektriahelate teooria" erialade üliõpilastele: -6 4 s "Tööstuselektroonika" (osa), -9 s "Modelleerimine ja arvutidisain

Kompleksne amplituudimeetod Harmoonilised pinge kõikumised elementide R klemmides või põhjustavad sama sagedusega harmoonilise voolu voolu. Funktsioonide eristamine, integreerimine ja lisamine

Lisa 4 Elektrilised sundvõnkumised Vahelduvvool Järgmisest teoreetilisest teabest võib kasu olla laboritööks 6, 7, 8 valmistumisel laboris "Elekter ja magnetism"

54 Loeng 5 Fourier' teisendus ja spektraalmeetod elektriahelate analüüsimiseks Plaan Aperioodiliste funktsioonide spektrid ja Fourier' teisendus Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektri meetod

Eksam Pingeresonants (jätkub) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Sagedusel ω 0 on nimetaja minimaalne, nii et ω0 = 0 => ω0 ω 0 = seda sagedust nimetatakse resonantssageduseks

Peatükk 2. Siirdeprotsesside arvutamise meetodid. 2.1. Klassikaline arvutusmeetod. Teoreetiline teave. Esimeses peatükis käsitleti püsiseisundis vooluringi arvutamise meetodeid, st

Yastrebov NI KPI RTF kohvik TOP wwwystrevkievu Skemaatilised funktsioonid Skeemifunktsioonide aparaat on kasutatav nii alalis- ja harmooniliste voolude ahelate analüüsimiseks kui ka suvalise mõjutüübi jaoks püsiseisundis

4.9. Ahela mööduv reaktsioon, selle seos impulssreaktsiooniga. Vaatleme funktsiooni K j K j j> S j j K j S 2 Oletame, et K jω omab Fourier' teisendust h K j Kui on olemas IH k K j, siis

Loeng 9 Diferentsiaalvõrrandite lineariseerimine Lineaarsed kõrgema järgu diferentsiaalvõrrandid Homogeensed võrrandid nende lahendite omadused Mittehomogeensete võrrandite lahendite omadused Definitsioon 9 Lineaarne

Metoodiline arendus Ülesannete lahendamine TFKP abil Kompleksarvud Tehted kompleksarvudega Komplekstasand Kompleksarvu saab esitada algebralises ja trigonomeetrilises eksponentsiaalis

Sisukord SISSEJUHATUS Jaotis KLASSIKALINE MINEKUTE ARVUTAMISE MEETOD Jaotis JUHUSLIKUTE SISENDITEGA MINEKUTE ARVUTAMINE, KASUTADES katteintegraale 9 JUHTIMISKÜSIMUSED7

4 ELEKTROMAGNETVIBRATSIOONID JA LAINED Võnkeahel on kondensaatoritest ja mähistest koosnev elektriahel, milles on võimalik kondensaatori taaslaadimise võnkeprotsess.

3.5. Kompleksne paralleelvõnkeahel I Ahel, milles vähemalt üks paralleelne haru sisaldab mõlema märgi reaktiivsust. I С С I I ja vahel puudub magnetühendus. Resonantsseisund

LOENG N38. Analüütilise funktsiooni käitumine lõpmatuses. Eripunktid. Funktsiooni jäägid ... lõpmatult kauge punkti naabrus ... Laurent'i laiend lõpmatult kauge punkti läheduses .... 3. Käitumine

4 Loeng 3 ELEKTRIAHELADE SAGEDUSKARAKTERISTIKUD Komplekssed ülekandefunktsioonid Logaritmilised sageduskarakteristikud 3 Kokkuvõte Komplekssed ülekandefunktsioonid (komplekssed sageduskarakteristikud)

Kõikumised. 3. loeng Generaator Generaatori tööpõhimõtte selgitamiseks vaatleme esmalt, mis juhtub siis, kui juhtme lame pööre pöörleb ühtlases magnetis.

DIFERENTSIVÕRDED Üldmõisted

Harmooniliste võnkumiste allika (GCI) arvutamine Esitage GCI algskeem trafo primaarmähise suhtes samaväärse pingeallikaga Määrake selle parameetrid (EMF ja sisemine

Töö 11 SUUNDVIBRATSIOONIDE JA RESONANTSI NÄHTUSTE UURIMINE VÕNKUVAHELIS Induktiivpooli ja kondensaatorit sisaldavas vooluringis võivad tekkida elektrilised võnked. Töö on õppimine

Teema 4 .. Vahelduvvooluahelad Teemaküsimused .. Vahelduvvooluahel induktiivsusega .. Vahelduvvooluahel induktiivsuse ja aktiivtakistusega. 3. Vahelduvvooluahel koos võimsusega. 4. Ahelmuutuja

4 Loeng TAKISTUSKESKUSTE ANALÜÜS Plaan Elektriliste ahelate analüüsi ülesanne Kirchhoffi seadused Takistavate vooluahelate analüüsi näited 3 Skeemiosa ekvivalentteisendused 4 Järeldused Elektriliste ahelate analüüsi ülesanne

Variant 708 Elektriahelas töötab sinusoidse EMF e (ωt) sin (ωt ψ) allikas. Joonisel .. EMF E allika efektiivne väärtus, algfaas ja vooluahela parameetrite väärtus

Algandmed R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Kirgoffi seadused (konstantne pinge) 1. Sõlmede otsimine Sõlm punkt , milles on ühendatud kolm (või enam) juhti

LOENG Võnkumine. Sundvõnkumised Joon. Võnkeallikas M mathcale toidab järjestikust võnkeahelat, mis koosneb takistusest R, induktiivpoolist L ja mahtuvusega kondensaatorist

Eksam pingete resonants (jätkub) Oletame, et ühe ahela pinge on pinge kogu võnkeahelas ja pinge ahela väljundis on pinge kondensaatoril Siis amplituud

õppeaasta sügissemester Teema 3 MITTEPERIOOODILISTE SIGNAALIDE HARMOONILINE ANALÜÜS Fourier otse- ja pöördteisendused Signaali spektraalkarakteristikud Amplituud-sagedus- ja faasisagedusspektrid

Loeng 6. Kahe konstantse reaalkoefitsiendiga võrrandi lineaarse süsteemi puhkepunktide klassifikatsioon. Vaatleme kahe lineaarse diferentsiaalvõrrandi süsteemi, millel on konstantne reaal

54 Loeng 5 Fourier' teisendus ja spektraalmeetod elektriahelate analüüsimiseks Plaan Aperioodiliste funktsioonide spektrid ja Fourier' teisendus 2 Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektri meetod

Teema: Vahelduvvoolu seadused Elektrivool on laetud osakeste või makroskoopiliste kehade järjestatud liikumine. Muutuja on vool, mis aja jooksul muudab oma väärtust

Eksam Impedants Takistus Impedants ehk komplekstakistus on definitsiooni järgi võrdne komplekspinge ja kompleksvoolu suhtega: Z ɶ Pange tähele, et impedants on samuti võrdne suhtega

Sisukord Sissejuhatus. Põhimõisted .... 4 1. Volterra integraalvõrrandid ... 5 Kodutöö variandid .... 8 2. Volterra integraalvõrrandi lahendaja. 10 kodutöö valikut ... 11

II peatükk Integraalid Antiderivatiivfunktsioon ja selle omadused Funktsiooni F () nimetatakse pideva funktsiooni f () antituletiseks intervallil a b, kui F () f (), a; b (;) Näiteks funktsiooni f () antiderivaadid

Klassikaline meetod. Joonis 1- elektriahela esialgne skeem Vooluahela parameetrid: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (oomi) R2 = 29 (oomi) R3 = 27 (oomi) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Induktiivsus:

Keeruliste lineaarsete elektriahelate arvutamise meetodid Alus: võime koostada ja lahendada lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme - koostatakse kas alalisvooluahela jaoks või pärast sümboliseerimist

KONKREETSNE INTEGRAAL. Integraalsummad ja defineeritud integraal Olgu antud intervallil [, b] defineeritud funktsioon y = f (), kus< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Loeng 7 AHELADE OPERAATORI FUNKTSIOONID Operaatori sisend- ja ülekandefunktsioonid Skeemifunktsioonide poolused ja nullid 3 Järeldused Operaatori sisend- ja ülekandefunktsioonid Keti operaatorfunktsioon on seos

68 Loeng 7 SIIRDEPROTSESSID ESIMESE JÄRKU vooluringides Plaan 1 Siirdeprotsessid esimest järku RC-ahelates 2 Siirdeprotsessid esimest järku R-ahelates 3 Siirdeprotsesside arvutamise näited ahelates

4 AC SINUSOIDAALSE VOOLU LINEAARSED ELEKTRIAJAD JA NENDE ARVUTAMISE MEETODID 4.1 ELEKTRIMASINAD. SINUSOIDAALSE VOOLU TOOTMISE PÕHIMÕTE 4.1.012. Sinusoidset voolu nimetatakse hetkeliseks

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik kutsealane kõrgharidusasutus "KUBAN STATE UNIVERSITY" Füüsika- ja tehnoloogiateaduskond Optoelektroonika osakond

~ ~ FKP Cauchy kompleksmuutuja FKP funktsiooni tuletis - Riemann tingimus FKP regulaarsuse kontseptsiooni Pilt ja kompleksarvu vorm FKP vorm: kus kahe muutuja reaalfunktsioon on reaalne

See on teist tüüpi integraalteisenduste nimi, mida koos Fourier' teisendusega kasutatakse raadiotehnikas laialdaselt mitmesuguste signaalide uurimisega seotud probleemide lahendamiseks.

Keeruline sageduskontseptsioon.

Spektrimeetodid, nagu juba teada, põhinevad sellel, et uuritav signaal esitatakse lõpmatult suure hulga elementaarliikmete summana, millest igaüks vastavalt seadusele perioodiliselt ajas muutub.

Selle põhimõtte loomulik üldistus seisneb selles, et puhtalt imaginaarsete indikaatoritega komplekssete eksponentsiaalsignaalide asemel võetakse arvesse eksponentsiaalseid signaale kujul, kus on kompleksarv: mida nimetatakse komplekssageduseks.

Kahte sellist keerukat signaali saab kasutada reaalse signaali koostamiseks, näiteks vastavalt järgmisele reeglile:

kus on komplekskonjugaadi väärtus.

Tõepoolest, antud juhul

Sõltuvalt komplekssageduse reaal- ja imaginaarsete osade valikust on võimalik saada erinevaid reaalsignaale. Seega, kui, aga saad tavalised harmoonilised võnkumised kujul If, siis olenevalt märgist saad ajas kas kasvavaid või kahanevaid eksponentsiaalseid võnkumisi. Sellised signaalid omandavad keerukama vormi, kui. Siin kirjeldab kordaja ümbrist, mis muutub aja jooksul eksponentsiaalselt. Mõned tüüpilised signaalid on näidatud joonisel fig. 2.10.

Keerulise sageduse kontseptsioon osutub väga kasulikuks ennekõike seetõttu, et see võimaldab ilma üldistatud funktsioone kasutamata saada signaalide spektraalseid esitusi, mille matemaatilised mudelid ei ole integreeritavad.

Riis. 2.10. Reaalsed signaalid, mis vastavad komplekssageduse erinevatele väärtustele

Veel üks kaalutlus on samuti oluline: eksponentsiaalsed signaalid kujul (2.53) on "looduslik" vahend võnkumiste uurimiseks erinevates lineaarsetes süsteemides. Neid küsimusi uurib Ch. kaheksa.

Tuleb märkida, et tegelik füüsiline sagedus on komplekssageduse kujuteldav osa. Komplekssageduse reaalosa jaoks pole spetsiaalset terminit.

Põhisuhted.

Olgu mingi reaalne või kompleksne signaal, mis on defineeritud t> 0 juures ja võrdne nulliga negatiivsete ajaväärtuste korral. Selle signaali Laplace'i teisendus on kompleksmuutuja funktsioon, mille annab integraal:

Signaali nimetatakse originaaliks ja funktsiooni selle Laplace'i kujutiseks (lühidalt lihtsalt kujutiseks).

Tingimus, mis tagab integraali (2.54) olemasolu, on järgmine: signaalil ei tohi olla rohkem kui eksponentsiaalset kasvukiirust, st peab täitma ebavõrdsust, kus on positiivsed arvud.

Kui see ebavõrdsus on täidetud, eksisteerib funktsioon selles mõttes, et integraal (2.54) koondub absoluutselt kõigi kompleksarvude puhul, mille puhul arvu a nimetatakse absoluutse lähenemise abstsissiks.

Põhivalemis (2.54) olevat muutujat saab identifitseerida komplekssagedusega Tõepoolest, puhtkujutleval komplekssagedusel, kui valem (2.54) muutub valemiks (2.16), mis määrab signaali Fourier' teisenduse, mis on null Seega võib käsitleda Laplace’i teisendust

Nii nagu seda tehakse Fourier' teisenduse teoorias, on kujutist teades võimalik taastada originaal. Selleks Fourier' pöördteisendusvalemis

tuleks läbi viia analüütiline jätk, mis läheb üle imaginaarselt muutujalt kompleksargumendile a. Komplekssageduse tasapinnal toimub integreerimine mööda lõpmatult pikka vertikaaltelge, mis asub absoluutse lähenemise abstsissist paremal. Kuna at on diferentsiaal, võtab Laplace'i pöördteisendus valem kuju

Kompleksmuutuja funktsioonide teoorias on tõestatud, et Laplace'i kujutistel on sileduse seisukohalt "head" omadused: sellised kujutised komplekstasandi kõikides punktides, välja arvatud loendatav hulk nn. ainsuse punktid on analüütilised funktsioonid. Ainsuse punktid on reeglina ühe- või mitmekordsed poolused. Seetõttu saab vormi (2.55) integraalide arvutamiseks kasutada jääkide teooria paindlikke meetodeid.

Praktikas kasutatakse laialdaselt Laplace'i teisendustabeleid, mis koguvad infot originaalide omavahelise vastavuse kohta. ja pilte. Tabelite olemasolu muutis Laplace'i teisendusmeetodi populaarseks nii teoreetilistes uuringutes kui ka raadiotehnika seadmete ja süsteemide tehnilistes arvutustes. Lisades on selline tabel, mis võimaldab lahendada üsna laia valikut probleeme.

Laplace'i teisenduste arvutamise näited.

Pildi arvutamise meetoditel on palju ühist sellega, mida on Fourier' teisendusega seoses juba uuritud. Vaatleme kõige tüüpilisemaid juhtumeid.

Näide 2.4, Üldistatud eksponentsiaalse impulsi kujutis.

Olgu, kus on fikseeritud kompleksarv. Funktsiooni - olemasolu määrab võrdsuse valemi (2.54) abil

Kui siis lugeja kaob ülemise piiri asendamisel. Selle tulemusena saame kirjavahetuse

Valemi (2.56) erijuhuna leiate tõelise eksponentsiaalse videoimpulsi kujutise:

ja kompleksne eksponentsiaalne signaal:

Lõpuks, sisestades (2.57), leiame funktsiooni Heaviside kujutise:

Näide 2.5. Delta funktsiooni pilt.

Varem käsitlesime integraalset Fourier' teisendust tuumaga K (t, О = е Fourier' teisendus on ebamugav selle poolest, et funktsiooni f (t) absoluutse integreeritavuse tingimus kogu t-teljel peab olema täidetud Laplace'i teisendus võimaldab meil Definitsioon 1. Funktsioon originaal tähendab reaalse argumendi t mis tahes kompleksväärtusega funktsiooni f (t), mis vastab järgmistele tingimustele: selliste punktide telgede * lõplik intervall võib olla ainult lõplik arv 2. funktsioon f (t) on t negatiivsete väärtuste korral võrdne nulliga, f (t) = 0 3 korral. t suurenedes ei suurene moodul f (t) kiiremini kui eksponentsiaalfunktsioon, st on olemas arvud M> 0 ja s sellised, et kõigi t korral On selge, et kui ebavõrdsus (1) kehtib mõne s = aj korral, siis kehtib see ka IGASUGUSE 82> 8 korral. = infs mille võrratuse (1) korral , nimetatakse funktsiooni f (t) kasvukiiruseks. kommenteerida. Üldjuhul ebavõrdsus ei kehti, kuid hinnang kehtib, kus e> 0 on suvaline. Seega on funktsioonil kasvueksponent в0 = Selle jaoks ei kehti ebavõrdsus \ t \ ^ M V * ^ 0, kuid võrratus | f | ^ Mei. Tingimus (1) on palju vähem piirav kui tingimus (*). Näide 1. funktsioon ei vasta tingimusele ("), kuid tingimus (1) on täidetud mis tahes s> I ja A /> I korral; kasvukiirus 5o = Nii et see on algfunktsioon. Teisest küljest ei ole funktsioon algne funktsioon: sellel on lõpmatu kasvujärjekord, “o = + oo. Lihtsaim algfunktsioon on nn ühikfunktsioon Kui mõni funktsioon vastab definitsiooni 1 tingimustele 1 ja 3, kuid ei rahulda tingimust 2, siis on toode juba algfunktsioon. Märkimise lihtsuse huvides jätame reeglina välja teguri rj (t), olles kokku leppinud, et kõik funktsioonid, mida me käsitleme, on negatiivse t korral võrdsed nulliga, nii et kui me räägime mõnest funktsioonist f (t), näiteks o sin ty cos t, el jne, siis on alati ette nähtud järgmised funktsioonid (joonis 2): n = n (0 Joon. 1 Definitsioon 2. Olgu f (t) algfunktsioon. Pilt funktsiooni f (t ) Laplace'i järgi on valemiga defineeritud kompleksmuutuja funktsioon F (p) LAPLACE TRANSFORM Põhidefinitsioonid Omadused Funktsioonide teisendus Korrutusteoreem Originaali leidmine pildilt Inversiooniteoreemi kasutamine operatiivarvutuses Duhameli valem Integreerimine konstantsete koefitsientidega lineaarsete diferentsiaalvõrrandi süsteemide Integraalvõrrandite lahendus, kus integraal võetakse üle positiivse pooltelje t. Funktsiooni F (p) nimetatakse ka funktsiooni / (/) Laplace'i teisenduseks; teisenduse tuum K (t) p) = e ~ pt. Asjaolu, et funktsioonil on kujutis F (p), kirjutame näite 2. Leidke ühikfunktsiooni r) (t) kujutis. Funktsioon on algfunktsioon kasvukiirusega 0–0. Valemi (2) kohaselt on funktsiooni rj (t) kujutis funktsioon If then for, integraal funktsiooni paremal küljel viimane võrdus läheneb ja saame nii, et funktsiooni rj (t) kujutis on funktsioon £. Nagu kokku leppisime, kirjutame, et rj (t) = 1 ja seejärel kirjutatakse saadud tulemus järgmiselt: Teoreem 1. Iga algfunktsiooni f (t) jaoks, mille kasvuastendaja z0, defineeritakse kujutis F (p) pooltasandil R ep = s > s0 ja on sellel pooltasandil analüütiline funktsioon (joonis 3). Olgu Et tõestada kujutise F (p) olemasolu näidatud pooltasandil, piisab, kui teha kindlaks, et vale integraal (2) koondub absoluutselt a> korral. Kasutades (3) saame, mis tõestab integraal (2). Samal ajal saime hinnangu Laplace'i teisendusele F (p) lähenemise pooltasandil Diferentseerides avaldist (2) formaalselt integraalimärgi all p suhtes, leiame, et integraali (5) olemasolu on tuvastati samamoodi nagu integraali (2) olemasolu tuvastati. Rakendades F "(p) jaoks integreerimist osade kaupa, saame hinnangu, mis eeldab integraali (5) absoluutset konvergentsi. (Mitteintegraali liikme 0., - piirväärtus on t + oo jaoks null). integraal (5) koondub ühtlaselt p suhtes, kuna see on majoriseeritud p-st sõltumatu koonduva integraaliga. Järelikult on diferentseerimine p suhtes seaduslik ja võrdus (5) kehtib. Kuna tuletis F "(p) on olemas, Laplace'i teisendus F (p) pooltasandil Rep = 5> 5о on analüütiline funktsioon. Ebavõrdsus (4) viitab järeldusele. Kui õhuke p kaldub lõpmatuseni nii, et Re p = s suureneb lõputult, siis Näide 3. Leiame ka funktsiooni kujutise suvalise kompleksarvu. Funktsiooni f (() eksponent on võrdne a. > a, aga ka kõigis punktides p, välja arvatud punkt p = a, kus sellel kujutisel on lihtpoolus Tulevikus kohtame rohkem kui üks kord sarnane olukord, kui kujutis F (p) on analüütiline funktsioon kompleksmuutuja p kogu tasapinnal, välistades eraldatud ainsuse punktid. Teoreemiga 1 pole vastuolu. Viimane kinnitab vaid, et pooltasandil Rep> «o funktsioonil F (p) pole ainsuse punkte: need kõik asuvad kas sirgest Rep = nii vasakul või sellel sirgel endal. Märka mitte. Operatiivarvutuses kasutatakse mõnikord funktsiooni f (f) Heaviside kujutist, mis on defineeritud võrdsusega ja erineb Laplace'i kujutisest teguri p võrra. §2. Laplace'i teisenduse omadused Järgnevalt tähistame Laplace'i järgi algseid funktsioone ja läbi nende kujutisi. £ biw dee on pidevad funktsioonid), millel on sama kujutis, siis on need identselt võrdsed. Teopewa 3 (n "yeyiost * Laplace'i muutmine). Kui funktsioonid on originaalsed, siis mis tahes õhu komplekskonstantide puhul Väite kehtivus tuleneb kujutist määrava integraali lineaarsusomadusest:, on vastavalt funktsioonide kasvukiirused). Selle omaduse põhjal saame Sarnaselt leiame selle ja edasi teoreemi 4 (sarnasused). Kui f (t) on algfunktsioon ja F (p) on selle Laplace'i kujutis, siis suvalise konstandi a> 0 korral, pannes punktile = m, saame Seda teoreemi kasutades valemitest (5) ja (6) saame teoreemi 5 ( originaali eristamise kohta). Olgu algfunktsioon pildiga F (p) ja olgu - ka algfunktsioonid ning kus on funktsiooni kasvutempo Siis ja üldiselt Siin peame silmas õiget piirväärtust Let. Leiame pildi, mis meil on Integreerimine osade kaupa, saame Mitteintegraali liige (10) paremal küljel kaob punktis k. Rc p = s> h korral on meil asendus t = Odet - / ( 0). Teine liige (10) paremal on võrdne pF (p). Seega saab seos (10) kuju ja valem (8) on tõestatud. Täpsemalt, kui Kujutise f (n \ t) leidmiseks kirjutame, kust, integreerides n korda osade kaupa, saame näite 4. Kasutades teoreemi originaali eristamise kohta, leidke funktsiooni f (t) = kujutis sin2 t. Olgu Seetõttu kehtestab teoreem 5 Laplace'i integraalteisendusele tähelepanuväärse omaduse: see (nagu Fourier' teisendus) teisendab diferentseerimistehte p-ga korrutamise algebraliseks toiminguks. Kaasamise valem. Kui need on algfunktsioonid, siis Tõepoolest, teoreemi 1 järelduvuse tõttu kipub iga kujutis olema null as. Siit tuleneb kaasamise valem (teoreem 6 (kujutise eristamise kohta). Kujutise diferentseerimine taandatakse originaaliga korrutamiseks, Kuna pooltasandi funktsioon F (p) on analüütiline, võib diferentseeritud seoses p. Meil on viimane tähendab lihtsalt seda, et Näide 5. Kasutades teoreemi 6, leidke funktsiooni 4 kujutis Nagu teate, seega (Taas rakendades teoreemi 6, leiame üldiselt teoreemi 7 (originaali integreerimine). Algse integreerimine). taandatakse kujutise jagamisele sellega, et kui on olemas algfunktsioon, siis on see ka algfunktsioon Olgu. Tulenevalt nii, et Teisest küljest, kust F = Viimane on samaväärne tõestatud seosega (13 Näide 6. Leia funktsiooni M kujutis Sel juhul nii, et Lause 8 (kujutise integreerimine) .Kui integraal ka koondub, toimib see funktsiooni ^ kujutisena: LAPLACE TRANSFORM Põhidefinitsioonid Omadused Konvolutsioon funktsioonid Korrutusteoreem Originaali leidmine pildi järgi Tegevusarvutuse pöördteoreemi kasutamine Duhameli valem Lineaarsete diferentsiaalvõrrandisüsteemide integreerimine konstantsete koefitsientidega Lahendus integraalvõrrandid Tõepoolest, eeldades, et integro teekond asetsevad pooltasandil nii, saame muuta integreerimise järjekorda Viimane võrdus tähendab, et tegemist on funktsiooni kujutisega Näide 7. Leia funktsiooni M kujutis Nagu on teada,. Seega, kuna me paneme, saame £ = 0, for. Seetõttu võtab seos (16) kuju Näide. Leia graafiliselt antud funktsiooni f (t) kujutis (joonis 5). Kirjutame funktsiooni f (t) avaldise järgmiselt: Selle avaldise võib saada järgmiselt. Vaatleme funktsiooni ja lahutame sellest funktsioon. Erinevus on võrdne ühega. Saadud erinevusele lisame funktsiooni Selle tulemusena saame funktsiooni f (t) (joonis 6c), nii et Siit leiame viiteteoreemi kasutades teoreemi 10 (nihe). siis mis tahes kompleksarvu p0 korral Tõepoolest, teoreem võimaldab teadaolevate funktsioonide kujutiste põhjal leida samade funktsioonide kujutisi, mis on korrutatud eksponentsiaalfunktsiooniga, näiteks 2.1. Funktsioonide konvolutsioonid. Korrutusteoreem Olgu funktsioonid f (t) u defineeritud ja pidevad kõigi t puhul. Nende funktsioonide konvolutsioon on t uus funktsioon, mis on defineeritud võrdsusega (kui see integraal on olemas). Algfunktsioonide puhul on tehe alati kokkupandav ja (17) 4 Tõepoolest, algfunktsioonide korrutis m funktsioonina on lõplik funktsioon, s.t. kaob väljapoole mõnda lõplikku intervalli (antud juhul väljaspool intervalli. Lõplike pidevate funktsioonide korral on konvolutsioonitehte rahuldav ja saame valemi Konvolutsioonitehte kommutatiivsust on lihtne kontrollida, Lause 11 (korrutamine). Kui, siis konvolutsioon t) on kujutisega Lihtne on kontrollida, et konvolutsioon (algfunktsioonidest on algfunktsioon kasvueksponentiga "kus on vastavalt funktsioonide kasvueksponendid. selline tehe on seaduslik) ja rakendades mahajäämisteoreemi, saame Seega (18) ja (19) põhjal leiame, et piltide korrutamine vastab originaalide voltimisele, Prter 9. Leia funktsiooni A kujutis V (0 on konvolutsioon funktsioonid Korrutusteoreemi alusel Ülesanne Olgu f (t) perioodiline funktsioon perioodiga T. Näidake, et selle Laplace'i kujutis F (p) on antud valemiga 3. Originaali leidmine kujutiselt Ülesanne püstitatakse järgmiselt : arvestades funktsiooni F (p), peame leidma funktsiooni / (<)>mille kujutis on F (p). Sõnastame tingimused, mis on piisavad, et kompleksmuutuja p funktsioon F (p) toimiks kujutisena. Teoreem 12. Kui pooltasandil analüütiline funktsioon F (p) 1) kaldub igal pooltasandil R s0 nulli arg p suhtes ühtlaselt; 2) integraal koondub absoluutselt, siis F (p) on mingi algfunktsiooni kujutis Ülesanne. Kas funktsioon F (p) = võib olla mõne algse funktsiooni kujutis? Siin on mõned viisid, kuidas pildilt originaali leida. 3.1. Originaali leidmine pilditabelite abil Kõigepealt tasub funktsioon F (p) viia lihtsamale, "tabelikujulisele" kujule. Näiteks juhul, kui F (p) on argumendi p murdosaline ratsionaalne funktsioon, jagatakse see elementaarmurdudeks ja kasutatakse Laplace'i teisenduse vastavaid omadusi. Näide 1. Leiame originaali jaoks Kirjutame funktsiooni F (p) kujule Kasutades nihketeoreemi ja Laplace'i teisenduse lineaarsusomadust, saame näite 2. Leia originaal funktsioonile 4 Kirjutame F (p ) kuna seega 3.2. Inversiooniteoreemi kasutamine ja selle tagajärjed 13. teoreem (inversioon). Kui funktsioon sobib) on algfunktsioon kasvueksponentiga s0 ja F (p) on selle kujutis, siis funktsiooni f (t) suvalises pidevuspunktis kehtib seos, kus integraal võetakse piki mis tahes sirget ja seda mõistetakse põhiväärtuse tähenduses, st nagu valemit (1) nimetatakse Laplace'i teisenduse inversiooni valemiks ehk Mellini valemiks. Tõepoolest, oletame näiteks, et f (t) on igal lõplikul lõigul tükkhaaval sujuv (\ displaystyle F (s) = \ varphi), nii φ (z 1, z 2,…, z n) (\ kuvastiil \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analüütiline iga kohta z k (\ displaystyle z_ (k)) ja on võrdne nulliga z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ kuvastiil z_ (1) = z_ (2) = \ lpunktid = z_ (n) = 0), ja F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ matemaatiline (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ koolon k = 1, \; 2, \; \ lpunktid, \; n)), siis on pöördteisendus olemas ja vastaval päriteisendusel on absoluutne konvergentsi abstsiss.

Märge: need on eksisteerimiseks piisavad tingimused.

• Konvolutsiooniteoreem

Põhiartikkel: Konvolutsiooniteoreem

• Originaali eristamine ja integreerimine

Originaali esimese tuletise Laplace'i kujutis argumendi suhtes on kujutise korrutis viimase argumendiga, millest on lahutatud paremal nullis olev originaal:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Alg- ja lõppväärtuste teoreemid (piirteoreemid):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ to 0) sF (s)) kui funktsiooni kõik poolused s F (s) (\ displaystyle sF (s)) on vasakul pooltasandil.

Lõpliku väärtuse teoreem on väga kasulik, kuna see kirjeldab lihtsa seose abil originaali käitumist lõpmatuses. Seda kasutatakse näiteks dünaamilise süsteemi trajektoori stabiilsuse analüüsimiseks.

• Muud omadused

Lineaarsus:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Korrutamine arvuga:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ left ((\ frac (s) (a)) \ right).)

Mõnede funktsioonide Laplace'i otse- ja pöördteisendus

Allpool on mõnede funktsioonide jaoks Laplace'i teisenduse tabel.

№	Funktsioon	Aja domeen x (t) = L – 1 (X (s)) (\ kuvastiil x (t) = (\ matemaatiline (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Sagedusdomeen X (s) = L (x (t)) (\ kuvastiil X (s) = (\ matemaatiline (L)) \ (x (t) \))	Lähenemispiirkond jaoks põhjuslikud süsteemid
1	täiuslik mahajäämus	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1a	üksik impulss	δ (t) (\ kuvastiil \ delta (t) \)	1 (\ kuvastiil 1 \)	∀ s (\ displaystyle \ for all s \)
2	mahajäämus n (\ displaystyle n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ kuvastiil (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ kuvastiil (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alfa) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	rahustav n (\ displaystyle n)- järjekorras	t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n))) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.1	rahustav q (\ displaystyle q)- järjekorras	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ kuvastiil (\ frac (t ^ (q))) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.2	üksuse funktsioon	H (t) (\ kuvastiil H (t) \)	1 s (\ displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	viivitusüksuse funktsioon	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	Kiiruse samm	t ⋅ H (t) (\ kuvastiil t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2d	n (\ displaystyle n)-th järjekorras sageduse nihkega	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ kuvastiil (\ frac (t ^ (n))) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alfa) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa)
2d.1	eksponentsiaalne lagunemine	e - α t ⋅ H (t) (\ kuvastiil e ^ (- \ alfa t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alfa)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
3	eksponentsiaalne lähendus	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil (1-e ^ (- \ alfa t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alfa) (s (s + \ alfa))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	koosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s)) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	hüperboolne siinus	s h (α t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil \ mathrm (sh) \, (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alfa) (s ^ (2) - \ alfa ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alfa | \)
7	hüperboolne koosinus	c h (α t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil \ mathrm (ch) \, (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s)) (s ^ (2) - \ alfa ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alfa | \)
8	eksponentsiaalselt lagunev sinus	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil e ^ (- \ alfa t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alfa) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
9	eksponentsiaalselt lagunev koosinus	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil e ^ (- \ alfa t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alfa) ((s + \ alfa) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
10	juur n (\ displaystyle n)- järjekorras	t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ vasak (1 + (\ frac (1) (n)) ) \ õige))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	naturaallogaritm	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ kuvastiil \ ln \ vasak ((\ frac (t) (t_ (0))) \ parem) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0))) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Besseli funktsioon esimene liik tellida n (\ displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n)) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)) ) )) \ paremal) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> -1) (\ kuvastiil (n> -1) \)
13	esimene liik tellida n (\ displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left) (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)) ) )) \ paremale) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Besseli funktsioon teist liiki null järjekord	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ kuvamisstiil Y_ (0) (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alfa)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alfa) ^ (2))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	muudetud Besseli funktsioon teist tüüpi, null järjekord	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil K_ (0) (\ alfa t) \ cdot H (t))
16	veafunktsioon	e r f (t) ⋅ H (t) (\ kuvastiil \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Märkused tabeli kohta: H (t) (\ kuvastiil H (t) \); α (\ kuvastiil \ alfa \), β (\ displaystyle \ beeta \), τ (\ displaystyle \ tau \) ja ω (\ displaystyle \ omega \) - Seos teiste transformatsioonidega Põhilised seosed Mellini teisendus Mellini teisendus ja Mellini pöördteisendus on seotud kahepoolse Laplace'i teisendusega muutujate lihtsa muutmise teel. Kui Mellini teisenduses G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ kuvastiil G (s) = (\ matemaatiline (M)) \ vasak \ (g (\ teeta) \ parem \) = \ int \ limits _ (0) ^ (\ infty) \ teeta ^ (s) (\ frac (g (\ teeta)) (\ teeta)) \, d \ teeta) pane θ = e - x (\ kuvastiil \ teeta = e ^ (- x)), siis saame kahepoolse Laplace'i teisenduse. Z-teisendus Z (\ displaystyle Z)-teisendus on võrefunktsiooni Laplace'i teisendus, mis saadakse muutujate muutmisel: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) Boreli teisendus Boreli teisenduse integraalvorm on identne Laplace'i teisendusega, olemas on ka üldistatud Boreli teisendus, mille abil laiendatakse Laplace'i teisenduse kasutusala laiemale funktsioonide klassile. Bibliograafia Van der Pol B., Bremer H. Kahepoolsel Laplace'i teisendusel põhinev operatiivarvutus. - M.: Väliskirjanduse kirjastus, 1952. - 507 lk. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integraalteisendused ja operatiivarvutus. - M.: Kirjastuse "Nauka" füüsikalise ja matemaatilise kirjanduse põhiväljaanne, 1974. - 544 lk. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I. Operatiivarvutuse käsiraamat: teooria alused ja valemitabelid. - M.: Riiklik tehnilise ja teoreetilise kirjanduse kirjastus, 1951. - 256 lk. Carslow H., Jaeger D. Operatsioonimeetodid rakendusmatemaatikas. - M.: Väliskirjanduse kirjastus, 1948. - 294 lk. Koževnikov N.I., Krasnoštšekova T.I., Šiškin N.E. Fourier' jada ja integraalid. Väljateooria. Analüütilised ja erifunktsioonid. Laplace teiseneb. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 lk. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Operatiivarvutus. Liikumise stabiilsus. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 lk. Mikusinsky Y. Operaatorarvutus. - M.: Väliskirjanduse kirjastus, 1956. - 367 lk. Romanovski P.I. Fourier seeria. Väljateooria. Analüütilised ja erifunktsioonid. Laplace teiseneb. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 lk.